“ESTRATEGIA GUIAS DE APRENDIZAJE EN CASA” INSTITUTO INTEGRADO DE COMERCIO CAMILO TORRES

NOMBRE DOCENTE: ISRAEL VARGAS GUERRERO METODOLOGIA: Tradicional o Flexible

GRADO: 9° FECHA: 1 SEP DE 2020 JORNADA: TARDE

NIVEL: BÁSICA SECUNDARIA SEDE: A CICLO: 8° Y 9°

AREA O ASIGNATURA

MATEMÁTICAS (ALGEBRA)

DURACIÓN

TRECE (13) SEMANAS

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

PENSAMIENTO METRICO Y SISTEMA DE MEDIDAS: Generalizo procedimientos de cálculo válidos para encontrar el área de regiones planas y el volumen de sólidos. Selecciono y uso técnicas e instrumentos para medir longitudes, áreas de superficies, volúmenes y ángulos con niveles de

precisión apropiados. PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS METRICOS:

Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostración de teoremas básicos (Pitágoras y Tales).

Aplico y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas. Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras disciplinas.

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMA DE DATOS: Interpreto analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión,

experimentos, consultas, entrevistas. Interpreto y utilizo conceptos de media, mediana y moda y explicito sus diferencias en distribuciones de distinta dispersión

y asimetría. Selecciono y uso algunos métodos estadísticos adecuados al tipo de problema, de información y al nivel de la escala en la

que esta se representa (nominal, ordinal, de intervalo de razón).

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE O PREGUNTA PROBLEMATIZADORA (Ámbito de indagación e investigación)

¿Cuál es la importancia del razonamiento lógico en el planteamiento y solución de problemas geométricos y estadísticos?

APRENDIZAJES ESPERADOS DEL AREA.

Identificar las diferentes figuras geométricas y calcular medidas como área y volumen. Solucionar situaciones problema de proporcionalidad y semejanza. Ordenar y agrupar un conjunto de datos, representarlos en tablas e histogramas e inferir información acerca de los datos. Usar medidas estadísticas como promedio, mediana, moda, rango, mínimo, máximo para describir y resumir la

información en un conjunto de datos. Identificar el espacio muestral y eventos relacionados con un experimento aleatorio

AMBITO CONCEPTUAL

I- MEDICION: AREAS Y VOLUMEN DE PRISMAS, PIRAMIDES, CONOS, CILINDROS Y ESFERAS

II- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA

III- LA CIRCUNFERENCIA: RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

IV- ESTADISTICA Y PROBABILIDAD. INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA.

METODOLOGÍA

Desarrollo conceptual por medio de guías. Desarrollo de actividades orientadas por medio de videos. Orientación escolar por medio de las redes sociales

ACTIVIDADES EN CASA

1. MOMENTO DE EXPLORACCIÓN

ACTIVIDAD 1: Elabore de manera gráfica 5 figuras geométricas que usted conoce. ACTIVIDAD 2: Dibuje dos figuras que usted considere son semejantes. ACTIVIDAD 3: dibuje una circunferencia con sus partes. ACTIVIDAD 4: Recorte de un periódico o revista una gráfica que muestre el comportamiento de una variable.

2. MOMENTO DE ESTRUCTURACION.

I- MEDICION. 1- POLIEDRO: Un poliedro es, un cuerpo geométrico cuyas caras son planas y encierran un volumen finito. Los poliedros

pueden ser regulares o irregulares. Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y en cada uno de sus vértices concurre el mismo número de caras.

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EL PRISMA: Los prismas se clasifican según la forma de sus caras laterales en:

Prismas rectos: Son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases. Prismas oblicuos: Son aquellos cuyas caras laterales son paralelogramos que no son rectángulos ni cuadrados. Sus aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

AREA TOTAL DEL PRISMA: El área de un prisma es la suma del área de las dos bases (Ab) más el área de los paralelogramos de las caras laterales (en el prisma recto es el resultado de multiplicar el perímetro de la base Pb por la altura (h) del prisma, que coincide con una arista lateral.

La fórmula del área es: AT= 2 x Ab + (Pb x h) donde AT = área total; Ab = área de la base; h= altura del prisma. ÁREA DEL PRISMA PENTAGONAL OBLICUO:

El área del prisma pentagonal oblicuo se calcula de manera diferente a la del prisma pentagonal recto. Las áreas de las bases se calculan de la misma forma, pero el área de los laterales se calcula mediante una arista lateral y el perímetro de la sección recta del prisma. La sección recta es la intersección de un plano con el prisma, de manera que forme un ángulo de 90º con cada una de las aristas laterales.

EJEMPLO: Hallar el área total de un prisma triangular cuya base mide 10 x 43 y con una altura de 42 cm; si la altura el prisma mide 60 cm.

VOLÚMEN DEL PRISMA. El volumen V de un prisma se calcula multiplicando el área de su base B por la longitud h de su altura. V= B x h. Ejemplo 1: Hallar el volumen de un prisma triangular cuya base mide 10 x 43 y con una altura de 42 cm; si la altura el prisma mide 60 cm.

Prismas regulares: Son aquellos cuyas bases son polígonos regulares. Prismas irregulares: Son aquellos cuyas bases son polígonos irregulares.

