APLIKASI MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI JUMLAH DAN … · 2019-07-24 · Matriks Leslie merupakan suatu matriks yang digunakan untuk memprediksi laju dan jumlah pertumbuhan suatu

APLIKASI MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI JUMLAH DAN

LAJU PERTUMBUHAN POPULASI PEREMPUAN

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh

Dewi Sukmana Putri

NIM : 143114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i



Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh

Dewi Sukmana Putri

NIM : 143114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2019


ii

APPLICATION OF LESLIE MATRIX TO PREDICT THE NUMBER AND

GROWTH RATE OF WOMEN POPULATION

A Thesis

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by

Dewi Sukmana Putri

NIM : 143114002

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2019


iii


iv


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Raihlah ilmu, dan untuk meraih ilmu belajarlah untuk tenang dan sabar

~Khalifah Umar~

Tugas akhir ini saya persembahkan untuk :

1. Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga

tugas akhir ini dapat selesai.

2. Orang tua saya tercinta, Bapak Sukirman dan Ibu Imanah yang senantiasa

mendoakan saya dan memberi perhatian serta kasih sayang mereka.

3. Dik Dea dan Mas Rian yang selalu mendukung serta menyemangati saya.

4. Keluarga besar Mbah Madyo dan Mbah Kuyur yang selalu mendoakan agar

lancar dalam pengerjaan tugas akhir ini.


vi

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya, bahwa tugas akhir yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian dari karya orang lain kecuali yang disebutkan dalam

daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 11 Juli 2019

Dewi Sukmana Putri


vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : Dewi Sukmana Putri

NIM : 143114002

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :



beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan

kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan

ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,

mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikannya di internet atau media

lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap menyantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 11 Juli 2019

Yang menyatakan

Dewi Sukmana Putri


viii

ABSTRAK

Matriks Leslie adalah salah satu matriks yang umumnya digunakan oleh ahli

kependudukan untuk memprediksi jumlah dan laju pertumbuhan populasi. Matriks

ini diperkenalkan oleh P.H Leslie pada tahun 1945. Terdapat tiga komponen

terpenting dalam matriks Leslie, yaitu kelompok umur, tingkat kesuburan, dan

tingkat ketahanan hidup. Dalam tugas akhir ini akan dihitung prediksi jumlah dan

laju pertumbuhan populasi perempuan di suatu negara. Populasi perempuan

dikelompokkan berdasarkan kelompok-kelompok umur sejumlah 𝑛 kelompok

dengan rentang umur tertentu.

Penghitungan prediksi jumlah populasi perempuan menggunakan Microsoft

Excel. Dalam tugas akhir ini, karena keterbatasan data maka hanya dihitung

prediksi jumlah populasi di satu tahap. Laju pertumbuhan populasi diketahui

melalui nilai Eigen dominan dan vektor Eigen yang bersesuaian dengan nilai Eigen

dominan dari matriks Leslie. Nilai Eigen dihitung menggunakan MATLAB.

Kata kunci : matriks Leslie, pertumbuhan populasi, nilai Eigen dominan.


ix

ABSTRACT

Leslie matrix is one of matrices that is commonly used by demographers to

predict the amount and the growth rate of a population. This matrix is introduced

by P.H Leslie in 1945. There are three significant components in Leslie matrix

which are the group of age, the fertility rates, and the survival rates. This study

calculates the predicted number and the population growth rate of women in a

country. The population of women is categorized by the age as much as 𝑛 group

with a particular age range.

The calculation of the predicted number of women population is done by

using the Microsoft Excel. Due to the lack of data, this study only calculates the

predicted number of population at one stage. The growth rate of population is

identified by the dominant Eigenvalue and Eigenvector that are corresponding to

the dominant Eigenvalue of Leslie matrix. Eigenvalue is calculated using

MATLAB.

Keywords : Leslie matrix, population growth, dominant Eigenvalue.


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Allah SWT atas berkat dan karunia-Nya yang selalu

menyertai penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini dibuat

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi

Matematika di Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Ada begitu banyak

tantangan yang dihadapi selama proses penulisan tugas akhir ini. Namun dengan

rahmat Allah SWT serta dukungan dari berbagai pihak, tugas akhir ini dapat

diselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis ingin mengucapkan terima kasih

kepada :

1. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing

sekaligus Kepala Program Studi Matematika yang telah meluangkan

waktu, tenaga dan pikiran serta ilmu yang telah diberikan sehingga

terselesaikannya tugas akhir ini.

2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math., Ph.D. selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ selaku dosen pembimbing akademik.

4. Bapak Dr.rer.nat. Herry P. Suryawan, Ibu M. V. Any Herawati, M.Si.

dan Bapak Ir. Aris Dwiatmoko, M.Sc. selaku dosen-dosen Program

Studi Matematika yang telah memberikan banyak pengetahuan dan

pembelajaran selama proses perkuliahan.

5. Bapak/Ibu dosen/tenaga kependidikan/karyawan Fakultas Sains dan

Teknologi yang telah berdinamika bersama selama penulis berkuliah.

6. Kedua orang tua, adik dan keluarga besar yang selalu mendoakan dan

mendukung penulis selama proses pengerjaan tugas akhir.

7. Teman-teman Matematika 2014 (Bella, Eka, Dilla, Efrem, Guruh,

Mega Marsela, Inne, Dini, Meme, Destika, Monic, Etri, Edo, Nando,

Wulan, Arista, Aan dan Wiwik), serta Vatma, Anggi, Beni, Rian dan

lainnya yang selalu memberikan dukungan dan semangat kepada

penulis.


xi

8. Pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu per satu yang telah

membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.

Semoga semua pihak yang telah memberikan perhatian, dukungan dan semangat

kepada penulis mendapatkan balasan yang luar biasa dari Allah SWT.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas akhir

ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi penyempurnaan

tugas akhir ini. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan dapat

menjadi referensi belajar yang baik.

Yogyakarta, 11 Juli 2019

Penulis,

Dewi Sukmana Putri


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ....................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................ iii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................ vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................. vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ....................................................................................................... ix

KATA PENGANTAR ....................................................................................... x

DAFTAR ISI ...................................................................................................... xii

DAFTAR TABEL .............................................................................................. xiv

DAFTAR GAMBAR ......................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................. 1

A. Latar Belakang ................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah ............................................................................. 3

C. Batasan Masalah ................................................................................ 3

D. Tujuan Penulisan ............................................................................... 3

E. Manfaat Penulisan ............................................................................. 4

F. Metode Penulisan .............................................................................. 4

G. Sistematika Penulisan ........................................................................ 4

BAB II MATRIKS DAN NILAI EIGEN .......................................................... 6

A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................................ 6

B. Diagonalisasi Matriks ........................................................................ 10

BAB III PENERAPAN MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI

JUMLAH DAN LAJU POPULASI PEREMPUAN............................ 21

A. Model Matriks Leslie Dalam Prediksi Populasi Perempuan ............. 21

B. Data yang Digunakan ........................................................................ 36

C. Implementasi Matriks Leslie Menggunakan Microsoft Excel .......... 43

D. Penghitungan Nilai Eigen dan Vektor Eigen ..................................... 51

BAB IV PENUTUP ........................................................................................... 59


xiii

A. Kesimpulan ........................................................................................ 59

B. Saran .................................................................................................. 59

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 61

LAMPIRAN ....................................................................................................... 63


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 1.1 ................................................................................................................ 22

Tabel 1.2 ................................................................................................................ 37

Tabel 1.3 ................................................................................................................ 39

Tabel 1.4 ................................................................................................................ 48

Tabel 1.5 ................................................................................................................ 49

Tabel 1.6 ................................................................................................................ 51

Tabel 1.7 ................................................................................................................ 53

Tabel 1.8 ................................................................................................................ 57


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1.1 ......................................................................................................... 28

Gambar 3.1.2 ......................................................................................................... 38

Gambar 3.1.3 ......................................................................................................... 39

Gambar 3.1.4 ......................................................................................................... 40

Gambar 3.1.5 ......................................................................................................... 43

Gambar 3.1.6 ......................................................................................................... 43

Gambar 3.1.7 ......................................................................................................... 44

Gambar 3.1.8 ......................................................................................................... 45

Gambar 3.1.9 ......................................................................................................... 47

Gambar 3.1.10 ....................................................................................................... 49

Gambar 3.1.11 ....................................................................................................... 50

Gambar 3.1.12 ....................................................................................................... 52

Gambar 3.1.13 ....................................................................................................... 54

Gambar 3.1.14 ....................................................................................................... 55

Gambar 3.1.15 ....................................................................................................... 57


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Populasi perempuan di suatu daerah dipengaruhi beberapa faktor

misalnya kelahiran, kematian dan perpindahan penduduk. Penuaan juga

termasuk dalam proses biologis yang mempengaruhi perubahan populasi

perempuan tersebut. Prediksi jumlah perempuan diperlukan agar pemerintah

dapat menyiapkan lapangan pekerjaan nantinya sehingga tidak banyak

perempuan yang tidak memiliki pekerjaan atau menganggur.

Matematika memiliki peranan penting untuk penyelesaian masalah-

masalah di kehidupan nyata. Teori-teori dalam matematika dapat diaplikasikan

untuk membantu mempermudah penyelesaian masalah tersebut. Salah satu

model matematika yang digunakan untuk memodelkan pertumbuhan populasi

yaitu Matriks Leslie.

Model yang paling lazim digunakan oleh para ahli kependudukan untuk

menganalisis pertumbuhan populasi adalah model yang dinamakan “Model

Leslie” yang dikembangkan sekitar tahun 1940. Model ini menjelaskan

pertumbuhan banyaknya perempuan dari populasi manusia atau banyaknya

betina dari populasi hewan. Dalam model ini, perempuan dibagi atas kelompok

umur yang kurun waktunya sama.

Matriks Leslie merupakan suatu matriks yang digunakan untuk

memprediksi laju dan jumlah pertumbuhan suatu populasi. Dalam kehidupan

sehari-hari matriks Leslie sering digunakan untuk memprediksi pertumbuhan

populasi menurut kelompok umur. Untuk hewan dapat juga dibuat suatu model

pemanenan. Bentuk umum matriks Leslie dapat dinyatakan sebagai berikut :

𝐿 =

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

𝑎𝑖 ≥ 0 untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛


2

0 < 𝑏𝑗 ≤ 1 untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1

Matriks 𝐿 adalah matriks Leslie 𝑛 × 𝑛 dengan 𝑛 baris dan 𝑛 kolom.

Untuk memprediksi laju populasi perempuan, kita dapat mendefinisikan 𝑎𝑖

sebagai tingkat kesuburan yaitu rata-rata banyaknya anak perempuan yang

dilahirkan oleh seorang ibu selama dia berada dalam kelompok umur ke-𝑖

dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan 𝑏𝑗 sebagai tingkat ketahanan hidup yaitu peluang

banyaknya perempuan dalam kelompok umur ke-𝑗 yang diharapkan bertahan

hidup sampai kelompok umur ke-(𝑗 + 1) dengan 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 − 1.

Jika 𝑥𝑖(0) adalah jumlah seluruh perempuan dalam kelompok umur ke-

𝑖 pada waktu 𝑡 = 0 dengan 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 maka dapat dibentuk dalam suatu

vektor kolom yang disebut vektor distribusi umur awal sebagai berikut :

𝒙(0) =

(

𝑥1(0)𝑥2(0)𝑥3(0)⋮

𝑥𝑛(0))

Vektor distribusi umur 𝑥𝑖(𝑘) pada waktu pengamatan 𝑡𝑘 dapat ditulis dalam

bentuk vektor sebagai berikut

𝒙(𝑘) =

(

𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)𝑥3(𝑘)⋮

𝑥𝑛(𝑘))

Untuk memperoleh gambaran umum mengenai dinamika proses

perkembangan populasi perempuan tersebut, diperlukan penyelidikan tentang

nilai-nilai Eigen dan vektor-vektor Eigen dari matriks Leslie tersebut. Misalkan

𝐴 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛. Nilai Eigen dari 𝐴 adalah akar dari persamaan

karakteristiknya. Persamaan karakteristik dari matriks 𝐴 dapat didefinisikan

sebagai berikut :

𝑝(𝜆) = |𝜆𝐼 − 𝐴| = 0


3

dengan

𝜆 : Nilai eigen dari matriks 𝐴

𝐼 : Matriks Identitas 𝑛 × 𝑛

Sedangkan vektor eigen dari 𝐴 yang sesuai dengan nilai eigen 𝜆 ialah suatu

vektor tak nol 𝒚 yang memenuhi persamaan dari nilai eigen 𝐴𝒚 = 𝜆𝒚.

Persamaan karakteristik dari matriks Leslie dapat ditulis

𝑝(𝜆) = |𝜆𝐼 − 𝐿| = 0

Sedangkan untuk vektor eigen matriks Leslie ialah suatu vektor tak nol 𝒚 yang

memenuhi persamaan dari nilai eigen 𝐿𝒚 = 𝜆𝒚.

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang dibicarakan yaitu :

1. Apa saja data yang dibutuhkan untuk membentuk matriks Leslie yang

dipakai untuk memprediksi jumlah dan laju pertumbuhan populasi

perempuan?

2. Bagaimana langkah-langkah untuk memprediksi jumlah dan prediksi laju

pertumbuhan populasi perempuan untuk tahap berikutnya?

C. Batasan Masalah

Data matriks Leslie yang tersedia dalam tugas akhir ini hanya untuk

memprediksi jumlah dan laju pertumbuhan populasi perempuan di Negara

Amerika Serikat dan laju pertumbuhan populasi di Negara Kanada dengan

mencari nilai Eigen dan vektor Eigennya. Dalam tugas akhir ini matriks, sistem

persamaan linear, ruang vektor, dimensi, kofaktor, adjoin, determinan, invers,

definisi limit, dan fungsi monoton diasumsikan telah diketahui. Untuk data 𝑎𝑖

dan 𝑏𝑗 diperoleh dari jurnal7 dan buku Howard Anton1.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini:


4

1. Mengetahui data yang dibutuhkan untuk membentuk matriks Leslie yang

dipakai untuk memprediksi jumlah dan laju pertumbuhan populasi

perempuan.

