Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Prosedur Penelitian
Berikut merupakan penjelasan ringkas mengenai prosedur penelitian pada
skripsi ini adalah :
1. Melakukan studi literatur mengenai konsep dasar kematian bayi, overdispersi,
regresi Poisson, dan regresi Zero-Truncated Negative Binomial.
a. Kematian Bayi
Kematian bayi adalah kematian bayi antara usia 0 tahun sampai usia kurang
dari satu tahun. Kematian bayi dapat terjadi pada periode persalinan, 24 jam
pertama pasca persalinan, dan 2-7 hari pasca lahir. Dalam penelitian ini
artinya kematian bayi yang terjadi di Kota Cimahi tahun 2017 yang tercatat
di 13 Puskesmas di Kota Cimahi.
b. Overdispersi
Overdispersi berasal dari kata over dan dispersi. Over dapat diartikan
berlebih, sedangkan dispersi/ukuran variasi dalam statistik diartikan sebagai
ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari
nilai-nilai pusatnya. Maka dapat disimpulkan overdispersi adalah penyebaran
berlebih pada suatu data karena varians yang diamati lebih besar nilainya
daripada varians model teoritis.
c. Regresi
Regresi adalah suatu metode statistik yang digunakan untuk mengetahui
pengaruh antara dua atau lebih variabel. Hubungan variabel tersebut bersifat
fungsional yang disajikan dalam suatu model matematis. Pada analisis
regresi, variabel dibedakan menjadi dua, yaitu variabel respon atau disebut
variabel terikat dan variabel prediktor atau disebut variabel bebas.
d. Regresi Poisson
Menurut (Gujarati, 2004 : 22-24), dalam analisis regresi terdapat asumsi pada
variabel respon dan variabel prediktor, yaitu variabel respon diasumsikan
random sehingga mempunyai distribusi probabilitas. Sedangkan variabel
prediktor diasumsikan mempunyai nilai yang tertentu (dalam sampel
23
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
tertentu). Sehingga dapat diartikan regresi Poisson adalah hubungan antara
variabel respon yang berdistribusi Poisson dengan satu atau lebih variabel
prediktor.
e. Regresi Zero-Truncated Negative Binomial
Zero-Truncated dapat diartikan terpotong-nol atau nilai nol tidak dapat terjadi
pada suatu data. Distribusi Zero-Truncated Negative Binomial adalah bentuk
khusus dari distribusi binomial negatif yang mengecualikan nilai nol.
Sehingga regresi zero-truncated negative binomial adalah hubungan antara
variabel respon yang berdistribusi binomial negatif dengan satu atau lebih
variabel prediktor.
2. Mengambil data sekunder dari Buku Profil Kesehatan Kota Cimahi 2017 yaitu
banyak kematian bayi di Kota Cimahi tahun 2017.
3. Menentukan model banyak kematian bayi di Kota Cimahi tahun 2017 dengan
menggunakan regresi Poisson.
4. Melakukan uji Overdispersi pada model regresi Poisson.
5. Menentukan model banyak kematian bayi di Kota Cimahi tahun 2017 dengan
menggunakan regresi Zero-Truncated Negative Binomial.
6. Penarikan kesimpulan dari penelitian yang dilakukan.
3.2 Pengumpulan Data
3.2.1 Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data sekunder, yaitu banyak
kematian bayi di Kota Cimahi tahun 2017 yang diperoleh dari Buku Profil Dinas
Kesehatan Kota Cimahi Tahun 2017 pada Lampiran 1. Data sekunder merupakan
data penelitian yang diperoleh peneliti secara tidak langsung melalui media
perantara (diperoleh dan dicatat oleh pihak lain). Data sekunder umumnya berupa
bukti, catatan atau laporan historis yang telah tersusun dalam arsip yang
dipublikasikan dan yang tidak dipublikasikan.
3.2.2 Variabel Penelitian
Terdapat dua variabel yang digunakan pada penelitian ini yaitu variabel
respon dan variabel prediktor.
24
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3.2.2.1 Variabel Respon
Variabel respon adalah variabel yang dipengaruhi karena adanya variabel
prediktor. Variabel respon yang digunakan dalam penelitian ini adalah banyak
kematian bayi di Kota Cimahi tahun 2017.
3.2.2.2 Variabel Prediktor
Variabel prediktor adalah variabel yang memengaruhi, yang menyebabkan
timbulnya atau berubahnya variabel respon. Variabel prediktor yang digunakan
dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Persentase bayi berat badan lahir rendah (BBLR) di Kota Cimahi sebagai
variabel prediktor pertama (𝑋1)
2. Persentase bayi yang diberi ASI eksklusif di Kota Cimahi sebagai variabel
prediktor kedua (𝑋2)
3. Persentase pemberian vitamin A pada bayi di Kota Cimahi sebagai variabel
prediktor ketiga (𝑋3)
4. Persentase imunisasi dasar lengkap pada bayi di Kota Cimahi sebagai variabel
prediktor keempat (𝑋4)
5. Persentase ibu hamil mendapatkan tablet Fe3 di Kota Cimahi sebagai variabel
prediktor kelima (𝑋5)
6. Persentase persalinan oleh tenaga kesehatan di Kota Cimahi sebagai variabel
prediktor keenam (𝑋6)
7. Persentase ibu hamil melaksanakan program K4 di Kota Cimahi sebagai variabel
prediktor ketujuh (𝑋7)
3.2.3 Metode Analisis
Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan
analisis deskriptif untuk memberikan gambaran kematian bayi di Kota Cimahi.
