ELETROMECANICA - CALCULO TECNICO

7/29/2019 ELETROMECANICA - CALCULO TECNICO

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Usando unidadesde medida

Quando algum vai loja de autopeaspara comprar alguma pea de reposio, tudo que precisa dizer o nome dapea, a marca do carro, o modelo e o ano de fabricao. Com essas informa-

es, o vendedor capaz de fornecer exatamente o que a pessoa deseja empoucos minutos.

Isso acontece devido normalizao, isto , por causa de um conjunto denormas estabelecidas de comum acordo entre fabricantes e consumidores. Essasnormas simplificam o processo de produo e garantem um produto confivel,que atende s necessidades do consumidor.

Um dos dados mais importantes para a normalizao exatamente aunidade de medidaunidade de medidaunidade de medidaunidade de medidaunidade de medida. Graas a ela, voc tem certeza de que o parafuso quebradoque prendia a roda de seu carro poder ser facilmente substitudo, uma vez que fabricado com unidades de medida tambm padronizadas.

Na Mecnica, o conhecimento das unidades de medida fundamental para

a realizao de qualquer tarefa especfica nessa rea.Por exemplo, vamos fazer de conta que voc um torneiro e recebeu odesenho de uma pea para fabricar. No desenho, voc nota que no est escritaa unidade de medida usada pelo desenhista. Voc sabe por qu? No? Entoestude esta lio, porque nela daremos a resposta a essa e a outras perguntas quetalvez voc tenha sobre este assunto.

O milmetro

Em Matemtica, voc j aprendeu que, para medir as coisas de modo que todosentendam, necessrio adotar um padro, ou seja, uma unidade de medidauma unidade de medidauma unidade de medidauma unidade de medidauma unidade de medida.

Em Mecnica, a unidade de medida mais comum o milmetromilmetromilmetromilmetromilmetro,,,,,cuja abrevi-ao m mm mm mm mm m. Ela to comum que, em geral, nos desenhos tcnicos, essa abreviao(mm) nem aparece.

O milmetro a milsima parte do metro, ou seja, igual a uma parte do metroque foi dividido em 1.000 partes iguais.Provavelmente, voc deve estar pensando:Puxa! Que medida pequenininha! Imagine dividir o metro em 1.000 partes!.

Pois, na Mecnica, essa unidade de medida ainda considerada enorme,quando se pensa no encaixe de precisoencaixe de precisoencaixe de precisoencaixe de precisoencaixe de preciso, como no caso de rolamentos, buchas,eixos. E essa unidade maior ainda para instrumentos de medio, comocalibradores ou blocos-padro.

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O problema

Nossa aula


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Assim, a Mecnica emprega medidas ainda menores que o milmetro, comomostra a tabela a seguir.

SUBMLTIPLOSSUBMLTIPLOSSUBMLTIPLOSSUBMLTIPLOSSUBMLTIPLOSD OD OD OD OD O REPRESENTAOREPRESENTAOREPRESENTAOREPRESENTAOREPRESENTAO CORRESPONDNCIACORRESPONDNCIACORRESPONDNCIACORRESPONDNCIACORRESPONDNCIAMILMETROMILMETROMILMETROMILMETROMILMETRO

Dcimo de milmetro 0,1 mm 1

10

Centsimo de milmetro 0,01 mm 1

100

Milsimo de milmetro 0,001mm (1mm) 1

1000

Na prtica, o milsimo de milmetro tambm representado pela letragrega m (l-se mi). Assim, o milsimo de milmetro pode tambm ser chamadode micrometromicrometromicrometromicrometromicrometro ou, simplesmente, de mcronmcronmcronmcronmcron (0,001 mm = 1 mm = 1m).

bom estudar os assuntos passo a passo, para no perder nenhumainformao. Por isso, vamos propor um exerccio bem fcil, para voc fixar asinformaes que acabamos de lhe dar.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Identifique as medidas, escrevendo 1, 2, 3 ou 4 nos parnteses.( 1 ) milmetros ( )0,5 mm( 2 ) dcimos de milmetro ( )0,008 mm( 3 ) centsimos de milmetro ( )3 mm( 4 ) milsimos de milmetro ( )0,04 mm

( )0,6 mm( )0,003 mm

A polegada

A polegada outra unidade de medida muito utilizada em Mecnica,principalmente nos conjuntos mecnicos fabricados em pases como os EstadosUnidos e a Inglaterra.

Embora a unificao dos mercados econmicos da Europa, da Amrica e dasia tenha obrigado os pases a adotarem como norma o Sistema Mtrico

Decimal, essa adaptao est sendo feita por etapas. Um exemplo disso so asmquinas de comando numrico computadorizado, ou CNC -Computer NumericalControl, que vm sendo fabricadas com os dois sistemas de medida. Isso permiteque o operador escolha o sistema que seja compatvel com aquele utilizado emsua empresa.

Por essa razo, mesmo que o sistema adotado no Brasil seja o sistema mtricodecimal, necessrio conhecer a polegada e aprender a fazer as converses parao nosso sistema.

A polegada, que pode ser fracionria ou decimal, uma unidade de medidaque corresponde a 25,4 mm.

Tente voctambm


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Observe que, na rgua de baixo, os nmeros aparecem acompanhados deum sinal (). Esse sinal indica a representao de uma medida em polegada ouem frao de polegada.

Da mesma forma que o milmetro uma unidade de medida muito grandepara a Mecnica e, por isso, foi dividido em submltiplos, a polegada tambm

foi dividida. Ela tem subdivises que podem ser usadas nas medidas de peas depreciso.

Assim, a polegada foi dividida em 2, 4, 8, 16, 32, 64 e 128 partes iguais. Nasescalas graduadas em polegada, normalmente a menor diviso corresponde a1/16". Essas subdivises so chamadas depolegadas fracionriaspolegadas fracionriaspolegadas fracionriaspolegadas fracionriaspolegadas fracionrias.....

D mais uma olhada na figura acima. Voc deve ter percebido que a es-cala apresenta as fraes 1/8", 1/4", 3/8"... e assim por diante. Observe que osnumeradores das fraes so sempre nmeros mpares. Como se chegou aessas fraes?

Para obter essa resposta, vamos representar uma escala de uma polegada decomprimento e verificar como as subdivises foram feitas:

Voc que estudou fraes em Matemtica j sabe que algumas das que estona escala mostrada acima podem ser simplificadas. Por exemplo:

Esse procedimento realizado at obtermos a frao final da escala. Osresultados dos exemplos acima mostram as subdivises mais comuns dapolegada fracionria.

2 2

16 2=

1

8

"

8 8

16 8=

1

2

"


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Para medidas menores, o procedimento ser o mesmo. As subdivises soobtidas a partir da diviso de 1/16", e seus valores em ordem crescente sero:

A representao da polegada em forma decimal to usada na Mecnicaquanto a fracionria. Ela aparece em desenhos, aparelhos de medio, como opaqumetro e o micrmetro, e permite medidas menores do que a menor medidada polegada fracionria, que 1/128".

Umapolegada decimalpolegada decimalpolegada decimalpolegada decimalpolegada decimal equivale a uma polegada fracionria, ou seja,25,4 mm. A diferena entre as duas est em suas subdivises: em vez de ser

subdividida em fraes ordinrias, a polegada decimal dividida em partesiguais por 10, 100, 1.000 etc.

A diviso mais comum por 1.000. Assim, temos, por exemplo:1/2" correspondente a 0,5" (ou 5 dcimos de polegada)1/4" correspondente a 0,25" (ou 25 centsimos de polegada)1/8" correspondente a 0,125" (ou 125 milsimos de polegada)

Transformao de unidades de medida

Voc deve estar pensando que entender o que o milmetro e suas subdivi-ses, bem como o que a polegada e como ela est dividida, no muito difcil.Provavelmente o que voc deve estar se perguntando agora : E se eu tiver umamedida em polegadas e precisar saber quanto isso vale em milmetros e vice-versa?.

Esse clculo necessrio, por exemplo, quando um operador recebe mate-riais cujas dimenses esto em polegadas e precisa construir uma pea oudispositivo cujo desenho apresenta as medidas em milmetros ou fraes demilmetros, o que bastante comum na indstria mecnica.

Transformando polegadas em milmetrosTransformando polegadas em milmetrosTransformando polegadas em milmetrosTransformando polegadas em milmetrosTransformando polegadas em milmetros

Vamos comear pelo mais fcil, ento. Para transformar uma medida dada

em polegadas para milmetros, basta apenas multiplicar a frao por 25,4 mm.Veja como isso fcil nos exemplos a seguir.

a)a)a)a)a) Voc tem em casa uma furadeira e um conjunto de brocas medidas emmilmetros. Para instalar a secadora de roupas de sua me, necessrio fazerum furo na parede de 5/16". Qual a medida da broca que voc precisa parafazer o furo?

5

16

" 25,4ou

5 25,4

16=

127

16= 7, 937 mm

1

128

";

1

64

";

3

128

";

1

32

";

5

128

";

3

64

";

7

128

";

1

16

";

128

1 "

64

1 "

128

3 "

32

1 "

128

5 "

64

3 "

128

7 "

16

1 "


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Portanto, 5/16" corresponde a 7,937 mm. Como o seu conjunto de brocascertamente no possui uma broca com essa medida, voc dever usar aquela cujamedida mais se aproxime desse resultado, ou seja, 8 mm.

b)b)b)b)b) Voc recebeu um material cilndrico com dimetro de 3/8" e precisa torne-lo de modo que fique medindo 8 mm de dimetro. Quantos milmetrosdevero ser desbastados?

3

8

" 25,4 ou

3 25,4

8=

76,2

8= 9, 525 mm

Logo, 3/8" = 9,525 mm

Como o dimetro pedido 8 mm, necessrio fazer a subtrao para saberquanto do material dever ser desbastado.

9,525 - 8 = 1,525 mm

Portanto, voc dever desbastar 1,525 mm no dimetro.

Para ver se voc entendeu o que acabamos de explicar, faa os clculospropostos no exerccio seguinte.

