BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN NGỌC MỸ

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ PHỨC

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG HÌNH HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60 46 0113

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: TS.Cao Văn Nuôi.

Phản biện 2: PGS.TS.Huỳnh Thế Phùng.

Luận văn đã được bảo vệ tại hội đồng chấm luận văn tốt

nghiệp thạc sĩ khoa học, họp tại Đại Học Đà Nẵng vào ngày

14 tháng 06 năm 2014.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

• Trung tâm thông tin học liệu, Đại Học Đà Nẵng.

• Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn

mới mẻ, học sinh được tiếp cận với số phức trong chương

trình giải tích 12 với thời lượng không nhiều nên chỉ mới

biết được những kiến thức cơ bản của số phức. Đặc biệt, về

bất đẳng thức số phức thì SGK 12 chưa đề cập tới. Thưc

chất nó là phần quan trọng trong toán học và những kiến

thức đó cũng làm phong phú thêm phạm vi ứng dụng của

toán học. Nhằm giúp các em hoc sinh hiểu thêm về bất đẳng

thức số phức, nâng cao năng lực ứng dụng bất đẳng thức số

phức trong hình học và giúp các em có thêm phương tiện

để chứng minh, tính toán, tìm cực trị của các bài toán hình

học nên nên tôi chọn đề tài “Bất đẳng thức trong số phức

và một số ứng dụng trong hình học” làm luận văn .

2. Mục đích nghiên cứu

Đề tài “Bất đẳng thức trong số phức và một số ứng dụng

trong hình học”được nghiên cứu với mục đích trình bày đầy

đủ các kiến thức tổng quan , các kĩ thuật cơ bản về phương

pháp sử dụng số phức để tiếp cận các bài toán giải các bài

toán về bất đẳng thức và các dạng toán trong hình học.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

− Đối tượng nghiên cứu: các tài liệu về số phức, về bất đẳng

thức, một số ứng dụng trong hình học. .

− Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo

2

viên hướng dẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu

sưu tầm được, đồng thời sử dụng các trang wed như: dien-

dantoanhoc.net, math.vn,. . .

4. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp các tài liệu liên quan,

nắm cốt lõi nội dung kiến thức từ đó sắp xếp trình bày một

cách có hệ thống và khai thác các ứng dụng theo đề tài đã

chọn.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Làm rõ các

nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức trong

số phức và ứng dụng của nó trong hình học.

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy và bồi

dưỡng học sinh giỏi ở trường thpt.

6. Cấu trúc luận văn Mở đầu

Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị.

1.1. Số phức.

1.2. Các phép biến hình bảo giác sơ cấp.

1.3. Các bất đẳng thức cổ điển liên quan.

1.4. Biểu diễn dạng phức của một số yếu tố hình học.

1.5. Modun, argument và các hệ thức liên quan.

Chương 2. Một số dạng bất đẳng thức trong số phức và ứng

dụng trong hình học.

2.1. Mở rộng một số bất đẳng thức từ dạng thực sang dạng

phức.

2.2. Ứng dụng bất đẳng thức trong số phức để giải toán về

chứng minh.

2.3. Ứng dụng bất đẳng thức trong số phức để giải toán về

3

cực trị hình học.

Kết luận

4

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 SỐ PHỨC

1.1.1 Định nghĩa số phức.

Xét tập R2 = R.R = {(a, b)/a, b ∈ R}.Hai phần tử (a1, b1), (a2, b2) ∈ R2 được gọi là bằng nhau nếu và

chỉ nếu a1 = a2 và b1 = b2.

Xây dựng các phép toán trên R2 như sau

∀z1 = (a1, b1), z2 = (a2, b2) ∈ R2.

+ Phép cộng z1 + z2 = (a1 + a2, b1 + b2).

+ Phép nhân z1z2 = (a1a2 − b1b2, a1b2 + a2b1).

Định nghĩa 1.1. Tập R2 cùng với hai phép toán cộng và nhân

được định nghĩa như trên gọi là tập số phức C, phần tử (a, b) ∈ Clà một số phức.

