7/28/2019 [Biot M.] Critical Torsional Oscillations of a Rot(Bookos.org)

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CRITICAL TORSIONAL OSCILLA TIONS OF A ROT A T INGA CCELERA T ED SHA FTBy M. B I o T

DEPARTMENT OF MATHETICS, C A L I n o R N i I N S T I T U T E OF TECENOLOGYC o m m u n i c a t e d O c t o b e r 1 7 , 1 9 3 2

We a s s u m e t h at t h e f o r c e s a p p l i e d t o t h e s h a f t h a v e a v a r i a b l e p a r tw h i c h i s a moment o f c o n s t a n t a m p l i t u d e M ( x ) p e r u n i t l e n g t h , d i s t r i b u t e da l o n g t h e s h a f t , a n d v a r y i n g w i t h a f r e q u e n c y p r o p o r t i o n a l t o t h e a n g u l a rv e l o c i t y .

From t h e s o l u t i o n c o r r e s p o n d i n g t o t h e h a r m o n i c s t e a d y s t a t e v i b r a t i o n ,we d e d u c e , b y u s i n g H e a v i s i d e ' s e x p a n s i o n , t h e m o t i o n d u e t o a s u d d e na p p l i c a t i o n o f t h e moment M ( x ) . T h i s e n a b l e s u s t o c o m p u t e t h e e f f e c to f t h e moment w h e n a p p l i e d w i t h a l i n e a r l y i n c r e a s i n g f r e q u e n c y .I n - t h i s a n a l y s i s t h e d a m p i n g w i l l b e n e g l e c t e d . I n c a s e o f a v i s c o u sd a m p i n g t h e l i n e a r c h a r a c t e r o f t h e e q u a t i o n s i s n o t a f f e c t e d a n d t h e s a m em e t h o d m i g h t b e u s e d . We d i d n o t c a r r y t h i s c a l c u l a t i o n f o r t w o r e a s o n s :1 . T h e e x a c t r e s u l t w i l l b e i n g e n e r a l c o m p l i c a t e d , a n d i n v o l v e v i s c o u sf r i c t i o n c o e f f i c i e n t s w h i c h w i l l n o t b e v e r y a c c u r a t e l y k n o w n . B e s i d e s ,t h e e f f e c t o f f r i c t i o n m i g h t b e r o u g h l y t a k e n i n t o a c c o u n t b y c o n s i d e r i n gt h e s t e a d y s t a t e s o l u t i o n .2 . I n m o s t c a s e s t h e d a m p i n g i s n o t v i s c o u s b u t d u e t o t h e h y s t e r e s i so r i n t e r n a l f r i c t i o n o f t h e m a t e r i a l . T h i s i s p r o v e d b y t h e e x p e r i m e n t a lf a c t t h a t t h e e n e r g y a b s o r b e d i n t h e v i b r a t i o n o f e l a s t i c b o d i e s i s p r o -p o r t i o n a l t o t h e f r e q u e n c y a n d n o t t o i t s s q u a r e . T h i s e f f e c t m i g h t b et a k e n r o u g h l y i n t o a c c o u n t b y e n e r g e t i c c o n s i d e r a t i o n s .

The e q u a t i o n o f v i b r a t i o n o f t h e s h a f t may b e w r i t t e n ,M ( X , t ) + I K ( x ) a 0 I ( X ) - , ( 1 )

w h e r e 0 i s t h e a n g u l a r c o o r d i n a t e o f a c r o s s - s e c t i o n , K ( x ) t h e t o r s i o n a lr i g i d i t y a n d I ( x ) t h e moment o f i n e r t i a p e r u n i t l e n g t h .I n o r d e r t o f i n d a s o l u t i o n o f t h i s e q u a t i o n , we w i l l f i r s t s t u d y t h e b e -

h a v i o r o f t h e f r e e o s c i l l a t i o n s g i v e n b y t h e e q u a t i o n ,?~~~~~2[ K ( x ) ZI = I ( x ) a 2 -T h i s e q u a t i o n h a s a n i n f i n i t e n u m b e r o f s o l u t i o n s o f t h e t y p e 0 -0 , ( x ) e 6 " " c o r r e s p o n d i n g t o t h e f r e e h a r m o n i c o s c i l l a t i o n s o f t h e s h a f t

w i t h t h e g i v e n b o u n d a r y c o n d i t i o n s .E a c h o f t h e f u n c t i o n s e t ( x ) i s a c h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n w h i c h s a t i s f i e st h e S t u r m - L i o u v i l l e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ,

6 8 2 ENGINEERING: M. BIOT P R O C . N . A . S .