2. Mengetahui langkah-langkah untuk memprediksi jumlah dan laju

pertumbuhan populasi perempuan untuk tahap berikutnya.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini yaitu kita dapat memprediksi jumlah dan

laju pertumbuhan populasi perempuan untuk tahap berikutnya, sehingga

pemerintah dapat memperoleh gambaran jumlah perempuan di negara tersebut

serta dapat menjalankan program-progam yang ada.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini yaitu studi pustaka

dengan membaca buku, jurnal-jurnal, dan makalah ilmiah yang berhubungan

dengan matriks Leslie dan penerapannya untuk memprediksi jumlah dan laju

populasi perempuan.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II MATRIKS DAN NILAI EIGEN

A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

B. Diagonalisasi Matriks


5

BAB III PENERAPAN MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI

JUMLAH DAN LAJU POPULASI PEREMPUAN

A. Model Matriks Leslie Dalam Prediksi Populasi Perempuan

B. Data yang Digunakan

C. Implementasi Matriks Leslie Menggunakan Microsoft Excel

D. Penghitungan Nilai Eigen dan Vektor Eigen

BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


6

BAB II

MATRIKS DAN NILAI EIGEN

A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Definisi 2.1.1

Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛, maka vektor tak nol 𝒚 di 𝑅𝑛 disebut

vektor Eigen dari 𝐴 jika 𝐴𝒚 merupakan multiplisitas skalar dari 𝒚, yaitu :

𝐴𝒚 = 𝜆𝒚 (2.1.2)

untuk suatu skalar 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai Eigen dari 𝐴 dan 𝒚 dikatakan vektor

Eigen yang bersesuaian dengan 𝜆. (Howard Anton, 2014: 291)

Catatan :

1. Jika 𝒚 = 𝟎, persamaan (2.1.2) berlaku untuk semua bilangan real 𝜆. Ini

merupakan alasan lain dalam masalah nilai Eigen kita membuang kasus

𝒚 = 𝟎.

2. Jika 𝒚 merupakan vektor Eigen yang berkaitan dengan nilai Eigen 𝜆, 𝑠𝒚,

dengan 𝑠 bilangan real tak nol, juga merupakan vektor Eigen. Sebab

𝐴(𝑠𝒚) = 𝑠𝐴𝒚 = 𝑠𝜆𝒚 = 𝜆(𝑠𝒚)

Contoh 1

Diketahui matriks 𝐴 berukuran 2 × 2

(5 −62 −2

)

Kemudian vektor 𝒚 = (3,2) merupakan vektor Eigen, sebab

(5 −62 −2

) (32) = (

15 − 126 − 4

) = (32) = 1 (

32)

Nilai Eigen yang berkaitan adalah 𝜆 = 1.

1. Nilai Eigen

Teorema 2.1.3 ( Persamaan Karakteristik )

Bilangan real 𝜆 merupakan nilai Eigen dari matriks 𝐴 jika dan hanya jika 𝜆

memenuhi persamaan karakteristik

|𝜆𝐼 − 𝐴| = 0 (2.1.4)

(Wono Setya B, 1995 : 269)


7

7

Bukti :

Misalkan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛. Menurut Definisi 2.1.1, vektor tak

nol 𝒚 adalah vektor Eigen jika dan hanya jika

𝐴𝒚 = 𝜆𝒚 = 𝜆𝐼𝒚

jika dan hanya jika

(𝜆𝐼 − 𝐴)𝒚 = 𝟎 (2.1.5)

Dengan kata lain, sistem persamaan linear homogen (SPLH) ini

mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika det (𝜆𝐼 − 𝐴) = 0

𝒅𝒆𝒕(𝜆𝐼 − 𝐴) = |𝜆𝐼 − 𝐴| = 𝟎 (2.1.6)

Persamaan (2.1.6) disebut sebagai persamaan karakteristik 𝐴, skalar 𝜆

yang memenuhi persamaan ini adalah nilai Eigen dari matriks 𝐴. ∎

Matriks 𝜆𝐼 − 𝐴 dapat dijabarkan sebagai berikut :

(

𝜆 − 𝑎11 −𝑎12 −𝑎13 ⋯ −𝑎1𝑛−𝑎21 𝜆 − 𝑎22 −𝑎23 ⋯ −𝑎2𝑛−𝑎31 −𝑎32 𝜆 − 𝑎33 ⋯ −𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

−𝑎𝑛1 −𝑎𝑛2 −𝑎𝑛3 ⋯ 𝜆 − 𝑎𝑛𝑛)

Jika persamaan (2.1.4) dijabarkan, maka persamaan karakteristik dari 𝐴

menjadi

𝜆𝑛 + 𝑘1𝜆𝑛−1 + 𝑘2𝜆

𝑛−2 +⋯+ 𝑘𝑛 = 0 (2.1.7)

Pada sisi kiri dari persamaan (2.1.5) adalah sebuah polinomial berderajat

𝑛 dimana koefisien 𝜆𝑛 adalah 1. Polinomial tersebut

𝑝(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑘1𝜆𝑛−1 + 𝑘2𝜆

𝑛−2 +⋯+ 𝑘𝑛 (2.1.8)

disebut sebagai polinomial karakteristik 𝐴 dan 𝑘𝑖 adalah konstanta dengan

𝑖 = 1, 2,3, … , 𝑛.

Contoh 2

Carilah nilai Eigen matriks berikut

𝐶 = (1 00 1

)

Persamaan karakteristik matriks 𝐶 adalah


8

8

|𝜆𝐼 − 𝐶| = |𝜆 (1 00 1

) − (1 00 1

)| = |(𝜆 − 1 00 𝜆 − 1

)| = 0

(𝜆 − 1)(𝜆 − 1) = 0

Nilai Eigen matriks 𝐶 adalah 𝜆 = 1.

Dari berbagai nilai Eigen yang diperoleh, terkadang terdapat satu

nilai Eigen yang dominan. Penjelasan nilai Eigen yang dominan ini,

dijelaskan melalui definisi berikut.

Definisi 2.1.9

Jika terdapat nilai Eigen yang berbeda dari matriks 𝐴 yaitu 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛

dan |𝜆1| lebih besar dari pada |𝜆2|, … , |𝜆𝑛|, maka 𝜆1 disebut sebagai nilai

Eigen dominan dari 𝐴. Untuk vektor Eigen yang bersesuaian dengan nilai

Eigen dominan maka disebut sebagai vektor Eigen dominan dari 𝐴.

(Howard Anton, 2014: 501)

Contoh 3

Carilah nilai Eigen dominan dari matriks 𝐷 berikut

𝐷 = (3 0 0−4 6 216 −15 −5

)

Matriks 𝜆𝐼 − 𝐷 adalah

(𝜆 − 3 0 04 𝜆 − 6 −2−16 15 𝜆 + 5

)

Maka determinannya adalah

|𝜆𝐼 − 𝐷| = |𝜆 − 3 0 04 𝜆 − 6 −2−16 15 𝜆 + 5

| = 0

(𝜆 − 3) |𝜆 − 6 −215 𝜆 + 5

| = 0

(𝜆 − 3)((𝜆 − 6)(𝜆 + 5) − (−30)) = 0

(𝜆 − 3)((𝜆2 + 5𝜆 − 6𝜆 − 30) + 30) = 0

(𝜆 − 3)(𝜆2 − 𝜆) = 0

𝜆(𝜆 − 1)(𝜆 − 3) = 0


9

9

Oleh karena itu nilai Eigennya 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 1, 𝜆3 = 3. Dari ketiga nilai

Eigen tersebut, nilai Eigen dominannya adalah 𝜆3 = 3.

2. Vektor Eigen

Setelah mendapatkan nilai Eigen 𝜆 kemudian dapat dihitung untuk vektor

Eigen yang bersesuaian dengan 𝜆 yang didapat melalui persamaan berikut

(𝜆𝐼 − 𝐴)𝒚 = 0 (2.1.10)

Contoh 4

Diberikan matriks 𝐶 sebagai berikut

𝐶 = (5 7−2 −4

)

Tentukan semua nilai Eigen dan vektor Eigen yang ada

Jawab :

Menggunakan Teorema 2.1.3 untuk menentukan nilai Eigen.

|𝜆𝐼 − 𝐶| = 0

|𝜆 (1 00 1

) − (5 7−2 −4

)| = 0

|(𝜆 00 𝜆

) − (5 7−2 −4

)| = 0

|(𝜆 − 5 −72 𝜆 + 4

)| = 0

(𝜆 − 5)(𝜆 + 4)− (−7)(2) = 0

𝜆2 − 5𝜆 + 4𝜆 − 20 + 14 = 0

𝜆2 − 𝜆 − 6 = 0

(𝜆 − 3)(𝜆 + 2) = 0

Jadi nilai Eigen dari 𝐶 ada dua yaitu 𝜆1 = 3 dan 𝜆2 = −2.

Dari definisi,

𝒚 = (𝑦1𝑦2)

adalah vektor Eigen dari 𝐶 yang bersesuaian dengan nilai Eigen 𝜆 jika dan

hanya jika (𝜆𝐼 − 𝐶)𝒚 = 0, maka

(𝜆 − 5 −72 𝜆 + 4

) (𝑦1𝑦2) = (

00)

Hitung nilai Eigen 𝜆 satu per satu. Untuk 𝜆1 = 3 menjadi


10

10

(−2 −72 7

) (𝑦1𝑦2) = (

00)

−2𝑦1 − 7𝑦2 = 0

⟺ 𝑦1 =−7

2𝑦2

2𝑦1 + 7𝑦2 = 0

Dimisalkan 𝑦2 = 𝑠 maka vektor Eigen yang bersesuaian dengan 𝜆1 = 3

adalah

(𝑦1𝑦2) = (

−7𝑠2⁄

𝑠) = 𝑠 (

−72⁄

1)

Untuk 𝜆2 = −2 menjadi

(−7 −72 2

) (𝑦1𝑦2) = (

00)

−7𝑦1 − 7𝑦2 = 0

⟺ 𝑦1 = 𝑦2

2𝑦1 + 2𝑦2 = 0

⟺ 𝑦1 = −𝑦2

Dimisalkan 𝑦2 = 𝑡 maka vektor Eigen yang bersesuaian dengan 𝜆2 = −2

adalah

(𝑦1𝑦2) = (

−𝑡𝑡) = 𝑡 (

−11)

B. Diagonalisasi Matriks

Mendiagonalisasikan matriks berguna untuk mempermudah menghitung

matriks 𝐴𝑘 dengan 𝐴 adalah matriks persegi dan 𝑘 adalah bilangan asli. Apabila

tidak didiagonalisasikan kita harus mengalikan entri-entri matriks tersebut satu

per satu. Namun jika matriks tersebut telah diubah ke dalam matriks diagonal

maka hanya tinggal menghitung pangkat dari entri tak nolnya.

Definisi 2.2.1

Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks persegi, maka 𝐵 dikatakan serupa (similar) dengan

𝐴 jika ada matriks 𝑃 yang mempunyai invers sehingga 𝐵 = 𝑃−1𝐴𝑃. (Wono

Setya B, 1995 : 281)


11

11

Matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 disebut dapat didiagonalkan jika matriks

tersebut serupa dengan matriks diagonal 𝐷, apabila ada matriks 𝑃 yang

mempunyai invers sehingga 𝐴 = 𝑃−1𝐷𝑃. Ada teorema yang mengatur syarat

suatu matriks dapat didiagonalkan. Namun sebelumnya akan didefinisikan

kumpulan vektor yang bebas linear terlebih dahulu.

Definisi 2.2.2

Himpunan vektor {𝒚𝟏, 𝒚𝟐, … , 𝒚𝒏} disebut bebas linear jika persamaan

𝑠1𝒚𝟏 + 𝑠2𝒚𝟐 + …+ 𝑠𝑛𝒚𝒏 = 𝟎 (2.2.3)

Hanya dipenuhi jika 𝑠1 = 𝑠2 = ⋯ = 𝑠𝑛 = 0. (Wono Setya B, 1995 : 175)

Contoh 5

Selidiki sifat bebas linear dari vektor 𝒚𝟏 = (0, 1, −3), 𝒚𝟐 = (0, 2, −5), dan

𝒚𝟑 = (1, 0, 2).

Jawab :

Cari nilai 𝑠1, 𝑠2 dan 𝑠3 yang memenuhi

𝑠1𝒚𝟏 + 𝑠2𝒚𝟐 + 𝑠3𝒚𝟑 = 𝟎

Sistem persamaan yang muncul adalah

{

𝑠3 = 0𝑠1 + 2𝑠2 = 0

−3𝑠1 − 5𝑠2 + 2𝑠3 = 0

sehingga

𝑠3 = 0 dan 𝑠1 = −2𝑠2

−3𝑠1 − 5𝑠2 + 2𝑠3 = −3(−2𝑠2) − 5𝑠2 + 0

= 6𝑠2 − 5𝑠2

0 = 𝑠2

Karena 𝑠2 = 0 maka 𝑠1 = 0

Diperoleh nilai 𝑠1 = 𝑠2 = 𝑠3 = 0.

Jadi vektor 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 dan 𝒚𝟑 bebas linear.


12

12

Teorema 2.2.4 ( Syarat matriks yang dapat didiagonalkan )

Matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 dapat didiagonalkan jika dan hanya jika matriks 𝐴

mempunyai 𝑛 buah vektor Eigen yang bebas linear. (Wono Setya B, 1995 :

282)

Bukti :

(⟹)

Matriks 𝐴 dapat didiagonalkan sehingga matriks 𝐴 similar terhadap matriks

diagonal 𝐷 dengan elemen diagonalnya 𝜆1, … , 𝜆𝑛. Misalkan 𝑃 matriks

𝑃 = (𝒚1 𝒚2 ⋯ 𝒚𝑛)

sehingga 𝑃−1𝐴𝑃 = 𝐷.