La fórmula del área del prisma pentagonal oblicuo es: AREA= 2 x Ab + Psr x a. Ab = área de la base; Psr = perímetro de la sección recta ,a= arista lateral.

Área de las bases= 2(bxh)/2. Ab= 2.(10 cm. x 42cm)/2 Ab= 420 cm. Perímetro de la base= (L + L + L) Pb= 43 cm+ 10 cm +43cm Pb= 96 cm Altura del prisma (h) =60 cm Área total del prisma= 2 x Ab + (Pb x h) At= 2 x 420 cm +( 96 cm x 60 cm) At= 6180 cm

Área de la base= (42 cm x 10 cm)/2 Ab= 210 cm2 ,h = 60 cm VOLUMEN_= Ab x h V= 210 cm2 x 60 cm V= 12.600 cm3

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Ejemplo 2: Hallar el área total y el volumen de un prisma cuadrangular irregular cuya base mide 38 cm por 21 cm y la altura del prisma es de 30 cm.

Ejemplo 3: Hallar el área total y el volumen de un prisma pentagonal regular cuya base mide 7.265 de lado y 5cm de apotema, y la altura el prisma mide 14 cm.

PIRÁMIDES. Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos que confluyen en un vértice que se denomina ápice (o vértice de la pirámide). Las pirámides tienen tantos triángulos en las caras laterales como lados tiene la base.

ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE:

TIPOS DE PIRÁMIDES POR EL NÚMERO DE LADOS DEL POLÍGONO DE SUS BASES: Lo más habitual al nombrar una pirámide es añadir el tipo de base que tiene.

1. Pirámide triangular: la base es un triángulo. 2. Pirámide cuadrangular: la base es un cuadrilátero. 3. Pirámide pentagonal: la base es un pentágono. 4. Pirámide hexagonal: la base es un hexágono.

TIPOS DE PIRÁMIDES SEGÚN LA INCLINACIÓN SE SU EJE. Pirámide recta:

Todas sus caras laterales son triángulos isósceles. La línea que une la cúspide y el centro de la base cae perpendicular a la base.

Pirámide oblicua: Cuando no todos los triángulos laterales son isósceles. La línea que une la cúspide y el centro de la base cae inclinada hacia la base.

ÁREA DE LAS BASES= 2x( 38 cm x 21 cm) Ab= 2 x 798 cm2 Ab= 1596 cm2 Áreas laterales = 2x( 38cm x 30cm) + 2 x ( 21 x 30) Al= 2 x 1.140 cm2 + 2 x 630 cm2

Al = 2.280 cm2 + 1.260 cm2 Al = 3540 cm2 Área total= Ab + Al At= 1.596 cm2 + 3.540 cm2 At= 5.136 cm2 . Volumen= Ab1 x h V= 798 cm2 x 30cm V= 23.940 cm3

Ab= 2x(5x((7.265 cm x 5 cm)/2) Ab= 2 x (5x(36. 325 cm2 /2) Ab= 2 x (5 x 18.162,5 cm2) Ab= 181.625 cm2 Al= 5 x (7.265 cm x 14 cm) Al= 508.550 cm2 At= 508.550 cm2 + 181.625 cm2 At= 690.175 cm2 V= Ab1 x h V= 90.812 5 cm2 x 14 cm V= 1.271,375 cm3

Base: polígono cualquiera. Caras laterales: los triángulos de los laterales. Aristas: segmentos donde se encuentran dos caras de la pirámide. Podemos distinguir: Aristas laterales, que son las que llegan al vértice (o ápice). Aristas básicas, que están en la base. Altura (h): distancia del plano de la base al vértice de la pirámide. Cúspide de la pirámide: punto donde confluyen las caras laterales triangulares. También se llama ápice. Vértices: punto donde confluyen las aristas de la base

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EL ÁREA DE LA PIRÁMIDE:

Es la suma del área de la base (Ab) y el área de los triángulos de las caras laterales (Al). Área = Ab + Al El área de la base (Ab) se calcula según el polígono que sea la base. El área de las caras laterales (Al) es la suma del área de los triángulos de las caras laterales. La pirámide tiene tantos triángulos como aristas tiene la base.

PARA CALCULAR EL ÁREA TOTAL DE UNA PIRÁMIDE ES NECESARIO CONOCER: El área de la base (áb ), que es el polígono donde se apoya la pirámide. El perímetro de la base (pb ), que es la longitud de todas las caras. La apotema de la base (ap.), que es la distancia del centro de la base a cualquier lado. La apotema de la pirámide (Ap), que es la altura de una cara lateral. La altura del poliedro (h), que es la distancia que hay del centro de la base al vértice de la pirámide.

AREA TOTAL = Área lateral + Área de la base. AT= AL + Ab.

VOLUMEN DE LA PIRAMIDE: El volumen de un sólido de 3 dimensiones es la cantidad de espacio que ocupa. El volumen V de una pirámide es un tercio del área de la base B por la altura h .

VOLUMEN= (ÁREA DE LA BASE X ALTURA)/3. V= (Áb x h)/3 EJEMPLO 1: Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

EL CILINDRO. Un cilindro es un cuerpo redondo que se obtiene al girar un rectángulo sobre uno de sus lados.

