Permutasi dan Kombinasi

Pendahuluan

Banyak masalah menghitung dapat diselesaikan dengan mencari banyaknyacara untuk menyusun sejumlah elemen-elemen berbeda yang ditentukandari suatu himpunan dengan ukuran tertentu, dimana urutan carapenyusunan dari elemen-elemen tersebut diperhatikan. Banyak juga masalah menghitung yang lain dapat diselesaikan denganmencari banyaknya cara memilih sejumlah elemen tertentu dari elemen-elemen dari suatu himpunan dengan ukuran tertentu, dimana urutan caramemilih elemen-elemen tersebut tidak diperhatikan

Misalnya , Berapa banyak cara kita dapat menyusun 3 anak dari kumpulan yang terdiridari 5 anak untuk berdiri pada satu garis ?Berapa banyak panitia yang berbeda dari 3 anak dapat dibentuk darikumpulan yang terdiri dari 4 anak ?

Pada bagian ini kita kan membangun suatu metode untuk menjawabpertanyaan-pertanyan sejenis itu

Permutasi

Kita mulai dengan pertanyaan pertama pada bagian pendahuluan sebelumnyasebagai pertanyaan yang berkaitan dengan permutasi

Contoh :

Dalam berapa cara kita dapat memilih 3 anak dari 5 orang anak untuk berdiri dalamsatu garis pada suatu pengambilan foto ? Dalam berapa cara kita dapat menyusun limaanak pada suatu pengambilan foto ?

Permutasi dari suatu himpunan objek adalah suatu urutan dari objek-objek pada himpunantersebut. Seringkali kita juga tertarik untuk menyusun beberapa objek dari suatu himpunan. Susunan dari 𝑟 elemen dari suatu himpunan disebut suatu 𝑟 −permutasi

Contoh :Misal 𝑆 = 1,2,3 . Susunan yang diurutkan 3,1,2 adalah suatu permutasi dari 𝑆.Susunan yang diurutkan 3,2 adalah 2 − permutasi dari 𝑆

Banyaknya r − permutasi dari suatu himpunan yang memiliki n anggota dinotasikandengan 𝑃 𝑛, 𝑟 . Kita dapat mencari 𝑃(𝑛, 𝑟) dengan menggunakan aturan perkalian

Sekarang kita menggunakan menggunakan aturan perkalian untuk mencari 𝑃(𝑛, 𝑟) dengan 𝑛 dan 𝑟 adalah bilangan positif dan 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛

TEOREMA 1Jika 𝑛 adalah bilangan bulat positif dan 𝑟 adalah bilangan bulat dengan 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 , maka terdapat

𝑃 𝑛, 𝑟 = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 … 𝑛 − 𝑟 + 1

𝑟 − permutasi dari suatu himpunan dengan 𝑛 anggota yang berbeda

Bukti :

Catat bahwa 𝑃 𝑛, 0 = 1 jika 𝑛 adalah bilangan bulat non negatif , karena ada tepatsatu cara untuk mengurutkan jika himpunan tidak memiliki anggota

Dengan teorema 1 kita mengetahui bahwa jika 𝑛 adalah bilangan bulatnon negatif maka 𝑃 𝑛, 𝑛 = n!

Akibat TEOREMA 1 :

Jika 𝑛 dan 𝑟 adalah bilangan bulat dengan 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 maka 𝑃 𝑛, 𝑟 =𝑛!

𝑛−𝑟

Bukti :

Contoh :Berapa banyak cara untuk memilih pemenang pertama, pemenang kedua dan pemenangketiga dari 100 orang yang berbda yang mengikuti kontes.

Contoh :Ada berapa banyak permutasi dari huruf ABCDEFGH dengan ABC muncul sebagaisatu blok

Kombinasi

Selanjutnya kita akan berbicara tentang pemilihan objek dengan tidak memperhatikanurutan. Kita mulai dengan menjawab pertanyaan yang diajukan di pendahuluan

Contoh :Berapa banyak panitia yang berbeda dari 3 anak dapat dibentuk dari kumpulan yang terdiri dari 4 anak ?

Contoh di atas mengilustrasikan bahwa banyak masalah menghitungdapat diselesaikan dengan mencari banyaknya himpunan bagiandengan ukuran tertentu dari himpunan yang beranggotakan𝑛 anggota, dimana 𝑛 bilangan positif

Suatu 𝑟 − kombinasi dari suatu himpunan adalah pemilihan 𝑟 elemen dari himpunantersebut yang tidak diurutkan . Jadi sebenarnya 𝑟 − kombinasi bisa kita lihat sebagaibanyaknya himpunan bagian beranggotakan 𝑟 anggotaBanyaknya 𝑟 − kombinasi dari suatu himpunan yang beranggotakan 𝑛 anggota

dinotasikan dengan 𝐶 𝑛, 𝑟 . Adakalanya 𝐶 𝑛, 𝑟 juga dinotasikan dengan𝑛𝑟

dan disebut

sebagai koefisien binomial.

