Automatsko Upravljanje

ǈubomir T. GrujiDragan V. Lazi

Uvod u automatsko upravǉaǌe

• Skripta •

pumpa

rezervoar

12

3

4

5

6

7

8

Objekt

Turbina EG

X ni=

X ni=

X ni=

ž ž

Pu

const≠

Vm

const≠

Y

»ž

Xi

»Xi

12

13

11

Univerzitet u Beogradu • Maxinski fakultet • 2007

Sadraj

1 Osnovni pojmovi teorije sistema i automatskog upravǉaǌa 11.1 Sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Dijagram sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Osnovne sprege sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Strukturni dijagram sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Objekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Poremeaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.7 Upravǉaǌe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.8 Radni i upravǉaqki deo objekta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9 Upravǉaqki sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.10 Sistem upravǉaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Sistemi automatskog upravǉaǌa 92.1 Vrste upravǉaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Koncepti automatskog upravǉaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa bez kompenzacije dejstvaporemeaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.2 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa sa direktnom kompenzacijomdejstva poremeaja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.3 Osobine otvorenih sistema automatskog upravǉaǌa . . . . . . . . . . . 132.4 Sistemi automatskog regulisaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.1 Osobine sistema automatskog regulisaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Osnovni problem dinamiqkog ponaxaǌa SAR-a . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.5.1 Osobine kombinovanog sistema automatskog upravǉaǌa . . . . . . . . . 19

2.6 Funkcija i struktura upravǉaqkog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6.1 Opxte funkcije upravǉaqkog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6.2 Posebne funkcije upravǉaqkog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Vremenski odzivi sistema 233.1 Tipiqne promene ulaznih veliqina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Zakon superpozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcije upravǉanog objekta . . . . . . . . . . 29

4 Oblici matematiqkih modela sistema 334.1 Diferencijalna jednaqina ponaxaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Prenosna funkcija i prenosna matrica sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 Laplasova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.2 Prenosna funkcija sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2.3 Prenosna matrica i odziv sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.4 Fiziqko tumaqeǌe i eksperimentalno odreivaǌe prenosne funkcije

sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Blok dijagram sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1 Ekvivalentni blok dijagrami za osnovne sprege . . . . . . . . . . . . . . 464.4 Uqestanosna karakteristika i uqestanosna matrica sistema . . . . . . . . . . . 49

i

ii SADRAJ

4.4.1 Furijeova transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4.2 Uqestanosna karakteristika sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.4.3 Analitiqko odreivaǌe uqestanosne karakteristike sistema . . . . . . 514.4.4 Eksperimentalno odreivaǌe uqestanosne karakteristike sistema . . . 524.4.5 Osobine uqestanosne karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5 Logaritamska uqestanosna karakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5.1 Logaritamske uqestanosne karakteristike za elementarne prenosne funkcije 63

4.6 Jednaqina staǌa i jednaqina izlaza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.6.1 Odreivaǌe kretaǌa i odziva sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 Analiza linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema 855.1 Stacionarni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.1 Fiziqko poreklo nestacionarnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2 Linearni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.3 eǉeni i stvarni radni reim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3.1 eǉeni radni reim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.2 Stvarni radni reim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4 Pojaqaǌa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1 Tipovi dejstva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.5 Statiqka grexka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6 Matematiqki modeli hidrauliqnih prenosnih organa 1056.1 Osnovni elementi hidrauliqnih prenosnih organa . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.1.1 Poluga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1.2 Hidrauliqni klipni razvodnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.1.3 Hidrauliqni cilindar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.1.4 Elastiqna sprega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2 Razliqiti tipovi hidrauliqnih prenosnih organa . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.1 HPO bez povratne sprege . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.2 HPO sa krutom povratnom spregom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.2.3 HPO sa elastiqnom povratnom spregom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2.4 HPO sa usporenom povratnom spregom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.3 Hidrauliqni sistem automatskog upravǉaǌa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7 Koncept stabilnosti 1237.1 Radni reimi sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2 Ravnotena staǌa sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3 Definicije razliqitih osobina stabilnosti sistema . . . . . . . . . . . . . . . 1257.4 Uslovi razliqitih osobina stabilnosti sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.5 Kriterijumi stabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.5.1 Hurvicov kriterijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.5.2 Najkvistov kriterijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.5.3 Bodeov kriterijum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Spisak slika

1.1 Tehniqki sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Dijagram sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Dijagram sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Dijagram sistema sa slike 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Redna sprega. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Paralelna sprega. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Povratna sprega. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 Upravǉaqki sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.9 Sistem upravǉaǌa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Opxti strukturni dijagram OSAUBKDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Opxti strukturni dijagram OSAUSDKDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Opxti strukturni dijagram ZSAU (SAR). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Opxti strukturni dijagram KSAU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Funkcionalna xema OSAUBKDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Strukturni dijagram OSAUBKDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Funkcionalna xema OSAUSDKDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.8 Strukturni dijagram OSAUSDKDP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.9 Funkcionalna xema SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.10 Strukturni dijagram SAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.11 Dinamiqko ponaxaǌe stabilnog SAR-a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.12 Dinamiqko ponaxaǌe graniqno stabilnog SAR-a. . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.13 Dinamiqko ponaxaǌe nestabilnog SAR-a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.14 Strukturni dijagram KSAU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.15 Funkcionalna xema KSAU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.16 SAU rezervoara pod pritiskom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.17 Opxti strukturni dijagram upravǉaqkog sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1 Jediniqna odskoqna funkcija (Hevisajdova funkcija). . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Odskoqna funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Odskoqna funkcija sa kaxǌeǌem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4 Funkcije1εh(t) i −1

εh(t− ε) i ǌihov algebarski zbir. . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5 Nagibna funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.6 Eksponencijalna funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.7 Sinusna funkcija. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.8 Jednostruko prenosni sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.9 Odziv sistema na Xu1 = h(t− 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.10 Odziv sistema na Xu2 = sin(0, 5 · t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.11 Odziv sistema na Xu = α1Xu1 + α2Xu2 = 0, 7 · h(t− 5) + 1, 2 · sin(0, 5 · t)

i zbir odziva Xi = α1Xi1 + α2Xi2 = 0, 7 ·Xi1 + 1, 2 ·Xi2. . . . . . . . . . . . . . . . 283.12 Vixestruko prenosni sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.13 Prelazna funkcija objekta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.14 Prelazna funkcija objekta Wo(s) =12

s2 + 2s + 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1 Vixestruko prenosni sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2 Kompleksna ravan, s-ravan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

iii

iv SPISAK SLIKA

4.3 Sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Objekt: masa sa oprugom i priguxeǌem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.5 Impulsni odziv sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.6 Poqetak identifikacije prenosne funkcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.7 Kraj identifikacije prenosne fukcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.8 Blok dijagram redne sprege. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.9 Ekvivalentni blok dijagram blok dijagramu sa slike 4.8. . . . . . . . . . . . . 474.10 Blok dijagram paralelne sprege. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.11 Ekvivalentni blok dijagram blok dijagramu sa slike 4.10. . . . . . . . . . . . . 474.12 Blok dijagram povratne sprege. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.13 Ekvivalentni blok dijagram blok dijagramu sa slike 4.12. . . . . . . . . . . . . 484.14 Blok dijagram SAR-a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.15 Sistem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.16 Sinusni ulaz i odziv sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.17 Sinusni ulaz i odziv sistema posle trenutka T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.18 Sinusni ulaz i odziv pri ω = 1 rad

s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.19 Sinusni ulaz i odziv pri ω = 2 rad

s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.20 Sinusni ulaz i odziv pri ω = 3 rad

s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.21 Amplitudna uqestanosna karakteristika Aok(ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.22 Fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.23 Hodograf uqestanosne karakteristike Fok(jω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.24 Logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika Lok(ω) = 20 log Aok(ω). . 584.25 Logaritamska fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω). . . . . . . . . . . . . . 594.26 Dekartove i polarne kooordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.27 Hodograf uqestanosne karakteristike F (jω). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.28 Mogui poloaji korenova polinoma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.29 L(ω) i ϕ(ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = k, k ∈ R, k 6= 0. . . . . . . . . 644.30 L(ω) i ϕ(ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = s. . . . . . . . . . . . . . . . 654.31 L(Ω) i ϕ(Ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = 1± Ts, T > 0. . . . . . . . . 664.32 L(Ω) i ϕ(Ω) prenosne funkcije W (s) = T 2

2 s2 ± T1s + 1, T1 > 0, 0 < T12T2

< 1. . . . . 684.33 L(Ω) i ϕ(Ω) prenosne funkcije W (s) = T 2

2 s2 + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.34 L(ω) i ϕ(ω) elementarnih prenosnih funkcija sistema (4.122). . . . . . . . . . . 704.35 Logaritamska uqestanosna karakteristika sistema (4.122). . . . . . . . . . . . 714.36 Kolica na pokretnoj platformi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.37 Trajektorija staǌa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.38 Trajektorija staǌa kroz x0 = (1 1)T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.39 Lik staǌa kolica sa pokretnom platformom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.40 Odziv sistma pri nultim poqetnim uslovima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.41 Kretaǌe sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1 Kretaǌe stacionarnog i nestacionarnog sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2 Promena ulaza u tri simulacije (s leva na desno). . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3 Kretaǌe χ(t; 0, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[0,5]) u prvoj simulaciji. . . . . . . . . . . . . . 875.4 Kretaǌe χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[5,10]) u drugoj simulaciji. . . . . . . . . . . 875.5 Kretaǌe χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ; xu[5,10]) u treoj simulaciji. . . . . . . . . . . 885.6 Rezultati simulacije iz poqetnog staǌa x0 = (0 0)T . . . . . . . . . . . . . . . . 935.7 Rezultati simulacije iz poqetnog staǌa x0 = (0 1)T . . . . . . . . . . . . . . . . 935.8 ǈapunovǉeva transformacija koordinata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.9 Dijagram sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.10 Objekt: spojeni sudovi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.11 Pojaqaǌa sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.12 Pojaqaǌa sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.13 Brzinska pojaqaǌa sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.14 Prelazna funkcija sistema W (s) =3s + 2

2s2 + 4s + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.15 Prelazna funkcija sistema W (s) =7s + 1

s(s2 + 2s + 3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

SPISAK SLIKA v

5.16 Prelazna funkcija sistema W (s) =10s2 + 5s + 1s(s2 + s + 2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.1 Poluga sa osloncem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2 Poluga sa osloncem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3 Poluga bez oslonca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4 Poluga bez oslonca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.5 Poluga bez oslonca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.6 Poluga bez oslonca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.7 Hidrauliqni klipni razvodnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.8 Detaǉ A: potpuno zatvoreni hidrauliqni klipni razvodnik. . . . . . . . . . . 1096.9 Detaǉ A: delimiqno otvoreni hidrauliqni klipni razvodnik. . . . . . . . . . 1096.10 Detaǉ A: potpuno otvoreni hidrauliqni klipni razvodnik. . . . . . . . . . . . 1106.11 Statiqka karakteristika hidrauliqnog klipnog razvodnika. . . . . . . . . . . . 1106.12 Statiqka karakteristika hidrauliqnog klipnog razvodnika pri n = 0. . . . . . 1106.13 Statiqka karakteristika idealizovanog klipnog razvodnika. . . . . . . . . . . 1116.14 Hidrauliqni cilindar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.15 Elastiqna poluga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.16 HPO bez povratne sprege. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.17 Blok dijagram HPO-a bez povratne sprege. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.18 HPO sa krutom povratnom spregom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.19 Blok dijagram HPO-a sa krutom povratnom spregom. . . . . . . . . . . . . . . . 1156.20 HPO sa elastiqnom povratnom spregom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.21 Blok dijagram HPO-a sa elastiqnom povratnom spregom. . . . . . . . . . . . . . 1176.22 HPO sa usporenom povratnom spregom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.23 Blok dijagram HPO-a sa usporenom povratnom spregom. . . . . . . . . . . . . . 1196.24 HPO koji upravǉa poziciju kolica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.25 Blok dijagram HPO-a koji upravǉa kolica mase M . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.1 Klatno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2 Koncept stabilnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.3 Grafiqka ilustracija definicije stabilnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4 Grafiqka ilustracija definicije stabilnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.5 Grafiqka ilustracija definicije (aperiodiqne) graniqne stabilnosti. . . . . 1277.6 Grafiqka ilustracija definicije (oscilatorne) graniqne stabilnosti. . . . . 1277.7 Grafiqka ilustracija definicije nestabilnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.8 Grafiqka ilustracija definicije nestabilnosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.9 Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) stabilnog sistema. . . . . . . . . . . . . . 1297.10 Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) graniqno stabilnog sistema. . . . . . . . 1307.11 Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) koji dovode do nestabilnosti sistema. . 1307.12 Blok dijagram SAR-a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.13 Blok dijagram otvorenog kola SAR-a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.14 Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω). . . . . . . . . . . 1347.15 Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω). . . . . . . . . . . 1347.16 Preslikavaǌe iz linearnih u logaritamske koordinate. . . . . . . . . . . . . . 1357.17 Preseci Fok(jω) sa apscisom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.18 Preseci ϕok(ω) sa pravama (2m + 1)π, m ∈ Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.19 Logaritamska uqestanosna karakteristika otvorenog kola. . . . . . . . . . . . . 1367.20 Fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω) za Wok(s) = k, k < 0. . . . . . . . . . . 137

Poglavǉe 1

Osnovni pojmovi teorije sistemai automatskog upravǉaǌa

1.1 SistemDefinicija 1.1.1 Sistem je izdvojeni deo prostora kod koga postoji odreenapovezanost sa ostalim delom prostora.

Granice sistema su relativne, ali pri prouqavaǌu nekog sistema one moraju da buduprecizno definisane. Okolina deluje na sistem (na granice sistema), a sistem reaguje nadejstvo okoline. Sistem je fiziqki ako i samo ako je deo fiziqkog prostora (avion, brod,parni kotao, rudarska maxina, ...). Sistem je apstraktan ako i samo ako je deo apstraktnogprostora (skup diferencijalnih jednaqina koje opisuju kretaǌe aviona, rakete, ...).

Definicija 1.1.2 Organizovani fiziqki sistem predstavǉa skup podsistema (eleme-nata, ureaja, organa, delova) meusobno povezanih u funkcionalnu celinu s ciǉem da seostvari odreeni zadatak (kretaǌe, rad, proces) a na osnovu razmene materije i/ili ener-gije i/ili informacija izmeu podsistema u okviru sistema i izmeu sistema i okoline.

Po svojoj prirodi sistem moe da bude bioloxki (qovek, plantaa, ribǌak), ekonom-ski (banka, privredna organizacija, trgovinsko preduzee), druxtveni (porodica, sport-sko druxtvo, studenti Maxinskog fakulteta), tehniqki (rudarska, poǉoprivredna, alatnamaxina, avion, raketa, automobil, turbina) ili kombinovani (Maxinski fakultet jebioloxko-druxtveno-ekonomsko-tehniqki sistem).

Primer 1Da bi jasnije mogli da budu pojaxǌeni pojmovi, koji e nadaǉe biti uvoeni, razmatraese jedan konkretan tehniqki sistem.

Na slici 1.1 je prikazana simboliqko funkcionalna xema sistema koji se vrlo qestosree u procesnoj industriji. On se sastoji od dva spojena suda S1 i S2, u kojima se nalazeteqnosti razliqitih hemijskih i/ili fiziqkih osobina. Teqnost konstantne vrednosti tem-perature θ1 i promenǉive vrednosti pritiska P1, utiqe u sud S1, kroz ventil V1 qije vretenopomera pneumatski membranski motor PM1. Toplija teqnost, promenǉivih vrednosti i tem-perature θ2 i pritiska P2, utiqe u sud S2, kroz ventil V2, qije vreteno pomera pneumatskiservomotor oznaqen sa PM2. Sudovi S1 i S2 su spojeni preko cevi na kojoj se nalazi ventilV3, qija protoqna povrxina se podexava servomotorom PM3. Na servomotore PM1, PM2

i PM3 deluju elektropneumatski pretvaraqi EP1, EP2 i EP3 sledstveno, koji se pobuujunaponskim signalima U1, U2 i U3. Veliqine od kojih se zahteva da im promene vrednostibudu prema nekom zadatom zakonu su nivoi teqnosti u sudovima: H1 i H2 i temperatura usudu S2 oznaqena sa θ. Pomexane teqnosti u sudu S2 iz ǌega odlaze ka potroxaqu prekoizlazne cevi, pri qemu je taj protok Qi nepoznata funkcija vremena. Na slici su prikazanii merni organi za mereǌe vrednosti nivoa, odnosno temperature: MO1, MO2 i MO3.

Definicija 1.1.3 Veliqina koja bitno utiqe na rad sistema a nastala je van ǌega jeǌegova ulazna veliqina (oznaka Xu). Sistem moe da ima vixe ulaznih veliqina, npr. M ,

1

2 Poglavǉe 1. Osnovni pojmovi teorije sistema i automatskog upravǉaǌa

EP1

PM1

V1

H1

P1

const≠

Qi const≠

P2

const≠

µ1=const µ

2const≠

H2

S1

S2

V2

V3

PM2

PM3

EP2

EP3

MO1

MO2

MO3

U1

U2

U3

p p

p u

u

ih

i

u

Pa

µ

hiµ

Slika 1.1. Tehniqki sistem.

u oznaci Xu1, Xu2, . . . , XuM , koje mogu da se usvoje za elemente M-dimenzionalnog vektoraulaza (krae ulaz) Xu, Xu ∈ RM :

Xu =

Xu1

Xu2

...XuM

=

(Xu1 Xu2 . . . XuM

)T. (1.1)

Primer 2Za sistem sa slike 1.1 veliqine koje zadovoǉavaju prethodnu definiciju su:U1 - naponski signal na ulazu elektropneumatskog pretvaraqa EP1,

U2 - naponski signal na ulazu elektropneumatskog pretvaraqa EP2,

U3 - naponski signal na ulazu elektropneumatskog pretvaraqa EP3,

P1 - pritisak hladnije teqnosti,

P2 - pritisak toplije teqnosti,

θ2 - temperatura toplije teqnosti,

Qi - protok na izlazu iz suda S2.To znaqi da imamo 7 ulaznih veliqina, koje mogu da se predstave u obliku vektora ulaza

Xu, Xu ∈ R7:

Xu =

Xu1

Xu2

Xu3

Xu4

Xu5

Xu6

Xu7

=

U1

U2

U3

P1

P2

θ2

Qi

. (1.2)

1.2. Dijagram sistema 3

Temperatura hladnije teqnosti θ1 takoe bitno utiqe na ceo proces, ali je ona konstantnevrednosti, θ1 = const. Ako je neka veliqina konstantne vrednosti, ili je poznata funkcijavremena, koja moe taqno analitiqki da se opixe, onda se ona u matematiqkom modelu sis-tema predstavǉa brojqanim vrednostima ili izrazima, tj. ne figurixe kao promenǉiva θ1.Sve takve veliqine ne predstavǉaju ulazne veliqine sistema, a ǌihovi ”bitni” uticaji suimplicitno sadrani u matematiqkom modelu datog sistema.

Definicija 1.1.4 Veliqina qija vrednost i qije promene vrednosti predstavǉaju rezul-tat rada sistema, a za qije vrednosti i promene smo zainteresovani je izlazna veliqinasistema (oznaka Xi). Sistem moe da ima vixe izlaznih veliqina, npr. N , u oznaciXi1, Xi2, . . . , XiN , koje mogu da se usvoje za komponente N-dimenzionalnog vektora izlaza(krae izlaz) Xi, Xi ∈ RN :

Xi =

Xi1

Xi2

...XiN

=

(Xi1 Xi2 . . . XiN

)T. (1.3)

Primer 3Za sistem sa slike 1.1 veliqine koje zadovoǉavaju prethodnu definiciju su:

H1 - nivo teqnosti u sudu S1,

H2 - nivo teqnosti u sudu S2,

θ - temperatura teqnosti u sudu S2.

To znaqi da imamo 3 izlazne veliqine, koje mogu da se predstave u obliku vektora izlazaXi, Xi ∈ R3:

Xi =

Xi1

Xi2

Xi3

=

H1

H2

θ

. (1.4)

Fiziqkom sistemu se pridruuje ǌegov model koji se odlikuje samo onim osobinama togfiziqkog sistema koje su bitne za ǌegovo prouqavaǌe i dovoǉne da se ono izvede s traenomtaqnoxu.

Definicija 1.1.5 Model fiziqkog sistema je idealizovani, zamixǉeni sistem, kojizadrava osobine stvarnog sistema bitne za ǌegovu analizu.

Definicija 1.1.6 Matematiqki model sistema je formalni matematiqki opis modelafiziqkog sistema koji uspostavǉa jednoznaqnu vezu izmeu izlaznih i ulaznih veliqina zaproizvoǉne promene ulaznih veliqina i za proizvoǉne poqetne uslove, a iskazan je pomoumatematiqkih simbola, operacija i relacija.

Ako se pretpostavi da matematiqki model dovoǉno taqno opisuje fiziqki sistem, tj.model fiziqkog sistema, i da predstavǉa ǌegov verodostojan opis, onda on sadri sveinformacije o fiziqkim osobinama sistema. Tada se prouqavaǌa tog fiziqkog sistemamogu izvrxiti na ǌegovom matematiqkom modelu, koji predstavǉa apstraktan (a ne fiziqki)sistem.

1.2 Dijagram sistema

Uprkos velikoj raznovrsnosti osobina razliqitih sistema, postoje izvesna ǌihova zajed-niqka, opxta obeleja. Da bi se ona uoqila, sistem se qesto posmatra apstraktno, kao tzv.”crna kutija”, kao jedna celina qija se struktura ne prikazuje, ve se ona i ǌegova svoj-stva izraavaju kroz reakcije sitema na spoǉne veliqine koje na ǌega deluju. Pri ovakvomposmatraǌu sistema koristi se ǌegov dijagram.


S

-

-

-

-

-

-

Xu1

Xu2

XuM

Xi1

Xi2

XiN

......

Slika 1.2. Dijagram sistema.

Definicija 1.2.1 Dijagram sistema je simboliqki, grafiqki prikaz sistema S u ob-liku pravougaonika, na kojem su sve ulazne veliqine prikazane jednostrukim strelicamausmerenim ka sistemu, a sve izlazne veliqine su prikazane jednostrukim strelicama us-merenim od sistema ka okolini, slika 1.2, odnosno to je simboliqki grafiqki prikaz sis-tema u obliku pravougaonika na kome je ulaz sistema predstavǉen dvostrukom strelicomusmerenom ka sistemu, a izlaz sistema je predstavǉen dvostrukom strelicom usmerenom odsistema ka okolini, slika 1.3.

SXu XiHH©©

HH©©


Informacije koje se dobijaju sa dijagrama sistema su samo informacije o ulaznim iizlaznim veliqinama. To najboǉe pokazuje i sledei primer.

Primer 4Posmatrajui ponovo sistem prikazan na slici 1.1 ǌegov digagram moe da se predstavi uskalarnom obliku kao na slici 1.4. Strukturni dijagram sistema sa slike 1.1 moe da budepredstavǉen i u obliku koji je prikazan na slici 1.3 pri qemu su Xu i Xi dati izrazima(1.2) i (1.4).

-

-

-

-

-

-

-

S

-

-

-

Xu1 = U1

Xu2 = U2

Xu3 = U3

Xu4 = P1

Xu5 = P2

Xu6 = θ2

Xu7 = Qi

Xi1 = H1

Xi2 = H2

Xi3 = θ

Slika 1.4. Dijagram sistema sa slike 1.1.

1.3 Osnovne sprege sistemaDefinicija 1.3.1 Sistemi S1 i S2 su redno spregnuti u sistem S, slika 1.5, ako i samoako je ulaz Xu celog sistema S ujedno i ulaz Xu1 sistema S1, qiji je izlaz Xi1 istovremenoulaz Xu2 sistema S2, a ǌegov izlaz Xi2 ujedno izlaz Xi celog sistema S, pri qemu sistem

1.3. Osnovne sprege sistema 5

S2 ne deluje na sistem S1. Sistem S je redna sprega sistema S1 i S2, a oni su podsistemisistema S.

HH©© S1HH©© S2

HH©©

S

Xu Xu1 Xi1 = Xu2 Xi2 Xi

Slika 1.5. Redna sprega.

Definicija 1.3.2 Sistemi S1 i S2 su paralelno spregnuti u sistem S, slika 1.6, ako isamo ako je ulaz Xu celog sistema S istovremeno i ulaz Xu1 sistema S1 i ulaz Xu2 sistemaS2, a izlaz Xi celog sistema je algebarski zbir izlaza Xi1 sistema S1 i izlaza Xi2 sistemaS2, pri qemu sistemi S1 i S2 ne deluju jedan na drugi. Sistem S je paralelna spregasistema S1 i S2, koji predstavǉaju podsisteme sistema S.

HH©© S1

S2

±°²¯¢¢AA

©©HH

AA¢¢

HH©©Xu

Xi = Xi1 ±Xi2

Xu1

Xu2

Xi1

Xi2

±

S

Slika 1.6. Paralelna sprega.

Definicija 1.3.3 Sistemi S1 i S2 su povratno spregnuti u sistem S, slika 1.7, akoi samo ako je ulaz Xu1 sitema S1 algebarski zbir ulaza Xu celog sistema S i izlazaXi2 sistema S2, a izlaz Xi1 sistema S1 je istovremeno izlaz Xi celog sistema S i ulazXu2 sistema S2. Sistem S je sistem sa povratnom spregom, a sistemi S1 i S2 su ǌegovipodsistemi.

HH©© ±°²¯

HH©© S1

S2

HH©©

HH©©

AA¢¢ ±

Xu Xu1 = Xu ±Xi2 Xi1 Xi

BV

A

Xu2Xi2

S

Slika 1.7. Povratna sprega.

Deo sistema S od mesta dejstva ulaza Xu u sistem S, taqka A, do mesta pojavǉivaǌaizlaza sistema S, taqka B, je glavna (direktna) grana (sprega, veza) sistema S.

Deo sistema S od mesta pojavǉivaǌa ǌegovog izlaza Xi, taqka B, do mesta dejstva izlazaXi2 podsistema S2 na sabiraq, taqka V, je povratna sprega (grana) sistema S.


Povratna sprega je pozitivna ako i samo ako se u sabiraqu ne meǌa znak (+), a negativnaako i samo ako se u sabiraqu meǌa znak (−) izlaza Xi2 podsistema S2.

Deo sistema S od mesta dejstva ulaza Xu u sistem S, taqka A, preko mesta pojavǉivaǌaizlaza Xi, taqka B, pa do mesta dejstva izlaza Xi2 podsistema S2 na sabiraq, taqka V, jeotvoreno kolo sistema S.

Stabilnost podsistema S1 i S2 ne garantuje stabilnost sistema S u kome su podsistemiS1 i S2 povratno spregnuti.

1.4 Strukturni dijagram sistemaDijagram sistema, koji je raxqlaǌen, detaǉan, tako da je simboliqki prikazana strukturasistema, koja pokazuje sve podsisteme i ǌihova meusobna dejstva, naziva se strukturnidijagram sistema.

Definicija 1.4.1 Struktura sistema obuhvata sve ǌegove podsisteme sa svim ǌihovimmeusobnim spregama.

Definicija 1.4.2 Strukturni dijagram sistema je ǌegov dijagram koji prikazjuje ǌe-govu strukturu.

1.5 ObjektDefinicija 1.5.1 Objekt (O) je sistem od koga se zahteva da u propisanim (nominalnim)radnim uslovima ostvari propisano (eǉeno, zadano) dinamiqko ponaxaǌe, a u proizvoǉnimradnim uslovima dinamiqko ponaxaǌe koje moe da odstupi od ǌegovog eǉenog dinamiqkogponaxaǌa najvixe u dozvoǉenim granicama.

eǉeno dinamiqko ponaxaǌe objekta u nekom trenutku t, je definisano eǉenom vrednox-u vektora izlaza Xiz(t) u tom trenutku.

Tehniqki objekti su projektovani za odreene, nominalne uslove rada. Meutim, stvarniuslovi rada objekta qesto su razliqiti od nominalnih. Usled toga se i stvarno ponaxaǌeobjekta razlikuje od ǌegovog eǉenog dinamiqkog ponaxaǌa.

Objekt sam od sebe ne moe da ostvari eǉeno dinamiqko ponaxaǌe Xiz. To je moguejedino ako na ǌega deluje ulaz koji se naziva upravǉaǌe.

Primer 5Sistem koji je prikazan na slici 1.1 predstavǉa objekt. ǋegove ulazne veliqine su dateizrazom (1.2). Nadaǉe e da bude objaxǌeno da te ulazne veliqine objekta mogu da sepodele na poremeajne veliqine i na upravǉaqke veliqine xto je suxtinski razliqito zaneki objekt.

1.6 PoremeajDefinicija 1.6.1 Ulazna veliqina objekta koja nastaje i meǌa se nezavisno od ǌegovogeǉenog dinamiqkog ponaxaǌa je ǌegova poremeajna veliqina, u oznaci Z, a ako ihima vixe, npr. P , Z1, Z2, . . . , ZP , mogu da se usvoje za elemente P -dimenzionalnog vektoraporemeaja (krae poremeaj) Z, Z ∈ RP :

Z =

Z1

Z2

...ZP

=

(Z1 Z2 . . . ZP

)T. (1.5)

Primer 6Poremeajne veliqine objekta sa slike 1.1 su prema prethodnoj definiciji: P1, P2, θ2 i Qi.To znaqi da postoje 4 poremeajne veliqine, koje mogu da se predstave u obliku vektora

1.7. Upravǉaǌe 7

poremeaja Z, Z ∈ R4:

Z =

Z1

Z2

Z3

Z4

=

P1

P2

θ2

Qi

. (1.6)

Ove qetiri ulazne veliqine objekta se formiraju nezavisno od ǌegovog eǉenog dinamiqkogponaxaǌa, tj. one su ”neeǉene” ulazne veliqine objekta. Intenziteti, vreme nastanka, tra-jaǌe delovaǌa tih veliqina, kao i ǌihove promene tokom vremena su unapred nepredvidǉivepa stoga P1, P2, θ2 i Qi nazivamo poremeajnim veliqinama.

1.7 Upravǉaǌe

Definicija 1.7.1 Ulazna veliqina objekta koja se stvara na osnovu ǌegovog eǉenog di-namiqkog ponaxaǌa Xiz, da bi svojim dejstvom na taj objekt obezbedila ǌegovo eǉeno di-namiqko ponaxaǌe u nominalnom radnom reimu, odnosno ǌegovo zadovoǉavajue dinamiqkoponaxaǌe u proizvoǉnim radnim uslovima, je ǌegova upravǉaqka veliqina, u oznaci U ,a ako ih je vixe, npr. R, U1, U2, . . . , UR, mogu da se predstave kao R-dimenzionalni vektorupravǉaǌa (krae upravǉaǌe) U, U ∈ RR:

U =

U1

U2

...UR

=

(U1 U2 . . . UR

)T. (1.7)

Objekt na koji deluje upravǉaǌe (qije se dinamiqko ponaxaǌe upravǉa) je upravǉaniobjekt, a ǌegov izlaz je upravǉani izlaz.

Primer 7Upravǉaqke veliqine objekta sa slike 1.1 su prema prethodnoj definiciji tri naponskeveliqine na ulazima elektropneumatskih pretvaraqa: U1, U2 i U3. To znaqi da postoje 3upravǉaqke veliqine, koje mogu da se predstave u obliku vektora upravǉaǌa U, U ∈ R3:

U =

U1

U2

U3

. (1.8)

Ove tri veliqine U1, U2 i U3 su takoe ulazne veliqine (kao i poremeajne veliqine)objekta, ali se one formiraju na osnovu eǉenih vrednosti izlaznih veliqina H1z, H2z iθz i one svojim dejstvom na objekt primoravaju taj objekt da veliqine H1, H2 i θ meǌa naeǉeni naqin.

1.8 Radni i upravǉaqki deo objekta

Definicija 1.8.1 Deo objekta u kome se ostvaruje ǌegovo dinamiqko ponaxaǌe za kojeje taj objekt napravǉen je ǌegov radni (procesni) deo, a ǌegov deo koji prima dejstvoupravǉaǌa i prenosi ga na radni deo je upravǉaqki (organ) deo objekta.

Primer 8Posmatrajmo ponovo objekt koji je prikazan na slici 1.1. Procesni deo objekta su dvaspojena suda S1 i S2. Upravǉaqki organi objekta slue da prime upravǉaǌe i da to dejstvoprenesu na radni deo objekta; samim tim to su tri elektropneumatska pretvaraqa EP1, EP2

i EP3. To moe da bude i drugaqije i zavisi od toga xta se usvaja za objekt, odnosno gdese postavǉaju granice tog objekta. Ve je naglaxeno da su granice sistema relativne i damogu da se usvoje na razliqite naqine.


1.9 Upravǉaqki sistemDefinicija 1.9.1 Sistem qija je izlazna veliqina upravǉaǌe za dati objekt je uprav-ǉaqki sistem za dati objekt, slika 1.8.

HH©© US HH©©

©©HH

©©HH

Xiz

Z

Xi

U

Slika 1.8. Upravǉaqki sistem.

Ulazne veliqine upravǉaqkog sistema nose informacije neophodne za formiraǌe uprav-ǉaǌa. eǉeno dinamiqko ponaxaǌe objekta opisano vektorom Xiz je uvek jedan od ulaza up-ravǉaqkog sistema i na slici 1.8 je prikazano dvostrukom neprekidnom strelicom. Buduida se proces upravǉaǌa ostvaruje dejstvom upravǉaǌa na objekt, onda se na osnovu defini-cije upravlaǌa zakǉuquje da je za stvaraǌe upravǉaǌa neophodna informacija o eǉenomdinamiqkom ponaxaǌu tog objekta.

Upravǉaǌe moe da se formira i korixeǌem dodatnih informacija kao xto su: stvarnodinamiqko ponaxaǌe objekta, tj. izlaz objketa Xi, i/ili merenih poremeajnih veliqinasadranih u vektoru Z. Na dijagramu objekta, slika 1.8, ti vektori su prikazani ispreki-danim dvostrukim strelicama usmerenim ka upravǉaqkom sistemu (US).

Izlaz iz upravǉaqkog sistema je upravǉaǌe U.

Primer 9Na slici 1.1 je prikazan upravǉani objekt. Na toj slici nema upravǉaqkog sistema, ali sutu prikazane ǌegove izlazne veliqine U1, U2 i U3 i neki ǌegovi elementi: ureaji za mereǌe(merni organi) vrednosti nivoa, odnosno temperature: MO1, MO2 i MO3

1

1.10 Sistem upravǉaǌaDefinicija 1.10.1 Sistem koji se sastoji iz objekta i upravǉaqkog sistema za taj objekt,koje povezuje upravǉaǌe je sistem upravǉaǌa, slika 1.9.

HH©© US HH©©

©©HH

©©HH

Xiz

Z

Xi

UO HH©©

Xi

SU

AA¢¢

Z

Slika 1.9. Sistem upravǉaǌa.

1Oni predstavǉaju deo upraǉaqkog sistema i imaju funkciju odreivaǌa stvarnih vrednosti izlaznihveliqina objekta: H1, H2 i θ.

Poglavǉe 2

Sistemi automatskog upravǉaǌa

2.1 Vrste upravǉaǌaUpravǉaǌe sa stanovixta ǌegovog ostvarivaǌa moe da bude ruqno, poluautomatsko iautomatsko.

Definicija 2.1.1 Upravǉaǌe je ruqno ako je upravǉaqki sistem samo qovek. Tada jesistem upravǉaǌa sistem ruqnog upravǉaǌa.

Upravǉaǌe je poluautomatsko ako je upravǉaqki sistem sastavǉen od qoveka i ureaja.Tada je sistem upravǉaǌa sistem poluautomatskog upravǉaǌa.

Upravǉaǌe je automatsko ako je upravǉaqki sistem samo ureaj ili skup samo ureaja.Tada je sistem upravǉaǌa sistem automatskog upravǉaǌa.

Nadaǉe e da bude razmatrano samo automatsko upravǉaǌe i sistemi automatskog up-ravǉaǌa (SAU).

2.2 Koncepti automatskog upravǉaǌaU zavisnosti od informacija koje su neophodne upravǉaqkom sistemu za stvaraǌe pravilnogupravǉaǌa, sistemi automatskog upravǉaǌa se dele na:

1. otvorene sisteme automatskog upravǉaǌa (OSAU),

2. zatvorene sisteme automatskog upravǉaǌa (ZSAU), koji se jox nazivaju sistemiautomatskog regulisaǌa (SAR),

3. kombinovane sisteme automatskog upravǉaǌa (KSAU).U okviru otvorenih sistema automatskog upravǉaǌa mogu da se izdvoje dve podgrupe u

zavisnosti da li se kompenzuju ili ne dejstva poremeajnih veliqina. Ta dva koncepta su:1. otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa bez kompenzacije dejstva poremeaja (OS-

AUBKDP),

2. otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa sa direktnom kompenzacijom dejstvaporemeaja (OSAUSDKDP)

Kao xto je ve naglaxeno, za sve sisteme automatskog upravǉaǌa je zajedniqko da je zaformiraǌe upravǉaǌa neophodna informacija o eǉenom ponaxaǌu objekta. Meutim, onanije uvek i dovoǉna. Naredne definicije razjaxǌavaju kojim dodatnim informacijama suodreeni pojedini koncepti automatskog upravǉaǌa.

Definicija 2.2.1 Ako za formiraǌe pravilnog upravǉaǌa objekta upravǉaqki sistemkoristi samo informaciju o eǉenom izlazu objekta Xiz, slika 2.1,

U = U(Xiz)

takav sistem automatskog upravǉaǌa se naziva otvoreni sistem automatskog upravǉaǌabez kompenzacije dejstva poremeaja.

9

10 Poglavǉe 2. Sistemi automatskog upravǉaǌa

HH©© US HH©©Xiz U = U(Xiz)

O HH©©Xi

OSAUBKDP

Slika 2.1. Opxti strukturni dijagram OSAUBKDP.

Ovaj koncept obezbeuje zadovoǉavajui rad kada na sistem ne deluju poremeaji. Usluqaju da se oni pojave upravǉaǌe mora da se stvara i na osnovu informacija o timporemeajima, pri qemu moe da se ostvari samo direktna ili neposredna kompenzacijaǌihovog dejstva na upravǉani objekt.

Definicija 2.2.2 Ako za formiraǌe pravilnog upravǉaǌa objekta upravǉaqki sistemkoristi samo informacije o eǉenom izlazu objekta Xiz i o merenom poremeaju Z kojideluje na ǌega, slika 2.2,

U = U(Xiz,Z)

takav sistem automatskog upravǉaǌa se naziva otvoreni sistem automatskog upravǉaǌasa direktnom kompenzacijom dejstva poremeaja.

HH©© US HH©©

©©HH

XizU = U(Xiz,Z)

O HH©©Xi

OSAUSDKDP

AA¢¢

Z

Slika 2.2. Opxti strukturni dijagram OSAUSDKDP.

Definicija 2.2.3 Ako za formiraǌe pravilnog upravǉaǌa objekta upravǉaqki sistemkoristi samo informaciju o razlici izmeu ǌegovog eǉenog ponaxaǌa Xiz i ǌegovogstvarnog ponaxaǌa Xi,

U = U(Xiz −Xi) = U(ε), ε = Xiz −Xi

onda je sistem automatskog upravǉaǌa tog objekta zatvoreni sistem automatskog uprav-ǉaǌa, tj. sistem automatskog regulisaǌa, slika 2.3.

Zatvoreni sistem automatskog upravǉaǌa se odlikuje postojaǌem povratne sprege kojaje negativna, xto je potrebno da bi upravǉaqki sistem mogao da utvrdi razliku ε izmeueǉenog i stvarnog dinamiqkog ponaxaǌa objekta

ε = Xiz −Xi.

2.2. Koncepti automatskog upravǉaǌa 11

HH©© US HH©©

©©HH

Xiz U = U(ε)O HH©©

Xi

SAR

AA¢¢

Z

Slika 2.3. Opxti strukturni dijagram ZSAU (SAR).

U zatvorenom sistemu automatskog upravǉaǌa se ostvaruje indirektna ili posredna kom-penzacija dejstva poremeaja. Ona se postie stvaraǌem upravǉaǌa na osnovu grexke ε, kojapredstavǉa posledicu dejstva poremeaja Z, ili promene eǉene vrednosti Xiz.

Definicija 2.2.4 Ako za formiraǌe pravilnog upravǉaǌa objekta upravǉaqki sistemkoristi informacije i o eǉenom ponaxaǌu objekta Xiz i o ǌegovom stvarnom ponaxaǌu Xi

i o merenim poremeajima Zm,

U = U(Xiz −Xi,Xiz,Zm) = U(ε,Xiz,Zm)

onda je sistem automatskog upravǉaǌa tog objekta kombinovani sistem automatskog up-ravǉaǌa, slika 2.4.

HH©© US HH©©

©©HH

Xiz U = U(ε,

Xiz,Zm)O HH©©

Xi

KSAU

AA¢¢

Zm

©©HH

AA¢¢

Zn

Slika 2.4. Opxti strukturni dijagram KSAU.

Kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌa ostvaruju istovremeno i direktnu(merenih poremeaja Zm) i indirektnu (nemerenih poremeaja Zn) kompenzaciju dejstvaporemeaja. Vektor poremeaja u ovom sluqaju je oblika:

Z =(Zm

Zn

).


2.3 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌaOtvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa se koriste za upravǉaǌe objekta kada na ǌegane deluje, niti e delovati, poremeaj ili kada se moe predvideti vrsta poremeaja priqemu on treba da bude pogodan za mereǌe.

2.3.1 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa bez kompenzacije dej-stva poremeaja

Za ilustraciju razliqitih koncepata automatskog upravǉaǌa koristie se jedan hidrau-liqki sistem, qija je funkcionalna xema prikazana na slici 2.5. Sistem se sastoji od:

• 1 - parna turbina,

• 2 - ventil na ulazu turbine,

• 3 - zavrtaǌ,

• 4 - opurga,

• 5 - poluga,

• 6 - hidrauliqki klipni razvodnik,

• 7 - hidrauliqki cilindar,

• 8 - poluga.

pumpa

rezervoar

12

3

4

5

6

7

8

Objekt

Turbina EG

X ni=

X ni=

ž ž

Pu=const

Vm=const

U

»ž

Xi

Slika 2.5. Funkcionalna xema OSAUBKDP.

