APOSTILA DE ELETROMECANICA

Curso Tcnico em Eletromecnica

Edio 2009-2

Instituto Federal Campus Ararangu

MINISTRIO DA EDUCAO SECRETARIA DE EDUCAO PROFISIONAL E TECNOLGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO CINCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS DE ARARANGU

Apostila de Preparao Tecnolgica Desenvolvida em conjunto com os professores do curso de eletromecnica (Dezembro -2008), com base na apostila verso anterior (Maio-2008) e apostilas do Senai-ES e apostila de preparao para concurso. A reproduo desta apostila dever ser autorizada pelo INSTITUTO FEDERAL CAMPUS ARARANGU

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SUMRIO1 - Nmeros Inteiros.......................................................................................................................................7 1.1 Nmeros Naturais.................................................................................................................................7 1.2 Operaes Fundamentais Com Nmeros Naturais............................................................................71.2.1 Adio................................................................................................................................................................7 1.2.2 Subtrao............................................................................................................................................................8 1.2.3 Multiplicao.....................................................................................................................................................8 1.2.4 Diviso...............................................................................................................................................................8

1.3 Nmeros Naturais - Exerccios............................................................................................................9 2 - Mltiplos e Divisores...............................................................................................................................12 2.1 Mltiplos de um Nmero...................................................................................................................12 2.2 Divisores de um Nmero....................................................................................................................122.2.1 Critrios de Divisibilidade...............................................................................................................................13

2.3 Mnimo Mltiplo Comum..................................................................................................................132.3.1 NMERO PRIMO..........................................................................................................................................14 2.3.2 Decomposio de um Nmero em Fatores Primos..........................................................................................15 2.3.3 1 Processo: Decomposio em Fatores Primos..............................................................................................15 2.3.4 2 Processo: Decomposio Simultnea..........................................................................................................16

2.4 Exerccio - Mnimo Mltiplo Comum .............................................................................................16 3 - Fraes....................................................................................................................................................18 3.1 Nmeros Racionais.............................................................................................................................18 3.2 Conceito de Frao:............................................................................................................................183.2.1 Leitura e Classificaes das Fraes................................................................................................................19

3.3 Fraes Equivalentes/Classe de Equivalncia..................................................................................20 3.4 Nmeros Mistos..................................................................................................................................203.4.1 Extrao de Inteiros.........................................................................................................................................21 3.4.2 Transformao de Nmeros Mistos em Fraes Imprprias...........................................................................21

3.5 Simplificao de Fraes....................................................................................................................223.5.1 Reduo de Fraes ao mesmo Denominador.................................................................................................22

3.6 Comparao de Fraes.....................................................................................................................233.6.1 Fraes com o mesmo Denominador...............................................................................................................23 3.6.2 Fraes com o Mesmo Numerador..................................................................................................................24 3.6.3 Fraes com os Numeradores e Denominadores Diferentes...........................................................................24

3.7 Adio e Subtrao de Fraes..........................................................................................................25 3.8 Multiplicao de Fraes...................................................................................................................26 3.9 Diviso de Fraes Ordinrias...........................................................................................................26 3.10 Partes Fracionrias de um Nmero................................................................................................27 3.11 Fraes - Exerccios..........................................................................................................................27 4 - Nmeros Decimais..................................................................................................................................35

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4.1 Conceito e Leitura..............................................................................................................................35 4.2 Transformao de Frao Decimal em Nmero Decimal................................................................36 4.3 Transformao de Nmero Decimal em Frao Decimal................................................................37 4.4 Operaes com Nmeros Decimais...................................................................................................374.4.1 Adio e Subtrao..........................................................................................................................................37 4.4.2 Multiplicao...................................................................................................................................................37 4.4.3 Diviso.............................................................................................................................................................38

4.5 Nmeros Decimais - Exerccios.........................................................................................................40 5 - Medidas de Comprimento.......................................................................................................................44 5.1 Conceito de Medida............................................................................................................................44 5.2 Medidas de Comprimento..................................................................................................................455.2.1 Leitura de Comprimentos.................................................................................................................................45 5.2.2 Mudanas de Unidade......................................................................................................................................45

5.3 Exerccios - Medidas de Comprimento.............................................................................................46 6 - Proporo\Razo e Regra de Trs...........................................................................................................49 6.1 Razo...................................................................................................................................................496.1.1 Inversa de uma razo........................................................................................................................................50 6.1.2 Clculo de uma razo.......................................................................................................................................50

6.2 Proporo............................................................................................................................................516.2.1 Propriedade fundamental das propores........................................................................................................51

6.3 Grandezas proporcionais...................................................................................................................526.3.1 Grandezas diretamente proporcionais..............................................................................................................52 6.3.2 Grandezas inversamente proporcionais...........................................................................................................52

6.4 Regra de Trs......................................................................................................................................536.4.1 Regra de Trs Simples.....................................................................................................................................53 6.4.2 Regra de Trs Composta..................................................................................................................................55

6.5 Exerccios - Proporcionalidade..........................................................................................................58 6.6 Exerccios - Regra de Trs.................................................................................................................59 7 - Porcentagem............................................................................................................................................62 7.1 Exerccios - Porcentagem...................................................................................................................62 8 - Operaes com Nmeros Inteiros Relativos...........................................................................................64 8.1 Nmeros Inteiros Relativos................................................................................................................648.1.1 Nmeros Opostos ou Simtricos......................................................................................................................65 8.1.2 Valor Absoluto.................................................................................................................................................65

8.2 Operaes com nmeros Inteiros Relativos......................................................................................658.2.1 Adio..............................................................................................................................................................65 8.2.2 Subtrao..........................................................................................................................................................66 8.2.3 Exemplos: Adio e Subtrao de Nmeros Inteiros Relativos......................................................................66 8.2.4 Expresses com nmeros Inteiros Relativos....................................................................................................67 8.2.5 Multiplicao...................................................................................................................................................67 8.2.6 Multiplicao com mais de dois nmeros Relativos........................................................................................68 8.2.7 Diviso.............................................................................................................................................................68