Định lý 1.1. (C,+, .) là một trường (nghĩa là trên C với các phép

toán đã định nghĩa có các tính chất tương tự như trên R với các

phép toán cộng nhân thông thường).

1.1.2 Dạng đại số của số phức

Số phức liên hợp

Định nghĩa 1.2. Cho số phức z = a+ ib, số phức có dạng a− ibđược gọi là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z̄, nghĩa là

z = a+ ib và z̄ = a+ ib = a− ib.

Mệnh đề 1.1. Ta có

1. z = z̄ ⇔ z ∈ R

5

2. z =¯̄z

3. z.z̄ là số thực không âm.

4. z1 + z2 = z1 + z2.

5. z1.z2 = z1.z2

6. z−1 = (z)−1, z ∈ C∗

7.z1z2

=z1z2, z2 ∈ C∗

1.1.3 Dạng lượng giác của số phức.

Tọa độ cực của số phức

Trong mặt phẳng Oxy cho (a, b) khác gốc tọa độ. Số thực r =√a2 + b2 gọi là bán kính cực của điểm M , số đo α ∈ [0, 2π] của

góc lượng giác

(Ox̃,−−→OM)

gọi là argument của M , cặp có thứ tự (r, α) gọi là tọa độ cực của

điểm M , viết M(r, α).

Biểu diễn lượng giác của số phức

Cho số phức z = a+ ib. Ta có thể viết z dưới dạng cực

z = r(cosα+ i sinα).

Trong đó

r =√a2 + b2, a = r cosα, b = r sinα

Phép toán trong dạng lượng giác của số phức

• Phép nhân hai số phức

Cho hai số phức

z1 = r1(cosα1 + i sinα1)

z2 = r2(cosα2 + i sinα2)

.

6

• Công thức de Moivre

Cho z = r(cosα+ i sinα) và n ∈ RTa có zn = rn(cosnα+ i sinnα)

• Phép chia hai số phức

Giả sử z1 = r1(cosα1 + i sinα1); z2 = r2(cosα2 + i sinα2), z2 6= 0

• Công thức euler

eiα = cosα+ i sinα; e−iα = cosα+ i sinα,∀α ∈ R.

Căn bâc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức

Căn bậc n của số phức

Căn bậc n của đơn vị

Định nghĩa 1.3. Cho số phức ω 6= 0 và số nguyên n ≥ 2 khi đó

nghiệm z của pt zn − ω = 0 là căn bậc n của số phức z.

1.2 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH BẢO

GIÁC SƠ CẤP

1.2.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác

Định nghĩa 1.4. Phép biến hình ω = f(z) được gọi là bảo giác

tại z nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

i. Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kì qua điểm z (kể cả độ

lớn và hướng)

ii. Có hệ số co dãn không đổi tại z, nghĩa là mọi đường cong đi

qua điểm này đều có hệ số co dãn như nhau qua phép biến hình

7

Phép biến hình ω = f(z) được gọi là bảo giác trong miền D nếu

nó bảo giác tại mọi điểm của miền này.

1.2.2 Phép biến hình tuyến tính ω = az + b

Phép biến hình này bảo giác trong toàn miền C vì

ω′(z) = a 6= 0,∀z.

Nếu a = |a| eiϕthì ω = |a| eiϕz + b.Điều này chứng tỏ phép biến

hình tuyến tính là hợp của ba phép biến hình sau

. Phép vị tự tâm O tỉ số k = |a|

. Phép quay tâm O, góc quay ϕ

. Phép tịnh tiến theo vecto b

Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép biến hình đồng dạng

(hợp của phép vị tự, phép quay, phép tịnh tiến). Nó biến một

hình bất kì thành một hình đồng dạng với nó. dặc biệt, biến một

đường tròn thành một đường tròn, biến một đường thẳng thành

một đường thẳng, một đa giác thành một đa giác đồng dạng.