𝑃𝑃−1𝐴𝑃 = 𝑃𝐷

𝐼𝐴𝑃 = 𝑃𝐷

𝐴𝑃 = 𝑃𝐷

Kemudian subsitusikan matriks 𝑃 sehingga

𝐴𝑃 = 𝑃𝐷

𝐴(𝒚1 𝒚2 ⋯ 𝒚𝑛) = (𝒚1 𝒚2 ⋯ 𝒚𝑛)

(

𝜆1 0 0 ⋯ 00 𝜆2 0 ⋯ 00 0 𝜆3 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 𝜆𝑛)

(𝐴𝒚1 𝐴𝒚2 ⋯ 𝐴𝒚𝑛) = (𝜆1𝒚1 𝜆2𝒚2 ⋯ 𝜆𝑛𝒚𝑛)

Karena 𝐴𝑃 = 𝑃𝐷 maka berlaku

𝐴𝒚𝑗 = 𝜆𝑗𝒚𝑗

untuk 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛. Berarti bahwa 𝒚𝑗 merupakan vektor Eigen dengan nilai

Eigen yang berkaitan dengan 𝜆𝑗. Karena 𝑃 matriks yang mempunyai invers,

vektor 𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑛 harus bebas linear. ∎

(⇐)

Misalkan 𝐴 matriks berukuran 𝑛 × 𝑛. Asumsikan 𝐴 mempunyai 𝑛 buah vektor

Eigen yang bebas linear yaitu 𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑛 . Misalkan 𝑃 matriks yang entri

kolomnya adalah vektor Eigen sebagai berikut

𝑃 = (𝒚1 𝒚2 ⋯ 𝒚𝑛)

Matriks tersebut tak singular karena mempunyai 𝑛 vektor kolom di ℝ𝑛 yang

bebas linear. Maka


13

13

𝐴𝑃 = 𝐴(𝒚1 𝒚2 ⋯ 𝒚𝑛)

= (𝐴𝒚1 𝐴𝒚2 ⋯ 𝐴𝒚𝑛)

Dengan demikian

𝐴𝑃 = (𝜆1𝒚1 𝜆2𝒚2 ⋯ 𝜆𝑛𝒚𝑛)

Karena 𝐴𝒚𝑖 = 𝜆𝑖𝒚𝑖, dengan 𝜆𝑖 adalah nilai Eigen yang bersesuaian dengan

vektor Eigen 𝒚𝑖. Dalam hal ini, mungkin terjadi bahwa beberapa vektor Eigen

yang berbeda memiliki nilai Eigen yang sama.

Misalkan matriks 𝐷 adalah matriks diagonal yang berisi nilai Eigen 𝜆𝑖 yang

bersesuaian dengan 𝒚𝑖, dapat ditulis

𝑃𝐷 = (𝒚1 𝒚2 ⋯ 𝒚𝑛)

(

𝜆1 0 0 ⋯ 00 𝜆2 0 ⋯ 00 0 𝜆3 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮0 0 0 ⋯ 𝜆𝑛)

= (𝜆1𝒚1 𝜆2𝒚2 ⋯ 𝜆𝑛𝒚𝑛)

Maka dapat disimpulkan bahwa

𝐴𝑃 = 𝑃𝐷

karena 𝑃 mempunyai invers, maka persamaan di atas dapat dikalikan dengan

𝑃−1 diperoleh

𝑃−1𝐴𝑃 = 𝑃−1𝑃𝐷

𝑃−1𝐴𝑃 = 𝐼𝐷

𝑃−1𝐴𝑃 = 𝐷

Terbukti matriks 𝐴 dapat didiagonalkan. ∎

Suatu matriks yang berukuran 𝑛 × 𝑛 dapat mempunyai maksimal

sebanyak 𝑛 buah nilai Eigen. Namun dimungkinkan diantara 𝑛 buah nilai Eigen

tersebut ada yang sama. Untuk nilai Eigen yang sama dapat diambil salah satu

saja untuk mengetahui vektor Eigen yang bersesuaian.


14

14

Teorema 2.2.5 ( Vektor Eigen yang berkaitan dengan nilai Eigen )

Misalkan 𝒚1 dan 𝒚2 adalah dua vektor Eigen dari matriks 𝐴 yang berkaitan

dengan nilai Eigen 𝜆1 dan 𝜆2. Jika 𝜆1 ≠ 𝜆2 maka {𝒚1, 𝒚2} bebas linear. (Wono

Setya B, 1995 : 283)

Bukti :

Karena 𝒚1 dan 𝒚2 merupakan vektor Eigen dengan nilai Eigen masing-masing

𝜆1 dan 𝜆2 maka

𝐴𝒚1 = 𝜆1𝒚1 dan 𝐴𝒚2 = 𝜆2𝒚2 (2.2.6)

Untuk menunjukan kedua vektor Eigen bebas linear maka perlu dicari bilangan

𝑠1 dan 𝑠2 yang memenuhi

𝑠1𝒚1 + 𝑠2𝒚2 = 𝟎 (2.2.7)

Kalikan persamaan (2.2.5) dengan matriks 𝐴 dan diperoleh

𝐴(𝑠1𝒚1 + 𝑠2𝒚2) = 𝟎

𝑠1𝐴𝒚1 + 𝑠2𝐴𝒚2 = 𝟎 (2.2.8)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (2.2.6) , diperoleh

𝑠1𝜆1𝒚1 + 𝑠2𝜆2𝒚2 = 𝟎 (2.2.9)

Misalkan 𝜆1 ≠ 0 kemudian kalikan 𝜆1 dengan persamaan (2.2.7) lalu

kurangkan dengan persamaan (2.2.9) sehingga

𝜆1(𝑠1𝒚1 + 𝑠2𝒚2) = 0

𝑠1𝜆1𝒚1 + 𝑠2𝜆1𝒚2 = 0

(𝑠1𝜆1𝒚1 + 𝑠2𝜆1𝒚2) − (𝑠1𝜆1𝒚1 + 𝑠2𝜆2𝒚2) = 0

𝑠1𝜆1𝒚1 − 𝑠1𝜆1𝒚1 + 𝑠2𝜆1𝒚2 − 𝑠2𝜆2𝒚2 = 0

𝑠2𝜆1𝒚2 − 𝑠2𝜆2𝒚2 = 0

𝑠2(𝜆1 − 𝜆2)𝒚2 = 0 (2.2.10)

Karena (𝜆1 − 𝜆2)𝒚2 ≠ 0 maka 𝑠2 = 0. Kemudian substitusikan nilai 𝑠2 ke

persamaan (2.2.7), dan diperoleh 𝑠1𝒚1 = 𝟎. Karena 𝒚1 ≠ 0 maka 𝑠1 = 0.

Dengan demikian kedua vektor bebas linear. ∎

Teorema 2.2.5 hanya berlaku secara khusus untuk dua nilai Eigen dan vektor

Eigen. Secara umum dijelaskan dalam Teorema 2.2.11.


15

15

Teorema 2.2.11 ( Matriks 𝑛 × 𝑛 yang mempunyai 𝑛 buah nilai Eigen )

Jika matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 mempunyai 𝑛 buah nilai Eigen yang berbeda,

maka 𝐴 dapat didiagonalkan. (Wono Setya B, 1995 : 284)

Pembuktian Teorema 2.2.11 menggunakan induksi matematis.

Pembuktian dengan induksi matematis :

1. Langkah awal : teorema tersebut bernilai benar untuk 𝑛 = 2, karena

matriks 𝐴 berukuran 2 × 2 mempunyai dua buah vektor Eigen 𝒚1 dan 𝒚2

yang bersesuaian dengan nilai-nilai Eigen yang berbeda 𝜆1 dan 𝜆2 maka

berdasarkan Teorema 2.2.5 𝒚1 dan 𝒚2 bebas linear. Sehingga menurut

Teorema 2.2.4 matriks 𝐴 dapat didiagonalkan.

2. Langkah induksi : misalkan teorema tersebut benar untuk 𝑛 = 𝑘, yaitu

matriks 𝐴 berukuran 𝑘 × 𝑘 mempunyai 𝑘 buah vektor Eigen yakni

𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑘 yang bersesuaian dengan nilai-nilai Eigen yang berbeda

𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑘. Karena 𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑘 bebas linear maka menurut

Teorema 2.2.4 matriks 𝐴 dapat didiagonalkan.

Akan dibuktikan bahwa teorema juga berlaku untuk = 𝑘 + 1 :

Misalkan 𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑘+1 adalah vektor Eigen dari matriks 𝐴 berukuran

(𝑘 + 1) × (𝑘 + 1) yang bersesuaian dengan nilai-nilai Eigen yang

berbeda 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑘+1. Akan dibuktikan bahwa {𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑘+1}

adalah himpunan bebas linear.

Diasumsikan {𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑘+1} tidak bebas linear. Dengan demikian,

skalar 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … , 𝑠𝑘+1 tidak semuanya bernilai nol, sehingga

𝑠1𝒚1 + 𝑠2𝒚2 + 𝑠3𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘+1𝒚𝑘+1 = 𝟎 (2.2.12)

Karena 𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑘+1 adalah vektor Eigen yang bersesuaian dengan

masing-masing nilai Eigen 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑘+1 maka

𝐴𝒚1 = 𝜆1𝒚1, 𝐴𝒚2 = 𝜆2𝒚2, 𝐴𝒚3 = 𝜆3𝒚3, … , 𝐴𝒚𝑘+1 = 𝜆𝑘+1𝒚𝑘+1 (2.2.13)

Kalikan persamaan (2.2.12) dengan matriks 𝐴

𝐴(𝑠1𝒚1 + 𝑠2𝒚2 + 𝑠3𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘+1𝒚𝑘+1) = 𝟎

𝑠1𝐴𝒚1 + 𝑠2𝐴𝒚2 + 𝑠3𝐴𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘+1𝐴𝒚𝑘+1 = 𝟎

Dengan menggunakan persamaan (2.2.13) diperoleh


16

16

𝑠1𝜆1𝒚1 + 𝑠2𝜆2𝒚2 + 𝑠3𝜆3𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒚𝑘+1 = 𝟎 (2.2.14)

Misalkan 𝜆𝑘+1 ≠ 0 kemudian kalikan 𝜆𝑘+1 dengan persamaan (2.2.12)

𝜆𝑘+1(𝑠1𝒚1 + 𝑠2𝒚2 + 𝑠3𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘+1𝒚𝑘+1) = 𝟎

𝑠1𝜆𝑘+1𝒚1 + 𝑠2𝜆𝑘+1𝒚2 + 𝑠3𝜆𝑘+1𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒚𝑘+1 = 𝟎

Persamaan (2.2.14) dikurangkan dengan persamaan yang diperoleh

sehingga

(𝑠1𝜆1𝒚1 + 𝑠2𝜆2𝒚2 + 𝑠3𝜆3𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒚𝑘+1) − (𝑠1𝜆𝑘+1𝒚1 +

𝑠2𝜆𝑘+1𝒚2 + 𝑠3𝜆𝑘+1𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒚𝑘+1) = 𝟎

𝑠1𝜆1𝒚1 − 𝑠1𝜆𝑘+1𝒚1 + 𝑠2𝜆2𝒚2 − 𝑠2𝜆𝑘+1𝒚2 + 𝑠3𝜆3𝒚3 − 𝑠3𝜆𝑘+1𝒚3 +⋯+

𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒚𝑘+1 − 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒚𝑘+1 = 𝟎

𝑠1(𝜆1 − 𝜆𝑘+1)𝒚1 + 𝑠2(𝜆2 − 𝜆𝑘+1)𝒚2 + 𝑠3(𝜆3 − 𝜆𝑘+1)𝒚3 +⋯+ 𝑠𝑘(𝜆𝑘 −

𝜆𝑘+1)𝒚𝑘 = 𝟎

Karena {𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑘} merupakan himpunan bebas linear sehingga

persamaan ini menjadi

𝑠1(𝜆1 − 𝜆𝑘+1) = 𝑠2(𝜆2 − 𝜆𝑘+1) = 𝑠3(𝜆3 − 𝜆𝑘+1) = ⋯ = 𝑠𝑘(𝜆𝑘 −

𝜆𝑘+1) = 0

Dan karena 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑘+1 berbeda, maka diperoleh

𝑠1 = 𝑠2 = 𝑠3 = ⋯ = 𝑠𝑘 = 0 (2.2.15)

Subsitusikan nilai-nilai di atas ke persamaan (2.2.12) dan diperoleh

𝑠𝑘+1𝒚𝑘+1 = 𝟎

Karena vektor Eigen 𝒚𝑘+1 tak nol, maka

𝑠𝑘+1 = 0 (2.2.16)

Persamaan (2.2.15) dan (2.2.16) bertentangan dengan pernyataan bahwa

𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … , 𝑠𝑘+1 tidak semuanya bernilai nol, sehingga muncul

kontradiksi. Jadi terbukti bahwa {𝒚1, 𝒚2, 𝒚3, … , 𝒚𝑘+1} bebas linear.

Sehingga menurut Teorema 2.2.4 matriks 𝐴 dapat didiagonalkan.

Maka terbukti bahwa Teorema 2.2.11 benar untuk matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛

yang mempunyai 𝑛 buah nilai Eigen yang berbeda sehingga 𝐴 dapat

didiagonalkan. ∎


17

17

Contoh 6

Diberikan matriks 𝐵 berikut

𝐵 = (3 0 0−4 6 216 −15 −5

)

Mempunyai nilai Eigen dan vektor Eigen berikut

𝜆1 = 0; 𝒚1 = (0,1, −3)

𝜆2 = 1; 𝒚2 = (0,2, −5)

𝜆3 = 3; 𝒚3 = (1,0,2)

Diagonalisasikan matriks 𝐵 tersebut.

Jawab :

Dari contoh 5 telah ditunjukan bahwa ketiga vektor Eigen bebas linear. Maka

matriks B dapat didiagonalkan menjadi

𝐷 = 𝑃−1𝐵𝑃

𝑃 = (𝒚1 𝒚2 ⋯ 𝒚𝑛)

𝑃 = (0 0 11 2 0−3 −5 2

)

Hitung 𝑃−1.

𝐾𝑜𝑓(𝑃) =

(

+ |2 0−5 2

| − |1 0−3 2

| + |1 2−3 −5

|

− |0 1−5 2

| + |0 1−3 2

| − |0 0−3 −5

|

+ |0 12 0

| − |0 11 0

| + |0 01 2

| )

𝐾𝑜𝑓(𝑃) = (4 −2 1−5 3 0−2 1 0

)

𝐴𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛 (𝑃) = (4 −5 −2−2 3 11 0 0

)

𝐷𝑒𝑡 (𝑃) = |0 0 11 2 0−3 −5 2

|

= 0 − 0 + 1 |1 2−3 −5

|

= −5 − (−6)

= 1


18

18

𝑃−1 = 1(4 −5 −2−2 3 11 0 0

)

𝑃−1 = (4 −5 −2−2 3 11 0 0

)

sehingga

𝐷 = 𝑃−1𝐵𝑃

= (4 −5 −2−2 3 11 0 0

)(3 0 0−4 6 216 −15 −5

)(0 0 11 2 0−3 −5 2

)

= (12 + 20 − 32 0 − 30 + 30 0 − 10 + 10−6 − 12 + 16 0 + 18 − 15 0 + 6 − 53 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0

)(0 0 11 2 0−3 −5 2

)

= (0 0 0−2 3 13 0 0

)(0 0 11 2 0−3 −5 2

)

= (0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 0 + 0 + 00 + 3 − 3 0 + 6 − 5 −2 + 0 + 20 + 0 + 0 0 + 0 + 0 3 + 0 + 0

)

= (0 0 00 1 00 0 3

)

Namun apabila suatu matriks hanya memiliki 𝑘 < 𝑛 buah nilai Eigen

berbeda belum tentu matriks tersebut dapat didiagonalkan.

