Appunti FEM

slide 1Appunti sintetici sul Metodo degli Elementi Finiti

Università di Padova – Facoltà di Ingegneria

Appunti sintetici sul

Metodo degli Elementi Finiti

Bruno Atzori e Mauro Ricotta


Obiettivi del corso

■ Introduzione alle basi teoriche del metodo dianalisi agli elementi finiti (FEM o meglio EF)

■ Metodologia per l’analisi EF

■ Acquisizione delle conoscenze operative di baseper l’utilizzo del codice STRAUS

■ Analisi lineare elastica di componenti semplici


Materiale didattico

Un riferimento per una più ampia trattazione della teoria è il seguente:B.Atzori “Metodi e Procedimenti di Calcolo nella Progettazione Meccanica"

Ed.Laterza

Tutorial on-line e su WEBAll’indirizzo www.campiello.it/hsh sono disponibili alcuni esempi di

applicazioni.


Fasi dell’analisi EFComponente o problema reale

Schematizzazione (modello fisico)

ING.

Analisi dei risultati e loro utilizzo

in progettazioneING.

Modello matematico

Soluzione modellomatematico

CALC.

• Analisi deformata• Taratura del modello con dati sperimentali

(deformata o deformazioni locali)• Confronto in punti significativi con risultati

determinati con metodi ingegneristici

Analisi ingegneristica e verificadell’esigenza di un’analisi EF

● Analisi critica dei risultati● Confronto stati tensionali con caratteristiche di

resistenza del materiale (statiche, fatica, MdF, ..)

● Semplificazione della realtà (materiale omogeneo, piccoledeformazioni, elasticità lineare, semplificazioni geometria)

● Scelta tipologia strutturale● Criteri di suddivisione● Preparazione dati su nodi ed elementi● Condizioni al contorno (vincoli e carichi)


Aspetti da ricordare■ Lo stesso problema reale può essere modellato in

maniera semplificata o molto complessa eraffinata (esercitazione struttura isostatica)

■ Il costo dell’analisi in termini economici, di tempodi soluzione e di spazio su disco è direttamentelegato alla strategia di modellazione

■ È quindi di fondamentale importanza una sceltaadeguata del grado di precisione del modello inrelazione al problema in esame


Definizioni fondamentali■ ELEMENTO: ciascuna parte in cui il corpo

o la struttura in esame viene suddivisa

■ NODO: il punto in cui un elemento è o siconsidera collegato all’eventuale elementoadiacente.

Gli elementi possono essere connessi tra loro SOLO ai nodi.

Le condizioni al contorno (carichi e vincoli) possono essereimposte SOLO ai nodi


Tipologie di elemento

1D 2D 3D

Mono-dimensionali Bi- dimensionali Tri-dimensionali


■ Suddivisa la struttura in elementi e definiti i nodi,■ definito il tipo di elemento e quindi i gradi di libertà per nodo,■ si considerano e si numerano sequenzialmente e con la stessa

simbologia TUTTE LE FRECCE (gradi di libertà) E FORZE(reazioni) POSSIBILI anche se nulle o non rilevanti ai finidell’analisi. Es. Elemento trave inflessa:

■ Non si considera la differenza tra frecce lineari e rotazioni (siconsiderano tutte frecce) né tantomeno quella tra forze emomenti (si considerano tutte forze).

■ Non si considera la differenza tra forze applicate e reazionivincolari.

Frecce e forze generalizzate I

11,M ϕ1

11 f,F

2

22 f,F

22 ,M ϕ

Trave inflessa


Frecce e forze generalizzate II

2 g.d.l. per nodo 22 f,F

1

11 f,F

2

33 f,F

44 f,F

Trave inflessa

22 f,F1

11 f,F

2

ELEMENTI TRAVE

1 g.d.l. per nodo

22 f,F1

11 f,F

Asta/molla

Trave in torsione2


Frecce e forze generalizzate III

2f

11f

23f4f

5f

6f

più g.d.l. per nodo

Telaio piano

1 2

2f

1f3f

6f5f

4f

8f

12f9f

7f

11f

10f

Telaio spaziale x

zy


Frecce e forze generalizzate IV

xz

y ELEMENTI BIDIMENSIONALI

2 g.d.l. per nodo tensione piana/membrane 5 g.d.l. per nodo

flessione + membrane

3 g.d.l. per nodo piastre inflesse

ELEMENTI TRIDIMENSIONALI3 g.d.l. per nodo


Principio di sovrapposizione degli effetti

■ È il principio per il quale le conseguenze di un sistema dicause applicate ad un sistema risultano pari alla somma deglieffetti che ciascuna causa produrrebbe se applicatasingolarmente.

