6

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Sistem

Sistem merupakan kombinasi dari beberapa komponen yang bekerja bersama-

sama dan melakukan suatu sasaran tertentu. (Ogata, 1994). Jadi pengertian sistem disini

tidak berarti secara fisik saja tetapi dapat berupa suatu abstrak, dimana sistem dapat

terjadi saat perubahan ekonomi yang dapat dijadikan suatu sistem ekonomi.

Proses adalah operasi atau perkembangan alamiah yang berlangsung secara

kontinyu yang ditandai oleh suatu deretan perubahan kecil yang berurutan dengan cara

yang relatif tetap dan menuju suatu hasil atau keadaan terakhir tertentu. Alat suatu

operasi yang sengaja dibuat, berlangsung secara kontinyu yang terdiri dari beberapa aksi

atau perubahan yang dikontrol, yang diarahkan secara sistematis menuju ke suatu hasil

atau keadaan akhir tertentu.

Feedback adalah sifat dari closed-loop control system yang memperbolehkan

output untuk dibandingkan dengan input sehingga aksi kontrol yang sesuai dapat

dibentuk sebagai fungsi dari output dan input.

Plant disebut juga sistem yang dikontrol, dapat berupa proses atau mesin.

Gangguan (disturbance) adalah suatu bentuk sinyal yang cenderung mempunyai

pengaruh yang merugikan pada nilai keluaran sistem. Namun tidak semua gangguan

bersifat merugikan, ada juga gangguan yang bersifat menguntungkan. Gangguan internal

adalah gangguan yang dibangkitkan dari dalam sistem, sedangkan gangguan eksternal

7

adalah gangguan yang dibangkitkan di luar sistem dan merupakan suatu masukan bagi

sistem.

2.2 Sistem Kontrol

Sistem kontrol dibagi menjadi dua yaitu sistem kontrol lup terbuka (Open-loop

control system) dan sistem kontrol lup tertutup (Closed-loop control system). Sistem

kontrol digunakan dalam mengontrol sistem dalam berbagai aplikasinya.

2.2.1 Sistem Kontrol Lup Terbuka

Sistem kontrol lup terbuka (Open-loop control system) adalah sistem kontrol

yang tidak memiliki kontrol umpan balik dan hasil keluarannya tidak mempengaruhi

aksi pengontrolan sistem. Sistem kontrol seperti ini tidak memiliki feedback sehingga

sistem ini tidak akan mengukur atau mengumpanbalikkan hasil keluarannya untuk dapat

dibandingkan dengan masukannya. Ketelitian sistem kontrol hanya ditentukan oleh

kalibrasi, sebaiknya proses kalibrasi ini harus dilakukan dan diperhitungkan secara hati-

hati agar dengan masukan-masukan yang diinput didapat harga hasil keluaran yang

diharapkan. Sistem kontrol ini digunakan pada sistem yang sederhana dan tidak terlalu

kompleks serta tidak membutuhkan tingkat ketelitian dan kestabilan yang tinggi.

Penggunaan sistem ini dirancang jika di dalam sistem tidak terdapat gangguan

(disturbance) yang dapat menurunkan tingkat ketelitian dan kestabilan sistem dan

hubungan antara masukan dan keluaran diketahui secara tepat. Kelebihan dari sistem ini

yaitu perancangan sistem kontrol akan lebih mudah dibandingkan dengan lup tertutup.

Sedangkan kekurangannya yaitu tingkat ketelitian yang tidak tinggi. Pada skripsi ini

8

digunakan sistem kontrol lup terbuka (Open-loop control system) karena sistem yang

dirancang merupakan sebuah sistem kontrol yang sederhana dan tidak membutuhkan

tingkat ketelitian yang terlalu tinggi.

Gambar 2.1 Sistem Kontrol Lup Terbuka

2.2.2 Sistem Kontrol Lup Tertutup

Sistem kontrol lup tertutup (Closed-loop control system) adalah sistem kontrol

yang memiliki kontrol umpan balik dan hasil keluarannya mempengaruhi langsung pada

aksi pengontrolan sistem. Sistem kontrol seperti ini memiliki feedback sehingga sistem

akan mengukur atau mengumpanbalikkan hasil keluarannya untuk dapat dibandingkan

dengan masukannya. Apabila terdapat perbedaan nilai antara sinyal keluaran dan sinyal

umpan baliknya maka akan diumpankan balik ke kontroler untuk dikalkukasi dan

diperkecil kesalahannya sehingga didapat suatu keluaran sistem yang mendekati dengan

nilai yang diinginkan. Kelebihan dari sistem ini yaitu adanya elemen umpan balik yang

berfungsi memperbesar tingkat ketelitian sistem. Sedangkan kekurangannya yaitu sistem

akan lebih kompleks untuk dirancang.

9

Gambar 2.2 Sistem Kontrol Lup Tertutup

2.3 Mikrokontroler ATMEL 89C52

Mikrokontroler adalah sebutan yang umum diberikan pada kumpulan komponen

(Integrated Circuit = IC) yang terdiri dari mikroprosesor (Central Processing Unit =

CPU), Latch, RAM, I/O, dan perangkat lainnya. Mikrokontroler menggunakan EPROM

(Erasable Programable Read Only Memory) sebagai media penyimpanan programnya.