ELEMENTOS DEL CILINDRO: Eje: lado sobre el cual gira el rectángulo. Bases: son los círculos que generan los lados perpendiculares al eje. Cara lateral: la superficie curva que genera la rotación del rectángulo. Altura: es la distancia entre las dos bases. Radio: radio del círculo de cada base.

Área de la base= L x L ; por ser cuadrangular Ab= 10 cm x10 cm Ab= 100 cm2 Área lateral= 4x((base x apotema)/2) AL= 4x((10cm x 13 cm)/2) AL= 4 x 65 cm2 AL= 260 cm2 AREA TOTAL = Ab + AL AT= 100 cm2 + 260 cm2 AT= 360 cm2 VOLUMEN = (Área de base por altura)/3 V= (100 cm2 x 12 cm)/3 V= 400cm3

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ÁREA DEL CILINDRO: En el desarrollo de un cilindro se aprecia que su superficie lateral es un rectángulo cuya base es igual al perímetro del círculo,2πr, y cuya altura h, es la del cilindro.

Por lo tanto:

VOLUMEN DEL CILINDRO: El volumen de un cilindro se calcula mediante la fórmula:

VOLUMEN DEL CILINDRO= 𝜋. 𝑟2𝑥 ℎ.

En el caso del cilindro oblicuo de sección recta circular (la base es elíptica), la fórmula de su volumen será:

V= 𝜋. 𝑟2𝑥 ℎ. El Principio de Cavalieri dice que si sólidos iguales en altura, al ser cortados por cualquier plano paralelo a sus bases se producen en ellos secciones de igual área, entonces esos sólidos tendrán el mismo volumen. EJEMPLO 1: Calcular el área y el volumen de un cilindro de radio 3 cm y de altura 8 cm.

Área lateral = 2.π.r x h AL= 2.π. 3 cm x 8 cm AL= 150,79 cm2

AREA DEL CIRCULO= .π.r2 . como son dos círculos multiplico por 2 A C= 2.π.32 AC= 56,55 cm2.

Área total = Área lateral + Área de las bases. AT= = 150,79 cm2 + 56,55 cm2. AT= 207,34 cm2.

VOLUMEN CILINDRO= 𝜋. 𝑟2𝑥 ℎ V= π.32 x 8 cm V= 226,19 cm3

EL CONO Un cono circular recto es aquel sólido geométrico generado por la revolución de un triángulo rectángulo en torno a uno de sus catetos o de un triángulo entorno a su eje de simetría. También se puede interpretar el cono como la pirámide inscrita a un prisma de base circular .

ELEMENTOS DEL CONO: Eje: es el lado alrededor del cuál

gira el triángulo al generar el cono. Base: es el círculo que genera la

rotación del otro lado y sobre el que se apoya el cono.

Cara lateral: superficie lateral no plana que genera la hipotenusa.

Vértice: el punto de encuentro de la cara lateral con el eje.

Altura: la distancia del eje desde el vértice a la base.

AREA Y VOLUMEN DEL CONO: Para calcular el área o volumen de un cono sólo hacen falta dos de los siguientes 3 datos: altura, radio, generatriz, ya que por el teorema de Pitágoras se puede encontrar el tercero: , g2= r2 + h2

Area lateral = 𝜋. 𝑟 𝑥 𝑔 .

Area de la base= 𝜋. 𝑟2 Área total= 𝜋. 𝑟. (𝑔 + 𝑟)

VOLUMEN DEL CONO: el volumen del cono es un tercio del área de la base por la altura.

V= (𝜋. 𝑟2. ℎ)/3 EJEMPLO: calcular el area total y el volumen de un cono cuya generatríz mide 9 cm y la altura mide lo mismo que el diametro del circulo de la base 2r.

Área lateral = 2.π.r x h

Área total = Área lateral + Área de las bases.

AREA DEL CIRCULO= π.r2

Área total = 2.π.r x h + 2.π.r2

La fórmula del volumen del cilindro oblicuo es la genérica del volumen del cilindro

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Generatriz = 9; h= 2.r; sabemos que g2= r2 + h2, entonces por teorema de pitagoras hallamos h, así:

81=(2.r)2 + r2 . entonces, 81= 4r2 + r2 ; luego, 81 = 5r2 ; esto quiere decir que: 81/5 = r2 . por tanto, r =√81/5

;

,r= 4.02 cm. Además, sabemos que, h= 2.r, por tanto, h= 8,04 cm, y la generatriz = 9 cm. Podemos calcular las áreas y el volumen del cono así:

Area lateral = 𝜋. 𝑟 𝑥 𝑔 . Al= 𝜋. 4.02 𝑥 9 esto da un área lateral de 113,6 cm2

Area de la base= 𝜋. 𝑟2 . Ab= 𝜋. 4.022 ; Ab= 50.76 cm2 Área total= 𝜋. 𝑟. (𝑔 + 𝑟). At= 𝜋. 4.02. ( 9 + 4.02) ; At= 164,4 cm2

V= (𝜋. 𝑟2. ℎ)/3 , entonces, V = V= (𝜋. 4.022𝑥 8.04)/3 ; V= 136,06 cm3.

AREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA. Una esfera es un cuerpo generado por la revolución completa de un semicirculo alrededor de su diametro.