Smatra se da ova turbina funkcionixe u uslovima gde nema bitnih neeǉenih uti-caja na ǌen rad, tj. gde nema poremeajnih veliqina. To je na funkcionalnoj xemi ilus-trovano nepromenǉivoxu pritiska pare na ulazu u turbinu, Pu = const, kao i konstantnimoptereeǌem Vm = const elektriqnog generatora EG koji je pokretan datom parnom turbinom.

2.3. Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa 13

eǉena vrednost broja obrtaja turbine se zadaje poloajem zavrtǌa 3. Taj poloaj di-rektno odreuje deformacionu silu u opruzi 4, ξXiz , koja svojim dejstvom na polugu 5 rotiratu polugu oko oslonca i prouzrokuje pomeraǌe klipǌaqe hidrauliqnog klipnog razvodnika6. Ta pomeraǌa prouzrokuju pomeraǌe klipova razvodnika xto dovodi do razvoeǌa uǉapod pritiskom u gorǌu ili doǌu komoru hidrauliqkog cilindra 7. Uǉe pod pritiskompomera klip cilindra i klipǌaqu koja je za ǌega kruto vezana, xto prouzrokuje pomeraǌepequrke ventila 2 u odnosu na sedixte ventila, qime se meǌa protoqna povrxina ventila.Protok kroz ventil je direktno srazmeran toj povrxini pa se u turbinu ubacuje maǌa ilivea koliqina pare koja dovodi do smaǌeǌa ili poveaǌa broja obrtaja, sledstveno. Hi-drauliqki cilindar je lokalno povratno spregnut, preko poluge 8, sa uǉnim razvodnikomda bi se obezbedile odreene dinamiqke osobine celog sistema. Ceo sklop 6, 7 i 8 se na-ziva hidrauliqki prenosni organ sa krutom povratnom spregom i bie detaǉno objaxǌen unarednim poglavǉima.

Funkcionalnost, meusobnu povezanost i dejstva, pored funkcionalne xeme, moe dailustruje i strukturni dijagram razmatranog sistema, slika 2.6.

- - -- - i- - - -

O

Xi = nXiz = nz U

¾

6

USOSAUBKDP

3 4 17

8

256

Slika 2.6. Strukturni dijagram OSAUBKDP.

2.3.2 Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa sa direktnom kompen-zacijom dejstva poremeaja

Ovaj sistem sadri sve elemente koje sadri i sistem qija je funkcionalna xema prikazanana slici 2.5. Pored toga on sadri, slika 2.7:

• 9 - priguxnicu (blendu) i

• 10 - membranski motor (diferencijalni meraq pritiska),koji predstavǉaju merni organ protoka pare u ulaznoj cevi. Na priguxnici dolazi do padapritiska qija vrednost je srazmerna protoku. Vei protok pravi vee padove pritiska,xto se na membranskom motoru manifestuje pomeraǌem membrane i vretena na gore, tj. usmeru sile ξZ . Ova sila pravi moment koji se uravnoteava sa momentom sile ξXiz , xtopolugu 5 dovodi u neki novi poloaj, a sve to na kraju rezultuje pomeraǌem ventila 2 iuspostavǉaǌem neke nove vrednosti protoka pare na ulazu u turbinu.

U sluqaju da se vrednost ulaznog pritiska Pu iz nekog razloga smaǌi, upravǉaqki sis-tem bi, na objaxǌeni naqin, morao da otvori ventil 2 i povea protoqnu povrxinu takoda protok kroz ǌu, u uslovima smaǌenog pritiska, bude kao i u neporemeenom sluqaju.Promena pritiska Pu predstavǉa poremeanu veliqinu Z1 i kompenzacija tog dejstva moeda se ostvari samo na objaxǌeni naqin - direktno (neposredno). Reakcije na bazi grexkesu ovde nemogue jer ovaj upravǉaqki sistem ne meri stvarnu vrednost izlaza Xi = n.

Strukturni dijagram razmatranog sistema je prikazana na slici 2.8.

2.3.3 Osobine otvorenih sistema automatskog upravǉaǌa• Upravǉaqki sistem i objekt su redno spregnuti, te se prenos signala odvija u otvo-renom kolu dejstva. Smer prenosa signala kroz sistem naziva se smer dejstva. Kodotvorenih sistema automatskog upravǉaǌa je smer dejstva odreen prenosom signala(dejstvom) sa upravǉaqkog sistema na objekt. Povratno dejstvo objekta na upravǉaqkisistem ne postoji kod ovih sistema automatskog upravǉaǌa.

• Informacija o eǉenom ponaxaǌu objekta je neophodna za stvaraǌe ǌegovog pravilnogupravǉaǌa.


pumpa

rezervoar

12

3

4

5

6

7

8

Objekt

Turbina EG

X ni=

X ni=

ž ž

Pu

const≠

Vm=const

U

»ž

Xi

9

10

»Z

Slika 2.7. Funkcionalna xema OSAUSDKDP.

- - -- jj5

- - - -Xi = nXiz = nz - U

Z1 = Pu

ξXiz

¾¾

?ξZ

O

?

¾

6

USOSAUSDKDP

3 4 17

8

910

26

Slika 2.8. Strukturni dijagram OSAUSDKDP.

• Ako su i upravǉaqki sistem i objekt, svaki ponaosob, stabilni onda je i ceo sis-tem automatskog upravǉaǌa stabilan. Ova ǌegova osobina znaqajno pojednostavǉujeprouqavaǌe i projektovaǌe otvorenog sistema automatskog upravǉaǌa. Ona je posled-ica redne sprege upravǉaqkog sistema i objekta.

• U otvorenom sistemu automatskog upravǉaǌa sa direktnom kompenzacijom dejstvaporemeaja upravǉaqki sistem reaguje na uzrok (poremeaj) neeǉenog rada objekta, ito ne qekajui pojavu ǌegove posledice (grexke upravǉanog izlaza). Stoga je naqelnomogue da se stvarno ponaxaǌe objekta podudara s ǌegovim eǉenim ponaxaǌem usvakom trenutku i pri dejstvu merenog poremeaja.

• Otvoreni sistemi automatskog upravǉaǌa mogu da obezbede zadovoǉavajui rad ob-jekta jedino ako na ǌega deluje mereni poremeaj - poremeaj o kome se dovodi in-formacija u upravǉaqki sistem. Ako na objekt deluje neki nemereni poremeaj, ondase nee obezbediti ǌegov zadovoǉavajui rad. Ovo predstavǉa suxtinski nedostatakotvorenih sistema automatskog upravǉaǌa.

• U sluqaju delovaǌa nemerenog poremeaja, a u ciǉu obezbeeǌa zadovoǉavajueg radaobjekta, neophodno je da qovek neposredno uqestvuje u radu otvorenog sistema automat-

2.4. Sistemi automatskog regulisaǌa 15

skog upravǉaǌa kao deo ǌegovog upravǉaqkog sistema, xto predstavǉa jox jedan ne-dostatak ovakvih sistema automatskog upravǉaǌa.

2.4 Sistemi automatskog regulisaǌaOsnovna strukturna osobina ovih sistema je postojaǌe negativne povratne sprege, kojomse upravǉaqki sistem, tj. regulator, obavextava o trenutnoj vrednosti vektora izlaza. Urazmatranom primeru, upravǉaǌa parne turbine, tu povratnu spregu qine:

• 11 - konusni zupqanici,

• 12 - rotirajue kugle i

• 13 - ogrlica.Ovi elementi qine merni organ broja obrtaja. Konusnim zupqanicima se rotacija hor-izontalnog vratila prenosi i na vertikalno koje rotira kugle 12. Neka se usled delo-vaǌa proizvoǉnog poremeaja broj obrtaja turbine poveao (smaǌio). Poveaǌem (smaǌe-ǌem) broja obrtaja centrifugalna sila udaǉava (pribliava) te kugle osi rotacije i timepovlaqi ogrlicu 13 gore (dole). Ogrlica silom ξXi

deluje na polugu 5 i pomera je gore(dole) xto prouzrokuje, kao xto je ranije objaxǌeno, zatvaraǌe (otvaraǌe) ventila 2, asamim tim i smaǌeǌe (poveaǌe) broja obrtaja turbine.

Ovaj sistem ne meri ni jednu poremeajnu veliqinu, bez obzira koliko ih ima i da lisu merǉive. Kompenzacija dejstva svih tih poremeaja je indirektna, na bazi grexke ε.Funkcionalna xema, slika 2.9, najboǉe ilustruje princip rada ovakvog koncepta upravǉa-ǌa. Sada je razmatrana turbina postavǉena u okrueǌe u kojima postoje dve poremeajneveliqine: promena ulaznog pritiska je nepoznata funkcija vremena Z1 = Pu, optereeǌemree se meǌa po nepoznatom zakonu Z2 = Vm.

Strukturni dijagram SAR-a je prikazana na slici 2.10.

pumpa

rezervoar

12

3

4

5

6

7

8

Objekt

Turbina EG

X ni=

X ni=

X ni=

ž ž

Pu

const≠

Vm

const≠

Y

»ž

Xi

»Xi

12

13

11

Slika 2.9. Funkcionalna xema SAR.


- - -- jj - - - -Xi = nXiz = nz - Y

Z1 = Pu

ξXiz

O

5

¾¾ ¾

ξXi

Z2 = Vm

??

¾

66

R SAR

3 4 17

1112

8

13

26

Slika 2.10. Strukturni dijagram SAR.

Proces upravǉaǌa koji se ostvaruje u zatvorenom sistemu automatskog upravǉaǌa, gdese upravǉaǌe stvara na osnovu grexke upravǉanog izlaza se naziva regulisaǌe.

To ima za posledicu da se kod zatvorenih sistema automatskog upravǉaǌa koristesledei pojmovi, termini:

• ZSAU - sistem automatskog regulisaǌa (SAR),• upravǉaqki sistem - regulator• upravǉaǌe U - regulixui vektor, regulisaǌe Y,• upravǉaqka veliqina - regulixua veliqina,• upravǉani objekt - regulisani objekt,• upravǉani izlaz - regulisani izlaz,• upravǉana veliqina - regulisana veliqina,• upravǉaqki deo objekta - regulisani deo objekta.

2.4.1 Osobine sistema automatskog regulisaǌa• Sistem regulisaǌa se odlikuje zatvorenim kolom dejstva sa negativnom povratnomspregom, xto predstavǉa ǌegovu strukturnu osobinu.

• Potrebna i dovoǉna informacija za pravilan rad regulatora je informacija o grex-ci regulisane veliqine i ǌenim izvodima. U sistemu regulisaǌa informacija oporemeaju se ne koristi za stvaraǌe upravǉaǌa. Drugaqije reqeno, regulator stupau dejstvo na osnovu informacije o posledici (grexci), a ne uzroku (poremeaju). Zbogtoga sistem regulisaǌa ne moe ni teorijski da ostvari idealan sluqaj: on ne moe daobezbedi stalnu podudarnost stvarnog i eǉenog ponaxaǌa objekta ako na ǌega delujeporemeaj, ili ako se eǉeno ponaxaǌe objekta meǌa tokom vremena.

• U sistemu regulisaǌa se ostvaruje jedino indirektna kompenzacija dejstva poremeaja.• Regulator moe da obezbedi zadovoǉavajui rad objekta, bez obzira kakav poremeaj,do odreenog intenziteta, deluje na taj objekt, xto predstavǉa bitnu prednost sistemaregulisaǌa nad otvorenim sistemima automatskog upravǉaǌa. Dovoǉno je znati daje poremeaj najqexe sluqajne prirode i u pogledu trenutka svog pojavǉivaǌa i upogledu trajaǌa ǌegovog dejstva, karaktera i intenziteta ǌigove promene. Xta vixe,ne moe uvek da se predvidi koje sve poremeajne veliqine mogu da deluju na objekt.

• Stabilnost objekta i stabilnost regulatora (svakog ponaosob) ne garantuje stabil-nost sistema regulisaǌa. Ova qiǌenica qini analizu i sintezu (projektovaǌe) ovihsistema sloenijom nego xto su one za otvorene sisteme automatskog upravǉaǌa. Taqiǌenica takoe postavǉa problem stabilnosti sistema regulisaǌa kao jedan od os-novnih problema koji treba da se pozitivno rexe. Odatle proistiqe fundamentalanznaqaj prouqavaǌa stabilnosti sistema regulisaǌa.

• Sistem regulisaǌa (podrazumeva se automatsko regulisaǌe) ne zahteva neposrednouqexe qoveka u ciǉu ostvareǌa zadovoǉavajueg rada objekta, bez obzira kolikoporemeajnih veliqina na ǌega deluje, ako su dozvoǉenih intenziteta.

2.4. Sistemi automatskog regulisaǌa 17

2.4.2 Osnovni problem dinamiqkog ponaxaǌa SAR-a

Uoqimo sledei problem, koji je osnovni problem dinamiqkog ponaxaǌa sistema regulisa-ǌa. ǋegovo rexavaǌe je jedan od osnovnih zadataka pri sintezi SAR-a.

Ako se broj obrtaja turbine povea iznad zadate vrednosti, usled dejstva proizvoǉnogporemeaja na vremenskom intervalu od npr. τ1 = 2s do τ2 = 3s, crvena kriva na slikama 2.11,2.12 i 2.13, onda e ventil 2 da se zatvara. Meutim, unapred se ne zna koliko e to zat-varaǌe biti. Ako bi se desilo da se ventil zatvori dovoǉno, tako da se stvarna vrednostbroja obrtaja asimptotski dovodi na zadatu vrednost, plava (aperiodiqno) ili zelena (pri-guxno oscilatorno) kriva sa slike 2.11, onda je sistem regulisaǌa stabilan.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Slika 2.11. Dinamiqko ponaxaǌe stabilnog SAR-a.

Ako to zatvaraǌe ventila nije dovoǉno da se potpuno kompenzuje dejstvo poremeajate se broj obrtaja meǌa kao xto to slika 2.12 ilustruje, onda je sistem regulisaǌa nagranici stabilnosti (zelena kriva: aperiodiqno graniqno stabilan; plava kriva: oscila-torno graniqno stabilan).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Slika 2.12. Dinamiqko ponaxaǌe graniqno stabilnog SAR-a.


Ako se ventil suvixe zatvori kada broj obrtaja raste, odnosno suvixe otvori kada brojobrtaja opada, moe doi do promene broja obrtaja po zakonu krivih sa slike 2.13. Tada jesistem regulisaǌa nestabilan. Jasno je da je izbor regulatora koji garantuje stabilnostsistemu regulisaǌa osnovni problem koji treba pozitivno rexiti.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18−2

−1

0

1

2

3

4

Slika 2.13. Dinamiqko ponaxaǌe nestabilnog SAR-a.

Primer 10Prethodne slike su nacrtane sledeim Matlab skriptom (problsar.m):

clear; pack; clc

% prenosne funkcije stabilnog sistemanum = [1];den = conv([1 2], [1 3]);W1 = tf(num, den)num = [1];den = [1 0.8 1];W2 = tf(num, den)% prenosne funkcije sistema na granici stabilnostinum = [1];den = [1 0 8];W3 = tf(num, den)num = [1];den = [1 2 0];W4 = tf(num, den)% prenosne funkcije nestabilnog sistemanum = [1];den = conv([1 -0.1],[1 1]);W5 = tf(num, den)num = [1];den = [1 -0.1 1];W6 = tf(num, den)

% vremenska osadt = 0.001;n = 2^14;t = (0:n-1)*dt;

2.5. Kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌa 19

% poremec1ajz = zeros(n, 1);z(2000:3000) = 1;

% odzivi sistemaxi1 = lsim(W1, z, t);xi2 = lsim(W2, z, t);xi3 = lsim(W3, z, t);xi4 = lsim(W4, z, t);xi5 = lsim(W5, z, t);xi6 = lsim(W6, z, t);

figure(1); plot (t, [xi1 xi2 z]);gridfigure(2); plot (t, [xi3 xi4 z]); gridfigure(3); plot (t, [xi5 xi6 z]); grid

2.5 Kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌaZadatak kombinovanih sistema automatskog upravǉaǌa je da ostvare i direktnu i indirek-tnu kompoenzaciju dejstva poremeaja na objekt u ciǉu obezbeeǌa zadovoǉavajueg radatog objekta. Budui da je qesto texko izvesti direktnu kompenzaciju svih poremeaja, onase koristi samo za neke poremeaje. Da bi se obezbedio traeni kvalitet rada objekta ipri dejstvu ostalih poremeaja na objekt primeǌuje se ǌihova indirektna kompenzacija.Stoga kombinovani sistemi automatskog upravǉaǌa predstavǉaju sintezu otvorenih sis-tema automatskog upravǉaǌa i sistema regulisaǌa. Prema tome, u razmatranom primeru,ovaj sistem sadri sve ono xto sadre sistemi sa slika 2.7 i 2.9.

Strukturni dijagram i funkcionalna xema razmatranog sistema su prikazani naslikama 2.14 i 2.15.

- - -- jj - - - -Xi = nXiz = nz - U

Z1 = Pu

ξXiz

¾

?ξZ

O

??

5

¾¾ ¾

ξXi

¾

Z2 = Vm

¾

66

USKSAU

3 4 17

9

1112

8

13

10

26

Slika 2.14. Strukturni dijagram KSAU.

2.5.1 Osobine kombinovanog sistema automatskog upravǉaǌa• Za stvaraǌe pravilnog upravǉaǌa u kombinovanom sistemu automatskog upravǉaǌapotrebne su i dovoǉne informacije o eǉenom dinamiqkom ponaxaǌu objekta, o grexciǌegovog stvarnog ponaxaǌa i o poremeaju qije dejstvo treba da se direktno kompenzuje(neutralixe) uticajem upravǉaǌa na taj objekt.

• Ostvaruje se indirektna kompenzacija uticaja svih poremeajnih veliqina na radobjekta na osnovu grexke ǌegovog izlaza i direktna kompenzacija uticaja merenihporemeajnih veliqina na taj objekt.


pumpa

rezervoar

12

3 4

5

6

7

8

Objekt

Turbina

EG

Xn

i=

Xn

i=

Xn

i=

žž

Pu

const

≠

Vm

const

≠

U

»ž

Xi

9

10

» Z» X

i

12

13

11

Slika 2.15. Funkcionalna xema KSAU.

2.6. Funkcija i struktura upravǉaqkog sistema 21

• Ako na objekt deluje samo mereni poremeaj, teorijski je mogue da se ostvari podu-darnost stvarnog i eǉenog ponaxaǌa objekta.

• Poxto u kombinovanom sistemu automatskog upravǉaǌa postoji povratna sprega, sta-bilnost upravǉaqkog sistema i stabilnost objekta (svakog ponaosob) ne garantuje sta-bilnost celog sistema upravǉaǌa. Stabilnost kombinovanog sistema automatskog up-ravǉaǌa treba da se ispita u svakom posebnom, konkretnom sluqaju.

• Da bi se obezbedio zadovoǉavajui rad objekta nije potrebno da qovek neposrednouqestvuje u procesu upravǉaǌa qak i ako na objekt deluje nemereni poremeaj.

Primer 11Objasniti princip rada i koncept automatskog upravǉaǌa sistema qija je funkcionalnaxema prikazana na slici 2.16.

PN=1,4 bar

X Pi=

ž ž

X Pi=U

Slika 2.16. SAU rezervoara pod pritiskom.

2.6 Funkcija i struktura upravǉaqkog sistemaDa bi upravǉaqki sistem ostvario zadatak odreen ǌegovom definicijom on mora da izvrxiniz funkcija od kojih neke zavise, a neke ne, od koncepta upravǉaǌa zastupǉenog u sistemuautomatskog upravǉaǌa. Samim tim funkcije koje US izvrxava mogu da se podele na:

• opxte funkcije upravǉaqkog sistema, koje su sadrane u svakom koceptu upravǉaǌa,

• posebne funkcije upravǉaqkog sistema, koje zavise od izabranog koncepta.

Definicija 2.6.1 Deo upravǉaqkog sistema koji u potpunosti izvrxava jednu ǌegovufunkciju se naziva organ upravǉaqkog sistema.

2.6.1 Opxte funkcije upravǉaqkog sistema• Upravǉaqki sistem treba da primi informaciju o eǉenom dinamiqkom ponaxaǌuobjekta, Xiz, da zapamti tu informaciju i daje stalno signal ξXiz

o ǌoj. Organ up-ravǉaqkog sistema koji izvrxava ovu funkciju je zadavaq, pozicija 1 na strukturnom


dijagramu sa slike 2.17. Ako je ξXiz= ξXiz

(t) onda se zadavaq naziva programator.U razmatranom primeru zadavaq qine zavrtaǌ 3 i opruga 4, a signal ξXiz o eǉenojvrednosti Xiz = nz je srazmeran deformacionoj sili opruge.

m m98

US

Xiz ξXiz

ξXi

ξz

Z

U

Xi

1 2 3 5

4

7

6

Slika 2.17. Opxti strukturni dijagram upravǉaqkog sistema.

• Upravǉaqki sistem treba da ostvari zakon (algoritam) upravǉaǌa. Ovu funkcijuostvaruje korekcioni organ, koji se u opxtem sluqaju sastoji od:

– redni korekcioni organ, pozicija 2 sa slike 2.17,– korekcioni organ glavne grane lokalne povratne sprege, pozicija 3,– korekcioni organ povratne grane lokalne povratne sprege, pozicija 4.

U prikazanim primerima hidrauliqki prenosni organ sa krutom povratnom spregom (6,7 i 8 sa slika 2.5, 2.7, 2.9 i 2.15) predstavaǉa korekcioni organ.

• Upravǉaqki sistem treba da stvori upravǉaǌe dovoǉnog intenziteta u svakom tre-nutku. Ovu funkciju ostvaruje izvrxni organ, pozicija 5 na slici 2.17. Izlaz izizvrxnog organa je ujedno i izlaz iz upravǉaqkog sistema, a to je upavǉaǌe U. Izvr-xni oragan upravǉaqkog sistema je uvek direktno spregnut sa upravǉaqkim organom ob-jekta. U prethodnim primerima izvrxni organ je hidrauliqki cilindar, a upravǉaqkiorgan objekta je ventil 2, koji dejstva upravǉaǌa prenosi na procesni deo objekta -parnu turbinu 1.

2.6.2 Posebne funkcije upravǉaqkog sistema• U OSAUSDKDP i KSAU upravǉaqki sistem treba da meri vrednosti poremeajnihveliqina sadrane u vektoru Z i da koristi signal ξZ o ǌima. Ovu ǌegovu funk-ciju ostvaruje merni organ poremeaja, pozicija 6 sa slike 2.17. U razmatranimprimerima merni organ poremeaja qine blenda 9 i membranski motor 10.

• Kod SAR-a i KSAU-a upravǉaqki sistem treba da izmeri stvarnu vrednost upravǉanogizlaza Xi i koristi signal ξXi

o ǌemu. Ovu funkciju realizuje merni organ izlaza,pozicija 7 na slici 2.17. Konusni zupqanici, rotirajue kugle i ogrlica predstavǉajumerni organ izlaza u razmatranim primerima.

• Upravǉaqki sistem kod SAR-a, regulator, treba da utvrdi grexku upravǉanog izlazaε, uporeujui eǉeni i stvarni vektor izlaza. Ovu funkciju ostvaruje sabiraq 8,koji se naziva uporeivaq. Poluga 5 sa fukcionalne xeme prikazane na slici 2.9predstavǉa uporeivaq datog regulatora.

Na osnovu prethodno izloenog, jasno je da je na slici 2.17 prikazan opxti strukturnidijagram upravǉaqkog sistema KSAU-a. Uklaǌaǌem pojedinih elemenata, tj. organa US,sa tog strukturnog dijagrama, mogu da se dobiju opxti strukturni dijagrami upravǉaqkihsistema svih ostalih koncepata automatskog upravǉaǌa.

Poglavǉe 3

Vremenski odzivi sistema

3.1 Tipiqne promene ulaznih veliqina

Definicija 3.1.1 Promena izlaza sistema u toku vremena, bilo da je izazvana dejstvomulaza bilo dejstvom poqetnih uslova, bilo dejstvom i ulaza i poqetnih uslova, je vremenskiodziv sistema, ili krae odziv sistema.

Odziv sistema je jedna od dinamiqkih karakteristika sistema. On je rezultat radasistema i opisuje taj rad. Odnosno, odziv sistema je rezultat prirode sistema, dejstvaulaza i poqetnih uslova (poqetnog staǌa). On je spoǉna reakcija sistema na ova dejstva.

Matematiqki posmatrano, odziv sistema je rexeǌe diferencijalne jednaqine ponaxaǌa togsistema za zadatu promenu ulaza i zadate poqetne uslove.

Zahvaǉujui zakonu superpozicije, Odeǉak 3.2, koji vai za linearne sisteme, odzivisistema na sloene promene ulaznih veliqina, mogu da se dobiju jednostavnim sabiraǌemodziva na jednostavne, tipiqne, promene ulaznih veliqina. Ova osobina linearnih sistemabitno pojednostavǉuje analizu ǌihovog dinamiqkog ponaxaǌa.

Za upoznavaǌe, utvrivaǌe i analizu odziva linearnih sistema dovoǉno je prouqiti ǌi-hove odzive na odreene, tipiqne promene ulaza. Tri najqexe korixene ulazne veliqineza dinamiqku analizu sistema su Hevisajdova ili odskoqna (u Matlabu step), Dirakovaili impulsna (impulse) i sinusna fukcija (sin). Za sve tipiqe promene ulaznih veliqinaje zajedniqko da su one do poqetnog trenutka bile jednake nuli. Za poqetni trenutak seusvaja t0 = 0, xto je opravdano poxto se prouqavaju samo linearni stacionarni sistemiqije dinamiqko ponaxaǌe ne zavisi od izbora poqetnog trenutka.

• h(t) - jediniqna odskoqna funkcija (Hevisajdova funkcija)

Ova funkcija je definisana sledeim izrazom:

h(t)

= 0, t < 0,

∈ [0, 1

], t = 0,

= 1, t ∈ ]0, +∞[

.

(3.1)

ǋen grafik je prikazan na slici 3.1.

6

-0 t

h(t)

1

Slika 3.1. Jediniqna odskoqna funkcija (Hevisajdova funkcija).

23

24 Poglavǉe 3. Vremenski odzivi sistema

Odziv sistema na ovakav ulaz, Hevisajdovu funkciju, naziva se jediniqni odskoqniodziv ili prelazna funkcija i obeleava se sa g(t):

Xu(t) = h(t) ⇒ Xi(t) = g(t).

Hevisajdova funkcija je vrlo znaqajna za odreivaǌe pokazateǉa kvaliteta prelaznogprocesa kao i stacionarnih osobina sistema (pozicionog pojaqaǌa, pozicione statiqkegrexke, ...).

• hα(t) - odskoqna funkcija

hα(t)

= 0, t < 0,

∈ [0, α

], t = 0,

= α, t ∈ ]0, +∞[

.

(3.2)

ǋen grafik je prikazan na slici 3.2. Odziv sistema na odskoqnu funkciju se naziva

6

-0 t

hα(t)

α

Slika 3.2. Odskoqna funkcija.

odskoqni odziv i obleava sa gα(t):

Xu(t) = hα(t) = αh(t) ⇒ Xi(t) = gα(t). (3.3)

Samo za linearne sisteme vai:gα(t) = αg(t). (3.4)

• hα(t− Tk) - odskoqna funkcija sa kaxǌeǌem

hα(t− Tk)

= 0, t < Tk,

∈ [0, α

], t = Tk,

= α, t ∈ ]Tk,+∞[

.

(3.5)

ǋen grafik je prikazan na slici 3.3.

6

-0 tTk

Tk ∈]0, +∞[hα(t− Tk)

α

Slika 3.3. Odskoqna funkcija sa kaxǌeǌem.

• δ(t) - jediniqna impulsna funkcija (Dirakova funkcija)

Posmatraju se dve funkcije:1εh(t) i −1

εh(t− ε), slika 3.4. ǋihov algebarski zbir je:

h(t)− h(t− ε)ε

,

3.1. Tipiqne promene ulaznih veliqina 25

-

6

-

6

1ε

−1ε

0 ε t

1εh(t)

−1εh(t− ε)

1ε

ε0 t

Slika 3.4. Funkcije1εh(t) i −1

εh(t− ε) i ǌihov algebarski zbir.

a jediniqna impulsna funkcija, Dirakova funkcija, je definisana relacijom:

δ(t) = limε→0+

h(t)− h(t− ε)ε

. (3.6)

Geometrijska interpretacija Dirakove funkcije je prikazana na desnoj slici slike 3.4.S obzirom da se radi o graniqnoj vrednosti kada se ε beskonaqno smaǌuje, onda puls,

pravougaonik stranica ε i1ε, postaje impuls. Povrxina tog impulsa je, kao i povrxina

pulsa, P = ε1ε

= 1, pa se zato ova funkcija koja je u nuli beskonaqnog intenziteta (ne

jediniqnog) naziva jediniqna impulsna funkcija.Samim tim Dirakova funkcija ima osobinu da je

∫ +∞

−∞δ(t)dt =

∫ 0+

0−δ(t)dt = 1, δ(0) = +∞, δ(t) = 0, ∀(t 6= 0) ∈ ]−∞, +∞[

.

Odziv sistema na Dirakovu funkciju je takoe tipiqan (poxto je ulaz tipiqan i odzivje tipiqan) i naziva se jediniqni impulsni odziv i obeleava sa i(t).

Xu(t) = δ(t) ⇒ Xi(t) = i(t).

• n(t) - nagibna funkcijaAnalitiqki opis nagibne funkcije, n(t), je:

n(t) =

0, t ∈ ]−∞, 0

],

αt, t ∈ [0, +∞[

, α ∈ ]−∞,+∞[,

(3.7)

xto moe da se napixe u kraem obliku

n(t) = αth(t). (3.8)

Funkcija αt se mnoi sa funkcijom h(t) da bi nagibna funkcija n(t) bila jednaka nuliza ∀t < 0. Grafik nagibne funkcije n(t) je prikazan na slici 3.5. Odziv sistema na

6

-0 t

n(t)

Slika 3.5. Nagibna funkcija.

nagibni ulaz je nagibni odziv.


• e(t) - eksponencijalna funkcija

Eksponencijalna funkcija, oznaqena sa e(t), je definisana sa:

e(t)

= 0, t ∈ ]−∞, 0[,

∈ [0, α

], t = 0,

= αeβt, t ∈ ]0, +∞[

.

(3.9)

Ovo moe da se krae napixe sa:

e(t) = αeβth(t). (3.10)

Grafik eksponencijalne funkcije je prikazan na slici 3.6 za α ∈ ]0, +∞[

.

6

-0 t

e(t)

α

β > 0

β = 0

β < 0

Slika 3.6. Eksponencijalna funkcija.

Odziv sistema na eksponencijalnu promenu ulaza se naziva eksponencijalni odziv.

• s(t) - sinusna funkcija

Sinusna funkcija, oznaqena sa s(t), definisana je sa:

s(t)

= 0, t ∈ ]−∞, 0],

∈ [0, α sin θ

], t = 0,

= α sin (ωt + θ), t ∈ ]0,+∞[

.

(3.11)

xto moe da se same u oblik:

s(t) = αh(t) sin (ωt + θ), (3.12)

a ǌeg grafik je prikazan na slici 3.7.

6

-0 t

s(t)

α

−α

π − θ

ω

2π − θ

ω

Slika 3.7. Sinusna funkcija.

Odziv sistema na sinusnu promenu ulazne veliqine se naziva sinusni odziv.

3.2. Zakon superpozicije 27

3.2 Zakon superpozicijeJedna od najvanijih osobina koju imaju linearni sistemi je da za ǌih vai zakon super-pozicije, xta vixe oni su tako i definisani, tj. neki sistem jeste linearan ako za ǌegavai zakon superpozicije.

Ilustrujmo to na jednom primeru pre nego xto taj zakon egzaktno iskaemo. Posmatrase jedan jednostruko prenosni sistem, tj. sistem koji ima jednu ulaznu i jednu izlaznuveliqinu, slika 3.8.

S- -Xu Xi

Slika 3.8. Jednostruko prenosni sistem.

Utvrivaǌe osobine linearnosti odziva sistema moe da se objasni izvoeǌem sledeatri eksperimenta ili simulacije (izloeni rezultati su simulacioni):

• Sistem se pobuuje proizvoǉnom ulaznom veliqinom, npr. jediniqnom odskoqnomfunkcijom sa kaxǌeǌem Xu = h(t − 5). Oznaqimo ovakvu promenu ulazne veliqine saXu1 (ulazna veliqina Xu u prvom eksperimentu ili simulaciji). Odziv razmatranogsistema na takvu pobudu Xi(Xu1), oznaqen sa Xi1, pri nultim poqetnim uslovima jeprikazan na slici 3.9.

0 5 10 15 200

1

2

3

4

Xu1

=h(t−5)

0 5 10 15 200

1

2

3

4

Xi1

Slika 3.9. Odziv sistema na Xu1 = h(t− 5).

• U drugom eksperimentu ili simulaciji, pobudimo sistem nekom drugom proizvoǉnomulaznom veliqinom, npr. sinusnom funkcijom Xu = sin(0, 5t), i oznaqimo takvu promenusa Xu2. Sinusni odziv sistema, Xi(Xu2) oznaqen sa Xi2, pri nultim poqetnim uslovimaprikazan je na slici 3.10.

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

Xu2

=sin(0,5⋅t)

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3

Xi2

Slika 3.10. Odziv sistema na Xu2 = sin(0, 5 · t).


• Na kraju, sistem se pobuuje ulaznom veliqinom koja je jednaka ponderisanom zbiruulaznih veliqina iz prva dva eksperimenta, tj. simulacije:

Xu = α1Xu1 + α2Xu2,

pri qemu su za α1 i α2 usvojene sledee vrednosti

α1 = 0, 7 α2 = 1, 2.

Dobijeni odziv sistema na taj sloeni ulaz je prikazan na sredǌoj slici (crvenakriva) slike 3.11.

0 10 20

0

2

4

6

Xu=α

1 X

u1 + α

2 X

u2

0 10 20

0

2

4

6

Xi=X

i(α

1 X

u1 + α

2 X

u2)

0 10 20

0

2

4

6

Xi=α

1 X

i1 + α

2 X

i2

Slika 3.11: Odziv sistema na Xu = α1Xu1 + α2Xu2 = 0, 7 · h(t− 5) + 1, 2 · sin(0, 5 · t)i zbir odziva Xi = α1Xi1 + α2Xi2 = 0, 7 ·Xi1 + 1, 2 ·Xi2.

Tako dobijeni odziv se uporeuje sa ponderisanim (na isti naqin α1 = 0, 7, α2 = 1, 2)zbirom partikularnih odziva Xi1 iz prve simulacije i Xi2 iz druge simulacije. Takavzbir je prikazan na desnoj slici (zelena kriva) slike 3.11.Ako su ta dva odziva:

Xi = Xi(Xu) = Xi(α1Xu1 + α2Xu2)

iXi = α1Xi(Xu1) + α2Xi(Xu2) = α1Xi1 + α2Xi2

jednaka, i ako to vai za bilo koje Xu iz prvog eksperimenta (Xu1), bilo koje Xu izdrugog eksperimenta (Xu2), bilo koje α1 i α2, onda za odziv tog sistema vai zakonsuperpozicije.

Ako se razmatra vixestruko prenosni sistem: sistem qiji je zbir broja ulaznih i brojaizlaznih veliqina M + N > 2, slika 3.12, onda zakon superpozicije moe da se iskae u

- -- -

- -

Xu1

Xu2

...XuM

Xi1

Xi2

...XiN

S

Slika 3.12. Vixestruko prenosni sistem.

opxtem sluqaju.

Definicija 3.2.1 Za odziv sistema S, slika 3.12, vai zakon superpozicije ako i samoako vai:

Xi(α1Xu1 + α2Xu2) ≡ α1Xi(Xu1) + α2Xi(Xu2). (3.13)

3.3. Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcije upravǉanog objekta 29

Identitet u (3.13) iskazuje da taj izraz vai za bilo koju kombinaciju ulaznih veliqinaXui, i = 1, 2, . . . , M , u okviru vektora Xu1 i Xu2:

Xu1 =

Xu1

Xu2

...XuM

i Xu2 =

Xu1

Xu2

...XuM

i za bilo koje realne brojeve α1 i α2, tj. identitet(3.13) moe da se prikae sledeomjednaqinom:

Xi(α1Xu1 + α2Xu2) = α1Xi(Xu1) + α2Xi(Xu2), ∀(α1, α2,Xu1,Xu2) ∈ R×R×RM ×RM . (3.14)

Sistem S, slika 3.12, za qiji odziv vai zakon superpozicije je izlazno linearan. To neznaqi da je sistem (kompletno) linearan. U narednim poglavǉima e biti pokazano da je zalinearnost sistema potrebno da zakon superpozicije vai i za odziv i za kretaǌe sistema.

3.3 Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcije upravǉanogobjekta

Osnovni zadatak objekta je da u nominalnim uslovima svog rada ostvari zahtevano di-namiqko ponaxaǌe, koje je opisano eǉenom promenom totalne vrednosti ǌegove izlazneveliqine, u oznaci Xiz(t).

U promenǉivim uslovima rada objekta zahteva se da ǌegovo stvarno dinamiqko ponaxaǌebude dovoǉno blisko ǌegovom eǉenom dinamiqkom ponaxaǌu. Drugim reqima, razlika ε(t)izmeu eǉenog (Xiz(t)) i stvarnog (Xi(t)) dinamiqkog ponaxaǌa objekta treba da bude uodreenim granicama (podrazumeva se da su intenziteti poremeaja u granicama za koje jedati objekt konstruisan).

Grexka izlazne veliqine objekta je definisana sa

ε(t) = Xiz(t)−Xi(t).

Razlika izmeu stvarnog dinamiqkog ponaxaǌa objekta i ǌegovog eǉenog dinamiqkogponaxaǌa je odstupaǌe xi(t) izlazne veliqine tog objekta:

xi(t) = Xi(t)−Xiz(t), xi(t) = −ε(t).

Velika slova (npr. Xi) oznaqavaju totalne vrednosti veliqina koje se mere u odnosu natotalnu nulu. Mala slova (npr. xi) oznaqavaju odstupaǌa.

Da bi se definisala zahtevana bliskost stvarnog dinamiqkog ponaxaǌa objekta ǌegovomeǉenom ponaxaǌu, tj. da bi se definisala dozvoǉena grexka ε(t) ǌegove izlazne veliqine,definixu se osnovni pokazateǉi kvaliteta dinamiqkog ponaxaǌa, koji su prikazani naslici 3.13.

Π - preskok, predstavǉa razliku vrednosti prvog maksimuma prelazne funkcije i ǌenevrednosti u stacionarnom staǌu. Preskok se izraava u procentima od graniqne vred-nosti prelazne funkcije kada t → +∞ (tj. u procentima od pozicionog pojaqaǌa). Ovajpokazateǉ je mera stepena relativne stabilnosti sistema.

εd - dinamiqka grexka izlazne veliqine, grexka koja se javǉa u trenutku pojave preskoka

εd = ε(τd).

τd - trenutak pojavǉivaǌa dinamiqke grexke (preskoka).

τu - vreme uspona je vreme koje je potrebno da prelazna funkcija od 10% dostigne 90%od svoje vrednosti u stacionarnom reimu kod aperiodiqnih odziva, a u sluqaju os-cilatornog odziva, kao xto je na slici 3.13, od 0% do 100% stacionarne vrednosti.Vrednost vremena uspona karakterixe pored brzine odziva i sposobnost sistema da nasvom izlazu xto vernije reprodukuje ulazne signale. Pri tome duem vremenu usponaodgovara vee izobliqeǌe u prenosu signala.


-

6

6

?

Πεd

Xi(t) = g(t)

τsτd0

1

tτ

ε(τ) xi(τ)?

6

Xiz(t) = h(t)

t = +∞

Xi(t)

τu

6

K

6?εs

?

6

aεm

εm

Slika 3.13. Prelazna funkcija objekta.

τs - vreme smireǌa je prvi trenutak kada prelazna funkcija ue i vixe ne izlazi izunapred utvrenog opsega ±εm oko vrednosti u stacionarnom staǌu. Posle tog trenutkamoe da se kae da je prelazni proces praktiqno ixqezao, bar xto se taqnosti tiqe.

|Xi(t)−Xi(+∞)| 6 εm, ∀t ∈ [τs,+∞

[.

εm - najvea (maksimalna) dozvoǉena apsolutna vrednost odstupaǌa prelazne funkcije odǌene vrednosti u stacionarnom reimu posle trenutka τs. Ta vrednost je najqexe 2ili 5% od vrednosti prelazne funkcije u stacionarnom radnom reimu.

K - pojaqaǌe (poziciono) je graniqna vrednost prelazne funkcije g(t) objekta, ako ta gra-niqna vrednost postoji:

K = limt→+∞

g(t).

εs - statiqka grexka (poziciona) je graniqna vrednost grexke izlazne veliqine objekta,ako ta graniqna vrednost postoji:

εs = limt→+∞

ε(t).

Napomena: Svi prethodno definisani pokazateǉi kvaliteta prelaznog procesa su dati uodnosu na g(t), tj. kada je sistem pobuen jediniqnom odskoqnom funkcijom h(t). U sluqajuda je sistem pobuen odskoqnom funkcijom hα(t), gde je α 6= 1, onda treba imati u vidu da suvrednosti odziva gα(t), u bilo kom trenutku t, α puta vee od vrednosti g(t), tj.

gα(t) = αg(t), ∀t ∈ R.

U tom sluqaju je npr. pojaqaǌe, definisano u najopxtijem smislu sa:

K = limt→+∞

gα(t)hα(t)

= limt→+∞

gα(t)αh(t)

= limt→+∞

gα(t)α

= limt→+∞

αg(t)α

= limt→+∞

g(t),

jednako koliqniku vrednosti prelazne funkcije u beskonaqnosti i vrednosti odskoqne funk-cije u beskonaqnosti:

K =gα(+∞)hα(+∞)

=gα(+∞)

α.

3.3. Pokazateǉi kvaliteta prelazne funkcije upravǉanog objekta 31

Sliqne relacije vae i za ostale pokazateǉe. Zato, da ne bi doxlo do neeǉenih grexaka uodreivaǌu pojedinih pokazateǉa najjednostavniji naqin je da se gα(t) svede na g(t), deleǌemsa α.

