axisym4.pdf

7/28/2019 axisym4.pdf

1/17

U n d e r c o n s i d e r a t i o n f o r p u b l i c a t i o n i n J . F l u i d M e c h . 1

S o m e s t e a d y a x i s y m m e t r i c v o r t e x o w s p a s t

a s p h e r e

B y A L A N E L C R A T

1

, B E N G T F O R N B E R G

2

,

A N D K E N N E T H M I L L E R

1

1

D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , W i c h i t a S t a t e U n i v e r s i t y , W i c h i t a , K S 6 7 2 6 0 , U S A

2

D e p a r t m e n t o f A p p l i e d M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f C o l o r a d o , B o u l d e r , C O 8 0 3 0 9 , U S A

R e c e i v e d 2 4 O c t o b e r 2 0 0 0

S t e a d y , i n v i s c i d , a x i s y m m e t r i c v o r t e x o w s p a s t a s p h e r e a r e o b t a i n e d n u m e r i c a l l y a s

s o l u t i o n s o f a p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e s t r e a m f u n c t i o n . T h e s o l u t i o n s f o u n d

i n c l u d e v o r t e x r i n g s , b o u n d e d v o r t i c e s a t t a c h e d t o t h e s p h e r e a n d i n n i t e v o r t e x t u b e s .

F o u r f a m i l i e s o f a t t a c h e d v o r t i c e s a r e d e s c r i b e d : v o r t e x w a k e s b e h i n d t h e s p h e r e , s p h e r -

i c a l l y a n n u l a r v o r t i c e s s u r r o u n d i n g t h e s p h e r i c a l o b s t a c l e w h i c h c a n b e g i v e n a n a l y t i -

c a l l y , b a n d s o f v o r t i c i t y a r o u n d t h e s p h e r e a n d s y m m e t r i c p a i r s o f v o r t i c e s f o r e a n d a f t

o f t h e s p h e r e . E a c h a t t a c h e d v o r t e x l e a d s t o a o n e - p a r a m e t e r f a m i l y o f v o r t e x r i n g s , a n a l -

o g o u s t o t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n H i l l ' s s p h e r i c a l v o r t e x a n d t h e v o r t e x r i n g s o f N o r b u r y .

1 . I n t r o d u c t i o n .

W e a r e c o n c e r n e d h e r e w i t h s t e a d y i n v i s c i d , a x i s y m m e t r i c o w p a s t a s p h e r e , t h e o w

u n i f o r m a t i n n i t y . W e c o n s i d e r o w s i n w h i c h t h e r e i s a s i n g l e v o r t e x o r p o s s i b l y t w o

s y m m e t r i c a l l y p l a c e d v o r t i c e s i n e q u i l i b r i u m w i t h t h e s p h e r e . T h e r e a r e t h r e e d i s t i n c t

t y p e s o f v o r t i c e s t o b e c o n s i d e r e d : v o r t e x r i n g s , b o u n d e d v o r t i c e s a t t a c h e d t o t h e s p h e r e ,

a n d v o r t e x t u b e s " e x t e n d i n g t o i n n i t y a l o n g t h e a x i s . I n t h e c o u r s e o f t h e p a p e r w e

w i l l d e s c r i b e s e v e r a l f a m i l i e s o f e a c h t y p e o f v o r t e x .

I n g e n e r a l o n e c a n e x p e c t s e v e r a l f a m i l i e s o f i n v i s c i d v o r t e x o w s p a s t a b o d y o f g i v e n

s h a p e . P r e s u m a b l y a m e m b e r o f t h e s e f a m i l i e s c a n b e p i c k e d o u t u s i n g h i g h R e y n o l d s

n u m b e r a s y m p t o t i c s o f t h e s t e a d y N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . I n f a c t t h i s p r o b l e m h a s b e e n

s t u d i e d e x t e n s i v e l y . S e e , f o r e x a m p l e , S m i t h 1 9 8 5 , P e r e g r i n e 1 9 8 5 , C h e r n y s h e n k o

1 9 8 8 a n d C h e r n y s h e n k o & C a s t r o 1 9 9 3 . I n t h e p r e s e n t w o r k w e h a v e x e d i d e a s b y

c o n s i d e r i n g o n l y o w p a s t t h e s i m p l e s t b o d y , a s p h e r e , a n d h a v e m a d e a n a t t e m p t t o n d

a l l p o s s i b l e s t e a d y , i n v i s c i d o w s w i t h a s i n g l e v o r t e x . A p a r t f r o m t h e a p p e a l o f k n o w i n g

t h e m a t h e m a t i c a l p o s s i b i l i t i e s , t h i s p r o v i d e s a c a t a l o g u e o f p o s s i b l e l i m i t s , u s i n g d i e r e n t

b o u n d a r y c o n d i t i o n s , f o r t h e s t e a d y N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . I n a d d i t i o n , t h e B a t c h e l o r

m o d e l m a y b e a r e a s o n a b l e c o m p r o m i s e b e t w e e n a c c u r a c y a n d s i m p l i c i t y w h e n a v o r t e x

i s t r a p p e d i n t h e v i c i n i t y o f a b o d y . S e e B u n y a k i n , C h e r n y s h e n k o & S t e p a n o v 1 9 9 8 .

I f w e i n t r o d u c e a S t o k e s ' s t r e a m f u n c t i o n f o r t h e o w ,

u =

1

r

r

; v = ,

1

r

z

;

u ; v t h e c o m p o n e n t s o f v e l o c i t y i n t h e a x i a l a n d r a d i a l d i r e c t i o n s , t h e n t h e v o r t i c i t y v e c t o r

i s g i v e n b y 0 ;

,L = r ; 0 i n c y l i n d r i c a l c o o r d i n a t e s , w h e r e

L = r

1

r

r

r

+

z z

:


2/17

2 A . E l c r a t , B . F o r n b e r g a n d K . M i l l e r

= 0: attached vortex

< 0: vortex ring

> 0: vortex tube

F i g u r e 1 . E x a m p l e s o f t h e t h r e e t y p e s o f v o r t i c e s o b t a i n e d . T h e b o u n d a r y o f t h e v o r t e x s u p p o r t ,

t h e s t r e a m l i n e = , i s s h o w n b y a s o l i d l i n e . O t h e r o w l i n e s a r e d a s h e d . T h e o w i s f r o m l e f t

t o r i g h t i n t h e f a r - e l d . = 0 o n t h e a x i s a n d t h e b o u n d a r y o f t h e s p h e r e . F o r a l l t h r e e o w s

! = 1 . V a l u e s o f a r e 0 , - . 6 a n d . 4 7 r e s p e c t i v e l y .

W e a s s u m e t h a t o u t s i d e t h e v o r t e x r e g i o n t h e o w h a s v e l o c i t y U = 1 i n t h e a x i a l

d i r e c t i o n

1

2

r

2

a t i n n i t y .

S t e a d y o w s r e s u l t i f

L = ! r

2

f 1 . 1

f o r s o m e f u n c t i o n f : W e w i l l a s s u m e t h a t f = 1

,H

, , w h e r e H i s t h e H e a v i s i d e

f u n c t i o n a n d i s t h e v a l u e o f t h e s t r e a m f u n c t i o n o n t h e b o u n d a r y o f t h e v o r t e x . W e

h a v e i n t r o d u c e d t h e v o r t e x s t r e n g t h p a r a m e t e r ! 0 a s a f a c t o r f o r c o n v e n i e n c e . T h e

v o r t i c i t y i n t h e v o r t e x r e g i o n i s t h e n 0 ; , ! r ; 0 . I t s h o u l d b e n o t e d t h a t o w s o b t a i n e d

b y s o l v i n g e q u a t i o n 1 . 1 g e n e r a l l y h a v e o n l y a s i n g l e v o r t e x r e g i o n ; i f t h e r e a r e m u l t i p l e

r e g i o n s , t h e v a l u e s o f b o t h ! a n d a r e t h e s a m e f o r a l l r e g i o n s . I n g e n e r a l t h e f u n c t i o n a l

r e l a t i o n s h i p b e t w e e n v o r t i c i t y a n d s t r e a m f u n c t i o n i n a s t e a d y , a x i s y m m e t r i c o w n e e d

n o t b e g l o b a l . I t i s a l s o n o t e d t h a t s o l u t i o n s o f 1 . 1 a r e c o n t i n u o u s l y d i e r e n t i a b l e , s o

t h e r e a r e n o v o r t e x s h e e t s .

T h e m e r i d i o n a l p l a n e c r o s s s e c t i o n o f t h e v o r t e x s u p p o r t f o r e a c h s o l u t i o n i s f r ; z :

r ; z g . T a k i n g t h e v a l u e o f o n t h e s u r f a c e o f t h e s p h e r e t o b e 0 , t h e t h r e e c l a s s e s

o f v o r t i c e s , a t t a c h e d , d e t a c h e d v o r t e x r i n g s , a n d t u b e s , c o r r e s p o n d t o b e i n g z e r o ,

n e g a t i v e a n d p o s i t i v e r e s p e c t i v e l y . F o r 0 , , i s t h e u x c o n s t a n t : 1 = 2 t i m e s t h e

u x o f t h e o w b e t w e e n t h e a x i s a n d t h e b o u n d a r y o f t h e v o r t e x . F i g u r e 1 s h o w s e x a m p l e s

o f t h e t h r e e c l a s s e s o f v o r t i c e s . T h e s e e x a m p l e s w i l l b e d i s c u s s e d f u r t h e r i n S e c t i o n 3 .