Perangkat I/O bukan hanya digunakan untuk berkomunikasi dengan pemakai, tetapi juga

untuk memantau dan mengendalikan mekanisme proses peralatan yang dikendalikan.

(Anonim, 1980).

Mikrokontroler AT89C52 merupakan salah satu produk keluaran dari ATMEL,

mikorokontroler ini juga kompatibel dengan produk keluaran INTEL yaitu keluarga

MCS-51 (8051, 8751, 8951, 8051, 8752, 8952, dll).

2.3.1 Arsitektur Internal

Spesifikasi mkrokontroler 89C52

• 8 bit CPU sebagai pusat pengendali

• Kemampuan melaksanakan operasi Boolean (single bit logic)

10

• Ruang pengalamatan memory sebesar 64 Kbyte

• Ruang pengalamatan data dan I/O sebesar 64Kbyte

• Memory program internal (dalam IC) sebesar 8 Kbyte

• Memory data internal (dalam IC) sebesar 128 Kbyte

• 4 buah I/O port 8 bit

• 3 buah timer/counter internal 16 bit

• Fasilitas komunikasi serial full duplex

• Struktur interrupt 6-source/5-vektor dengan 2 level prioritas

• Clock oscilator internal (dalam IC) sebesar 11,0592 MHz

2.3.2 Konfigurasi Pin

Gambar 2.3 Konfigurasi Pin Mikrokontroler AT89C52

11

2.3.3 Blok Diagram

Gambar 2.4 Blok Diagram Mikrokontroler AT89C52

12

2.3.4 Kerangka Dasar

Gambar 2.5 Kerangka Dasar Mikrokontroler AT89C52

2.4 Modul Pengendali Motor Langkah

Pada skripsi ini digunakan IC L297 dan IC L298 sebagai IC utama driver motor

langkah. Motor ini dapat digerakkan dalam half step, normal, dan wave. Keistimewaan

dari komponen ini yaitu hanya membutuhkan clock, arah, dan mode sinyal dari sistem

kontrol dan kemudian membangkitkan sinyal kontrol. L297 dapat digunakan bersamaan

dengan L298. Alasan penggunaan kedua komponen ini karena umum dipakai pada

pengendalian motor langkah dan penggunaannya cukup mudah dan ekonomis.

2.5 Motor Langkah

Motor adalah suatu komponen yang dapat merubah energi listrik menjadi energi

mekanik (gerak putar). Berdasarkan pada tegangan kerjanya, jenis-jenis motor dibagi

13

menjadi dua yaitu motor AC (motor arus bolak-balik) dan motor DC (motor arus

searah).

Pada skripsi ini digunakan motor DC karena sistem yang dirancang hanya berupa

prototipe dan bukan yang sebenarnya. Selain itu motor DC mempunyai karakteristik

berdaya relatif kecil, ekonomis, mudah didapat, dan rangkaian yang digunakan cukup

sederhana dan sedikit.

Motor DC (motor arus searah) adalah suatu mesin yang berfungsi mengubah

tenaga listrik arus searah (listrik DC) menjadi tenaga atau tenaga mekanis di mana

tenaga gerak tersebut berupa putaran dari pada rotor.

Dalam kehidupan kita sehari-hari motor arus searah dapat kita lihat pada motor

starter mobil, pada tape recorder, pada mainan anak-anak, dan sebagainya. Sedangkan

pada pabrik-pabrik motor arus searah kita jumpai pada traksi, elevator, conveyer, dan

sebagainya.

Yang dimaksud dengan torsi adalah putaran atau pemuntiran dari suatu gaya

terhadap suatu poros.

Terdapat berbagai macam jenis motor DC, antara lain motor DC shunt, motor

DC seri, motor DC kompond pendek, motor DC kompond panjang, motor DC

konvensional, motor langkah, dan lain-lain. Motor langkah yaitu sebuah motor arus

searah yang dirancang sedemikian rupa sehingga motor dapat berputar dalam jumlah

derajat tertentu sesuai dengan input pulsa yang diberikan. Pada skripsi ini digunakan

motor DC jenis motor langkah. Alasan penggunaan motor jenis ini karena mudahnya

implementasi pada sistem yang dirancang, lebih ekonomis, dan ketepatan putaran motor.

14

Motor langkah itu sendiri dapat dibedakan menjadi beberapa jenis, antara lain:

• Motor langkah magnet permanen (Permanent Magnet Stepper Motor)

Motor langkah jenis ini mempunyai rotor yang terbuat dari magnet permanen.

Torsi yang dihasilkannya cukup besar, akan tetapi tidak memiliki kecepatan langkah

yang tinggi. Motor ini mempunyai sudut perlangkah sebesar 1,8 derajat sampai dengan

90 derajat. Motor jenis ini dapat ditemukan di floppy disk drive 5 ¼ “. Arus yang

dikonsumsi motor ini relatif kecil, memiliki ketelitian yang cukup baik, dan sistemnya

tidak memerlukan umpan balik untuk dapat mengetahui posisi motor.

