BANCO OPTICO : LENTES

I. OBJETIVOS

I.1 Calcular distancias focales de tres lentes convergentes y una

divergente.

I.2 Calcular la distancia focal de un sistema de dos lentes una

convergente con una divergente.

II. FUNDAMENTO TEÓRICO

Partiendo de la fórmula general para la refracción en una superficie

esferica [ 2 ] :

n’ n n – n’-- + --- = --------S’ S r

Donde : n y n’ son los índices de refracción del medio incidente y transmisor S’

y S las distancias imagen interfase y objeto interfase, y r el radio de

curvatura (la demostración de (1.1) se halla en el informe anterior).

En particular para una lente que es un instrumento óptico que encierra

un material limitado por dos superficies, al aplicar (1.1) dos veces

según la figura 1 producto de la doble refracción.

N’ n n – n’ n n n’ – n--- + --- = -------- (i) --- + --- = ---------- (i i) S’1 S1 r1 S’2 S2 r2

FIGURA 1

1

En este caso S’ es la distancia objeto para en (ii), siempre y cuando el

grosor d de la lente sea despreciable en comparación de todo Si.

Entonces S’r ≈ - S2 y sumando i y (ii) y relacionando se obtiene.

1 1 n’ 1 1--- + ---- = ( ---- - 1)( ---- - ---- ) (1.2)

S’ S n r1 r2

Ecuación que relaciona las distancias imagen lente y objeto lente con

una constante a la derecha de (1.2) . esta es definida como :

n’ 1 1 = ( ---- - 1)( ---- - ---- ) (1.3) [ 5 ]

n r1 r2

el mismo se denomina poder óptico y sus unidades están en

dioptrías (m-1) , además el foco del sistema viene dado por :

1

f = -1= ----------------------m’ 1 1

( ---- - 1)( ---- - ---- ) (1.4) n r1 r2

y esta última es considerada como: “Ecuación del fabricante de lentes”

Entonces de (1.4) y (1.2) se obtiene:

1 1 1 ---- + --- = --- (1.5)

S’ S f

En la figura 1: la relación entre tamaño de la imagen y tamaño del

objeto M t. Se puede obtener a partir de la semejanza de triángulos .

En las Δ ABO, Δ A’B’O

en donde :

Y Y y’ y’

2

---- = --- = - ---- = - ----S p S’ q

De donde M t = y’ / y es :

q M t = - ---- (1.6)

p

ahora veamos el caso de un sistema de 2 lentes como en la figura 2.2

FIGURA 2

Según esto las ecuaciones para este caso son:

1 1 1 1 1 1 --- + --- = --- (iii) --- + -- = --- (iv) p1 q 1 f1 p2 q2 f2

Según la conversión de signos que tomaremos en adelante, cuando un

objetivo es virtual como para la lente L2, p toma signo negativo de lo cual

q1 = - p2 + d, entonces sumando (ii y IV) reordenando:

1 1 1 1 p2 +q1

--- + --- = --- + --- - ---------- (v) p1 q2 f1 f2 p2 q1

Cuando la separación entre las lentes es pequeña en comparación con

las otras distancias medibles (d → 0) entonces – p2 = q1 y en (v)

1 1 1 1 --- + --- = --- + --- (1.7) [ 1 ] P1 q2 f1 f2

3

Todas las fórmulas que se han hallado son aplicables tanto a lentes

convergentes como a divergentes si se toma la convención de signos

siguiente:

1. La distancia lente objeto (p) será positiva si el objeto es real y

negativa si es virtual.

2. La distancia imagen lente (q) será positiva si se encuentra en el lado

opuesto al objeto real, si la imagen es virtual, es decir formada por

intercepción de las prolongaciones de los rayos (q < 0)

3. La distancia focal (f) será positiva para toda lente convergente y

negativa para toda lente divergente (convención según la Guía de

Laboratorio.)

III. EQUIPO EXPERIMENTAL

III.1 Un banco óptico provisto de :

- tres lentes convergentes de distintos valores de f.