F o r x e d a n d ! t h e p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n 1 . 1 c a n n o t b e e x p e c t e d t o h a v e a

u n i q u e s o l u t i o n . F o r = 0 w e h a v e f o u n d f o u r d i s t i n c t o n e - p a r a m e t e r f a m i l i e s o f v o r t i c e s :

v o r t e x w a k e s b e h i n d t h e s p h e r e o n e o f w h i c h i s s h o w n i n F i g u r e 1 , s p h e r i c a l l y a n n u -


3/17

S t e a d y v o r t e x o w s p a s t a s p h e r e 3

l a r v o r t i c e s s u r r o u n d i n g t h e s p h e r e g i v e n a n a l y t i c a l l y i n S e c t i o n 4 , b a n d s o f v o r t i c i t y

a r o u n d t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e s p h e r e , a n d s y m m e t r i c r e g i o n s o f v o r t i c e s f o r e a n d a f t

o f t h e s p h e r e . V o r t i c e s i n t h e r s t f a m i l y a p p r o a c h t h e s p h e r i c a l v o r t e x o f H i l l 1 8 9 4 a s

t h e s i z e o f t h e v o r t e x r e g i o n , c o m p a r e d t o t h e s p h e r e , b e c o m e s l a r g e . T h e s e f o u r f a m i l i e s

o f a t t a c h e d v o r t i c e s w i l l b e d i s c u s s e d f u r t h e r i n S e c t i o n 3 .

I n t h e c a s e o f v o r t e x r i n g s t r a n s l a t i n g i n f r e e s p a c e , N o r b u r y 1 9 7 3 h a s g i v e n a f a m i l y ,

p a r a m e t r i z e d b y c o r e r a d i u s , w h i c h c o n n e c t s H i l l ' s v o r t e x t o t h i n r i n g s . W e g i v e a n a l o g o u s

r e s u l t s f o r t h e v a r i o u s a t t a c h e d v o r t i c e s d e s c r i b e d a b o v e a n d s t a t i o n a r y v o r t e x r i n g s i n

e q u i l i b r i u m w i t h t h e s p h e r e : E a c h a t t a c h e d v o r t e x l e a d s t o a x e d - c i r c u l a t i o n f a m i l y o f

v o r t e x r i n g s , p a r a m e t r i z e d b y u x c o n s t a n t . I n a s o m e w h a t s i m i l a r f a s h i o n , d e s c r i b e d i n

S e c t i o n 3 , c e r t a i n o f t h e a t t a c h e d v o r t i c e s c a n b e p e r t u r b e d t o o b t a i n f a m i l i e s o f v o r t e x

t u b e s .

T h e r e i s a c l o s e a n a l o g y b e t w e e n t h e r e s u l t s p r e s e n t e d h e r e a n d t h e a u t h o r ' s r e c e n t

r e s u l t s f o r t w o d i m e n s i o n a l o w s p a s t a c i r c u l a r c y l i n d e r g i v e n i n E l c r a t , F o r n b e r g , H o r n

& M i l l e r 2 0 0 0 . I n t h a t w o r k e q u i l i b r i u m p o s i t i o n s f o r p o i n t v o r t i c e s p l a y a n i m p o r t a n t

r o l e : a x e d - c i r c u l a t i o n v o r t e x f a m i l y a p p r o a c h e s a p o i n t v o r t e x a s t h e u x c o n s t a n t

a p p r o a c h e s i n n i t y . H o w e v e r , t h e r e i s n o d y n a m i c a l l y v a l i d a n a l o g u e o f a s t a t i o n a r y

p o i n t v o r t e x f o r a x i s y m m e t r i c o w : i n n i t e s i m a l v o r t e x r i n g s p r o p a g a t e w i t h i n n i t e

s p e e d S a m a n 1 9 9 2 , p . 3 6 . K e l v i n ' s f o r m u l a f o r a t h i n v o r t e x r i n g i n d i c a t e s t h a t t h e

r a d i u s o f a v o r t e x r i n g m a y b e e x p e c t e d t o g o t o i n n i t y a s t h e u x c o n s t a n t g o e s t o

i n n i t y , a n d t h i s s e e m s t o b e b o r n e o u t i n o u r c a l c u l a t i o n s .

I n F o r n b e r g 1 9 8 8 H i l l ' s s p h e r i c a l v o r t e x a r o s e i n t h e s t u d y o f s o l u t i o n s o f t h e s t e a d y

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s f o r h i g h - R e y n o l d s - n u m b e r o w p a s t a s p h e r e . A r a p i d l y c o n v e r -

g e n t N e w t o n ' s m e t h o d w a s u s e d t o a v o i d n a t u r a l l y o c c u r r i n g i n s t a b i l i t i e s , a n d a w a k e ,

w i t h s i z e g r o w i n g s l o w l y w i t h R e y n o l d s n u m b e r , w a s f o u n d w h i c h i s a s y m p t o t i c t o H i l l ' s

s p h e r i c a l v o r t e x . T h o s e c a l c u l a t i o n s i n d i c a t e t h a t t h e r s t f a m i l y o f a t t a c h e d v o r t i c e s

o b t a i n e d h e r e c l o s e l y a p p r o x i m a t e h i g h - R e y n o l d s - n u m b e r v i s c o u s w a k e s . T h e q u e s t i o n s

o f t i m e s t a b i l i t y o f t h e s o l u t i o n s o f t h e E u l e r e q u a t i o n s o b t a i n e d h e r e a n d t h e i r r e l a t i o n

t o s o l u t i o n s o f t h e s t e a d y N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e n a t u r a l o n e s t o r a i s e . H o w e v e r , w e

d o n o t d e a l w i t h t h e s e q u e s t i o n s h e r e .

S t e a d y o w s a r e f o u n d h e r e b y n u m e r i c a l l y s o l v i n g a p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e

s t r e a m f u n c t i o n . W e u s e a n o n - N e w t o n b a s e d i t e r a t i v e s c h e m e , s i m i l a r t o t h a t e m p l o y e d i n

E l c r a t , F o r n b e r g , H o r n & M i l l e r 2 0 0 0 . H o w e v e r , t h e r e a r e s o m e i m p o r t a n t d i e r e n c e s

i n h o w t h e s c h e m e i s i m p l e m e n t e d h e r e c o m p a r e d w i t h t h a t w o r k . I n p a r t i c u l a r , t h e

d i e r e n t i a l o p e r a t o r i n t h e p r e s e n t s t u d y i s n o t f o r m a l l y s e l f - a d j o i n t , s o a n a l t e r n a t i v e

t o t h e F a s t F o u r i e r T r a n s f o r m i s r e q u i r e d i n s o l v i n g t h e l i n e a r e q u a t i o n a t e a c h i t e r a t i v e

s t e p .

2 . N u m e r i c a l P r o c e d u r e s

B y s y m m e t r y w e n e e d o n l y c o n s i d e r t h e u p p e r h a l f o f t h e m e r i d i o n a l p l a n e . I n t r o d u c i n g

t h e c o m p l e x v a r i a b l e q = z + i r , w e m a k e t h e c h a n g e o f v a r i a b l e s = + i = i l n q :

E q u a t i o n 1 . 1 t h e n t r a n s f o r m s t o

~

L = ! e

4

s i n

2

f 2 . 1

w h e r e

~

L i s t h e d i e r e n t i a l o p e r a t o r

~

L =

+

, c o t

,

:


4/17


I f t h e o w d o m a i n i s t h e e x t e r i o r o f a s p h e r e o f r a d i u s o n e , w e o b t a i n a n i n n i t e s t r i p

i n t h e p l a n e g i v e n b y , 0 ; 0 1 . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n o n t h e t h r e e

s i d e s o f t h e s t r i p i s = 0 :

I n o r d e r t o g e t a n i t e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n w e t r u n c a t e a t s o m e l a r g e r s p h e r e o f

r a d i u s R , a n d t h i s t r u n c a t e s t h e s t r i p a t h e i g h t l n R . W e n e x t d e s c r i b e h o w w e o b t a i n t h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n t h a t w e i m p o s e o n t h e t o p o f t h e t r u n c a t e d s t r i p . A s s u m i n g t h a t t h e

v o r t e x i s i n s i d e a s p h e r e o f r a d i u s R

1

R ; t h e n L = 0 o u t s i d e t h i s s p h e r e . S o l u t i o n s

o f L = 0 c a n b e e x p r e s s e d a s e i g e n f u n c t i o n e x p a n s i o n s i n t e r m s o f b a s i s f u n c t i o n s t h a t

c o r r e s p o n d t o s p h e r i c a l h a r m o n i c s f o r t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l . S e e B a t c h e l o r 1 9 6 7 , p .

4 5 0 . T h e s e b a s i s f u n c t i o n s a r e

, n

: =

1

n + 1

n + 1

1 ,

2

d P

n

d

a n d

n

: = ,

1

n

1

n

1 ,

2

d P

n

d

;

n 1 , w h e r e i s t h e s p h e r i c a l r a d i a l c o o r d i n a t e ,

2

= z

2

+ r

2

; = z = a n d P

n

i s

t h e L e g e n d r e p o l y n o m i a l o f o r d e r n : U n i f o r m o w a t i n n i t y i m p l i e s t h a t t h e t e r m s

, n

; n 1 ; d o n o t o c c u r i n t h e e x p a n s i o n . A l s o t h e s t r e a m f u n c t i o n

0

f o r i r r o t a t i o n a l

o w p a s t t h e u n i t s p h e r e w i t h v e l o c i t y o n e a t i n n i t y i s

0

=

r

2

2

1 ,

, 3

=

, 1

+

1

2

1

:

I n s p h e r i c a l c o o r d i n a t e s t h e b a s i s f u n c t i o n s

n

; n 1 ; s a t i s f y

@

n

@

+

n

n

= 0 :

A s s u m i n g t h a t w e c a n n e g l e c t c o e c i e n t s o f

n

f o r n 2 ; w e o b t a i n t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n

@

@

+

2

= 0 2 . 2

o n t h e s p h e r e o f r a d i u s R , w h e r e = ,

0

: T h e v a l i d i t y o f t h i s a s s u m p t i o n c a n b e

c h e c k e d a f t e r t h e f a c t b y i n c r e a s i n g R , a n d w e d o t h i s i n o u r c o m p u t a t i o n s . U n d e r t h e

c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n t h i s y i e l d s t h e R o b i n t y p e b o u n d a r y c o n d i t i o n

@

@

+ 2 = 0

o n t h e t o p o f t h e t r u n c a t e d s t r i p .

O n e c a n i m a g i n e a m o r e s o p h i s t i c a t e d p r o c e d u r e i n w h i c h t h e c o n d i t i o n s a t i s e d b y

e a c h

n

i s i m p o s e d o n a d i s c r e t i z a t i o n o f t h e e q u a t i o n c o r r e s p o n d i n g t o a n o n l o c a l c o n -

d i t i o n o n : T h i s w a s d o n e i n o u r p r e v i o u s w o r k o n t w o - d i m e n s i o n a l o w s , b u t d i d n o t

t u r n o u t t o b e n e c e s s a r y h e r e .

W e d i s c r e t i z e t h e p r o b l e m u s i n g a u n i f o r m g r i d o n t h e r e c t a n g l e

, 6 6 0 ; 0 6 6 l n R

i n t h e , p l a n e . S o l u t i o n s t o t h e n o n - l i n e a r e q u a t i o n 2 . 1 a r e o b t a i n e d u s i n g i t e r a t i o n s

t o b e d e s c r i b e d b e l o w , a n d t h e l i n e a r e q u a t i o n s a r i s i n g i n t h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e a r e

s o l v e d u s i n g t h e m u l t i g r i d p a c k a g e M U D P A C K , A d a m s 1 9 8 9 .

T h e r e a r e t w o p a r a m e t e r s , ! a n d , i n t h e p r o b l e m b e i n g s t u d i e d . I n E l c r a t , F o r n b e r g ,


5/17


H o r n & M i l l e r 2 0 0 0 i n o r d e r t o o b t a i n c o n v e r g e n c e o f t h e i t e r a t i v e p r o c e d u r e w e i n t r o -

d u c e d a n a d d i t i o n a l p a r a m e t e r A , t h e a r e a o f t h e v o r t e x r e g i o n , a n d d e t e r m i n e d ! a s p a r t

o f t h e s o l u t i o n . C o n s t r a i n i n g t h e a r e a o r s o m e o t h e r g e o m e t r i c m e a s u r e o f t h e v o r t e x

s i z e e n s u r e s n u m e r i c a l c o n v e r g e n c e i r r e s p e c t i v e o f a n y p o s s i b l e p h y s i c a l i n s t a b i l i t i e s . I n

t h e a x i s y m m e t r i c p r o b l e m r a t h e r t h a n a r e a w e u s e t h e p a r a m e t e r M ; w h e r e M =

R

S

r d A

i s t h e r s t m o m e n t w i t h r e s p e c t t o t h e a x i s o f s y m m e t r y o f t h e c r o s s s e c t i o n S o f t h e

v o r t e x r e g i o n i n t h e m e r i d i o n a l h a l f p l a n e . M i s u s e d i n s t e a d o f A b e c a u s e t h e c i r c u l a t i o n

o f a v o r t e x i n a x i s y m m e t r i c o w i s = ! M :

G i v e n M a n d , t h e b a s i c i t e r a t i o n w e u s e t a k e s t h e f o r m

L

n + 1

= !

n

r

2

f

n

2 . 3

w h e r e !

n

i s a d j u s t e d i n a n i n n e r i t e r a t i o n s o t h a t t h e m o m e n t o f t h e a p p r o x i m a t e v o r t e x

r e g i o n S

n + 1

= f

n + 1

g i s e q u a l t o M t o w i t h i n s o m e p r e s c r i b e d t o l e r a n c e . W e

g e n e r a l l y s e t t h i s t o l e r a n c e e q u a l t o t h e a r e a o f o n e g r i d r e c t a n g l e i n t h e c o m p u t a t i o n a l

d o m a i n . A n i n i t i a l g u e s s !

0

a n d a n i n i t i a l g u e s s S

0

f o r t h e v o r t e x r e g i o n a r e g i v e n . T h e

r i g h t h a n d s i d e o f 2 . 3 i n t h e r s t i t e r a t i v e s t e p i s !

0

r

2

o n S

0

a n d 0 o S

0

:

T h e m o m e n t o f S

n + 1

i s c o m p u t e d b y a d d i n g t o g e t h e r t h e c o n t r i b u t i o n s t o t h e m o m e n t

o f t h e t r a n s f o r m e d g r i d r e c t a n g l e s t h a t i n t e r s e c t S

n + 1

. I f t h e i m a g e s o f a l l f o u r c o r n e r s o f

t h e g r i d r e c t a n g l e

1

;

2

1

;

2

a r e c o n t a i n e d i n S

n + 1

t h e m o m e n t c a n b e c o m p u t e d

e x a c t l y :

R

2

1

R

2

1

, s i n e x p 3 d d : I f s o m e b u t n o t a l l c o r n e r s o f a g r i d r e c t a n g l e a r e

i n S

n + 1

t h e n a s i n E l c r a t , F o r n b e r g , H o r n & M i l l e r 2 0 0 0 w e u s e l i n e a r i n t e r p o l a t i o n o n

t h e s i d e s o f t h e r e c t a n g l e w h e r e

n + 1

, c h a n g e s s i g n t o a p p r o x i m a t e t h e f r a c t i o n o f t h e

a r e a o f t h e g r i d r e c t a n g l e t h a t i s i n S

n + 1

: T h a t f r a c t i o n o f t h e m o m e n t o f t h e t r a n s f o r m e d

g r i d r e c t a n g l e i s t h e n t a k e n a s t h e c o n t r i b u t i o n o f t h a t r e c t a n g l e t o t h e t o t a l m o m e n t .

T h e i t e r a t i o n s a r e c o n t i n u e d u n t i l t h e s e t o f g r i d p o i n t s i n S

n + 1

i s t h e s a m e a s t h e s e t

o f g r i d p o i n t s i n S

n

: T h e i n n e r i t e r a t i o n s u s e d t o d e t e r m i n e !

n

a r e d o n e u s i n g t h e s e c a n t

m e t h o d w i t h s t o p p i n g c r i t e r i o n j !

n ; j + 1

, !

n ; j

j h

2

, w h e r e h i s t h e m e s h w i d t h i n t h e

p l a n e .

3 . R e s u l t s

W e w i l l g i v e e x a m p l e s t h a t r e p r e s e n t t h e v a r i o u s s o l u t i o n s w e h a v e f o u n d . T h e g r a p h s

w h i c h f o l l o w s h o w c r o s s - s e c t i o n s o f t h e v o r t e x i n t h e u p p e r h a l f o f t h e m e r i d i o n a l p l a n e .

T h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n 1 . 1 a n d t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s a r e i n v a r i a n t u n d e r t h e

t r a n s f o r m a t i o n z ! , z , s o a n o n s y m m e t r i c v o r t e x a l w a y s h a s a r e e c t e d t w i n . T h e s e

r e e c t e d s o l u t i o n s w i l l n o t b e d i s c u s s e d f u r t h e r . T h e r a d i u s o f t h e s p h e r i c a l o b s t a c l e i s

t a k e n t o b e o n e t h r o u g h o u t .

3 . 1 . A t t a c h e d V o r t i c e s

F o r a t t a c h e d v o r t i c e s = 0 a n d M i s a p a r a m e t e r . A s n o t e d e a r l i e r , s o l u t i o n s t o t h e

d i e r e n t i a l e q u a t i o n 1 . 1 a r e n o t u n i q u e . A s d i s c u s s e d f u r t h e r i n t h i s s u b - s e c t i o n , w e h a v e

i n f a c t f o u n d f o u r f a m i l i e s o f s o l u t i o n s , p a r a m e t r i z e d b y M , w h e n = 0 . N u m e r i c a l l y

t h e s e d i e r e n t f a m i l i e s a r e o b t a i n e d b y t a k i n g d i e r e n t i n i t i a l g u e s s e s f o r t h e v o r t e x

r e g i o n . O n e o f t h e f e a t u r e s o f o u r s o l u t i o n m e t h o d i s t h a t a n a p r i o r i g u e s s " a s t o w h e r e

a s t e a d y v o r t e x m i g h t o c c u r c a n b e u s e d a s t h e i n i t i a l s e t S

0

f o r t h e i t e r a t i o n s .

F i r s t w e h a v e f o u n d a s e t o f v o r t i c e s t h a t h a v e t h e c h a r a c t e r o f a s e p a r a t i o n b u b b l e

b e h i n d t h e s p h e r e . T h e s e v o r t i c e s m a y b e t h o u g h t o f a s p e r t u r b a t i o n s o f H i l l ' s s p h e r i c a l

v o r t e x . S t r e a m l i n e s f o r t h e o w w h e n M = 4 a r e s h o w n i n F i g u r e 2 a l o n g w i t h t h e

s t r e a m l i n e s f o r t h e c o m p a r a b l e H i l l ' s v o r t e x . N u m e r i c a l s o l u t i o n s f o r v i s c o u s o w p a s t


6/17


F i g u r e 2 . O n t h e l e f t i s a s t r e a m l i n e p l o t f o r o w p a s t a s p h e r e w i t h a n a t t a c h e d v o r t e x w i t h

M = 4 , ! = 2 2 . O n t h e r i g h t i s a s t r e a m l i n e p l o t f o r H i l l ' s s p h e r i c a l v o r t e x o f r a d i u s 1 . 8 5 , w h i c h

h a s t h e s a m e v a l u e o f !

F i g u r e 3 . A t t a c h e d = 0 t r a i l i n g v o r t i c e s . V a l u e s o f M a r e . 0 1 , . 1 , . 4 , 1 , 2 , 4 , 6 , 8 , 1 0 , 1 2 ,

1 5 a n d 2 0 .