Selain itu dilakukan analisis inferensi berupa pengujian model yang dibentuk serta
melakukan analisis faktor-faktor yang diduga memengaruhi kematian bayi di Kota
Cimahi. Dalam estimasi parameter, menggunakan metode penaksiran kemungkinan
maksimum.
25
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3.3 Analisis Data
3.3.1 Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji Kolmogorov-Smirnov merupakan salah satu uji untuk kebaikan goodness
of fit test (kecocokan). Uji ini digunakan untuk membandingkan tingkat kesesuaian
sampel dengan suatu distribusi tertentu yaitu normal, uniform, Poisson atau
eksponensial. Pada penelitian ini uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk
mengetahui banyak kematian bayi di Kota Cimahi tahun 2017 mengikuti distribusi
Poisson atau tidak. Berikut langkah-langkah pengujiannya :
a. Perumusan Hipotesis
𝐻0 ∶ data berdistribusi Poisson
𝐻1 ∶ data tidak berdistribusi Poisson
b. Besaran-besaran yang diperlukan :
1. Menghitung 𝐹0(𝑥) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi
Poisson .
2. Menghitung fungsi distribusi empiris �̂�𝑛(𝑥)
3. Menghitung nilai 𝐷+ dan 𝐷− dan menentukan maksimum dari
𝐷𝑛 (𝐷𝑛 = max (𝐷+, 𝐷−)).
c. Kriteria Pengujian
Dengan mengambil taraf nyata sebesar 𝛼, 𝐻0 ditolak jika 𝐷𝑛 ≥ 𝐷 𝛼
d. Kesimpulan
Penafsiran dari 𝐻0 ditolak atau 𝐻0 diterima.
Untuk memudahkan pengujian pada penelitian ini, penulis menggunakan software
SPSS.
3.3.2 Uji Multikolinearitas
Multikolinearitas didefinisikan sebagai suatu kondisi dimana dua atau lebih
variabel prediktor pada persamaan regresi berkorelasi tinggi. Adanya korelasi
tinggi akan menyebabkan nilai taksiran tidak stabil dan hasil analisis regresi
menjadi tidak sesuai dengan teori. Salah satu cara mendeteksi adanya
multikolinearitas pada suatu data yaitu menggunakan nilai Variance Inflation
Factor (VIF). Jika nilai VIF melebihi 10, maka hal ini menunjukkan adanya
26
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
masalah multikolinearitas antar variabel prediktor. Model yang baik tidak
mengalami multikolinearitas. Rumus untuk menghitung VIF adalah :
𝑉𝐼𝐹𝑘 =1
1−𝑅𝑘2
dimana 𝑅𝑘2 adalah koefisien determinasi antara 𝑋𝑘 dengan variabel prediktor lain,
dengan rumusnya sebagai berikut:
𝑅𝑘2 =
[∑(𝑋𝑘 − �̅�𝑘)(𝑋𝑘∗ − �̅�𝑘∗)]2
∑(𝑋𝑘 − �̅�𝑘)2(𝑋𝑘∗ − �̅�𝑘∗)2
, 𝑘 = 1,2, … , 𝑛 𝑑𝑎𝑛 𝑘 ≠ 𝑘 ∗
3.3.3 Pemodelan dengan Regresi Poisson
3.3.3.1 Regresi Poisson
Regresi Poisson termasuk salah satu dari Generalized Linear Model (GLM),
karena dalam regresi Poisson mempunyai syarat yaitu salah satunya data variabel
respon harus berdistribusi Poisson, dimana distribusi Poisson termasuk kedalam
keluarga eksponensial yang merupakan komponen dalam Generalized Linear
Model (GLM).
Didalam komponen Generalized Linear Model (GLM) terdapat fungsi
penghubung (link function) yang digunakan untuk menghubungkan nilai tengah
variabel respon dengan sebuah variabel prediktor. Pada regresi Poisson, fungsi
penghubung yang digunakan adalah fungsi penghubung log yang menjamin bahwa
nilai variabel yang diharapkan dari variabel respon akan bernilai non negatif.
Fungsi penghubung log adalah sebagai berikut :
ln(𝜇𝑖) = 𝑥𝑖𝑇𝛽 (3.1)
Pada persamaan (3.1), apabila kedua ruas diambil fungsi eksponensial maka dapat
ditulis :
𝑒ln(𝜇𝑖) = 𝑒𝑥𝑖𝑇𝛽 (3.2)
𝜇𝑖 = 𝑒𝑥𝑖𝑇𝛽 (3.3)
Sehingga model regresi Poisson dapat dituliskan sebagai berikut :
ln(𝜇𝑖) = 𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖1 +⋯+ 𝛽𝑘𝑥𝑖𝑘
𝑒ln(𝜇𝑖) = 𝑒𝛽0+𝛽1 𝑥𝑖1+⋯+𝛽𝑘𝑥𝑖𝑘
𝜇𝑖 = exp(𝛽0 + 𝛽1 𝑥𝑖1 +⋯+ 𝛽𝑘 𝑥𝑖𝑘)
𝜇𝑖 = exp( 𝛽0 + ∑ 𝛽𝑚 𝑥𝑖𝑚𝑘𝑚=1 ) (3.4)
27
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dengan :
𝑥𝑖𝑚 : variabel prediktor ke-𝑘 pada pengamatan ke- 𝑖 dan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
𝜇 ∶ nilai tengah banyaknya kejadian
3.3.3.2 Penaksiran parameter Regresi Poisson
Menurut Harahap (2018), parameter 𝛽 dalam model regresi Poisson dapat
ditaksir dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum.