- un lente convergente

- una pantalla

III.2 Tres velas cortas (objetos)

III.3 Una regla milimetrada

IV. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

IV.1 Determinación de la distancia focal de una lente convergente

IV.1.1 De las tres lentes convergente L1, L2 y L3 se toma L1 y se toma

las distancias p y q para la imagen de una vela de 3 formas.

a. Se puso la vela al lado izquierdo del carril del banco óptico, la

lente 1 justo en medio del carril y se ajustó la posición de la

pantalla (Método 1)

b. Ahora se cambió tanto la posición de la pantalla como la de la

vela (Método 2)

4

c. Por último se dejó fijo la posición de la vela y la pantalla y se

varió la posición de la lente L1 hasta encontrar dos puntos en

donde la imagen de la pantalla sea nítida. (Método 3)

IV.1.2 Lo mismo se hizo con L2 y L3. y se anotó los valores de p y q.

IV.2 Determinación de la distancia focal de una lente divergente.

IV.2.1 Se repitió el método 1 para L1 según la figura.

Vela lente pantalla Fig. 3

C P

IV.2.2 Luego se introdujo la lente divergente L entre C y P y se

ajustó la posición de la pantalla hasta un punto Q donde la

imagen sea nítida

Vela lente pantalla Fig. 4

imagen →

C D P Q

IV.2.3 Aquí se cumple 1 1 1-- = - --- + ---f DP DQ

con lo cual se determina el foco de L - .

IV.2.4 Luego se pegaron las lentes L1, y L- y se midieron p y q para comprobar (1.7)

IV.2.5 Se repitieron los pasos de 4.2.1 a 4.2.3 para L2 y L3.

5

V. DATOS EXPERIMENTALES

5.1 Parte 1 Determinación de las distancias focales en una lente convergente

Tabla 1. distancias focales nominales de las lentes usadas

Lente (Li) f (cm)

L1 5

L2 10

L3 20

Ahora veremos los datos obtenidos en la ejecución de cada uno de los

métodos mencionados anteriormente.

5.1.1 Método 1. Cuando “q“ varía

Tabla 2. distancias objeto – lente “p” y objeto - imagen para cada lente

Lente (Li)p (cm)± 0.05

q (cm)± 0.05

L1 20.00 6.50

L2 40.00 13.50

L3 59.50 30.5

5.1.2 Método 2. Cuando “p” y “q” varían

Tabla 3. Distancias “p” y “q” cara cada lente. Método 2

Lente (Li)p (cm)± 0.05

q (cm)± 0.05

L1 10.00 9.00

L2 20,50 18.50

L3 41.00 39.00

6

5.1.3 Método 3. Cuando se busca que q = p y p=q

Tabla 4. Distancias “p” y “q” `por el método de los puntos conjugados

Lente (Li)p (cm)± 0.05

q (cm)± 0.05

L1

5.00 35.00

34.00 6.00

L2

11.00 59.00

57.50 12.50

L3

28.00 72.00

71.50 28.50

5.2 Parte 2. Determinación de la distancia focal de una lente divergente

5.2.1 Para calcular el foco de la lente divergente solo se necesitan los datos de las distancias Dp = p’ y D q = q’

Tabla 5. Distancias p’ = DP y DQ = q’

Lente (Li)*p’ (cm)± 0.01

q’ (cm)± 0.01

L1 - 3.0 4.0

L2 - 2.5 4.5

L3 - 4.0 5.0

(* ) Las distancias p’,. q’ se obtienen de la hoja de datos de laboratorio, en la última página, a esto también se debe el error de ± 0.01

(**) Cada prueba se realizó con dada una de las 3 lentes convergentes disponibles.

7

Distancia focal nominal de la lente divergenteF = - 10 cm.

5.2.2 Determinación del foco equivalente para un sistema de lentes

(convergente y divergente)

Tabla 6. Datos para hallar el foco de un sistema de lentes

P 20.00 ± 0.05

Q 12.5 ± 0.05

f(lente biconvexa) 5 cm.

f(lente bicóncava) - 10 cm.

VI. CALCULOS Y RESULTADOS

6.1 Debido a que el experimento en sí, está dirigido a calcular el foco de una

lente conociendo las distancias : p y q, mediante :

p-1 + q-1 = f-1 (6.1)

trataremos de encontrar una relación directa entre las incertidumbres

de p, q; al calcular el error propagado en el cálculo de f.