AREA:

A= 4. 𝜋. 𝑟2

VOLUMEN

V= 4/3(𝜋. 𝑟3)

Ejemplo: Calcular el área y el volumen de una esfera de radio 6 cm:

A=4. 𝜋. 62; entonces A= 452,38 cm2.

V=4/3(𝜋. 63); entonces V= 904,7 cm3.

II- PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. Dos polígonos son semejantes si existe una correspondencia entre los vértices tal que:

Los ángulos correspondientes son congruentes. Las longitudes de los lados correspondientes son proporcionales.

Dados dos números a y b; b≠ 0, la razón entre ellos es el cociente a/b, que se expresa como fracción simplificada. Una proporc ión es una ecuación que expresa la igualdad de dos razones: a/b = c/d, b≠0 y d≠0 La razón entre las longitudes de los lados de dos polígonos semejantes se denomina el factor de proporcionalidad o escala. Dos polígonos son semejantes si los ángulos correspondientes son iguales y los lados correspondientes también lo son. La constante de proporcionalidad se denomina razón de semejanza. Los ángulos, lados y vértices correspondientes entre dos figuras semejantes se denominan homólogos. Ejemplo: establezca las razones de semejanza de las siguientes figuras:

10/5 =16/8 =6/3 = 8,48/2,24 2 = 2 = 2 = 2 Es decir, las figuras son semejantes y su razón es 2.

1- SEMEJANZA DE TRIANGULOS.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales (o congruentes) y sus lados correspondientes (u homólogos) son proporcionales. Son lados homólogos los opuestos a ángulos iguales.

POSTULADO: CRITERIO DE SEMEJANZA ÁNGULO-ÁNGULO. (A.A) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos de otro triángulo, entonces, los triángulos son semejantes.

Ejemplo de polígono semejante por el método de Tales.

La transformación que nos lleva de una figura a otra se llama homotecia.

Si α = α’ y β = β’, entonces los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

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TEOREMA: CRITERIO DE SEMEJANZA LADO-ÁNGULO-LADO, (LAL). Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo y los lados correspondientes que determinan los ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

TEOREMA: CRITERIO DE SEMEJANZA LADO-LADO-LADO, ( L.L.L)

Si los lados correspondientes de dos triángulos on proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

2- SEMEJANZA DE TRIANGULOS RECTANGULOS. TEOREMA: SEMEJANZA EN UN TRIÁNGULO TRECTÁNGULO: La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo determina dos triángulos semejantes al triángulo original y semejantes entre sí. Cuando tres números positivos r, s y t satisfacen la proporción r/s =s/t, se dice que s es la media geométrica de r y t.

LONGITUD DE ALTURA A HIPOTENUSA. La longitud de la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media geométrica de las longitudes de los dos segmentos de la hipotenusa determinados por la altura.

LONGITUD DE CATETO: la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo la interseca de tal forma que la longitud

de cada cateto es la media geométrica de la longitud del segmento adyacente al cateto y la longitud de toda la hipotenusa. A.B = A.C y A.B = C.B A.C A.D C.B B.D

El Teorema de la altura relaciona la altura (h) del triángulo y los catetos de dos triángulos semejantes al principal ABC, al trazar la altura h sobre la hipotenusa, enunciando lo siguiente: En todo triángulo rectángulo, la altura (h) relativa a la hipotenusa es la media geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (n y m).

ALTURA DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO A PARTIR DE LOS LADOS: Aplicándole el teorema del cateto a la fórmula de

la altura que se tiene en el teorema de la altura, se puede obtener la altura del triángulo rectángulo sabiendo sus tres lados.

EJEMPLO: Sea un triángulo rectángulo del que se conocen los segmentos en los que divide la altura (h) la hipotenusa (c). Estos segmentos son n=3 cm y m=12 cm.

TEOREMA DE PITÁGORA: en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de las longitudes de los catetos. , c2 = a2 + b2

C.D es la altura sobre la hipotenusa, entonces: A.D = C.D C.D B.D

A partir de los segmentos, gracias al teorema de la altura se puede calcular la altura (h) del triángulo.

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3- SEGMENTOS PROPORCIONALES El Primer Teorema de Tales enuncia que si en un triángulo dado se traza un segmento paralelo a uno de sus tres lados,

el nuevo triángulo generado será semejante al primero.

Si dos rectas cualesquiera (en la imagen: m y n) son cortadas por una serie de rectas paralelas (en la imagen: r, s y t), los segmentos que se forman en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes formadas en la otra recta. Donde se sigue verificando la razón de proporcionalidad que se ha visto en la primera formulación de este teorema

TEOREMA: BISECTRIZ DE UN ÁNGULO DEL TRIANGULO.

La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos que son proporcionales a los otros dos lados del triángulo.

Ejemplo: Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=2 cm. ¿Cuáles son sus bisectrices Ba, Bb y Bc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).

III- CIRCUNFERENCIA: Es el conjunto de puntos del plano que están a una misma distancia de un punto fijo del plano denominado centro. Para nombrar una circunferencia usamos el nombre de su centro. RECTAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA

a- RADIO: es un segmento de recta con extremo en el centro de la circunferencia y el otro extremo en un punto de esta. b- CUERDA: es un segmento de recta cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. c- DIAMETRO: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. d- SECANTE A LA CIRCUNFERENCIA: Es un segmento, rayo o recta que contiene una cuerda de la circunferencia. e- TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA: Es un segmento, rayo o recta que interseca a la circunferencia en exactamente un

punto. El punto se denomina punto de tangencia.