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8.3 Exerccios:...........................................................................................................................................69 9 - Potenciao, Radiciao e Notao Cientfica.......................................................................................72 9.1 Potenciao.........................................................................................................................................729.1.1 Propriedades das Potncias..............................................................................................................................73 9.1.2 Propriedades fundamentais:.............................................................................................................................74

9.2 Radiciao...........................................................................................................................................749.2.1 Raiz Quadrada de Nmeros Racionais.............................................................................................................75

9.3 Exerccios Resolvidos - Potenciao e Radiciao:..........................................................................75 9.4 Exerccios - Potenciao e Radiciao...............................................................................................77 9.5 Notao cientfica................................................................................................................................80 9.6 Potncias de Dez.................................................................................................................................80 9.7 Constantes Mltiplos de Grandezas Fsicas.....................................................................................819.7.1 Exemplos..........................................................................................................................................................81 9.7.2 Como Converter Entre Mltiplos.....................................................................................................................82 9.7.3 Exemplos..........................................................................................................................................................82

9.8 Exerccios Resolvidos Mltiplos e Notao Cientfica..................................................................83 9.9 Exerccios............................................................................................................................................84 10 - rea, Volume e Permetro.....................................................................................................................86 10.1 Introduo........................................................................................................................................86 10.2 reas.................................................................................................................................................8610.2.1 rea do crculo...............................................................................................................................................86 10.2.2 rea de Paralelogramos.................................................................................................................................87 10.2.3 rea de tringulos..........................................................................................................................................88

10.3 Exemplos..........................................................................................................................................8810.3.1 Unidade de Volume.......................................................................................................................................90 10.3.2 Paraleleppedo retngulo: ..............................................................................................................................90

10.4 Permetro de um Polgono...............................................................................................................9110.4.1 Permetro do retngulo...................................................................................................................................91 10.4.2 Permetro dos polgonos regulares................................................................................................................92

10.5 Comprimento da Circunferncia.....................................................................................................93 10.6 Exerccios..........................................................................................................................................94 11 - Trigonometria E Relaes Mtricas Tringulo Retngulo..................................................................97 11.1 Trigonometria...................................................................................................................................9711.1.1 Tringulos......................................................................................................................................................97 11.1.2 Relaes Trigonomtricas no tringulo retngulo.........................................................................................99 11.1.3 Exemplos....................................................................................................................................................103

11.2 Teorema de Pitgoras....................................................................................................................10411.2.1 Exemplos......................................................................................................................................................105

12 - Gabarito...............................................................................................................................................106 12.1 Captulo 1.......................................................................................................................................106 12.2 Captulo 2.......................................................................................................................................107Eletromecnica Pgina: 5


12.3 Captulo 3........................................................................................................................................108 12.4 Captulo 4........................................................................................................................................108 12.5 Captulo 5.......................................................................................................................................108 12.6 Captulo 6........................................................................................................................................109 12.7 Captulo 7........................................................................................................................................111 12.8 Captulo 8.......................................................................................................................................111 12.9 Captulo 9.......................................................................................................................................113 12.10 Captulo 10...................................................................................................................................114 12.11 Captulo 11 (no h exercicios na apostila)................................................................................114

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1 - Nmeros Inteiros1.1 Nmeros NaturaisDesde os tempos mais remotos, o homem sentiu a necessidade de verificar quantos elementos figuravam em um conjunto. Antes que soubessem contar, os pastores verificavam se alguma ovelha de seus rebanhos se havia extraviado, fazendo corresponder a cada uma delas uma pedrinha que colocavam na bolsa. Na volta do rebanho, a ltima ovelha devia corresponder ltima pedrinha. Tinham assim, a noo dos nmeros naturais, embora no lhes dessem nomes e nem os representassem por smbolos. Nos dias de hoje, em lugar das pedrinhas, utilizam-se, em todo o mundo, os smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. O conjunto dos nmeros naturais representado pela letra IN e escreve-se: IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

1.2 Operaes Fundamentais Com Nmeros Naturais

1.2.1 Adio a operao que permite determinar o nmero de elementos da unio de dois ou mais conjuntos:

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1.004 577 12 + 4 1.597

parcelas

total ou soma

1.2.2 Subtrao a operao que permite determinar a diferena entre dois nmeros naturais: 837 - 158 679 Minuendo Subtraendo Resto ou diferena

1.2.3 MultiplicaoA multiplicao muitas vezes definida como uma adio de parcelas iguais: Exemplo: 2 + 2 + 2 = 3 2 (trs parcelas iguais a 2) 381 x 23 1143 + 762 8763 A teno : Qualquer nmero natural multiplicado por zero zero. Exemplo: 4 0=0 Multiplicando Fatores Multiplicando Produto

1.2.4 Diviso a operao que permite determinar o quociente entre dois nmeros. A diviso a operao inversa da multiplicao. Exemplo: 18 4 = 72 72 4 = 18

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Termos Da Diviso: Dividendo 4051 - 40 051 - 48 03 |___ 8 506 Divisor Quociente

Resto

Ateno:Quando o dividendo mltiplo do divisor, a diviso exata. Exemplo: Exemplo: 16 8 = 2 Quando o dividendo no mltiplo do divisor, a diviso aproximada ou inexata. 16 5 = 3 (resto = 1) Numa diviso, em nmeros naturais, o divisor tem de ser sempre diferente de zero, isto , no existe diviso por zero no conjunto de nmeros naturais (IN).