1.2.3 Phép nghịch đảo

Phép biến hình nghịch đảo ω =1

zlà hợp của phép đối xứng qua

đường tròn đơn vị và phép đối xứng qua trục thực. Phép biến hình

này biến:

. Một đường tròn đi qua O thành một đường thẳng

. Một đường tròn không đi qua O thành một đường tròn

. Một đường thẳng đi qua O thành một đường thẳng qua Oxy

. Một đường thẳng không đi qua O thành một đường tròn đi qua

O

1.2.4 Phép biến hình phân tuyến tính

Phép biến hình phân tuyến tính là hợp của ba phép biến hình

. Phép biến hình tuyến tính z → cz + d

8

. Phép nghịch đảo cz + d→ 1

cz + d

. Phép biến hình tuyến tính1

cz + d→ bc− ad

c.

1

cz + d+a

c

1.3 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỐ

ĐIỂN LIÊN QUAN

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy

Với mọi bộ số (xi) ; (yi), ta luôn có bất đẳng thức sau

(n∑i=1

xiyi

)2

≤

(n∑i=1

xi2

)(n∑i=1

yi2

)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (xi); (yi) tỷ lệ với

nhau, tức tồn tại cặp số thực α;β không đồng thời bằng 0, sao

cho

αxi + βyi = 0,∀i = 1, 2, ..., n

1.3.2 Bất đẳng thức dạng nội suy

Với mọi cặp dãy số thực a = (a1, a2, ..., an); b = (b1, b2, ..., bn);

0 ≤ x ≤ 1, ta đều có n∑k=1

akbk + x∑i 6=j

aibj

2

≤

n∑k=1

ak2 + 2x

∑i<j

aiaj

n∑k=1

bk2 + 2x

∑i<j

bibj

Rõ ràng, với x = 0, ta thu được bất đẳng thức cauchy.

Định lý 1.2 (H.W.Mclaughlin). Với mọi bộ số thực a = (a1, a2, ..., an); b =

(b1, b2, ..., bn), ta đều có:

9

(2n∑i=1

ai2

)(2n∑i=1

bi2

)≥

(2n∑i=1

aibi

)2

+

(n∑i=1

(aibn+i − an+ibi)

)2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

aibj − ajbi − an+ibn+j + an+jbn+i = 0

và

aibn+j − ajbn+i + an+ibj − an+jbi = 0

ứng với mọi i, j = 1, 2, ..., n

1.3.3 Bất đẳng thức Ostrowski

Cho hai dãy không tỷ lệ a = (a1, a2, ..., an); b = (b1, b2, ..., bn)

và dãy số thực x = (x1, x2, ..., xn) thỏa mãn điều kiệnn∑i=1

aixi =

0,n∑i=1

bixi = 1

Khi đó

n∑i=1

x2i ≥

n∑i=1

a2i

(n∑i=1

a2i)(n∑i=1

b2i)− (n∑i=1

aibi)2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

xk =

bkn∑i=1

a2i − akn∑i=1

b2i

(n∑i=1

a2i)(n∑i=1

b2i)− (n∑i=1

aibi)2, k = 1, 2, ..., n

1.3.4 Bất đẳng thức K.Fan and J.Todd

Với mọi dãy số thực a = a1, a2, ..., an; b = b1, b2, ..., bn thỏa mãn

10

điều kiện aibj 6= ajbi; ∀i 6= j, ta đều có

n∑i=1

ai2

(n∑i=1

ai2)(n∑i=1

bi2)− (

n∑i=1

aibi)2≤ (n2)

−2n∑i=1

(∑i 6=j

ajajbi − aibj

)2

1.3.5 Tích trong

Tích vô hướng có các tính chất sau đây

(i) (a, a) ≥ 0,∀a ∈ Rn

(ii) (a, a) = 0⇔ a = (0, 0, ..., 0)

(iii) (αa, b) = α(a, b), ∀α ∈ R,∀a, b ∈ Rn

(iv) (a, b+ c) = (a, b) + (a, c),∀a, b, c ∈ Rn

(v) (a, b) = (b, a), ∀a, b ∈ Rn

Định nghĩa 1.5. Không gian vecto với tích (a, b) có các tính chất

(i)-(v) được gọi là không gian với tích trong.

