Pengantar Matematika Toeri, Soal, dan Pembahasan

i RINJANI_STIS

PENGANTAR MATEMATIKA

ii RINJANI_STIS

Penyusun : Himpunan Mahasiswa Sekolah Tinggi Ilmu Statistik (STIS) asal Nusa

Tenggara Barat .

RINJANI STIS

Email : rinjanistis@gmail.com

Blog : rinjanistis.wordpress.com

iii RINJANI_STIS

KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT, karena atas berkah dan rahmat-Nya kami

dapat menyelesaikan penulisan buku ini. Terima kasih kami haturkan bagi

semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan buku ini. Buku ini

disusun dengan harapan dapat bermanfaat bagi pembaca dalam mempelajari

matematika.

Dalam buku ini akan dibahas berbagau macam soal yang disertai dengan

pembahasannya. Buku ini juga memberikan ulasan singkat tentang matematika.

Semoga buku ini bermnfaat bagi semua pihak yang membutuhkan dan

sekaligus dapat memberikan kontribusi kecil bagi pengembangan ilmu

pengetahuan.

Tak ada gading yang tak retak. Maka dari itu buku ini juga masih jauh

dari kata sempurna. Kami mohon saran dan kritiknya untuk perbaikan dari buku

ini.

JAKARTA, Oktober 2012

Tim Penyusun

iv RINJANI_STIS

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I NOTASI SIGMA DAN PRODUCT 1

Notasi Sigma 1

Teorema dan Sifat-Sifat 3

Notasi Product 4

Teorema dan Sifat-Sifat 5

Soal dan Pembahasan 7

BAB II FAKTORIAL, PERMUTASI DAN KOMBINASI 22

Faktorial 22

Permutasi 22

Kombinasi 23

Soal dan Pembahasan 24

BAB III TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL 32

Binomial 32

Identitas dan Segitiga Pascal 33

Rumus Binomial dengan n negative atau pecahan 34

Multinomial 35

Soal dan Pembahasan 37

BAB IV TEORI HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI 42

Himpunan 42

Definisi Himpunan 42

Penyajian Himpunan 42

v RINJANI_STIS

Himpunan Universal dan Kosong 43

Himpunan Bagian (Subset) 43

Himpunan Sama 43

Himpunan yang Ekuivalen 44

Himpunan Saling Lepas 44

Operasi pada Himpunan 44

Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan 45

Hukum-Hukun Himpunan 45

Relasi dan Fungsi 46

Deinisi Relasi 46

Domain, Kodomain, Range 46

Definisi dan Fungsi 47

Jenis-Jenis Fungsi 47

Operasi pada Fungsi 47

Komposisi Fungsi 48

Soal dan Pembahasan 49

BAB V LIMIT DAN KEKONTINUAN 57

Limit 57

Menyelesaikan Limit 58

Limit-Limit Sepihak 59

Teorema Limit Utama 59

Teorema Substitusi 60

Teorema Apit 60

Limit Fungsi Trigonometri 60

Limit Trigonometri Khusus 60

Limit Tak Berhingga 61

vi RINJANI_STIS

Kekontinuan 61

Teorema Kekontinuan 62

Teorema Fungsi Komposit 62

Kekontinuan pada Selang 62

Teorema Nilai Antara 63

Soal dan Pembahasan 64

BAB VI TURUNAN 65

Definisi Turunan 65

Aturan Pencarian Turunan 65

Turunan Sinus dan Cosinus 66

Hukum Rantai (Chain Rule) 66

Diferensiasi Fungsi Implisit 66

Turunan Ordo yang Lebih Tinggi 68

Soal dan Pembahasan 69

BAB VII APLIKASI TURUNAN 79

Maksimum dan Minimum 79

Kemonotonan dan Kecekungan 79

Kemonotonan Grafik Fungsi 79

Kecekungan dan Titik Balik/Belok 80

Titik Belok 80

Maksimum dan Minimum Lokal 81

Definisi 81

Teorema A 81

Teorema B 82

Soal dan Pembahasan 83

vii RINJANI_STIS

BAB VIII INTEGRAL TERTENTU 93

Definisi 1 93

Definisi 2 94

Teorema Dasar Kalkulus 97

Sifat-Sifat Integral Tertentu 97

Soal dan Pembahasan 99

BAB IX APLIKASI INTEGRAL TERTENTU 102

Menentukan Luas Daerah 102

Menentukan Luas Daerah diatas Sumbu-x 102

Menentukan Luas Daerah dibawah Sumbu-x 102

Menentukan Luas Daerah yang dibatasi Kurva y=f(x)

dan terletak di sumbu-x 103

Menentukan Luas Daerah yang terletak diantara dua

Kurva 103

Menentukan Volume Benda Putar 104

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar

Mengelilingi Sumbu-x 104

Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar

Mengelilingi Sumbu-y 104

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x)

dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x 105

Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y)

dan g(y) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y 105

Metode Kulit Tabung 105

Soal dan Pembahasan 106

1

∑

NOTASI SIGMA DAN PRODUCT

Dalam matematika dikenal banyak simbol yang digunakan untuk

menyederhanakan penulisan persamaan matematika. Dua simbol yang

sering digunakan adalah notasi sigma (Σ) untuk menyederhanakan

penjumlahan dan notasi product (Π) untuk menyederhanakan perkalian.

1. NOTASI SIGMA (Σ)

Untuk menunjukkan jumlah ini dalam suatu bentuk yang kompak,

kita tuliskan sebagai

Penulisan penjumlahan seperti di atas akan lebih sederhana jika

dituliskan ke dalam bentuk notasi penjumlahan. Notasi ini dikenal dengan

notasi sigma (Σ) yang berasal dari huruf Yunani. Dimana Σ disebut dengan

Tanda Penjumlahan, (i). Sebagai tanda penjumlahan yang menyatakan

batas-batas penjumlah, dimulai dengan bilangan yang diperlihatkan di

bawah tanda Σ dan berakhir dengan bilangan yang berada diatas tanda

tersebut. Sehingga,

∑

∑

2 RINJANI_STIS

∑ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

∑

∑

dan, untuk n m,

Jika semua c dalam ∑ mempunyai nilai sama, katakan c, maka

∑

Sebagai suatu hasil, kita terima perjanjian

Khususnya,

∑ ( )

∑( ) ( )

Lambang yang dipakai untuk indeks tidak menjadi masalah.

Sehingga, variabel i, j, k disebut "dummy variable" karena variabelnya

bisa diubah-ubah menjadi simbol lainnya. Simbol ini hanya berfungsi

untuk iterasi (pengulangan) saja.

Suku n

3 RINJANI_STIS

∑ ∑

∑(

) ∑

∑

Teorema dan Sifat-sifat

Andaikan { + dan { } menyatakan dua barisan dan suatu

konstanta. Maka :

Bukti :

∑

( ) ∑

Bukti :

∑

∑

∑

4 RINJANI_STIS

∑(

) ∑

∑

∑ ( )

∑ ( )( )

∑

* ( )

+

2. NOTASI PRODUCT ( )

Untuk perkalian pada suku yang banyak, penulisannya dapat

disederhanakan dengan menggunakan notasi perkalian atau notasi product

yang disimbolkan dengan .

∏

∑

( )( )

5 RINJANI_STIS

∏

∏

∏

∏( )

( ) ( ) ( ) ∏

∏

∏(

)

∏

∏

∏

Teorema dan Sifat-sifat

Dimana k adalah konstanta.

Bukti :

∏

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ∏

Suku n

6 RINJANI_STIS

∏( )

(∏

)

∏( ) ∏

Bukti :

∏( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )

Di mana c adalah konstanta.

Bukti :

∏( )

( ) ( )

( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ))

(∏

)

7 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Hitunglah ∑ ( )

Jawab :

∑( )

∑ ∑

∑ ∑

(

)

2. Hitunglah ∑ ( )

Jawab :

∑( )

∑ ∑

(

)

3. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

8 RINJANI_STIS

4. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

5. Tentukan notasi dari

Jawab :

∑

( )

6. Tentukan notasi dari

Jawab :

∑

7. Jika ∑ dan ∑

. Hitunglah ∑ (

)

Jawab :

∑( )

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( )

9 RINJANI_STIS

8. Jika ∑ dan ∑

. Hitunglah ∑ ( )

Jawab :

∑( )

∑ ∑

∑ ∑

( )

9. Jika ∑ dan ∑

. Hitunglah ∑ (

).

Jawab :

∑( )

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

( ) ( ) ( )

10. Tentukan nilai n yang memenuhi, jika ∑ ( )

Jawab :

∑ ∑

∑( ) ∑( )

10 RINJANI_STIS

∑( ) ( )

∑( )

( ( )

)

( )( )

n = 6

11. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

( )

12. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

( )( )

13. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

( )( )

11 RINJANI_STIS

14. Hitunglah ∑ ( )

Jawab :

∑ ( )

∑( ) ∑ ∑

( ) ( )

15. Cari suatu rumus untuk ∑ ( ) ( )

Jawab :

∑( )

( ) ∑( )

∑

∑ ∑

( )( )

( )

, -

( )

16. Tuliskan notasi sigma untuk 2 + 4 + 6 + ... + 10.

Jawab :

2 + 4 + 6 + ... + 10 = ∑

17. Tuliskan notasi sigma untuk 1 -3 + 5 – 7 + 9.

Jawab :

1 − 3 + 5 – 7 + 9 = ∑ ( ) ( )

12 RINJANI_STIS

18. Tentukan nilai dari ∑ ( )

Jawab :

∑( )

∑( ) ∑( )

( ∑

∑

) ( ∑

)

.

( ) / (

)

19. Tentukan nilai dari ∑ ( )

Jawab :

∑( )

∑

(

)

20. Tentukan nilai dari ∑ ( )

Jawab :

∑( )

∑( )

∑ ∑

( )( )

( )

13 RINJANI_STIS

21. Tentukan nilai dari ∑ ( )

Jawab :

∑( )

∑( )

∑ ∑ ∑

22. Tentukan nilai dari ∑

Jawab :

∑

23. Tentukan nilai dari ∑

Jawab :

Batas indeksnya bisa diubah-ubah. Kita akan mengubah batas bawah

indeks k mulai dari 1. Sehingga atau . Maka,

∑

∑ ( ) ∑

∑

14 RINJANI_STIS

24. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

∑ ∑

( )( )

25. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

∑

∑

26. Hitunglah ∑

Jawab :

∑

∑ ∑

15 RINJANI_STIS

27. Hitunglah ∑

Jawab

∑

∑

( )(( ) )( ( ) )

( ) ( )

( )( )

28. Hitunglah ∑ .

/

Jawab :

∑ (

)

∑

∑

∑

(

( )

)

( )

29. Tunjukkan bahwa : 1.2 + 2.3 + ... + n (n+1) =

( )( )

Jawab :

( )

∑( )

16 RINJANI_STIS

∑ ∑

( )( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

30. Hitunglah ∑ .

/

Jawab :

∑ .