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Na gaveta do ajustador mecnico existem chaves de boca, limas e brocas commedidas em polegadas. Transforme as medidas em polegas para milmetros:

Chaves de boca deChaves de boca deChaves de boca deChaves de boca deChaves de boca de

a)a)a)a)a) 12

"

Soluo:1

2

" 25,4 =

25,4

2=

b)b)b)b)b)7

16

"

Soluo:7

16

" 25,4 =

c)c)c)c)c)3

4

"

Soluo:3

4

"

d)d)d)d)d)7

8

"

Soluo:

Tente voctambm


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Limas de 8", 10" e 12"Limas de 8", 10" e 12"Limas de 8", 10" e 12"Limas de 8", 10" e 12"Limas de 8", 10" e 12"

a)a)a)a)a) 8" x 25,4 =b)b)b)b)b) 10" xc)c)c)c)c) 12"

Brocas deBrocas deBrocas deBrocas deBrocas de1

16

",1

8

",1

4

"

a)a)a)a)a)1

16

"

b)b)b)b)b)1

8

"

c)c)c)c)c)1

4

"

Transformando milmetros em polegadasTransformando milmetros em polegadasTransformando milmetros em polegadasTransformando milmetros em polegadasTransformando milmetros em polegadas

Para transformar uma medida em milmetros para polegadas, voc vaiprecisar aplicar mais alguns de seus conhecimentos de operaes aritmticas esimplificao de fraes.

Esse processo de transformao de medidas tem os seguintes passos:

1.1.1.1.1. Multiplique o valor em milmetros por 128.2.2.2.2.2. Divida o resultado por 25,4.3.3.3.3.3. Monte a frao de modo que o resultado dessa diviso corresponda ao

numerador da frao da polegada. O denominador sempresempresempresempresempre 128.4.4.4.4.4. Simplifique a frao resultante.

Parece difcil? Vamos a um exemplo, transformando 12,7mm em pole-gada fracionria.

1.1.1.1.1. Multiplicao de 12,7 por 128.12,7 x 128 = 1.625,6

2.2.2.2.2. Diviso do resultado por 25,4.1.625,6 25,4 = 64

3.3.3.3.3. Montagem de frao.

Numerador da frao: 64

Denominador: 128

A frao resultante :64

128

4.4.4.4.4. Simplificao da frao.

64 2

128 2=

32 2

64 2=

16 2

32 2=

8 2

16 2=

4 2

8 2=

2 2

4 2=

1

2

"

Portanto, 12,7 mm = 1/2".


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Tente voctambm

Reforce o que voc aprendeu no exerccio a seguir.

Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3No almoxarifado de uma empresa mecnica existem os seguintes materiais:a)a)a)a)a) barra de ao quadrada de 19,05mm de lado;b)b)b)b)b) barra de ao redonda de 5,159mm de dimetro;c)c)c)c)c) chapa de alumnio de 1,588mm de espessura;d)d)d)d)d) chapa de ao de 24,606mm de espessura.

Converta essas medidas para polegada fracionria.

a)a)a)a)a) Soluo: 19,05 128 = ..............................

25,4 = ..............................

128=

b)b)b)b)b) Soluo: 5,159 c)c)c)c)c) Soluo: 1,588

d)d)d)d)d) Soluo: 24,606

Transformando polegada fracionria em decimalTransformando polegada fracionria em decimalTransformando polegada fracionria em decimalTransformando polegada fracionria em decimalTransformando polegada fracionria em decimal

Vamos supor agora que o desenho que voc recebeu tem as medidas empolegadas fracionrias e o seu instrumento de medida est em polegada decimal.Nesse caso, voc vai ter de fazer a converso das medidas. Para isso, basta apenasdividir o numerador da frao por seu denominador.

Como exemplo, vamos converter 3/4" para polegada decimal. Efetuando-se a diviso 3

4 = 0,75. Esse resultado corresponde a 0,750".

Faa os clculos a seguir para reforar seu aprendizado.

Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Converta as seguintes medidas para polegada decimal.

a)a)a)a)a)1

16

"

Soluo: 1 16 =

b)b)b)b)b)13

32

"

c)c)c)c)c)1

2

"

d)d)d)d)d)1

8

"

e)e)e)e)e)15

32

"

Tente voctambm


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Teste o que

voc aprendeu

Transformando polegada decimal em fracionriaTransformando polegada decimal em fracionriaTransformando polegada decimal em fracionriaTransformando polegada decimal em fracionriaTransformando polegada decimal em fracionria

Para converter polegada decimal em fracionria, basta transformar a pole-gada decimal em uma frao na qual o numerador o valor que voc querconverter, multiplicado por 10, 100, 1.000 etc.

O denominador o nmero que voc usou na multiplicao (10, 100, 1.000etc.), dependendo do nmero decimal a ser convertido. Aps a montagem dafrao, procede-se sua simplificao.

Por exemplo, se voc quiser converter 0,5" (cinco dcimosdcimosdcimosdcimosdcimosde polegada) empolegada fracionria, voc ter:

0, 510

10=

5

10

Simplificando, voc ter:

5 5

10 5=

1

2

"

Se voc tivesse 0,625" (seiscentos e vinte e cincomilsimosmilsimosmilsimosmilsimosmilsimos de polegada), suafrao seria:

0,6251000

1000=

625

1000

Simplificando a frao, voc tem5

8

".

Faa o exerccio a seguir.

Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Converta as seguintes medidas para polegada fracionria:

a)a)a)a)a) 0,0625"Soluo: 0,0625''

10000

10000=

Simplificando:b)b)b)b)b) 0,125"

Soluo: 0,125'' Simplificando:

c)c)c)c)c) 0,40625"d)d)d)d)d) 0,500"e)e)e)e)e) 0,9375"

Agora que voc j estudou as unidades de medida mais utilizadas na rea da

Mecnica e as possibilidades de transformao que elas oferecem, vamos fazermais alguns exerccios para que voc fique ainda mais por dentro do assunto.

Lembre-se de que essas unidades de medida geralmente apresentam nme-ros decimais, ou seja, com vrgula. Voc no pode esquecer que, quando sorealizados clculos com esse tipo de nmero, muito cuidado deve ser tomadocom relao posio da vrgula.

Releia toda a lio e faa os exerccios a seguir. So problemas comuns do dia-a-dia de uma empresa mecnica. As respostas de todos eles esto no final dolivro. Corrija voc mesmo os exerccios e, aps fazer uma reviso na lio, refaaaqueles que voc errou.

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Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6O inspetor de qualidade precisava calcular o comprimento da pea abaixo.Qual foi o resultado que ele obteve?

Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Qual o dimetro externo xxxxx da arruela desta figura?

Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Qual a medida da cota D no desenho abaixo?


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Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Determine a cota xxxxx do seguinte desenho.

Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Determine a distncia A no desenho a seguir.

Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Determine o nmero de peas que pode ser obtido de uma chapa de 3 mde comprimento, sendo que cada pea deve ter 30 mm de comprimento eque a distncia entre as peas deve ser de 2,5 mm.


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Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Um mecnico precisava medir a distncia xxxxx entre os centros dos furos dapea representada abaixo. Qual foi a medida obtida?

Exerccio 13Exerccio 13Exerccio 13Exerccio 13Exerccio 13Converta para polegadas decimais os valores em polegadas fracionriasdados a seguir.a)a)a)a)a) 5/16"b)b)b)b)b) 3/8"c)c)c)c)c) 3/4"

Exerccio 14Exerccio 14Exerccio 14Exerccio 14Exerccio 14Converta para polegadas fracionrias os valores de polegadas decimaisdados a seguir.a)a)a)a)a) 0,125"b)b)b)b)b) 0,875"c)c)c)c)c) 0,250"


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Calculando adilatao trmica

Existem muitas empresas que fabricam e mon-tam conjuntos mecnicos. Nessa atividade, muitas vezes necessrio fazerencaixes com ajuste forado, ou seja, encaixes em que a medida do furo menor

do que a medida do eixo, como em sistemas de transmisso de movimento.Vamos supor que voc trabalhe em uma empresa como essa e que sua tarefa

seja montar conjuntos com esse tipo de ajuste. Como possvel conseguir umencaixe forado sem que as peas componentes do conjunto sejam danificadas?

Este o problema que teremos de resolver nesta aula.

Dilatao trmica

O encaixe forado no nenhum milagre. Ele apenas o resultado daaplicao de conhecimentos de dilatao trmica.

Dilatao trmica a mudana de dimenso, isto , de tamanho, que todosos materiais apresentam quando submetidos ao aumento da temperatura.Por causa dela, as grandes estruturas de concreto, como prdios, pontes e

viadutos, so construdas com pequenos vos, ou folgas, entre as lages, para queelas possam se acomodar nos dias de muito calor.

Por que isso acontece? Porque, com o aumento da temperatura, os tomosque formam a estrutura dos materiais comeam a se agitar mais e, por isso,ocupam mais espao fsico.

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O problema

Nossa aula


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A dilatao trmica ocorre sempre em trs dimenses: na direo do compri-mento, da largura e da altura.

Quando a dilatao se refere a essas trs dimenses, ao mesmo tempo, ela chamada de dilatao volumtricavolumtricavolumtricavolumtricavolumtrica. Se apenas duas dimenses soconsidera-das, a dilatao superficialsuperficialsuperficialsuperficialsuperficial. Quando apenas uma das dimenses considerada,ela chamada de linearlinearlinearlinearlinear.

Esta variao de tamanho que os materiais apresentam quando aquecidosdepende de uma constante caracterstica de cada material. Essa constante conhecida por coeficiente de dilatao trmica, representada pela letra grega a.E um dado que se obtm na tabela a seguir.

TABELATABELATABELATABELATABELAD ED ED ED ED ECOEFICIENTESCOEFICIENTESCOEFICIENTESCOEFICIENTESCOEFICIENTESD ED ED ED ED EDILATAODILATAODILATAODILATAODILATAOTRMICATRMICATRMICATRMICATRMICAP O RP O RP O RP O RP O RCCCCC

MATERIALMATERIALMATERIALMATERIALMATERIAL COEFICIENTECOEFICIENTECOEFICIENTECOEFICIENTECOEFICIENTED ED ED ED ED EDILATAODILATAODILATAODILATAODILATAOLINEARLINEARLINEARLINEARLINEAR

Ao 0,000 012Alumnio 0,000 024Antimnio 0,000 011Chumbo 0,000 029Cobre 0,000 017Ferro fundido 0,000 010 5Grafite 0,000 007 8Ouro 0,000 014Porcelana 0,000 004 5Vidro 0,000 000 5

Mas voc deve estar se perguntando: Onde o encaixe forado entra nisso? muito simples: vamos usar o fato de que os materiais em geral, e o ao em

particular, mudam de dimenses quando aquecidos, para realizar o ajusteforado. Para isso, voc aquece a pea fmea, ou seja, a que possui o furo (porexemplo, uma coroa), que se dilatar. Enquanto a pea ainda est quente, vocmonta a coroa no eixo. Quando a coroa esfriar, o ajuste forado estar pronto.