Siendo : δA y ΔA los errores relativos y absoluto de un número real A,

entonces el error A de f-1 en 6.1 viene dado por :

Δ f = δp-1 (p-1) + δq-1 (q-1) = δf-1(f-1) (6.2)

además, si se cumple que dos números A y B se relacionan por : A = 1/ B

Entonces: Ln(A) = - Ln(B)

Y diferenciando: ΔA - ΔB ----- = ------ ≡ δA = δB A B

Entonces (6.2) se puede expresar como:

δp (p-1) + δq (q-1) = δf(f-1) (6.3)

y por diferencia del error relativo δA = ΔA / A entonces (6.2) es:

8

Δp - Δq Δq ----- + ------ = ---- (6.4)

p2 q2 f2

Pero en el cálculo de Δf se podrá usar una expresión más cómoda:

(6.5)

Otra forma más directa de llegar a (6.5) es tomando diferenciales en (6.1) de

donde se obtendrá (6.4) con todos sus términos con signo negativo. Ahora hay

que tomar en cuenta la particularidad que en nuestras mediciones Δ p = Δ q,

de donde (6.5) toma la forma especial siguiente:

Elevando al cuadrado (6.1)

Δ f = ((1/p)2 + (1/q)2 ) f2 Δp = ((1/f)2 – 2(1/p)(1/q))f2 Δ p

Entonces de forma aún más simplificada:

(6.6)

6.2Ahora usando (6.1) y (6.6), teniendo en cuenta la conversión de signos

que se adopta en la sección II, se obtienen los siguientes resultados:

6.1.1 Cálculo de las distancias focales de una lente convergente

De las tablas 2, 3 y 4 podemos obtener 4 combinaciones de p y q con

respecto a una sola lente Li.

A = lente L1 (fnominal = 5 cm).

9

Δf = (f/p)2 Δp + (f/q)2 Δq

Δf = [ 1 - ( 2 f2 /pq) ]Δp

Tabla 7. Distancias focales de L1

Nºp (cm)± 0.05

q (cm)± 0.05

f best ±Δf (cm) (+) f (cm)

1 20.00 6.50 4.90566 ± 0.03149 4.91 ± 0.03

2 10.00 9.00 4.736 ± 0.02506 4.74 ±0.03

3 5.00 35.00 4.3750 ± 0.03906 4.38 ± 0.04

4 34.00 6.00 5.1000 ± 0.01275 5.10 ± 0.01

(+) f best, denota el valor calculado de f al error (6.1) [ 3 ]

Ahora promediando los valores de f y de su error

f = (4.91 + 4.74 + 4.38 + 5.10)/ 4 = 4.77935 con ≈ 4.78 cm

Δf = (0.03 + 0-03 + 0.04 + 0.01) / 4 = 0.295 cm. ≈ 0.03 cm.

Y la desviación estándar σ :

σ = [ ((4.78 – 4.91)2 + (4.78 – 4,74)2 + (4.78 – 4.38)2 + (4.78 – 5.10)2)/4]1/2 =

= 0.266 ≈ 0.27 cm.

Entonces el valor de f4 de L1 viene mejor representado por:

f1 = -f ± (Δf + σf)

f1 = 4.78 ± (0.03 + 0.27) cm

por lo tanto:

(6.7)

10

f1 = 4.8 ± 0.3 cm

B = lente L2 (fnominal = 10 cm)

Tabla 8 .- Distancias focales de L2

Nºp (cm)± 0.05

q (cm)± 0.05

f best ±Δf (cm) (+) f’ (cm)

1 40.00 13.50 10.09345 ± 0.03113 10.09 ± 0.03

2 20.50 18.50 9.7243 ± 0.02506 9.72 ± 0.03

3 11.00 59.00 9.27142 ± 0.03677 9.27 ± 0.04

4 57.50 12.50 10.2678 ± 0.05533 10.27 ± 0.01

Analógicamente a la parte A, a partir de la tabla 8 tenemos los valores:

f = 9.839225 cm ≈ 9.84 cm

Δf = 0.04 cm.