Fungsi peluang distribusi Poisson dapat ditulis sebagai berikut:
𝑓(𝑦𝑖; 𝛽) =exp(𝛽0+∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘𝑚=1 )
𝑦𝑖𝑒−exp (𝛽0+∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘𝑚=1 )
𝑦𝑖! (3.5)
Berdasarkan Persamaan (3.5), maka fungsi kemungkinan dari model regresi
Poisson adalah sebagai berikut:
𝐿(𝛽𝑚) = ∏ 𝑓(𝑦𝑖; 𝛽𝑚)𝑛𝑖=1
= ∏ [exp(𝛽0+∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘𝑚=1 )
𝑦𝑖𝑒−exp (𝛽0+∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘𝑚=1 )
𝑦𝑖!]𝑛
𝑖=1 (3.6)
Sehingga ln fungsi kemungkinan dari model regresi Poisson sebagai berikut:
𝐿(𝛽𝑚) = ∏ [
exp(𝛽0+∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚𝑘𝑚=1 )
𝑦𝑖𝑒−exp (𝛽0+∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘𝑚=1 )
𝑦𝑖!]𝑛
𝑖=1
ln[𝐿(𝛽𝑚)] = ln {∏ [
exp(𝛽0+∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚𝑘𝑚=1 )
𝑦𝑖𝑒−exp (𝛽0+∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘𝑚=1 )
𝑦𝑖!]𝑛
𝑖=1 }
ln[𝐿(𝛽𝑚)] = ∑𝑦𝑖 ln(𝑒𝑥𝑝 (𝛽0 + ∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘
𝑚=1
))
𝑛
𝑖=1
+∑ln [𝑒𝑥𝑝(−𝑒𝑥𝑝(𝛽0 + ∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘
𝑚=1
))] −∑ln(𝑦𝑖!)
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
ln[𝐿(𝛽𝑚)] =∑(𝑦𝑖 ln [𝑒𝑥𝑝 (𝛽0 +∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘
𝑚=1
)] + ln(𝑒𝑥𝑝 [−𝑒𝑥𝑝 (𝛽0 +∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘
𝑚=1
)])
𝑛
𝑖=1
− ln(𝑦𝑖!))
ln[𝐿(𝛽𝑚)] = ∑ (𝑦𝑖(𝛽0 + ∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚𝑘𝑚=1 ) − exp(𝛽0 + ∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘𝑚=1 ) − ln(𝑦𝑖!))
𝑛𝑖=1 (3.7)
28
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Persamaan (3.7) bisa ditulis juga sebagai berikut :
ln[𝐿(𝛽𝑚)] = ∑ 𝑦𝑖(𝛽0 + ∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚𝑘𝑚=1 )𝑛
𝑖=1 − ∑ exp(𝛽0 + ∑ 𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚𝑘𝑚=1 )𝑛
𝑖=1 − ∑ ln(𝑦𝑖!)𝑛𝑖=1
(3.8)
Untuk mendapatkan taksiran parameter 𝛽𝑚
, ln fungsi kemungkinan diturunkan
terhadap 𝛽𝑚 kemudian disamakan dengan nol
ln[𝐿(𝛽𝑚)] =∑𝑦𝑖 (𝛽0 +∑𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘
𝑚=1
)
𝑛
𝑖=1
−∑exp(𝛽0 +∑𝑥𝑖𝑚𝛽𝑚
𝑘
𝑚=1
)
𝑛
𝑖=1
−∑ln(𝑦𝑖!)
𝑛
𝑖=1
𝜕 ln[𝐿(𝛽𝑚)]
𝜕𝛽𝑚= ∑ 𝑦𝑖(∑ 𝑥𝑖𝑚
𝑘𝑚=1 )𝑛
𝑖=1 − ∑ (∑ 𝑥𝑖𝑚𝑘𝑚=1 ) exp(𝛽0 + ∑ 𝑥𝑖𝑚
𝑘𝑚=1 )𝑛
𝑖=1 = 0 (3.9)
Dari Persamaan (3.9) maka didapatkan nilai turunan kedua nya adalah :
𝜕 ln[𝐿(𝛽𝑚)]
𝜕𝛽𝑚
=∑𝑦𝑖 (∑𝑥𝑖𝑚
𝑘
𝑚=1
)
𝑛
𝑖=1
−∑(∑𝑥𝑖𝑚
𝑘
𝑚=1
) exp(𝛽0 +∑𝑥𝑖𝑚
𝑘
𝑚=1
)
𝑛
𝑖=1
= 0
𝜕2 ln[𝐿(𝛽𝑚)]
𝜕2𝛽𝑚= −∑ (∑ 𝑥𝑖𝑚
𝑘𝑚=1 ) exp(𝛽0 + ∑ 𝑥𝑖𝑚
𝑘𝑚=1 )𝑛
𝑖=1 = 0 (3.10)
Nilai taksiran 𝛽𝑚 dari Persamaan (3.10) tidak didapatkan secara eksplisit karena
persamaan tidak berbentuk linear, sehingga digunakan suatu algoritma yaitu Fisher
Scoring Method untuk mendapatkan taksiran parameter pada model regresi
Poisson. Penaksiran parameter dengan algoritma Fisher Scoring membutuhkan
vektor score dan matriks informasi Fisher. Vektor score adalah vektor yang
memuat elemen turunan pertama ln fungsi kemungkinan terhadap masing-masing
parameter. Matriks informasi Fisher merupakan modifikasi dari algoritma Newton
Raphson yang menggantikan matriks Hessiannya. Matriks Hessian merupakan
matriks yang elemen-elemennya terdiri atas nilai mean turunan kedua fungsi
kemungkinan terhadap masing-masing parameter.