O que voc vai ter de saber, para fazer isso corretamente, qual atemperatura adequada para obter a dilatao necessria para a montagemdo conjunto.

Clculo de dilatao trmica

Para fins de clculo, voc dever considerar apenas a dilatao linear,pois o que nos interessa apenas uma medida, que, nesse caso, o dimetrodo furo.

Para o clculo, voc precisa aplicar a frmula: DL =L =L =L =L = a Li Li Li Li Li Dttttt, em queDLLLLL o aumento do comprimento; a o coeficiente de dilatao linear; LiLiLiLiLi amedida inicial e Dttttt a variao da temperatura.


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Voltemos, ento, empresa citada no incio da aula. Vamos supor que voctenha de montar o conjunto abaixo.

Nesse conjunto, o dimetro do furo da coroa dever ser 0,05 mm menordo que o dimetro do eixo. Seu problema descobrir a quantos graus a coroadeve ser aquecida para se obter o encaixe com o aperto desejado.

Voc j sabe que tem de aplicar a frmula DL = a Li Dt. Voc sabe tambmque o elemento que dever ser aquecido a coroa (que tem o furo). O valor obtidopara a variao de temperatura (Dt) o valor que dever ser somado tempera-

tura que a coroa tinha antes de ser aquecida. Essa temperatura chamada detemperatura ambiente. Vamos supor que a temperatura ambiente seja 20 C.

Primeiro, voc analisa as medidas do desenho. A medida disponvel odimetro do eixo. Porm, a medida que voc precisa para o clculo o dimetrodo furo da coroa. Como o dimetro do furo da coroa deve ser 0,05 mm menor doque o dimetro do eixo, a medida necessria o dimetro do eixo menos 0,05 mm,ou seja:

Li = 50 - 0,05 = 49,95 mm

Outro dado de que voc precisa o valor do coeficiente de dilatao para oao. Este voc encontra na tabela que j apresentamos nesta aula. Esse valor 0,000 012.

E, por ltimo, voc tem DL, que 0,05 mm.

Ento, voc monta a frmula: Dt =DL

a Li

Recordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprender

Lembre-se de que, em Matemtica, uma frmula pode ser reescrita parase descobrir o valor procurado. Para isso, voc tem de isolar o elementocujo valor voc no conhece. Assim, a frmula original DL = a Li Dt

pode ser reescrita:

Dt =DL

a Li

Substituindo os elementos da frmula pelos valores, voc ter:

Dt =0,05

0,000012 49,95

Dt =0,05

0,0005994

Dt = 83,4C


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Assim, para obter o encaixe com ajuste forado desse conjunto, voc precisaaquecer a coroa temperatura de 83,4C mais 20C da temperatura ambiente.Logo, a coroa dever ser aquecida a 103,4C.

Exercitar o que estudamos essencial para o aprendizado. Leia novamentea aula, acompanhando a realizao do clculo passo a passo. Depois faa osexerccios que propomos a seguir.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Uma pea de ao de 250 mm de comprimento em temperatura ambiente(25C) foi aquecida a 500C. Qual foi o aumento do comprimento da peaaps o aquecimento? Considere a variao de temperatura (Dt = 500 - 25).Soluo:DL=?a= 0,000012Li=250Dt=475DL=0,000012 250 475

DL=

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Qual ser o DL, em mm, de um eixo de ao de 2 m de comprimento, se elesofrer uma variao de temperatura (Dt) de 60C?Soluo:DL= ?a= 0,000012Li=2 mDt=60CDL=

Os exerccios a seguir tm a finalidade de desafiar voc a mostrar que realmenteaprendeu o que acabamos de lhe ensinar. Faa-os com ateno e, em caso dedvida, volte aos exemplos da lio antes de prosseguir.

Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3A que temperatura foi aquecida uma pea de alumnio de 300 mm decomprimento e que sofreu um aumento de comprimento (DL) de 0,5 mm?Temperatura ambiente = 26C.

Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Calcule quais sero as medidas indicadas no desenho abaixo, aps o aque-

cimento (Dt = 34,5C) da pea que ser fabricada com alumnio.

Tente voctambm

Teste o quevoc aprendeu


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3

6

C=

30

B = 50

Vamos supor que voc seja dono de umapequena empresa mecnica e algum lhe encomende 10.000 peas defixao, que devero ser fabricadas por dobramento de chapas de ao. O seu

provvel c liente, alm de querer uma amostra do produto que voc fabrica,certamente tambm desejar saber quanto isso vai custar.

Um dos itens do oramento que voc ter de fazer corresponde ao custo damatria-prima necessria para a fabricao das peas.

Para obter esta resposta, voc ter de calcular o comprimento de cada peaantes de elas serem dobradas, j que voc vai trabalhar com chapas.

Como resolver este problema?

Peas dobradas

Calcular o comprimento das peas antes que sejam dobradas, no umproblema to difcil de ser resolvido. Basta apenas empregar conhecimentos deMatemtica referentes ao clculo de permetro.

Recordar aprenderPermetro a medida do contorno de uma figura geomtrica plana.

Analise o desenho abaixo e pense em um modo de resolver o problema.

Calculando o

comprimento de peasdobradas ou curvadas

3

A U L A

Nossa aula

O problema

A C

B

50 6

30


17/112

A U L A

3

O que voc viu na figura? Basicamente, so trs segmentos de reta (A, B, C).A e C so iguais e correspondem altura da pea. B, por sua vez, a base. O quepode ser feito com eles em termos de clculo?

Voc tem duas alternativas de soluo:a) Calcular o comprimento da pea pela linha mdia da chapa.b) Multiplicar a altura (30 mm) por 2 e somar com a medida interna (50 mm).

Vamos ver se isso d certo com a alternativa a.Essa alternativa considera a linha mdia da chapa. Voc sabe por qu? simples: se voc usar as medidas externas da pea, ela ficar maior que

o necessrio. Da mesma forma, se voc usar as medidas internas, ela ficarmenor. Assim, pela lgica, voc deve usar a linha mdia.

Tomando-se a linha mdia como referncia, o segmento B corresponde medida interna mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Ento, temos:

50 + 2 x 3 =50 + 6 = 56 mm

Com esse valor, voc obteve o comprimento da linha mdia da base dapea. Agora, voc tem de calcular a altura dos segmentos A e C.Pelo desenho da figura da pgina anterior, voc viu que a altura da pea

30 mm. Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim deencontrar a medida que procuramos.

30 - 3 = 27 mm

Com isso, obtemos as trs medidas: A = 27 mm, B = 56 mm e C = 27 mm. Ocomprimento obtido pela soma das trs medidas.

27 + 56 + 27 = 110 mm

Portanto, a chapa de que voc necessita deve ter 110 mm de comprimento.

Agora vamos treinar um pouco esse tipo de clculo.

Exerccio 1A alternativa b um mtodo prtico. Calcule o comprimento do materialnecessrio para a pea que mostramos em nossa explicao, usando essaalternativa. Voc dever obter o mesmo resultado.Soluo: 30 x 2 + 50 = ................+ 50 =

Peas curvadas circulares

Vamos supor agora que, em vez de peas dobradas, a sua encomenda sejapara a produo de anis de ao.

Mais uma vez, voc ter de utilizar o permetro. preciso considerar,tambm, a maneira como os materiais se comportam ao sofrer deformaes.

Os anis que voc tem de fabricar sero curvados a partir de perfis planos.Por isso, no possvel calcular a quantidade de material necessrio nem pelodimetro interno nem pelo dimetro externo do anel. Voc sabe por qu?

Tente voctambm


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A U L A

3

Linha neutra

estrutura que

sofreu compresso

estrutura que

sofreu alongamento

Se voc pudesse pr um pedao de ao no microscpio, veria que ele formado de cristais arrumados de forma geomtrica.

Quando esse tipo de material sofre qualquer deformao, como, por exem-plo, quando so curvados, esses cristais mudam de forma, alongando-se oucomprimindo-se. mais ou menos o que acontece com a palma de sua mo sevoc abri-la ou fech-la. A pele se esticar ou se contrair, dependendo domovimento que voc fizer.

No caso de anis, por causa dessa deformao, o dimetro interno no podeser usado como referncia para o clculo, porque a pea ficar menordo queo tamanho especificado.

Pelo mesmo motivo, o dimetro externo tambm no poder ser usado,uma vez que a pea ficar maiordo que o especificado.

O que se usa, para fins de clculo, o que chamamos de linha neutra, queno sofre deformao quando a pea curvada. A figura a seguir d a idiado que essa linha neutra.

Mas como se determina a posio da linha neutra? , parece que teremosmais um pequeno problema aqui.

Em grandes empresas, essa linha determinada por meio do que chama-mos, em Mecnica, de um ensaio, isto , um estudo do comportamento domaterial, realizado com o auxlio de equipamentos apropriados.

No entanto, sua empresa muito pequena e no possui esse tipo deequipamento. O que voc poder fazer para encontrar a linha neutra domaterial e realizar a tarefa?

A soluo fazer um clculo aproximado pelo dimetro mdio do anel.Para achar essa mdia, voc precisa apenas somar os valores do dimetroexterno e do dimetro interno do anel e dividir o resultado por 2. Vamos tentar?

Suponha que o desenho que voc recebeu seja o seguinte.

80

100

810


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A U L A

3

Com as medidas do dimetro interno e do dimetro externo do desenho,voc faz a soma:

100 + 80 = 180 mmO resultado obtido, voc divide por 2:

180 2 = 90 mm

O dimetro mdio , portanto, de 90 mm.Esse valor (90 mm) corresponde aproximadamente ao dimetro da circun-

ferncia formada pela linha neutra, do qual voc precisa para calcular amatria-prima necessria. Como o comprimento do material para a fabricaodo anel corresponde mais ou menos ao permetro da circunferncia formadapela linha mdia, o que voc tem de fazer agora achar o valor dessepermetro.

Recordar aprenderA frmula para calcular o permetro da circunferncia P = D . p, emque D o dimetro da circunferncia e p a constante igual a 3,14.

P = 90 x 3,14P = 282,6 mm

Como voc pde observar no desenho, para a realizao do trabalho, terde usar uma chapa com 10 mm de espessura. Por causa da deformao queocorrer no material quando ele for curvado, muito provavelmente havernecessidade de correo na medida obtida (282,6 mm).

Nesses casos, a tendncia que o anel fique maiorque o especificado. Emuma empresa pequena, o procedimento fazer amostras com a medida obtida,analisar o resultado e fazer as correes necessrias.

