Repblica Bolivariana de Venezuela Ministerio de Educacin Superior Convenio Jos Gregorio Hernndez Valera Estado Trujillo

LEY DE BIOT-SAVART LEY DE AMPRE LEY DE GAUSS

VALERA 17 DE SEPTIEMBRE 2011

LEY DE BIOT-SAVART Poco despus de que Hans Christian Oersted descubriera en 1820 que la aguja de una brjula era desviada por un conductor que conduca corriente, Jean Baptiste Biot y Felix Savart concluyeron que un conductor que conduce una corriente estable ejerca una fuerza sobre un imn. A partir de sus resultados experimentales, Biot y Savart llegaron a una expresin que brinda el campo magntico en algn punto en el espacio en trminos de la corriente que produce el campo. Al mostrar un plano M atravesando por un conductor rectilneo que lleva una corriente de intensidad I en el sentido indicado. Considerando una pequea longitud l del conductor, la corriente que pasa a travs de este elemento de longitud origina en un punto P situado a la distancia r una induccin magntico elemental .

Cuyo mdulo viene dado por la siguiente ecuacin, llamada ley de BiotSavart:

El campo magntico dB en el punto P debido a un elemento de corriente ds est dado por la ley de Biot-Savart. (Figura 1)

La ley de Biot-Savart establece que si un alambre conduce una corriente constante I, el campo magntico dB en un punto P debido a un elemento ds (Figura 1) tiene las siguientes propiedades: 1. El vector dB es perpendicular tanto a ds (el cual tiene la direccin de la corriente) como al vector unitario dirigido desde el elemento hasta el punto P. 2. La magnitud dB es inversamente proporcional a r, donde r es la distancia desde el elemento hasta el punto p. 3. La magnitud de dB es proporcional a la corriente y la longitud ds del elemento. 4. La magnitud de dB es proporcional a sen el vector ds y . La ley de Biot-Savart puede ser resumida en la siguiente frmula: , donde es el ngulo entre

donde Km es una constante que en SI de unidades es exactamente 107 Wb/A*m. La constante Km es por lo general escrita como 0/4 , donde 0 es otra constante, llamada permeabilidad del espacio libre. Es decir,

0 = 4 Km = 4 X 107 Wb/A*m Por lo que la ley de Biot-Savart, tambin puede escribirse como:

Es importante hacer notar que la ley de Biot-Savart proporciona el campo magntico en un punto dado para un pequeo elemento del conductor. Para encontrar el campo magntico total B en algn punto debido a un conductor para tamao finito, se deben sumar las contribuciones de todos los elementos

de corriente que constituyen el conductor. Esto es, se debe evaluarse B por la integracin de la ecuacin anterior:

donde la integral se evala sobre todo el conductor, Esta expresin debe ser manejada con especial cuidado desde el momento que el integrando es una cantidad vectorial. Se presentan rasgos similares entre la ley de Biot-Savart del magnetismo y la ley de Coulomb de la electrosttica. Es decir, el elemento de corriente I ds produce un campo magntico, mientras que una carga puntual q produce un campo elctrico. Adems, la magnitud del campo magntico es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el elemento de la corriente, como lo hace el campo elctrico debido a una carga puntual. Sin embargo, las direcciones de los dos campos son muy diferentes. El campo elctrico debido a una carga puntual es radial. En el caso de una carga puntual positiva, E est dirigido desde la carga hacia el punto del campo. Por otro lado, el campo magntico debido a un elemento de corriente es perpendicular tanto al elemento de corriente como al vector. Por lo que, si el conductor se encuentra en el plano del papel, como en la (figura 1), dB est dirigido hacia afuera del papel en el punto P y hacia adentro del papel en el punto P.