σf = 0.382071 cm ≈ 0.38 cm

Entonces :

f2 = 9.84 ± (0.04 + 0.38) cm = 9.84 ± 0.42 cm.

Por lo tanto:

(6.8)

C: Lente L3 (f nominal = 20 cm.)

Tabla 9 .- Distancias focales de L3

Nºp (cm)± 0.05

q (cm)± 0.05

f best ±Δf (cm) (+) f (cm)

1 59.50 30.50 20.1638 ± 0.02759 20.16 ± 0.03

2 41.00 39.00 19.9875 ± 0.02500 20.00 ± 0.03

3 28.00 72.00 20.1600 ± 0.02984 20.16 ± 0.03

4 71.50 28.50 20.3775 ± 0.02962 20.38 ± 0.03

Y de la tabla 9 se puede calcular:

11

f2 = 9.8 ± 0.4 cm

f = 20.1722 cm ≈ 2.017 cm

Δ f = 0.03 σ = 0.1382765 cm ≈ 0.14 cm.

Entonces :

f3 = 20.17 ± (0.03 + 0.14) = 20.17 ± 0.17

(6.9)

D.- El método 3 se planteó con el fin de comprobar que las distancias p y q,

cuanto intercambian sus valores entre sí, cumplen con la relación :

F = (A – e) (A + e) (A.4)

Donde A = p + q ,y e = | p – q | , Entonces aplicando (A.9) a los valores de la tabla 4:

Tabla 10.- evaluación de los datos de la Tabal 4 aplicando (A.4)

LenteA = p + q

(cm)e = │p-q│

(cm)A – e (cm)

A + e (cm)

4A(cm)

f (cm)

L1 40 30 10 70 160 4.3750

40 28 12 68 160 5.1000

L270 48 22 118 280 9.2714

70 45 25 115 280 10.2678

L3100 44 56 144 400 20.1600

100 43 57 143 400 20.3775

Al comparar la última columna de la izquierda de la tabla anterior con los

valores de f para las filas 3 y 4 de las tablas 7, 8 y 9 vemos que ambas son

iguales, por lo tanto podemos concluir que A.4 es solo un medio más sencillo

para el cálculo de los focos de las lentes.

12

f3 = 20.2 ± 0.2 cm.

Esta evaluación se hace sin tomar en cuenta los errores propagados, pues

solo se hace una evaluación y comparación de resultados.

6.1.2 Cálculo de la distancia focal de una lente divergente.

De los datos de la tabla 5:

Sabiendo que el valor nominal de f en este caso es f = -10 cm

Tabla 11. Cálculo de f de la lente divergente

Nºf (cm)

± 0.1 cm

q (cm)

± 0.1 cmf best ± Δf (cm) f (cm)

1 - 3.0 4.0 - 12.0 ± 2.5 - 12.0 ± 2.5

2 - 2.5 4.5 - 5.625 ± 0.6625 - 5.6 ± 0.7

3 - 4.0 5.0 - 20.0 ± 4.1 -- 20.0 ± 4.1

Entonces los parámetros estadísticos ahora son :

f = (-12.0 – 5.6 – 20.00) / 3 = - 12.5416 cm ≈ 12.54 cm.

Δ f = (2.5 + 0.7 + 4.1) /3 = 2.43 cm. σf = [ ((-12.54 + 12.0)2 + (-12.54 + 5.6)2 + (-12.54 + 20)2) / 3]1/2 = 5.881 cm

Entonces denotando f- cmo f para la lente divergente:

f- = -12.54 ± (2.43 + 5.881) cm = - 12.54 ± 8.314 cm.

(6.10)

6.1.3 Calculo de la distancia focal de un sistema de lentes:

De los datos de la tabal 6 se calcula el foco del sistema como si fuese

un solo lente. Usando (6.1)

13

f- = -13 ± 8 cm.

(20.00)-1 + (12.5)-1 = f-1 best entonces f best = 7.629 cm

Y el error ; usando (6.6.)