/

.

/ .

/ .

/ .

/

31. Hitunglah ∑ ( )

Jawab :

∑( )

( ) ( ) ( )

17 RINJANI_STIS

32. Hitunglah ∑ .

( ) /

Jawab :

∑ (

( ) )

(

) (

) (

)

33. Tulislah 1 + 2 + dalam notasi sigma dengan

batas bawah

* J = 0 **J = 1 ***J = 2

Jawab :

*∑ ** ∑ ( )

*** ∑ ( )

34. Hitunglah ( )

Jawab :

∏( )

( )( ) ( ( ))

35. Hitunglah ( )

Jawab :

∏( )

( )( ) ( )

18 RINJANI_STIS

36. Hitunglah

Jawab :

∏

37. Hitunglah ( )

Jawab

∏( )

( ) ( ) ( )

38. Hitunglah ( )

Jawab :

∏( )

( )( ) ( )

39. Hitunglah ( )

Jawab :

∏( )

40. Hitunglah ( )

Jawab :

∏( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

19 RINJANI_STIS

41. Hitunglah (∑ )

Jawab :

∏(∑

)

∏( ( )

)

∏

( )

42. Hitunglah [(∑ ) ]

Jawab :

∏[(∑

) ]

∏[( ) ]

,( ) - ,( ) -

43. Hitunglah [∑ ]

Jawab :

∏[∑

]

, - , - , -

, -

44. Hitunglah

Jawab :

∏

∏

∏ ∏

( ) ( ) (( ) )

45. Tuliskan notasi dari ( )

20 RINJANI_STIS

Jawab :

( )

∏

( )

46. Tuliskan notasi dari

Jawab :

∏

47. Tuliskan notasi dari .

/ .

/ .

/ .

/ .

/

Jawab :

(

) (

) (

) (

) (

) ∏

48. Jabarkan rumus ∑

Jawab :

( )

∑,( ) - ∑( )

( ) ∑ ∑

∑

∑

21 RINJANI_STIS

49. Jabarkan rumus ∑

Jawab :

( )

∑,( ) - ∑( )

( ) ∑ ∑

∑

∑ ( )

∑

∑

( )( )

∑

22 RINJANI_STIS

FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI

1. FAKTORIAL

Faktorial merupakan perkalian bilangan dengan bilangan berurutan

dari bilangan n, terus mengecil sampai bilangan 1. Faktorial dinotasikan

dengan tanda !.

7! = 7x6x5x4x3x2x1

n! =

n! = nx(n-1)!

1! = 1

0! = 1

Untuk n yang sangat besar pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan

rumus Stirling:

√

Kaidah dasar menghitung :

1) Kaidah Perkalian : percobaan 1 dan 2 = pxq

2) Kaidah Penjumlahan : percobaan 1 atau 2 = p+q

2. PERMUTASI

Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam

urutan yang berbeda dari urutan yang semula dengan memperhatikan

urutan.

23 RINJANI_STIS

Permutasi-r dari n objek adalah jumlah kemungkinan urutan r buah objek

yang dipilih dari n buah objek, dengan r ≤ n dapat dinotasikan dengan

P(n,r).

Permutasi Siklis

Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar

adalah :

(n-1)!

Permutasi benda berlainan

Banyaknya permutasi yang berlainan dari benda n benda bila n1

diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,..., nk berjenis ke k

adalah :

Permutasi dengan Perulangan

( )

3. KOMBINASI

Kombinasi adalah pengelompokan suatu unsur dari kelompoknya

dengan pilihan dari unsur yang tersedia tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi dinotasikan dengan C(n,r).

( )

( )

Kombinasi dengan Perulangan

( )

24 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Hitunglah

!

Jawab :

2. Buktikan 0! = 1

Jawab :

(n+1)! = n! (n+1)

(0+1)! = 0! (0+1)

0! = 1

3. Sederhanakanlah ( )

( )

Jawab :

( )

( )

( )( )( )

( ) ( )

4. Tulislah 45 dalam bentuk notasi faktorial!

Jawab :

5. Dalam suatu perlombaan nyanyi, ke-8 orang yang masuk ke final

terdiri atas 3 pelajar dan 5 mahasiswa. Carilah banyaknya kemungkinan

urutan hasil perlombaan untuk :

a) keseluruhan masuk final

b) ke 3 pemenang pertama

Jawab :

a) 8! = 40320

b) =

( ) =

=336

25 RINJANI_STIS

6. Lima stiker akan ditempel secara berderet pada tempat yang

disediakan .Jika di antara kelima stiker tersebut satu stiker selalu

menempati posisi tengah , maka banyak cara menempel ?

Jawab :

Misalkan kelima stiker itu adalah A,B,C,D,E. Misalkan stiker yang di

tengah adalah stiker C. Maka hanya ada satu kemungkinan untuk posisi di

tengah. Kemudian, posisi yang lain ditempati oleh A,B,D, dan E. Banyak

susunannya adalah 4⋅3⋅1⋅2⋅1=4!=24.

7. Terdapat 2 orang Amerika, 3 orang Indonesia, dan 4 orang China,

yg duduk berjajar pada 9 kursi kosong. Tentukan :

a. banyaknya formasi duduk

b. banyaknya formasi jika 3 orang Indonesia harus selalu berdampingan

Jawab :

a. = 362880

b. x

= 30240

8. Tersedia 6 huruf a,b,c,d,e,f. Berapa jumlah pengurutan 3 huruf jika

a) tidak ada huruf yang diulang

b) boleh ada huruf yang berulang

c) tidak boleh ada huruf yang berulang tapi huruf e harus ada

Jawab :

a) =

( ) =

=120

b)

c) Karena huruf “e” harus ada maka satu kemungkinan dari 3 huruf

sudah terisi

5x4x1 = 20

Huruf “e” bisa berada diketiga tempat yang disediakan maka banyak

kemungkinan keseluruhan adalah 20x3=60

26 RINJANI_STIS

9. Rani akan membuat gelang yang berisi pernak-pernik. Misal

terdapat 5 jenis pernik besar dan 5 jenis pernik kecil. Pada setiap gelang

diisi kelima jenis pernik besar dan diantara pernik besar terdapat lima

pernik kecil. Maka rani akan mendapat sejumlah gelang yang beraneka

warna. Banyak gelang yang bisa dibuat rani?

Jawab :

Perhatikan bahwa pernak-pernik itu disusun melingkar dengan susunan

selang-seling antara pernik besar dan pernik kecil. Banyaknya cara

menyusun pernik besar adalah (5−1)!. Banyaknya cara menyusun pernik

kecil adalah (5−1)!. Sehingga, banyaknya cara menyusun pernak-pernik itu

adalah (5−1)!×(5−1)!=(4!)2=576.

10. Dari 100.000 buah bilangan bulat positif pertama, berapa banyak

bilangan yang mengandung tepat 1 buah angka 3, 1 buah angka 4, dan 1

buah angka 5?

Jawab :

Bilangan 100.000 tidak memenuhi, jadi hanya ada 5 digit yang harus

dipenuhi

Ada 5 cara untuk menempatkan angka 5, sisa tempat kosong tinggal 4

Ada 4 cara untuk menempatkan angka 4, sisa tempat kosong tinggal 3

Ada 3 cara untuk menempatkan angka 3, sisa tempat kosong tinggal 2

Selain angka, 3, 4, dan 5 boleh diisi berulang. Jadi untuk kedua

tempat yang masih kosong dapat diisi masing-masing dengan 7 angka

Banyak bilangan yang dapat dibentuk sesuai dengan aturan tersebut

adalah 5.4.3.7.7 = 2940

27 RINJANI_STIS

11. Berapa banyak string yang dapat dibentuk dari huruf-huruf kata

“CONGRESS” sedemikian sehingga dua buah huruf “S” tidak terletak

berdampingan.

Jawab :

String tersebut tersusun atas 8 buah huruf, dan terjadi pengulangan dua kali

untuk salah satu hurufnya (huruf “S”)

Jika kedua huruf “S” boleh sembarang letaknya (tidak ada aturan khusus

untuk huruf “S”), maka jumlah string berbeda yang dapat dibentuk adalah:

!2

!2.3.4.5.6.7.8

!2

!8 = 8.7.6.5.4.3 = 20160

Jika kedua huruf “S” harus berdampingan, maka jumlah string berbeda

yang terjadi adalah sama dengan permutasi dari 7 huruf dari 7 huruf yang

tersedia, dimana tidak ada karakter yang berulang yaitu:

P(7,7) = 1

!7

!0

!7

)!77(

!7

= 7.6.5.4.3.2 = 5040

Jadi jumlah string berbeda yang dapat dibentuk dari huruf-huruf tersebut

apabila dua huruf “S” tidak boleh berdampingan adalah:

20160 – 5040 = 15120 macam

12. Suatu pohon Natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri.

Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna

merah, 4 kuning, dan 2 biru?

Jawab :

Soal di atas merupakan permutasi benda berlainan jenis

=

=1260 cara

13. Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa

banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?

28 RINJANI_STIS

Jawab :

Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali,

huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali.

Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus

berikut:

14. Dalam berapa carakah 6 orang dapat diantrikan masuk ke bis? Bila

3 orang tertentu bertahan harus saling menyusul satu sama lain, ada berapa

banyak cara yang mungkin? Bila 2 orang tertentu tidak mau saling

menyusul langsung, berapa banyak cara yang mungkin?