29
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Berikut tahapan penaksiran parameter menggunakan algoritma Fisher Scoring
menurut Nurani (2015) dalam (Harahap, 2018) :
1. Menentukan taksiran awal parameter 𝛽, yaitu
�̂�(0) =
[ �̂�0�̂�1⋮�̂�𝑘] (0)
2. Membentuk vektor skor 𝑈(𝛽) yang merupakan turunan pertama dari fungsi
kemungkinan sebagai berikut:
𝑈(𝛽) =𝜕 ln[𝐿(𝛽𝑚)]
𝜕𝛽𝑚
𝑈(𝛽) = [
𝑈0(𝛽)
𝑈1(𝛽)⋮
𝑈𝑘(𝛽)
] =
[ 𝜕 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽0𝜕 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽1⋮
𝜕 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽𝑘 ]
Secara ringkas turunan pertama adalah sebagai berikut:
𝑈(𝛽) =∑𝑦𝑖 (∑𝑥𝑖𝑚
𝑘
𝑚=1
)
𝑛
𝑖=1
−∑(∑𝑥𝑖𝑚
𝑘
𝑚=1
) exp(𝛽0 +∑𝑥𝑖𝑚
𝑘
𝑚=1
)
𝑛
𝑖=1
3. Membentuk matriks informasi fisher (I).
𝐼(𝛽(𝑡)) = −
[ 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽02 ) 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽1𝜕𝛽0) … 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽𝑘𝜕𝛽0)
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽0𝜕𝛽1) 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽12 )
…⋱
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽𝑘𝜕𝛽1)
⋮⋮
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽0𝜕𝛽𝑘)
⋮
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽1𝜕𝛽𝑘) … 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽𝑘2 )
]
4. Memasukkan nilai �̂�(0)kedalam elemen-elemen vektor 𝑈(𝛽) dan matriks I
sehingga diperoleh vektor 𝑈(𝛽(0)) dan matriks 𝐼(𝛽(0))
5. Menghitung nilai invers matriks 𝐼(𝛽(0)) atau 𝑈(0)[𝐼(𝛽(0))]−1
30
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
6. Menghitung taksiran dari 𝛽 pada iterasi ke-t (𝑡 = 0,1,2, … ) yaitu �̂�𝑡+1
menggunakan persamaan iterasi sebagai berikut:
�̂�(𝑡+1) = �̂�(𝑡) + [𝐼(𝛽(𝑡))]−1𝑈(�̂�(𝑡))
[ �̂�0�̂�1⋮�̂�𝑘] (𝑡+1)
=
[ �̂�0�̂�1⋮�̂�𝑘] 𝑡
+
[ 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽02 ) 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽1𝜕𝛽0) … 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽𝑘𝜕𝛽0)
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽0𝜕𝛽1) 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽12 ) … 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽𝑘𝜕𝛽1)
⋮⋮
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽0𝜕𝛽𝑘)
⋮
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽1𝜕𝛽𝑘) … 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽𝑘2 )
] −1
[ 𝜕 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽0𝜕 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽1⋮
𝜕 ln[𝐿(𝛽)]
𝜕𝛽𝑘 ]
dengan:
�̂�(𝑡) : taksiran dari 𝛽 pada iterasi ke t
[𝐼(𝑡)]−1
: matriks berukuran (p+1) x (p+1) yang elemen-elemennya
merupakan terdiri atas nilai ekspektasi turunan kedua fungsi
kemungkinan
7. Jika |�̂�(𝑡+1) − �̂�(𝑡)| < 𝜀 dengan 𝜀 = 10−6, maka sudah konvergen. Jika
kekonvergenan belum tercapai maka dilakukan pengulangan langkah 2-7
Untuk menyelesaikan penaksiran parameter pada regresi Poisson menggunakan
metode kemungkinan maksimum melalui algoritma Newton Raphson, pada
penelitian ini penulis menggunakan bantuan software R.
3.3.4 Overdispersi
Model regresi Poisson mengasumsikan equidispersi, yaitu kondisi dimana
nilai mean dan variansi dari variabel respon bernilai sama. Namun overdispersi
dalam data yang dimodelkan dengan distribusi Poisson dapat terjadi. Overdispersi
berarti nilai variansi lebih besar daripada nilai mean. Overdispersi dalam regresi
poisson dapat mengakibatkan galat standar dari dugaan parameter regresi yang
dihasilkan memiliki kecenderungan untuk menjadi lebih rendah sehingga
menghasilkan kesimpulan yang tidak sesuai dengan data.
31
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
3.3.4.1 Devians
Menurut Harahap (2018), Devians dapat ditulis dengan :
𝐷 = −2 ln [𝐿(𝑦; 𝜇)
𝐿(𝑦; 𝑦)]
= 2(𝑙𝑜𝑔𝐿(𝑦; 𝑦) − 𝑙𝑜𝑔𝐿(𝑦; 𝜇))
= 2 {(𝑙𝑜𝑔∏𝑒−𝑦𝑖𝑦𝑖
𝑦𝑖
𝑦𝑖!
𝑛
𝑖=1
) − (𝑙𝑜𝑔∏𝑒−𝜇𝑖𝜇𝑖
𝑦𝑖
𝑦𝑖!
𝑛
𝑖=1
) }
= 2 {(∑(𝑦𝑖𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 − 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖!)