F i g u r e 4 . A t t a c h e d v o r t e x b a n d s . V a l u e s o f M a r e . 1 , . 2 5 , . 5 , . 7 5 , 1 , 1 . 2 5 , 1 . 5 2 , 1 . 5 6 , 1 . 8 , 2 .

a s p h e r e o b t a i n e d p r e v i o u s l y i n F o r n b e r g 1 9 8 8 s u g g e s t t h a t s o l u t i o n s i n t h i s f a m i l y

c l o s e l y a p p r o x i m a t e h i g h R e y n o l d s n u m b e r v i s c o u s w a k e s . S o l u t i o n s i n t h i s f a m i l y f o r

s e v e r a l v a l u e s o f M a r e s h o w n i n F i g u r e 3 .

I t i s n o t e d t h a t t o w i t h i n t h e c o m p u t a t i o n a l a c c u r a c y o f o u r n u m e r i c a l r e s u l t s a p -

p r o x i m a t e l y 2 h w h e r e h i s t h e g r i d s p a c i n g , e a c h v o r t e x b o u n d a r y i s i n d i s t i n g u i s h a b l e

f r o m a s e c t i o n o f a s p h e r e . W h i l e i t i s t o b e e x p e c t e d t h a t f o r l a r g e M t h e v o r t i c e s s h o u l d

b e n e a r l y s p h e r i c a l , t h a t t h e b o u n d a r i e s a r e a l s o a p p a r e n t l y s p h e r i c a l f o r e v e n s m a l l M

i s p e r h a p s s u r p r i s i n g .

F o r a s e c o n d f a m i l y o f s o l u t i o n s t h e b o u n d a r i e s o f t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n s a r e s p h e r e s

c o n c e n t r i c w i t h t h e s p h e r i c a l o b s t a c l e . I n f a c t w e w i l l s h o w i n S e c t i o n 4 t h a t t h e s e s o l u -

t i o n s c a n b e g i v e n a n a l y t i c a l l y , g e n e r a l i z i n g H i l l ' s a n a l y t i c s o l u t i o n .

A t h i r d f a m i l y o f a t t a c h e d v o r t i c e s i s s h o w n i n F i g u r e 4 . F o r s m a l l v a l u e s o f M t h e

v o r t e x i s a s m a l l b a n d a r o u n d t h e c i r c u m f e r e n c e o f t h e s p h e r e , a s s h o w n b y a s m a l l r e g i o n


7/17


F i g u r e 5 . S o l u t i o n s w i t h t w o s y m m e t r i c a t t a c h e d v o r t e x r e g i o n s . V a l u e s o f M a r e . 2 , . 5 , 1 , 2 ,

3 , 4 , 4 . 6 5 .

F i g u r e 6 . S t r e a m l i n e p l o t f o r o w w i t h = 2 a n d = , 3

a t t h e t o p o f t h e s e m i c i r c l e i n t h e m e r i d i o n a l p l a n e . A s M i n c r e a s e s t h e v o r t e x e x p a n d s

o u t a n d s u r r o u n d s t h e s p h e r e a t a p p r o x i m a t e l y M = 1 : 5 5 : A s M i n c r e a s e s f u r t h e r t h e

v o r t e x a t t a i n s a n a l m o s t s p h e r i c a l s h a p e a t a p p r o x i m a t e l y M = 2 :

F o r s o l u t i o n s i n t h e f o u r t h f a m i l y o f a t t a c h e d v o r t i c e s , F i g u r e 5 , t h e r e a r e t w o s y m m e t -

r i c r e g i o n s o f v o r t i c i t y , f o r e a n d a f t o f t h e s p h e r e . T h e v a l u e o f M f o r t h i s f a m i l y r a n g e s

f r o m 0 t o a b o u t 4 . 6 5 . A s M a p p r o a c h e s t h i s m a x i m a l v a l u e t h e a t t a c h m e n t p o i n t s i n t h e

m e r i d i o n a l c r o s s s e c t i o n a p p r o a c h t h e t o p o f t h e s e m i - c i r c l e . A s d i s c u s s e d f u r t h e r i n t h e

n e x t s u b s e c t i o n , i n c o n t r a s t t o t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e w e w e r e n o t a b l e t o c o n t i n u e

t h i s f a m i l y t o i n c l u d e v o r t i c e s t h a t c o m p l e t e l y s u r r o u n d t h e o b s t a c l e .

3 . 2 . V o r t e x R i n g s

T a k i n g 0 y i e l d s v o r t e x r i n g s o r d e t a c h e d v o r t i c e s a s s o l u t i o n s . N o r b u r y 1 9 7 2

d e s c r i b e d a f a m i l y o f s t e a d y v o r t e x r i n g s a s p e r t u r b a t i o n s o f H i l l ' s s p h e r i c a l v o r t e x a n d

n u m e r i c a l l y c o n t i n u e d t h e f a m i l y t o s m a l l c r o s s - s e c t i o n v o r t i c e s i n N o r b u r y 1 9 7 3 . W e

c a n s i m i l a r l y p e r t u r b f r o m a n y o f t h e a t t a c h e d v o r t i c e s d e s c r i b e d a b o v e t o o b t a i n v o r t e x

r i n g s .

S t r e a m l i n e p l o t s f o r t w o v o r t e x r i n g s a r e s h o w n F i g u r e s 6 a n d 7 . T h e s h a p e o f t h e

s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e i n F i g u r e 7 i s q u i t e s i m i l a r t o t h a t s h o w n i n F i g u r e 4 o f N o r b u r y

1 9 7 3 f o r a v o r t e x r i n g i n t h e f u l l s p a c e w i t h a c o m p a r a b l e r a t i o o f v o r t e x c o r e r a d i u s

t o r i n g r a d i u s .

W e o r g a n i z e t h e v a r i o u s v o r t e x r i n g s w e h a v e f o u n d b y p r e s e n t i n g x e d c i r c u l a t i o n

f a m i l i e s o f v o r t e x r i n g s , p a r a m e t r i z e d b y 0 ; o n e s u c h f a m i l y f o r e a c h o f t h e a t t a c h e d

v o r t i c e s d e s c r i b e d i n t h e p r e v i o u s s u b - s e c t i o n . F i g u r e s 8 , 9 a n d 1 0 s h o w s e q u e n c e s o f

v o r t e x r i n g s p e r t u r b e d f r o m t r a i l i n g a t t a c h e d v o r t i c e s f o r t h r e e v a l u e s o f c i r c u l a t i o n .

T h e s t r e a m l i n e p l o t s s h o w n i n 6 a n d 7 a r e f o r v o r t i c e s i n F i g u r e s 8 a n d 9 r e s p e c t i v e l y .


8/17


F i g u r e 7 . S t r e a m l i n e p l o t f o r o w w i t h = 5 a n d = , 1 0 4

F i g u r e 8 . V o r t e x r i n g s t r a i l i n g t h e s p h e r e , w i t h = 2 . V a l u e s o f a r e 0 , - . 0 0 2 , - . 0 2 , - . 0 6 , - . 1 4 ,

- . 2 2 , - . 3 0 .

F i g u r e 9 . V o r t e x r i n g s t r a i l i n g t h e s p h e r e , w i t h = 5 . V a l u e s o f a r e 0 , - . 1 , - . 5 9 , - 1 . 0 4 a n d

- 1 . 4 3

F i g u r e s 1 1 , 1 2 a n d 1 3 s h o w s e q u e n c e s o f r i n g s a s s o c i a t e d w i t h o n e c a s e o f e a c h o f t h e

o t h e r t h r e e t y p e s o f a t t a c h e d v o r t e x a s d e s c r i b e d i n t h e p r e c e d i n g s u b s e c t i o n .

T h e r e a r e t w o a l g o r i t h m s t h a t w e r e u s e d t o o b t a i n t h e s e f a m i l i e s . T h e r s t o f t h e s e

a l g o r i t h m s i s a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e t h a t u s e s t h e b a s i c a l g o r i t h m d e s c r i b e d a t t h e e n d

o f S e c t i o n 2 a t e a c h i t e r a t i o n . G i v e n a n d M t h e b a s i c a l g o r i t h m d e t e r m i n e s a n ! a n d

c o r r e s p o n d i n g s o l u t i o n t o 1 . 1 w i t h v o r t e x c i r c u l a t i o n M = ! M : I f i s p r e s c r i b e d w e

t h e n u s e a n o n - l i n e a r e q u a t i o n s o l v i n g r o u t i n e t o v a r y M s o a s t o s o l v e M = : N o t e

t h a t t h e r e a r e t h r e e l e v e l s o f i t e r a t i o n w i t h t h i s a l g o r i t h m a n d a n u m e r i c a l s o l u t i o n o f t h e


9/17


F i g u r e 1 0 . V o r t e x r i n g s t r a i l i n g t h e s p h e r e , w i t h = 1 5 . V a l u e s o f a r e 0 , - . 0 8 , - . 2 , - . 6 , - 1 . 9 8 ,

- 2 . 9 7 , - 3 . 9 8 , - 5 . 1 7 a n d - 6 . 5 1 .

F i g u r e 1 1 . V o r t e x r i n g s p e r t u r b e d o t h e c o n c e n t r i c s p h e r i c a l a t t a c h e d v o r t e x , w i t h = 1 5 .

V a l u e s o f a r e 0 , - . 0 0 5 , - . 0 3 , - . 1 , - . 2 2 , - . 3 6 , - . 6 , - 1 , - 1 . 6 , - 2 . 4 , - 3 .

p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n 2 . 3 i s r e q u i r e d a t e a c h i n n e r s t e p . T h e s e c o n d a l g o r i t h m i s

m u c h l e s s c o m p u t a t i o n a l l y i n t e n s i v e : G i v e n a n d M a n d h e n c e ! t h e e q u a t i o n

~

L

n + 1

= ! e

4

s i n

2

1 , H

n

,

n

i s s o l v e d o n c e i n e a c h o u t e r i t e r a t i o n . T h e n =

n + 1

i s v a r i e d i n a n i n n e r i t e r a t i o n t o

s a t i s f y t h e c o n s t r a i n t o n M . U n f o r t u n a t e l y t h e m u c h f a s t e r s e c o n d a l g o r i t h m w a s n o t

s u c c e s s f u l i n l o c a t i n g s o l u t i o n s f o r c l o s e t o 0 . S t a r t i n g f r o m a n a t t a c h e d v o r t e x , a s

d e c r e a s e s f r o m 0 w i t h x e d t h e v a l u e o f M i n i t i a l l y i n c r e a s e s , t h e n d e c r e a s e s . T h e

s e c o n d a l g o r i t h m o n l y f o u n d s o l u t i o n s o n t h e p o r t i o n o f t h e f a m i l y w h e r e M d e c r e a s e s .