Neupravǉani objekt ne moe sam po sebi da ostvari sve eǉene pokazateǉe. To je osnovnirazlog da se objekt upravǉa, odnosno da se on spregne sa upravǉaqkim sistemom u sistemautomatskog upravǉaǌa. Zadatak upravǉaqkog sistema, tj. upravǉaǌa je da svojim dejstvomna objekt primora taj objekt da ostvari zahtevane vrednosti svih navedenih pokazateǉa.

Primer 12Korixeǌe Matlaba za odreivaǌe pokazateǉa kvaliteta prelazne funkcije upravǉanogobjekta, moe da se ilustruje sledeim skriptom (Pokazatelji.m).

clear; pack; close all; clcdt = 0.001;t = 0:dt:6;% matematichki model objektanum = [0 0 12];den = conv([1 1+3*i], [1 1-3*i]);W = tf(num, den)% prelazna funkcija objekta[g, t] = step(W, t);pok = figure (1);set (pok, ’Position’, [100 100 600 300])plot (t, g);hold ongridxlabel (’t [s]’);ylabel (’g(t)’);

% vrednost izlaza u stacionarnom stanju - pojachanjeK = num(end)/den(end)plot([t(1) t(end)], [g(end) g(end)], ’g’);

% vreme usponar = 1;while g(r) < 1.*K;

r = r + 1;endvreme_uspona = t(r - 1)plot([t(r-1) t(r-1)], [g(1) g(r-1)], ’r’);text(t(r-1), g(1)-0.05*K, ’\tau_u’, ’Color’, ’r’)

% vreme smirenja za 2%r = length (t);while g(r) > 0.98*K & g(r) < 1.02*K;

r = r - 1;endvreme_smirenja = t(r - 1)plot([t(r-1) t(end)], [g(r-1) g(r-1)], ’r’);plot([t(r-1) t(r-1)], [g(1) g(r-1)], ’r’);text(t(r-1), g(1)-0.05*K, ’\tau_s’, ’Color’, ’r’)

% preskok[g_max, tp] = max(g);vreme_preskoka = t(tp - 1)preskok = g_max - Kplot([t(tp-1) t(tp-1)], [g(1) g(tp-1)], ’r’);text(t(tp-1), g(1)-0.05*K, ’\tau_d’, ’Color’, ’r’)


% statichka greshkaeps_s = 1 - K

Dobijeni rezulati su prikazani narednim linijama iz Matlab prozora i slikom 3.14.

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

t [s]

g(t)

τu

τs

τd

Slika 3.14. Prelazna funkcija objekta Wo(s) =12

s2 + 2s + 10.

Transfer function:12

--------------s^2 + 2 s + 10

K =1.2000

vreme_uspona =0.6300

vreme_smirenja =3.5340

vreme_preskoka =1.0460

preskok =0.4211

eps_s =-0.2000

Poglavǉe 4

Oblici matematiqkih modelasistema

4.1 Diferencijalna jednaqina ponaxaǌa

Posmatra se linearni stacionarni sistem sa slike 4.1, qije dinamiqko ponaxaǌe moe da se

SXu(t) Xi(t)

HH©©HH©©

Slika 4.1. Vixestruko prenosni sistema.

opixe linearnim nehomogenim diferencijalnim jednaqinama razliqitog reda. Meutim, zaprouqavaǌe dinamiqkih osobina sistema dovoǉno je poznavati odgovarajuu diferencijalnujednaqinu najnieg reda. Isto vai i za prouqavaǌe odziva sistema na poznatu promenuulazne veliqine i pri poznatim poqetnim uslovima.

Definicija 4.1.1 Diferencijalna jednaqina najnieg reda koja potpuno dinamiqkiopisuje sistem, tj. koja omoguava da se odrede vrednosti izlaza sistema i svih ǌegovihizvoda na intervalu [t0, +∞) za svaki poqetni trenutak t0 ∈ R, a pri poznatim poqetnimvrednostima (u trenutku t0) svih izvoda izlaza i pri poznatim vrednostima ulaza na is-tom intervalu [t0,+∞), je diferencijalna jednaqina ponaxaǌa tog sistema, ili kraejednaqina ponaxaǌa sistema.

Opxti oblik diferencijalne jednaqine ponaxaǌa jednostruko prenosnog sistema moe dase predstavi sledeom skalarnom nehomogenom diferencijalnom jednaqinom sa konstantnimkoeficijentima:

anX(n)i (t) + an−1X

(n−1)i (t) + . . . + a2Xi(t) + a1Xi(t) + a0Xi(t) =

= b0Xu(t) + b1Xu(t) + b2Xu(t) + . . . + bm−1X(m−1)u (t) + bmX(m)

u (t), (4.1)

pri qemu je n najvixi izvod izlazne veliqine, a m najvixi izvod ulazne veliqine i pritome mora da bude ispuǌeno m 6 n.

Jednaqina (4.1) moe da se napixe jednostavnije i krae kao

n∑

k=0

akX(k)i (t) =

m∑

k=0

bkX(k)u (t), m 6 n. (4.2)

33

34 Poglavǉe 4. Oblici matematiqkih modela sistema

U sluqaju vixestruko prenosnog sistema jednaqina (4.2) poprima svoj opxti oblik, kojimmoe da se opixe bilo koji linearni stacionarni sistem:

l∑

k=0

AkX(k)i (t) =

m∑

k=0

BkX(k)u (t), m 6 l, (4.3)

gde su A ∈ RN×N i B ∈ RN×M matrice sa konstantnim koeficijentima, a l i m najvixiizvodi koji se javǉaju meu izlaznim, odnosno ulaznim veliqinama.

Prethodna jednaqina ponaxaǌa je data u totalnim koordinatama i ona vai u svimuslovima rada sistema, samim tim vai i u nominalnim radnim uslovima, tj. za Xi(t) =Xiz(t) i Xu(t) = XuN (t):

l∑

k=0

AkX(k)iz (t) =

m∑

k=0

BkX(k)uN (t), m 6 l. (4.4)

Ako se od jednaqine (4.3) oduzme jednaqina (4.4), dobija se

l∑

k=0

Ak[Xi(t)−Xiz(t)](k) =m∑

k=0

Bk[Xu(t)−XuN (t)](k), m 6 l. (4.5)

Uvoeǌem oznaka

xi(t) = Xi(t)−Xiz(t), (4.6)

xu(t) = Xu(t)−XuN (t), (4.7)

koje predstavǉaju apsolutna odstupaǌe pojedinih veliqina od ǌihovih nominalnih vredno-sti, jednaqina (4.5) moe da se napixe u sledeem obliku:

l∑

k=0

Akx(k)i (t) =

m∑

k=0

Bkx(k)u (t), m 6 l (4.8)

i ta jednaqina predstavǉa najopxtiji oblik diferencijalne jednaqine ponaxaǌa, po odstu-paǌima, za linearne stacionarne sisteme. Uporeujui tu jednaqinu, (4.8), sa jednaqinomu totalnim koordinatama (4.3), zakǉuquje se da su one istoga reda, sa istim matriqnimkoeficijentima, tj. da za prouqavaǌe linearnih stacionarnih sistema mogu da se koriste,potpuno ravnopravno, matematiqki model u totalnim koordinatama, ili matematiqki mo-del po apsolutnim odstupaǌima. Osnovna razlika, koju treba i ovde istai, je da nultimodstupaǌima u (4.8) odgovaraju nominalne vrednosti u totalnim koordinatama u (4.3), tj.

xu(t) = 0u ⇔ Xu = XuN (t), (4.9)

xi(t) = 0i ⇔ Xi = Xiz(t). (4.10)

U narednim poglavǉima ova transformacija koordinata e da bude detaǉno objaxǌena.

Primer 13Neka su date skalarne diferencijalne jednaqine ponaxaǌa nekog vixestruko prenosnog sis-tema, koji ima dve izlazne i tri ulazne veliqine:

xi1(t) + 3xi2(t)− 4xi1(t) + 5xi1(t) = 2xu1(t)− 7xu3(t) + 4xu2(t), (4.11a)

xi1(t) + 3xi2(t) + 2xi1(t) + 8xi1(t) + 9xi2(t) = xu2(t) + 3xu3(t) + 6xu1(t). (4.11b)

Ako se usvoji xi(t) = (xi1(t) xi2(t))T i xu(t) = (xu1(t) xu2(t) xu3(t))

T , onda jednaqine (4.11) moguda se napixu u sledeem matriqnom obliku:

(1 01 3

)

︸︷︷︸A2

xi(t) +(−4 3

2 0

)

︸︷︷︸A1

xi(t) +(

5 08 9

)

︸︷︷︸A0

xi(t) =

=(

2 0 −70 1 3

)

︸︷︷︸B0

xu(t) +(

0 4 00 0 0

)

︸︷︷︸B1

xu(t) +(

0 0 06 0 0

)

︸︷︷︸B2

xu(t), (4.12)

4.2. Prenosna funkcija i prenosna matrica sistema 35

odnosno, za poznate matrice Ak i Bk, k = 0, 1, 2,

A2xi(t) + A1xi(t) + A0xi(t) = B0xu(t) + B1xu(t) + B2xu(t), (4.13)

tj. saeto2∑

k=0

Akx(k)i (t) =

2∑

k=0

Bkx(k)u (t). (4.14)

4.2 Prenosna funkcija i prenosna matrica sistemaZa odreivaǌe odziva sistema potrebno je rexiti diferencijalnu jednaqinu ponaxaǌa,kojom je taj sistem opisan. Rexavaǌe linearnih nehomogenih diferencijalnih jednaqina sakonstantnim koeficijentima, koje opisuju sisteme koji se ovde prouqavaju, moe jednostavnoda se izvede primenom Laplasovih transformacija.

4.2.1 Laplasova transformacijaLaplasova transformacija omoguava jednostavan prelazak iz vremenskog domena u kom-pleksni domen, u kome se funkcije poput sinusne, kosinusne, eksponencijalne, ..., prevodeu algebarske funkcije kompleksne promenǉive s. Operacije kao xto su diferencijaǉeǌei integraǉeǌe zameǌuju se algebarskim operacijama u kompleksnoj ravni. To znaqi da sediferencijalne jednaqine prevode u algebarske jednaqine kompleksne promenǉive s. Rexe-ǌa tih jednaqina u funkciji promenǉive s lako se prevode u vremenski domen (inverznaLaplasova transformacija), korixeǌem tablica Laplasove transformacije ili odreiva-ǌem rezidijuma i razlagaǌem rexeǌa na elementarne tabliqne funkcije.

Osim toga, primena Laplasove transformacije na diferencijalnu jednaqinu ponaxaǌadovodi do pojma prenosne funkcije sistema, koji ima fundamentalni znaqaj jer omoguavada se analiza dinamiqkog ponaxaǌa sistema izvrxi u kompleksnom i uqestanosnom domenu.

Laplasova transformacija je definisana na sledei naqin.

Definicija 4.2.1 Ako postoje graniqne vrednosti funkcije x(t)

limα→0±

∫ +∞

α

x(t)e−stdt, (4.15)

onda su one:• leva Laplasova transformacija funkcije x(t):

L− x(t) = X−(s) =∫ +∞

0−x(t)e−stdt, (4.16)

• desna Laplasova transformacija funkcije x(t):

L+ x(t) = X+(s) =∫ +∞

0+x(t)e−stdt. (4.17)

Ako je X−(s) = X+(s), onda funkcija x(t) ima Laplasovu transformaciju, u oznaci

Lx(t) = X(s) =∫ +∞

0

x(t)e−stdt. (4.18)

Funkcija x(t) moe da ima razliqitu levu i desnu Laplasovu transformaciju, u sluqajuda ta funkcija ima prekid u nuli. Jediniqna odskoqna funkcija ima prekid prve vrste unuli, tj.

h(0−) = 0, h(0+) = 1.

Za funkciju koja ima prekid prve vrste u taqki τ se usvaja da joj je vrednost u taqki prekidajednaka vrednosti u τ+. To znaqi da definicija Hevisajdove funkcije moe da se prikaekao

h(t) =

0, t < 0,

1, t > 0,


pa su ǌoj leva i desna Laplasova transformacija jednake.Dirakova, jediniqna impulsna, funkcija sadri prekid druge vrste u trenutku t = 0 i

ǌene vrednosti su:δ(0−) = +∞, δ(0+) = 0.

To znaqi da ǌena leva Laplasova transformacija (koja je jednaka jedinici) i desnaLaplasova transformacija (koja je nula) nisu jednake.

Kompleksna promenǉiva s moe da se prikae kao

s = σ + jω, (4.19)

gde su: σ realni deo broja s, σ = Res, a ω ǌegov imaginarni deo, ω = Ims, dok je j imaginarnajedinica j =

√−1, slika 4.2.

6

-Res

r

jIms

s

σ

ω

s-ravan

Slika 4.2. Kompleksna ravan, s-ravan.

Primer 14Potraimo Laplasovu transformaciju funkcije x(t) = e−2th(t), po definiciji:

X(s) =∫ +∞

0

e−2te−stdt =∫ +∞

0

e−(s+2)tdt =

= − 1s + 2

e−(s+2)t

∣∣∣∣+∞

0

= − 1s + 2

(e−∞ − e0

)=

1s + 2

. (4.20)

Odreivaǌe ovog kompleksnog lika moe da se dobije i na bazi tablica Laplasovihtransformacija, ili korixeǌem Matlaba i ǌegovog simboliqkog paketa. Sledei skript(Laplas.m) ilustruje taj postupak,

clear; pack; clcsyms x tx = exp(-2*t);X = laplace(x)

a dobijeni rezultat je:X =1/(s+2)

Neke osobine Laplasove transformacije, koje e da budu korixene u narednim izla-gaǌima su:

• to je linearni operator, tj. za ǌega vai zakon superpozicije:

Lα1x1(t) + α2x2(t) = α1Lx1(t)+ α2Lx2(t) . (4.21)

• Ako je funkcija x(t) k-puta diferencijabilna onda je Laplasova transformacija k-togizvoda te funkcije:

L

x(k)(t)

= skLx(t) −k∑

i=1

si−1x(k−i)(0). (4.22)

• Ako je funkcija x(t) integrabilna i∫ 0+

0− x(t)dt = 0, onda je:

L∫ t

0

x(t)dτ

=

1sLx(t) . (4.23)


Treba istai jednu izuzetno znaqajnu teoremu, tzv. drugu graniqnu teoremu Laplasa.

Teorema 4.2.1 Druga graniqna teorema Laplasa. Ako postoji graniqna vrednost

x(+∞) = limt→+∞

x(t) (4.24)

onda postoji i sledea graniqna vrednost

lims→0

sX(s) (4.25)

i tada su te dve graniqne vrednosti jednake.

x(+∞) = limt→+∞

x(t) = lims→0

sX(s).

Ova teorema omoguava da se graniqna vrednost, vremenskog signala x(t), za t = +∞izraqunava u s domenu na osnovu poznavaǌa ǌegovog kompleksnog lika X(s), bez prelaeǌau vremenski domen. Jedino ograniqeǌe za primenu ove teoreme u s domenu je uslov (4.24),koji je definisan u vremenskom domenu.Napomena: Ako je ispuǌen uslov (4.25) to ne garantuje ispuǌenost uslova (4.24).

Npr. ako bi se formalno primenila druga graniqna teorema Laplasa na kompleksni lik

X(s) =1

s(s− 1)

dobilo bi sex(+∞) = lim

s→0sX(s) = lim

s→0s

1s(s− 1)

= lims→0

1(s− 1)

= −1. (4.26)

Matematiqki, kvantitativno, ovo je potpuno ispravno, ali se kvalitativno, iskaz drugegraniqne teoreme Laplasa potupuno naruxava! To moe da se pokae kada se od datog kom-pleksnog lika pronae odgovarajui vremenski lik. Inverzna Laplasova transformacijaod datog kompleksnog lika je:

x(t) = L−1

1

s(s− 1)

= L−1

1

s− 1− 1

s

= (et − 1)h(t),

xto znaqi da jex(+∞) = lim

t→+∞(et − 1)h(t) = +∞. (4.27)

Pomou Matlabove funkcije ilaplace moe da se dobije isti rezultat, skript InvLaplas.m:clear; pack; clcsyms s X[r, p, k] = residue([1], [0 1 -1 0])X = 0;if length(k)

for i=1:length(k)X = X + k(i)*s^(length(k)-i)

endendfor i=1:length(r)

X = X + r(i)/(s-p(i))endilaplace(X)

Oqigledno je da se (4.26) i (4.27) suxtinski razlikuju. Samim tim u kompleksnom domenuispuǌenost uslova (4.25) ne omoguava primenu graniqne teoreme. Uslov koji mora da seproveri u s domenu pre nego xto se primeni druga graniqna teorema Laplasa moe da seiskae na sledei naqin.

Uvedimo racionalnu funkciju Y (s) = sX(s) i sa p(s) oznaqimo ǌen polinom u brojiocu,a sa q(s) polinom u imeniocu

Y (s) =p(s)q(s)

.


Pri tome je Y (s) nedegenerativna funkcija, xto znaqi da je izvrxeno skraivaǌesvih meusobno jednakih korenova polinoma p(s) i q(s). Da bi mogle da se primenegraniqne teoreme Laplasa, qiji su uslovi oblika

lims→α

sX(s) = lims→α

Y (s) = lims→α

p(s)q(s)

,

gde je α ili 0 ili +∞, realni delovi svih korenova polinoma q(s) moraju dabudu negativni, tj.

Res∗i [q(s)] < 0, ∀i = 1, 2, . . . , µ, (4.28)

pri qemu µ predstavǉa broj razliqitih korenova polinoma q(s).

Ako uslov (4.28) nije ispuǌen onda ne moe da se primeni druga graniqna teorema,a to znaqi da u vremenskom domenu ne postoji graniqna vrednost (vremenski lik je ilioscilatoran ili divergira ka beskonaqnosti).

Ako se razmatra realna racionalna funkcija X(s) oblika

X(s) =p(s)q(s)

=

m∑

k=0

bksk

n∑

k=0

aksk

onda su korenovi polinoma u brojiocu nule, a u imeniocu polovi.

Definicija 4.2.2 Broj s je ograniqena nula funkcije X(s), u oznaci s0, ako i samo akoje taj broj s koren polinoma p(s), u brojiocu funkcije X(s). Ako funkcija X(s) ima vixeograniqenih nula, npr. η, one se oznaqavaju sa: s0

1, s02, . . . , s

0η. Vixestrukost k-te nule se

oznaqava sa ν0k pri qemu je

ν01 + ν0

2 + . . . + ν0η = m.

Definicija 4.2.3 Broj s je ograniqeni pol funkcije X(s), u oznaci s∗, ako i samo akoje taj broj s koren polinoma q(s), u imeniocu funkcije X(s). Ako funkcija X(s) ima vixeograniqenih polova, npr. µ, one se oznaqavaju sa: s∗1, s

∗2, . . . , s

∗µ. Vixestrukost k-tog pola se

oznaqava sa ν∗k pri qemu jeν∗1 + ν∗2 + . . . + ν∗µ = n.

Ako je X(s) racionalna funkcija s polinomom u brojiocu stepena m, i s polinomom u ime-niocu stepena n, onda ona ima onoliko nula u beskonaqnosti s0 = +∞, kolika je razlikan−m. Pri tome se pretpostavǉa da je m 6 n, xto povlaqi da X(s) nema polova u beskonaq-nosti.

Primer 15Odrediti nule i polove sledee kompleksne funkcije:

X(s) =s2 + 4s + 3

s4 + 2s3 − 2s2 + 8.

Izvrxeǌem sledeeg skripta (PolNula.m)clear; pack; clcbrojilac = [1 4 3];imenilac = [1 2 -2 0 8];nule = roots (brojilac)polovi = roots (imenilac)

dobijaju se rezultati u obliku

nule =-3-1


polovi =-2.0000-2.00001.0000 + 1.0000i1.0000 - 1.0000i

Zakǉuquje se da postoje dve ograniqene jednostruke nule (m = 2, η = 2) s01 = −3 i s0

2 = −1 idve neograniqene nule s0

3,4 = +∞. Postoje i qetiri pola n = 4, od kojih su tri razliqitaµ = 3, tj. prvi pol s∗1 = −2 je dvostruk (vixestrukosti dva) ν∗1 = 2, a polovi s∗2,3 = 1 ± j sujednostruki.

Odreivaǌe vremenskog lika x(t) na osnovu kompleksnog lika, u obliku realneracionalne funkcije X(s), najlakxe je sprovesti rastavǉaǌem funkcije X(s) na zbir jednos-tavnijih funkcija, qije se Laplasove transformacije nalaze u tablici. Ovaj postupak zav-isi samo od vixestrukosti polova i jednog je oblika za jednostruke, a drugog za vixestrukepolove. Da bi se oba postupka prikazala zajedno, polazi se od toga da su svi polovi funk-cije X(s) osim k-tog jednostruki, a k-ti pol je vixestrukosti ν∗k . Tada se rastavǉaǌesame funkcije na zbir jednostavnijih funkcija, tzv. Hevisajdov razvoj, moe prikazati nasledei naqin:

X(s) =p(s)q(s)

= R0+R1

s− s∗1+

R2

s− s∗2+. . .+

Rk1

s− s∗k+

Rk2

(s− s∗k)2+ . . . +

Rkν∗k

(s− s∗k)ν∗k+. . .+

Rµ

s− s∗µ, (4.29)

pri qemu su R1, R2, Rµ, Rk1, Rk2, Rkν∗k rezidijumi (ostaci) funkcije X(s) u ǌenim polovima,a R0 vrednost kompleksnog lika u beskonaqnosti, R0 = X(+∞).

Vrednosti rezidijuma se izraqunavaju na poznati naqin• rezidijum funkcije X(s) u ǌenom jednostrukom polu s∗i :

Ri =p(s)q′(s)

∣∣∣∣s=s∗i

, q′(s) =d

dsq(s), (4.30)

• rezidijumi funkcije X(s) u ǌenom vixestrukom polu s∗k:

Rkj =1

(ν∗k − j)!dν∗k−j

dsν∗k−j

[(s− s∗k)ν∗k

p(s)q(s)

] ∣∣∣∣s=s∗k

, j ∈ 1, 2, . . . , ν∗k. (4.31)

Svaki sabirak Hevisajdovog razvoja je tabliqni sluqaj inverzne Laplasove transforma-cije, pa se polazei od kompleksnog lika (4.29) jednostavno dobija vremenski lik:

x(t) = R0δ(t) +µ∑

i=1i 6=k

Ries∗i th(t) +

ν∗k∑

j=1

Rkjtj−1

(j − 1)!es∗kth(t). (4.32)

Primer 16Nastavimo sa prethodnim primerom. Unoxeǌem sledee komandne linije u Matlab>> [r, p, k] = residue (brojilac, imenilac)dobijaju se naredne linije (vektor rezidijuma r, vektor sa polovima p):

r =-0.0600-0.10000.0300 - 0.4600i0.0300 + 0.4600i

p =-2.0000-2.00001.0000 + 1.0000i1.0000 - 1.0000i

k =[]


Sada moe da se napixe razvijeni oblik od X(s)

X(s) = − 0, 06s + 2

− 0, 1(s + 2)2

+0, 03− j0, 46s− (1 + j)

+0, 03 + j0, 46s− (1− j)

.

odakle se prema (4.32) dobija

x(t) =[−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + (0, 03− j0, 46)e(1+j)t + (0, 03 + j0, 46)e(1−j)t

]h(t) =

=−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + et

[(0, 03− j0, 46)ejt + (0, 03 + j0, 46)e−jt

]h(t)

=−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + et

[0, 03(ejt + e−jt) + j0, 46(e−jt − ejt)

]h(t)

=−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + et

[0, 06

ejt + e−jt

2+ 0, 92

ejt − e−jt

2j

]h(t)

=[−0, 06e−2t − 0, 1te−2t + et (0, 06 cos t + 0, 92 sin t)

]h(t).

4.2.2 Prenosna funkcija sistema

Prenosna funkcija sistema je jedan od osnovnih pojmova vezanih za linearne stacionarnesisteme sa usredsreenim parametrima. Ona omoguava analizu dinamiqkih osobina sis-tema u kompleksnom domenu, xto u mnogim sluqajevima predstavǉa najefikasniji i najjed-nostavniji pristup za rexavaǌe problema takvih sistema.

Razmatra se vixestruko prenosni sistem sa slike 4.1, qiji matematiqki model je de-finisan diferencijalnom jednaqinom ponaxaǌa (4.3), odnosno (4.8). Zbog jednostavnostiizlagaǌa uoqava se proizvoǉna ulazna veliqina Xuk, k ∈ 1, 2, . . . , M, i proizvoǉna izlaznaveliqina Xiq, q ∈ 1, 2, . . . , N, slika 4.3.

S- -Xuk Xiq

Slika 4.3. Sistem.

Definicija 4.2.4 (q, k)-ta prenosna funkcija sistema S, u oznaci Wqk(s), je koliqniklevih Laplasovih transformacija q-te izlazne veliqine Xiq i k-te ulazne veliqine Xuk,

Wqk(s) =L−Xiq(t)L−Xuk(t) =

X−iq(s)

X−uk(s)

, (4.33)

pri svim poqetnim uslovima jednakim nuli

X(j)i = 0i, ∀j = 0, 1, . . . , l − 1 (4.34)

X(j)u = 0u, ∀j = 0, 1, . . . ,m− 1 (4.35)

i pri svim ulaznim veliqinama jednakim nuli osim k-te

Xuj = 0, ∀(j 6= k) = 1, 2, . . . M.

Na osnovu (4.33) sledi da je promena vrednosti izlazne veliqine Xiq, pri nultim poqet-nim uslovima, nastala usled dejstva samo k-te ulazne veliqine Xuk, opisana sa:

Xiq(s) = Wqk(s)Xuk(s).

U sluqaju da na sistem deluju i druge ulazne veliqine, onda se korixeǌem zakona super-pozicije lako dolazi do:

Xiq(s) = Wq1(s)Xu1(s) + Wq2(s)Xu2(s) + . . . + Wqk(s)Xuk(s) + . . . + WqM (s)XuM (s).


Budui da je veliqina Xiq proizvoǉno izabrana, onda prethodno izloeno vai za bilokoje q ∈ 1, 2, . . . , N, pa samim tim mogu da se napixu sledee jednaqine:

Xi1(s) = W11(s)Xu1(s) + W12(s)Xu2(s) + . . . + W1k(s)Xuk(s) + . . . + W1M (s)XuM (s)Xi2(s) = W21(s)Xu1(s) + W22(s)Xu2(s) + . . . + W2k(s)Xuk(s) + . . . + W2M (s)XuM (s)

...

Xiq(s) = Wq1(s)Xu1(s) + Wq2(s)Xu2(s) + . . . + Wqk(s)Xuk(s) + . . . + WqM (s)XuM (s)...

XiN (s) = WN1(s)Xu1(s) + WN2(s)Xu2(s) + . . . + WNk(s)Xuk(s) + . . . + WNM (s)XuM (s).

Taj sistem jednaqina, uvoeǌem matrice

W(s) =

W11(s) W12(s) . . . W1k(s) . . . W1M (s)W21(s) W22(s) . . . W2k(s) . . . W2M (s)

...Wq1(s) Wq2(s) . . . Wqk(s) . . . WqM (s)

...WN1(s) WN2(s) . . . WNk(s) . . . WNM (s)

(4.36)

moe saeto da se napixe u obliku

Xi(s) = W(s)Xu(s), (4.37)

xto znqi da je N ×M prenosnih funkcija sistema S saeto u jednu matricu. Matrica W(s)opisana sa (4.36) naziva se prenosna matrica sistema i definixe se na sledei naqin.

Definicija 4.2.5 Prenosna matrica sistema je N×M matriqna funkcija, qiji je (q, k)-tielement (q, k)-ta prenosna funkcija sistema Wqk(s) i oznaqava se sa W(s).

4.2.3 Prenosna matrica i odziv sistemaKao xto je ve napomenuto rexavaǌe diferencijalne jednaqine ponaxaǌa oblika (4.8)

l∑

k=0

Akx(k)i (t) =

m∑

k=0

Bkx(k)u (t), m 6 l, (4.38)

znaqajno je jednostavnije izvesti u kompleksnom domenu. Ilustrujmo to rexavaǌem ovejednaqine, tj. odreivaǌem odziva xi(t). Potraiemo opxte rexeǌe ove jednaqine, zaproizvoǉne poqetne uslove i proizvoǉnu promenu ulaza.

Primenom Laplasovog operatora na jednaqinu (4.38) dobija se

L

l∑

k=0

Akx(k)i (t)

= L

m∑

k=0

Bkx(k)u (t)

. (4.39)

Kako je Laplasova transformacija linearni operator onda vai

l∑

k=0

AkLx(k)

i (t)

=m∑

k=0

BkLx(k)

u (t)

. (4.40)

Korixeǌem osobine Laplasove transformacije Lx(k)(t)

= skLx(t) −∑k

j=1 sj−1x(k−j)(0),prethodna jednaqina postaje:

l∑

k=0

Ak

skXi(s)−

k∑

j=1

sj−1x(k−j)i (0)

=

m∑

k=0

Bk

skXu(s)−

k∑

j=1

sj−1x(k−j)u (0)

, (4.41)


odnosnol∑

k=0

AkskXi(s) =m∑

k=0

BkskXu(s)−m∑

k=0

k∑

j=1

Bksj−1x(k−j)u (0) +

l∑

k=0

k∑

j=1

Aksj−1x(k−j)i (0). (4.42)

Budui da je Ak ∈ RN×N , ∀k = 1, 2, . . . , l onda je∑l

k=0 Aksk ∈ RN×N kvadratna matriqna

funkcija kompleksne promenǉive s, qija je inverzna vrednost(∑l

k=0 Aksk)−1

. Ako se (4.42)

pomnoi inverznom matriqom funkcijom(∑l

k=0 Aksk)−1

, s leve strane, dobija se rexeǌe ukompleksnom domenu:

Xi(s) =

(l∑

k=0

Aksk

)−1 m∑

k=0

BkskXu(s)+

+

(l∑

k=0

Aksk

)−1

l∑

k=0

k∑

j=1

Aksj−1x(k−j)i (0)−

m∑

k=0

k∑

j=1

Bksj−1x(k−j)u (0)

. (4.43)

Prvi sabirak u rexeǌu predstavǉa odziv izazvan ulazom Xu(s) pri nultim poqetnimuslovima, a drugi sabirak prikazuje uticaj poqetnih uslova na odziv sistema.

U sluqaju da su svi poqetni uslovi nultih vrednosti (4.43) poprima svoj posebni oblik

Xi(s) =

(l∑

k=0

Aksk

)−1 m∑

k=0

Bksk

︸︷︷︸W(s)

Xu(s), (4.44)

xto znaqi da je veza izmeu diferencijalne jednaqine ponaxaǌa i prenosne matrice oblika

W(s) =

(l∑

k=0

Aksk

)−1 m∑

k=0

Bksk. (4.45)

Ova jednaqina pokazuje da je prenosna matrica dinamiqka osobina sistema i da ne zavisiod vrednosti i karaktera ulaza Xu(s), odreena je samo matricama Ak i Bk.

U sluqaju jednostruko prenosnog sistema opisanog sa (4.2), prethodna jednaqina (4.45)predstavǉa jedinu prenosnu funkciju tog sistema

W (s) =

m∑

k=0

bksk

l∑

k=0

aksk

. (4.46)

Primer 17Razmotrimo jednostavni objekt prikazan na slici 4.4. On predstavǉa telo mase M koje jeoprugom, krutosti k, i hidrauliqnim priguxivaqem, koeficijenta priguxeǌa b, zakaqenoza nepokretni oslonac. Treǌe izmeu toqkova i podloge je zanemarivo malo. Jedina ulaznaveliqina objekta je sila F . Matematiqki model objekta moe da se prikae sledeom difer-encijalnom jednaqinom ponaxaǌa:

Mxi(t) + bxi(t) + kxi(t) = F (t), (4.47)

a primenom Laplasove transformacije (pri nultim poqetnim uslovima: poqetno izdueǌeopruge i poqetna brzina su nultih vrednosti) dobija se:

Ms2Xi(s) + bsXi(s) + kXi(s) = F (s). (4.48)

Prenosna funkcija objekta je samim tim

W (s) =Xi(s)F (s)

=1

Ms2 + bs + k. (4.49)


MF

xi

b

k

Slika 4.4. Objekt: masa sa oprugom i priguxeǌem.

4.2.4 Fiziqko tumaqeǌe i eksperimentalno odreivaǌe prenosne funk-cije sistema

Posmatra se (q, k)-ta prenosna funkcija Wqk(s) nekog vixestruko prenosnog sistema. Zbogjednostavnosti izlagaǌa oznaqimo tu prenosnu funkciju sa W (s), a k-tu ulaznu veliqinu saXu i q-tu izlaznu veliqinu sa Xi. Tada moe da se napixe

W (s) =Xi(s)Xu(s)

,

odnosnoXi(s) = W (s)Xu(s).

Prenosna funkcija sistema opisuje zakon, u kompleksnom domenu kompleksne promenǉive s, pokome sistem dejstvo ulazne veliqine prenosi na izlaznu veliqinu.

Ako na sistem deluje ulazna veliqina qija je vrednost jednaka jediniqnoj impulsnojfunkciji xu(t) = δ(t), onda se impulsni odziv xi(t) = i(t) lako odreuje u kompleksnom domenu

L− i(t) = W (s)L− δ(t) .

S obzirom da je leva Laplasova transformacija Dirakove funkcije jednaka jediniciL− δ(t) = 1, onda prethodna jednaqina postaje

L− i(t) = W (s),

pa zakǉuqujemo sledee:W (s) = L− i(t) .

Prenosna funkcija sistema predstavǉa levu Laplasovu transformaciju ǌegovog jediniqnog im-pulsnog odziva pri nultim poqetnim uslovima

W (s) =∫ +∞

0−i(t)e−stdt. (4.50)

Primer 18Eksperimentalni rezulati e ovde biti zameǌeni simulacijom, ali je postupak istovetanonome koji bi koristio eksperimentalno snimǉeni impulsni odziv. Poimo od prenosnefunkcije

W (s) =2

s3 + 2s2 + 3s + 2. (4.51)

Nakon izvrxeǌa naredbe

impulse(tf([2], [1 2 3 2])); grid

dobijen je impulsni odziv sistema (4.51), prikazan na slici 4.5.Sledei program identifikuje prenosnu funkciju sistema minimizovaǌem kvadrata gre-

xke izmeu eksperimentalno snimǉenih i teorijski izraqunatih impulsnih odziva sistema.Identifikujmo prenosnu funkciju (4.51) na bazi impulsnog odziva sa slike 4.5 (kao da jeto eksperimentalno snimǉeno, a (4.51) nepoznato), skript Eksp impuls.m.


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Impulse Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Slika 4.5. Impulsni odziv sistema.

close all, clear, pack, clc

% eksperimentalni podaciW_eks = tf([2], [1 2 3 2]);[i_eks, t_eks] = impulse(W_eks);

% struktura sistemanum = [1];den = [1 1 1 1];m = length(num);

X = [num den];t = 0:0.001:t_eks(end);i = interp1(t_eks, i_eks, t, ’linear’);t = t’;i = i’;

X1 = fminsearch(’impfit’, X, [], t, i, m);X1(find(X1 < 0.001)) = 0;X1 = X1/X1(m+1)W_fit = tf(X1(1:m), X1(m+1:end))

Funkcija koja raquna kvadrat grexke data je sledeim skriptom, impfit.m

function e = impfit(X, t, i, m)

W = tf(X(1:m), X(m+1:end));i_fit = impulse(W, t);

e = sum((i_fit - i).^2);

plot(t, i_fit, t, i)legend(’fitovano’, ’eksperiment’)pause(0.001)

Na osnovu informacija sa slike 4.5, moe da se zakǉuqi da nepoznati sistem ima parkoǌugovano kompleksnih polova zbog oscilatornog karaktera impulsnog odziva, kao i daje proporcionalnog tipa dejstva, poxto impulsni odziv u stacionarnom staǌu konvergiranultoj vrednosti. Prethodni zakǉuqci dozvoǉavaju da se utvrdi struktura (red i tipdejstva) prenosne funkcije koja se identifikuje, odnosno definixe inicijalno pogaaǌeparametara u modelu.

4.3. Blok dijagram sistema 45

0 2 4 6 8 10−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8fitovanoeksperiment

Slika 4.6. Poqetak identifikacije prenosne funkcije.

Na slici 4.6 je prikazano poqetno pogaaǌe, a na slici 4.7 sam kraj identifikacijeprenosne fukcije. Rezultat navedenog programa koji je Matlab ispisao je dat u nastavku.

0 2 4 6 8 10−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6fitovanoeksperiment

Slika 4.7. Kraj identifikacije prenosne fukcije.

Transfer function:1.999

---------------------s^3 + 2 s^2 + 3 s + 2

Uporeujui poqetnu i dobijenu prenosnu funkciju

W (s) =2

s3 + 2s2 + 3s + 2i W (s) =

1.999s3 + 2s2 + 3s + 2

, (4.52)

oqigledno je da je poqetna prenosna funkcija (4.51) uspexno identifikovana.

4.3 Blok dijagram sistemaBlok dijagram sistema sadri sve informacije o strukturi sistema koju sadri ǌegovstrukturni dijagram, i sve informacije o dinamiqkim osobinama sistema koje sadri ǌe-gova jednaqina ponaxaǌa.

Definicija 4.3.1 Blok dijagram sistema je ǌegov strukturni dijagram u kome je svakipodsistem predstavǉen svojom prenosnom matricom, a svaka veliqina svojom Laplasovomtransformacijom.


Blok dijagram sjediǌuje informacije o sistemu koje se o ǌemu dobijaju iz ǌegovog struk-turnog dijagrama i jednaqine ponaxaǌa, a pod uslovom da se u prenosnim matricama pod-sistema ne izvrxava skraivaǌe jednakih nula i polova, tj. da se one ne dovode na svojnedegenerativni oblik. Ako se izvrxi skraivaǌe, onda blok dijagaram sjediǌuje infor-macije o strukturi sistema sa informacijama samo o ǌegovom impulsnom odzivu pri nultimpoqetnim uslovima.

4.3.1 Ekvivalentni blok dijagrami za osnovne sprege

Blok dijagram omoguava odreivaǌe ekvivalentnih sistema u pogledu ǌihovog dinamiq-kog ponaxaǌa i ako su razliqitih struktura. Time se postie bitno uproxavaǌe priprouqavaǌu sistema.

Definicija 4.3.2 Dva blok dijagrama su ekvivalentna ako i samo ako su jednaqine po-naxaǌa iz ǌih dobijene meusobno identiqne.

Redna sprega

Na slici 4.8 su prikazana dva podsistema, qije su prenosne matrice W1(s) i W2(s).

HH©©HH©©

HH©©

W(s)

Xu(s) Xi1(s) Xi(s)W1(s) W2(s)

Slika 4.8. Blok dijagram redne sprege.

Za odreivaǌe ekvivalentnog blok dijagrama se polazi od osnovne osobine prenosne ma-trice: izlaz iz nekog podsistema (pri nultim poqetnim uslovima) jednak je proizvodu pre-nosne matrice tog sistema i ulaza koji na ǌega deluje.

Xi(s) = W(s)Xu(s).

U sluqaju redne sprege moemo da napixemo dve takve jednaqine. Za podsistem qija jeprenosna funkcija W2(s), ulaz Xi1(s) i izlaz Xi(s), vai:

Xi(s) = W2(s)Xi1(s), (4.53)

a za podsistem prenosne funkcije W1(s) se analogno dobija:

Xi1(s) = W1(s)Xu(s). (4.54)

Kombinacijom posledǌe dve jednaqine i eliminacijom promenǉive Xi1(s) dolazi se do

Xi(s) = W2(s)Xi1(s) = W2(s)W1(s) Xu(s), (4.55)

odnosno

Xi(s) = W(s)Xu(s), (4.56)

pri qemu je prenosna matrica redne sprege odreena sa

W(s) = W2(s)W1(s), (4.57)

a ekvivalentni blok dijagram je prikazan na slici 4.9. Treba obratiti paǌu da je redosledmnoeǌa prenosnih matrica suprotan smeru prenosa signala.

4.3. Blok dijagram sistema 47

aa!!Xu(s)

aa!!Xi(s)

W2(s)W1(s)

Slika 4.9. Ekvivalentni blok dijagram blok dijagramu sa slike 4.8.

HH©©

±°²¯¢¢AA

©©HH

AA¢¢

HH©©Xu(s) Xi(s) = Xi1(s)±Xi2(s)

Xu1(s)

Xu2(s)

Xi1(s)

Xi2(s)

±

W(s)

W1(s)

W2(s)

Slika 4.10. Blok dijagram paralelne sprege.

Paralelna sprega

U sluqaju paralelne sprege, slika 4.10, moemo da napixemo sledee jednaqine:

Xi(s) = Xi1(s)±Xi2(s), (4.58)

Xi1(s) = W1(s)Xu1(s) = W1(s)Xu(s), (4.59)

Xi2(s) = W2(s)Xu2(s) = W2(s)Xu(s). (4.60)

Ako se Xi1(s) iz (4.59) i Xi2(s) iz (4.60) uvrste u (4.58) proizilazi

Xi(s) = W1(s)Xu(s)±W2(s)Xu(s) = [W1(s)±W2(s)] Xu(s). (4.61)

To znaqi da je prenosna matrica paralelne sprege

W(s) = W1(s)±W2(s), (4.62)

a ekvivalentni blok dijagram oblika sa slike 4.11.

aa!!Xu(s)

aa!!Xi(s)

W1(s)±W2(s)


Povratna sprega

Na slici 4.12 je prikazan blok dijagram povratno spregnutih sistema, qije su prenosnematrice W1(s) i W2(s).

Na osnovu slike 4.12 mogu da se napixu sledee jednaqine.

Xi(s) = W1(s)Xu1(s), (4.63)

Xu1(s) = Xu(s)±Xi2(s), (4.64)

Xi2(s) = W2(s)Xu2(s) = W2(s)Xi(s). (4.65)


±°²¯

±

Xu(s)Xu1(s) == Xu(s)±Xi2(s) Xi1(s) Xi(s)

Xu2(s)Xi2(s)

W(s)

W1(s)

W2(s)

Slika 4.12. Blok dijagram povratne sprege.

