U T F S MUniversidadTecnicaFedericoSantaMariaTRANSFORMACIONESDEMBIUSUna IntroduccinRubn A. HidalgoDepartamento de MatemticaUniversidad Tcnica Federico Santa MaraRubn A. HidalgoTRANSFORMACIONES DE MBIUS:UNA INTRODUCCINPRIMERA EDICIN 2006Rubn A. HidalgoDepartamento de Matemtica, Universidad Tcnica Federico Santa Mara, Valparaso,Chile.E-mail : ruben.hidalgo@usm.clUrl : http://docencia.mat.utfsm.cl/~rhidalgoClassicacin matemtica por tema (2000). 30F40.Palabrasclaves. TransformacionesdeMbius, GruposKleinianos, SuperciesdeRiemann, Variedades hiperblicas, Espacio hiperblico.Primera Edicin 2006 .ISBN XXXXXXX .Estelibrofupatrocinadopor los proyectos Fondecyt 1030252, Fondecyt 1070271, UTFSM12.05.21, UTFSM12.08.01yunsabticootorgadoporlaUniversidadTcnicaFedericoSantaMara durante el periodo 2006.TRANSFORMACIONES DE MBIUS:UNA INTRODUCCINPRIMERA EDICIN 2006Rubn A. HidalgoA Betty, Cata y PuckyINTRODUCCINCuandosemesolicitdictarenunodelosEncuentrosdeMatemticadelazonasur, pens as en escribir unas notas sobre las transformaciones de Mbius en la esferade Riemann, dando vida as a una primera aproximacin del primer captulo. Una vezterminada una primera versin de esta parte, me pareci natural empezar a escribir laversin multidimensional, dando as vida a los dems captulos. Por supuesto, quedanmuchos tpicos que no hemos incluido, pero esperamos que estas permitan una primeraincursineneltemadetransformacionesdeMbius, gruposKleinianosyvariedadeshiperblicas. Existen en la actualidad una enorme cantidad de literatura en el tpico, lamayora de ellas en ingls. El propsito de estas notas es poder entregar al mundo de hablahispana algunas nociones sobre transformaciones de Mbius y sus uniformizaciones ennuestro idioma, el Castellano.En su programa de Erlangen (1872), Felix Klein observ que la geometra es el estu-dio de las propiedades de un espacio que quedan invariables bajo un grupo de transfor-maciones de tal espacio. Del teorema de geometrizacin de Poincar y Koebe, las geo-metras ms importantes son la esfrica, la Euclidiana y la hiperblica. Todas ellas soncasos particulares de geometra conformal, es decir, donde el espacio es la esfera unitarian-dimensional Sny el grupo de transformaciones es dado por el grupo de Mbius Mn. Esimportante observar que no es posible dotar a Snde una mtrica Riemanniana de maneraque Mnacte como grupo de isometras. Uno puede ver geometra conformal como unborde al infnito de la geometra hiperblica.La idea principal de este libro es mostrar algunas de las propiedades bsicas que tienenlas transformaciones (extendidas) de Mbius, tanto en el caso planar como en el espa-cial. Por ejemplo, una transformacin (extendida) de Mbiusn-dimensional resulta serun automorsmo conformal (anticonformal) de la esfera Sny viceversa. A continuacinestudiamos algunos modelos del espacio hiperblico, con nfasis en el caso planar y dedimensin tres, y sus grupos de isometras, las cuales resultan ser exctamente aquel-las transformaciones de Mbius que dejan invariante el modelo escogido. En particular,estudiamos los grupos Fuchsianos, que son los grupos discretos de transformaciones deMbius que actun como grupos de isometras del plano hiperblico (en algn modeloescogido).El espacio hiperblico n-dimensional tiene como borde conformal la esfera (n 1)-dimensional. As, por la extesin de Poincar y el teorema de Liouville, podemos ver quelas isometras del espacio hiperblicon-dimensional resultan ser extensiones naturalesde los homeomorsmos conformales y anticonformales de la esfera (n1)-dimensional.De esta manera, en el caso particularn=3 vemos una hermandad entre la geometrax INTRODUCCINhiperblica 3-dimensional y el anlisis complejo en una variable. Estudiamos en poco de-talle variedades y orbifolds hiperblicos 3-dimensionales, dando algunas construccionesconcretas que permitan ver de manera ms clara estas.Otro tpico al cual dedicamos algunos captulos es respecto a las uniformizacionespor grupos de Schottky, que resultan ser los cubrimientos planares mas cercanos a lassupercies de Riemann cerradas. Nos concentramos en las relaciones entre estas unifor-mizaciones, grupos de automorsmos de las supercies uniformizadas y sus matrices deperiodos de Riemann. Se analizan uniformizaciones por grupos de Schottky de super-cies de Riemann reales, es decir, supercies de Riemann admitiendo un automorsmoanticonformaldeordendosconpuntosjos(usualmentellamadaunareexinounasimetra).Esta monografa slo es una pequea introduccin al tema y hay variados temas queno son tratados, pero que el lector interesado podr encontrar en la bibliografa dada y enla bibliografa de aquellos.Finalmente, quiero dar mis primeros agradecimientos a Betty, Cata y Pucky, a quienesquite tiempo de dedicacin para escribir esta monografa, por su comprensin duranteese tiempo. Quiero agradecer a Maximiliano Leyton, Alvaro Liendo, Mauricio Godoy yAlexander Vasiliev quienes leyeron parte de estas notas y me indicaron varios errores. Losque restan (que an son muchos) son de mi responsabilidad y espero que los lectores mehagan llegar todos los errores que ellos encuentren, por lo cual les estar profundamenteagradecido y as producir una segunda versin con menos errores que esta. No puedo dejarde agradecer al Grupo de Geometra Compleja de Chile por sus contantes y enriquecedo-ras discusiones, en particular mis agradecimientos a Vctor Gonzlez y Rub Rodrguezquienes guiaron mis primeros pasos en el rea de las supercies de Riemann. Por ltimo,mis agradecimientos a mi tutor de doctorado y querido amigo Bernard Maskit quien memostr el rea de los grupos Kleinianos y quien ha sido durante los ltimos aos co-autoren varios trabajos relacionados a extensiones de grupos de Schottky por transformacionesextendidas de Mbius.Valparaso, Chile 2006 Rubn A. HidalgoTABLA DE MATERIASIntroduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix1. Transformaciones de Mbius Planares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Supercies de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Supercies de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Funciones holomorfas, anti-holomorfas y di-analticas : Automorsmos . . . . 41.4. Teorema de uniformizacin de Koebe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Transformaciones (extendidas) de Mbius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6. El lema de Schwarz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7. Orbifolds de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8. Razn cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.9. Crculos generalizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.10. Puntos jos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11. Clasicacin de transformaciones de Mbius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.12. Clasicacin de transformaciones extendidas de Mbius. . . . . . . . . . . . . . . . . 151.13. Reexiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.14. Distorsin de reas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.15. Crculos isomtricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.16. Proyeccin estereogrca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202. El Plano Hiperblico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1. Algunos modelos del plano hiperblico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2. Forma innitesimal de la mtrica hiperblica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. Area de polgonos hiperblicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Crculos hiperblicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5. Trigonometra hiperblica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333. Transformaciones de Mbius n-Dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1. La proyeccin estereogrca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Transformaciones (extendidas) de Mbius n-dimensionales . . . . . . . . . . . . . . . 363.3. Clasicacin de las transformaciones de Mbius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4. Extensin de Poincar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5. Esferas isomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.6. Distorsin del volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.7. Razn cruzada en 1n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424. El Espacio Hiperblico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45xii TABLA DE MATERIAS4.1. Mtricas hiperblicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Forma innitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. El espacio hiperblico 3-dimensional H3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Norma de elementos de Aut(H3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.5. Volumen hiperblico 3-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6. La funcin de Lobachevskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505. Grupos Discontinuos, Variedades y Orbifolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1. Grupos discontinuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Cocientes por grupos discontinuos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.3. Grupos discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.4. Grupos discretos de isometras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.5. Variedades n-dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.6. Orbifolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606. Grupos Kleinianos y Discretos en Mn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.1. Grupos Kleinianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.2. Algunos ejemplos de grupos Kleinianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.3. Grupos Kleinianos y sus estabilizadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.4. Cocientes de grupos Kleinianos son Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.5. Dominios fundamentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.6. Grupos discretos en Mn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.7. Grupos discretos versus grupos Kleinianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727. Propiedades de Grupos Discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.1. Loxodrmicos en grupos discretos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2. Radios de esferas isomtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.3. Grupos discretos en Mnson convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4. Grupos nitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.5. Grupos elementales y no-elementales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.6. Puntos lmites son puntos lmites de rbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807.7. Existencia de loxodrmicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.8. Subgrupos de ndice nito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.9. Subconjuntos cerrados invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.10. Subgrupos normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.11. Aplicacin : Aut(M) es nito para volumen nito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.12. Teorema de rigidez de Mostow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.13. Lema de Selberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.14. Lema de Margulis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918. Propiedades de Grupos Discretos Planares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.1. Lema de Shimizu-Leutbecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2. Una serie de Poincar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.3. Componentes de (G). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968.4. Una desigualdad importante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.5. Desigualdad de Jrgensen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.6. Lema de Margulis : Caso n=3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.7. Convergencia algebraica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.8. Teoremas de combinacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1028.9. Teorema de la nitud de Ahlfors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059. Grupos Fuchsianos : Supercies de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107TABLA DE MATERIAS xiii9.1. Grupos Fuchsianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2. Polgonos fundamentales : dominios de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089.3. Teoremas de isomorfa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.4. Teorema del polgono de Poincar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.5. Cubrimiemtos nitos ramicados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.6. Lema del collar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.7. Producto Fibrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.8. Supercies de Riemann Hiperelpticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12310. Grupos Hiperblicos 3-dimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.1. Grupos Hiperblicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.2. Grupos hiperblicos sin torsin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.3. Grupos hiperblicos con torsin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.4. Teorema del polihedro de Poincar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13010.5. Teorema de Poincar : un par de ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13310.6. Complemento de nudos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.7. Fibrados sobre S1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.8. Gnero uno y un borde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.9. Caso de supercies cerradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14110.10. Picarones pegados := Handlebodies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311. Cubrimientos Homolgicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14511.1. Jacobianas y matrices de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14511.2. Variedades de Prym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14711.3. Automorsmos de supercies de Riemann y Jacobianas . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111.4. Supercies de Klein y Jacobianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.5. Cubrimiento homolgico de supercies de Klein. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15512. Grupos de Schottky Planares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.1. Cubrimientos regulares planares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112.2. Grupos de Schottky (planares) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16212.3. Grupos Schottky-Admisibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.4. Grupos de Schottky y Automorsmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16712.5. Grupos de Schottky reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16912.6. Representaciones simplcticas de grupos de tipo Schottky. . . . . . . . . . . . . . . 17012.7. Grupos de Schottky reales y representaciones simplcticas. . . . . . . . . . . . . . . 17313. Supercies de Riemann Maximal Simtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.1. Supercies maximales simtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17713.2. Uniformizaciones de S/K(S, ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17813.3. Supercies maximales simtricas de gnero 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18013.4. Supercies maximales simtricas de gnero 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18613.5. Supercies de Riemann maximal simtricas de gnero 5. . . . . . . . . . . . . . . . . 192Referencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205CAPTULO1TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARESEn un primer curso de variable compleja estudiamos las funciones holomorfas (anal-ticas) denidas en algn conjunto abierto del plano complejo C. Cuando empezamos aestudiar funciones meromorfas, vemos que no hay gran diferencia entre estas y las fun-cionesholomorfas. Estoquedamuyclarocuandocompacticamoselplanocomplejoadicionando un punto al innito para obtener la esfera de Riemann C. As vemos queuna funcin meromorfa f: C C, donde es algn abierto del plano complejo,es lo mismo que una funcin holomorfa f: C C. Para claricar an ms esto,procedemos a denir lo que son las supercies de Riemann. Recomendamos el libro deFarkas y Kra [21] como una muy buena referencia en el tema de supercies de Riemann.1.1. Supercies de RiemannDenicin 1.1.1. Una supercie de Riemann S es un espacio topolgico Hausdorffy segundo numerable tal que para cada punto p S existe un homeomorsmo z:U V , dondeUes un abierto deSconteniendop yV es un abierto del plano complejo,demaneraquesitenemosdosdeestoshomeomorsmos, digamosz1: U1V1yz2: U2 V2, tales que U1 U2 ,= , entoncesz2 z11: z1(U1 U2) z2(U1 U2)es una funcin holomorfa (luego biholomorfa). Cada uno de estos homeomorsmos z:U Ves llamado una coordenada local de la supercie de Riemann.Observacin 1.1.2. En la denicin anterior no pedimos que la supercie sea conexa,aunque en algunos textos se pide la conectividad. En caso de ser necesario hablaremos deuna supercie de Riemann conexa.Ejemplo 1.1.3. EjemplossimplesdesuperciesdeRiemannsonlosabiertosdelplano complejo, en particular, el mismo plano complejo es una supercie de Riemann.2 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARESEjemplo 1.1.4. OtroejemploeslaesferadeRiemann Cconsiderandolasdossi-guientes coordenadas locales_z1: C C : z z, z2: C 0 C : z 1z_Ejemplo 1.1.5. Otros ejemplos, los toros, pueden ser obtenidos de la siguiente ma-nera. Por cada C, con parte imaginaria positivaIm() >0, podemos denir lasiguiente relacin de equivalencia en C :z, w C son equivalentes si existen enteros n, m de manera que w = z +n +mEl conjunto de las clases de equivalencia T resulta ser una supercie de Riemann quees topolgicamente equivalente al toro S1S1.Denicin 1.1.6. Una supercie de Riemann que es homeomorfa a la suma conexade g copias de toros es llamada una supercie de Riemann de gnero g. Una superciede Riemann de gnero 0 es una que sea homeomorfa a la esfera de Riemann C.Ejemplo 1.1.7. Consideremos una funcin holomorfaF: V C2C : (z, w) F(z, w) = u,donde Ves un abierto de C2. Si tenemos que u0 F(V ) es un valor regular, es decir, elgradiente de F no se anula en puntos de S= F1(u0), entonces el teorema de la funcinimplta nos dice que S es una supercie de Riemann. De manera similar, si tenemos unafuncin holomorfa no-constante (luego algebraica)F: CP2 CP1,y p un valor regular de F, enonces S= F1(p) es una supercie de Riemann compacta.Ejercicio 1. Vericar los detalles de los ejemplos anteriores.Denicin 1.1.8. Sea S una supercie de Riemann de gnero g con k puntos remo-vidos. Decimos que S es una supercie de Riemann analticamente nita de signatura(g, k). Denotemos por S la supercie de Riemann compacta obtenida de S a colocar devuelta los puntos removidos.Problemas. 1.- Verique que efectivamente los toros denidos en el ejemplo 1.1.5 son superciesdeRiemann.Determinecuandodosdeesostorossonholomrcamenteequiva-lentes.2.- Vericar que toda supercie de Riemann es orientada.3.- Verique que si S es una supercie de Riemann de gnero g, entonces no es posibleincrustarla holomrcamente dentro de algn Cn.1.2. SUPERFICIES DE KLEIN 34.- Considere en el espacio proyectivo CPn, n 2, el conjuntoSn,kde los ceroscomunes del sistema___xk1+xk2+xk3= 0a1xk1+xk2+xk4= 0a2xk1+xk2+xk5= 0.........an2xk1+xk2+xkn+1= 0donde k 2, 3, 4, ..., a1, ..., an2 C0, 1 son dos a dos diferentes. Veriqueque Sn,k es una supercie de Riemann cerrada. Calcule su gnero.1.2. Supercies de KleinDenicin 1.2.1. Una supercie de KleinSes un espacio topolgico Hausdorff ysegundo numerable tal que para cada punto p S existe un homeomorsmo z: U V ,donde U es un abierto de S conteniendo p y Ves un abierto del plano complejo, de maneraque si tenemos dos se estos homeomorsmos, digamos z1: U1 V1 y z2: U2 V2,tales que U1 U2 ,= , entoncesz2 z11: z1(U1 U2) z2(U1 U2)es una funcin holomorfa antiholomorfa (luego biholomorfa anti-biholomorfa). Cadauno de estos homeomorsmos z: U Ves llamado una coordenada local de la super-cie de Klein.Ejemplo 1.2.2. De la denicin podemos ver que toda supercie de Riemann es uncaso particular de una supercie de Klein. Un par de ejemplos simples de una superciede Klein son dadas por el plano proyectivo P12= C/H y la botella de Klein K = C/G,donde H es el grupo generado por la involucin (z) = 1/z y G es el grupo generadopor la traslacin A(z) = z +i y la pseudo-traslacin B(z) = z + 1. Ms ejemplos sernvistos ms adelante cuando denamos grupos (extendidos) Kleinianos.Denicin 1.2.3. Una supercie de Klein que es homeomorfa a la suma conexa de gcopias de planos proyectivos es llamada una supercie de Klein no orientable de gnerog.Observacin 1.2.4. Note que toda supercie de Riemann es una supercie diferen-ciable real orientada. Una supercie de Klein que no es una supercie de Riemann esuna supercie diferenciable real no-orientada. Por supuesto, toda supercie de Klein (queno sea de Riemann) puede ser no orientable. Los dos ejemplos dados en ejemplo 1.2.2son no-orientables, pero la supercie de Klein dada por la esfera de Riemann C con lassiguientes dos coordenadas locales_z1: C C : z zz2: C 0 C : z 1zresulta ser orientable, pero no orientada.4 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARESDenicin 1.2.5. Sea S una supercie de Klein de gnero g con k puntos removidos.Decimos que S es una supercie de Klein analticamente nita de signatura (g, , k),donde el signo es + si S es una supercie de Riemann si no lo es. Denotemos por Sla supercie de Klein compacta obtenida de S a colocar de vuelta los puntos removidos.Problemas. 