Jawab :

a) 6! = 720

b) 3!x4! = 144 (3! merupakan banyak cara 3 orang tersebut diurutkan

sedangkan 4! merupakan banyak cara 6 orang mengantri dimana 3

orang dianggap sebagai 1 kelompok (jadi ada 4 kelompok))

c) Banyak cara antrian semuanya = 720

Banyak cara jika 2 orang mau saling menyusul langsung = 2!x5! =

240

Jadi banyak cara jika 2 orang tidak mau saling menyusul langsung =

720 – 240 = 480

15. C(n,4) = 35. Tentukan nilai n2!

Jawab :

C(n,4) =

( )

35 = ( )( )( )( )

( )

35 x 4! = n(n-1)(n-2)(n-3)

35 x 24 = n4 – 6n

3 + 11n

2 – 6

29 RINJANI_STIS

n4 – 6n

3 + 11n

2 – 846 = 0

n = 7

n2 = 49

16. Di antara 10 orang mahasiswa Teknik Informatika Angkatan 2002,

berapa banyak cara membentuk sebuah perwakilan beranggotakan 5 orang

sedemikian sehingga:

a. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya;

b. mahasiswa bernama A tidak termasuk di dalamnya;

c. mahasiswa bernama A selalu termasuk di dalamnya, tetapi B tidak;

d. mahasiswa bernama B selalu termasuk di dalamnya, tetapi A tidak;

e. mahasiswa bernama A dan B termasuk di dalamnya;

f. setidaknya salah satu dari mahasiswa yang bernama A atau B

termasuk di dalamnya.

Jawab :

a. C(9, 4) = 126 cara.

b. C(9, 5) = 126 cara.

c. C(8, 4) = 70 cara.

d. C(8, 4) = 70 cara.

e. C(8, 3) = 56 cara.

17. Ada 5 orang mahasiswa jurusan Informatika dan 7 orang

mahasiswa jurusan Elektro. Berapa banyak cara membentuk panitia yang

terdiri dari 4 orang jika:

a. tidak ada batasan jurusan

b. semua anggota panitia harus dari jurusan Matematika

c. semua anggota panitia harus dari jurusan Informatika

d. semua anggota panitia harus dari jurusan yang sama

e. 2 orang mahasiswa per jurusan harus mewakili

30 RINJANI_STIS

Jawab :

a. C(12,4) = 495

b. C(5,4)xC(7,0) = 5

c. C(7,4)xC(5,0) = 35

d. C(5,4)xC(7,0) + C(7,4)xC(5,0) = 5+35 = 40

e. C(5,2)xC(7,2) = 210

18. Berapa banyak cara membentuk sebuah panitia beranggotakan 5

orang yang dipilih dari 7 orang pria dan 5 orang wanita jika di dalam

panitia tersebut paling sedikit beranggotakan 2 orang wanita?

Jawab:

Jika mengandung 2 orang wanita = C(7,3) x C(5,2) = 350 cara

Jika mengandung 3 orang wanita = C(7,2) x C(5,3) = 210 cara

Jika mengandung 4 orang wanita = C(7,1) x C(5,4) = 35 cara

Jika semuanya wanita = C(7,0) x C(5,5) = 1

Total semuanya = 596 cara

19. Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra

dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan

banyaknya cara menyeleksi karyawan!

Jawab :

Pelamar putra = 9 dan pelamar putri = 6

Banyak cara menyeleksi = C(9,5) x C(6,3) = 2520

20. Ada 10 soal di dalam ujian akhir Matematika Diskrit. Berapa

banyak cara pemberian nilai (bilangan bulat) pada setiap soal jika jumlah

nilai keseluruhan soal adalah 100 dan setiap soal mempunyai nilai paling

sedikit 5. Jawab dalam notasi kombinasi. (contoh soal kombinasi dengan

perulangan)

31 RINJANI_STIS

Jawab :

Andaikan kita tidak menghitung lagi nilai minimal masing-masing soal

5 x 10 = 50

100 – 50 = 50

Jadi sekarang ada nilai sejumlah 50 yang harus didistribusikan ke 10 soal

n = 10, r = 50, maka banyak cara pemberian nilai adalah:

C(10+50-1, 50) = C(59, 50) =

21. Berapa banyak solusi bilangan bulat dari x1 + x2 + x3 = 11 jika x1 > 1, x2

4, dan x3 = 1. (contoh soal kombinasi dengan perulangan)

Jawab :

Nilai x3 = 1, maka x1 + x2 = 10

Nilai x1 minimum 2, sisa yang belum dibagikan = 10 – 2 = 8

Nilai x2 maksimum 4

Jika nilai x2 ≥ 0 (x2 minimum 0), maka ada 8 nilai lagi yang harus

didistribusikan ke x1 dan x2

n = 2, r = 8

C(2 + 8 – 1, 8) = C(9, 8) = 9

Jika nilai x2 ≥ 5 (x2 minimum 5), maka ada 8 – 5 = 3 nilai lagi yang

harus didistribusikan ke x1 dan x2

n = 2, r = 3

C(2 + 3 – 1, 3) = C(4, 3) = 4

Jadi jika x2 4, jumlah solusi bilangan bulat yang mungkin adalah 9 –

4 = 5 kemungkinan

32 RINJANI_STIS

TEOREMA BINOMIAL DAN MULTINOMIAL

1. BINOMIAL

Rumus Binomial untuk n bilangan positif:

( a+b )n = (

) (

) (

) (

)

( a+b )n = ∑ (

)

Dengan koefisien binomial:

.

/

( )

Contoh:

1. Ekspansikan ( a+b )5!

Jawab:

( a+b )5= ∑ (

)

= ( ) (

) (

) (

) (

) (

)

= a5 + 5a

4b + 10a

3b + 10a

2b

3 + 5ab

4 + b

5

2. Jabarkan ( 3x – 2 )3!

Jawab:

Misal: a = 3x b = -2

( a+b )3 = (

) (

) (

) (

)

= a3 + 3a

2 b + 3ab

2 + b

3

= 3x3 + 3(3x)

2(-2) + 3(3x)(-2)

2 + (-2)

3

= 3x3 + 27x

2(-2) + 9x.4 – 8

= 3x3 – 54x

2 + 36x -8

33 RINJANI_STIS

Untuk menentukan suku yang memuat pangkat tertentu dari suatu

persamaan ( x+y )n

terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk suku umum

( ) , di mana i merupakan pangkat dari suku yang dicari.

Contoh:

1. Tentukan suku yang memuat x10

dari ( 2x2-y

3 )

8 !

Jawab:

Suku umum: ( )( ) ( )

= ( ) ( )

= ( ) ( )

=

= -1792x10

y9

Untuk mencari nilai i:

x16-2i

= x10

16-2i = 10

2i = 6

i = 3

Jadi suku yang memuat x10

adalah -1792x10

y9.

Identitas & Segitiga Pascal

(

) .

/ .

/

n & k bilangan bulat positif

34 RINJANI_STIS

Bukti:

(

) .

/ .

/

( )

( )

( ) ( )

( )

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

=

( )

( )

( )

= ( )

( )

= ( )

( )

= ( )

( ) ( terbukti )

Rumus Binomial dengan n negative atau pecahan

( ) ( )

( )( )

( )( ) ( )

Contoh:

1. Ekspansikan (2 - 3x)4 sampai 4 suku!

Jawab:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

35 RINJANI_STIS

2. MULTINOMIAL

Suku umum dari multinomial (a1+a2+a3+…+ai)n

untuk n positif adalah:

(

)

Contoh:

Carilah suku yang memuat x11

dan y4 dari (2x

3-3xy

2+z

2)

6!

Jawab:

(

) ( ) ( ) ( )

Mencari nilai a: Mencari nilai b:

x3a

.xb = x

11 y

2b = y

4

3a+b = 11 2b = 4

3a+2 = 11 b = 2

a = 3

Mencari nilai c:

a+b+c = 6

3+2+c = 6

c = 1

Jadi suku yang memuat x11

dan y4 adalah:

(

) ( )( )( )

=

( )

= 4320 x11

y4z

2

36 RINJANI_STIS

Suku umum dari (a+b+c+d+…)n untun n negative atau pecahan adalah:

( )( )( ) ( )

Di mana i merupakan bilangan bulat positif

37 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Ekspansikan (a+b)6 !

Jawab:

( ) ( ) (

) (

) (

) (

)

( ) (

)

2. Ekspansikan (x-2y)5 !

Jawab:

( ) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( )

( ) ( ) (

)( )

3. Berapakah suku keenam dari ekspansi (

) !

Jawab:

(

) ( )(

) ( )(

) .

/ ( ) .

/

(

)

( ) .

/

(

) ( ) .

/

(

)

( ) .

/

(

)

Suku keenamnya adalah: ( ) .

/

(

)

= 126(16x2)(-

)

=

38 RINJANI_STIS

4. Berapakah koefisien suku yang mengandung x14

dari ekspansi

(x+2x3)

10!

Jawab:

Suku umum: ( ) ( )

= ( ) ( )

= 45x84x6

=180x14

Cara mencari nilai i: x10-i

x3i

= x14

10-i+3i = 14

2i = 4

i = 2

Jadi koefisien x14

adalah 180.

5. Ekspansikan empat suku pertama dari (3a-2b)-2

!

Jawab:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

6. Ekspansikan empat suku pertama dari ( )

!

Jawab:

( )

(

)

. /

. / (

)

39 RINJANI_STIS

7. Carilah koefisien x2 y

3 z

4 dari persamaan (ax-by+cz)

9!

Jawab:

(

) ( ) ( ) ( )

Mencari nilai d: Mencari nilai e:

xd = x

2 y

e = y

3

d = 2 e = 3

Mencari nilai f:

zf

= z4

f = 4

suku yang memuat x2 y

3 z

4 adalah:

(

) ( ) ( ) ( )

Jadi koefisiennya adalah:

( )

8. Carilah koefisien a3b

3c dari persamaan (2a+b+3c)

7!

Jawab:

(

) ( ) ( ) ( )

Mencari nilai d: Mencari nilai e:

ad = a

3 b

e = b

3

d = 3 e = 3

40 RINJANI_STIS

Mencari nilai f:

cf

= c

f = 1

suku yang memuat a3b

3c adalah:

(

) ( ) ( ) ( )

Jadi koefisiennya adalah:

( )

9. Cari koefisien x3 dari persamaan (1-3x-2x

2+6x

3)

!

Jawab:

. /.

/ (

)

( ) ( ) ( )

Jadi koefisiennya adalah:

(

) (

) (

) ( )( )

. / .

/ .

/

( )

41 RINJANI_STIS

10. ( √ ) ( √ )

Jawab:

= ( ( ) (

) (√ ) (

) (√ ) (

) (√ ) (

)(√ ) )

( ( ) (

) ( √ ) (

) ( √ ) (

) ( √ ) (

)( √ ) )

√ √ (√ ) (√ )

42 RINJANI_STIS

TEORI HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI

1. HIMPUNAN

Definisi Himpunan

Himpunan : Suatu kumpulan/gugusan dari sejumlah obyek

(kumpulan obyek yang berbeda).