Contoh 7

Diberikan matriks 𝐴 berikut

𝐴 = (4 −2 12 0 12 −2 3

)

Mempunyai nilai Eigen dan vektor Eigen berikut

𝜆1 = 2; 𝒚1 = (1,1,0)

𝒚2 = (−1,0,2)

𝜆2 = 3; 𝒚3 = (1,1,1)

Diagonalisasikan matriks 𝐴 tersebut.

Jawab :

Akan ditunjukan bahwa ketiga vektor tersebut bebas linear.


19

19

Cari nilai 𝑠1, 𝑠2 dan 𝑠3 yang memenuhi

𝑠1𝒚𝟏 + 𝑠2𝒚𝟐 + 𝑠3𝒚𝟑 = 𝟎

Sistem persamaan yang muncul adalah

{

𝑠1 − 𝑠2 + 𝑠3 = 0𝑠1 + 𝑠3 = 02𝑠2 + 𝑠3 = 0

sehingga

𝑠1 = −𝑠3 dan 𝑠2 = −1

2𝑠3

𝑠1 − 𝑠2 + 𝑠3 = −𝑠3 −1

2𝑠3 + 𝑠3

= −1

2𝑠3

0 = 𝑠3

Karena 𝑠3 = 0 maka 𝑠1 = 𝑠2 = 0

Diperoleh nilai 𝑠1 = 𝑠2 = 𝑠3 = 0.

Jadi vektor 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 dan 𝒚𝟑 bebas linear.

Karena vektor 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 dan 𝒚𝟑 bebas linear maka matriks 𝐴 dapat didiagonalkan

menjadi

𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃

𝑃 = (𝒚1 𝒚2 ⋯ 𝒚𝑛)

𝑃 = (1 −1 11 0 10 2 1

)

Hitung 𝑃−1.

𝐾𝑜𝑓(𝑃) =

(

+ |0 12 1

| − |1 10 1

| + |1 00 2

|

− |−1 12 1

| + |1 10 1

| − |1 −10 2

|

+ |−1 10 1

| − |1 11 1

| + |1 −11 0

|)

𝐾𝑜𝑓(𝑃) = (−2 −1 23 1 −2−1 0 1

)

𝐴𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛 (𝑃) = (−2 3 −1−1 1 02 −2 1

)

𝐷𝑒𝑡 (𝑃) = |1 −1 11 0 10 2 1

|


20

20

= 1 |0 12 1

| − 1 |−1 12 1

| + 0

= −2 − (−3)

= 1

𝑃−1 = 1(−2 3 −1−1 1 02 −2 1

)

𝑃−1 = (−2 3 −1−1 1 02 −2 1

)

sehingga

𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃

= (−2 3 −1−1 1 02 −2 1

)(4 −2 12 0 12 −2 3

)(1 −1 11 0 10 2 1

)

= (−8 + 6 − 2 4 + 0 + 2 −2 + 3 − 3−4 + 2 + 0 2 + 0 − 0 −1 + 1 + 08 − 4 + 2 −4 − 0 − 2 2 − 2 + 3

)(1 −1 11 0 10 2 1

)

= (−4 6 −2−2 2 06 −6 3

)(1 −1 11 0 10 2 1

)

= (−4 + 6 − 0 4 + 0 − 4 −4 + 6 − 2−2 + 2 + 0 2 + 0 + 0 −2 + 2 + 06 − 6 + 0 −6 − 0 + 6 6 − 6 + 3

)

= (2 0 00 2 00 0 3

)


21

BAB III

PENERAPAN MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI JUMLAH

DAN LAJU POPULASI PEREMPUAN

A. Model Matriks Leslie Dalam Prediksi Populasi Perempuan

Salah satu model pertumbuhan populasi yang digunakan ahli demografi

yaitu model Leslie. Model tersebut dinamakan model Leslie berdasarkan nama

penemunya yaitu P.H Leslie pada tahun 1945. Model Leslie digunakan untuk

memprediksi jumlah dan laju populasi perempuan atau populasi betina pada

hewan. Dalam tugas akhir ini, penulis hanya akan membahas matriks Leslie

untuk memprediksi jumlah dan laju populasi perempuan. Berikut ini adalah

bentuk umum dari matriks Leslie yang dinyatakan sebagai berikut :

𝐿 =

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

Koefisien 𝑎𝑖 didefinisikan sebagai tingkat kesuburan perempuan pada

kelompok umur ke-𝑖 dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, sedangkan 𝑏𝑗 didefinisikan sebagai

tingkat ketahanan hidup perempuan pada kelompok umur ke-𝑗 dengan 𝑗 =

1,2, … , 𝑛 − 1.

Diasumsikan bahwa perubahan populasi hanya dipengaruhi oleh proses

kelahiran dan proses kematian saja dan dianggap tidak ada proses perpindahan

penduduk masuk atau keluar di suatu daerah yang diteliti. Dalam model Leslie,

populasi perempuan dibagi ke dalam beberapa kelompok umur. Jika usia hidup

maksimal perempuan di daerah tersebut yaitu 𝑀 tahun dan populasi dibagi

menjadi 𝑛 kelompok umur, maka masing-masing kelompok umur memiliki

interval umur 𝑀/𝑛 tahun. Untuk lebih jelas dapat dilihat pada Tabel 1.1

berikut:


22

22

Tabel 1.1

Penentuan Interval Umur

Kelompok Umur Interval Umur

1 [0,𝑀 𝑛⁄ )

2 [𝑀 𝑛⁄ , 2𝑀 𝑛⁄ )

3 [2𝑀 𝑛⁄ , 3𝑀 𝑛⁄ )

⋮ ⋮

𝑛 − 1 [(𝑛 − 2)𝑀 𝑛⁄ , (𝑛 − 1)𝑀 𝑛⁄ )

𝑛 [(𝑛 − 1)𝑀 𝑛⁄ ,𝑀]

Misalnya diketahui jumlah populasi perempuan di masing-masing

kelompok umur pada waktu 𝑡 = 0 yaitu jika 𝑥1(0) adalah jumlah perempuan

pada kelompok umur pertama, 𝑥2(0) adalah jumlah perempuan pada kelompok

umur kedua, dan seterusnya sampai dengan 𝑥𝑛(0) yaitu jumlah perempuan

pada kelompok umur 𝑛. Dengan 𝑛 jumlah tersebut dapat dibentuk dalam suatu

vektor kolom yang disebut vektor distribusi umur awal sebagai berikut :

𝒙(0) =

(

𝑥1(0)𝑥2(0)𝑥3(0)⋮

𝑥𝑛(0))

Seiring berjalannya waktu, jumlah perempuan dalam setiap kelompok

ke-𝑛 mengalami perubahan. Perubahan ini disebabkan oleh dua faktor biologis

yaitu kelahiran dan kematian. Misalnya waktu pengamatan 𝑡0, 𝑡1, 𝑡2, … , 𝑡𝑚, … .

Diasumsikan bahwa persyaratan dari model Leslie ialah kurun waktu diantara

dua waktu pengamatan yang berturut-turut adalah sama dengan kurun waktu

interval umur. Maka dari itu dibuatlah persamaan sebagai berikut :

𝑡0 = 0

𝑡1 = 𝑀/𝑛


23

23

𝑡2 = 2𝑀/𝑛

⋮

𝑡𝑚 = 𝑚𝑀/𝑛

⋮

Dengan asumsi tersebut, maka semua perempuan dalam kelompok umur ke-𝑖

pada waktu pengamatan 𝑡𝑘 akan berada dalam kelompok umur ke-(𝑖 + 1) pada

waktu pengamatan 𝑡𝑘+1 dimana 𝑘 = 1, 2, 3, ….

Proses kelahiran dan kematian berpengaruh untuk menentukan dua

komponen penting dari matriks Leslie yaitu tingkat kesuburan perempuan pada

kelompok umur ke-𝑖 ( 𝑎𝑖 ) dan tingkat ketahanan hidup perempuan pada

kelompok umur ke-𝑗 ( 𝑏𝑗 ). Cara menentukan 𝑎𝑖 adalah dengan menghitung

rata-rata banyaknya anak perempuan yang dilahirkan oleh ibu selama ia berada

dalam kelompok umur ke-𝑖. Sedangkan 𝑏𝑗 adalah peluang banyaknya

perempuan dalam kelompok umur ke-𝑗 yang diharapkan bertahan hidup sampai

kelompok umur ke-(𝑗 + 1).

Berdasarkan penjelasan di atas akan didapatkan dua batasan untuk 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑗,

yaitu :

1. 𝑎𝑖 ≥ 0 untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛

2. 0 < 𝑏𝑗 ≤ 1 untuk 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑛 − 1

Perhatikan bahwa paling sedikit satu kelompok umur dari 𝑎𝑖 bernilai

positif, karena jika 𝑎𝑖 = 0, ∀𝑖, maka pada semua kelompok umur tidak ada

kelahiran yang terjadi. Kemudian tidak diperbolehkan 𝑏𝑗 = 0, karena apabila

𝑏𝑗 = 0, ∀𝑗 maka tidak ada perempuan yang dapat bertahan hidup ke kelompok

umur berikutnya. Setiap kelompok umur yang memiliki nilai 𝑎𝑖 positif

dinamakan kelompok usia subur ( fertile age class).

Kemudian didefinisikan vektor distribusi umur 𝒙(𝑘) pada waktu

pengamatan 𝑡𝑘 sebagai berikut :


24

24

𝒙(𝑘) =

(

𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)𝑥3(𝑘)⋮

𝑥𝑛(𝑘))

Dengan 𝑥𝑖(𝑘) adalah jumlah seluruh perempuan dalam kelompok umur ke-𝑖

pada waktu pengamatan 𝑡𝑘. Pada waktu pengamatan 𝑡𝑘, perempuan yang

berada pada kelompok umur pertama merupakan anak perempuan yang lahir

diantara waktu pengamatan 𝑡𝑘−1 dan 𝑡𝑘. Lebih jelas dapat dituliskan sebagai :

{

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑚𝑢𝑟 𝑘𝑒 − 1𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑡𝑘}

=

{

𝑅𝑎𝑡𝑎 − 𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑎𝑛𝑎𝑘𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛𝑦𝑎𝑛𝑔

𝑑𝑖𝑙𝑎ℎ𝑖𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑖𝑏𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 1 𝑑𝑖𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑘−1 𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑘 }

+

{


𝑑𝑖𝑙𝑎ℎ𝑖𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑖𝑏𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 2 𝑑𝑖𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑘−1 𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑘 }

+⋯+

{


𝑑𝑖𝑙𝑎ℎ𝑖𝑟𝑘𝑎𝑛 𝑜𝑙𝑒ℎ 𝑖𝑏𝑢 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑛 𝑑𝑖𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑎𝑛𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑘−1 𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑘 }

Secara matematis dapat dituliskan dalam persamaan berikut :

𝑥1(𝑘) = 𝑎1𝑥1(𝑘 − 1) + 𝑎2𝑥2(𝑘 − 1) + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛(𝑘 − 1)

= ∑ 𝑎𝑖𝑥𝑖(𝑘 − 1)𝑛𝑖=1 (3.1)

Banyaknya perempuan dari kelompok umur ke-(𝑖 + 1) dengan 𝑖 =

1, 2, 3, … , 𝑛 − 1 saat waktu pengamatan ke-𝑘 (𝑡𝑘) merupakan perempuan dari

kelompok umur ke-𝑖 pada waktu pengamatan 𝑡𝑘−1 dan masih hidup sampai

dengan waktu pengamatan 𝑡𝑘. Dapat dirumuskan sebagai berikut :

{

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠𝑘𝑒 − (𝑖 + 1) 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑘}

=

{

𝑃𝑒𝑙𝑢𝑎𝑛𝑔𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛

𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑖ℎ ℎ𝑖𝑑𝑢𝑝

𝑠𝑎𝑚𝑝𝑎𝑖 𝑘𝑒 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − (𝑖 + 1) }

{

𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑒𝑚𝑝𝑢𝑎𝑛

𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑎𝑠 𝑘𝑒 − 𝑖𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛

𝑡𝑘−1 }

Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :

𝑥𝑖+1(𝑘) = 𝑏𝑖𝑥𝑖(𝑘 − 1), 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 − 1 (3.2)

Dari persamaan (3.1) dan persamaan (3.2) dapat dibentuk model pertumbuhan

populasi dengan notasi matriks sebagai berikut :


25

25

(

𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)𝑥3(𝑘)⋮

𝑥𝑛(𝑘))

=

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

(

𝑥1(𝑘 − 1)𝑥2(𝑘 − 1)𝑥3(𝑘 − 1)

⋮𝑥𝑛(𝑘 − 1))

Atau model pertumbuhan populasi dapat dituliskan dengan persamaan berikut

𝒙(𝑘) = 𝐿𝒙(𝑘 − 1) (3.3)

untuk 𝑘 = 1, 2, 3, …

dan 𝐿 adalah matriks Leslie yang berukuran 𝑛 × 𝑛

𝐿 =

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

Model pertumbuhan populasi pada persamaan (3.3) digunakan untuk

memprediksi jumlah populasi perempuan satu tahap berikutnya. Untuk

mengetahui prediksi jumlah pertumbuhan populasi hingga 𝑘 tahap berikutnya

maka harus dilakukan pengembangan. Dari persamaan (3.3) didapatkan bahwa

𝒙(1) = 𝐿𝒙(0)

𝒙(2) = 𝐿𝒙(1) = 𝐿𝐿𝒙(0) = 𝐿2𝒙(0)

𝒙(3) = 𝐿𝒙(2) = 𝐿𝐿2𝒙(0) = 𝐿3𝒙(0)

⋮

𝒙(𝑘) = 𝐿𝒙(𝑘 − 1) = 𝐿𝐿𝑘−1𝒙(0) = 𝐿𝑘𝒙(0)

Sehingga untuk 𝑘 tahap berikutnya, model pertumbuhan populasi menjadi

𝒙(𝑘) = 𝐿𝑘𝒙(0) (3.4)

Jadi, jika diketahui distribusi umur awal 𝒙(0) dan matriks Leslie 𝐿, maka dapat

ditentukan pula distribusi umur perempuan pada sebarang waktu berikutnya.