1.4 BIỂU DIỄN DẠNG PHỨC CỦAMỘT

SỐ YẾU TỐ HÌNH HỌC

1.4.1 Tích vô hướng, tích lệch, tỉ số đơn, tỉ số kép

Tích vô hướng

Định nghĩa 1.6. Cho −→a = (x1, y1),−→b = (x2, y2) tương ứng với

hai số phức

z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2.

Theo công thức tích vô hướng của hai vecto, ta có

−→a .−→b = x1x2 + y1y2 =

1

2(z1.z2 + z1.z2), (1.1)

textbf Tích lệch

11

Định nghĩa 1.7. Trên mặt phẳng phức Oxy cho−−→OM,

−−→OP lần

lượt có tọa vị z,w . Khi đó tích lệch của hai vecto đó là một số

thực.

Tỉ số đơn

Tỉ số kép

1.4.2 Phương trình đường thẳng

Phương trình chính tắc của đường thẳng

Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng d đi qua điểm M0 có tọa

vị z0 và có vecto chỉ phương−→u có tọa vị u.

Khi đó pt chính tắc của d là z = λs+ σ với

λ =u

u, σ = z0 −

u

u.z0, (1.2)

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Trong mặt phẳng phức cho đường thẳng d qua điểm M1,M2lần

lượt có tọa vị z1, z2 .

Khi đó dcó pt là

(z2 − z1).z − (z2 − z1).z + (z2z1 − z2z1) = 0, (1.3)

Góc giữa hai đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

1.5 MODUN, ARGUMENTVÀ CÁC

HỆ THỨC LIÊN QUAN

1.5.1 Modun của số phức

Định nghĩa 1.8. Độ dài của bán kính- vecto của điểm biểu diễn

số phức z được gọi là modun của số phức và ký hiệu là |z|.

12

Rõ ràng, nếu

z = a+ ib

thì

z =√z.z =

(a2 + b2

)1

2 .

Đối với số phức z ∈ C bất kỳ modun của nó xác định một cách

đơn trị. Trong trường hợp khi zlà số thực thì modun của ztrùng

với trị tuyệt đối của nó.

Định lý 1.3. Mondun của số phức zcó các tính chất sau đây

1. |z| ≥ 0, |z| = 0⇔ z = 0

2. |z1z2| = |z1| |z2|3. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| (bất đẳng thức tam giác)

Chứng minh.

1. Được suy ra trực tiếp từ đn

2. Ta có

|z1z2|2 = z1z2z1z2 = z1z1z2z2 = |z1|2|z2|2

Do đó

|z1z2| = |z1| |z2|

3. Ta có

|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = |z1|2 + |z2|2 + 2 Re(z1z2)

Do đó, để ý đến bất đẳng thức

− |z1z2| ≤ Re(z1z2) ≤ |z1z2|

Ta suy ra

|z1 + z2|2 ≤ |z1|2 + |z2|2 + 2 |z1z2| = (|z1|2 + |z2|2)2

13

Thành thử

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|

hq Ta có

a. |z1 − z2| ≤ |z1|+ |z2|b. |z1 + z2| ≥ |z1| − |z2|c. |z1 − z2| ≥ |z1| − |z2|d. |z1 + z2| ≥ ||z1| − |z2||e. |z1 − z2| ≥ ||z1| − |z2||

1.5.2 Argument của số phức

Từ định nghĩa giá trị chính của arg ument ta có hệ thức

argz =

arctanb

a, a > 0

arctanb

a+ π, a < 0, b ≥ 0

arctanb

a− π, a < 0, b < 0

Chứng minh.