𝑛
𝑖=1
) − (∑(𝑦𝑖𝑙𝑜𝑔𝜇𝑖 − 𝜇𝑖 − 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖!)
𝑛
𝑖=1
)}
= 2 {∑(𝑦𝑖𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖 − 𝑦𝑖 − 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖!)
𝑛
𝑖=1
−∑(𝑦𝑖𝑙𝑜𝑔𝜇𝑖 − 𝜇𝑖 − 𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖!)
𝑛
𝑖=1
}
= 2∑ {𝑦𝑖𝑙𝑜𝑔𝑦𝑖
𝜇𝑖− (𝑦𝑖 − 𝜇𝑖)}
𝑛𝑖=1 (3.11)
3.3.4.2 Uji Ovedispersi
Pengujian overdispersi pada regresi Poisson dapat diindikasikan dengan
nilai devians yang dibagi derajat bebasnya. Jika hasil baginya lebih dari 1, maka
dikatakan terjadi overdispersi pada data. Berikut adalah langkah-langkah pengujian
overdispersi :
a. Perumusan Hipotesis
𝐻0 : tidak terdapat overdispersi pada model regresi poisson
𝐻1 : terdapat overdispersi pada model regresi poisson
b. Statistik uji
𝜙 =𝐷
𝑑𝑏=2∑ {𝑦𝑖 𝑙𝑛 (
𝑦𝑖�̂�𝑖) − (𝑦𝑖 − �̂�𝑖)}
𝑛𝑖=1
𝑑𝑏
Keterangan :
D : nilai devians
𝜙 : parameter dispersi
𝑦𝑖 : nilai variabel respon dari pengamatan ke-i
�̂�𝑖 : taksiran rata-rata banyak kasus ke-i pada model regresi poisson
32
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Dengan 𝑑𝑏 = 𝑛 − 𝑘, 𝑘 merupakan banyaknya parameter termasuk konstanta,
𝑛 merupakan banyaknya pengamatan.
c. Kriteria Pengujian
Dengan mengambil taraf nyata sebesar 𝛼, maka 𝐻0 ditolak jika 𝜙 > 1
d. Kesimpulan
Penafsiran dari 𝐻0 ditolak atau 𝐻0 diterima.
3.3.5 Pemodelan dengan Regresi Zero-Truncated Negative Binomial
3.3.5.1 Regresi Zero-Truncated Negative Binomial
Suatu pengamatan yang terjadi pada data cacah dengan variabel responnya
berupa non-zero (data mengecualikan nilai 0) atau disebut zero-truncated termasuk
kedalam pelanggaran asumsi distribusi data yang dapat menyebabkan terjadinya
overdispersi pada model regresi Poisson. Overdispersi merupakan penyebaran
berlebih dengan nilai variansi lebih besar dari nilai mean, hal tersebut melanggar
asumsi pada model regresi Poisson yaitu nilai mean sama dengan nilai variansi
(equidispersi). Apabila pada model regresi Poisson terjadi overdispersi namun
tetap digunakan, maka akan berpengaruh pada nilai standard error yang menjadi
turun atau underestimate, sehingga kesimpulan pada data menjadi tidak valid. Salah
satu metode alternatif untuk memodelkan data non-zero adalah model regresi Zero-
Truncated Negative Binomial. Pada regresi Zero-Truncated Negative Binomial,
fungsi penghubung yang digunakan adalah fungsi penghubung log yang menjamin
bahwa nilai variabel yang diharapkan dari variabel respon akan bernilai non negatif.
Fungsi penghubung log adalah sebagai berikut :
ln(𝜇𝑖) = 𝑥𝑖𝑇𝛽 (3.12)
Pada persamaan (3.12), apabila kedua ruas diambil fungsi eksponensial maka dapat
ditulis :
𝑒ln(𝜇𝑖) = 𝑒𝑥𝑖𝑇𝛽 (3.13)
𝜇𝑖 = 𝑒𝑥𝑖𝑇𝛽 (3.14)
Menurut Liu (2013), model regresi Zero-Truncated Negative Binomial adalah
sebagai berikut :
𝑙𝑜𝑔(𝜇𝑖) = 𝛾0 + 𝛾1𝑥1𝑖 +⋯+ 𝛾𝑝𝑥𝑝𝑖
33
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Sehingga model regresi Zero-Truncated Negative Binomial dapat dituliskan
sebagai berikut :
ln(𝜇𝑖) = 𝛾0 + 𝛾1𝑥1𝑖 +⋯+ 𝛾𝑝𝑥𝑝𝑖
𝑒ln(𝜇𝑖) = 𝑒𝛾0+𝛾1𝑥1𝑖+⋯+𝛾𝑝𝑥𝑝𝑖
𝜇𝑖 = exp(𝛾0 + 𝛾1𝑥1𝑖 +⋯+ 𝛾𝑝𝑥𝑝𝑖)
𝜇𝑖 = exp( 𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ) (3.15)
dengan :
𝑥𝑖𝑗 : variabel prediktor ke-𝑝 pada pengamatan ke- 𝑖 dan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
𝜇 ∶ nilai tengah banyaknya kejadian
Fungsi peluang pada model regresi Zero-Truncated Negative Binomial
didapatkan dari penaksiran nilai data terpotong (truncated data) yang mengikuti
hubungan dasar peluang (Grogger, 1991) :
𝑓𝑘(𝑌𝑖) =𝑓(𝑌𝑖)
1−𝐹(𝑘) (3.16)
dimana :
𝑓𝑘(𝑌𝑖) ∶ fungsi probabilitas data terpotong 𝑌𝑖 (diatas 𝑘)
𝑓(𝑌𝑖) ∶ fungsi probabilitas 𝑌𝑖
𝐹(𝑘) ∶ fungsi distribusi evaluasi pada 𝑘
Sehingga fungsi peluang pada model regresi Zero-Truncated Negative
Binomial merupakan hasil bagi antara fungsi peluang regresi binomial negatif
dengan fungsi distribusi regresi binomial negatif (𝐹𝑁𝐵(𝑦𝑖)) dengan parameter 𝑦𝑖 =
0 dikarenakan data pada variabel respon mengecualikan nilai 0 (zero-truncated).