■ Si può applicare solamente nel caso in cui TUTTE le relazionitra causa ed effetto siano lineari.

f

SI NO

F1

f1

F2

F3=F1+F2

f2 f3=f1+f2 f1 f2 f3=f1+f2

F1

F2

F3=F1+F2


Linearità causa-effetto

f

kP

P1

k

f1 P2

k

f2 P1+P2

k

f1+f2

P1

P2

f1 f2

SI

NO

P1+P2

f1+f2


Non -linearità causa-effettoI problemi non lineari possono essere discretizzati atratti lineari e risolti in maniera iterativa

f

P

LINEARIZZAZIONE del problema:P viene applicato a step successivi,

ipotizzando comportamento lineareall’interno di ciascuno step e

ripartendo per ciascuna analisi dallaconfigurazione deformata raggiunta

allo step precedente!

P

P

Grandi deformazioni!


Coefficienti di rigidezza IDeterminazione delle forze da applicare ad unastruttura per ottenere una deformata (frecce)

prestabilita

F

kxo

oo x

FkxkF =⋅=

k (coeff. di rigidezza) =forza da applicare per

ottenere una freccia unitaria

22 f,F1

11 f,F

2Sistemi ad 1 g.d.l

per nodo


Coefficienti di rigidezza IIIl coefficiente di rigidezza kij fornisce il valoredella forza i-esima quando al sistema è imposta unafreccia j-esima unitaria e solo quella:

j

ij,i f

Fk =f3

f4

f3

f4=0

NO

SI


Coefficienti di rigidezza III

f3

f4=03F

4F

1F

2F

3

443

3

223

3

333

3

113

fFk,

fFk

fFk,

fFk

==

==

3i3 k0f ≠


1i1 k0f ≠

Coefficienti di rigidezza IVValutiamo le forze nei vari nodi in assenza dei vincoli

(diagramma di corpo libero) per effetto dell’applicazionedi una freccia generalizzata fi nota

con ααααij non sarebbe stato possibile, senza vincoli !!!! struttura labile!

f1

3F

4F

1F

2F

f23F

4F

1F

2F2i2 k0f ≠


Coefficienti di rigidezza V

3F

4F

1F

2F

f4

3i3 k0f ≠

4,i4 k0f ≠

f3

3F

4F

1F

2F


Coefficienti di rigidezza VIApplicando la sovrapposizione degli effetti, è possibilescrivere la relazione tra frecce e forze generalizzate perl’elemento considerato.Ad esempio, per calcolare il valore della forzageneralizzata F1 è necessario considerare il contributo ditutte le frecce generalizzate:

F1= k11 f1 + k12 f2 + k13 f3 + k14 f4

in generale:

Fi= ki1 f1 + ki2 f2 + ki3 f3 + ki4 f4


Richiami di calcolo matricialeMATRICE: un modo sintetico di indicare una tabella di numeri. Se latabella ha m righe ed n colonne si dice che è una matrice di ordine m× n.

VETTORE: è una particolare matrice in cui m=1 (vettore riga). Latrasposta di un vettore riga è un vettore colonna (n=1).

PRODOTTO DI DUE MATRICI: si ottiene facendo riga della primamatrice per colonna della seconda matrice.

Es.

=

++

=

2

1

222121

212111

2

1

2221

1211FF

fKfKfKfK

ff

KKKK


Coefficienti di rigidezza VIIÈ possibile definire un vettore frecce generalizzate e un vettoreforze generalizzate a condizione che questi contengano TUTTE lefrecce e le forze (incluse quelle nulle e senza distinzione tra carichiesterni e reazioni vincolari.I due vettori saranno legati tra loro mediante la matrice [K], definitamatrice di rigidezza

n

2

1

n

2

1

F...