1.3 Nmeros Naturais - Exerccios1) Complete as sucesses numricas seguintes: Exemplo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 a) 7, 14, 21, ......, ......, ......, ...... b) 9, 18, 27, ......, ......, ......, ...... d) 12, 24, 36, ......, ......, ......, ......

c) 11, 22, 33, ......, ......, ......, ...... e) 15, 30, 45, ......, ......, ......, ...... 2) Resolva: a) 4 + 577 + 12 + 1.004 = b) 285 + 122 + 43 + 8 + 7.305 = c) 7.815 + 427 + 2.368 + 864 =

3) Escreva as denominaes dos termos e do resultado da adio: 623 + 321 944 ................................... ................................... ...................................

4) Complete as sucesses numricas seguintes: Exemplo: 50, 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22... a) 50, 45, ......, ......, ......, ......, ...... b) 50, 44, ......, ......, ......, ......, ...... c) 80, 72, ......, ......, ......, ......, ...... d)108, 96, ......, ......, ......, ......, ......

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5) Efetue as subtraes: a) 196 - 74 = b) 937 - 89 = c) 4.800 - 2.934 = d) 100.302 - 97.574 = e) 1.301.002 - 875.037 = 6) Em uma subtrao, o subtraendo 165 e o resto 428. Qual o minuendo? 7) Qual o nmero que somado a 647 igual a 1.206? 8) De 94.278 subtraia 62.574. Tire a prova. 9) Efetue mentalmente: a) 7 x 1 = c) 8 x 10 = e) 1705 x 10 = g) 81 x 100 = i) 43 1000 = k) 170 100 = 10) Complete: a) Um produto sempre uma adio de ........................... iguais. b) O produto de vrios fatores zero, quando pelo menos um de seus fatores for ............................... 11) Complete: a) 4 x 5 x 0 = b) 6 x 0 x 9 = c) 0 x5 x8 = d) 1 x ___ x 8 = 0 e) 2 x 9 x ____ = 0 f) _____ X 4 X 61 = 0 b) 810 x 1 = d) 72 x 10 = f) 9 x 100 = h) 365 x 100 = j)12 1000 = l) 3.800 1000 =

12) Escreva os termos da diviso: ............................... ...................... 13) Efetue: a) 810 4 = b) 408 4 = c) 560 8 = d)12.018 6 = 107 07 2 5 21 ............................ ............................

14) O nmero 9 est contido em 3.663 ............................ vezes.

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15) Arme, efetue e verifique a exatido das operaes atravs de uma prova. a) 8.750 + 3 + 1.046 = b) 37.600 - 28.935 = c) 2.091 45 = d) 9.327 814 = e) 3.852 208 = f) 68.704 74 = g) h) 1.419 87 = 4.056 68 =

16) Resolva os problemas: a) Um reservatrio contm 400 litros de gua e efetuamos, sucessivamente, as seguintes operaes: retiramos 70 litros colocamos 38 litros retiramos 193 litros colocamos 101 litros colocamos 18 litros Qual a quantidade de gua que ficou no reservatrio? em 3 perodos:

b) Em uma escola estudam 9 6 0 alunos distribudos igualmente manh, tarde e noite. Pergunta-se:

Quantos alunos estudam em cada perodo? Quantos alunos estudam em cada sala, por perodo, se h 16 salas de aula?

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2 - Mltiplos e Divisores2.1 Mltiplos de um NmeroMltiplo de um nmero natural o produto desse nmero por um outro nmero natural qualquer. Exemplo: M (2) M (5) A teno : { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} { 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...} Zero mltiplo de todos os nmeros. Qualquer nmero natural mltiplo de si mesmo. O conjunto de mltiplos de um nmero infinito.

2.2 Divisores de um NmeroUm nmero divisor de outro quando est contido neste outro certo nmero de vezes. Um nmero pode ter mais de um divisor. Por Exemplo, os divisores do nmero 12 so: 1, 2, 3, 4, 6, e 12. O conjunto dos divisores de 12 representamos assim: D (12) = A teno : {1, 2, 3, 4, 6, 12} Se um nmero mltiplo de outro, ele "divisvel" por este outro. Zero no divisor de nenhum nmero. Um divisor de todos os nmeros.

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2.2.1 Critrios de DivisibilidadeSem efetuarmos a diviso podemos verificar se um nmero divisvel por outro. Basta saber alguns critrios de divisibilidade: a) Por 2:Um nmero divisvel por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6, ou 8. Ou seja, quando ele par. Exemplo: 14, 356, ... b) Por 3:Um nmero divisvel por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisvel por 3. Exemplo: 252 divisvel por 3 porque 2 + 5 + 2 = 9 e 9 mltiplo de 3. c) Por 4:Um nmero divisvel por 4 quando os dois ltimos algarismos forem 0 ou formarem um nmero divisvel por 4. Exemplo: 500, 732, 812 d) Por 5:Um nmero divisvel por 5 quando termina em 0 ou 5. Exemplo: 780, 935 e) Por 6:Um nmero divisvel por 6 quando divisvel por 2 e por 3. Exemplo: 312, 732f) Por 9:Um nmero divisvel por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus

algarismos for divisvel por 9. Exemplo: 2.538, 7.560 g) Por 10:Um nmero divisvel por 10 quando termina em zero. Exemplo: 1.870, 540, 6.000

2.3 Mnimo Mltiplo ComumChama-se Mnimo Mltiplo Comum de dois ou mais nmeros ao menor mltiplos comuns a esses nmeros e que seja diferente de zero. Exemplo: Consideremos os nmeros 3 e 4 Teremos: M (3) = M (4) = a interseo entre eles ser: M(3) M(4) = {0, 12, 24, 36, ...} {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...} {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...} e escrevamos alguns dos seus mltiplos. dos

Observamos que h elementos comuns entre esses dois conjuntos. Portanto

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m.m.c. (3, 4) = 12 12 o menor mltiplo comum de 3 e 4. So processos prticos para o clculo do m.m.c. de dois ou mais nmeros: Decomposio em Fatores Primos e Decomposio Simultnea.