Secara umum himpunan dilambangkan A, B, C, ...... Z (huruf

capital)

Obyek dilambangkan a, b, c, ..... z (disebut juga anggota,

elemen, atau unsur)

Notasi : - p A p anggota A

- A B A himpunan bagian/subset dari B

- A B A proper subset dari B

- A = B himpunan A sama dengan B

- ingkaran/bukan anggota

Anggota himpunan ditulis di dalam kurung kurawal {}

Banyak anggota himpunan A: n(A)

Penyajian Himpunan

Mendaftar semua anggota menuliskan setiap anggota dalam

kurung kurawal

misal A = {1,2,3,4,5}

Notasi pembentuk himpunanmenuliskan sifat-sifat yang ada

pada semua anggota

misal B = {x R | 0 < x < 6}

43 RINJANI_STIS

Diagram Venn:

Himpunan Universal dan Kosong

Himpunan universal (semesta): himpunan semua obyek yang

dibicarakan

Notasi: S atau U

Himpunan kosong: himpunan yang tidak mempunyai anggota

Notasi: atau { }

Contoh

U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 }

A = {0,1,2,3,4}

B = {5,6,7,8,9 }

C = {0,1,2,3,4 }

Ø = { }

Himpunan Bagian (Subset)

A himpunan bagian dari B jika dan hanya jika setiap anggota A

adalah anggota B. Notasi: A B aA, aB

A dan A A, A adalah himpunan bagian tak sebenarnya

dari A.

Jika A B tetapi A B, maka A adalah himpunan bagian

sebenarnya dari B.

Untuk himpunan yang mempunyai n anggota, banyak himpunan

bagiannya adalah 2n.

Himpunan Sama

Himpunan A sama dengan himpunan B jika dan hanya jika

setiap anggota A adalah anggota B dan setiap anggota B adalah

anggota A.

44 RINJANI_STIS

Notasi:

A = B aA, aB dan bB, bA

atau

A = B A B dan B A

Himpunan yang Ekivalen

Himpunan A ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

banyak anggota A sama dengan banyak anggota B.

Notasi: A B n(A) = n(B)

Himpunan Saling Lepas

Dua himpunan dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya

tidak memiliki anggota yang sama.

Notasi: A B

Operasi pada Himpunan

Gabungan (Union) A B = {x | x A atau x B}

Irisan (Intersection) A B = {x | x A dan x B}

Selisih A – B = {x | x A tetapi x B}

Komplemen AC = {x | x U tetapi x A} = U – A

45 RINJANI_STIS

Jumlah Anggota pada Operasi Himpunan

Pada himpunan A dan B

Pada himpunan A, B, dan C

Pada himpunan A, B, C, dan D

Hukum-Hukum Himpunan

Idempoten

A U A = A A ∩ A = A

Komutatif

A U B = B U A A ∩ B = B ∩ A

Asosiatif

(A U B) U C = A U (B U C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Distributif

A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)

Hukum Identitas

A U Ø = A A ∩ U = A

Hukum null/dominasi

A ∩ Ø = Ø A U U = U

Hukum komplemen

A U AC = U, A ∩ A

C = Ø, U

C = Ø, Ø

C = U

)()()()( BAnBnAnBAn

)()(

)()()()()()(

CBAnCBn

CAnBAnCnBnAnCBAn

)()(

)()()(

)()()()(

)()()()()()()(

DCBAnDCBn

DCAnDBAnCBAn

DCnDBnCBnDAn

CAnBAnDnCnBnAnDCBAn

46 RINJANI_STIS

Hukum Involusi

(AC)

C = A

Hukum De Morgan

(A U B)C = A

C ∩ B

C (A ∩ B)

C = A

C U B

C

2. RELASI dan FUNGSI

Definisi Relasi

Relasi adalah suatu aturan yang menghubungkan anggota suatu

himpunan dengan anggota himpunan lain

Contoh relasi

Domain, Kodomain, Range

Relasi dari A ke B: faktor dari

Domain (daerah asal) = A = {2,3,4,7}

Kodomain (daerah kawan) = B = {1,2,3,4,5,6}

Range (daerah hasil) = himpunan semua anggota B yang

dipasangkan dengan anggota A = {2,3,4,6}

Range B

47 RINJANI_STIS

Definisi Fungsi

Fungsi adalah relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota

suatu himpunan dengan tepat satu anggota himpunan lain.

f : A B

x f(x)

Fungsi: xA, yB y = f(x)

x variabel bebas,

y bergantung pada x berdasarkan aturan tertentu

Jenis-Jenis Fungsi

Fungsi konstan, fungsi polinomial, fungsi rasional

Fungsi genap, f(–x) = f(x) x

grafik fungsi simetris terhadap sumbu y

Fungsi ganjil, f(–x) = –f(x) x

grafik fungsi simetris terhadap titik asal

Fungsi nilai mutlak,

Ingat definisi nilai mutlak

Fungsi floor,

= bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama

dengan x.

Operasi pada Fungsi

Dua fungsi dapat ditambahkan, dikurangi, dikali, atau dibagi

Misal terdapat 2 fungsi, f dan g

Domain f + g, f – g, f g adalah irisan domain f dan g

x

48 RINJANI_STIS

g f

Domain f/g adalah irisan domain f dan g dengan g 0

Komposisi Fungsi

Misal f : A → B dan g : B → C, maka h : A → C

disebut fungsi komposisi, dilambangkan dengan g ο f.

x f(x) g(f(x))

h

(g ο f)(x) = g(f(x))

(f ο g)(x) = f(g(x))

Domain f ο g adalah x yang merupakan domain g dimana g(x)

adalah domain f.

49 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Gambarkan sebuah diagram venn untuk menunjukkan himpunan

universal U dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:

U = {1,2,3,4,5,6,7,8 }

A = {2,3,5,7}

B = {1,3,4,7,8 }

Kemudian selesaikan:

(a) A – B (d) A U B (g) U – (A U B)

(b) B – A (e) A ∩ BC

(h) A ∩ (A U B)

(c) A ∩ B (f) B ∩ (AC)

C (i) A U (A ∩ B)

Jawab:

a. {2,5}

b. {1,4,8}

c. {3,7}

d. {1,2,3,4,5,7,8}

e. {2,5}

f. {3,7} huk. Involusi

g. {6}

h. {2,3,5,7}

i. {2,3,5,7}

2. Berapa banyak bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 3

atau 5?

Jawab:

Seperti yang telah kita ketahui bahwa bilangan bulat adalah semua

bilangan dari -∞ sampai dengan ∞.

Jadi A={3,6,9,12,15,…99} himpunan yang habis dibagi 3

(kelipatannya)

50 RINJANI_STIS

B={5,10,15,20,…100} himpunan yang habis dibagi 5

(kelipatannya)

U= {1,2,3,4,5,…100} himpunan semesta

Karena yang diminta adalah bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis

dibagi 3 atau 5 A B = {x | x A atau x B}

3. Dari 120 mahasiswa, 100 orang mengambil paling sedikit satu mata

kuliah pilihan, yaitu QC (quality kontrol), LP (linear programming),

dan RA (regression analysis). Diketahui: 65 orang mengambil QC, 45

orang mengambil LP, 42 orang mengambil RA, 20 orang mengambil

QC dan LP, 25 orang mengambil QC dan RA, dan 15 orang

mengambil LP dan RA. Berapa mahasiswa yang mengambil 3 mata

kuliah sekaligus?

Dik: U = 120 (himpunan semesta) ≥ 1 mata kuliah = 100

QC= 65 LP=45 RA=42

QC+LP=20 QC+RA=25 LP+RA=15

Dit: Banyaknya orang yang mengambil 3 mata kuliah?

Misalkan dengan X=QC+LP+RA

Jawab: QC=65 LP=45 RA=42

QC=65 - (45-X) LP=45- (35-X) RA=42- (40-X)

QC=20+X LP=10+X RA=2+X

Ada 100 orang yang mengambil paling sedikit 1 mata kuliah ada 20 org

ygan tidak mengambil mata kuliah apapun.

U =(20+X) + (10+X) + (2+X) + (20-X) + (25-X) + (15-

X) + X +20

120 =92+X+20

120 =112+X

120-112= X X=8

51 RINJANI_STIS

4. Sebuah kelompok penelitian membagi penelitian dalam 4 bidang.

Dari 100 orang anggota kelompok, 30 orang meneliti bidang 1, 20

orang bidang 2, bidang 3 dan 4 masing-masing 25 orang. Ada 10

orang masing-masing meneliti 2 bidang. Sebanyak 5 orang masing-

masing meneliti 3 bidang. Ada 2 orang yang meneliti keempat bidang.

Berapa orang yang berpartisipasi dalam penelitian? Berapa orang

yang meneliti bidang 1 saja?

Dik: U = 100 (himpunan semesta)

X = 10 (meneliti 2 bidang) masing2x

A = 30 (meneliti bidang 1)

Y = 5 (meneliti 3 bidang) masing2x

B = 20 (meneliti bidang 2)

Z = 2 (meneliti 4 bidang) masing2x

C = 25 (meneliti bidang 3)

D = 25 (meneliti bidang 4)

Dit:Banyaknya orang yang berpartisipasi dalam penelitian?

Banyaknya org yg meneliti bidang 1 saja?

Jawab:

untuk menghitung banyaknya orang yang berpartisipasi dalam

penelitian, bisa dilihat dari diagram venn yang digambar, jawabannya ialah

62 orang.

untuk menemukan banyaknya orang yang meneliti bidang 1 saja, juga

bisa dilihat dari diagram venn yang digambar, jawabannya ialah 15 orang.

52 RINJANI_STIS

5. P adalah himpunan bilangan genap yang kurang dari 25.

a. Sebutkan anggota-anggota dari P dalam tanda kurung kurawal.

b. Nyatakan P dengan notasi pembentuk himpunan.

c. Tentukan n(P).

Jawab:

a. P = {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24}

b. P = {x|x<25, x bilangan genap}

c. n (P) =12.

6. Diantara himpunan-himpunan berikut, manakah yang merupakan

himpunan kosong?

a. himpunan bilangan genap di antara 6 dan 8.

b. himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19.

c. himpunan bilangan cacah yanh kurang dari 0.

d. himpunan nama bulan yang berjumlah 32 hari.

Jawab:

a. Himpunan bilangan genap diantara 6 dan 8.

Urutan bilangan genap = 2,4,6,8,10,...