1.- Vericar que toda supercie de Riemann es una supercie de Klein.2.- Dar ejemplos de supercies de Klein orientables y no orientables.3.- Vericar que toda supercie de Klein orientable tiene una estructura de superciede Riemann.1.3. Funciones holomorfas, anti-holomorfas y di-analticas : AutomorsmosAhoraquetenemoslassuperciesdeRiemannydeKlein, necesitamosfuncionesentre ellas que sean compatibles con sus estructuras de supercies de Riemann Klein.Estas son las funciones holomorfas, las funciones antiholomorfas y las funciones di-analticas.Denicin 1.3.1. Sea f:S R una funcin entre dos supercies de Riemann. Di-remos que esta es holomorfa (respectivamente, anti-holomorfa) si para cada punto p Ses posible encontrar coordenadas localesz : UVparaSyw: WZparaRtales quep U,f(U) Wyw f z1: VC C sea holomorfa (respecti-vamente, anti-holomorfa) en el sentido usual. En el caso quef : S R es biyeccinholomorfa (respectivamente, anti-holomorfa), entonces decimos que esta es un biholo-morsmo (respectivamente, anti-biholomorsmo) y que las supercies de Riemann S yR son biholomorfas bin que son holomrcamente equivalentes (respectivamente,anti-biholomorfas). CuandoS=R yf : S Ses un biholomorsmo (respectiva-mente,anti-biholomorsmo),diremosquefesunautomorsmoholomorfo(respecti-vamente, anti-holomorfo) de S. Denotamos por Aut+(S) (respectivamente, Aut(S)) algrupo (con la regla de composicin) de todos los automorsmos holomorfos (respectiva-mente, holomorfos y anti-holomorfos) de S.Observacin 1.3.2. CuandoSyR son abiertos del plano complejo, esta denicincoincide con la usual. Adems, cuandoSes una abierto del plano complejo,R= C yf:S R es holomorfa en la denicin anterior, obtenemos la denicin usual de unafuncin meromorfa.Denicin 1.3.3. Sea f: S Runa funcin entre dos supercies de Klein. Diremosque esta es di-analtica si para cada punto p S es posible encontrar coordenadas localesz : UVparaSyw: WZparaR tales quep U, f(U) Wyw f z1: V C Cseaholomorfaanti-holomorfaenelsentidousual.Enelcasoquef : S R es biyeccin di-analtica, entonces decimos que que las supercies deKleinSyRson supercies de Klein di-analticamente equivalentes.CuandoS =1.4. TEOREMA DE UNIFORMIZACIN DE KOEBE 5Ryf : SSes un biyeccin di-analtica, diremos quefes un automorsmo di-analtico de S. Denotamos por Aut(S) al grupo (con la regla de composicin) de todoslos automorsmos di-analticos de S.Problemas. 1.- Sea R una supercie de Klein no-orientable. Vericar que existe una supercie deRiemann S admitiendo un automorsmo anti-holomorfo : S S actuando sinpuntos jos, de manera que R = S/.2.- SeanR, Sycomo en Problema 1.-. Vericar que el grupo de automorsmosdi-analticos de R es naturalmente isomorfo al grupo de automorsmos holomorfosy antiholomorfos de S que conmutan con . En particular, vericar que es isomorfoal grupo de automorsmos holomorfos de S que conmuta con .3.- Sea R una supercie de Klein orientable. Puede usted construir una supercie deRiemann S con un automorsmo anti-holomorfo tal que R = S/ ?4.- Vericar que siS es una supercie de Riemann (respectivamente, una superciede Klein), entonces Aut(S) es en efecto un grupo con la regla de composicin defunciones.5.- Vericar que la relacin de ser biholomrcamente equivalentes es una relacinde equivalencia. Lo mismo para la relacin de ser di-analticamente equivalentes.6.- Vericar la observacin 1.3.21.4. Teorema de uniformizacin de KoebeDada una supercie de Klein X, no-orientable, entonces podemos considerar su doblecobertor orientableP : S X. En este caso,Ses una supercie de Riemann admi-tiendo una automorsmo antiholomorfo de orden dos : S S, actuando sin puntosjos, tal que es el grupo cobertor de P. Luego, el estudio de supercies de Klein no-orientables puede ser interpretado como el estudio de supercies de Riemann admitiendoautomorsmos de orden dos antiholomorfos.Sea S una supercie de Riemann. Uno puede considerar su cobertor universal S y uncubrimiento universal Q: S S. Podemos levantar la estructura de supercie de Rie-mann de S por Q para dotar a S de una estructura de supercie de Riemann simplementeconexa. El cubrimiento Q : S S queda un cubrimiento universal holomorfo y el grupocobertor G = 1(S, p) un grupo de automorsmos holomorfos de S actuando de maneradiscontinua y sin puntos jos.Teorema 1.4.1 ( Teorema de uniformizacin de Koebe [21]). Toda supercie deRiemann simplemente conexa es holomrcamente equivalente a una y slo una de lassiguientes tres :(i) C;(ii) C;(iii) H = z C : Im(z) > 0.6 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARESPodemos, por el teorema de uniformizacin, suponer que S es una de esas tres posibi-lidades.Caso 1 : Si S= C, entonces la nica manera que Gacte sin puntos jos es que G = I.En este caso, S es la esfera de Riemann.Caso 2 : Si S= C, entonces la nica manera que G acte sin puntos jos y de maneradiscontinua es que sea uno de los siguientes dos formas, mdulo conjugacin :(a) G = A(z) = z + 1 ; (b) G = A(z) = z + 1, B(z) = z +, donde H.En el primer caso, S es holomrcamente equivalente a C0 y en el segundo caso,S es un toro (homeomorfo a S1S1, donde S1es el crculo unitario).Caso 3 : Todas las otras supercies de Riemann tienen al plano H como cobertor univer-sal. Estas supercies son llamadas supercies de Riemann hiperblicas.Problemas. 1.- Usando el teorema de uniformizacin, verique que toda supercie de Klein sim-plemente conexa posee una estructura de supercie de Riemann simplemente co-nexa.2.- SeaSuna supercie de Riemann hiperblica y 1 ( Dilatacin) ;(iii) z eiz ( Rotacin) ;(iv) z 1/z ( Inversin).Toda transformacin extendida de Mbius es composicin de las anteriores y la conjuga-cinJ(z) = z.Demonstracin. Seat(z) =az +bcz +dSi tenemos c = 0, entonces tenemos que t(z) = t1 t2 t3(z), donde___t3(z) =ad1|ad1|zt2(z) = [ad1[zt1(z) = z +bd1Supongamos ahora que c ,= 0. En este caso tenemost(z) = 1[c[2_[c[c_21z +d/c+ac.Laaseveracinsobrelosautomorsmosanti-holomorfosesclarayaqueestossoncomposicin de una transformacin de Mbius con J(z) = z.8 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARES1.5.3. Conformalidad y preservacin de ngulos Euclidianos. Teorema 1.5.5. Toda transformacin de Mbius es conformal, es decir, preserva n-gulos y orientacin. Toda transformacin anti-holomorfa es anti-conformal, es decir, pre-serva ngulos pero invierte la orientacin.Demonstracin. Las traslaciones, dilataciones, rotaciones preservan tanto la orienta-cin como los ngulos. La inversinz 1/zcorresponde a una rotacin en la esfera(con eje uniendo los puntos i y i), luego preserva la orientacin y los ngulos. La conju-gacin J(z)=z preserva los ngulos, pero invierte la orientacin. As, la demostracinse obtiene como consecuencia del teorema 1.5.4Problemas. 1.- Ver que cada transformacin de Mbius tiene al menos un punto jo y a lo msdos en C.2.- Ver que existen transformaciones extendidas de Mbius que no tienen puntos jos.3.- Sean f, g M2dos transformaciones de Mbius, ambas diferentes de la identidad.Vericar que f g= g f s y slo si vale alguna de las dos siguientes :(i) f y g tienen los mismos puntos jos ; bin(ii) f2= g2= I y cada una intercambia los puntos jos de la otra.4.- Consideremos una transformacin de Mbiusf(z) =az +bcz +ddonde a, b, c, d C son tales que ad bc=1. Entonces existe t M2 M2talque t2=fs y slo si (a + d) 1. En este caso verique que existen innitas tpara tal f.5.- Sea funa transformacin de Mbius. Supongamos que z, w, f(z), f(w) / .vericar la igualdad(f(z) f(w))2= f

(z)f

(w)(z w)26.- Vericar que el grupo de automorsmos holomorfos y antiholomorfos de la esferade Riemann es dado por el grupo extendido de Mbius M2.7.- Vericar que todo automorsmo holomorfo (respectivamente, anti-holomorfo) delplano complejo C se extiende continuamente a un homeomorsmo de la esfera deRiemann de manera que ja el punto . Concluir que los automorsmos holomor-fos(respectivamente, anti-holomorfos)delplanosonexctamenteaquellosauto-morsmos holomorfos (respectivamente, anti-holomorfos) de la esfera de Riemannque jan , es decir, de la forma t(z) = az + b (respectivamente, t(z) = az + b),donde a, b C y a ,= 0.1.6. EL LEMA DE SCHWARZ 98.- Diremos que una mtrica d : X X [0, +) en un conjunto X ,= es trivialsi existe a 0 tal qued(x, y) =_a x ,= y0 x = yVericar que toda mtrica en la esfera de Riemann que tenga M2como isometrasdebe ser trivial.1.6. El lema de SchwarzRecordemos el lema de Schwarz, el cual nos permitir calcular el grupo de automor-smos (holomorfos y anti-holomorfos) del disco unitario = z C : [z[ < 1Lema 1.6.1 (Lema de Schwarz). Seaf : una funcin holomorfa tal quef(0) = 0, Entonces[f(z)[ [z[, para todo z .Si [f(z)[ = [z[ para algn z 0 bin [f

(0)[ = 1, entoncesf(z) = eiz, para cierto 1.Demonstracin. Ya que f(0)=0 y fes holomorfa, entonces la funcin g: Cdenida porg(z) =___f(z)zz ,= 0f

(0) z= 0es una funcin holomorfa.Si r (0, 1), entonces tenemos que para todo [z[ = r vale la desigualdad[g(z)[ = [f(z)[[z[ 01.7. Orbifolds de RiemannAnteriormentehemosdenidoloqueesunasuperciedeRiemann.Msadelante,cuando miremos grupos Kleinianos, veremos otra estructura aparecer, las orbifolds deRiemann, la cual procedemos a denir a continuacin de las siguientes observaciones.Supongamos que tenemos el disco unitario y G es el grupo cclico nito generadopor un automorsmo conformalt : . Tal automorsmot debe tener un puntojo en . Mdulo conjugacin por otro automorsmo conformal de , podemos asumirque t(0)=0, es decir, podemos asumir que t(z)=e2i/kz, para cierto k 1, 2, ....Tenemos la relacin de equivalencia denida por t en de la siguiente manera :p q 0 n k 1 : tn(p) = qDenotemos por /G al conjunto de las clases de equivalencia y por : /Ga la proyeccin natural. Dotamos a /G de la topologa cociente. Entonces tenemos que resulta ser continua y abierta (ya que t es funcin abierta). No es difcil ver que /Ges topolgicamente , pero con un punto distinguido : la clase del punto jo de t. Uno1.8. RAZN CRUZADA 11puede pensar que es un cono con vrtice en tal clase. Si k = 1, entonces es de hecho unhomeomorsmo.Supongamos ahora que tenemos dos grupos nitos G1 y G2 como arriba y considere-mos las proyecciones naturales1: /G1, y 2: /G2.Sea V /G1 un abierto y f: V /G2 una funcin. Si es posible encontrar unafuncin h : 11(V ) tal que2 h = f 1,entonces diremos que h es un levantamiento de f y que f se puede levantar.Denicin 1.7.1. Una orbifold de Riemann O es un espacio topolgico Hausdorff ysegundo numerable tal que para cada punto p S existen :(i) un abierto U O, p U ;(ii) un grupo cclico nitoGp, generado por un automorsmo conformal del discounitario ;(iii) un homeomorsmo z: U /G;de manera que si tenemos dos se estos homeomorsmos, digamosz1: U1 /G1y z2: U2 /G2tales que U1 U2 ,= , entoncesz2 z11: z1(U1 U2) z2(U1 U2),se puede levantar a una funcin holomorfa (luego biholomorfa).Ejemplo 1.7.2. Toda supercie de Riemann es una orbifold de Riemann tomando enla denicin k = 1 en cada punto.Problemas. 