Dari persamaan (3.13) maka fungsi peluang dapat ditulis sebagai berikut :
𝑃(𝑌𝑖 = 𝑦𝑖| 𝑦𝑖 > 0) =𝑃(𝑌𝑖 = 𝑦𝑖)
1 − 𝐹𝑁𝐵(𝑌𝑖 = 0 | 𝜇𝑖)
=Γ(𝑦 +
1𝑘)
𝑦! Γ(1𝑘)(
1
1 + 𝑘𝜇)
1𝑘(𝑘𝜇
1 + 𝑘𝜇)𝑦
[1 − (1 + 𝑘𝜇)−1𝑘]−1
=Γ(𝑦+
1
𝑘)
𝑦! Γ(1
𝑘) (𝑘𝜇)𝑦(1 + 𝑘𝜇)−(𝑦+
1
𝑘) [1 − (1 + 𝑘𝜇)−
1
𝑘]−1
(3.17)
34
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dengan :
𝐹𝑁𝐵(𝑌𝑖 = 0 | 𝜇𝑖) = Γ (𝑦 +
1𝑘)
𝑦! Γ (1𝑘)(
1
1 + 𝑘𝜇)
1𝑘(𝑘𝜇
1 + 𝑘𝜇)𝑦
=Γ(0 +
1𝑘)
0! Γ(1𝑘)(
1
1 + 𝑘𝜇)
1𝑘(
𝑘𝜇
1 + 𝑘𝜇)0
= (1
1 + 𝑘𝜇)
1𝑘= (1 + 𝑘𝜇)−
1𝑘
3.3.5.2 Penaksiran parameter Regresi Zero-Truncated Negative Binomial
Metode penaksiran yang digunakan dalam menaksir parameter model Zero-
Truncated Negative Binomial adalah metode kemungkinan maksimum. Fungsi
peluang distribusi Zero-Truncated Negative Binomial dapat ditulis sebagai:
𝑃(𝑌𝑖 = 𝑦𝑖| 𝑦𝑖 > 0) =Γ(𝑦+
1
𝑘)
𝑦! Γ(1
𝑘) (𝑘𝜇)𝑦(1 + 𝑘𝜇)−(𝑦+
1
𝑘) [1 − (1 + 𝑘𝜇)−
1
𝑘]−1
(3.18)
dengan :
𝜇𝑖 = 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑘𝑗=1 ) (3.19)
Substitusi persamaan (3.16) ke dalam persamaan (3.15), maka fungsi peluang
distribusi Zero-Truncated Negative Binomial yang terbentuk dapat ditulis sebagai
berikut :
𝑃(𝑌𝑖 = 𝑦𝑖| 𝑦𝑖 > 0) =Γ(𝑦+
1
𝑘)
𝑦! Γ(1
𝑘) (𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ))
𝑦(1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 +
∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−(𝑦+1
𝑘)[1 − (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ))
−1
𝑘]−1
(3.20)
Penaksiran parameter model regresi Zero-Truncated Negative Binomial dengan
metode kemungkinan maksimum yaitu memaksimumkan fungsi kemungkinan.
Untuk memaksimumkan fungsi kemungkinan dari model regresi Zero-Truncated
Negative Binomial yaitu menurunkan ln fungsi kemungkinannya terhadap
parameter regresi yang digunakan. Berdasarkan persamaan (3.17), maka fungsi
kemungkinan dari model Zero-Truncated Negative Binomial adalah sebagai
berikut:
35
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘) =∏𝑃(𝑌𝑖 = 𝑦𝑖| 𝑦𝑖 > 0)
𝑛
𝑖=1
= ∏ (Γ(𝑦𝑖+
1
𝑘)
𝑦𝑖! Γ(1
𝑘) (𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ))
𝑦𝑖(1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 +
𝑛𝑖=1
∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−(𝑦𝑖+1
𝑘)[1 − (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 )
−1
𝑘]−1
)
(3.21)
Sehingga ln fungsi kemungkinan dari model Zero-Truncated Negative Binomial
sebagai berikut :
ln 𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘) = ln {∏ (Γ(𝑦𝑖+
1
𝑘)
𝑦𝑖! Γ(1
𝑘) (𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛽0 + ∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ))
𝑦𝑖(1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛽0 +
𝑛𝑖=1
∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−(𝑦𝑖+1
𝑘)[1 − (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛽0 + ∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 )
−1
𝑘]−1
)}
ln 𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘) = ∑ lnΓ(𝑦𝑖+
1
𝑘)
𝑦𝑖! Γ(1
𝑘) 𝑛
𝑖=1 + ∑ 𝑦𝑖 ln 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 )𝑛
𝑖=1 −
∑ (𝑦𝑖 +1
𝑘) ln (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 )) − ∑ ln (1 −𝑛
𝑖=1𝑛𝑖=1
(1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−1
𝑘)
= ∑ lnΓ(𝑦𝑖+
1
𝑘)
Γ(1
𝑘) 𝑛
𝑖=1 − ∑ ln(𝑦𝑖!)𝑛𝑖=1 + ∑ 𝑦𝑖 ln 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 +
𝑛𝑖=1
∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ) − ∑ (𝑦𝑖 +
1
𝑘) ln (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 )) −𝑛
𝑖=1
∑ ln (1 − (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−1
𝑘)𝑛𝑖=1 (3.22)
Diketahui bahwa Γ(𝑦+𝑘)
Γ(𝑘)= 𝑘. (1 + 𝑘) .… . (𝑦 − 1 + 𝑘) untuk 𝑦 bilangan bulat.