Walaupun persamaan (3.4) dapat memberikan distribusi umur dari

populasi perempuan di sebarang waktu, namun belum dapat memberikan suatu


26

26

gambaran umum mengenai dinamika proses pertumbuhan populasi tersebut.

Perlu adanya penyelidikan nilai-nilai Eigen dan vektor-vektor Eigen dari

matriks Leslie. Persamaan karakteristik matriks Leslie adalah

𝑝(𝜆) = |𝜆𝐼 − 𝐿|

= ||𝜆

(

1 0 0 0 00 1 0 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 1 00 0 0 0 1)

−

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

||

= ||

(

𝜆 0 0 0 00 𝜆 0 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 𝜆 00 0 0 0 𝜆)

−

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

||

=||

(

𝜆 − 𝑎1 −𝑎2 −𝑎3 ⋯ −𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛−𝑏1 𝜆 0 ⋯ 0 00 −𝑏2 𝜆 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ −𝑏𝑛−1 𝜆 )

||

= 𝜆𝑛 − 𝑎1𝜆𝑛−1 − 𝑎2𝑏1𝜆

𝑛−2 − 𝑎3𝑏1𝑏2𝜆𝑛−3⋯− 𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1 (3.5)

Untuk menentukan akar-akar dari polinomal ini, dapat digunakan fungsi

sebagai berikut :

𝑞(𝜆) =𝑎1

𝜆+𝑎2𝑏1

𝜆2+𝑎3𝑏1𝑏2

𝜆3+⋯+

𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1

𝜆𝑛 (3.6)

Dengan menggunakan fungsi 𝑞(𝜆) dan persamaan karakteristik 𝑝(𝜆) = 0

dapat dituliskan sebagai :

𝑝(𝜆) = 0

⟺ 𝜆𝑛 − 𝑎1𝜆𝑛−1 − 𝑎2𝑏1𝜆

𝑛−2 − 𝑎3𝑏1𝑏2𝜆𝑛−3⋯− 𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1 = 0 (3.7)

Persamaan (3.7) dibagi dengan 𝜆𝑛, maka akan diperoleh persamaan :

⟺𝜆𝑛−𝑎1𝜆

𝑛−1−𝑎2𝑏1𝜆𝑛−2−𝑎3𝑏1𝑏2𝜆

𝑛−3⋯−𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1

𝜆𝑛=

0

𝜆𝑛

⟺ 1− 𝑎1𝜆−1 − 𝑎2𝑏1𝜆

−2 − 𝑎3𝑏1𝑏2𝜆−3⋯− 𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1𝜆

−𝑛 = 0


27

27

⟺ 1−𝑎1

𝜆1−𝑎2𝑏1

𝜆2−𝑎3𝑏1𝑏2

𝜆3⋯−


𝜆𝑛= 0

⟺ 1− (𝑎1

𝜆+𝑎2𝑏1

𝜆2+𝑎3𝑏1𝑏2

𝜆3⋯+


𝜆𝑛) = 0 (3.8)

Dari persamaan (3.6) sehingga persamaan (3.8) dan diperoleh persamaan :

⟺ 1− (𝑞(𝜆)) = 0 (3.9)

Disetiap ruas pada persamaan (3.9) ditambahkan (-1) dan menjadi :

⟺−1+ 1 − (𝑞(𝜆)) = −1 + 0

⟺−(𝑞(𝜆)) = −1 (3.10)

Kemudian setiap ruas pada persamaan (3.10) dikalikan (-1) maka :

⟺−(𝑞(𝜆))(−1) = (−1)(−1)

⟺ 𝑞(𝜆) = 1

Maka didapatkan hasil bahwa

𝑞(𝜆) = 1 untuk 𝜆 ≠ 0 (3.11)

Untuk mengetahui fungsi 𝑞(𝜆) merupakan fungsi naik atau turun dan

kecekungan fungsi, akan dicari menggunakan turunan pertama dan turunan

kedua diperoleh

𝑞′(𝜆) =−𝑎1

𝜆2−2𝑎2𝑏1

𝜆3−3𝑎3𝑏1𝑏2

𝜆4−⋯−

𝑛𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1

𝜆𝑛+1

𝑞′′(𝜆) =2𝑎1

𝜆3+6𝑎2𝑏1

𝜆4+12𝑎3𝑏1𝑏2

𝜆5+⋯+

(𝑛2+𝑛)𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1

𝜆𝑛+2

Karena 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑗 tak negatif maka 𝑞′(𝜆) < 0 sehingga 𝑞(𝜆) monoton turun

untuk 𝜆 > 0 dan 𝑞′′(𝜆) > 0 sehingga 𝑞(𝜆) cekung ke atas untuk 𝜆 > 0. Serta

𝑞(𝜆) memiliki asimtot tegak pada saat 𝜆 = 0 dan mendekati nol untuk 𝜆 → ∞.

Secara umum grafik 𝑞(𝜆) akan berbentuk seperti Gambar 3.1.1.


28

28

q(λ)

λ 0

1

λ1

Gambar 3.1.1 Grafik Fugsi 𝑞(𝜆)

Pada Gambar 3.1.1 terdapat suatu 𝜆 yang unik yaitu 𝜆1 sehingga 𝑞(𝜆) = 1.

Dalam kasus ini matriks 𝐿 memiliki sebuah nilai Eigen positif yang

mempunyai multiplisitas 1 yang artinya tidak ada nilai Eigen 𝜆𝑖 dengan 𝑖 =

2, 3, … , 𝑛 yang bernilai sama dengan 𝜆1 atau dapat pula diartikan bahwa 𝜆1

bukanlah akar yang diulang untuk persamaan karakteristik tersebut. Sehingga

dapat diberikan suatu teorema yang berkaitan dengan vektor Eigen yang

bersesuaian dengan 𝜆1 sebagai berikut.

Teorema 3.12

Sebuah matriks Leslie 𝐿 mempunyai sebuah nilai Eigen positif yang unik 𝜆1.

Nilai Eigen ini mempunyai multiplisitas 1 dan mempunyai sebuah vektor Eigen

𝒚1 yang semua entrinya adalah positif.

Bukti :

Misalkan 𝒚1 merupakan suatu vektor Eigen dari 𝐿 yang bersesuaian dengan 𝜆1

yang memenuhi persamaan

(𝜆1𝐼 − 𝐿)𝒚1 = 0

Dimisalkan


29

29

𝒚1 =

(

𝑦1𝑦2𝑦3⋮𝑦𝑛)

Sehingga

(

𝜆1

(

1 0 0 0 00 1 0 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 1 00 0 0 0 1)

−

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

)

𝒚1 = 0

(

(

𝜆1 0 0 0 00 𝜆1 0 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 𝜆1 00 0 0 0 𝜆1)

−

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

)

(


=

(

000⋮0)

(

𝜆1 − 𝑎1 −𝑎2 −𝑎3 ⋯ −𝑎𝑛−1 −𝑎𝑛−𝑏1 𝜆1 0 ⋯ 0 00 −𝑏2 𝜆1 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ −𝑏𝑛−1 𝜆1 )

(


=

(

000⋮0)

(

(𝜆1 − 𝑎1)𝑦1−𝑎2𝑦2 − 𝑎3𝑦3 − 𝑎𝑛−1𝑦𝑛−1 − 𝑎𝑛𝑦𝑛−𝑏1𝑦1 + 𝜆1𝑦2−𝑏2𝑦2 + 𝜆1𝑦3

⋮−𝑏𝑛−1𝑦𝑛−1 + 𝜆1𝑦𝑛 )

=

(

000⋮0)

Diperoleh sistem persamaan linear sebagai berikut

(𝜆1 − 𝑎1)𝑦1−𝑎2𝑦2 − 𝑎3𝑦3 −⋯− 𝑎𝑛−1𝑦𝑛−1 − 𝑎𝑛𝑦𝑛 = 0 (3.13)

−𝑏1𝑦1 + 𝜆1𝑦2 = 0 ⟺ 𝑦2 =𝑏1𝑦1

𝜆1 (3.14)

−𝑏2𝑦2 + 𝜆1𝑦3 = 0 ⟺ 𝑦3 =𝑏2𝑦2

𝜆1⟺ 𝑦3 =

𝑏2𝑏1𝑦1

𝜆12 (3.15)

⋮ (3.16)

−𝑏𝑛−2𝑦𝑛−2 + 𝜆1𝑦𝑛−1 = 0⟺ 𝑦𝑛−1 =𝑏𝑛−2𝑦𝑛−2

𝜆1⟺ 𝑦𝑛−1 =

𝑏𝑛−2…𝑏2𝑏1𝑦1

𝜆1𝑛−2 (3.17)


30

30

−𝑏𝑛−1𝑦𝑛−1 + 𝜆1𝑦𝑛 ⟺ 𝑦𝑛 =𝑏𝑛−1𝑦𝑛−1

𝜆1⟺ 𝑦𝑛 =


𝜆1𝑛−1 (3.18)

Subsitusikan persamaan (3.14), persamaan (3.15), persamaan (3.16),

persamaan (3.17), dan persamaan (3.18) ke persamaan (3.13) sehingga

diperoleh

𝜆1𝑦1 − 𝑎1𝑦1−𝑎2𝑏1𝑦1

𝜆1− 𝑎3

𝑏2𝑏1𝑦1

𝜆12 −⋯− 𝑎𝑛−1


𝜆1𝑛−2 − 𝑎𝑛


𝜆1𝑛−1 = 0

𝑦1 (𝜆1 − 𝑎1−𝑎2𝑏1

𝜆1− 𝑎3

𝑏2𝑏1

𝜆12 −⋯− 𝑎𝑛−1

𝑏𝑛−2…𝑏2𝑏1



𝜆1𝑛−1 ) = 0

Diperoleh

𝑦1 = 0 ∨ (𝜆1 − 𝑎1−𝑎2𝑏1

𝜆1− 𝑎3

𝑏2𝑏1

𝜆12 −⋯− 𝑎𝑛−1




𝜆1𝑛−1 ) = 0 (3.19)

Diketahui bahwa 𝒚𝟏 merupakan suatu vektor Eigen, dimana vektor Eigen

merupakan vektor taknol yang bersesuaian dengan 𝜆1. Namun dari persamaan

(3.18), jika 𝑦1 = 0, maka vektor Eigen 𝒚1 yang bersesuaian dengan 𝜆1

merupakan vektor nol. Sedemikian sehingga dimisalkan 𝑦1 = 𝑡, sehingga

diperoleh

𝑦2 =𝑏1𝜆1𝑡

𝑦3 =𝑏2𝑏1

𝜆12 𝑡

⋮

𝑦𝑛−1 =𝑏𝑛−2…𝑏2𝑏1

𝜆1𝑛−2 𝑡

𝑦𝑛 =𝑏𝑛−1…𝑏2𝑏1

𝜆1𝑛−1 𝑡

Dengan demikian vektor Eigen 𝒚1 yang bersesuaian dengan 𝜆1 adalah :


31

31

𝒚1 =

(

1𝑏1𝜆1𝑏1𝑏2

𝜆12

𝑏1𝑏2𝑏3

𝜆13

⋮𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1

𝜆1𝑛−1 )

𝑡

Karena 𝜆1 hanya memiliki multiplisitas 1, sehingga setiap vektor Eigen yang

bersesuaian dengan 𝜆1 harus merupakan multiplisitas dari 𝒚1. ∎

Dapat diperlihatkan bahwa perilaku jangka panjang dari distribusi umur

populasi ditentukan oleh nilai Eigen positif 𝜆1 dan vektor Eigennya 𝒚1.

Diberikan dua buah pernyataan yang berkaitan dengan matriks Leslie yang

tertulis dalam buku Howard Anton.

1. Jika 𝜆1 adalah nilai Eigen positif yang unik dari sebuah matriks Leslie 𝐿

dan jika 𝜆𝑘 adalah sebarang nilai Eigen real atau kompleks dari 𝐿, maka

|𝜆𝑘| ≤ 𝜆1, 𝑘 = 2, 3, 4, ….

2. Jika dua entri yang berurutan 𝑎𝑖 dan 𝑎𝑖+1 dalam baris pertama dari sebuah

matriks Leslie 𝐿 tidak sama dengan nol maka nilai Eigen positif dari 𝐿

adalah dominan.

Untuk tujuan kita menjadikan 𝜆1 nilai Eigen dominan. Diperlukan 𝜆1

yang memenuhi |𝜆𝑘| < 𝜆1. Dalam kasus ini 𝜆1 adalah nilai Eigen yang

dominan ( dominant Eigenvalue ) dari 𝐿. Namun ada pula matriks Leslie yang

tidak memiliki nilai Eigen dominan seperti contoh 6 berikut.

Contoh 7

Diketahui matriks Leslie

𝐿 =

(

0 0 61

20 0

01

30)


32

32

Persamaan karakteristik matriks Leslie

𝑝(𝜆) = |𝜆𝐼 − 𝐿|

= |𝜆 (1 0 00 1 00 0 1

) − (

0 0 61

20 0

01

30

)|

= |(

𝜆 0 −6

−1

2𝜆 0

0 −1

3𝜆

)|

= 𝜆 |𝜆 0

−1

3𝜆| − 0 + (−6) |

−1

2𝜆

0 −1

3

|

= 𝜆(𝜆2) − 0 + (−6) (1

6)

= 𝜆3 − 1

Akar persamaan diatas adalah nilai Eigen dari 𝐿 yaitu :

𝜆1 = 1, 𝜆2 = −1

2+√3

2𝑖, 𝜆3 = −

1

2−√3

2𝑖

Ketiga nilai Eigen diatas memiliki panjang 1, sehingga 𝜆1 = 1 adalah nilai

Eigen positif yang unik namun bukan nilai Eigen dominan.