CUERDAS, ARCOS Y ÁNGULOS CENTRALES.

Un ángulo central < 𝐴𝑂𝐵 es aquel con el vértice en el centro de la circunferencia. Arco menor ͡CD͡ es el conjunto de puntos de la circunferencia que están en el interior del ángulo central DOC, junto con

los puntos C y D. la medida de un arco menor es igual a la del ángulo central que lo subtiende. Un arco mayor CBD es el conjunto de puntos de la circunferencia que están en el exterior de un ángulo central DOC, junto

con los puntos C y D. la medida de un arco mayor asociado a un arco menor se obtiene al sustraerle la medida del aco menor correspondiente a 360°

Al triángulo Δ ABC se le traza el segmento A’C’. Vemos que aparece un nuevo triángulo Δ A’BC’ semejante al primero. Tienen sus tres ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales. De acuerdo con el teorema, se verifica que:

Esta razón o igualdades determinan a su vez al criterio de paralelismo de rectas.

Ba =(2/b +c) √𝑏. 𝑐. 𝑠(𝑠 − 𝑎)

Ba = (2/4 +2)√4𝑥2𝑥4.5(4.5 − 3)

Ba = 1/3 √54 Ba = 2.45 cm

TEOREMA: RELACION TANGENTE Y RADIO: si una recta es tangente a una circunferencia, entonces, es perpendicular al radio que tiene extremo en el punto de tangencia. TEOREMA: De la recta perpendicular a un radio en un punto de la circunferencia: si una recta, en el mismo plano de una circunferencia, es perpendicular a un radio en un punto de esta, entonces es tangente a la circunferencia. TEOREMA SEGMENTOS TANGENTES: Dos segmentos tangentes a una circunferencia, desde un punto externo común son congruentes.

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El arco subtendido AB por el < 𝐴𝑂𝐵 es el arco cuyos extremos están en los puntos A y B y los demás puntos están en el

interior del ángulo < 𝐴𝑂𝐵 . Dos arcos de una misma circunferencia o circunferencias congruentes, son congruentes si tienen la misma medida.

Los arcos se miden en grados al igual que los ángulos. La relación entre las medidas del arco menor y el ángulo central da lugar al último postulado que se introduce en el sistema axiomático y a un teorema.

6- ANGULOS INSCRITOS. Un ángulo inscrito es un ángulo con vértice en la circunferencia y cuyos dos lados contienen cuerdas de la circunferencia.

TEOREMA. ANGULO INSCRITO: la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco subtendido por el ángulo.

La posición del centro de la circunferencia con respecto al ángulo, la cual puede estar en el ángulo, en su interior, o en su exterior. 7—CUERDAS, TANGENTES, SECANTES Y ÁNGULOS.

POSTULADO: ADICION DE MEDIDA DE ARCOS: la medida del arco formado por arcos adyacentes que solo comparten un extremo es la suma de las medidas de los dos arcos. Así: medida del arco ABC = m AB + m BC.

TEOREMA: DE ARCOS Y ÁNGULOS CENTRALES: en una circunferencia o en circunferencias congruentes, dos arcos menores son congruentes si y sólo si los ángulos centrales que los subtienden son congruentes.

TEOREMA DE CUERDAS Y ARCOS: en una circunferencia o circunferencias congruentes, dos arcos menores son congruentes si y solo si las cuerdas que lo determinan lo son.

TEOREMA, DIAMETRO COMO BISECTRIZ: si un diámetro es perpendicular a una cuerda, entonces biseca la cuerda y el arco que está determinada. TEOREMA, MEDIATRIZ DE UNA CUERDA: la mediatriz de una cuerda contiene el centro de la circunferencia. TEOREMA RELACION DISTANCIA Y CONGRUENCIA DE CUERDAS: en una circunferencia o circunferencias congruentes, dos cuerdas son congruentes si y solo si equidistan del centro.

CUADRILÁTERO INCRITO: si un cuadrilátero está inscrito en una circunferencia, entonces, los ángulos opuestos son suplementarios.

ANGULOS QUE INTERSECAN EL MISMO ARCO: dos ángulos que intersecan el mismo arco son congruentes. ANGULO INSCRITO EN UNA SEMICIRCUNFERENCIA: un ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

TEOREMA: ÁNGULO CUERDA Y TANGENTE: la medida de un ángulo determinado por una cuerda y una recta tangente que se intersectan en un punto de la circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco intersectado.

Al intersecarse dos cuerdas, dos tangentes o dos secantes de una circunferencia, se forman ángulos cuyas medidas también dependen de las medidas de los arcos que se intersectan en la circunferencia. TEOREMA: ANGULOS DETERMINADOS POR CUERDAS: La medida de un ángulo determinado por dos cuerdas que se intersectan en el interior de una circunferencia es igual a la mitad de la suma de las medidas de los arcos intersectado por el ángulo. TEOREMA: LONGITUD DE CUERDAS: si dos segmentos se intersectan en el interior de una circunferencia, entonces, el producto de las longitudes en que divida una cuerda es igual al producto de las longitudes de los segmentos de la otra cuerda.