2.3.1 NMERO PRIMO.Nmero Primo todo nmero que possui somente dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo. Exemplo:1 1 1

55

1313

99

3

O nmero 5 primo, porque tem apenas dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo (5) O nmero 13 primo, porque tem apenas dois divisores: a unidade (1) e ele mesmo (13). O nmero 9 no primo, porque tem mais de 2 divisores: 1, 3 e 9. Observe agora, os Exemplos:1 2 1 3

84 8

155 15

1 o nico divisor comum a 8 e 15, por isso dizemos que 8 e 15 so primos entre si. Dois ou mais nmeros so primos entre si, quando s admitem como divisor comum a unidade.

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2.3.2 Decomposio de um Nmero em Fatores PrimosA decomposio em fatores primos feita atravs de divises sucessivas por divisores primos. Exemplo: 30 2 15 3 5 5 1 Para decompor um nmero em seus fatores primos: 1) Dividimos o nmero pelo seu menor divisor primo; 2) Dividimos o quociente pelo seu menor divisor primo; 3) E assim sucessivamente, at encontrarmos o quociente 1. o menor divisor primo de 30 2: o menor divisor primo de 15 3: o menor divisor primo de 5 5: 30 : 2 = 15 15 : 3 =5 5 : 5 =1

2.3.3 1 Processo: Decomposio em Fatores PrimosPara determinar o m.m.c. atravs da decomposio fatorao, procedemos da seguinte forma: 1. Decompomos em fatores primos os nmeros apresentados. Exemplo: 15 e 20 15 3 5 5 1 20 2 10 2 5 5 1 2. Multiplicamos os fatores primos comuns e no comuns com seus maiores expoentes. 15 = 3 x 5 20 = 2 x 52

em

fatores primos ou

3. O produto ser o m.m.c. procurado: m.m.c. = (15, 20) = 2 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 602

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2.3.4 2 Processo: Decomposio SimultneaPodemos tambm determinar o m.m.c. (fatorao dos nmeros ao mesmo tempo). Exemplo: a) Calcular o m.m.c. (12, 18). Soluo: decompondo os nmeros em fatores primos, teremos: 12 6 3 1 18 9 9 3 1 b) Determinar o m.m.c. (14, 45, 6) 14 7 7 7 7 1 A teno : O m.m.c. de nmeros primos entre si igual ao produto desses nmeros. 45 45 15 5 1 6 3 1 2 3 3 5 7 Portanto o m.m.c. 2 2 x 3 x 5 x 7 ou 2 x 3 x 3 x 5 x 7 = 630 2 2 3 3 Portanto: m.m.c. = 2 x 3 ou 2 x 2 x 3 x 3 = 362 2

atravs

da

decomposio

simultnea

2.4 Exerccio - Mnimo Mltiplo Comum

1) Escreva at 6 mltiplos dos nmeros: a) b) c) d) e) M (3) M (4) M (5) M(10) M(12) = .............................................................. = .............................................................. = .............................................................. = .............................................................. = ..............................................................

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2) Escreva os divisores dos nmeros dados: a) b) c) d) e) 3) D (8) D (12) D (36) D(15) D(24) = .............................................................. = .............................................................. = .............................................................. = .............................................................. = ..............................................................

Escreva um algarismo para que o nmero fique divisvel por 3: A) 134 _________________ b) 73 _____________

4)

Risque os nmeros divisveis: a) por dois: 7120 - 621 - 162 - 615 - 398 - 197 - 1009 - 74 b) por trs: 4414 - 173 - 315 - 222 - 302 - 706 - 207 c) por cinco: 217 - 345 - 1642 - 700 - 325 - 801 - 12434 - 97 d) por dez: 153 - 140 - 1000 - 315 - 304 - 12360 - 712

5) Escreva, no ESPAO INDICADO, um algarismo conveniente para que o nmero formado seja divisvel por: a) dois e trs: 4 0 ____ b) cinco: 5 7 ____ c) cinco e dez: 8 4 ____ d) dois e cinco: 1 5 ____ 6) Determine usando a fatorao: a) m.m.c. (12, 15) = b) m.m.c. (6, 12, 15) = c) m.m.c. (36, 48, 60) =

7) Calcule: a) m.m.c. (5, 15, 35) = b) m.m.c. (54, 72) = c) m.m.c. (8, 28, 36, 42) = d) m.m.c. (4, 32, 64) =

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3 - Fraes3.1 Nmeros Racionais

Consideremos a operao 4 : 5 = ? onde o dividendo no mltiplo do divisor. Vemos que no possvel determinar o quociente dessa diviso no conjunto dos nmeros naturais porque no h nenhum nmero natural que multiplicando por 5 seja igual a 4. A partir dessa dificuldade, o homem sentiu a necessidade de criar um outro conjunto que permite efetuar a operao de diviso, quando o dividendo no fosse mltiplo do divisor. Criou- se, ento, o conjunto dos Nmeros Racionais. Nmero racional todo aquele que escrito na forma inteiros e b diferente de zero. So exemplos de nmeros racionais:

a b

onde a e b so nmeros

1 3 15 36 , , , 5 6 4 37

3.2 Conceito de Frao:Se dividirmos uma unidade em partes iguais e tomarmos algumas dessas partes, poderemos representar essa operao por uma frao. Veja:

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A

figura

foi

dividida

Representamos, ento, assim:

2 3

em

trs

partes

iguais.Tomamos

duas partes.

.

E lemos: dois teros.

O nmero que fica embaixo e indica em quantas partes o inteiro foi dividido, chamase DENOMINADOR. O nmero que fica sobre o trao e indica quantas partes iguais foram consideradas do inteiro, chama-se NUMERADOR.