1.- Sea G < M2un grupo nito. Vericar que C/G es un orbifold de Riemann.2.- Sea G < H2. Qu condiciones debemos imponer a G para que exista un subcon-junto abierto C que es invariante por la accin deG y tal que/G sea unorbifold de Riemann ?1.8. Razn cruzadaDenicin 1.8.1. La razn cruzada de cuatro puntosz1, z2, z3, z4 C, tales quez1 ,= z2 y z3 ,= z4 es denida como[z1, z2; z3, z4] :=z1 z3z1 z2z2 z4z3 z4.Observemos que la transformacin de Mbiust(z) = [z, z2; z3, z4],es la nica que satisface : t(z3) = 0, t(z2) = y t(z4) = 1. Una consecuencia del Lema1.5.4 es el siguiente.12 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARESProposicin 1.8.2. Las transformaciones de Mbius preservan las razones cruzadas,mientras que las transformaciones extendidas de Mbius conjugan las razones cruzadas,es decir :[t(z1), t(z2); t(z3), t(z4)] :=___[z1, z2; z3, z4] si t M2[z1, z2; z3, z4] si t M2M2La razn cruzada permite dar otra manera equivalente de denir transformaciones (ex-tendidas) de Mbius.Proposicin 1.8.3. Seaf : C CunhomeomorsmodelaesferadeRiemann.Entonces :(i) f es una transformacin de Mbius s y slo si preserva las razones cruzadas.(ii) f es una transformacin extendida de Mbius s y slo si enva cada razn cruzadaen su conjugada.Demonstracin. La proposicin anterior nos da una direccin de este. Veamos las di-recciones opuestas. Componiendo f con la reexin J(z) = z permite obtener (ii) comoconsecuencia de (i). De esta manera, slo necesitamos vericar (i). Consideremos un ho-meomorsmo f: C C que preserve las razones cruzadas. Ya que transformaciones deMbius preservan las razones cruzadas, podemos componer f a la izquierda por una trans-formacin de Mbius de manera de asumir que f(0) = 0 y f() = . Procederemos avericar que para todo par z ,= w de puntos en C vale que la fraccinf(z) f(w)z wes constante, digamos . En tal situacin, tomando w=0 obtendremos que f(z)=z,una transformacin de Mbius.Seanz1,=w1yz2,=w2puntosdeplanocomplejodemaneraque z1, w1 ,=z2, w2. Renumerando si es necesario, podemos suponer que z1 ,= z2. Usando la igual-dad[f(z1), ; f(z2), f(w2)] = [z1, ; z2, w2],obtenemosf(z1) f(z2)z1 z2=f(z2) f(w2)z2 w2.Usando la igualdad[f(z1), f(w1); f(z2), ] = [z1, w1; z2, ],obtenemosf(z1) f(z2)z1 z2=f(z1) f(w1)z1 w1.Las dos igualdades anteriores nos dan el resultado esperado.1.10. PUNTOS FIJOS 13Problemas. 1.- Vericar de manera directa que la razn cruzada es preservada por la accin de unatransformacin de Mbius. (Ind. Use el Lema 1.5.4).2.- Seanz1, z2, z3, z4cuatropuntosdiferentesdelaesferadeRiemann.Consideretodos los valores que se obtienen usando todas las razones cruzadas que se puedenobtenerentreellos.Obtenerqueestosson6valoresquesonpermutadosporungrupo de Mbius isomorfo al grupo de permutaciones en tres elementos. Determinar,como consequencia, un homomorsmo sobreyectivo del grupo simtrico en cuatroletras en el grupo simtrico en tres letras.1.9. Crculos generalizadosDenicin 1.9.1. Un crculo generalizado en la esfera de Riemann es bin un cr-culo en el plano complejo bin la unin de una recta del plano complejo con el punto.Proposicin 1.9.2. Tanto transformaciones de Mbius como transformaciones exten-didas de Mbius envan crculos generalizados en crculos generalizados.Demonstracin. Estoes claroparalas traslaciones, dilataciones, rotaciones ylaconjugacin. Viendo la inversinz 1/zcomo una rotacin de la esfera, vemos queesto es tambin vlido para esta. Ahora el resultado sigue del Lema 1.5.4.Problemas. 1.- Vericar que cuatro puntos diferentesz1, z2, z3, z4 C estn contenidos en unmismo crculo generalizado s y slo si [z1, z2; z3, z4] 1. Indicacin : estos puntosviven en un crculo generalizado s y slo si existe una transformacin de Mbiusque enva estos puntos en 0, 1, , x, donde x 1 0, 1.2.- Sea C un crculo generalizado. Vericar que existe una transformacin extendidadeMbiusdeordendossinpuntosjos(unareexinimaginaria)quepermutaambos discos acotados por C. Determine todas tales reexiones imaginarias en tr-minos de C.3.- Vericar que la ecuacin de un crculo generalizado es de la formaa[z[2+bz +bz +c = 0donde a, c 1, b C y [b[2ac > 0.1.10. Puntos josDenicin 1.10.1. Sea f:X X una funcin. Un punto x X tal que f(x)=xes llamado un punto jo de f.14 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARESProposicin 1.10.2. Una transformacin de Mbius diferente de la identidad tieneal menos un punto jo y a lo ms dos. El conjunto de puntos jos de una transforma-cin extendida de Mbius puede ser (i) , (ii) un punto, (iii) dos puntos , (iv) un crculogeneralizado.Demonstracin. Supongamos primero que tenemos una transformacin de Mbiust(z) =az +bcz +d,donde a, b, c, d C son tales que ad bc=1. Observemos que t()= s y slo sic = 0. Si miramos la ecuacin de puntos jos de t en C obtenemoscz2+ (d a)z b = 0.Ya que toda ecuacin polinomial compleja tiene ceros y a lo ms tiene tantos ceros comosu grado, obtenemos nuestro resultado para las transformaciones de Mbius.Supongamos ahora quet es una transformacin extendida de Mbius con al menostres puntos jos, digamosp1, p2, p3. Seas una transformacin de Mbius que satisfaces(p1) = 0, s(p2) = 1 y s(p3) = . La transformacin de Mbius s es de hecho dada pors(z) =(z p1)(p2 p3)(z p3)(p2 p1)= [z, p3; p1, p2].Entoncesu=s t s1resulta ser una transformacin extendida de Mbius cuyoconjunto de puntos jos es la imgen por s de los puntos jos de t. Ahora, como u(0) = 0y u() = , entonces u(z) = z. Tambin tenemos que u(1) = 1 de donde = 1. As,u(z) = z y su conjunto de puntos jos es dado por el crculo generalizado 1 = 1.Ya que transformaciones de Mbius envan crculos generalizados en crculos generaliza-dos obtenemos nuestro resultado para las transformaciones extendidas de Mbius.Problemas. 1.- Dar un ejemplo de cada situacin descrita en la Proposicin 1.10.2.1.11. Clasicacin de transformaciones de MbiusHemos visto que toda transformacin de Mbius, diferente de la identidad, tiene almenos un punto jo y a los ms dos.Denicin 1.11.1. Seat(z) =az +bcz +duna transformacin de Mbius, diferente de la identidad, tal que a, b, c, d Cy adbc =1.(1) Si ttieneexctamenteunpuntojo, entoncesdiremosquetesuna transfor-macin parablica. Podemos conjugarla por una transformacin de Mbius paraasumir que tal punto jo es . En tal caso tenemos que t(z) = az +b, donde a ,= 0.Pero si a ,= 1, entonces tendremos que b/a es otro punto jo, lo cual produce unacontradiccin a nuestro supuesto. Ahora, conjugando esta por la transformacin deMbiusq(z)=z/b, obtenemos que toda transformacin parablica es conjugadapor una transformacin de Mbius a p(z) = z + 1.1.12. CLASIFICACIN DE TRANSFORMACIONES EXTENDIDAS DE MBIUS 15(2) Supongamos ahora que esta transformacin t tiene dos puntos jos. Conjugandopor una transformacin de Mbius adecuada, podemos asumir que estos puntos josson 0 y , es decir, t(z) = eiz, cierto ei C0, 1. Si tenemos que = 1,entonces diremos que T es una transformacin elptica. En caso contrario diremosque es una transformacin loxodrmica. Una transformacin loxodrmica para lacual = 0 es tambin llamada una transformacin hiperblica.Problemas. 1.- Seanf, g M2transformaciones de Mbius, ambas diferentes de la identidad.Supongamos que fno es parablica y g tiene exctamente un punto jo en comncon f. Entonces la transformacin de Mbius [f, g] = f gf1g1es parablicacuyo punto jo es el punto jo comn.2.- Sea f una transformacin de Mbius, diferente de la identidad, digamosf(z) =az +bcz +ddonde a, b, c, d C son tales que ad bc = 1. Verique que :(i) f es elptica s y slo si [a +d[2< 4 y a +d 1;(ii) f es parablica s y slo si [a +d[2= 4 ;(iii) f es loxodrmica s y slo si a +d/ [2, 2] ;(iv) f es hiperblica s y slo si a +d 1 y [a +d[2> 4.3.- Dado un punto cualquiera p C, verique que existe una transformacin parab-lica que tiene a p como punto jo. Determine todas tales transformaciones.4.- Dado dos puntos diferentes p, q C, verique que existe una transformacin loxo-drlica que tiene a p y q como puntos jos. Determine todas tales transformaciones.5.- Dado dos puntos diferentes p, q C, verique que existe una transformacin el-tica que tiene a p y q como puntos jos. Determine todas tales transformaciones.1.12. Clasicacin de transformaciones extendidas de MbiusEn el caso de transformaciones extendidas de Mbius, hemos visto que tenemos tresposibilidades.Denicin 1.12.1. Sea una transformacin extendida de Mbiust(z) =az +bcz +d,donde a, b, c, d C tales que ad bc = 1.(1) En el caso que esta no tenga puntos jos, entonces diremos que esta es una trans-formacin pseudo-elptica. En este caso, t2es una transformacin de Mbius conal menos un punto jo. Podemos conjugar t por una transformacin de Mbius queenva tal punto jo a , luego, t2ja . Adems, podemos conjugar por una tras-lacin para tambin asumir que t()=0. As, debemos tener t(0)= . Luego,obtenemos que t(z)=/z, para cierto C [0, +). Ahora al conjugar t por16 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARESuna dilatacin podemos tambin asumir que [[ = 1. De esta manera, toda transfor-macin pseudo-elptica es conjugada por una transformacin de Mbius a una de laforma t(z) = ei/z, para cierto (0, 2).(2) Supongamos ahora que t tiene exctamente un punto jo. Diremos que esta es unatransformacin pseudo-parablica. Podemos conjugar por una transformacin deMbius para asumir que el punto jo es y t(0) = 1, en cuyo caso, t(z) = az +1,para cierto valor a C, a ,= 0. La condicin que t no tenga ms puntos jos obligaa tener a = 1. De esta manera, toda transformacin pseudo-parablica es conjugadapor una transformacin de Mbius a una de la forma t(z) = z + 1.(3) Si t tiene exctamente dos puntos jos, entonces diremos que esta es una transfor-macin pseudo-hiperblica. En esta caso, podemos conjugar t por una transforma-cin de Mbius para asumir que los puntos jos son 0 y . En tal caso, t(z) = az,cierto a C, a ,= 0. Ya que t no tiene otros puntos jos, debemos tener que [a[ , = 1.(4) Supongamos ahora quet tiene un crculo generalizado de puntos jos. En estecaso diremos que esta es una reexin. Estudiaremos esta reexiones en la prximaseccin.Problemas. 1.- Sea t una transformacin extendida de Mbius. Determine el tipo por medio de t2.2.- Dado un punto cualquiera p C, verique que existe una transformacin pseudo-parablica que tiene ap como punto jo. Determine todas tales transformaciones.3.