PERMUTASI dan

KOMBINASI

Betha Nurina Sari,S.Kom

2

IlustrasiMisal ada 2 buah kelereng yang berbeda warna : merah (m) dan hijau (h). Kemudian dimasukkan ke dalam 3 buah kaleng, masing-masing kaleng 1 buah kelereng.

Kelereng

m hKaleng

1 2 3

Kaleng 1 Kaleng 2 Kaleng 3

sama

sama

sama

3 cara

3

Ilustrasi (Cont.)

Matematika Diskrit

Jumlah cara memasukkan

kelereng ke dalam kaleng

32

23

!2

!1

!3

!2

2,3

2

2,3

PP

4

Definisi

Kombinasi r elemen dari n elemen adalah : jumlah pemilihan yang tidak

terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen

Kombinasi merupakan bentuk khusus dari permutasi

Perbedaan permutasi dengan kombinasi :Permutasi : urutan kemunculan

diperhitungkanKombinasi : urutan kemunculan

diabaikan

5

Definisi

Jumlah pemilihan yang tidak terurut dari r elemen yang diambil dari n elemen disebut dengan kombinasi-r :

C(n,r) dibaca “n diambil r” r objek diambil dari n buah objek

!!

!),(

rnr

nC

r

nCrnC n

r

6

Interpretasi Kombinasi

1. Persoalan kombinasi sama dengan menghitung banyaknya himpunan bagian yang terdiri dari r elemen yang dapat dibentuk dari himpunan dengan n elemen. Dua atau lebih elemen-elemen yang sama dianggap sebagai himpunan yang sama meskipun urutan elemen-elemennya berbedaContoh :Misal A = {1,2,3}Jumlah himpunan bagian dengan 2 elemen yang dibentuk dari himpunan A :

{1,2} = {2,1}{1,3} = {3,1} 3 buah{2,3} = {3,2}

3

!1!2

23

!23!2

!3

2

3)2,3( 3

2

CCC

7

Interpretasi Kombinasi (Cont.)

2. Persoalan kombinasi dapat dipandang sebagai cara memilih r buah elemen dari n buah elemen yang ada, tetapi urutan elemen di dalam susunan hasil pemilihan tidak penting

Contoh :Misal sebuah kelompok memiliki 20 orang anggota, kemudian dipilih 5 orang sebagai delegasi, dimana delegasi merupakan kelompok yang tidak terurut (artinya setiap anggota di dalam delegasi kedudukannya sama).Sehingga banyaknya cara memilih anggota delegasi yang terdiri dari 5 anggota delegasi yang terdiri dari 5 orang anggota adalah :

caraCCC 15504!520!5

!20

5

20)5,20( 20

5

8

Contoh 1

Ada berapa cara dapat memilih 3 dari 4 elemen himpunan A = {a,b,c,d} ?

9

Solusi

Merupakan persoalan kombinasi karena urutan kemunculan ketiga elemen tersebut tidak penting

{a,b,c} , {a,b,d} , {a,c,d} dan {b,c,d}Sehingga :

caraCCC 4!34!3

!4

3

4)3,4( 4

3

10

Contoh 2

Berapa cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi ?

11

Solusi

Diketahui: Nasi goreng = r = 3 kali Hari dalam 1 minggu = n = 7

hariMaka :

caraCCC 35!37!3

!7

3

7)3,7( 7

3

12

Contoh 3

Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit (1 atau 0)a) Berapa banyak pola bit yang

terbentuk ?b) Berapa banyak pola bit yang

mempunyai 3 bit 1 ?c) Berapa banyak pola bit yang

mempunyai bit 1 sejumlah genap ?

13

Solusi 1 byte = 8 bit (posisi 0 .. 7) 1 bit terdiri dari “1” atau “0” Maka :

a) Posisi bit dalam 1 byte : 7 6 5 4 3 2 1

0

Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

:Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)Semua posisi harus diisi sehingga jumlah pola bit yang terbentuk :

(2)(2)(2)(2) (2)(2)(2)(2) = 28

b) Banyaknya pola bit yang mempunyai 3 bit 1 :

caraCCC 56!38!3

!8

3

8)3,8( 8

3

14

c) Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)Banyaknya pola bit yang mempunyai 8 buah bit 1 = C(8,8)

Sehingga banyaknya pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap :

C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) + C(8,8) =

1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128

15

Contoh 4

Sebuah kelompok belajar beranggotakan 7 pria dan 5 wanita. Berapa banyak cara memilih delegasi yang terdiri dari 4 orang dengan jumlah pria lebih banyak daripada jumlah wanita ?

16

Solusi

Pria = 7 orang Wanita = 5 orang delegasi = 4 orang, jumlah pria lebih banyak

daripada jumlah wanita Maka :

delegasi terdiri dari 4 orang pria dan 0 orang wanita C(7,4) x C(5,0) = 35 x 1 = 35

delegasi terdiri dari 3 orang pria dan 1 orang wanita C(7,3) x C(5,1) = 35 x 5 = 175

Sehingga jumlah cara pembentukan delegasi seluruhnya :

C(7,4) x C(5,0) + C(7,3) x C(5,1) = 35 + 175 = 210 cara

17

Contoh 5

Sebuah rumah rawat inap pasien ada 3 buah kamar A, B dan C. Tiap kamar dapat menampung 3 atau 4 orang. Berapa jumlah cara pengisian kamar untuk 10 orang ?