3.2.1 Leitura e Classificaes das FraesNuma denominador. frao, l-se, em primeiro lugar, o numerador e, em seguida, o

a) Quando o denominador um nmero natural entre 2 e 9, a sua leitura feita do seguinte modo: 1 2 1 4 1 6 1 8 Um oitavo Um sexto Um quarto Um meio 1 3 1 5 1 7 1 9 Um nono Um stimo Um quinto Um tero

b)

Quando o denominador 10, 100 ou 1000, a sua leitura feita palavras dcimo(s), centsimo(s) ou milsimo(s). 1 10 20 1000 Vinte milsimos Um dcimo 7 100 33 100

usando-se

as

Sete centsimos

Trinta e trs centsimos

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Pgina: 19


c) Quando o denominador maior que 10 (e no potncia de 10), l-se o nmero acompanhado da palavra "avos". 1 15 13 85 Treze oitenta e cinco avos Um quinze avos 3 29 43 51 Quarenta e trs cinquenta e um avos Trs vinte nove avos

3.3 Fraes Equivalentes/Classe de Equivalncia.Observe as figuras:

2 3 4 6 6 9

As fraes

2 4 6 , e representam o mesmo valor, porm seus 3 6 9

termos

so

nmeros diferentes. Estas fraes so denominadas Fraes Equivalentes. Para obtermos uma frao equivalente a outra, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo nmero (diferente de zero). Exemplo:

2 10 2 x 5 10 igual a pois = 5 25 5 x5 5

18 6 183 6 igual a pois = 21 7 213 7O conjunto de fraes equivalentes a uma certa frao chama-se CLASSE DE EQUIVALNCIA. Exemplo: Classe de equivalncia de

1 2

= {

1 2

,

2 4

,

3 6

,

4 8

,

5 } 10

Eletromecnica

Pgina: 20


3.4 Nmeros Mistos

Os nmeros mistos so formados por uma parte inteira e uma frao prpria. 1 Inteiro

1 2

Representamos assim: 1 1

2

E lemos: um inteiro e um meio

3.4.1 Extrao de Inteiros o processo de transformao de frao imprpria em nmero misto. Observe a figura:

Podemos representar essa frao de duas maneiras: 1

1 4

ou

5 4

Para transformar

5 em nmero misto, ou seja, para verificar quantas vezes 4

4 cabe em 4

5 , procede-se assim: 4

s dividir o numerador pelo denominador. O quociente ser a parte inteira. O resto ser o numerador e conserva-se o mesmo denominador. 5 4 1 1 1 1 4

Eletromecnica

Pgina: 21


3.4.2 TransformaoImprprias.

de

Nmeros Mistos

em

Fraes

Observe o exemplo e a ilustrao: Transformar 1

1 em frao imprpria. 4

Soluo: Consiste em transformar 1 em quartos e juntar com o outro quarto.

1 4 1 41 5 1 = = = 4 4 4 4 4

5 1 =1 4 4Resumidamente, procede-se assim: Multiplica-se a parte inteira pelo denominador e adiciona-se o numerador ao produto obtido, mantendo-se o denominador.

3.5 Simplificao de FraesSimplificar uma frao significa transforma-la numa frao equivalente com os termos respectivamente menores. Para isso, divide-se o numerador e o denominador por um mesmo nmero natural (diferente de 0 e de 1). Exemplo: Simplificar

8 16 8 82 42 22 1 = = = = 16 162 82 42 2

Quando uma frao no pode mais ser simplificada, diz-se que ela IRREDUTVEL ou que est na sua forma mais simples. Nesse caso, o numerador e o denominador so primos entre si.

3.5.1 Reduo de Fraes ao mesmo DenominadorReduzir duas ou mais fraes ao mesmo denominador significa obter fraes equivalentes s apresentadas e que tenham todas o mesmo nmero para denominador. Exemplo:

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1 2 3 6 8 9 , e so equivalentes a , e respectivamente. 2 3 4 12 12 12Para reduzirmos duas ou mais fraes ao mesmo denominador, seguimos os seguintes passos: 1 - Calcula-se o m.m.c. dos denominadores das fraes que ser o menor denominador comum. 2 - Divide-se o m.m.c. encontrado pelos denominadores das fraes dadas. 3 - Multiplica-se o quociente encontrado em cada diviso pelo numerador da respectiva frao. O produto encontrado o novo numerador. Exemplo: Reduzir ao menor denominador comum as fraes:

1 3 7 , e 2 4 6

Soluo: 1 - m.m.c. (2, 4, 6) = 12 o denominador. 2 1 4 2 1 6 3 3 1 2 12 2 = 6 12 4 = 3 12 6 = 2 3 2 2 3 M.M.C = 2 x 2 x 3 = 12

1x6 6 3x3 9 7 x 2 14 = ..... = ..... = 12 12 12 12 12 12

Portanto:

6 9 14 , , a resposta 12 12 12

3.6 Comparao de Fraes

Comparar duas desigualdade entre elas.Eletromecnica

fraes

significa

estabelecer

uma

relao

de igualdade ou

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3.6.1 Fraes com o mesmo DenominadorObserve: 5 8 1 8 3 8 Percebe-se que :

5 3 1 8 8 8

Ento se duas ou mais fraes tem o mesmo denominador, a maior a que tem maior numerador.

3.6.2 Fraes com o Mesmo NumeradorObserve: 3 16 3 4 3 8 Percebemos que:

3 3 3 16 8 4

Ento: Se duas ou mais fraes tem o mesmo numerador, a maior a que tem menor denominador.