- Dadodospuntosdiferentesp, q C, veriquequeexisteunatransformacinpseudo-hiperblica que tiene a p y q como puntos jos. Determine todas tales trans-formaciones.4.- Dado un crculo generalizado C C, verique que existe una reexin que tienea C como crculo de puntos jos.1.13. ReexionesCadacrculogeneralizado Cdenedemaneranicaunautomorsmoanti-holomorfode orden2 cuyo conjunto de puntos jos es exctamente. De manerams concreta,1.- Supongamos que es la unin del punto con una lnea que pasa por un puntop y tiene direccin ei. En este caso,(z) = e2i(z p) +p2.- En el caso que es un crculo Euclidiano de centro en p y radio R > 0, entoncestenemos(z) =R2z p+pEs claro de las deniciones que el conjunto de puntos jos de la reexin es exc-tamente el crculo generalizado . Observemos adems que la conjugacin J(z)=z esla reexin en el crculo generalizado denido por el eje real.1.14. DISTORSIN DE REAS 17Proposicin 1.13.1. Las reexiones en los crculos generalizados generan M2.Demonstracin. Basta con vericar que los generadores dados por el Lema 1.5.4 pue-den escribirse como composicin de reexiones.(i) Sea b C 0. Tomemos las lneas paralelas L1 y L2, donde(a) L1 es ortogonal a la lnea por 0 y b ;(b) 0 L1 ; y(c) b/2 L2.Si denotamos por j las reexiones en Lj, j= 1, 2, entonces 2 1(z) = z +b.(ii) Tomemos C1 y C2 dos crculos Euclidianos concntricos en 0 y radios R1 y R2,respectivamente. Si denotamos porjla reexin enCj,j =1, 2, entonces2 1(z) = (R2/R1)2z.(iii) Si tomamos dos lneas que pasan por0 y forman un ngulo y denotamos susreexiones por 1 y 2, respectivamente, entonces 2 1(z) = e2iz.(iv) La inversin z 1/z se obtiene de componer la conjugacin Jcon la reexinen el crculo unitario.Yaquecadareexininviertelaorientacin,loanteriornospermiteademselsi-guiente resultado.Corolario 1.13.2. El grupo de transformaciones de Mbius es generado por las com-posiciones de un nmero par de reexiones. Toda transformacin extendida de Mbius escomposicin de un nmero impar de reexiones.Problemas. 1.- Sean1y2dos reexiones. Describir, en trminos de la conguracin de suscculos generalizados de puntos jos, que tipo de transformacin de Mbius es t =2 1.2.- Vericar que toda reexin es conjugada por una transformacin de Mbius a lareexin J(z) = z.1.14. Distorsin de reasUna reexin en un crculo generalizado consistiendo del punto y de una lneaEuclidiana es una isometra Euclidiana. De esta manera, siE C es un conjunto dedimetro EuclidianodE, entonces(E) tendr el mismo dimetro Euclidiano. Pero sila reexin es sobre un crculo Euclidiano, entonces la invariancia del dimetro Eucli-diano ya no es vlida. En este caso tenemos la siguiente informacin. Denotamos pordiamEucl(A) el dimetro Euclidiano de un subconjunto A de C.Proposicin 1.14.1. Sea la reexin en el crculo C de centro en p y radio R> 0.Si E C es un conjunto cerrado tal que p/ E, entoncesdiamEucl((E)) 2R2/18 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARESdonde es la distancia Euclidiana dep al conjuntoE. Si adems, E, entoncestambin tenemos quediamEucl((E)) R2/Demonstracin. Ya que rotaciones y traslaciones son isometras Euclidianas, pode-mos asumir que p=0 y luego (z)=R2/z. Sea q E un punto de E tal que [q[=.Entonces el disco D de centro en 0 y radio est contenido en el exterior de E (ademses tangente aE). Como(E) C (D) y este ltimo es el disco de centro en0 yradio R2/, tenemos la primera desigualdad. Por otro lado, si tenemos que E, en-tonces (E) contiene 0 y un punto en el borde del disco C(D), obteniendo la segundadesigualdad.1.15. Crculos isomtricosConsideremos una transformacin de Mbiust(z) =az +bcz +ddonde a, b, c, d C y ad bc = 1, tal que t() ,= , es decir, c ,= 0.En este caso tenemos los siguientes puntos en C :p = t1() = d/c,q = t() = a/cSi consideramos un crculoC, centrado enp y radioR, entonces sabemos quet(C)debe ser un crculo generalizado. Como p/ C, tenemos que / t(C), luego, t(C) esun crculo Euclidiano en C. Adems, t(C) debe separar q de .Lema 1.15.1. En las condiciones anteriores, t(C) es un crculo centrado en q y radio r(r) = 1/(c2r).Demonstracin. Observemos que la armacin es invariante por traslaciones y rota-ciones. Luego, podemos asumir que p = 0 y q (0, +). En este caso, a = q, b = 1/cy d = 0.Sea la reexin en el crculo C, que ahora es un crculo de radio r>0 y centro enel orgen. As,(z) =r2zSi p = q, denimos como la funcin identidad. En caso que q ,= p, entonces es lareexin en la lnea L que pasa por (p + q)/2 y que es ortogonal a la lnea determinadapor p y q. En nuestra situacin(z) = z +qConsideremos la transformacin de Mbius b=t1 . Es claro que b(0)=0 yb() = , es decir, b(z) = z. De manera ms concreta,b(z) =1c2r2zYa quet = b1, obtenemos quet(C) es un crculo centrado enqy radio r(r) = 1/(c2r), como queramos vericar.1.15. CRCULOS ISOMTRICOS 19La funcin r : (0, +) (0, +) es una funcin estrictamente decreciente quetiende a+ (respectivamente, a0) cuandortiende a0 (respectivamente, a+). Enparticular, debe existir un nico puntor>0 tal que r=r ; de hecho,r=1/[c[.En otras palabras, existe un nico crculo centrado en t1() cuya imgen por t es uncrculo del mismo radio (que adems debe estar centrado en t()).Denicin 1.15.2. Seat(z) =az +bcz +ddonde a, b, c, d C y ad bc = 1, tal que t() ,= , es decir, c ,= 0. El crculoIt= z C : [z +d/c[ = 1/[c[es llamado el crculo isomtrico de t, denotado por It.Como consecuencia de la Proposicin 1.14.1 obtenemos el siguiente hecho.Proposicin 1.15.3. Seat una transformacin de Mbius tal quet() ,= y seaRtel radio del crculo isomtricoItdet. Si E C es un conjunto cerrado tal quet1()/ E, entoncesdiamEucl(t(E)) 2R2t/donde es la distancia Euclidiana det1() al conjuntoE. Si adems, E, en-tonces tambin tenemos quediamEucl(t(E)) R2t/Ya que una transformacin extendida de Mbius s se puede escribir como s=J t,donde J(z) = z y t es una transformacin de Mbius, lo anterior nos permite asegurar elmismo resultado, es decir :Proposicin 1.15.4. Sea s una transformacin extendida de Mbius tal que s() ,= y seaRsel radio del crculo isomtricoItdet, dondet =J s. SiE C es unconjunto cerrado tal que t1()/ E, entoncesdiamEucl(s(E)) 2R2t/donde es la distancia Euclidiana det1() al conjuntoE. Si adems, E, en-tonces tambin tenemos quediamEucl(s(E)) R2t/Problemas. 1.- Seat(z) =az +bcz +ddonde a, b, c, d C y ad bc = 1, tal que t() ,= , es decir, c ,= 0.(i) Vericar la igualdadt(It) = It1= z C : [z a/c[ = 1/[c[20 CAPTULO 1. TRANSFORMACIONES DE MBIUS PLANARES(ii) Concluir de (i) quet = rdonde es la identidad si p=q bin la reexin en la lnea orthogonal altrazo que une p con q en el punto medio, r es una rotacin (que puede revertirorientacin) bin la identidad (luego y r son isometras Euclidianas) y es la reexin en el crculo isomtrico It.2.- Sea f una transformacin de Mbius, diferente de la identidad, digamosf(z) =az +bcz +ddonde a, b, c, d C son tales que ad bc=1. Como antes, Ify If1 denotan loscrculos isomtricos de f y f1, respectivamente. Verique que :(i) Ify If1 son disjuntos s y slo si [a +d[2> 4 ;(ii) Ify If1 son tangentes s y slo si [a +d[2= 4 ;(iii) IfyIf1se interceptan en exctamente dos puntos s y slo si0< [a +d[2< 4 ;(iv) If= If1 s y slo si d = a.1.16. Proyeccin estereogrcaLa esfera unitaria 2-dimensional esS2= x 13: |x| = 1con la topologa inducida por la topologa usual de 13.Denicin 1.16.1. La funcin : C S2denida por(x +iy) =_2x|z|2+ 1,2y|z|2+ 1, |z|21|z|2+ 1_() = es llamada la proyeccin estereogrca.Geomtricamente, la proyeccin estereograca es dada como sigue. Primero identi-camos el plano complejo con el plano 12= (x, y, z) 13: z=0 usando la reglaz (Re(z), Im(z), 0). Por cada punto(x, y, 0) existe una nica lnea que contiene alpunto(0, 0, 1).EstalneacortaS2endospuntos,unodeelloses(0, 0, 1),elotroes(x +iy).Ejercicio 2. Vericar que : C S2es un homeomorsmo.El ejercicio anterior nos permite hablar de manera indistinta tanto de C como de S2.La proyeccin estereogrca : C S2permite transferir la mtrica Euclidiana deS2a C comod(z, w) = |(z) (w)| =___2zw(1+z2)(1+w2), z, w C2(1+z2), z C, w = 1.16. PROYECCIN ESTEREOGRFICA 21La mtrica as obtenida en C es llamada la mtrica cordal. Como la topologa inducidaen S2esta inducida por la norma Euclidiana en 13y es homeomorsmo, tenemos quela mtrica cordal dene la misma topologa Euclidiana en C.Problemas. 1.- Sea C C un crculo generalizado. Vericar que (C) es un crculo en S2, dondedenimos un crculo en S2como la interseccin de S2con un plano (donde asumi-mos que la interseccin no es vaca ni un punto).2.- Describa la forma que tiene cada transformacin (extendida) de Mbius como ac-cin en S2va la proyeccin estereogrca.CAPTULO2EL PLANO HIPERBLICOUna buena referencia para este captulo es el libro de A.F. Beardon [11].2.1. Algunos modelos del plano hiperblicoSi consideremos un crculo generalizado C C, entonces tenemos que CC consistede dos discos. Sea H uno de ellos.Denicin 2.1.1. (1) Denimos las lneas hiperblicas deHcomo las intersecciones deHcon loscrculos generalizados ortogonales a C. Si es un tal crculo generalizado (es decir,ortogonal a C), entonces los puntos de la interseccin C son llamados los puntosnales de la lnea hiperblica L = H .(2) Dado dos puntosz, w Hdenimos su distancia hiperblicadH(z, w) de lasiguiente manera (ver [70]) :(i) Si z= w, entonces dH(z, w) = 0 ;(ii) Siz ,=w, entonces existe un nico crculo generalizado ortogonal aCtal que z, w . Denotemos por a y b los puntos nales la lnea hiperblicaLz,w= H, de manera que en L el orden consecutivo es dado por a, z, w,b, es decir, z separa a w de a. DenimosdH(z, w) = ln[a, z; w, b]Observacin 2.1.2. Observemos en parte (2)-(ii) de la denicin anterior, usando elhecho que la razn cruzada es invariante por transformaciones de Mbius y que podemosescoger una transformacin de MbiusTtal queT(a) =0, T(z) =1, T(w) >1 yT(b) = , que se tiene la siguiente igualdad[a, z; w, b] = [0, 1; T(w), ] = T(w) > 1,luego dH(z, w) > 0. ComoT(w) =(w a)(z b)(w b)(z a),24 CAPTULO 2. EL PLANO HIPERBLICOse tiene una forma explcita para dH :dH(z, w) = ln_(w a)(z b)(w b)(z a)_.De esta manera tenemos que dH(z, w) 0, y que dH(z, w)=0 s y slo si z=w.Por otro lado, de la denicin, si z ,= w, entoncesdH(w, z) = ln[b, w; z, a] = ln[a, z; w, b] = dH(z, w).De esta manera, lo nico que nos falta vericar para ver que dHes una mtrica es ladesigualdad triangular, la cual procederemos a ver luego.Denicin 2.1.3. Por una isometra (hiperblica) de(H, dH) entenderemos un ho-meomorsmo t : H H tal que dH(z, w) = dH(t(z), t(w)).LainvarianciadelarazncruzadaporunatransformacindeMbiusnospermitenotar que los objetos denidos anteriormente son invariantes bajo las transformacionesde Mbius y extendidas de Mbius. Si consideramos otro crculo generalizado C y unode los discos Hde C C, entonces podemos construir una transformacin de Mbiuss tal ques(C) = Cys(H) = H. Tenemos ques enva lneas hiperblicas deHenlneas hiperblicas de H y tenemos que s resulta ser una isometra, es decir, dH(z, w) =d

H(s(z), s(w)). Tomando H= H, esto nos d el siguiente :Proposicin 2.1.4. Sea C un cculo generalizado y H uno de los dos discos (genera-lizados) determinados por C. EntoncesAut(H) < IsodH(H)donde IsodH(H) denota el grupo de isometras de H respecto dH.Lo anterior tambin nos dice que para vericar que dHsatisface la desigualdad trian-gular y, en particular, que es una mtrica en H, basta con asumir H= , donde = z C : [z[ < 1Primero obtenemos una forma de d que nos permitir hacer clculos explcitos.Lema 2.1.5. Si z, w , z ,= w, entoncesd(z, w) = ln [1 zw[ +[w z[[1 zw[ [w z[ de manera equivalented(z, w) = ln 1 +1 donde =[w z[[1 zw[2.1. ALGUNOS MODELOS DEL PLANO HIPERBLICO 25Demonstracin. Seat(u) =u z1 zu Aut()En este caso, t(z) = 0, a = t(w)/[t(w)[ y b = t(w)/[t(w)[. Luego,d(z, w) = d(0, t(w)) = ln[t(w)/[t(w)[, 0; t(w), t(w)/[t(w)[] = ln 1 +[t(w)[1 [t(w)[Lema 2.1.6 (Desigualdad Triangular). Sean u, z, w . Entoncesd(z, w) d(z, u) +d(u, w)La igualdad vale s y slo si u, z, w viven en una misma lnea hiperblica, es decir, si soncolineales.Demonstracin. Ya que Aut()0, podemos ver que la igualdad se produce s y slo siz (, 0).Resumiendo todo lo anterior es el siguiente.Teorema 2.1.7. dH es una mtrica para el disco generalizado H. Adems, las lneashiperblicas son las lneas geodsicas.Denicin 2.1.8. El par (H, dH) es llamado un mdelo del plano hiperblico.Ahora que tenemos vericado que dHes una mtrica del plano hiperblico H, y quesabemos que Aut(H) es un grupo de isometras, nos gustara saber si existen otras iso-metras aparte de estas. Volvamos a nuestro modelo del disco unitario . Si tomamos unpunto z , entonces podemos usar t Aut() ta que t(z) = 0. Luego, los puntos de26 CAPTULO 2. EL PLANO HIPERBLICO que equidistan de z a una distancia r > 0 son enviados a los puntos de que equidistande 0 a una distancia r. Pero en este caso, si w es tal que d(0, w) = r, entoncesr = ln 1 +[w[1 [w[de donde obtenemos que[w[ =er1er+ 1= R > 0Es decir, los puntos que equidistan de 0 a una distancia hiperblica r forman un crculoEuclidiano centrado en0 y radio EuclidianoR. Como las transformaciones de Mbiusenvan crculos generalizados en crculos generalizados, obtenemos el siguiente.Proposicin 2.1.9. Los puntos que equidistan a una distancia r > 0 de un punto dadoen H, respecto a la mtrica hiperblica dH, forman un crculo Euclidiano.Ahoraprocedemosarespondernuestrapreguntasobrelasisometrasdelplanohi-perblico.Teorema 2.1.10. El grupodelasisometrashiperblicas de Hes exctamenteAut(H) < M2.Demonstracin. UsemoselmodeloH=yseatunaisometrahiperblicade(H, dH). Podemos componer con una transformacins1 Aut(H) para suponer quet(0) = 0 y t(1/2) (0, 1). Ahora, debemos tener que t preserva los crculos Euclidianoscentrados en 0. Adems, al ser t una isometra, este debe preservar las lneas geodsicas.En particular,t debe actuar como la identidad en la lnea hiperblica(1, 1). Compo-niendot a la izquierda conJ(z)=z Aut(), si es necesario, podemos asumir quet enva el semi-disco superior en el semi-disco superior. Si C es cualquier crculo Eucli-diano centrado en 0 y contenido en , entonces t debe actuar como la identidad en C. Enefecto, sean a > 0 y a los puntos de interseccin de C con (1, 1). Entonces t(a) = ay t(a) = a. Si q C a, a, entonces t(q) C a, a debe satisfacerd(q, a) = d(t(q), a) = rAhora, el crculo hiperblico centrado en a y radio hiperblico r es un crculo Eucli-diano y debe cortar al circulo C en exactamente dos puntos, uno en cada semi-disco. As,las nicas posibilidades que podemos tener son t(q) = q bin t(q) = q. Esto ltimo nopuede ocurrir ya que t preserva el semi-disco superior. Ahora es claro que t = I.Ejemplo 2.1.11. Si tomamos H= , entonces ya vimos qued(z, w) = ln 1 +1 ; donde =[w z[[1 zw[y que su grupo de isometras hiperblicas esAut() =_z eiz a1 az: [a[ < 1_Este es llamado el modelo de Poincar del plano hiperblico.2.2. FORMA INFINITESIMAL DE LA MTRICA HIPERBLICA 27Ejemplo 2.1.12. Tomemos el semiplano superior H= H = z C : Im(z) > 0.La transformacin de Mbiust(u) =u iu +isatisface que t(H) = . EntoncesdH(z, w) = d(t(z), t(w))y su grupo de isometras hiperblicas esAut(H) = PSL(2, 1)Este es llamado el modelo del semiplano superior del plano hiperblico.Problemas. 1.- Vericar quedH(z, w) = ln [z w[ +[w z[[z w[ [w z[2.- Sean L1 y L2 dos lneas hiperblicas en el plano hiperblico (H, dH). Suponga-mos que L1 L2= y que los puntos nales de L1 son diferentes de los puntosnales de L2. Verique que existe una y slo una lnea hiperblica ortogonal a am-bas. Indicacin : Use por ejemplo el modelo del semiplano superior H y supongaque una de las lneas es el semieje imaginario.3.- Vericar que las lneas hiperblicas de H2son las geodsicas para la mtrica Rie-manniana anterior y que la mtrica que esta dene en H coincide con dH.4.- Vericar quelamtricaRiemannianarespectivaparael modelodePoincar(, d) es dada pords =2[dz[1 [z[2En este caso el elemento de rea es dado pordA =4dxdy(1 [z[2)22.2. Forma innitesimal de la mtrica hiperblicaSi tomamos un modelo(H, dH) del plano hiperblico, como lo hemos hecho en laseccin anterior, entonces tenemos queHes un abierto de la esfera de Riemann, luegouna supercie de Riemann. En particular, H es una variedad real de dimension dos dife-renciable. En cada punto z H tenemos un plano tangente a H, es decir, TzH.Nos podemos preguntar si es posible dotar aHes una mtrica Riemanniana quesea compatible con la distancia hiperblica, es decir, dotar a cada plano tangenteTzHde un producto interior positivo (que depende diferenciablemente en z) de manera que lamtrica que esta dena sobre H coincida con la mtrica hiperblica.28 CAPTULO 2. EL PLANO HIPERBLICOBasta analizar esto en un modelo en particular, digamos el modelo del semiplano su-periorH=H. Si tomamos en cada plano tangenteTzH el producto interior positivodenido ds = (z)[dz[, es decir, si u, v TzH, entonces< u, v>= (z)2uv,donde :H (0, +) es una funcin diferenciable y uv denota el producto punto.Observemos que en este caso el ngulo que dene es el mismo que dene el productopunto, es decir, el ngulo Euclidiano.Queremosquecadaautomorsmoholomorfot Aut(H) =PSL(2, 1)seaunaisometra, es decir,(t(z))[t

(z)[ = (z)valga para todozH. Ahora, Aut(H) est generado por las transformaciones de laformat1(z) = z +a; a 1t2(z) = bz; b > 0t3(z) = 1zDe esta manera, queremos tener(z +a) = (z); para todo a 1(bz) =(z)b; para todo b > 0(1z) = [z[2(z)Laprimeraecuacinnosdiceque(z) =(Im(z)). Luegodebemosbuscarunafuncin : (0, +) (0, +)que satisfaga las condiciones :(br) =(r)b; para todo b, r > 0(1r) = r2(r); para todo r > 0De esta manera,(r) =0rdonde 0>0. Es claro que para cada eleccin de 0 obtendremos una mtrica Rieman-niana en Hds =0[dz[Im(z)para la cualPSL(2, 1) acta como grupo de isometras. No es difcil ver quet(z) =ztambinactacomoisometraentalmtricaRiemanniana, esdecir, Aut(H)estcontenido en el grupo de isometras de la variedad Riemanniana(H, ds=0|dz|Im(z)). Lalongitud (en tal mtrica Riemanniana) de un camino diferenciable : [a, b] H es dadoporl() = 0_ba[

()[dIm(())2.3. AREA DE POLGONOS HIPERBLICOS 29Si calculamos la longitud del camino () = i, [1, 2], obtenemos quel() = 0_21d= 0 ln 2Ahora, como sabemos que el camino parametrizado pores geodsica hiperblica,debemos tenerln 2=dH(i, 2i) =l(), es decir, 0=1. De esta manera, la mtricaRiemanniana buscada en H es dada pords =[dz[Im(z)Adems, cuando tenemos una mtricads=(z)[dz[,z =x + iy, tenemos que elelemento de rea es dado por dA = (z)2dxdy. Luego, en este caso el elemento de reaes dada pordA =dxdyy2Usando el hecho que cualquier otro modelo del plano hiperblico (H, dH) es isom-trico con el modelo(H, dH) por medio de alguna transformacin de Mbius, y el he-choquetodatransformacindeMbiuspreservalosngulosEuclidianos,tenemoselsiguiente.Proposicin 2.2.1. La nocin de ngulo hiperblico es el mismo que el de nguloEuclidiano.Problemas. 1.- Vericar que para el modelo del plano hiperblico se tiene que la forma inni-tesimal de la mtrica hiperblica es dada pords =2[dz[1 [z[22.3. Area de polgonos hiperblicosConsideremos cualquier modelo (H, dH) del plano hiperblico.Denicin 2.3.1. Una lnea hiperblica L H divide H en dos partes. Cada una deesas partes es llamado un semiespacio hiperblico de H.Denicin 2.3.2. Un polgono hiperblicoPH C es la interseccin de unnmero nito de semiespacios hiperblicos. Un lado de Pes dado por un arco maximalde lnea hiperblica contenida en el borde de P. Un vrtice de P es un punto del borde deP(incluido aquellos puntos del borde de H) comn a dos lados diferentes. Si un vrticedePest contenido en el borde deH, entonces diremos que este esta en elinnito ;en este caso los dos lados adyacentes a tal vrtice son lneas hiperblicas que hacen unngulo igual a 0. Por otro lado, si tenemos un vrtice al interior de H, entonces el ngulo(interno al polgono) vive en (0, ). Un polgono puede tener en su borde arcos del bordede H, diremos que ellos son lados al innito. Un polgono hiperblico que no tiene ladosal innito y que tienen 3 lados ser llamado un polgono hiperblico nito denlados.30 CAPTULO 2. EL PLANO HIPERBLICOObservacin 2.3.3. Hay una denicin ms general de polgonos hiperblicos que laque hemos dado aqu y que se puede ver en [11].Denicin 2.3.4. Un subconjuntoX Hes llamado convexo si para todo par depuntos diferentes enXocurre que el trazo de lnea hiperblica que ellos denen estcompletamente contenida en X.Teorema 2.3.5 (Frmula de Gauss-Bonnet). SeaPuntringulohiperblico, esdecirPun polgono hiperblico nito de3 lados, con ngulos interiores1, 2y3.Entonces el rea hiperblica de Pes nita y tiene el valorArea(P) = 3

j=1jDemonstracin. Usemos el modelo del semiplano superior Hpara hacer los clculos.Supongamos primero que nuestro tringulo tiene al menos dos vrtices al innito. Luego,por una isometra hiperblica, podemos suponer que los vrtices son , 1 (1= 2= 0)y el tercero vive el el semi-crculo de radio 1 y con centro en 0. As, el tercer vrtice tienela formaei( igual a 1 si este est al innito). En este caso podemos observar que3= . Ahora, si calculamos el rea de Pobtenemos_ _Pdxdyy2=_1cos()_1x2dyy2dx =_1cos()dx1 x2= = 3Ahora, supongamos que el tringulo hiperblico slo tiene un vrtice al innito. En-tonces podemos llevarlo por una isometra hiperblica a un tringulo con el vrtice alinnito siendo y los dos otros vrtices contenidos en el semi-crculo de radio 1 y cen-tro en 0. Es fcil ver que este tringulo se puede ver como la diferencia de dos tringuloscomo los vistos anteriormente, obteniendo nuestro resultado en tal caso.Si el tringulo no tiene vrtices al innito, entonces podemos poner dos de sus vrticesen el semi-crculo de radio 1 y centro en 0, y el tercero sobre el eje imaginario. Este tipode tringulos se puede escribir como unin e interseccin de los anteriores.Ejercicio 3. Completar los detalles de la demostracin anterior.Teorema 2.3.6. Sea Pun polgono hiperblico nito de n lados y sean 1,..., n susngulos interiores. Entonces el rea hiperblica de Pes nita y tiene el valorArea(P) = (n 2) n

j=1jDemonstracin. PrimeroobservamosquepodemosdescomponerPenntriguloshiperblicos, todos con un vrtice en comn en el interior de P. El rea de Pes la sumade las reas de tales tringulos y, en consecuencia, el resultado sale del teorema anterior.2.4. CRCULOS HIPERBLICOS 31Corolario 2.3.7. No existen rectngulos hiperblicos.Problemas. 1.- Determine cuales son los tringulos hiperblicos de mayor rea.2.- Considere un polgono hiperblico nito de 4g lados, donde g 2, y tal que todossus vrtices viven en el plano hiperblico. Si la suma de todos su ngulos interioreses 2, entonces el rea de este es 4(g 1).3.- Sea n 3 un entero y sea [0, +) tal que(n 2)> nVerique que es posible construir un polgono hiperblico nito de n lados y todossu ngulos interiores iguales a .4.- Sea n 3 un entero y sean 1,..., n reales no-negativos tales que(n 2)>n

j=1jVerique que existe un polgono hiperblico nito de n lados cuyos ngulos inter-iores son 1,..., n.5.- Vericar que los siguientes subconjuntos son convexos :(i) Semiespacios hiperblicos ;(ii) Polgonos hiperblicos ;(iii) Arcos de lneas hiperblicas ;(iv) Puntos.6.- Si X H es conjunto nito convexo, entonces X debe tener cardinalidad 1.7.- SeaPun polgono hiperblico. Vericar que si Ptiene rea hiperblica nita,entonces Pdebe ser un polgono hiperblico nito.2.4. Crculos hiperblicosDenicin 2.4.1. Sea (H, dH) un modelo del plano hiperblico. Un disco hiperb-lico de radio y centro p H en H es el conjunto de puntos de H que estn a distanciamenor que del punto p. De manera similar, un crculo hiperblico de radio y centrop H en H es el conjunto de puntos de H que estn a distancia del punto p.Consideremos el modelo del disco unitario de Poncar como modelo del plano hi-perblico. Entonces tenemos que la distancia hiperblica es dada pord(z, w) = ln 1 +1 , donde =[w z[[1 zw[,la forma innitisimal de la mtrica Riemanniana es dada pords =2[dz[1 [z[232 CAPTULO 2. EL PLANO HIPERBLICOy la forma de rea es dada pordA =4dxdy(1 [z[2)2Ya que el grupo ortogonal del plano O2< Aut(), tenemos que los crculos hiperbli-cos centrados en el orgen son crculos Euclidianos centrados en el orgen. Este argumentonos permiti asegurar que en el plano hiperblico los crculos hiperblicos son crculosEuclidianos.Ahora, un crculo hiperblico de radio hiperblico y centro en 0, es un crculo Eucli-diano de radio Euclidiano r y centro 0. Luego debemos tener que d(0, r) = , de dondeobtenemos la relacinr = tanh(/2)Su permetro hiperblico es_202rd1 r2=4r1 r2= 2 sinh()Si denotamos porDrel disco centrado en0 y radio Euclidianor, entonces su reahiperblica es dada por_ _Dr4dxdy(1 [z[2)2=_r0_204rddr(1 r2)2= 2(cosh() 1) = 4 sinh2(/2).En resumen tenemos el siguiente hecho.Teorema 2.4.2. Sea C un crculo hiperblico de radio hiperblico y sea D el discoacotado por C. Entonces :(i) El permetro hiperblico de C es2 sinh().(ii) El rea hiperblica de D es2(cosh() 1) = 4 sinh2(/2).Ejemplo 2.4.3. Si g 2, entonces el rea hiperblica de un polgono hiperbliconito de4glados y con la suma de todos sus ngulos interiores igual a2es4(g 1). El resultado anterior entonces asegura que no es posible colocar en el interior de talpolgono un disco hiperblico de radio si cosh()>2g 1. Por ejemplo, si tomamosg=2, entonces no es posible incrustar isomtricamente un disco hiperblico de radiohiperblico > 1.76275... dentro de un polgono hiperblico de 8 lados.Problemas. 1.- Considere un tringulo hiperblico T cuyos ngulos interiores son de la forma /a,/b y /c, donde a, b, c 2 son enteros. Determinar el radio del disco hiperblicode mayor rea que se puede colocar dentro de tal tringulo (incluido sus bordes).Generalize esto a otros polgonos hiperblicos.2.5. TRIGONOMETRA HIPERBLICA 332.- Sean p1, p2, p3 tres puntos diferentes y no-colineales dentro del plano hiperblico.Dar condiciones en esos puntos de manera que sea posible construir un tringulohiperblico Tconteniendo uno de los puntos en cada uno de sus tres lados y cuyosngulos interiores son una fraccin entera de .3.- SeaD un disco hiperblico de radio yD su crculo borde. SeaA() el reahiperblica de D y sea L() su permetro hiperblico. Calcule el cocientef() =A()L()y analice el comportamiento def() cuando se aproxima tanto a0 como a .Compare sus resultados con el equivalente para el caso Euclideano.2.5. Trigonometra hiperblicaUsemos como modelo de plano hiperblico al disco unitario Consideremos un tringulo hiperblico compacto T, cuyos vrtices son denotados pora,b yc, y cuyos ngulos (Euclideanos) interiores son,y, correspondientemente.Denotemos por lt (donde t a, b, c) la longitud hiperblica del lado de Topuesto alvrtice t.Ya que ngulos, longitudes (hiperblicas) son invariantes por isometras hiperblicas,podemos suponer quea = 0, 0 < b < 1 c = [c[ei.En este caso, tenemos queb = tanh_lc2_, [c[ = tanh_lb2_.Por otro lado,sinh2_la2_= sinh2_d(b, c)2_=[b c[2(1 b2)(1 [c[2),de donde se obtiene que[b c[2= (1 b2)(1 [c[2) sinh2_la2_.Ahora, como[bc[2= b2+[c[22b[c[ cos() = tanh2_lc2_+tanh2_lb2_2 tanh_lc2_tanh_lb2_cos(),de lo anterior se concluye la igualdad siguientesinh2_la2_sinh2_lb2_sinh2_lc2_= tanh2_lb2_tanh2_lc2_2 tanh_lb2_tanh_lc2_cos().Multiplicando ambos lados porcosh2_lb2_cosh2_lc2_y luego simplicando, se obtiene la igualdadsinh2_la2_= sinh2_lb2_sinh2_lc2_+ sinh2_lb2_cosh2_lc2_34 CAPTULO 2. EL PLANO HIPERBLICO2 sinh_lb2_sinh_lc2_cosh_lb2_cosh_lc2_cos(),que es equivalente a la identidad siguienteTeorema 2.5.1 (Ley de Cosenos I). cosh(la) = cosh(lb) cosh(lc) sinh(lb) sinh(lc) cos().De manera similar se pueden obtener las siguientes leyes trigonomtricas.Teorema 2.5.2 (Ley de Cosenos II). cos() = cos() cos() + sin() sin() cosh(lc).Teorema 2.5.3 (Ley de Senos). sinh(la)sin()=sinh(lb)sin()=sinh(lc)sin().NotemosquelaLeydeCosenosIInosdicequelaslongitudesdelosladosdeuntringulo hiperblico compacto estn nicamente determinadas por los ngulos interiores.Esto no es verdad en el caso Euclideano ! !Problemas. 1.- Obtener, como consecuencias de la Ley de Cosenos I, la Ley de Cosenos II y laLey de Senos.2.- Si Tes un tringulo rectngulo compacto, establecer el equivalente al teorema dePitgoras.3.- Si Tes un tringulo compacto. Ver que si sus tres ngulos interiores son iguales,entonces sus tres lados tienen la misma longitud. Recprocamente, si los tres ladostienen la misma longitud, entonces sus tres ngulos interiores son iguales.4.- Determine un espacio que parametrize todos los tringulos hiperblicos compactosmdulo isometras hiperblicas.CAPTULO3TRANSFORMACIONES DE MBIUS N-DIMENSIONALESEn este captulo extenderemos los resultados y observaciones hechas para transforma-ciones (extendidas) de Mbius planares para el caso de cualquier dimensin. Para estoprimero deniremos las reexiones en esferas generalizadas en forma similar a como de-nimos reexiones en crculos generalizados. Luego obtendremos las transformaciones(extendidas) de Mbius por medio de composicin de reexiones. Como consecuenciadel teorema de Liouville veremos que de esta manera obtenemos todos los automorsmoconformales y anticonformales de la esfera. A continuacin daremos una clasicacin deellas y deniremos sus esferas isomtricas. Podemos ver la esfera unitaria n-dimensional(por medio de una proyeccin estereogrca) como una esfera generalizada en la esfera(n + 1)-dimensional. Veremos que podemos extender la accin de las transformaciones(extendidas) de Mbius en dimensinn a transformaciones (extendidas) de Mbius dedimensin (n + 1) : la extensin de Poincar.3.1. La proyeccin estereogrcaConsideremos la funcin : 1n Sn, denida por(x) =_2x1|x|2+ 1, ...,2xn|x|2+ 1, |x|21|x|2+ 1_() = (0, ..., 0, 1),donde Snes la esfera unitaria centrada en el orgen de 1n+1.Denicin 3.1.1. El homeomorsmo : 1nSnes llamado la proyeccin este-reogrca n-dimensional.Problemas. 1.- Vericar que es un homeomorsmo. Verique adems que siS 1nes unaesfera generalizada, entonces(S) es la interseccin ortogonal deSncon (i) unaesferan-dimensional de 1n+1 bin (ii) un subespacio lineal de dimensinn de1n+1. Este tipo de homeomorsmo es llamado una proyeccin estereogrca (com-pare con el caso bi-dimensional discutido anteriormente).36 CAPTULO 3. TRANSFORMACIONES DE MBIUS N-DIMENSIONALES3.2. Transformaciones (extendidas) de Mbius n-dimensionalesDe manera similar que en el caso de dimensin dos, podemos hablar de esferas gene-ralizadas en 1ny de sus reexiones. De manera ms concreta ; primero consideramos lacompacticacin de Alexandroff 1n= 1n .Denicin 3.2.1. Una esfera generalizada de dimensin k 1, 2, ..., n 1 en elespacio 1nes una esfera Euclidiana (k 1)-dimensional de 1n bin la unin del punto con un planok-dimensional en 1n. Cuandok =n 1 hablaremos de una esferageneralizada sin referirnos a su dimensin.Cada esfera generalizada en 1ndene un difeomorsmo: 1n 1nde orden dos que preserva ngulos pero que invierte la orientacin ; concretamente :(i) Si es una esfera en 1nde radio r > 0 y centro en p 1n, entonces(x) =r2(x p)|x p|2+p(ii) Si es un hiperplano que pasa por el puntop 1ny que tiene como vectorortogonal v Sn, entonces(x) = x 2(x p)vvDenicin 3.2.2. Denotamos por Mnal grupo de difeomorsmos de 1ngeneradopor las reexiones en las esferas generalizadas. El subgrupo de ndice dos de difeomors-mos que preservan la orientacin es denotado por Mn. Los elementos de Mnson llamadostransformaciones de Mbius y los que viven en Mn Mnson llamados transforma-ciones extendidas de Mbius.Proposicin 3.2.3. El grupo Mnest generada por las siguientes transformaciones :(i) Traslaciones : t(x) = x +a, donde a 1n;(ii) Dilataciones : t(x) = x, donde (0, +) ;(iii) Rotaciones : t(x) = Rx, donde R On ;(iv) Inversin : t(x) = x/|x|2.Demonstracin. Ver Problema 1.-.Teorema 3.2.4. Toda transformacin (extendida) de Mbius enva esferas generali-zadas de dimensinken esferas generalizadas de dimensink. Adems, cada una deesas transformaciones preserva ngulos Euclidianos, en particular, las transformaciones(extendidas) de Mbius son automorsmos conformales (anti-conformales) de 1n.Demonstracin. Ver Problema 2.