Diantara 6 dan 8 tidak terdapat bilangan genap melainkan angka7

yaitu bilangan ganjil. Jadi himpunan tersebut adalah himpunan

kosong.

b. Himpunan bilangan prima diantara 13 dan 19.

Urutan bilangan antara 13 dan 19.

Urutan bilangan antara 13 dan 19 adalah 14,15,16,17,18.

Angka 17 merupakan bilangan prima. Jadi,himpunan bilangan

prima diantara 13 dan 19 adalah{17}, bukan himpunan kosong.

53 RINJANI_STIS

c. Himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0.

Bilangan cacah yang terkecil adalah 0. Tidak ada bilangan cacah

yang kurang dari 0. Jadi, himpunan bilangan cacah yang kurang

dari 0 merupakan himpunan kosong.

d. Himpunan nama bulan yang berjumlah hari 32.

Jumlah hari dalam sebulan adalah 28,28,30, atau 31. Tidak ada

bulan yang memiliki jumlah hari 32.Jadi, himpunan nama bulan

yang berjumlah 32 hari merupakan himpunan kosong.

7. Diketahui P = {a,b,c,d,e}. Tentukan himpunan bagian dari P yang

memiliki:

a. 2 anggota

b. 3 anggota

c. 4 anggota

Jawab:

a. Himpuanan bagian yang terdiri atas 2 anggota:

{a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}.

Himpunan bagian yang memiliki 2 anggota ada 10 buah.

b. Himpunan bagian yang terdiri dari 3 anggota:

{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,

e},{c,d,e}.

Himpunan bagian yang memiliki 3 anggota ada 10 buah.

c. Himpunan bagian yang terdiri dari 4 anggota:

{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,c,d,e},{b,c,d,e}

Himpunan bagian yang memiliki 4 anggota ada 5 buah.

8. Misal f(x) = 1 – x2 ,

tentukan f(1), f(–5), f(2x), f(1+h)

54 RINJANI_STIS

Jawab:

f(1) = 1 – (1)2 = 0

f(-5) = 1 – (-5)2 = -24

f(2x) = 1- (2x)2 =1 – 4x

2

f(1+h) = 1 – (1+h)2 =1 – (1+2h+h

2) = -h

2-2h

9. Diketahui bahwa

Tentukan

a. f(–4) b. f(4) c. f(t2+5)

d. g(0) e. g(–1) f. g(–3)

Jawab:

a. f(-4) = 1/x = -1/x

b. f(4) = 2x = 8

c. f(t2+ 5) = 2x = 2 (t

2+ 5) = 2t

2+ 10

d. g(0) = √ = 1

e. g(-1) = √ = 0

f. g(-3) = 3

10. Tentukan domain dan range dari fungsi berikut

Jawab:

a. D= {x | x R} R={f(x)| f(x) ≥ 0, f(x) R}

b. D={x |x > 3, x ≠ 3, x R} R={f(x) | f(x) ≠ 0, f(x) R}

c. D= {x | x > 0, x ≠ √ , x R} R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R}

d. D={ x | x R} R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R}

e. D={x | x R} R={f(x) | f(x) > 0, f(x) R}

1,3

1,1dan

3,2

3,1

x

xxxg

xx

xxxf

1

1d.

3

1b.

2cos3

5e.

3

9c.a.

2

2

22

x

xxf

xxf

xxf

x

xxfxxf

55 RINJANI_STIS

11. Bentuk berikut merupakan fungsi atau tidak?

Jawab:

a. Fungsi

b. Fungsi

c. Fungsi

d. Tidak

12. Tentukan fungsi berikut genap, ganjil atau tidak keduanya

Jawab:

a. Fungsi ganjil

b. Fungsi ganjil

c. Fungsi genap

d. Fungsi nilai mutlak (tidak keduanya)

13. Misal , tentukan

a. f + g, f – g, f g, f2, f/g

b. g f dan domainnya

c. f g dan domainnya

d. g(f(9)) dan f(g(1))

1d.12b.

1,1c.1a.

22

3

yxyx

xxyxyxxf

34a. c. 625

8

b. d. 32 1

xf x h x x

xg x f t t

x

2

7 danf x x g xx

56 RINJANI_STIS

Jawab:

a. f + g = √

f – g = √

f × g = √

f / g = √

b. g o f = g (f(x)) =

√

D={x | x ≥ 0, x ≠ -7, x R}

c. f o g = f(g(x)) = √

D={x | x > 0, x ≠ 0, x R}

14. Tentukan f(g(x)) dan g(f(x)) dari

Jawab:

a. f(g(x)) = (

√ )3 = 1/x

g(f(x)) =

√ = 1/x

b. f(g(x)) =

( ) =

( )

g(f(x)) =

( ) =

( )

2

3

3

1

1a. dan

1b. dan

x

f x x g xx

xf x g xx

57 RINJANI_STIS

LIMIT DAN KONTINUITAS

1. LIMIT

Limit fungsi di satu titik dan limit fungsi di tak hingga merupakan

konsep dasar dalam kalkulus diferensial dan integral yang digunakan

secara intensif. Konsep esensial dan strategis dalam kalkulus seperti,

turunan, integral tentu, dan integral tak wajar dikonstruksi dengan

menggunakan konsep ini. Untuk dapat memahami konsep limit fungsi

diperlukan pengetahuan tentang nilai mutlak sebagai ukuran jarak pada

garis bilangan, pertaksamaan sebagai ukuran kedekatan dan berbagai sifat

tentang fungsi real sebagai obyeknya.

.

- Dari grafik tersebut, jika x cukup dekat tapi berbeda dengan a maka

nilai f(x) mendekati L.

- Ditulis : ( ) = L

- Dibaca: limit f(x) untuk x di sekitar a adalah L.

- ( ) = L berarti bahwa untuk tiap ε > 0 yang diberikan

(betapun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian

sehingga | ( ) | asalkan bahwa | | ; yakni,

| | | ( ) |

58 RINJANI_STIS

Contoh :

( ) = -1

Penyelesaian :

Ambil ε < 0, pilih δ > 0 ϶

| | | ( ) ( ) |

Pandang pertidaksamaan di sebelah kanan

|( ) | = | |

= | ( )|

= | || |

tulis | |

Pilih δ, yaitu δ =

Bukti resmi :

Ambil ε > 0, pilih δ =

, maka | | mengakibatkan

|( ) | = | | = | ( )|

= 2 | |

Jadi, ( ) = -1

Menyelesaikan Limit

1. Jika f(x) terdefinisi di x = c, substitusi x = c ke f(x).

2. Jika f(x) tidak terdefinisi di x = c

a. f(x) rasional

faktorkan f(x), sederhanakan, kemudian substitusi

b. f(x) bentuk akar

rasionalkan kemudian substitusi

59 RINJANI_STIS

Contoh :

(x2 + 3x – 5) = (4)

2 + 3(4) – 5

= 16 +12 – 5

= 23

Limit–Limit Sepihak

Bilamana suatu fungsi mempunyai lompatan. Maka limitnya tidak

ada pada setiap lompatan. x → a+ artinya x mendekati a dari kanan,

sebaliknya x → a- artinya x mendekati a dari kiri.

Definisi (limit kanan)

( ) = L berarti bilamana x dekat tetapi pada sebelah kanan a,

maka f(x) dekat ke L.

( ) = L berarti ε > 0, > 0 ϶

| ( ) |

Definisi (limit kiri)

( ) = L berarti bilamana x dekat tetapi pada sebelah kiri a, maka

f(x) dekat ke L.

( ) = L berarti ε > 0, > 0 ϶

| ( ) |

Theorema Limit Utama

Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g fungsi yang

mempunyai limit di c, maka :

1.

2.

3. ( ) ( )

4. , ( ) ( )- ( ) ( )

5. , ( ) ( )- = ( ) ( )

6. , ( ) ( )- = ( ) ( )

7. ( )

( ) =

( )

( ) , asalkan

( )

60 RINJANI_STIS

8.

( ( ))n = (

( ))n

9.

√ ( ) = √

( ) , asalkan

( ) bilamana n genap

Theorema Substitusi

Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka

( ) ( )

Asalkan dalam kasus fungsi rasional penyebut di c tidak nol

Theorema Apit

Andaikan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) g(x)

h(x) untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c.

Jika

( )

( ) , maka

( )

Limit Fungsi Trigonometri

bilangan real di dalam domain fungsi,

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Limit Trigonometri Khusus

1.

2.

61 RINJANI_STIS

Limit di Tak Berhingga

1. Limit x → ∞

Misalkan f didefinisikan di [c, ∞)

Dikatakan

( )

Jika | ( ) |

2. Limit x → -∞

Misalkan f didefinisikan di (-∞,c]

Dikatakan

( )

Jika | ( ) |

2. KEKONTINUAN

Misal f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c. f kontinu

di c jika

( ) ( )

Syarat f(x) kontinu di titik c

1. f(c) ada atau f(x) terdefinisi pada x=c

2.

( ) ada

3.

( ) ( )

Jika salah satu syarat tidak terpenuhi, maka f(x) tidak kontinu di x=c dan

dikatakan f diskontinu di c. cirri fungsi diskontinu : adanya loncatan pada

grafik fungsi.

Terdapat 3 jenis diskontinuitas :

1. Tak hingga di c jika limitnya (kiri dan kanan) tak hingga;

2. Loncat berhingga di c jika limit kiri dan kanannya berhingga namun

tak sama;

3. Dapat dihapuskan/dihilangkan di c jika nilai fungsi dan limitya ada,

tetapi tidak sama

62 RINJANI_STIS

Teorema Kekontinuan

1. Fungsi polinom kontinu di setiap .

2. Fungsi rasional kontinu di setiap di dalam domainnya.

3. Fungsi nilai mutlak kontinu di setiap .

4. Jika n ganjil, fungsi akar-n kontinu di setiap .

5. Jika n genap, fungsi akar-n kontinu di setiap , .

6. Jika f dan g kontinu di c, maka kf, f+g, f-g, f.g, f/g(dengan g(c) 0),

dan √ (dengan f(c) > 0 jika n genap), juga kontinu.

7. Fungsi sinus dan kosinus kontinu di setiap .

Teorema Fungsi Komposit

Jika

( ( )) (

( )) ( )

Khususnya, jika g kontinu di c dan f kontinu di g (c), maka fungsi

komposit f○g kontinu di c.

Kekontinuan pada Selang

Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada selang buka (a,b) jika f kontinu di

setiap titik (a,b). f kontinu pada selang tutup [a,b] jika f kontinu pada (a,b),

kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b.