T h u s t h e r s t a l g o r i t h m h a d t o b e u s e d t o n d s o l u t i o n s f o r a n i n i t i a l r a n g e o f n e g a t i v e

:

I n o u r p r e v i o u s w o r k o n t w o - d i m e n s i o n a l v o r t i c e s , s t r u c t u r e w a s g i v e n t o t h e s e t o f

d e t a c h e d v o r t i c e s b y s h o w i n g t h a t f o r a n a t t a c h e d v o r t e x = 0 t h e r e i s a s t a t i o n a r y


10/17

1 0 A . E l c r a t , B . F o r n b e r g a n d K . M i l l e r

F i g u r e 1 2 . V o r t e x r i n g s p e r t u r b e d o a n a t t a c h e d v o r t e x b a n d , = 7 . V a l u e s o f a r e 0 , - . 0 2 ,

- . 1 , - . 3 , - . 5 8 , - 1 , - 1 . 5 8 .

p o i n t v o r t e x = , 1 o r a s y m m e t r i c p o i n t v o r t e x p a i r w i t h t h e s a m e c i r c u l a t i o n

a n d a x e d - f a m i l y o f d e t a c h e d v o r t i c e s p a r a m e t r i z e d b y j o i n i n g t h e a t t a c h e d v o r t e x

t o t h e p o i n t v o r t e x . T h e r e i s n o a n a l o g u e o f a s t a t i o n a r y p o i n t v o r t e x f o r a x i s y m m e t r i c

o w . F i g u r e s 8 t h r o u g h 1 2 s u g g e s t t h a t f o r x e d a s d e c r e a s e s t h e v o r t e x c r o s s s e c t i o n

e v e n t u a l l y a s s u m e s a n e a r l y c i r c u l a r s h a p e , b o u n d e d a w a y f r o m t h e a x i s , w i t h c r o s s

s e c t i o n a l a r e a d e c r e a s i n g t o 0 a s ! , 1 . A l s o K e l v i n ' s f o r m u l a S a m a n 1 9 9 2 , p .

1 9 5 f o r a v o r t e x r i n g

U

4 R

l n

8 R

a

,

1

4

a s a = R ! 0 , w h e r e U = 1 i s t h e p r o p a g a t i o n s p e e d , R t h e r i n g r a d i u s , a n d a t h e c o r e

r a d i u s , i n d i c a t e s t h a t R s l o w l y g o e s t o i n n i t y a s ! , 1 w i t h x e d , s i n c e a ! 0 a n d

R i s b o u n d e d a w a y f r o m 0 a s ! , 1 :

I t a p p e a r s l i k e l y t h a t s t a r t i n g w i t h a n y v o r t e x f r o m o n e o f t h e r s t t h r e e f a m i l i e s o f

a t t a c h e d v o r t i c e s , t h e c o r r e s p o n d i n g x e d - c i r c u l a t i o n f a m i l y o f v o r t e x r i n g s e x i s t s f o r

t h e e n t i r e r a n g e o f 0 : H o w e v e r , a s e x p l a i n e d i n S e c t i o n 3 . 4 , w e h a v e e n c o u n t e r e d

p r o b l e m s o f r e s o l u t i o n i n c o m p u t i n g s m a l l c r o s s - s e c t i o n v o r t i c e s w i t h o u r a l g o r i t h m ,

t h e s e r e s o l u t i o n p r o b l e m s i n c r e a s i n g a s t h e d i s t a n c e f r o m t h e r i n g t o t h e a x i s i n c r e a s e s .

S o w e w e r e n o t a b l e t o c o m p u t e s o l u t i o n s f o r l a r g e n e g a t i v e : W e c a n c o n j e c t u r e t h a t a s

! , 1 t h e v o r t i c e s i n F i g u r e s 8 , 9 a n d 1 0 a p p r o a c h t h e v e r t i c a l a x i s t h r o u g h t h e c e n t e r

o f t h e s p h e r e o r e v e n t u a l l y m e r g e w i t h t h e f a m i l y c e n t e r e d o n t h a t a x i s , b u t w e c a n n o t

t a k e h s m a l l e n o u g h t o c o n c l u s i v e l y s h o w t h i s . W e a l s o n o t e t h a t w e a r e u n a b l e t o r e s o l v e

v o r t i c e s f o r w h i c h t h e r a t i o o f c o r e r a d i u s t o r i n g r a d i u s i s s o s m a l l a s t o o b t a i n o w s

i n w h i c h t h e r e i s a n i n t e r i o r s t a g n a t i o n p o i n t b e t w e e n t h e v o r t e x a n d t h e a x i s . S a m a n

1 9 9 2 i n d i c a t e s t h a t t h i s w i l l o c c u r w h e n t h e r a t i o i s l e s s t h a n 1 = 8 6 i n t h e c a s e o f o w

w i t h o u t a n o b s t a c l e .

F o r a n y o f t h e d o u b l e a t t a c h e d v o r t i c e s i n F i g u r e 5 t h e c o r r e s p o n d i n g f a m i l y F i g u r e

1 3 o f v o r t e x r i n g s w a s e x t e n d e d f o r o n l y a s m a l l r a n g e o f 0 : A n o b s t r u c t i o n t o

f u r t h e r c o n t i n u a t i o n o f t h e f a m i l y a p p e a r s t o o c c u r a s t h e s t a g n a t i o n p o i n t s o n t h e s e m i -

c i r c l e i n t h e m e r i d i o n a l h a l f - p l a n e a p p r o a c h t h e t o p o f t h e c i r c l e . S e e F i g u r e 1 4 . T h i s

c o n t r a s t s w i t h t h e c a s e o f t w o d i m e n s i o n a l o w w h e r e s i m i l a r o w s w i t h t w o r e g i o n s o f

v o r t i c i t y c a n b e c o n t i n u e d t o c o n t a i n o w s i n w h i c h t h e = 0 s t r e a m l i n e g o e s a b o v e t h e

t o p o f t h e c i r c l e . S e e F i g u r e 1 2 i n E l c r a t , F o r n b e r g , H o r n & M i l l e r 2 0 0 0 . S u c h o w s

h a v e a s t a g n a t i o n p o i n t o n t h e v e r t i c a l a x i s o f s y m m e t r y . T h e a x i s y m m e t r i c a n a l o g u e


11/17

S t e a d y v o r t e x o w s p a s t a s p h e r e 1 1

F i g u r e 1 3 . V o r t e x r i n g p a i r s , w i t h = 8 . V a l u e s o f g o f r o m 0 t o - . 4 3 , t h e n i n c r e a s e a g a i n t o

- . 2 7 a s t h e v o r t e x r e g i o n s m o v e t o w a r d t h e v e r t i c a l a x i s .

F i g u r e 1 4 . S t r e a m l i n e p l o t f o r o w w i t h = 8 w i t h v o r t e x r e g i o n s n e a r t h e e n d o f t h e f a m i l y

s h o w n i n F i g u r e 1 3 . T h e s t a g n a t i o n p o i n t s a r e n e a r t h e t o p o f t h e c i r c l e .

o f a n i n t e r i o r s t a g n a t i o n p o i n t w o u l d b e a n i n t e r i o r s t a g n a t i o n c i r c l e . W e h a v e f o u n d n o

s t e a d y a x i s y m m e t r i c o w s w i t h a n i n t e r i o r s t a g n a t i o n c i r c l e n e a r t h e s p h e r e .

3 . 3 . V o r t e x T u b e s

V o r t i c e s w i t h s u p p o r t e x t e n d i n g t o i n n i t y a l o n g t h e a x i s o f s y m m e t r y o c c u r w h e n 0 :

N e i t h e r c i r c u l a t i o n n o r m o m e n t i s d e n e d f o r u n b o u n d e d v o r t i c e s , s o w e u s e ! a s t h e

s e c o n d p r e s c r i b e d p a r a m e t e r . A s n o t e d e a r l i e r , t o o b t a i n c o n v e r g e n c e w e m u s t c o n s t r a i n

s o m e g e o m e t r i c m e a s u r e o f t h e v o r t e x s i z e , a n d f o r t h a t p u r p o s e w e u s e a r e a o f t h e

v o r t e x i n t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i n t h i s c a s e . T h e a l g o r i t h m u s e d i s t h e s a m e a s

t h e r s t a l g o r i t h m d e s c r i b e d f o r o b t a i n i n g v o r t e x r i n g s , w i t h M r e p l a c e d b y a r e a i n t h e

c o m p u t a t i o n a l d o m a i n .

A s d e s c r i b e d b e l o w , w e h a v e s o l u t i o n s w h i c h a r e p e r t u r b a t i o n s o f a p o t e n t i a l o w ,

b t h e c o n c e n t r i c s p h e r i c a l v o r t i c e s a n d c t h e t r a i l i n g v o r t i c e s i n F i g u r e 3 . T h e s e t h r e e

f a m i l i e s a r e s h o w n i n F i g u r e s 1 5 , 1 6 a n d 1 7 i n t h e c a s e ! = 1 : F o r a l l t h r e e f a m i l i e s t h e

c o n t i n u a t i o n c a n n o t b e c a r r i e d o u t p a s t a m a x i m a l v a l u e o f w h i c h d e p e n d s o n ! : A s

i n t h e c a s e o f t w o d i m e n s i o n a l o w , t h i s m a x i m a l v a l u e i s t h e s a m e f o r a l l t h r e e f a m i l i e s

f o u r f a m i l i e s c o u n t i n g t h e r e e c t i o n o f t h e t h i r d f a m i l y .