Gambar 2.6 Motor Langkah Dengan Magnet Permanen

• Motor langkah variabel reluktansi (Variabel Reluctance Stepper Motor)

Motor langkah jenis ini mempunyai rotor yang bersifat ferromagnetik dan

mempunyai banyak katup. Torsi yang dihasilkannya lebih kecil dari motor langkah

15

magnet permanen tetapi mempunyai kecepatan langkah yang tinggi. Motor ini

menghasilkan sudut per-step sebesar 7,5 derajat sampai dengan 30 derajat.

• Motor langkah hibrida (Hybrid Stepper Motor)

Sifat yang dimiliki oleh motor langkah ini merupakan kombinasi dari kedua jenis

motor langkah di atas. Torsi yang dihasilkan besar dan dapat bekerja pada kecepatan

langkah yang tinggi. Sudut per-step yang dihasilkan sebesar 0,36 derajat sampai dengan

1,8 derajat.

Pada skripsi ini digunakan motor langkah magnet permanen. Alasan

penggunaannya karena torsi yang dihasilkan cukup besar dan mempunyai sudut putar

yang relatif cukup kecil. Selain itu motor ini ekonomis, mudah didapat, dan gear

pembanding yang diperlukan untuk memperbesar torsi putaran lebih sedikit.

Kekurangan motor langkah ini yaitu dalam kecepatan putaran yang dihasilkan,

namun pada skripsi ini motor yang dipakai tidak digunakan untuk kecepatan putar yang

tinggi.

2.6 Prinsip Kerja Motor Langkah

Bentuk dasar dari sebuah motor langkah yang sederhana terdiri dari sebuah rotor

dan sebuah stator. Rotor berfungsi sebagai magnet permanen, sedangkan stator memiliki

lilitan kumparan yang dapat membentuk kutub magnet. Apabila kutub magnet stator dan

rotor sama, maka kedua magnet akan saling tolak-menolak dan meyebabkan rotor akan

berputar. Arah perputaran dapat terjadi dua arah, tergantung pada faktor mekanik dari

motor langkah itu sendiri. Sedangkan besarnya perputaran yaitu sebesar 180 derajat.

16

Untuk motor langkah yang terdiri dari dua buah stator dan sebuah rotor, prinsip

kerjanya sama dengan motor langkah yang terdiri dari sebuah stator dan sebuah rotor.

Apabila arus listrik dan arah rotor membentuk konfigurasi listrik magnet, maka

rotor akan berputar sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam (CCW). Perputaran ini

disebut sebagai langkah penuh (full step).

Apabila magnet permanen dan medan listrik maka rotor akan berputar sebesar 45

derajat searah jarum jam (CW). Perputaran ini disebut sebagai setengah langkah (half

step). Apabila motor langkah terdiri dari empat pasang stator, maka besar langkah penuh

yaitu sebesar 45 derajat dan setengah langkah sebesar 22,5 derajat.

Untuk menjalankan motor langkah terus menerus dapat dilakukan dengan

memberikan pola pulsa (pattern) yang digeser.

Sebuah motor langkah membutuhkan sejumlah masukan pada setiap

kumparannya (coil) elektroda motor dalam bentuk pola (pattern) pulsa agar motor dapat

berputar. Di bawah ini diberikan beberapa contoh pola pulsa yang menyebabkan motor

dapat berputar.

17

Tabel 2.1 Eksitasi Kumparan Tunggal

Putaran motor yang dihasilkan dari pola pulsa tabel di atas sangat halus, ini

disebabkan karena kumparan yang digunakan pada setiap langkahnya hanya satu.

18

Tabel 2.2 Eksitasi Dua Kumparan

Putaran motor dari pola pulsa tabel di atas tidak sehalus pada tabel sebelumnya,

akan tetapi pola pulsa seperti ini menghasilkan torsi yang sangat besar.

19

Tabel 2.3 Eksitasi Setengah Langkah

20

Putaran motor yang dihasilkan dari pola pulsa tabel di atas tidak stabil, namun

langkah yang dihasilkan lebih banyak dibandingkan dengan pola-pola pulsa pada tabel

sebelumnya.

21

2.7 Sensor Pengukur Ketinggian Air

Sensor adalah suatu piranti elektronika yang digunakan untuk mendeteksi atau

sebagai alat pengindera dari sistem kontrol yang dibuat. Dapat pula dijadikan sebagai

masukan dan dapat dijadikan sebagai pengonrol.

Sensor yang digunakan dalam skripsi ini yaitu sensor pengukur ketinggian air

yang dapat mengukur ketinggian level air. Sensor ketinggian air terdiri dari beberapa

macam, antara lain :

• Pelampung

Sensor pelampung bekerja berdasarkan pada ketinggian air, perubahan

ketinggian air akan diatur oleh sebuah tali yang akan memutrar puli kemudian puli

tersebut akan memutar tensioner.

Gambar 2.7 Sensor Pelampung

22

• Rangkaian pengukur ketinggian air

Sensor ini menggunakan limit switch yang menggunakan prinsip saklar

bertingkat sebagai sensor ketinggian air. Pada penulisan ini digunakan rangkaian

pengukur ketinggian air berupa sensor elektroda yang terdiri dari mur dan baut.