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IV- ESTADISTICA Y PROBABILIDAD. INTRODUCCION A LA TRIGONOMETRIA. 1- DISTRIBUCION DE FRECUENCIAM PARA DATOS AGRUPADOS.

Una distribución de frecuencia para datos agrupados es una ordenación de los datos en intervalos (clases) donde aparecen las frecuencias correspondientes. Se utiliza generalmente cuando el número de datos es alto, lo cual dificulta su manejo individual. La marca de clase es el punto medio del intervalo de clase. Corresponde a la mitad de la suma de los límites del intervalo. No siempre la amplitud de los intervalos es la misma y algunas veces no tienen límite inferior o superior. Para construir una distribución de frecuencia a partir de datos no agrupados, determinamos el número de intervalos (generalmente entre 5 y 20) y su amplitud. Escribimos las frecuencias absolutas y relativas de cada intervalo y hallamos la marca de clase.

EJEMPLO: Un laboratorio está⌊ realizando una investigación sobre los efectos de un suplemento vitamínico en el crecimiento de los niños y adolescentes durante un trimestre para un grupo de niños entre 5y 6 años; los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Crecimiento, mm

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Número de niños

2 5 10 16 8 10 14 15 17 20 21 25 23 21 18 13 11 10 10

SOLUCION: Agrupamos los datos en intervalos, en este caso 5 intervalos o clase, y una amplitud de cada intervalo de 4 unidades; el cual se obtiene de dividir la diferencia entre el dato mayor y el menor dividido en el número de cases, así: (20 – 2)/5= 3,6. Para mayor comodidad en las operaciones aproximamos a 4 dicha amplitud. Teniendo la amplitud del intervalo, se toma como limite inferior en la primera clase el valor menor de los datos, en este caso es 2 y decidimos que este primer dato se cuente dentro del intervalo y no se cuente el último (6), el cual es el resultado de sumar 4 al primer dato (2).

Crecimiento mm Intervalo de clase

Marca de clase (x) N° niños. (fi)

Frecuencia relativa (hi)

Frecuencia abs. Acumulada (Fi)

Frecuencia relativa acumulada (Hi)

[2, 6) 4 33 0,12 33 O,12

[26, 10) 8 47 0,17 80 0,29

[10, 14) 12 83 0,31 163 0,60

[14, 18) 16 75 0,28 238 0,88

[18 ,22) 20 31 0,12 269 1.00

total 269 1.

2- MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS.

Las principales medidas de tendencia central son: la media (media aritmética o promedio), la mediana y la moda.

MEDIA ARITMETICA (PROMEDIO).

X=∑ (𝑋. 𝑓)𝑚𝑖=1

n. MEDIANA (Me)

Me= Li + I {𝑛

2− 𝐹"(𝑚𝑒)

𝑓(𝑚𝑒).

MODA = Li + I.{𝐷1

_____________𝐷1 + 𝐷2

.

DECILES, CUARTILES Y PERCENTILE.

D(k)= Li + I {

𝐾𝑛

10− 𝐹"(𝑘)

____________𝑓𝑖(𝑘)

.

Q(k)= Li + I {

𝐾𝑛

4− 𝐹"(𝑘)

_____________𝑓(𝑘)

P(k) = Li + I {

𝐾𝑛

100− 𝐹"(𝑘)

________________𝑓(𝑘)

,n= número de datos. Xi = marca de clase ,f= frecuencia absoluta. F = frecuencia absoluta acumulada ,h= frecuencia relativa o porcentajes H = frecuencia relativa acumulada. Li = limite inferior. I = intervalo, o amplitud del intervalo. ,k = valor del cuartil, del percentil o del decil. F”= frecuencia absoluta acumulada anterior a la clase mediana. ,f(k) = frecuencia correspondiente a la clase mediana, al cuartil, al decil o al percentil. (f.(m))

TEOREMA: ÁNGULOSDETERMINADOSPOR SECANTES Y TANGENTES: la medida de un ángulo determinado por una tangente y una secante, dos tangentes o dos secantes es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos que intersectan. TEOREMA: LONGITUD DEL SEGMENTO TANGENTE: si se traza un segmento secante y otro tangente desde un punto externo a una circunferencia, entonces, el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante y el de su segmento secante externo. (caso 3). TEOREMA: LONGITUD DE SEGMENTOS SECANTES: si se traza dos segmentos secantes desde un punto externo a una circunferencia, entonces, el producto de las longitudes de un segmento secante y su segmento secante externo es igual al producto de las longitudes del otro segmento secante y de su segmento externo. (caso 1)

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3- MEDIDAS DE DISPERSION PARA DATOS AGRUPADOS. Las medidas de dispersión mas conocidas son las siguientes:

RANGO= R= Xmax. – Xmin.. esto es dato mayor menos dato menor. DESVIACION MEDIA = DM= f1.(X1 – X) + f2.(X2 - X) +…….+ fn .(Xn – X) .

Total de datos (n)

VARIANZA= θ2 = ∑(𝑋𝑖 − 𝑋). 𝑓𝑖

𝑛𝑁1 .

DESVIACION ESTÁNDAR = θ = √∑ (𝑋𝑖 − 𝑋). 𝑓𝑖𝑛

𝑁1

2 .