Thật vậy, vì giá trị chính của arg tanb

athuộc khoảng

(−π

2,π

2

)nên ta có

a. Nếu điểm z thuộc góc phần tư thứ I và IV (a > 0) thì

arg z = arctanb

a

b. Nếu điểm z thuộc góc phần tư thứ II(a < 0, b ≥ 0) thì

−π2< arg tan

b

a≤ 0

và

argz = arctanb

a+ π

14

c. Cuối cùng nếu z thuộc góc phần thư thứ III thì

0 < arg tanb

a<π

2

và

arg z = arctanb

a− π

15

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC

TRONG SỐ PHỨCVÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC

2.1 MỞRỘNGMỘT SỐ BẤT ĐẲNG

THỨC TỪDẠNG THỰC SANG

DẠNG PHỨC

Ví dụ 2.1. Với mọi bộ số (aj , bj , uj , vj) ta luôn có đẳng thức sau

n∑j=1

ajuj

n∑j=1

bjvj−n∑j=1

ajbj

n∑j=1

ujvj =∑

1≤j<k≤n(ajbk−bjak)(ujvk−ukvj),

(2.4)

Nhận xét rằng từ đông nhất thức này ta thu dược đồng nhát thức

Lagrange sau đây đối với bộ số phức.

Ví dụ 2.2. Với mọi bộ số phức (aj , bj) ta luôn có đẳng thức sau

n∑j=1

|aj |2n∑j=1

|bj |2 −

∣∣∣∣∣∣n∑j=1

ajbj

∣∣∣∣∣∣ =∑

1≤j<k≤n

∣∣ajbk − akbj∣∣. (2.5)

2.1.1. Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy

Với mọi bộ số phức aj , bj , ta luôn có bất đẳng thức sau

n∑j=1

|aj |2n∑j=1

|bj |2 ≥

∣∣∣∣∣∣n∑j=1

ajbj

∣∣∣∣∣∣ , (2.6)

16

2.1.2 Mở rộng khác(dạng phức) của bất đẳng thức

Cauchy

Định lý 2.1 (rmĐịnh lý N.G.de Bruijn). Với bộ số thực a1, a2, ..., an

và bộ số phức (hoặc thực) z1, z2, ..., zn, ta đều có∣∣∣∣∣n∑k=1

akzk

∣∣∣∣∣2

≤ 1

2

(n∑k=1

|zk|2 +

∣∣∣∣∣n∑k=1

zk2

∣∣∣∣∣)(

n∑k=1

ak2

)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

ak = Re (λzk) (k = 1, 2, ..., n)

trong đó λ là số phức vàn∑k=1

λ2zk2 là số thực không âm.

2.2 ỨNGDỤNG SỐ PHỨCVÀ BẤT

ĐẲNG THỨC SỐ PHỨC VÀO

CHỨNG MINH HÌNH HỌC

Bài 2.1. Cho G là trọng tâm của tam giác ABC và một điểm M

bất kỳ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

MA2 +MB2 +MC2 ≥ GA2 +GB2 +GC2.

Từ đó xác định vị trí điểm Msao cho

MA2 +MB2 +MC2

đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải.

Ta chứng minh

MA2 +MB2 +MC2 = 3MG2 +GA2 +GB2 +GC2.

17

Xét mặt phẳng phức với gốc O ≡ G . Gọi a, b, c,m lần lượt là tọa

vị của các điểm A,B,C,M .

Khi đó

MA2 = |a−m|2 = (a−m)(a−m) = aa+mm− am− am

Tương tự ta có

MB2 = |b−m|2 = (b−m)(b−m) = bb+mm− bm− bm

MC2 = |c−m|2 = (c−m)(c−m) = cc+mm− cm− cm

Với chú ý

a+ b+ c = a+ b+ c = 0

Ta có

MA2+MB2+MC2 = 3mm+aa+bb+cc = 3MG2+GA2+GB2+GC2

Suy ra

MA2 +MB2 +MC2 ≥ GA2 +GB2 +GC2

Vậy

min(MA2 +MB2 +MC2) = GA2 +GB2 +GC2

khi và chỉ khi m = 0 hay M ≡ G

Bài 2.2. Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ trong mặt

phẳng. CMR a.MA.MB + b.MC.MA + c.MA.MB ≥ abc với

a = BC, b = AC, c = AB

18

Bài 2.3. Cho tam giác ABCcó trọng tâm G. Gọi M là một điểm

bất kỳ trong mặt phẳng. CMR

a.MA3 + b.MB3 + c.MC3 ≥ 3abc.MG

với

a = BC, b = AC, c = AB

Bài 2.4. Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ trong mặt

phẳng.CMR

a.MA2 + b.MB2 + c.MC2 ≥ abc

với

a = BC, b = AC, c = AB

Bài 2.5. Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ trong mặt

phẳng.CMR

MA4 +MB4 +MC4 ≥ a2b2c2

a2 + b2 + c2

với

a = BC, b = AC, c = AB.

