ANOVA 1 Fator Prof. Ivan

8/20/2019 ANOVA 1 Fator Prof. Ivan

1/12

Análise de Variância (ANOVA) 1 fator

Queremos determinar se a diferença observada entre duas médias amostrais♣ é

devida, apenas, às variações aleatórias de uma amostra a outra, ou se os dados vêm de

populações onde as médias são verdadeiramente diferentes. Esse é um outro modo de dizer

que nós queremos descobrir se a diferença entre as médias é estatisticamente diferente. Enfim,

mesmo que nós possamos concluir que as médias são diferentes, nós também temos de decidir

se elas diferem o suficiente para poderem ser consideradas de importncia pr!tica "cl#nica$.

%amos considerar três situações "&, ' e ($ onde os )rupos (ontrole e *ratado

apresentam a mesma média amostral, porém, diferem em termos de variabilidade "em

dispersão, ou se+a, em desviopadrão$.

C T C T C T

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

caso A caso B caso C

m

m

( - )rupo controle

* - )rupo tratado

Caso A: duas médias diferentes "não podemos dizer outra coisa, senão que diferem

numericamente$.

Caso B: as mesmas duas médias "de &$ com valores bem dispersos "a diferença não é

estatisticamente si)nificante$. evido à dispersão, a diferença não é muito convincente.

Caso C: as mesmas médias "as duas de & e '$ com valores concentrados "pró/imos ao valor médio$. 0esse caso, 1! diferença estatisticamente si)nificante.

O teste t (de Student) para a diferença entre duas médias é um caso especial de análise de

variância (ANOVA 1 fator). A fórmula para t pode ser epressa para !. Vale a relaç"o# ! $ t %.


2/12

2 problema é como decidir quando as médias são diferentes, em relação à

dispersão dos valores em cada )rupo, a fim de concluir se 1! diferença estatisticamente

si)nificante entre as médias.

& an!lise de varincia a+udanos a responder esta questão.

2 que temos a fazer é descobrir um modo de avaliar "medir$ numericamente o

quão diferentes são as médias e quanto as observações se afastam "encontramse dispersas$ ao

redor das respectivas médias.

(om essas duas medidas "avaliações$ à nossa disposição, somos capazes de dizer

se as médias diferem si)nificantemente ou não.

A idéia da Análise de Variância

Esta é a idéia principal para a comparação de médias3 o que importa não é o quanto

as médias amostrais estão distantes , mas o quão distantes estão relativamente & varia'ilidade

de o'servaçes individuais.

& &02%& compara a variação resultante de fontes espec#ficas com a variação

entre indiv#duos que deveriam ser semel1antes. Em particular, a &02%& testa se v!rias

populações têm a mesma média, comparando o afastamento entre as médias amostrais com a

variação e/istente dentro das amostras.

& &02%& pressupõe que podemos decompor cada valor observado em três termos

aditivos4 ou se+a, nós somos capazes de escrever cada observação como uma soma de três

termos. & decomposição pode ser escrita como3

%alor obtido "/$ - média )eral "5$ 6 desvio da média do )rupo em relação à média )eral "

5$ 6 desvio "7i+ $ entre o valor observado em relação à média do )rupo " / $ ou

ata - fit 6 residue "error$

2 modelo formal de &02%& "8 fator $ é3 /i+ - 5 6 9i+ 6 7i+

/i+ : são os valores observados em cada )rupoi : referese ao )rupo

+ : referese à observação dentro do )rupo

5 : é uma constante "é a média )eral$7 : são os termos residuais "diferença entre o valor observado e o fit, modelo a+ustado$

;


3/12

2bservação. - variação "entre médias amostrais$ / variação "entre indiv#duos dentro das amostras$

&s medidas de variação no numerador e denominador de > são c1amadas de médias

quadr!ticas. ?ma média quadr!tica é uma forma mais )eral de uma varincia amostral. ?ma

varincia amostral usual s; é uma média dos desvios quadr!ticos das observações a partir de

suas médias, lo)o se qualifica de @média quadr!ticaA.

& estat#stica > testa a 1ipótese nula de que todas as populações têm a mesma média3

Bo3 C8 - C; - CD- .. - C *

Ba3 nem todos os C são i)uais

tem distribuição > com 8 e 0 )raus de

liberdade.