COEFICIENTE DE DISPERSION O DE VARIACION:= (DESVIACION ESTÁNDAR ÷ PROMEDIO) X 100.. .

4- COMBINACIONES Y PERMUTACIONES: Una combinación es un arreglo de elementos seleccionados de un conjunto sin importar el orden. El número de

combinaciones de K elementos seleccionados de un total de n elementos es el siguiente. SIN REPETICION DE ELEMENTOS: .CON REPETICION DE ELEMENTOS C(n,k) = n!/k!(n – k)! . CR(n,k)= C(n + k – 1,k)

PERMUTACIONES: El número de permutaciones de k elementos seleccionados de un total de n elementos es el siguiente: SIN REPETICION: .CON REPETICION : P(n,k)= n!/(n-k)! PR(n,k) = nk

5- PROBABILIDADES DE EVENTOS: La probabilidad es la medida de posibilidad que tiene un evento de ocurrir. La probabilidad de que ocurra el evento A (se escribe P(A)), y se expresa así: P(A) = Número de elementos del evento A. . Número de elementos del espacio muestral Ejemplo: una empresa de comestibles rifará un concierto entre los colegios de tres ciudades que hayan recogido al menos 5000 empaques de galletas. La empresa ya tiene el nombre y los datos de las instituciones que participarán en la rifa, tal como aparece en la siguiente tabla:

ciudad femenino masculino mixto total

A 15 9 54 78

B 14 12 58 84

C 8 9 36 53

TOTAL 37 30 148 215

¿Qué probabilidad existe de que un colegio de la ciudad A gane la rifa?

Solución: sea el evento A, que gane un colegio de la ciudad A; esto es P(A)= 78/215 ; es decir P(A) = 0,362; para convertirlo en porcentaje se multiplica por 100, así: 0,362 x 100= 36,2% ; esto quiere decir que la probabilidad que gane un colegio de la ciudad A es del 36,2%.

6- TRIANGULOS RECTANGULOS. a- TRIANGULOS RECTANGULOS CON ANGULOS INTERNOS 45° Y 45°: Un triángulo rectángulo isósceles cuyas medidas

de ángulos internos son 45°, 45° y 90°, la longitud de la hipotenusa h es √2 veces la longitud de un cateto c;

simbólicamente h=c√2. Ejemplo: ¿Cuál es la hipotenusa del triangulo isósceles que tiene en cada uno de sus catetos 3 unidades?

b- TRIANGULOS RECTANGULOS CON ANGULOS INTERNOS DE 30° Y 60°.

En un triángulo rectángulo, cuyas medidas de ángulos internos son 60, 30 y 90, la longitud del cateto menor es la mitad de la longitud

de la hipotenusa y la longitud del cateto mayor es √3 /2 veces la longitud de la hipotenusa. Ejemplo:

7- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de sus tres lados a, b y c. Sea α uno de los ángulos agudos del triángulo rectángulo.

Como no podemos predecir cual de los 215 colegios se ganará el concierto, por eso decimos que es un experimento aleatorio. El espacio muestral son los 215 colegios.

h=√3𝑥3 + 3𝑥3. Esto es que h= √9 + 9 .; h= √18 ; el 18 lo

descomponemos como 9 x 2, por tanto h= √9𝑥2; sacamos raíz a 9 y nos

da que h= 3√2; esto es uno de sus lados por la raíz cuadrada de 2.

Cateto menor BC.= 1 Hipotenusa = 2

Cateto mayor A.C= √2𝑥2 − 1𝑥1

A.C= √4 − 1; es decir que AC= √3

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El seno, coseno , tangente, secante, cosecante y cotangente de los ángulos más característicos (0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS.

a- IDENTIDADES PARA ANGULOS COMPLEMENTARIOS.

Se dice que dos ángulos α y β son ángulos complementarios cuando su suma es 90º (α + β = 90º ) o lo que es lo mismo π/2 rad ( α + β = π/2 rad ).

Razones Razones inversas

sin(π/2−α) =cos α cosec(π/2−α) =sec α

cos(π/2−α) =sin α sec(π/2−α) =cosec α

tg(π/2−α) = cotg α cotg(π/2−α) =tg α

El seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

El coseno se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

La tangente es la razón entre el cateto opuesto (a) y el cateto contiguo o cateto adyacente (b).

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3. MOMENTO DE TRANSFERENCIA

ACTIVIDAD 1:

TIPO DE PIRAMIDE: _____. N° de vértices: ______ N° de aristas laterales: _____ N° de aristas de la base: ___ N° total de aristas: ______

TIPO DE PIRAMIDE: _______. N° de vértices:__________ N° de aristas laterales: _____ N° de aristas de la base: ___ N° total de aristas: ________

TIPO DE PIRAMIDE: _____. N° de vértices: ________ N° de aristas laterales: ____ N° de aristas de la base: ___ N° total de aristas: ________

TIPO DE PIRAMIDE: ________________________ N° de vértices: ____________ N° de aristas laterales: _____ N° de aristas de la base: ____ N° total de aristas: _________

ACTIVIDAD 2: Consulta en un diccionario el significado de: POSTULADO, CONJETURA, TEOREMA, HIPOTESIS, TESIS. ACTIVIDAD 3: dibuja un triángulo rectángulo donde demuestre el “teorema semejanza de triangulo rectángulo” ACTIVIDAD 4: dibuje un triángulo rectángulo y demuestre el teorema de Pitágoras. ACTIVIDAD 5: Mediante una gráfica demuestre el teorema de Tales.