Sehingga :
Γ(𝑦𝑖 +1𝑘)
Γ(1𝑘)
= 𝑘−1. (1 + 𝑘−1) . … . (𝑦𝑖 − 1 + 𝑘−1)
36
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Oleh karena itu ln 𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘) bisa ditulis tanpa fungsi Gamma dengan
lnΓ(𝑦𝑖 +
1𝑘)
Γ(1𝑘) = ln( 𝑘−1) + ln(1 + 𝑘−1) + ⋯+ ln(𝑦𝑖 − 1 + 𝑘
−1)
=∑ ln (1 + 𝑘𝑠
𝑘)
𝑦−1
𝑠=0
Sehingga ln 𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘) untuk model regresi Zero-Truncated Negative Binomial dapat
ditulis sebagai :
ln 𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘) =∑(∑ln (1 + 𝑘𝑠
𝑘)
𝑦−1
𝑠=0
)
𝑛
𝑖=1
−∑ln(𝑦𝑖!)
𝑛
𝑖=1
+∑𝑦𝑖 ln 𝑘 exp(𝛾0 +∑𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝
𝑗=1
)
𝑛
𝑖=1
−∑(𝑦𝑖 +1
𝑘)
𝑛
𝑖=1
ln(1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 +∑𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝
𝑗=1
))
−∑ln
(
1 − (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝
𝑗=1
))
−1𝑘
)
𝑛
𝑖=1
(3.23)
Untuk mendapatkan turunan pertama dari ln𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘) yaitu menurunkan ln𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘)
terhadap parameter-parameter regresinya kemudian dibuat sama dengan nol, dapat
ditulis sebagai berikut :
𝜕 ln 𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘)
𝜕𝛾𝑗= 0
∑ (𝑦𝑖− 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 )
1+𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1
)) −𝑛
𝑖=1 ∑ (𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 )(1+𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ))
−(1+1𝑘)
1−(1+𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+ ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1
))−1𝑘
)𝑛𝑖=1 = 0
(3.24)
37
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
Dari persamaan (3.21) maka didapatkan nilai turunan keduanya yaitu :
𝜕2 ln 𝐿(𝛾𝑗 , 𝑘)
𝜕2𝛾𝑗= 0
∑ 𝑥𝑖𝑗 exp (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ) 𝑥𝑖𝑗
{
1+𝑘𝑦𝑖
(1+𝑘exp(𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
2 −𝑛𝑖=1
exp(𝛾0+ ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 )(1+𝑘 exp(𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ))
−2(1+1𝑘)
[1−(1+𝑘exp(𝛾0+ ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−1𝑘]
2 +
(1+𝑘exp(𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−(1+1𝑘)−exp(𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ) (1+𝑘) (1+𝑘exp(𝛾0+ ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ))
(−2+1𝑘)
1−(1+𝑘exp(𝛾0+ ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−1𝑘
}
= 0
(3.25)
Nilai taksiran 𝛾𝑗 dari persamaan (3.22) tidak didapatkan secara eksplisit karena
persamaan tidak berbentuk linear, sehingga digunakan suatu algoritma yaitu Fisher
Scoring Method untuk mendapatkan taksiran parameter pada model regresi Zero-
Truncated Negative Binomial. Penaksiran parameter dengan algoritma Fisher
Scoring membutuhkan vektor score dan matriks informasi Fisher. Vektor score
adalah vektor yang memuat elemen turunan pertama ln fungsi kemungkinan
terhadap masing-masing parameter. Matriks informasi Fisher merupakan
modifikasi dari algoritma Newton-Raphson yang menggantikan matriks
Hessiannya. Matriks Hessian merupakan matriks yang elemen-elemennya terdiri
atas nilai mean turunan kedua fungsi kemungkinan terhadap masing-masing
parameter.
Berikut tahapan penaksiran parameter menggunakan algoritma Fisher Scoring :
1. Menentukan taksiran awal parameter 𝛾, yaitu
𝛾(∗) = [
𝛾0𝛾1⋮𝛾𝑝
]
(∗)
38
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
2. Membentuk vektor skor 𝑈(𝛾) yang merupakan turunan pertama dari fungsi
kemungkinan sebagai berikut:
𝑈(𝛾) =𝜕 ln[𝐿(𝛾𝑗)]
𝜕𝛾𝑗
𝑈(𝛾) =
[ 𝑈0(𝛾)
𝑈1(𝛾)⋮
𝑈𝑝(𝛾)] =
[ 𝜕 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾0𝜕 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾1⋮
𝜕 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾𝑝 ]
Secara ringkas turunan pertama adalah sebagai berikut:
𝑈(𝛾) =∑(𝑦𝑖 − 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 )
1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 )
)
𝑛
𝑖=1
−∑
(
𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ) (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0 + ∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑝𝑗=1 ))
−(1+1𝑘)
1 − (1 + 𝑘 𝑒𝑥𝑝 (𝛾0+∑ 𝛾𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=1 ))
−1𝑘
)