Jika populasi perempuan mempunyai dua kelompok umur subur yang

berurutan, maka matriks Leslie tersebut mempunyai sebuah nilai Eigen yang

dominan. Kasus seperti ini selalu terjadi pada populasi umumnya jika kurun

waktu dari kelompok-kelompok umur tersebut cukup kecil. Diasumsikan

bahwa 𝐿 dapat didiagonalisasikan. Dalam kasus ini, matriks Leslie 𝐿

mempunyai 𝑛 nilai Eigen yaitu 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛, yang belum tentu berbeda, dan

𝑛 vektor Eigen yang bebas linear dan bersesuaian dengan nilai Eigen yaitu 𝒚1,

𝒚2, … , 𝒚𝑛. Dibentuk matriks 𝑃 yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor

Eigen dari matriks Leslie :

𝑃 = (𝒚1| 𝒚2| 𝒚3| … |𝒚𝑛) (3.20)


33

33

maka terdapat 𝑃−1 yang merupakan invers dari matriks 𝑃. Diagonalisasi

matriks 𝐿 berbentuk :

𝐿 = 𝑃

(

𝜆1 0 0 0 00 𝜆2 0 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 𝜆𝑛−1 00 0 0 0 𝜆𝑛)

𝑃−1

Untuk 𝐿𝑘 dengan 𝑘 = 1, 2, … maka persamaan diagonalisasi menjadi

𝐿𝑘 = 𝑃

(

𝜆1𝑘 0 0 0 0

0 𝜆2𝑘 0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 𝜆𝑛−1

𝑘 0

0 0 0 0 𝜆𝑛𝑘)

𝑃−1

Jika 𝒙(0) merupakan vektor distribusi umur awal dari suatu populasi dan jika

kedua ruas pada persamaan diagonalisasi dikalikan dengan 𝒙(0) maka

persamaannya menjadi :

𝐿𝑘𝒙(0) = 𝑃

(

𝜆1𝑘 0 0 0 0

0 𝜆2𝑘 0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 𝜆𝑛−1

𝑘 0

0 0 0 0 𝜆𝑛𝑘)

𝑃−1𝒙(0)

Diketahui bahwa 𝒙(𝑘) = 𝐿𝑘𝒙(0), sehingga

𝒙(𝑘) = 𝑃

(

𝜆1𝑘 0 0 0 0

0 𝜆2𝑘 0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 𝜆𝑛−1

𝑘 0

0 0 0 0 𝜆𝑛𝑘)

𝑃−1𝒙(0) (3.21)

Dimisalkan

𝑃−1𝒙(0) =

(

𝑐1𝑐2𝑐3⋮𝑐𝑛)

(3.22)

Subsitusikan persamaan (3.20) dan (3.22) ke persamaan (3.21) maka


34

34

𝒙(𝑘) = (𝒚1| 𝒚2| 𝒚3| … |𝒚𝑛)

(

𝜆1𝑘 0 0 0 0

0 𝜆2𝑘 0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 𝜆𝑛−1

𝑘 0

0 0 0 0 𝜆𝑛𝑘)

(


⇔ 𝒙(𝑘) = (𝒚1| 𝒚2| 𝒚3| … |𝒚𝑛)

(

𝜆1𝑘𝑐1𝜆2𝑘𝑐2𝜆3𝑘𝑐3⋮

𝜆𝑛𝑘𝑐𝑛)

Kedua ruas dikalikan dengan 1

𝜆1𝑘 sehingga persamaannya menjadi :

⇔ (1

𝜆1𝑘) 𝒙(𝑘) = (𝒚1| 𝒚2| 𝒚3| … |𝒚𝑛)

(

𝜆1𝑘𝑐1𝜆2𝑘𝑐2𝜆3𝑘𝑐3⋮

𝜆𝑛𝑘𝑐𝑛)

(1

𝜆1𝑘)

⇔ (1

𝜆1𝑘) 𝒙(𝑘) = 𝑃

(

1𝑐1

(𝜆2𝑘

𝜆1𝑘) 𝑐2

(𝜆3𝑘

𝜆1𝑘) 𝑐3

⋮

(𝜆𝑛𝑘

𝜆1𝑘) 𝑐𝑛)

⇔ (1

𝜆1𝑘) 𝒙(𝑘) = 𝑃

(

1 0 0 0 0

0 (𝜆2

𝜆1)𝑘

0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

0 0 0 (𝜆𝑛−1

𝜆1)𝑘

0

0 0 0 0 (𝜆𝑛

𝜆1)𝑘

)

(


⇔ (1

𝜆1𝑘) 𝒙(𝑘) = 𝑃

(

1 0 0 0 0

0 (𝜆2

𝜆1)𝑘

0 0 0

⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮

0 0 0 (𝜆𝑛−1

𝜆1)𝑘

0

0 0 0 0 (𝜆𝑛

𝜆1)𝑘

)

𝑃−1𝒙 (0)


35

35

Diketahui 𝜆1 merupakan nilai Eigen dominan dari matriks Leslie 𝐿, maka :

|𝜆𝑖

𝜆1| < 1, untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛

dan diperoleh

(𝜆𝑖

𝜆1)𝑘

⟶ 0 jika 𝑘 → ∞

Oleh karena itu

lim𝑘→∞

(1

𝜆1𝑘) 𝒙 (𝑘) = 𝑃

(

1 0 0 0 00 0 0 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 0 00 0 0 0 0)

𝑃−1𝒙 (0) (3.23)

Entri dari vektor kolom 𝑃−1𝒙 (0) adalah suatu konstanta dan 𝑐1 adalah

entri pertamanya yang merupakan sebuah konstanta positif yang hanya

bergantung pada vektor distribusi umur awal 𝒙(0). Subsitusikan persamaan

(3.20) dan persamaan (3.21) ke persamaan (3.22), sehingga diperoleh :

⟺ lim𝑘→∞

(1

𝜆1𝑘) 𝒙 (𝑘) = (𝒚1| 𝒚2| 𝒚3| … |𝒚𝑛)

(

1 0 0 0 00 0 0 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮0 0 0 0 00 0 0 0 0)

(


⇔ lim𝑘→∞

(1

𝜆1𝑘)𝒙 (𝑘) = (𝒚1| 𝒚2| 𝒚3| … |𝒚𝑛)

(

𝑐100⋮0)

⇔ lim𝑘→∞

(1

𝜆1𝑘)𝒙 (𝑘) = 𝑐1𝒚1 (3.24)

Dari persamaan (3.24) diperoleh suatu pendekatan

𝒙(𝑘) ≈ 𝑐1𝜆1𝑘𝒚1 (3.25)

untuk nilai 𝑘 yang besar. Dari persamaan (3.25) diperoleh

𝒙(𝑘 − 1) ≈ 𝑐1𝜆1𝑘−1𝒚1 (3.26)


36

36

Dengan membandingkan persamaan (3.25) dengan (3.26) diperoleh

𝒙(𝑘) ≈ 𝜆1𝒙(𝑘 − 1) (3.27)

Untuk waktu pengamatan yang lama setiap vektor distribusi umur adalah

multiplisitas skalar dari vektor distribusi umur sebelumnya dan skalar tersebut

merupakan nilai Eigen positif dari matriks Leslie 𝐿. Akibatnya, banyaknya

proporsi perempuan di dalam setiap kelompok umur menjadi konstan. Terdapat

tiga kasus yang bersesuian dengan nilai Eigen positif 𝜆1 yaitu

1. Jumlah populasi pada semua kelompok umur cenderung mengalami

peningkatan jika 𝜆1 > 1.

2. Jumlah populasi pada semua kelompok umur cenderung mengalami

penurunan jika 𝜆1 < 1.

3. Jumlah populasi pada semua kelompok umur konstan jika 𝜆1 = 1.

Pada kasus 𝜆1 = 1, nilai 𝜆1 menentukan suatu populasi yang mempunyai

pertumbuhan populasi sebesar nol. Untuk sebarang distribusi umur awal, maka

populasi tersebut mendekati sebuah distribusi umur pembatas yang merupakan

multiplisitas dari vektor Eigen 𝒚1. Dari persamaan (3.6) dan persamaan (3.11),

dilihat bahwa 𝜆1 = 1 adalah sebuah nilai Eigen jika dan hanya jika

𝑞(1) =𝑎1

1+𝑎2𝑏1

12+𝑎3𝑏1𝑏2

13+⋯+


1𝑛= 1

⟺ 𝑎1 + 𝑎2𝑏1 + 𝑎3𝑏1𝑏2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1 = 1 (3.28)

Persamaan (3.25) dinyatakan sebagai

𝑅 = 𝑎1 + 𝑎2𝑏1 + 𝑎3𝑏1𝑏2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑏1𝑏2⋯𝑏𝑛−1 = 1 (3.29)

Persamaan (3.29) dinamakan laju reproduksi netto dari populasi. Jadi, dapat

dinyatakan bahwa suatu populasi mempunyai pertumbuhan populasi sebesar

nol jika dan hanya jika laju reproduksi nettonya sama dengan satu.

B. Data yang Digunakan

Dalam tugas akhir ini, data yang akan digunakan berasal dari dua negara

yaitu negara Amerika Serikat dan negara Kanada. Data yang digunakan yaitu

pertama adalah populasi perempuan di negara Amerika Serikat. Sedangkan


37

37

matriks Leslie akan digunakan untuk memprediksi populasi perempuan di

negara Amerika Serikat serta mengetahui laju pertumbuhan populasinya. Data

yang digunakan bersumber dari jurnal7. Waktu pengamatan yang digunakan

adalah tahun 2005 dan tahun 2010 untuk negara Amerika Serikat. Umur

perempuan Amerika Serikat dikelompokkan ke dalam 21 kelompok umur. Usia

tertua perempuan di negara tersebut mencapai 105 tahun. Sesuai dengan Tabel

1.1 maka pembagian interval umur dan jumlah perempuan pada setiap

kelompok umur pada tahun 2005 dan tahun 2010 dapat dilihat dalam Tabel 1.2

berikut ini :

Tabel 1.2

Kelompok Umur dan Jumlah Perempuan Pada Tahun 2005 dan Tahun 2010

Kelompok

Umur Interval Umur

Jumlah Perempuan Pada Tahun

(Juta)

2005 2010

1 [0,5) 9.365070 9.881940

2 [5,10) 10.026200 9.959020

3 [10,15) 10.007900 10.097300

4 [15,20) 9.828890 10.736700

5 [20,25) 9.276190 10.571800

6 [25,30) 9.582580 10.466300

7 [30,35) 10.188600 9.965600

8 [35,40) 11.388000 10.137600

9 [40,45) 11.312800 10.497000

10 [45,50) 10.202900 11.499500

11 [50,55) 8.977820 11.364900

12 [55,60) 6.960510 10.141200

13 [60,65) 5.668820 8.740420

14 [65,70) 5.133180 6.582720

15 [70,75) 4.954530 5.034190

16 [75,80) 4.371360 4.135410

17 [80,85) 3.110470 3.448950

18 [85,90) 1.913320 2.346590

19 [90,95) 0.830206 1.023980

20 [95,100) 0.228669 0.288981

21 [100,105] 0.040397 0.044202


38

38

Jumlah perempuan pada Tabel 1.2 disajikan juga dalam bentuk diagram

sebagai berikut :

Gambar 3.1.2 Diagram Perbandingan Jumlah Perempuan

Berdasarkan Gambar 3.1.2 pada beberapa kelompok umur ada selisih

yang cukup banyak antara tahun 2005 dan 2010. Distribusi umur awal 𝒙(0)

adalah jumlah perempuan Amerika serikat pada tahun 2005. Untuk dapat

memprediksi jumlah perempuan pada tahap berikutnya diperlukan distribusi

umur awal 𝒙(0) dan matriks Leslie.

Dalam matriks Leslie terdapat entri tak nol yang harus dilengkapi. Entri

tak nol itu terletak pada baris pertama di setiap kolom yang diisi oleh tingkat

kesuburan (𝑎𝑖) dan diagonal utama dari baris kedua sampai baris ke-21 pada

setiap kolom yang diisi oleh tingkat ketahanan hidup (𝑏𝑗). Pada Tabel 1.3

berikut adalah nilai 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑗 pada setiap kelompok umur. Data yang disajikan

bersumber dari jurnal7.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Perbandingan Jumlah Perempuan Amerika Serikat Tahun 2005 dan Tahun 2010

2005 2010


39

39

Tabel 1.3

Nilai 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑗 pada Setiap Kelompok Umur

Kelompok Umur Tingkat Kesuburan Tingkat Ketahanan Hidup

[0,5) 0 0.993164

[5,10) 0 0.998622

[10,15) 0.0009 0.999270

[15,20) 0.0477 0.998303

[20,25) 0.1097 0.996493

[25,30) 0.1135 0.997464

[30,35) 0.0912 0.996375

[35,40) 0.0397 0.995024

[40,45) 0.0080 0.993177

[45,50) 0.5000 0.990092

[50,55) 0 0.984612

[55,60) 0 0.975703

[60,65) 0 0.960272

[65,70) 0 0.936197

[70,75) 0 0.905493

[75,80) 0 0.860207

[80,85) 0 0.789186

[85,90) 0 0.681708

[90,95) 0 0.537671

[95,100) 0 0.462403

[100,105] 0 -

Tabel 1.3 disajikan dalam bentuk grafik sebagai berikut :

Gambar 3.1.3 Grafik Tingkat Kesuburan

00.05

0.10.15

0.20.25

0.30.35

0.40.45

0.50.55

[0,5

)

[5,1

0)

[10

,15

)

[15

,20

)

[20

,25

)

[25

,30

)

[30

,35

)

[35

,40

)

[40

,45

)

[45

,50

)

[50

,55

)

[55

,60

)

[60

,65

)

[65

,70

)

[70

,75

)

[75

,80

)

[80

,85

)

[85

,90

)

[90

,95

)

[95

,10

0)

[10

0,1

05

]

Tingkat Kesuburan Perempuan Amerika

Serikat


40

40

Dapat terlihat dalam Gambar 3.1.3 kelompok umur [10,15), [15,20),

[20,25), [25,30), [30,35), [35,40) dan [40,45) memiliki nilai yang tidak sama

dengan nol. Sedangkan selain kedelapan kelompok umur tersebut bernilai nol

yang artinya tidak ada anak yang dilahirkan oleh ibu yang berada pada

kelompok umur tersebut. Di kelompok umur [10,15), [15,20), [20,25) terjadi

kenaikan tingkat kesuburan kemudian pada kelompok umur [30,35) dan

[35,40) terjadi penurunan sedangkan pada kelompok umur [40,45) terjadi

kenaikan lagi. Tingkat kesuburan tertinggi berada pada kelompok umur [45,50)

artinya pada kelompok umur tersebut rata-rata jumlah anak yang dilahirkan

tergolong terbanyak dibandingkan kelompok umur lainnya.