18

Diketahui : Kamar = r = 3 buah (A, B dan C) Penghuni = n = 10 orang

Misalkan :i. Masing-masing kamar dihuni 4, 3 dan 3

orang. Jumlah cara : C(10,4)xC(6,3)xC(3,3) = C(10,4)xC(6,3)

ii. Masing-masing kamar dihuni 3, 4 dan 3 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,4)xC(3,3) = C(10,3)xC(7,4)

iii. Masing-masing kamar dihuni 3, 3 dan 4 orang. Jumlah cara : C(10,3)xC(7,3)xC(4,4) = C(10,3)xC(7,3)

Sehingga total jumlah cara pengisian kamar :

C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

210 x 20 + 120 x 35 + 120 x 35 = 12600atau

C(10,4)xC(6,3) + C(10,3)xC(7,4) + C(10,3)xC(7,3) =

3 C(10,4) x C(6,3) = 3 x 210 x 20 = 12600

19

Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum

Misal n buah bola tidak seluruhnya berbeda warna (beberapa bola yang warnanya sama)

n1 bola diantaranya berwarna 1

n2 bola diantaranya berwarna 2 …

nk bola diantaranya berwarna k

Sehingga n1 + n2 + … + nk = n. Bola-bola tersebut dimasukkan ke dalam n buah kotak, masing-masing kotak berisi paling banyak 1 buah bola. Berapa banyak jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam kotak-kotak tersebut ?

20

Jika n buah bola dianggap berbeda semua, maka jumlah cara pengaturan n buah bola ke dalam n buah kotak adalah : P(n,n) = n !

Karena tidak seluruh bola berbeda maka pengaturan n buah bola :

n1! cara memasukkan bola berwarna 1

n2! cara memasukkan bola berwarna 2 …

nk! cara memasukkan bola berwarna k

Sehingga permutasi n buah bola dikenal dengan permutasi bentuk umum :

!!...!

!

!!...!

,),...,,;(

212121

kkk nnn

n

nnn

nnPnnnnP

21

Mula-mula menempatkan bola-bola berwarna 1 ke dalam n buah kotak

ada C(n,n) cara n1 buah bola berwarna 1 Bola berkurang n1 sehingga sisa n - n1 kotak

ada C(n-n1, n2) cara buah bola berwarna 2 Bola berkurang (n1 + n2 )sehingga sisa n - n1- n2

kotak

ada C(n-n1- n2, n3) cara buah bola berwarna 3 Dan seterusnya sampai bola berwarna k

ditempatkan dalam kotak Sehingga jumlah cara pengaturan seluruh bola

ke dalam kotak dikenal dengan kombinasi bentuk umum adalah :

!!...!

!

!...!

!...

!!

!

!!

!

,......,,),...,,;(

21

121

121

212

1

11

12121121

k

kkk

k

kkk

nnn

n

nnnnnn

nnnn

nnnn

nn

nnn

n

nnnnnCnnnCnnCnnnnC

22

Jika S adalah himpunan ganda dengan n buah objek yang di dalamnya terdiri dari k jenis objek berbeda dan tiap objek memiliki multiplisitas n1, n2, … ,nk (jumlah objek seluruhnya n1 + n2 + … + nk = n) maka jumlah cara menyusun seluruh objek adalah :

!!...!

!),...,,;(),...,,;(

212121

kkk nnn

nnnnnCnnnnP

23

Contoh 6

Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI ?

24

Solusi

S = {M,I,S,S,I,S,S,I,P,P,I}Huruf M = 1 buahHuruf I = 4 buahHuruf S = 4 buahHuruf P = 2 buah

Sehingga n = 1 + 4 + 4 + 2 = 11 buah jumlah elemen himpunan S

Ada 2 cara :i. Permutasi :

Jumlah string = P(n; n1,n2,n3,n4) = P(11; 1,4,4,2) = 34650 buah

ii. Kombinasi :Jumlah string = C(11,1) C(10,4) C(6,4) C(2,2)

= 34650 buah

25

Contoh 7

Ada 12 lembar karton akan diwarnai sehingga ada 3 diantaranya berwarna merah, 2 berwarna jingga, 2 berwarna ungu dan sisanya berwarna coklat. Berapa jumlah cara pewarnaan ?

26

Solusi

Diketahui :

n1 = 3

n2 = 2

n3 = 2

n4 = 5 Jumlah cara pewarnaan :

cara

PPnnnnnP 166320

!5!2!2!3

!12

!5!2!2!3

12,12)5,2,2,3;12(),,,;( 4321

n = 12

27

Kombinasi Pengulangan

Misalkan terdapat r buah bola yang semua warnanya sama dan n buah kotak Jika masing-masing kotak hanya boleh diisi

1 buah bola maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n,r) Jika masing-masing kotak boleh lebih dari 1

buah bola, maka jumlah cara memasukkan bola ke dalam kotak adalah :

C(n+r-1, r) C(n+r-1, r) adalah membolehkan adanya

pengulangan elemen n buah objek akan diambil r buah objek dengan pengulangan diperbolehkan

28

Contoh 8

Ada 20 buah apel dan 15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak, tiap anak boleh mendapat lebih dari 1 buah apel atau jeruk, atau tidak sama sekali. Berapa jumlah cara pembagian yang dapat dilakukan ?

