Drs. H. Simbolon, MS – Statistik II

1

Bab VPermutasi dan Kombinasi

5-1. PendahuluanDalam beberapa macam cara suatu peristiwa dapat terjadi ? Dalam berapa macam cara suatu pemilihan terhadap sebagian dari keseluruhan obyek dapat dilakukan ? Pertanyaan sedemikian itu acapkali timbul dalam persoalan tentang cara menghitung berbagai kemungkinan memilih sampel dari suatu populasi tertentu. Pada asasnya, persoalan diatas sama dengan persoalan mencari jumlah cara menyusun atau mengatur suatu himpunan obyek tertentu.

5-2. Beberapa Pengertian dasar tentang permutasi

Contoh 5.2.1. : Berapa jumlah nomor pelat kendaraan bermotor yang dapat digunakan jika susunan nomornya menggunakan 3 bilangan angka serta diikuti dengan 1 huruf alfabet ?Persoalan diatas sama dengan cara mengisi 4 ruang kosong yang ada pada nomor pelat diatas. Ruang pertama dapat diisi dengan salah satu dari kesembilan bilangan angka (1, 2, . . . , 9 karena 0 dikecualikan) sehingga kita dapat mengisi ruang pertama dalam 9 cara. Setelah ruang pertama terisi dengan salah satu cara diatas, ruang kedua dapat diisi dalam 10 macam cara (0 diperbolehkan dan kesembilan bilangan angka dapat diulang penggunaannya). Ruang ketiga dapat diisi dalam 24 macam cara (alfabet terdiri dari 26 huruf sedangkan huruf o dan i tidak dipergunakan). Sesuai dengan kaedah penggandaan, hasil permutasi menjadi 9 X 10 X 10 X 24 = 21.600 cara yang berbeda atau 21.600 macam nomor pelat.

Contoh 5.2.2. :Seorang wisatawan asing yang sedang berada di Palembang membuat suatu rencana perjalanan dengan rute Palembang-Jakarta-Tokyo-Jakarta-Palembang. Wisatawan ini ingin mengadakan perjalanan antara Palembang dan Jakarta melalui laut dan antara Jakarta dan Tokyo melalui udara. Bila terdapat tiga perusahaan pelayaran yang melayani rute laut antara Jakarta dan Palembang serta 4 perusahaan penerbangan yang melayani rute udara antara Jakarta dan Tokyo dan bila wisatawan diatas merencanakan perjalanannya tanpa harus menggunakan jasa-jasa perusahaan jasa diatas dua kali, dalam berapa carakah wisatawan diatas dapat mengatur perjalanannya dengan menggunakan jasa-jasa perusahaan jasa diatas ?Dalam hal diatas, rute antara Palembang dan Jakarta dapat ditempuh dalam 3 macam cara, rute antara Jakarta dan Tokyo dapat ditempuh dalam 4 macam cara, rute Tokyo dan Jakarta dalam 3 macam cara dan antara Jakarta dan Palembang dalam 2 macam cara. Sebagai keseluruhan, wisatawan diatas dapat mengatur perjalanannya dalam 3 x 4 x 3 x 2 = 72 macam cara.

Drs. H. Simbolon, MS – Statistik II

2

5-3. Permutasi dari n obyek yang berbeda tanpa pemulihan obyek yang terpilih

1. Permutasi dari n obyek seluruhnyaDEFINISI 5.3.1. : Bila n menyatakan bilangan bulat positif, maka hasil penggandaan bilangan tersebut dari 1 sampai dengan n dinamakan n faktorial dan diberi tanda n!.

Penjelasan :Jika n = 1, 2, . . . , makan! = n (n-1) (n-2) . . . 2 . 1

= n (n-1)!Dan (n+1)! = (n+1)n!

2. Permutasi sebanyak r dari n obyekDEFINISI 5.3.2. : Pengaturan atau penyusunan sebanyak r obyek yang diambil dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda secara matematis dinamakan permutasi secara sekaligus sebanyak r dari n obyek yang berbeda dimana r ≤ n. secara simbolis, permutasi sedemikian itu dinyatakan sebagai nPr.