F o r t h e = 0 v o r t e x i n t h e f a m i l y s h o w n i n F i g u r e 1 6 e a c h s t r e a m l i n e = c ; c 0 i s

a s i n g l e s i m p l e c l o s e d c u r v e : t h e s t r e a m f u n c t i o n h a s a u n i q u e m i n i m u m o n t h e r a x i s .

A s s e e n i n F i g u r e 1 8 w h e n = 0 : 4 t h e s t r e a m f u n c t i o n h a s t w o m i n i m a : t h e r e a r e t w o

r i n g s o f r e - c i r c u l a t i n g u i d w i t h i n a r e g i o n o f r e - c i r c u l a t i n g u i d s u r r o u n d i n g t h e s p h e r e .


12/17


F i g u r e 1 5 . V o r t e x t u b e s , w i t h ! = 1 , p e r t u r b a t i o n s o f p o t e n t i a l o w . V a l u e s o f a r e . 1 , . 2 , . 3 ,

. 4 a n d . 5 .

F i g u r e 1 6 . V o r t e x t u b e s , w i t h ! = 1 , p e r t u r b a t i o n s o f t h e c o n c e n t r i c s p h e r i c a l s o l u t i o n .

V a l u e s o f a r e . 1 , . 2 , . 3 , . 4 a n d . 5 .

F i g u r e 1 7 . V o r t e x t u b e s , w i t h ! = 1 , p e r t u r b a t i o n s o f a v o r t e x i n F i g u r e 3 . V a l u e s o f a r e . 1 ,

. 2 , . 3 , . 4 a n d . 5 .

W h e n = 0 : 4 9 t h e t w o m i n i m a h a v e b e c o m e f u r t h e r s e p a r a t e d a n d t h e r e a r e s t a g n a t i o n

p o i n t s o n t h e s p h e r e .

T h e l o w e r s t r e a m l i n e p l o t i n F i g u r e 1 i s f o r t h e = : 4 7 v o r t e x i n t h e f a m i l y s h o w n i n

F i g u r e 1 7 . A s i n c r e a s e s f r o m : 4 7 t o : 5 i n t h i s f a m i l y , t h e r e g i o n o f r e c i r c u l a t i n g u i d

i n f r o n t o f t h e s p h e r e b e c o m e s l a r g e r a n d t h e r e g i o n b e h i n d t h e s p h e r e b e c o m e s s m a l l e r ,

s o t h a t t h e m a x i m a l = : 5 s o l u t i o n i s s y m m e t r i c w i t h t h e s a m e o w p a t t e r n a s i n t h e

l o w e r p l o t o f F i g u r e 1 8 . F o r p e r t u r b a t i o n s o f p o t e n t i a l o w , r e g i o n s o f r e - c i r c u l a t i n g o w

f o r e a n d a f t o f t h e s p h e r e a r e n o t v i s i b l e f o r : 4 5 w i t h t h e r e s o l u t i o n w e h a v e u s e d .

S e e F i g u r e 1 9 . T h e s e r e g i o n s i n c r e a s e r a p i d l y i n s i z e a s i n c r e a s e s f r o m : 4 8 t o : 5 .

A n a l y s i s o f s i m i l a r a x i s y m m e t r i c o w s i n t h e f u l l s p a c e i n d i c a t e s w h y t h e r e i s a m a x i m a l

v a l u e o f g i v e n ! . F o r a f u l l - s p a c e a x i s y m m e t r i c o w w i t h v o r t e x t u b e

f z ; r : r r

0

g,

v e l o c i t y U f o r r r

0

a n d v e l o c i t y u

a

o n t h e a x i s , t h e s t r e a m f u n c t i o n i s g i v e n b y

=

1

2

u

a

r

2

+

!

8

r

4

; ;

1

2

U r

2

+ k ; ;

w i t h = w h e n r = r

0

. D i e r e n t i a b i l i t y i m p l i e s U

2

, u

2

a

= 2 ! . T h e v a l u e o f r

0

i s

g i v e n b y ! r

2

0

= 2 U , u

a

. T h u s i f 2 ! U

2

i s s a t i s e d t h e r e a r e t w o s u c h t u b e s u

a

0

a n d u

a

0 . T h i s a c c o u n t s f o r t w o f a m i l i e s w i t h t h e s a m e m a x i m a l g i v e n ! . I n


13/17


F i g u r e 1 8 . S t r e a m l i n e p l o t s f o r v o r t i c e s i n t h e f a m i l y g i v e n i n F i g u r e 1 6 , f o r e q u a l t o . 4

u p p e r p l o t a n d . 4 9 .

F i g u r e 1 9 . S t r e a m l i n e p l o t f o r t h e = 4 8 ; ! = 1 p e r t u r b a t i o n o f p o t e n t i a l o w .

t h e p r e s e n c e o f a s p h e r e t h e t h i r d f a m i l y F i g u r e 1 7 a r i s e s b y m a t c h i n g a s o l u t i o n f r o m

t h e r s t f a m i l y i n t h e f a r - e l d u p s t r e a m w i t h a s o l u t i o n f r o m t h e s e c o n d f a m i l y i n t h e

f a r - e l d d o w n s t r e a m .

3 . 4 . C o m p u t a t i o n a l A c c u r a c y

T h e v a l i d i t y o f u s i n g t h e n u m e r i c a l b o u n d a r y c o n d i t i o n 2 . 2 o n t h e t r u n c a t i n g s p h e r e

w a s c h e c k e d u s i n g a t e s t p r o b l e m f o r w h i c h a n e x a c t s o l u t i o n i s k n o w n . T h e e r r o r w a s

a t t h e l e v e l o f t h e t r u n c a t i o n e r r o r o f t h e d i s c r e t i z a t i o n . T h e r a d i u s o f t h e t r u n c a t i o n

s p h e r e w a s s q u a r e d f r o m i t s o r i g i n a l v a l u e o f e

t h e r e c t a n g l e i n t h e p a r a m e t e r p l a n e

w a s d o u b l e d i n h e i g h t , a n d t h e e e c t w a s n e g l i g i b l e .

C o m p a r i s o n o f t h e n u m e r i c a l r e s u l t s w i t h t h e a n a l y t i c f o r m u l a g i v e n i n t h e n e x t s e c t i o n

f o r t h e c o n c e n t r i c s p h e r i c a l f a m i l y o f s o l u t i o n s p r o v i d e s a c h e c k o n t h e a c c u r a c y o f t h e

f u l l r o u t i n e . G e n e r a l l y w h e n t h e r o u t i n e c o n v e r g e d t o o n e o f t h e s e v o r t i c e s , t h e b o u n d a r y

o f t h e c o n v e r g e d s o l u t i o n a g r e e d w i t h t h e e x p e c t e d s p h e r i c a l b o u n d a r y t o w i t h i n h i n t h e

c o m p u t a t i o n a l d o m a i n , w h e r e h i s t h e g r i d s p a c i n g .

W e h a v e u s e d a r e c t a n g l e o f h e i g h t i n t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n , a n d h = =

= 2

, m

; w i t h m a n i n t e g e r b e t w e e n 9 a n d 1 1 . W e c a n m a k e a n e s t i m a t e o f t h e

a c c u r a c y o f t h e s o l u t i o n s b y n o t i n g t h e e x t e n t o f v a r i a b i l i t y o f t h e c o m p u t e d s o l u t i o n s

f o r d i e r e n t i n i t i a l g u e s s . C o n s i d e r i n g t h e v o r t i c e s s h o w n i n F i g u r e 3 , t h e d e v i a t i o n i n

t h e c o m p u t e d p o i n t s o n t h e v o r t e x b o u n d a r y a m o n g t h e v a r i o u s c o m p u t e d s o l u t i o n s f o r

a g i v e n M , w a s o b s e r v e d t o b e a t m o s t 2 h f o r M 1 5 . F o r 1 5 M 2 0 , t h i s d e v i a t i o n

w a s a t m o s t 3 h . D u e t o t h e e x p o n e n t i a l n a t u r e o f t h e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n i n t h e


14/17


r a d i a l d i r e c t i o n , t h e m a x i m u m e r r o r i n t h e d e t e r m i n a t i o n o f t h e v o r t e x b o u n d a r i e s i n t h i s

f a m i l y c a n b e t a k e n t o b e a p p r o x i m a t e l y 2 h f o r M 1 5 3 h f o r 1 5 M 2 0 , w h e r e

i s t h e s p h e r i c a l r a d i a l c o o r d i n a t e . C o n v e r g e d s o l u t i o n s w e r e a l s o c h e c k e d b y d o u b l i n g

t h e n u m b e r o f g r i d p o i n t s .

A l t h o u g h t h e n u m e r i c a l p r o c e d u r e a l w a y s c o n v e r g e s , t w o k i n d s o f p h a n t o m " s o l u t i o n

w e r e o b t a i n e d b u t d i s c a r d e d b e c a u s e t h e s o l u t i o n s d i d n o t r e m a i n u p o n f u r t h e r g r i d

r e n e m e n t . F i r s t , a t a g i v e n l e v e l o f d i s c r e t i z a t i o n h ; w e f o u n d n e a r l y s p h e r i c a l d o w n -

s t r e a m v o r t i c e s w i t h a r b i t r a r y c e n t e r z o n t h e a x i s o f s y m m e t r y f o r a l l z z ; w h e r e

z d e p e n d s o n M a n d h : H o w e v e r , w i t h g r e a t e r a c c u r a c y t h e v a l u e o f z i n c r e a s e s , i . e .

t h e c l o s e s t s u c h d o w n s t r e a m v o r t e x m o v e s f u r t h e r d o w n s t r e a m . W e c o n c l u d e t h a t a n y

s u c h f a r - d o w n s t r e a m s t a n d i n g v o r t e x c o u l d b e e l i m i n a t e d i f t h e p r e c i s i o n w e r e s u c i e n t l y

g r e a t . A l s o , f o r v o r t e x r i n g s w i t h s m a l l c r o s s s e c t i o n t h e c o m p u t a t i o n b e c o m e s d e l i c a t e .