Uvrstimo (4.65) u (4.64)

Xu1(s) = Xu(s)±W2(s)Xi(s), (4.66)

a onda (4.66) u jednaqinu (4.63)

Xi(s) = W1(s) [Xu(s)±W2(s)Xi(s)] = W1(s)Xu(s)±W1(s)W2(s)Xi(s). (4.67)

Iz te jednaqine se dobija

Xi(s)∓W1(s)W2(s)Xi(s) = W1(s)Xu(s), (4.68)

tj.[I∓W1(s)W2(s)]Xi(s) = W1(s)Xu(s). (4.69)

Mnoeǌem prethodne jednaqine, sa leve strane, sa [I∓W1(s)W2(s)]−1 dobija se

Xi(s) = [I∓W1(s)W2(s)]−1 W1(s) Xu(s), (4.70)

pa je prenosna matrica povratne sprege

W(s) = [I∓W1(s)W2(s)]−1 W1(s), (4.71)

a ekvivalentni blok dijagram je prikazan na slici 4.13

aa!!Xu(s)

aa!!Xi(s)

[I∓W1(s)W2(s)]−1 W1(s)


U posebnom, skalarnom, sluqaju prenosna funkcija povratne sprege sa slike 4.12, moeda se napixe u obliku:

W (s) =Xi(s)Xu(s)

=W1(s)

1∓W1(s)W2(s),

odnosno, uzimajui u obzir da je Wok(s) = W1(s)W2(s)

W (s) =W1(s)

1∓Wok(s).

Primer 19Na slici 4.14 je prikazan SAR koji ima dva ulaza Xiz i Z i izlaz Xi. Samim tim mogu dase definixu dve prenosne matrice sistema: u odnosu na eǉeni ulaz WXiz (s) i u odnosu naporemeaj WZ(s).

4.4. Uqestanosna karakteristika i uqestanosna matrica sistema 49

¯

¯

aaaaaaaaaa aa aaLL

LL

!!!!!!!!!! !! !!±°²¯

±°²¯

!!aa

LL¯

Xiz(s)

Z(s)

Xi(s)Y(s)

O

R

W1(s) W2(s) W3(s)

W4(s)

W5(s)

W6(s)

Slika 4.14. Blok dijagram SAR-a.

Te prenosne matrice se lako izraqunavaju i oblika su:

WXiz (s) = [I + W5(s)W3(s)W2(s)W6(s)]−1 W5(s)W3(s)W2(s)W1(s)

WZ(s) = [I + W5(s)W3(s)W2(s)W6(s)]−1 W5(s)W4(s),

a izlaz Xi(s) je odreen sa

Xi(s) =(WXiz (s) WZ(s)

) (Xiz(s)Z(s)

)

Ako su na slici 4.14 sve veliqine skalarne, onda je

Xi(s) =W1(s)W2(s)W3(s)W5(s)

1 + Wok(s)︸︷︷︸WXiz

(s)

Xiz(s) +W4(s)W5(s)1 + Wok(s)︸︷︷︸

Wz(s)

Z(s),

pri qemu jeWok(s) = W2(s)W3(s)W5(s)W6(s).

4.4 Uqestanosna karakteristika i uqestanosna matricasistema

Za analizu dinamiqkih osobina sistema veliki znaqaj ima Furijeova transformacija.ǋenom primenom se omoguava analiza sistema u uqestanosnom (frekventnom) domenu naosnovu ǌegove uqestanosne (frekventne) karaktetristike. Ovakav pristup prouqavaǌu sis-tema je naxao vrlo veliku primenu u tehnici zato xto se za mnoge sisteme ǌihove uqestano-sne karakteristike mogu eksperimentalno odrediti. Xta vixe, uqestanosna karakteristikastrukturno sloenog sistema moe da se odredi na osnovu poznavaǌa uqestanosne karakteri-stike svih ǌegovih podsistema, koje mogu da budu eksperimentalno odreene. To omoguavaanalizu sistema bez analitiqkog odreivaǌa ǌegovog matematiqkog modela, a na bazi eks-perimentalno odreene uqestanosne karakteristike koja moe da bude izraena grafiqkiili tabelarno.

4.4.1 Furijeova transformacijaDefinicija 4.4.1 Furijeova transformacija funkcije x(t), u oznaci F x(t), predstavǉanesvojstveni integral:

F x(t) =∫ +∞

−∞x(t)e−jωtdt, (4.72)


ukoliko taj integral postoji.

Uzimajui u obzir prethodna izlagaǌa u kojima je naglaxeno da su sve funkcije x(t)definisane samo u nenegativnom vremenu, tj.

x(t) = 0, ∀t < 0,

onda jednaqina (4.72) moe da se napixe i u sledeem obliku

F x(t) =∫ +∞

0

x(t)e−jωtdt. (4.73)

Uporeujui jednaqinu (4.73) sa jednaqinom (4.18), koja definixe Laplasovu transfor-maciju,

Lx(t) =∫ +∞

0

x(t)e−stdt, (4.74)

zakǉuquje se da je Furijeova transformacija poseban oblik Laplasove transformacije pri

s = jω, (4.75)

tj. kada se iz kompleksne ravni u razmatraǌe uzme samo imaginarna osa.Samim tim i osobine koje su navedene za Laplasovu transformaciju vae i za Furijeovu

transformaciju. Najvanije osobine Furijeove transformacije koje e biti korixene unastavku su:

• to je linearni operator, tj. za ǌega vai zakon superpozicije:

F α1x1(t) + α2x2(t) = α1F x1(t)+ α2F x2(t) . (4.76)

• Ako je funkcija x(t) k-puta diferencijabilna i ako su svi poqetni uslovi nultih vred-nosti, onda je Furijeova transformacija k-tog izvoda te funkcije:

F

x(k)(t)

= (jω)kX(jω). (4.77)

4.4.2 Uqestanosna karakteristika sistemaRazmatra se vixestruko prenosni sistem sa slike 4.1, qiji matematiqki model je definisandiferencijalnom jednaqinom ponaxaǌa (4.3), odnosno (4.8). Zbog jednostavnosti izlagaǌauoqava se proizvoǉna ulazna veliqina Xuk, k ∈ 1, 2, . . . , M, i proizvoǉna izlazna veliqinaXiq, q ∈ 1, 2, . . . , N, slika 4.15.

S- -Xuk Xiq

Slika 4.15. Sistem.

Definicija 4.4.2 (q, k)-ta uqestanosna karakteristika sistema S, u oznaci Fqk(jω), jekoliqnik Furijeovih transformacija q-te izlazne veliqine Xiq i k-te ulazne veliqine Xuk,

Fqk(jω) =FXiq(t)FXuk(t) =

Xiq(jω)Xuk(jω)

, (4.78)

pri svim poqetnim uslovima jednakim nuli

X(j)i = 0i, ∀j = 0, 1, . . . , l − 1 (4.79)

X(j)u = 0u, ∀j = 0, 1, . . . ,m− 1 (4.80)

i pri svim ulaznim veliqinama jednakim nuli osim k-te

Xuj = 0, ∀(j 6= k) = 1, 2, . . . M.


Analognom analizom, kao xto je sprovedena pri definisaǌu prenosne matrice, se za-kǉuquje da vixestruko prenosni sistem sa slike 4.1 poseduje N ×M uqestanosnih karakte-ristika. Uvoeǌem matrice

F(jω) =

F11(jω) F12(jω) . . . F1k(jω) . . . F1M (jω)F21(jω) F22(jω) . . . F2k(jω) . . . F2M (jω)

...Fq1(jω) Fq2(jω) . . . Fqk(jω) . . . FqM (jω)

...FN1(jω) FN2(jω) . . . FNk(jω) . . . FNM (jω)

(4.81)

moe da se napixe sledei izraz

Xi(jω) = F(jω)Xu(jω), (4.82)

xto znaqi da je N × M uqestanosnih karakteristika sistema S saeto u jednu matricu.Matrica F(jω) opisana sa (4.81) naziva se uqestanosna matrica sistema i definixe se nasledei naqin.

Definicija 4.4.3 Uqestanosna matrica sistema je N × M matriqna funkcija, qiji je(q, k)-ti element (q, k)-ta uqestanosna karakteristika sistema Fqk(jω) i oznaqava se sa F(jω).

4.4.3 Analitiqko odreivaǌe uqestanosne karakteristike sistemaAko se posmatra jednostruko prenosni sistem opisan sledeom diferencijalnom jednaqinomponaxaǌa:

n∑

k=0

akx(k)i (t) =

m∑

k=0

bkx(k)u (t), m 6 n, (4.83)

onda se primenom Furijeove transformacije na tu jednaqinu dobija

F

n∑

k=0

akx(k)i (t)

= F

m∑

k=0

bkx(k)u (t)

, m 6 n, (4.84)

a kako je Furijeova transformacija zbira jednaka zbiru Furijeovih transformacija, i prinultim poqetnim uslovima vai F

x(k)(t)

= (jω)kX(jω), onda je

n∑

k=0

ak(jω)kXi(jω) =m∑

k=0

bk(jω)kXu(jω), m 6 n. (4.85)

Na osnovu prethodne jednaqine dobija se uqestanosna karakteristika razmatranog jednos-truko prenosnog sistema

F (jω) =Xi(jω)Xu(jω)

=

m∑

k=0

bk(jω)k

n∑

k=0

ak(jω)k

. (4.86)

Prenosna funkcija sistema, qija je diferencijalna jednaqina data jednaqom (4.83), jeoblika

W (s) =

m∑

k=0

bksk

n∑

k=0

aksk

. (4.87)

Uporeujui (4.87) sa (4.86) dolazi se do sledeeg rezultata

F (jω) = W (s)∣∣s=jω

. (4.88)


Ovaj rezultat, prema definicijama prenosne i uqestanosne matrice, moe da se uopxti ina matriqni oblik:

F(jω) = W(s)∣∣s=jω

, (4.89)

koji pokazuje da se uqestanosna matrica sistema moe odrediti iz ǌegove prenosne matriceW(s), ako se u ǌoj svaki kompleksni broj s zameni samo ǌegovim imaginarnim delom jω.Ovaj rezultat je znaqajan jer pokazuje da sva pravila za odreivaǌe ekvivalentnog oblikaprenosne matrice moe da se primeni i na uqestanosnu matricu.

4.4.4 Eksperimentalno odreivaǌe uqestanosne karakteristike sis-tema

Odreivaǌe uqestanosne karakteristike eksperimentalnim putem je mogue sprovesti samoza stabilne sisteme. Odziv sistema, sa matematiqke taqke gledixta, predstavǉa rexeǌediferencijalne jednaqine ponaxaǌa:

anx(n)i (t) + an−1x

(n−1)i (t) + . . . + a2xi(t) + a1xi(t) + a0xi(t) =

b0xu(t) + b1xu(t) + b2xu(t) + . . . + bm−1x(m−1)u (t) + bmx(m)

u (t). (4.90)

Budui da je ovo linearna nehomogena diferencijalna jednaqina sa konstantnim koefici-jentima ona opisuje linearni stacionarni sistem u proizvoǉnom reimu rada. Dobro jepoznato da rexeǌe te diferencijalne jednaqine moe da se predstavi kao zbir homogenog ipartikularnog dela:

xi(t) = xih(t) + xip(t). (4.91)

Homogeni deo rexeǌa je odreen korenovima karakteristiqnog polinoma:

ansn + an−1sn−1 + . . . + a2s

2 + a1s + a0,

i u opxtem sluqaju moe da se predstavi jednaqinom

xih(t) =µ∑

k=1

νk∑r=1

ckrtr−1es∗kth(t), (4.92)

gde su: µ broj razliqitih korenova polinoma, νk vixestrukost k-tog korena, ckr konstante,s∗k korenovi polinoma k = 1, 2, . . . , µ.

Neka je ulazna veliqina sistema (4.3), slika 4.16, harmonijska oscilacija oblika sinusne

S- -xu(t) = xuo sin (ωt)h(t) xi(t) = xih(t) + xip(t)

Slika 4.16. Sinusni ulaz i odziv sistema.

funkcije:xu(t) = xuo sin (ωt)h(t). (4.93)

Tada je partikularni deo odziva sistema xip

xip(t) = xio(ω) sin (ωt + θ(ω))h(t). (4.94)

Ako je razmatrani sistem stabilan onda su realni delovi svih korenova karakteris-tiqnog polinoma maǌi od nule:

Res∗k < 0, ∀k = 1, 2, . . . , µ.

To povlaqi da homogeni deo rexeǌa xih(t), (4.92), konvergira nuli kada vreme neograniqenoraste. Sa ineǌerskog stanovixta jasno je da postoji konaqan trenutak T za koji sa do-voǉnom taqnoxu moe da se usvoji:

xih(t) ≈ 0, ∀t > T, (4.95)


odnosno ukupni odziv sistema posle tog trenutka T , sa dovoǉnom taqnoxu, moe da sepredstavi sa:

xi(t) = xip(t) = xio(ω) sin (ωt + θ(ω))h(t), ∀t > T. (4.96)

To znaqi da sinusna promena ulaza (kod linearnog sistema) izaziva sinusnu promenuizlaza, slika 4.17, jasno posle isteka prelaznog reima tj. posle trenutka T .

S- -xu(t) = xuo sin (ωt)h(t) xi(t) = xio(ω) sin (ωt + θ(ω))h(t)

Slika 4.17. Sinusni ulaz i odziv sistema posle trenutka T .

Sinusni odziv, slika 4.17, linearnog stacionarnog sistema karakterixu:• uqestanost oscilacija ω, koja je jednaka uqestanosti ulaznog signala,

• amplituda koja je srazmerana ulaznoj amplitudi

xio(ω) = A(ω)xuo,

gde A(ω) predstavǉa moduo uqestanosne karakteristike i zavisi od uqestanosti har-monijske oscilacije ulaznog signala,

• fazni pomeraj θ(ω) u odnosu na fazni stav ulaznog signala jednak je faznoj uqestanosnojkarakteristici

ϕ(ω) = θ(ω)

i on takoe zavisi od uqestanosti ulazne sinusne oscilacije.Zakǉuqujemo da ako dati stabilni sistem pobudimo prostoperiodiqnim signalom, tada

odnos amplituda i fazna razlika izlaznog i ulaznog prostoperiodiqnog signala u sta-cionarnom radnom reimu daju moduo i argument uqestanosne karakteristike sistema F (jω)za tu uqestanost ω:

F (jω) = A(ω)ejϕ(ω) =xio(ω)xuo

ejθ(ω). (4.97)

Moduo A(ω) uqestanosne karakteristike sistema F (jω) se naziva amplitudna uqestanosnakarakteristika i definisan je koliqnikom amplituda izlaznog i ulaznog signala:

A(ω) =xio(ω)xuo

,

a argument ϕ(ω) uqestanosne karakteristike sistema F (jω) je fazna uqestanosna karakte-ristika i predstavǉa fazni pomeraj θ(ω).

Ako se ove karakteristike odrede pri raznim uqestanostima ulaznog signala, mogue jedobiti dijagram modula i dijagram faze uqestanosne karakteristike u funkciji od uqesta-nosti ω. Na bazi tih rezultata se samim tim dobija i uqestanosna karakteristika F (jω) utim taqkama, tj. uqestanostima. Ako se kroz tako dobijene taqke provuqe kriva dobija setzv. hodograf uqestanosne karakteristike.

Naredni primer ilustruje postupak eksperimentalnog dobijaǌa uqestanosne karakteri-stike sistema.

Primer 20S obzirom da nisu korixeni eksperimentalno dobijeni rezultati, oni su ovde simulirani.Izabrana je prenosna funkcija otvorenog kola nekog SAR-a:

Wok(s) =s− 7

s3 + 3s2 + 5s + 5(4.98)

i za takav sistem se odreuju sinusni odzivi.Da bi situacija bila xto realnija, idealni sinusni odziv je superponiran sa xumom.

Tako dobijeni signal se smatra eksperimentalno snimǉenim i daǉi postupak potpuno odgo-vara eksperimentalnom radu.


Kroz taj (eksperimentalno snimǉeni) signal se provlaqi idealna prostoperiodiqna har-monijska oscilacija koja sadri samo osnovni harmonik, a ǌena faza i amplituda se izraqu-navaju metodom minimalne vrednosti kvadrata grexke, pogledati funkciju SinFit.

Ceo postupak najboǉe ilustruje sledei skript, ExpFok.m:clear, clc, pack, close all

% otvoreno kolo

num = [1 -7];

den = [1 3 5 5];

% prenosna funkcija otvorenog kola

Wok = tf(num, den)

% propusni opseg

po = bandwidth (Wok)

% uchestanost odabiranja

fs = 1000;

% perioda odabiranja

dt = 1/fs;

% broj tachaka za simulaciju

n = 2^15;

% vremenska osa

t = (0:n-1)*dt;

% uchestanosna osa

f = (0:n-1)/n*fs;

% rezultat koji mora da se dobije na kraju postupka

[ampl phase] = bode (Wok, f);

Aok(1, :) = ampl(1, 1, :);

Phiok(1, :) = phase(1, 1, :);

% broj tachaka za crtanje

N = 100;

% uchestanosti u kojima se crta

fr0 = linspace(0.1*po, 2*po, N);

% amplitudna uchestanosna karakteristika

A = zeros(N,1);

% fazna uchestanosna karakteristika

Fi = zeros(N,1);

% faktor shuma u signalu

noiseF = 0.01;

figure(1)

for k = 1:N

% ulazni sinusni signal sistema

xu = sin(fr0(k)*t);

% snimljeni (ovde simulirani) izlaz iz sistema

xi = lsim(Wok, xu, t);

% dodoavanje shuma

xi = xi’ + randn(size(xu))*noiseF;

% provlachenje idealne sinusoide kroz snimljeni signal xi

[Amplituda, Faza] = SinFit(fr0(k)*t(end-n/2:end), xi(end-n/2:end));

A(k) = Amplituda;

Fi(k) = Faza;

% prikaz na ekranu: ulaza, izlaza i fitovanog signala

plot(t, xu’, ’b’, t, xi’, ’y’, t, A(k)*sin(fr0(k)*t + Fi(k))’, ’r’); grid

xlabel (’t [s]’); ylabel (’x_u, x_i, A*sin(\omega t + \phi)’)

a = axis();

axis([t(end)-3*pi/fr0(k) t(end) a(3) a(4)]);

title ([’f = ’ num2str(fr0(k),2) ’ rad/s’])

pause(0.05)

end

% eksperimentalno snimljena i teorijska amplitudna uch.karak.

figure(2)

plot(fr0, A, ’r*’, f(1:n/2), Aok(1:n/2)); grid

xlabel (’\omega [rad/s]’); ylabel (’A_ok(\omega)’)

a = axis();

axis([0 fr0(k) a(3) a(4)])

% eksperimentalno snimljena i teorijska fazna uch.karak.


figure(3)

plot(fr0, Fi*180/pi, ’r*’, f(1:n/2), Phiok(1:n/2)); grid

xlabel (’\omega [rad/s]’); ylabel (’\phi_ok(\omega) [deg]’)

a = axis();

axis([0 fr0(k) a(3) a(4)])

% eksperimentalno snimljena i teorijska uchestanosna karakteristika

figure(4)

plot(A.*cos(Fi), A.*sin(Fi), ’r*’, Aok(1:n/2).*cos(Phiok(1:n/2)*pi/180),...

Aok(1:n/2).*sin(Phiok(1:n/2)*pi/180));

hold on

% jedinichna kruzhnica

theta = linspace(0, 2*pi, 36);

plot(cos(theta), sin(theta), ’g’); grid

xlabel (’R(\omega)’); ylabel (’j I(\omega)’)

% axis equal

% eksperimentalno snimljena i teorijska logaritamska amplitudna uch.karak.

% figure(5)

% semilogx(fr0, 20*log10(A), ’r*’, f(1:n/4), 20*log10(abs(Aok(1:n/4)))); grid

% xlabel (’\omega [rad/s]’); ylabel (’L_ok(\omega) [dB]’)

% % eksperimentalno snimljena i teorijska logaritamska fazna uch.karak.

% figure(6)

% semilogx(fr0, Fi*180/pi, ’r*’, f(1:n/4), Phiok(1:n/4)); grid

% xlabel (’\omega [rad/s]’); ylabel (’\phi_ok(\omega) [deg]’)

% procenjena prenosna funkcija na bazi eksperimenta

[bv,av] = invfreqs(A.*exp(j*Fi), fr0, 1, 3)

Weksp = tf(bv, av)

Iz programa se vidi da se for petǉa ponavǉa N = 100 puta i to su uqestanosti za koje su”snimane” taqke u kojima mogu da se nacrtaju eksperimentalno snimǉena amplitudna i faznauqestanosna karakteristika. Na slikama 4.18-4.20 su prikazana 3 (od 100) “eksperimenta”za uqestanosti 1 rad

s , 2 rads i 3 rad

s , sledstveno.

24 25 26 27 28 29 30 31 32−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t [s]

x u, xi, A

*sin

(ω t

+ φ

)

f = 1 rad/s

Slika 4.18. Sinusni ulaz i odziv pri ω = 1 rads .

Na svim slikama se nalaze po tri krive:

• ulazna sinusna oscilacija (kriva plave boje),

• snimǉena izlazna sinusna oscilacija sa prisutnim xumom (kriva ute boje) i

• ufitovana sinusoida (crvene boje) funkcijom function [Amplituda, Faza, DC, A, B] =SinFit(Ugao, Sinusoida), (kod dat u nastavku), kroz prethodnu sa xumom. Na taj naqinse eliminixe uticaj xuma, ako je odnos signal-xum dovoǉno veliki.


28.5 29 29.5 30 30.5 31 31.5 32 32.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

t [s]

x u, xi, A

*sin

(ω t

+ φ

)

f = 2 rad/s


30 30.5 31 31.5 32 32.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t [s]

x u, xi, A

*sin

(ω t

+ φ

)

f = 3 rad/s


Rezultati obrade navedenih 100 eksperimenata, za 100 razliqitih uqestanosti ilus-trovani su slikama 4.21-4.23. Vaǉanost dobijenih rezultata lako moe da se proveribudui da smo identifikovali ono od qega smo u ovom primeru poxli - od poznate Wok(s),jednaqina (4.98). To ilustruju dobijene i polazne kriva na slikama 4.21-4.23.

Pored grafiqke potvrde dobijenih rezultata, oni mogu i numeriqki da budu testiranikorixeǌem funkcije invfreqs, koja nam daje i numeriqke vrednosti prenosne funkcije akojoj se zadaju samo redovi polinoma u brojiocu i imeniocu te nepoznate prenosne funkcije.Rezultat koji se dobije u komandnom prozoru Matlaba, kao rezultat posledǌe dve linijekoda iz ExpFok.m, je:

bv =0.9997 -6.9988

av =1.0000 2.9994 4.9996 4.9990


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

ω [rad/s]

Aok

(ω)

Slika 4.21. Amplitudna uqestanosna karakteristika Aok(ω).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [d

eg]

Slika 4.22. Fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω).

Transfer function:s - 6.999

-----------------------------s^3 + 2.999 s^2 + 5 s + 4.999

Uporeivaǌem sa polaznom prenosnom funkcijom Wok(s), (4.98), moe da se oceni vaǉa-nost postupka. Kako su polazna i dobijena prenosna funkcija oblika:

Wokpolazna(s) =s− 7

s3 + 3s2 + 5s + 5Wokdobijena(s) =

s− 6, 999s3 + 2, 999s2 + 5s + 4, 999

,

zakǉuquje se da je identifikacija uspexno izvrxena.Ovim programom se izraqunava i logaritamska uqestanosna karakteristika, koja e biti

definisana u Odeǉku 4.5 i koja je na slikama 4.24 i 4.25 prikazana svojom amplitudom,odnosno fazom.


−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

R(ω)

j I(ω

)

Slika 4.23. Hodograf uqestanosne karakteristike Fok(jω).

10−2

10−1

100

101

102

103

−100

−80

−60

−40

−20

0

20

ω [rad/s]

L ok(ω

) [d

B]

Slika 4.24. Logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika Lok(ω) = 20 log Aok(ω).

Funkcija kojom je izvrxeno fitovaǌe snimǉenog signala idealnim prostoperiodiqimsignalom, je prikazana u nastavku, SinFit.m:

function [Amplituda, Faza, DC, A, B]=SinFit(Ugao, Sinusoida)

SinusUgla = sin(Ugao);

KosinusUgla = cos(Ugao);

Sc = sum(KosinusUgla);

Ss = sum(SinusUgla);

SS = sum(Sinusoida);

Sc2 = sum(KosinusUgla.^2);

Scs = sum(KosinusUgla.*SinusUgla);

ScS = sum(KosinusUgla.*Sinusoida);

Ss2 = sum(SinusUgla.^2);

SsS = sum(SinusUgla.*Sinusoida);

N = length(Ugao);


10−2

10−1

100

101

102

103

−200

−150

−100

−50

0

50

100

150

200

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [d

eg]

Slika 4.25. Logaritamska fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω).

A = (ScS*Ss^2 - Scs*Ss*SS - N*ScS*Ss2 + Sc*SS*Ss2 + N*Scs*SsS - Sc*Ss*SsS)/...

(N*Scs^2 - 2*Sc*Scs*Ss + Sc2*Ss^2 + Sc^2*Ss2 - N*Sc2*Ss2);

B = (N*Scs*ScS - Sc*ScS*Ss - Sc*Scs*SS + Sc2*Ss*SS + Sc^2*SsS - N*Sc2*SsS)/...

(N*Scs^2 - 2*Sc*Scs*Ss + Sc2*Ss^2 + Sc^2*Ss2 - N*Sc2*Ss2);

DC = (Scs^2*SS + Sc*ScS*Ss2 - Sc2*SS*Ss2 + Sc2*Ss*SsS - Scs*(ScS*Ss + Sc*SsS))/...

(-2*Sc*Scs*Ss + Sc2*Ss^2 + Sc^2*Ss2 + N*(Scs^2 - Sc2*Ss2));

Amplituda = sqrt(A^2 + B^2);

Faza = atan2(A, B);

4.4.5 Osobine uqestanosne karakteristike

Uqestanosna karakteristika je racionalna funkcija imaginarne promenǉive jω. ǋene vred-nosti su kompleksni brojevi. Ona moe da se prikae u polarnom obliku (4.97) ili uDekartovom obliku preko svog realnog i imaginarnog dela:

F (jω) = R(ω) + jI(ω), (4.99)

gde su R(ω) = ReF (jω) i I(ω) = ImF (jω), slika 4.26.

-

6

¡¡

¡¡

¡¡µF (jω)

ReF (jω)

ImF (jω)

R(ω)

jI(ω)

A(ω)

ϕ(ω)

Slika 4.26. Dekartove i polarne kooordinate.

Razmatrae se, bez gubitka u opxtosti, jedan jednostruko prenosni sistem, qija je uqes-


tanosna karakteristika opisana jednaqinom (4.86).

F (jω) =

m∑

k=0

bk(jω)k

n∑

k=0

ak(jω)k

. (4.100)

Ta jednaqina moe da se prikae u razvijenoj formi na sledei naqin:

F (jω) =(b0 − b2ω

2 + b4ω4 − b6ω

6 + . . .) + j(b1ω − b3ω3 + b5ω

5 − b7ω7 + . . .)

(a0 − a2ω2 + a4ω4 − a6ω6 + . . .) + j(a1ω − a3ω3 + a5ω5 − a7ω7 + . . .), (4.101)

odnosno uvoeǌem sledeih polinoma:

R1(ω) = b0 − b2ω2 + b4ω

4 − b6ω6 + . . . (4.102a)

I1(ω) = b1ω − b3ω3 + b5ω

5 − b7ω7 + . . . (4.102b)

R2(ω) = a0 − a2ω2 + a4ω

4 − a6ω6 + . . . (4.102v)

I2(ω) = a1ω − a3ω3 + a5ω

5 − a7ω7 + . . . (4.102g)

dobija se

F (jω) =

m∑

k=0

bk(jω)k

n∑

k=0

ak(jω)k

=R1(ω) + jI1(ω)R2(ω) + jI2(ω)

. (4.103)

Na osnovu (4.102) se vidi da su polinomi R1(ω) i R2(ω) polinomi koji sadre samo parnestepene uqestanosti: ω0, ω2, ω4, . . ., odakle se zakǉuquje da su ta dva polinoma parne funkcije

Ri(−ω) = Ri(ω), i = 1, 2. (4.104)

Analogno tome, polinomi I1(ω) i I2(ω) sadre samo uqestanosti qiji su stepeni neparni:ω1, ω3, ω5, . . ., iz qega proistiqe neparnost tih funkcija

Ii(−ω) = −Ii(ω), i = 1, 2. (4.105)

Ako se racionalizuje jednaqina (4.103) dobija se

F (jω) =R1(ω) + jI1(ω)R2(ω) + jI2(ω)

· R2(ω)− jI2(ω)R2(ω)− jI2(ω)

=

=R1(ω)R2(ω) + I1(ω)I2(ω) + j [R2(ω)I1(ω)−R1(ω)I2(ω)]

R22(ω) + I2

2 (ω), (4.106)

odakle se izdvajaju realni R(ω) i imaginarni deo I(ω) uqestanosne karakteristike:

R(ω) =R1(ω)R2(ω) + I1(ω)I2(ω)

R22(ω) + I2

2 (ω), (4.107a)

I(ω) =R2(ω)I1(ω)−R1(ω)I2(ω)

R22(ω) + I2

2 (ω). (4.107b)

Na kraju se na osnovu (4.104), (4.105) i (4.107) zakǉuquje da:Realni deo uqestanosne karakteristike F (jω) je parna funkcija

R(−ω) = R(ω),

a ǌen imaginarni deo je neparna funkcija uqestanosti

I(−ω) = −I(ω).


−0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05−0.06

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04

0.06

jI(ω

)

R(ω)

F(jω)

ω → +∞ω → −∞

ω → 0+ω → 0−

Slika 4.27. Hodograf uqestanosne karakteristike F (jω).

Kompleksna ravan u kojoj je uqestanosna karakteristika odreena svojim realnim R(ω) iimaginarnim delom I(ω) naziva se ravan uqestanosne karakteristike F . Geometrijsko mestotaqaka F (jω) u ravni F dobijeno za promenu uqestanosti ω od −∞ do +∞ naziva se hodografuqestanosne karakteristike.

Navedena osobina uqestanosne karakteristike, tj. ǌenog realnog i imaginarnog dela,obezbeuje da je deo hodografa uqestanosne karakteristike za ω ∈ [−∞, 0] simetriqan deluǌenog hodografa za ω ∈ [0, +∞] u odnosu na realnu osu, slika 4.27. Na slici je deohodografa za pozitivne uqestanosti prikazan plavom bojom, a za negativne uqestanosticrvenom. Ova osobina simetriqnosti hodografa uqestanosne karakteristike omoguava dase taqke hodografa izraqunavaju samo za pozitivne uqestanosti, a da se ǌegov deo za nega-tivne uqestanosti ne izraqunava, ve se dobija kao otisak pozitivnog dela ”presavijaǌemuqestanosne ravni F” du realne ose.

Osobine amplitudne uqestanosne karakteristike A(ω) i fazne uqestanosne karakteri-stike ϕ(ω), koje odreuju uqestanosnu karakteristiku F (jω) u polarnim koordinatama (ek-sponencijalni oblik):

F (jω) = A(ω)ejϕ(ω) (4.108)

mogu da se ilustruju polazei od jednaqine(4.103)

F (jω) = R(ω) + jI(ω) =R1(ω) + jI1(ω)R2(ω) + jI2(ω)

,

odakle se dobija da su

A(ω) =√

R2(ω) + I2(ω) =

√R2

1(ω) + I21 (ω)√

R22(ω) + I2

2 (ω)(4.109)

ϕ(ω) = arctanI(ω)R(ω)

= arctanI1(ω)R1(ω)

− arctanI2(ω)R2(ω)

. (4.110)

Posledǌe dve jednaqine zajedno sa jednaqinama (4.104) i (4.105) dovode do zakǉuqka da jemoduo A(ω) uqestanosne karakteristike F (jω) parna funkcija

A(−ω) = A(ω),

a argument ϕ(ω) uqestanosne karakateristike F (jω) neparna funkcija

ϕ(−ω) = −ϕ(ω).


Do tih zakǉuqaka moe da se doe i na osnovu slike 4.26, odakle se dobijaju sledeeveze

R(ω) = A(ω) cos ϕ(ω),

I(ω) = A(ω) sin ϕ(ω).

Koristei prethodne dve jednaqine uqestanosna karakteristika F (jω) moe da se prikaei u obliku:

F (jω) = R(ω) + jI(ω) = A(ω) cos ϕ(ω) + jA(ω) sin ϕ(ω) = A(ω) [cos ϕ(ω) + j sin ϕ(ω)] .

Kada se ima u vidu da je F (jω) = A(ω)ejϕ(ω), onda se na bazi prethodne jednaqine dolazi do

ejϕ(ω) = cos ϕ(ω) + j sin ϕ(ω),

odnosno za negativnu vrednost ϕ(ω)

e−jϕ(ω) = cos ϕ(ω)− j sinϕ(ω),

xto dovodi do obrazaca koji su korixeni u Primeru 16

cosϕ(ω) =ejϕ(ω) + e−jϕ(ω)

2, sin ϕ(ω) =

ejϕ(ω) − e−jϕ(ω)

2j.

4.5 Logaritamska uqestanosna karakteristikaCrtaǌe hodografa uqestanosne karakteristike u kompleksnoj ravni F , u sluqaju sloenijihprenosnih funkcija, tj. uqestanosnih karakteristika, moe da bude vrlo komplikovano akose za takva izraqunavaǌa ne koriste raqunari.

U sluqaju sloene uqestanosne karakteristike oblika:

F (jω) = A(ω)ejϕ(ω) =A1(ω)ejϕ1(ω)A2(ω)ejϕ2(ω) . . . Ap(ω)ejϕp(ω)

Ap+1(ω)ejϕp+1(ω)Ap+2(ω)ejϕp+2(ω) . . . Aq(ω)ejϕq(ω)(4.111)

gde su p i q prirodni brojevi, q > p > 0, amplitudna uqestanosna karakteristika A(ω) je

A(ω) =A1(ω)A2(ω) . . . Ap(ω)

Ap+1(ω)Ap+2(ω) . . . Aq(ω),

dok je fazna uqestanosna karakteristika ϕ(ω)

ϕ(ω) = ϕ1(ω) + ϕ2(ω) + . . . + ϕp(ω)− ϕp+1(ω)− ϕp+2(ω)− . . .− ϕq(ω).

Dok se crtaǌe ϕ(ω) svodi na sabiraǌe (oduzimaǌe) ordinata ϕi(ω), i = 1, 2, . . . q, dotle crtaǌeA(ω) zahteva mnoeǌe (deǉeǌe) Ai(ω), i = 1, 2, . . . q, xto nije pogodno za grafiqku obradu. Dabi se to izbeglo uvodi se logaritamska uqestanosna karakteristika koja je definisanasa

20 log F (jω) = 20 log A(ω)ejϕ(ω) = 20 log A(ω) + 20 log ejϕ(ω) = 20 log A(ω) + jϕ(ω)20 log e. (4.112)

Logaritamska uqestanosna karakteristika ima realni deo definisan sa

L(ω) = 20 log A(ω), (4.113)

koji se naziva logaritamska amplitudna uqestanosna karkateristika i ima imaginarnideo

ϕ(ω)20 log e, (4.114)

koji je potpuno odreen sa faznom uqestanosnom karakteristikom ϕ(ω). Znaqi da L(ω)i ϕ(ω) jednoznaqno odreuju logaritamsku uqestanosnu karakteristiku, te samim tim, ifrekventnu karakteristiku F (jω).

Vrednost L(ω) logaritamske amplitudne uqestanosne karakteristike za ω > 0 se meriu decibelima: dB. Decibel je mera pojaqaǌa i slabǉeǌa i kao takav je najpre korixen

4.5. Logaritamska uqestanosna karakteristika 63

u oblasti telekomunikacija. Iz te oblasti je prenet u akustiku kao mera jaqine zvuka, apotom i u automatiku kao mera odnosa amplituda izlazne i ulazne oscilacije sistema.

Ako se sada posmatra uqestanosna karakteristika oblika (4.111), i ako se potrai ǌenlogaritamski oblik, tj. logaritamska uqestanosna karakteristika sistema, dobija se

20 log F (jω) = 20 logA1(ω)ejϕ1(ω)A2(ω)ejϕ2(ω) . . . Ap(ω)ejϕp(ω)

Ap+1(ω)ejϕp+1(ω)Ap+2(ω)ejϕp+2(ω) . . . Aq(ω)ejϕq(ω)=

= 20 log A1(ω)ejϕ1(ω) + 20 log A2(ω)ejϕ2(ω) + . . . + 20 log Ap(ω)ejϕp(ω)−− 20 log Ap+1(ω)ejϕp+1(ω) − 20 log Ap+2(ω)ejϕp+2(ω) − . . .− 20 log Aq(ω)ejϕq(ω) =

= L1(ω) + jϕ1(ω)20 log e + L2(ω) + jϕ2(ω)20 log e + . . . + Lp(ω) + jϕp(ω)20 log e−− Lp+1(ω)− jϕp+1(ω)20 log e− Lp+2(ω)− jϕp+2(ω)20 log e− . . .− Lq(ω)− jϕq(ω)20 log e =

= L1(ω) + L2(ω) + . . . + Lp(ω)− Lp+1(ω)− Lp+2(ω)− . . .− Lq(ω)++ j20 log e [ϕ1(ω) + ϕ2(ω) + . . . + ϕp(ω)− ϕp+1(ω)− ϕp+2(ω)− . . .− ϕq(ω)] ,

odakle se dobija da je logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika L(ω)

L(ω) =p∑

k=1

Lk(ω)−q∑

k=p+1

Lk(ω) (4.115)

dok je fazna uqestanosna karakteristika ϕ(ω)

ϕ(ω) =p∑

k=1

ϕk(ω)−q∑

k=p+1

ϕk(ω). (4.116)

To znaqi da se u sluqaju logaritamske amplitudne uqestanosne karakteristike L(ω), ekvi-valentna vrednost dobija sabiraǌem elementarnih vrednosti, a ne ǌihovim mnoeǌem, kaoxto je to bio sluqaj kod amplitudne uqestanosne karakteristike A(ω).

Logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika L(ω) se grafiqki prikazuje u log-aritamskom dijagramu. Na apscisi je log ω (logaritamska skala po ω), a na ordinati je L(ω)prikazano u linearnoj skali. Fazna uqestanosna karakteristika ϕ(ω) se grafiqki prikazujeu polu-logaritamskom dijagramu. Na apscisi je log ω (logaritamska skala po ω), a na ordi-nati ϕ(ω) u linearnoj podeli.

4.5.1 Logaritamske uqestanosne karakteristike za elementarne pre-nosne funkcije

Elementarne prenosne funkcije su one racionalne funkcije koje ne mogu da se prikau uvidu proizvoda ili koliqnika jednostavnijih prenosnih funkcija.

Prema tome svaka sloena prenosna funkcija moe da se razloi na odgovarajui brojelementarnih prenosnih funkcija. Da bi se pokazalo da je broj tih elementarnih funkcijaograniqen i da ih ima samo pet, razmatra se neka sloena prenosna funkcija opisana sa:

W (s) =

m∑

k=0

bksk

n∑

k=0

aksk

, m 6 n, (4.117)

koja moe da se prikae u razloenom obliku, preko binoma:

W (s) = k(s− s0

1)(s− s02) . . . (s− s0

m)(s− s∗1)(s− s∗2) . . . (s− s∗n)

. (4.118)

Korenovi polinoma s0i u brojiocu ili s∗i u imeniocu mogu da budu rasporeeni samo na

neki od naqina prikazanih na slici 4.28.To znaqi da elementarne prenosne funkciju, na osnovu jednaqine (4.118) i slike 4.28,

mogu da poprime samo narednih pet oblika.


-

6

σ

jω

u u

realni

s∗ s∗- - -

6 6 6

σ σ σ

jω jω jω

uu

ukoǌugovano-kompleksni imaginarni nulti

s∗

s∗1

s∗2 u

us∗1

s∗2 u

us∗1

s∗2

Slika 4.28. Mogui poloaji korenova polinoma.

1. W (s) = k, gde je k proizvoǉna konstanta razliqita od nule,

2. W (s) = s, u sluqaju da je koren polinoma u koordinatnom poqetku,

3. W (s) = 1± Ts, kada su korenovi realni,

4. W (s) = T 22 s2 ± T1s + 1, T1 > 0, 0 <

T1

2T2< 1, za koǌugovano kompleksne korenove i

5. W (s) = T 22 s2 + 1 u sluqaju imaginarnih korenova.

Ne postoji ni jedna jednostavnija prenosna funkcija od ovih pet elementarnih, kao xtone postoji ni jedna prenosna funkcija koja ne moe da se izrazi preko ovih pet elemen-tarnih prenosnih funkcija. To znaqi da poznavaǌe logaritamske amplitudne uqestanosnekarakteristike L(ω) i fazne uqestanosne karakteristike ϕ(ω) elementarnih prenosnih funk-cija obezbeuje lako crtaǌe logaritamske uqestanosne karakteristike proizvoǉne prenosnefunkcije, jednaqine (4.115) i (4.116). U nastavku se prikazuju logaritamske uqestanosnekarakteristike svih pet elementarnih prenosnih funkcija.

• W (s) = k

Uqestanosna karakteristika je oblika

F (jω) = k = |k|

ej0, k > 0,

ejπ, k < 0,

xto znaqi da jeA(ω) = |k| ⇒ L(ω) = 20 log A(ω) = 20 log |k|

ϕ(ω) =

0, k > 0,

π, k < 0.

Grafiqki prikaz L(ω) i ϕ(ω) je dat na slici 4.29.

10−1

100

101

−60

−40

−20

0

20

40

60

|k| = 1

|k| = 10

|k| = 100

|k| = 0,1

|k| = 0,01

ω [rad/s]

L(ω

) [d

B]

10−1

100

101

−90

0

90

180

270

ω [rad/s]

φ(ω

) [d

eg]

k > 0

k < 0

Slika 4.29. L(ω) i ϕ(ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = k, k ∈ R, k 6= 0.


• W (s) = s

Uqestanosna karakteristika se dobija kada se u prenosnoj funkciji svaki kompleksnibroj s zameni ǌegovim imaginarnim delom jω:

F (jω) = jω = |ω|

ejπ

2 , ω > 0,

e−j

π

2 , ω < 0,

odakle se dobijaju A(ω) i ϕ(ω)

A(ω) = |ω|, ϕ(ω) =

π

2, ω > 0,

−π

2, ω < 0.