63 RINJANI_STIS

Dengan kata lain,

1. Fungsi f dikatakan kontinu kiri di c jika

( ) ( )

2. Fungsi f dikatakan kontinu kanan di c jika

( ) ( )

Teorema Nilai Antara

Misalkan f kontinu pada [a,b] dan W suatu bilangan antara f(a) dan f(b).

Jika f kontinu pada [a,b] c di antara a dan b ϶ f(c) = W.

64 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1.

=

( )( )

( ) =

(x2+2x+4) = 12

2.

=

=

=

3.

= -

(

)

= - (

)

(

)

= -1

65 RINJANI_STIS

TURUNAN

1. Definisi Turunan (Derivative)

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ (dibaca “f aksen”) yang nilainya

pada sebarang bilangan c adalah

( )

( ) ( )

asalkan limit ini ada.

2. Aturan Pencarian Turunan

a. Aturan Fungsi Konstanta

Jika ( ) dengan suatu konstanta maka untuk sembarang ,

( ) .

b. Aturan Fungsi Identitas

Jika ( ) , maka ( )

c. Aturan Pangkat

Jika ( ) , dengan bilangan-bilangan bulat positif, maka

( )

d. Aturan Kelipatan Konstanta

Jika adalah suatu konstanta dan suatu fungsi yang terdiferensiasi,

maka ( ) ( ) ( )

e. Aturan Jumlah

Jika dan fungsi fungsi yang terdiferensialkan, maka (

) ( ) ( ) ( )

f. Aturan Selisih

Jika dan fungsi fungsi yang terdiferensialkan, maka (

) ( ) ( ) ( )

66 RINJANI_STIS

g. Aturan Hasil Kali

Andaikan dan fungsi fungsi yang terdiferensialkan, maka

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h. Aturan Hasil Bagi

Andaikan dan fungsi fungsi yang terdiferensialkan dengan

( ) . Maka

(

) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

3. Turunan Sinus dan Cosinus

Jika ( ) , maka ( )

Jika ( ) , maka ( )

Jika ( ) , maka ( )

Jika ( ) , maka ( )

Jika ( ) , maka ( )

Jika ( ) , maka ( )

4. Hukum Rantai (Chain Role)

Andaikan ( ) dan ( ) menentukan fungsi komposit

( ( )) ( )( ). Jika terdiferensialkan di dan

terdiferensialkan di ( ), maka terdiferensialkan di dan

( ) ( ) ( ( )) ( )

Andaikan ( ) dan ( ). Dalam notasi Leibniz, Aturan Rantai

mengambil bentuk yang sangat anggun.

5. Diferensiasi Fungsi Implisit

Suatu persamaan ( ) , pada jangkau terbatas dari variabel-variabel

tertentu, dikatakan mandefinisikan sebagai fungsi secara implisit.

67 RINJANI_STIS

Contoh 1:

a) Persamaan , dengan , mendefinisikan fungsi

b) Persamaan mendefinisikan fungsi

√

jika | | dan dan fungsi

√ jika | | dan

. Perhatikan bahwa elipsnya harus dianggap terdiri dari dua busur

yang bertemu di titik-titik (-3,0) dan (3,0).

Turunan dapat diperoleh lewat salah satu cara berikut ini:

a) Jika mungkin, pecahkan dan diferensiasi terhadap . Untuk

persamaan-persamaan yang sangat sederhana, cara ini dapat diabaikan.

b) Dengan memikirkan sebagai fungsi , diferensiasi fungsi yang

diketahui terhadap dan cari dari hubungan yang diperoleh. Proses

diferensiasi ini dikenal sebagai diferensiasi implisit.

Contoh 2:

a) Cari , bila diketahui .

Kita mempunyai

( )

( )

( )

( )

( )

( ) atau ; maka

.

b) Cari , jika √ , bila diketahui

Kita mempunyai

( )

( )

( )

dan

.

Jika √ , ⁄ . Di titik (√ ⁄ ) pada busur atas elips,

√

⁄ dan di titik (√ ⁄ ) pada busur bawah √

⁄ .

68 RINJANI_STIS

6. Turunan Ordo yang lebih tinggi

Diketahui sebuah fungsi ( ) maka

Turunan pertama ( ) ( )

Turunan kedua ( ) ( )

Turunan ketiga ( ) ( )

Turunan ke-n ( ) ( )

69 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Buktikan (a)

( ) , dimana c adalah sembarang konstanta;

(b)

( ) ; (c)

( ) , dimana c adalah sembarang konstanta;

(d)

( ) , jika n adalah bilangan bulat positif.

Jawab:

Karena

( )

( ) ( )

(a)

( )

(b)

( )

( ) ( )

(c)

( )

( ) ( )

(d)

( )

( )

{ ( )

( ) ( ) }

( )

( )

2. Misalkan u dan v fungsi-fungsi x yang dapat dideferensiasi. Buktikan:

(a)

( )

( )

( ); (b)

( )

( )

( );

(c)

.

/

( )

( )

,

70 RINJANI_STIS

Jawab:

(a) Ambil ( ) ( ) ( ) maka

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Dengan mengambil limit jika

( )

( )

( )

( )

(b) Ambil ( ) ( ) ( ) maka

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, ( ) ( ) ( ) ( )- , ( ) ( ) ( ) ( )-

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

dan

( )

( )

( )

( )

( )

( ).

(c) Ambil ( )

( )

( ); maka

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

* ( ) ( )+

, ( ) ( ) ( ) ( )- , ( ) ( ) ( ) ( )-

* ( ) ( )+

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

dan

( )

.

/

( )

( ) ( )

( )

* ( )+

( )

( )

.

71 RINJANI_STIS

Dalam soal 3-21, cari turunan pertama.

3.

Jawab:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4.

Jawab:

( )

5.

⁄

⁄

⁄

Jawab:

(

⁄ ) (

⁄ ) (

⁄ )

6.

⁄

⁄

⁄

⁄

Jawab:

(

) (

) (

) (

)

72 RINJANI_STIS

7. √

√

Jawab:

( ) ⁄ (

) ( ) ⁄

( ) ⁄

( )( ) ⁄

√

√

8. ( )

Jawab:

( ) ( ) ( )

9.

( )

Jawab:

, ( ) - ( )( )

( )

( )( ) ( )

( )

10. ( ) √

Jawab:

( )

( ) ⁄

( )

( ) ⁄ ( )

√

73 RINJANI_STIS

11. ( ) ( )

Jawab:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) (

)

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

12.

Jawab:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

13.

√

Jawab:

( ) ⁄

( )

( ) ⁄

( ) ⁄ ( )

( ) ⁄ ( )

( ) ⁄ ( ) ( ) ⁄

( ) ⁄

( ) ⁄

( )

( ) ⁄

74 RINJANI_STIS

√( )

14.

Jawab:

( )

( )

15.

Jawab:

( )

16.

Jawab:

( )

17. ( )

Jawab:

( )

( ) ( )

18. √

Jawab:

⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

⁄

√ √ √

75 RINJANI_STIS

19. √

Jawab:

( ) ⁄

( )

( ) ⁄ √

20. ( )

Jawab:

( )

( )

( )

21. ( )

Jawab:

( )

( )

( )

22. Cari

, bila diketahui √

Jawab:

( ) ⁄

( ) ⁄ ( )

√ , dan

⁄

√

23. Cari

, bila diketahui

dan √

Jawab:

( ) dan

( ) ⁄

76 RINJANI_STIS

maka

( )

( )

24. Sebuah titik bergerak sepanjang kurva sehingga

√ di mana t adalah waktu. Dengan laju berapakah y berubah

ketika t=4?

Jawab:

Kita harus mencari harga ⁄ ketika .

( )

√ ,

( )

√

Ketika ,

√ dan

( )

per satuan waktu.

25. Tunjukkan bahwa fungsi ( ) mempunyai

turunan semua tingkat pada

Jawab:

( ) dan ( )

( ) dan ( )

( ) dan ( )

Semua turunan tingkat yang lebih tinggi identik 0.

26. Selidiki turunan berurutan dari ( )

saat .

Jawab:

( )

⁄ dan ( )

( )

⁄ dan ( ) tidak ada.

77 RINJANI_STIS

27. Diketahui ( )

( ) cari ( )( ).

Jawab:

Kita peroleh

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( ) ( )

yang mengakibatkan ( )( ) ( ) ( ).

Dalam soal 28-32, cari turunan-turunan yang diminta.

28.

Jawab:

( )

29. ( )

Jawab:

( ) ( ) ( ) ( )

, ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) -

( ) ( ) ( )

30. ( )

Jawab:

( ) ( ) dan ( )

( )

78 RINJANI_STIS

31.

Jawab:

dan ( ) ( )⁄

( )

( ) ( )⁄

32. Cari ( ) ⁄ ( ) ⁄ ( ) ⁄ jika diketahui ( )

Jawab:

( )

( )

( ⁄ )

(√ )( )

⁄

( ) ( )

( )

( )

( ⁄ ) ( √ ⁄ ) (√ ⁄ )( ) √

( ) ( )

( ⁄ ) (

) (

)

79 RINJANI_STIS

APLIKASI TURUNAN

Maksimum dan Minimum

Definisi:

Andai kan S, daerah asal f, memeuat titik c. kita katakan bahwa:

i. f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c)≥f(x) untuk semua x

di S;

ii. f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c)≤f(x) untuk semua x

di S;

iii. f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum

atau minimum.

Titik kritis

Definisi:

Misalkan f terdefinisi pada selang I, c € I. c adalah titik kritis jika

merupakan:

i. titik ujung dari I, atau

ii. titik stasioner dari f, yaitu f’(c)=0, atau

iii. titik singular dari f, yaitu f’(c)tidak ada

Kemonotonan dan Kecekungan

Kemonotonan Grafik Fungsi:

Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada interval I.

f disebut monoton naik pada I bila x1 < x2 = f(x1) < f(x2)

f disebut monoton turun pada I bila x1 < x2 = f(x1) > f(x2)

f monoton tak turun pada I bila x1 < x2 = f(x1) ≤ f(x2)

f monoton tak naik pada I bila x1 < x2 = f(x1) ≥ f(x2)

80 RINJANI_STIS

Teori kemonotonan:

Kecekungan dan Titik Balik/Belok:

Misalkan f fungsi yang terdiferensialkan pada interval I yang memuat c.

f disebut cekung ke atas bila f monoton naik.

f disebut cekung ke bawah bila f monoton turun.

Titik c disebut titik balik/belok bila terjadi perubahan

kecekungan di kiri dan kanan c.