Divergencia y rotacional de

a partir de la ley de Biot y Savart

La divergencia y rotacional de un campo magntico estacionario puede hallarse por simple aplicacin de tales operadores a la ley de Biot y Savart

Divergencia Aplicando el operador gradiente a la expresin tenemos:

Dado que la divergencia se aplica en un punto de evaluacin del campo independiente de la integracin de a en todo el volumen, el operador no afecta

. Aplicando la correspondiente identidad vectorial:

Dado que:

Tenemos:

Rotacional Aplicando el operador rotacional tenemos:

Al igual que ocurra en la divergencia, el operador no afecta a

ya que

sus coordenadas son las del dominio de integracin y no las del punto de evaluacin del rotacional. Aplicando la correspondiente identidad vectorial y

conociendo que

Realizando la integracin obtenemos finalmente:

Ntese que el resultado anterior slo es vlido para campos magnticos estacionarios. Si el campo magntico no fuese estacionario aparecera aparte el trmino debido a la corriente de desplazamiento. Ejemplo: Campo magntico de un conductor delgado rectilneo. Considrese un alambre conductor recto, muy delgado, que lleva una corriente I colocado a lo largo del eje x como en la figura 2. Se calcular el campo magntico en el punto P localizado a una distancia a del alambre. Solucin El elemento ds est a un a distancia r de P. La direccin del campo en P debida a este elemento es hacia afuera del papel, ya que ds X r est hacia afuera del papel. De hecho, todos los elementos dan una contribucin dirigida hacia afuera del papel en P.

Figura 2. Figura 2a. Un segmento de alambre recto lleva una corriente I. El campo magntico en P debido a cada elemento ds est dirigido hacia afuera del papel, y por lo tanto el campo total tambin est dirigido hacia afuera del papel. b).

Los ngulos lmite

1y

2 para esta geometra.

Por lo tanto, se tiene que determinar slo la magnitud del campo en P. Ahora, si se considera O como el origen y P situado sobre el eje y positivo, con k siendo el vector unitario dirigido hacia afuera del papel, se ve que

sustituyendo, dado que dB=kdB, con

Para integrar esta expresin, se deben relacionar de alguna manera las variables , x y r. Una forma de lograrlo es expresar x y r en trminos de .

De la geometra en la figura 5.4a y una simple diferenciacin, se obtiene la siguiente relacin:

Ya que tan

= -a/x del tringulo rectngulo de la figura 2a,

Por consiguiente, se ha logrado reducir la expresin a una que implica slo a la variable . Ahora se puede obtener el campo magntico total en el

punto P integrando sobre todos los elementos que subtienden ngulos comprendidos entre 1y 2 definidos como en la figura 2b. Esto da

Puede aplicarse este resultado para determinar el campo magntico de cualquier alambre recto si se conoce su geometra y tambin los ngulos 2. Considrese el caso especial de un alambre conductor delgado, infinitamente largo. En este caso, figura 2b, para 1=0y 2= que , como puede verse en la van desde 1y

segmentos

x = -

hasta x = +.. Como (cos

11 - cos

2) = (cos 0 - cos

) = 2, la

ecuacin se convierte en

LEY DE AMPRE En fsica del magnetismo, la ley de Ampre, modelada por Andr-Marie Ampre en 1826,1 relaciona un campo magntico esttico con la causa que la produce, es decir, una corriente elctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigi posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la fsica clsica.

Una corriente elctrica produce un campo magntico, siguiendo la Ley de Ampre.

Ley de Ampre original En su forma original, la Ley de Ampre relaciona el campo magntico con la corriente elctrica que lo genera. La Ley se puede escribir de dos maneras, la "forma integral" y la "forma diferencial ". Ambas formas son equivalentes, y se relacionan por el teorema de Stokes. Forma diferencial El rotacional del campo magntico puede calcularse igualmente a partir de la ley de Biot y Savart para una densidad de corriente de volumen. El resultado es la llamada Ley de Ampre (descubierta por Maxwell):

La ley de Ampre expresa que el campo magntico, a diferencia del electrosttico, s posee fuentes vectoriales. Por tanto, el campo magntico no deriva de un potencial escalar. El que las densidades de corriente sean las fuentes vectoriales del campo magntico, esto es, proporcionales a su rotacional, es coherente con la propiedad conocida de que las lneas de campo de corrientes que lo crean. rotan en torno a las

Demostracin Para demostrar esta ley partiendo de la ley de Biot y Savart se aplica que

Aplicando que

resultan dos expresiones integrales. La primera se anula demostrando que este campo es solenoidal (lo cual no es trivial). La segunda, tras aplicar las resulta ser igual a .

propiedades de

Lmites de validez A diferencia de la Ley de Gauss para el campo magntico, la ley de Ampre slo es vlida para corrientes estacionarias. Deber ser modificada cuando existan campos o corrientes variables en el tiempo.