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d F d 1K ( x ) = -e i ( x ) + o i ' 2 I ( x ) e ) ( x ) = 0 ( 2 )d x d x

a n d a l s o t h e g i v e n b o u n d a r y c o n d i t i o n s . T h e s e f u n c t i o n s a r e r e l a t e d b yt h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n ,

f e m ( X ) ( x ) d x = 0 m 0 n . ( 3 )T h i s a n a l y s i s i s v a l i d w h e n t h e i n e r t i a m o m e n t s a r e c o n c e n t r a t e di n s t e a d o f d i s t r i b u t e d , f o r we c a n a l w a y s a p p r o x i m a t e c o n c e n t r a t e d l o a d s

b y a c o n t i n u o u s d i s t r i b u t i o n .We now a s s u m e t h a t t h e a p p l i e d moment i s h a r m o n i c o f t h e f o r m ,M ( x , t ) = M o ( x ) e i w . The s o l u t i o n o f e q u a t i o n ( 1 ) m ay t h e n b e w r i t t e n

O ( x , t ) = 0 0 ( X ) W I Ia n d t h e e q u a t i o n b e c o m e s a n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ,

M O ( x + = - [ K ( x ) - O ] . + w 2 I ( x ) G o = 0 . ( 4 )( ) d x [ d x ]F o r o u r p u r p o s e t h e b e s t way o f s o l v i n g t h i s e q u a t i o n i s t o e x p a n dO o ( x ) i n a s e r i e s o f o r t h o g o n a l f u n c t i o n s O , ( x ) ,

O o ( x ) = E A i O i ( x )i-iS u b s t i t u t i n g t h i s e x p r e s s i o n i n t o e q u a t i o n ( 4 ) a n d t a k i n g i n t o a c c o u n t

t h e i d e n t i t y ( 2 ) , we f i n d ,M o ( x ) = I ( x ) E A i ( c 4 -0 2 ) O ( x ) .i-1

I f we m u l t i p l y b o t h s i d e s b y e k ( x ) a n d i n t e g r a t e a l o n g t h e s h a f t b e t w e e nt h e l i m i t s ( o , a ) , d u e t o t h e o r t h o g o n a l i t y c o n d i t i o n ( 3 ) , a l l t h e u n k n o w nc o n s t a n t s A , a r e e l i m i n a t e d e x c e p t A k ; we f i n a l l y g e ta

A c = M o ( x ) O ( x ) x JA i = 2 _i- ' = PC 4 c o I ( x ) 0 2 ( x ) d xThe r e q u i r e d s o l u t i o n f o r t h e f o r c e d h a r m o n i c v i b r a t i o n i s

- ( X , t ) = e i E , x ( 5 )W e o w i l l h o te m n o f -h aw e w i l n o w c a l c u l a t e t h e m o t i o n o f t h e s h a f t d u e t o a s u d d e n a p p l i e d

ENGINEERING: M . BIOTO L . 1 8 , 1 9 3 2 . 6 8 3

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ENGINEERING: M. BIOTd i s t r i b u t e d moment M o ( x ) . C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g w e l l - k n o w n i n t e g r a lt a k e n i n t h e c o m p l e x p l a n e1 d + w e i o _ 1 t > OJ -dco -2i w 0 O t

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ENGINEERING: M. BIOTf r e e o s c i l l a t i o n o f o r d e r " i . " I f a l l t h e m o m e n t s a r e s u d d e n l y a p p l i e da t t h e s a m e t i m e t h e a n g u l a r d i s p l a c e m e n t o f e a c h d i s c i s g i v e n b y