D


4/12

Exe!lo resol"ido:

0a *abela 8, mostrada a se)uir, temos cinco )rupos com cinco observações em cada

)rupo. Queremos saber @as diferenças nas médias amostrais são variações aleatórias que

ocorrem apenas devido ao acaso " +ust ', c-ance$ ou se e/istem diferenças sistem!ticas entre

as médiasA.

*abela 8. ados obtidos em cinco )rupos num e/perimento inteiramente casualizado com

cinco réplicas.

A B C # E

F G H I D

F J H I H

F J I F H

J J F F HK K F J I

édias aostrais ( $$ % & '

édia eral * '

O+ser"a,-o:

Lrimeira re)ra de an!lise de dados3 @maMe a pictureA


5/12

Valores

G r u p o s

109876543210

A

B

C

D

E

Dotplot of Valores vs Grupos

9876543

Dotplot for A-E

A

B

C

D

E

MeaMea !- 1 "tDe

Descriptive Statistics: A, B, C, D, E

Grupos N Média DP CoefVar (%)

A 5 7.000 1.414 20.20

B 5 .000 0.707 .4

C 5 5.000 1.000 20.00

D 5 !.000 1.225 20.41

" 5 4.000 0.707 17.!

O+s.: 8.H8H é o dobro de N.GNG

I


6/12

esol0,-o:2 entre r0!os: n( 3 4)5

6r0!o AOn#cio Efeito

tratamento

rupo

"/$

Pes#duo "+o)o$ >inal 7;

F 68 G 8 F 8F 68 G 8 F 8

F 68 G 8 F 8

F 68 G 68 J 8

F 68 G 6; K H

& (1)5

6r0!o BOn#cio Efeito

tratamento

rupo

"/$


F 6; J 8 G 8

F 6; J N J N

F 6; J N J N

F 6; J N J NF 6; J 68 K 8

&(5)5

6r0!o COn#cio Efeito

tratamento

rupo

"/$


F 8 I 8 H 8

F 8 I 8 H 8

F 8 I N I N

F 8 I 68 F 8

F 8 I 68 F 8

&(31)5

6r0!o #On#cio Efeito

tratamentorupo

"/$Pes#duo "+o)o$ >inal 7;

F N F 8 I 8

F N F 8 I 8

F N F N F N

F N F N F N

F N F 6; J H

&(7)5

6r0!o EOn#cio Efeito

tratamento

rupo

"/$


F ; H 8 D 8

F ; H N H N

F ; H N H N

F ; H N H N

F ; H 68 I 8

&(3')5 * &(35)5

Cálc0lo da oa de 20adrados

F


7/12

2 Entre r0!os *2E * & 815 955 9 (31)5 9 75 9 (35)5 * &7

2 #entro dos r0!os * 2# * ; 7; - 55.

; 7; - "8$; 6"8$;6 "8$;6 "8$;6 ";$; 6 "8$;6 "N$; 6"N$;6"N$6"8$; 6

"8$;

6"8$;

6"N$;

6"8$;

6"8$;

6 "8$;

6 "8$;

6"N$;

6"N$;

6";$;

6 "8$;6"N$;6"N$;6"N$;6"8$; -

; 7; - J6 ; 6 H 6 F 6 ; - ;;

2< * oa de 20adrados


8/12

#es$%ual

& e r ' e

t

210-1-2

99

90

50

10

1

N 25

AD 1.493

P-Value


9/12

sens#veis à ausência de normalidade que, na pr!tica, têm pouco valor. & solução é contar com

a robustez da &02%&.

Qual é a )ravidade de os desviospadrão serem desi)uaisR & &02%& não é muito

sens#vel a violações da suposição, particularmente quando todas as amostras têm taman1os

i)uais ou semel1antes e nen1uma das amostras é muito pequena. &o plane+ar um estudo, tente

tomar amostras do mesmo taman1o de todos os )rupos que pretende comparar. 2s desvios

padrão amostrais estimam os desviospadrão da população, lo)o, certifiquese antes de fazer a

&02%& de que os desviospadrão amostrais são semel1antes entre si. Esperase que 1a+a certa

variação entre eles devido ao acaso. & se)uir apresentamos uma re)ra pr!tica que é se)ura em

quase todas as situações3

%erificação dos esviosLadrão na &02%&3

2s resultados do teste > da &02%& são apro/imadamente corretos quando o maior desvio

padrão amostral n"o for mais do 6ue duas ve7es do que o menor desviopadrão amostral.