FF

f...

ff

{F(n,1)}=[K(n,n)]{f(n,1)}


Coefficienti di rigidezza VIII

=

4

3

2

1

44434241

34333231

24232221

14131211

4

3

2

1

ffff

kkkkkkkkkkkkkkkk

FFFF

Esprimendo la relazione tra frecce e forze generalizzatein forma matriciale si ottiene :


Coefficienti di rigidezza IXNoti tutti i kij possiamo scrivere la matrice di rigidezza di

elemento:

[ ]

=

44434241

34333231

24232221

14131211

)4x4(

kkkkkkkkkkkkkkkk

K


Coefficienti di rigidezza X

La relazione appena ottenuta è valida per la strutturaanalizzata indipendentemente dalle condizioni vincolari e puòquindi essere utilizzata per trovare le forze in funzione dellefrecce (note) per qualsiasi condizione vincolare della trave,

approccio impossibile con i coefficienti di deformabilità!(per questo i codici EF sono basati sul metodo dei coefficienti di rigidezza!)

f1 = f2 = 0 f3 = f4 = 0

f1 = f3 = 0


Differenze fra elementi trave ed altri tipi

Da quanto visto, per utilizzare gli elementi finiti è necessarioconoscere la matrice di rigidezza di un elemento.

Per gli elementi trave la matrice di rigidezza [K] è esatta (nelcaso di carichi concentrati non serve infittire la suddivisione inelementi per avere risultati con una migliore approssimazione).

Per gli altri tipi di elementi la matrice di rigidezza è soloapprossimata (in presenza di gradienti di tensioni e dideformazioni è necessario infittire la suddivisione per avererisultati con una migliore approssimazione).


Differenze fra elementi trave ed altri tipi - II

La precedenti affermazioni possono essere giustificate considerandol’esempio seguente.

σ=N/A=costε= σ/Ε=cost

F

l

flxfx ⋅=

xfx

f

Se si assume una distribuzionelineare delle frecce ne consegue unvalore costante di σ ed ε.

Nel caso di elementi asta (e di tuttigli elementi trave) tale assunzionecorrisponde alla realtà.


{ } { }f]a[fi ⋅=

La relazione generale che lega le frecce interne fi dell’elemento conquelle nodali è:

lx)ff(ff 121x ⋅−+=

in cui f1 e f2 sono gli spostamenti per x=0 e x=l, rispettivamente.

La precedente relazione si può scrivere come:

{ }f]a[ff

lx ,

lx1f

2

1x ⋅=

⋅

−=

La matrice [a] è detta funzione di forma e permette di esprimere lefrecce interne {fi} di un elemento noti gli spostamenti nodali {f}.

In generale quindi vale che:

Differenze fra elementi trave ed altri tipi - III


Nel caso dell’elemento membrana (e di tutti gli elementi non trave)l’assunzione porta all’approssimazione indicata nella zonatratteggiata.

σg

Differenze fra elementi trave ed altri tipi - IV


Determinazione della matrice di rigidezza - I

APPROCCIO FISICO. In una struttura composta da travi un genericoKij può dipendere da un solo elemento, da più elementi o essere nullo:

• se i e j si riferiscono ad un unico nodo, il Kij dipende da tutti glielementi che convergono in quel nodo.

•Se i e j si riferiscono a nodi diversi:

a) esiste un elemento che collega i due nodi e quindi il Kij dipende da quel solo elemento;

b) non esiste un elemento che collega i due nodi e quindi il Kij ènullo.