Titik belok

Misalkan fkontinu di c

Titik (c,f(c)) disebut titik belok dari kurva f jika kurva f berubah

kecekungan pada titik c (cekung ke atas pada satu sisi dan cekung ke

bawah pada sisi lainnya dari c)

Bila f’(x)>0 pada setiap x di interval I maka f naik

Bila f’(x)<0 pada setiap x di interval I maka f turun

Pengujian kecekungan:

Bila f”(x)> 0 maka f cekung ke atas.

Bila f”(x)<0 maka f cekung ke bawah.

81 RINJANI_STIS

Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakan bahwa:

(i) f(c) nilai maksimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c

sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a ,b) ∩ S;

(ii) f(c) nilai minimum lokal f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c

sedemikian sehingga f(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S;

(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau

minimum lokal.

Teorema A

(Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f kontinu

pada selang terbuka (a,b) yang memuat titik kritis c.

(i) Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua

x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai maksimum lokal f.

(ii) Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk

semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah niai minimum lokal f.

(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan

nilai ekstrim lokal f.

82 RINJANI_STIS

Teorema B

(Uji Turunan Kedua Untuk Ekstrim Lokal). Andaikan f’ dan f “ ada

pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c,dan

andaikan f’(c)=0.

(i) Jika f “ (c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum lokal f.

(ii) Jika f “ (c) > 0, f(c) adalah nilai minimum lokal f.

83 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut :

f(x) = -2x3 + 3x

2 + 1 pada [-1,2]

Jawab:

Turunan f adalah f ’(x) = -6x2 + 6x = 6x(1 – x).

Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1,

Sedangkan titik singularnya tidak ada.

Dengan demikian terdapat 4 titik kritis, yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik

ujung selang dan dua titik stasioner).

Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut:

f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3.

Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mencapai

nilai maksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).

2. Petani badu mempunyai 80 kaki kawat duri yang ia rencanakan untuk

memagari kandang persegi-panjang sepanjang satu sisi gudangnya

sepanjang 100 kaki, seperti di perlihatkan dalam gambar(sisi

sepanjang gudang tidak memerlukan kawat duri). Berapa ukuran

kandang yang mempunyai luas maksimum?

gudang

kandang

84 RINJANI_STIS

Jawab:

Misal panjang kandang= y

Lebar kandang= x

Kll=2x + y

80=2x + y

Y=80 – 2x……..(1)

Luas = p x l

= x .y

=x .(80 – 2x)

L(x) =80x – 2x2

Agar luasnya maksimum maka L’(x)=0

L’(x) = 80 – 4x

0 = 80 – 4x

x=20

Subtitusi nilai x ke pers (1).

Y=80 – 2x20

Y =40

Jadi ukuran kandang yang luasnya maksimum adalah panjang 40 kaki dan

lebar 20 kaki.

3. Sebuah kotak tertutup dibuat dari selembar papan segi-empat

berukuran 5 meter kali 8 meter . Ini dilakukan dengan memotong

daerah yang diarsir dari gambar di bawah dan kemudian melipat pada

garis titik-titik . berapakah ukuran x, y , dan z yang memaksimumkan

volume kotak tertutup tersebut.

85 RINJANI_STIS

Jawab:

Untuk Menentukan ukuran x,y,z agar volume kotak pada gambar

maksimum.

Terlebih dahulu kita tentukan fungsí dari volume benda sebagai suatu

peubah..

2x + 2y = 8, y = 4 – x

2x + z = 5, z= 5 – 2x

Volume = v = y z

V(x)=(4 – x)(5 – 2x)x

=(20 – 8x – 5x + 2x2)x

=(20 – 13x + 2x2)x

=20x – 13x2 + 2x

3 ;0≤x≤5/2

Titik maksimum V(x) terletak pada titik kritisnya yaitu pada titik stasioner

atau pada ujung interval dari domain V(x). titik stasioner terjadi ketika

V’(x) = 0 yakni

20 - 26x + 6x2 = 0

3x2 – 13x + 10 = 0

86 RINJANI_STIS

++++ - ++++

(3x - 10)(x – 1) = 0

x=1 , x=10/3

Kita tolak x=10/3 Karena tidak berada pada interval 0 ≤x≤5/2 Jadi

sekarang kita memiliki tiga buah titik kritis yaitu x =1 yang

berasal dari titik stasioner dan x = 0 , x = 5/2 yang berasal dari

ujung interval domain V(x) . Untuk mengetahui dimana V(x)

mencapai nilai maksimum, kita evaluasi nilai V(x) pada titik -titik

kritis tersebut, yaitu V(1) = 9m3 , V(0) = 0 m

3 dan V(5/2) = 0m

3

V (1) = 9m3 merupakan volume maksimum, sehingga ukuran kotak agar

volumenya maksimum adalah x= 1

Y=3, z=3

4. Cari dimana h naik dan turun, jika h(x) = 1/3 x3 – 3/2 x

2 – 4x + 1

dengan menggunakan teorema kemonotonan.

Jawab :

2 – 3x – 4

naik, jika : h’(x) > 0

x2 – 3x – 4 > 0

(x + 1) (x – 4) > 0

x + 1 > 0 atau x -4 > 0

x > -1 , x > 4

-1 4

87 RINJANI_STIS

x2 – 3x – 4 < 0

(x + 1) (x – 4) < 0

(x + 1) < 0 atau( x - 4)< 0

x < -1 , x < 4

Jadi, menurut Teorema , h naik pada (- -

(-1, 4).

5. Tentukan nilai ekstrim lokal dari fungsi f(x) = x2

– 8x + 12 pada (-

Jawab :

Fungsi polinom f kontinu dimana-mana (Teorema A kekontinuan fungsi

yang dikenal)

→ Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x – 8

→ Titik kritis untuk f yaitu f’(x) = 0

2x – 8 = 0

2x = 8

x = 4

→ f turun, jika : f’(x) < 0

2x – 8 < 0

88 RINJANI_STIS

2x < 8

x < 4

dengan interval (-

→ f naik, jika : : f’(x) > 0

2x – 8 > 0

2x > 8

x > 4

Jadi, menurut Teorema (Uji Turunan Pertama Untuk Ekstrim Lokal), yaitu

:

Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (-

f (4) = (4)2 – 8.4 + 12 = 16 – 32 + 12 = -4

f(4) = -4 adalah nilai minimum lokal.

6. Tentukan titik balik fungsi F(x) =

x

2+1

Jawab:

F(x) =

x

2+1

F’(x)= 3/2x2

F”(x)= 3x

89 RINJANI_STIS

Jelas bahwa f’(x) = 3/2x2

kontinu di R. jadi f’(x) = 0. Akibatnya grafik f

mempunyai garis singgung di titik (0,1). Turunan kedua F”(x)= 3x jelas

bahwa f”(x)>0 untuk x>0 dan f “(x) <0 untuk x<0. Jadi f”(x) berubah tanda

di sekitar x =0. Karena titik (0,1) adalah titik balik dari fungsi f

7. Diketahui f( x) x3

x5

a. Tentukan selang kemonotonan

b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok (bila ada)

c. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya

d. Gambarkan grafiknya

Jawab:

Diberikan f (x ) x3

x5

a. Menentukan selang kemonotonan

f x x2 - 15x

4 x

2 x x

f monoton naik jika f x

f monoton turun jika f x

b. Menentukan selang kecekungan dan titik belok

f x x – 60x3 = 30x - 2x

2 x - √ √

f cekung ke atas jika f x

√

√

f cekung ke bawah jika f x

√

√

90 RINJANI_STIS

karena pada pada x=

√ , x= -

√ , dan x=0 ter jadi perubahan

kecekungan serta f(

√ ),f(-

√ ) dan f(0) masing-masing ada , maka

ketiga titik (

√

√ ) .

√

√ / dan (0,0) adalah titik belok

c. Menentukan nilai ekstrim dan jenisnya Titik (-1,-2) merupakan titik

minimum lokal karena f f

titik (1,2) merupakan titik maksimum lokal karena f f

d. Grafik f (x) x3

x5

ditunjukkan pada gambar di bawah

91 RINJANI_STIS

8. f(x) adalah fungsi kontinu , dan f(0) = f(2) = 0. Jika grafik y f '

x

a. Tentukan selang kemonotonan f(x)

b. Tentukan selang kecekungan f(x)

c. Buat sketsa grafik f(x)

Jawab:

a. Menentukan selang kemonotonan

Perhatikan grafik f x

f(x) monoton naik jika f x

f(x) monoton turun jika f x - ,-1), (-1,0),

(1,2), dan (2,3)

b. Menentukan selang kecekungan

f(x) cekung keatas jika f x f

x - ,-1), dan (2, )

f(x) cekung ke bawah jika f x f

x -1,0), dan (0,2)

92 RINJANI_STIS

c. Sketsa f(x)

93 RINJANI_STIS

INTEGRAL TERTENTU

Newton dan Leibniz telah memperkenalkan versi dini dari konsep ini.

Tetapi Riemmanlah yang memberikan definisi modern. Berikut adalah

teorema dari Riemman yang dikenal dengan Jumlah Riemman.

Definisi 1 :

Pada gambar Gb.1 kita mempunyai daerah D di bidang yang dibatasi

grafik fungsi kontinu , garis , garis , dan sumbu , dengan

( ) pada , -, dan . Secara singkat di tulis :

*( ) ( )+

Luas daerah D dihitung dengan proses limit dengan langkah :

1. Selang tertutup [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang.

Sehingga titik pembagiannya : .

Panjang selangnya :

Panjang partisi P ditulis ‖ ‖

2. Buatlah persegi panjang dengan ukuran :

Alas =

D

0 a b

y

Gb.

1 0

x

94 RINJANI_STIS

Tinggi = ( ) , -

Luas persegi panjang adalah ( )

Luas D = ∑ ( )

3. Nilai eksak dari luas D didapat saat sama artinya dengan

‖ ‖ , sehingga,

Luas D = ∑ ( ) ‖ ‖ ∑ ( )

Definisi 2 :

1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka:

‖ ‖ ∑ ( ) jika dan hanya jika untuk setiap bilangan

positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga untuk setiap partisi

* + pada [a,b] dengan ‖ ‖ , berlaku

|∑ ( ) | .

2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan ‖ ‖ ∑ ( )

ini ada, maka limit tersebut dinamakan integral tertentu (integral

Riemman) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f dinamakan integrable

pada [a,b] dan integralnya ditulis ∫ ( )

.