Δ f = (1 -2(7.629)2 / 20(12.5) (0.05) = 0.0267 cm

Por lo tanto:

(6.11)

En 6.11 el subíndice + - denota la combinación de la lente convergente

(+) y divergente (-)

El valor teórico de f +- según (1.7) sería:

f-1 +- = (-10)-1 + (5)-1 = 0.1 entonces

f+- (teórico) = 10 cm (6.12)

Contando nuestros resultados obtenidos hasta el momento, calculamos

el % error experimental

Tabla 12 .- Comparación de resultados teóricos y experimentales

Nº · ex. f exp (cm) f teo (cm) % error (%)Nº datos

obtenidos

6.7 4.8 ± 0.3 5 4.0 4

6.8 9.8 ± 0.4 10 2.0 4

6.9 20.2 ± 0.2 20 1.0 4

6.10 -13.8 ± 7 -10 38.0 3

6.11 7.63 ± 0.03 10 23.7 1

14

f± = 7.63 ± 0.03 cm.

Tabla 13. Expresando los resultados como potencias de lentes en

dioptrias.

Li P exp. (Diop.) P teor (Diop.)

L1 20.8 ± 1.3 20

L2 10.2 ± 0.4 10

L3 5.0 ± 0.1 5

L- -7 ± 3 -10

L+- 13.1 ± 0.1 10

VII. CUESTIONARIO

VII.1 ¿Cómo se distinguen fácilmente las lentes convergentes de las

divergentes?

Una manera muy sencilla de hacer esto es tocando la lente y

verificando lo siguiente:

a. Si la lente es más gruesa en su centro que en su borde es una lente

convergente (f > 0)

b. Si la lente es más gruesa en sus bordes que en su centro entonces

es una lente divergente (f < 0)

Esto se puede verificar a partir de la ecuación del fabricante de lentes.

1 n2 1 1 --- = ( ---- - 1) ( ---- - ------- ) f n1 R1 R2

la única condición es que el valor de n para el material de la lente sea

mayor que n del medio [ 2 ]

15

Otra forma sugerida es visualizar si la lente hace que los objetos se

vean más pequeños y derechos, en ese caso la lente es divergente. Si

la lente hace ver los objetos más pequeños e invertidos o más grandes

y derechos entonces es convergente.

VII.2 ¿Si la distancia objeto es igual a la distancia imagen, que podemos

decir acerca de los tamaños de la imagen y el objeto?

Según la Ec. ( ) el aumento Mt está dado por:

q IMt = - --- = --- p O

y la condición indica que p = ± q y de la Ec. (1.5)

1 1 1 -pq __ + --- = --- ≡ ------- = f p q f p + q

sacada la posibilidad que p = q para una lente, entonces solo

queda que p = q.

q IMt = - --- = -1 = --- p O

es decir el tamaño de la imagen I será el mismo que el del objeto O,

solo que uno está invertido con respecto al otro [ 1 ]

VII.3 ¿Cómo es el mecanismo de operación de una cámara fotográfica?

Su funcionamiento es similar al de una ·”cámara oscura” (por no decir

el mismo) este consiste en un pequeño ambiente aislado totalmente de

la luz en donde, ésta última entra solamente por un pequeño orificio

[ 1 ]. Entonces la imagen de un objeto externo puede ser formado en el

interior de la cámara sobre una pantalla.

16

En una cámara fotográfica esta superficie es una película delgada

fotosensible (4) (En un principio de nitrato de plata [ 1 ].

Las características de la cámara fotográfica son las que aparecen en la

figura.

Por lo general la distancia del objeto es grande comparándola con la

distancia del foco de la lente; entonces (6.1) podemos ver que f ≈ q :

Para poder producir una imagen nítida se debe ajustar f de tal manera

que el foco se encuentre justo sobre la pantalla M. Esto se consigue

ajustando la apertura del diafragma en la cámara que se debe ajustar

según el objeto se halle lejos o cerca [ 4 ]

Es de esperar que la nitidez de la imagen formada sea proporcional a la

cantidad de rayos que ingresan por el objetivo de la cámara es decir al

flujo de radiación I, ésta a su vez será mayor mientras mayor sea el

área de la apertura, es decir si D es del diámetro del diafragma I ≈ D2.