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3.6.3 Fraes com os Numeradores e Denominadores DiferentesObserve: 1 2 2 3 3 4 Para fazer a comparao de fraes com diferentes, reduzem-se as fraes ao mesmo denominador. Exemplo: 2 3 4 2 M.M.C = 2 x 2 x 3 = 12 1 3 2 2 12 2 = 6 3 1 3 12 3 = 4 1 numeradores e denominadores

Portanto temos:

12 4 = 3

1 x 6 2 x 4 3 x3 , , 12 12 12 6 8 9 , 12 12, 12

J aprendemos que comparando fraes com denominadores iguais a maior frao a que tem o maior numerador. Ento:

9 8 6 3 2 1 ou seja , 12 12 12 4 3 2

3.7 Adio e Subtrao de FraesA soma ou diferena de duas fraes uma outra frao, obtida a partir do estudo dos seguintes "casos": 1 As Fraes tem o mesmo Denominador: Adicionam-se ou subtraem-se os numeradores e repete-se o denominador. Exemplo:

2 1 21 3 = = 5 5 5 5

5 3 53 2 = = 7 7 7 72 As Fraes tem Denominadores diferentes. Reduzem-se as fraes ao mesmo denominador, utilizando o M.M.CEletromecnica Pgina: 25


Exemplo:

2 3 2 x 43 x 3 89 17 = = = 3 4 12 12 12

3 3 3 1

4 2 1

2 2 3

M.M.C. 2 x 2 x 3 = 12

3 Nmeros Mistos. Transformam-se os nmeros mistos em fraes imprprias e procede-se como nos 1 e 2 casos. Exemplo:

1 1 2 x 31 1 x 41 61 41 7 5 2 1 = = = 3 4 3 4 3 4 3 4 7 5 7 x 45 x 3 2815 43 = = = 3 4 12 12 123 3 3 1 4 2 1 2 2 3 M.M.C. 2 x 2 x 3 = 12

A teno :

Nas operaes com fraes, conveniente simplificar e extrair os inteiros do resultado sempre que possvel.

3.8 Multiplicao de FraesA multiplicao de duas ou mais fraes igual a uma outra frao, obtida da seguinte forma: O numerador o produto dos numeradores e o denominador o produto dos denominadores. Numa multiplicao de fraes, costuma-se simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetua-la. Exemplo:

2 31 2 1 2 x 1 2 x = x = = 31 5 1 5 1 x 5 5 1 51 3 1 1 3 1 x 1 x 3 3 x x = x x = = 102 6 5 2 6 5 2 x 6 x 5 60

3.9 Diviso de Fraes Ordinrias

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O quociente da diviso de duas fraes uma outra frao obtida da seguinte forma: Multiplica-se a primeira pela frao inversa da segunda. Para isso, exige-se: 1 - Transformar os nmeros mistos em fraes. 2 Inverter a segunda frao. 3 - Simplificar. 4 - Multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. Exemplo:

3 4 3 7 3 x 7 21 = x = = 5 7 5 4 5 x 4 20 4 2 x 74 3 144 1 186 1 6x1 6 2 3= = x = x = = 7 7 1 7 3 7 31 7 x 1 7

A teno : Quando houver smbolo de polegada ou de outra unidade em ambos os termos da frao, esse smbolo deve ser cancelado. Exemplo:

3' ' 5 ' ' 3 82 3 x 2 6 6' ' 1'' = x = = = =1 4 8 41 5 1x5 5 5 5

3.10Partes Fracionrias de um NmeroPara determinar partes fracionrias de um nmero, devemos multiplicar a parte fracionria pelo nmero dado. Exemplo: Quanto vale dois teros de quinze.

2 2 2 x 15 3010 10 de 15= x 15= = = =10 3 3 3 31 1

3.11Fraes - Exerccios1) Observando o desenho, escreva o que se pede:

a) O inteiro foi dividido em ................. partes iguais. b) As partes sombreadas representam ................... partes desse inteiro.

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c) A frao representada : ......................... d) O termo da frao que indica em quantas partes o inteiro foi dividido o.................. e) 2) a) O termo da frao que indica quantas dessas partes foram tomadas o .................. Escreva as fraes representadas pelos desenhos: c)

b)

d)

3) Represente com desenho as seguintes fraes: 7 8 2 3 1 9 5 3

4) Numa pizzaria, Antnio comeu

1 de uma pizza e Larissa comeu 2

2 4

da mesma pizza.

a) Quem comeu mais?......................................................... b) Quanto sobrou da pizza? ................................................ 5) a) Faa a leitura de cada uma das fraes seguintes: 3 4 b) 2 5 c) 1 8

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d)

5 100

e)

23 43

6) Circule as fraes equivalentes a: a)

2 10 3 5 3 4 = , , , , 5 25 4 20 15 10 6 10 3 12 18 7 30 = , , , , , 7 25 4 14 21 9 3 6 12 5 5 3 7 27 = , , , , , 4 8 6 9 2 9 517 9

b)

c)

7) Transforme os nmeros mistos em fraes imprprias: a)

2

b)

3

1 2

c)

12

3 7

d)

3

10 13

8) Extraia os inteiros das fraes: a) b) 13

6e)

16 5 25 11

c) g)

8 3 14 3

d) h)

19 4 17 9

7 2

f)

9) Simplifique as fraes, tornando-as irredutveis: a) b) 2 6

c) g)

4e)

9f)

9 12 27 36

d) h)

12 15 24 32

15 25

18 27

10) Reduza as fraes ao mesmo denominador: a) b) 1 5 1 3

4 6e)

,

8 16f)

,

c) g)

3 6 , 5 8 1 2 5 , , 10 3 2

d) h)

2 1 , 7 9 3 3 , ,4 4 7

1 10 5 , , 4 3 6

1 2 , , 3 3 5

11) Compare as fraes, escrevendo-as em ordem crescente:

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a) c) e)

3 7 1 , , 4 4 4 3 3 3 3 , , , 2 7 6 9 3 7 5 1 , , , 4 3 6 2fraes > ou

b) d) f)

7 2 6 1 , , , 3 3 3 3 7 7 7 , , 2 4 3 6 5 3 7 4 , , , , 3 2 6 2 5cada item, escrevendo, entre elas, os

12) Compare as sinais < ou a)

apresentadas em = : b)

1 5 4 8 9 15

4 5 12 24 3 5

3 2 7 6 2 7

1 2 8 5 4 15

c)