( t ) = E -2 [ 1 - C OS w t ] ( 7 )i=l U s ,U s i n g a w e l l - k n o w n m e t h o d , we w i l l now d e d u c e f r o m t h i s a n a l y s i s t h e

m o t i o n d u e t o a moment o f t h e f o r n M o ( x ) t ( t ) w h e r e 4 / ' ( t ) i s a n a r b i t r a r yf u n c t i o n o f t i m e . I t m ay b e c o n s i d e r e d a s c o m p o s e d o f a n i n f i n i t e n u m b e ro f s m a l l i n c r e m e n t s M o ( x ) = . a d t . E a c h o f t h e s e i n c r e m e n t s p r o d u c e s a nd to s c i l l a t i o n g i v e n b y ( 6 ) o r ( 7 ) s o t h a t t h e t o t a l m o t i o n i n c a s e o f d i s t r i b u t e dp a r a m e t e r s i s g i v e n b y t h e i n t e g r a l

f w t dO ( x , t ) = J 0 1 [ x , t - r ] - P ( T ) d r .O ~ ~ ~ ~ d TI n t e g r a t i n g b y p a r t s a n d a s s u m i n g # , ( o ) = 0 ,

O ( x , t ) = X [ 0 1 ( x , t - r ) ] t ( r ) d T ,a C sO ( x , t ) = E e i ( x ) [ s i n w i t ] A ( r ) cos w i T d r -cos w i t ( T ) s i n w i T d r .

P u t f i ( w i , t ) = J ( T ) C O S i T d Tf 2 Q . o i , t ) = J i ( T ) s i n w i r d r .

T h e e x p r e s s i o n ( 7 ) f o r O ( x , t ) s h o w s t h a t t h e m o t i o n d u e t o a n a p p l i e dmoment o f t h e f o r m M o ( x ) O ( t ) i s c o m p o s e d o f a s e r i e s o f f r e e o s c i l l a t i o n se a c h o f w h i c h h a s a n a m p l i t u d e

- e i ( x ) V A f ( c o i , t ) + f A ( w i , t ) .W iT h i s p r i n c i p l e l e a d s t o t h e s o l u t i o n o f t h e a n n o u n c e d p r o b l e m . C o n -s i d e r a s h a f t r o t a t i n g w i t h a c o n s t a n t a c c e l e r a t i o n . I n most c a s e s t h e

a m p l i t u d e o f v a r i a t i o n o f t h e t o r q u e w i l l b e c o n s t a n t . We c a l l v t h ea n g u l a r a c c e l e r a t i o n a n d p u t 2B=. The v a r i a b l e p a r t o f t h e moment i s ,

. p e r u n i t l e n g t h ,M o ( x ) t ( t ) = M o ( x ) s i n ( f l t 2 + s p ) .

P u t

V O L . 1 8 , 1 9 3 2 6 8 5

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ENGINEERING: M. BIOT

F ( w i , t ) = s i n w i t J ' c o s w , r s i n ( ( r 2 + ( & ) d r - c o s c o t J s i n w i r s i n ( f r 3 2 + s p ) d T .The m o t i o n i s t h e n g i v e n b y f o r m u l a ( 7 ) i n t h e f o r m

c o c i0 ( x , t ) = 2 - O ( x ) F ( w i , t ) . ( 8 )= 1 Wi

I n o r d e r t o c a l c u l a t e F we s h a l l i n t r o d u c e t h e q u a n t i t i e sa z = * t ;- = 4 V \ N i

N=t *- = a Nw h e r e N i i s t h e n u m b e r o f r e v o l u t i o n s p e r f o r m e d when t h e c r i t i c a l s p e e di s r e a c h e d a t t h e moment t i , a n d N t h e n u m b e r o f r e v o l u t i o n s p e r f o r m e da f t e r a n y t i m e t .By a n e l e m e n t a r y t r a n s f o r m a t i o n we may w r i t e

F ( w i , t ) = 1 / 2 s i n ( c i t + ( p ) J s i n ( f 3 r 2 + w i T ) d T + 1 / 2 s i n ( w i t -s i n ( # , r 2 - c o r T ) d r + 1 / 2 c o s ( c o i t + s o ) c o s ( f r 2 +

w i r ) d r + 1 / 2 c o s ( C O i t - ) f c o s ( T 2 - w T ) d T .I n t r o d u c i n g now t h e q u a n t i t i e s a a n d ( ,

* Q , a , p o ) = 2 F ( c o i , t ) = s i n ( c o i t - - 2 a 2 ) j s i n 2 dy -C O s Q o j t - --a2) c o s y 2 . d y + s i n Qit + s o +

