Ingenieur-ekrchiv 49 (1980) 255--260 Ingenieur- Archly

�9 by Springer-Verlag 1980

B e i t r a g z u r T h e o r i e d e s P u m p e n s *

A. Tondl, Prag

{3bersicht : Es werden Stabilitfit des Gleichgewichtszustandes und yon selbsterregten Schwingungen (Pmnpen) eines Systems untersueht, das ein vereinfachtes Modell einer Anlage mit Verdichter, Ventilator oder Kreisel- pumpe darstellt. Dieses Modell wird durch ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung beschrie- ben, wobei die nichtoszillierende station~tre L6sung durch singulS~re Punkte in der Phasenebene und die oszillie- renden L6sungen durch Grenzzyklen dargestellt sind. Es wird der Einflul3 desjenigen Parameters untersucht, der deln Verh~ltnis yon akustischer Nachgiebigkeit zu Masse proportional ist.

S u m m a r y : The stability of the equilibrium state and tile self-excited oscillation (surge) are analyzed of a system representing a simplified model of a system with compressor, blower or centrifugal pump. The model is governed by a system of two differential equations of the first order where the stationary non-oscillating solu- tions are represented in the phase plane by singular points and the oscillating solutions by limit cycles. The effect of a parameter proportional to the ratio of acoustic inductance to mass is analyzed.

1 Einleitung

Untersuchungen zur Stabilit/it der Gleichgewichtszust~inde und Entstehungsmaglichkeiten selbsterregter Schwingungen (Pumpen) eines vereinfachten Modells in einem System mit Ver- dichter, Ventilator oder Kreiselpumpe ftihren zur Analyse folgender Differentialgleichungen (siehe z. B. [1, 2, 31):

C d P e,t = (2 - - V-'(P) L dO - - ' dW = f ( O ) - - P ' (1)

wobei Q das DurchfluBvolumen, P die Druckdifferenz vor und hinter der Maschine, die Kon- stanten L, C die akustische Nachgiebigkeit und Masse, ~o(P) eine den Netzwiderstand charak- terisierende Funktion undf((2) die Masehineneharakteristik sind. Durch Einftihrung dimensions-

P Q und der Zeittransformation loser Gr6gen p = P00' q = Oo

dt = LQo & (2) eo

bekommt das System (t) naeh Umordnung die Form

ap _ A [q - ~ ( p ) ~ uq dt ' dt - v(q) - # , (3)

* Herrn Professor Dr. E. Mettler zum 70. Geburtstag gewidmet

256 Ingenieur-Archiv 49 (t980)

wobei 1 1 }

A = AC \Po] [0~ > 0 , ~O(p) = Qoo W(PoP) , F(q) = ~oof(Qoq

ist. Es wird vorausgesetzt, dab #(p), F(q) glatte, im ganzen Bereich yon p, q definierte Funk- tionen sind. Die station~tren nichtoszillierenden L6sungen des Systems (3) sind durch die Gleiehungen,

q = q) (p) , p = F ( q ) , (4)

d. h. durch die singul~tren Punkte (welter kurz S. P.) des Systems (3) in der Phasenebene p, q, welche die Schnit tpunkte der Maschinen- und Netzcharakteristik sind, bestimmt. Die Netz- charakteristik 1~I3t sich auch durch die Funktion p = 9(q), welche reziprok zur Funktion #(p) ist, ausdrticken. Allgemein wird eine quadratische Abh~tngigkeit vorausgesetzt ; die Funk- tion ~(q) kann in der Form

p -- q~(q) = K q ~ sgn q + d (S)

geschrieben werden, wobei die I~onstante K die Steilheit der Funktion und d den Verschub der Kurve gegentiber dem Koordinatenanfang darstellt. Die Konstante d ist positiv oder ne- gativ, je nach dem die Masehine gegen Uber- oder Unterdruck des Netzes pumpt (meistens ist d = 0 ; d > 0 z. 13. dann, wenn die Pumpe in einen 13eh~tlter mit erh6hter Spiegelfl~tche pumpt).

Es wird ftir den ruhigen und verl~tl31ichen Betrieb gefordert, dab der Gleichgewichtszustand nicht schwingt und durch einen auf dem rechten Teil der 5laschinencharakteristik liegenden Punkt , bei dem p und q groB sind, dargestellt ist; dieser Gleiehgewichtszustand sol1 stabiI und von Entstehung selbsterregter Oszillationen -- des Pumpens -- nicht bedroht sein. Aus der ganzen Problematik wird welter die Untersuchung des Einflusses des Parameters A vorgenom- men, und zwar sowohl beztiglich der Stabilit/it der Gleichgewichtszust~tnde, als auch mit Rack- sicht auf die M6glichkeit der Entstehung selbsterregter Oszillationen.