Da bi se nacrtala logaritamska uqestanosna karakteristika potrebno je odreditiizraze za L(ω) i ϕ(ω) i to samo za uqestanosti koje su nenegativne ω > 0, s obzirom dase uqestanosti prikazuju na apscisnoj osi koja je logaritamska. Prema tome:

L(ω) = 20 log A(ω) = 20 log ω,

ϕ(ω) =π

2.

Grafiqki prikaz logaritamske uqestanosne karakteristike za ovu elementarnuprenosnu funkciju je data na slici 4.30.

10−1

100

101

102

−20

0

20

40

ω [rad/s]

L(ω

) [d

B]

10−1

100

101

102

89

89.5

90

90.5

91

ω [rad/s]

φ(ω

) [d

eg]

Slika 4.30. L(ω) i ϕ(ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = s.

Sa slike 4.30 se vidi da je L(ω) prava qiji je nagib 20 decibela po dekadi, xto znaqida dekadno uveaǌe vrednosti ω, tj. deset puta vee ω, izaziva promenu vrednosti L(ω)za 20 dB.

• W (s) = 1± Ts, T > 0Uqestanosna karakteristika u ovom sluqaju ima oblik

F (jω) = 1± jTω.

U tom izrazu postoje dve promenǉive T i ω, xto je u sluqaju da se za T ne zna konkretnabrojqana vrednost, komplikovano za crtaǌe. Zbog toga se uvodi nova promenǉiva Ω,koja se naziva normalizovana uqestanost, na sledei naqin:

Ω = Tω.


Pored toga, uvodi se pojam prelomne uqestanosti koja se oznaqava sa ωn i jednaka je

reciproqnoj vrednosti konstatnte T , ωn =1T, tako da prethodna jednaqina moe da se

napixe i kaoΩ = Tω =

ω

ωn.

Uvoeǌem ovih oznaka uqestanosna karakteristika F (jω) postaje

F (jΩ) = 1± jΩ,

pri qemu je ǌen realni deo R(Ω) = 1, a imaginarni I(Ω) = ±Ω. Odatle sledi da jeamplitudna uqestanosna karakteristika

A(Ω) =√

R2(Ω) + I2(Ω) =√

1 + Ω2,

a fazna uqestanosna karakteristika

ϕ(Ω) = arctanI(Ω)R(Ω)

= arctan±Ω1

= ± arctanΩ.

Logaritamska amplitudna uqestanosna karakteristika je sada

L(Ω) = 20 log A(Ω) = 20 log√

1 + Ω2,

pa je postupak za crtaǌe tog hodografa znatno tei nego u prethodna dva sluqaja. Zbogtoga se kriva L(Ω) aproksimira svojim asimptotama koje se izraqunavaju na sledeinaqin.U sluqaju da je Ω ≪ 1, L(Ω) se aproksimira asimptotom:

La1(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log√

1 + Ω2

∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log√

1 = 0,

a za Ω ≫ 1 asimptotom La2(Ω)

La2(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log√

1 + Ω2

∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log√

Ω2 = 20 log Ω.

Prva asimptota se poklapa sa apscisnom osom, dok druga asmiptota ima nagib 20 dBpo dekadi.

10−1

100

101

102

−10

0

10

20

30

40

50

La1

(Ω)L

a2(Ω)

Ω [rad/s]

L(Ω

) [d

B]

10−1

100

101

102

−90

0

90

W(s) = 1 + T s

W(s) = 1 − T s

Ω [rad/s]

φ(Ω

) [d

eg]

Slika 4.31. L(Ω) i ϕ(Ω) elementarne prenosne funkcije W (s) = 1± Ts, T > 0.


Na slici 4.31 su prikazane La1(Ω), La2(Ω) i L(Ω), kao i ϕ(ω) za obe razmatrane prenosnefunkcije: W (s) = 1 + Ts i W (s) = 1− Ts.Asimptota La1(Ω) i La2(Ω) se koriste za priblino taqno crtaǌe L(Ω), a sa slike 4.31moe da se vidi kolika grexka se pri tome unosi u crtaǌe. Najvea grexka je utaqki gde se te dve asimptote spajaju, tj. u taqki Ω = 1, xto znaqi da se to dexava u

uqestanosti ω = ωn =1T, koja se naziva prelomna uqestanost.

Levo (Ω ≪ 1) i desno (Ω ≫ 1) od te taqke, asimptote La1(Ω) i La2(Ω) dovoǉno taqnoaproksimiraju L(Ω) xto proistiqe i iz ǌihove definicije.

• W (s) = T 22 s2 ± T1s + 1, T1 > 0

Ova prenosna funkcija ima koǌugovano kompleksne nule, pa je samim tim zadovoǉeno:

0 <T1

2T2< 1.

Uvoeǌem sledeih oznaka: ξ - priguxeǌe i ωn - prelomna ili sopstvena uqestanost

ξ =T1

2T2, ωn =

1T2

,

ova prenosna funkcija moe da se prikae na sledei naqin

W (s) = T 22

(s2 ± T1

T 22

s +1

T 22

)= T 2

2

(s2 ± 2

T1

2T2

1T2

s +1T2

)=

1ω2

n

(s2 ± 2ξωns + ω2

n

).

Uqestanosna karakteristika se, polazei od W (s) = T 22 s2 ± T1s + 1, dobija na poznati

naqin:

F (jω) = W (s)∣∣∣∣s=jω

= 1− T 22 ω2 ± jT1ω. (4.119)

Uvoeǌem Ω - normalizovane uqestanost

Ω = T2ω =ω

ωn

i korixeǌem prethodno uvedenih ξ i ωn, jednaqina (4.119) moe da se napixe i nasledei naqin

F (jω) = 1− T 22 ω2 ± jT1ω = 1− ω2

ω2n

± j2T1

2T2T2ω = 1− ω2

ω2n

± j2ξω

ωn, (4.120)

tj.F (jΩ) = 1− Ω2 ± j2ξΩ. (4.121)

Realni i imaginarni delovi od F (jΩ)

R(Ω) = 1− Ω2, I(Ω) = ±2ξΩ,

omoguavaju da se izraquna amplitudna i fazna uqestanosna karakteristika:

A(Ω) =√

(1− Ω2)2 + 4ξ2Ω2, ϕ(Ω) = arctan±2ξΩ1− Ω2

,

odakle se dobija logaritamska uqestanosna karakteristika

L(Ω) = 20 log√

(1− Ω2)2 + 4ξ2Ω2,

ϕ(Ω) = ± arctan2ξΩ

1− Ω2=

± arctan

2ξΩ1− Ω2

, Ω 6 1,

±[π − arctan

2ξΩ|1− Ω2|

], Ω > 1.


I u ovom sluqaju se za crtaǌe hodografa L(ω) koriste asimptote. Prva, La1(Ω), seizraqunava iz uslova Ω ≪ 1

La1(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log√

(1− Ω2)2 + 4ξ2Ω2

∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log√

1 = 0,

a druga La2(Ω), iz uslova Ω ≫ 1

La2(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log√

(1− Ω2)2 + 4ξ2Ω2

∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log√

Ω4 = 40 log Ω.

Prva asimptota se poklapa sa apscisnom osom, dok druga asmiptota ima nagib 40 dB podekadi. Na slici 4.32 su prikazane obe asimptote (isprekidanim crvenim linijama),kao i prave krive. U ovom sluqaju je izraz koji opisuje L(ω) funkcija dve promenǉive:

10−1

100

101

−40

−20

0

20

40

Ω [rad/s]

L(Ω

) [d

B]

La1

(Ω)

La2

(Ω)

ξ=0,8ξ=0,5ξ=0,2ξ=0,1ξ=0,01

10−1

100

101

−180

−90

0

90

180

Ω [rad/s]

φ(Ω

) [d

eg]

W(s) = 1 + T s

W(s) = 1 − T s

ξ=0,8ξ=0,5ξ=0,2ξ=0,1ξ=0,01

Slika 4.32. L(Ω) i ϕ(Ω) prenosne funkcije W (s) = T 22 s2 ± T1s + 1, T1 > 0, 0 < T1

2T2< 1.

uqestanosti Ω i priguxeǌa ξ. Na slici 4.32 je prikazano vixe krivih L(ω) gde je kaoparametar korixena vrednost priguxeǌa ξ.

• W (s) = T 22 s2 + 1

Ova elementarna prenosna funkcija predstavǉa graniqni sluqaj prethodne elemen-tarne prenosne funkcije pri ξ → 0. Kada je priguxeǌe jednako nuli, onda koǌugovanokopmpleksni polovi iz prethodnog sluqaja, za 0 < ξ < 1, dolaze na imaginarnu osu ipostaju imaginarni polovi.Uqestanosna karakteristika ove elementarne prenosne funkcije je oblika

F (jω) = 1− T 22 ω2,

odnosno uvoeǌem prelomne (ili sopstvene ili prirodne) uqestanosti

ωn =1T2

i normalizovane uqestanosti:

Ω = T2ω =ω

ωn


izraz za uqestanosnu karakteristiku prikazan preko normalizovane uqestanostipoprima sledei oblik

F (jΩ) = 1− Ω2.

Sada uqestanosna karakteristika ima samo realni deo, dok je imaginarni identiqkijednak nuli. Amplitudna uqestanosna karakteristika je

A(Ω) = |1− Ω2|,a fazna uqestanosna karakteristika

ϕ(Ω) = arctan0

|1− Ω2| =

arctan0

1− Ω2= 0, Ω < 1,

π − arctan0

|1− Ω2| = π, Ω > 1.

Na osnovu A(Ω) lako se izraqunava L(Ω)

L(Ω) = 20 log |1− Ω2|.Prava kriva L(Ω) u ovom sluqaju moe da se aproksimira sa tri asimptote. Prva,La1(Ω), se izraqunava iz uslova Ω ≪ 1

La1(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log |1− Ω2|∣∣∣∣Ω≪1

= 20 log |1| = 0,

druga La2(Ω), iz uslova Ω ≫ 1

La2(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log |1− Ω2|∣∣∣∣Ω≫1

= 20 log | − Ω2| = 40 log Ω,

a trea, La3(Ω), iz uslova Ω = 1

La3(Ω) = L(Ω)∣∣∣∣Ω=1

= 20 log |1− Ω2|∣∣∣∣Ω=1

= 20 log 0 = −∞.

Prva asimptota se poklapa sa apscisnom osom, druga ima nagib 40 dB po dekadi, atrea je poluprava koja polazi iz nule i odlazi do −∞. Na slici 4.33 su prikazanesve tri asimptote, kao i prava kriva. U ovom sluqaju logaritamska amplitudna ka-

10−1

100

101

−60

−40

−20

0

20

40

La1

(Ω)

La2

(Ω)

La3

(Ω)

Ω [rad/s]

L(Ω

) [d

B]

10−1

100

101

−180

−90

0

90

180

Ω [rad/s]

φ(Ω

) [d

eg]

Slika 4.33. L(Ω) i ϕ(Ω) prenosne funkcije W (s) = T 22 s2 + 1.

rakteristika L(ω) ima prekid druge vrste za Ω = 1, tj. ω =1T2

, a fazna uqestanosna

karakteristika prekid prve vrste pri istoj uqestanosti.


Primer 21Razmotrimo jednu sloenu prenosnu funkciju, koja opisuje otvoreno kolo nekoga SAR-a,

W (s) = 25s(

14s2 − 1

2s + 1)(1 + 2s)4

(116s2 + 1

) (125s2 + s + 1

)4 (1− 10s)3. (4.122)

Odreivaǌe uqestanosne karakteristike F (jω) ovog sistema, ǌenog realnog R(ω) i imagi-narnog I(ω) dela, je izuzetno sloeno s obzirom na redove polinoma u brojiocu i imeniocu.Meutim, odreivaǌe logaritamske uqestanosne karakteristike L(ω) i ϕ(ω) se svodi nasabiraǌa ili oduzimaǌa pet elementarnih logaritamskih uqestanosnih karakteristika.

U tom smislu se data prenosna funkcija razlae na elementarne prenosne funkcije nasledei naqin:

W (s) = 25︸︷︷︸W1(s)=k

· s︸︷︷︸W2(s)=s

·(

14s2 − 1

2s + 1

)

︸︷︷︸W3(s)=T 2

2 s2±T1s+1

· (1 + 2s)4︸︷︷︸W4(s)=1±Ts

·(

116

s2 + 1)−1

︸︷︷︸W5(s)=T 2

2 s2+1

·(

125

s2 + s + 1)−4

︸︷︷︸W6(s)=T 2

2 s2±T1s+1

· (1− 10s)−3

︸︷︷︸W7(s)=1±Ts

.

Na slici 4.34 su prikazani dijagrami L(ω) i ϕ(ω) svih sedam elementarnih funkcija.Da ne bude zabune, postoji ukupno pet tipova elementarnih prenosnih funkcija, xta vixeu ovom primeru se pojavǉuje svih pet, ali su elementarne prenosne funkcije W3(s) i W6(s)istoga tipa, isto vai i za W4(s) i W7(s).

10−2

100

102

26

28

30

L 1(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−1

0

1

φ 1(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−50

0

50

L 2(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−2

0

2

φ 2(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−100

0

100

L 3(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−1

−0.5

0

φ 3(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

0

100

200

L 4(ω)

[dB

]

10−2

100

102

0

1

2

φ 4(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−100

0

100

L 5(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−1

−0.5

0

φ 5(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−400

−200

0

L 6(ω)

[dB

]

10−2

100

102

−4

−2

0

φ 6(ω)

[π r

ad]

10−2

100

102

−200

−100

0

L 7(ω)

[dB

]

ω [rad/s]10

−210

010

20

1

2

φ 7(ω)

[π r

ad]

ω [rad/s]

Slika 4.34. L(ω) i ϕ(ω) elementarnih prenosnih funkcija sistema (4.122).

One elementarne prenosne funkcije koje su stepenovane: W4(s) qetvrtim stepenom, W6

qetvrtim stepenom i W7(s) treim stepenom, predstavǉaju sloene prenosne funkcije i one


su kao tavkve prikazane u qetvrtoj, xestoj i sedmoj vrsti slike 4.34. Uporeujui npr.qetvrtu vrstu slike 4.34 u kojoj su L(ω) i ϕ(ω) prenosne funkcije W4(s) = (1 + 2s)4, sa ele-mentarnom prenosnom funkcijom W (s) = 1± Ts, qije su L(ω) i ϕ(ω) prikazane na slici 4.31,zakǉuquje sa da su vrednosti krivih iz qetvrte vrste slike 4.34 qetiri (toliki je stepen odW4(s)) puta vee nego odgovarajue vrednosti na slici 4.31. Ta osobina se lako pokazuje imatematiqki. Obeleimo proizvoǉnu elementarnu prenosnu funkciju sa We(s). Ako je onastepenovana stepenom r, r > 1, onda moe da se izraquna sledee:

L(ω) = 20 log W re (s)

∣∣∣∣s=jω

= 20 log F re (jω) = 20 log

[Ae(ω)ejϕe(ω)

]r

= 20 log Are(ω)ejrϕe(ω) =

= 20 log Are(ω) + 20 log ejrϕe(ω) = r20 log Ae(ω) + jrϕe(ω)20 log e =

= rLe(ω) + jrϕe(ω)20 log e,

odakle se zakǉuquje da je

L(ω) = rLe(ω), ϕ(ω) = rϕe(ω).

Logaritamska uqestanosna karakteristika otvorenog kola (4.122) je prikazana naslici 4.35. Ona je dobijena korixeǌem ranije utvrenih obrazaca (4.115) i (4.116), kojiovde, u sluqaju razmatrane prenosne funkcije, postaju:

L(ω) =3∑

k=1

Lk(ω)−7∑

k=4

Lk(ω), ϕ(ω) =3∑

k=1

ϕk(ω)−7∑

k=4

ϕk(ω).

Na toj slici je ilustrovana i primena Bodeovog kriterijuma za ispitivaǌe stabilnostiSAR-a, qija je prenosna funkcija otvorenog kola data sa (4.122). Ti detaǉi ovde nee bitirazjaxǌavani, ali e ovaj primer da poslui za ilustraciju gradiva koje e biti izloenou odeǉku o stabilnosti sistema.

10−2

10−1

100

101

102

−200

−100

0

100

200

L ok(ω

) [d

B]

10−2

10−1

100

101

102

−2

−1

0

1

2

3

∅

⊕ ∅

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [π

rad

]

P≡3 Σ≡−1 → ZSAU nije stabilan

Slika 4.35. Logaritamska uqestanosna karakteristika sistema (4.122).

Slike 4.34 i 4.35, tj. dijagrami logaritamske amplitudne uqestanosne karakteristikeL(ω) i fazne uqestanosne karakteristike ϕ(ω), prikazane u polulogaritamskoj skali, nazi-vaju se jox i Bodeovi dijagrami.


4.6 Jednaqina staǌa i jednaqina izlazaJedan od do sada izloenih naqina za prikazivaǌe matematiqkog modela linearnog dina-miqkog sistema je diferencijalna jednaqina ponaxaǌa oblika (4.8)

l∑

k=0

Akx(k)i (t) =

m∑

k=0

Bkx(k)u (t), m 6 l. (4.123)

Ta vektorska jednaqina predstavǉa sistem od N skalarnih jednaqina, pri qemu u svakojod ǌih maksimalni izvod izlazne veliqine xi(t), i = 1, 2, . . . N , moe da bude l-ti. Da bimogla da se rexi jednaqina (4.123) neophodno je da se poznaje promena vektora ulaza xu(t),od poqetnog trenutka t = t0 pa nadaǉe, kao i poqetne vrednosti vektora izlaza i ǌegovihizvoda u trenutku t0, tj. moraju da budu poznati sledei poqetni uslovi:

x(k)i1 (t0), ∀k = 0, 1, 2, . . . l − 1

x(k)i2 (t0), ∀k = 0, 1, 2, . . . l − 1

...x

(k)iN (t0), ∀k = 0, 1, 2, . . . l − 1.

Oqigledno je broj tih poqetnih uslova n = lN i od tih vrednosti direktno zavisi rexe-ǌe jednaqine (4.123). To znaqi da vrednosti i karakter promene vektora ulaza ne odreujujednoznaqno izlaz, ve je za to neophodno poznavati dodatnih n veliqina u poqetnom tre-nutku.

To je, jasno, matematiqko tumaqeǌe. Ako se posmatra fiziqki sistem onda se postavǉapitaǌe: xta je to xto pored vektora ulaza odreuje izlaz, tj. odziv sistema? Odgovor na topitaǌe dovodi do pojma staǌa sistema.

Staǌe sistema u trenutku τ , predstavǉa ǌegovu unutraxǌu fiziqku situaciju u tomtrenutku, qije poznavaǌe uz poznavaǌe promene ulaza od trenutka τ pa nadaǉe, jedino jed-noznaqno odreuje promenu izlaza, kao i promenu same te unutraxǌe fiziqke situacije odtog trenutka τ pa nadaǉe.

Sistemi qiji je izlaz jednoznaqno odreen staǌem i ulazom se nazivaju dinamiqki sis-temi, dok se sistemi qiji je izlaz jednoznaqno odreen samo ulazom nazivaju statiqkisistemi. Iz toga proizilazi da su dinamiqki sistemi opisani diferencijalnim jednaqi-nama, a statiqki algebarskim.

S obzirom da poznavaǌe poqetnog staǌa, n poqetnih uslova - n veliqina staǌa u poqet-nom trenutku, i poznavaǌe promene ulaza za t > t0, jednoznaqno odreuje i izlaz i svih nveliqina staǌa sistema u svakom trenutku t > 0, onda promene tih n veliqina staǌa morajuda budu rexeǌa nekog sistema od n diferencijalnih jednaqina. Takav sistem jednaqina,koga qine diferencijalne jednaqine prvoga reda, dobija se matematiqkim transformaci-jama polaznog sistema (4.123).

Algoritmi koji obezbeuju prevoeǌe diferencijalne jednaqine (4.123) u sistem od ndiferencijalnih jednaqina prvoga reda nazivaju se algoritmi za usvajaǌe veliqina staǌa.Ilustrujmo jedan od ǌih polazei od posebnog oblika diferencijalne jednaqine koja nesadri izvode po ulaznoj veliqini:

x(n)i (t) + an−1x

(n−1)i (t) + . . . + a2xi(t) + a1xi(t) + a0xi(t) = b0xu(t). (4.124)

Naglasimo jox jednom da poznavaǌe xi(0), xi(0), . . . , xn−1i (0), zajedno sa poznavaǌem xu(t) za

t > 0 u potpunosti odreuje budue ponaxaǌe sistema. Samim tim veliqine xi(t), xi(t), . . .,x

(n−1)i (t) mogu da budu usvojene za veliqine staǌa sistema1:

x1(t) = xi(t)x2(t) = xi(t)x3(t) = xi(t)

...xn−1(t) = x

(n−2)i (t)

xn(t) = x(n−1)i (t).

(4.125)

1Matematiqki ovo jeste najjednostavnije. Praktiqno, budui da se vixi izvodi maǌe taqno odreujuzbog postojaǌa xuma u signalima ovakav izbor nije uvek najpoeǉniji.

4.6. Jednaqina staǌa i jednaqina izlaza 73

Tada diferencijalna jednaqina n-tog reda (4.124) moe da se prikae sledeim sistemomod n diferencijalnih jednaqina prvoga reda:

x1(t) = x2(t),x2(t) = x3(t),x3(t) = x4(t),

...

xn−1(t) = xn(t),xn(t) = −a0x1(t)− a1x2(t)− a2x3(t)− . . .− an−2xn−1(t)− an−1xn(t) + b0xu(t),

ili kompaktnijex(t) = Ax(t) + Bxu(t), (4.126)

gde su:

x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

, A =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

......

0 0 0 · · · 1−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

, B =

00...0b0

. (4.127)

Na osnovu smene x1(t) = xi(t) iz (4.125) oqigledno je da je izlazna veliqina sistema

xi(t) = x1(t),

xto moe da se napixe u sledeem vektorskom obliku

xi(t) =(1 0 · · · 0

),

x1(t)x2(t)...

xn(t)

, (4.128)

ilixi(t) = Cx(t) (4.129)

gde je matrica C oblikaC =

(1 0 · · · 0

).

Jednaqina (4.126) se naziva vektorska diferencijalna jednaqina staǌa, krae jednaqinastaǌa, dok se jednaqina (4.129) naziva vektorska jednaqina izlaza, krae jednaqina izlaza.Te dve jednaqine su ekvivalentne jednaqini (4.124). Sve informacije o sistemu sadrane u(4.124) nalaze se i u (4.126) i (4.129).

Kao xto je naglaxeno ovaj algoritam za usvajaǌe veliqina staǌa moe da se primenisamo u posebnom sluqaju kada u diferencijalnoj jednaqini ponaxaǌa ne postoje izvodi poulaznoj veliqini. Razmotrimo sada opxti sluqaj diferencijalne jednaqine ponaxaǌa nekoglinearnog stacionarnog dinamiqkog sistema

l∑

k=0

Akx(k)i (t) =

m∑

k=0

Bkx(k)u (t), m 6 l, Al = I. (4.130)

Za primenu narednog algoritma se podrazumeva da je matriqni koeficijent Al jediniqnamatrica

Al = I =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

...0 0 · · · 1

∈ RN×N .

U sluqaju da matrica Al nije jediniqna, a da je regularna, onda se jednaqina (4.130) mnois leve strane inverznom matricom A−1

l matrice Al.


Zbog jednostavnosti postupka se u sluqaju m < l formalno uvode sledee nula matrice

Bm+1 = Bm+2 = · · · = Bl = O,

pa jednaqina (4.130) postaje

l∑

k=0

Akx(k)i (t) =

l∑

k=0

Bkx(k)u (t), Al = I. (4.131)

Osnovni problem u definisaǌu veliqina staǌa u ovom sluqaju lei u izvodima vek-tora ulaza. Veliqine staǌa moraju da budu tako usvojene da eliminixu izvode vek-tora ulaza u jednaqini staǌa. Drugim reqima, sistem od n skalarnih diferencijal-nih jednaqina staǌa ne sme da ima izvode sa desnih strana jednaqina tog sistema.Leve strane jednaqina su predstavǉene samo prvim izvodom odgovarajue veliqinestaǌa. Na osnovu tih osobina sledi opxti oblik diferencijalne jednaqine staǌa ijednaqine izlaza:

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (4.132a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t). (4.132b)

Osnovni zadatak je da se na bazi Ak i Bk iz (4.131) odrede A, B, C i D iz (4.132).

Taj zadatak moe da se uradi na razne naqine, tj. raznim algoritmima za usvajaǌeveliqina staǌa. Jedan od naqina je da se definixe sledeih l vektora, pri qemu su oniN-dimenzionalni, xi ∈ RN , i = 1, 2, . . . , l, i koji suxtinski predstavǉaju n = lN veliqinastaǌa:

x1(t) = xi(t)− Blxu

x2(t) = x1(t) + Al−1xi(t)− Bl−1xu(t)x3(t) = x2(t) + Al−2xi(t)− Bl−2xu(t)x4(t) = x3(t) + Al−3xi(t)− Bl−3xu(t)

...xl−1(t) = xl−2(t) + A2xi(t)− B2xu(t)xl(t) = xl−1(t) + A1xi(t)− B1xu(t).

(4.133)

Ovakvim izborom veliqina staǌa, uz (4.131), se dobija:

x1(t) = −Al−1x1(t)+x2(t) + (Bl−1 −Al−1Bl)xu(t)x2(t) = −Al−2x1(t) + x3(t) + (Bl−2 −Al−2Bl)xu(t)

... (4.134)

xl−1(t) = −A1x1(t) +xl(t) + (B1 −A1Bl)xu(t)xl(t) = −A0x1(t) + (B0 −A0Bl)xu(t).

Sada mogu da se napixu opxti vektorski oblici diferencijalne jednaqine staǌa i jed-naqine izlaza, koji su, u matematiqkom smislu, ekvivalentni polaznom obliku matematiqkogmodela - diferencijalnoj jednaqini ponaxaǌa (4.131).

Jednaqina staǌa se dobija direktno iz jednaqine (4.134)

x(t) =

−Al−1 I O · · · O−Al−2 O I · · · O

......

......

...−A1 O O · · · I−A0 O O · · · O

x(t) +

Bl−1 −Al−1Bl

Bl−2 −Al−2Bl

...B1 −A1Bl

B0 −A0Bl

xu(t), (4.135)

a polazei od (4.133) gde je x1(t) usvojeno na sledei naqin

x1(t) = xi(t)− Blxu

dobija se jednaqina izlazaxi(t) = x1(t) + Blxu,


koja matriqno prikazana poprima sledei izgled

xi(t) =(I 0 · · · 0

)x(t) + Blxu(t). (4.136)

Zakǉuquje se da je postavǉeni zadatak rexen, tj. na bazi matrica Ak i Bk iz (4.131) suodreene matrice A, B, C i D iz jednaqine staǌa i jednaqine izlaza:

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (4.137a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t), (4.137b)

pri qemu su n = lN , x ∈ Rn, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×M , C ∈ RN×n i D ∈ RN×M definisani sa:

x(t) =

x1(t)x2(t)...

xl(t)

=

x11(t)x12(t)

...x1N (t)x21(t)x22(t)

...x2N (t)

...xl1(t)xl2(t)...

xlN (t)

=

x1(t)x2(t)...

xn(t)

, A =

−Al−1 I O · · · O−Al−2 O I · · · O

......

......

...−A1 O O · · · I−A0 O O · · · O

, B =

Bl−1 −Al−1Bl

Bl−2 −Al−2Bl

...B1 −A1Bl

B0 −A0Bl

,

(4.138)C =

(I 0 · · · 0,

), D = Bl. (4.139)

Matrica A je matrica staǌa i ona definixe dinamiqke osobine sistema, ǌome je u pot-punosti definisana promena staǌa nastala usled poqetnih odstupaǌa. U odeǉku o stabil-nosti e biti pokazano da je u ovoj matrici, tj. ǌenim sopstvenim vrednostima, sadranaosobina stabilnosti sistema.

Matrica B je matrica ulaza. ǋome je definisan uticaj ulaza na promenu staǌa sistema.Matrica C se naziva matrica izlaza i ona definixe vezu izmeu izlaza sistema i ǌegovogstaǌa - izlaz je samo linearna kombinacija veliqina staǌa. Matrica D izraava direktanuticaj ulaza na izlaz i naziva se matricom direktnog prenosa.

U posebnom sluqaju jednaqine (4.131), kada ona opisuje jednostruko prenosni sistem:

n∑

k=0

akx(k)i (t) =

n∑

k=0

bkx(k)u (t), an = 1,

jednaqina staǌa i jednaqina izlaza su oblika:

x(t) = Ax(t) + Bxu(t)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t)

gde su x ∈ Rn, A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×1, C ∈ R1×n i D ∈ R1×1 definisani sa:

x(t) =

x1(t)x2(t)...

xn(t)

, A =

−an−1 1 0 · · · 0−an−2 0 1 · · · 0

......

......

...−a1 0 0 · · · 1−a0 0 0 · · · 0

, B =

bn−1 − an−1bn

bn−2 − an−2bn

...b1 − a1bn

b0 − a0bn

,

C =(1 0 · · · 0

), D = bn.


Mx

u1

xi

xu2

m=0

b

k

Slika 4.36. Kolica na pokretnoj platformi.

Primer 22Ako se kolica koja su razmatrana u primeru 17 stave na pokretnu platformu, qija je masazanemariva, m = 0, slika 4.36, onda moe da se napixe sledea diferencijalna jednaqina

Md2xi(t)

dt2+ b

(dxi(t)

dt− dxu2(t)

dt

)+ k (xi(t)− xu2(t)) = xu1(t), (4.140)

odnosnoMxi(t) + bxi(t) + kxi(t) = xu1(t) + kxu2(t) + bxu2(t). (4.141)

Ako se uvede vektor ulaza u obliku xu =(xu1 xu2

)T, prethodna jednaqina moe da se

prikae kaoMxi(t) + bxi(t) + kxi(t) =

(1 k

)xu(t) +

(0 b

)xu(t).

Da bi se odredile jednaqina staǌa i jednaqina izlaza matriqni koeficijent Al morada bude jediniqna matrica, u ovom sluqaju to je skalar a2 koji je a2 = M . To znaqi daprethodna jednaqina mora da se podeli sa M :

xi(t) +b

Mxi(t) +

k

Mxi(t) =

(1M

k

M

)xu(t) +

(0

b

M

)xu(t).

Neka su:• M = 1 kg• b = 10 Ns/m• k = 20 N/m

onda difrencijalna jednaqina sa tim brojqanim vrednostima poprima sledei izgled

xi(t) + 10xi(t) + 20xi(t) =(1 20

)xu(t) +

(0 10

)xu(t).

Matrice iz jednaqine staǌa i jednaqine izlaza se sada jednostavno odreuje na baziformula (4.138) i (4.139):

A =(−a1 1−a0 0

)=

(−10 1−20 0

), B =

(B1 − a1B2

B0 − a0B2

)=

((0 10

)+ 10

(0 0

)(1 20

)+ 20

(0 0

))

=(

0 101 20

),

C =(1 0

), D = B2 =

(0 0

).

Prema tome jednaqina staǌa i jednaqina izlaza, razmatranih kolica na pokretnoj plat-formi, su:

x(t) =(−10 1−20 0

)x(t) +

(0 101 20

)xu(t), (4.142)

xi(t) =(1 0

)x(t). (4.143)

Na osnovu prethodno izloenog, lako se pokazuje da je prenosna matrica razmatranogsistema oblika

W(s) =(W1(s) W2(s)

)=

(1

s2 + 10s + 2010s + 20

s2 + 10s + 20

)

i tada je

Xi(s) = W(s)(

Xu1(s)Xu2(s)

).


4.6.1 Odreivaǌe kretaǌa i odziva sistemaRazmatra se sledei sistem, opisan u prostoru staǌa

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (4.144a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t). (4.144b)

Prva jednaqina je diferencijalna i ǌeno rexeǌe opisuje promenu staǌa u toku vremena,koja je izazvana bilo poqetnim odstupaǌima bilo dejstvom ulaza. Kada se do toga rexe-ǌa doe, onda je odreivaǌe odziva trivijalno s obzirom da je odziv definisan drugomjednaqinom koja je algebarska.

Prema tome osnovni problem lei u rexavaǌu jednaqine staǌa (4.144a). Rexeǌe tejednaqine definixe promenu vektora staǌa x(t) u toku vremena. Ta promena vektora staǌaodgovara promeni unutraxǌe fiziqke situacije sistema qiji matematiqki model je dat sa(4.144). To znaqi da kada se pojedine fiziqke veliqine u okviru razmatranog sistema meǌajuu toku vremena, onda se veliqine staǌa koje odgovaraju tim fiziqkim veliqinama meǌajuna istovetan naqin, i one predstavǉaju samo matematiqku interpretaciju tih promena.

Budui da se ovde razmatraju matematiqki modeli sistema, koji su verodostojnifiziqkim sistemima, onda utvrivaǌe promene vektora staǌa u potpunosti definixe di-namiqko ponaxaǌe fiziqkog sistema.

Dimenzija vektora staǌa n, x ∈ Rn, je ujedno i dimenzija ili red sistema, a skup taqakakroz koje moe da proe vektor staǌa je n-dimenzionalni vektorski prostor koji se nazivaprostor staǌa.

Skup taqaka kroz koji prolazi vektor staǌa poqev od taqke x(t0) u poqetnom trenutkut = t0, do nekog trenutka t je trajektorija staǌa T tog sistema kroz uoqeno x0 = x(t0). Skupsvih trajektorija sistema je lik staǌa ili portret staǌa.

Prema tome rexeǌe jednaqine staǌa (4.144a) kroz dati poqetni uslov x0 predstavǉatrajektoriju staǌa kroz to poqetno staǌe. To rexeǌe se uobiqajeno obeleava sa x(t), alie ovde da bude uvedena jedna funkcija koja to rexeǌe eksplicitnije iskazuje.

Definicija 4.6.1 Vektorska funkcija

χ(t; t0,x0;xu[t0,t]) = x(t) (4.145)

koja definixe zakon po kome sistem iz staǌa x0 u trenutku t0, prelazi u staǌe x(t) u tre-nutku t, a pod dejstvom ulaza xu(t) na intervalu [t0, t], u oznaci xu[t0,t], slika 4.37, se nazivafunkcija prelaza staǌa ili kretaǌe ili rexeǌe sistema (4.144).

±

U*

r0x

T

x(t0)

x(t)

χ(t; t0,x0;xu[t0,t])

Slika 4.37. Trajektorija staǌa.

Ova funkcija se naziva funkcija prelaza staǌa jer opisuje zakon po kome sistem prelaziiz staǌa u staǌe, tj. kako se sistem kree - pa otuda i drugi naziv kretaǌe. Kako je tafunkcija rexeǌe jednaqine (4.144a) otuda i ǌen trei naziv - rexeǌe.

Prema tome vrednost funkcije prelaza staǌa u nekom trenutku predstavǉa vektor staǌax(t) u tom trenutku i samim tim ta funkcija moe uvek da bude napisana u skraenom obliku,preko vektora staǌa. Meutim, ona je i uvedena da bi eksplicitnije pokazala razloge zakretaǌe sistema: iz kog se poqetnog staǌa, u kom poqetnom trenutku krenulo i pri kakvomvektoru ulaza:

χ( t︸︷︷︸tekuitrenutak

; t0,x0︸︷︷︸poqetniuslovi

; xu[t0,t]︸︷︷︸promenaulaza

) = x(t)︸︷︷︸vektor staǌa

u tekuem trenutku


Da bi neka funkcija χ(·) mogla da bude rexeǌe jednaqine (4.144a) ona mora da zadovoǉisledee uslove

• χ(·) je diferencijabilna po vremenu

• χ(·) identiqki zadovoǉava jednaqinu staǌa (4.144a):

d

dtχ(t; t0,x0;xu[t0,t]) ≡ Aχ(t; t0,x0;xu[t0,t]) + Bxu(t),

• χ(·) zadovoǉava poqetni uslov

χ(t0; t0,x0;xu(t0)) ≡ x0.

Ako je poqetni trenutak t0 = 0, onda se izraz za χ(·)

χ(t; 0,x0;xu[0,t])

pixe u skraenoj formi tako xto se poqetni trenutak izostavǉa, podrazumeva se da je nula

χ(t;x0;xu).

Budui da se odreivaǌem funkcije prelaza staǌa sistema, odreuju svi relevantniparametri dinamiqkog ponaxǌa sistema, onda je od fundamentalnog znaqaja ǌeno odrei-vaǌe i to u opxtem sluqaju jednaqine staǌa (4.144a). Najjednostavniji naqin da se odredikretaǌe je da se jednaqina staǌa rexi u kompleksnom domenu kompleksnog broja s.

Ako se na jednaqinu staǌa (4.144a) primeni Laplasov operator

Lx(t) = LAx(t) + Bxu(t) , (4.146)

dobija se, pri t0 = 0,sX(s)− x0 = AX(s) + BXu(s). (4.147)

Iz te jednaqine proistiqesIX(s)−AX(s) = BXu(s) + x0, (4.148)

odnosno(sI−A)X(s) = BXu(s) + x0. (4.149)

Matrica (sI − A) se naziva karakteristiqna matrica sistema. ǋena inverzna matrica(sI−A)−1 definisana sa

(sI−A)−1 =adj(sI−A)det (sI−A)

je rezolventna matrica matrice A.Kada se jednaqina (4.149) pomnoi rezolventnom matricom s leve strane dobija se kom-

pleksni lik rexeǌaX(s) = (sI−A)−1BXu(s) + (sI−A)−1x0. (4.150)

Primenom inverzne Laplasove transformacije na jednaqinu (4.150)

L−1 X(s) = L−1(sI−A)−1BXu(s) + (sI−A)−1x0

(4.151)

dobija se vremenski lik rexeǌa, tj. kretaǌa sistema

χ(t;x0;xu) = L−1(sI−A)−1BXu(s)

+ L−1

(sI−A)−1

x0. (4.152)

Ako se sistem nalazi u nominalnom radnom reimu u totalnim koordinatama Xu(t) =XuN (t), tj. u slobodnom radnom reimu po odstupaǌima xu(t) = 0u dobija se

χ(t;x0;0u) = L−1(sI−A)−1

x0. (4.153)

MatricaL−1

(sI−A)−1


se naziva fundamentalna matrica matrice A i oznaqava se sa Φ(t)

Φ(t) = L−1(sI−A)−1

, Φ(s) = (sI−A)−1

i ǌen kompleksni lik predstavǉa rezolventnu matricu matrice A. Prema tome, kretaǌesistema u slobodnom reimu rada je definisano sa:

χ(t;x0;0u) = Φ(t)x0. (4.154)

Odreivaǌe odziva sistema u trenutku t je, kao xto je ve naglaxeno, trivijalno kada sepoznaju vektor staǌa i vektor ulaza u tom trenutku. Poimo od jednaqine izlaza (4.144b).

Primenom Laplasove transformacije na jednaqinu izlaza

Lxi(t) = LCx(t) + Dxu(t) ,

odmah se dobija rexeǌe u kompleksnom domenu

Xi(s) = CX(s) + DXu(s).

Kada se u tu jednaqinu uvrsti izraqunato X(s) iz (4.150), ona postaje

Xi(s) = C[(sI−A)−1BXu(s) + (sI−A)−1x0

]+ DXu(s).

Preureeǌem te jednaqine proistiqe sledea

Xi(s) =[C(sI−A)−1B + D

]Xu(s) + C(sI−A)−1x0. (4.155)

I u toj jednaqini mogu da se uoqe dva dela: usled dejstva ulaza xu(t) i usled poqetnih od-stupaǌa x0. Vremenski lik odziva se dobija primenom inverzne Laplasove transformacije

xi(t) = L−1[

C(sI−A)−1B + D]Xu(s) + C(sI−A)−1x0

. (4.156)

Interesantno je prikazati odziv sistema pri nultim poqetnim uslovima, tj. kada jex0 = 0x. U tom sluqaju jednaqina (4.155) postaje

Xi(s) =[C(sI−A)−1B + D

]Xu(s). (4.157)

Potseaǌem da je, (4.37),Xi(s) = W(s)Xu(s),

i uporeivaǌem sa (4.157), zakǉuquje se da su prenosna matrica sistema i matrice A, B, Ci D iz (4.144) u sledeoj vezi:

W(s) = C(sI−A)−1B + D.

Ako se ta jednaqina napixe u razvijenom obliku

W(s) = Cadj(sI−A)det (sI−A)

B + D =Cadj(sI−A)B + Ddet (sI−A)

det (sI−A)

moe da se vidi da je imenilac prenosne matrice odreen determinantom karakteristiqnematrice det (sI−A).

Poznato je da se sopstvene vrednosti matrice A odreuju rexavaǌem karakteristiqnejednaqine:

f(s) = det (sI−A) = 0,

gde je f(s) karakteristiqni polinom matrice A. ǋegovi korenovi predstavǉaju sopstvenevrednosti matrice A.

Na osnovu gore navedenog zakǉuquje se da su polovi prenosne matrice jednaki sopstvenimvrednostima matrice A, odnosno korenovima karakteristiqnog polinoma:

s∗i [W(s)] = s∗i (A) = s∗i [f(s)] , ∀i = 1, 2, . . . , µ.


Primer 23Pokuxajmo da sve novouvedene pojmove iz ovog odeǉka ilustrujemo na kolicima iz prethodnogprimera, u kome je odreen matematiqki model u prostoru staǌa:

x(t) =(−10 1−20 0

)x(t) +

(0 101 20

)xu(t), (4.158a)

xi(t) =(1 0

)x(t). (4.158b)

Red, dimenzija, ovog sistema je n = 2. Sistem ima dve veliqine staǌa. U Matlabu seovaj sistema definixe na sledei naqin:

A = [-10 1; -20 0];B = [0 10; 1 20];C = [1 0];D = [0 0];sistem = ss(A, B, C, D);

Karakteristiqna matrica matrice A, (sI−A), se dobija ukucavaǌem>> syms s; s * eye(2) - Aans =[ s+10, -1] [ 20, s]

xto znaqi da je

(sI−A) =(

s + 10 −120 s

).

Rezolventna matrica je>> inv(ans)ans =[ s/(s^2+10*s+20), 1/(s^2+10*s+20)][ -20/(s^2+10*s+20), (s+10)/(s^2+10*s+20)]

(sI−A)−1 =

s

s2 + 10s + 201

s2 + 10s + 20−20

s2 + 10s + 20s + 10

s2 + 10s + 20

.