29

Solusi Diketahui :

n = 5 orang anakr1 = 20 buah apelr1 = 15 buah jeruk

20 buah apel dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+20-1,20) = C(24,20)

15 buah jeruk dibagikan kepada 5 orang anak C(n+r-1,r) = C(5+15-1,15) = C(19,15)

Jika setiap anak boleh mendapat apel dan jeruk maka jumlah cara pembagian kedua buah tersebut adalah :

C(24,20) C(19,15) = 23 x 22 x 21 x 19 x 17 x 4 x 3

= 41.186.376 cara

30

Contoh 9

Toko roti “Lezat” menjual 8 macam roti. Berapa jumlah cara mengambil 1 lusin roti ? (1 lusin = 12 buah)

31

Solusi Diketahui :

n = 8 macam rotir = 1 lusin = 12 buah roti

Misalkan macam-macam roti dianalogikan sebagai kotak. Setiap kotak mungkin berisi lebih dari 1 buah roti.

Sehingga jumlah cara memilih 1 lusin roti (sama dengan jumlah cara memasukkan 1 lusin roti ke dalam 8 macam roti) yaitu :

C(n+r-1,r) = C(8+12-1,12) = C(19,12)

32

Contoh 10

Ada 3 buah dadu dilempar secara bersama-sama. Berapa banyaknya hasil berbeda yang mungkin terjadi ?

33

Solusi

Diketahui :n = 6 6 buah mata dadur = 3 3 dadu dilemparkan

bersamaan Sehingga banyaknya hasil berbeda

yang mungkin terjadi adalah :C(n+r-1,r) = C(6+3-1,3)

= C(8,3) = 56 cara

34

Latihan

1. Ada 6 orang mahasiswa jurusan Teknik Informatika dan 8 orang mahasiswa jurusan Teknik Elektro. Berapa banyak cara membentuk delegasi yang terdiri dari 4 orang jika :

a. Tidak ada batasan jurusanb.Semua anggota delegasi harus dari

jurusan Teknik Informatikac. Semua anggota delegasi harus dari

jurusan Teknik Elektrod.Semua anggota panita harus dari jurusan

yang samae.2 orang mahasiswa per jurusan harus

mewakili

35

LATIHAN

Matematika Diskrit

1. Berapa banyak cara membagikan 7 buah kartu remi yang diambil dari tumpukan kartu ke masing-masing dari 4 orang ? (tumpukan kartu = 52 buah)

2. Di ruang baca Teknik Informatika terdapat 4 buah jenis buku yaitu buku Basis Data, buku Matematika Diskrit dan buku Pemograman dengan Visual Basic. Ruang baca memiliki paling sedikit 6 buah buku untuk masing-masing jenis. Berapa banyak cara memilih 6 buah buku ?

36

Latihan (cont.)

3. Carilah jumlah himpunan bagian dari A = {a,b,c,d,e} bila diletakkan ke himpunan B dengan 2 elemen ?

4. Di dalam sebuah kelas terdapat 100 mahasiswa, 40 orang diantaranya pria.3. Berapa banyak cara dapat dibentuk

sebuah delegasi 10 orang ? 4. Ulangi pertanyaan (a) jika banyaknya pria

harus sama dengan banyaknya wanita5. Ulangi pertanyaan (a) jika delegasi harus

terdiri dari 6 pria dan 4 wanita atau 4 pria dan 6 wanita

5. Berapakah jumlah himpunan bagian dari himpunan B = {1, 2, …, 10} yang mempunyai anggota paling sedikit 6?

37

Latihan (Cont.)

6. Sebuah klub mobil antik branggotakan 6 orang pria dan 5 orang wanita. Mereka akan membentuk delegasi yang terdiri dari 5 orang. Berapa banyak jumlah delegasi yang dapat dibentuk jika delegasinya terdiri dari paling sedikit 1 pria dan 1 wanita ?

7. Sebuah kelompok terdiri dari 7 orang waita dan 4 orang pria. Berapa banyak delegasi 4 orang yang dapat dibentuk dari kelompok itu jika paling sedikit harus ada 2 orang wanita di dalamnya ?

38

Latihan (Cont.)

8. Tersedia 6 huruf : a, b, c, d, e dan f. berapa jumlah pengurutan 4 huruf jika :

a) Tidak ada huruf pengulanganb) Boleh ada huruf pengulanganc) Tidak boleh ada huruf yang

diulang tetapi huruf d harus adad) Boleh ada huruf yang berulang,

huruf d harus ada9. Berapa banyak string yang dapat

dibentuk dari huruf-huruf kata “WEAKNESS” sedemikian sehingga 2 buah huruf “S” tidak terletak berdampingan ?