Gambar 3.1.4 Grafik Tingkat Ketahanan Hidup

Berdasarkan Gambar 3.1.4 selisih ketahanan hidup tiap kelompok umur

sangat kecil dimulai dari kelompok umur [0,5) sampai kelompok umur [55,60)

kemudian semakin menurun sampai kelompok umur [95,100). Walaupun tidak

begitu terlihat, berdasarkan Tabel 1.3 dari kelompok umur [0,5) sampai [10,15)

terlihat adanya peningkatan, dari [15,20) sampai [20,25) terjadi penurunan, lalu

meningkat pada kelompok umur [25,30) dan dari [30,35) sampai [95,100)

terjadi penurunan. Pada kelompok umur [100,105] bernilai nol karena setelah

kelompok umur tersebut tidak ada perempuan yang masih hidup.

0.4

0.8

1.2

Tingkat Ketahanan Hidup Perempuan Amerika

Serikat


41

41

Kemudian berdasarkan Tabel 1.3 dibentuklah suatu matriks Leslie.

Ukuran matriks Leslie 𝐿 untuk Tabel 1.3 adalah 21 × 21 karena terdapat 21

kelompok umur. Matriks Leslienya sebagai berikut :

𝐿 =

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )


42

𝐿 =

(

0 0 0.0009 0.0477 0.1097 0.1135 0.0912 0.0397 0.0080 0.50000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00.9932 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0.9986 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.9993 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0.9983 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0.9965 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0.9975 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0.9964 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0.9950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0.9932 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9901 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9846 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9757 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9603 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9362 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9055 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8602 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.7891 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6817 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5377 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4624 0)


43

43

C. Implementasi Matriks Leslie Menggunakan Microsoft Excel

Subbab A di atas menunjukan bahwa matriks Leslie dapat digunakan

untuk memprediksi populasi perempuan pada beberapa tahap berikutnya.

Karena matriks Leslie yang terbentuk memiliki ukuran yang cukup besar, maka

untuk mempermudah penghitungan dapat menggunakan Microsoft Excel.

Berikut ini langkah-langkah penghitungan prediksi populasi perempuan negara

Amerika Serikat dengan matriks Leslie yang sudah diketahui pada Subbab B

di atas menggunakan Microsoft Excel :

1. Buka Microsoft Excel, kemudian mengatur spreadsheet

a. Pada area worksheet ketik judul kolom baru seperti Gambar 3.1.5

Gambar 3.1.5 Area Worksheet

b. Masukan semua nilai dalam matriks Leslie dalam cells 𝐵5 − 𝑉25

seperti pada Gambar 3.1.6.

Tingkat kesuburan diketik pada cells 𝐵5 − 𝑉5 dan tingkat ketahanan

hidup diketik pada subdiagonal atau cells 𝐵6, 𝐶7, 𝐷8, 𝐸9, 𝐹10, 𝐺11

𝐻12, 𝐼13, 𝐽14, 𝐾15, 𝐿16,𝑀17,𝑁18, 𝑂19, 𝑃20, 𝑄21, 𝑅22, 𝑆23, 𝑇24,

𝑈25 dan cells selainnya bernilai 0.

Gambar 3.1.6 Matriks Leslie


44

44

c. Ketikan nilai distribusi umur awal 𝒙(0) pada cells 𝑋5 − 𝑋25 seperti

pada Gambar 3.1.7.

Gambar 3.1.7 Nilai Distribusi Umur Awal 𝒙(0)

d. Siapkan cell 𝐴28 untuk tahap prediksi yang akan dihitung. Cell 𝐴29

untuk tahap ke-0 dan tahap ke-1 pada cell 𝐴30. Setiap satu tahap

memprediksi populasi perempuan pada waktu 5 tahun kedepan. Karena

𝑥(0) adalah tahun 2005 maka 𝒙(1) adalah tahun 2010.

e. Masukan rumus pada cells 𝐵29 − 𝑉29 untuk nilai distribusi umur awal.

Masukan rumus berikut :

𝐵29 = 𝑋5

𝐶29 = 𝑋6

𝐷29 = 𝑋7

𝐸29 = 𝑋8

𝐹29 = 𝑋9

𝐺29 = 𝑋10

𝐻29 = 𝑋11

𝐼29 = 𝑋12

𝐽29 = 𝑋13


45

45

𝐾29 = 𝑋14

𝐿29 = 𝑋15

𝑀29 = 𝑋16

𝑁29 = 𝑋17

𝑂29 = 𝑋18

𝑃29 = 𝑋19

𝑄29 = 𝑋20

𝑅29 = 𝑋21

𝑆29 = 𝑋22

𝑇29 = 𝑋23

𝑈29 = 𝑋24

𝑉29 = 𝑋25

f. Jumlahkan cells 𝐵29 − 𝑉29 untuk mengetahui total populasi awal.

Ketikkan rumus = 𝑆𝑈𝑀(𝐵29 − 𝑉29) pada cell 𝑋29. Total populasi

awal sebanyak 143.368412.

g. Tampilan worksheet dengan mengikuti langkah di atas seperti Gambar

3.1.8.

Gambar 3.1.8 Tampilan Worksheet

2. Prediksi banyaknya populasi perempuan 5 tahun kedepan.

a. Pada cells 𝐵30 − 𝑉30, ketikan rumus untuk menghitung prediksi dari

populasi perempuan pada setiap kelompok umur pada tahap ke-1. Pada

rumus tersebut, gunakan distribusi umur awal 𝒙(0). Kalikan matriks


46

46

Leslie dengan distribusi umur awal. Cara mengalikan sama dengan

mengalikan matriks biasa. Ketikan rumus berikut pada cells 𝐵30 −

𝑉30.

B30=B5*B29+C5*C29+D5*D29+E5*E29+F5*F29+G5*G29+H5*

H29+I5*I29+J5*J29+K5*K29+L5*L29+M5*M29+N5*N29

+O5*O29+P5*P29+Q5*Q29+R5*R29+S5*S29+T5*T29+U

5*U29+V5*V29

Dengan cara yang sama dilakukan perhitungan untuk cells 𝐶30 −

𝑉30.

b. Jumlahkan cells 𝐵30 − 𝑉30 untuk mengetahui total populasi tahap 1.

Ketikkan rumus = 𝑆𝑈𝑀(𝐵30 − 𝑉30) pada cell 𝑋30. Total populasi

perempuan tahap 1 sebanyak 148.3430035.

c. Tampilan worksheet dengan mengikuti langkah di atas seperti Gambar

3.1.9.


47

Gambar 3.1.9 Hasil Prediksi Populasi Perempuan Tahap 1


48

48

3. Hasil Perhitungan

Hasil prediksi tahap 1 adalah prediksi untuk tahun 2010. Hasil prediksi

akan dibandingkan dengan data aktual (asli). Datanya dapat dilihat pada

Tabel 1.4 berikut.

Tabel 1.4

Perbandingan Data Aktual Dengan Data Asli

Kelompok Umur Aktual Prediksi

[0,5) 9.881940 9.156322356

[5,10) 9.959020 9.301050381

[10,15) 10.097300 10.012383900

[15,20) 10.736700 10.000594230

[20,25) 10.571800 9.812210374

[25,30) 10.466300 9.243658402

[30,35) 9.965600 9.558278577

[35,40) 10.137600 10.151666330

[40,45) 10.497000 11.331333310

[45,50) 11.499500 11.235612770

[50,55) 11.364900 10.101809670

[55,60) 10.141200 8.839669306

[60,65) 8.740420 6.791390489

[65,70) 6.582720 5.443609119

[70,75) 5.034190 4.805667716

[75,80) 4.135410 4.486292233

[80,85) 3.448950 3.760274472

[85,90) 2.346590 2.454739377

[90,95) 1.023980 1.304325551

[95,100) 0.288981 0.446377690

[100,105] 0.044202 0.105737232

Berdasarkan Tabel 1.4 dapat dilihat bahwa data aktual dan data

prediksi tidak begitu jauh berbeda. Meskipun tidak sama persis, namun data

prediksi cukup dapat digunakan untuk acuan prediksi perempuan pada

tahap selanjutnya di negara Amerika Serikat. Untuk melihat seberapa besar

perbedaan antara data aktual dan data prediksi, dapat dihitung selisih

(kesalahan) pada setiap kelompok umur.


49

49

Tabel 1.4 disajikan juga dalam bentuk diagram sebagai berikut :

Gambar 3.1.10 Perbandingan Data Aktual dan Prediksi

Nilai kesalahan dihitung dengan menggunakan Microsoft Excel

dengan cara mutlak dari aktual dikurangkan dengan prediksi pada setiap

kelompok umur. Setelah menentukan nilai kesalahan kemudian dihitung

presentase kesalahan dari setiap kelompok umur. Cara menentukan

persentase kesalahan adalah kesalahan dibagi data aktual dan hasilnya

dikalikan 100 persen. Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 1.5.

Tabel 1.5

Nilai Kesalahan dan Persentase Kesalahan pada Setiap Kelompok Umur

Kelas Umur Kesalahan Persentase Kesalahan

[0,5) 0.72561764 7.342866320

[5,10) 0.65796962 6.606770732

[10,15) 0.08491610 0.840978317

[15,20) 0.73610577 6.855977786

[20,25) 0.75958963 7.185054828

[25,30) 1.22264160 11.681698390

[30,35) 0.40732142 4.087274453

[35,40) 0.01406632 0.138753995

[40,45) 0.83433331 7.948302486

[45,50) 0.26388723 2.294771376

[50,55) 1.26309033 11.113959060

0

2

4

6

8

10

12

14

[0,5

)

[5,1

0)

[10

,15

)

[15

,20

)

[20

,25

)

[25

,30

)

[30

,35

)

[35

,40

)

[40

,45

)

[45

,50

)

[50

,55

)

[55

,60

)

[60

,65

)

[65

,70

)

[70

,75

)

[75

,80

)

[80

,85

)

[85

,90

)

[90

,95

)

[95

,10

0)

[10

0,1

05

]

Perbandingan Data Aktual & Prediksi (Juta)

Aktual Prediksi


50

50

[55,60) 1.30153069 12.834089600

[60,65) 1.94902951 22.299037250

[65,70) 1.13911088 17.304562260

[70,75) 0.22852228 4.539405218

[75,80) 0.35088223 8.484823350

[80,85) 0.31132447 9.026644965

[85,90) 0.10814938 4.608788814

[90,95) 0.28034555 27.378029900

[95,100) 0.15739669 54.466103390

[100,105] 0.06153523 139.213681700

Persentase kesalahan disajikan dalam bentuk grafik berikut ini:

Gambar 3.1.11 Grafik Persentase Kesalahan Di Tiap Kelompok Umur

Berdasarkan Gambar 3.1.11 dalam grafik tersebut terlihat kenaikan

dan penurunan persentase kesalahan di kelompok-kelompok umur

tertentu. Persentase kesalahan paling tinggi berada pada kelompok umur

[100,105). Hal ini terjadi karena nilai kesalahan lebih besar dibandingkan

data aktualnya yang sangat kecil. Jadi ketika dibagi dan dikalikan 100 %

menghasilkan persentase kesalahan yang besar. Sedangkan persentase

kesalahan terendah ada pada kelompok umur [35, 40).

0

20

40

60

80

100

120

140

160

[0,5

)

[5,1

0)

[10

,15

)

[15

,20

)

[20

,25

)

[25

,30

)

[30

,35

)

[35

,40

)

[40

,45

)

[45

,50

)

[50

,55

)

[55

,60

)

[60

,65

)

[65

,70

)

[70

,75

)

[75

,80

)

[80

,85

)

[85

,90

)

[90

,95

)

[95

,10

0)

[10

0,1

05

]

Persentase Kesalahan Pada Tiap Kelas Umur


51

51

D. Penghitungan Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Untuk mengetahui laju pertumbuhan populasi perempuan di negara Amerika

Serikat, diperlukan penghitungan dari matriks Leslie tersebut. Dengan

menggunakan program Matlab maka diperoleh semua nilai eigen untuk

matriks Leslie dan terangkum dalam Tabel 1.6 sebagai berikut:

Tabel 1.6

Nilai Eigen matriks Leslie

Nilai Eigen

𝜆1 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆2 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆3 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆4 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆5 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆6 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆7 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆8 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆9 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆10 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆11 0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆12 -9.285896362658294e-01 + 0.000000000000000e+00i

𝜆13 -7.550019754312003e-01 + 5.463660720452688e-01i

𝜆14 -7.550019754312003e-01 - 5.463660720452688e-01i

𝜆15 -2.859524043889040e-01 + 8.828147729334621e-01i

𝜆16 -2.859524043889040e-01 - 8.828147729334621e-01i

𝜆17 9.857665682017454e-01 + 0.000000000000000e+00i

𝜆18 7.107866684818480e-01 + 5.499030772487397e-01i

𝜆19 7.107866684818480e-01 - 5.499030772487397e-01i

𝜆20 3.015792453702992e-01 + 8.858332276638531e-01i

𝜆21 3.015792453702992e-01 - 8.858332276638531e-01i

Hasil plotting Tabel 1.7 menggunakan Matlab :


52

52

Gambar 3.1.12 Nilai Eigen Matriks Leslie

Berdasarkan gambar 3.1.12 terlihat dari 21 nilai Eigen terdiri atas 11 nilai

Eigen bernilai nol, dua nilai Eigen bernilai real dan delapan nilai Eigen

bernilai kompleks. Diperoleh satu-satunya nilai Eigen real yang positif yaitu

𝜆17 = 0.9857665682017454

Dihitung vektor Eigen yang bersesuaian dengan nilai Eigen tersebut dan

diperoleh

𝒚17 =

(


𝜆12

𝑏1𝑏2𝑏3

𝜆13


𝜆1𝑛−1 )

𝑡 =

(

1.000001.007504242928171.020643156844721.034624342353931.047782120192141.059183362447881.071751982183771.083285755162481.093458999336031.101679001515191.106513043912591.105217052735241.093934029404251.065641960449491.012055834138160.9296414617641180.8112306895926960.6494558891003870.4491319644309910.2449720250587290.11491138263075 )

𝑡


53

53

Kemudian dengan menggunakan persamaan (3.26), diperoleh

persamaan pendekatan untuk distribusi umur pembatas :

𝒙(𝑘) ≈ 𝜆1𝒙(𝑘 − 1)

sehingga

𝒙(𝑘) ≈ 0.9857665682017454 𝒙(𝑘 − 1)

untuk nilai 𝑘 yang besar.