-.3.2. TRANSFORMACIONES (EXTENDIDAS) DE MBIUSn-DIMENSIONALES 37Observacin 3.2.5 (Esferas generalizadas y esferas topolgicas)El resultado anterior nos permite dar una denicin equivalente de esferas generaliza-das como sigue. Una esfera generalizada de dimensin k 1, 2, ..., n 1 en 1nes laimgen por una transformacin (extendida) de Mbius de la k-esfera EuclidianaSk= (x1, ..., xn) : xk+2== xn= 0, x21 + +x2k+1= 1.De manera similar uno tiene lask-esferas topolgicas de 1n(cuandok =n 1hablaremos de una esfera topolgica) que son la imgen homeomorfa deSk, es decir,incrustaciones topolgicas de Sk en 1n.Es importante hacer notar aqu que aunque cada esfera generalizada divide 1nen dosbolas Euclidianas, para el caso de esferas topolgicas la situacin es ms patolgica. Porejemplo, enn 3 se pueden construir esferas topolgicas que dividen 1nen abiertosque no son contractibles.Ya habamos visto que paran=2 las transformaciones de Mbius y extendidas deMbius dan todos los automorsmos conformales y anticonformales de la esfera de di-mensin2. Elsiguienteresultadomuestraqueenefectoestotambinesverdadparan 3.Teorema 3.2.6 (Teorema de Louville [8]). Sean n 3, U, V 1n, U, V,= sub-conjuntosabiertosyconexos. Entoncestodafuncininyectivaconformal(respectiva-mente, anticonformal)f: U Ves la restriccin de una transformacin de Mbius (respectivamente, extendida de M-bius).Corolario 3.2.7. Si n3yU,=esunsubconjuntoabiertoyconexode 1n,entonces su grupoAut(U) de automorsmos conformales y anticonformales satisfacequeAut(U) = t Mn: t(U) = Uy en particularAut(1n) = MnProblemas. 1.- Vericar que Mnest generada por las la traslaciones, dilataciones, rotaciones einversin.2.- Probar el Teorema 3.2.4.3- Vericar que toda transformacin de Mbius es composicin de un nmero par dereexiones y que cada transformacin extendida de Mbius es una composicin deun nmero impar de reexiones.4.- Vericar que cada transformacin (extendida) de Mbius preserva ngulos. Qupasa con la orientacin ?38 CAPTULO 3. TRANSFORMACIONES DE MBIUS N-DIMENSIONALES3.3. Clasicacin de las transformaciones de MbiusSupongamos que tenemos una transformacin (extendida) de Mbius t, diferente de laidentidad, que tiene al menos un punto jo. Podemos conjugarla por un transformacinde Mbius para asumir que tal punto jo es . Podemos componer a la izquierda poruna traslacin p de manera que p t(0) = 0. Ya que p t preserva ngulos, tenemos queexiste una transformacin ortogonal r tal que r p t satisface que r p t(ej) = jej,paraj =1, ..., n, dondee1=(1, 0, ..., 0),e2=(0, 1, 0, ..., 0),...,en=(0, ..., 0, 1). Simiramos la diferencial de r pt y usamos el hecho que debe preservar ngulos, entoncestendremos que 1== n= . En resumen, tenemos el siguiente resultado.Proposicin 3.3.1. Sea t una transformacin (extendida) de Mbius, diferente de laidentidad, con al menos un punto jo. Entonces existe una transformacin de Mbius sde manera que existen > 0, a 1ny una matriz ortogonal r tales ques t s1(x) = r(x) +aAdems, tal transformacin s t s1no tiene otro punto jo s y slo si =1 y a nopertenece a la imgen de la transformacin lineal I r.Denicin 3.3.2. Una transformacin de Mbius con slo un punto jo es llamadauna transformacin parablica. De manera similar, sit es una transformacin exten-dida de Mbius con un nico punto jo es llamada transformacin pseudo-parablica.En este caso, mdulo conjugacin por una transformacin de Mbius, tenemos por laproposicin anterior que estas transformaciones son de la format(x) = r(x) +adonde>0, a 1n, res una matriz ortogonal ya no pertenece a la imgen de latransformacin lineal I r. De esta manera, > 0 es valor propio de la matriz ortogonalr, es decir, = 1.Supongamos ahora que la transformacin de Mbius t tiene al menos dos puntos jos.Mdulo conjugacin por una transformacin de Mbius, podemos suponer quet(x) = r(x)donde >0 y r es una matriz ortogonal. Si 2,=1, entonces diremos que ella es unatransformacin loxodrmica en el caso de una transformacin de Mbius y en el casoque sea una transformacin extendida de Mbius diremos que es una transformacinpseudo-hiperblica.Encasoque2=1enelcasoquetnotengapuntosjosen 1ndiremosquees una transformacin elptica si es transformacin de Mbius una transformacinpseudo-elptica si esta es extendida de Mbius.Problemas. 1.- Sea C una esfera generalizada de dimension k 0, 1, ...., n1 en Sn. Vericarque existe una transformacin elptica cuyo conjunto de puntos jos es C.3.4. EXTENSIN DE POINCAR 392.- SeaCSnunaesferageneralizadadedimensinn 1y lareexinenC. Vericarque conmutacontodatransformacin(extendida)deMbiusquepreserva C.3.- Toda transformacin de Mbius de orden nito es una transformacin elptica. Darun ejemplo de una transformacin eltica de orden innito.4.- Calcular la dimensin de Mn.5.- Sea C Snuna esfera generalizada de dimensin n1. Verique que toda trans-formacin (extendida) de Mbius que deja invariante C corresponde a una transfor-macin (extendida) de Mbius de Sn1. Dar un ejemplo de una transformacin deMbius t Mnque deja invariante C que induce una transformacin extendida deMbius en Sn1.3.4. Extensin de PoincarEn la primera seccin de este captulo denimos la proyeccin estereogrca : 1n Sn 1n+1.Sit Mn+1, entoncest(Sn) = resulta ser una esfera generalizada en 1n+1. Sicomponemos por la izquierda con la transformacin de Mbius t, entonces obtenemosuna incrustacin=t : 1n, las cual ser tambin llamada una proyeccinesterogrca. Denotemos por la reexin en . Ya que enva esferas generalizadas de1nen una interseccin ortogonal de Sncon una esfera generalizada de 1n+1, que t pre-serva ngulos y tambin enva esferas generalizadas en esferas generalizadas, obtenemosque enva cada esfera generalizada C 1nen la interseccin ortogonal de con unaesfera generalizada de 1n+1. No es difcil ver que la reexin C es enviada por enla restriccin de la reexin en . De esta manera, podemos ver la reexin en comouna extensin de la reexin en C (una vez jada la proyeccin estereogrca ).Denicin 3.4.1. Cada extensin obtenida con el proceso anterior es llamada la ex-tensin de Poincar de la reexin correspondiente. Lo anterior permite tambin denirla extensin de Poincar de cada transformacin (extendida) de Mbius como la compo-sicin de las extensiones de Poincar de las reexiones.En el Problema 1.- se incrusta la esfera de Riemann C de manera adecuada dentrode 13de tal manera que los automorsmos holomorfos y anti-holomorfos se pueden vercomo la restriccin de los automorsmos conformales y anti-conformales de13que dejaninvariante la bola unitaria centrada en el orgen. De esta manera tenemos dos mundosdiferentes interrelacionados.Observacin 3.4.2. Cada transformacin de Mbius T Mntiene una extensin dePoincar T Mn+1, que deja invariante la bola unitaria. Supongamos queTno tienepuntos jos en 1n(una transformacin elptica). El teorema del punto jo de Brouwernos asegura que Tdebe tiene un punto jo en la clausura del semiespacio superior. Estoobliga a que Tdebe tener puntos jos en el interior de tal bola unitaria.40 CAPTULO 3. TRANSFORMACIONES DE MBIUS N-DIMENSIONALESProblemas. 1.- Considere la proyeccin estereogrca: C x = (x1, x2, 0) 13 denida por(z) = (Re(z), Im(z), 0)() = Identiquemos el plano (x1, x2, 0) 13 con C (0, +) usando la reglax1= Re(z), x2= Im(z), x3= t.Verique que la extensin de Poincar de la transformacin de Mbiust(z) =az +bcz +des dada port(z, r) =_(az +b)(cz +d) +acr2[cz +d[2+[c[2r2,r[cz +d[2+[c[2r2_2.- Determinar la dimensin del espacio de transformaciones de Mbius que deja in-variante la bola unitaria de 1n.3.5. Esferas isomtricasYasabemoscomolucenaquellastransformaciones(extendidas)deMbiusconunpunto jo en . Supongamos quet Mnes tal quet() ,= . Podemos procedercomo en el caso planar. Sea p=t1() y q=t(). Si p=q denotamos =Iy sip ,=q, entonces es la reexin en el hiperplano ortogonal a la lnea que conecta p conq y que adems pasa por el punto (p + q)/2. Si tomamos una esfera SR centrada en p yradio R, entonces consideramos b=t1 R, donde R es la reexin en la esferaSR. Pero en este caso vemos que b() = , luego b(x) = RORx+aR, donde R> 0,OR es transformacin ortogonal y aR 1n. Tambin tenemos que b(p)=p, de dondeaR=p RORp y luego B(x)=ROR(x p) + p. Usando esto, podemos ver que R(x) = t(ROR(xp) +p), de donde se ve que la esfera SR es enviada por t a unaesfera centrada en q y de radio RR (la esfera S centrada en p y radio R/R es enviadapor RrR(x p) +p en la esfera SR y esta enviada por R en la esfera de radio RRcentrada en q=(p)). De esta manera obtenemos que las esferas centradas en t1()son enviadas por t en esferas centradas en t().Tomando R = 1, lo naterior permite obtener quet(1O1(x p) +p) = 1(x)Deestovemosquelaesferacentradaenpyradioresenviadaportenlaesferacentrada en q y radio r= 1/r. Ahora, la funcin R : (0, +) (0, +) : r 1/res una funcin estrictamente decreciente que tiende a +(respectivamente, a 0) cuandor tiende a 0 (respectivamente, a +). En particular, debe existir un nico punto r>0tal queR(r)=r ; de hecho,r=+1. En otras palabras, existe una nica esferacentrada en t1() cuya imgen por t es una esfera del mismo radio (que adems debeestar centrado en t()).3.6. DISTORSIN DEL VOLUMEN 41Denicin 3.5.1. La(nica)esferacentradaent1()cuyaimgenportesunaesfera del mismo radio es llamada la esfera isomtrica de t, denotada por It. Esta esferaIt tiene la forma :It= x 1n: |x t1()| = +_1Proposicin 3.5.2. Sea t Mndiferente de la identidad y tal que t() ,= . En-toncest = Odonde es la identidad si t2=I bin la reexin en el hiperplano ortogonal al trazode lnea que conecta los puntos t1() y t() en el punto medio, O es una rotacin cont1() como punto jo (luego ambas isometras Euclidianas) y es la reexin en laesfera isomtrico It.Demonstracin. Ver Problema 2.-.Problemas. 1.- Vericar la igualdadt(It) = It1= x 1n: |x t()| = +_12.- Pruebe la Proposicin 3.5.2.3.- Determine el tipo de una transformacin de Mbius (que no ja ) en trminosde la conguracin geomtrica de su esfera isomtrica y la de su inversa.3.6. Distorsin del volumenDe manera similar como en el caso planar, lo anterior nos permite la siguiente genera-lizacin de la Proposicin 1.15.4.Proposicin 3.6.1. Sea t una transformacin (extendida) de Mbius tal que t() ,= y sea Rt el radio de la esfera isomtrica It de t. Si E 1nes un conjunto cerradotal que t1()/ E, entoncesdiamEucl(t(E)) 2R2t/donde es la distancia Euclidiana det1() al conjuntoE. Si adems, E, en-tonces tambin tenemos quediamEucl(t(E)) R2t/42 CAPTULO 3. TRANSFORMACIONES DE MBIUS N-DIMENSIONALES3.7. Razn cruzada en 1nAnteriormente habamos denido la razn cruzada de cuatro nmeros complejos enla esfera de Riemann. Ahora procederemos a denir un equivalente en mayores dimen-siones. Recordemos que tenemos la proyeccin estereogrca: 1nSn, denidapor(x) =_2x1|x|2+ 1, ...,2xn|x|2+ 1, |x|21|x|2+ 1_() = (0, ..., 0, 1),donde Snes la esfera unitaria centrada en el orgen de 1n+1. Esto nos permite trasladarla mtrica esfrica de Snpor para obtener la mtricad(x, y) = |(x) (y)| =___2|x y|(1 +|x|2)1/2(1 +|y|2)1/2, x, y 1n2(1 +|x|2)1/2, y= Denicin 3.7.1. La razn cruzada de cuatro puntos x, y, u, v 1ntales que x ,= y,u ,= v, es denida por[x, y; u, v] =d(x, u)d(y, v)d(x, y)d(u, v)Observacin 3.7.2. En el caso n=2, la razn cruzada aqu denida corresponde alvalor absoluto de la r