Rexeǌe jednaqine staǌa (4.158a) u kompleksnom domenu je, na osnovu jednaqine (4.150),

X(s) = (sI−A)−1BXu(s) + (sI−A)−1x0 =

s

s2 + 10s + 201

s2 + 10s + 20−20

s2 + 10s + 20s + 10

s2 + 10s + 20

[(0 101 20

)Xu(s) + x0

].

Sreivaǌem ove jednaqine i primenom inverzne Laplasove transformacije odreuje sekretaǌe sistema, a iz ǌega i ulaza se zatim odreuje odziv sistma. U ovom primeru to daǉenee biti raeno klasiqim naqinom, ve e za ta izraqunavaǌa da se iskoriste Matlabovemogunosti. Izvrximo sledei Matlab skript, ProstorStanja.m.

close all, clear, pack, clc

% sistem u prostoru stanja

A = [-10 1; -20 0];

B = [0 10; 1 20];

C = [1 0];

D = [0 0];

sistem = ss(A, B, C, D);

% trajektorija stanja

figure (1)

x0 = [1; 1];

[y, t, x] = initial(sistem, x0);

plot(x(:,1), x(:,2)); grid

axis equal

xlabel(’x_1(t)’)


ylabel(’x_2(t)’)

% lik stanja sistema

figure (2)

hold on; grid

for x1 = -2:0.5:2

for x2 = -2:0.5:2

x0 = [x1; x2];

[y, t, x] = initial(sistem, x0);

plot(x(:,1), x(:,2))

end

end

xlabel(’x_1(t)’)

ylabel(’x_2(t)’)

% odskochni odziv sistema

figure (3)

step(sistem); grid

% odskochni odziv sistema pri nenultim pochetnim uslovima

figure (4)

t = 0:0.001:3;

xu = [ones(length(t), 1) ones(length(t), 1)];

[y, x] = lsim(A, B, C, D, xu, t, [2; -0.1]);

plot(t, x); grid

legend(’x_1’, ’x_2’)

xlabel(’t’)

ylabel(’x_1(t), x_2(t)’)

% prenosna matrica

W = tf(sistem)

Na slici 4.38 je ilustrovana promena staǌa sistema u slobodnom reimu rada, xu = 0u.To kretaǌe je izazvano poqetnim odstupaǌem x0 = (1 1)T .

−0.5 0 0.5 1 1.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1(t)

x 2(t)

Slika 4.38. Trajektorija staǌa kroz x0 = (1 1)T .

Prikazana trajektorija staǌa predstavǉa grafiqku interpretaciju funkcije prelazastaǌa kroz dato poqetno staǌe, a ǌen analitiqki oblik moe da se dobije iz jednaqinekoja opisuje kretaǌe sistema u slobodnom radnom reimu:

χ(t;(1 1

)T ;0u) = Φ(t)(

11

).


Sa slike 4.38 moe da se vidi da obe veliqine staǌa konvergiraju ka nuli, tj. vektor staǌakonvergira nultom staǌu x = 0x.

Na slici 4.39 je prikazan lik staǌa sistema. Na osnovu ǌega moe da se zakǉuqi kakva suponaxaǌa kolica iz bilo kog poqetnog staǌa, kada se ta kolica izvedu iz nultog poloaja,a zatim prepuste sama sebi, tj. kada je ulaz xu = 0u.

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1(t)

x 2(t)

Slika 4.39. Lik staǌa kolica sa pokretnom platformom.

Odreivaǌe odziva je takoe izuzetno jednostavno i na slici 4.40 su prikazani odzivisistema i to:

• na levoj strani te slike je odziv na xu(t) = (h(t) 0)T , tj. na jediniqnu odskoqnu promenuprve ulazne veliqine, kada je druga ulazna veliqina jednaka nuli.

• na desnoj strani iste slike je suprotna situacija: prva ulazna veliqina je nultevrednosti, dok je druga jednaka Hevisajdovoj funkciji xu(t) = (0 h(t))T .

0 0.5 1 1.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4From: In(1)

0 0.5 1 1.5

From: In(2)

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Slika 4.40. Odziv sistma pri nultim poqetnim uslovima.

Posledǌa slika iz ovog primera ilustruje funkciju prelaza staǌa, tj. kretaǌe sistemau najopxtijem sluqaju: ulazi u sistem su razliqiti od nule i poqetni uslovi takoe. Ta


slika ilustruje rexeǌe

X(s) =

s

s2 + 10s + 201

s2 + 10s + 20−20

s2 + 10s + 20s + 10

s2 + 10s + 20

[(0 101 20

)(Xu1(s)Xu2(s)

)+

(x10

x20

)]

i to u vremenskom domenu, pri:

xu1(t) = h(t) ⇒ Xu1(s) =1s, xu2(t) = h(t) ⇒ Xu2(s) =

1s,

x1(t)∣∣t=0

= x10 = 2, x2(t)∣∣t=0

= x20 = −0, 1.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

t

x 1(t),

x2(t

)

x

1

x2

Slika 4.41. Kretaǌe sistema.

Na toj slici su dve krive, s obzirom da je sistem drugoga reda, odnosno vektor staǌa jeelement dvodimenzionog prostora. Kada je vektor staǌa n-dimenzioni i kada on pripada n-dimenzionom prostoru staǌa, to samo znaqi da bi na ovoj slici bilo prikazano n krivih. Nataj naqin se stiqe kompletan uvid o ponaxaǌu svih veliqina kojima je odreeno dinamiqkoponaxaǌe sistema. Izlaz je samo spoǉna manifestacija trenutnog staǌa sistema i trenutnevrednosti ulaza. Zato je informacija koja se dobija pri prouqavaǌu sistema u prostorustaǌa sveobuhvatnija i potpunija nego ona koja se dobija analizom izlaza.

S obzirom da je jednaqina izlaza ovog sistema:

xi(t) =(1 0

)x(t) = x1(t),

onda promena prve veliqine staǌa (plava kriva na slici 4.41) predstavǉa ujedno i promenuizlazne veliqine, tj. pozicije kolica.

Posledǌe dve linije koda primoravaju Matlab da matematiqki model iz prostora staǌakonvertuje u ekvivalentni model u obliku prenosne matrice:

Transfer function from input 1 to output:1

---------------s^2 + 10 s + 20

Transfer function from input 2 to output:10 s + 20

---------------s^2 + 10 s + 20


Poglavǉe 5

Analiza linearnih stacionarnihdinamiqkih sistema

5.1 Stacionarni sistemiPojam nestacionarnosti sistema se vezuje za ǌegovu vremensku promenǉivost. Taj pojam sevrlo qesto poistoveuje sa vremenskim promenama pojedinih ǌegovih veliqina. Meutim,ako su te promene izazvane ulazom ili poqetnim odstupaǌima, onda je to vremenski odzivsistema, koji u opxtem sluqaju nije konstantne vrednosti ve je vremenski promenǉiv.

Samim tim potrebno je precizno definisati pojam nestacionarnosti sistema. Oznaqimosa xu(t) ulazni signal koji je za σ pomeren du vremenske ose

xu(t) = xu(t + σ),

gde je σ proizvoǉan realan broj.

Definicija 5.1.1 Dinamiqki sistem je stacionaran (vremenski nepromenǉiv, kon-stantan) ako i samo ako on poseduje sledee dve osobine.

(I) Izbor poqetnog trenutka ne utiqe na kretaǌe sistema,

χ(t; t0,x0;xu[t0,t]) ≡ χ(t + σ; t0 + σ,x0; xu[t0+σ,t+σ]),

xto je ilustrovano na slici 5.1.

-

6χ(·)

t

x0

t0 t0 + σ τ τ + σ

stacionaran

nestacionaran

χ(t; t0,x0;xu[t0,τ ]

)χ

(t; t0 + σ,x0; xu[t0+σ,τ+σ]

)

χ(t; t0 + σ,x0; xu[t0+σ,τ+σ]

)

Slika 5.1. Kretaǌe stacionarnog i nestacionarnog sistema.

85

86 Poglavǉe 5. Analiza linearnih stacionarnih dinamiqkih sistema

(II) Vreme ne utiqe eksplicitno (direktno) na vrednost izlaza sistema:

xi(t) = χi

(x(t),xu(t)

).

Prva osobina (I) stacionarnog sistema pokazuje da izbor poqetnog trenutka nema uticajana ǌegovo kretaǌe. Zato, bez gubitka u opxtosti, moe da se usvoji proizvoǉan poqetnitrenutak, a najjednostavnije je da to bude t0 = 0.

Tada seχ(t; 0,x0;xu[0,t])

pixe u skraenoj formi tako xto se poqetni trenutak izostavǉa, podrazumeva se da je nula

χ(t;x0;xu),

pri qemu se xu koristi u smislu xu[0,t].Funckija χi(·), iz osobine (II), se naziva funkcija odziva sistema. Ona jednoznaqno

odreuje promenu izlaza sistema u zavisnosti od promene ǌegovog staǌa i ǌegovog ulaza.Vrednost χi(x(t),xu(t)) funkcije χi(·) u trenutku t je vektorska vrednost izlaza sistema utom trenutku t.

Ako se u funkciji odziva χi(·) staǌe x(t) zameni kretaǌem χ(t;x0;xu) onda se dobija

χi

(χ(t;x0;xu),xu(t)

)

xto predstavǉa odziv sistema u trenutku t. I ovde se vidi da je poznavaǌem kretaǌa ipromene ulaza odziv sistema jednoznaqno definisan.

Ilustracija osobine stacionarnosti dinamiqkih sistema je data u nastavku. Sistemkoji se ispituje je sistem iz prethodnog priemra (kolica na pokretnoj platformi). Ulazsistema je definisan na sledei naqin:

xu(t) =(

xu1(t)xu2(t)

)=

(0, 5t4 sin t

).

Sistem se ispituje tako xto se u tri simulacije pobuuje sa tri razliqita ulaza, pri-kazana na slici 5.2, pri tome sistem uvek kree iz istog poqetnog staǌa x0 = (0, 02 −0, 04)T :a) odreuje se kretaǌe sistema od t0 = 0 do τ = 5:

χ(t; t0,x0;xu[t0,τ ]) = χ(t; 0, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[0,5]).

Promena ulaza je prikazana na levoj slici slike 5.2, a kretaǌe sistema je dato naslici 5.3.

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[0,5]

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[5,10]

0 5 10−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

xu1

xu2

t

xu[5,10]

Slika 5.2. Promena ulaza u tri simulacije (s leva na desno).

5.1. Stacionarni sistemi 87

0 1 2 3 4 5−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

‖x‖

t

Slika 5.3. Kretaǌe χ(t; 0, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[0,5]) u prvoj simulaciji.

b) Naredni sluqaj predstavǉa ispitivaǌe sistema ako se poqetni trenutak pomeri za σ,σ = 5. Sredǌa slika slike 5.2 ilustruje promenu ulaza koji deluje na dati sistem, priqemu je u poqetnom trenutku sistem bio u istom poqetnom staǌu:

χ(t + σ; t0 + σ,x0;xu[t0+σ,τ+σ]) = χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[5,10]).

Rezultati ovakve simulacije prikazani su na slici 5.4.

5 6 7 8 9 10−6

−4

−2

0

2

4

6

8

t

x1

x2

‖x‖

Slika 5.4. Kretaǌe χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ;xu[5,10]) u drugoj simulaciji.

Uporeujui rezultate sa slike 5.3 i 5.4 oqigledno je da su oni razliqiti. Pri tomesu poqetni uslovi, tj. poqetno staǌe, bili isti u obe simulacije. Razlika je u promeniulaza. Uporeujui ulaze kojima je sistem bio izloen, leva i sredǌa slika slike 5.2,zakǉuquje se da su oni razliqiti,

xu[t0+σ,τ+σ] 6= xu[t0,τ ],

tj.xu[5,10] 6= xu[0,5].


Prema tome, utvrivaǌe osobine stacionarnosti se sprovodi ispitivaǌem sistema urazliqitim poqetnim trenutcima, ali pri tome, uslovi ispitivaǌa moraju da buduisti:

– sistem pri svim ispitivaǌima mora da krene iz istog poqetnog staǌa,– promena ulaza tokom svih ispitivaǌa mora da bude ista.

v) U ovom sluqaju svi uslovi su isti kao tokom prve simulacije: i poqetno staǌe ipromena ulaza (samo poqetni trenutak vixe nije 0, ve je 5):

xu[t0+σ,τ+σ] = xu[t0,τ ],

tj., xto se vidi poreeǌem leve i desne slike, slike 5.2,

xu[5,10] = xu[0,5],

xto dovodi do sledeeg oblika kretaǌa

χ(t + σ; t0 + σ,x0; xu[t0+σ,τ+σ]) = χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ; xu[5,10]).

Slika 5.5 pokazuje da je dobijeno kretaǌe identiqki jednako kretaǌu iz prve sim-ulacije, slika 5.3, xto znaqi da izbor poqetnog trenutka ne utiqe na kretaǌe, a sobzirom da i jednaqina izlaza (4.158b) ne zavisi eksplicitno od vremena, onda premadefiniciji zakǉuqujemo da su razmatrana kolica na pokretnoj platformi stacionaransistem.

5 6 7 8 9 10−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

x1

x2

‖x‖

t

Slika 5.5. Kretaǌe χ(t + 5; 5, (0, 02 − 0, 04)T ; xu[5,10]) u treoj simulaciji.

Ovim se objaxǌava suxtinska vanost korixeǌa operatora pomeraǌa du vremenskeose, za σ, u definiciji osobine stacionarnosti:

xu(t) = xu(t + σ).

5.1.1 Fiziqko poreklo nestacionarnostiU sluqaju da prethodna definicija nije zadovoǉena onda je takav sistem nestacionaran(vremenski promenǉiv). Nestacionarnost je osobina koja se vrlo qesto sree kod sistema,a ǌeno fiziqko poreklo moe da bude vixestruko.

• Jedan uzrok nestacionarnosti je vezan za stareǌe materijala zbog qega se meǌaju ka-rakteristike elemenata. Proces zamora materijala se odvija u svakom materijalu, alion moe da bude i najqexe je vrlo spor u odnosu na vek rada tog sistema. Zato se pro-mene vrednosti parametara i karakteristika izazvanih stareǌem najqexe zanemaruju.

5.2. Linearni sistemi 89

Jedino ako je brzina tog procesa reda veliqine brzine odvijaǌa fiziqkih procesa usistemu onda zanemarivaǌe promene vrednosti parametara i karakteristika sistemau toku vremena nemaju opravdaǌa. Kada se one zadre u matematiqkom modelu onda onpostaje vremenski promenǉiv tj. nestacionaran.

• Drugi opxti uzrok nestacionarnosti maxinskih elemenata u kretaǌu je vezan za treǌei habaǌe. Procesi treǌa i habaǌa takoe izazivaju promene vrednosti parametara ikarakteristika sistema i sve xto je reqeno za prvi sluqaj vai i ovde.

• Trei uzrok moe da bude vezan za fiziqku prirodu samog sistema, za fizikalnostprocesa koji se u ǌemu odvija. Tipiqan primer je raketa. Dominantni deo mase raketeje masa goriva. U matematiqkom modelu rakete masa goriva se pojavǉuje kao parametaru okviru mase qitave rakete. Odnos mase goriva prema masi cele rakete pred poletaǌene moe da se zanemari. Zato ne moe da se zanemari promena mase goriva u toku letarakete. To znaqi da parametar u matematiqkom modelu rakete koji predstavǉa ǌenumasu predstavǉa neprekidnu funkciju vremena i zanemarivaǌe te promene predstavǉavrlo grubo uproxeǌe. Zbog ove vremenske promene mase goriva te i mase cele raketeona je suxtinski nestacionaran sistem. Dovoǉno taqan matematiqki model rakete jetakoe nestacionaran. Sve ovo vai i za avion, brod, automobil, ..., ali je kod ǌihodnos mase goriva prema ukupnoj masi sistema dosta maǌi nego kod rakete. Zato se kodǌih nestacionarnost ǌihove mase vrlo qesto zanemaruje.Kod manipulatora i robota se vremenom meǌa masa tereta tokom izvrxavaǌa odreenihoperacija. Teret u toku prenoxeǌa je qvrsto vezan hvataǉkom za manipulator ilirobot i sa stanovixta celokupne mase i momenta inercije teret je deo celog sistema.Znaqi da je masa tereta deo mase celog sistema i odreuje i moment inercije posledǌegqlanka. Usled promene tereta u toku operacije meǌa se i masa i moment inercijeposledǌeg qlanka tj. sistema. U matematiqkom modelu manipulatora i robota ta masai moment inercije se javǉaju kao vremenski promenǉivi koeficijenti. Jasno je da seovakav vid nestacionarnosti javǉa i kod mnogih drugih sistema npr. kod hidrauliqkihservo motora kada pokreu neki teret, kruto vezan za klipǌaqu, qija se masa meǌa utoku vremena.

5.2 Linearni sistemiRazmatra se sistem qiji matematiqki model u prostoru staǌa moe da se predstavi u na-jopxtijem (nelinearnom) obliku:

x(t) = f(x(t),xu(t)

), (5.1a)

xi(t) = g(x(t),xu(t)

), (5.1b)

gde su f i g, iz jednaqine staǌa i jednaqine izlaza, proizvoǉne vektorske funkcije.

Definicija 5.2.1 Sistem (5.1) je linearan ako i samo ako za ǌega vai zakon super-pozicije, tj. ako i samo ako taj sistem poseduje sledee dve osobine:

(I) ǌegovo kretaǌe χ je linearno i po poqetnom staǌu i po ulazu

χ(t; α1x01 + α2x02; α1xu1 + α2xu2) ≡ α1χ(t;x01;xu1) + α2χ(t;x02;xu2)

(II) ǌegova funkcija izlaza g je linearna i po staǌu i po ulazu:

g(α1x1 + α2x2, α1xu1 + α2xu2) ≡ α1g(x1,xu1) + α2g(x2,xu2).

Osobina (II) razmatranog sistema (5.1) se lako proverava ispitivaǌem zakona superpozi-cije na funkciji izlaza g.

Da bi se proverila osobina (I) prvo mora da se rexi nelinearna diferencijalna jedna-qina staǌa (5.1a). ǋeno rexeǌe je funkcija prelaza staǌa χ.

Prema tome, ispitivaǌe osobina linearnosti sistema, kao i osobina stacionarnostisistema, prema navedenim definicijama, zahteva odreivaǌe rexeǌa jednaqine (5.1a). Tajpostupak moe da bude vrlo komplikovan.

Drugi pristup za odreivaǌe ovih osobina je primena odgovarajuih kriterijuma kojise izlau u nastavku.


Teorema 5.2.1 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku jednaqine staǌa (5.1a) ijednaqine izlaza (5.1b). Da bi taj sistem bio:a) linearan potrebno je i dovoǉno da su i funkcija f i funkcija g linearne i po staǌu i

po ulazu:f(x(t),xu(t)

)= Ax(t) + Bxu(t), A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×M ,

g(x(t),xu(t)

)= Cx(t) + Dxu(t), C ∈ RN×n, D ∈ RN×M ,

tj. da je sistem (5.1) oblika

x(t) = Ax(t) + Bxu(t) (5.2a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t) (5.2b)

b) da bi taj linearni sistem (5.2) bio stacionaran potrebno je i dovoǉno da su matriceA, B, C i D konstantne, tj. da su svi ǌihovi koeficijenti konstantnih vrednosti.

Teorema 5.2.2 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku diferencijalne jednaqineponaxaǌa. Da bi taj sistem bio linearan i stacionaran potrebno je i dovoǉno da je ǌegovadiferencijalna jednaqina ponaxaǌa linearna

l∑

k=0

Akx(k)i (t) =

m∑

k=0

Bkx(k)u (t), m 6 l (5.3)

sa svim konstantnim koeficijentima,

Ak ∈ RN×N , ∀k = 0, 1, . . . , l

Bk ∈ RN×M , ∀k = 0, 1, . . . , m.

Oqigledno je da je utvrivaǌe osobina stacionarnosti i linearnosti sistema korix-eǌem prethodnih teorema, tj. kriterijuma, znaqajno jednostavnije nego korixeǌem odgo-varajuih definicija.

5.3 eǉeni i stvarni radni reim

5.3.1 eǉeni radni reimIz definicije objekta proistiqe vanost kvaliteta ǌegovog odziva u odnosu na ǌegov e-ǉeni odziv, tj. vanost kvaliteta ǌegovog stvarnog dinamiqkog ponaxaǌa u odnosu na ǌe-govo eǉeno dinamiqko ponaxaǌe.

Moe da se govori o nominalnom (neporemenom) dinamiqkom ponaxaǌu, odnosno,odzivu sistema XiN (·), i o ǌegovom stvarnom (poremeenom) odzivu Xi(·). U tehniqkomizraavaǌu se koriste pridevi ”nominalni” i ”stvarni” (”nenominalni”). Ako je sis-tem objekt ili sistem automatskog upravǉaǌa objekta onda se umesto prideva ”nominalni”koristi pridev ”eǉeni” i koristi se oznaka Xiz(·):

Xiz(·) = XiN (·).U istom smislu se razlikuju nominalno (neporemeeno) kretaǌe χN (·) i stvarno(poremeeno) kretaǌe χ(·) dinamiqkog sistema. Ako je taj sistem objekt, bilo da je uprav-ǉan ili neupravǉan, onda se ǌegovo nominalno kretaǌe naziva: eǉeno kretaǌe i oznaqavasa χz(·),

χz(·) = χN (·).

Definicija 5.3.1 Sistem se nalazi u nominalnom radnom reimu ako i samo ako jeǌegov stvarni izlaz jednak ǌegovom nominalnom izlazu

χi

(X∗(t),X∗

u(t)) ≡ XiN (t).

Par(X∗(t),X∗

u(t))koji to obezbeuje je nominalan za dati sistem i oznaqava se sa

(XN (t),XuN (t)

)=

(X∗(t),X∗

u(t)).

5.3. eǉeni i stvarni radni reim 91

Kada je eǉeno dinamiqko ponaxaǌe sistema definisano, postavǉa se pitaǌe kako odred-iti nominalne vrednosti vektora staǌa i vektora ulaza, tj. kako odrediti nominalni par(XN (t),XuN (t)

). Odgovor se krije u matematiqkom modelu sistema. Iskaimo to najpre

preko naredne dve teoreme.

Teorema 5.3.1 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku vektorske diferencijalnejednaqine ponaxaǌa u totalnim koordinatama:

l∑

k=0

AkX(k)i (t) =

m∑

k=0

BkX(k)u (t), m 6 l. (5.4)

Da bi ulaz Xu bio nominalan za taj sistem u odnosu na XiN potrebno je i dovoǉno da vai:

m∑

k=0

BkX(k)uN (t) =

l∑

k=0

AkX(k)iN (t). (5.5)

Prema tome, nominalni ulaz XuN se dobija rexavaǌem diferencijalne jednaqine (5.5),pri qemu je desna strana te jednaqine poznata funkcija vremena, ǌu qine funkcija Xiz = XiN

i ǌeni izvodi.Naredna teorema je analogna prethodnoj, samo je matematiqki model korixen u iskazu

teoreme drugaqiji.

Teorema 5.3.2 Neka je matematiqki model sistema dat u obliku vektorske diferencijalnejednaqine staǌa u totalnim koordinatama (5.6) i vektorske jednaqine izlaza u totalnimkoordinatama (5.7)

X(t) = AX(t) + BXu(t), (5.6)

Xi(t) = CX(t) + DXu(t). (5.7)

Da bi par (X,Xu) bio nominalan za taj sistem u odnosu na XiN potrebno je i dovoǉno davae (5.8) i (5.9):

XN (t) = AXN (t) + BXuN (t), (5.8)

CXN (t) + DXuN (t) = XiN (t). (5.9)

Odreivaǌe nominalnih vrednosti zahteva poznavaǌe matematiqkog modela datog sis-tema. U nastavku se usvaja da vai sledea pretpostavka:

Pretpostavka 5.3.1 Za razmatrani sistem odreen je nominalni par(XN (t),XuN (t)

)u

odnosu na eǉeno dinamiqko ponaxaǌe XiN .

Postupak odreivaǌa nominalnog para prikazuje se u narednom primeru.

Primer 24Matematiqki model kolica na pokretnoj platformi je na osnovu prethodnih primera oblika:

Xi(t) + 10Xi(t) + 20Xi(t) =(1 20

)Xu(t) +

(0 10

)Xu(t).

Neka je eǉeno dinamiqko ponaxaǌe u obliku oscilatorne funkcije, tj. elimo da se kolicapomeraju na sledei naqin:

Xiz(t) = sin (t). (5.10)

Odredimo ulazne veliqine Xu1N i Xu2N odnosno nominalni vektor ulaza XuN koji e daprimora kolica da se ponaxaju po zakonu definisanom sa (5.10).

Prema prethodnim teoremama, a za ovaj primer, treba rexiti sledeu diferencijalnujednaqinu:

1∑

k=0

BkX(k)uN (t) =

2∑

k=0

akX(k)iN (t).

tj. (0 10

)XuN (t) +

(1 20

)XuN (t) = Xiz(t) + 10Xiz(t) + 20Xiz(t). (5.11)


S obzirom da je:

Xiz(t) = sin (t) ⇒ Xiz(t) = cos (t) ⇒ Xiz(t) = − sin (t),

onda je desna strana jednaqine (5.11) poznata funkcija vremena:(0 10

)XuN (t) +

(1 20

)XuN (t) = − sin (t) + 10 cos (t) + 20 sin (t) = 19 sin (t) + 10 cos (t). (5.12)

Reximo ovu diferencijalnu jednaqinu korixeǌem Laplasovih transformacija. Nekasu svi poqetni uslovi nulti.

(0 10

)sXuN (s) +

(1 20

)XuN (s) = 19

1s2 + 1

+ 10s

s2 + 1(5.13)

odakle se dobija((

0 10)s +

(1 20

))XuN (s) =

19 + 10s

s2 + 1, (5.14)

odnosno (1 20 + 10s

)XuN (s) =

19 + 10s

s2 + 1, (5.15)

pa se na kraju izraqunava

Xu1N (s) + (20 + 10s)Xu2N (s) =19 + 10s

s2 + 1, (5.16)

S obzirom da imamo dve ulazne veliqine, jednu moemo da izaberemo proizvoǉno. Nekase npr. pokretna platforma pomera po sledeem zakonu:

Xu2N (t) = 0, 5 sin (t) ⇒ Xu2N (s) =0, 5

s2 + 1

Kada se to uvrsti u (5.16) dobija se

Xu1N (s) + (20 + 10s)0, 5

s2 + 1=

19 + 10s

s2 + 1, (5.17)

odakle proistiqe rexeǌe u kompleksnom domenu

Xu1N (s) = −10 + 5s

s2 + 1+

19 + 10s

s2 + 1=

9 + 5s

s2 + 1. (5.18)

Vremenski lik ulazne veliqine Xu1 se dobija primenom inverzne Laplasove transformacije:

Xu1(t) = L−1

9

s2 + 1

+ L−1

5s

s2 + 1

= 9 sin (t) + 5 cos (t).

Prema tome nominalni ulaz kolica u obliku

XuN (t) =(

9 sin (t) + 5 cos (t)0, 5 sin (t)

)

obezbeuje eǉeni izlaz kolica u obliku

Xiz(t) = sin (t).

Na slici 5.6 su prikazani rezultati simulacije kolica pri izraqunatim nominalnimulazima i pri x0 = (0 0)T . Na desnoj slici navedene slike (kao i slike 5.7) nalaze se trikrive:

• plava kriva predstavǉa rezultat dobijen simulacijom

• zelena kriva je kriva eǉene vrednosti Xiz(t) = sin (t)

• crvena kriva predstavǉa razliku zelene i plave, tj. grexku ε.

5.3. eǉeni i stvarni radni reim 93

0 1 2 3 4 5−15

−10

−5

0

5

10

15

Xu1N

Xu2N

t

Xu1N

,Xu2N

0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

XiN

,sin

(t),

ε

ε

XiN

sin (t)

Slika 5.6. Rezultati simulacije iz poqetnog staǌa x0 = (0 0)T .

Sa slike 5.6 moe da se uoqe razlika izmeu stvarnog i eǉenog odziva, odnosno uoqavase postojaǌe grexke. Razlog za to je xto simulacija nije poqela iz odgovarajuih poqetnihuslova.

Veliqine staǌa su usvojene na naqin opisan sa (4.133), xto je u sluqaju razmatranihkolica oblika:

X1(t) = Xi(t)− B2Xu = Xi(t)− (0 0)T Xu = Xi

X2(t) = X1(t) + a1Xi(t)− B1Xu(t) = Xi(t) + 10Xi(t)− (0 10)Xu(t) = Xi(t) + 10Xi(t)− 10Xu2(t).

U trenutku t = 0 ǌihove vrednosti su

X10 = Xi0 = sin (0) = 0,

X20 = Xi0 + 10Xi0 − 10Xu20 = cos (0) + 10 sin (0) + 0, 5 sin (0) = 1.

Prema tome poqetni uslov koji treba da se koristi tokom simulacije je:

X0 = (0 1)T

i rezultati takve simulacije su prikazani na slici 5.7.

0 1 2 3 4 5−15

−10

−5

0

5

10

15

Xu1N

Xu2N

t

Xu1N

,Xu2N

0 1 2 3 4 5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

XiN

,sin

(t),

ε

ε

XiN

sin (t)

Slika 5.7. Rezultati simulacije iz poqetnog staǌa x0 = (0 1)T .


Na kraju moe da se zakǉuqi da je nominalni par(XN (t),XuN (t)

)kolica na pokretnoj

platformi za Xiz(t) = sin (t), oblika

(XN (t), XuN (t)

)=

((01

),

(9 sin (t) + 5 cos (t)

0, 5 sin (t)

)).

5.3.2 Stvarni radni reimStvarni radni reim moe da bude nominalni, ali je on qexe nenominalan. Tada je odinteresa razmatraǌe odstupaǌa stvarnog radnog reima od nominalnog radnog reima.

Uvode se sledea odstupaǌa:

x = X−XN ⇒ [(x = 0x) ⇔ (X = XN )

], (5.19a)

xi = Xi −Xiz ⇒ [(xi = 0i) ⇔ (Xi = Xiz)

], (5.19b)

xu = Xu −XuN ⇒ [(xu = 0u) ⇔ (Xu = XuN )

]. (5.19v)

Velika slova oznaqavaju totalne vrednosti odgovarajuih veliqina u odnosu na totalnikoordinatni sistem koji je vezan za vremensku osu t, slika 5.8.

ªj

6

X1

X2

Xn

ªj

6

x1

x2

xn

Tt

TtNX(τ)

x(τ)

XN (τ)

0x

0x

-t

t = τt = 0

~

3º

Á^

Slika 5.8. ǈapunovǉeva transformacija koordinata.

Mala slova oznaqavaju odstupaǌa odgovarajuih veliqina koja se raqunaju u odnosu nakoordinatni sistem koji je vezan za odgovarajue nominalno ponaxaǌe (na slici 5.8 je tonominalno kretaǌe predstavǉeno nominalnom integralnom trajektorijom TtN

1).Geometrijski ova transformacija koordinata je odreena translacijom koordinatnog

sistema iz koordinatnog poqetka X = 0x, Xi = 0i i Xu = 0u u x = 0x, xi = 0i i xu = 0u,sledstveno.

Dinamiqki ova transformacija znaqi da se nominalna integralna trajektorija uzima zamesto koordinatnog poqetka tako da koordinatni poqetak x = 0x putuje du te nominalneintegralne trajktorije TtN tokom vremena, slika 5.8.

S obzirom da je ovakvu transformaciju koordinata uveo ǈapunov, ona se po ǌemu inaziva ǈapunovǉeva transformacija koordinata.

Uspostavimo vezu izmeu ova dva koordinatna sistema sa slike 5.8: sistema u totalnimkoordinatama i sistema po odstupaǌima.

Ako se od jednaqine (5.4) oduzme jednaqina (5.5) dobija se:

l∑

k=0

Ak [Xi(t)−XiN (t)](k) =m∑

k=0

Bk [Xu(t)−XuN (t)](k). (5.20)

1Trajektorija staǌa T je definisana u prostoru staǌa, gde ne postoji vremenska osa. Kada se prostorustaǌa pridoda vremenska osa on postaje integralni prostor staǌa, a trajektorija T postaje integralnatrajektorija staǌa Tt

5.4. Pojaqaǌa sistema 95

Ta jednaqina i jednaqine (5.19b) i (5.19v) dovode do diferencijalne jednaqine po odstupa-ǌima

l∑

k=0

Akx(k)i (t) =

m∑

k=0

Bkx(k)u (t), (5.21)

xto pokazuje da je matematiqki model u obliku diferencijalne jednaqine po odstupaǌima(5.21) i diferencijalne jednaqine u totalnim koordinatama (5.4) istoga reda sa istim ma-triqnim koeficijentima. Prema tome, oba matematiqka modela mogu potpuno ravnopravnoda se koriste u kvalitativnoj analizi sistema.

Uporedimo i matematiqke modele u prostoru staǌa. Od jednaqine (5.6) oduzmimo jedna-qinu (5.8). Rezultat je

d

dt[X(t)−XN (t)] = A [X(t)−XN (t)] + B [Xu(t)−XuN (t)] . (5.22)

Kombinacijom ove jednaqine sa jednaqinama (5.19a) i (5.19v) dobija se:

dx(t)dt

= Ax(t) + Bxu(t), (5.23)

xto ukazuje da se jednaqina staǌa u totalnim koordinatama (5.6) i jednaqina staǌa poodstupaǌima (5.23) ne razlikuju ni u redu ni u koeficijentima. Jedina ǌihova razlika jeu rexeǌima koja se razlikuju za nominalnu vrednost.

Ako se od jednaqine (5.7) oduzme jednaqina (5.9) dobija se rezultat u obliku

Xi(t)−XiN (t) = C [X(t)−XN (t)] + D [Xu(t)−XuN (t)] , (5.24)

odakle se na osnovu jednaqine (5.19b) i (5.19v) zakǉuquje da jednaqina izlaza po odstupaǌim

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t) (5.25)

ima isti oblik i koeficijente kao odgovarajua jednaqina (5.7) izlaza u totalnim koordi-natama.

Prema tome, moe uopxteno da se zakǉuqi da:prelazak sa totalnih koordinata na odstupaǌa nema uticaja na matematiqki mo-del sistema, koji zadrava isti oblik, isti red i iste koeficijente.

5.4 Pojaqaǌa sistemaVrlo vana karakteristika sistema jesu ǌegova pojaqaǌa, i to pojaqaǌa razliqitog reda.

Razmatra se vixestruko prenosni sistem. Uoqava se proizvoǉna ulazna veliqina xuk,k ∈ 1, 2, . . . , M, i proizvoǉna izlazna veliqina xiq, q ∈ 1, 2, . . . , N, slika 5.9. Zbog jednos-tavnosti izlagaǌa xuk se oznaqava kratko sa xu, a xiq sa xi.

- S -xu = xuk xi = xiq


Definicija 5.4.1 Pojaqaǌe r-tog reda sistema, u oznaci Kr, predstavǉa graniqnu vred-nost koliqnika r-tog izvoda prelazne funkcije i odskoqne ulazne veliqine kada vremeneograniqeno raste, a za nulte poqetne uslove:

Kr = limt→+∞

x(r)i (t)xu(t)

= limt→+∞

g(r)α (t)hα(t)

, (5.26)

ako i samo ako ova graniqna vrednost postoji.


Kod linearnih sistema, za koje vai zakon superpozicije, vai

g(r)α (t) = αg(r)(t)

pa prethodna definicija moe da poprimi i sledei jednostavniji oblik

Kr = limt→+∞

g(r)α (t)hα(t)

= limt→+∞

αg(r)(t)αh(t)

= limt→+∞

g(r)(t), (5.27)

tj.

Kr = limt→+∞

g(r)(t). (5.28)

S obzirom da je u Definiciji 5.4.1 pojaqaǌe definisano u odnosu na k-tu ulaznu i q-tuizlaznu veliqinu, ono preciznije moe da se oznaqi sa Kr

qk. Budui da ta definicija moeda se primeni na odnos bilo koje izlazne veliqine xiq, q ∈ 1, 2, . . . , N, i bilo koje ulazneveliqine xuk, k ∈ 1, 2, . . . , M, onda je jasno da za jedan vixestruko prenosan sistem moeda se definixe M ·N pojaqaǌa:

Krqk, q ∈ 1, 2, . . . , N, k ∈ 1, 2, . . . ,M,

i da ona mogu da se predstave u obliku matrice

Kr =

Kr11 Kr

12 . . . Kr1k . . . Kr

1M

Kr21 Kr

22 . . . Kr2k . . . Kr

2M...

Krq1 Kr

q2 . . . Krqk . . . Kr

qM...

KrN1 Kr

N2 . . . KrNk . . . Kr

NM

(5.29)

koja se naziva matrica pojaqaǌa r-tog reda, qija je precizna definicija oblika:

Definicija 5.4.2 Matrica pojaqaǌa r-tog reda sistema S, u oznaci Kr, je N × M ma-trica, qiji je (q, k)-ti element (q, k)-to pojaqaǌe r-tog reda, Kr

qk, sistema S.

Zbog jednostavnosti oznaqavaǌa Krqk e i daǉe da bude oznaqavano sa Kr. U zavisnosti

od stepena r mogu da se izdvoje:• pojaqaǌe nultoga reda, ili poziciono pojaqaǌe, ili kratko pojaqaǌe sistema, kojepredstavǉa graniqnu vrednost prelazne funkcije, kada vreme neograniqeno raste

K0 = K = limt→+∞

g(t)

• pojaqaǌe prvoga reda, ili brzinsko pojaqaǌe sistema, koje predstavǉa graniqnu vred-nost prvog izvoda prelazne funkcije kada vreme neograniqeno raste

K1 = limt→+∞

g(t)

• pojaqaǌe drugoga reda ili akcelerometrijsko pojaqaǌe sistema, koje predstavǉagraniqnu vrednost drugog izvoda prelazne funkcije kada vreme neograniqeno raste

K2 = limt→+∞

g(t).

Pojaqaǌe r-tog reda datog sistema moe primenom druge graniqne teoreme Laplasovetransformacije jednostavno da se izraquna na osnovu poznavaǌa prenosne funkcije tog sis-tema W (s), a bez odreivaǌa ǌegove prelazne funkcije g(t). Na osnovu druge graniqneteoreme Laplasove transformacije sledi:

limt→+∞

g(r)(t) = lims→0

sL

g(r)(t)

. (5.30)


Uslovi za primenu ove graniqne teoreme su ranije objaxǌeni, vidi stranu 38, i moraju uvekda se provere pri primene ove teoreme.

Laplasova transformacija izvoda neke veliqine, (5.30), za nulte poqetne uslove je

L

g(r)(t)

= srLg(t) , (5.31)

a kompleksni lik prelazne funkcije Lg(t) = G(s) je

G(s) = Lg(t) = W (s)1s, (5.32)

pri qemu je W (s) prenosna funkcija tog sistema, a1sje Laplasova transformacija jediniqne

odskoqne, Hevisajdove, ulazne veliqine h(t).Na osnovu prethodnih jednaqina sledi:

Kr = limt→+∞

g(r)(t) = lims→0

sL

g(r)(t)

= lims→0

ssrLg(t) = lims→0

ssrW (s)1s

= lims→0

srW (s), (5.33)

tj.Kr = lim

s→0srW (s). (5.34)

Jox jednom se podvlaqi da obrazac (5.28) moe uvek da se primeni, bez proverenekih dodatnih uslova, dok je za primenu obrasca (5.34) neophodno proveriti uslovezahtevane drugom graniqnom teoremom Laplasovih transformacija, (4.28).

Primer 25Razmatraju se spojeni sudovi sa slike 5.10. Nominalni protok koji utiqe u prvi sud je Q1N ,

Q q1N 1+

H h1N 1+ H h2N 2+

Q q1N 3+

Q1N+Q q2N 4+

Q q2N 2+q=-k xv

R1

A1

A2

R2

h1

l1 l2

x

Slika 5.10. Objekt: spojeni sudovi.

a u drugi Q2N . Nominalni (eǉeni) nivoi teqnosti u sudovima su H1N i H2N . Odstupaǌaq1, q2, q3, q4, h1 i h2 od odgovarajuih nominalnih vrednosti su dovoǉno mala, xto znaqi damatematiqki model moe sa ”dovoǉnom” taqnoxu da se linearizuje oko nominalne taqke.

Izlazne veliqine sistema su nivoi h1 i h2, a ǌegove ulazne veliqine su protoci q1 i q2.Jednaqine, iz mehanike fluida, koje mogu da se napixu za navedeni sluqaj, a posle izvr-

xene linearizacije oko nominalne taqke, su oblika:

A1dh1

dt= q1 + q − q3, (5.35)

q = −kvx = −kvl2l1

h1 = −kh1, (5.36)


q3 =h1 − h2

R1, (5.37)

A2dh2

dt= q3 + q2 − q4, (5.38)

q4 =h2

R2. (5.39)

Eliminacijom q i q3 iz jednaqine (5.35) korixeǌem jednaqina (5.36) i (5.37) dobija se

dh1

dt=

1A1

(q1 − kh1 − h1 − h2

R1

). (5.40)

Korixeǌem (5.37) i (5.39) eliminixe se q3 i q4 iz (5.38)

dh2

dt=

1A2

(h1 − h2

R1+ q2 − h2

R2

). (5.41)

Neka su brojqane vrednosti parametara matematiqkog modela oblika:• A1 = 0, 1 m2 - slobodna povrxina teqnosti u prvom sudu,• A2 = 0, 2 m2 - slobodna povrxina teqnosti u drugom sudu,

• R1 = 2m

m3/s- otpor ventila R1,

• R2 = 4m

m3/s- otpor ventila R2,

• k = kvl2l1

= 0, 5m3/s

m- konstanta koja zavisi od koeficijenta ventila kv i poloaja

oslonca poluge, tj. odnosa l1 i l2.Usvojimo veliqine staǌa na sledei naqin

x1 = h1 (5.42)

x2 = h2, (5.43)

a ulazne veliqine po sledeem redosledu

xu1 = q1 (5.44)

xu2 = q2, (5.45)

pri qemu su izlazne veliqinexi1 = h1 = x1 (5.46)

xi2 = h2 = x2. (5.47)

Na bazi diferencijalnih jednaqina (5.40) i (5.41) i usvojenih brojqanih vrednosti do-bijaju se

x1 = −(

10, 2

+0, 50, 1

)x1 +

10, 2

x2 +1

0, 1xu1 (5.48)

x2 = − 10, 4

x1 −(

10, 4

+1

0, 8

)x2 +

10, 2

xu2, (5.49)

ili u matriqnom obliku

x =(−10 5−2, 5 3, 75

)x +

(10 00 5

)xu (5.50)

xi =(

1 00 1

)x +

(0 00 0

)xu. (5.51)

Matematiqki model iz prostora staǌa se lako prevodi u ekvivalentni model u oblikuprenosne matrice, korixeǌem obrasca

W(s) = C(sI−A)−1B + D,

ili jednostavnim unoxeǌem sledee komande u Matlab2

2Podrazumeva se da je sistem prethodno definisan, npr. sa A = [-10 5; 2.5 -3.75]; B = [10 0; 0 5]; C

= [1 0; 0 1]; D = [0 0; 0 0]; sistem = ss(A, B, C, D);.