Dari nilai Eigen yang diperoleh 𝜆17 < 1 sehingga apabila perempuan

Amerika Serikat terus melahirkan dan meninggal seperti yang tersaji dalam

data pada Tabel 1.4 maka setiap lima tahun jumlah populasi perempuan di

negara tersebut akan cenderung mengalami penurunan. Berdasarkan vektor

Eigen 𝒚17, dimisalkan untuk setiap 100.000 perempuan yang berumur di

antara 0 sampai 5 tahun, terdapat 100.750 perempuan yang berumur 5 sampai

10 tahun, 102.064 perempuan yang berumur 10 sampai 15 tahun, dst.

Untuk perbandingan akan dihitung laju pertumbuhan populasi

perempuan di negara Kanada menggunakan matriks Leslie. Data diperoleh

dari buku Howard Anton1. Data yang diperoleh adalah tingkat kesuburan dan

tingkat ketahanan hidup dari perempuan di negara Kanada tahun 1965. Untuk

negara Kanada tidak semua umur dihitung. Karena hanya sedikit perempuan

usia di atas 50 tahun yang melahirkan, maka dibatasi populasinya yaitu hanya

antara 0 sampai 50 tahun saja. Rentang umur dalam data tersebut adalah 5

tahun, jadi hanya ada 10 kelompok umur. Untuk tingkat kesuburan dan

tingkat ketahanan hidup tersaji dalam Tabel 1.7 berikut.

Tabel 1.7

Nilai 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑗 pada Setiap Kelompok Umur

Kelompok Umur Tingkat Kesuburan Tingkat Ketahanan Hidup

[0, 5) 0 0.99651

[5, 10) 0.00024 0.99820

[10, 15) 0.05861 0.99802

[15, 20) 0.28608 0.99729

[20, 25) 0.44791 0.99694

[25, 30) 0.36399 0.99621


54

54

[30, 35) 0.22259 0.99460

[35, 40) 0.10457 0.99184

[40, 45) 0.02826 0.98700

[45, 50) 0.00240 -

Tabel 1.7 disajikan dalam bentuk grafik sebagai berikut :

Gambar 3.1.13 Grafik Tingkat Kesuburan

Berdasarkan Gambar 3.1.13 pada kelompok umur [0,5) tingkat

kesuburan bernilai nol yang artinya tidak ada seorang perempuan yang berada

pada kelompok umur tersebut melahirkan. Pada kelompok umur [5,10),

[10,15), [15,20), dan [20,25) terjadi kenaikan tingkat kesuburan. Kelompok

umur setelah [20, 25) terjadi penurunan sampai kelompok umur terakhir yaitu

[45,50). Tingkat kesuburan tertinggi terjadi pada kelompok umur [20,25)

yang artinya rata-rata jumlah anak yang dilahirkan oleh Ibu yang berada

dalam kelompok umur tersebut tergolong paling banyak dibandingkan

kelompok umur lainnya.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

[0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50)

Tingkat Kesuburan Perempuan Kanada


55

55

Gambar 3.1.14 Tingkat Ketahanan Hidup

Berdasarkan Gambar 3.1.6 tingkat ketahanan hidup perempuan Kanada

memiliki selisih yang cukup kecil tiap kelompoknya. Dari kelompok umur

[0,5) ke [5,10) terjadi kenaikan. Setelah kelompok umur [5,10) terjadi

penurunan tingkat ketahanan hidup sampai dengan kelompok umur [40,45).

Setelah kelompok umur [45,50) tidak ada perempuan yang masih bertahan

hidup sehingga peluangnya tidak ada.

Menggunakan cara yang sama akan dihitung nilai Eigen dan vektor

Eigen dari matriks Leslie perempuan Kanada. Dibentuklah matriks Leslie

yang berukuran 10 × 10 karena terdapat 10 kelompok umur dari Tabel 1.7.

Matriks Leslienya sebagai berikut :

𝐿 =

(

𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⋯ 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛𝑏1 0 0 ⋯ 0 00 𝑏2 0 ⋯ 0 0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋯ 𝑏𝑛−1 0 )

0.98

0.982

0.984

0.986

0.988

0.99

0.992

0.994

0.996

0.998

1

[0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20) [20, 25) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50)

Tingkat Ketahanan Hidup Perempuan

Kanada


56

L=

(

0 0.00024 0.05861 0.28608 0.44791 0.36399 0.22259 0.10457 0.02826 0.002400.99651 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.99820 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0.99802 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0.99729 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0.99694 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0.99621 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0.99460 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0.99184 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0.98700 0 )


57

57

Dengan menggunakan program Matlab maka diperoleh semua nilai eigen

untuk matriks Leslie dan terangkum dalam Tabel 1.8 sebagai berikut :

Tabel 1.8

Nilai Eigen matriks Leslie

Nilai Eigen

𝜆1 1.076219165751946e+00 + 0.000000000000000e+00i

𝜆2 3.687001356985102e-01 + 7.654656677809977e-01i

𝜆3 3.687001356985102e-01 - 7.654656677809977e-01i

𝜆4 3.493687144583271e-03 + 5.607689754942601e-01i

𝜆5 3.493687144583271e-03 - 5.607689754942601e-01i

𝜆6 -3.999808234906529e-01 + 4.008862371617563e-01i

𝜆7 -3.999808234906529e-01 - 4.008862371617563e-01i

𝜆8 -4.414826002713562e-01 + 1.345243622552484e-01i

𝜆9 -4.414826002713562e-01 - 1.345243622552484e-01i

𝜆10 -1.376799639141121e-01 + 0.000000000000000e+00i

Hasil plotting Tabel 1.8 menggunakan Matlab :

Gambar 3.1.15 Nilai Eigen Matriks Leslie


58

58

Berdasarkan gambar 3.1.15 terlihat dari 10 nilai Eigen terdiri atas dua

nilai Eigen bernilai real dan delapan nilai Eigen bernilai kompleks. Diperoleh

satu-satunya nilai Eigen real yang positif, yaitu :

𝜆1 = 1.076219165751946

Dihitung vektor Eigen yang bersesuaian dengan nilai Eigen tersebut dan

diperoleh :

𝒚1 =

(


𝜆12

𝑏1𝑏2𝑏3

𝜆13


𝜆1𝑛−1 )

𝑡 =

(

1.000000.9259359354595320.8588113649973240.7964092684558150.7380011661317760.6836366661890470.6328131898193360.5848213994168750.5389694546020850.494288587883103)

𝑡

Kemudian dengan menggunakan persamaan (3.32), diperoleh

persamaan pendekatan untuk distribusi umur pembatas :

𝒙(𝑘) ≈ 𝜆1𝒙(𝑘 − 1)

sehingga

𝒙(𝑘) ≈ 1.076219165751946 𝒙(𝑘 − 1)


Jadi, apabila perempuan Kanada terus melahirkan dan meninggal

seperti yang diberikan oleh data pada tahun 1965, pada akhirnya setiap lima

tahun banyaknya perempuan akan bertambah sebanyak 7.622%. Dari vektor

Eigen, terlihat bahwa, dimisalkan untuk setiap 100.000 perempuan yang

berumur antara 0 sampai 5 tahun. Terdapat 92.594 perempuan yang berumur

antara 5 sampai 10 tahun, 85.881 perempuan yang berumur antara 10 sampai

15 tahun, dst.


59

BAB IV

PENUTUP

A. Kesimpulan

Prediksi populasi perempuan di negara Amerika Serikat hanya dapat

dihitung satu tahap yaitu tahun 2010. Dengan membandingkan hasil prediksi

dengan data aktualnya, persentase error tertinggi terdapat dalam kelompok

umur [100,105]. Nilai Eigen dominan dari matriks Leslie yang terbentuk dari

data tersebut bernilai 0.9857665682017454. Hal ini berarti bahwa jumlah

populasi dalam semua kelompok umur cenderung mengalami penurunan pada

tahap selanjutnya atau dengan kata lain laju pertumbuhan populasi perempuan

di negara Amerika Serikat cenderung negatif. Serta diperoleh pendekatan

untuk distribusi umur pembatas :

𝒙(𝑘) ≈ 0.9857665682017454 𝒙(𝑘 − 1)


Berdasarkan data dari negara Kanada pada tahun 1965, diperoleh

prediksi laju populasi perempuan untuk tahap selanjutnya. Nilai Eigen

dominan dari matriks Leslie yang terbentuk bernilai 1.076219165751946.

Hal ini berarti jumlah populasi perempuan dalam semua kelompok umur

cenderung mengalami peningkatan pada tahap selanjutnya atau dengan kata

lain laju pertumbuhan populasi perempuan di negara Kanada cenderung positif.

Serta diperoleh pendekatan untuk distribusi umur pembatas :

𝒙(𝑘) ≈ 1.076219165751946 𝒙(𝑘 − 1)


B. Saran

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih memiliki banyak

kekurangan. Pada tugas akhir ini hanya dibahas aplikasi matriks Leslie untuk

memprediksi jumlah dan laju populasi perempuan di negara Amerika Serikat

untuk satu tahap. Hanya terdapat tiga faktor yang digunakan untuk perhitungan

matriks Leslie ini yaitu usia hidup perempuan di daerah tersebut, tingkat


60

ketahanan hidup dan tingkat kesuburan. Padahal perpindahan penduduk juga

dapat mempengaruhi populasi perempuan. Penulis berharap semoga ada

penelitian lebih lanjut untuk memodifikasi matriks Leslie ini agar lebih akurat

dalam memprediksi jumlah dan laju pertumbuhan populasi perempuan.


61

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard., and Rorres, Chris. (2013). Elementary Linear Algebra

Applications Version 11th Edition. USA : Wiley.

Anggreini, Dewi., Candra H, Ratri. (2017). Penerapan Matriks Leslie pada

Angka Kelahiran dan Harapan Hidup Wanita di Provinsi Jawa

Timur. Pythagoras Vol 12, No 2 : 109-122.

Corazon, C.M., Muda, Yuslenita., dan Hasanah, Nurul. (2016). Aplikasi

Matriks Leslie Untuk Memprediksi Jumlah dan Laju

Pertumbuhan Perempuan Di Provinsi Riau Pada Tahun 2017.

Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol 2, No I : 1-12.

Donovan, T.M., & C, Welden. (2002). Spreadsheet Exercises Age-structure

Matrix Model in Ecology and Evolution. USA : Sinauer

Associates.

Keyfitz, Nathan., Caswell, Hal. 2005. Applied Mathematical Demography,

Third Edition. USA : Springer.

Leon, Steven J. 1998. Aljabar Linear dan Aplikasinya, Edisi Kelima. Jakarta

: Erlangga.

Nelson, Brittney., T Reid, Denise., Tangar, Antonija., Velez-Marulanda,

Jose A. (2013). Leslie Matrices and Women Population in The

United States of America. Georgia Journal of Science Vol 71,

No. 2 : 158-166.

Pratama, Yudha., Prihandono, Bayu., dan Kusumastuti, Nilamsari. (2013).

Aplikasi Matriks Leslie untuk Memprediksi Jumlah dan Laju


62

Pertumbuhan Suatu Populasi. Buletin Ilmiah Math. Stat. Dan

Terapannya (Bimaster) Vol 02, No. 3 : 163-172.

Setya Budi, Wono. 1995. Aljabar Linear. Jakarta : Gramedia Pustaka

Utama.

Yokoyama, Kevin. (1997). Population Modeling Using the Leslie Matrix

Part 2. Math 45-Linear Algebra : 1-18.

Yuliani, Selvia., V, Rahayu B., Mashuri. (2012). Penerapan Diagonalisasi

Matriks dan Matriks Leslie Dalam Memproyeksikan Jumlah

Populasi Perempuan. UNNES Journal of Mathematics, UJM 1

(1) : 52-59.


63

LAMPIRAN

Berikut ini adalah perintah yang diketik beserta hasil pada command window

program MATLAB untuk menghitung nilai Eigen masing-masing matriks Leslie.

Sebelumnya data matriks Leslie disimpan ke dalam file csv program Microsoft

Excel.

A. Matriks Leslie perempuan Amerika Serikat

>> A=xlsread('Le.csv');

>> format long e

>> eigenA=eig(A)

eigenA =

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

0.000000000000000e+00 + 0.000000000000000e+00i

-9.285896362658294e-01 + 0.000000000000000e+00i

-7.550019754312003e-01 + 5.463660720452688e-01i

-7.550019754312003e-01 - 5.463660720452688e-01i

-2.859524043889040e-01 + 8.828147729334621e-01i

-2.859524043889040e-01 - 8.828147729334621e-01i

9.857665682017454e-01 + 0.000000000000000e+00i

7.107866684818480e-01 + 5.499030772487397e-01i

7.107866684818480e-01 - 5.499030772487397e-01i


64

3.015792453702992e-01 + 8.858332276638531e-01i

3.015792453702992e-01 - 8.858332276638531e-01i

>> figure

>> compass(eigenA)

B. Matriks Leslie perempuan Kanada

>> B=xlsread('Le2.csv');

>> format long e

>> eigenB=eig(B)

eigenB =

1.076219165751946e+00 + 0.000000000000000e+00i

3.687001356985102e-01 + 7.654656677809977e-01i

3.687001356985102e-01 - 7.654656677809977e-01i

3.493687144583271e-03 + 5.607689754942601e-01i

3.493687144583271e-03 - 5.607689754942601e-01i

-3.999808234906529e-01 + 4.008862371617563e-01i

-3.999808234906529e-01 - 4.008862371617563e-01i


65

-4.414826002713562e-01 + 1.345243622552484e-01i

-4.414826002713562e-01 - 1.345243622552484e-01i

-1.376799639141121e-01 + 0.000000000000000e+00i

>> compass(eigenB)


Documents

APLIKASI MATRIKS LESLIE UNTUK MEMPREDIKSI JUMLAH DAN … · 2019-07-24 · Matriks Leslie merupakan suatu matriks yang digunakan untuk memprediksi laju dan jumlah pertumbuhan suatu