Dica tecnolgicaQuando se trabalha com uma chapa de at 1 mm de espessura, no hnecessidade de correo nessa medida, porque, neste caso, a linhaneutra do material est bem prxima do dimetro mdio do anel.

Vamos a mais um exerccio para reforar o que foi explicado

Exerccio 2Calcule o comprimento do material necessrio para construir o anelcorrespondente ao seguinte desenho:

Soluo: P=Dimetro mdio pDimetro mdio = 31p = 3,14P =

Tente voctambm

30

mdio 31

1

:


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3

Peas curvadas semicirculares

Voc deve estar se perguntando o que deve fazer se as peas no apresen-tarem a circunferncia completa. Por exemplo, como seria o clculo paradescobrir o comprimento do material para a pea que est no desenho a seguir?

O primeiro passo analisar o desenho e descobrir quais os elementosgeomtricos contidos na figura. Voc deve ver nela duas semicircunferncias

e dois segmentos de reta.Mas, se voc est tendo dificuldade para enxergar esses elementos,vamos mostr-los com o auxlio de linhas pontilhadas na figura abaixo.

Com as linhas pontilhadas dessa nova figura, formam-se duas circunfe-rncias absolutamente iguais. Isso significa que voc pode fazer seus clculosbaseado apenas nas medidas de uma dessas circunferncias.

Como voc tem a medida do raio dessa circunferncia, basta calcular o seupermetro e somar com o valor dos dois segmentos de reta.

Recordar aprenderComo estamos trabalhando com a medida do raio, lembre-se de que,

para o clculo do permetro, voc ter de usar a frmula P = 2 p R.

Vamos ao clculo:P = 2 p R

Substituindo os valores:

P = 2 x 3,14 x 10P = 6, 28 x 10P = 62,8 mm

R10

R10

30

30

30

10

Linha mdia


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A U L A

3

Por enquanto, temos apenas o valor das duas semicircunferncias. Precisa-mos adicionar o valor dos dois segmentos de reta.

62,8 + 30 + 30 = 122,8 mm

Portanto, o comprimento do material necessrio para a fabricao desse elode corrente aproximadamente 122,8 mm.

Releia essa parte da lio e faa o exerccio a seguir.

Exerccio 3Calcule o comprimento do material necessrio para confeccionar a pea defixao em forma de U, cujo desenho mostrado a seguir.

Soluo:Linha mdia: 6 2 =Raio: 10 + 3 =

Permetro da semicircunferncia:2pR

2= pR = 3,14

P =

Comprimento: 20 + 20 + ......... =

Outro exemplo.Ser que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de clculo? Prova-velmente, no. Observe esta figura.

Nela temos um segmento de reta e uma circunferncia que no estcompleta, ou seja, um arco. Como resolver esse problema?

Como voc j sabe, a primeira coisa a fazer analisar a figura com cuidadopara verificar todas as medidas que voc tem sua disposio.

Tente voctambm

3

40

50

12

6

:

pp


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3

Tente voctambm

Nesse caso, voc tem: a espessura do material (6 mm), o comprimento dosegmento de reta (50 mm), o raio interno do arco de circunferncia (12 mm)e o valor do ngulo correspondente ao arco que se quer obter (340).

O passo seguinte calcular o raio da linha mdia. Esse valor necessriopara que voc calcule o permetro da circunferncia. As medidas que voc vaiusar para esse clculo so: o raio (12 mm) e a metade da espessura do material(3 mm). Esses dois valores so somados e voc ter:

12 + 3 = 15 mmEnto, voc calcula o permetro da circunferncia, aplicando a frmula que

j foi vista nesta aula.

P = 2 x 3,14 x 15 = 94,20 mm

Como voc tem um arco e no toda a circunferncia, o prximo passo calcular quantos milmetros do arco correspondem a 1 grau da circunferncia.

Como a circunferncia completa tem 360, divide-se o valor do permetro(94,20 mm) por 360.

94,20 360 = 0,26166 mm

Agora voc tem de calcular a medida em milmetros do arco de 340. Parachegar a esse resultado, multiplica-se 0,26166 mm, que o valor correspondentepara cada grau do arco, por 340, que o ngulo correspondente ao arco.

0,26166 x 340 = 88,96 mm

Por ltimo, voc adiciona o valor do segmento de reta (50 mm) ao valordo arco (88,96 mm).

50 + 88,96 = 138,96 mm.

Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de pea de 138,96 mm.

As coisas parecem mais fceis quando a gente as faz. Faa o exerccio aseguir e veja como fcil.

Exerccio 4Calcule o comprimento do material necessrio fabricao da seguinte

pea.

Soluo:Linha mdia: 6 .......... =Raio: 12 + .......... =Permetro =............ 360 =............ ............ =............ + ............ +............ =

R12330

30

6

:

:


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3

Se voc estudou a lio com cuidado e fez os exerccios com ateno, no vaiter dificuldade para resolver o desafio que preparamos para voc.

Exerccio 5Calcule o material necessrio para a fabricao das seguintes peas dobra-

das.

Exerccio 6Calcule o comprimento do material necessrio para fabricar as seguintes

peas.

a)

b)

c)

a)

b)



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A U L A

4

Voc torneiro em uma empresa mecnica.Na rotina de seu trabalho, voc recebe ordens de servio acompanhadas dosdesenhos das peas que voc tem de tornear.

Vamos supor que voc receba a seguinte ordem de servio com seu respec-tivo desenho.

O R D E MO R D E MO R D E MO R D E MO R D E MD ED ED ED ED EFABRICAOFABRICAOFABRICAOFABRICAOFABRICAO N M E R ON M E R ON M E R ON M E R ON M E R OCLIENTECLIENTECLIENTECLIENTECLIENTE N ON ON ON ON O.....D OD OD OD OD OPEDIDOPEDIDOPEDIDOPEDIDOPEDIDO D A T AD A T AD A T AD A T AD A T AD ED ED ED ED EENTRADAENTRADAENTRADAENTRADAENTRADA D A T AD A T AD A T AD A T AD A T AD ED ED ED ED ESADASADASADASADASADA

PRODUTOPRODUTOPRODUTOPRODUTOPRODUTO REFERNCIASREFERNCIASREFERNCIASREFERNCIASREFERNCIAS QUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADEQUANTIDADE OBSERVAESOBSERVAESOBSERVAESOBSERVAESOBSERVAES

MATERIAL

O desenho indica que voc ter de tornear um tarugo cilndrico para que ofresador possa produzir uma pea cuja extremidade seja um perfil quadrado.

Porm, o desenho apresenta apenas a medida do lado do quadrado. O quevoc tem de descobrir a medida do dimetro do cilindro que, ao ser desbastadopelo fresador, fornecer a pea desejada.

Como voc resolve esse problema?

Descobrindo medidasdesconhecidas (I)

4

A U L A

O problema

2000/95

Metalrgica2000 115/95 15/05/95 ____/____/____

400 UrgenteDesenho n 215/A

ao ABNT 1045

Eixo comextremidade quadrada


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A U L A

4

Aplicando o Teorema de Pitgoras

Para resolver o problema, voc precisar recorrer aos seus conhecimentos deMatemtica. Ter de usar o que aprendeu em Geometria.

Por que usamos essa linha de raciocnio? Porque em Geometria existe umteorema que nos ajuda a descobrir a medida que falta em um dos lados dotringulo retngulo. o Teorema de Pitgoras, um matemtico grego quedescobriu que a soma dos quadrados das medidas dos catetos igual ao quadrado damedida da hipotenusa.

Recordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderTringulo retnguloTringulo retnguloTringulo retnguloTringulo retnguloTringulo retngulo aquele que tem um ngulo reto, ou seja, igual a90. Nesse tipo de tringulo, o lado maior chama-se hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa. Osoutros dois lados so chamados de catetoscatetoscatetoscatetoscatetos.

Isso quer dizer que em um tringulo retngulo de lados a, b e c, supondo-seque a hipotenusa seja o lado a, poderamos expressar matematicamente essarelao da seguinte maneira:

b + c = a

Ento, em primeiro lugar, voc tem de identificar as figuras geomtricas queesto no desenho do tarugo. Se voc prestou bem ateno, deve ter visto nela umacircunferncia e um quadrado.

Em seguida, necessrio ver quais as medidas que esto no desenho e quepodero ser usadas no clculo. No desenho que voc recebeu, a medida dispo-nvel a do lado do quadrado, ou 30 mm.

A Geometria diz que, sempre que voc tiver um quadrado inscrito em umacircunferncia, o dimetro da circunferncia corresponde diagonal do quadrado.

Recordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderRecordar aprenderDiagonalDiagonalDiagonalDiagonalDiagonal o segmento de reta que une dois vrtices no consecutivosde um polgono, ou seja, de uma figura geomtrica plana que tenha maisde trs lados.

Nossa aula

b

c

a

CatetoCateto

Hipotenusa

Diagonais

Vrtice


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A U L A

4

Para que voc entenda melhor o que acabamos de explicar, vamos mostraro desenho ao qual acrescentamos a diagonal.

Observe bem esse novo desenho. O que antes era um quadrado transfor-mou-se em dois tringulos retngulosdois tringulos retngulosdois tringulos retngulosdois tringulos retngulosdois tringulos retngulos.

A diagonal que foi traada corresponde hipotenusa dos tringulos. Os doiscatetos correspondem aos lados do quadrado e medem 30 mm. Assim, a medidaque est faltando a hipotenusa do tringulo retngulo.

Transportando as medidas do desenho para essa expresso, voc ter:

a = b +ca = 30 + 30a = 900 + 900a = 1800a = 1800a @ 42,42 mm

DicaDicaDicaDicaDicaPara realizar os clculos, tanto do quadrado quanto da raiz quadrada,use uma calculadora.

Logo, voc dever tornear a pea com um dimetro mnimo aproximadode 42,42 mm.

Para garantir que voc aprenda a descobrir a medida que falta em umdesenho, vamos mostrar mais um exemplo com uma pea sextavada sem umadas medidas. Observe o desenho a seguir.


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4

Usinar alterar a forma da

matria-prima,

retirando material

por meio de

ferramentas.

Como torneiro, voc tem de deixar o material preparado na medida corretapara o fresador usinar a extremidade sextavada da pea.

Qual essa medida? Ser que o mesmo raciocnio usado no primeiroexemplo vale para este? Vamos ver.

Observe bem o desenho. A primeira coisa que temos de fazer traar umalinha diagonal dentro da figura sextavada que corresponda ao dimetro dacircunferncia.

Essa linha a hipotenusa do tringulo retngulo. O lado do sextavado doqual a hipotenusa partiu o cateto ccccc.