• Ultrasonik

Cara kerja sensor ini yaitu transduser ultrasonik yang mengukur ketinggian air

dengan memanfaatkan gelombang suara ultrasonik sebagai media untuk mengukur jarak

persatuan waktu frekuensi gelombang ultrasonik yang dihasilkan. Rangkaian sensor ini

cukup mahal dan kompleks untuk dipakai.

Gambar 2.8 Sensor Ultrasonik

23

• Infra merah

Sensor pengukur ketinggian air ini terdiri dari dua buah komponen utama, yaitu

infra merah dan foto dioda. Cara kerjanya yaitu infra merah akan bergerak naik atau

turun sesuai dengan perubahan ketinggian permukaan air, dan untuk selanjutnya foto

dioda akan mengirimkan data jika sinyal infra red diterima foto dioda. Rangkaian sensor

ini cukup mahal dan kompleks untuk dipakai.

Gambar 2.9 Sensor Infra Merah

24

• Laser

Cara kerja dari sensor ini sama dengan transduser ultrasonik. Rangkaian sensor

ini cukup mahal dan kompleks untuk dipakai.

Gambar 2.10 Sensor Laser

25

2.8 Sistem Persamaan Linear

2.8.1 Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis yang ada antara lain sebagai berikut :

• Persamaan garis bergradien m dan melalui (x1, y1)

)( 11 xxmyy −=− ................................ (Pers 2.1)

• Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1 ≠ x2

)( 112

121 xx

xxyyyy −

−−

=− ........................... (Pers 2.2)

• Persamaan segmen garis yang melalui titik (a, 0) dan (0, b)

1=+by

ax .................................... (Pers 2.3)

Persamaan garis lurus yang digunakan dalam skripsi ini yaitu persamaan garis yang

melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) dengan x1 ≠ x2.

2.8.2 Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel

=+=+

22221

11211

cyaxacyaxa

dapat

dilakukan dengan banyak cara, antara lain menggunakan :

A. Kombinasi metode eliminasi dan metode substitusi

Contoh :

26

352

521

77

542332

==+=+=−=−

−=+=−

xx

yxyy

yxyx

B. Determinan

C. Matriks

Penyelesaian yang digunakan dalam skripsi ini yaitu dengan kombinasi metode

eliminasi dan metode substitusi. Metode ini dipilih karena lebih mudah dan lebih cepat

penyelesaiannya.

2.9 Fuzzy Set

Konsep tentang fuzzy set diperkenalkan oleh Prof. Lotfi Astor Zadeh pada tahun

1962. Teori ini merupakan pengembangan dari teori set biasa atau crisp set.

Keanggotaan elemen-elemen pada fuzzy set berada pada interval [0,1].

Teori fuzzy set telah banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang, terutama

computer science dan computer egineering, seperti pembangunan fuzzy logic, fuzzy

controller, dan sebagainya.

Sebelum mempelajari mengenai fuzzy set, akan dibahas terlebih dahulu mengenai

crisp set. Secara prinsip, di dalam teori fuzzy set dapat dianggap sebagai ekstension dari

teori konvensional atau crisp set. Di dalam teori crisp set, suatu elemen hanya dapat

digolongkan sebagai anggota atau bukan anggota dari suatu set atau himpunan. Sehingga

di dalam teori ini, suatu elemen yang merupakan anggota mempunyai tingkat

27

keanggotaan (membership level) penuh atau satu (unity) dan suatu elemen yang bukan

anggota mempunyai tingkat keanggotaan nol. Suatu misal, jika set F adalah merupakan

suatu himpunan bilangan real U dan Uu∈ , maka secara matematis tingkat keanggotaan

suatu elemen x di dalam set A dapat dinyatakan dengan persamaan keanggotaan crisp set

sebagai berikut :

( )

∉∈

=UuU

uF jika 0.0u jika 0.1

µ ........................ (Pers 2.4)

di mana ( )uFµ menunjukkan tingkat keanggotaan elemen u di dalam set F. Dalam hal ini

dinyatakan bahwa tingkat keanggotaan suatu elemen hanya dikenal sebagai 1.0 (anggota

penuh) atau 0.0 (sama sekali bukan anggota), sehingga di dalam crisp set, tingkat

keanggotaannya dinyatakan sebagai pemetaan ke 0 dan 1 yang secara matematis

dinotasikan sebagai ( ) { }1,0→uFµ . Gambaran dari crisp set diberikan sebagai berikut:

Gambar 2.11 Crisp Set

Akan tetapi, di dalam teori fuzzy set dikenal adanya keanggotaan secara parsial.

Dalam hal ini maka tingkat keanggotaan suatu elemen dalam suatu set merupakan fungsi

kontinyu dari 0.0 sampai 1.0. Sehingga pemetaan tingkat keanggotaan pada teori fuzzy

28

set dapat dinotasikan sebagai ( ) [ ]1,0→uFµ . Gambaran dari fuzzy set diberikan sebagai

berikut :

Gambar 2.12 Fuzzy Set

Sebagai misal, jika F merupakan set atau himpunan bilangan real yang “dekat”

dengan bilangan nol. Secara “crisp” akan sulit atau paling tidak akan sangat subjektif

untuk menentukan bilangan-bilangan mana yang “dekat” dengan bilangan nol. Di dalam

teori fuzzy yang mengenal tingkat keanggotaan secara parsial, maka bilangan-bilangan

yang dapat di kategorikan sebagai anggota-anggota “dekat” dengan bilangan nol

misalnya dapat dinyatakan dengan fungsi tingkat keanggotaan (membership function)

sebagai berikut :

( ) 2211

xuF +

=µ ................................ (Pers 2.5)

Secara grafik fungsi tingkat keanggotaan di atas digambarkan pada gambar

berikut ini.

29

Gambar 2.13 Tingkat Keanggotaan Fuzzy

Dari Gambar 1 di atas maka tingkat keanggotaan bilangan x = 0.0, x = 1.0, x =

2.0 masing-masing adalah 1.0 (penuh), 0.333, dan 0.111 di dalam himpunan bilangan

“dekat” dengan nol. Semakin dekat suatu elemen dengan bilangan nol, maka tingkat

keanggotaanya akan semakin tinggi. Secara umum fungsi tingkat keanggotaan bilangan

yang “dekat” dengan bilangan a dapat disajikan dengan persamaan :

( )( )2211

axuF

−+=µ ............................. (Pers 2.6)

2.9.1 Definisi Teori Fuzzy

A. Support Set

Support dari suatu fuzzy set F adalah himpunan semua elemen dari fuzzy set F

yang mempunyai tingkat keanggotaan lebih besar dari nol. Secara matematis, support

fuzzy set A dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut :

0.000.200.400.600.801.00

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

Tingkat Keanggotaan

30

( ) ( ){ }0>∈= uUuFSupp Fµ ....................... (Pers 2.7)

B. Crossover Point

Elemen u dalam U dimana ( ) 5.0=uFµ dinamakan crossover point.

C. α – Cut Fuzzy Set

α – Cut set dari Fuzzy Set F, dilambangkan dengan Fα, pada unversal set U

adalah set yang terdiri dari unsur-unsur U yang memiliki derajat keanggotaan lebih

besar atau sama dengan α. Dinotasikan sebagai :

( ){ }αµα ≥∈= uUuA F ........................... (Pers 2.8)

D. Notasi Fuzzy Set

Nonfuzzy finite set U = { u1, u2, u3, ... , un} dengan pengertian bahwa tanda ( + )

berfungsi sebagai “union”.

Finite fuzzy set F pada U dinotasikan :

F = µF (u1) / u1 + µF (u2) / u2 + µF (u3) / u3 + ... + µF (un) / un

Atau : ∑=

=n

ijjAA

1/)( µµµ ........................ (Pers 2.9)

E. Scalar Cardinality

Scalar cardinality dari fuzzy set F dalam universal U adalah jumlah derajat

keanggotaan semua unsur U dalam F, notasi :

31

∑∈

=Uu

F xF )(|| µ ............................. (Pers 2.10)

F. Ketinggian

Ketinggian suatu fuzzy set F didefinisikan sebagai tingkat keanggotaan yang

teringgi di antara semua elemen di dalam support fuzzy set F. Dinotasikan sebagai :

)}({max)( uFHeight Fuµ= ..................... (Pers 2.11)

G. Fungsi Keanggotaan

Terdapat dua cara untuk mendefinisikan keanggotaan untuk fuzzy set yaitu secara

numerik dan fungsional. Pendefinisian secara numerik menyatakan tingkatan dari fungsi

keanggotaan fuzzy set. Pendefinisian secara fungsional menyatakan fungsi keanggotaan

fuzzy set dalam pernyataan analitis yang memperbolehkan tingkatan keanggotaan setiap

elemen yang didefinisikan dalam himpunan universal untuk dikalkulasi.

Terdapat beberapa bentuk standar dari fungsi keanggotaan yang umum

digunakan untuk fuzzy set pada himpunan universal U.

• Fungsi S

Fungsi ini didefinisikan sebagai :

>≤≤−−−≤≤−−

<

cuuntukcubuntukaccubuauntukacau

auuntuk

cbauS

1)]/()[(21

)]/()[(20

),,;( 2

2

................... (Pers 2.12)

32

Fungsi ini mempunyai bentuk huruf ‘S’ yang ketepatan gambarnya sangat

ditentukan oleh nilai dari parameter a, b, dan c seperti yang dilampirkan pada gambar di

bawah ini. Perlu diperhatikan bahwa fungsi S ini membentuk garis lurus mendatar

dengan nilai konstan 0 untuk u ≤ a dan nilai konstan 1 untuk u ≥ c. Diantara a dan c,

fungsi S membentuk fungsi kuadrat dari u. Crossover point pada nilai 0.5 terjadi pada b

= (a + c) / 2.