2 Stabilit{it der s ta t iongren n i ch tosz i l l i e renden L f s u n g e n - - d e r s ingu lSren Punkte

Die Stabilit~it der S. P. des Systems (3) ist durch die Wurzeln der Gleichung

bestimant, wobei

und q~, Ps die Koordinaten des S. P. sind. Die Stabilit~ttsbedingungen sind, dal3

~ > o , f12o

gilt. In Hinblick auf die Reziprozit~it der Funktionen o ( p ) und qo(q) gilt

dp J dq

Erw~igt man, dab A ~ 0 ist und bezeichnet man die Ableitungen nach q rnit Strich, so k6nnen die Stabilit~tsbedingungen in folgender Form geschrieben werden:

Bedingung I: F ' ~ A/qo' , (6)

Bedingung II : F ' , ( ~0' . (7)

Der Wert yon ~0' in einem beliebigen Punkt ist ~o' = 2K Iq] ~ 0. Bevor zur Analyse der Stabilitatsbedingungen herangetreten wird, ist es vorteilhaft, die S. P. nach der Koordinaten- gr6ge q zu ordnen und sie der Reihe nach mit k = 1, 2 .. . . , n zu bezeichnen (siehe Bild 1). Der Grenzfall des Doppelpunktes wird nicht in Betracht gezogen. Unter der Voraussetzung, dab

A. Tondl: Beitrag zur Theorie des Pumpens

P / ~ ~ 9 )

i~2 ~2" F(~

257

c~

Bi l a 1. Schni t tpunkte der Netz- (9(q)) und Maschinencharakteristik (F(q)), die in der Phasenebene

p, q Singularpunkte darstellen

alle S. P. im Intervall (ql, q',) liegen und dab sich

ergibt, dab fiir die ungeraden S. P,

und far die geraden S. P.

gilt.

9(r < F(q~)

~ ' > I;' (8)

9' < F' (9)

Fiir die geraden S. P. wird Bedingung II nie erfiillt, infolgedessen sind diese S. P. instabil. In [4] wurde bewiesen, dab es sich immer um Sattelpunkte handelt und dab diese die einzig m6glichen Sattelpunkte sind; d. h. es kann kein ungerader S. P. ein Sattelpunkt sein. Weiter wird daher die Aufmerksamkeit nur den ungeraden S. P. gewidmet.

Aus den S~abilit~itsbedingungen (6) und (7) folgt weiter:

a) Eine gentigende Bedingung fiir die Stabilit~tt ist eine negative (F' ~ 0) Richtungskon- stante der Tangente zur Maschinencharakteristik im S. P.

b) Sofern 9' <A/9', d. h. 9' <~/A-gilt, dann ist Bedingung II mal3gebend und die ungeraden S. P. sind stabil.

c) Wenn 9' ~ I/A-erfiillt ist, dann ist Bedingung I maBgebend und die Stabilitgt des S. P. wird durch die Gr613e des Parameters A beeinflugt. Falls wegen des kleinen Wertes von A Bedingung I nicht erftillt ist, stabilisiert sich der S. P, mit wachsendem Wert yon A im Fall, wenn die Ungleichung A/9' ~ F' bereits erfiillt ist, oder erst dann, wenn die Ungleichung

i -

t/A ~ 9' erfiillt wird.

Jetzt ist der Grenzwert yon A (bezeichnet als A*), bei dem beide Stabilit/itsbedingungen identisch sind, d. h. fiir

9' = 2K Iql = t/A *

zu bestimmen. Fiir K aus (5) erhalten wir ftir den Grenzwert A * die Gleichung

Z 1 / . 4 ~ - p - e ( to) 2 q

Gleichung (10) stellt in der Ebene p, q eine Oerade dar, die durch den Punkt p = d, q = 0 geht 1

und die Richtungskonstante '2, ~ / ~ hat (siehe ]3ild 2). Fiir die Stabilit~tt derjenigen Punkte der Maschinencharakteristik, die fiir einen gegebenen Wert von A unterhalb dieser Geraden liegen, ist Bedingung II maBgebend; fiir die oberhalb dieser Oeraden liegenden Punkte ist ]3edingung I maBgebend.

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__F(q3

~ / f ~ - - p - ~-VA ~ +d

Bedingung j]

Bi ld 2. Verteilung der Bereiche, fi~r welche Stabilit~itsbedingung I oder II maBgebend ist

Bemerkung: Ist die Maschinencharakteristik nicht durch eine glatte, eindeutige Kurve be- stimmt, sondern besteht sie aus zwei Zweigen (was vor allem bei Axialverdichtern vorkommt, siehe [4]), kann man die S. P. als ungerade betrachten, sofern die Netzcharakteristik jeden Zweig der Masehinencharakteristik nur in einem einzigen Punkt schneidet. In diesem Fall haben alle oben erw~ihnten Schltisse ihre Giiltigkeit.