U

?m desviopadrão )rande muitas vezes ocorre devido a valores at#picos ou à assimetria.

(ontinuemos com a resolução de nosso e/emplo...

F>r0las ANOVA 1 fator

%arincia -


10/12

& nossa 1ipótese "Bo$ é3 @sendo as médias nas populações das quais procedem as

amostras i)uaisA, qual é a probabilidade de obtermos valores X >calculado tão e/tremosR

>calculado - QVentre QVdentro - 8;,I 8,8 - 88,DF

2 p2valor quantifica a discrepncia entre os dados e Bo3 se a probabilidade de > étão discrepante ou mais que Bo.

& nossa 1ipótese em investi)ação "ou em estudo$ é se as médias diferem

estatisticamente. ?sualmente é e/pressa a 1ipótese estat#stica de nulidade "ou i)ualdade$

assim3 Bo3 5& - 5' - 5( - 5 - 5E.

& ri)or, Bo, não é um teste para verificar a probabilidade de i)ualdade das médias,

mas sim para verificar a probabilidade de ocorrência da estat#stica > tendo como condiçãoverdadeira o fato de que essas amostras procedem de populações que apresentam o mesmo

valor médio "no nosso e/emplo, 5 - F$. "Bo3 1ipótese onde quaisquer diferenças encontradas

são devido ao acaso$.

Em nosso e/emplo, a 1ipótese em investi)ação não coincide com a 1ipótese

estat#stica de nulidade "Bo$. &ssim, se re+eitarmos Bo, então se pode inferir @com cautelaA que

1! uma diferença sistem!tica atuando, o que e/plica a diferença entre os valores amostrais

mel1or do que a ação do acaso.

2s resultados obtidos são apresentados de forma resumida na tabela ;3

*abela ;. &02%& "8 fator$ para os dados da *abela 8.

>onte de variação "ou efeito$ )l

pvalor

Entre )rupos H IN 8;,I 88,DF N,NNNNFYentro "res#duo$ ;N ;; 8,8

*otal ;H G;

YpZ N,NI

8N


11/12

Cálc0lo do !3"alor associado estatística F.

Lrocedimento no Vinitab.

0uma tabela @>A encontrada nos livros de estat#stica, obtemos > )l "H3;N$ - ;,JG para

I[. & estat#stica > : razão de varincia foi calculada. Ela ocorre muito ou pouco num

mecanismo de pura c1ance "diferenças amostrais devido ao acaso$R

“Se uma observação é rara (improvável) sob determinada hipótese (Ho), então é

evidência contra essa hipótese”

0o Vinitab "comando (*P 6 W$ temos de di)itar o comando (> "cumulative

distri'ution function$ e, a se)uir, o valor da estat#stica > calculada para indicar que estamos

considerando a distribuição > e, não por e/emplo a 0ormal. 0uma outra lin1a, os n\meros de

)raus de liberdade das varincias entre os )rupos "numerador$ e dentro dos )rupos

"denominador$. & constante M8 representa a probabilidade de ∞ até > "- ;.JG$ e o pvalor é a

parte da curva que falta para 8NN[ de probabilidade "!rea total da curva$4 por esse motivo,

para se obter o pvalor, !rea do que falta, temos de subtrair do total. 2 pro)rama Vinitab vai

armazenar esse resultado como constante M;


12/12

Crva !

"# $%mera&'r( ) 4

"# $&e%'mi%a&'r( ) 20

0*0

0*1

0*2

0*3

0*4

0*5

0*6

0*7

0 1 2 3 4

CD!

5+

2*87

F calc0lado (* 11.') é aior 0e F (* 5.%$) ta+elado a &G@ ent-o@ reHeita3se Io

Jara se o+ter o !3"alor associado estatística Fl(D57) * 11.'

Edit]] (ommand Wine Editor3

cdf 88.DF M8D> H ;N.

let M; - 8 : M8

print M;

& resposta ser! M; - pvalor -8p "-M8$ - N,NNNNF - Z I[, lo)o re+eitase Bo.

(onclusão. B! evidência amostral de que as cinco médias diferem do

ponto de vista estat#stico.

8;

Documents

ANOVA 1 Fator Prof. Ivan