1.0

0.5

a b cu

Gambar 2.14 Fungsi S

• Fungsi π

Fungsi ini didefinisikan sebagai :

≥++−≤−−

=cuuntukbcbccuScuuntukcbcbcuS

cbu),2/,;(1

),2/,;(),;(π

........................ (Pers 2.13)

Pada fungsi ini secara kasarnya membentuk lonceng, dengan kedua sisi dari bel

dibentuk dari fungsi S. Fungsi jenis ini dapat menjadi fungsi alternatif jika dibandingkan

dengan fungsi segitiga, karena pada fungsi ini memberikan nilai keanggotaan yang

secara berangsur-angsur mendekati nilai nol seperti yang dilampirkan pada gambar di

33

bawah ini. Parameter b merupakan bandwith pada crossover point. Fungsi π menuju ke

nol pada titik u = c ± b dimana crossover point pada titik u = c ± b / 2.

Gambar 2.15 Fungsi π

• Fungsi segitiga

Fungsi ini didefinisikan sebagai :

≥≤≤−−≤≤−−

<

=

cuuntukcubuntukbcucbuauntukabau

auuntuk

cbauT

0)/()()/()(

0

),,;(

...................................... (Pers 2.14)

Fungsi ini mempunyai bentuk segitiga yang ketepatan gambarnya sangat

ditentukan oleh pemilihan parameter a, b, dan c seperti yang dilampirkan pada gambar di

bawah ini. Fungsi ini memiliki keanggotaannya menuju ke nol pada pada nilai u yang

terbesar dan yang terkecil.

34

Gambar 2.16 Fungsi Segitiga

Selain dari fungsi keanggotaan yang telah disebutkan di atas, masih banyak lagi

fungsi keanggotaan yang lain seperti digambarkan di bawah ini.

Gambar 2.17 Fungsi Keanggotaan Fuzzy Set

Pada skripsi ini digunakan fungsi keanggotaan trapesium untuk proses fuzifikasi

dan fungsi keanggotaan segitiga untuk proses defuzifikasi. Alasan pemilihan fungsi

keanggotaan ini adalah karena kemudahan dalam penerapannya.

35

2.9.2 Operasi Fuzzy Set

Jika A dan B menjadi fuzzy set dalam U dengan fungsi keanggotaannya berturut-

turut µA dan µB. Dengan demikian operasi fuzzy set dijelaskan di bawah ini.

A. Set Inclusion

Fuzzy set A merupakan prosubset dari fuzzy set B )( BA ⊂ jika dan hanya jika :

Uusetiapuntukuu BA ∈≤ )()( µµ ................(Pers 2.15)

B. Equality

Fuzzy set A dan B dikatakan sama (equal) (A = B) jika dan hanya jika :

Uusetiapuntukuu BA ∈= )()( µµ ............... (Pers 2.16)

C. Union

Union dua buah fuzzy set A dan B dengan fungsi keangotaan µA dan µB yaitu

fuzzy set yang fungsi keanggotaannya )()( uu BA µµ U diberikan sebagai :

Uusetiapuntukuuu BABA ∈=∪ )}(),(max{)( µµµ .............. (Pers 2.17)

D. Intersection

Irisan dari dua buah fuzzy set A dan B yaitu fuzzy set yang fungsi keanggotaanya

sebagai berikut :

Uusetiapuntukuuu BABA ∈=∩ )}(),(min{)( µµµ ............... (Pers 2.18)

36

E. Complement

Komplemen dari fuzzy set F dengan fungsi keanggotaan µF (u) didefinisikan

sebagai fuzzy set yang mempunyai fungsi keanggotaan sebagai :

Uusetiapuntukuu FF ∈−= )(1)(' µµ ............ (Pers 2.19)

F. Normalization

Suatu Fuzzy set F dikatakan normal jika ketinggiannya maksimum sama dengan

1.0, atau secara matematis dikatakan dengan :

0.1)}({max)( == uFHeight Fxµ ..................... (Pers 2.20)

Normalisasi dari suatu fuzzy set F dilambangkan dengan :

Uusetiapuntukuuu FFFNORM ∈= ))(max(/)()()( µµµ ............ (Pers 2.21)

Fuzzy set F yang sub-normal dapat ditranformasi ke normal dengan jalan

membagi tingkat keanggotaan fuzzy set sub-normal dengan ketinggiannya. Dinotasikan

sebagai berikut :

Uusetiapuntuku

uxx

F

FNORMF ∈=

)}(max{)()(

µµ

µ ...................(Pers 2.22)

G. Concentration

Sebuah fuzzy set F dapat dikonsentrasikan dengan memodifikasi fungsi

keanggotaan µA (u) dengan mengkuadratkan fungsi keanggotaan yang ternormalisasi :

Uusetiapuntukuu FFCON ∈= 2)( ))(()( µµ .................... (Pers 2.23)

37

H. Dilation

Fuzzy set F dapat didilatasikan dengan memodifikasi fungsi keanggotaann uF (u)

untuk meningkatkan elemen yang bernilai kecil. Ini dapat dilakukan dengan

mengakarkuadratkan fungsi keanggotaan yang ternormalisasinya :

Uusetiapuntukuu FFDIL ∈= 5.0)( ))(()( µµ .................... (Pers 2.24)

I. Intensification

Dilakukan dengan mempertinggi nilai keanggotaan yang berada diatas 0.5 dan

mengoperasikan elemen yang berada di bawah 0.5 yang didefinisikan sebagai :

……….. (Pers 2.25)