Bài 2.6. (bất đẳng thức Ptolemy) Cho tứ giác ABCD.CMR ta

luôn có

AB.CD +AD.BC ≥ AC.BD.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A,B,C,D theo thứ tự là

đỉnh của một tứ giác lồi nội tiếp một đường tròn.

19

Bài 2.7. Cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ trong mặt

phẳng.CMR

MB.MC

AB.AC+MC.MA

BC.BA+MA.MB

CA.CB≥ 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 2.8. Lấy các cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC làm đáy,

dựng ra ngoài các tam giác đều với tâm tương ứng A0, B0, C0.

Chứng minh rằng A0, B0, C0 là đỉnh của một tam giác đều.

Giải 1.

Giả sử tam giác ABC định hướng dương. Gọi x là tọa vị của điểm

X nào đó trong mặt phẳng. Ta có

a+ c1ω + bω2 = 0; b+ a1ω + cω2 = 0; c+ b1ω + aω2 = 0.

DoA0, B0, C0 theo thứ tự là trọng tâm các tam giácBCA1, CAB1, ABC1

nên

3a0 = b+ c+ a1; 3b0 = a+ c+ b1; 3c0 = b+ a+ c1.

Từ đó

3(c0 + a0ω + b0ω2) = b+ a+ c1 + ω(b+ c+ a1) + ω2(a+ c+ b1)

= (b+ a1ω + cω2) + (c+ b1ω + aω2)ω + (a+ c1ω + bω2) = 0.

Suy ra điều phải chứng minh.

Giải 2.

Giả sử tam giác ABC định hướng dương. Gọi x là tọa vị của điểm

X nào đó trong mặt phẳng. Ta có

c = ei.2π

3 (b− a0) + a0, a = ei.2π

3 (c− b0) + b0, b = ei.2π

3 (a− c0) + c0

20

Suy ra

b = ei.2π

3 (ei.2π

3 (c− b0) + b0 − c0) + c0

= ei.2π

3 (ei.2π

3 (b− a0) + a0 − b0) + ei.2π

3 (b0 − c0) + c0

= b− a0 + ei.2π

3 (a0 − b0) + ei.2π

3 (b0 − c0) + c0

Từ đó

b = ei.2π

3 (ei.2π

3 (c− b0) + b0 − c0) + c0

= ei.4π

3 (ei.2π

3 (b− a0) + a0 − b0) + ei.2π

3 (b0 − c0) + c0

= b− a0 + ei.2π

3 (a0 − b0) + ei.2π

3 (b0 − c0) + c0

c0 − a0 = e−i.π

3 (b0 − a0)

Từ đó c0 − a0 = e−i.π

3 (b0 − a0) điều đó có nghĩa là tam giác

A0, B0, C0 đều.

2.3 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀ

BẤTĐẲNG THỨC TRONG SỐ

PHỨC VÀO CỰC TRỊ HÌNH

HỌC

Bài 2.9. Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác, các

đường thẳng AM,BM,CM lần lượt cắt các cạnh BC,CA,AB

tại A1, B1, C1. Xác định vị trí của điểm M sao cho

21

a.TổngAM

A1M+BM

B1M+CM

C1Mđạt giá trị nhỏ nhất.

b.TíchAM

A1M.BM

B1M.CM

C1Mđạt giá trị nhỏ nhất.

Giải.

Xét mặt phẳng phức với gốc tọa độO trùngM . Giả sửA,B,C,A1, B1, C1

lần lượt có tọa vị a, b, c, a1, b1, c1 .