F o r x e d h ; a n d s m a l l M ; s o l u t i o n s " a p p e a r c e n t e r e d c o n t i n u o u s l y a l o n g a n e a r l y

h o r i z o n t a l c u r v e . W h e n h i s d e c r e a s e d h o w e v e r t h i s i n d e t e r m i n a c y c a n b e r e s o l v e d . F o r

e x a m p l e , c o n s i d e r t h e c a s e = 5 : 0 a n d M = 0 : 2 : t h e s m a l l e s t v o r t e x r e g i o n s h o w n i n

F i g u r e 9 . W i t h 2

9

g r i d p o i n t s s o l u t i o n s " w e r e f o u n d i n w h i c h t h e c e n t e r o f t h e v o r t e x

c o u l d b e a n y w h e r e a l o n g a n e a r l y h o r i z o n t a l c u r v e . W i t h 2

1 0

g r i d p o i n t s t h i s c o n t i n -

u u m o f s o l u t i o n s " b r o k e i n t o t h r e e p i e c e s : t h e z - c o o r d i n a t e o f t h e v o r t e x c e n t e r v a r y i n g

i n t h e i n t e r v a l 0 ; : 1 2 f o r t h e r s t p i e c e , t h e i n t e r v a l : 8 5 ; 1 : 5 f o r t h e s e c o n d p i e c e a n d

t h e i n t e r v a l 2 : 4 ; 1 f o r t h e t h i r d p i e c e . W i t h 2

1 1

g r i d p o i n t s t h e s e i n t e r v a l s r e d u c e d t o

0 ; : 0 2 ; 1 : 0 4 ; 1 : 2 1 a n d 3 : 3 ; 1 r e s p e c t i v e l y . W e c o n c l u d e t h a t t h e r e a r e a c t u a l l y o n l y

t w o s o l u t i o n s , o n e w i t h c e n t e r o n t h e v e r t i c a l a x i s a n d o n e t r a i l i n g v o r t e x s h o w n i n F i g -

u r e 9 , t h e t h i r d i n t e r v a l g i v i n g p h a n t o m s o l u t i o n s a s d i s c u s s e d a b o v e . W e n o t e t h a t t h e

s e c o n d s m a l l e s t v o r t e x s h o w n i n t h a t F i g u r e i s r e s o l v e d t o g r a p h i c a l a c c u r a c y w i t h 2

1 1

g r i d p o i n t s a n d t h e n e x t t w o v o r t i c e s , M = : 5 a n d M = : 7 a r e r e s o l v e d t o g r a p h i c a l a c -

c u r a c y w i t h 2

1 0

a n d 2

9

g r i d p o i n t s r e s p e c t i v e l y . F o r a n y l e v e l o f d i s c r e t i z a t i o n , t h e r e w i l l

b e s i m i l a r p r o b l e m s o f r e s o l u t i o n i f t h e v o r t e x c r o s s s e c t i o n i s t o o s m a l l o r t o o f a r f r o m

e i t h e r c o o r d i n a t e a x i s . T h i s r e s o l u t i o n p r o b l e m i s g r e a t e r f o r a x i s y m m e t r i c o w t h a n f o r

t h e c a s e o f t w o - d i m e n s i o n a l o w .

I n c o m p a r i s o n t o p r o c e d u r e s b a s e d o n N e w t o n ' s m e t h o d , t h e n u m e r i c a l s c h e m e u s e d

h e r e h a s g a i n e d m u c h i n t e r m s o f e a s e - o f - i m p l e m e n t a t i o n , e a s e - o f - u s e , a n d h i g h e r c o m -

p u t a t i o n a l s p e e d . H o w e v e r , a l t h o u g h w e o b s e r v e a ' r o b u s t ' l i n e a r r a t e o f c o n v e r g e n c e

t o ' n e a r b y ' s o l u t i o n s i n v i r t u a l l y a l l c a s e s , w e h a v e n o t b e e n a b l e t o d e m o n s t r a t e t h a t

c o n v e r g e n c e i s g u a r a n t e e d i n e v e r y c a s e w h e n t h e r e i s a p h y s i c a l s o l u t i o n n e a r t o a n u m e r -

i c a l g u e s s . H e n c e , t h e f a c t t h a t w e h a v e b e e n u n a b l e t o n u m e r i c a l l y c o n n e c t t h e s o l u t i o n

c l a s s e s s h o w n i n F i g u r e s 4 a n d 5 , d o e s n o t r u l e o u t t h e p o s s i b i l i t y o f t h e r e e x i s t i n g a

c o n n e c t i n g b r a n c h o f s o l u t i o n s .

4 . A n A n a l y t i c a l S o l u t i o n G e n e r a l i z i n g H i l l ' s S p h e r i c a l V o r t e x

T h e r e a r e a n a l o g u e s o f H i l l ' s s p h e r i c a l v o r t e x w i t h a c o n c e n t r i c s o l i d s p h e r i c a l b o u n d -

a r y . T h e s e w e r e f o u n d n u m e r i c a l l y b y o u r a l g o r i t h m a s d i s c u s s e d i n S e c t i o n 3 . 1 . H e r e w e

d e t e r m i n e t h e s e s o l u t i o n s a n a l y t i c a l l y . L e t =

p

r

2

+ z

2

b e t h e s p h e r i c a l r a d i a l c o o r d i -

n a t e . F o r a n y b 0 a n d ! 0 w e s h o w t h a t t h e r e i s a n e x p l i c i t s o l u t i o n o f

L =

! r

2

; b a

0 ; a

w i t h = 0 o n = b ; f o r s o m e u n i q u e l y d e t e r m i n e d a b : H i l l ' s v o r t i c e s a r e o b t a i n e d

w h e n b = 0 :

W e s e e k s o l u t i o n s t o L = ! r

2

o f t h e f o r m = r

2

f r

2

+ z

2

. T h i s d i e r e n t i a l e q u a t i o n


15/17


i s s a t i s e d i f

1 0 f

0

t + 4 t f

0 0

t = !

f o r w h i c h t h e g e n e r a l s o l u t i o n i s

f t =

! t

1 0

+

2

3

c

1

t

, 3 = 2

, c

2

:

S e t t i n g = 0 o n = a a n d s o l v i n g f o r c

2

i m p l i e s

r

, 2

=

!

1 0

2

, a

2

+

2

3

c

1

, 3

, a

, 3

; a : 4 . 1

I r r o t a t i o n a l o w p a s t a s p h e r e o f r a d i u s a w i t h v e l o c i t y U i n t h e a x i a l d i r e c t i o n a t i n n i t y

i s

r

, 2

=

U

2

1 ,

a

3

3

; a : 4 . 2

T h e t a n g e n t i a l v e l o c i t i e s m a t c h a t = a i f

U =

2

1 5

a

2

! ,

4

3

c

1

a

, 3

: 4 . 3

H i l l ' s v o r t e x i s o b t a i n e d i f c

1

= 0 : I f w e n o w s e t = 0 w h e n = b i n 4 . 1 , s o l v e f o r c

1

a n d s u b s t i t u t e i n 4 . 3 , w e o b t a i n

U

!

=

2

1 5

a

2

,

1

5

b

3

a + b

a

2

+ a b + b

2

: 4 . 4

F o r x e d b t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g i n a ; v a n i s h e s f o r

a = b a n d g o e s t o i n n i t y w i t h a : T h u s f o r a n y p o s i t i v e U a n d ! t h e r e i s a u n i q u e a b

f o r w h i c h 4 . 1 a n d 4 . 2 g i v e t h e s o l u t i o n . A l t e r n a t i v e l y , i f f o r e x a m p l e , a ; b a n d U a r e

g i v e n , ! c a n b e d e t e r m i n e d b y 4 . 4 t o y i e l d a s o l u t i o n g i v e n b y 4 . 2 a n d

r

, 2

=

!

1 0

2

, a

2

+

a

2

, b

2

a

3

, b

3

, 3

, a

, 3

; b a :

T h e c i r c u l a t i o n = ! M o f t h e s e v o r t i c e s h a s a l i m i t i n g v a l u e o f 6 U b a s a a p p r o a c h e s

b . T h i s f o l l o w s f r o m 4 . 4 a n d t h e f o r m u l a M = 2 a

3

, b

3

= 3 f o r t h e m o m e n t o f t h e v o r t e x

c r o s s s e c t i o n i n t h e m e r i d i o n a l h a l f p l a n e .

T h e v o r t i c e s f o u n d i n t h i s s e c t i o n c o m p l e m e n t t h e ` H i l l ' s v o r t i c e s i n a b a l l ' g i v e n i n

A p p e n d i x B o f A m i c k & F r a e n k e l 1 9 8 6 ; t h e r e a n o u t e r s p h e r i c a l b o u n d a r y w a s a d d e d

t o H i l l ' s v o r t e x , w h e r e a s h e r e a n i n n e r s p h e r i c a l b o u n d a r y h a s b e e n a d d e d .

5 . C o n c l u s i o n s

E u l e r o w s o f t e n s e r v e a s b a s i c b u i l d i n g b l o c k s f o r t h e u n d e r s t a n d i n g o f m o r e c o m p l e x

o w s c e n a r i o s . I n t h i s s t u d y w e h a v e p r o v i d e d a c o l l e c t i o n o f s i m p l e o w s t h a t s i g n i -

c a n t l y e x t e n d s t h e k n o w n p o s s i b l e s o l u t i o n s o f t h e s t e a d y E u l e r e q u a t i o n s f o r o w p a s t

a s p h e r i c a l b o d y .

