Prodotti e scomposizioni notevoli

• (a - b)(a + b) = a2 - b2 • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 • (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 • (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 • (a + b + c + ...)2 = a2 + b2 + c2 +...+ 2ab + 2ac + ... + 2bc + ... = somma dei quadrati di tutti i

termini e dei doppi prodotti di ciascun termini per quelli che lo seguono. • Se n è dispari, an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - ... + bn-1). • Per ogni n, an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ... + bn-1). • (a + b)n è un polinomio di n+1 addendi, tutti di grado n, la cui parte letterale è costituita

prendendo le potenze via via decrescenti di a e crescenti di b, e i cui coefficienti si possono ricavare con il Triangolo di Tartaglia o, meglio, la formula del binomio di Newton.

o Triangolo di Tartaglia: .

o Binomio di Newton:

Triangoli rettangoli

Teorema di Pitagora: a2 = b2 + c2, ovvero il quadrato costruito sull'ipotenusa è la somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Teorema di Euclide-1: b2 = b1·a, c2 = c1·a, ovvero il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa; o ancora un cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la sua proiezione sull'ipotenusa.

Teorema di Euclide-2: h2 = b1·c1, ovvero il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è uguale al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa; o ancora l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

... non si est dare primum motum esse, o se del mezzo cerchio far si puote triangol sì ch'un retto non avesse. D.C. 3, XIII, 100-102

Inscrivibilità in una semicirconferenza: Un triangolo rettangolo si può sempre inscrivere in una semicirconferenza; di conseguenza la mediana relativa all'ipotenusa è la metà dell'ipotenusa ed è il raggio del cerchio circoscritto.

Raggio del cerchio inscritto: Il raggio r del cerchio

inscritto in un triangolo rettangolo è dato dalla formula: .

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Punti notevoli di un triangolo

Circocentro: è il punto di intersezione degli assi dei lati di un triangolo. É il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Nei triangoli acutangoli è interno al triangolo, nei triangoli rettangoli coincide con il punto medio dell'ipotenusa, nei triangoli ottusangoli è esterno al triangolo.

"O cara piota mia che sì t'insusi, che, come veggion le terrene menti non capere in triangol due ottusi, D.C. 3, XVII, 13-15

Incentro: è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo. É il centro della circonferenza inscritta nel triangolo ed è sempre interno al triangolo.

Ortocentro: è il punto di intersezione delle altezze di un triangolo, o dei loro prolungamenti. É interno al triangolo per i triangoli acutangoli, coincide con il vertice dell'angolo retto per i triangoli rettangoli, è esterno al triangolo per i triangoli ottusangoli. É anche il centro radicale dei tre cerchi che hanno come diametro i lati del triangolo.

Baricentro: è il punto di incontro delle mediane di un triangolo. É sempre interno al triangolo e gode della seguente proprietà: ciascuna mediana è divisa dal baricentro in due parti, di cui quella contenente il vertice è doppia dell'altra. Se, in un piano cartesiano, sono note le coordinate dei vertici, il baricentro ha come coordinate le medie aritmetiche

delle coordinate degli estremi: . Nel caso di un triangolo omogeneo, o di tre punti di uguale massa disposti nei vertici, il baricentro coincide con il centro di gravità o di massa (usualmente spesso chiamato ancora baricentro).

Retta di Eulero: in ogni triangolo l'ortocentro, il baricentro e il circocentro sono allineati; la retta cui appartengono si chiama retta di Eulero; inoltre

G=2GC. Puoi anche vedere H un'animazione di questa figura.

Quadrilateri inscrittibili o circoscrittibili ad un cerchio

Un quadrilatero convesso è inscrittibile in un cerchio se e solo se gli

angoli opposti sono supplementari: .

Un quadrilatero convesso è circoscrittibile ad un cerchio se e solo se la somma delle due coppie di lati opposti è uguale: AB + CD = AD + BC.

Trapezio circoscritto ad un cerchio: i triangoli BOC e AOD sono rettangoli e la loro altezza relativa all'ipotenusa è il raggio del cerchio inscritto.

Trapezio circoscritto ad un semicerchio: i triangoli rettangoli ABM e AOH sono uguali; lo stesso vale per i triangoli CND e OKD. Ne segue che la base maggiore è la somma dei lati obliqui.

... Euclide geomètra e Tolomeo, ... D.C. 1, IV, 142

Teorema di Tolomeo: in un quadrilatero convesso inscritto in una circonferenza il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti:

AC·BD = AD·BC + AB·DC

Teorema di Legendre: in un quadrilatero convesso inscritto in una circonferenza il rapporto delle diagonali è uguale al rapporto delle somme dei prodotti dei lati che concorrono negli estremi delle rispettive diagonali

Poligoni regolari inscritti in un cerchio

Triangolo equilatero: .

Quadrato: .

Pentagono: .

Esagono: AB = l = R6

Decagono:

Funzioni goniometriche di archi particolari

gradi radianti seno coseno tangente

30°

45°

1

60°

18°

36°

15°

22°30'

Formule trigonometriche

• Relazione fondamentale: sin2α + cos2α = 1. • Addizione e sottrazione:

o sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ; o cos(α ± β) = cosαcosβ sinαsinβ;

o . • Duplicazione:

o sin(2α) = 2sinαcosα; o cos(2α) = cos2α - sin2α = 1 - 2sin2α = 2cos2α - 1;

o . • Bisezione:

o ;

o ;

o .