2 a 2 ) j s i n - y 2 d y + c o s c o i t + s p + - a 2 ) f c o s - y 2 d y . ( 9 )T h i s e x p r e s s i o n i n v o l v e s t h e w e l l - k n o w n F r e s n e l i n t e g r a l s . B y s u b -s t i t u t i o n i n e q u a t i o n ( 8 ) we g e t f o r e a c h n o r m a l mode a n a m p l i t u d e

g i v e n b yO j ( x , t ) = C i $ i O ( X )2 W i + / v a

We a r e i n t e r e s t e d i n t h e b e h a v i o r o f t h i s a m p l i t u d e a s a f u n c t i o n o ft i m e . P r a c t i c a l l y t h e c r i t i c a l s p e e d w i l l b e r e a c h e d i n more t h a n t e nr e v o l u t i o n s , s o t h a t ,

6 8 6 P R O C . N . A . S .

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ENGINEERING: M. BIOTa>4V0t a k e a > 1 2 .

W r i t e j - y 2 d y =Cf s i n y 2 d y = S ( u ) .

T h e s e f u n c t i o n s h a v e b e e n t a b u l a t e d . ' I n o u r a s s u m p t i o n t h a t a > 1 2 ,t h e t e r m s w r i t t e n o n t h e s e c o n d l i n e o f e q u a t i o n ( 9 ) a r e s m a l l a n d m ay b en e g l e c t e d . T h i s e q u a t i o n t h e n r e d u c e s t oT % a , ( p ) = s i n ( i t - - a2)f s i n y 2 d y -

c o s ( ( i - - - a) c o s y 2 d y .T h i s i s t h e p r o j e c t i o n o f a r o t a t i n g v e c t o r w h o s e r e c t a n g u l a r c o m p o n e n t s

a r eM - a ) + C ( a ) ,S ( -a ) + S ( a ) .

When t v a r i e s , t h e e x t r e m i t y o f t h i s v e c t o r m o v e s o n a c u r v e p l o t t e d i nt h e f i g u r e . T h e l e n g t h o f t h e c u r v e t a k e n a s 0 f o r t = a h a s t h e v a l u e- a , a n d i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e t i m e .C o n s i d e r t h e c a s e w h e r e a g r e a t n u m b e r o f r e v o l u t i o n s h a v e t o b e p e r -

f o r m e d b e f o r e t h e c r i t i c a l s p e e d i s r e a c h e d . T h i s m e a n s t h a t t h e v a l u e o fa i s g r e a t . T h e c o n c l u s i o n s t h a t we w i l l d r a w f r o m t h i s a s s u m p t i o n s h a l lb e p r a c t i c a l l y t r u e i f N , > 1 2 .

The a m p l i t u d e I a t a n y moment i s r e p r e s e n t e d b y a v e c t o r h a v i n g i t so r i g i n i n 0 ' a n d i t s e n d a t t h e p o i n t o f t h e c u r v e c o r r e s p o n d i n g t o =We s e e t h a t t h e a m p l i t u d e i n c r e a s e s a t f i r s t s l o w l y , t h e n v e r y r a p i d l yn e a r t h e p o i n t o f r e s o n a n c e 0 ( Q = a ) w h e r e t h e a m p l i t u d e i s 2 Thea m p l i t u d e t h e n r e a c h e s a maxmum 1 . 1 6 5 x F 2 f o r -a = 1 . 2 5 a n d d e -c r e a s e s a f t e r w a r d i n a n o s c i l l a t i n g w a y , d o w n t o N.H e n c e t h e maximum a m p l i t u d e o f t h e n o r m a l mode w i l l b e

O ( x ) = 1 . 1 6 5 cf, , ( x )I n t h e c a s e o f c o n c e n t r a t e d l o a d s , t h e maximum v i b r a t i o n a m p l i t u d eo f e a c h d i s c i s

O i k = 1 . 1 6 5 it C i e i ko i s 4 v _

V O L . 1 8 , 1 9 3 2 6 8 7

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ENGINEERING: M. BIOTI f t h e moment a c t i n g o n t h e s h a f t i s t h e sum o f t w o moments a p p l i e d

w i t h a p h a s e d i f f e r e n c e s o ,M o k = M ' o k s i n # t 2 + 1 1 4 k s i n ( j 3 t 2 + p )t h e maximum a m p l i t u d e s o f t h e d i s c s w i l l b e g i v e n b y t h e s a m e f o r m u l a ,p r o v i d e d t h a t C i i s t h e v e c t o r i a l sum ( w i t h a p h a s e d i f f e r e n c e ( p ) o f t h et w o c o e f f i c i e n t s C , a n d C ; c o r r e s p o n d i n g r e s p e c t i v e l y t o t h e s e p ar a t em o m e n t s M o k a n d M k o

C i = V / C t 2 + C , 2 + 2 C , C i c o s s o -Example.-We s h a l l a p p l y t h i s r e s u l t t o t h e c r a n k s h a f t o f a s i x c y l i n d e r

t w o c y c l e e n g i n e . The c r a n k s h a f t i s s u p p o s e d t o b e f r e e a t b o t h e n d s ,a n d may b e c o n s i d e r e d a s a s h a f t l o a d e d w i t h s i x d i s c s o f moment o fMi n e r t i a I . I f M i s t h e mean t o r q u e p r o d u c e d b y t h i s m o t o r , M w i l l b et h e mean t or q u e a p p l i e d b y t h e p i s t o n s t o e a c h o f t h e d i s c s , a n d a t t h es a m e t i m e t h e a m p l i t u d e o f v a r i a t i o n o f t h i s t o r q u e . We a s s u m e t h a tt h e e x p l o s i o n s o c c u r a t t h e s a m e moment i n p i s t o n s e q u i d i s t a n t f r o m t h ec e n t e r , i n t h e f o l l o w i n g o r d e r ,

( 1 , 6 ) ( 2 , 5 ) ( 3 , 4 ) .What i s t h e e f f e c t o f a c c e l e r a t i o n on t h e t h i r d h a r m o n i c o f t h i s s h a f t ?

The a m p l i t u d e s o f f r e e v i b r a t i o n o f t h e t h i r d h a r m o n i c a r e

6 8 8 P R O C . N . A . S .

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ENGINEERING: M. BIOT031= 1e 8 2 = - 2033= 1034= 10 3 5 = - 2036= 1

E a c h p i s t o n c a u s e s a c e r t a i n a m p l i t u d e o f v i b r a t i o n o f t h e t h i r d h a r -m o n i c , a n d t h i s e f f e c t i s c h a r a c t e r i z e d b y t h e c o r r e s p o n d i n g c o e f f i c i e n t s ,

M 0 3 k MC3k= 6 - 3 k2 z 0 ~ 8 kK= 1

T h e s e c o e f f i c i e n t s h a v e t o b e a d d e d v e c t o r i a l l y , d u e t o t h e f a c t t h a t t h e r ei s a p h a s e d i f f e r e n c e i n t h e a p p l i e d m o m e n t s .L e t u s f i r s t a d d t h e v e c t o r s w h i c h h a v e no p h a s e d i f f e r e n c e :

M M" , 3 1 + c 3 e = F ( O n l + 0 3 6 ) = 2 F 2 IM M

C 3 + C 3 6 = ( 0 3 2 + 0 3 5 ) = -F4 - M MC 3 3 + C 8 4 = F2 ( 0 3 3 + 0 3 4 ) = 2

2 7 rT h e s e t h r e e v e c t o r s h a v e a p h a s e d i f f e r e n c e -n d t h e i r v e c t o r i a l3sum i s ,

MC 3 =3KIT h e maximum c r i t i c a l a m p l i t u d e o f v i b r a t i o n o f e a c h d i s c i s

0 3 k = 1 . 1 6 5 - 3OskT h e d i f f e r e n c e b e t w e e n 0 3 1 a n d 0 3 2 g i v e s t h e maximum t o r s i o n a l s t r a i n

0 3 1 - 0 3 2 = 1 . 1 6 5 Y2 v1 E . J a h n k e a n d F . E m d e , " F u n k t i o n e n t a f e l n , " p . 2 4 .

P r e s e n t e d a t t h e N a t i o n a l A p p l i e d M e c h a n i c s M e e t i n g , New H a v e n , J u n e 2 3 - 2 5 , 1 9 3 2 .

V O L . 1 8 , 1 9 3 2 6 8 9