3 4 3 12 1 5

6 87 28

d)

e)

f)

g)

h)

i)

2 9

13) Circule a maior frao: a) d)

3 5 6 10

2 3 3 6

b) e)

2 9 7 6

1 2 7 8

c) f)

3 4 3 12

5 6 5 12

12) Circule as fraes menores do que um inteiro:

1 9 2 8 3 9 3 , , , , , , 3 8 12 12 4 5 2313) Observe as figuras e escreva as fraes representadas:

Complete:

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Essas fraes representam o mesmo valor, porm seus termos so nmeros diferentes. Essas fraes so denominadas ................................................. 14) Numere a 2 coluna de acordo com a frao equivalente na 1 : a) ( ) 6 28a a

9b) c) d) e)

32( ( ( ( ) ) ) )

1 2 7 8 1 4 5 8

25 40 16 64 2 3 12 15 100 128 202 432 81 105

15) Torne as fraes irredutveis: a) 24

b) d) f)

32c) e)

12 15 48 64 4 6 18 24

16) Circule as fraes irredutveis:

1 4

7 8

12 15

1 8

12 13

17) Determine a soma: a) 3 7 1

4 4 4 3 3 2 7 3 5 3 4 6

b) d) f)

7 2 6 1 3 3 3 3 7 1 7 2 4 3 6 5 3 7 3 2 6

c) e)

18) Efetue as adies e simplifique o resultado quando possvel: a) b) 2 1 1 4

4c)

2

4d)

3

9

9

3 3 5 2 7

2 1 7 3 7 4 11

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e)

1 6 2 1 7 9

f)

3

6 5 1 2 1 13 11 6 2

19) Quanto falta a cada frao para completar a unidade? Exemplo: a) c)

5 8 5 3 = 8 8 8 8b) d)

1 4 12 27

13 16 17 64

20) Efetue as subtraes indicadas: a) c) e)

15 3 10 10 2 1 3 4 3 5 6

b) d) f)

3 2 9 9 3 2 4 1 13 2 1 1 1 2 3

21) Resolva: a) c) e)

3 3 x 4 2 3 5 2 x x 4 3 61 1 x x 3 3 2

b) d) f)

7 3 x 3 5 6 10 3 x x 4 9 2 2 3 2 x 28 x x x4 7 4 14

22) Qual o comprimento resultante da emenda de 16 barras em sentido longitudinal medindo cada uma

5

3'' ? 4

23) Calcule: a) c)

3 3 4 2 3 1 2 4 3

b) d)

7 3 5 5 3 10 3 5 11

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e) g) i)

2 1 3 1 5 11 1 de 32 5 5 de 350 7

f) h) j)

1 3 5 2 7 13 3 de 49 7 1 de 300 3

24) Leia com ateno os problemas e resolva: a) Um com carro percorre 8 Km com 1 litro de gasolina.Quantos quilmetros percorrer

10

1 2 lit r os?

b)

Um vendedor tinha 4.850 parafusos e vendeu

3 5 deles. Ele

quer

colocar

o

restante, igualmente em 10 caixas. Quanto deve colocar em cada caixa?

c)

Coloquei

6 12 de minhas ferramentas em uma caixa,

2 4 em outra caixa e o

restante deixei fora das caixas. Pergunta-se: Que parte de ferramentas ficou fora das caixas?

d) Joo encheu o tanque do seu carro.

Gastou

2 5

da gasolina para trabalhar e

1 5

para passear no final de semana. Quanto sobrou de gasolina no tanque? e) Numa oficina havia 420 veculos, oficina? f) Em uma caixa, os lpis esto assim distribudos:

1 eram caminhes. Quantos caminhes haviam na 4

1 eram lpis vermelhos; 2 1 correspondem aos lpis azuis; 5 1 aos de cor preta. 4Que frao corresponde ao total de lpis na caixa?

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25) Lus percorreu

3 da distncia entre sua casa e seu trabalho. Sabendo-se que a distncia 4

entre a casa de Lus e o seu trabalho de 1.200m, quanto falta para Luis percorrer at chegar ao trabalho? a) ( ) 900m. b) ( ) 1.600 m c) ( ) 600m. d) ( ) 300 m

26) Dividiu-se uma chapa de ferro de cada corte

10

1' ' 8

em 5 pedaos iguais, perdendo-se em

1' ' 32 . Qual o comprimento de cada pedao?a)

2

1'' 2

b) 1'' c) 2'' d)

1

1' ' 16

27) Qual das fraes abaixo a menor: a)

6' ' 5

b)

7' ' 3

c)

3' ' 9

d)

5' ' 2

28) Qual das solues abaixo est incorreta: a)

1 3 2 = 2 2 4

b)

8 5 1 = 4 3 3 6 3 1 1 x 2 = 4 8 2 8 3 . 5 2 1 15 = 2 2

1 6

c)

d)

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4 - Nmeros Decimais4.1 Conceito e Leitura

J estudamos que uma frao decimal, quando o seu denominador o nmero 10 ou potncia de 10. Exemplos:

5 L-se cinco dcimos; 10 45 L-se quarenta e cinco milsimos; 1000

As fraes decimais podem ser representadas atravs de uma notao decimal que mais conhecida por "nmero decimal". Exemplos:

1 = 0,1 L-se um dcimo; 10 1 =0,01 L-se um centsimo; 100 1 =0,001 L-se um milsimo; 1000Essa representao decimal de um nmero fracionrio obedece ao princpio da numerao decimal que diz: "Um algarismo escrito direita de outro representa unidades dez vezes menores que as desse outro.Milhar ... 1000 Centena 100 Dezena 10 Unidade Simples 1 Dcimo 0,1 Centsimo 0,01 Milsimo 0,001 ...