Determinazione della matrice di rigidezzaASSIALE per elemento asta -I

Esempio: matrice di rigidezza per elemento ASTA/ MOLLA lungo Le con area A della sezione trasversale

⋅

=

2

1

2221

1211

2

1

ff

KKKK

FF

Dalla teoria dell’elasticità lineare e nell’ipotesi di piccoli spostamenti:

x

x

xx

xx

E

dxdfAF

εσ=

=ε

=σintegrando

11

x

1xxx

x

cEAxFf

EAF

E1

AF

Edxdf

+⋅⋅−=

⋅−=⋅=σ=ε=


Determinazione della matrice di rigidezza ASSIALE per elemento asta -I I

Imponendo, per x = 0, fx = f1=1 e, per x=L, fx = f2=0, si ricava:

{ }

−

−⋅=

⋅=

⋅

−

−⋅=

1111

LEA]K[

f]K[ff

1111

LEA

FF

asta

asta2

1

2

1

LEAK11

⋅=

Poiché per l’equilibrio F1+F2 = 0, si ricava:L

EAK21⋅−=

Quindi alla fine si ottiene:


Determinazione della matrice di rigidezzaFLESSIONALE per elemento trave -I

Esempio: matrice di rigidezza per elemento TRAVE

22 f,F1

11 f,F

2

33 f,F

44 f,F

212

212

2

2

FxFEIdx

yd

xFFMEIM

dxyd

−⋅=⋅

⋅−=

−=

Dall’equazione della linea elastica:


Determinazione della matrice di rigidezza FLESSIONALE per elemento trave -II

Integrando

21

22

31

12

21

cxc2xF

6xFyEI

cxF2xFEI

dxdy

++−=

+−=

Determiniamo Ki1: f1=1; f2=f3=f4=0

x=0f1= 1

f2= 0

EI·1= c2

0 = c1

x=Lf3= 0

f4= 0LF

2LF0

cLc2LF

6LF0

2

21

21

22

31

−=

++−=


22

31

LEI6F

LEI12F

=

=

Risolvendo si ottiene

Determinazione della matrice di rigidezza FLESSIONALE per elemento trave -III

Per determinare F3 ed F4 si fa equilibrio

24142

313

LEI6 F 0LFFF

LEI12FF

=⇒=−+

−=−=


Determinazione della matrice di rigidezza FLESSIONALE per elemento trave - IV

Quindi

.fFK

;fFK

;fFK

;fFK

1

441

1

331

1

221

1

111

=

=

=

=

1 colonna dellamatrice di rigidezza


Determinazione della matrice di rigidezza – FLESSIONALE per elemento trave - V

[ ]

−−−−

−−

=

−

−−−

−

−

=

STSTTMTM

STSTTMTM

LL

LLLL

LL

LLLL

LEIK Trave

2

2

2313

3636

1323

3636

2

22

22

Operando in modo analogo per le altre colonne si può ottenere lamatrice completa :


Ricordando che si ottiene:

( ) [ ] { }f]b[ff

1 ,1L1ff

L1

dxdf

2

112

xx ⋅=

⋅−⋅=−⋅==ε

dxdfx

x =ε

La matrice [b] non ha un nome particolare e consente di esprimere leDEFORMAZIONI (e quindi le TENSIONI) in funzione delle FRECCENODALI.IMPORTANTE. In questo caso la distribuzione delle deformazioni è esattapoiché ricavata dalla Teoria dell’Elasticità Lineare e nell’ipotesi di piccolispostamenti.

Determinate le forze e gli spostamenti, si determinano ora tensioni edeformazioni.Determinazione del tensore delle deformazioni [ε] nel caso di elemento ASTA

Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - I


Esempio applicativo - I

F= 1000NA=10 mm2

E= 200000 MPaν = 0.3

F1 m

Bisognerà innanzitutto descrivere la struttura libera al calcolatore,fornendo le coordinate dei nodi (in questo caso 0 per Nodo 1 e 1000per Nodo 2, supponendo di lavorare in mm).Si forniscono quindi le caratteristiche di ciascun elemento (in questocaso A, E, e ν).Si daranno le incidenze di ciascun elemento (si dirà cioè, in questocaso, che l’elemento 1 va dal nodo al nodo 2).Si dirà la tipologia di elemento (in questo caso ASTA, supponendo cheil programma usato lo contenga).