Forma integral A partir de la forma diferencial de la Ley de Ampre puede obtenerse una expresin integral equivalente:

que, en palabras, expresa que la circulacin de

a lo largo de una curva al recorrer esta

cerrada arbitraria (interpretable como la rotacin neta de

curva) es proporcional a la intensidad de corriente que atraviesa una superficie S apoyada en la curva y orientada segn la regla de la mano derecha. La demostracin es inmediata sin ms que aplicar el teorema de Stokes.

En la expresin integral de la ley de Ampre la eleccin de S es arbitraria, con tal de que est apoyada en . Esto es una consecuencia de que la densidad de corriente estacionaria es un campo solenoidal.

Condicin de salto Si tenemos una interfaz entre dos regiones, y sobre esta interfaz circula una densidad de corriente superficial ecuacin , las componentes tangenciales del campo magntico pueden experimentar una discontinuidad dada por la

Para ver cmo la ley de Ampre conduce a esta condicin de salto consideremos tres situaciones progresivamente ms complejas 1. al hilo. 2. 3. Si tenemos un conjunto de hilos paralelos, el campo sigue Para una lmina de corriente superficial, el campo es tangencial a envolviendo los hilos, extendindose tangencialmente a ellos. la superficie, pero en diferentes sentidos a cada lado, por lo que hay una discontinuidad en la componente tangencial. Si tenemos un hilo de corriente, las lneas de campo giran en torno

Para dar un valor concreto a la ilustracin anterior, supongamos que la lmina se encuentra en x = 0, y la densidad de corriente va como La normal a esta superficie es Desarrollando el producto vectorial , con lo que la condicin de salto queda .

e igualando componente a componente esto es, la componente z, paralela a la corriente, es continua, mientras que la y (tangente a la superficie y normal a la corriente) presenta un salto.

Aplicaciones Aparte de su esencial importancia terica, la ley de Ampre es una poderosa herramienta para el clculo de campos magnticos en situaciones de alta simetra. As, permite hallar de forma sencilla

El campo magntico de un hilo infinito por el cual circula

una corriente I

El campo magntico de un cable cilndrico de radio a por el

cual circula una densidad de corriente J0

El campo magntico de un solenoide ideal de radio a, con

n espiras por unidad de longitud, por las que circula una corriente I

La ley de Ampre no siempre es til Aunque resulta tentador emplear la ley de Ampre para calcular cualquier campo magntico, en la mayora de los casos no es til como herramienta. Deben darse las condiciones necesarias. Para una espira circular, por ejemplo, no existe una curva , ni circular ni de otra forma que permita calcular el campo, ya que integral por ser . no puede sacarse de la

Para un segmento finito, la corriente I depende de la superficie S que se elija, ya que no es una corriente estacionaria. Ley de Ampre en medios materiales Ley de Ampre en medios materiales Si bien la ley de Ampre, tal como se enuncia ms arriba es vlida en todas las situaciones estacionarias, haya medios materiales presentes o no, en el caso de que s los haya suele escribirse de otra forma. En un medio material, las corrientes de desglosan en corrientes libres y corrientes de magnetizacin. Dado que el valor de estas ltimas es normalmente desconocido a priori, se introduce el campo magntico H

de manera que la ley de Ampre queda como y, en forma integral corriente libre. siendo e Il la densidad e intensidad de

La ley de Ampre-Maxwell Ley de Ampre-Maxwell

Como se ha indicado antes, la ley de Ampre, en la forma establecida en este artculo, slo es vlida en situaciones estacionarias. En el caso general de sistemas variables en el tiempo, la ley de Ampre debe ser generalizada adecuadamente. Esto se consigue introduciendo la llamada corriente de desplazamiento, de forma que la le de Ampre se transforma en la ley de Ampre-Maxwell.