O cateto bbbbb e o cateto ccccc formam o ngulo reto do tringulo.

Ora, se conseguimos ter um tringulo retngulo, podemos aplicar novamen-

te o Teorema de Pitgoras.O problema agora que voc s tem uma medida: aquela que corresponde

ao cateto maior (26 mm).Apesar de no ter as medidas, a figura lhe fornece dados importantes, a

saber: a hipotenusa corresponde ao dimetro da circunferncia. Este, por suavez, o dobro do raio. Por isso, a hipotenusa igual a duas vezes o valor do raiodessa mesma circunferncia.

necessrio saber tambm que, quando temos uma figura sextavada inscritaem uma circunferncia, os lados dessa figura correspondem ao raio da circunfe-rncia onde ela est inscrita.


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A U L A

4

Esses dados podem ser representados matematicamente.

A hipotenusa a = 2rO cateto menor c = r

Aplicando o teorema (a = b + c) e substituindo os valores, temos:

(2r) = 26 + r

Resolvendo, temos:4r = 676 + r2

Como essa sentena matemtica exprime uma igualdade, podemos isolar asincgnitas (r). Assim, temos:

4r - r = 6763r = 676r = 676 3

r = 225,33r = 225,33r @ 15,01 mm

Como a hipotenusa a igual a 2r e sabendo que o valor de r 15,01 mm,teremos, ento:

a = 2 x 15,01 = 30,02 mm

Sabemos tambm que a hipotenusa corresponde ao dimetro da circunfe-rncia. Isso significa que o dimetro para a usinagem da pea de 30,02 mm.

Para ser o melhor, o esportista treina, o msico ensaia e quem quer aprenderfaz muitos exerccios.

Se voc quer mesmo aprender, leia novamente esta aula com calma eprestando muita ateno. Depois, faa os exerccios que preparamos para voc.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Qual a medida da diagonal no desenho da porca quadrada mostrado a seguir?

Tente voctambm

Em

Matemtica,

incgnita o valor

que no

conhecido.


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A U L A

4

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2 preciso fazer um quadrado em um tarugo de 40 mm de dimetro. Qualdeve ser a medida do lado do quadrado?

Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Calcule o comprimento da cota xxxxx da pea abaixo.

Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4De acordo com o desenho abaixo, qual deve ser o dimetro de um tarugopara fresar uma pea de extremidade quadrada?

Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Calcule na placa abaixo a distncia entre os centros dos furos A e B.


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A U L A

4

Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Qual a distncia entre os centros das polias A e B?

Depois do treino vem o jogo. Vamos ver se voc ganha este.

Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Calcule o dimetro do rebaixo onde ser encaixado um parafuso de cabeaquadrada, conforme o desenho. Considere 6 mm de folga. Depois de obtero valor da diagonal do quadrado, acrescente a medida da folga.

Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Qual a distncia entre os centros dos furos A e B? D a resposta emmilmetros.

Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Calcule a distncia entre os centros dos furos igualmente espaados da

pea abaixo.

B

A

2 1/2"

1

3/4"



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A U L A

4

Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Calcule o valor de xxxxx no desenho:

Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Calcule o valor de xxxxx nos desenhos:

a)a)a)a)a)

b)b)b)b)b)

Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Calcule a distncia entre dois chanfros opostos do bloco representadoabaixo.


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A U L A

5

Descobrindo medidasdesconhecidas (II)

Quem trabalha no ramo da mecnica sabe queexistem empresas especializadas em reforma de mquinas.

As pessoas que mantm esse tipo de atividade precisam ter muito conheci-

mento e muita criatividade para resolver os problemas que envolvem umtrabalho como esse.

Na maioria dos casos, as mquinas apresentam falta de peas, no possuem

esquemas nem desenhos, tm parte de seus conjuntos mecnicos to gastos que

no possvel repar-los e eles precisam ser substitudos.

O maior desafio o fato de as mquinas serem bem antigas e no haver

como repor componentes danificados, porque as peas de reposio h muito

tempo deixaram de ser fabricadas e no h como compr-las no mercado. A tarefa

do mecnico, nesses casos, , alm de fazer adaptaes de peas e dispositivos,

modernizar a mquina para que ela seja usada com mais eficincia.

Isso um verdadeiro trabalho de detetive, e um dos problemas que o

profissional tem de resolver calcular o comprimento das correias faltantes.Vamos supor, ento, que voc trabalhe em uma dessas empresas. Como voc

novato e o clculo fcil, seu chefe mandou que voc calculasse o comprimento

de todas as correias das mquinas que esto sendo reformadas no momento.

Voc sabe como resolver esse problema?

Calculando o comprimento de correias

A primeira coisa que voc observa que a primeira mquina tem um

conjunto de duas polias iguais, que devem ser ligadas por meio de uma

correia aberta.

O que voc deve fazer em primeiro lugar medir o dimetro das polias e adistncia entre os centros dos eixos.

Depois voc faz um desenho, que deve ser parecido com o que mostra-

mos a seguir.

5

A U L A

O problema

Nossa aula

20cm

20cm

c = 40 cm


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A U L A

5

Dica tecnolgicaDica tecnolgicaDica tecnolgicaDica tecnolgicaDica tecnolgica

Nos conjuntos mecnicos, voc pode ter vrias combinaes de polias e

correias. Assim, possvel combinar polias de dimetros iguais, movi-

das por correias abertas e correias cruzadas. A razo para cruzar as

correias inverter a rotao da polia.

Pode-se, tambm, combinar polias de dimetros diferentes, a fim de

alterar a relao de transmisso, ou seja, modificar a velocidade,

aumentando-a ou diminuindo-a. Esse tipo de conjunto de polias pode

igualmente ser movimentado por meio de correias abertas ou correias

cruzadas.

c

d

c

d

c

R r

c

R r


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A U L A

5

Agora, voc analisa o desenho. O comprimento da correia corresponde ao

permetro da figura que voc desenhou, certo?

O raciocnio que voc tem de seguir mais ou menos o mesmo que foi

seguido para resolver o problema do comprimento do material para fabricar

peas curvadas. Analisando a figura, vemos que a rea de contato da correia com

a polia est localizada nas duas semicircunferncias.

Para fins de resoluo matemtica, consideraremos as duas semi-

circunferncias como se fossem uma circunferncia. Portanto, o comprimento

das partes curvas ser o permetro da circunferncia.

Assim, calculamos o permetro da circunferncia e depois somamos os dois

segmentos de reta correspondentes distncia entre os centros dos eixos.

Matematicamente, isso pode ser colocado em uma frmula:

L = p d + 2 c

Nela, LLLLL o comprimento total da correia; p d o permetro da circunfern-

cia e CCCCC a distncia entre os centros dos eixos (que correspondem aos dois

segmentos de reta).

Colocando os valores na frmula L = p d + 2 c, voc tem:

L = 3,14 20 + 2 40

L = 62,8 + 80

L = 142,8 cm

O comprimento da correia deve ser de aproximadamente 143 cm.

Esse clculo no difcil. Releia esta parte da aula e faa os exerccios a seguir.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1

Calcule o comprimento da correia aberta que liga duas polias iguais com

30 cm de dimetro e com distncia entre eixos de 70 cm.

Soluo:

L = p d + 2 c

L = 3,14 30 + 2 70

L =


Calcule o comprimento da correia aberta necessria para movimentar

duas polias iguais, com 26 cm de dimetro e com distncia entre eixos de

60 cm.

Tente voctambm


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A U L A

5

Polias de dimetros diferentesVoltemos tarefa que o chefe lhe passou: a segunda mquina que voc

examina tem um conjunto de polias de dimetros diferentes e correia aberta.

Novamente, voc mede o dimetro das polias e a distncia entre os centros

dos eixos. Encontra o valor dos raios (D/ 2). Em seguida, desenha o conjunto com

as medidas que voc obteve.

Mais uma vez, voc tem de encontrar o permetro dessa figura. Quais as

medidas que temos? Temos o raio da polia maior (25 cm), o raio da polia menor

(10 cm) e a distncia entre os centros dos eixos (45 cm).Para esse clculo, que aproximado, voc precisa calcular o comprimento

das semicircunferncias e som-lo ao comprimento ccccc multiplicado por 2.

DicaDicaDicaDicaDica

Esse clculo aproximado, porque a regio de contato da polia com a

correia no exatamente correspondente a uma semicircunferncia.

Observe a figura abaixo. Analisando-a com cuidado, vemos que a medida do

segmento AAAAA desconhecida. Como encontr-la?

J vimos que uma ferramenta adequada para encontrar medidas desco-nhecidas o Teorema de Pitgoras, que usa como referncia a relao entre os

catetos e a hipotenusa de um tringulo retngulo.

Ento, vamos tentar traar um tringulo retngulo dentro da figura que

temos. Usando o segmento aaaaa como hipotenusa, traamos um segmento ccccc,

paralelo linha de centro formada pelos dois eixos das polias. Essa linha forma

o cateto maior do tringulo.

Quando ela encontra outra linha de centro da polia maior, forma o cateto

menor (bbbbb). Sua medida corresponde ao valor do raio maior menos o valor do raio

menor (R - r). Seu desenho deve ficar igual ao dessa figura acima.

c = 45 cm

25cm 10cm

c = 45 cm

25cm 10cm

a

c

ab


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A U L A

5

Agora, s representar matematicamente essas informaes em uma frmula.

L = p (R + r)+ 2 c2 + (R - r)2

Substituindo os valores, voc tem:

L = 3,14 (25 +10) + 2 452+ (25-10)2

L = 3,14 35 + 2 2025 + (15)2

L = 3,14 35 + 2 2025 + 225

L = 3,14 35 + 2 2250

L = 3,14 35 + 2 47,43

L = 109,9 + 94,86

L = 204,76 cm

A correia para essa mquina dever ter aproximadamente 204,76 cm.

Estude novamente a parte da aula referente s correias abertas ligando

polias com dimetros diferentes e faa os exerccios a seguir.


Calcule o comprimento de uma correia aberta que dever ligar duas

polias de dimetros diferentes ( 15 cm e 20 cm) e com distncia entre

eixos de 40 cm.

Soluo:

R = 20 2 =

r = 15 2 =

L = p (R + r)+ 2 c2 + (R - r)2

L = 3,14


Calcule o comprimento de uma correia aberta que dever ligar duas polias

de dimetros diferentes ( 30 cm e 80 cm) e com distncia entre eixos de

100 cm.