𝑛
𝑖=1
3. Membentuk matriks informasi fisher (I).
𝐼(𝛾(𝑠)) = −
[ 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾02
) 𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾1𝜕𝛾0) … 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾𝑝𝜕𝛾0)
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾0𝜕𝛾1) 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾12
)…⋱
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾𝑝𝜕𝛾1)
⋮⋮
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾0𝜕𝛾𝑝)
⋮
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾1𝜕𝛾𝑝) … 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]
𝜕𝛾𝑝2)
]
4. Memasukkan nilai 𝛾(0) kedalam elemen-elemen vektor 𝑈(𝛾) dan matriks I
sehingga diperoleh vektor 𝑈(𝛾(0)) dan matriks 𝐼(𝛾(0))
5. Menghitung nilai invers matriks 𝐼(𝛾(0)) atau 𝑈(0)[𝐼(𝛾(0))]−1
6. Menghitung taksiran dari 𝛾 pada iterasi ke-s (𝑠 = 0,1,2,… ) yaitu 𝛾𝑠+1
menggunakan persamaan iterasi sebagai berikut:
𝛾(𝑠+1) = 𝛾(𝑠) + [𝐼(𝛾(𝑠))]−1𝑈(𝛾(𝑠))
39
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
[ �̂�0
�̂�1
⋮�̂�𝑝] (𝑠+1)
=
[ �̂�0
�̂�1
⋮�̂�𝑝] 𝑠
+
[ 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
02 ) 𝐸 (
𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
1𝜕𝛾
0
) … 𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
𝑝𝜕𝛾
0
)
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
0𝜕𝛾
1
) 𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
12 ) …
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
𝑝𝜕𝛾
1
)
⋮⋮
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
0𝜕𝛾
𝑝
)
⋮
𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
1𝜕𝛾
𝑝
) … 𝐸 (𝜕2 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
𝑝2 )
] −1
[ 𝜕 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
0
𝜕 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
1
⋮𝜕 ln[𝐿(𝛾)]𝜕𝛾
𝑝 ]
dengan:
𝛾(𝑠) : taksiran dari 𝛾 pada iterasi ke s
[𝐼(𝑠)]−1
: matriks berukuran (p+1) x (p+1) yang elemen-elemennya
merupakan terdiri atas nilai ekspektasi turunan kedua fungsi
kemungkinan
7. Jika |𝛾(𝑠+1) − 𝛾(𝑠)| < 𝜀 dengan 𝜀 = 10−6, maka sudah konvergen, jika
kekonvergenan belum tercapai maka dilakukan pengulangan langkah 2 – 7
Untuk menyelesaikan penaksiran parameter regresi Zero-Truncated Negative
Binomial dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum melalui
algoritma Newton Raphson, pada penelitian ini penulis menggunakan bantuan
software R.
3.3.5.3 Uji Signifikansi Model Regresi Zero-Truncated Negative Binomial
Pengujian signifikansi model dilakukan untuk mengetahui apakah model
regresi Zero Truncated Negative Binomial dapat digunakan untuk menggambarkan
hubungan antara variabel respon dan variabel prediktor.
Langkah-langkah pengujian sebagai berikut :
a. Perumusan Hipotesis
𝐻0 : 𝛾1 = 𝛾2 = ⋯ = 𝛾𝑗 = 0
𝐻1 : ∃𝛾𝑗 ≠ 0 ; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑝
b. Statistik Uji
𝐺 = −2 ln [𝐿0𝐿1]
40
Intan Nur Puspitasari, 2019
PENANGANAN OVERDISPERSI PADA REGRESI POISSON MENGGUNAKAN REGRESI ZERO-
TRUNCATED NEGATIVE BINOMIAL (STUDI KASUS : BANYAK KEMATIAN BAYI DI KOTA CIMAHI
TAHUN 2017)
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu
dengan
𝐿0 : fungsi likelihood untuk model yang tidak mengandung variabel prediktor
𝐿1 : fungsi likelihood untuk model yang mengandung semua variabel prediktor
c. Kriteria Pengujian
Dengan mengambil taraf nyata sebesar 𝛼, 𝐻0 ditolak jika 𝐺 > 𝜒2(𝛼,𝑑𝑘=𝑝)
d. Kesimpulan
Penafsiran dari 𝐻0 ditolak atau 𝐻0 diterima.
3.3.5.4 Uji Signifikansi Parameter
Selanjutnya dilakukan pengujian signifikansi masing-masing parameter dari
model regresi Zero Truncated Negative Binomial.
Langkah-langkah pengujian sebagai berikut :
a. Perumusan Hipotesis
𝐻0 ∶ 𝛾𝑗 = 0
𝐻1 ∶ 𝛾𝑗 ≠ 0
b. Statistik Uji
𝑊𝑗 = [𝛾𝑗
𝑆𝐸(𝛾𝑗)]
2
; 𝑗 = 1,2, … , 𝑝
Dengan 𝛾𝑗 adalah taksiran parameter 𝛾𝑗 dan 𝑆𝐸(𝛾𝑗) adalah taksiran galat baku
dari 𝛾𝑗 .
c. Kriteria Pengujian
Dengan mengambil taraf nyata sebesar 𝛼, 𝐻0 ditolak jika 𝑊𝑗 > 𝜒2(𝛼,𝑑𝑘=1)
d. Kesimpulan
Penafsiran dari 𝐻0 ditolak atau 𝐻0 diterima.