3 Analyse der Phasentrajektorien

hn folgenden wird gezeigt, dab allein die Stabilit~tsuntersuchung der S. P. nicht ausreicht, sondern dab es n6tig ist, die Analyse der Trajektorien in der Phasenebene durchzuftihren. Es wurde eine ganze Reihe von Alternativen nicht nur mit verschiedenen Werten der Parameter K und A sondern auch ftir verschiedene Verl~iufe der Maschinencharakteristik untersucht. Im Rahmen dieser Arbeit k6nnen nur einige dieser L6sungen als illustrative/3eispiele gezeigt werden. Der EinfluB des Parameters A wird an einem Beispiel, in dem die Maschinencharak- teristik dureh die Funktion

F(q) = 0.8 arctg (100q -- 20) - / 1.8 -- q + 25q 2 -- 50q ~

und die Netzcharakterist ik

d. h. fiir

~v(q) = 40q 2 sgn q,

q)(p) = sgn p I/ /4o,

definiert ist, gezeigt.

Die Phasentrajektorien wurden mit Hilfe des Tischrechners Hewlet t -Packard und seines Koordinatenschreibers gel6st und gezeichnet. Die angewandte L/3sungsmethode ist in [5! be- schrieben. In den Bildern werden Iolgende Bezeichnungen benutzt : SP Sattelpunkt, Fs(Fx) stabiler (instabiler) Fokus, L s stabiler Grenzzyklus (voll und dick gezeichnet), L x instabiler Grenzzyklus (gestrichelt und dick gezeichnet).

Trajektorien, die in den Sattelpunkt einmtinden, werden durch str iehpunktierte Linien dargestellt und im Fall, wenn sie die Separatrix bilden (diese begrenzt das Gebiet der Anfangs- bedingungen -- das Einzugsgebiet --, die zu einem stabilen S. P. ftihren) mit s bezeichnet. Gestrichelt werden sie dann gezeichnet, wenn sie keine Separatrix darstellen. Die tibrigen Tra- jektorien sind schwach und voll gezeichnet.

t3emerkung: Die Trajektorien, die gestrichelt oder strichpunktiert gezeichnet sind, wur- den durch Zeitmnkehr gel6st.

Die Ergebnisse sind als eine Reihe von Phasenportdits zusammengefaBt und durch Abbil- dung der beiden Charakteristiken (Maschinen- und Netzcharakteristik) mit angedeuteten S. P. erg~inzt. Bei den ungeraden S. P. ist der Grenzwert A* in Klammern angegeben (siehe Bild 3). Man sieht, dab dieser, welcher dem auf dem rechten Teil der Verdichtercharakferistik" liegenden S. P. entsprichf, besonders hoch ist. Sofern A % A*, ist die Stabilitiit des S. P

A- To~d[: Deitrag zur Theorie des Pumpens 259

pS /K =,40

- 0A O 0,'1 0,2 0.3 0.4 0.5 0.6

A-50

I

75

100 / X / ',.

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( .~ //" ./

/

150 f

/ S /

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Bild 3. PhasenportrXts far verschiedene ~Verte des Parameters .-~

\ \ 200

I i

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! d

durch Bedingung I gegeben, d. 11. sie wird durch die Anderung yon A beeinflul3t. Bei den ein- zelnen Phasenportr~ts ist der Weft von A rechts oben angefiihrt.

Ffir kleinere Werte yon A (50, 75, 100) stellt der auf dem rechten Tell der Verdichter- charakteris t ik liegende S. P. einen stabilen Fokus dar, welcher von dem instabilen Grenzzyklus umgeben ist. Dieser bildet die Grenze des Gebietes der zu diesem S. P. ffihrenden Anfangs- bedingungen. Nit wachsendem Wert des Parameters A vergr6Bert sich die durch diesen in stabilen Grenzzyklus begrenzte Fl~tche. Der an dem linken Tell der Verdichtercharakterist ik liegende S. P. ist instabil. Alle drei S. P. sind vom stabilen Grenzzyklus L~ umgeben. Alle L6sungen, die aus den aul3erhalb des instabilen Grenzzyklus liegenden Punk t ea ausgehen, fiihren zu einem stabilen Grenzzyklus. Mit wachsendem A verkleinert sich die vom stabilen Grenzzyklus umgebene Fl~tche, die Form des Grenzzyklus/~ndert sich dabei und die Ex t r em- werte von q n~ihern sich eJnander, was jedoch nicht so genau ftir die Druckextremwerte yon p gilt. Bei einer ganzen Reihe yon Charakterist ikal ternativen wurde festgestellt, dab die Diffe- renz der Druckextremwerte yon/5 mit wachsendem A zuerst m/i0ig steigt, ein Maximum er- reicht und nachher sinkt.