Correias cruzadas

Para o clculo do comprimento de correias cruzadas, voc dever usar as

seguintes frmulas:

a)a)a)a)a) Para polias de dimetros iguais:

L = p d+ 2 c2+d

2

b)b)b)b)b) Para polias de dimetros diferentes:

L = p (R + r)+ 2 c2+ (R + r)

2

Tente voc

tambm


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A U L A

5

Tente voctambm


Agora voc vai fazer exerccios aplicando as duas frmulas para o clculo do

comprimento de correias cruzadas.


Calcule o comprimento de uma correia cruzada que liga duas polias iguais,

com 35 cm de dimetro e distncia entre eixos de 60 cm.

Soluo:

L = p d+ 2 c2 +d2

L = 3,14 35 + 2


Calcule o comprimento de uma correia cruzada que dever ligar duas polias

de dimetros diferentes ( 15 cm e 20 cm) e com distncia entre eixos de

40 cm.

L = p (R + r)+ 2 c2+ (R + r)

2

Dica TecnolgicaDica TecnolgicaDica TecnolgicaDica TecnolgicaDica TecnolgicaAs correias cruzadas so bem pouco utilizadas atualmente, por-

que o atrito gerado no sistema provoca o desgaste muito rpido

das correias.

Lembre-se de que para resolver esse tipo de problema voc tem de aprender

a enxergar o tringulo retngulo nos desenhos. Este o desafio que lanamos

para voc.


Calcule o comprimento das correias mostradas nos seguintes desenhos.

a)a)a)a)a) b)b)b)b)b)

c)c)c)c)c) d)d)d)d)d)

c = 15 cm

8cm

8cm

c = 50 cm

18cm 10cm

c = 100 cm

50cm 30cm

c = 100 cm

40cm 20cm


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A U L A

6

Descobrindo medidasdesconhecidas (III)

J dissemos que a necessidade de descobrirmedidas desconhecidas uma das atividades mais comuns na rea da Mecnica.

Por isso, torneiros, fresadores, retificadores, ajustadores e ferramenteiros tm de

dominar esse conhecimento com muita segurana para poder realizar bem seutrabalho.

Voc j aprendeu que, usando o Teorema de Pitgoras, possvel descobrir

a medida que falta, se voc conhecer as outras duas.

Porm, s vezes, as medidas disponveis no so aquelas adequadas

aplicao desse teorema. So as ocasies em que voc precisa encontrar medidas

auxiliares e dispe apenas de medidas de um lado e de um ngulo agudo do

tringulo retngulo. Nesse caso, voc tem de aplicar seus conhecimentos de

Trigonometria.

Por sua importncia, esse assunto sempre est presente nos testes de

seleo para profissionais da rea de Mecnica. Vamos supor, ento, que voc

esteja se candidatando a uma vaga numa empresa. Uma das questes do teste calcular a distncia entre os furos de uma flange, cujo desenho semelhante

ao mostrado abaixo.

Voc sabe resolver esse problema? No? Ento vamos lhe ensinar o caminho.

6

A U L A

O problema

R75

10 furos, 1/2 "10 furos, 1

2

"


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A U L A

6

Relao senoSeu problema encontrar a distncia entre os furos. Voc j sabe que, para

achar medidas desconhecidas, pode usar o tringulo retngulo, porque o que lhe

dar a resposta a anlise da relao entre as partes desse tipo de tringulo.

Na aplicao do Teorema de Pitgoras, voc analisa a relao entre os catetos

e a hipotenusa.

Porm, existem casos nos quais as relaes compreendem tambm o uso dos

ngulos agudos dos tringulos retngulos. Essas relaes so estabelecidas pela

Trigonometria.


ngulo agudongulo agudongulo agudongulo agudongulo agudo aquele que menor que 90.TrigonometriaTrigonometriaTrigonometriaTrigonometriaTrigonometria a parte da Matemtica que estuda as relaes entre osngulos agudos do tringulo retngulo e seus lados.

Vamos ento analisar o problema e descobrir se teremos de usar o Teorema

de Pitgoras ou as relaes trigonomtricas.

A primeira coisa a fazer colocar um tringulo dentro dessa figura, pois o

tringulo que dar as medidas que procuramos.

Unindo os pontos A, B e C, voc obteve um tringulo issceles. Ele o

caminho para chegarmos ao tringulo retngulo.

Traando a altura do tringulo issceles, temos dois tringulos retngulos.


Tringulo isscelesisscelesisscelesisscelesissceles aquele que possui dois lados iguais. A alturadesse tipo de tringulo, quando traada em relao ao lado desigual,

forma dois tringulos retngulos.

Nossa aula

R75

A

B

C

R75

B

C

A D


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A U L A

6

Como os dois tringulos retngulos so iguais, vamos analisar as medidas

disponveis de apenas um deles: a hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa, que igual ao valor do raio dacircunferncia que passa pelo centro dos furos (75 mm) e o ngulongulongulongulonguloa, que ametade do ngulo b.

Primeiro, calculamos b, dividindo 360 por 10, porque temos 10 furosigualmente distribudos na pea, que circular:

b = 360 10 = 36

Depois, calculamos:

a = b 2 = 36 2 = 18

Assim, como temos apenas as medidas de um ngulo (a = 18) e dahipotenusa (75 mm), o Teorema de Pitgoras no pode ser aplicado.


Lembre-se de que, para aplicar o Teorema de Pitgoras no clculo da

medida de um lado do tringulo retngulo, voc precisa da medida de

doisdoisdoisdoisdois dos trs lados.

Com essas medidas, o que deve ser usada a relao trigonomtricachamada senosenosenosenoseno,cuja frmula :

sen a =cateto oposto

hipotenusaou

co

hip


Em um tringulo retngulo, senosenosenosenoseno de um ngulo a relao entre a me-dida do cateto oposto (co) a esse ngulo e a medida da hipotenusa (hip).

DicaDicaDicaDicaDica

Os valores de seno so tabelados e se encontram no fim deste livro.

Para fazer os clculos, voc precisa, primeiro, localizar o valor do seno de a(18) na tabela:

sen 18 = 0,3090

Substituindo os valores na frmula:

0,3090=co

75

Isolando o elemento desconhecido:

co = 0,3090 x 75

co = 23,175 mm

A

B

D

cohip


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Mesa de Seno

Blocos -padro

DESEMPENO

300

9030

40

X

R

O primeiro tringulo que voc desenhou foi dividido em dois. O resultado

obtido (co = 23,175) corresponde metade da distncia entre os furos. Por isso,

esse resultado deve ser multiplicado por dois:

2 23,175 mm = 46,350 mm

Assim, a distncia entre os furos da pea de 46,350 mm.

Imagine que voc tem de se preparar para um teste em uma empresa. Faa

os exerccios a seguir e treine os clculos que acabou de aprender.


Calcule a altura dos blocos-padro necessrios para que a mesa de seno fique

inclinada 9 30'.

Soluo: sen a =co

hipsen a = (9 30') =hip = 300

co = ?

..... =co

300co =


Calcule a cota x deste desenho.

Soluo: x = 30 + hip + R

x = 30 + ? + 20

Clculo da hipotenusa: sen a =co

hip

sen 45 =20

hiphip =

x =

Tente voctambm


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20x

x

60

20


Calcule a cota x do seguinte desenho.

Relao co-senoVamos supor agora que o teste que voc est fazendo apresente como

problema encontrar a cota x de uma pea semelhante ao desenho mostrado

a seguir.

Como primeiro passo, voc constri um tringulo issceles dentro do seu

desenho e divide esse tringulo em 2 tringulos retngulos. Seu desenho deve

ficar assim:

Em seguida, voc analisa as medidas de que dispe: a hipotenusa (20 mm)

e o ngulo a, que a metade do ngulo original dado de 60, ou seja, 30.A medida de que voc precisa para obter a cota x a do cateto adjacente ao

ngulo a. A relao trigonomtrica que deve ser usada nesse caso o co-seno,co-seno,co-seno,co-seno,co-seno,cuja frmula :

cosa =cat.adjacente

hipotenusaou

ca

hip

80

35

X


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Para descobrir a medida x aplicando a frmula, primeiramente preciso

descobrir o co-seno de a (30), que tambm um dado tabelado que vocencontra no fim deste livro.

cos 30 = 0,8660

Depois, voc substitui os valores na frmula:

0,8660=

ca

20ca = 0,8660 20

ca = 17,32 mm

O valor de cacacacaca corresponde cota x. Portanto, x = 17,32 mm

Releia a aula e aplique o que voc estudou nos exerccios a seguir. Lembre-

se de que, quanto mais voc fizer, mais aprender.


Calcule a cota x na pea abaixo.


Calcule a cota x da pea a seguir.

x

50

15

40

48

x

Tente voctambm


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Calcule o ngulo a do chanfro da pea abaixo.


Calcule a cota x da pea chanfrada mostrada a seguir.

Esta parte da lio foi criada para voc pr prova seu esforo e seu empenho

no estudo do assunto da aula. Releia a aula e estude os exemplos com

ateno. Depois faa os seguintes exerccios.


Calcule a distncia entre furos da flange com 12 furos igualmente espaados,

cujo raio da circunferncia que passa pelo centro dos furos de 150 mm.

Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Calcule a altura dos blocos-padro para que a mesa de seno fique inclinada

18. A distncia entre o centro dos roletes de apoio da mesa de 300 mm.


Calcule a cota h da pea abaixo.


Calcule a cota x da seguinte pea.


80

x

5

x

20


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Descobrindo medidasdesconhecidas (IV)

Uma das operaes mais comuns que otorneiro deve realizar o torneamento cnico.

Quando necessrio tornear peas cnicas, uma das tcnicas utilizadas a

inclinao do carro superior do torno. Para que isso seja feito, preciso calcularo ngulo de inclinao do carro. E esse dado, muitas vezes, no fornecido nodesenho da pea.

Vamos fazer de conta, ento, que voc precisa tornear uma pea desse tipo,parecida com a figura a seguir.

Quais os clculos que voc ter de fazer para descobrir o ngulo de inclina-o do carro do torno?

Isso o que vamos ensinar a voc nesta aula.

Relao tangenteA primeira coisa que voc tem de fazer, quando recebe uma tarefa como essa,

analisar o desenho e visualizar o tringulo retngulo. atravs da relao entreos lados e ngulos que voc encontrar a medida que procura. Vamos ver, ento,

onde poderia estar o tringulo retngulo no desenho da pea que voc recebeu.

7

A U L A

O problema

Nossa aula

C

D

d

C

D-d 2


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Nessa figura, a medida que voc precisa encontrar o ngulo a. Paraencontr-lo, voc tem de analisar, em seguida, quais as medidas que o desenhoest fornecendo.