Jadi ∫ ( )

‖ ‖ ∑ ( )

D

0 a b

y

Gb.

1 0

x

95 RINJANI_STIS

3. Jika f integrable pada [a,b] maka:

a. ∫ ( )

∫ ( )

b. Jika a = b maka ∫ ( )

∫ ( )

Dari definisi 2 dapat dipahami bahwa jika f(x) > 0, maka:

∫ ( )

‖ ‖ ∑ ( )

secara geografis menyatakan luas

daerah di bawah kurva y=f(x), di atas sumbu X, diantara garis dan

.

Contoh :

Jika ( ) , tentukan ∫ ( )

.

Penyelesaian :

Buat partisi pada [–2, 3] dengan

menggunakan n interval bagian yang

sama panjang. Jadi panjang setiap interval

bagian adalah

Dalam setiap interval bagian , -

partisi tersebut diambil .

Akan dicari nilai ‖ ‖ ∑ ( )

Y

f(x) = x + 3

-3

3

0 -1 -2 1 2 3 X

96 RINJANI_STIS

.

/

.

/

.

.

.

.

/

.

.

.

.

/

( ) dengan

( ) .

/

Jadi jumlah riemmannya :

∑ ( ) ∑ .

/

∑ .

/

∑

∑

97 RINJANI_STIS

∑

∑

( )

.

/

.

/

‖ ‖ ∑ ( ) (

.

/)

Jadi ∫ ( )

Teorema dasar kalkulus

Teorema Dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung

Integral Tentu, berikut teorema tersebut :

Misal f kontinu pada [a,b] dan F sebarang anti turunan f, maka

∫ ( )

( ) ( )

Selanjutnya ditulis ( ) ( ) , ( )-

Sifat-sifat integral tertentu

Berbagai sifat integral tertentu di berikan pada teorema berikut :

1. Integral tertentu fungsi konstan

( ) ∫

‖ ‖ ∑

( ).

2. Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b] nilai integral tertentunya

sebagai limit jumlah riemman adalah tunggal.

3. Jika fungsi f dan fungsi g terintegralkan pada , -,maka

∫ ( ( ) ( ))

∫ ( )

∫ ( )

dengan

dan adalah konstanta dan terintegralkan pada [a,b].

98 RINJANI_STIS

4. Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b] dan , -, maka fungsi f

juga terintegralkan pada [a,c] dan pada [c,b], dengan ∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

5. Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b] dan ( ) pada , -,maka

∫ ( )

.

6. Jika fungsi f dan fungsi g terintegralkan pada , -,serta ( )

( ) pada , - maka ∫ ( )

∫ ( )

7. Jika fungsi f terintegralkan pada [a,b] maka fungsi | | juga

terintegralkan pada , - dan memenuhi |∫ ( )

| ∫ | ( )|

8. Luas daerah D yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu f pada , -,

garis , garis dan sumbu x adalah ∫ | ( )|

.

9. Misalkan fungsi f terintegralkan pada selang tertutup , -.

a. Jika f adalah fungsi genap pada , -, maka ∫ ( )

∫ ( )

b. Jika f adalah fungsi ganjil pada , -, maka ∫ ( )

10. Jika fungsi f kontinu pada , -, ( ), dan

( ), maka

( ) ∫ ( )

( )

99 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Hitunglah ∫ ( )

dengan limit jumlah riemman.

( ) .

/

.

/

∫ ( )

∑ .

/

.

∑

∑

/ .

. ( )( )

/

/

( )

2. Jika f adalah fungsi ganjil pada selang [-1,1] dan ∫ ( )

hitunglah ∫ ( )

.

Jawab :

Karena f adalah fungsi ganjil pada selang [-1,1], maka ( ) ( )

untuk setiap , -. Akibatnya pada selang [-1,1] berlaku ( )

( ). Integran yang akan dihitung dapat ditulis sebagai

∫ ( )

∫ ( )

Untuk menghitung integral terakhir, gunakan penggantian .

Akibatnya , sehingga . Limit atas dan limit bawah

integralnya berubah menjadi, , dan .

Jawab : Selang , -, dibagi n bagian sama

panjang, sehingga panjang setiap selang

bagiannya adalah

.

Titik-titik pembaginya

,

Misalkan ( ) ( ), dan

, maka

X

3

-1 3 2 1

Y

100 RINJANI_STIS

Jadi

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )( )

∫ ( )

∫ ( )

3. Tunjukkan bahwa

√ ∫ √

⁄

√

Jawab Misalkan ( ) √ ,

. Karena ( )

√ pada selang ,

-, maka fungsi f monoton naik pada

selang ini, sehingga

⁄ ( ) ( ) √ dan

⁄ ( ) .

/ √ .

Kita mempunyai :

√ (

) ∫ √

⁄

√ (

)

,

Sehingga

√ ∫ √

⁄

√

terbukti.

4. ∫ .

/

Jawab : Karena bentuk tersebut merupakan bentuk fungsi genap, maka

∫ .

/

∫ .

/

∫ .

/

√

5. Hitung ∫

Jawab : Misal sehingga ( )

( ) maka

( ), perhatikan jika , dan

jika ,

101 RINJANI_STIS

jadi

∫

∫

( )

( ) ∫

, -

( )

6. Buktikan bahwa ∫

.

Jawab : Dalam hal ini ( ) untuk setiap , -. Ambil sembarang

partisi * + pada , - dan sembarang titik

[ ] Maka

∑ ( ) ∑

, dan

∑ ( )

( ) ( ) ( )

( )

Jadi ∑ ( ) ( )

Dengan demikian ∫

. Terbukti.

7. ∫

Sesuai dengan ∫ ( )

( ) ( ), maka

∫

0

1

102 RINJANI_STIS

APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

A. Menentukan Luas Daerah

1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a,

dan garis x = b, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah

sebagai berikut.

2. Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x

Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a,

dan garis x = b, dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas di

subbab D.1, maka luas daerah S adalah

b

a

dxxfRL

b

a

dxxfSL

103 RINJANI_STIS

3. Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva y = f(x)

dan sumbu-x

Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a,

dan garis x = c, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b] dan f(x) ≤ 0 pada [b, c], maka

luas daerah T adalah

4. Menentukan Luas Daerah yang Terletak di Antara Dua Kurva

Luas daerah U pada gambar di bawah adalah

Dengan demikian, luas daerah U adalah

b

a

b

a

dxxfdxxfTL

b

a

b

a

b

a

dxxgxfdxxgdxxfUL

104 RINJANI_STIS

B. Menentukan volume Benda Putar

1. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi

Sumbu-x

Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis x =

a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh

dengan memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah

2. Menentukan Volume Benda Putar yang Diputar Mengelilingi

Sumbu-y

Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x=f(y), sumbu-y, garis x

= a, garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh

dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.

dxxfV2

b

a

dyyfV

105 RINJANI_STIS

3. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(x) dan g(x)

jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x

Daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) dan g(x) dengan , pada interval [a, b]

diputar mengelilingi sumbu-x, maka volume benda putar yang diperoleh

adalah sebagai berikut.

4. Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi Kurva f(y) dan g(y)

jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y

Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan pada interval [a,

b] diputar mengelilingi sumbu-y,

Maka volume benda putar yang diperoleh adalah sebagai berikut.

METODE KULIT TABUNG

∫ ( )

dxxgxfTV22

b

a

dxxgxfUV22

106 RINJANI_STIS

107 RINJANI_STIS

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi √

Jawab :

∫

1

( )

2. Hitunglah luas daerah yang di warnai pada kurva parabola dibawah

ini :

Jawab :

Parabola memotong sumbu x di (-1,0) dan (3,0)

( )( )

* ( )+( )

( )( )

Parabola melalui (1, -4)

108 RINJANI_STIS

( )( )

( )( )

Persamaan parabola

( )( )

( )( )

∫

3. Hitunglah luas daerah yang diarsir

Jawab :

Titik potong :

( )( )

109 RINJANI_STIS

4

-4

∫ ( )

1

∫

1

4. Hitunglah luas daerah yang dibatasi √

Jawab :

∫

1

110 RINJANI_STIS

6

d

5. Pandang kurva untuk

a) Hitunglah luas daerah dibawah kurva ini

b) Tentukan c sedemikian rupa sehingga garis membagi dua luas

pada (a) sama besar

c) Tentukan d sedemikian rupa sehingga garis membagi dua luas

pada (a)

Jawab :

a) ∫

-

.

/

b) ∫

-

.

/

c) ∫ √

1

.

/

1 c

111 RINJANI_STIS

2 0

3

1

y = -1

f(x)

2

1

6. Hitunglah volume benda putar ( )

a. Diputar melalui sumbu x, dibatasi

b. Diputar melalui sumbu y, dibatasi

c. Diputar melalui garis , dibatasi

d. Diputar melalui garis , dibatasi kurva ( ), garis , dan

garis

Jawab :

a) ∫ ( )

(metode cakram)

∫

.

/1

b) ∫ (√ )

(metode cakram)

∫

.

/1

112 RINJANI_STIS

1 2

3

c) ∫ ( )

(metode cincin)

∫

.

/1

d) ∫ (√ )

(metode cakram)

∫ √

.∫ ∫ √

/

.

( )

/1

7. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi

( ) mengelilingi garis .

Jawab :

∫ ( )( )

(metode kulit tabung)

∫

.

/1

113 RINJANI_STIS

R

c

d

4

( ) ( )

( )

( )

R

8. Susunlah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk

apabila daerah R diputar mengelilingi garis .

Jawab :

∫ , -, ( ) ( )-

(metode kulit tabung)

9. Susunlah sebuah integral untuk volume benda yang terbentuk

apabila daerah R diputar mengelilingi garis .

Jawab :

∫ ( ), ( ) ( )-

(metode kulit tabung)

114 RINJANI_STIS

-6

0

3

10. Suatu daerah dibatasi oleh dan diputar

mengelilingi sumbu y. Coba tuliskan integral untuk menghitung volume

benda putar yang terbentuk dengan menggunakan metode cincin dan kulit

tabung!

Manakah yang lebih mudah/menguntungkan?

Jawab :

Metode cincin : ∫ ( )

Bila menggunakan metode cincin diatas f(y) sulit untuk di cari atau

dengan kata lain sulit untuk diubah menjadi ,

sehingga untuk mencari integralnya pun susah .

Metode kulit tabung : ∫ ( )

Dengan menggunakan metode kulit tabung kita tidak perlu mengubah

fungsi, sehingga integral dapat dengan mudah dilakukan.