Contoh :

Jika kita gunakan perumusan nPr = n !

(n−r )! untuk menghitung jumlah permutasi 2 huruf yang

diambil dari kata “laut” dalam contoh 5.3.1. maka akan diperoleh hasil :

nPr = 4P2 = 4 !

(4−2 ) ! = 12

3. Permutasi keliling (circular permutation)Permutasi suatu himpunan obyek yang membuat suatu lingkaran dinamakan permutasi keliling. Bila suatu himpunan obyek disusun secara teratur dalam sebuah lingkaran, permutasi obyek yang bersangkutan sebetulnya mempersoalkan kedudukan relatif obyek-obyek diatas bila melintasi lingkaran dalam arti yang tertentu.

5-4. Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pemulihan obyek yang terpilihTEOREMA 5.4.1. Permutasi sebanyak r dari n obyek dengan pemulihan obyek yang terpilih.Jumlah permutasi dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek dan yang diambil sekaligus sebanyak r dengan pemulihan obyek yang telah terpilih ialah :

nPr¿ = nr

dengan ketentuan r ≤ n dan merupakan bilangan bulat positif.

Drs. H. Simbolon, MS – Statistik II

3

5-5. Permutasi sebanyak r dari n obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakanSecara intuitif, jumlah permutasi dari obyek yang dapat dibedakan tentunya lebih banyak daripada jumlah permutasi dimana terdapat beberapa kumpulan obyek yang sama. Hal sedemikian mudah sekali dimengerti. Kumpulan {a, a, a} terdiri dari 3 unsur yang tidak dapat dibedakan dan hanya dapat dipermutasikan dalam satu cara saja. Jika kita bedakan unsur himpunan diatas menjadi {a1, a2, a3} , jumlah permutasi himpunan {a1, a2, a3} akan menjadi :

nPn = n! = 3! = 6

5-6. Beberapa pengertian dasar tentang kombinasiDalam analisa sampel, kombinasi umumnya lebih banyak digunakan daripada permutasi. Perbedaan pengertian antara permutasi dan kombinasi terletak pada soal urutan memilih atau menyusun serangkaian obyek. Permutasi memberi tekanan pada urutan memilih sedangkan kombinasi tidak menghiraukan urutan memilih.

Andaikan kita harus membedakan urutan pemilihan unsur sampel demi keperluan analisa, maka sudah sepantasnya jika permutasi dipakai. Sebaliknya, jika kita tidak ingin membedakan urutan pemilihan unsur sampel dan hanya mementingkan komposisi sampel, maka umumnya kombinasi yang digunakan.

5-7. Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbedaDEFINISI 5.7.1.: Suatu himpunan yang terdiri dari r obyek dan yang mungkin dipilih dari suatu himpunan yang terdiri dari n obyek yang berbeda tanpa memperhatikan urutan pemilihannya dinamakan kombinasi dari n obyek yang berbeda dan yang diambil sekaligus sebanyak r obyek dengan ketentuan 0 < r < n. kombinasi demikian dinyatakan dengan notasi

( nr ).

TEOREMA 5.7.1.: Kombinasi sebanyak r dari n obyek yang berbeda. Jumlah kombinasi dari

n obyek yang berbeda dan yang dipilih sekaligus sebanyak r ialah : (nr ) = n !

r ! (n−r )! .

5-8. Koefisien binomial dan multinomial

Nilai ( nr ) atau (

nr , n−r

) sebetulnya merupakan koefisien binomial. Secara aljabar, (p + q)2 =

(p + q) (p + q) = p2 + 2pq + q2. Koefisien tiap suku dalam penguraian binomial demikian

dapat diperoleh dengan cara menghitung tiap kombinasinya. Koefisien p2 = ( 22

) = ( 20

) = 1,

koefisien pq = ( 21

) = 2 dan koefisien q2 = ( 20

) = ( 22

) = 1. Alhasil, secara keseluruhan (p+q)2

dapat diuraikan dengan koefisiennya sebagai kombinasi ( nr ) atau (

nr , n−r

).