Observando a figura anterior, voc pode localizar: a medida c, o dimetromaior e o dimetro menor da parte cnica. Vamos pensar um pouco em comoessas medidas podem nos auxiliar no clculo que precisamos fazer.

A medida c nos d o cateto maior, ou adjacente do tringulo retngulo(c = 100 mm).

A diferena entre o dimetro maior (50 mm) e o dimetro menor (20 mm),dividido por 2, d o cateto oposto ao ngulo a.

A relao entre o cateto oposto e o cateto adjacente nos d o que emTrigonometria chamamos de tangente do ngulotangente do ngulotangente do ngulotangente do ngulotangente do ngulo a.....

Essa relao representada matematicamente pela frmula:

tga =cat.oposto

cat.adjacenteou

co

ca

DicaDicaDicaDicaDicaDa mesma forma como o seno e o co-seno so dados tabelados, a tangentetangentetangentetangentetangentetambm dada em uma tabela que voc encontra no fim deste livro.

Quando o valor exato no encontrado, usa-se o valor mais prximo.

Como cococococo dado pela diferena entre o dimetro maior menos o dimetromenor, dividido por 2, e cacacacaca igual ao comprimento do cone (c), a frmula declculo do ngulo de inclinao do carro superior do torno sempre escrita daseguinte maneira:

tga =

D - d

2c

Essa frao pode ser finalmente escrita assim:

tga = D - d2c

DicaDicaDicaDicaDicaPara o torneamento de peas cnicas com a inclinao do carro superior,a frmula a ser usada sempresempresempresempresempre

tga =D - d

2c

Assim, substituindo os valores na frmula, temos:

tga =50 - 20

2

100tga =

30

200tga = 0,15

Para encontrar o ngulo a, o valor 0,15 deve ser procurado na tabela devalores de tangente. Ento, temos:

a @ 830'

Ento, o ngulo de inclinao do carro superior para tornear a pea dada de aproximadamente 830'.


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Exercitar o que estudamos muito importante para fixar a aprendizagem.Leia novamente a explicao do clculo que acabamos de apresentar e faa osseguintes exerccios.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Calcule o ngulo de inclinao do carro superior do torno para tornear aseguinte pea. No se esquea de que voc tem de usar a frmula:

tga = D - d2c

D = 40d = 10c = 50

a = ?

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Qual o ngulo de inclinao do carro superior do torno para que se possatornear a pea mostrada a seguir.

Outra aplicao da relao tangente

A frmula que acabamos de estudar usada especialmente para otorneamento cnico.

Existem outros tipos de peas que apresentam medidas desconhecidas parao operador e que tambm empregam a relao tangente.

Tente voctambm

20

15

30

5


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Esse o caso dos clculos relacionados a medidas do encaixe tipo rabo deandorinha.

Como exemplo, imagine que voc tenha de calcular a cota xxxxx da pea cujodesenho mostramos a seguir.

DicaDicaDicaDicaDicaAs duas circunferncias dentro do desenho no fazem parte da pea. Soroletes para o controle da medida xxxxx da pea e vo auxiliar no desenvol-vimento dos clculos.

A primeira coisa a fazer traar o tringulo retngulo dentro da figura.

Observe bem a figura. Na realidade, a medida xxxxx corresponde largura dorasgo (100 mm) da pea menosmenosmenosmenosmenos duas vezes o cateto adjacente (ca) do tringulo,menosmenosmenosmenosmenos duas vezes o raio do rolete.

100

60

x

16co

ca

100

60

x

16


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Parece difcil? Vamos colocar isso em termos de uma igualdade matemtica:

x = 100 - 2 ca - 2 R

O valor de R j conhecido:R = 16 2 = 8

Colocando esse valor na frmula temos:

x = 100 - 2 ca - 2 8x = 100 - 2 ca - 16

Para achar o valor de xxxxx, necessrio encontrar o valor de cacacacaca. Para achar ovalor de cacacacaca, vamos usar a relao trigonomtrica tangente,tangente,tangente,tangente,tangente, que represen-tada pela frmula:

tg a =co

ca

De posse da frmula, vamos, ento, anlise das medidas do tringuloretngulo obtido na figura.

No tringulo temos duas medidas conhecidas:a)a)a)a)a) o cateto oposto, que o dimetro do rolete 2, ou seja, co = 16 2 = 8 mm;b)b)b)b)b) o ngulo a, que o valor do ngulo do rabo de andorinha dividido

por 2, ou seja, a = 60 2 = 30.

Substituindo os valores na frmula tg a =co

ca

tg 30=8

ca

0,5774 =8

ca

Como cacacacaca o valor que desconhecemos, vamos isol-lo:

ca =8

0,5774

ca = 13,85 mm

Agora que encontramos o valor de cacacacaca, vamos coloc-lo na expresso:

x = 100 - 2 13,85 - 16x = 100 - 27,70 - 16x = 72,30 - 16

x = 56,30 mm

Portanto, a medida da cota xxxxx 56,30 mm.


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importante verificar se voc entendeu o que acabamos de explicar. Por isso,vamos dar alguns exerccios para que voc reforce o que estudou.

Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Um torneiro precisa tornear a polia mostrada no desenho a seguir. Calculea cota xxxxx correspondente maior largura do canal da polia.

Soluo:

tg a =co

ca

a = 32 2 =tg a =co =x = 2 co + 5x =

Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Calcule a cota xxxxx do eixo com extremidade cnica.

Tente voctambm

x

32

5

15

x

30

12


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Leia novamente a lio, prestando bastante ateno nos exemplos. Em seguidafaa os seguintes exerccios.

Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Calcule os ngulos desconhecidos das peas a seguir.

a)a)a)a)a)

b)b)b)b)b)

c)c)c)c)c)

Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Calcule a cota desconhecida de cada pea mostrada a seguir.

a)a)a)a)a)

b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)


a = ?

b = ?


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Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Calcule as cotas desconhecidas dos rasgos em v nos desenhos a seguir.

a)a)a)a)a) b)b)b)b)b) c)c)c)c)c)

Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Exerccio 8Calcule as medidas desconhecidas nas figuras que seguem.

a)a)a)a)a) b)b)b)b)b)

c)c)c)c)c)

Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Calcule as cotas desconhecidas nas figuras abaixo.

a)a)a)a)a)

b)b)b)b)b)

c)c)c)c)c)

d)d)d)d)d)


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Calculando RPM

Os conjuntos formados por polias e correiase os formados por engrenagens so responsveis pela transmisso da velocidadedo motor para a mquina.

Geralmente, os motores possuem velocidade fixa. No entanto, esses con-juntos transmissores de velocidade so capazes tambm de modificar a veloci-dade original do motor para atender s necessidades operacionais da mquina.

Assim, podemos ter um motor que gire a 600 rotaes por minuto (rpmrpmrpmrpmrpm)movimentando uma mquina que necessita de apenas 60 rotaes por minuto.

Isso possvel graas aos diversos tipos de combinaes de polias e correiasou de engrenagens, que modificam a relao de transmisso de velocidade entreo motor e as outras partes da mquina.

Em situaes de manuteno ou reforma de mquinas, o mecnico s vezesencontra mquinas sem placas que identifiquem suas rpm. Ele pode tambmestar diante da necessidade de repor polias ou engrenagens cujo dimetro ou

nmero de dentes ele desconhece, mas que so dados de fundamental importn-cia para que se obtenha a rpm operacional original da mquina.Vamos imaginar, ento, que voc trabalhe como mecnico de manuteno e

precise descobrir a rpm operacional de uma mquina sem a placa de identifica-o. Pode ser tambm que voc precise repor uma polia do conjunto de transmis-so de velocidade.

Diante desse problema, quais so os clculos que voc precisa fazer pararealizar sua tarefa? Estude atentamente esta aula e voc ser capaz de obteressas respostas.

Rpm

A velocidade dos motores dada em rpmrpmrpmrpmrpm. Esta sigla quer dizer rotaorotaorotaorotaorotaopor minutopor minutopor minutopor minutopor minuto. Como o nome j diz, a rpm o nmero de voltas completas que umeixo, ou uma polia, ou uma engrenagem d em um minuto.

DicaDicaDicaDicaDicaO termo correto para indicar a grandeza medida em rpm freqnciafreqnciafreqnciafreqnciafreqncia.Todavia, como a palavra velocidadevelocidadevelocidadevelocidadevelocidade comumente empregada pelosprofissionais da rea de Mecnica, essa a palavra que empregaremosnesta aula.

8

A U L A

O problema

Nossa aula


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A velocidade fornecida por um conjunto transmissor depende da relaoentre os dimetros das polias. Polias de dimetros iguais transmitem para amquina a mesmamesmamesmamesmamesma velocidade (mesmamesmamesmamesmamesmarpm) fornecida pelo motor.

Polias de tamanhos diferentes transmitem maiormaiormaiormaiormaiorou menormenormenormenormenorvelocidade paraa mquina. Se a polia motoramotoramotoramotoramotora, isto , a polia que fornece o movimento, maiormaiormaiormaiormaiorque a movidamovidamovidamovidamovida, isto , aquela que recebe o movimento, a velocidade transmitidapara a mquina maiormaiormaiormaiormaior(maiormaiormaiormaiormaiorrpm).

Se a polia movida maiormaiormaiormaiormaiorque a motora, a velocidade transmitida para a

mquina menormenormenormenormenor(menormenormenormenormenorrpm).

Existe uma relao matemtica que expressa esse fenmeno:

n1n2

=D2D1

Em que n1e n

2so as rpm das polias motora e movida, respectivamente, e

D2e D

1so os dimetros das polias movida e motora.

Da mesma forma, quando o conjunto transmissor de velocidade compostopor engrenagens, o que faz alterar a rpm o nmero de dentes. importantesaber que, em engrenagens que trabalham juntas, a distncia entre os dentes sempre igual.

menor rpm

maior rpm

mesma rpm


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Desse modo, engrenagens com o mesmomesmomesmomesmomesmo nmero de dentes apresentam amesmamesmamesmamesmamesma rpm.

Engrenagens com nmeros diferentesdiferentesdiferentesdiferentesdiferentesde dentes apresentam maismaismaismaismaisoumenosmenosmenosmenosmenos rpm, dependendo da relao entre o menormenormenormenormenorou o maiormaiormaiormaiormaiornmero dedentes das engrenagens motora e movida.