Giả sửBA1

A1C= λ1,

CB1

B1A= λ2,

AC1

CB1

= λ3

Theo công thức về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

ta có

a1 =b+ λ1c

1 + λ1; b1 =

a+ λ2c

1 + λ2; c1 =

a+ λ3c

1 + λ3

Với

λ1 > 0;λ2 > 0;λ3 > 0, λ1λ2λ3 = 1

a. Theo mệnh đề , ta có

m =b+ λ1c+ λ1λ2a

1 + λ1 + λ1λ2= 0

suy ra

b+ λ1c = −λ1λ2a

Ta có

AM

A1M=

AM

MA1

=−aa1

=−a

b+ λ1c

1 + λ1

= (1 + λ1)λ3

Tương tự

BM

B1M=

BM

MB1

= (1 + λ2)λ1;CM

C1M=

CM

MC1

= (1 + λ3)λ2

22

Suy ra

AM

A1M+BM

B1M+CM

C1M= λ1 + λ2 + λ3 + λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1

Do

λ1 > 0, λ2 > 0, λ3 > 0

Theo bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta

có

λ1 + λ2 + λ3 + λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1 ≥ 6 6

√λ31λ

32λ

33 = 6

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi λ1 = λ2 = λ3 = 1 ⇔ A1, B1, C1

là trung điểm các cạnh BC,CA,AB ⇔M là trọng tâm tam giác

ABC .

Vậy

min(AM

A1M+BM

B1M+CM

C1M) = 6

khi M là trọng tâm tam giác ABC.

b. Tương tự

AM

A1M.BM

B1M.CM

C1M= (1+λ1)(1+λ2)(1+λ3)λ1λ2λ3 = (1+λ1)(1+λ2)(1+λ3)

Mà

1 + λ1 ≥ 2√λ1 > 0, 1 + λ2 ≥ 2

√λ2 > 0, 1 + λ3 ≥ 2

√λ3 > 0

Suy raAM

A1M.BM

B1M.CM

C1M≥ 8√λ1λ2λ3 = 8

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M là trọng tâm tam giác

ABC

Vậy

min(AM

A1M.BM

B1M.CM

C1M) = 8

khi M là trọng tâm tam giác ABC.

23

Bài 2.10. Cho tam giác A1A2A3 có diện tích S không đổi, điểm

M ở trong tam giác , các đường thẳng A1M,A2M,A3M lần lượt

cắt các cạnh A2A3, A1A3, A1A2tại các điểm B1, B2, B3. Xác định

hình dạng của tam giác A1A2A3 để diện tích tam giác B1B2B3

đạt giá trị lớn nhất.

Bài 2.11. Cho hai điểm A(0, 1), B(0,−1) và đường thẳng d có

phương trình tham sốx = t

y = 2t+ 1

, t ∈ R

Tìm M ∈ d sao cho

a. (MA+MB) nhỏ nhất.

b. (MA+MB) lớn nhất.

Bài 2.12. . Cho hình vuông ABCD. Phép quay tâm hình vuông

một góc ϕ biến nó thành hình vuông A1B1C1D1. Xác định ϕ để

diện tích phần chung của hai hình vuông ABCD và A1B1C1D1

nhỏ nhất.

24

KẾT LUẬNLuận văn Bất đẳng thức số phức và một số ứng dụng trong

hình học đã đề cập đến các vấn đề chính sau đây:

+ Trình bày những kiến thức cơ bản của số phức.

+ Đã tổng quát những kiến thức về bất đẳng thức trong số phức

như: bất đẳng thức Cauchy và một số bất đẳng thức mở rộng vào

các bài toán sơ cấp chứng minh, cực trị hình học.

+ Đã trình bày, vận dụng số phức và bất đẳng thức số phức để

giải các bái toán sơ cấp về chứng minh, cực trị hình học.

Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn chỉ mới dừng

lại ở mức tìm hiểu và giới thiệu một số ứng dụng của bất đẳng

thức số phức trong các bài toán sơ cấp. Trong quá trình thực hiện

luận văn chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong nhận

được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn bè.