Em um nmero decimal:Eletromecnica Pgina: 35


Os algarismos escritos esquerda da vrgula constituem a parte inteira. Os algarismos que ficam direita da vrgula constituem a parte decimal. Exemplo: Parte inteira

12,63

Parte decimal

L-se doze inteiros e sessenta e trs centsimos. Para fazer a leitura de um nmero decimal, procede-se da seguinte maneira: 12Enuncia-se a parte inteira, quando existe. Enuncia-se o nmero formado pelos algarismos da parte decimal, o nome da ordem do ltimo algarismo. acrescentando

Exemplos: a) 0,438 - L-se: quatrocentos e trinta e oito milsimos. b) 3,25 - L-se: trs inteiros e vinte cinco centsimos. c) 47,3 - L-se: quarenta e sete inteiros e trs dcimos.

Observaes: 1- O nmero decimal no muda de valor se acrescentarmos ou suprimirmos zeros direita do ltimo algarismo. Exemplo: 0,5 = 0,50 = 0,500 2- Todo nmero natural pode ser escrito na forma de nmero decimal, colocando-se a vrgula aps o ltimo algarismo e zero (s) a sua direita. Exemplo: 34 = 34,000 1512 = 1512,00

4.2 Transformao de Frao Decimal em Nmero DecimalPara escrever qualquer nmero fracionrio decimal, na forma de "Nmero Decimal", escreve-se o numerador da frao com tantas casas decimais quantos forem os zeros do denominador. Exemplos: a)

25 =2,5 10 135 =0,135 1000

b)

43 =0,043 1000 2343 =23,43 100

c)

d)

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4.3 Transformao de Nmero Decimal em Frao DecimalPara transformar um nmero decimal numa frao decimal, escrevem-se no numerador os algarismos desse nmero e no denominador a potncia de 10 correspondente quantidade de ordens (casas) decimais. Exemplos: a)

0,34= 5,01=

34 100 501 100d)

b)

0,037=

37 1000

c)

21,057=

21057 1000

4.4 Operaes com Nmeros Decimais

4.4.1 Adio e SubtraoPara adicionar ou subtrair dois nmeros decimais, escreve-se um abaixo do outro, de tal modo que as vrgulas se correspondam (numa mesma coluna) e adicionam-se ou subtraem-se como se fossem nmeros naturais. Observaes: Costuma-se algarismo. completar as ordens 3,970 + 47,502 51,472 4,510 - 1,732 2,778 decimais com zeros direita do ltimo

Exemplos: a) 3,97 + 47,502 = 51,472

b) 4,51 - 1,732 = 2,778

No caso de adio de trs ou mais parcelas, procede-se da mesma forma que na de duas parcelas. Exemplos: 4,310 5,200 + 17,138 26,648

4.4.2 Multiplicao

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Para multiplicar nmeros decimais, procede-se da seguinte forma: 1 Multiplicam-se os nmeros decimais, como se fossem naturais; 2 No produto, coloca-se a vrgula contando-se da direita para a esquerda, um nmero de ordens decimais igual soma das ordens decimais dos fatores. 0,012 x 1 ,2 0024 + 0012 0,0144 3 ordens decimais + 1 ordem decimal 4 ordens decimais

Exemplo: 0,012 x 1,2 =

Para multiplicar um nmero decimal por 10, 100, 1000 ..., desloca-se a vrgula para a direita tantas ordens quantos forem os zeros do multiplicador. Exemplos: a) c) 2,35 10 = 23,5 b) 43,1 100 = 4310

0,3145 1000 = 314,5

Para multiplicar trs ou mais fatores, multiplicam-se os dois primeiros; o resultado obtido multiplica-se pelo terceiro e assim por diante at o ltimo fator. Exemplo: 0,2 0,51 0,12 = 0,01224

4.4.3 DivisoPara efetuarmos a diviso entre nmeros decimais procedemos do seguinte modo: 1) igualamos o nmero de casas decimais do dividendo e do divisor acrescentando zeros; 2) eliminamos as vrgulas; 3) efetuamos a diviso entre os nmeros naturais obtidos.

A teno : Se a diviso no for exata, para continua-la colocamos um zero direita do novo dividendo e acrescenta-se uma vrgula no quociente.

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1 Exemplo: 3,927 2,31 = 1,7

3,927- 2 310 16170 - 16170 0 2 Exemplo: 47,76 24 = 1,99

2,310 1,7

47,76- 24 00 23 76 0 - 21 60 0 216 0 0 - 216 0 0 0

24,00 1,99

Para dividir um nmero decimal por 10, 100 ou 1000 ..., desloca-se a vrgula no dividendo para a esquerda tantas ordens quantos forem os zeros do divisor. Exemplos: a) Dividir 47,235 por 10, basta deslocar a vrgula uma ordem para esquerda. 47,235 10 = 4,7235 b) Dividir 58,4 por 100, basta deslocar a vrgula duas ordens para a esquerda. 58,4 100 = 0,584 Quando a diviso de dois nmeros decimais no exata, o resto da mesma ordem decimal do dividendo original. Exemplo: 39,276 0,7 = 56,108 resto 0,004

39,276- 35 00 4 276 - 4 200 76 0 - 70 0 60 0 60 0 0 - 56 0 0 400

0,700 56,108

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4.5 Nmeros Decimais - Exerccios

1)

Escreva com algarismos, os seguintes nmeros decimais: a) b) c) d) e) Um inteiro e trs dcimos .............................................. Oito milsimos ............................................................... Quatrocentos e cinqenta e nove milsimos ................. Dezoito inteiros e cinco milsimos ................................. Vinte cinco inteiros e trinta e sete milsimos .................

2) Represente em forma de nmeros decimais: a) b) c) d) 97 centsimos = 8 inteiros e 5 milsimos = 2 inteiros e 31 centsimos = 475 milsimos =

3) Observe os nmeros decimais e complete com os sinais:

>a) b) c) d) e) 1,789 3,78 4,317 42,05 8,7

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