>> W = tf(sistem)

Kao odgovor na takvu komandu dobija se

Transfer function from input 1 to output...10 s + 37.5

#1: ------------------s^2 + 13.75 s + 25

25#2: ------------------

s^2 + 13.75 s + 25

Transfer function from input 2 to output...25

#1: ------------------s^2 + 13.75 s + 25

5 s + 50#2: ------------------

s^2 + 13.75 s + 25

Prethodne prenosne funkcije se slau u prenosnu matricu, na definisani naqin,

W(s) =

10s + 37, 5s2 + 13, 75s + 25

25s2 + 13, 75s + 25

25s2 + 13, 75s + 25

5s + 50s2 + 13, 75s + 25

. (5.52)

Budui da sistem ima dve ulazne i dve izlazne veliqine tada je i matrica pojaqaǌadimenzije 2 × 2, onda primenom obrasca (5.34) na svaku od prenosnih funkcija iz prenosnematrice, ili korixeǌem Matlabove funkcije dcgain(sistem) mogu da se dobiju pojaqaǌa.Meutim, s obzirom da se ovaj raqun izvodi u kompleksnom domenu neophodno je prvo prove-riti uslove za primenu druge graniqne teoreme. Polovi prenosne matrice se dobijaju kaorexeǌe

s2 + 13, 75s + 25 = 0,

ili jednostavno iz Matlaba sa pole(W), i ti polovi su

s∗1 = −11, 5936 i s∗2 = −2, 1564

pa se prema (4.28) zakǉuquje da druga graniqna teorema moe da se primeni i dobijaju sesledee brojqane vrednosti za pojedina pojaqaǌa:

K =1.5000 1.00001.0000 2.0000

K0 = K =(

1, 5 1, 01, 0 2, 0

). (5.53)

Poziciona pojaqaǌa mogu da se odrede i grafiqki, obrazac (5.28). Ukucavaǌem u ko-mandni prozor Matlaba

>> step(A, B, C, D);

dobija se slika 5.11, sa koje mogu da se vidi graniqne vrednosti pojedinih prelaznih funk-cija, koje su prikazane u prethodnoj matrici pojaqaǌa nultoga reda. Zbog jednostavnosti,sve prelazne funkcije mogu da budu prikazane na jednoj slici, slika 5.12.

Na slici su korixene sledee oznake:• g11 prelazna funkcija od xi1 izazvana ulaznom veliqinom xu1

• g12 prelazna funkcija od xi1 izazvana ulaznom veliqinom xu2


0

0.5

1

1.5From: In(1)

To:

Out

(1)

0 1 2 30

0.5

1

1.5

2T

o: O

ut(2

)

From: In(2)

0 1 2 3

Step Response

Time (sec)

Am

plitu

de

Slika 5.11. Pojaqaǌa sistema.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

g11

g12 = g21

g22

K11 = 1, 5

K12 = K21 = 1, 0

K22 = 2, 0

t

Slika 5.12. Pojaqaǌa sistema.



a odgovarajua pojaqaǌa su

Krqk = lim

t→+∞g(r)qk (t), q = 1, 2, . . . , N, k = 1, 2, . . . M (5.54)

i ovaj obrazac predstavǉa uopxteǌe obrasca (5.28).Primenom obrasca (5.34) na prenosnu matricu (5.52), mogu da se odrede i matrice po-

jaqaǌa vixih redova datog sistema i one su

Kr =(

0 00 0

), ∀r = 1, 2, . . . (5.55)

a na slici 5.13 su grafiqki interpretirana pojaqaǌa sistema prvoga reda, tj. brzin-ska pojaqaǌa, koja predstavǉaju graniqne vrednosti prvog izvoda prelaznih funkcija saslike 5.12.


0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

g11

g12 = g21

g22

K1

11= K1

12= K1

21= K1

22= 0

t

Slika 5.13. Brzinska pojaqaǌa sistema.

5.4.1 Tipovi dejstvaDiferencijalna jednaqina ponaxaǌa sistema sa slika 5.9 moe da se predstavi jednom odxest narednih diferencijalnih jednaqina, pri qemu je leva strana svih tih jednaqina ista:

kD1xu + kD2xu + . . . + kDmx(m)u (5.56)

kxu (5.57)

kxu + kD1xu + kD2xu + . . . + kDmx(m)u (5.58)

Tnn x

(n)i + . . . + T1xi + xi = kI

∫ t

0

xu(τ)dτ (5.59)

kxu + kI

∫ t

0

xu(τ)dτ (5.60)

kxu + kI

∫ t

0

xu(τ)dτ + kD1xu + kD2xu + . . . + kDmx(m)u (5.61)

Da bi se govorilo o tipu dejstva sistema moraju da budu zadovoǉene sledee dve pret-postavke.

Pretpostavka 5.4.1 Leva strana diferencijalne jednaqine mora da sadri qlan xi, kaosvoj najnii izvod, a ako to nije sluqaj onda se ona potrebnim brojem integraǉeǌa ilidiferencijaǉeǌa dovodi na taj oblik.

Kada se diferencijalna jednaqina dovede u oblik zahtevan Pretpostavkom 5.4.1 onda jered sistema odreen redom najvixeg izvoda leve strane diferencijalne jednaqine, u razma-tranom sluqaju to je n-ti izvod, Tn

n x(n)i , pa je taj sistem n-tog reda.

Pretpostavka 5.4.2 Neka je ispuǌena Pretpostavka 5.4.1, tada karakteristiqni poli-nom jednaqina (5.56)-(5.61) ima oblik

f(s) = Tnsn + . . . + T1s + 1,

a ǌegovi korenovi zadovoǉavaju

Res∗i [f(s)] < 0, ∀i = 1, 2, . . . , µ,

pri qemu µ predstavǉa broj razliqitih korenova polinoma f(s).

Kada su ispuǌene obe pretpostavke, onda moe da se govori o tipu dejstva i on je odreendesnom stranom diferencijalne jednaqine. Razlikujemo osnovne i sloene tipove dejstva.


Osnovni tipovi dejstva

• Diferencijalno ili D dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jed-naqine ima oblik (5.56). U ovom sluqaju prenosna funkcija sistema je oblika

W (s) = skD1 + kD2s + . . . + kDmsm−1

Tnn sn + . . . + T1s + 1

pa su ovi sistemi sistemi prve vrste.

• Proporcionalno ili P dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jed-naqine ima oblik (5.57). Na osnovu diferencijalne jednaqine prenosna funkcija imasledei izgled

W (s) =k

Tnn sn + . . . + T1s + 1

pa takvi sistemi pripadaju sistemima druge vrste.

• Integralno ili I dejstvo imaju sistemi qija desna strana diferencijalne jednaqineima oblik (5.59). Iz te diferencijalne jednaqine sledi

W (s) =kI

s(Tnn sn + . . . + T1s + 1)

xto nedvosmisleno ukazuje na ǌihovu pripadnost sistemima tree vrste.

Sloeni tipovi dejstva

• Proporcionalno-diferencijalno ili PD dejstvo imaju sistemi qija desna stranadiferencijalne jednaqine ima oblik (5.58). ǋihova prenosna funkcija je oblika

W (s) =k + kD1s + kD2s

2 + . . . + kDmsm

Tnn sn + . . . + T1s + 1

pa ovakvi sistemi pripadaju sistemima druge vrste. S obzirom da su u ovom sluqajuprisutna dva osnovna tipa dejstva dominantnost u prelaznom radnom reimu ima Ddejstvo, a po ǌegovom isteku dominira P dejstvo, slika 5.14.

0 2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

PD

t

g(t)

D

P

Slika 5.14. Prelazna funkcija sistema W (s) =3s + 2

2s2 + 4s + 2.

• Proporcionalno-integralno ili PI dejstvo imaju sistemi qija desna strana dife-rencijalne jednaqine ima oblik (5.60). ǋihova prenosna funkija je

W (s) =k +

kI

sTn

n sn + . . . + T1s + 1=

kI + ks

s(Tnsn + . . . + T1s + 1)

tako da i oni pripadaju sistemima tree vrste. Dominantno ponaxaǌe u poqetnomtrenutku ima P dejstvo, a potom dominaciju preuzima I dejstvo, slika 5.15.

5.5. Statiqka grexka 103

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

PI

t

g(t)

P

I

Slika 5.15. Prelazna funkcija sistema W (s) =7s + 1

s(s2 + 2s + 3).

• Proporcionalno-integralno-diferencijalno ili PID dejstvo imaju sistemi qijadesna strana diferencijalne jednaqine ima oblik (5.61). Tada je prenosna funkcijaopisana sa

W (s) =k +

kI

s+ kD1s + kD2s

2 + . . . + kDmsm

Tnn sn + . . . + T1s + 1

=kI + ks + kD1s

2 + kD2s3 + . . . + kDmsm+1

s(Tnn sn + . . . + T1s + 1)

pa su oni tree vrste. Redosled dominantnosti ponaxaǌa u ovom sluqaju je: prvo Ddejstvo, potom P dejstvo i na kraju I dejstvo, xto se najboǉe vidi sa slike 5.16.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2

0

2

4

6

8

10

12

14

PID

t

g(t)

D

P

I

Slika 5.16. Prelazna funkcija sistema W (s) =10s2 + 5s + 1s(s2 + s + 2)

.

Na istoj slici su prikazane i prelazne funkcije sistema koji se dobijaju kada serazmatrana prenosna funkcija razloi na tri svoja sabirka, tj. tri osnovna dejstva

W (s)P-dejstvo =5

s2 + s + 2, W (s)I-dejstvo =

1s(s2 + s + 2)

, W (s)D-dejstvo =10s

s2 + s + 2.

5.5 Statiqka grexkaRazlozi za pojavu grexke u sistemima automatskog upravǉaǌa su mnogostruki, ali dom-inantni razlog su promene ulaza: bilo eǉenog dinamiqkog ponaxaǌa, bilo poremeaja.Promene eǉenog dinamiqkog ponaxaǌa dovode neizbeno do pojave grexke u prelaznomradnom reimu, a mogu da proizvedu i pojavu statiqke grexke. Sistem moe da ima nultustatiqku grexku u sluqaju odskoqne promene ulaza, ali pri nagibnoj promeni ulaza, tajisti sistem, moe da ima statiqku grexku qija vrednost nije jedanka nuli. U zavisnostiod karaktera promene ulaza mogu da se definixu sledee statiqke grexke sistema.


Definicija 5.5.1 Statiqka grexka upravǉane veliqine nastala pri jediniqnimodskoqnim promenama svih ulaznih veliqina, a pri nultim poqetnim uslovima, je pozi-ciona statiqka grexka εsp upravǉane veliqine Xi:

εsp = limt→+∞

[Xiz(t)−Xi(t)] = limt→+∞

[h(t)−Xi(t)] . (5.62)

Poziciona statiqka grexka se kratko naziva statiqka grexka i oznaqava sa εs.Ako su ispuǌeni uslovi za primenu druge graniqne teoreme Laplasovih transformacija

onda statiqka grexka moe da se odredi i u kompleksnom domenu na sledei naqin:

εsp = lims→0

sE(s) = lims→0

sL[h(t)−Xi(t)] = lims→0

s

[1s−Xi(s)

]= lim

s→0[1− sXi(s)] . (5.63)

Poziciona statiqka grexka je jednoznaqno odreena pozicionim pojaqaǌem sistema. Dabi se to pokazalo poimo od odziva sistema automatskog upravǉaǌa na koji deluje veibroj poremeajnih veliqina:

Xi(s) = Wxiz(s)Xiz(s) + Wz1(s)Z1(s) + Wz2(s)Z2(s) + . . . + WzP

(s)ZP (s). (5.64)

Statiqka grexka je definisana sa

εs = lims→0

sE(s) = lims→0

s [Xiz(s)−Xi(s)] . (5.65)

Kada se u tu jednaqinu uvrsti (5.64) dobije se

εs = lims→0

sE(s) = lims→0

s [Xiz(s)−Xi(s)] =

= lims→0

s [Xiz(s)−Wxiz (s)Xiz(s)−Wz1(s)Z1(s)−Wz2(s)Z2(s)− . . .−WzP (s)ZP (s)] =

= lims→0

s

[1−Wxiz (s)] Xiz(s)−Wz1(s)Z1(s)−Wz2(s)Z2(s)− . . .−WzP (s)ZP (s)

=

= lims→0

s [1−Wxiz (s)] Xiz(s)− lims→0

sWz1(s)Z1(s)− lims→0

sWz2(s)Z2(s)− . . .− lims→0

sWzP (s)ZP (s).

(5.66)

S obzirom da se statiqka grexka definixe pri svim jediniqnim odskoqnim ulaznimveliqinama onda se iz prethodne jednaqine dobija

εs = lims→0

s [1−Wxiz (s)] Xiz(s)− lims→0

sWz1(s)Z1(s)− lims→0

sWz2(s)Z2(s)− . . .− lims→0

sWzP(s)ZP (s) =

= lims→0

s [1−Wxiz (s)]1s− lim

s→0sWz1(s)

1s− lim

s→0sWz2(s)

1s− . . .− lim

s→0sWzP (s)

1s

=

= lims→0

[1−Wxiz (s)]︸︷︷︸

εsxiz

− lims→0

Wz1(s)︸︷︷︸

εsz1

− lims→0

Wz2(s)︸︷︷︸

εsz2

− . . .− lims→0

WzP (s)︸︷︷︸

εszP

.

(5.67)

Prema tome iz udela pojedinih ulaznih veliqina na ukupnu statiqku grexku dobijaju sesledee veze:

εsxiz = lims→0

[1−Wxiz (s)] = 1− lims→0

Wxiz (s) = 1−Kxiz , (5.68)

εszi = − lims→0

Wzi = −Kzi , ∀i = 1, 2, . . . , P, (5.69)

ili kratkoεsxiz + Kxiz = 1,

εszi + Kzi = 0, ∀i = 1, 2, . . . , P.(5.70)

Prema tome deo pozicione statiqke grexka nastao usled odskoqne promene eǉene vred-nosti εsxiz , je jednak nuli jedino kada je poziciono pojaqaǌe tog sistema u odnosu na eǉenuvrednost jednako jedinici. U sluqaju poremeajne veliqine deo εsz moe da bude nula jedinokada je poziciono pojaqaǌe po tom poremeaju jednako nuli.

To znaqi da je optimalan sistem automatskog upravǉaǌa, po kriterijumu nulte statiqkegrexke, onaj sistem koji zadovoǉava:

Kxiz = 1 i Kzi = 0, ∀i = 1, 2, . . . , P.

Poglavǉe 6

Matematiqki modelihidrauliqnih prenosnih organa

Hidrauliqni prenosni organi se primarno koriste kao izvrxni organi zbog svoje osobineda sa relativno malim gabaritima ostvaruju velike sile i momente u odnosu na pneumatskei elektriqne organe istih veliqina.

6.1 Osnovni elementi hidrauliqnih prenosnih organaOsnovni elementi koji se koriste u sintezi hidrauliqnih prenosnih organa su:

• poluga

• hidrauliqni klipni razvodnik

• hidrauliqni cilindar

• elastiqna sprega (opruga sa priguxivaqem).U nastavku se najpre odreuju ǌihovi matematiqki modeli.

6.1.1 PolugaRazmatra se poluga sa slike 6.1. Ona je zglobno vezana u osloncu O. Ulazna veliqina xu

deluje na polugu u taqki A na kraju poluge, a izlazna veliqina poluge xi je pomeraǌe ǌenogdrugog kraja, taqka B.

xu

xil

1l2O

A B

Slika 6.1. Poluga sa osloncem.

Za polugu kao fiziqki sistem usvaja se ǌen model odreen sledeim pretpostavkama(idealizacijama).

Pretpostavka 6.1.1 Poluga je kruto telo.

Pretpostavka 6.1.2 Masa poluge je zanemarǉivo mala, pa su samim tim i ǌene inerci-jalne sile zanemarǉivo male.

Pretpostavka 6.1.3 Otpori u osloncu poluge O su zanemarǉivo mali.

Delovaǌe ulaza u taqi A pomera taj kraj poluge po krunom luku, tako da taqka Aprelazi u poloaj Ak, slika 6.2. S obzirom da je prema Pretpostavci 6.1.1 poluga krutotelo onda e ǌen drugi kraj, tj. taqka B, doi u poloaj oznaqen sa Bk odreen krunimlukom polupreqnika l2 qiji je centar u taqki O.

105

106 Poglavǉe 6. Matematiqki modeli hidrauliqnih prenosnih organa

xu

xi

l1

l2

A

A1

Ak

B

B1

Bk

O x

Slika 6.2. Poluga sa osloncem.

U sluqaju da su pomeraǌa poluge dovoǉno mala, onda luqna pomeraǌa krajeva polugemogu da se aproksimiraju pravolinijskim pomeraǌima. U takvim sluqajevima vai sledeapretpostavka.

Pretpostavka 6.1.4 Pomeraǌa krajeva poluge su pravolinijska, upravna na ǌen nomi-nalni poloaj.

To znaqi da pri delovaǌu ulazne veliqine xu u taqki A, taj kraj poluge prelazi u poloajodreen taqkom A1. Drugi kraj poluge tada dolazi u poloaj definisan taqkom B1.

Veza izmeu izlaza xi i ulaza xu ove poluge, moe da se uspostavi na bazi sliqnostitrouglova

4AOA1 ∼ 4BOB1,

odakle se dobija sledei odnosAOAA1

=BOBB1

tj.l1xu

=l2xi

= − l2ξ

.

Na osnovu prethodne jednaqine dobija se matematiqki model poluge (za koju vae navedenepretpostavke):

xi = kxu, k =l2l1

. (6.1)

Dobijena algebarska jednaqina ukazuje da je poluga statiqki sistem i da je ǌen izlazjednoznaqno odreen samo ulaznom veliqinom.

U sluqaju da poluga nema oslonac, slika 6.3, ona se razmatra kao vixestruko prenosnisistem, koji ima dve ulazne veliqine xu1 i xu2 i jednu izlaznu veliqinu xi.

xu1

xu2x

i

l1 l

2

A BV

Slika 6.3. Poluga bez oslonca.

Matematiqki model poluge bez oslonca se dobija na osnovu prethodno uvedenih pret-postavki. Oznaqimo sa xi1 promenu izlazne veliqine kada na polugu deluje samo ulaznaveliqina xu1, dok je xu2 = 0:

xi1 = xi

∣∣xu2=0

.

Novi poloaj koji zauzima poluga pri delovaǌu samo ulazne veliqine xu1 je odreen taqkamaA1V1B, slika 6.4. Na osnovu sliqnosti trouglova

4ABA1 ∼ 4VBV1,

se dobija da za ǌihove katete vaiABAA1

=VBVV1

6.1. Osnovni elementi hidrauliqnih prenosnih organa 107

xu1

xu2=0

xi1

l1 l

2A

A1

Ak

BV

V1


odnosnol1 + l2xu1

=l2xi1

.

To znaqi da je uticaj ulazne veliqine xu1 na promenu izlazne veliqine xi opisan sledeomjednaqinom

xi1 =l2

l1 + l2xu1. (6.2)

U sluqaju da na polugu deluje samo ulazna veliqina xu2, pri qemu je xu1 = 0, slika 6.5,onda na bazi sliqnosti trouglova 4ABB2 ∼ 4AVV2 sledi

xu1=0

xu2

xi2

l1 l

2A B

B2

Bk

V

V2


ABBB2

=AVVV2

odnosnol1 + l2xu2

=l1xi2

,

pri qemu je sa xi2 oznaqena promena izlazne veliqine nastala usled delovaǌa samo ulazneveliqine xu2 (xu1 = 0). Iz prethodne jednaqine proizilazi

xi2 =l1

l1 + l2xu2. (6.3)

U sluqaju da na polugu deluju obe ulazne veliqine istovremeno, slika 6.6, onda je izlazna

xu1

xu2

xi1

xi2

xi

l1 l

2A

A A1 2=

Ak

B B=1

B2

G D

Bk

V

V1

V2


veliqina xi odreena rastojaǌem VV2

xi = VV2 = VG + GV2 = xu1 + GV2. (6.4)


Iz sliqnosti trouglova4A2GV2 ∼ 4A2DB2,

proizilaziA2DDB2

=A2GGV2

odakle se dobija da je GV2

GV2 =DB2

A2DA2G =

xu2 − xu1

l1 + l2l1 =

l1l1 + l2

(xu2 − xu1).

Kada se ovaj izraz uvrsti u (6.4) dobija se

xi = xu1 +l1

l1 + l2(xu2 − xu1) =

(1− l1

l1 + l2

)xu1 +

l1l1 + l2

xu2,

odnosno

xi =l2

l1 + l2xu1 +

l1l1 + l2

xu2. (6.5)

Uporeivaǌem ove jednaqine sa (6.2) i (6.3) zakǉuquje se da za datu polugu, kada vaenavedene pretpostavke, vai zakon superpozicije

xi = xi1 + xi2 =l2

l1 + l2xu1 +

l1l1 + l2

xu2,

tj. data poluga je linearan sistem.

6.1.2 Hidrauliqni klipni razvodnikHidrauliqni ravodnik slui za razvoeǌe hidrauliqnog uǉa u jednu od komora hidrocilindra i time obezbedi kretaǌe cilindra na jednu ili drugu stranu. Funkcionalna

xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

koxuªica

deta Aª

ka cilindru

od cilindra

pomera

koxuªicu

pomera

klipove

u e pod

pritiskom

ª

Slika 6.7. Hidrauliqni klipni razvodnik.

xema hidrauliqnog klipnog razvodnika je prikazana na slici 6.7.Hidrauliqna pumpa snabdeva razvodnik uǉem pod pritiskom. To uǉe moe da se prosledi

ka cilindru jedino ako su klipovi i otvori na koxuǉici u takvom poloaju da je protoqnapovrxina razliqita od nule. Takav sluqaj moe da nastene bilo pomeraǌem klipova, bilo


pomeraǌem koxuǉice, odnosno ako postoji relativno pomeraǌe xr meu ǌima. Detaǉ kojije sa A oznaqen na slici 6.7 je analizovan na naredne tri slike.

Na slici 6.8 je prikazan sluqaj kada klip u potpunosti zatvara otvor i kada ne postojiprotok kroz razvodnik. Visina klipa je oznaqena sa h, a preqnik otvora sa d. Oqigledno je

h

n

n

xr

n

d

Slika 6.8. Detaǉ A: potpuno zatvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

postojaǌe preklopa qija je vrednost

n =h− d

2.

Zbog postojaǌa preklopa postoji interval neosetǉivosti, tj. interval na kome promenaulazne veliqine ne prouzrokuje promenu izlazne:

−n 6 xr 6 n ⇒ q = 0.

Kada je apsolutna vrednost relativnog pomeraǌa vea od intervala neosteǉivostidolazi do proticaǌa uǉa kroz razvodnik, slika 6.9. Zavisnost protoka q i relativnog

h

n

n

xr

n

d

n d+

0

Slika 6.9. Detaǉ A: delimiqno otvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

pomeraǌa xr je u opxtem sluqaju nelinearna, pri qemu vai:

|xr| 6 n + d ⇒ |q| 6 qmax.

Kako sve fiziqke veliqine imaju ograniqeǌa tako je i ovde maksimalna vrednost protokaodreena preqnikom otvora i, kao xto slika 6.10 pokazuje, daǉe poveavaǌe relativnogpomeraǌa xr ne izaziva daǉe poveaǌe protoka q. Za |xr| = n + d dolazi do zasieǌaprotoka i vai:

|xr| > n + d ⇒ |q| = qmax.

Na osnovu svih ovih analiza zavisnost protoka u funkciji od relativnog pomeraǌa moeda se predstavi i u grafiqkom obliku, slika 6.11. Ta zavisnost je dobijena na osnovu velikogbroja taqaka koje su odreene u stacionarnom radnom reimu i takve karakteristike sistemase nazivaju statiqke karakteristike sistema. One pokazuju zavisnost izlazne veliqine xi

sistema od ǌegove ulazne veliqine xu u stacionarnom reimu rada. Poxto su vrednostiovih veliqina konstantne kada se sistem nalazi u stacionarnom reimu rada, zbog toga jestatiqka karakteristika sistema definisana algebarskom jednaqinom

xi = f(xu).


h

n

n

xr

n

d

n d+

0

q q= max

Slika 6.10. Detaǉ A: potpuno otvoreni hidrauliqni klipni razvodnik.

6

-xr

q

−qmax

n n + d

−n−n− d

qmax

Slika 6.11. Statiqka karakteristika hidrauliqnog klipnog razvodnika.

Statiqka karakteristika je linearna ako je funkcija f linearna. U suprotnom sluqju onaje nelinearna. Za razmatrani razvodnik, qija je izlazna veliqina xi = q, a ulazna veliqinaxu = xr, statiqka karakteristika je nelinearna. Samim tim i razmatrani razvodnik je unajopxtijem sluqaju nelinearni sistem.

Meutim u posebnim konstruktivnim sluqajevima, ili u posebnim uslovima rada, raz-vodnik moe da se ponaxa i kao linearni sistem. Da bi to moglo da bude zadovoǉeno morajuda budu ispuǌene sledee pretpostavke.

Pretpostavka 6.1.5 Visina klipa h jednaka je preqniku otvora d, tj. ne postoji preklop.

Kada vai ova pretpostavka onda ne postoji interval neosteǉivosti n = 0, pa je statiqkakarakteristika razvodnika u tom sluqaju oblika sa slike 6.12.

6

-xr

q

−qmax

d

−d

qmax

Slika 6.12. Statiqka karakteristika hidrauliqnog klipnog razvodnika pri n = 0.

Pretpostavka 6.1.6 Uǉe je nestixǉiv fluid, ρ = const.

Pretpostavka 6.1.7 Pritisak napojnog uǉa, koji daje pumpa, je konstantan.


Pretpostavka 6.1.8 Radni opseg klipnog razvodnika je ±d, tj.

−d 6 xr 6 d.

Pretpostavka 6.1.9 U radnom opsegu protok je linearna funkcija relativnog pomeraǌa.

Ove pretpostavke dovode do statiqke karakteristike prikazane na slici 6.13. Sa te

6

-xr

qq = Kqxr

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

Slika 6.13. Statiqka karakteristika idealizovanog klipnog razvodnika.

slike se vidi da su protok i relativno pomeraǌe u lineranoj vezi, tj. da je, kada vaesve prethodno navedene pretpostavke, matematiqki model hidrauliqnog klipnog razvodnikaoblika

q = Kqxr. (6.6)

Analizom uticaja ulazne veliqine xu - kojom se pomera klipǌaqa, a samim tim i klipovirazvodnika i ulazne veliqine x kojom se pomera koxuǉica tj. otvori na razvodniku, za-kǉuquje se da, prema usvojenoj orijentaciji za pozitivan protok, vai:

q = Kq(xu − x). (6.7)

6.1.3 Hidrauliqni cilindarHidrauliqni cilindar se prevashodno koristi kao izvrxni organ upravǉaqkog sistema.ǋegova funkcionalna xema je prikazana na slici 6.14. Da bi se odredio ǌegov matematiqki

xi

q

A

q

ka razvodniku

od razvodnika

Slika 6.14. Hidrauliqni cilindar.

model polazi se od modela kojeg definixu sledee pretposavke.


Pretpostavka 6.1.10 Rezultujua inercijalna sila klipa, klipǌaqe i svih delovakruto vezanih za klipǌaqu je zanemarǉivo mala.

Ova pretpostavka je opravdana u sluqaju da su mase male ili da se one pomeraju malimubrzaǌima.

Pretpostavka 6.1.11 Sila treǌa klipa o zid cilindra i klipa i uǉa je zanemarǉivomala.

Pretpostavka 6.1.12 Cureǌe izmeu doǌe i gorǌe komore cilindra, kao i cureǌeizmeu komora i okoline je zanemarǉivo malo.

Pretpostavka 6.1.13 Klip se slobodno zaustavǉa u svojim krajǌim poloajima.

Ovom pretpostavkom se zahteva nulta brzina u krajǌim poloajima v = 0. Ukoliko to nijesluqaj, tj. ukoliko je v 6= 0 tda klip udara u dance ili poklopac cilindra i prinudno sezaustavǉa.

Pretpostavka 6.1.14 Radne povrxine klipa su sa obe ǌegove strane jednake.

Ispuǌenost svih ovih pretpostavki dovodi do toga da je matematiqki model hidrau-liqnog cilindra odreen jednaqinom kontinuiteta - zapremina uǉa koja ue u cilindar ujedinici vremena q jednaka je promeni zapremine uǉa izazvane pomeraǌem klipa Axi:

q = Adxi

dt, (6.8)

odnosnoAxi = q, (6.9)

ili

xi =1A

∫ t

0

q(τ)dτ. (6.10)

6.1.4 Elastiqna sprega

Elastiqna sprega ili poluga se sastoji od opruge i uǉnog priguxivaqa, slika 6.15. Ova

A

B

V

xu1xu2

xi

co

cp

FpFo

Slika 6.15. Elastiqna poluga.

sprega je vixestruko prenosni sistem, koji ima jednu izlaznu veliqinu xi koja predstavǉapomeraǌe taqke B, i dve ulazne veliqine: xu1 koja deluje u taqki A i xu2 koja deluje u taqkiV.

Za elastiqnu spregu mogu da se usvoje naredne pretpostavke.

Pretpostavka 6.1.15 Inercijalne sile svih pokretnih delova su zanemarǉivo male.

Pretpostavka 6.1.16 Otporna sila opruge Fo, slika 6.15, srazmerna je ǌenoj deforma-ciji:

Fo = co(xi − xu1).

6.2. Razliqiti tipovi hidrauliqnih prenosnih organa 113

Pretpostavka 6.1.17 Otporna sila uǉnog priguxivaqa Fp, slika 6.15, srazmerna je rel-ativnoj brzini izmeu klipa i zidova cilindra:

Fp = cp(xu2 − xi).

Na osnovu uslova ravnotee sila u taqki B dobija se∑

Fi = 0 ⇒ Fo = Fp

odnosnoco(xi − xu1) = cp(xu2 − xi).

Ureivaǌem prethodne jednaqine sledi

cpxi + coxi = coxu1 + cpxu2.

Ako se uvede vremenska konstanta T u obliku T =cp

co, onda prethodna jednqina moe da

se predstavi na sledei naqin

T xi + xi = xu1 + T xu2. (6.11)

6.2 Razliqiti tipovi hidrauliqnih prenosnih organaKombinacijom osnovnih elemenata dobijaju se hidrauliqni prenosni organi (HPO) razli-qitih redova i tipova dejstava. Budui da su hidrauliqni prenosni organi sastavni deoupravǉaqkog sistema, onda ǌihove osobine direktno odreuju i dinamiqke osobine uprav-ǉaqkog sistema. U nastavku e biti prikazano nekoliko osnovnih tipova HPO:

• HPO bez povratne sprege

• HPO sa krutom povratnom spregom

• HPO sa elastiqnom povratnom spregom

• HPO sa usporenom povratnom spregom.

6.2.1 HPO bez povratne spregeOvo je najjednostavniji HPO, slika 6.16, koji se sastoji od hidrauliqnog klipnog razvod-

xu

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

12

Slika 6.16. HPO bez povratne sprege.

nika i hidrauliqnog cilindra. ǋegov matematiqki model se odreuje na osnovu prikazanihjednaqina (6.7) i (6.9):

q = Kqxu,


Axi = q.

Kombinacijom prethodne dve jednaqine (eliminacijom promenǉive q) dobija se:

Axi = Kqxu.

Da bi se na osnovu prethodne diferencijalne jednaqine ponaxaǌa utvrdio red i tip dejstvaHPO ona se dovodi u oblik

xi =Kq

A

∫ t

0

xu(τ)dτ,

odakle se zakǉuquje da je dati HPO nultog reda integralnog dejstva, tj. nultog reda IIIvrste.

Blok dijagram HPO-a bez povratne sprege je prikazan na slici 6.17.

- -- Q(s) Xi(s)Xu(s)Kq

1As

Slika 6.17. Blok dijagram HPO-a bez povratne sprege.

6.2.2 HPO sa krutom povratnom spregomU ovom sluqaju HPO se sastoji od tri osnovna elementa, slika 6.18:

1. hidrauliqni klipni razvodnik

2. hidrauliqni cilindar

3. poluga sa osloncem.

xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1 l2

1

3

2

Slika 6.18. HPO sa krutom povratnom spregom.

Za svaki od tih elemenata moe da se napixe odgovarajui matematiqki model:

q = Kq(xu − x), (6.12)

Axi = q, (6.13)

x =l2l1

xi. (6.14)


Kada se (6.14) uvrsti u (6.12) dobija se

q = Kq

(xu − l2

l1xi

). (6.15)

Ovaj izraz za protok moe sada da se iskoristi u (6.13) odakle proistiqe

Axi = Kq

(xu − l2

l1xi

). (6.16)

iliAxi + Kq

l2l1

xi = Kqxu. (6.17)

Pomnoimo prethodnu jednaqinu sa l1/l2 i podelimo je sa b

A

Kq

l1l2

xi + xi =l1l2

xu. (6.18)

Ako se uvedu sledee oznake

T =l1A

l2Kqk =

l1l2

gde je T vremenska konstanta, a k poziciono pojaqaǌe ovog HPO, prethodna jednaqina, postaje

T xi + xi = kxu. (6.19)

HPO sa krutom povratnom spregom predstavǉa sistem prvog reda P dejstva (II vrste).Matematiqki model moe da se prikae i u obliku blok dijagrama, slika 6.19.

- --- Q(s) Xi(s)Xu(s)

X(s)

±°²¯

¾

Xr(s)

6

Kq1

As

l2l1

Slika 6.19. Blok dijagram HPO-a sa krutom povratnom spregom.

6.2.3 HPO sa elastiqnom povratnom spregomOvaj HPO se sastoji od qetiri osnovna elementa, slika 6.20. Pri tome je elastiqna spregaoznaqena elementno, preko uǉnog priguxivaqa i opruge.



3. uǉni priguxivaq

4. opruga

5. poluga sa osloncem.Nepoznate veliqine prikazne na slici 6.20 su: xi, ξ, x i q. To znaqi da treba da napixemoqetiri jednaqine da bi smo mogli da odredimo sve nepoznate veliqine.

Za ravodnik moe da se napixe

q = Kq(xu − x). (6.20)

Za cilindar vaiAxi = q. (6.21)

Elastiqna sprega je opisana sa (6.11). U ovom sluqaju izlazna veliqina sprege, spojnataqka opruge i priguxivacah, je ξ. Ulazna veliqina sa strane opruge xu1 je ovde nula jer je


xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1 l2

1

5

3

4

2

x

xi

co

cp

Slika 6.20. HPO sa elastiqnom povratnom spregom.

opruga ukǉextena na tom kraju. Ulazna veliqina xu2 sa strane priguxivaqa je na slici 6.20oznaqena sa xi. Prema tome diferencijalna jednaqina ponaxaǌa elastiqne sprege je

cp

c0ξ + ξ =

cp

coxi. (6.22)

Elastiqna sprega u konfiguraciji prikazanoj na slici 6.20 se ponaxa kao diferencijalnielement prvog reda.

Jednaqina ponaxaǌa poluge sa osloncem je

x =l2l1

ξ. (6.23)

Rexeǌe koje treba da dobijemo je diferencijalna jednaqina u kojoj figurixu samo veli-qine xi i xu. To znaqi da iz prethodnih jednaqina mora da se eliminixu ostale nepoznateveliqine x, ξ i q.

Eliminiximo nepoznatu pomonu veliqinu x tako xto (6.23) uvrstimo u (6.20)

q = Kq(xu − l2l1

ξ), (6.24)

a zatim kombinacijom (6.24) i (6.21) eliminiximo i neopoznatu q

Axi = Kq(xu − l2l1

ξ). (6.25)

Sada su nam ostale dve jednaqine: (6.22) i (6.25) i dve nepoznate xi i ξ. Odreivaǌem ξ iz(6.25) na sledei naqin

l2l1

ξ = xu − A

Kqxi


i mnoeǌem te jednaqine sa l1/l2 dobija se

ξ =l1l2

xu − l1A

l2Kqxi. (6.26)

Na osnovu te jednaqine odreuje se i prvi izvod veliqine ξ

ξ =l1l2

xu − l1A

l2Kqxi. (6.27)

Na kraju se jednaqine (6.26) i (6.27) uvrxuju u jednaqinu (6.22) odakle sledi

cp

c0

(l1l2

xu − l1A

l2Kqxi

)+

l1l2

xu − l1A

l2Kqxi =

cp

coxi. (6.28)

Preureeǌem te jednaqine na uobiqajeni naqin kako prikazujemo diferencijalne jedna-qine dobija se

cp

c0

l1A

l2Kqxi +

(cp

co+

l1A

l2Kq

)xi =

l1l2

xu +cp

c0

l1l2

xu (6.29)

ili, preureivaǌem u potrebni oblik za odreivaǌe reda i tipa dejstva:

cp

c0

l1A

l2Kqxi +

(cp

co+

l1A

l2Kq

)xi =

l1l2

∫ t

0

xu(τ)dτ +cp

c0

l1l2

xu (6.30)

zakǉuquje sa da je razmatrani HPO sa elastiqnom povratnom spregom prvog reda PI dejstva,odnosno III vrste.

U ovom sluqaju matematiqki model u obliku blok dijagrama daje potpuniju sliku o sis-temu budui da blok dijagram pored matematiqkog modela prikazuje i strukturu sistema.Na osnovu blok dijagrama sa slike 6.21 mogu da se vide meusobna dejstva podsistema, tj.osnovnih elemenata ovog hidrauliqnog prenosnog organa.

- --- Q(s) Xi(s)Xu(s)±°²¯

±°²¯

Xr(s)

6

6

¾X(s)

ξ(s)

ξ(s)

¾Xi(s)¾ ¾Fo = Fp

Kq1

As

cps1co

l1l2

Slika 6.21. Blok dijagram HPO-a sa elastiqnom povratnom spregom.

6.2.4 HPO sa usporenom povratnom spregomHPO sa usporenom povratnom spregom ima iste elemente kao i HPO sa elastiqnom povrat-nom spregom. Jedina razlika je u elastiqnoj sprezi, tj. u poloaju opruge i priguxivaqa,slika 6.22.



3. opruga

4. uǉni priguxivaq

5. poluga sa osloncem.Nepoznate veliqine prikazne na slici 6.22 su: xi, ξ, x i q. Sa qetiri jednaqine (za

razvodnik, cilindar, elastiqnu spregu i polugu) odrediemo sve nepoznate veliqine.Jednaqina ponaxaǌa razvodnika je

q = Kq(xu − x). (6.31)


xu

x

q

q

pumpa

rezervoar

xi

A

l1 l2

1

5

3

4

2

x

xi

co

cp

Slika 6.22. HPO sa usporenom povratnom spregom.

Hidrauliqni cilindar je opisan saAxi = q. (6.32)

Elastiqna sprega je opisana sa (6.11). U ovom sluqaju izlazna veliqina sprege, spojna taqkaopruge i priguxivacah, je ξ. Ulazna veliqina sa strane opruge xu1 je ovde oznaqena sa xi.Ulazna veliqina xu2 sa strane priguxivaqa je jednaka nuli budui da je uǉni priguxivaqfiksiran sa te strane. Prema tome diferencijalna jednaqina ponaxaǌa elastiqne sprege usluqaju prikazanom na slici 6.22 je

cp

c0ξ + ξ = xi. (6.33)

Elastiqna sprega u konfiguraciji prikazanoj na slici 6.22 se ponaxa kao proporcionalnielement prvog reda.

Jednaqina ponaxaǌa poluge sa osloncem je

x =l2l1

ξ. (6.34)

Rexeǌe koje treba da dobijemo je diferencijalna jednaqina u kojoj figurixu samo veli-qine xi i xu. To znaqi da iz prethodnih jednaqina mora da se eliminixu ostale nepoznateveliqine x, ξ i q.

Eliminiximo nepoznatu pomonu veliqinu x tako xto (6.34) uvrstimo u (6.31)

q = Kq(xu − l2l1

ξ), (6.35)

a zatim kombinacijom (6.35) i (6.32) eliminiximo i neopoznatu q

Axi = Kq(xu − l2l1

ξ). (6.36)

6.3. Hidrauliqni sistem automatskog upravǉaǌa 119

Sada su nam ostale dve jednaqine: (6.33) i (6.36) i dve nepoznate xi i ξ. Odreivaǌem ξ iz(6.36) na sledei naqin

l2l1

ξ = xu − A

Kqxi

i mnoeǌem te jednaqine sa l1/l2 dobija se

ξ =l1l2

xu − l1A

l2Kqxi. (6.37)

Na osnovu te jednaqine odreuje se i prvi izvod veliqine ξ

ξ =l1l2

xu − l1A

l2Kqxi. (6.38)

Na kraju se jednaqine (6.37) i (6.38) uvrxuju u jednaqinu (6.33) odakle sledi

cp

c0

(l1l2

xu − l1A

l2Kqxi

)+

l1l2

xu − l1A

l2Kqxi = xi. (6.39)

Preureeǌem te jednaqine na uobiqajeni naqin kako prikazujemo diferencijalne jedna-qine dobija se

cp

c0

l1A

l2Kqxi +

l1A

l2Kqxi + xi =

l1l2

xu +cp

c0

l1l2

xu (6.40)

odakle se zakǉuquje da je razmatrani HPO sa usporenom povratnom spregom drugog reda PDdejstva, odnosno II vrste.

Meusobna dejstva pojedinih elemenata u okviru HPO sa usporenom povratnom spregomnajboǉe ilustruje blok dijagram ovog HPO-a koji je prikazan na slici 6.23.

- --- Q(s) Xi(s)Xu(s)±°²¯

±°²¯

Xr(s)

6

6

¾X(s)

ξ(s)

ξ(s)

¾Xi(s)¾ ¾Fp = Fo

Kq1

As

co1

cps

l1l2

Slika 6.23. Blok dijagram HPO-a sa usporenom povratnom spregom.

6.3 Hidrauliqni sistem automatskog upravǉaǌaVrlo qesto Pretpostavka 6.1.10 i Pretpostavka 6.1.12 nisu prihvatǉive. To se dexava usluqaju velikih masa koje se pomeraju hidrauliqnim cilindrom ili velikih sila koje naǌega deluju. Jedan takav primer je prikazan na slici 6.24. Masa kolica M ne moe da sezanemari.

Izloimo celokupni postupak za odreivaǌe matematiqkog modela hidrauliqnogprenosnog organa koji je verodostojan prikazanom fiziqkom sistemu.

Protok uǉa na izlaznom otvoru razvodnika je odreen poznatom relacijom

q = Kqxr. (6.41)

U sluqaju kada je hidrauliqni cilindar optereen velikim silama, tada postoji cureǌeizmeu komora cilindra, kao i komora i okoline. Tada mora da se uzme u razmatraǌe istixǉivost uǉa, pa ni Pretpostavka 6.1.6 nema opravdaǌe u takvim sluqajevima.

Odatle proistiqe da se protok koji izae iz razvodnika raspodeǉuje na protok koji ide uhidrauliqni cilindar - qh, protok koji se gubi usled cureǌa - qc i na protok za kompenzacijustixǉivosti hidrouǉa - qs, tj.:

q = qh + qc + qs. (6.42)


M

xux

q q

ps

p1

p p pL 1 2= -

K pc L

p2

pumpa

rezervoar

xi

A

l1

l21

5

34

2

6x xi

co

cp

Slika 6.24. HPO koji upravǉa poziciju kolica.

Deo protoka qh proizvodi kretaǌe klipa cilindra i kao xto je ve pokazano moe da seizrazi sledeom jednaqinom:

qh = Adxi

dt. (6.43)

Komponenta protoka koji se gubi usled cureǌa u sistemu qc moe da se izrazi prekokoeficijenta cureǌa Kc i radnog pritiska hidrouǉa pL:

qc = KcpL, (6.44)

pri qemu je radni pritisak uǉa jednak razlici pritisaka u komorama hidrocilindra pL =p1 − p2.

Komponenta protoka za kompenzovaǌe stixǉivosti hidrouǉa qs zavisi od modulastixǉivosti hidrouǉa B i efektivne zapremine hidrouǉa koje je pod pritiskom: uhidrocilindru i u vodovima izmeu razvodnika i cilndra V . To moe da se izrazi sledeomjednaqinom:

qs =V

B

dpL

dt(6.45)

Na osnovu (6.43), (6.44) i (6.45) jednaqina (6.42) moe da se napixe u obliku

q = Adxi

dt+ KcpL +

V

B

dpL

dt, (6.46)

a budui da je taj protok jednak protoku razvodnika (6.41) onda vai i sledea jednaqina:

Kqxr = Adxi

dt+ KcpL +

V

B

dpL

dt. (6.47)

6.3. Hidrauliqni sistem automatskog upravǉaǌa 121

Sila F koju hidrouǉe pod pritiskom stvara delovaǌem na klip radnog cilindra je:

F = ApL. (6.48)

Da bi ta sila mogla da savlada sva inercijalna optereeǌa mase M i savlada viskoznotreǌe, mora da vai:

ApL = Md2xi

dt2+ µ

dxi

dt, (6.49)

gde je µ koeficijent viskoznog treǌa klipa i zidova cilindra. Prvi izvod radnog pritiskaje

dpL

dt=

M

A

d3xi

dt3+

µ

A

d2xi

dt2, (6.50)

Ako se sada u (6.47) uvrsti izraz za pritisak pL i ǌegov prvi izvod (6.49) i (6.50) dobijase:

Adxi

dt+ Kc

(M

A

d2xi

dt2+

µ

A

dxi

dt

)+

V

B

(M

A

d3xi

dt3+

µ

A

d2xi

dt2

)= Kqxr, (6.51)

odakle se preureeǌem jednaqine dobija diferencijalna jednaqina ponaxaǌa podsistemahidrauliqni klipni razvodnik - hidrauliqni cilindar:

V M

BA

...x i +

(V µ

BA+ Kc

M

A

)xi +

(A + Kc

µ

A

)xi = Kqxr. (6.52)

Prenosna fukcija tog sklopa je

Xi(s)Xr(s)

= W (s) =Kq

s

[V M

BAs2 +

(V µ

BA+ Kc

M

A

)s +

A2 + Kcµ

A

] , (6.53)

tj.

W (s) =Kq

s

[V M

BA

A

A2 + Kcµs2 +

(V µ

BA+ Kc

M

A

)A

A2 + Kcµs + 1

] . (6.54)

Ako se uvedu sledee oznake

ωn =

√B(A2 + Kcµ)

V Mi

ξ =

(V µ

BA+ Kc

M

A

)A

A2 + Kcµ

2ωn

onda je ωn sopstvena uqestanost, a ξ priguxeǌe sklopa hidrauliqni klipni razvodnik hi-drauliqni cilindar, pa prenosna funkcija moe da se prikae na sledei naqin

W (s) =Xi(s)Xr(s)

=Kqω

2n

s(s2 + 2ξωns + ω2n)

. (6.55)

Kompletan matematiqki model sistema qija je funkcionalna xema prikazana naslici 6.24 najboǉe ilustruje blok dijagram tog sistema, slika 6.25.

-- Q(s) Xi(s)Xu(s)±°²¯

±°²¯

Xr(s)

6

6

¾X(s)

ξ(s)

ξ(s)

¾Xi(s)¾ ¾Fo = Fp

- -Kq

cps1co

l1l2

ω2n

s(s2 + 2ξωns + ω2n)

Slika 6.25. Blok dijagram HPO-a koji upravǉa kolica mase M .


Poglavǉe 7

Koncept stabilnosti

Pojam stabilnost se vrlo xiroko upotrebǉava, kako od strane eksperata tako i od straneǉudi koji nisu familijarni sa teorijom stabilnosti. Iz toga razloga potrebno je da se tajpojam detaǉno i precizno razjasni kao i mnoga druga pitaǌa vezana za taj pojam.

7.1 Radni reimi sistemaRazmatra se sistem opisan u prostoru staǌa:

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (7.1a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t). (7.1b)

Radne reime u kojima dati sistem moe da se nae odreujemo:• prema dejstvu ulaza xu,

• prema promeni funkcije prelaza staǌa χ(·).Prema dejstvu ulaza xu na sistem, radni reimi se dele na prinudni i slobodni radni

reim.Sistem (7.1) se nalazi u:

1. prinudnom radnom reimu ako i samo ako postoji bar jedan trenutak t takav da jevrednost ulaza razliqita od nule

xu(t) 6= 0u,

2. slobodnom radnom reimu ako i samo ako je ulaz identiqki jednak nuli

xu(t) = 0u, ∀t ∈ R.

Sistem (7.1) u slobodnom radnom reimu se jednostavnije opisuje sa

x(t) = Ax(t), (7.2a)

xi(t) = Cx(t). (7.2b)

Prema promeni funkcije prelaza staǌa χ(·), sistem (7.1) moe da se nae u:1. ravnotenom radnom reimu ako i samo ako je on u slobodnom radnom reimu i vai

χ(t;x0;0u) = x0, ∀t ∈ R,

2. stacionarnom radnom reimu ako i samo ako vai

χ(t;x0;xu) = x0, ∀t ∈ R,

3. periodiqnom radnom reimu s periodom T ako i samo ako

χ(t;x0;xu) = χ(t + T ;x0;xu), ∀t ∈ R,

pri qemu je T najmaǌi pozitivan broj koji zadovoǉava prethodnu jednaqinu,

123

124 Poglavǉe 7. Koncept stabilnosti

4. ustaǉenom radnom reimu ako i samo ako je on ili u stacionarnom ili u periodiqnomradnom reimu,

5. prelaznom radnom reimu ako i samo ako nije u ustaǉenom radnom reimu.Stacionarni radni reim nastaje onog trenutka (vreme smireǌa) kada sistem ue u

stacionarno staǌe. To staǌe se oznaqava sa xs i ǌega sistem zadrava sve vreme kada sejednom u ǌemu nae:

χ(t;xs;xu) = xs, ∀t ∈ R.

Poseban oblik stacionarnog staǌa je ravnoteno staǌe xr, koje se definixe u slobodnomreimu rada, za razliku od stacionarnog staǌa xs koje je definisano u prinudnom reimurada.

7.2 Ravnotena staǌa sistemaZa staǌe sistema (7.1) se kae da je ravnoteno staǌe tog sistema ako i samo ako on ostajeu tom staǌu stalno qim se jednom nae u ǌemu u slobodnom reimu rada. Ravnoteno staǌese oznaqava sa ”r”. Da bi se sistem izveo iz svog ravnotenog staǌa potrebno je da seizvrxi razmena energije, materije i/ili informacija izmeu ǌega i okoline. To znaqi dana ǌega treba da deluje neka ulazna veliqina da bi se on izveo iz svog ravnotenog staǌa.

Definicija 7.2.1 Staǌe x∗ sistema (7.1) je ǌegovo ravnoteno staǌe oznaqeno sa xr,x∗ = xr, ako i samo ako vai

χ(t;x∗;0u) = x∗, ∀t > 0. (7.3)

To znaqi da su kretaǌa iz ravnotenog staǌa, u slobodnom reimu rada, konstantna.Samim tim je izvod tih kretaǌa jednak nuli. Budui da se ta kretaǌa dobijaju kao rexeǌajednaqine staǌa, u slobodnom radnom reimu, (7.2a)

x(t) = Ax(t),

onda se lako dolazi do sledee teoreme:

Teorema 7.2.1 Da bi staǌe x∗ bilo ravnoteno staǌe sistema (7.1) potrebno je i dovoǉnoda je izvod kretaǌa, u slobodnom radnom reimu, kroz staǌe x∗ jednak nuli:

d

dtχ(t;x∗;0u) = Aχ(t;x∗;0u)(t) = 0u,

odnosno, kratko, da vaiAx∗ = 0u. (7.4)

Svako staǌe koje zadovoǉava uslov (7.4) je ravnoteno staǌe sistema (7.1).Analizom jednaqine (7.4) moe da se doe do sledee teoreme.

Teorema 7.2.2• Sistem (7.1) ima ravnoteno staǌe za svaku matricu A, tj. jednaqina (7.4) uvek imarexeǌe. ǋegovo nulto ravnoteno staǌe xr = 0x predstavǉa trivijalno rexeǌe jed-naqine (7.4).

• Da bi sistem (7.1) imao samo jedno ravoteno staǌe potrebno je i dovoǉno da je ma-trica A regularna (nesingularna)

det A 6= 0.

Takvo ravnoteno staǌe se naziva jedinstveno ravnoteno staǌe.

• Ako je matrica A sistema (7.1) singularna

det A = 0,

onda jednaqina (7.4) ima neograniqeno mnogo rexeǌa, tj. sistem (7.1) ima neograniqenomnogo ravnotenih staǌa.

7.3. Definicije razliqitih osobina stabilnosti sistema 125

klatno uravnote¼nom sta©u

klatno uravnote¼nom sta©u

(a) (b)Slika 7.1. Klatno.

Na slici 7.1 je prikazano klatno u dva svoja ravnotena poloaja. Prvi ravnotenipoloaj je prikazan na slici (a), kada klatno zaklapa ugao od 0 sa vektorom Zemǉine tee,a drugi na slici (b) kada je taj ugao 180. Oqigledno je da ta dva ravnotena poloajanemaju isti karakter. Ako je poqetni poloaj klatna takav da se ono ne nalazi ni u jednomravnotenom poloaju, onda e, u slobodnom radnom reimu, klatno teiti poloaju prvogravnotenog staǌa. To znaqi da je prvo ravnoteno staǌe stabilno, a drugo ne.

Koncept stabilnosti koji e ovde da bude izloen govori o stabilnosti sistema. Neese razmatrati stabilnost ravnotenih staǌa. Prema tome za razmatrano klatno kao sistemje nemogue dati odgovor na pitaǌe: da li je razmatrano klatno stabilan sistem? Da bi tajodgovor mogao da se da neophodno je da sistem ima jedinstveno ravnoteno staǌe. Odatleproistiqe sledei zakǉuqak, dat u vidu naredne teoreme.

Teorema 7.2.3 Da bi linearni sistem (7.1) bio stabilan potrebno je (ali nije i dovoǉno)da on ima jedinstveno ravnoteno staǌe xr = 0x.

Na osnovu prethodne teoreme i Teoreme 7.2.2 dolazi se do iskaza sledee teoreme.

Teorema 7.2.4 Da bi linearni sistem (7.1) bio stabilan potrebno je (ali nije i dovoǉno)da je ǌegova matrica A regularana:

det A 6= 0.

7.3 Definicije razliqitih osobina stabilnosti sistemaRazmatra se sistem qije je kretaǌe prikazano na slici 7.2. Sistem se od poqetnog trenutkat = 0 do trenutka t = t1 nalazio u ravnotenom radnom reimu. Od trenutka t1 pa sve dotrenutka t2 na sistem deluje nenominalni ulaz, tj. xu 6= 0. Kao rezultat takvog prinudnogradnog reima na intervalu [t1, t2] sistem dolazi u trenutku t2 u staǌe oznaqeno sa x0.

-

-¾-¾

0 t1 t2 t

xu = 0u xu 6= 0u xu = 0u -¾

x0

sistem prepuxten samom sebi

χ(t;0x;0u) χ(t; t1,0x;xu) χ(t; t2,x0;0u)

Slika 7.2. Koncept stabilnosti.


Osobina stabilnosti sistema se odreuje na bazi karaktera ǌegovog kretaǌa iz x0 odtog trenutka t2, kada se sistem prepuxta samom sebi, tj. kada se od trenutka t2 pa nadaǉeon nalazi u slobodnom reimu rada:

χ(t; t2,x0;0u).

Imajui u vidu da je razmatrani sistem stacionaran, onda trenutak t2 moe da se proglasipoqetnim trenutkom t2 = 0, pa se razmatra kretaǌe χ(t;x0;0u) i u zavisnosti od ǌegovogkaraktera definixu se sledee osobine stabilnosti.

Definicija 7.3.1 Linearni sistem (7.1) je stabilan ako i samo ako u slobodnom rad-nom reimu kretaǌe sistema (7.1) konvergira nultom ravnotenom staǌu kada vremeneograniqeno raste.

limt→+∞

χ(t;x0;0u) = 0x.

Kao ilustracija prethodne definicije na slikama 7.3 i 7.4 su prikazana kretaǌa jednogstabilnog sistema treeg reda. Na prvoj slici je ilustrovana aperiodiqna konvergencijaka nultom staǌu, dok je na drugoj slici prikazano priguxno oscilatorno pribliavaǌenultom ravnotenom staǌu.

0 1 2 3 4 5 6−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

t

x1,x

2,x

3,‖x

‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.3. Grafiqka ilustracija definicije stabilnosti.

0 1 2 3 4 5 6 7 8−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8

10

12

t

x1,x

2,x

3,‖x

‖

x1x2

x3

‖x‖

Slika 7.4. Grafiqka ilustracija definicije stabilnosti.

7.3. Definicije razliqitih osobina stabilnosti sistema 127

Definicija 7.3.2 Linearni sistem (7.1) je graniqno stabilan (na granici stabil-nosti) ako i samo ako u slobodnom radnom reimu, kada vreme neograniqeno raste, postojibar jedna veliqina staǌa tog sistema koja postaje ili konstanta ograniqene nenulte vred-nosti, ili oscilatorna vremenska funkcija ograniqene amplitude.

Slikama 7.5 i 7.6 je na primeru jednog sistema treeg reda ilustrovana prethodnadefinicija. Na slici 7.5 se ilustruje aperiodiqna graniqna stabilnost - kada neka odveliqina staǌa konvergira nenultoj konstanti. Slika 7.6 prikazuje oscilatorno graniqnostabilni sistem - kada veliqine staǌa postaju oscilatorne funkcije ograniqene amplitude.

0 2 4 6 8 10−3

−2

−1

0

1

2

3

4

t

x1,x

2,x

3,‖x

‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.5. Grafiqka ilustracija definicije (aperiodiqne) graniqne stabilnosti.

0 10 20 30 40 50 60 70−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t

x1,x

2,x

3,‖x

‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.6. Grafiqka ilustracija definicije (oscilatorne) graniqne stabilnosti.

Definicija 7.3.3 Linearni sistem (7.1) je nestabilan ako i samo ako u slobodnom rad-nom reimu, kada vreme neograniqeno raste, postoji bar jedna veliqina staǌa tog sistemakoja ili poprima neograniqeno velike vrednosti, ili postaje oscilatorna vremenska funk-cija neograniqene amplitude.

Na slici 7.7 je ilustrovan sluqaj nestabilnosti sistema treega reda kada kretaǌamonotono divergiraju ka beskonaqnosti, dok je slikom 7.8 prikazno ponaxaǌe nestabilnogsistema treeg reda qije kretaǌe oscilatorno, sa poveaǌem amplitude, divergira kabeskonaqnosti.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4−50

−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

50

t

x1,x

2,x

3,‖x‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.7. Grafiqka ilustracija definicije nestabilnosti.

0 2 4 6 8 10 12 14 16−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

t

x1,x

2,x

3,‖x

‖

x1

x2

x3

‖x‖

Slika 7.8. Grafiqka ilustracija definicije nestabilnosti.

7.4 Uslovi razliqitih osobina stabilnosti sistemaPrema prikazanim definicijama razliqitih osobina stabilnosti izgleda da je za ispiti-vaǌe tih osobina stabilnosti potrebno poznavati kretaǌa sistema χ(t;x0;0u). Meutim,bie pokazno da osobine stabilnosti linearnih sistema mogu da se ispitaju posrednimnaqinom i bez poznavaǌa ǌihovih kretaǌa.

Matematiqki modeli linearnih sistema koju su do sada bili prikazani mogu da se samuu tri osnovna oblika:

• diferencijalna jednaqina ponaxaǌa

l∑

k=0

Akx(k)i (t) =

m∑

k=0

Bkx(k)u (t), m 6 l (7.5)

• jednaqina staǌa i jednaqina izlaza

x(t) = Ax(t) + Bxu(t), (7.6a)

xi(t) = Cx(t) + Dxu(t). (7.6b)

• prenosna matrica sistema

W(s) =

(l∑

k=0

Aksk

)−1 m∑

k=0

Bksk = C(sI−A)−1B + D. (7.7)

7.4. Uslovi razliqitih osobina stabilnosti sistema 129

Veza izmeu polova prenosne matrice W(s) i sopstvenih vrednosti matrice A se dobijaiz veze prenosne matrice i matrica koje odreuju jednaqinu staǌa i jednaqinu izlaza:

W(s) = Cadj(sI−A)det (sI−A)

B + D =Cadj(sI−A)B + D det (sI−A)

det (sI−A).

Vidi se da je imenilac prenosne matrice odreen determinantom karakteristiqne matricedet (sI−A), odakle se zakǉuquje da su sopstvene vrednosti matrice A istovremeno i poloviprenosne matrice W(s).

Budui da se sopstvene vrednosti matrice A odreuju rexavaǌem karakteristiqne jed-naqine:

f(s) = det (sI−A) = 0,

gde je f(s) karakteristiqni polinom matrice A. ǋegovi korenovi predstavǉaju sopstvenevrednosti matrice A.

Na osnovu svega navedenog zakǉuquje se da su polovi prenosne matrice W(s) jednakisopstvenim vrednostima matrice A, odnosno korenovima karakteristiqnog polinoma f(s):

s∗i [W(s)] = s∗i (A) = s∗i [f(s)] , ∀i = 1, 2, . . . , µ,

pri qemu je sa µ oznaqen broj razliqitih polova W(s), tj. sopstvenih vrednosti A, tj.korenova f(s).

To znaqi da su ta tri pojma sinonimi i da mogu ravnopravno da se koriste u iskazima teo-rema koje odreuju uslove stabilnosti. Neka se za ta izlagaǌa koristi termin: sopstvenevrednosti matrice A.

Kretaǌe sistema u slobodnom radnom reimu je odreeno fundamentalnom matricom:

χ(t;x0;0u) = Φ(t)x0 = L−1(sI−A)−1

x0.

Opxti oblik tog kretaǌa moe da se prikae u funkciji: s∗k - sopstvenih vrednosti matriceA, ν∗k - vixestrukosti tih s∗k, µ - broja razliqitih s∗k i ckr - konstanti odreenih poqetnimuslovima:

χ(t;x0;0u) =µ∑

k=1

ν∗k∑r=1

ckrtr−1es∗kt.

Prethodna jednaqina uspostavǉa vezu izmeu navedenih definicija stabilnosti i teo-rema koje se daju u nastavku.

Teorema 7.4.1 Da bi linearni sistem (7.1) bio stabilan potrebno je i dovoǉno da surealni delovi svih sopstvenih vrednosti matrice A negativni:

Res∗i (A) < 0, ∀i = 1, 2, . . . , µ. (7.8)

Raspored sopstvenih vrednosti matrice A u kompleksnoj ravni, koji obezbeuje stabilnostsistema je prikazan na slici 7.9.

-

6

s

s

sσ∗k

ω∗k

−ω∗k

σ∗k + jω∗k

σ∗k − jω∗k

Res

jIms

Slika 7.9. Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) stabilnog sistema.


Teorema 7.4.2 Da bi linearni sistem (7.1) bio graniqno stabilan (na granici stabil-nosti) potrebno je i dovoǉno da vae (a)-(v):(a) realni delovi svih sopstvenih vrednosti matrice A su nepozitivni:

Res∗i (A) 6 0, ∀i = 1, 2, . . . , µ, (7.9)

(b) postoji bar jedna sopstvena vrednost matrice A sa nultim realnim delom

∃k ∈ 1, 2, . . . , µ ⇒ Res∗k(A) = 0, (7.10)

(v) sve sopstvene vrednosti matrice A sa nultim realnim delom su jednostruke

Res∗k(A) = 0 ⇒ ν∗k = 1. (7.11)

-

6

s

s

s

s

ssσ∗k

ω∗k

−ω∗k

σ∗k + jω∗k

σ∗k − jω∗k

Res

jIms

ω∗k, ν∗k = 1

−ω∗k, ν∗k = 1

s∗k = 0, ν∗k = 1

Slika 7.10. Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) graniqno stabilnog sistema.

Teorema 7.4.3 Da bi linearni sistem (7.1) bio nestabilan potrebno je i dovoǉno da ili(a) postoji bar jedna sopstvenia vrednost matrice A sa pozitivnim realnim delom

∃k ∈ 1, 2, . . . , µ ⇒ Res∗k(A) > 0, (7.12)

ili

(b) postoji bar jedna sopstvena vrednost matrice A sa nultim realnim delomvixestrukosti vee od jedan

∃k ∈ 1, 2, . . . , µ ⇒ Res∗k(A) = 0, ν∗k > 1 (7.13)

ili

(v) da vae i (a) i (b) istovremeno.

-

6

s

s

s

s

s sσ∗k

ω∗k

−ω∗k

σ∗k + jω∗k

σ∗k − jω∗k

Res

jIms

ω∗k, ν∗k > 2

−ω∗k, ν∗k > 2

s∗k = 0, ν∗k > 2

Slika 7.11. Raspored sopstvenih vrednosti s∗k(A) koji dovode do nestabilnosti sistema.

7.5. Kriterijumi stabilnosti 131

Uslovi razliqitih osobina stabilnosti sistema (7.1) su izraeni u algebarskom oblikupreko znaka realnih delova sopstvenih vrednosti matrice A i ǌihove vixestrukosti. Onine zahtevaju rexavaǌe diferencijalne jednaqine staǌa jer ne zahtevaju poznavaǌe kretaǌasistema.

Odreivaǌe poloaja sopstvenih vrednosti matrice A u kompleksnoj ravni zahtevaizraqunavaǌe korenova karakteristiqnog polinoma n-tog stepena, xto se korixeǌem Mat-laba izvodi jednostavno naredbom roots.

Meutim, kada nismo u mogunosti da odredimo taqan ili dovoǉno taqan matematiqkimodel objekta, tada treba eksperimentalnim postupkom ispitati da li je sistem automatskogupravǉaǌa tog objekta stabilan. Zbog tih razloga razvijeni su posredni naqini ispiti-vaǌa stabilnosti linearnih sistema automatskog upravǉaǌa, koji se nazivaju kriterijumistabilnosti.

7.5 Kriterijumi stabilnosti

Ovde e biti izloeni algebarski i uqestanosni (frekventni) kriterijumi stabilnostilinearnih sistema.

Algebarski kriterijumi stabilnosti su opxteg karaktera i mogu da se koriste za anal-izu stabilnosti linearnih sistema proizvoǉne strukture (objekta, upravǉaqkog sistema,regulatora, otvorenih i zatvorenih sistema automatskog upravǉaǌa). ǋihova primena za-hteva poznavaǌe koeficijenata karakteristiqnog polinoma sistema, xto zahteva poznavaǌedovoǉno taqnog matematiqkog modela sistema. Ovde e biti izloen Hurvicov algebarskikriterijum stabilnosti.

Uqestanosni kriterijumi stabilnosti se odnose na analizu stabilnosti sistemaautomatskog upravǉaǌa s negativnom povratnom spregom (SAR i KSAU). Oni se zasni-vaju na korixeǌu uqestanosne karakteristike otvorenog kola datog sistema. Stoga seoni koriste za eksperimentalno ispitivaǌe stabilnosti zatvorenih sistema. Ovde e bitiizloeni Najkvistov i Bodeov uqestanosni kriterijum stabilnosti sistema automatskogupravǉǌa, koji su naxli vrlo xiroku primenu u ineǌerskoj praksi.

7.5.1 Hurvicov kriterijum

Ovaj kriterijum se zasniva na analizi odreenih algebarskih uslova postavǉenih koefi-cijentima ak karakteristiqnog polinoma razmatranog sistema

f(s) = det(sI−A) =n∑

k=0

aksk = sn + an−1sn−1 + . . . + a2s

2 + a1s + a0, an = 1. (7.14)

Od tih koeficijenata se formira Hurvicova determinanta, koja je n-tog reda,

∆n =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

an−1 an−3 an−5 an−7 · · · 0an an−2 an−4 an−6 · · · 00 an−1 an−3 an−5 · · · 00 an an−2 an−4 · · · 0...

......

.... . .

...0 0 · · · · · · · · · a0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (7.15)

Ova determinanta se naziva osnovni minor n-tog reda i obeleava sa ∆n ili kratko sa∆. Za primenu Hurvicovog kriterijuma su znaqajni i osnovni minori nieg reda. Osnovniminor k-tog reda, u oznaci ∆k, 1 6 k 6 n − 1, se dobijaju iz osnovnog minora n-tog reda∆n, kada se iz ǌega izdvoje elementi koji se nalaze u prvih k uzastopnih vrsta i prvih kuzastopnih kolona:

∆1 =∣∣an−1

∣∣ , ∆2 =∣∣∣∣an−1 an−3

an an−2

∣∣∣∣ , ∆3 =

∣∣∣∣∣∣

an−1 an−3 an−5

an an−2 an−4

0 an−1 an−3

∣∣∣∣∣∣, . . .


Moe da se uoqi da su u posledǌoj koloni ∆n svi elementi jednaki nuli, osim elementa uposledǌoj vrsti koji je a0. Odatle proistiqe:

∆n = a0∆n−1.

Teorema 7.5.1 (Hurvicov kriterijum) Da bi sistem, qiji je karakteristiqni polinomdat jednaqinom (7.14), bio stabilan potrebno je i dovoǉno

1. da su svi koeficijenti ǌegovog karakteristiqnog polinoma f(s) pozitivni

ak > 0, ∀k = 0, 1, 2, . . . , n− 1,

i2. da su svi osnovni glavni minori Hurvicove determinante pozitivni

∆k > 0, ∀k = 2, 3, . . . , n− 1.

Napomena: Ako su svi koeficijenti karakteristiqnog polinoma f(s) razmatranog sistemanegativni

ak < 0, ∀k = 0, 1, 2, . . . , n,

onda taj polinom moe da se pomnoi sa −1 i da se onda taqka 2. Hurvicovog kriterijumaproveri sa tako dobijenim koeficijentima (koji su sada svi pozitivni).

Primer 26Ispitati osobine stabilnosti sistema qiji je karakteristiqni polinom f(s) oblika:

f(s) = s4 + 10s3 + 35s2 + 50s + 24. (7.16)

Najjednostavniji naqin za odreivaǌe osobina stabilnosti je primena teorema kojimasu definisani uslovi stabilnosti (Teorema 7.4.1 - Teorema 7.4.3). Za primenu tih teoremaneophodno je odrediti poloaj korenova karakteristiqnog polinoma u kompleksnoj ravni.Primenom Matlaba i ǌegove funkcije roots, na sledei naqin:

>> roots([1 10 35 50 24])

ans =-4.0000-3.0000-2.0000-1.0000

dobija se da su sva qetiri korena f(s) realni i negativni, tj. da se svi nalaze u levojpoluravni kompleksne ravni. Na bazi Teoreme 7.4.1 zakǉuquje se da je dati sistem opisansa (7.16) stabilan.

Velika zastupǉenost raqunara pri sintezi i analizi sistema u potpunosti je elim-inisala upotrebu kriterijuma kao xto je Hurvicov. Ipak, zbog ǌegove jednostavnosti ikorisnosti koju je ispoǉavao u prethodnom periodu on je zauzeo mesto i u ovim izlagaǌima.

Proverimo najpre 1. taqku Hurvicovog kriterijuma. Svi koeficijenti

a4 = 1, a3 = 10, a2 = 35, a1 = 50, a0 = 24,

karakteristiqnog polinoma (7.16) su pozitivni.Formirajmo potom Hurvicovu determinantu ∆n = ∆4 na bazi koeficijenata f(s), jedna-

qina (7.16):

∆4 =

∣∣∣∣∣∣∣∣

a3 a1 0 0a4 a2 a0 00 a3 a1 00 a4 a2 a0

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣

10 50 0 01 35 24 00 10 50 00 1 35 24

∣∣∣∣∣∣∣∣. (7.17)

Iz tog osnovnog minora dobijaju se minori ∆1, ∆2 i ∆3:

∆1 =∣∣10

∣∣ , ∆2 =∣∣∣∣10 501 35

∣∣∣∣ , ∆3 =

∣∣∣∣∣∣

10 50 01 35 240 10 50

∣∣∣∣∣∣.


Vrednosti tih minora (determinanti) su:

∆1 = 10, ∆2 = 10 · 35− 50 · 1 = 300, ∆3 = 10(35 · 50− 24 · 10)− 50(1 · 50− 24 · 0) = 12600.

Drugi uslov Hurvicovog kriterijuma zahteva

∆k > 0, ∀k = 2, 3, . . . , n− 1,

xto je u ovom primeru∆k > 0, ∀k = 2, 3.

Budui da su oba pozitivna zakǉuquje se da je dati sistem opisan sa (7.16) stabilan. Trebauoqiti da se u ovom kriterijumu ne zahteva provera znaka osnovnih minora ∆1 i ∆n. Razlogje jednostavan: ako su svi koeficijenti f(s) pozitivni onda je i ∆1 = an−1 pozitivan. Za∆n vai ∆n = a0∆n−1 pa je i on pozitivan ako su ispuǌeni uslovi dati iskazom teoreme.

7.5.2 Najkvistov kriterijum

Najkvistov kriterijum se zasniva na korixeǌu uqestanosne karakteristike otvorenog kolaFok(jω) i primeǌuje se samo na sisteme sa negativnom povratnom spregom, SAR ili KSAU.

S obzirom da se sistem automatskog upravǉaǌa pri analizi stabilnosti posmatra bezspoǉnih dejstava posle poqetnog trenutka t0 = 0, ǌegov blok dijagram je prikazan naslici 7.12.

-- -n6

Xi(s)Y (s)E(s)WR(s) WO(s)

Slika 7.12. Blok dijagram SAR-a.

Blok dijagram otvorenog kola tog sistema je na slici 7.13.

-- -Xi(s)Xu(s) WR(s) WO(s)

Slika 7.13. Blok dijagram otvorenog kola SAR-a.

Prenosna funkcija ovog otvorenog kola je

Wok(s) = WR(s)WO(s),

a ǌegova uqestanosna karakteristika

Fok(jω) = FR(jω)FO(jω).

Primena Najkvistovog kriterijuma se zasniva na analizi hodografa uqestanosne karak-teristike otvorenog kola Fok(jω). Na bazi te analize donose se zakǉuqci o stabilnostizatvorenog kola, tj. kako e se ponaxati sistema sa slike 7.12 koji se dobija zatvaraǌemotvorenog kola sa slike 7.13.

Osnovna prednost ovog kriterijuma je xto on moe da se koristi i kada matematiqkimodel sistema nije poznat. Tada moe eksperimentalno da se odredi uqestanosna karak-teristika otvorenog kola Fok(jω), kao xto je to bilo pokazano u Odeǉku 4.4.4, strana 52.Preduslov za eksperimentalno odreivaǌe Fok(jω) je stabilnost otvorenog kola.

U opxtem sluqaju otvoreno kolo moe da bude i nestabilno, ali to samo znaqi da tadanije mogue eksperimentalno odrediti uqestanosnu karakteristiku tog otvorenog kola.


Poseban Najkvistov kriterijum

Ovaj kriterijum se primeǌuje na zatvorene sisteme automatskog upravǉaǌa qije je otvorenokolo stabilno.

Teorema 7.5.2 (Poseban Najkvistov kriterijum) Ako je otvoreno kolo (sl. 7.13) sistemaregulisaǌa (sl. 7.12) stabilno onda je za stabilnost celog sistema regulisaǌa potrebno idovoǉno da deo hodografa uqestanosne karakteristike Fok(jω) otvorenog kola pri pomeni ωod ω = 0 do ω = +∞ niti obuhvati taqku (−1, j0) niti proe kroz ǌu.

Na slici 7.14 taqke A i B nisu obuhvaene hodografom Fok(jω), taqke a i b jesu, a kroztaqke 1, 2, 3 i 4 prolazi hodograf Fok(jω).

j F j!Im ( )ok

Re ( )F j!ok

1 2 3 4a bA B

F j!ok( )

!=0!=?

Slika 7.14. Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω).

Pogledajmo primer eksperimentalno snimǉenog hodografa uqestanosne karakteristikeotvorenog kola Fok(jω) sa slike 4.23, strana 58.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−0.5

0

0.5

1

1.5

ReFok(jω)

jIm

Fok(j

ω)

ω = 0ω = +∞

Fok(jω)

(−1, j0)

Slika 7.15. Hodograf uqestanosne karakteristike otvorenog kola Fok(jω).

Hodograf Fok(jω) sa slike 7.15 obuhvata kritiqnu taqku (−1, j0). Zato se na osnovu iskazaTeoreme 7.5.2 zakǉuquje da je zatvoreni sistem automatskog upravǉaǌa, koji se dobija zat-varaǌem otvorenog kola qiji je hodograf Fok(jω) prikazan na slici 7.15, nestabilan. Prematome, ekpseriment kojim je izvrxeno odreivaǌe uqestanosne karakteristike otvorenog kolaFok(jω) ukazuje da to otvoreno kolo ne sme ni u kom sluqaju da se zatvori, jer e takav za-tvoreni sistem biti nestabilan.

7.5.3 Bodeov kriterijumZa potrebe Najkvistovog kriterijuma crtani su hodografi Fok(jω), pa se ti hodografi nazi-vaju jox i Najkvistovi dijagrami.


Hodograf uqestanosne karakteristike Fok(jω) otvorenog kola sistema regulisaǌa moeda se preslika u dijagrame logaritamske amplitudne uqestanosne karakateristike Lok(ω) ifazne uqestanosne karakteristike ϕok(ω) tog otvorenog kola, koji se jednim imenom nazivaBodeov dijagram.

Bode je formulisao Najkvistov kriterijum pomou Lok(ω) i ϕok(ω). Prema tome Bodeov iNajkvistov kriterijum su suxtinski jedan isti kriterijum ali su ǌihovi iskazi razliqitijer su interpretirani u razliqitim koordinatama. Vezu izmeu ta dva kriterijuma najboǉeilustruje slika 7.16

Re ( )F j!ok

j F j!Im ( )ok L !ok( )

!

Slika 7.16. Preslikavaǌe iz linearnih u logaritamske koordinate.

Sa te slike se vidi da:• jediniqna krunica iz linearnih koordinata, koja je opisana sa Aok(ω) = 1 preslikavase u apscisnu osu Lok(ω) = 20 log 1 = 0 u logaritamskim koordinatama

• taqke iz jediniqne krunice gde je Aok(ω) < 1 preslikavaju se u doǌu poluravan gde jeLok(ω) < 0

• taqke van jediniqne krunice za koje vai Aok(ω) > 1 preslikavaju se u gorǌu polura-van, Lok(ω) > 0.

Kritiqna taqka (−1, j0) ima moduo jednak jedinici. ǋen argument je π, ali je matemati-qki potpuno ispravno i (2m+1)π gde je m ceo broj, m ∈ Z, tj. m = . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .. Prematome ta taqka se preslikava u neograniqeno mnogo likova u Bodeovom dijagramu: Lok(ω) = 0,ϕok(ω) = (2m + 1)π, m ∈ Z.

Broj obilazaka hodografa uqestanosne karakteristike Fok(jω) oko kritiqne taqke (−1, j0)moe da se iskae brojem preseka tog hodografa sa negativnim delom apscisne ose ReFok(jω)i to na intervalu od −∞ do −1, slika 7.17.

(-1,j0)/2++

--

j F j!Im ( )ok

Re ( )F j!ok

!=0 !=?

Slika 7.17. Preseci Fok(jω) sa apscisom.

Pri tome prelaz je:• pozitivan ⊕ ako Fok(jω) pri poveaǌu uqestanosti seqe realnu osu pri ω = ω∗ odozgona dole, tj. ako se pri poveaǌu uqestanosti ω vrednost ϕok(ω) poveava:

d

dωϕok(ω∗) > 0

• negativan ª ako Fok(jω) pri poveaǌu uqestanosti seqe realnu osu pri ω = ω∗ odozdona gore, tj. ako se pri poveaǌu uqestanosti ω vrednost ϕok(ω) smaǌuje:

d

dωϕok(ω∗) < 0


U sluqaju da ne dolazi do presecaǌa realne ose ve samo do ǌenog dodirivaǌa, na istinaqin se, kao za preseke, definixu pozitivni polupreseci ⊕/2 i negativni polupreseci ª/2.Ti preseci i polpreseci u sluqaju Bodeovog dijagrama se odreuju na osnovu odnosa fazneuqestanosne karakteristike ϕok(ω) i pravih (2m + 1)π za bilo koji ceo broj m, slika 7.18.

/2+

+

+

-

-

/2-

' !ok( )

!¼

-¼

(2 +1)m ¼

!=1!=0

Slika 7.18. Preseci ϕok(ω) sa pravama (2m + 1)π, m ∈ Z.

Na bazi svih ovih razjaxǌena vezanih za vezu Najkvistovog i Bodeovog dijagrama moeda se formulixe poseban Bodeov kriterijum.

Poseban Bodeov kriterijum

Teorema 7.5.3 (Poseban Bodeov kriterijum) Ako je otvoreno kolo sistema regulisaǌastabilno onda je za stabilnost celog sistema regulisaǌa potrebno i dovoǉno(a) da za uqestanosti ω∗, za koje je Lok(ω∗) = 0, fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω)

nema ni jednu zajedniqku taqku sa pravama (2m + 1)π:

ϕok(ω∗) 6= (2m + 1)π, ∀m ∈ Z i

(b) da na svim ω intervalima na kojima je Lok(ω) > 0 razlika izmeu ukupnih brojeva poz-itivnih i negativnih preseka i polupreseka fazne uqestanosne karakteristike ϕok(ω)i pravih (2m + 1)π, za bilo koji ceo broj m, bude jednaka nuli.

Pogledajmo primer eksperimentalno snimǉenih Lok(ω) sl. 4.24 i ϕok(ω) sl. 4.25, str. 59.Ta slika i iskaz posebnog Bodeovog kriterijuma ukazuju da je sistem regulisaǌa nestabilan,

100

−20

−15

−10

−5

0

5

ω [rad/s]

L ok(ω

) [d

B]

100

−90

0

90

180

ω [rad/s]

φ ok(ω

) [d

eg]

Slika 7.19. Logaritamska uqestanosna karakteristika otvorenog kola.

jer ϕok(0) dodiruje pravu (2m+1)π za m = 0, tj. pravu kroz 180 i samim tim pravi negativanpolupresek i to u taqki u kojoj je Lok(0) > 0.

Treba naglasiti jednu osobenost Bodeovog dijagrama, a to je pojava skoka, tj. prekidaprve vrste u sluqaju elementarne prenosne funkcije koja predstavǉa negativnu konstantu.


Vrednost fazne uqestanosne karakteristike je tada 180. S obzirom da je ϕok(ω) neparnafunkcija onda je ona u nuli vixeznaqna i ǌena vrednost pripada intervalu [−180, 180].U sluqaju Bodeovog dijagrama gde se koriste logaritamske koordinate poqetna vrednostuqestanosti je ω = 0+ pa se tada javǉa skok ϕok(ω) od [0, 180], slika 7.20. Po definiciji

' !ok( )

!

¼

0!=1!=0

/2+

ne postojipolupresek

Slika 7.20. Fazna uqestanosna karakteristika ϕok(ω) za Wok(s) = k, k < 0.

polupreseka to bi bio pozitivan polupresek, meutim skok sa slike je posledica matemati-qkog formalizma zbog ϕok(−ω) = −ϕok(ω). Taj skok ne postoji na Najkvistovom dijagramu (toje jedna taqka qiji se argument ne meǌa kada se uqestanost meǌa), pa se ni ovde ne uzima uobzir, ve se smatra da skoka nema i da je ϕok(0) = 180, odakle sledi da ne postoji nikakavpresek ili polupresek.

Documents

Automatsko Upravljanje