J. Algebraic Product

Algebraic product dari dua buah fuzzy set A dan B dengan fungsi keanggotaan

µA (u) dan µB (u) yaitu fuzzy set yang fungsi keanggotaannya µA . B (u) diberikan sebagai

berikut :

Uusetiapuntukuuu BABA ∈= )(.)()(. µµµ .................... (Pers 2.26)

K. Bounded Sum

Bounded sum dari dua fuzzy set A dan B dengan fungsi keanggotaan µA (u) dan

µB (u) yaitu fuzzy set yang fungsi keanggotaannya )(uBA⊕µ sebagai :

Uusetiapuntukuuu BABA ∈+=⊕ )}()(,1min{)( µµµ ............. (Pers 2.27)

38

Dengan ‘+’ merupakan operator matematika

L. Bounded Product

Bounded product dari dua fuzzy set A dan B dengan fungsi keanggotaan µA (u)

dan µB (u) yaitu fuzzy set yang fungsi keanggotaannya )(uBA⊕µ sebagai :

Uusetiapuntukuuu BABA ∈−+= }1)()(,0max{)( µµµ o .......... (Pers 2.28)

Dengan ‘+’ merupakan operator matematika

M. Drastic Product

Drastic product dari dua fuzzy set A dan B dengan fungsi keanggotaan µA (u) dan

µB (u) yaitu fuzzy set yang fungsi keanggotaannya )(uBA⊗µ sebagai :

<==

=⊗

1)(),(01)()(1)()(

)(uuuntuk

uuntukuuuntuku

u

BA

AB

BA

BA

µµµµµµ

µ

............. (Pers 2.29)

2.10 Fuzzy Logic

Kegunaan dari fuzzy logic dapat mempermudah pembuatan sistem dengan

keistimewaan sebagai berikut :

1. Pengetahuan yang pintar dan pertimbangan logis digabungkan ke

pengetahuan fuzzy berdasarkan bahasa alamiah

2. Penggabungan pengetahuan tidak harus tepat dan lengkap

39

3. Input yang dinilai dalam kesimpulan fuzzy tidak perlu jelas atau sama

persis dengan pengetahuan

4. Kesimpulan yang tepat merupakan pengambilan dari pengetahuan dasar

fuzzy yang dibentuk

Bentuk dari kesimpulan fuzzy dapat dilihat seperti di bawah ini :

Knowledge : Jika air sangat panas, maka tambahkan air dingin yang banyak

Fact : Air cukup panas

Conclusion : Tambahkan sedikit air dingin

Pada hal di atas dapat dilihat bahwa kesimpulan fuzzy logic mempunyai

kesamaan dengan pertimbangan manusia. Pengetahuan dapat dinyatakan dengan

pemikiran yang kabur seperti ‘sangat’ dan ‘banyak’. Fakta dapat dinyatakan dengan

‘cukup’. Dan kesimpulan dapat dinyatakan dengan ‘sedikit’.

2.11 Aturan Kesimpulan Fuzzy

Secara umum, fuzzy rule yang dinyatakan dengan bentuk ‘IF - THEN’, pada

dasarnya merupakan fuzzy relation. Sebuah Fuzzy relation, disimbolkan dengan R, juga

disebut sebagai fuzzy implication.

Dalam fuzzy logic reasoning, terdapat dua jenis aturan kesimpulan fuzzy, yaitu

Generalized Modus Ponens (GMP) dan Generalized Modus Tollens (GMT). Modus

ponens disebut sebagai direct reasoning dan modus tollens disebut sebagai indirect

reasoning.

Fuzzy set yang dilambangkan dengan A, A’, B, B’ dan variabel dilambangkan

sebagai x dan y, GMP dan GMT dinyatakan seperti berikut ini :

40

Generalized Modus Ponens (GMP)

Premise 1 (Knowledge) : If x is A then y is B

Premise 2 (Fact) : x is A’

Consequence (Conclusion) : y is B’

Generalized Modus Tollens (GMT)

Premise 1 (Knowledge) : If x is A then y is B

Premise 2 (Fact) : y is B’

Consequence (Conclusion) : x is A’

2.11.1 Pengetahuan Dasar Fuzzy

Pengetahuan dasar fuzzy pada dasarnya terdapat sejumlah aturan fuzzy. Secara

umum, aturan fuzzy yang dinyatakan dengan bentuk ‘IF - THEN’, sebagai contoh ‘IF x is

A THEN y is B’.

Dalam hal ini terdapat sejumlah penghubung, yaitu ‘AND’, ‘OR’, dan ‘ALSO’,

yang juga biasa digunakan. Penghubung ‘AND’ dan ‘OR’ biasanya diletakkan pada awal

aturan fuzzy. Dalam aturannya ‘AND’ diartikan sebagai operator intersection, ‘OR’

diartikan sebagai operator union, dan ‘ALSO’ menunjukkan adanya output yang lebih

dari satu dalam aturan fuzzy. Sebagai contohnya terdapat k buah aturan fuzzy dalam

pengetahuan dasar fuzzy yang dinyatakan sebagai berikut :

IF x1 is AK1 OR x2 is AK2 AND x3 is AK3 THEN y1 is Bk1 ALSO y2 is Bk2

Untuk lebih mudahnya dapat ditulis sebagai berikut :

IF AK1 OR AK2 AND AK3 THEN Bk1 ALSO Bk2

41

Dari aturan fuzzy di atas terdapat dua buah output. Fire strength dari aturan ini dapat

dihitung dengan melibatkan beberapa operasi yaitu meliputi intersection dari variabel x2

dan x3 yang dihubungkan dengan ‘AND’, dan union dari variabel x1 dan x2 yang di-

intersection dengan x3.