S u m m a r i z i n g t h e o w s o b t a i n e d , w e h a v e d e s c r i b e d v o r t i c e s a t t a c h e d t o t h e b o d y ,

v o r t e x r i n g s a n d i n n i t e t u b e s o f v o r t i c i t y . F o u r f a m i l i e s o f a t t a c h e d v o r t i c e s h a v e b e e n

f o u n d . E a c h a t t a c h e d v o r t e x c a n b e p e r t u r b e d t o a x e d - c i r c u l a t i o n f a m i l y o f v o r t e x

r i n g s p a r a m e t r i z e d b y 0 w h e r e , i s t h e u x c o n s t a n t . S o m e a t t a c h e d v o r t i c e s c a n

a l s o b e p e r t u r b e d t o 0 , y i e l d i n g f a m i l i e s o f v o r t e x t u b e s . O n e f a m i l y o f a t t a c h e d

v o r t i c e s a p p r o x i m a t e h i g h R e y n o l d s n u m b e r v i s c o u s w a k e s b e h i n d t h e s p h e r e . W i t h i n


16/17


t h e a c c u r a c y o f o u r c o m p u t a t i o n s t h e b o u n d a r i e s f o r t h i s f a m i l y o f a t t a c h e d v o r t i c e s

a p p e a r t o b e s e c t i o n s o f s p h e r e s .

T h e s e r e s u l t s h a v e m u c h i n c o m m o n w i t h t h e r e s u l t s f o r t w o d i m e n s i o n a l o w p a s t a

c y l i n d e r p r e s e n t e d i n E l c r a t , F o r n b e r g , H o r n & M i l l e r 2 0 0 0 , b u t d i e r i n s o m e w a y s . I n

p a r t i c u l a r , f o r a x i s y m m e t r i c o w t h e r e i s n o d i r e c t a n a l o g u e o f a s t a t i o n a r y p o i n t v o r t e x ,

a n d K e l v i n ' s f o r m u l a s u g g e s t s t h a t a s a p p r o a c h e s , 1 t h e v o r t e x r e g i o n s b e c o m e s m a l l

c r o s s - s e c t i o n r i n g s w i t h r i n g r a d i u s a p p r o a c h i n g i n n i t y . H o w e v e r , t h e r e s o l u t i o n o f o u r

c o m p u t a t i o n s d o e s n o t a l l o w u s t o o b t a i n s m a l l c r o s s - s e c t i o n r i n g s w i t h l a r g e r i n g r a d i u s .

T h e s e r e s u l t s c a n b e e x t e n d e d a n d g e n e r a l i z e d i n s e v e r a l w a y s .

I n E l c r a t & M i l l e r 2 0 0 1 a n e x i s t e n c e t h e o r e m w a s p r o v e n f o r a x i s y m m e t r i c o w s

p a s t a b o d y i n a n i t e c h a n n e l . T h e m a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e s u s e d t h e r e r e q u i r e o w i n

a b o u n d e d d o m a i n . I t w o u l d b e a g r e a t i n t e r e s t t o a d a p t t h o s e t e c h n i q u e s t o t h e c u r r e n t

p r o b l e m . I n a n o t h e r d i r e c t i o n , t h e r e s u l t s i n E l c r a t & M i l l e r 2 0 0 1 c a n b e g e n e r a l i z e d

t o o w s w i t h s w i r l , a n d i t s e e m s l i k e l y t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l a l g o r i t h m o f t h e p r e s e n t

p a p e r c a n a l s o b e g e n e r a l i z e d t o o b t a i n r i n g s w i t h s w i r l .

T h e p r o b l e m o f o b t a i n i n g t h e s o l u t i o n s o b t a i n e d h e r e a s h i g h - R e y n o l d s - n u m b e r l i m i t s

o f t h e s t e a d y N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s h a s b e e n m e n t i o n e d i n t h e i n t r o d u c t i o n . F o r n o - s l i p

b o u n d a r y c o n d i t i o n s , t h e w o r k o f F o r n b e r g 1 9 8 8 h a s s h o w n t h a t a p r o p e r l y s c a l e d H i l l ' s

v o r t e x i s t h e l i k e l y a s y m p t o t i c l i m i t . T h e q u e s t i o n r e m a i n s , h o w e v e r , i f o t h e r , p e r h a p s

R e y n o l d s n u m b e r d e p e n d e n t , b o u n d a r y c o n d i t i o n s m i g h t l e a d t o o t h e r l i m i t s . S a m a n

1 9 8 1 . I n p a r t i c u l a r a n i t e s i z e d B a t c h e l o r t y p e v o r t e x o f t h e k i n d c o m p u t e d h e r e

m i g h t a r i s e f r o m b l o w i n g o r s u c t i o n a t t h e b a c k o f t h e s p h e r e .

F i n a l l y t h e q u e s t i o n o f s t a b i l i t y o f o u r s o l u t i o n s a s s o l u t i o n s o f t h e t i m e d e p e n d e n t

E u l e r e q u a t i o n s d e s e r v e s s t u d y . W e c a n g e n e r a l l y e x p e c t i n s t a b i l i t y f r o m t h e w o r k o f

P o z r i k i d i s 1 9 8 6 o n H i l l ' s v o r t e x , b u t t h e m o d e s o f i n s t a b i l i t y a r e l i k e l y t o b e i n t e r e s t i n g

a n d m a y b e r e l a t e d t o t h e q u e s t i o n s r a i s e d i n t h e p r e v i o u s p a r a g r a p h .

R E F E R E N C E S

A d a m s , J . 1 9 8 9 M U D P A C K : M u l t i g r i d F o r t r a n s o f t w a r e f o r t h e e c i e n t s o l u t i o n o f l i n e a r e l l i p t i c

p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . A p p l . M a t h . C o m p u t . 3 4 , 1 1 3 - 1 4 6 .

A m i c k , C . & F r a e n k e l , L . 1 9 8 6 T h e u n i q u e n e s s o f H i l l ' s s p h e r i c a l v o r t e x . A r c h . R a t i o n a l

M e c h . A n a l . 9 2 , 9 1 - 1 1 9 .

B a t c h e l o r , G . 1 9 6 7 A n I n t r o d u c t i o n t o F l u i d D y n a m i c s . C a m b r i d g e P r e s s , C a m b r i d g e .

B u n y a k i n , A . , C h e r n y s h e n k o , S . & S t e p a n o v , G . 1 9 9 8 H i g h - R e y n o l d s - n u m b e r B a t c h e l o r -

m o d e l a s y m p t o t i c s o f a o w p a s t a n a e r o f o i l w i t h a v o r t e x t r a p p e d i n a c a v i t y . J . F l u i d

M e c h . 4 5 8 , 2 8 3 - 2 9 7 .

C h e r n y s h e n k o , S . 1 9 8 8 T h e a s y m p t o t i c f o r m o f t h e s t a t i o n a r y s e p a r a t e d c i r c u m u e n c e o f a

b o d y a t h i g h R e y n o l d s n u m b e r . A p p l . M a t h . M e c h . 5 2 , 7 4 6 , P r i k l . M a t e m . M e k h . 5 2 ,

9 5 8 - 9 6 6 .

C h e r n y s h e n k o , S . & C a s t r o , I . 1 9 9 3 H i g h - R e y n o l d s - n u m b e r a s y m p t o t i c s o f t h e s t e a d y o w

t h r o u g h a r o w o f b l u b o d i e s . J . F l u i d M e c h . 2 5 7 , 4 2 1 - 4 4 9 .

E l c r a t , A . , F o r n b e r g , B . , H o r n , M . , & M i l l e r , K . 2 0 0 0 S o m e s t e a d y v o r t e x o w s p a s t a

c i r c u l a r c y l i n d e r . J . F l u i d M e c h . 4 0 9 , 1 3 - 2 7 .

E l c r a t , A . , & M i l l e r , K . 2 0 0 1 A m o n o t o n e i t e r a t i o n f o r c o n c e n t r a t e d v o r t i c e s . N o n l i n e a r

A n a l y s i s t o a p p e a r .

F o r n b e r g , B . 1 9 8 8 S t e a d y v i s c o u s o w p a s t a s p h e r e a t h i g h R e y n o l d s n u m b e r s . J . F l u i d M e c h .

1 9 0 , 4 7 1 - 4 8 9 .

H i l l , M . 1 8 9 4 O n a s p h e r i c a l v o r t e x . P h i l . T r a n s . A 1 8 5 , 2 1 3 - 2 4 5 .

N o r b u r y , J . 1 9 7 2 A s t e a d y v o r t e x r i n g c l o s e t o H i l l ' s s p h e r i c a l v o r t e x . P r o c . C a m b . P h i l . S o c .

7 2 , 2 5 3 - 2 8 4 .

N o r b u r y , J . 1 9 7 3 A f a m i l y o f s t e a d y v o r t e x r i n g s . J . F l u i d M e c h . 5 7 , 4 1 7 - 4 3 1 .


17/17


P e r e g r i n e , D . 1 9 8 5 A n o t e o n t h e s t e a d y h i g h - R e y n o l d s - n u m b e r o w a b o u t a c i r c u l a r c y l i n d e r .

J . F l u i d M e c h . 1 5 7 , 4 9 3 - 5 0 0 .

P o z r i k i d i s , C . 1 9 8 6 T h e n o n l i n e a r i n s t a b i l i t y o f H i l l ' s v o r t e x . J . F l u i d M e c h . 1 6 8 , 3 3 7 - 3 6 7 .

S a f f m a n , P . 1 9 8 1 D y n a m i c s o f v o r t i c i t y . J . F l u i d M e c h . 1 0 6 , 4 9 - 5 8 .

S a f f m a n , P . 1 9 9 2 V o r t e x D y n a m i c s . C a m b r i d g e P r e s s , C a m b r i d g e .

S m i t h , F . T . 1 9 8 5 A s t r u c t u r e f o r l a m i n a r o w p a s t a b l u b o d y a t h i g h R e y n o l d s n u m b e r . J

F l u i d M e c h . 1 5 5 , 1 7 9 - 1 9 1 .

Documents

axisym4.pdf