LEY DE GAUSS En fsica y en anlisis matemtico, la ley de Gauss relaciona el flujo elctrico a travs de una superficie cerrada y la carga elctrica encerrada por esta superficie. De esta misma forma, tambin relaciona la divergencia del campo elctrico con la densidad de carga.

Forma diferencial Para calcular la divergencia del campo magntico, se parte de la ley de Biot y Savart para una distribucin de corriente de volumen

y, operando se llega a que puede escribirse como

de donde es inmediato que esto es, el campo magntico es un campo solenoidal: carece de fuentes escalares. Por analoga con el caso elctrico, denominamos a esta ecuacin Ley de Gauss para el campo magntico.

Fsicamente, por analoga con el campo elctrico, podemos decir que esta ley expresa que el campo magntico carece de fuentes escalares, esto es, que no existen las cargas magnticas (conocidas como monopolos). Realmente, la ecuacin slo la hemos demostrado para el campo creado por corrientes estacionarias. Sin embargo, la evidencia experimental muestra que es vlida siempre: para corrientes, para imanes, en situaciones estacionarias o dinmicas. Es la experiencia la que indica que no existen los monopolos.

Demostracin Para demostrar la ley de Gauss para el campo magntico partiendo de la ley de Biot y Savart, hacemos uso de la identidad

lo que nos permite escribir la ley de Biot y Savart como

y aplicando la identidad vectorial

podemos separar el campo en dos integrales

La segunda integral se anula porque

es funcin de

, no de . En la primera y

se puede invertir el orden de la integral y el rotacional por actuar una sobre el otro sobre , resultando finalmente

Forma integral La ley de Gauss para el campo magntico equivale a decir que el flujo del campo magntico a travs de cualquier superficie cerrada es nulo,

La demostracin es inmediata a partir de la forma diferencial, sin ms que aplicar el teorema de Gauss

Significado geomtrico El que el flujo se anule para cualquier superficie se puede interpretar como que en cada superficie cerrada entran tantas lneas de campo como entran. Ello prohbe que las lneas de campo sean abiertas (comiencen o acaben en puntos), ya que el flujo magntico alrededor de un extremo sera no nulo.

En trminos de imanes, quiere decir que no se pueden separar los Polos Norte de los Polos Sur.

Condicin de salto La ley de Gauss para el campo magntico lleva aparejada su correspondiente condicin de salto, para el caso de que tengamos una frontera (material o geomtrica) entre dos regiones. Esta condicin es

Esta condicin equivale a decir que la componente normal del campo magntico es continua en cualquier interfaz.

Son cerradas las lneas de campo magntico? El que las lneas de campo magntico no tengan extremos, esto es, que no puedan ser abiertas, parece indicar que deben ser cerradas. Sin embargo, no tiene por qu ser as. Lo que son es no abiertas. Existen tres posibilidades:

Que sean efectivamente cerradas, como las lneas del

campo de una espira circular o de un hilo infinito.

Que vayan del infinito al infinito. Por ejemplo, la lnea de

campo que va por el eje de una espira circular o de un solenoide.

Que se enrollen sobre s mismas sin llegarse a cerrar.

Supongamos la superposicin de dos sistemas simples, una espira circular y un hilo infinito.

En los dos primeros casos las lneas son cerradas. Sin embargo, en su superposicin, las lneas giran alrededor del hilo a la vez que lo hacen en torno a la espira, resultando lneas que dan vueltas por la superficie de toros, sin llegar a cerrarse nunca (en la figura se ve parte de una sola lnea de campo). Para sistemas un poco ms complejos, las lneas pueden ser incluso caticas, llenando toda una regin del espacio.

De hecho, dado que los sistemas reales no poseen la perfecta simetra de una circunferencia o de un hilo idealmente rectilneo, lo que ocurre en todos los casos prcticos es que las lneas no son cerradas, sino que forman madejas.

Referencia bibliografitas http://www.rena.edu.ve/cuartaEtapa/fisica/tema20c.html http://laplace.us.es/wiki/index.php/Ley_de_Gauss_para_el_campo_ magn%C3%A9tico Jackson, Juan David (1999). Electrodinmica clsica, 3ro ed., Nueva York: Wiley.