Essa relao tambm pode ser expressa matematicamente:

n1n2

=Z2Z1

Nessa relao, n1e n

2so as rpm das engrenagens motora e movida,

respectivamente. Z2e Z

1so o nmero de dentes das engrenagens movida e

motora, respectivamente.Mas o que essas informaes tm a ver com o clculo de rpm?Tudo, como voc vai ver agora.

mesma rpm

menor rpm

maior rpm


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Clculo de rpm de polias

Voltemos ao nosso problema inicial. Voc est reformando uma furadeira debancada na qual a placa de identificao das rpm da mquina desapareceu.Um de seus trabalhos descobrir as vrias velocidades operacionais dessamquina para refazer a plaqueta.

A mquina tem quatro conjuntos de polias semelhantes ao mostrado na fi-gura a seguir.

Os dados que voc tem so: a velocidade do motor e os dimetros das poliasmotoras e movidas.

Como as polias motoras so de tamanho diferente das polias movidas, avelocidade das polias movidas ser sempre diferente da velocidade das poliasmotoras. isso o que teremos de calcular.

Vamos ento aplicar para a polia movida do conjunto A a relao matem-tica j vista nesta aula:

n1n2

=D2D1

n1 = 600 rpm

n2 = ?

D2 = 200 rpm

D1 = 60

Substituindo os valores na frmula:

600

n2=

200

6

n2 =600 60

200

n2 =36000

200

n2 = 180 rpm

motor600rpm

60

100

140

200 60

100

150

200A

B

C

D

rpm

?


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Vamos fazer o clculo para a polia movida do conjunto B:

n1n2

=D2D1

n1= 600

n2= ?

D2= 150 mm

D1= 100 mm

Substituindo os valores na frmula, temos:

O processo para encontrar o nmero de rpm sempre o mesmo. Faa oexerccio a seguir para ver se voc entendeu.

Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Exerccio 1Calcule a rpm dos conjuntos C e D.Conjunto C:

n1n2

=D2D1

n1 = 600

n2 = ?

D2 = 100

D1 = 140

Substituindo os valores:

600

n2=

100

140

n2 =

Conjunto D:n1= 600

n2= ?

D2= 60

D1=200

Tente voctambm

600

n2=

150

100

n2 = 600

100150

n2 =60.000

150

n2 = 400 rpm


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A U L A

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DicaDicaDicaDicaDicaA frmula

n1n2

=D2D1

tambm pode ser usada para descobrir o dimetro de polias que faltam.Por exemplo: se tivssemos de descobrir o dimetro da polia movida doconjunto A, teramos:

n1= 600

n2= 180

D 1 = 60D

2= ?

n1n2

=D2D1

=600

180=

D260

D2 =600 60

180=

36000

180= 200 mm

Clculo de rpm em conjuntos redutores de velocidade

Os conjuntos redutores de velocidade agrupam polias de tamanhos desi-guais de um modo diferente do mostrado com a furadeira. So conjuntosparecidos com os mostrados na ilustrao a seguir.

Apesar de parecer complicado pelo nmero de polias, o que voc deveobservar nesse conjunto que ele composto de dois estgios, ou etapas. Emcada um deles, voc tem de descobrir quais so as polias motoras e quais so aspolias movidas. Uma vez que voc descubra isso, basta aplicar, em cada estgio,a frmula que j aprendeu nesta aula.

Ento, vamos supor que voc tenha de calcular a velocidade final doconjunto redutor da figura acima.

O que precisamos encontrar a rpm das polias movidas do primeiro e dosegundo estgio. A frmula, como j sabemos, : n1

n2=

D2D1

Primeiro estgio:Primeiro estgio:Primeiro estgio:Primeiro estgio:Primeiro estgio:n1= 1000

n2= ?

D2= 150

D1= 60

D1=60

n1=1000

D2=200

n2=?

n2=?

n2=n1


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A U L A

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Calculando:Calculando:Calculando:Calculando:Calculando:

n2 =1000 60

150

n2 =60000

150n2 = 400

No segundo estgio, a polia motora est acoplada polia movida doprimeiro estgio. Assim, n2da polia movida do primeiro estgio n

1da polia

motora do segundo estgio ( qual ela est acoplada), ou seja, n2= n

1. Portanto,

o valor de n1do segundo estgio 400.

n1= 400

n2= ?

D2= 200

D1= 50

n2 =400 50

200

n2 = 20000200

n2 = 100 rpm

Portanto, a velocidade final do conjunto 100 rpm100 rpm100 rpm100 rpm100 rpm.

Chegou a hora de exercitar a aplicao dessa frmula. Faa com ateno osexerccios a seguir.

Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Exerccio 2Um motor que possui uma polia de 160 mm de dimetro desenvolve 900 rpme move um eixo de transmisso cuja polia tem 300 mm de dimetro. Calculea rotao do eixo.

n1n2

=D2D1

n1 = 900

n2 = ?

D2 = 300

D1 = 160

Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Exerccio 3Uma polia motora tem 10 cm de dimetro. Sabendo que a polia movida tem

30 cm de dimetro e desenvolve 1200 rpm, calcule o nmero de rpm que apolia motora desenvolve.

n1 = ?

n2 = 1200

D2 = 30

D1 = 10

n1 =n2 D2

D1

Tente voctambm


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Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Exerccio 4Se a polia motora gira a 240 rpm e tem 50 cm de dimetro, que dimetrodever ter a polia movida para desenvolver 600 rpm?

Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5Exerccio 5No sistema de transmisso por quatro polias representado abaixo, o eixomotor desenvolve 1000 rpm. Os dimetros das polias medem: D1 = 150 mm,D2 = 300 mm, D3=80 mm e D4 = 400 mm. Determine a rpm final do sistema.

Clculo de rpm de engrenagem

Como j dissemos, a transmisso de movimentos pode ser feita por conjun-tos de polias e correias ou por engrenagens.

Quando se quer calcular a rpm de engrenagens, a frmula muito semelhan-te usada para o clculo de rpm de polias. Observe:

n1n

2

=Z2Z

1

Em que n1e n

2so, respectivamente, a rpm da engrenagem motora e da

engrenagem movida e Z2e Z

1representam, respectivamente, a quantidade de

dentes das engrenagens movida e motora.Vamos supor que voc precise descobrir a velocidade final de uma mquina,

cujo sistema de reduo de velocidade tenha duas engrenagens: a primeira(motora) tem 20 dentes e gira a 200 rpm e a segunda (movida)tem 40 dentes.

n1= 200

n2= ?

Z2= 40

Z1 = 20

n2 =n1 Z1

Z2

n2 =200 20

40

n2 =4000

40

n2 = 100 rpm

D4 D3

D2

D1

n4

n1

n2=n3


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Se voc tiver um conjunto com vrias engrenagens, a frmula a ser usadaser a mesma.

Como exemplo, vamos calcular a rpm da engrenagem D da figura a seguir.

Primeiro estgio:Primeiro estgio:Primeiro estgio:Primeiro estgio:Primeiro estgio:n1= 300

n2= ?

Z2= 60

Z1= 30

n2 =300 30

60

n2 =9000

60

n2 = 150 rpm

DicaDicaDicaDicaDicaAssim como possvel calcular o dimetro da polia usando a mesmafrmula para o clculo de rpm, pode-se calcular tambm o nmero dedentes de uma engrenagem:

n1n2

=Z2Z1

Vamos calcular o nmero de dentes da engrenagem B da figura acima.

n1= 300

n2 = 150Z2= ?

Z1= 30

Z2 =300 30

150

Z2 =9000

150Z2 = 60 dentes

n1=300


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Voc no ter nenhuma dificuldade no exerccio que vem agora. Vejacomo fcil!

Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Exerccio 6Seguindo o modelo do exemplo, faa o clculo do segundo estgio.Segundo estgio:

n1= 150

n2= ?

Z2 = 90Z1= 30

Releia a lio com especial cuidado em relao aos exemplos. Em seguida, testeseus conhecimentos com os exerccios a seguir.

Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Exerccio 7Uma polia motora tem 10 cm de dimetro. Sabendo-se que a polia movidatem 30 cm de dimetro e desenvolve 1200 rpm, calcule o nmero de rpm dapolia motora.


Se uma polia motora gira a 240 rpm e tem 50 cm de dimetro, qual ser odimetro da polia movida para que ela apresente uma velocidade de 600 rpm?

Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Exerccio 9Uma engrenagem motora tem 20 dentes e a outra, 30. Qual a rpm daengrenagem maior, se a menor gira a 150 rpm?

Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Exerccio 10Qual o nmero de dentes necessrios engrenagem A (motora) para que Ae B girem respectivamente a 100 e 300 rpm?

Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Exerccio 11Na figura abaixo, qual a rpm da engrenagem B, sabendo que a engrenagemA gira a 400 rpm? Observe que as engrenagens intermedirias T1 e T2 tma funo de ligar duas engrenagens que esto distantes uma da outra e notm influncia no clculo.

Tente voctambm



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Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Exerccio 12Calcular a rpm da engrenagem B, sabendo que A motora e gira a 260 rpm.


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Tornear peas cnicas uma atividade bas-tante comum na rea da Mecnica. Para fazer isso, o torneiro tem duas tcnicasa sua disposio: ele pode usar a inclinao do carro superior ou o desalinhamento

da contraponta.Como voc j viu na Aula 7, a inclinao do carro superior usada para

tornear peas cnicas de pequeno comprimento.O desalinhamento da contraponta, por sua vez, usado para o torneamento

de peas de maior comprimento, porm com pouca conicidade, ou seja, ataproximadamente 10.

Para o torneamento com inclinao do carro superior, voc precisa calcularo ngulo de inclinao do carro usando a Trigonometria. O desalinhamento dacontraponta tambm exige que voc faa alguns clculos.

Vamos supor que voc seja um torneiro e receba como tarefa a execuo dotrabalho mostrado no seguinte desenho.

Analisando o desenho, voc percebe que a superfcie cnica da pea tem umamedida relativamente grande (100 mm). Por outro lado, o seu torno tem umcarro superior com curso mximo de apenas 60 mm.

Por causa dessa incompatibilidade de medidas, voc ter de empregar atcnica do desalinhamento da contraponta. Seu problema , ento, descobrirqual a medida desse desalinhamento.

Voc saberia como resolver esse problema? No? Ento leia esta aula comateno e veja como fcil.

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O problema

Calculando o

desalinhamento dacontraponta


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Nossa aula Calculando a medida do desalinhamento

Quando a contraponta do torno est perfeitamente alinhada, a pea torneadater forma cilndrica. Como j vimos, se necessitamos tornear uma su

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ELETROMECANICA - CALCULO TECNICO