Fiir die Werte von A = 150 und 200 sind beide ungeraden S. P. stabil; mit wachsendem A vergr6Bert sich das Einzugsgebiet (begrenzt durch die Separatrix s) des an dem rechten Tell der Verdiehtercharakterist ik liegenden S. P. Dies gilt jedoch nicht in allen F~tllen. Es wurden F~ille gefunden, in denen ein Optimalwert yon A existierte.

Eine ausfiihrlichere Analyse im Wertintervall t00 ~ A % 150 zeigte (siehe Bild 4), dab mit wachsendem A, beginnend mit A = t00, der instabile Grenzzyklus alle drei S. P. umgeben mad sieh dem stabilen Grenzzyklus nXhern wird, bis er, bei einem best immten Wert von A, mit ihm zu einem einzigen semistabilen Grenzzyklus zusammenflieBt. Mit wachsendem A konver- giert der stabile Grenzzyklus also nicht zu einem S. P., d. h. mit wachsendeln A verschwinden die selbsterregten Oszillationen pl6tzlich (die Amplitude konvergiert nieht zu Null). Dieses Ph/inomen wurde auch dann festgestellt, wenn ein einziger S. P. existierte, und zwar sowohl far einen am linken wie auch fiir einen am rechten Tell der Verdiehtercharakterist ik Iiegenden S. P. Eine wichtige Rolle spielt der Umstand, ob bier Stabilit~ttsbedingung I oder I I maBgebend ist. Da im vorwiegenden Tell der gel6sten Beispiele im weiten Bereich der A-Werte/3edingung I maggebend war, beeinfluBte dann eine )~nderung yon A die Stabilit~tt des S. P. I m Fall eines einzigen S. P., wenn dieser ffir kleine A Werte instabil war, war er dann vom stabilen Grenz-

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Bild 4. Phasenportrgts fihr verschiedene Werte des Parameters A

zyklus umgeben (er stellte also die einzige stabile L6sung dar). Mit wachsendem A kam es bei einem bestimmten Wert yon A zur Stabilisierung des S. P. und zur Entstehung eines instabilen, innerhalb des stabilen liegenden Grenzzyklus. Mit weiterem Anstieg von A n~therten sich beide Grenzzyklen einander, bis sic zu einem einzigen semistabilen Grenzzyklus zusammenflossen. Fiir alle noch gr6geren Werte yon A wurde dann der S. P. absolut stabil.

4 Schlu6folgerungen

McQueens Behauptung [21, dab je gr6ger der Wert des Parameters A ist, umso kleiner die Ge- fahr einer Ents tehung selbsterregter Oszillationen und auch deren Intensit~it ist, ist grunds~ttz- lich richtig. Eine griindlichere Analyse hat jedoch gezeigt, dab dies nicht so eindeutig in jeder Hinsicht gilt. Was die Stabilit~tt des S. P. anbetrifft , existiert fiir jeden S. P. ein bes t immter Grenzwert des Parameters A*; ftir A ~ A* wird die StabilitSt durch diesen Paramete r be- einflugt. Es wurde bewiesen, dab der Ort gleicher Grenzwerte in der p, q Ebene eine Gerade bilden. Die Stabilit~it des S. P. allein ist nicht die geniigende Bedingung daffir, dab selbst- erregte Oszillationen nicht auftreten. Die Anderung des Parameters A wirkt bei selbsterregten Oszillationen nicht in gleicher Weise auf die Differenz der Ext remwer te des relativen Durch- fluBvolumens q und auf den relativen Druck p. Mit waehsendem A sinkt die Differenzgr613e der Ext remwer te q monoton, die Differenz der Extremwerte p kann jedoch fiir einen best imm- ten A-Wert ein Maximum aufweisen. Die Analyse einer Reihe yon Alternativen hat gezeigt, dab die Amplitude (p und q) der selbsterregten Oszillationen mit wachsendem A nicht zu Null konvergiert, sondern dab nach IJberschreiten eines bes t immten Wertes yon A die selbsterreg- ten Oszillationen sprungweise verschwinden. Falls mehr als nur ein S. P. existieren und wenn zwei yon ihnen stabil sind, so w~ichst meistens mit steigendem A das Einzugsgebiet des am rechten Teil der Maschinencharakteristik liegenden S. P, Es kommt jedoch auf die Form der Maschinencharakteristik und des Netzparameters K an. Es wurden auch F~lle gefunden, in denen die oben erw~thnte Abh~ngigkeit nicht monoton war, sondern ein Optimalwert von A existierte.

Literatur

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Ehzgegange~z am 5. Dezember 1979

Dr.-Ing. habil. Aleg Tondl Staatliches Forschungsinstitut It~r Maschinenbau CS-25097 Yraha 9-I36chovice Tschechoslowakei