Contoh :Kita bisa lihat bahwa 𝐶 4,2 = 6 , karena 2− kombinasi dari 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 adalah 6 himpunanbagian dari 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 yang memiliki 2 anggota , yakni 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑐 , 𝑎, 𝑑 , 𝑏, 𝑐 ,𝑏, 𝑑 dan 𝑐, 𝑑

Perhatikan bahwa 𝑟 − permutasi dari suatu himpunan dapat diperolehdengan pertama-tama membentuk 𝑟 −kombinasi dan kemudianmengurutkan anggota dari kombinasi tersebutBukti dari Teorema 2 , yang memberikan nilai dari 𝐶 𝑛, 𝑟 , adalahberdasarkan observasi ini

TEOREMA 2Banyaknya 𝑟 − kombinasi dari himpunan dengan 𝑛 elemen , dimana 𝑛 bilangan bulat non negatif dan 𝑟 adalah bilangan bulat yang memenuhi 1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 , adalah

𝐶 𝑛, 𝑟 =𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)!

Bukti :

Rumus pada Teorema 2 . walaupun jelas, tapi tidak cukup membantu jika 𝐶(𝑛, 𝑟)dihitung untuk 𝑛 dan 𝑟 besar. Hal itu karena menghitung faktorial akan menjaditidak praktis jika 𝑛 dan 𝑟 besar dan jika dikerjakan dengan menggunakan aritmatika“tiik mengambang” bisa diperoleh bukan bilangan bulat.

Akan memudahkan untuk menghitung jika rumus tersebut diubah ke dalam bentuk sepertiberikut ini

𝐶 𝑛, 𝑟 =𝑛!

𝑟!(𝑛−𝑟)!=

𝑛 𝑛−1 …(𝑛−𝑟+1)

𝑟!

Jika menghitung secara manual , akan membantu dalam perhitungan jika bagian penyebut dan pembilang dinyatakan dalam perkalian dari fakitor-faktornya dan kemudian menyederhana-kanya dengan memperhatikan faktor persekutuannya

Contoh :Berapa banyak cara memilih 5 kartu dari 52 kartu ? Dan bagaimana cara memilih 47 kartu dari 52 kartu ?

Perhatikan bahwa 𝐶 52,5 = 𝐶(52,47)

Selanjut kita punyai identitas seperti berikut :

Akibat TEOREMA 2Misal 𝑛 dan 𝑟 adalah bilangan non negatif dengan 𝑟 ≤ 𝑛 , maka berlaku𝐶 𝑛, 𝑟 = 𝐶(𝑛, 𝑛 − 𝑟)

Bukti :

Kita juga dapat membuktikan akibat Teorema 2 tanpa menggunakan manipulasi aljabar, kita dapat menggunakan bukti kombinatorial. Definisi berikut mendeskripsikan tipe-tipepenting dari bukti

DEFINISI 1Suatu bukti kombinatorial dari suatu identitas adalah bukti yang menggunakanargumentasi menghitung untuk membuktikan bahwa kedua sisi dari identitas memilikibanyak objek yang sama tapi dengan cara menghitung yang berbeda atau bukti yang berdasarkan pada adanya fungsi bijeksi diantara himpunan-himpunan objek yang dihitungpada kedua sisi identitasDua tipe bukti itu dinamakan bukti menghitung ganda ( double counting proof ) atau buktibijektif ( bijective proof )

Banyak identitas dapat dibuktikan dengan menggunakan bukti binomial , tetapi buktikombinatorial lebih memberikan pemahaman yang lebih baik . Berikut kita akanmembahas bukti kombinatorial untuk akibat Teorema 2

Akibat TEOREMA 2Misal 𝑛 dan 𝑟 adalah bilangan non negatif dengan 𝑟 ≤ 𝑛 , maka berlaku𝐶 𝑛, 𝑟 = 𝐶(𝑛, 𝑛 − 𝑟)

Bukti : Menghitung ganda

Akibat TEOREMA 2Misal 𝑛 dan 𝑟 adalah bilangan non negatif dengan 𝑟 ≤ 𝑛 , maka berlaku𝐶 𝑛, 𝑟 = 𝐶(𝑛, 𝑛 − 𝑟)

Bukti : Bukti bijektif

Contoh :Berapa banyak cara memilih 5 pemain dari 10 orang anggota tim tenis dalampertandingan pada suatu kunjungan ke sekolah lain

Contoh :Suatu grup terdiri 30 orang mengikuti pelatihan sebagai astronot dalam misi pertamake Mars. Ada berapa cara untuk memilih crew yang terdiri dari 6 orang untukberangkat pada misi tersebut ( asumsikan bahwa semua anggota crew memiliki tugasyang sama )

Contoh :Misal ada 9 dosen pada departemen matematika dan 11 pada departemen sainkomputer. Ada berapa cara untuk memilih suatu panitia workshop matematikadiskrit jika panitia terdiri dari 3 anggota dari departemen matematika dan empatdari departemen komputer sain