También sabemos que I es un indicador de la energía que llega a una

superficie, en este caso será la pantalla M. Entonces la energía llega a

un área A proporcional al tamaña de la imagen, proporcional a su vez al

q2 (por ser m = y’/y = -q /p) entonces I α 1/f2

(Pues como se dijo q = f) Luego I α (D/f)2. entonces se define el

número – f como:

Número f = f / # = f / D (7.1)

17

Siendo su parámetro un valor que indica la rapidez de la imagen , pues

a menor f ≈ f/28 se dice que la cámara es muy rápida, a mayor f ≈ f/16,

la cámara es lenta [ 4 ] .

Así como también como de la profundidad de campo” , es decir el

ángulo sólido que cubre la lente [ 4 ] y [ 5 ]

VIII. OBSERVACIONES

VIII.1 La Ec (6.6) resulta de una simple fracción para nuestro experimento

con el fin de calcular el error absoluto Δf, su aplicación de si la lente

es convergente o divergente sugiere que Δf =Δq.

VIII.2 En la sección b muchas veces se admite los cálculos de estadísticas

(medio) , o σ (desviación estándar) para no desviar nuestra

atención de lo principal que son los resultados. El cálculo de estos

valores se hace muy sencillo, pues hasta la más simple de las

calculadoras científicas poseen funciones (como STAT) que hallan

estos valores.

VIII.3 Según la tabal 10 el caso de la fórmula (A.4), puede simplificar el

cálculo del foco para una gran cantidad de datos. Por ahora solo nos

servirá para controlar los resultados obtenidos internamente (véase

nota luego de la tabla.)

VIII.4 Centrando nuestra atención en la tabla 1.2 Vemos que :

- En el cálculo de F para una lente convergente (6.7; 6.8 y 6.9) se

obtuvieron discrepancias insignificativas , es decir nuestro

resultado tercios y experimentales son coherentes

- Esto se respalda al verlos % error, todos menores de 5%.

- El cálculo de la distancia focal de la lente divergente se advierte

un error de 39%. Hay que mencionar que un motivo de esto podría

ser que en cada medición se usa una lente distinta (L1, L2, y L3.).

Pese a esto el error absoluto que presenta el resultado final hace

18

que se presente también en este caso una discrepancia

insignificativa.

- En el cálculo del foco del sistema de las lentes obtenemos una

discrepancia significativa pues nuestro resultado teórico y

experimental no coinciden. Para esto hay que observar que según

la tabla 4 solo se obtuvo un dato para esta prueba, por lo cual es

lógico no tener exactitud alguna en nuestros resultados.

VIII.5 Además según la tabla 13 la lente de mayor potencia óptica es

aquella de menor distancia focal.

IX. CONCLUSIONES

IX.1 Según nuestros resultados tenemos que los focos de las lentes

convergentes son:

F = 4.8 ± 0.3 cm. (en L1)

F = 9.8 ± 0.4 cm. (en L2)

F = 20.2 ± 0.2 cm. (en L3)

IX.2 Además en la lente divergente

f- = -13.9 8 ± 7 cm.

IX.3 De lo anterior se ha comprobado que las distancias p, q y f s

relacionan por :

p -1 + q-1 = f-1 (6.1)

IX.4 No podemos decir lo mismo respecto si se cumple la relación con los

focos de las lentes.

f-1 = f1-1 + f2

-1

pues no se obtuvo la cantidad de datos suficientes.

19

X. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[ 1 ] HECHT, EUGENE; ÓPTICA: Tercera Edición : España

Pearon Educativa. 2000

[ 2 ] SEARS, F. ZEMANSKY, M, YOUNG, M; FREEDMAN, R. l

FISICA UNIVERSITARIA . VOL II: Undécima Edición

México . Pearson Education . 2004.

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[ 3 ] DEMINOVICH; MARON: CALCULO NUMÈRICO.

URSS. Editorial MIR

Páginas : 45 – 46 – 48

[ 4 ] SERWAY, R; JEWETT, S: FISICA PARA CIENCIAS E

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VOL. II. México Thompson Editores- 2005.

Páginas: 445 – 449 – 450

[ 5 ] FRISH. S.; TIMOREVA, A: CURSO DE FISICA GENERAL

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Páginas: 332 – 380 – 381.

20