Secara umum, sebuah aturan dasar fuzzy dengan N buah aturan fuzzy dapat

dibentuk sebagai berikut :

IF A11 č … č A1i č … č A1n THEN B11 Ô … Ô B1j Ô … Ô B1m

IF A21 č … č A2i č … č A2n THEN B21 Ô … Ô B2j Ô … Ô B2m

IF Ak1 č … č Aki č … č Akn THEN Bk1 Ô … Ô Bkj Ô … Ô Bkm

IF AN1 č … č ANi č … č ANn THEN BN1 Ô … Ô BNj Ô … Ô BNm

Dimana k dimulai dari 1 ke N, i dari 1 ke n, dan j dari 1 ke m. Aki merupakan subset

fuzzy untuk input i variabel xi dalam k aturan fuzzy. Bkj merupakan subset fuzzy untuk

output j variabel yj dalam k aturan fuzzy. č merupakan hubungan ‘AND’ atau ‘OR’. Ô

merupakan penghubung ‘ALSO’. Bentuk dalam peraturan dasar fuzzy di atas adalah

Multiple-Input-Multiple-Output (MIMO), jika M ≥ 2 dan n ≥ 2. Jika terdapat sebuah

output saja maka disebut Multiple-Input-Single-Output (MISO), dengan m = 1 dan n ≥ 2.

Dan jika hanya terdapat sebuah input dan output saja maka disebut Single-Input-Single-

Output (SISO), dengan m = 1 dan n = 1.

42

2.11.2 Aturan Defuzifikasi

Terdapat dua buah aturan dalam teknik defuzifikasi, diantaranya yaitu Mamdani

dan Larsen. Berikut ini perbandingan antara kedua aturan tersebut.

• Aturan Mamdani

Gambar 2.18 Rule Dengan Mamdani

Aturan defuzifikasi dengan cara ini yaitu setelah melalui aturan fuzzy yang

berupa IF – THEN, lalu melakukan operasi α – cut pada masing-masing fungsi

keanggotaan dari defuzifikasi sesuai dengan derajat keanggotaannya.

43

• Aturan Larsen

Gambar 2.19 Rule Dengan Larsen

Aturan defuzifikasi dengan cara ini yaitu setelah melalui aturan fuzzy yang

berupa IF – THEN, lalu melakukan operasi α – cut pada masing-masing fungsi

keanggotaan dari defuzifikasi sesuai dengan derajat keanggotaannya dengan mencari

nilai tengahnya sehingga membentuk segitiga.

Pada skripsi ini digunakan aturan Mamdani dengan alasan bahwa aturan ini

cukup sering dan mudah untuk digunakan.

44

2.11.3 Metode Defuzifikasi

Defuzifikasi diperlukan untuk mengetahui spesifikasi action. Terdapat beberapa

metode untuk melakukan defuzifikasi antara lain disebutkan di bawah ini berikut cara

penyelesaiannya.

• Center of Area (COA)

Gambar 2.20 Defuzifikasi Dengan Center of Area

Persamaan defusifikasi dengan menggunakan metoda ini sebagai berikut.

……………………. (Pers 2.30)

Contoh dari perhitungan dengan persamaan diatas yaitu sebagai berikut.

45

Dengan semakin banyak nilai sampel yang diambil dalam metode ini maka akan

semakin tinggi tingkat ketelitiannya. Metode yang digunakan dalam skripsi ini yaitu

metode Center of Area. Alasan penggunaan metode ini karena cukup mudah dan teliti

dalam perhitungannya.

• Mean of Maximum

Proses defuzifikasi dihasilkan dengan mencari nilai rata-rata dari keseluruhan

aksi yang fungsi keanggotaannya mencapai nilai tertinggi. Contoh dari metode ini

diberikan sebagai berikut.

Gambar 2.21 Defuzifikasi Dengan Mean of Maximum

Persamaan defuzifikasi dengan menggunakan metoda ini sebagai berikut.

……………………. (Pers 2.31)

46

• High Method

Proses defuzifikasi dihasilkan dengan mencari nilai yang derajat keanggotaannya

paling tinggi.

Gambar 2.22 Defuzifikasi Dengan High Method

Persamaan defuzifikasi dengan menggunakan metoda ini sebagai berikut.

………...... (Pers 2.32)

Metode defuzifikasi ini hanya dapat dipakai jika menggunakan aturan Larsen.

47

• First / Last Maxima

Proses defuzifikasi dihasilkan dengan mencari nilai pertama dan terakhir yang

derajat keanggotaannya paling tinggi.

Gambar 2.23 Defuzifikasi Dengan First / Last Maxima