Esempio applicativo - II

A questo punto il calcolatore è in grado di descrivere la matrice dirigidezza dell’elemento:

−

−⋅=

1111

2000]K[ asta

Poiché saranno stati dati anche i vincoli (f1 = 0), si avrà:

⋅

−

−⋅=

22

1f0

1111

2000FF

da cui F1= -2000·f2

F2= 2000·f2


Esempio applicativo - III

Poiché si saranno dati i carichi esterni (F2=1000N), si puòdeterminare f2 dalla equazione precedente:

mm 5.020001000ff

mmN 2000]N[ 1000 22 ==⇒⋅

=

Note le frecce, verranno sostituite nelle equazioni contenenti lereazioni vincolari, permettendone il calcolo:

N 1000]mm[ 5.0mmN 2000F1 =⋅

−=


Esempio applicativo - IV

Il calcolatore valuterà quindi le deformazioni (strain) e le tensioni (stress)

[ ] [ ] µε=⋅=

⋅−⋅=

⋅−⋅=ε − 500105.05.0

01 ,1

10001

ff

1 ,1L1 3

2

1x

MPa 100105.0200000E 3xx =⋅⋅=ε⋅=σ −


Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - II

Elemento piano triangolare in sollecitazione piana

f1f2

f3

f4

f5

f6

fx

fy

1

2

3

Con gli elementi finiti si determina solo quanto accade ai nodi e quindinon si conosce cosa succede fra un nodo e l’altro.


Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - III

In questo caso per determinare le frecce interne manca un sostegnoteorico che consenta di dire come sia la variazione delle frecce fra unnodo e l’altro.

f2

f4

Se si avvicinano fra loro f2 ed f4 si si può APPROSSIMARE la curvacon una retta e quindi si vede come con questi elementi siaimportante infittire la mesh.


Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - IV

Assumiamo ARBITRARIAMENTE una LEGGE LINEARE

fX=c1+ c2x+ c3y

fy=c4+ c5x+ c6y

Con le condizioni al contorno si determinano le costanti.x=x1y=y1

fx=f1

fy=f2

x=x2y=y2

fx=f3

fy=f4

x=x3y=y3

fx=f5

fy=f6


Determinazione delle tensioni e delle deformazioni - VII

si ottiene alla fine:

=

6

5

4

3

2

1

321

321

y

x

ffffff

a0a0a00a0a0a

ff

Si è quindi ottenuta la funzione di forma [a] per un elementotriangolare, funzione che ricordiamo non essere esatta!

{ } { }f]a[fi ⋅=

o anche


Determinazione delle tensioni e delle deformazioni VIII

Note le espressioni per fx e fy è possibile determinare {ε}.

{ }

−−−−−

−=

δδ

+δδ

δδδδ

=

εεε

=ε

6

5

4

3

2

1

212131313232

213132

213132

yx

y

x

xy

y

x

ffffff

yxyxyxx0x0x00y0y0y

A21

xf

yf

yfxf

{ } [ ] { }f⋅ε=εIn notazione compatta:

In questo caso si usa la notazione invece di [b] per ricordare chestiamo lavorando con una approssimazione. La legge di variazioneassunta per gli spostamenti porta a deformazioni costanti e quindi,nell’ipotesi di Elasticità Lineare, a tensioni costanti all’interno delsingolo elemento.

[ ]ε


Si può facilmente comprendere che, per descrivere in maniera agevole lestrutture reali, è comodo disporre di elementi a lati curvilinei che siano ingrado di adattarsi facilmente alle diverse geometrie. E’ chiaro che perdefinire un elemento di questo tipo è necessario utilizzare un’ulteriorefunzione, che chiamiamo, in analogia a quanto finora visto, funzione digeometria in grado di descrivere la geometria dell’elemento in funzionedelle sue coordinate di nodo.

Per elementi di questo tipo si dovranno definire quindi sia una serie diparametri per descriverne la deformazione, sia le funzioni di geometriaper descrivere la geometria dell’elemento.

Elementi a lati curvilinei - I


Elementi a lati curvilinei - IISe i parametri di tipo geometrico sono maggiori, uguali o minori aquelli che individuano la deformazione dell’elemento, esso prenderà ilnome di superparametrico, isoparametrico o subparametrico,rispettivamente.

Iso-parametricoGeometrici = Deformazione

Sub-parametricoGeometrici < Deformazione

Super-parametricoGeometrici > Deformazione

Tipo elementoParametri

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