Appunti di Analisi Matematica 1 - unibs.it 1.1 Elementi di logica matematica Una condizione basilare

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  • Appunti di Analisi Matematica 1

    Riccarda Rossi

    Università degli Studi di Brescia

    Anno Accademico 2019/2020

  • 2

  • Indice

    1 Nozioni preliminari 9 1.1 Elementi di logica matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Elementi di teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Prime proprietà delle funzioni 19 2.1 Il concetto di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Funzioni suriettive e iniettive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Appunti operativi: Funzioni pari, dispari, e periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Appunti operativi: Funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Operazioni su funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Appunti operativi: traslazioni e omotetie di grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.8 Appunti operativi: i grafici qualitativi delle funzioni elementari . . . . . . . . . . . 40

    3 Insiemi numerici: da N a Q 43 3.1 I numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Dagli interi ai razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Dai numeri razionali ai numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4 I numeri reali 51 4.1 La struttura di campo ordinato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Maggiorante, minorante, estremo superiore, estremo inferiore . . . . . . . . . . . . 54 4.3 L’assioma di completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 La retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5 La retta reale estesa e la nozione di intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5 I numeri complessi 65 5.1 La forma algebrica di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2 La forma trigonometrica di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.3 La forma esponenziale di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.4 La radice n-esima di un numero complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.5 Polinomi in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    6 Successioni numeriche 79 6.1 Primi esempi di successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Successioni convergenti, divergenti, e oscillanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3 Il calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.4 Forme indeterminate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.5 Successioni e relazione d’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.6 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.7 Sottosuccessioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.8 Successioni di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    3

  • 4

    7 Serie numeriche 99

    7.1 Il carattere di una serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    7.2 Alcuni risultati preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    7.3 Serie a termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    7.4 Convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    7.5 Il criterio di Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    7.6 Serie notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    8 Limiti e continuità 117

    8.1 Introduzione al concetto di limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    8.2 Definizione di limx→x0 f(x) = L, con L ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 8.3 Limiti unilateri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    8.4 Alcuni risultati sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    8.5 Definizione di limx→±∞ f(x) = L, limx→x0 f(x) = ±∞, limx→±∞ f(x) = ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    8.6 L’estensione dell’algebra dei limiti e la nozione di forma indeterminata . . . . . . . 130

    8.7 Confronti asintotici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    8.8 Ulteriori risultati sui limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

    8.9 Limiti di funzioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    8.10 La nozione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    8.11 Proprietà della classe delle funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    8.12 Classificazione dei punti di discontinuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

    9 Proprietà globali delle funzioni continue 155

    9.1 Il teorema di Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

    9.2 Il teorema di Bolzano (o degli zeri) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

    9.3 Inverse di funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    10 Derivate 165

    10.1 Definizione di derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

    10.2 Calcolo delle derivate di alcune funzioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    10.3 Alcuni risultati sulle derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

    10.4 Classificazione dei punti di non derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    10.5 Differenziabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

    10.6 Derivate di ordine successivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    10.7 Il teorema di De l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

    11 Studio di funzioni 189

    11.1 Estremi relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    11.2 I teoremi di Lagrange, Rolle e Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

    11.3 Applicazioni del Teorema di Lagrange allo studio di proprietà globali . . . . . . . . 197

    11.4 Convessità, concavità, e derivate seconde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

    11.5 Appunti operativi: Schema per lo studio di funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

    12 Sviluppi di Taylor 207

    12.1 La formula di Taylor con il resto di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

    12.2 Sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

    12.3 Appunti operativi: applicazioni degli sviluppi di Taylor al calcolo di limiti e allo studio del carattere di serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

    12.4 Il criterio della derivata n-esima e la formula di Taylor con il resto di Lagrange . . 216

  • 5

    13 L’integrale di Riemann 221 13.1 Definizione di funzione integrabile e di integrale di Riemann . . . . . . . . . . . . . 221 13.2 Classi di funzioni integrabili e proprietà dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 13.3 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 13.4 Legami fra derivazione e integrazione: i teoremi fondamentali del calcolo integrale . 233 13.5 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 13.6 Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 13.7 Appunti operativi: integrazione delle funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . 243

    14 Integrali impropri 249 14.1 Integrali impropri su intervalli limitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 14.2 Integrali impropri su semirette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 14.3 Integrali impropri su intervalli generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 14.4 Criteri di integrabilità per funzioni positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 14.5 Appunti operativi: esempi di studio dell’integrabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

  • 6

  • Premessa

    Questi appunti intendono

    • essere di supporto agli studenti, per la rielaborazione degli appunti presi a lezione;

    • integrare, con ulteriori esempi, commenti, e dimostrazioni, il materiale presentato a lezione e ad esercitazione (si vedano le sezioni di Appunti operativi).

    Lo scopo di queste note è quindi quello di facilitare la comprensione e, al contempo, l’approfondimento di quanto appreso dallo studente a lezione.

    Tuttavia, si sottolinea che questi appunti non possono e non vogliono sostituire un libro: non hanno sufficienti figure, né abbastanza esempi; non hanno esercizi! Più in generale, non hanno il respiro di un libro.

    Pertanto, si consiglia allo studente di perfezionare il proprio studio su un libro di testo: fra quelli proposti, il p