ACTIVIDAD 6: Hallar el área total y el volumen de un prisma cuadrangular regular cuyo lado de la base mide 12 m y la altura de 4 m. ACTIVIDAD 7: Hallar el área total y el volumen de un prisma pentagonal regular cuya base mide 6.5 de lado y 5cm de apotema, y la altura el prisma mide 25 cm. ACTIVIDAD 8: Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.50m, el lado de la base 1.5m, el apotema del poliedro 3.6m; y el apotema de la base 0.70m ACTIVIDAD 9: Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular cuyas medidas son las siguientes:

ACTIVIDAD 10: Calcular el área y el volumen de un cilindro con radio de la base 4 m y altura 7 m. ACTIVIDAD 11: Sabemos que los siguientes triángulos son semejantes. Halla los lados y los ángulos que faltan.

ACTIVIDAD 12: Un rectángulo tiene unas dimensiones de 15 cm x 20 cm. Si el lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 6 cm, ¿cuánto mide el lado mayor? ACTIVIDAD 13: Los lados de un triángulo miden 6, 8 y 12 cm. Se construye otro semejante cuyas dimensiones son 9, 12 y 18 cm. ¿Cuál es la razón de semejanza? ACTIVIDAD 14: Sea un triángulo con los tres lados conocidos, siendo estos a=3 cm, b=4 cm y c=2 cm. ¿Cuáles son sus bisectrices Ba, Bb y Bc? Primero calcularemos el semiperímetro (s).

ACTIVIDAD 15: decida si la respuesta a la pregunta es SI, NO o NO SE SABE. Explique la respuesta:

a- ABCD y MNOP son cuadrados. ¿ las figuras son semejante? b- El triángulo EDF y es rectángulo y el triángulo PQR es equilátero. ¿los dos triángulos son semejantes? c- STUV es un rectángulo y HIJK es un rombo. ¿los dos cuadriláteros son semejantes?

ACTIVIDAD 16: Si las longitudes de los lados de un triángulo son: 130m, 120m, y 50m y es semejante a otro cuya ´ longitud de sus lados es: 13m, 12m y 5m respectivamente. 1) Dibuje los dos triángulos en posición normal. ´

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2) Establezca la correspondencia entre los lados homólogos dándole nombre a los vértices de los triángulos. 3) Establezca la correspondencia entre los ángulos homólogos. ´ 4) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los dos triángulos? ACTIVIDAD 17: La sombra que proyecta Luis sobre el suelo es de 156 cm y su estatura es de 175 cm. ¿Qué altura tiene un árbol que proyecta una sombra de 560 cm?. tal como se muestra en la gráfica.

ACTIVIDAD 18: determina los valores de x e y de la figura teniendo en cuenta las propiedades de semejanza.

ACTIVIDAD 19: Calcular los ángulos indicados de los siguientes círculos:

ACTIVIDAD 20: Si QA = 9 y QB = 4, hallar QT. (13) Si QT = 8, QA = 20, hallar QB. (15) Si QT = QA / 2 y QB = 9, hallar QT. ACTIVIDAD 21: En el círculo mostrado, si UX = 8 y XY = 10, entonces encuentre la longitud de UV .

ACTIVIDAD 22: Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en Kg. de ochenta personas: a- Obténgase una distribución de datos en intervalos de amplitud 5, b- Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg. c- ¿Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg? pero menor que 85?. d- Calcule la media, mediana, moda, D1, Q3, P45, varianza, desviación estándar y coeficiente de dispersión.

Nota: para mayor facilidad organice los datos de menor a mayor. 60; 66; 77; 70; 66; 68; 57; 70; 66; 52; 75; 65; 69; 71; 58; 66; 67; 74; 61; 63; 69; 80; 59; 66; 70; 67; 78; 75; 64; 71; 81; 62; 64; 69; 68; 72; 83; 56; 65; 74; 67; 54; 65; 65; 69; 61; 67; 73; 57; 62; 67; 68; 63; 67; 71; 68; 76; 61; 62; 63; 76; 61; 67; 67; 64; 72; 64; 73; 79; 58; 67; 71; 68; 59; 69; 70; 66; 62; 63; 66; ACTIVIDAD 23: - Una bolsa contiene 2 bolas negras, 3 bolas blancas, 4 bolas rojas y 5, bolas verdes. Se extrae una bola de la bolsa, describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de: a) La bola es de color rojo. b) La bola no es negra. c) La bola es blanca o verde.

EVALUACIÓN FORMATIVA

Mediante una narración, describa la importancia de los diferentes temas vistos en esta guía para la solución de situaciones problema de la vida real.

REFERENCIA Y FUENTES DE INFORMACIÓN

BIBLIOGRAFIA: ser competente en matemáticas 9, EDITORIAL NORMA. WEBGRAFIA: http://www.bartolomecossio.com/. https://www.universoformulas.com/; matematicasparaticharito.wordpress.com/.

DATOS DE CONTACTO DEL DOCENTE

CORREO ELECTRONICO: isvague68@hotmail.com CELULAR: 3113437374