• Parametriche: posto , se α ≠ (2k+1)π,

o ;

o . • Prostaferesi:

o ;

o ;

o ;

o .

Risoluzione di triangoli

Triangoli rettangoli

• cateto = ipotenusa·sin(angolo opposto); c = b·sinγ; a = b·sinα. • cateto = ipotenusa·cos(angolo acuto adiacente); c = b·cosα; a = b·cosγ. • cateto = altro cateto·tan(angolo acuto opposto); c = a·tanγ; a = c·tanα.

Teorema della corda: a = 2Rsinα = 2Rsinγ.

Teorema dei seni:

Teorema del coseno o di Carnot: a2 = b2 + c2 -2bccosα; b2 = a2 + c2 -2accosβ; c2 = a2 + b2 -2abcosγ;

Area di un triangolo: .

Limiti notevoli e limiti importanti

In questo sito abbiamo proposto anche una trattazione completa sui limiti fondamentali.

• (angoli misurati in radianti!).

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

Derivate delle funzioni elementari

In questo sito abbiamo proposto anche una trattazione dettagliata relativa alle derivate delle funzioni elementari.

f(x) = k f'(x) = 0

f(x) = x α f'(x) = αx α -1

f(x) = sinx f'(x) = cosx

f(x) = cosx f'(x) = -sinx

f(x) = ex f'(x) = ex

f(x) = ln|x|

f(x) = arctgx

f(x) = arcsinx

f(x) = arccosx

f(x) = tgx

f(x) = ax f'(x) = a lnax

f(x) = log xa

Formule di derivazione

In questo sito abbiamo proposto anche una trattazione completa sulle formule di derivazione.

• (f+g)' = f' + g' • (f·g)' = f'·g + f·g'

• .

• ovvero

.

• ovvero

Primitive immediate

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

•

Primitive immediate generalizzate

• (integrazione delle funzioni composte).

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

• .

Formule per il calcolo delle primitive

• .

• .

• (Formula per parti).

• Dato e una funzione g(t) invertibile, con h(x) funzione inversa se

, allora (Formula per sostituzione).

Le primitive fondamentali

Cominciamo a calcolare le primitive di tre tipi fondamentali di funzioni razionali fratte, a cui tutti

gli altri si possono ricondurre:

1. .

2. .

3. Se n=1 l'integrale è immediato: . Per n >1 si può usare una formula

ricorrente. Posto , si trova : . Mediante questa formula, applicata quante volte serve, il calcolo di In è ricondotto a quello, noto, di I1.

Ci servirà poi saper ricondurre a questi il calcolo seguente: . Si tratta di eseguire alcune manipolazioni algebriche e una sostituzione opportuna .

Decomposizione in fratti semplici

Consideriamo una generica funzione razionale fratta; si possono presentare due situazioni:

1. il grado del numeratore è maggiore od uguale a quello del denominatore; 2. il grado del numeratore è minore di quello del denominatore.

Nel primo caso si può eseguire la divisione tra numeratore e denominatore, ottenendo: (Q è il quoziente e R è il resto). La frazione "residua" è del tipo "2". La ricerca delle primitive di N/D si riconduce dunque alla ricerca di quelle di R/D, in quanto Q è un polinomio. Basta dunque considerare il secondo caso. Per esse vale il seguente

Teorema di decomposizione di Hermite. Data una funzione razionale fratta propria , con N e D polinomi primi fra di loro, la frazione si può sempre decomporre in una somma finita di

frazioni del tipo e , con . Precisamente:

• Ogni radice reale a del denominatore, di molteplicità p, contribuisce alla predetta somma

con i seguenti p addendi: . • Ogni radice complessa α+iβ del denominatore, di molteplicità q assieme alla sua coniugata

α-iβ, contribuisce alla predetta somma con i seguenti q addendi:

, ove

.

Questo teorema consente di ricondurre il calcolo delle primitive di una qualunque funzione razionale fratta a quella degli integrali fondamentali proposti sopra. Esso permette, tenendo conto degli integrali fondamentali considerati sopra, di concludere che

Le primitive di una funzione razionale fratta sono sempre costituite da una combinazione

lineare finita di funzioni razionali (anche intere), e funzioni del tipo oppure

.

Esempi

Calcolare . Si ha . Se si riduce quest'ultima somma di frazioni allo stesso denominatore, si trova un numeratore di terzo

grado, con coefficienti dipendenti da A, B, C, D. Questo numeratore deve essere uguale al numeratore del primo membro: per il principio di identità dei polinomi si troverà un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite, che ci permetterà di trovare i quattro coefficienti incogniti A, B, C, D. Si ottiene: A=1, B=1, C=-1, D=0. I primi due addendi si integrano facilmente, per

l'ultimo si opera come segue: . Si deve ulteriormente modificare il secondo addendo tra parentesi, come segue:

.

Basterà ora porre , cioè , da cui . Riunendo tutti i risultati ottenuti si trova, infine,

.

Calcolare . Si ha . Con il metodo sopra indicato si trova

A=-1, B=-1, C=1. Si ha subito: