Analiza 1 - Zbirka PMF

Durdica Takaci_ Arpad Takaci

. ZBIRKA ZADATAKA IZ ANALIZE I

prvi deo

granica, neprekidnost, izvod

LI] SYMBOL

Novi Sad, 2010.

UiI

EH

ioz

NH\l-'-la r-\

i

.-l.ja=

Jr=:

N*

ii g

v\Fico4.Il-{A

AIN

)(.)

3li

>9cB

ErIlin

PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor

http://www.cvisiontech.com

Sadriaj

Predgovor

Sadriaj v

1 Uvod 1

1.1 Skupovi I

1.1.1 Zadaci 3

1.2 Matematicka indukcija 4 1.2.1 Zadaci 5

1.3 Apsolutna vrednost I I

1.3.1 Zadaci I i

1.4 Skup R kao potpuno uredeno polje 13

1.4.1 Zadaci "

15

1.5 Skup R kao topoloski prostor 23 1.5.1 Zadaci 24

2 Funkcije 30 2.1 Osnovni pojmovi 30

2.1.1 Zadaci 32 2.1.2 Parametarsko zadavanje krivih 50 2.1.3 Krive date u polarnim koordinatama 51

3 Nizovi 53 3.1 Graniéna vrednost niza 53

3.1.1 Zadaci 54 3.2 Osobine konvergentnih nizova

, 58

3.2.1 Zadaci 59 3.3 Kosijevi nizovi 66

3.3.1 Zadaci 66 3.4 Podnizovi i tacke nagomilavanja 67

ti

0 te - -f.l N<

.De

!da

rr(h

E !)

rto-

o(-

.''A

-N<

O0

Re.

?rl

:! :!

y"

?z

leE

l :.

- :l

:-

I5

uJ

NJ

-S'

-E

(^

5 U

J fJ

F:"

E:"

opo3

. pr

.po.

6.

-?-o

r>;?

ra

Z=

?.,i.

f :.B

' :-

--5E

' !.5

Fj?

E i

.ii5

5 -E

: -

o-

- E

'J

J N

J -

o rr

o -E

-

o -

(D E

!

xz=

g';F

w=

H:

: N

:'t'rl

sE

5'dN

:' N

lrNrt

sr

t.li.N

*'-.

4)

=.ID

A

F

D

z Ia

F

D

D

!2

DJ

FD

P

C

D

CD

P

F

D

c)<

FD

-'O-

N

O-

Y

O.;

:'::

O-,

o O

- O

O-

O

O,.

O-

rr

O-

g.E

?E5E

H.

:HE

E

E-a

AE

ii E

E:E

:ii'

H

9

BE

's.

?:E

: 3:

3:.

:!-=

o;cr

4a*

E

3 =

. --

fr.

+

6.-.

0..

X

J.-

F'

Fo

o (

u +

..

E I.

:

: ;.

q:

: :

E':

:E

1.

' 3N

!

@i.=

.=aO

orar

NiP

h(D

H

S

33.

r.

o

!oxr

(tE

,;ts'

,O

::..:.

. E

+::

::::

::..:

.at .=

D,

(D

t.) IJ o €.

z N!D ts .)

<

rD o o N FD

(, i.r o CD o o # o N o

()J

LD i o .D N o

u) 5 o- N o o< .D IA oo- N o o< .D 0a o O\

Ol

O.

t t)

(/

r (^

tn

q

(,l

Ui

uJ (

, t'J

tJ

-

- +

i

\l c\

o\\o

cc

AU

J u)

-

o N

)Oo

.N

uJ(.

,ruJ

+

r

(n

A

u)

* lf

L



vi Sadrzaj

3.4.1 Zadaci 68

3.5 Monotoni nizovi 77

3.5.1 Zadaci 77

3.6 Razni zadaci 87

3.7 Asimptotsko ponasanje nizova 93

3.7.1 Zadaci 93

4 Granicna vrednost funkcije 97 4.1 Definicije granicne vrednosti funkcije 97

4.1.1 Zadaci 99 4.2 Asimptote grafika funkcija 122

4.2.1 Zadaci 123

4.3 Asimptotsko ponasanje funkcija 124

4.3.1 Zadaci 125

5 Neprekidnost funkcije 130 5.1 Neprekidnost funkcije u tacki 130

5.1.1 Zadaci 132 5.2 Uniformna neprekidnost 149

5.2.1 Zadaci 150

6 Izvodi 156 6.1 Uvod 156

6.1.1 Zadaci 159 6.2 Teoreme srednje vrednosti 177

6.2.1 Zadaci 177

6.3 Tejlorova formula 184 6.3.1 Zadaci 184

6.4 Lopitalovo pravilo 191 6.4.1 Zadaci 192

6.5 Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije 197 6.5.1 Zadaci 198

6.6 Konveksnost i konkavnost 205 6.6.1 Zadaci 206

7 Grafici funkcija 211

Literatura 219

Indeks 220

ti

Giava 1

Uvod

1.1 Skupovi

Skup je osnovni pojam u matematici. Skupovi se obelezavaju velikim slovima

latinice, na primer A, B, C, . . . , X , Y, . . . . Skup je poznat ako je poznato pravilo,

ogranicenje ili osobina na osnovu koje mozemo odrediti sve njegove elemente. El-

emente skupa obele2avamo malim slovima latinice, na primer a, b, c, . . . , x, y, . . .

Ako element x pripada (resp. ne pripada) skupu X, to pisemo x E X (resp. x V X).

Ako element x ima osobinu P, tada to oznaèavamo sa P(x). Skup elemenata x sa

osobinom P pisemo {x I P(x) } .

Cesto éemo koristiti kvantifikatore "d"i koje citamo "svaki" i "postoji".

Skup X je podskup skupa Y, sto pisemo X C Y, ako svaki element skupa X pripada

skupu Y, tj. (X C Y) < > ((Vx) (x E X x E Y))

.

Prazan skup, u oznaci 0, tj. skup koji nema elemenata, se moze definisati kao

0 = {xl x # x}. Za proizvoljan skup X vafi 0 C X. Ako je X C Y i Y C X, tada

ka2emo da su X i Y jednaki skupovi, tj. (X = Y) < : ((Vx) (x E X < > x E

17)).

Osnovne operacije sa skupovima su:

unja skupova: X UY ={xI x E XVx E Y}; presek skupova X n Y =

{x x E X A x E Y } ;

razlika skupova X \ Y = {x x E X /\ x Y } ;

komplement skupa C(X) ={x xEU/\xOX}, gde je U univerzalni skup, tj. onaj koji sadrzi sve skupove X, sa kojima radimo.

Skupovi X i Y su disjunktni ako je X n Y = 0.

Neka su dati neprazni skupovi X i Y. Tada je uredeni par (x, y) elemenata x E X i

y E Y definisan kao skup sa dva elementa na sledeéi nacin: (x,y) = {{x}, {x,y}}.

.l^.':cg.dodE

:tr:x: E

-9E

,=.

x::;*ilI

f ;=

-c a

.v---;ir;;iE

=

'a 3x!

'=

n''E

9E:*E

'5':

,Fu^

E *+

5E*,A

E

i1 t!lt

E

E3

.- N

r -

I -

- -q,

u ut

=,3"dtut

=-E

gu:

i o^

s.=^tq-\aC

>ad,aad-o--'=

5o-ilH

i^ ;q

6o>'i

{ a

i:;i,Up

::2 d;.,-,

e k,F

2=a

".'E-&

"

=)zv

b ;'2

tF=

E:I

Eq

E<

^ P

.1 .

-d:.ya aG

I

li ?

tr

:a:::E a*o*:* ---rE

ttE

I " = =

i -*:

Q ;:

i i--J-Jy

6s 3 z

+?E

: =

,3 !-,',

-s l'

=-:.!2i."6

--uY

E;F

x l,r*<

'!liE6-'d

E:E

l.x;

Eg-

i::5€>€cd

-: E

S'.q o

=

. |

:=.

.i -=

((,,, -C

.6 E

d ,gtlE

g {

E x 9'x:

ixx ":;.xI

o'5..

o' q.* -

I E

, i

+';

-i ^.,1t'--9,.i =

E \iz E

=-€

s,3 ! 3E

S. I ; I ;;;i:-

tE

x==

;.s b;-4'";

a'- ;iY

E iiE

iqri,9 i 1aE

E [-+

l ?I; :

,,'-3 qF=

5si5__E',U

3ilt,

il5?5+g

I Y =

E 3 E

* E &

1 : .i E 5 'l

aU ?i 3 1

e<=

'sf i*""i: E+

5 #"i"+z.E

;:.,

:rEE

iE F

ET

._ :si:,3 ., e S

i E ; lE

A Z

i-:E :*!'iiE

5 rqI H

E e+

: 9r E

F

i Z

i !EA

E-: E

+ s E

t! * 74i,H

=;E

Ea :yE

zaEE

::: E;i iT

ei*B,iil:

= E

E*E

**E,E

E-; E

I 5 t iiEc a3E

y_

- \Jr-\vD

\id-- zh\J

t.lO\O

r-l t-l

NC

ICIN

co t-- tr-.t'- co co F

- tt- or N co $

trt O

O N

O\O

\9 \O

o, t-- tt- $ <

a C

n F

C9!O

\A\o t'- r'- oo o\ o\

o\ o\ o, e.l c\ N N

.ri.o

co'+ r)

lo v1 \n F- F

- oo oo o\ o\ o,o,o o

*-*- t-l-**i

Fl--i-=

-***-NN

>N

'Eq

li62

?.I

F-*i

UN=.i

cA



Giava 1. Uvod

Dekartov proizvod skupova Xi Y, u oznaci X x Y, je skup svih uredenih parova (x,y),gdejexEXiyEY,tj. XxY={(x,y) xEX,yEY}. Partitivni skup datog skupa A, u oznaci P(A) jeste skup svih podskupova datog

skupa (ukljucujuéi i prazan skup), tj. P(A)= {X X c Al.

Za nas ée najvafniji biti skupovi brojeva:

skup prirodnih brojeva N={1,2,3,4,...}; skup celih brojeva 7G =

{0, 1, -1, 2, -2,3, -3,4,-4, . . .

};

skup racionalnih brojeva Q = { 77n

2

rn E Z, n E N} ;

skup realnih brojeva R;

skup kompleksnih brojeva C.

O skupovima brojeva ée biti vige reci kasnije; podsetimo se da vae relacije:

Nc7ZCQCRcCC.

Skup prirodnih brojeva N ima najmanji element, broj 1, tj. (Vn E N) 1 < n. Ako je element n u skupu N, tada je i njegov sledbenik, tj. broj n + 1, takode u

skupu Prema tome, skup prirodnih brojeva nema najveéi element. U skupu celih brojeva Z vafnu ulogu ima broj nula CO") koja ima osobinu da za svako .x E 7L vafi x + 0 = 0 +x = x. Brojevi -1, -2, -3, . . .

- n, . . . , suprotni su

brojevima 1, 2, 3, . . . n, . . . , tj. n+ (-n) = 0, za sve n E N.

Skup racionalnih brojeva Q je skup razlomaka, koji se mofe dobiti i kao Q =

{p/g}p,q E 7G,q 0}. Dva racionalna broja mi/ni i m2/n2 su jednaka ako i

samo ako je m n2 = m2n1, gde su mi ,m2 E Z, nl,n2 E N. Broj q/p je inverzan (reciprocan) broju p/q, tj. (p/q) (q/p) = 1, gde su p, q E Z \ {0}. Kafemo da se izmedu skupova X i Y mofe uspostaviti uzajamno jednoznacno preslikavanje ako svakom elementu skupa X odgovara jedan i samo jedan element skupa Y i, obrnuto, svakom elementu skupa Y odgovara jedan i samo jedan element skupa X. U tom slucaju su su skupovi X i Y ekvivalentni, sto pisemo X Y.

Skup X je konacan ako postoji takvo n E N da je X r., { 1, 2, . . . ,n1. Skup kóji nije konacan je beskonacan; mofe se pokazati da je skup beskonacan ako je ekvivalentan svom pravom podskupu.

Skup X je prebrojiv ako je X N. Svi skupovi brojeva u (1.1) su beskonacni, skupovi N, Z i Q su prebrojivi, a skupovi R i C nisu prebrojivi.

1.1. Skupovi

1.1. Definicija. Relacija p na inepraznom skupu A je podskup skupa A x A, tj. elementi p su uredeni parovi ciji su i prvi i drugi element iz skupa A.

Ako uredeni par (x, y) pripada skupu p, gde je pc A x A, tada pisemo xpy i kazemo da su x i y u relaciji p. Relacija p mofe imati i neke od sledeéih vafnih osobina: refleksivnost: (Vx E A) xpx; simetricnost: (bx, y E A) (xpy) (ypx); antisimetricnost: (dx,y E A) (xpyAypx) (x = y); tranzitivnost: (dx, y, z E A) (xpy A xpz) (xpz).

Relacija p na skupu A je relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetricna i tranzitivna. U svim skupovima brojeva, jednakost (=) je relacija ekvivalencije. Kongruencija po modulu 2n, za E N, je takode relacija ekvivalencije na N. Relacija p na skupu A je relacija poretka ako je refleksivna, antisimetricna i tranzitivna. U skupu realnih brojeva R, relacije manje ili jednako (<) i vece iii jednako (>) su relacije poretka. Ako je istovremeno x <y ix y, tada pisemo x < y ili, ekvivalentno, y > x.

1.1.1 Zadaci

1.2. Pokazati sledeée osobine operacija sa skupovima, ako je U amiverzalni skup: zakon idempoten.cije: X U X = X, X n X = X; zakon komutacije: X U Y= Y U X, X n Y= Y n X; zakon asocijacije: (X U Y) U Z = X U (Y UZ), (X n Y) n Z = X n (Y n Z) ; zakonidistribucije: XU(YnZ)=(XUY)n(XUZ), Xn(YUZ)=(XnY)U(Xr1Z); zakon apsorpcije: X n (X U Y) =x, X U (X n Y) =x;

xu0=x, xuU=U, xne=0, xnU=x; XuC(x)=U, xnC(X)=0;

De Morganovi zakoni: C(X U Y) = C(X) nC(Y), C(X nY) = C(X) U C(Y).

Resenja. Pokazaéemo samo drugi De Morganov zakon:

xEC(XnY) < > x,%XnY < > x0xVx¢Y > x E C(X) V E C(Y) <=> x E(C(X) UC(Y)).

1.3. Odrediti skupove A U B, A n B, A \ B i B \ A, ako je:

a) A={ 0<x<3}; B={x12<x<4}; b) A={ x2-4x<0}; B={xlx2-5x+4>0}.

F:'

gi ?

iiae+

}?1s

? E

?Ezi

€ E

liiiii

ES

ii r-

;E: *

lit1*

iisE

.iE

ita

:E'IE

EE

EF

iE I

l:Viz

t==

r;!-

;,;>

3!?

i ii€

N

E *

:ci€

i

:,i;

iE?l

f= S

e yF

!iiiri

z ;

[=: z?

; g:;i

i

lz g

iEi;.

ls=

=:S

:tiaE

, ; e

:: *_

:gi!1

r I

i? [2

:€€*

ii i+

tElE

; us

a;iIs

ila;

I

?€ ;

=*l

acge

-N€F

; s;

?= =

; .-

,.--.

- 1e

,i i

73. A

lIEE

Es:

s;l:1

Etg

'; *

= (!

x-

[*i

I

g,fli

i*fr

3iiii

'if=

Ei:r

! ai

!E

Lri

€i f"

aiis

s:ra

=:"

si;;

I -;

!*

f I

-i i*

s';E

=ef

;i )

?=18

=Z

S

? 1i

-n

gtri$

$+;r

l'*i r

; f

€q15

?, ig

r++

l ii:

Ei 1

= r E

' i g

;3'

-?

E,

E E

3'

s a

Y

; -

-!E

......

..ih

E,

Fr

*o^.

i !"

..t

t F

.d s

o

g'Y

xx+

i+i-i

B

t-

>C

I=: n^

=F

=p-

.n

+>

=

U

l:-'

. .=

. ;

--'<

3

C e

e 3

i

L -]

''

= '

- ;.

') '-

.! =

= (I

"

x-

u. Q

i-

a:F

A $

:?iE

ii ig

i ; i-E

; E

1: i1

t3;g

st l

SJl

* 3:

*:ii'

i'i'{u

. E

En€

:=E

a?=

aEiiE

, I

l;:

siir=

jEE

>-g

;+

=r|

;E;e

;A=

:i,:

i

-=-;

:"-B

4;.

iris*

io"ii

!-

Ji?€

lU!:$

;ia i

;f 5l

J il

+:;;

e'-z

l-i

; *;

?;?;

ett*

oa-s

r -;

E

S-3

5;N

ltt

i +

iE

'N=

f -=

5XE

'3

:i3i

: ir

EI :

llF=

!n5'

; r!

ii'f;'

ga;

af i!

Ii"

';-b

3i

i i

F ;

:xIF

3

?i"!

ti;;

x.p

6i

i

- ri:

=

" E

I "I

;:<',.

s.

E, *

,[:iiE

9!

=p

]S

I

i_:.e

;l ia

3iE

lir=

i S

gHs-

ti1-

=t $i

l_x

_ 3:

li:.tS

io'":

)

Ee[

i:'€f

*?i

t i

î

1] :

=

- "il

Ir.'

F

=.

i: d[

:-

: ox

E

] |

:r -.

E

sqI

i

; l::

u;

:: rli

s I

xQ

? fi

: s

}ir;a

?+

i-:.

E

I rk

x

[ 3i

+rr

3E

' I

c A

!;-

. 'j

= ;i;

;' 3

a 5

:e

i i

I=!i:

i;

! i

J i

;3

I v

*g';:

5 a3

, s

i

j e-

s

. î

: :v

ii r[

i

il

s$

;q'

E.''

i

-t '

) *i

F' i

-i :

/1.'

i



Giava 1. Uvod

Rezultati.

a) AUB= 0<x<4}; Af1B={x12<x<3}; A\B= 0<x<2}; B\A={x13<x<4}.

b) Kako je A={xi 0<x < 4} i B= CUD, gde je C= {xi -00<x < 1 } i

D={x14<x<co},toje AUB =AU (CUD)={x1 - <x<+.0}=1!8, Af1B=

Afl(CUD)=(Af1C)U(AUD)={x10<x<1}, A\B=A\(CUD)={x1 1 <x<4}.

1.4. Pokazati sledeéa tvrdenja. a) Skupovi parnih i neparnih prirodnih brojeva, kao i skup Z su prebrojivi skupovi. b) Skup racionalnih brojeva internala (0, 1], kao i skup Q su prebrojivi skupovi. c) Skup realnih brgjeva iz intervala (0, 1), kao i skup R nisu prebrojivi skupovi.

Resenja. b) Napisimo sve racionalne brojeve iz intervala (0, 1] kao

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1' 2, 3' 3' 4' 4' 4, 4

i uvedimo preslikavanje 1->1, 2 2, 3-}3 4-> 3, 5->4, ...

Na ovaj nacin smo svakom prirodnom broju dodelili jedan i samo jedan racionalan

broj iz (0, 1), jer su brojevi koji se ponavljaju uzeti samo jedanput - dakle, uvedeno

preslikavánje je skupa N u Q je injektivno. To preslikavanje je i surjektivno, jer svakom eimentu skupa Q n (0, 1) odgovara neki prirodan broj.

c) PretpostavXéemo suprotno, tj. da je skup (0,1) prebrojiv. Tada se moze svakom

prirodnom broju dodeliti taèno jedan realan broj iz intervala (0, 1). Za dato n E IY

neka odgovara decimalni broj 0, dn 1 dn2 . . . d,,.n . . . iz intervala (0,1) . Posmatrajmo u svakom od ovih brojeva cifru d1171 i odredimo broj a na sledeéi nacin: a = 0 ako je dn # 1, odnosno a/1=1 ako je d = 1. Sada se broj a = 0, a l a2 . . . a . . . razlikuje od svakog prethodnog realnog broja bar u jednoj decimali, sto je u kontradikciji sa

pretpostavkom o ekvivalenciji skupova N i intervala (0, 1).

1.2 Matematicka indukcija U skupu prirodnih brojeva vazi princip matematicke indukcije: Neka je X podskup skupa prirodnih brojeva N` koji sadrsi broj 1 i za svaki element n E X vasi (n +1) E X. Tada je X = N, tj. skup X se poklapa sa skupom N.

Princip matematièke indukcije koristimo za dokaz raznih formula koje vale za sve

prirodne brojeve pocev od nekog, najcesée od broja 1. Taj postupak dokazivanja se

sastoji iz tri dela:

1.2. Matemati6ka indukcija

1) dokaz da je formula tana za n = 1 (ili, za neko pocetno no > 1);

2) pretpostavka da je formula tacna za n = m, za neko m E N;

3) dokaz da je fonnula taéna za n = rn+ 1, ako je taèna za n = rr2.

Ako su prethodna tri koraka korektno sprovedena, na osnovu principa matematiéke

indukcije siedi da je skup onih n-ova koje zadovoljavaju dato tvrdenje u stvari skup

svih prirodnih brojeva (eventualno pocev od nekog no-tog).

1.2.1 Zadaci

1.5. Koristeéi princip maternaticke indukcije, dokazati tacnost sledeéih formula za sve

nEN :

2- n(n + 1)(2n + 1) " 2- n(4n2 - 1) k n(n+1)2; (j y k

6 y (2k-1) 3 k_1,

, //" k-1 k=l

Resenja.

b) Za n = 1 formula je tacna jer je 1 = 1 2

(26

1 + 1) . Pod pretpostavkom da je

2 m(m+1)(2rn+1) formula taèna za n = m E N, tj. y k =

6 , treba da pokazemo da

k=l

je ona taèna iza n = rn+ 1. Zaista, imamo

,n+ ' nz(m+1)(2rn+1) 2 (m+1)(rn+2)(2,2+3) 1

k2= Ek2+ (In +1)2= 6 +(m+1) =

6 k=1 k=1

1.6. Dokazati, za svako n E I`, tacnost sledeéih fonnula: 2

k3 - (11

1 )2; )k _ (n(n+ 2

k= 1 k=1

1 _ n

kI=1 (2k-1)(2k+1) 2n+1'

" 1 1 1 1 rEl.

k(k+1) (k+r) _

r r! r))

Resenja. a) Formula je tana za n = l . Ako je taèna zá

n = m (za neko m E N), tada je

2

(2 (mism2+ l),)

+ + (rn+ l)2) +l . in _

(711 k

\` NI

2 171

:..._ .

,H '

= (Ek) +2(Ek)(m.+1)+(m+1)2= k (m+l))

.

k=1 k-1 k=l

f

i

f.6^l

L..'L,l

=T

l '!

c.ll :

^lE

>+

Lrt :

Fl-t

Ll-

^4- u.)

I.:. *Y

dh*\.ljE

n.u .:ll

(l

^N {!)<

t[^.lt A

i*N,it

(-) c0

.6d-U

EC

()i,N

3.9>o-6A

a

()XA

At

#l.

-]-I;t

Et

,1 cl

T I

Xl.o

^, l\O r

I

::t I

Nl

-l-t

cil!

rr ll

cd

{H

, :NI;a

HN

aZ)(-)

u I

+F

0!rll

trNii

-i:)u

HX

d!tra:oo)€)L\k

>q

-lrldl

il

bI

s)=

^]I

\^l+l-t \]--L^

-l+l5lll

='{-ii(\\\\.i= +Yll-.

z sidl=

q_

;lIL!cnl^lNIr

l.o

+l+vl

>q

uf<J.>(Ja)

c.l

EI gss t:€ i:gi't

$=B

'f:":? s,i,i

fE* ise:uE

iS

iE

iii? ili :arE

:?;sss. EssE

Ei E

ie :Si

s 'gE

EE

E:i=

;;: ;=isr

I *+ iei ? rgE

iclg:i#Ej r{iir

I j:g s=

a 'E-- "''E

EiegE

=1:;i 'e i**zirt

f ,:f Esi

.[=,i :i [3iiB

E:€E

iE'i E

r:yE

;;: =iii

E::: lafli5lE

i,E!€g E

i5ss;)

Y;:

S:R

r E

-lI 3

rrrig:i=i

Er;:E

:: i?ll:=:gi€,E

E ai=

E*.

+ri,: S

ist i-;.E

-;,p i5.fl9::EE

E: $;5;E

E;

Ii€ ' =

! 't

E:i*;:

ix-; +

'+ z ?."7iai+

r\:g 6!;+:=

=a

E<

inVo<

d?3a

iz .=

zE

;;d6-E;'\tda

t<

ltsdE;

Ea

6 j

Ha

6

\loD*.isU



Giava 1. Uvod

b) Za n = 1 imamo jednakost 1 3 2 11+ 1.

Ako pretpostavimo da je formula tacna za n = ni, tada je

,n+I , ! ni 1 _ (m+1)(2m+1) ni +1

,.1 (2k- I)(2k-{- 1) 2n1+ 1+(21n+1)(2na+3) (21n+1)(21n+3) 2n1+3

okazati da je zbir plvili n élanova geometrijske ,;logresije, sa kolicnikoln q {0,1},datsa

L,qk_I -q"-1 k=1 q -1 (1.2)

Resenje. Za n = 1 data formula postaje q° = q -1, sto je tacno. q -1

Pod pretpostavkom da je formula (1.2) tana za neko n = 1n, treba pokazati da je ona tana i za n =1n+ 1. U torn cilju, imamo

nr+l n,

1_q qk -1

k=1 q-1 rn -1 +gm+l - gin gm+1 - 1 _

q 1 q-1 1.8. Pokazati da je za svako n E lY :

a) broj 5.23n-2+33i-1 deljivsal9; b) 3+33+333+...+33...3- -. n sabiraka

10n +1 -9n -10 27

Resenje. a) Kako je 5 231-z+33 1-1 = 19, tvrdenje je tacno za n = 1. Pod pretpostavkom da

je broj 5 . 23ni-2 + 33n'- I

deljiv sa 19, imamo '2

z a '_1

5.23(n,+1)-2+33(m+1)-1=ó S 23m-2+27 33m-I-8(5.23m-2+33m-I)+19.33m-I+ M 7rZ': Prvi sabirák je deljiv sa 19 po pretpostavci, a drugi sadrzi faktor 19, pa je i broj na

Ievoj strani deljiv sa 19.

b) Za n = 102-9.1 10 1 data formula postaje 3 =

27 , sto znaci da je tana. Pod pretpostavkom da je data formula taèna za neko n = m, koristeéi zadatak 1.7, dobijamo n+l _ 3+33+333+...+33..3= 10

9m-10+ `33...3' -- 27 -- (,, .

. (m+1) sabirak ',,+1)cifr .

r)

= (10"'+I -9m- 10 4:_3 27 (10"'-!-... { 1_+10°))

= 21 q 1ß`"-$1,n90' 1.1Q'í'+tl-âl _ 10int2-91n+1 -10 27 9

`1 5 r\ -10 .-..

^ ,, ( ( )

g(I,¡4. 46''2-i.#-(O 0)

\O

1.2. Matema.ticka indukcija

* .1.9. Pokazati jednakost: arctg(;)+arctg(g)+ ... +arctg(b) =arctg(i+1), n E N.

Resenje. Za n = 1 formula je tacna. Pod pretpostavkom da je tacna za n = in, imamo

arctg( ,1-, ) + arctg ( g ) + . . . + arctg (,z ) + arctg (, (,n+1)2 )

I +,+, ; i = arctg( m+1 ) + arctg(, m+l s ) = arctg

1 n, c+ó

( ) ,,,+1 ,ln+,is

' C01-0 1642_44- 1642_44-

= arctg(' +t +2 ) -

3

l.lo. Binomni koeficijent (k) , n E 1, k E lo, 0 < k < n, definie se kao _i L/^)

0,!--61/2-ci-)U n

k

n! Po definiciji je 0! = 1, n! = n(n -1) 2 1, n E Iv. -"" -

.k!(n-k)! -

a) Dokazati sledeéu formulu za binomne koeficijente:

(gdejk

n n _ n+1 ) k+1/ +1 +(

- (k

' enEN,kENo,O<k<n-1.

b) Dokazati binomnu formulu:

/ (a+b)" _

Ck/

\ a"

kbk, a,b E R, n E N. k=0 \ //

Resenja. b) Za = 1 formula (1.3) je tana: (a+ 1,11

= (01)a1

-0b1 -I + (i)al -lbl -o = a+ b. Pod

pretpostavkom da je formula (1.3) tana za neko n = ni, na osnovu a) dobijamo

(a +b)n, +I = m

()am_kbk) (k)am-k+ibk

/ (a + b) _ E + ¡

ni ane-kbk+l k=o k k=0 1(=o

ni

_ (m)aii,+1 k[_1 ( (7)

+ 1n

(1n m+1

(k - 1 am-k+lbk + b

) \nz) m mt1

= am+1 +` \

in +1 á-k+I bk l b,n+1 = [ in

k l l am--k -1-1 bk.

kL=0 JJ k=I

, .11. Pokazati da su sledeée forrrzule tane:

n - sin(na/2) sin ((n+ 1)a/2) a) E sin(ka) oc ,

{27<e ' e E

7G}; k=1 sin(a/2)

n

b) cos(ka) _ ( /2) ((

k=1 n

sm na cos " + 1)a/2) {27te I

e E 7G}; sin(a/2)

sin a e) cos(a/2k)

_ , 0 < a < . k 1

2" sin(a.! 2n)

+L ;l- I :l it-

t\ l- \

i.-'

I

\s +^F

i \

:s

Tv,

+,.a

r

s=

!:lI

+iit

A

FI

' rt

l1l

>

l:.

tl'-J

\v] :ir =N

t*

:l-

-l\ fr)

ra

lM=

E -

iit; ,

3 ;]

s la

- d

I-Jl

'l -

=

:lrll

.{

. rl

-t:.r

l.'

>:

tl

\-

ll

! tJ

.,'

^rlt

:!+r

-{-

1!6

-l^.

GIP

k =

t:tt- 't-

A

Ot.

o<t

* vl

:.

l-:-

'a

w

r.!r

q

a<oF

c,lD

5-=

(!

9'A

Ns3

tl

-rf

ll od

=r-

lo-

o 3

dl t,?x

E^

e.r-

o

'*..h

i a^

P

5N

INO

srl N

-l*

OA

ilo<

ll E

t o N p- o

l^ o"

n$ . ;

]LM

+til 'i,?

ij-d

l-t

srl 6

:lS

:=

^r

.ri:

ilr

ll,q

4 JP

4 .-

+!1

: ^tN

t.) o o< o- >r a

i I I l-=.

l'J

d, e

Xc!

s)-J

!^6

4cr

o x

,-\N

{il

':rl

D

{'-^

.ll=

o=d

"*.iF

;-{

UG

=l

H

{+

l= ?

r:

E

":-

+ril

.::6' E +

EG

cra

o o.

-:

-rJ

r O

lc

:t m

i

il-

'tr

cirJ

t I;

-'J

-;-l

'I i

- tr

b

:OcD

)--l- IJ

]*D

,-'-\

.l

.a

rll;

=

.l p

oc:'

IT-

- -l

âl

=l-

--l

Ii-l

lf *

:-'

lr:

r,l

:l i:l

cD

-il-

lll-

s il

--t

t--

o. PA

iNt

ilo:

!J-

r,

^r

f\ ]-

l:L(

E

r,

d.

ll *l

- O

'] A

.*q

lN"

i -

-' -,

-n\.J

J,

i*i#

A

rn

- Ll

,l- r

, t)

o

-,

--ti.

;

z r

Ltr5

+g

i,A-

,'.J

t-:

-

E!

* \-

-l I

tilE

=. lt

='

qtrr

>

-l A

ll =

l: 6

N-

rl-

=l'

=l

.9.

<

v{!.-

rD

J+ =! 3

\'^-=

'-

il \\-

-la

1 !) -:

:q:

rn

:^ s^ >lrr

A

Oll

4^z if,

)-Y

C'ia :iln .\-= a-

ln

ti\

...\

.: l! :. Q h x

rns

oz.

')

I j j

i'

.' (-

,"

, c

\t'

_ 'r-

rn r\v

,L t C?

: .. ,i

h.s + il

h.s

++

>;_

-c.

q (\ rn ; rn 2 ? O IA ln I

iL \,, \C ,\ +

:

F!

N

r) il '.

IM= I

rn F nr a =

$

;\..

S J

r-

!:J

'- t

:!t

.q!:-

q

o- s N s- Y

ii N

u1:

!I

s- Gb-

I t-L

+I Ivi

\+ s +

a NJ ; + a IJ

*,F

'v

t? a(oF

Uuc

Dnl

,:.9

aN=

FA

6lh:

-

-=+

o3

r (,

I t)

g.\:p

oL.

-t

1,,

-J?r

:DY

ib\o

? I

l;:

l o.

!\o

t@

.9

llX

u

)''-

lf u

b'.d

Y

-,

a I

-.ti

<

\ {

s '|u

,!.

B 6

'^-

!a*

o-iro

(oa

ll

-

,aio

q x?

: $

I"

N-

rl :'

t_::,

ii-I

LN*

V

I'T UA

-@=

9.)

v I

c)

P+

Y

ctuA

5.T

XlJ

A^

!o

,!_

* lD

J rv

-9::l

r,,v ci

-

C)1o

-

I

tD 3 t

c1- J A)

I ,o ? L rs -!_ .n \J]

NN

lirr (D o- zt E (D a @ o o- .D ! tl lo .)

<

a, I + + l \

.a I

l!s-

.qli ll

= l-

II l* lt lE la.

t; t-to

i I

'Jlo ll

:r (-< o lr.

=.=

=?_\ 'a

) ,

\..-\

(._

ll lc

. I

t! I

NJl

IA

: l:

o l^

L

='la

-x

I

,_t-

' l.>

I

-^_t

J I

(v

Iat

^ _-

t_

01j-l

x E

. I

E'l

ul

5lo

=-i

-;l

Al;

<l

- ;1

3 lrl

o --

l *

|

n l*

l

" t-

I

6-l T

la

I/\

t\ I

FIY

-I

[==

[M

= [

M6a

aa;

:-]}

irl

{ il ;l rl tJ $ i ,1

tPDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor


i

It

I1,,

1

8 / Giava I. Uvod

Re"senje.

a) Za n = I, data formula postaje sin a = sin(a /2) sin(2a /2) sin(a /2)

sto je tacho. Pod pret-

postavkom da je formula tacna za n = in, poka 'Zimo da je tacha i za n = in +1 :

,n +I sin(nta /2) sin ((ni + 1)a /2) y sin(ka) = + sin ((tn+ 1)a) sin(a /2) k =1

(( m ) /) Csin( (( n7 / )

= sin + l a g +2cos + l ) a 2 /)

I

sin(a

ma

/2) /2)

sin ((in + 1)a /2) (sin ((in + 1)a/2) cos(a /2) + cos ((m + 1)a/2) sin(a /2)) sin(a /2)

sin ((n7+ 1)a /2) -sin ((nt +2)a/2) sin(a/2)

n= postaje cos (a/2) sin a

c) Za 1 data formula 2 je tacno. Pretpostavimo J ( / )- 21 sin(a/21)'

sto ostavimo J P

da je formula tacna za n = tn. Tada imamo

a siria a sin cos( ) sin cos() 2k

= 2' sin( 2 ) COS(

2m+1 ) 2n, 2cos( ,á , ) sin( a+l ) 2m+1 . sin( í) k=1 2" 2' 2

1.12. Pokazati sledeée nejednakosti za n E N :

a) (1 +x)" > 1+ nx, x > -1 (Bernulijeva nejednakost); b) (1+x1)(1+x2) (1+x)> 1+xi+x2+...+x, gdeje xk>-1,k=1,...,n,

i svi xk su istog znaka (uop"stena Bernulijeva nejednakost); 1

c) n!<(t7 ,2

+1 ),77.>l.

Resenja.

a) Za n = 1 imamo (1 +x)I > 1 + 1 x. Ako pretpostavimo da je data nejednakost tacna za n = in, tj. (1 +x)"` > 1+ inx, tada je

(1+x)n,+I = (1+x)(1+x)m > (1+x)(l+rnx) = 1+(7n+1)x+mx2>1+(7n+1)x. b) Za n =1 nejednakost je ocevidna. Pretpostavimo da je nejednakost tana za n = m.

'fada je zbog uslova xixi > 0, i, j = 1, 2, . . . ,n :

(1 -FxI)(I+x2)...(1+x,,,)(1 -Fxm+t) ? (1+x1+x2+...+x,,,)'(1+xm+I) = (1+x1+...+x-,t.)+xm+I+- (xi +X2+...+xm)x,n+t > 1+x1+...+x,;-Fx,n+1

Dakle, dobili sino datu nejednakost za n = 1n + 1, pa, prema principu matematicke indukcije, siedi uop ,tena Bernulijeva nejednakost.

c) Za n = 2 data nejednakost postaje 2! < ((2+1)/2)2, sto je tacno. Pod pret-

1.2. Matematicka indukcija

postavkom da je nejednakost tacna za n = in, vai

(1n+ I)! _ (in + I ) 777! < (tit + 1) (,2 ±I

J \'n _ 2 .

(m2+2 ) nt+l

¡ 1 m-I- I

\I+,+I) Iz Bernulijeve nejednakosti siedi (1+ ,,,--+ )

+I > 1+ (riz + 1) - + = 2, pa je

(1m+2 'n+I 1 m+2 n,+I

71+1)!<2(2 ) _(-) 1.13. Pokctzati sledeée nejednakosti:

a) xl+x2+...+,r>n, gde je xk.>O, k = 1,...,n, i

b) 1 1 1 13

77 + +-+-n >- 77>2; +1 n+2 2 24' -

c) <1++.+<2 n nEN,n>2. n

.x I x2 -.v = l , n E N;

at))

Re"senja.

a) Za n = I tvrdene je trivijalno. Neka je data nejednakost tacna za bilo kojih 7n

pozitivnih brojeva ciji je proizvod jednak I. Tada za tn+ 1 pozitivnih brojeva .v1i x2,... ,x x,+I, ciji je proizvod jednak 1, vazi jedan od sledeéa dva uslova.

1) Svi xk, k = 1, . ,7n+ 1, jednaki su l; tada je za n = tn+ I nejednakost ocigledna. 2) Bar jedan od in + 1 brojeva je manji od 1; neka je, na primer, x, < 1. Tada je

bar jedan od preostalih in brojeva veéi od 1; neka je, na primer, xii+1 > 1. Tada t7l brojeva xl, x2, ...,x,,,_1, x, x,+1 zadovoljava induktivnu pretpostavku, pa je xi +x2+ +xii_1 -1-x17, 41+1 >

172, odakle je Xi +x2+...+Xm+-x,n+I > Tn- Xni'x-m+I +xm+x,n+I

= n7+1+xm(1-x"n,+t)+xm+I-1 = 7n+I+(1-x,n)(x,,,+I-1). Kako je po pretpostavci 1- x, > 0 i x7+1 -1 > 0, to imanto

x1 +x2 + . . . +x, +x n+I >- ni -I-1.

c) Za n = 2 imamo

vh<1+1/\h.<2.\/2, sto je tacno zbog 1,41 < -\/2" < 1,42. Neka je formula tacna za n = in. Tada mozemo pisati

1+ 1+...+ 1+ 1

> nt+ 1

V L 77l 777 + 1 V 111 H- 1

1 Ako pokazemo da je izraz 7n + Olt + I pozitivan, tarta leva strana ne- on +1 jednakosti siedi po principu matematicke indukcije. Za taj izraz vai

n2+ , /7n+1= Vn1(n7+I)+1- (ni +1)_ V n7(1n+1)-nt O.

N/ in + l 771 + I 071 + I

il

=ltl\lri_

-lr+ llr^ l$tt2

l+l --:- i

t*t

>llt

ilsIil-l+

*ll :

l':+s

t:l^tl--l-lT

l=l'-t-]-lrll-.

t-;

+-i

^ _'

.rl f

*lcr f

=:t

I att

lF

ll ,nr

ll:

-l.r+

e -l

i '

- +

l.r ^

-;il

nl l;f

di{^_crtN

I=l

_t

\/ U

y,a*:<

-d\t.6+

ss.!D:

d ll

u \)

-.91SE

;-='q

-v=<

>+

!:.@

\H&

*E\

crit.{I

dtr;tI'IIIIIIiI

_lUI

-tl.ilr<

l\ul

OI

G!

>l

cil-il

zU-/

-iil- --l /si.-:

:44du".<

_1

-b'B;,

- .&\vl

i-oilar

I|;,.L^

..:l lL)

o nr

sn

'-',î

'*. -

lN\/\"M

r-

-l\-l\ .tlj{l-+nt

::r+

++

rd

rLN:**

l>+tlN

T1

t- \/

t(-

Iilldlrllt&hdlilai

?t--i+t&ooIA

t

hxtl-lar

oo-I

ilti-+lit

ao?l^

x l3ri;IEli.'

ll

elNO----i

.rAa

or\=!*6+

6do-o.=a?O

ll

\ A

,

,U=

^r

qrNiE

^c:S'H

a=^'

\o,UaUC

J:NO

'--\o^

Nr

.(r ,

o +

i

\l -

.ii rJ

=a-r r ^'E

ll

;^-lN

^ -

d ln

=l\:

- :

Ei9E

; 3

Z

er}alc'!

+

? u

.=l:

*-l o-v

e ^

,' l;

ul o

Nl

c.l N

anl

l-;l

o- \l

| \

l\l ld^

'; -:

9 ^,

J? dl

il E

* rr +l >

lS +

?l a

EE

: sl.r519 s ll

s;*

i Y

lo- .= l'7 :

=i^

3 .X

o _

.i =

.- I

.=

- lN

u F

'=

r i\tl

,:t _ta

IaJ .:1

=q

- ^,

1 ^l

^l- d'

o ;:

\l N

N

l ^l=

-

t\l

:17 ?

'

- --

Yl

I X

l^ F

i Y

-

= Z

;t -l>

,i

S i

tr =

'dt

-i -l:

fi f

oL.V

C:

O

- =

=

l.=

= |

F

-F

,

- 4

vl ;

,Y

! c'

E

.E

-trl '=

=

:J -=

'A

ai

jj -::

J(!-,=

J'Oa

oSrlrrll-=

;,E.=

r(:qi=

=---'--u

'=

; 'd :r^.1-

; ;

AN

AN

iO

^

4Cg?

- F

'r4r-



10 Giava 1. Uvod 1.3. Apsolutna vrednost 11

Za desnu stranu date nejednakosti je, na osnovu induktivne pretpostavke, Prema tome je

1 1

1+ ++- Nh m

sto daje

<2 m,

1 1 1 1 1+- ,_+...+ ,-+ n +1

<2 m + m ß/1 ß/n1 +1

Sada tvrdenje siedi iz nejednakosti

2Jm(m+1)+1 n+1 = /4m'+4m-/4rn--+4m+1 < O.

Vin + 1 + 1

1.14. Izrazi:

A :=

:= G .- H :=

x +x2+...+Xn A(xi,x2,...,xn) := , xl,x2,...,x"

.rl,X2,...,Xn i, G.r x2i...,Xn) V Xl x2...xn, (l, :="

H(xl,x2,...,Xn)'= l 1

X,, + ,, + . . .

1, .xl,X2,...,x>0, + xn

predstavljaju, respektivno, aritmeticku, geometrijsku i harmonijsku sredinu brojeva xl , x2í . . . , x,,. Ako su svi xk pozitivni (1 < k < n), pokazati sledeée nejednakosti:

xi +x2+ ... +X n a) >;/xl.x,...X; b) Jxl.x2...Xn?

n. v

X' +XZ ..+X, Napomena. Nejednakosti a) i b) predstavljaju poznatu vezu izmedu aritmeticke, ge-

ometrijske i harmonijske sredine: A > G > H za xl,x2,...,x > O. Specijalno za n = 2 vai A H = G2. Primetimo da jednakosti u a) i b) imamo samo za

xi = x2 = ... = xn.

Resenja.

a) Zan=2imamo

xl + x2

2

xl - x2)2 > 0. 2

Pretpostavimo da je nejednakost tacna za n = ni > 2.

Tada imamo:

xl+X2+...+xm+xm+I - ni +1

- xi+xz+...+xn,

na +xm+t m > in n, xl.x2..Xm+xm+1 m+1 m+1

XI + x2 + + x,n + x,n+l yn n, x1 X2 . . Xn, + xm+1

in+ 1 ",+xl .X2...xm+1 ?

m+ 1 n,+,/x1 .x2. .. xm+1

Ako oznaèimo sa p'"("'+1) := xl x7 x, i g"'+1 := x,+1, dobijamO

m Jrl'X2"'Xn,+Xm+I mpm+l +q,,n+1 m+1 n,+x1.X2...Xm'Xm+1 =

m+1 pnq 1

=

(nP m (P-R) -R(P

", _ qm))

P+- ..R .

(mp - -gp

g` p m-2

qm) +1 p-q

((pm _gp»-1)+(pm-g2pn-2)+ (pin g)} rn + 1

= P-9 (p,-1 (P-R)+pi-2lp2-g'')+...+ (pin -q'")) m+ 1

(P R)2

ni +1 (pm-It-2(P) +...+(pn I + pin -2q+... gn=l)) > o.

1

b) Na osnovu a), za brojeve -1 ,

-1 - imamo: xl X2 x

x,+XZ+...+ 1 1 1 1 > n. 11 Xl X2 Xn V .. X1.X2.Xn

1.15. Pokazati da za n E N vazi

a) n! > 2i-1, n > 2; b) (2n)! < 22n(n!)2, n > 1;

c) (2n-1)!( <2nn!; d ) o()z 0; -X, x < O.

1.3.1 Zadaci

1.17. Pokazati da za svako x E R vate sledece osobine apsolutne vrednosti: a) jx1=0 x=0; b) -xl =1xl; e) -ixl <x< ixl;

d) lxi <E : = = ; -e < x < E; e) lx' < E r--> -E < x < e.

1

1.18. Pokazati da za svako x,y E ][8 vaZe sledece osobine apsolutne vrednosti:

a) Ix+YI <_ IxI + IYI; b) Ixl -

IYI ; e) Ix'YI = Ixl 'Yi; d) x

Y

ag o- )+N

-D

-o-

ao a@ -,=

o- a-a

o+D

o-3

S

<l

o-

=

lJ-l

- P

o,cD

(D'|

=o.

: -.

D-:

;6

'1

' 2t

=

Y-l'

\-I

ll \l

- tJ

ll 7\

'f@

T<

l :

Er\

1 -L

,l-

z I

lrrll

->

1 -

^-:

l -i

@

nn-d

t! l.J

;

/- si)=

';

!l ^

=7 ,-

<t=

.

rll -

o

rll -ilE

5 @ FD s-

,6 l xl kl :l :l 5l +l

IV t: l>.

t\- tIl l_t

lxl

i l:l

-l:l l: l+ lk li I :l I !i :l 1 ,i

tJ :t II it

+t

IJ + I 5l t'l TI II

-. J i I : :- li IJ l+ ll_

t'i -t. t: lr t., t5

?? 21 llll

- l..

l !)

,tl +t

.trr

-l sl

l l-

.lrl-

.1:l5

l-l ,l rl-

7

c :* :lV :O 5- n

ltdz

v(sA

,

P

NE

':sgE

e

-!\

6)8.

,,,{{

i€

=

E l

l :

I 6

t4

,j i

ii :i

,i iE

' E

l*

: -

- I

rv

ll N

-

lvZ

'=.

i' l'.

62

1,3'

.5'

? =

=

i

-.;il

-ii

5:

')

a I

il -'i

:l

l:oo

5""

e -

s >

= E

l;

St

o F

E,E

Q l

g E

$,o

lr

,7

=.

t\/

3 =

'

3 l.t

.1

re -

- :l

I s

- e

9 .l

X f,

.O

I

H

P

!l :

\J:

) |

*e =

''d

,f I

t n

p \l

p "

o-

.l \

-.i'

:l g-

f il

=*

6 ,-

t =

'>?

:.'

:sl'!

;l

6 'V

*-

rn 0

e"

^ ê

. r/

\ '\

=

lt ftc

lE'

x-Q

tr

l\ i.r

v "r

g

In X

=

l-r

rD

o

Vl<

to.D

xlxh

,r

,).)

5S

=

'..i

5 i-

' l-l

A

.

- 'x

l -

-.l-_

=

.J d

Y

l i

s-:

N

:l

5 s

lvL>

cl{\

p ei

s sl

IS

5 tv

.\

.i.rD

=

>:

q :x

O

, -'

r !s

q

v -,

:

_.t-

t ,)

. x-

5 V

I

+l

s %

6 o

i. st

-l *

Ie-

A -

l= +

S-'Q

i:

:l i

=^r

(9tr

\.txd

=oi

fli-i:

5-:o

-il

d

cto

!)

" ,.

I =

S.

* =

X

5r-l

r'Q

! + 2 i + J + J +

lli t: l{ t. t. l+ t><

+ i <: -) :l <t :l :t + 5 +

+

.>

illll:

o=

t\=t

li R

rlr

l*

l.l

i,T

lrTt

t!l

o

-l.s-

l ilp

o<

--

^ il:

l E

'=

rt

.l p

\-

{ -1

:l o

: -:

l:

I @

1 .-

i i+

lD

t,s

" lk

\

r++

*a!z

!il

: lt

xt.t

;a=

,5

I >

.N

.:

I IJ

\ =

:l

:

I il

:I

; =

t= :l

i

.' rlt

il

: ll"

i jl

a-:

+ll

r

!

t!-|

.l -ln

!(

*$

ra

:if

=t-

I 11

0

-st9

.IJ

L.

:--i

N'Q

UI I a ,j

l^:l\

:t! +ll

+l

-l$.

-lol-p

^

Irl t, ,-

|e

'tr*

+r

\iq +

-)"

I\!:: I

-t

==

\= i

!a

A-

T + o=

!

IV O

lr B +r

d

ilil

r'lp la

<l:.

1+

ll+1

-11:

-:l

l+ l- I

3 i :< 1, 5 -t

---

l F

+ +a t'* ca o !. rJ o o o_

:i ,FE

TI rO IAr r:J

+ i +

+



12 Glava 1. Uvod 1.4. Skup 1[8 kao potpuno uredeno polje 13

Resenja. a) Sabiranjem nejednakosti -1x1< x < Ix' i -IYl <y < IYI (zadatak 1.17 c)) siedi

-(Ixi+lyl) <x+v < Ixl+Iyl, lil Ix+yl G Ixl+Iyl

b) Iz a), dobijamo nejednakosti: 1x1 = -y +yI < Ix

- yI + wI i IyI = Iy -x+xl

I-(x-y)I+IxI. Prema torne je -Ix -YI<I-xI -IyI<Ix -YI IIxI- IYII<Ix -yI.

1.19. Koriséenjern lnatematicke indukcije, pokazati da, »

za svako xi ,x2, . . . ,x E R, vati: »

a) ak := Ixl +x2+...+x»I Ç E Ixkl; b) n xk := Ixl .x-2...,x»I = II Ixkl k=1 k=1 k=1 k=1

1.20. Resrti sledeée jednacine: a) I5x+6I=1; b) I3x+2l- Ix- 2I=10; c) IxI-Ix-1I+3Ix-2I-2Ix-3I=x+1.

Resenja. a) Na osnovu definicije apsolutne vrednosti za 5x + 6 < 0, tj. za x E (-co, -6/5),

data jednacina se mole pisati kao -(5x+6) = 1, sto daje x = -7/5. Za x > -6/5 imamo jednacinu 5x+ 6 = 1, cije resenje je x = -1. Dakle, skup resenja date jednacine je { -7/5, -1}.

b) Posmatraéemo prvo vrednosti x E (-, -2/3) . Tada je 3x+ 2 < 0 i x -2 < 0, pa se data jednacina moze pisati kao -(3x+2) + (x- 2) = 10, odakle je x = -7. Za xE [-2/3,2), imamo 3x+2+(x-2) = 10, odakleje x=5/2, stonemoze biti resenje posmatrane jednacine jer 5/2 V (-2/3,2) .

Konacno, za x E [2, , imamo .3x + 2 - (x- 2) = 10, odakle je x = 3.

Dakle, skup resenja date jednacine je { -7, 3}.

c) Skup resenja date jednacine je {-1} U [3,+.0).

1.21. Resiti sledece nejednacine:

a) I2x + ll < 14x-71; b)

d)

g)

x x

x+1 >x+l' x-1; 1-Ix-II <1;

x+ 1

x+5

e) Ix3 -x2I < Ix2+xI;

h) lx+1I-Ix-1I <1.

< 1, x 5; c) 5x +2 2x -3 >2 x#2;

3

f) Ixe -

xI -

IxI < 1;

Rezultati. a) (-0.0,1] (.J[4,+00)- b) (-3, +.0). c) (-00, -8] U (4/9,3/2) U (3/2,+00) d) (-1,0). e) (1-\/-2.,0)U(0,1+f) f) (-1,1+). g) (-1,1)U(1;3). h) (-1/2,1/2).

1.4 Skup R kao potpuno uredeno polje

Prikazaéemo sada aksiomatsko zadavanje realnili brojeva. Neka je skup I[8 = {x, y, z, ...} zatvoren u odnosu na operacije sabiranja (+) i

mnozenja () (tj. i zbir i proizvod bilo koja dva elementa iz R je element skupa R). Na osnovu sledece tri aksiome:

(Rl) (Vx,y,zE][8) (x+ y) + z = x + (y +z) (asocijativnostsabiranja);

(R2) PO E I[8) (Vx E I[8) x+0= 0+.x = x

(postojanje neutralnog elernenta za sabiranje);

(R3) (Vx E R) (3(-x) E R) (-x) +x = x+ (-x) = 0

(postojanje inverznog elerîienta za sabiranje),

skup R cini grupu u odnosu na sabiranje, a ako se doda i aksiomá

(R4) (Vx, y E R) x+ y= y +x (komutativnost sabiranja),

tada ( I , +) postaje Abelova ili komutativna grupa.

Na osnovu sledeée cetiri aksiome, (I18 \ {0}, ) postaje komutativna grupa:

(R5) (Vx, y, z E R) (x y) z = x (y z) (asocijativnost mnozenja);

(R6) (31Er:\{0})(dxER).x1=1x=x (postojanje neutralnog elementa za mnozenje);

(R7) (Vx E R \ {0}) (a-1 E R \ {0}) .x-1 . x = x x 1=1 (postojanje inverznog elementa za m.nozenje);

(R8) (Vx, y E R) x y= y x (komutativnost mnozenja).

Prethodnih osam aksioma sa aksiomom

(R9) (Vx,y,zER) x(y+z)=xy+xz, (x+y)z=xz+yz (distributivnost mnolenja u odnosu na sabiranje),

Cine da (R, +, ), tj. skup R u odnosu na operacije sabiranja i mnozenja, cini polje. U skupu R definisana je i binarna relacija naanje ili jednako (<) pomoéu sledeéih

pet aksioma:

(R10) (Vx E R) x< x (refleksivnost bisarne relacije <);

(RH) (bk,y, z E 1[8) (x < y Ay < z) (x < z) (tranzitivnost binarse relacije <);

(R12) (Vx,y E 1[8) (x < y Ay < x) (x = y) (antisimetrija binarne relacije <);

(R13) (Vx,y E R) (x < y) V (y < x) (uporedivost);

(R14) (Vx,y,z E R) (x <y) (x +z <y+z) (kompatibilnost relacije :)lto^rN'"oal

.dfl

N

oiv.nr

Ecol,rN

Oll

r\\

xlt l

u n

lc..l n

uV,Q

LdEo

^9 I

-iir \'-

=c'.1 cJ

^x I

lr-=-.

-,44-

\.aIB

J^+

)c.r I

i +

ll "1

) kl!

- ,

(J k'-

_';-

E

3 a

?

E

c'o u

p.=.ci- -

u I

'--q'9:i1{-;oaE

*\

ii^:au-ir'

*lr \

E -

E Z

i

r 'r'

k x,3 i

r :f_

,\-:5--

- c

.P

vi n

-'=

.=u!-:.

!r'X

o a

I î

.i==

t'-

=nd;

&

c =

!c

-i9

c,l*

vr ;il

I _-s

+

,5'<

S

+

-\v

E

+

, --:

>

€ I

Jr_ =

-E

-'r H

{ tt

l_nt \/ t

g

7 | k

[, ==

J o

g''n T

ll EA

irl

.=,'*

I -S

.;Y

=

tt-; :

=

..r \r-v1

5;Ar

N.

E

.__Y -;,

N

s J,€X

t lir

: r ;

=.*

-Igs."1

- ^

+ I

+

cj o T

l r'

---5',

.; $-j'

r i,E

:_-.ElE

t =- -:

': r;

. i

:-i-, -. -.-.

L' A

.-.o.9}.T

âv

<

^ -- -f .gl'l

'. +

r'

-v' a;

P

; o

o x

c'* R

!.'.\7.

,, i \

t ;

€9,9 ' 'i 35

vr - _' - ,3=

rll I

P | 9'; -

| +<

a

<

a .'l

>

o (.) c

\u oa.l

!=.

o S

v' I

Eg;aE

.:-9:f"

i ;

Z'=

=

E'=

.I'.;?o

g =

; I

EE

',t?a^''-i.

i I

,..="'=

E'":9

n.:_=:

N :

! . 3;-g

E;E

o, !

- :

i .:

. -..N

-l;: >

'N

tr!-

(J L

I ru

,u -

.:1 O

e '

^ O

.=d,.,

lcr=t:-i.'trc-Y

=c

:' I

F

G

- i

=

.9 :

"''=

a ;

'€i.-A

=

-

=

-o Z

u=;'i

acJa:u+

o:a'uaa=,5-=

(\gri.:'

i, z=

,ElE

,tiI:'i"

U

S rr

i'E;?'U

€i*,Z

e;. a.l

Sf

e Ee-+

. =.'2.-,'-

.i-:- ,5:r"t1 :I

.7L?i E

:Y.g I

< G

: I-

; '.

.y -- = =

1 7i:

E-E

f s_ qe

&a

i,'ZaE

ddsSga

6 q

fi 'p,e

a

t'r

-'".r'|l

ca)(-.l



14 Glava 1. Uvöd 1.4. Skup R kao potpuno uredeno polje 15

(R15) (Vx, y ER) (0 < x AO < y) (0 x y) (kornpatibihiost relacije < u odnosu na rnnotenje);

Prethodnih petnaest aksioma definigu skup R sa operacijama sabiranja i mnozenja i relacijom < kao uredeno polje. Konacno, imamo aksiomu neprekidnosti skupa R:

(R16) Neka su X i Y dva neprazna podskupa skupa sa osobinorn da za sve x E X i sve ),,E Y vati x< y. Tada postoji c E R takav da je:

(VxEX)(VyEY) x<c<y.

Ovih gesnaest aksioma odreduju R kao kompletno uredeno polje. Primetimo da skup racionalnih brojeva, Q, zadovoljava prvih petnaest, ali ne i gesnaestu aksiomu.

Uvedimo jog neke pojmove vezane za skup realnih brojeva. Broj d E R je donje ogranicenje nepraznog skupa X C R ako je (Vx E X) x> d.

Skup X C R je ogranicen odozdo ako ima bar jedno donje ogranicenje. Najveée donje ogranièenje skupa X C l': (ili: infimum skupa X) je broj i E R za koji vae uslovi:

(i) (Vx E X) x > i (tj. i je donje ogranièenje skupa X); (ii) (Ve > O) E X) x< i+E.

Infimum skupa X C R koji pripada skupu X se naziva minimum skupa X.

Broj g E R je gornje ogranicenje nepraznog skupa X C R ako (Vx E X) x < g. Skup X C R je ogranicen odozgo ako ima bar jedno gornje ogranicenje. Najmanje golnje ogranicenje skupa X C R (ili: supremum skupa X) je broj s E R za koji vae uslovi:

(i) (Vx E X) x < s (tj. s je gornje ogranièenje skupa X); (ii) (VE > 0) (3x E X) x> s- E.

Supremum skupa X C R koji pripada skupu X se naziva maksimum skupa X.

Skup X C R je ogranicen ako je ogranicen i sa donje i sa gomje strane. Vazni podskupovi skupa R su intervali sa krajnjim tackama a i b, gde je a < b. Otvoren interval je podskup skupa R dat sa (a, b) := {x E l'.'

I a <x< b}.

Zatvoren interval je podskup skupa R dat sa [a, b] :_ {x E R I a < x < b}.

Intervali su i skupovi (a,b] := {x E RI a < x < b} i [a,b) := {x E RI a <x < b}. Primetimo da su svi ovi intervali ograniceni. Neograniceni intervali su sledeéi neogranieeni podskupovi skupa R: (a,+.0):={xE Rix >a}, [a,+oo):={xERix>a}, (-,b):={x ERI x<b}, (-°°,b]:={x ERI x<b} i (-00,+00):={xER}=R.

1.22. Arhimedova teorema. Za svako x > 0 i y ER, postoji prirodan broj n tako da vazi nx > y.

1.4.1 Zadaci

1.23. Pomoéu aksioma (R1), (R2), (R3) i (R4) pokazati;

a) u skupu R postoji jedinstven neutralni element za sabiranje; b) u skupu R svaki element irna jedinstven inverzni element u odnosu na sabiranje; c) za date realne brojeve a i b jednacina a+x = b hua jedinstveno resenje u R.

1.24. Pornoéu aksioma (R5), (R6), (R7), (R8) i (R9) pokazati da:

a) u skupu R postoji jedinstven neutrabii element za mnotenje; b) u skupu R svaki element ima jedinstven inverzni elément u odnósu na mn.ozenje; c) za date realne brojeve a i b, sledeéa jednacina ima jedinstveno resenje u R:

ax=b (1.4)

Regenja.

a) Iz aksiome (R6) sledi egzistencija neutralnog elementa za mnokenje. Pretpostavimo da postoje dva neutralna elementa za mnozenje, na primer 11 i 12. Tada, na osnovu (R6) i (R8), sledi: 1 = 11 12 = 12 11 = 12.

b) Na osnovu aksiome (R7), za svaki elemenat x E R \ {0} postoji njegov inverzni elemenat u odnosu na mnozenje. Pretpostavimo da postoje dva takva elementa za elemenat x, recimo x1 i x2. Tada iz (R6), (RS) i (R9) sledi:

xl = X1 1 = xi (x x2 ) = (xi x) .X2 = x2 (XI X) = X2 1 =.x.2.

c) Pomoéu aksioma (R8), (R5), (R7) i (R6), pokazaéemo da broj x := b (a-' ) predstavlja regenje jednacine (1.4):

ax=a(b(a-1))=a((a-1)b)=(a-(a-'))b=1 b = b 1=b. Ako je x1 E R neko drugo regenje jednacine (1.4), tada je:

x=(a-1)b=(a-')(a-x1)= a). xi = 1.x. =.xt.

1.25. Pomoéu aksioma (R1)-(R15) i zadataka 1.23 i 1.24, pokazati da za sve x,>>,a, E R vati: a) x0=0; c) -(-x) = x;

e) (-x)(-Y) =xY; g) (x y) < > (-.x> -y); i) (x < y Ax' < ÿ ) (x+.x/ < y+y'); k) 0<1;

b) d)

h) j) 1)

-.x = ( -1) .x;

x(-V) = -(xv) =e(xw; (x< > (-x>o); (.x<Ony<o) (.e_>>>0);

(.); <Ony>0) (xy<0); (x>0) < > (x

' >0).

a :- -t o,

eec.

ea

l.gli

53$r

€ =

=>

€EE

= a

= .E

€€zV

53

,:

= ?i

n :

=ili

re :E

* i i

*:rr

n =

;i l i

i;= i

iq

ai :

€ +

si"

til; i

l=,iE

z r

x! I

E#5

t :!

e; €

€2: i

e i,i

= li

i *e'

iigig

:,fri.

;ir;*

E i;

;=E

{gE

+r

;; i3

a $.

a<1;

i:'o'

e1.

!i:.-

;Egg

nn*'

E

=,t'

=^l

=

,3I'-

E F

.i ;1

= a

Elir

^::i

;ei E

'=d'

ry::

e:'t 5l

' #. E

'E *

3+ 2

Ft

:E i ii

;T$i

:EZ

iZ=

. !=

EF

1i=

a; c

*=':

i'+ +

:rs=

i t''r

'83

2,s^

€xE

EE

.i E

ET

*B-ig

=1 ^B

.,€H

?E

! €i

**3

1;: t

i iE*Z

=s,

Ei:

xIE

s #

:q*i

ar

s;s;

':'

+P

;IEE

.ig$i

l;,e

E ;

=iE

i

P=

s€ ir

g

ri a

€r<

)>af

i,=:r

Egs

i i

3;::

|, =

i€;

-zi

5 ilS

E

::2;

g ._

r.€.

; x

1; =

C#

€ Z

:.a

"in=

5P

a

si,;

!Ti=

, ii

€ ez

"tF

E +

tgi

Eg

-^ +

:;5=

.;ro.

s Q

-:

--

3-:

-*

,i,;ts

?

E{E

i E

Ei*

f H

; n

}f!:

Ei

L^-

F- _*

1.

=

i E

qs x

; E

3

=P

:.E s

*r=

rl E

iE

;=

i +

ElE

;a.

F

i .:'

P3r

'IaA

gq*5

1;eE

;g#F

-ig

$ i

:.e

fFs:

..j

='

.E';5

E

5E;

8..s

:

+IE

lil

JEE

ii,

a+

'ah;

-;

sE'

s ts

^= f"

î!:

3+

n*gE

gfr

[ i+

;

E

f x-

-i'E

$';

^;

rs

i =

p g

v A

r 3

y E

* I

g

!'i F

e s

efr

F

li N

<Q

- a

?!i.i

;.

€e

oro;

-.

zb:i'

E. T

ri:E

aBa.

oe

lSsr

:.1 +

ii_

it if

i ;

fi'x,

, |-

Est

6 ilt

Ex

t::*

t-*

:?

l:! .

T=

+a5

-iisr

ig $

gss

*igs

s r[

E;;i

rrt.?

=a:

-EE

5$t

g$$*

p E

ilE-

S

?^

9:3

^ -'!

D -

--

=;

'( rc

c.

.?

<

-'=F

ll

Xci

6

e i;:

.9+

iH;,-

$B r

:ia iS

is =

i;!

;€;-

_33i

r=,3

€,

IiSI

î--

i:e €

, g

$ -r

i e:s

€+r=

i : +

iiA ii

ii i

lti

:3':;

_;E

atir

i $S

^=; rs

=s

X ;1

s 7,

: G-z

s-q0

6. x

S: :tg

i:i

+

+

I

-15r

x:al

iE5

iiiii!

ii :

I

i s+

q =

;a=

==

S

'i:l

ii:

i i

i :t=

i'i

T'e

ai

=s-

I -:

=i

i i

i'; Ii

.! ig

.r5

iii. 'i

ii i1

: i

i -

7=' ;

i ii

si

: r

i z

I :

-rrE

F.;

Ji

;: ;

I

, I r

e;

3E

xs

s$

I

i_

i 4

ig ;=

I f

:+: ;

i i,

_ ?

;=.

zZ

s r

j

b*r

x =

oa

l! .(

a. !

e

^^^^

'

!

--/\i

n ln

"

I o

|, 11

-'-

rr

ln t

l. ll

''vl

': ilk ^v f'< in +

? ?

?t:.

.lv

/"

/\ l/\

._!

I

- -

- O

- "

:>>

: T

1l--

llr-

ll v

^ lL

^:-

,^^'

..u<

):

- u

ttJ ir

^ -_

,.,4-

,,

),)

_--

a/._

CC

+'



16 Glava 1. Uvod 1.4. Skup R kao potpuno uredeno polje 17

Resenja.

a) Na osnovu aksioma (R6), (R8) i (R2) imamo.

.x+x0=xI+x0=x-(1+0)=x1=x, odakle je x+x 0 = x. Iz zadatka 1.23 c) siedi da je x 0 takode jedinicni elemenat za sabiranje. Sada, na osnovu 1.23 a), imamo .x 0 = O.

b) Aksioma (R8) i a) daju

x+(-1) x= (1+(-1))x=0x=x-0=0.

Na osnovu toga je (-1) x takode inverzan elemenat elementu x, pa prema zadatku 1.23 b) imamo (-1) x = -x.

e) Na osnovu definicije elementa -(-x) je (-x) + (-(-x)) = 0, dok je na osnovu definicije suprotnog elementa u odnosu na sabiranje, broja -x : (-x) +x = O.

Sada, na osnovu jedinstvenosti resenja jednacine a +x = b, dobijamo tvrdenje. d) Na osnovu jednakosti 0 = x 0 = x(y + (-y)) = xy +x(-y), tj. xy+x(-y) = 0,

i .xy+(-(xy)) = 0, siedi x(-y) =-(xy). e) Siedi iz d) i c).

f) Iz aksiome (R14) siedi: (x < 0) ((-x) +x < (-x) +0) (0 < -x). g) (x < y) ((-.x)+(-y))+x<((-x)+(-y))+y) (-y<-x). h) Pomoéu f), (R15) i e) imamo

(x<oAy<0) ((-x>oA-y>0)) ((-y)(-x)>0) (xy>0). i) Kako je (x < y) (x +X' < x'+_y) i (x' < y') (x'+y <ÿ +y), iz (R11) i (R4)

siedi tvrdenje.

(x<0A0<y) (0<-xA0<y) (0<(-x)y) (o<((-1)x)y) (0 < (-1)(x7')) (0 < -(xy)) (xy < 0).

k) Na osnovu aksiome (R6) je 1 0, a na osnovu (R13) je ili 1 > 0 ili 1 < O. Neka jel<O;tadaizh)i 1 Osledi (1<OA1<0) (0<1-1) 0<1. To je kontradikcija, sto znaèi da je 1 > O.

1) Prvo je x-i O. Neka je x 1 < O. Tada iz j) siedi

(x<<OAO<x) (xx 1

<0) (1<0), sto je kontradikcija sa k).

i)

1.26. Dokazati Arhimedovu teorema u skupu racionalnih brojeva, tj.

(Va EQ, a> 0) (b'b EQ) (Jn E N) na > b.

Resenje. Ako je a > 0 i b < 0, tada mozemo uzeti n = 1, pa teorema vazi. Medutim, ako je a = mi /mi, b = ni/n2, za neke prirodne brojeve m1,m2,n1 i n2, tada, koriséenjem relacije mini > 1, za n := mini -f-1 imamo

mi lit na=(rìi2ni+i) > nl>-=b. 7n2 112

1.27. Korikenjem Arhirnedove teoreme 1.26 pokazati sledeéa tvrdenja: a)

b) c)

d) e)

Zasvakox ER, x ,postojinENtakodavati 0<1/n< Ix! .

Ako za broj x> O vati: dn EN (x < 1/n), tada je x= O.

Za svako x E R postoje brojevi ni, n2 E N takvi da je -n1 < x < t12. Za svako x E R postoji jedinstveno ko E Z takav da je ko < x < ko + I. Za svako x,y E R, x < y, postoji racionalan broj r, takav da je x < r < y.

Resenja.

a) Neka je x odnosno IxI > O. Tada na osnovu Arhimedove teoreme siedi da za realm brojeve 1 i postoji n E N tako da vali > 1, ili 1/n <

b) Ako je x > 0, tada iz a) sledi da postoji n E N takvo da je x > 1 /n (b =1 i a= Ixl u Arhimedovoj teoremi).

c) Kako je 1 > 0, to postoji n E N takvo da je n 1> x. Analogno postoji ñ E N takvo da je n' 1 > -x, odnosno -n' < x. Za ni = ñ i n2 = n, dobijamo tvrdenje.

d) Na osnovu Arhimedove teoreme siedi da postoji k E N takvo da je k 1 > jxl > x, tj. k > x. Neka je ko najveéi medu brojevima 0, +1, . . . , fk koji nije veéi od x. Tada je ko < x < 4+1. Po konstrukciji, ko je jedinstveno odreden.

Napomena. Najveéi ceo broja x E R, u oznaci [x], je najveéi ceo broj manji ili jednak od x. Grafik funkcije f (x) _ [x], x E R, je dat na siici 5.4, strana 137.

e) Ako je x < y, tada je y -x > 0, pa prema a) postoji n E N takav da je 1/n < y - x. Na osnovu d), postoji jedinstveno p E Z takvo da je p = [nx], tj. p < nx < p+ 1. Tada je p +1 < ny, jer bi p +1 > ny znacilo / n(y-x)<p+1-p y-x< 1/n,

sto je kontradikcija. Kako je (p + 1)/n E Q i x< (p + 1)n < y, to za racionalan broj r mozemo uzeti broj ( p + 1) /n.

1.28. Pokazati da sledeéa jednacina nema resenja u skupu racionalnih brojeva Q:

x2=2. (1.5)

Resenje. Pretpostavimo da postoji racionalan broj r > 0 koji je resenje jednacine (1.5), Tada se moze pisati r= p/q, gde su pi q uzajamno prosti prirodni brojevi takvi da vai r2 = p2/q2 = 2, odnosno p2 = 2q2. Odatle siedi da je p2 paran broj,

*VIaI

1l\I

+\VIx

I

-aA-,:cdo

;: jl

>O

O

v

lA'-

-=06;

,,u.u^

6 € als*l

=

=:

,=

n E

'i x

+

;4 .:\

vv'=

X

;

E +

.:

l X

-1 lo

E

I E

-'+e

"f ,^: :

=1

,g o

j c iE

- g,ur

u i /':

s<

J=iii,c

rr -S

Y

i ;-:

-o -: d

E., v

?; A

! J

a: 5

! s

;Yo

, ,

-"ri+

^ r

r-i' ;

;? :

S

s

l:.i i

E '3t;

T: ;i

;-4- El

S

X?;;

n E

l;s r'

-+

' 't"

ErE

:= i f II,E

; it i:;;i:

il s f

=lii

1 ;

:;B.B

'; +

a;

3r 5i ;;

i ?

a?x; r i

"87;i JT

i: 1+

=J 81,

S;

3:;l r E

'E

'V [r

n; i?

77:I;?'; : :

a;i=

I !;sii"i

aY^?-l

o,,].!:_"i =

;r

.=

: =

i;;2.2 .,-i*;

:J.n.Je.: i

";:i;

: 1rr iT

E oi

\ = E

=,.

i;5ne gJ )

: o

;t;1i : :;,iE

ir" !^ *!-;

1,n s;i z''e { g

e eE:

3-i:lEt

st0Yl

l=;=

;. 'E

:!

-ac. +

g;iAE

_?:e=(:;grr!*{;i

E

S=

- ;*y

:F=

lZlZ

;;;;o, e;^\/

=E

r,- :

1A

i=

=

7==

,'i ij;Z-.<

i-rE<

eid;'-., g;

.E'-

11 i. e-.=

- --2.-y.a y.r =

C

=1'r

1:i =

=

n

.==

a''J-^: -=

=E

z zs<

2=

28i2:; r-*&

'J+

i 2.*E

i e

i'p e.

6 o

a 6aaa

i a

a ;

xi

oJ.i0i

o\o

+\riia

.ii ^3 t

t j\

ijsott

?onl 8fi

(_) N

;. =

s

z il E,u

:i,H

r^ !'*oi

2E rr

ti . a

=is

.? y;: E

v. F[;:r

isl,:

iv J:5

ES

.=

P5'=

gE ?;

i=

S-=

-.:v* ;-->

t€!*E

2i

!9^ .

S--fi'-=

=

B=

a

tr o-rrc

i'=- o u

- ', l'

' o,.i !

; a'i

g t ?

.26.+

3E

_',' ^ E;\Is*S

E;c E

').)-E 'gX

-- q

=l:

\ l:-, r

-: S

' -!

{ =

'- i

iZ

'il

o -

-. \.

J -i

- >

':a :

- O

(r -H

tr 1

E|=

/"i

<

_i!.-GF

d<

o

k.- __-E

-=

.<9t

E

: *

Ei=

- =

i:?;NS

i'E

: -:r:;E

sE:

it, -iS

^\zVs*-E

-,;=

s :S

€?:= E

i,X

I;:- I_::!I

s*'a :'l=

!* de

E{-

T

=z.Ii,a

7:; 9,<

+E

E

5uE

s: :, is=Q

iEf. =

i + !IH

EE

&*'

Es-

S

iEst'F

i" Y

;€ 2l

E,o!

u-'EJ=

li il

N )--t,ir

a,i, uo H

ie IJrr !'

c !olii'i'N

v n32

sE

3'a- -^

Xl3 :

-ni;;I 9E

Z€aE

s:, :*o S

,9 .=

s ^r As;,

E 5 : 3 eo E

.qo- U:=

,

l>I

SyX

,,yr E

:tisf E

sy'8t;.=

: ::sa:3

?x;:?"82;.:"8€-JI F

iFIi! i+

t€lii-;2E<

".fi ;i:-t""

uz 'i=

u-- )

a " dt5

d.r&

i*iS.\N

asg iE

EJ

3*==

F:

.-uL 1

.l*i Y

-Z

a 'i

o -'o

E

{

.fi*! ieaaea

.i'Zi a;g€2;#

i:'9.

N

'8 - -

i =

-a

j

()oa.OEEoo.

f4&o.=&ca\ a-

\./ r

o "'

-r'!-!:

4llr,JJ q*

(-)

@--

^_v,oN

_:l:o--

EE

L\(J\rCl:nlx9Ô

ro>

r/\

c

lc,)r^'-oor'F

-

iA-d

sv

', -.r-do

'-q -'

<Z

rrq)

,!



18 Giava 1. Uvod

pa je i p takode paran broj. Znaci molemo pisati p = 2k za neko k E i, odakle

je q2 = 2k2. Prema tome q2, a takode i q su parni brojevi, sto je kontradikcija sa

pretpostavkom da su brojevi p i q uzajamno prosti.

1.29. Pokazati da jednacina (1.5) ima bar jedno resenje u skupu realnih brojeva R.

Resenje. Definisimo skupove X i Y kao

X:={xE +1x2 <2} i Y:={yEII8+Iy2>2}, gde je R+ = {x E IR

I x > 0} skup svih pozitivnih realnih brojeva. Kako je 12 =

1< 2 i 22 = 4> 2, siedi da je 1 E X i 2 E Y, sto znaci da skupovi X i Y nisu prazni. Takode je X fl Y = 0. Ako su x i y pozitivni brojevi, vati x < y < > x2 < y2. To znaci da je proizvoljan elemenat iz X manji od bilo kog elementa iz Y. Dakle, uslovi aksiome (R16) su zadovoljeni, pa postoji pozitivan realan broj r takav da je

(b'xEX) (dyEY) x<r<>>. Na osnovu (R13), postoje tri moguénosti: r2 < 2 ili r2 > 2 ili r2 = 2, od kojih vali samo jedna. Ustvari, pokazaéemo, da je upravo poslednja jednakost tacna.

Pretpostavimo prvo da je r'- < 2. Tada realan broj := 2(r+ 1)/(r+2) pripada skupu X,jerje

r2+2r+1 _ r2-2 ri-2=4

(r+2)2 2 2

(r+2)2 <0.

2 - 2 S druge strane iz r -r1= r - 2' + 1 = r

< 0, siedi da je r E Y. Dak1e, dobili r+2 r+2 smo da ri E X n Y, sto je kontradikcija, jer su X i Y birani tako da su disjunktni. Pretpostavka da je r2 > 2 takode na slican nacin daje kontradikciju. Dakle, ostaje samo treéa moguénost, tj. r2 = 2.

Napomena. Na osnovu zadatka 1.28 siedi da resenje x jednacine (1.5) nije racionalan broj. Zapravo, postoje dva realna broja koja zadovoljavaju jednacinu x2 = 2, a to su i

1.30. Pokazati da je broj:

a) 61 ili ceo ili iracionalan, ako je m,n E N;

b) + n +1 iracionalan, za svako n E N;

c) N/n + \Ft iracionalan, za svako n E N.

Resenja. a) Pretpostavimo suprotno, tj., neka je 67 = p/q, gde su pi q celi uzajamno prbsti

brojevi, i Iql 1. Tada je n = p'" /q"', odakle siedi da p i q imaju zajednicki faktor razlicit od 1 i -1, sto je kontradikcija.

1.4. Skup 1[8 kao potpuno urecleno polje 19

b) Za svaki prirgdan broj n vati n2 < n(n +1) < (n + 1)2, pa n(n + 1) nije potpun kvadrat. Zbog a), koren N/n(n+ 1) je iracionalan broj. Iz jednakosti

(\fii+n+1)2=2n+1+2.Vn(n+1), sledi da je broj ( n-}- iracionalan, pa je takav i broj n + 1.

c) Ako je n = b2 za neko b E N, tada iz jednakosti + _ b2+b = Vb(b+ 1) siedi da broj N/n + VT) nije racionalan. Ako, medutim, n nije kvadrat nekog celog broja, tadá n nije racionalan broj, pa ni N/ n + Jr ne mote biti racionalan.

n +1)2

1.31. Pokazati da:

a) je broj iracionalan; b) su brojevi 40 i 2 + iracionalni;

c) je broj N/(n + 2) ln iracionalan za svako n E N.

1.32. Oznacimo sa (R16') sledeci iskaz, koji se jos zove i teorema o supremumu: (R16') Svaki neprazan odozgo ogranicen skup X C r ima supremum u R.

a) Koriscenjem aksioma (R1)-(R16), pokazati da iskaz (R16') vati u skupu b) Pokazati da se, u sistemu aksioma (R1)-(R16), poslednja aksioma (R16) mote

zameniti ekvivalentnim iskazom (R16').

Resenje.

a) Pokazaéemo da svaki neprazan sa gornje strane ogranicen skup X c R ima supremum. Neka je skup Y definisan sa: Y = {y E lI8 (Vx E X) x < y}. Skup Y je, prema pretpostavci, neprazan, pa motemo primeniti aksiomu (R16) koja kale da tada postoji c E l l 8 tako da je (dx E X) (dy E Y) x < c< y. Na osnovu konstrukcije skupa Y, odmah siedi c = supX (= infY).

b) Imajuéi u vidu a), treba dokazati da ako vale aksiome (R1)-(R15) i (R16'), tada vali i aksioma neprekidnosti (R16). Neka su X i Y dva neprazna podskupa skupa 1[8, takvi da je za sve (x,y) E X x Y vati x < y. To znaci da je skup X odozgo ogranicen, pa, prema (R16'), ima supremum, tj. postoji c E R takav da je c = supX. Ostaje da pokalemo da je c donje ogranicenje skupa Y. U suprotnom, postoji y E Y takav da je y < c. Posto je c najmanje gornje ogranicenje skupa X, to postoji x E X takav da je y < x < c. Ovo je, medutim, u suprotnosti sa prétpostavkom da nijedan elemenat skupa X nije veéi od bilo kog elementa skupa Y.

Napomena. Teorema o supremumu je ocevidno ekvivalentna teoremi o infimumu, koja kale da neprazan odozdo ogranicen skup X C R ima infimum u R.

$ b : (-{ 5 o.

E'F

F

7

F U

Fti€

3ger

:EE

gt??

Eis

,r i?

tlp E

: iE

:E:3

E*:

,ss$

FD

,F;E

-6 E

EE

a 3 i&

:rt

e '-

it'a

\-?

+r-

=.' i.

;g18

.6*-

e

-p u

2 *?

;*r

E i

f -=

a-i

.,<:=

$ )2

3 t*

;3

Iih:

oi-r

r I

l- i

*i,g

[*E

;r il

i,$'

iE€s

5:

=€3

9 iE

l)+;3

' \ ix

$--

i !

-r =

.3

A2

i.o'

-rg

sii;

Ee

a-,;1

I .,.

l=i

;ig;;*

Ei,i

i=rg

: +S

S s

iis3,

l u;

i€_;

i;*;=

z;ii*

;"-

ri*i-

;6-.

l-Fo-

"

-!T

aae-

Ai.-

*,x3

3i

,+o

= d

a

= F

p:

- ,r

:3

,: I

n'f;-

:'q

:.,-

6;

i

flg

iî

[ul'4

il:r;

.t 'j!

"i!';i

zra'

=

:'NF

-:.

e-?i

se

=*-

r-rr

3 -,

EE

:Ei;"

gt;i:

+i'

-B-F

<=

:i\

€3-

;.C't

.ylf

933:

';JiS

:-";

,Dd-

=f\s

;I:

iF

gl

,i-,.-

,,ir i"I

.Ilix

!n=

-=

+ E

:x,

F8.

= :

'n\;

t;.

=:;t

l lr

[;:r-

-E=

i*:i

; !i=

Fo-

vz

iE

=

,i:

[ =

E;i:

,=,

;3=

, ';

i,E;;

[e

EI 6

f;-i-,

.u-!

:;iE

=il'

=r

: ?=

?+

E

?+

'*t"

-i

'':7=

. ?+

:i?-,

3

!.;s\

€8

, {E

8"Y

l'' ri

f;'r.

i*f

A

-;-

! E

xi;

hx

oi;

i :5

.' =

s!:j=

'r:_.

i r:

+t;

P l;

I iil

_E$-

i i';

Es

F'; .1

r: =

[i, $

g;il

$ ei

trE

' sr

;.E, E

Ep.

Jf:

ilj;:

$ t

i)$:

n,

E :i

"3

:5'1

:Jl

i; a

e"P

+a

3B €

=3

B=

g *:

"r":

, ;*

1g t. t' lr i\t l>e

]5.

lo tx lo l9 io t- ni tu lo l€ o

l l- l I I l I I I I i i I i I t- \o

TN

o-a

r< Nr

oad

4: o,v

-\G s

lN<

tl 'J

!

vl/\ (D

QE

AD

)l o* o* 'L o-r

,o;

':_

rr

NF

oo- e,

-

Ar 5: o o 5

7 s

eF

a[

[ e

aE 3

6's9

F:7

5476

p3y.

8'

gC50

eg

e!

=.>

sL>

<E

E H

ge+

;93:

:E H

:'35f

f ^=

i;$ r

=i$

iaS

Ei

RF

;srl3

+?*

a,;E

t=B

*$:

r=' $

+=

I ;-

iagI

=J

o -

r.u.

..j=

: c1

s.c

=B

;6.i

SIa

:FS

*a,fg

ea::3

s;1!

'EfE

iS

s' ii

-*

t:s

slig

u=:

EoE

') 1'

sreo

'a;?

A.fT

+ tl

EE

; h;

I ;"

:alE

EE

5-^

-E*s

=€e

i=Z

?x ir

iui

rii

3;;:n

iz;'i

Ei?

aEE

3€iE

]T $

;$ii

Si rS

[?

sir:

SiE

i'*:

iiE: e

iE*E

$t ;S

;€$

i r s

= =

+;r

Ei

o d

o.'

=

o -

e= .

-JE

'E +

iafi

ea:e

i si

iE

+ -

--

I=.z

s:t

E;i+

E;e

8E6i

i[E;#

!$=

E, l*

i $s

=pi

;-g'

EB

=€H

,n*3

}+:E

.-H

*ii,

[:iY

=

E+

;E$

*=- [;E

g'$€

37

=*i

rr ;

J=

teg

Si:

g *S

1E

+ 3

c-6

d.

6;l

6 [n

:^+

-Y

,r

€ E

;d =

o'

E

^ .

a F

H

. =

.< X

..< !D

;

C >

. 6.

=:;-

JF

H

'+-:

9E

F'd

x:.a

- s

P-i

-<^

-Y-:

- =

rn*

a-.^

'N

: €.

91

-^r

i:-5r

r-E

lE-'*

-6Q

-r:r

nP=

.S<

-.?

".

6=.8

F

T

(;

* jF

&

.=s-

Ed

nsE

sn;l

;1

grl=

=,-

'*,

t*=

l v

F S

ilil

=il:

*:3S

lx

lif;,

Ft-

tq

: '-r

r-.

5 :.3

@

D

N

F

?'

S

5 .'

5 =

*:rJ

c

.d

'=

E

nj'5

i C

F!

| =

{-

:.-E

=

,)

S

l :

li sE

E :z

5i E

:s E

53i

*,:

s

= !

qlA

--

e ;5

4r

nx

35.iE

E

Fl

Bc!

. -6

"=

i: :.

93n

S_t

';E

e;

+r

;tu

^ =

!'6

Ern

a

7.1

:iF3

a ;

;:

;Aa

?>.

F

8.a,

='

;'I'=

'!.=

-

R,:E

;;

=

I S

l ;s

s xx

i

!: 3

3F F

,.{

. B

:l

i

;:rgt

4ffi'



20 Glava 1. Uvod 1.4. Skup R kao potpuno uredeno polje 21

1.33. Kantorova teorema (ili: teorema o umetnutim intervalima). Neka je za svako n E dat zatvoren interval [a,b] i neka in > n povlaci

[a b,] C [an, bn], tj. a < a, < bn,, < b. Dokazati da je tada n [a, b] 0.

nEl`

1.34. Pokazati da iz Arhimedove i Kantorove teoreme siedi teorema o infimurnu, odnosno da svaki neprazan sa donje strane ogranicen skup ima infimunr.

Resenje. Neka je neprazan skup B C I ogranicen sa donje strane brojem al i neka elemenat b1 E B. Tada za svako rn E postoji najveéi broj n = n, E No (gde je No = NUO), takav da je a,= al +n,,,/2"' donje ogranicenje skupa B. Zaista, ako

je al = infB, tada je n, = 0. Ako je ai infB, tada postoji n,,, E N takvo da vai an,=al+nn,/2m<x, x E B.

Pretpostavimo da ne postoji najveée n E N sa navedenom osobinom, nego da za svako n E N vai ai +n/2"` < x, za svako x E B. Tada je n/2"1 < x -al, za svako

n E N, sto je u suprotnosti sa Arhimedovom teoremom. Ako oznacimo sa b,= a,+ 1/2"t, tada je, po konstrukciji a b, E B i za svako m E N vazi [a,, b,] 0, kao i [al, bl] D [a2, b2] D . . . . Sada, na osnovu Kantorove teoreme, postoji b E llg, tako da je b E (-) [a b,].

mEN

Znaci, za svako m E N je a, 0 postoji rn E N

takavdaje b-e<a,. Ako pretpostavimo suprotno tj. da postoji E > 0 takvo da za svako rn vazi a,,, 1 +m 1, odnosno 1 +m < 1/e, za svako m E N. Posto je poslednja nejednakost u suprotnosti sa Arhimedovom teoremom, to postoji takvo rn E N, da za svako e> O vazi b -E < a,. S druge strane, za dato e postoji rn E sa osobinom da je b < b,,, b+ e> a+ E, 111 je 2i > e.

Na isti nain kao u prethodnom slucaju, dobijamo kontradikciju. Znaci, za dato E> 0 postoji m E N tako da vazi

b-e<b<b,<b+e. (1.6)

Pokazimo sada da je b infimum skupa B. Pre svega po konstrukciji za proizvoljno x E B postoji b, < x, pa je b jedno donje ogranicenje skupa B. Iz (1.6) siedi da je to i najveée donje ogranicenje.

1.35. Neka je [a,,, b], n = 1, 2, . . . , niz zatvorenih intervala takvih da je

a) a<b,,, n=1,2...; b) [a+1, b.4_1] C [a, b] n = 1, 2 . . . (svaki interval je sadrzan u prethodnom); c) Ern (b - a) = 01, n = 1, 2 . . . (duzine intervala teze nuli)

Pokazati da tada postoji tacno jedan broj a E R koji lezi u svim intervalima [a, b].

Resenje. Na osnovu Kantorove teoreme siedi da je n [a, b] O. Znaci, postoji nEN

realan broj x koji pripada svim intervalima, tj. a < x < b,,. Pretpostavimo da

postoji jog jedan broj y > x takav da je a < y < b, za svako n E N. Tada iz

nejednakosti a < x < y < b siedi 0 < y -x < b - a, za svako n E N, gto je u

suprotnosti sa pretpostavkom da duzine intervala tee nuli kada se n poveéava.

1.36.NekajeA-1 n

2 2n+1 n E

N}. Pokazati da je infA = 0 i supA = 1.

Resenje. Za n E 1v`T imamo 2+ 2n+ 1> 2 2n+ 1 2(2n+ 1) > O. To znaci da je

skup A ograniéen odozdo sa 0, pa prema zadatku 1.32 ima infimum. Pokazacemo da je upravo 0 infimum skupa A.

Ako je infA := E > 0, tada je e < 1/6. Ako oznacimo sa no := [(1 - 2E)/(4)] + 1,

tada za n > no vali 0 < 2 2n+ 1

< E, gto je kontradikcija sa pretpostavkom da je infimum skupa A pozitivan, tj. da je e > O.

Pokazimo jog da je 1 supremum skupa A. Zaista, 1 je gornje ogranicenje skupa A,

jerzasvakonEl` N vazi 1

( 22nr+1) >

2(2n+1) >0.

Za dato e > 0, izaberimo no kao gore; tada za n > no vazi l e < 2

+ 2n'+ 1

< 1,

sto daje supA = 1.

1.37. Za neprazan skup X C R definisirno -X := {-x x E X}. Pokazati

a) inf(-X) = - supX; b) sup(-X) = -infX,

pod pretpostavkom da je u a) (resp. u b)) skup X ogranicen odozgo (resp. odozdo).

Resenja. a) Na osìlovu zadatka 1.32 skup X ima supremum; oznacimo ga sa M. Kako je M

gornje ogranicenje skupa X, to vazi

(b'xEX) x<M < > (b'xEX) -x>-M.

1Definicija granicne vrednosti niza data je u treéoj glavi.

bo'aooEGNalJOo:=a

UÛ

Uv.-

-

N

NE

_fu-;i

, 6

d B

-

N

N-J

J:=-r

.Jo.:C

1):=lz

=!!!Q

-l&

E

5 E

"E

.v4

O^

9,lqii

f olt.y<

-F-4.'J

r,l6N>

=::=

i^l+

^v!e

e_sEe

/ \l o

o.aH5'

-L6-soJO^s

, vl

E::

n I a

@

e Z

r=

tr .N

I d

X-iN

q !

-s =

=

o+

ia=-

'= gr

€ g,g,,

yx ^

o_=il=

6{.^L

okbo^

C:

VI

o L, T

i -.9.

- I

-:i{ o

i;o'ooo>

9="/o)

-!trx>-^,N

*i-24

.6 ql =

-A

i(ru'-Z

-uLk-

;u !

sss;s ss

_9i z

v y2,*

f,

ER

S ifl;i Ii

iE X

:i =

xa :

iE=

i e=[# f; iE

i; :tgiE i

*a:'Fo !l;:

€=' :

Eil iE

r,Ei,i;i;: e !

r'=,5xE

E

g

CsS

€Eisi' €ssE

:-! E 'E

.<;E

E

EE

x Ii i;Ei iipat=

t i i iE;si

E it

i i girt =,i.;gi;=

: e -* i; Eii

g5q 5gii=r i:til:*3; rJii::;

E!s tis=

ii;ii!:s;: E 5l=

sZi"*

!?- tSE

;+i1elE

;s; ),i ? r=

ai;:f ::

5: +E

*g;s:=sli X

ig ; ;-EIst€

.5tS tE

J..i;-e,!7;-E

3s i + g;*;iE

#i,= ;a a;a, "i g;a; E

;

!ss si E;l[sgit!<

g iE*i gE

Ei'*

ss'p

\3\.ilu0 I s :ais;:

;E;E

g 1- !

ti

t sEl*T

,i!' ji ir,i=.fs

i =

I \

S N

o-I:3 I

F E

'i A

:! _i^

_

t + r^ * s;!€t

E ? =

=;. F

i

E *

-,;

I E -t,=

s_;:s= i

-iS! ri

il; 'F i

,! ,e !'

I : F!i=

p!t':r E ,lR

I ,E : iE

F I

I s

i-r

i iS

S

.q -i-

=

i z

i= i:tr r;:i:

s ='it :g s-l=

i -IEi 3 :

"i E E

,=R

E*-.;: E

-Ê i;.IA

t J=

S E

;-

:\l 9

'fi P

' -

S -l

g :

El E

,YS

, i.:oE t

A X

S:lB

'=1.;

Tai

i C

I

6 r ,, N

>;;:-=

; T =

li;Ea=

l*:E.:q E

i: !.i I

!l :

lr P

;; î

.":ll :E

/

,,a =

-^,a.=

.7 t

='e

I i

=.

i ?:

i ;^,::i;EilE

t: EE

=I-*;at E

irs i2 ii

:;;Ii:=:Y

g rN

iiEli=

a32 f , !7 i s;.

si s=T

o=E

F !€"=

* -l: 4,I=I:i.i

y -i * ,t

E,g

?l s-':iS 2i'?=

e, r X

l,E*l;'3€ ti

g;i =

*:i E

;;;'r,iliea* ! :il;=

**EE

Eus,: S

;E,*iA

q 'P

H

'P

E

'Pa

: *, li'i:, .: *,

.--

@+

:* "L". : '

ij;:: ::-':: ::r.:.tt .-

N



22 Glava 1. Uvod 1.5. Skup R kao topoloski prostor 23

Odatle je (dy E (-X)) y > -M. (1.7)

Kako je M i najmanje gornje ogranicenje za skup X, to je

((VE > 0) (ai E X) xi > M -E 1 < >

((VE > 0) (Axi E X) -x1 < -M+E.)

Prema tome je (VE > 0) (3x2 E (-X)) x2 < -M+ E. (1.8)

Iz relacija (1.7) i (1.8) sada siedi da je -M = inf(-X). b) Analogno kao pod a).

1.38. Neka su X i Y dva neprazna podskupa od R ogranicena odozdo (resp. odozgo). Oznacimo sa

S:= {s = x +yl x E X, y E Y }.

Pokazati da skup S ima infimum (resp. supremum), i da vasi

inf S = infX + inf Y ( resp. sup S = supX + sup Y).

Resenje. Iz zadatka 1.32 siedi da ako su skupovi X i Y ograniceni odozdo, tada oni imaju infimum; oznacimo ih sa mi = infX i = infY. Tako je

(dxEX) x>mi i (b'yEY) y>m2.

Neka je s proizvoljan elemenat skupa S; tada postoji.x EX i y E Y takvi da je s = x + y. Prema tome je s = x + y > mi + m2, pa je skup S ogranicen odozdo sa ni := mi +m2. Pokazimo da je broj m najveée donje ograniéenje skupa S, tj. da je infS = m. Za dato E, postoji xi E X i yi E Y takvi da je xi < mi + E/2 i Yi < m2 + E/2. To povlaci da

(VE > 0) Psi := xi +yi E S) si = xi +yi < mi +m2+6,

i tako smo dobili da je broj m = mi +m2 infimum skupa S.

1.39. Odrediti infimume i supremume sledeéih skupova (ako oni postoje) i proventi da li su oni i minimumi ili maksimumi:

a)X_}3n 1

nEN}; b)X=(1+ 5n+2

ll

3 (-1)° n nEN};

C) X- {

" 1

3k nEN}. Rezultati. a) infX = minX = 2/7, supX = 3/5. b) infX = núnX = -2, maxX = 5/2.

c) infX = minX = 1/3, supX = 1/2.

<.

1.5 Skup R kao topoloski prostor

1.40. Definicija. Okolina tacke xo E R je svaki skup U(xo) C R koji za neko E > 0

sadrzi otvoreni interval (xo - E,xo +E).

Jasno, svaka okolina xo E IR sadrzi .xo, i svaki interval (a, b) koji sadrzi tacku xo je takode i njena okolina.

1.41. Definicija. Neprazan skup A C Il8 je otvoren ako je okolina svake svoje tacke.

Po definiciji, i prazan skup je otvoren.

1.42. Definicija. Skup A C R je zatvoren ako je njegov komplement u odnosu na R, tj.

skup II8\A, otvoren.

Svaki "otvoreni interval" (a, b) je otvoreni skup, dok je svaki "zatvoreni interval" [a, b] zatvoren skup u smislu zadnje dve definicije (pokazite to!).

1.43. Definicija. Neka je A podskup skupa realnih brojeva Il8 .

a) Taka xo E Il8 je unutrasnja tacka skupa A ako je A okolina tacke xo.

Unutrasnjost skupa A, u oznaci A° , je skup unutranjih tacaka skupa A.

b) Taka xo E R je adherentna tacka skupa A ako u svakoj okolini xo postoji bar jedna tacka iz A. Adherencija (ili: zatvaranje) skupa A, u oznaci A, je skup adherentnih tacaka skupa A.

c) Taka xo E IR je tacka nagomilavanja skupa A ako za svaku okolinu xo postoji bar jedna tacka iz A razlicita od xo. Skup tacaka nagomilavanja skupa A

obelezavaéemo sa A'.

d) Taka xo E A je izolovana tacka skupa A ako postoji okolina xo koja ne sadrzi drugih tacaka iz A.

e) Tacka xo E R je rubna tacka skupa A ako u svakoj okolini xo postoji bar jedna tacka iz A i bar jedna tacka iz njegovog komplementa Il8 \ A. Skup rubnih tacaka skupa A obelezavacemo sa aA.

1.44. Definicija. Skup K C I[8 je kompaktan ako je ogranicen i zatvoren.

(Pojam ogranièenog skupa je bio dat na strani 14.) Tipican primer kompaktnog skupa je zatvoren interval [a, b], za a < b.

1.45. Definicija. Familija skupova {B;l i E I} je pokrivac skupa A C R ako je svaki element skupa A sadrzan bar u jednom clanu te familije, tj. ako za svako x E A

postoji indeks i iz indeksnog skupa I takav da je x E B.

t) N.)

I

'-1q

:* r! a.

FIF

[dR

g.€f

r.9o

Y=

x:p

q

:iTi6

. =

E

I S

i 5y

F

e

e g

q :

i -d

/r

? -r

: x

:-..-

,-:.*

I

='1

.:l:

Ei

i: -i

zd'

i s

r a

c: y

ls=

S, a

i*l-:

iS

I

S'I 9-

i i ;

E g

=_=

-li-i3

B

.=

{.ir

---B

E

C*

;-

6*.

6-=

*1 :r

-=-i=

i 3

e=l ;

sE

17 =

S

: i

r E

"- E

iI ,iI

Egg

;:i=

1 E

ir3 j

g;

!€=

!.

LJ

- q

L=

=

-:s

6._]

9o

-o-3

3 a

3,X

=

S

{ =

-;xx

'

-:

* i;:

B'[I

e s

i*

3 i

: P

riu

ryS

,i

:-\e

sE::,

i $;

i':3[

1**F

ri ;*

i i;

;: i=

r i

: -E

+lE

; 1[

= i+

i

s:

r €B

F€

-^- t

i ;

:gjq

y r

,I :

e I

F $

x ;

;,ixx

it

+

.i -t

- fil

x

Y

.rJ

-X

l?

= ,s

-::

;.e'Y

l -

3e-

5 r"

+

x f

ll €

5

:-r:

-iiJ;

fr:

s;3s

;gS

i€

E,5

;E'Y

, !-

'- ^-

c

- se

=.=

: '<

1l

r $

"= i

. 5,

' r

- :

J :-

S

E I

t€[i

,v a

,[ i

: -:

3.

Y *=

]-

;i.

e E

:e =

- B

€€n

s P

i, *

{::

$ r

ril,

x A

j

;E?.

- J.

i. E

N

- "

1rS

--'r

;

i l3

.€;

E;5

:

l:

tVl

: rD

nt

'E..'

R

x

[-!.

S

isi'+

:

: t

<

; *

b.*g

r :

6 i

t F

fi z

i *-

.+3t

E

. I

e -:

- S

-

q + F F \3 o o N t A o ts1

b.LA

-*sb

.L.D

.tr

F

'9

e

e s

eF

tr

F

F

ssE

ss

5 €+

${$s

:$+

$$=

$5 3

* S

E a

5 e

F i5

;I:i

E, "

: E

, >

A'it

is'\5

sI.{

i,1E

Z

ZZ

E Z

, €, E

? =

F,*

*St

='E

[ $]

A$r

iSgs

SaE

pi s

E it

:: F

H:

Nc

E:: iS

Eh;

s i.q

rrrl;

:$;;S

:T

=i,:

s E

i ?1

ig F

iss

iE a

i$+

-+rs

*l5?

ii! ?

i =i i

t =

.:i"

q

t$€ ii

E i+

F I

rE ic

iirg

E5

E 1

i ? if

ss

s^

;-cr

a

_. q

g

==

!,

E-

=

o< h

a6

' :

; _

.. I

^ =

:\-F

r5

E_

iF f

I+

:E

lrs ?

Z i

= b

i i

2 ;.

:$;

:q q

E

F 3

;l

..'=

Ri

aq

: 3

I €

i#

5$s

; l;:

S

: I

it us

;.ns

=3

s 3

; -;

Es$

l r^

s= $

i i l

s 5i

ti=.r

c :

E *

ia

\:E

. :

E;

6- S

-:

E.s

=E

-S :.i

_ *

i =

i.

oxi

5 :-

{

Qx

\ \

EsE

, :, s

s 3

$i E

siIE

i* i

:

i ^:

''

** s

s ;

* :,

$: s

i=nt

= \?

i 1

; e

:F :

'$ f

l $

€i it

*=

-;' s

i

; ;

$i E

! tr

i ; +

I !+

+s

5 :

i =

: ='d

re 5

=

=S

B- Is

t;E

S

i i

? +

i'

*s €

iE

: l=

i!i.

r :

i I

*x=

5

$i i

gi [

t 3

; f

g ;

>+

fi

i-i-

N,

ii S

i -;

s.

h

;



24 Glava 1. Uvod

Ako su, dodatno, svi skupovi Bi otvoreni, tada se fanrilija i E I} zove otvoreni

pokrivaè skupa A.

1.46. Definicija. Skup A C R irna Hajne-Borelovu osobinu ako svaki otvoreni pokrivac ima konadni potpokrivac.

Drugim redima, ako je {Oil i E I} familija otvorenih skupova dija unija sadrzi A, tada iz dinjenice da A ima Hajne-Borelovu osobinu siedi da postoji konacan podskup Il C I takav da vali A C U Oi.

tEr,

Napomena. U Hausdorfovim topoloskim prostorima (videti zadatak 1.56) Hajne-Bo- relova osobina se obidno koristi za definiciju kompaktnosti. U zadatku 1.64 demo

pokazati da je skup K C R kompaktan (= ograniden i zatvoren) ako i samo ako ima Hajne-Borelovu osobinu. Druga karakterizacija kompaktnih skupova de biti data u zadatku 1.62; ona je povezana sa sledeéim vaznim tvrdenjem.

1.47. Bolcano-Vajerstrasov princip. Beskona(.an i ogranicen skup A C R ima bar jednu tacku nagomilavanja u R.

1.5.1 Zadaci

1.48. Nadi unutrasnjost, zatvaranje, tacke nagomilavanja, izolovane i rubne tacke za sledede skupove: a) A = [0,1]; b) B= {0, !, ...}; c) C={zdnENT}; d) D=N.

Rezultati.

a) A° _ (0,1), A = [0, 1], A' = [0, 1], A nema izolovanih tadaka, aA = {0,1}. b) B° =0, B=B, B' _ {0}, sve tadke skupa B \ {0} su izolovane, aB = B.

c) C° = 0, C = CU{0}, C' _ {0}, sve tadke iz C su izolovane, ac = C.

d) D° = 0, D = D, D' = 0, sve take iz D su izolovane, aD = D.

1.49. Pokazati da ako je a E R tacka nagomilavanja skupa A C IR, tada u svakoj okolini tacke a una beskonacno mnogo tadaka iz A.

Resenje. Ako je U(a) proizvoljna okolina a, tada, prema definiciji 1.40, postoji interval (a - el , a + Er ) c U(c) . (Ovaj interval je takode okolina tadke a.) Posto je a tadka nagomilavanja skupa A, prema definiciji 1.43 c) postoji element ai a sa osobinom ai E (a-si,a+sr Stavimo E2 := la-ail/2. Tada u intervalu

(a - E2, (X +v2) postoji element a2 E A koji je razliditi i od a i od at. Nastavlja- juéi ovaj postupak, dobijamo beskonadno mnogo tadaka iz A koje leze u intervalu

(a -£ l , a + £ i ) , dakle i u datoj okolini U (a) tadke a.

1.5. Skup Ii8 kao topoloski prostor 25

1.50. Pokazati da je svaka tacka nagomilavanja skrrpa A C]lg takode i u zatvaranju tog skupa. Da li je obrnuto tvrdenje tacrro?

Resenje. Neka je a tadka nagomilavanja skupa A. Tada u proizvoljnoj okolini U(a) od a postoji neka taèka 13 E A, ß a. Prema definiciji 1.43 b), a je tada i tr skupu A, tj. u zatvaranju skupa A.

Obrnuto tvrdenje, tj. da je svaka tadka iz A i taéka nagomilavanja skupa A, nije tacno, kako demo videti iz sledeéeg zadatka. Neka je A := (0,1) U{2}. Tada je A = [0,1] IJ{2}, dok je skup tadaka naQomila-

vanjaA' = [0, 1]. Naime, tadka 2 nije tadka nagomilavanja skupa A, nego je njegova izolovana tadka, jer, na primer, interval (2 -2 2 + ; ) nema drugih tadaka iz A ra- zliditih od samog broja.2.

1.51. ,Pokazati da za svaki skup A C R vazi jednakost A = A UA', tj. zatvaranje skupa je jednako uniji tog skupa i njegovih tadaka nagonrilavanja.

Resenje. Iz definicije 1.43 b) siedi A C A, dok iz zadatka 1.50 sledi A' C A, pa je AUA' CA.

Ostaje da dokazemo obrnutu inkluziju. U tom cilju, pretpostavimo da je x E A. Tada

je ili x E A (u kom sludaju nema vige sta da se pokazuje), ili je x S A. U zadnjern sludaju, treba da pokazemo da je x tadka nagomilavanja skupa A. U suprotnom, postojala bi okolina table x koja je disjunktna sa skupom A; medutim, tada x ne bi

mogia pripadati zatvaranju skupa A.

1.52. Pokazati da je zatvaranje skupa zatvoren skup u smislu definicije 1.42.

Resenje. Neka je A zatvaranje skupa A C R. Pokazademo da je skup B := R \ A

otvoren.Neka je ß E B. Prema zadatku 1.51 je ß A < > (ß $ A A ß t A'). Iz

definicije 1.43 c) siedi da postoji okolina U(ß) tadke ß koja je disjunktna sa A.

Prema definiciji 1.40, U(ß) sadrzi otvoreni interval (ß-e,ß+s); on ne sadrzi ni

jednu tadku nagomilavanja skupa A. Dakle, taj interval je sadrzan u B, sto znadi da

je B okolina svake svoje tadke. Prema definiciji 1.41, skup B je otvoren, pa je skup A = R \ B zatvoren.

1.53. Skup zatvoren ako i samo ako sadrzi sve svoje tadke nagonrilavanja.

1.54. Zatvaranje A skupa A C I[8 je najmanji zatvoreni skup koji sadrzi skup A.

Resenje. U zadatku 1.52 pokazali smo da je skup A zatvoren. Neka je B C R zatvoren

skup koji sadrzi A. Treba da pokazemo da je A C B. U suprotnom, postojala bi

6-o>

-P

,=

i:9;

Q,3

=U

e .aE

'oY1>

..-i

'.) -S

oo,-,

Z,

.l

=-

Y!Q

-li*rhQ

V':

"=-

! '*

",:

+.=

r:ae84"rrO

Opt

=.:o

E

",N

H-

,N9

V

LJ

*L

\ a.] -

srls -<E

i,N

UY

AN

.:

\-V

>-1

^N

T

L J

QA

d: '8

|;,&

Y

3=

:-Y iS

* {.

sr. €FdE

l<

S<

=E

?

i ;;

1 =

'!z i

'' ra=

! *-

j,. 'aa-s i€ +

E*E

i i

=-r:; \

;3,1 ;;A

i!

?.gr. g. '7=.;

! =

t*;;

- ;-)=

:;9 :

.i F:E

5Eg:

n il+E

:i1';rEa t

* ::

=

.5,=:

.*l h

E=

Z:.

€ €fiE

?Eco

i.;

a' jL

-.d4 --{{

- 3C

.l =

\

?'"a uJ

ie

=I

I +

'=z

JS

J r':'=

^

: i,=

io_'J4 ;

J ;,=

=

..=

^ -s

E

XS

:+

.-..uruir-F

*;

E?

I : =

-., tr a

=

lus; 'i

=:E

=

i=

tri

E.=

4

iiE-

|a* N

1I-=

Y

: _=

::;:_=q

:i

'.8 !

-)ic.t I

=

.! ,-';g.5

. o.uco'c/.=

._ 5

; I;

,=,3X

-'' €*; iii--=

) ";=

Es:t

;(

+E

^:E:=

", S

I € s!:: :

s2;=_i:

Y

=

F:<

L '-

- 3-I

I 'E

c -

cr ; E

=

,

- i

9'; ;

A

:cj .r:

-Eslldo

'\€ ,l

:'iSE

:

"=E

:"=

i:,i

'iu E

-,=.8;

'Ut

| :-=

:4-E i

=

cd€o-_=

r!'-: i=

*E

-r::' * a a Z

ZZ

:= i a;r?+

i +

!=

=<

z.ttrF

yp;

=E

Zi4

g ;;a7z+

;t 5 =

';: i,i;;.: i^ ii

: =

r.Ee i

s E ;=

=;

E=

^ -.:=

:__9e=

=!

+

E,.j'),:ji

=

=cc=

"Ii91-v =

--!r=tr

=.+

%

a€i E

EE

:E=

i;g rg; i:-aE

E E

E:*qf id

*ai

ot35E-1,-ja' =

s:7 ,s:+E

! F

rT=

.c;AiE

i5:5 s:E

'E.u;;{E

i,i E

*e:tE

5 i;q:lgzi 5

S:

_9,-E ;9,.-

=;,

i =

= o

-? -:i =

! :

3r -'c

-.: {

c

EA

yEF

,;5:-E: i:

;:E;:=

= i '+

#.E{€' ;

u: 1=

E-ii=

=

E*

.ie.tilq i

iE::F

:*e 5

tS.i:?:,4*=

;iE

*€ '*]g='=

iE t

.+3.F

EE

n; Sa-Y

E

EI<

OS

Zi.N

E

r\ ,,9<

O.9zA

E

\ .E

Edd.g.sr.i{

',q)

a P

d

'P

q'P

fi

':lo(B))-a

:.-:(Ja>a

* 'd'K

* 6 S

6:

Ed_E

=E

I ;oE

s:!r

{98=u';

=-,!;i,--a-

: ,=

;.:s -

o-S

.3 E

:+)-rr

.C=

==

-<g

E€

S dE

,]tl

af o o- i .-

-;csoad.-i

._.J

F

E 9=

il r9,Q

uI

o,E-i'.',):E

h d

or:=

@ -

in,g.:-!-o=

.=-=

-E

+"-,=

'==

=d

i,', do63._7aY

t: =

EI.=

,5:E

* *aii;r.E

E:p,! -v,t s ,: s 9 0S

-s E

U

1L c #

+J

o. E

:-: \

- r,)'6'

,Co:=

SorE

oi^Ja'L--i

ori ft*.i"-6.a=

''1' . -

,', ;

I v

- u'.--L

v,ix^..s-.-o.)*::--u

! ^@

A

*

{ --*

.Y6

d+>

9X-v-d

^'-Y

-- *

i: -

!.Y

q

\ O

,- rr

^ lI^

":Q

=n

'<

A-{]+

lttccu''

aO

il.(U

Y

19 A

-E-\

d6d),]<

atil^ >

N

ji N

-Y

'v

A_Y

O

d^-l'

--l)â/;.S

-co .: :

., =

:6Ua

r=>

OA

(.)fd\c

.:<

^t<

a E

-,o ,d

O6;fi.s

tt e*iil*

o i,

d-,:

,, I

ll^

-a- h I '-r

r ^l^-

t<cqL,:

lllrl

:_- r+r \)

r\gS

**ll il il

ll

khLh

'H

',ts 

.6a.5o

\ A

,Q

a9:* \

! i

.s.E

-: E

.3 4

! z

r i

=:

g*:a ;

: a

=

! .!-a

j!q4 :

û

: ,6'**

* iit,

=

\, !

=-xij-^@

Q^Y

=..

9lJlJdJi-rqy

: i 9: EagE

s ,i i

z.l\ouL(i6=

:

E

E i7

EE

:i: i

s.i

E

i4 2=

Er=

j

e ;

i :

:E

E€'s ai ,s

t l,

=. E

=s=

E:?fl;fi S

$

a.i;/=

t=C

ll:(,Jo-.=

-rr i

.:g -\<

X

f E

i. =

=-=

7! i r

-::

J :+

C;;'E

sIt

i cll-8:E

A=

.+,

i -i

.* 6'

\1, .a -r

= .f ;'B

=5E

F :=

= t

_:P

i

O s<

rez

; a.'S

. 5

-:j=

;':;E,F

:,8;=i

3! E

aI

iS ;::

f Ev6i rs

! T

-= iE

=::

e'7=.=

;=

: .a

:i 3F

inS

2=r=

a .!.* 'i.riaI+

- ti,5[I =

E?E

: *: E

SS

=s,9

.a'! ?..i_t.

rc=.-

ri: N

i-5^

;E ,is *.I; H

;ET

E E

: _ .:{? n

+E

E: sts iiaF

l Es I :i:

€€E

$qp

o$e.l



26 Giava I. Uvod

tacka a EA \ B. Kako B sadrki A, to je a E A \A, pa je prema zadatku 1.51 a taèka

nagomilavanja skupa A. Medutim, to je u kontradikciji sa zadatkom 1.53.

Napomena. Ovaj zadatak opravdava termin "zatvaranje skupa".

1.55. Otvoreni skupovi u R zadovoljavaju sledeée tri osobine:

(tsl) skupovi R i O su otvoreni; (ts2) proizvoljna unija otvorenih skupova je otvoren. skup; (ts3) konacan presek otvorenih skupova je oNoren skup.

Napomena. Familija i skupova koji su sadrkani u nekom skupu X, gde je ti :_ {O; i E

I}, a I skup indeksa, se naziva topologija na X ako zadovoljava osobine (tsl) -

(ts3), a skup X se naziva topoloski prostor. (Naravno, u (tsl) se "III" mora zameniti sa "X" .) Elementi familije ti se tada nazivaju otvoreni skupovi. Iz zadatka 1.55 sledi da ako se otvoreni skupovi u R uvedu kao u definiciji 1.41, tada skup R postaje topoloski prostor.

1.56. Pokazati da za svake dve tacke x i y, x y, postaje dye disjunktne okoline tih tacaka.

Resenje. Neka je r := yl > O. Tada su intervali (x-r/3,x+r/3) i (y-r/3,y+r/3) disjunktne okoline taèaka x i y, respektivno.

Napomena. Topoloski prostor sa ovom osobinom se naziva Hausdorfov prostor. U prethodnom zadatku smo pokazali da je skup R, sa topologijom uvedenom pomoéu otvorenih skupova (datih u definiciji 1.41), Hausdorfov prostor.

1.57. Dokazati Bolcano-Vajerstrasov princip, zadatak 1.47 na strani 24.

Resenje. Neka je skup A beskonacan i ogranicen podskup skupa R. Iz ogranicenosti skupa A siedi da postoji interval 70 = [a, b] takav da je A C [a, b]. Tacka (a + b) 12 je sredina [a, b]; zbog beskonacnosti skupa A, bar jedan od intervala [a, (a + b) I2] i [(a + b)/2, b] ima beskonacno mnogo elemenata iz A. Obelezimo taj interval sa It. Podelimo sada It na dva jednaka intervala; ponovo, bar jedan od njih ima beskonacno mnogo elemenata iz A. Obelezimo taj interval sa 17; po konstrukciji je njegova duzina polovina duzine Il i I2 C h. Nastavljajuéi ovaj postupak, dobijamo zatvorene intervale 70, It,. . . , I,,,. . . , sa osobinom da

je svaki sadrzan u prethodnom, dok njihove duzine tee 0 kad n Prema zadatku 1.35, tada postoji jedinstvena tacka a E IR koja pripada svakom od intervala I, n E N. -

Pokazaéemo sada da je a tacka nagomilavanja skupa A, tj. da u svakoj okolini tacke a postoji beskonacno mnogo elemenata iz A. Ako je U(a) okolina tacke a, tada prema definiciji 1.40 postoji £ > O takvo da je (a - £, a+£) c U(a). Kako duzine intervala [a,,,b], n E N,

1.5. Skup R kao topolokki prostor 27

tee nuli, to postoji prirodan broj no takav da za n > no vai

[a,b] C (a-£,a+£) c U(a). Po konstrukciji, za n > no, svaki interval [a,,, b] ima beskonacno mnogo elemenata iz A, pa je a tacka nagomilavanja skupa A.

1.58. Proventi da li su skupovi dati u zadatku 1.48 kompaktni.

Rezultati. a) Skup A is kompaktan, jer je ogranicen i zatvoren.

b) Skup B je sadrzan u [0,1], pa je ogranicen. Jedina tacka nagomilavanja skupa B je 0, koja pripada B, pa je taj skup i zatvoren. Prema tome, B je kompaktan.

e) Skup C je ogranicen, ali ne sadrzi svoju tacku nagomilavanja 0, pa nije zatvoren. Dakle, C nije kompaktan.

d) Skup prirodnih brojeva N nema tacaka nagomilavanja, pa je N = Medutim, N nije ogranicen, pa nije kompaktan.

1.59. Pokazati da svaki neprazan podskup S kompaktnog skupa K C R ima infimaun i

supremum, i da oba pripadaju skupu K.

Resenje. Na osnovu definicije 1.44 skup K is ogranicen, pa to vazi i za njegov podskup S. Prema zadatku 1.32, postoje reami brojevi a i (3 takvi da je infS = a i supS = (3. Ostaje da se pokaze da su a i (3 elementi skupa K. Pokazaéemo samo da je a E K; pretpostavimo suprotno, tj. K. Kako je K zatvoren, to

je skup II8 \ K otvoren. Dakle, postoji e > 0 takvo da je interval (a - £, a + £) disjunktan sa K. Kako je prema pretpostavci zadatka S C K, to je (a - £, a £) n S = 0. Ali tada ne

postoji elemenat s1 iz S sa osobinom si < a+£, sto je u suprotnosti sa jednakosti a = infS.

1.60. a) Pokazati da konacan skup ne moze imati tacku nagomilavanja. b) Pokazati da je svaki konacan skup kompaktan.

1.61. Pokazati da je zatvoreni podskup kompaktnog skupa takode kompaktan.

1.62. Skup K C R je kompaktan ako i samo ako svaki njegov beskonacan podskup ima bar jednu taeku nagomilavanja koja pripada skupu K.

Resenje. Zadatak 1.60 pokazuje da je dovoljno posmatrati slucaj kada je skup K beskonacan. Uslovje potreban. Neka je K kompaktan, tj. ogranicen i zatvoren (videti definiciju 1.44). Neka

je S beskonacan podskup od K. Tada je i S ogranicen skup. Prema Bolcano-Vajerstrasovoj teoremi 1.47, skup S ima bar jednu tacku nagomilavanja a E R. Kako je S C K, to je a takode tacka nagomilavanja za K. Kako je K zatvoren, prema zadatku 1.53 on sadrki sve svoje tacke nagomilavanja. Dakle a E K.

Uslov je dovoljan. Neka svaki beskonacan podskup S skupa K ima tacku nagomilavanja koja pripada K. Treba pokazati da je K zatvoren i ogranièen skup.

o : r- o o.

sBF

FIT

Ei-i

sr* x

aEE

s* *i

r[]e

:; ee

=$

t€]

Z'*

>7*

3*'4

n*?'

- I

E1i

+>

Ia

r= r

:-E

e*

:+i

; l;

ae E

arE

: =

+gf

lsf

3 =

e:

A*

: E

?=??

- =

!s =

'

Em

=:

d:

=: ?=

.:6

!?ie

ii: |;

ZE

EX

E €

=,"

t=i€

i E

=i1

i= 3

*iS

5ii

sai?

EF

r:riB

;-,

=

n=E

=r

; 3'

l?e'

*5

I::=

3

t=?v

; =

+22

-,?

!'dn

L ai

?ip:

i=,:P

-z?=

r +

1 zz

i1=

l I z

?i*i

liia

iEi

.=at

l..!li

€+i r

l|ii'

i

*vliE

: '-:

o: 2

i+iiE

ailii

,=;s

=E

3[i

;i i i

ns;*

l* ti

':= i5

i:ir

q?lia

is*-

E E

-:--

iiz :

a*i

Ei=

i !.'

: 3:

;lti

Ei;1

'=:[i

;!'f :

E+

="i

; a;

i*$:

i i;ii

ti€3$

iEiE

iiEs *t

i.: i

Isrii

ii j

Ei5

l5E

lii+

ea+

Er \

+sg

; i

Ai:r

a ii

$ 15

i!,i

;;3;:E

.EI;E

i iE

i X

i

ES

;*g

=i

I €r

E=

'*9

Er:

5iis

Sii*

1:11

3=i 3

Es

i i

=:;g

i :=

+*

SF

"3sf

.rE

sST

*: =

E+

= E

: a

-iB

1+i!_

=qE

;*$3

=*;

,! gs

i !

$iai

,o

iii*

=L+

-=**

i;ia

:; 3

I -?

' se*

:

;5i =

Ex=

:iilr

Eg

j F

i aa

S

izE

ui i

;il.-

i;o;E

E

'c e

*

i 3:

;;

*

!" (,/) >r

\l F >r c ts'

rJ N t d a

.. riu

h

t 5

F

b e

e ec

6 S

:$=

"=$?

*I

;

=i

EB

hB6p

E: =

= o?

FE

, *E

*?i-

r pp

6

E\€

{3=

!E *

S $

;:

3i5f

E3E

;i E

gPiE

gEq

i ;i

}xg

a,fll

gsu$

A :

$$ "t

sEsI

[qs$

E':€

i"$ii=

s, a

E i

aF;i;

=E

.iI i.

* s

rs i

riaiT

E :

i i=

gEE

8i i

iE

;er

+3g

Eg$

;$ s

i$*E

es*i

as+

EE

=lE

:E i

E! €

iICS

q:=

sit

S i5

fE;T

fEE

;! E

i =!:;

s 3Y

=

rgF

riiE

$i$

t$s

sEgi

iEig

s E

==

[irE

iga*

E;'8

.!"gF

$E r

- s

si

=S

=e€

;*

Si

F

iiEl;

= i

=:1

,s55

laa!

:;3S

S +

Si;i

-;E

;t€E

S

,r €

i=,:

i'::F

6::';

5--q

=as

x =

f

3. i

rriq

3.

^;t

: a3

(s

=

=nz

=E

"st

g;E

+

* S

i ix

:i :Z

1'?

fi

f ;;S

i

5.1,

FE

l iS

iE'<

s; s

t= ir

?€ F

E s

1E

I+3

s =

=?!

7,t

5*A

':[

*E T

*s

g;

:E

*7,

: P

E w

]zr

d?i

,3F

sss3

;laeu

i' F

€ia

r i

+r:

aE :8

3=;

-Tr

!:!X

g 5G

:

d €P

i+

;'E

o.

; iI=

?-.

ik15

t' o

s.

oi

:ir6-

; ia

+

;

tEfr

3

q?

N:

=

.aE

-^'g

' ;

a-

S

5:df

i -;

€

h ??

3 =

B

,6

: -Q

s.x

E

[F=

-*i

e *

* a:

:^

ir il,

d

2 E

F+

=

7 E

xw=

.:.

s -

€ ;;p

. a-

. h

, Z

3

==

7zz

'="

F. €

Ê a

=l$

E

i '

v ;'

i u

=

L A

o

+@

€ [i;

;,E $

+ s

iY:€

eE

T F

: r

B

=

:-.:=

:x

\: S

x-

r;

rr "5

S

' 1,

d

n

=

En+

-o-

: i

AsL

>

rr ?

=

i

; E

I

E E

rE.i[

i

;=E

i f;

.=; i

:

* 3

.3

o E

5a-t

**B

iE. :

[$

"+E

Sg

E z

& e

F

E

f pD

.fF

i dt

sBa

?:^

: €,

I

e i

t') \]

I



28 Giava 1. Uvod

Pokazimo prvo da K sadrii sve svoje taeke nagomilavanja, sto je prema zadatku 1.53 ek-

vivalentno sa iskazom da je K zatvoren skup. Neka je 13 taeka nagomilavanja skupa K.

Treba da pokazemo da je (3 u K. Na osnovu definicije 1.43 c), za svako E > O u intervalu

((3 -£, ß+e) nK postoji bar jedna taeka ai # ß. Stavirno di := 113- ail. Dalje, u intervalu

(f3- d1 /2, f3 + dl /2) n K postoji taeka a2 # ß. Ako ovaj postupak ponovimo beskonaeno

mnogo puta, dobijamo beskonaean skup S = {al ,a2,...} koji je sadrzan u K. Prema kon-

strukciji, ß je taeka nagomilavanja skupa S, pa je 13 E K.

Ostaje da se dokaze da je K ogranieen skup. Pretpostavimo da je K neogranieen. Kon-

struisaeemo beskonaean podskup S skupa K koji nema taeaka nagomilavanja. Neka je

ai proizvoljan elemenat iz K. Prema Arhimedovoj teoremi, 1.22 postoji prirodan broj

n takav da je [ai < nj. Kako je K neogranieen, postoji elemenat a2 E K takav da je n < I. Izaberimo n2 E tako da vai n2 > lad; posle toga, uzmimo a3 > n2i itd. Skup

S = {ai,a2,...}, koga smo na ovaj nain konstruisali, je beskonacan, sadrzan je u K, i

nema taeaka nagomilavanja u To je u suprotnosti sa pretpostavkom da K sadrzi sve

tacke nagomilavanja svojih beskonaenih podskupova.

1.63. Pokazati da svaki beskonacan niz elemenata kompaktnog skupa una konvergentan podniz (videti definiciju 3.42).

1.64. Pokazati da je Hajne-Borelova osobina potreban i dovoljan uslov da skup K C R

bude kompaktan.

Resenje. Uslov je potreban. Neka je K kompaktan skup u l' , tj. neka je K ogranieen i

zatvoren, ali neka ne zadovoljava Hajne-Borelovu osobinu. To znaei da postoji otvoreni

pokrivae II = {Od i E I} skupa K koji nema konaean potpokrivae. Kako je skup K

ograniéen, to postoji zatvoreni interval [al , b]] koji sadrzi K. Podelimo ovaj interval na dva

jednaka dela i obelezimo sa [a2, b2] onu polovinu intervalá [ai , bi] sa osobinom da famil-

ija 11 nema konaean potpokrivae skupa [a2íb2] n K. Nastavljajuéi ovaj postupak, dobijamo tacku a, koja je taeka nagomilavanja skupa K. Skup K kao zatvoreni skup sadrzi sve svoje tacke nagomilavanja (zadatak 1.53), pa a E K.

Kako je familija skupova {O; I

i E 1}

otvoreni potpokrivae skupa K, to postoji indeks

E I sa osobinom a E O; . Osim toga, postoji prirodan broj ni sa osobinom da za svako

n > ni vai [a,,, b] C O;, . Tako smo pokrili sve intervale [a,b], n > ni, sa samo jednim otvorenim skupom O; , iako smo pretpostavili da ne postoji konacan pokrivae bilo kojeg od tih intervala.

Uslov je potreban. Neka skup K ima Hajne-Borelovu osobinu; treba da pokazemo da je K kompaktan. Pretpostavimo da K mie kompaktan. Tada prema zadatku 1.62, postoji beskonaean skup S C K koji nema tagaka nagomilavanja u K. To znaei da za svaku taeku

a E (K \ S) postoji otvoren skup Or takav da je S n O_; = 0. Za svako y E S postoji otvoren

skup O, iz otvorenog pokrivaea sa osobinom O,, n S = {y}; u suprotnom, y bi bila tanca

nagomilavanja skupa S koja pripada K.

1.5. Skup R kao topoloski prostor 29

Oeevidno je da vai K C (U,EK\sO_;) U(U,,EsO,,), ali po"sto je skup S beskonaean, ne moze

se ttaéi konaean potpokrivae skupa K. To je u kontradikciji sa pretpostavljenom Hajne- Borelovom osobinom skupa K.

1.65. Da li skup A= fl/n1 n E N} ima Hajne-Borelovu osobinu?

Resenje. Pokazaéemo na dva nacina da skup A nema Hajne-Borelovu osobinu.

1) Broj 0 je jedina taeka nagomilavanja skupa A. Kako 0 0 A, to skup A nije zatvoren,

pa time ne moie biti ni kompaktan. Prema zadatkti 1.64 to je ekvivalentno sa iskazom da A nema Hajne-Borelovu osobinu.

2) Posmatrajmo otvorene intervale Ot=(1/2,3/2), O=(1/n-1/n3,1/n+1/n3),n> 2. Oeevidno je A C U O, ali i'amilija skupova {O1 n E N} nema konaean pot-

nE1Y

pokrivac skupa A. To siedi iz sledecih relacija:

1 _ n2-1 n2-1 n2-1 1 1

< _ - - n = 2,3,.... n+1 (n+1)(n2-1) n3+n2-n-1 n3 rz n3'

1.66. Rastojanje (ili: metrika) je funkcija d : I". x R [0, +00) definisana sa

d(x,y) = -yl, x,yEIR. Pokazati sledece osobine rastojanja d :

(Ml) (f/x,yE I ) d(x,y)>0 akox#y i d(x,y) = 0 ako x= y; (M2) (Vx,y E R) d(x,y) = d(y,x); (M3) (Vx,y,z E R) d(x,z) <d(x,y)+d(y,z).

Napomena. Skup X sa funkcijom d : X x X --- [0, +.0), koja zadovoljava gornje uslove (M1) - (M3), gde je R zamenjeno sa X, se naziva metricki prostor.

N.=

q,! ig

art I

9=!.)^\X

OiF

E

E :]

: Z

1=

= ft-e <

'H

, E

69 :A

ors -E

*i

- =

'EE

. H

'=3 tt

"i E

A

==

' E

:<

s-

--4 \6

i *

-

ifi =

i; ;-E

-- E

,.

i.E3X

O--=

E':=

6aixa-,2*-u=

\^-=

t d.

; =

o tz

E

I to

! 4

- ,i

i;; I

]oq iLl

-,t ;-

* S

=3 u

e ?-

i ff F

-l

; ^)

il ,;

fr4 R

+:c

?4 v

* ci

^=Y

Ill

2e I

=i

a:---V+

.- i: ;

ts - J \r

'!l- T

t 1

?;

=E

t

g::.SA

; v

Mi

< c

i3=

: 5;:E

Eli,=

t,

l .:

i o=

?; $ inpE

a; s

lI e;

- v

Ts

U

- -

=

=

=

r O

-'-

j€- i +

,8.2=:;i

-î I*{} :

I,.i,,

T s sE

=ll'E

E'!i

i;f -:a3 ,is

Se

_! EE

EE

;:E

,1 t=i:-5<

-ei-. J

.=

;a 5 3

V, i=

'n

,= ?

o- o \ z

;.9i-i" z =

EE

T;^:i r'=

!EF

__y ,18--r n

! {

brr.- =

=v

t I

t q,

\\{ 9

E:;i

: : E=

s';=ii

-,* t S

jgx E

Jl-l tz

_ E

<:=

= i-._c

i: :

* -t,i

i=6i

S aE

- E =

''r. ^=lj =

B

-â ss

'uP

.U =

9c ?1r. X

15

=

N rruy

15o:E

E x S

E::E

e; s. s1)r

F^;

._=

=

=_ x._.)*!-.+

=

1, t_

'=

) <

5: .,<

9 ! 6

.i ô .gl,

c i

i "2

-l- -c!

'= "-v-v-

€s! I lEE

EE

{ E -r;'g

E:::

EI

a=E

:.gd=B

aoi2 E

i=

Sa

7=d:ta

a A

oaZd.i

3- /

d€aa 52

'i '4 ^'

.o 3-

(j &

/ .i

\E

zj*

!oAAoo.

l<o.

q{

ixEE

EE

siE;g;i E

r ;E

;i=a* E

EE

? EaE

EE

ie;==

i|;i;=i;! $ t 'i-4,;:i* ;X

fi;i;-:;E

F?g;"

E ?

x:;{E; rE

ti}i: i i ie3i; aE

?Eli3;;i;

[eiier *p-e;=E

* S i

t'gsE_tx; ;lrE

€)E;1

;;!?Eq i;:;:iF

i i i!E

g:,lE :irE

:[a:?;i=

-='-i? =

E =

*,:a!=*7 S

i t=

;i;i; i E

+'t ;*!I.

AE

:Es-*iE

+ ;:?E

E sy a :'ri4r;uZ

r S i

iIE: E

=3'eE

ir? ;;:i1,i,2E

?*iEE

9i,Es,E

E4 I

: E

€Er=

iE; F

i.!EE

E;o

iaz;Tii,zi€ ?; E

l. t i i3i;i;EF

E'? 3tii;e

7zr2E7-I:: E

:! i"iE =

. i ;E

+E

:.*Es€E

iE xii;;i F

r u :i:EE

iE"t?;:=

; sEiE

€,;:igE

€A;.E

E,;iE

=z i,Y

s !i!i:

S i H

,e,A; ,S

E

Ei.sri:ii { illi; E

It i: iiifi;E€iE

;EE

iEl;ll1

EE

;;:=;: ! E

;!:E q E

* Ei : q*,g

*iEIil?!E

11 ::iE si ii E

iraE:;A

iIi::5:l:rx

--l

U

'%e.qi*

@N



Giava 2

Funkci j e

2.1 Osnovni pojmovi

Jedan od najvalnijih pojmova u analizi jeste pojam funkcije (ili: preslikavanja). Sledece dve definicije su ekvivalentne.

2.1. Definicija. Neka su A i B dva neprazna skupa. Pridruzivanje (korespondencija, pravilo) f koje svakom elementu skupa A dodeljuje tacno jedan element skupa B naziva se funkcija.

2.2. Definicija. Neka su A i B dva neprazna skupa. Skup f C A x B je funkcija ako vae sledeéa dva uslova:

(i) (dx E A) Py E B) (x, y) E f; (ii) ((x,Yl ) E f n (x, Y2) E .f) (y1= Y2).

U oba slucaja pigemo f : A --> B. Skup A se naziva domen (ili: definicioni skup) funkcije f, a skup B se naziva kodomen funkcije f. Ako (x, y) E f, pisaéemo y = f(x). Za velicinu x E A kalemo da je nezavisno promenljiva (ili: original), a za velicinu y = f (x) E B da je zavisno promenljiva (ili: slika). Skup vrednosti funkcije f je skup f(A) _ {y E B E A, y = f (x) } .

Mi cemo posmatrati samo one funkcije ciji su i domen i kodomen neki podskupovi skupa realnih brojeva R. Takve funkcije se nazivaju realne funkcije jedne realne pronaenljive, a u ovoj knjizi éemo ih prosto zvati funkcijama. Posledica definicije 2.2 jeste da su dve funkcije fl : A1 -> B1 i f2 : A2 -> B2 jednake ako i samo ako imaju jednake domene, tj. A1 = A2, jednake kodomene, tj. Bi = B2, i, naravno, ako jog vali fr (x) = f2 (x) za sve XE A1 = A2.

30

2.1. Osnovni pojmovi 31

Funkcija f : A B je injekcija (ili: funkcija 1 - 1) ako za svaki par xi i x, iz skupa A vali (xi (f(xi ) # f(x2) Funkcija f : A --> B je surjekcija (ili: funkcija na) ako za svako y E B postoji x E A takvo da je f (.x) = y. (Dakle, f je surjekcija ako i samo ako je f (A) = B.) Funkcija f : A -4 B je bijekeija ako je i injekcija i surjekcija.

2.3. Definicija. Z a dve f u n k c i j e f : A -> B i g : B C, fimkcija g o f :A - C, data sa (go f ) (x) = g( f (x)), x E A, zove se kompozicija fimkci ja f i g (ili: sloiena funkcija) od f i g.

2.4. Definicija. Funkcija f je ogranicena na skupu X C A ako postoji konstanta C > 0 sa osobinom if (x)1<C za sve E X.

Skup A C IR je simetrican (prema koordinatnom pocetku) ako za svako .x E A vali dai -.xEA. Funkcija f : A -4 B, gde je skup A simetrican, je parna, ako za svako x E A vali f (-x) = f (x). (Geometrijski, to znaci da je grafik parne funkcije osno simetrican u odnosu na y-osu.) Funkcija f : A -> B, gde je skup A simetrican, je neparna, ako za svako x E A vali f (-x) = -f (x). (Geometrijski, to znaci da je grafik neparne funkcije centralno simetrican u odnosu na koordinatni pocetak.)

Funkcija mole biti ili parna, ili neparna ili ni parna ni neparna.

2.5. Definicija. Funkcija f : A B je periodicna na A ako postoji realcm broj 0 sa osobinom da je za sve x EA i x+ i EA, i vaZi f (x + t) = f (x) .

Broj i se tada naziva period funkcije f : A B. Osnovni period funkcije f je najmanji pozitivni period te funkcije (ako postoji).

2.6. Definicija. Neka je funkcija f : A --> B bijekcija. Tada za svako y E B postoji tacno jedan element x E A, takav da je y = f (x), pa je relacija

f-1 := {(y,x) EBxAIY=f(x)}

funkcija sa domenom B i kodomenom A. Funkcija f-1 je inverzna funkcija za f . lnverzna funkcija je takode bijekcija i za nju vale sledece jednakosti:

(Vy E B) f-1 (y) = x < > f (x) = Y,

(b'xEA) .f-1 of(x)=x, (dyEB) fof-1(y) =v.

2.7. Definicija. Grafik funkcije f : A -> B je podskúp Gf skupa IR2 = IR x 1R dat sa

Gf = { (x, f(x))1 xEA}.

,,1

A ill.r - I te t..J

E - I H -) E ,\ t? l. -.(D

E=

'=\7

7rr:

.=^b

=-

- j:

I:s

diq=

f =

Ef =

t 3:nH

iiq

7l i

+*+

s:s;

F13

*,i ?

;'5E

;sE

; Ii

^::-

-i:-.

i!a=

?:sE

.J.>

i.P =

]P 3

i I

!-

- G

-

={;

1 D

r rr

l ..<

. I

\ =

{-

- -

7t!:I

ta 3

;+; r

,eiF

Fii

sE E

-=.!.

o.oi

- --

-i,;

>^-

'I

-:?d

5'

=

i":

3::E

I:I E

.EB

i ;"iE

,+

a e;

=:.

-x-^

i- rl-

.il.i

qi.k

'qr'-

'<

\/ !

>

S >

n-

(J

6 o

tJ.j

freE

: =

'H

(D\

p

z-'"E

".i:.

Et=

* ;ti

; i;

:E €

6,.i?

:lrg*

-:

-.<

S.5

._3

>

3;

f ?

B

-''-g

f 3l

=a

r-rt

r r>

i

=x

+I

='

=fi=

!_:?

4s

*=e

: 3t

=

i_-

\e

1 4

()

6

BI+

gBf;:

t!'ii;

J i

ii'f'

qe=

i6c?

.' ;q

g'ii

i- r_

* *

:IEE

E;X

i:' a

E

i tt

EN

:"'F

6A;

.:=';

k E

-*

o,

?i_.

-+=

q, f

^>;

T

:S

=

Ir, ;

i,Nl;*

="

i i

s.i

g;>

:-=

i-4.

Fo-

6

^'

>&

. ,i

>"r

s5+

f as

, :

; i{

E:

=E

:*

't!:=

=

Nc

-:,,

={

=o

r !=

=

}

iX

r.+

r: 5

;= E

; a

: ..s

='o

,.' :-

:"

E:

E:

g i€

B

?+ +

+ iE

=

f ::

F!]i

lE!a

e.=

's*!

e@

ss

-o

Ei.

F

- \i

X

=;F

a3

;!

g l

;F'

-s'

.'.."

-

: .i,

--:q

€

aaa

lr ts

! >

! ltr

) i

) -:

J

l.

o '

o !:'

. C

) la

L.

B

L.

L.

I-Y

p rD

aD

-i-

FD

lE

4.

t:-'\

o

-\

* -\

ia

\ !

\ ]l'

x

15P

:rts

,,I

<

I tJ

I

UJ

Jt

v+

l,cu5

lb]i.

tr

lE;'-

o

- (D

l:

- ^

o \

='

lr.-r

,v-!

L.L

u a-

;'v

5i

I

A 6

'*-u

e.

l6

',-L.

l

s \L

. -\

v

I

o-

.-"I

o!-s

rt-.

(Dc'

=l

=.5

i 5

|

o E

'.!.

E'

I

T lr

E

B

IE

: II]

@Y

!.P-s

l,r

),aA

loo

L{.l

:. z:

@

,^

I

^J^-

-<t

-,-.

P-o

)l^

!l i.

]"u

'd

I

slD

ri -l

..h41

il*

- 1 I

w;4

1:-

;

rJ

I

NI

--)

AI

A

DJ

I-

h..!i

;=

tl f

U

? 3.

**

.t =

>.

= *

h

k -

+ l

r

:,-

T

- X

tr

5

Y=

a^:=

='=

=':-

=^=

3=6.

3

=.

6 =

i 5i

5l'

t :

€ 5

ôa

=E

,; *E

; 'i'

E,;t

,Ei*

,; i

Y'E

; *,

qE,

- "

l:i

- =

'.-=

.-.]

-'.

: !t

--=

5X

f

: '

=

- r

-> r

: l\

! H

:

'

!s i=

B [;

;;ei'#

:r

i:s53

^.n

1=

?,8a

i i

=i:l

]=

.F

1.:.

=.J

. H

L!,

=

,j.

"oliX

a'

'-{5S

S

a =

:c)

-o)^

5

=.-

h\

i

e'E

-;

3.

i1

t=

'&

E {

r:

{ +

3b

3e

3'ah

=

;-=

J.

\ >

=

?

6;

.=: -.

i,

ru o

S

:.|b

a

t ?

;]i;:

ieu

tfr

;r'

:ia

i' '

J -.

cL

.=:*

d.

a =

q:

I -(

a=

-

> *

=

=

'viE

- '_

: i

{ =

-

'"x

= ;

i ;

EF

I 6E

I

vEi

i>i:l

lj

i 1.

=7

!>

:-

m9

,, r

3;:E

iE

!; i.=

a:i

i*l--

;t"

:pB

.i 3E

=

i

{.:

7u'-E

i =

-;g'

hE

. [

3 ^:

i:it;

s:-:

..=

'i=

=

: =

bJ:

. +

1,

. _

i rD

6

a.:_

. =

:_

r;

I

='h

-'-

f

oo <

ro

-.

x

6'>

l i

i 6

^-*

E

^ S

.-)

V;i

r "-

=

j- F

s

DS

i:l

f 4i

d?

' =

+

>

=i.

,, i

! E

!L f

+

a i

*:'

E :

e

UL{



32 Glava 2. Funkcije

2.8. Definicija. Ft.nkcija f : A --4 B

raste (resp. ne opada) na A ako za svaki par xi ,x2 E A vari:

xi <x2 f(x1) <f(-x2) (resp. xi <x2 f(x1) <.f(x2)); opada (resp. ne raste) naA ako za svaki par xi,x2 E A vati:

,x'I <x2 f(xl) > f(x2) ('esp. xi <x2 f(xl) %f(x2)).

2.9. Definicija. Funkcija f : A -> B una

lokalni maksimum (resp. strogi lokalni maksimum) u tacki xo E A ako postoji E>0takvodavati x E (xo-E,.xo+E)nA f(x) < f(xo)

(resp. x (xo-E,xo+E)nA)A(-l. f(x) <

f(xo));

lokalni minimum (resp. strogi lokalni minimum) u tacki xo e A ako postoji E > O

takvo da vati x E (xo - E,xo + E) nA f (x) > f (xo)

(resp. xE (xo-E,xo+E)nA)n(x xo) f(x)> f(xo)).

Za izraze maksimum i minimum koristi se i zajednicki tern-fin ekstremna vrednost, ili, kraée, ekstrem

2.1.1 Zadaci

2.10. Akoje f : A B fiuzkcija, pokazati da za proizvoljne skupove X ,Y C A vate sledeée relacije: a) X C Y f(X)Cf(Y); b) ,f(X UY) =.f(X)Uf(Y); c) f(X nY) c f(X) n.f(Y); d) f(X \Y) c f(X) \ f(Y); Y c X.

Da li je u a) suprotna implikacija, a u c) suprotna inkluzija tacna?

Regen ja. a) Ako je y E f (X), tada postoji element x E X takav da je f (x) = y. Posto X C Y, to

je x E Y, pa je f(x) E f (Y), tj. y E f (Y). Suprotna implikacija ne mora da vazi. Na primer, neka je funkcija f : Z Z data sa

f(x)=x2,inekajeX={1,-l}iY={1,2}.Tadajef(X)={1}C{1,4}=f(Y), ali nije X C Y.

c) Ako je y E f (X n Y), tada postoji element x E X n Y takav da je f (x) = y. Iz x E

XnYsledixEXixEY,pajeyE f(X) iyE f(Y).ToznacidajeyE f(X)nf(Y). Sledeci zadatak pokazuje da u c) ne vati uvek jednakost. Neka je A = B = II8, i neka je funkcija data sa f (x) = x?, x E R. Za X = {-1, 2} i Y = {1,2} je f(X) = f(Y) _ {1,4}. Medutim, f(X nY) = f({2}) = {4}, dok je f (X) n f (Y ) = {1 , 4} , sto pokazuje da su skupovi f (X n Y) i f (X) n f (Y) razliciti.


2:11. Ispitati da li su funkcije f : A ->

a) f (x) = x2, A = P;

b) f(x) = x2, A = [0,+00), c) f (x) = x2, A = ][8,

d) f (x) = x/(3x), A =118 \ {0}, e) f (x) = sin2 x + cos2 x, A = R, f) f (x) =1gxa, A = (0, +°O), g) f (x) =1gxa, A =18 \ {0},

g : B jednake, ako je:

g(x) = x, B = II8;

g(x) = x, B = [0,+00); g(x) = Ix, B = )(8;

g(x) = 1/3, B = R; g(x) = 1, B =118;

g(x) = 21g(x2), B = (0,+°°); g(x) = 21g(x2), B.= (0,+00).

Sa lg oznacavanzo logaritam sa osnovonz 10, tj. lgx := log10x, x > O.

Resenja. U zadacima b), c), e) i t), funkcije f i g su jednake.

a) Funkcije f i g nisu jednake, jer jé f (-1) = 1, dok je g(--1) = -1. d) i g) Funkcije f i g nisu jednake, jer su im domeni razliciti.

J f J f f( )= 342 Xl f( ), f( 5), f( ), (f( ))5. 2.12. Neka e uzkci'a data sa x . Odrediti Sx x 5 x x

Resenje. 3(5x)2+l - 75x2+1 x5

3(x5)2+1 3x10+1 f( Sx ) =

4-5x 4-(5x)' f( ) - 4-x5 4-x5

=53x2+1 15x2+5

Sf(x) 4-x 4-x ' (f(x))5 = (3x2+1)5

- (3x2+1)5 4-x (4-x)5

{

5x, -2<x<0; 2.13. Neka je funkcija f data sa f (x) = 3, 0 <x < 1; Odrediti f (-2), f (-1),

5x+3, 1<x<3. f(0), f(1), f(3), f(5)

Resenje. Tacke -2 i 5 ne pripadaju definicionom skupu, pa se ne mote odrediti f (-2) i f(5). Dalje je f(-1)= 5-1 = 1/5, f(0) =3, f(1)=5.1+3=8, f(3)=5.3+3=18.

2.14. Odrediti najveéi skup A C ][8 takav da sledeéi analiticki izrazi (formule) iznaju smisla (skup A je tada prirodni domen funkcije date tom formulom):

a) f(x) = x+2 V'x2-3x+2'

c) f(x) = 1

2 + 2sinx;

/cosx e) f arcsin + arccos

g) f (x) VI I

-x+1n(x+4); i) f(r) = Varesin(log2x);

) = 5

k) f( arccos x 4 + 2 sinx'

b) f (x) = x Oin V.i;

d) f(x) = Vlnsinx;

f) f(x) =1n (arccos (±-)); h) f (x) = sin

On x/-x2) ;

j) f(x) = log2 log3 log4 x; x2

1) f (x) = Vcos(sinx) + aresin Zx

Z\xllia

. r

-3 S

A

J jr

s

-i :-

?iT f

E:

E

\ +

+ J

' i

=.1+

-,i i

'sc :ss

li 7

t' 'L

dj !

P-

N=

:=

J; =

=;*J:;rl.tlio-

H+

EE

l;riH:

.+.da .{J, ;

E E

H

:t .:- , o,

,,-{ d.-

s: i

ta e

Etr?*lf.r"$E

9; =;l*Y

;Y)'l

+l S

E"i q;

H.*T

r*fr; s aE

E

E

rr Z- Jyut

-7= ,c.i lI

;t

- --i\

--+Y

\r--NN

o

oo ,€ {

-- 3

'l-'- :<

{'i

3 5

e

;33i3:33 S

E:;

rlx ,-^r1

6 ri "5 a a c

ooooMooooqoo. S

O

3

+ll

- -^-'.i

:qA

t 5

r

H

E E

<+

)l*;,F

E

Y

>E

t i I'gg

,, d??,'* Y

El

*-5 S

.. ;-;- ^^.G;r, E

: -,r '{s

i E

f fE

li 2

; : A

:!==

it-; ; ;

r s

r- =

'i .,16 r,i .ezs4t;=

Q * iF

Z

: i;lr*

s O if

sS'lil-r

I

s {{i1ill ! €;: i 6"il+ i I i3 i}rlF

i,q\^f\

.1 '-

E

- -l

v) .S

.i

N

\ B

.i xll^,

ll 6 c

€ , ,,!iiri,, i !;E

€ A

i S

= *=

* :S',',','=

__^_^^^

Eaaoa,I"{ +

E1 i

t !

= f=

6= e a a

_ ,t

î ,p,

q ,p,

-jE

&

6E

=

.i .r

CA

co

,'l tt

l.'ldl

o."

H

=T

bO t^

o tk

q0 l.o_!16ru ioao La.:?lltl

.\$Itk

tr I.

td-

ldrinlorf

lo Lr

r* i? L+

1l l; 2

-il k l9

5l!-ld

oI >

\ !

2(!llttll_--)

4 J

ooC,jl

Al

o.l

sl

ol"lNI

E

I g

t i

ss :t t;iE

i 'S

E

t

: si ;i r:E

E

3 E

'x

sj 1+

" il=

r*!-in;

S

i J

.j^ ilIieU**=

3 I f

i T

i

is i E

; i,. -"$E

'$I'Ei

:ea 3 Z

s 6 \..s

;- ="

>,i rr'^

x;yt E

lv:€iE

! Ei=

r {E:if:ii

i;:; E

;* Ei* $

E llF

E E

E :=

gf;e:':

- E

ir

tr: l q

s i>

i :

iq I;E

EE

A;3:i

€rd:EiI

E

5 <<

; ia=

l E

S'li=

s:.-i,c.v

:=I3

-Ua a;z

.: :=

: E

{Ix 'r\.9:T

"'i

t' ''5c{

a 13:

<

=

: -.g

!ct 5.-

,=,,'

;=-j'=

.=

T=

:* ..

T -': -: '-u -: E

J

g S

iIi z;:

":,, iri<

<:

,-l;i ;:i

=

E _.i

?Ji- :i!7rl

i:::; IgI:

*,1-; s5:]

3=ir:;=

Eli

'\c.g;(ya->^-9!

,iE<

E-- 'i=

'r i :5 i

=E

i

E:t

E"Y

,ii t:i*;lt Jr S

i t.E

: '= =

1 '= i,1, .-.o- =

;5 ;i;s

i"3^:i:r; E

i, I '-:' e It

a .E

,n 5 i'i €

i r; ;-;

igE=

><

::q*-^qivii

*:ry :=

5x Ei si"i!i

;:E;;:E

;i1>:9 5 <

: -

.9'=* ^.

= -

_.

E E

+ =

!is iis ie i Sr;'i f*i;=

5*irripod..oi..'i

'i q

&e

6

(.)

t\NsUco



34 Glava 2. Funkcije 2.1. Osnovni pojmovi 35

gesenja.

a) U datoj formuli imenilac je jednak nuli za x=1 i x = 2, a funkcija g(x)_= x2 - 3x + 2 je nenegativna za x E (-00,1] U [2, +.0). Prema tome, domen date funkcije

je A - (-00 1 ) U (2 +00)

b) Prirodni domen funkcije g(t) _ Vi je skup It e t > 0}, sto znaci da je A C

[0,+00). Dalje je sins > 0 < > s E u [2k7t, (2k+ 1)7t] . Iz toga siedi da je A = kEZ

[4k2n2, (2k+ 1)27t2] .

kEZ

c) Funkcija -NY2sinx je definisana za svako x E R. Funkcija g(x) = cosx2, x E R, je nenegativna ako i samo ako je 0 <x'- < 7c/2 i (4k-1)7t/2 <x' < (4k + 1)7t/2, k E N.

Za svako x E R vazi x2 = IxI, i kako se funkcija cosx'- nalazi u imeniocu, to je A =

{.x E 1[8 Ixl < Or/21 U U {x

E Il8 v/(4k - 1)7t/2 < IxI < V(4k+ 1)7t/2 } .

kEN

d) Kako je lnsinx > 0 samo za one vrednosti x-a za koje je sinx = 1, to je trazeni

definicioni skup A = { (4k + 1)7t/2 k EZ}

e) Funkcija 1/1 -x je definisana za x < 1, dok je funkcija f definisana za x > O.

Dalje, formula g(t) = arcsint definisana je za -1 < t < 1, tako da za x E [0, 1] vai da je 0 < -x < 1 i 0 < < 1, pa je domen date funkcije A = [0,1].

f) Funkcija arccos s±? definisana je za -1 < V--2x

< 1, odnosno za x E (-co, 3/2). (Za 0 < arccost < 7c je -1 < t < 1.)

g) Funkcija vIzl x

je definisana za x < 0, (jer za x > 0 vai Ixl -x = 0), dok je

funkcija ln(x+4) definisana za x > -4, pa je funkcija f definisana za -4 < x < O.

h) Funkcija nije definisana ni za jednu vrednost x E R.

i) Domen funkcije arcsin je interval [-1,1], pa zbog uslova aresin(log2x) > 0, mora biti 0 < log2 x < 1, odnosno traieni definicioni skup je interval [1, 2].

j) Data funkcija je definisana za log31og4x > 0, ili log4x > 1, iz cega siedi da je definicioni skup interval (4,.).

k) Funkcija je definisana za sve vrednosti x za koje je -1 < 4+2sinx < 1. Kako

je 4 + 2 sinx > 0 za svako x, to je i 4+25sinx

> -1. Znaci, ostaje da se odrede

vrednosti x za koje vazi 4+25sinx < 1, ili 5 < 4+2sinx, sto daje sinx > 1/2.

Poslednja nejednakost vai ako i samo ako je it/6 + 2k7t < x < 57t/6 + 2k7t, k E Z.

1) U ovom slucaju, treba da budu zadovoljene dve nejednakosti: cos(sinx) > 0 i

I(1+x2)/(2x) I

< 1. Prva nejednakost je zadovoljena za svako x, a druga samo za x = 1, pa siedi da je traieni domen dvoclani skup {- 1, 1 }.

2.15. Resiti jednacinu arctg -Vx(x+ 1) + arcsin v/x2 +x+ 1 = 7t/2.

Resenje. Neka je f(x) = arctg Vx(x+ 1) + arcsin Vx2 +x+ 1. Funkcija f je definisana za x2 +x > 0 i 0 < x2 +x+ 1 < 1. Odavde siedi da mora biti x2 +x = 0, pa domen funkcije f ima samo dve tacke: xi = 0 i x2 = -1. Proverom se dobija da su to i

resenja date jednacine.

2.16. Odrediti domen funkcije g, ako je funkcija f definisana na [0, 1] i vati a) g(x) =.f(3x2); b) g(x) =.f(x-5); c) g(x) =.f(tgx)

Resenja.

a) Ako oznacimo t = 3x2, tada je funkcija g(x) = f (3x2) = f(t) definisana za t E [0, 1], odnosno za 0 < 3x2 < 1

, odakle je -1/\/ <x < 1/0. b) Analogno kao u a), dobijamo da je 0 < x -5 < 1, odakle je domen interval [5, 6].

c) Iz 0 < tgx < 1 imamo kit < x < 7E14+ kn, k E Z.

2.17. Naéi skup vrednosti funkcije y = y(x), ako je: a) y = 2 - cos 3x'

1

b) y -

1+x2

Resenja. a) Iz cos 3x = 2v-

i -1 < cos 3x < 1, imamo -1 < 2y t < 1. Odatle, zbog y > 0,

imamo -y < 2y - 1 < y, odnosno skup vrednosti je interval [1/3, 1].

b) Resavajuéi po x dobijamo x = 1+ V21-4y2 odakie siedi da mora biti 1 -4 2 > 0 Zy y _ ,

gto znaci da je skup vrednosti interval [-1/2,1/2].

2.18. Za funkciju f datu sa

a) f(x) = x5 +4x3 -6x+2, odrediti f (a) + f (-a), a E R; b) f(x)=x4-2x2+1, odrediti f(1+a)+f(1-a), aE c) f(x)=-Vx2-4, odrediti f(a+1/a), a E

Rezultati. a) f(a)+f(-a)=4. b) f(1+a)+f(1-a)=8a3. c)(a+1/a)= (a - 1/a)2. U slucaju c) imamo: Ako je a > 1 tada je a- 1 /a > 0, odakle je f (a +11a) = a -1 /a. Za0<a<ljef(a+1/a)=1/a-a.Za-1<a<Ojef(a+1/a)=a-1/a.Zaa<-1 je f (a+1/a) = 1/a-a.

2.19. Neka je funkcija f : R \ {-1 } -; R data sa f(x) = x . Odrediti funkcije f,,,

n E N, i njihove domene, ako je fi = f, f2 = f o fi i f = f o A-1 za n = 2, 3, ....

Resenje. Domen funkcije f je skup R \ {-1}. Tada je

f2(x)=.f0 (x)=f(f(x))=f(l+x 1+}z 1+2x x 1+x

1 +x

H'

H Is

E

!: er

[ S

9 13

9

g I

g gE

q:C

t9

i--'

11 *

p s.

F =

r ?

1rG

E B

pp

Bn

> N

X ]i

c E

s-.i'

?-

E'

IrE

f +

ii?3-

=a

* *

-*:e

-r,1

- i''

3-?E

=*"

;;E a

.-E

;:::B

E;€

,q' =

li€' -'_

€ it'

:'at'3

: ;

i5i€

, ti?

^;i

++

EE

IiEs*

flEE

:=

,rA

elffi

E!;[

1H ig

atE

ii;r

e:;

r E

g;a

n $.

TiT

,i"*i

-* ii

Hi !

;ii3

Eyj

3 *

;' *

: is

=E

= g

3 l1

ia il

"5 :?

i* -

:e'l;

=*=

'i a.

ri-i t 5[

g.g

* S

= 1;

i+i ;

: e.r

1i -

s :a

3E:

-'il

*<i i

lt E

,^; ts

f, i.

: s ;

! lT

I*i +

: ?$

[l *l

Ii?r

?8--

B s

-a:;

s:--

iE;"

1 S

3=a3

i ri[

S=

$if 3

=il-

I ii;i

E

-- n

:rr

z:rs

r I

i3;t-

=1"

'r:

YA

I4

z1€=

*r*r

""; :+

gi =

s i|.

ei; I

igI=

+; i

1IIg

*i;;'

flE

f -

5! ii

ite ;*

t els

E i;

il&

erH

F'^

ili

f F e

iri +

ii*:*

i ;i i

3n=

€ial

:;*

sr

:;'

;-k

i::l;

Ea

qltD

o i

9.E

.[l-

Fa*

si1^

€;g

iu iI

xf ;:

; ;ti

+E

X[

[*;ta

:-

tr';

lg

l:;fi

; Ii

A-f

i' el

;i

=,.,

arv-

!iu-L

"Iil(

e:s:

te

B =

iF

S

?,i

g.-a

i :3

+J"

N

N

O_

x-

rJ

(_

a \

u.

>-.

(=

: ,

N

-.

o o

o di

-

o Y

i.

- =

. A

1'

. d

ii o

I

t\) o 5 UJ

orlu

'ieru

t\)=

?;

iJ

.:9

g7,

'5

7, i;

==

8. n

=f

e*g.

eR

e,e

rg +

H e

F'

l: ?

E 3

a E

' * i

' 3

-- ".

b' !:

?* s

=[:

qE!

ei-t

*'r;

i:J

,i !

x o

x B

. t,

s ['-

,')

* S

.; "

\ ln

x-

*

='

<

Y

o -.

'^

!D

i

:s-t

i $

:l,X

E

0S &

3:;

5'=

-l 3

Eer

y, I

"-'F

8,$

i?;

' \

=

1 n

f -

=

3 -,

., .j

n -

=' "

+'l-

j e*

' -;;=

g

Y'1

I

i-+

-P

oq

t,i3

\o

x x.

ln

:-

;

* _

f tr

o j1

I

+F

e

4 F

Ei,

-i-.e

X

.;._

ql

A*

i s*

EE

i$ r

riil

-:_

>

t..D

3.

\(

-*/:

3 i:;

i ;S

;9

li r

!=

3 ili

l ..$

:3

1 i

A-=

\ X

-,7'

9 -i

r'Lg

i1r

N

A >

. t

".*

rr &

l 1.

16

g -*

n >

-P

ro

lj +

l;: ':

i, a:

! ?s

;lrl

il;=

l,: :l

+

"'1.

i: ?3

11 ['

--

Ll

3 ?

T)-

=

-1

t-<

O

=

5 :*

A

,,"4

Cr:

O-O

=^-

i-:"

D)

=

;' <

o-

i !J

-F

7 =

=

" ,i,

rt

^--

N-

J q

* E

"-16

'€

rr

=.

- ii6

q

\<

-i i

-' 2

*='

v 11

. ;

F

;58

o 'L

--

.:

:.9 =

N)

b.J

F-a

-;-

g,to

sFg

E. ;

= ;N

iF,

eg,e

N g

F!D

_*-\

o==

:snk

,

P ix

i:#

: er

ii;+

E

,E

=

:,:-

{/\I'

- "-

:;S'

o-6:

5 s-

d

s--ij

a '

i'\

D

;- 1

!

5. ;

t=?

S_*

o\-^

- ;E

= -

{

J.

>E

i i,

- i\

?><

55s-

d5, -

$i.

>:A

i "t

tI €

g!

d ..

L -

- {

f r

N

1 =

.i

^>*-

o-

^ A

ts{

\ t

E

=.-

^ \-

\

o-r

aI

*-

rr !'

$R

"l d?

\€

i5;

;v<

.-

3p

='ll

E'*

h

nF;

1:+

5,

.,11

, -

-'li

ir -

- *

I ?.

f gf

>

I-

lt

\+--

F::>

--34

_rL

.---

-..

r ]

:'-:

Q-r

b^

\ .:.

i

>

.ov7

*T

l i-

\__/

o -'a

i6

'-oL

ig

-rD

tl -.

r

\ ^

a --

2

-l :-

-,'

S+

'- :

Q

8-l-t

*-

xan/

T\

-i lil

" Ifl

" -?

i ';F

3

;'l

;: jh

? ::-

3

:. P

>

: I

i' =

r

I ;-

!i

+l-

- i-

| +

3

dyl

- t

=:

<<

r F

::

F

!3<

-t[

nrs-

l I

r..i.

X

i rl

€--

\, n_

;l ;

:!\!l

_ c

Xl

o

.#,r

'r'



36 Giava 2. Funkcije

Domen za funkciju g(x) = 1 +2x je skup IR \ {-1/2}. Domen funkcije f2 je skup

R \ {-1,-1/2}. Koristeéi matematicku indukciju, pokazaéemo da za n = 2, 3, . . . vai

f" (x) l+nx' xEIIB\{-1,-1/2,...,-1/n}. Formula je taèna za rs = 1 i n = 2. Pretpostavimo da je formula taèna za n = k,

k > 1. Tada je

.fk+l (x) _ (f ° fk) (x) = f (.fk (x) ) = f ( x

/ + 1+kx

1+ kx l

za-xEI[8\{-1,-1/2,...,-1/k,-1/(k+1)}.

2.20. Data je funk/fa f (x) = 1g i+tt, < 1. Pokazati da je f (x) + f (y) = f ( i+xy)

2.21. Odrediti funkciju f datu sledeéom formulom.:

a) f(x+2)x+7' x -7; b) f(1/x)=x3+1, x 0;

c) f (x+1/x) = x2 +1/x2, 0; d) f(x2)=1-14 x>0.

Resenja.

a) Uvodenjem smene t = x+ 2, x E ]R \ {-7}, odnosno x = t - 2, t E IR \ {-5} dobijamo f(t) = 1/(t+5) za t -5.

b) f(x) _ (1 + x3) 1x3, O.

e) Kako je x2 + 1/x2 = (x+ 1/x)2 - 2, to se pomoéu smene t = x+ 1/x, x 0, dobija f(t) = t2 - 2, t O. (Poslednja formula je definisana i za t = 0, medutim mi smo

nulu izostavili zbog définicije funkcije f.) d) f(x)=1-x5/2, x>0.

x 1 +(k +1)x'

2.22. Da li se, za fiinkciju f (x) = 2x'" + ax" + bx "' + x ", x E 1R \ {0}, ns, n E N, mogu odrediti konstante a i b tako da za svako x vazi f(x) = f (1/x)?

Resenje. Jednakost f(x) = f (1 /x) povlaci 2x"' + ax" + bx-"' + x-11 = 2x "' + ax-" + bxm +x", odakle se dobija a = 1, b = 2.

2.23. Pokazati da je:

a) zbir parnih (resp. neparnih) funkcija parna (resp. neparna) funkcija; b) proizvod parnih ili neparnih funkcija parna funkcija; c) proizvod jedne parne i jedne neparne funkcije neparna funkcija.


2.24. Ispitati parnost, odnosno neparnost sledeéih fimkcija na njihovim prirodnim domenima:

x = 2+sinx

a) f( x )=xz+2' b ) f( x ) ln 2-sinx' e) .f (x) -

(x+1)2+/(x-1)2' d) f (x) = cos(x + 1); e) f (x) = sin Ixj + cosx; f) f(x)=1arctgx1 +aresinx+arccosx.

Resenja.

eeY-e-x

s

a) Funkcija f je neparna, jer je za sve x E IL8 : f(-x) _ (-x) = -f (x). (- - x)22 b) Funkcija f je neparna, jer za svako x E R vazi:

2 - sinx f (-x) =1n = 2+sinx ln(2 - sinx) - ln(2+ sinx) =- -f (x) ,

c) Funkcija f je neparna, jer za svako x E IR vazi: e-x-e"

f(-x)= e -e ((-x)+1)2+ ((-x)-1)2 'V(x- 1)2+ Ox+ 1)2

d) Ni parna ni neparna, jer je, na primer, f (1) f (-1). e) Funkcija f je parna, jer za svako x E ]R vazi:

f (-x) = sin j -xj +cos(-x) = sinx+cosx = f (x).

f) Funkcija g(x) = j arctgxj , x E R, je puma, a zbog identiteta

arccosx+aresinx = rt/2, x E IR,

(videti zadatak 2.43 b)), je i f parna funkcija.

-.f (x)

2.25. Pokazati da se svaka funkcija definisana na intervalu (-a, a) moze predstaviti kao zbir jedne parne i jedne neparne funkcije.

Resenje. Funkcija f se moze pisati u obliku zbira f (x) = f(x) 2f

(-x) f(-x)2

(x)

f1(x) + f2(x), x E A. Sada se jednostavno pokazuje da je fi parna, a f2 neparna funkcija na A.

2.26. Ako je funkcija f : A -> B periodicna sa periodom T, tada je ona periodicna sa periodom kT, k E Z, k O. Pokazati.

Resenje. Metodom matematicke indukcije pokazaéemo da za svako x E A vazi f (x + kT) = f(x), (k E N). Zaista, pod pretpostavkom da je funkcija f periodicna sa periodom kT, k E N, iz jednakosti

f(x+(k+1)T) = f((x+k)T+T) = f(x+kT) = f(x) siedi da je funkcija f periodicna sa periodom (k + 1)T. Na osnovu f (x)

= f (x - T + T) = f (x - T), siedi da je funkcija , f periodièna sa periodom -T.

t--ca

! 3

S ri' E

3 1; 1

Iil+r s Q

i i lr-i E

5E e3,

'! ll,-

a <

i'll?+

,' , ,l

ll? 3 'l E

i *A

iAS

S R

g -r:E

,->

d ?t{ ; -;lB

E

H :

!lÎ t

;= f E

?

i sq 'l: i i[{=

ET

s *l fl i is i=f

i a: i;!i xlH

r rtr.S

*g ! nE

l::t iti;i ;J i ji'],ililg!,*ii

i ea iE

FS

;1,':

u.,; .l

; ,,^ -:JI

E A

= P

'i E

e :

erii T

ici ^l^f ;'. e

y rEe""9A

rE =

5 EE

tsgi_ilg5 ! =

i iE,

€llsi;lji1*EE

:p ss:p;\oj

i i: :irii: i:;iil:*;iii{

ii*sgsEg

€ 5 =

i; i"ii;iiE

Er aF

EE

I +;E

*+.:ii

d .-

+

E:

rN; a:i

1"ll'rE"Iil .\iiE

Y_E

JEgq{E

:F

",ltE

a s c, tr=

9fl+ t

l:5r=E

;i;#Ii Esi5i=

sEruE

E:

+'3

.\ /

.o 6 6

aGi

c. {

&,

E

&,

i -v

? ,1.:

}, !

4 i

- ;-

E

€a 3

io

s lA

'+

li E

:e

: E

E

s lr

.rtr. €

i; ?

+,E

i

"lJ Y

G

- tE

:

i ,S

E 'F

: l:

i i

:E

i= f

: ,s

i ,

7 ,,

( ? ?

f T

- ae =

:

-Y

g ; E

t_E

: lt'

: *l

Z? i

i +

6 î

d il-l-

A

-:: cr

,, =

' Y

.!q rsl

'ili *

;a -

is !;

q. sr j --;

€ ,, _

, ii

tt{ gE

ir : ,E

.lf * s 3+

E ge

,:-/

Es

s

7 sfs -<?ss:i i

lt. lri ii+

Z l:s

I =

: i z =

I 6:I

i*,s. '>

'ii,, E

>:

a i

v * ^

, 1,be

ye;r *tF

.. f a'

< s z n

i 2,

', tE

*: i: **<

i-ll

:1 u :

,l- A r:r

I , t

:t\ T

-"iE9

,t <,i

$iiE

E

*I

1 ,El*

T i

g l-pt j::i"A

x iS

A;

rS3

iq,sr'Egr I

r s* tiS

E

?{i:=r

BE

€E :E

+*

E *-!

-'l

E *.?

iI



38 Glava 2. Funkcije 2.1. Osnovni pojmovi 39

2.27. Ako je funkcija y = f (x) periodicna sa periodom T, pokazati da je tada funkcija g (x) = f (ax+ b), a 0, periodicna sa periodom T /a.

Resenje. Ako je f periodicna sa periodom T, onda je broj T/a period funkcije g, jer je g(x+T/a) = f(a(x+T/a)+b) = f((ax+b)+T) =g(x). Ako je T1 period funkcije g, tada je g(x+Ti) = f(a(x+ Ti) +b) = f (ax +b) = g(x). Za proizvoljnu tacku x domena funkcije f, neka je xi = (x-a)/b. Tada iz f(axi +b)=f(aY+b)=f(x), i f(a(x1+ Ti) +b)=.f(axi+b+aTi)=f(.x+aT1), siedi da je aT1 takode period funkcije f, pa je T < aT1i odnosno T1 > T/a.

2.28. Ispitati periodicnost sledeéih funkcija na njihovim prirodnim don7enirna:

a) f (x) = 2 sin 5x + cos 3x;

d) f (x) = sin Ox+ sin 3x;

g) f (x) _ l cosxl + sinx1;

b) f(x) = cos2x- \yctgx;

e) f (x) = sin f + sinx2;

h) g(x) = i ( es oixx + 41x0

c) f(x) = sin 4 + sin 5 ; f) f (x) = cos ]x] + 3 sin Ix];

Regenja.

a) Funkcija sin5x, x E R, je periodicna sa periodom 27t/5, dok je funkcija cos3x, x E R, periodicna sa periodom 27t/3. Kako postoje celi brojevi ni i n takvi da je S nm

23 n (in = 5, n = 3), to je funkcija f periodicna sa osnovnom periodom 27E.

b) Funkcija cos'-x, x E R, je periodicna sa periodom 7t. Funkcija ./ctgx, x E R, je periodicna sa periodom 7t. Dakle, funkcija f je periodicna sa periodom 7t.

c) Funkcija sin(7rx/4), x E l'.', je periodicna sa periodom 8, a funkcija sin(7tx/5) je periodicna sa periodom 10. Dakle, data funkcija je periodièna sa periodom 40.

d) Funkcija nije periodièna, jer je 27t/ osnovni period funkcije sin-4x, dok je 27t/3 osnovni period za funkciju sin 3x, pa ne postoje brojevi m i n takvi da je (27t/)n7 = (27r/3)n.

e) Funkcije f1(x) = sin V7x, x E [O, +co) i f2 (x) = sinx2, x E I[8, nisu periodicne. Naime, k-ta nula funkcije fi je k27r2, k E No, pa rastojanja izmedu susednih nula tele ka -I-00. Rastojanja izmedu susednih nula funkcije f2 se smanjuju i tee nuli.

f) Funkcija ft (x) = sin ki, x E l':, nije periodièna dok je funkcija f2(x) = cos jxj, x E R, periodicna sa osnovnom periodom 27r.

g) i h) Funkcije f i g se mogu napisati kao

f(x) = sinx+cosx, x E [0,7t/2], tgx, x E [0,m/2), sinx-cosx, x E(7C/2,7í],

g(x) - 0, x E (7t/2,7t], -sinxcosx, x E (7c,31-c/2], -tgx, x E [7c, 37c/2), -sinx+cosx, x E (37r/2,27í]; 0, x E (37t/2,27t].

Funkcija f je periodièna sa periodom 7r/2,funkcija g je periodièna sa periodom 27r.

2.29. Ispitati periodicnost Dirihleove funkcije, date sa D(x) = I 1, x E Q, l 0, x E I \ Q.

Regenje. Ako je r E Q, tada za svako x E R vazi D(x+ r) = D(x). Naime, zbir dva racionalna broja je racionalan broj, a zbir racionalnog i iracionalnog je iracionalan

broj. Znaci, svaki racionalan broj jeste period date funkcije, sto takode znaci da ova funkcija nema najmanji (tj. osnovni) period! Ako je i iracionalan broj, tada za svako x E Q vai 0 = D(i +x) D(x) = 1.

Dakle, nijedan iracionalan broj nije period Dirihleove.funkcije.

2.30. Za funkciju f, datu sa:

b) f(x) = x2 - 2x, x E (-co, 1); 2`

d) f(x)= , xEIIB; 1 +2c

odrediti njenu inverznu funkciju g.

a) f(x)= 1

1

x, x (-0.0,1)U(1,+°°);

c) f(x) _ ./x'-+ 1, x E (0,+°°); lox- 10 x

e) f(x)= 10Y+10-.Y+1, x ][8,

Regenja.

a) Skup vrednosti date funkcije je skup ( 0) U (0,+co), gto postaje definicioni skup za inverznu funkciju, pa iz x =

1

l (razmenom mesta x i y) siedi da je inverzna

Y

funkcija g za funkciju f data sa g(x) = f-1(x) = x

x 1, x E (-00,0) U (0,+co).

b) g(x) = f-i(x)=1- Vl+x, zaxE

c) g(x)=f-1(x)= Jx3-1, zaxE(1,+.°). 2y x

d) Za x = 1 +2y' dobijamo inverznu funkciju g(x) = f-1(x) =1og2 1-xx

za x E (0,1).

_ e) f 1(x) 2

1

lg 2

x x

za x E(0,2).

2.31. Pokazati da su funkcije f (x) = x2 -x +1, x > 1/2, i g(x) = 1/2+ Vx - 3/4

uzajamno inverzne i resiti jednacinu x2 -x +1 = 1/2+ Vx - 3/4.

Regenje. Kako je f(x) = x2 -x + 1 7 (x-1/2)2 + 3/4, to na intervalu [1/2, co] funkcija f monotono raste. Sada iz jednakosti f(1/2) = 3/4 i lim f(x) = +, siedi da

je f bijekcija intervala [1/2,..] na [3/4,0-]. Dakle, f ima inverznu funkciju ciji je domen [3/4,..]. Ako stavimo f (x) = y, tada iz y =x2 -x+ 1, posle resavanja po x,

dobijamo x = 1/2 + - 3/4 =: g(y). Znaci funkcije f i g su uzajamno inverzne,

pa kako se grafici funkcije i njene inverzne funkcije mogu seci samo pravoj y = x, to se regenje date jednacine dobija iz x2 -x+ 1 = x. Odatle je trazeno regenje x = 1.

2.32. Data je finkcija f (x) = loga (x + x2 + 1), a > 0, a 1. Pokazati da je f neparna i odrediti njenu inverznu funkciju.

ul m

- r,

e

a !r, = >r o o

q9 5

e

e e

g er

y u

F

I?\

-'rgn

f+h-

tl .1

1 5J

HF

g'h<

A,i

E ;

:aE

isE

iiFE

EE

+*:

;E,=

';;;E

3iE

g[i ?

i;"

-^-J

E';.

933:

5I$'

;'!:E

' -1

5.;t'

, i;

i' *s

:s,r

f :B

\ p

6:r=

==

za,*

sEili

5;'it

g;S

3s

! i I

,i -u

"=s;

: i.

Eiir

iEE

iE:E

rs;E

!€E

r.i?

r i S

i + ;i

=nr

: +

So

ll!?

A3

+as

eBoo

=E

iqjP

Ii$p-

$;"1

il;

i, I;I

[-

+:ft

ig;J

o(9r

f }<

l -

tsE

8.,.'

3= fr

r).s

8. lL

:#lE

# ii?

s if

+gi

g iP

al-- -{ -

> 1

4 o

'*

n ;

'i::

=.'

a fr

:

.D' "

- o

o "

j1

;i i-

!.ii

3:

i] i

t \

!rnn

^nB

ia

E.ij

l iE

v:'u

-,

=*-

o =

e r

3

[iE:E

i *

!i

er-;

-- ;

i:

=-_

e

a-.

rh +

8 ;

5 g

*Ssp

.<E

5E' i"i

€-

3,lE

t"lE

; $a

iii=

- e.

3+sE

Si

3iS

+!B

(ia,z

:-

qH;5

?ili3

4:

..3-

i:+;[g

!'!

'i+

- =

Fi;?

:' =

>[4

18e'

.";

,J,_

1;:

qi*,

+:g

ii

;- B

s iF

Esi

;.i3'

ii5$;

frii.

s iii

ii-It

e_L

Fs€

* :3

gis$

iii ;i

+;i

i+E

;te $

+*;

; B

4Et

E!E

+i=

ff i

ei;:

er s

jsli+

+ ;i

a;;il

e E

r5 g

irifl#

agE

-= : $

rii:

=S

-tra

*S; r:

iE is

;iE:;i

,r-

--+

=i=

; E i

E$t

*-i r

i+A

=iE

t*E

;:=

l;i

in",

= a

\E

+-

+=

[1 il

ii-;+

i: I'j

*i 1

?'i;g

,s

t\) :- - o IJ UJ \o

? o Oq N t' h .) E: o. O

a >< ll k \ rh I

_8 C + 8



40 G1ava 2. Funkcije 2.1. Osnovni pojmovi 41

Resenje. Funkcija f je definisana za sve vrednosti x E R, jer je x2 + 1 > Iz

f(x)+f(-x) = loga(x+Vx2+1)+loga(-x+x2+1) = 10ga(x+x+1)(-x+1/x2+1)=loga(1+x2-x2)=0,

siedi da je f(x) _ -f(-x), dx E IR, tj. funkcija je neparna. Ona raste na [0,00), pa zbog nepa>nosti raste i na celom skupu R. Ako stavimo y = loge (x + 62+ 1), tada

je -y=loga(-x+.x2+1), gtodaje x+A/1+x2 is -Y=-x+ +x2, odakle " -y vina -ylna

jex=(av-a-')/2. Kakojeav_élnar=yrJna tojex=a -a -e -e

2 2

sh(yIna), sto daje inverznu funkciju f (x) = sh(xln a). Znaci za funkciju f(x) =

ln(x+ 1 + x2) inverzna funkcija je f-1(x) = shx. Odatle je arcshx =1n(x+,/1 +x2).

2.33. Nacrtati gráfik

a) eksponencijaine funkcije f (x) = aX, a > 0, a 1;

b) logaritamske funkcije f (x) = loge x, x > 0.

Regenje. Eksponencijalna funkcija f (x) = aX, x E R, raste za a > 1 (slika 2.1 za a = 2) i opada za 0 < a < 1 (slika 2.1 za a = -2 isprekidano). Funkcija je pozitivna za sve x E R, pa nema nula. Eksponencijalna funkcija bijektivno preslikava IR. na (0, +.0).

Slika 2.1. f (x) = ax Slika 2.2. f (x) = toga x

b) Logaritamska funkcija f (x) = logax, x > 0, je inverzna za eksponencijalnu funkciju y = aX. Funkcija raste za a > 1 (slika 2.2 za a = 2) i opada za 0 < a < 1 (slika 2.2 za a = 1/2 isprekidano). Nula funkcije je x = 1.

Glavne osobine logaritamske funkcije (x, y, a > 0, n E I[8):

loga(x y) = log, x+logay, log, ( ) = log, x-logy, logax" = logax,

logax= 1/logia, loglax = -logax .

2.34. Nacrtati grafike trigonometrijskih firnkcija

a) f (x) = sinx, b) f (x) = cosx, c) f (x) = tgx, d) f (x) = ctgx.

Resenja. U ovom zadatku k uvek oznacava ceo broj, tj. k E Z.

a) Funkcija f (x) = sinx je definisana za sve x E R, i njen skup vrednosti je interval

[-1,1]. Neparna je i periodicna sa osnovnom periodom 2tt. Nule su u tackama _Y=

km. Naintervaluoblika(-7t/2+2kn,7t/2+2kn) raste, a opada na intervalo oblika

(tt/2 + 2ktt, 3n/2 + 2k7c). Funkcija ima maksimume u tackama x = (4k + 1)tt/2, a

minimume u tackama x = (4k + 3)n/2 (slika 2.3).

b) Funkcija f (x) = cosx je definisana za sve x E I[g, i njen skup vrednosti je interval [-1,1]. Funkcija je parna i periodicna sa osnovnom periodom 2m Nule funkcije su u tackama x = 7t/2 + kn. Na inteivalu oblika (2ktt, (2k + 1)rt) opada, a na intervalu oblika ( (2k + 1)7t, (2k + 2)n) raste. Funkcija ima maksimume u tackama x = 2kn, a minimume u tackama x = (2k + 1)7t (slika 2.4).

Slika 2.3. f (x) = sinx

NI/ AIL n o 11/

Slika 2.4. f (x) = cosx

Slika 2.5. f (:x) = tgx Slika 2.6. f(x) = ctgx

booilagc.i

,izV)

-iil<=t

N)1rh

Bbotlt4sl=rh

RtlH-i6i.v(h

$lL\ tol)(

(-

?_itnia.-<o

:l -O

tt>

(J:=

i-'"aaH

=uull

a !'=

u

='-

.-,9 ;

t ,_.,=

a g

'=jii-<

'Er,-j

.t-q+!,:---

.xoO

t

-.-- ,,

=z

-b

,, Y

u=1

XH

X-

Ir =

E

o o

>^J

-:^;'O

-^--d)3

izF=

-F

E=

\ N

zsl{ rE

==

u-.u16oEu_.!l?_vi:

- '3

a :i :

= ocj

c:-.;94Y

--=>

.r"-ai:='---"=

fl s r rs i! tr : 5 E

iA

? 1=

-*.2.ii:iic3',a.'\2sur..L-v.

; ;-:?

HE

ol"

,ri r Z ( E

; i =!E

r;

Z =

iX.s5

E:g =

,.;_;

N 6 .

-'",' q t':^

a6

3 d

q7 - A

. +

.2.j y

S -y

a -y.

E

=lE

-v -

! c

-.1,,

a),-,r \-*

E

? --'-

ll >

6

E

H E

J-

cJ.-; 5 E

r

; :

=.9

1: tr

Y --o.r

*-i

o - -'o .

.a i i

_r .i\

-= l&

Si:

< !<

-r E

r ;.-

- '\

- O

a

l N

-

E

€'E.,4-3

3.s--:+6..-'-N

-v..-\H'=

.. N

ll

! =

:,t, ll .=

H

^::i

= ^

= ?

H E

^'C

,, - =

a i * f r ?; *E i J

elr

: JzE

X=

-'E

=S

Ji.L:-j:=

]':-=

:=:E

-i

'?.lreF'i,?r:E

trcE

o

I .:<

-:-

=

q J

=

C)

.J

Ea

a

!,:aV1

\oL^la\Lb{

R!+?aN

)N

'3.'i,)-!Y

abo

Grr=

UC

5

Eo

boo

!QN

v'o-E

&i:X

\l/

^F

--: I

IoN

^

\e

il- --

bo.;soc.rB

lld-'d

N ;l 5^

an c'l .=

, c.r . ar -. oi'.

N

(J '-v

OX

_'-'-lju()s99

l

t:i -

t -

bOod

=

!l-

-,i U

^

-:1 n E

n qo

qo

X

EZ

:II

*>;5a.:

k

(-) @

-: b.0

o 9u

H'-!a-

i1 364

-:-=.i

=

k k

E,i\

5 bd

10

6(J"t9!rrscqali>

.N1,

x!

booll\..!Nallt.joja

dduil?E

E.', lrt

lHe

=

* jj.

I 5rr'

il d

lF

l E

X

,. l

\l B

N

-lr*-- "l

-5 o

do;

a Yl+

Fr -l^,3:

i 5;;

r;Sl_.;l!:

"i::J/\

^q)t-iI =

; .6^--

l- ^.iZ

r)! ,:-:

J6-!3lJ

'isr rr sll

E*,

12 N

S

c

.<

>,

I

\ teao'

;Ei

-,38-

L -

a ..

trr d

9 ^

u o

s -:T],l^S

: '.1 *5.

!î;i:,aa--l.or-P

E^'q-,,

GS

5t=

ttiil

&ln'tt ?.E

rr \ S

E

i6=uS

,=:el;.g:.d

-j rE

E.l +

l+ l;F

I

Eq ;.

\ dE

'EE

1> i

B

x :t't':

. t

I =

F

q-

- il

6j9:5?3;:

='\

t I: ; r!

q ,'.

ez !'? -!

:=

u ll

3 -)

- d

,:l1l+=

-*+;

,, cr.-

-i \::=

iil^]ru U

., c I

r' t

cJ ?,r

-'Sq

u':

! t

. c

O

.. E

:i ,a

| .9,N

c

=>

>;:t

= E

y >

? '6'-'i

€ Ir

'!-l O

-=

\,-

Ycl

O.h

| |

: ?

^ =

=

:i-

C

O

i_E

iiTE

l; g F

: 5v E

i-fE

g-+<

ir: j PF

S

g !31a'

i;>

.=;.i

:l: cd-

di,,

ri rr E- si.r,:

SC

'a'vE-

-.j <

.:-

-'.=

*- u

C

- -

.o <

6 I

i !

^ ... :3*

9 -

-'l'?

(g-'" irC

S:=

E

I'frC

vOC

JO-rM

:li,ad-

E:

;?T s"S

iF

=

frI1.dQ

. E

*i "il

!tS.aj6=

'=<

E

Sr, i,;=

*tr^:- aB

u,g

zF.a.a

?: a

.s. ,9.-

n

&fr&

U.vtLNO<-




c) Funkcija tgx = --cos je definisana za sve x E IR za koje je cosx 0, tj. na skupu

R \ {(2k + 1)it/21 k E Z}. Skup vrednosti je R. Funkcija je neparna i periodicna sa osnovnom periodom it. Nule funkcije su u taèkama x = kit. Nema ekstremnih vrednosti, i na intervalu oblika (-itl2+kit,it/2+kit) raste. Vertikalne asimptote grafika su prave x = (2k + 1)it/2 (slika 2.5).

d) Funkcija ctgx = COS' je definisana za sve x E R za koje je sinx 0, t'. na skupu ) J - ,,,., J J je J P 1[8 \ {kit k E Z}. Skup vrednosti je R. Funkcija je parna i periodicna sa osnovnom

periodom it. Nule funkcije su u tackama x = (2k + 1)7t/2. Funkcija nema ekstremnih vrednosti, i na intervalu oblika (2kit, (2k + 1)it) opada. Vertikalne asimptote grafika su prave x =1cit (slika 2.6).

Osnovni trigonometrijski identiteti sinx cosx

sin'-a+cosa= 1, tg.x= ctgx= , cosx sinx sin(afß)= sin acosßfcosasinß, cos(afß)= cos acosß+ sin asinß,

tg(a+ß) tgaftgß ctg(afß) = ctg ctg ß+l tgatgß ctga+ctgß '

sin(2a) = 2sinacosa, cos(2a) = cos2a-sin2a, tg(2a) = 2tga 1-tg2a

sina +sinß = 2 sin a +ß

cos a

+ß, tga+tgß= osa -c s 2 2 cosacos13 cosa +cosß = 2cosx +ß cos°` -ß, cosa- cosß =- 2sina +ß sina

- ß

2 2 2 2

sina sin (3 =

2(cos(a- ß)- cos(a +ß)), sin a cos ß= 2 (sin(a +ß) +sin(a -ß)),

cosa - cos = 2 ( cos(a- (3) +cos(a +(3)),

1 - cos a 1 +cosa sin2(a /2) =

2 cos2(a /2) = 2

1 ctg2 a 1 tg2 a cos- a = 2 a -

1 +tg2a 1 +ctg2a' 1 +ctg2a 1 +tg2a'

tg2 (a/2) = 1 - cos a

235. Nacrtati grafike sledeéih funkcija: 1

a) f(x) =x+ .x'-; b)f(x) - x } x2;

c) f (x) = cos x + 'cos x1; d) f(x)=3Ix-11- +21+x.

1 + cosa'


Uputstva.

a) Data funkcija se moze izraziti kao f(x) = 2x, x > 0, -

0, x<0. b) Iz a) siedi da je data funkcija definisana samo za x > 0, i vazi f (x) = 1/(2x).

2cosx, cosx > 0; c) Funkcija f je jednaka f(x) = 0, cosx < O. Dakle, f (x) = 2cosx ako je x E

U [-it/2+2kit,it/2+2kit], odnosno f(x) =0 akoje xE U (it/2+2kit,3it/2+2kit). kEZ kEZ

d) Zax>_1je f( x)= 3(x- 1)- (x +2) +,x= 3x- 5.Za- 2<x<lje f(x) = -3(x- 1)-(x+2)+x=-3x+1.Zax<-2je f(x)=- 3(x- 1) +(x +2) +x = -x +5.

-x +5, x < -2; Prema tome, data funkcija se mote zapisati kao: f(x),----- -3x + I, -2 < x < 1; 3x -5, x> 1.

2.36. Konstruisati grafike sledeéih funkcija:

a) f (x) = x+ sinx; b) f (x) = xsinx;

d) .f (x) _ .1 stnx e) f (x) = sin( Y )!

c) (x) = sinx f.

f f)

x

J (x) =xSln(X).

A

Slika 2.7. f (x) = x+ sinx Slika 2.8. f (x) = x sinx

2.37. Znajuéi da je sinx < x < tgx, x E (0, 7t/2) , pokazati sledeée nejednakosti: a)

1 sinx1 < 1x1, x E R; b) cosx < it/2 - x, x E (0,n/2); c) cosx > 1 -x2/2, x E '; d) cosx > x-x3/3, x E (0,+09).

A N)

j€

O l.) 1l o o

s i

s \

? 3

?.6

!. q

a ,:=

.l-fr

=

,:=3n

i,

_:' s

; i r

E +

s E

; i ri

+fg

rEgF

t;l

il e

f *

6 rJ

n

,,-l-

r,",

-Y--

T [

=:;t

'14

E' E

r]S

r E

;i;r

.,i -

lt a

2 H

;.A

glia

" i

ii1z,

,, ?e

alz;

;i; a

? :-

i:-l*

'Bls

E,u

=, i

-ai:-

* a+

?[-3

t'l;'

u ; ;

r":r

B *

ir',=

] =

iE *3

i*?;

t?

7 6-

lT-1

5E E

iir,

a.

o.=

Erp

,-^

:'r=

2. S

o ;

-ro-

'* il

[

d =

rrE

=

gri;s

i" i

e -t

-4

L

s'

c3tr

> f

--i[;

e rr

=

.E !

;

B .

3d

=z

i,+;,

d;l+

H

3 ?

"l:6

€ ci

+q

e.su

5: :

tl 18

i;?}

:l[?;

q +

iE. s

!*tr

Al

3 G

-'-

- ;io

6

- I

= E

-

5 3

E x

-,

,, l

A13

bl+

g

".t

5 5

33 +

.4.

;'":.r

;reE

E -a

E

i;f B

[;::

'li.s

iil*=

,i, E

. 5E

*fl 5

=:i

ir. i

;^ E

rE g

rg

a; ?

H:r

alg

n:ti

:t3*

:eA

aP

B

g=€

eis€

bJ UJ !n

a!r=

:.-

l,?o

a -L

x-

.t'G ,2

P)

a -,

+

v!'

!=i

\ -..r

a _;

_ \:-r

-nl

I :.,

<

ll il

UJ

:.1'-,

1 - f

)

I -

t-\l ',1

l'' I + tJ I :<

s.)

Ur O\t-

a.e-

Erc

E3

3 s

f i!.

Ns i

s F

i!.5

?'-i=

r>E

:6-c

'+

q

r T

J:

rS E

3-

b

et

| ;

': ;>

X

F

B c

:i

- 1

r E

i J,

q F

?

; ;

-'''

3 F

q

tr i

t+;3

h E

s.

X

t f

3 R

.

e -

S

A I

T

Ni

? 3

-,--

:rr

;lCJi

\.

d.

D

--

:-:.

A

r

<xa

;r\_

il il

+

S..r

n +

E

:9

i,

=

) 3,

t

'u

d-oE

=.

o

g -t

i ;a

a i

',<

b't@

bi4

.\ 4

<

U-

<

|.:

? H

,,,"

*1

X.3

-.F

!1e"

,

- .<

c

=L-

.D

U V

I l,

ti 1

1l

j,5

n fr

Pe_

o1

ta

-/-r

- r

R-

.9i.r

li :-

(.'

*i

- 6

;}

?yllr

n <

E

!1'--

'Tf-

u-(\

uf

,,^*-

. +

lt

.<"

j-i-'r

go

N

|J

5

ir;1!

i ?

+-l

ril,,p

-*-n

\ l:.

1 I

+

.o

a^

lP

x:6.

T!u

" !"

r P

;,

}..) (})

)J

., F

o \'l

lai 'l,n

i Z

,-=

l<64

']-

i x.

r

;X

i >

,"I

' x\

,ru"

i-> /\

-0a

ll

x xf@

lt:3

*9!

Hxx

'\l\,

/ A

x

kli

tris

2

UI!

l.'=

.90

(!5

h N

J

.. ^

ook-

hl

^rn

A

\ I'^

u =

,--=

*

ll

8t:i

;i

-.7t

. ::

o<




Slika 2.9. f (x) = sinx/x

Slika 2.11. f (x) = sin(11x)

Slika 2.10. f(x) = 1/sinx

Slika 2.12. f (x) = x sin (1 /x)


2.38. Konstruisati grafike hiperbolicnih funkcija: eX-e-x eX+e x

a) f(x) = shx = 2 b) f(x) = chx =

2 ,

x

c) f (x) = thx = e d) f (x) = cthx = ex e

e.X+e eX_e-x

0 1

Slika 2.13. f (x) = shx

Y

0 x

Slika 2.14. f (x) = chx

Slika 2.15. f (x) = thx Slika 2.16. f (x) = cthx

2.39. Pokazati

a)

e)

e)

sledece jednakosti: ch(xfy)=chxchyfshxshy; sh(xfy)=shx chyfchxshy;

thxfthy th(xfy)

b)

d)

f)

ch(2x)=ch2x+sh2x; sh(2x) = 2 shx chx;

2thx th(2x) lfthxthy;

- 1+th2x

Uputstvo. Iz definicija funkcija sh i ch (zadatak 2.38) siedi za sve x E IE3:

ex = chx+shx, e-x = chx- shx. Na osnovu jednakosti ex+Y = ex eY, x,y E R. i prethodne relacije, siedi da za svako oz

xsrildo.-'eilyE'xo

!()aea

"ix66:=:

a E

t2

N

()

Y

+ ? tl-- =

+

î \

IEI:

3 I

-V

ii ot

l- tr

=

il il

., oo

X.allllll6Uv)

: =

'x'x-? .i

.*..lN

.j_yxtrt

! -

''i;.=oaE

E9le;

b' e' a iJ -I

u.,

,qo>,

:ll|<55

*";tq66

>ixi:3\

E

i; -v

.:oiT?xtt

ll\rr,,-l')-e>il

= I

-H llE

,C

,Z+

q E

?itli.s+\

Y

: o

o -t1l;

:1'k.*->

"E

,. ; lli

'isd.r; \d;€ll

,EiS

I .3 r l

r t-

Eo.l

{ ^

" "

-\€-t

u !,

".'=

E

T-n

-H

.l =

xx!y?:X

ts Y

a

?S

ovi:;9dF

50<

^^ -

-o6q'oF{-iJZo\ea:l

xil:<

+c.i

(hBltRc.j

c.icd

rh

, a

laI

I I

lr-

I slu

rlo'l -F

l I

r | -

l.-2r I

Ulu

u ll

l' *

<i

.s. t E

'u' il tl

.\ataa\\\,C

EE

saat'Y

Yl^'lY

rl lt+

$ k I

- l-

* sl

$luE

'llrls"5Eatsllll4!!!!!Lq'O

avcsu6(+

J

.c{

xxtlFi

o.i

6iJC(h

)itl}l

c.i6uU)

altB-ic'i(s

U7

xaIIBeN&(n

NsCB




x,y E ][8 vale jednakosti:

e`+'' = ch(x +y) + sh(x+y) = (chx+shx)(chy+shy), e-(Y+'') = ch(x +y) - sh(x +y) _ (chx - shx) (chy - shy).

2.40. Pokazati da za svako x, y E R vate sledeée jednakosti: x+y x-y x+y x-y a) chx+chy = 2ch

2 ch

2 ; b) chx-chy=2sh 2

sh 2 ; c) shx+ shy =2shx2ychx2y; d) shx- shy =2chx2yshx2y; e) cth(x f y) = cthx cthy f 1

cthx f cthy

2.41. Nacrtati grafike sledeéih funkcija:

a) f (x) = arcsin x; b) g(x) = arccos x; c) h(x) = arctgx; d) k(x) = arcctgx.

Slika 2.17. f (x) = arcsinx Slika 2.18. f (x) = arccosx

Resenja. Osnovne trigonometrijske funkcije nisu monotone na svojim definicionim skupovima. Zbog toga, da bi se uopste mogla definisati inverzna funkcija hilo koje od njih, potrebno je prvo izvrsiti restrikciju polazne osnovne trigonometrijske funkcije na interval (po mogucstvu Sto veci!) na kome ona jeste monotona.

a) Funkcija f (x) = arcsinx je, po definiciji, inverzna funkcija za funkciju F1(x) = sinx, x E [-71/2,7t/2].1 Valno je primetiti da na intervalu [-7t/2,7t/2] funkcija F1 raste, a da je njen skup vrednosti interval [-1, 1]. Zbog toga je definicioni skup funkcije f interval [-1,1], a njen skup vrednosti interval [-7c/2,7t/2]. Dalje, funkcija f je neparna, rastuca i ima nulu u x = 0 (slika 2.17).

1

Funkcija F1 se naziva restrikcija funkcije F(x) = sinx, x E R, na interval [-TE/20t/2].


b) Funkcija g je inverzna za monotonu funkciju G1 : [O,7t] -) [-1, l] datu sa G1 (x) _ cosx, koja je bijekcija. (Proveriti!) Definicioni skup funkcije g jeste interval

[-1,1], skup vrednosti je interval [O, Tt], i opada (slika 2.18).

e) Funkcija h je inverzna za monotonu funkciju Hl : (-7t/2, 7c/2) R, datu sa

HI (x) = tgx. Dakle, funkcija h je definisana na celom skupu I", njen skup vrednosti je (-7t/2,7t/2), rastuca je i neparna (slika 2.19).

Slika 2.19. f (x) = arctgx

y y=lt

7t/2

l n/2

Slika 2.20. f (.x) = arcctgx

d) Funkcija k je inverzna za monotonu funkciju : (0,7r) R, datu sa Kl (x) = ctgx. Funkcija k je definisana na celom skupu 118, njen skip vrednosti je [O,7t], i opadajuéa je. Ova funkcija nije ni parna ni neparna (slika 2.20).

2.42. Nacrtati grafike sledecih funkcija: a) f (x) = sin(arcsinx); b) f (x) = arcsin(sinx); c) f (x) = xl/lgx

Resenja.

a) Funkcija arcsinx je definisana na intervalu [-1,1], i vali f(x) = x, x E [-1,1] (slika 2.21).

b) Funkcija je definisana na celom skupu R, jer je I sinxl < 1. Periodicna je sa peri-

{ odom 27t, i vali (slika 2.22): f(x) = x, -7t/2 < x< 7t/2,

7[ - x, 7t/2 < x < 37t/2.

c) Funkcija je definisana na intervalima (0,1) i (1,00) i, na osnovu osobine logaritma, vali f(x)=xi ilgx=Cle°x10=10.

5 r.l

^l N rI 2r C) o

(A FT P )J 5( il o k a !..)

Po |r ll F

O E o o o k

D'E

(D

-'h<

+,?

* 3

3 9,

5*.9

\:i'D

:*::E

PL.

d:

^,

1 2.

-:

X

>.D

.D-^

=.o

-jO?-

.*"'

.- =

E.3

iX

=;ia

;F'?

= Q

-{-

=

! N

IX

-E.tj

il-!e

o'('U

l-î@

'rtlo

a-

- -

d lJ

F

D :

L0o

;J.

DD

-.-\

--J0

qih

t3N

oaf=

n .;,9-

;;J6.

- €

-=

?;'o

; a

D--

ukE

(!F

j-

:_-

S =

--.

i E

c-

di'a

D

qD _

\. Ir

d6

t D

r +

- 3

? I

- tr

o

+.=

:pq

.pv9

0\_.

=.@

- fD

C

=.C

b

N

F=

3@A

'1

4aO

ar^J

.H*:

1H(!

=+

- S

, o

s b.

:J

)r.

_9--

-'-iA

<-=

-

x:94

6168

.6tr

6 s

==

, E

4 6

';'-

rJ\

J-v

=-

Q.

-.

I-

- '',

i :

-XrA

)=vo

=\.

?V !

= ^

<. =

=:#

F

L;'-?

B

0i*d

:-x

Ng

- I

P 5

5-t

<

U<

c'

o I

=

---

F

D o

D

i

a =

-.

O

' -o

n =

-- 3

:3

='^

'--O

i A

:,:.,-

?,

i.

_f

fi lE

'E'3

='B

|.,:.<

N 6

5 5

?*

o N

- -

6 {

-<

jt---

+"x

p.\-

o-:lc

'X=

3-.

wo{

5=J.

[i=f3

sT

iE =

I-'u

./ =

+

-:

O

? =

rD

^r

(;

-' a

H

^ ,

-(=

^ 3

D

f 4

-o

=

F\

l2

=.

; -

; -)

'e

a.

.)

T rE

'r €,

1 g

T.o

ll e-

dg

rl 5 o N 6 o p E t ts: \ !t ll -l :i n) F 5 o I H -N) p

t',

[Jab

.:-

?E

-'Ej.

.t-+

-J=

.i'i-.

'<.

;l q

? +

A

?:

n--

-r:4

>{-

|fr^.

Wrh

^-3

ii

3 t

? .

2+ 5,

g*

il il

ri t

i+h'

iôN

i"q-,

'.O-

44o=

aXS

t-=

=

:.=

r :a

i

u :

E;

û

! 4

i -.

\.

-:-

X

- n

l-lc*

l f-li

: t

g 9'

g f

[]+

l= -

v,{

s;.

=.

=-i<

o

^ <

-

: >

7i

+

=

+

n\

A.].

<

s --

l- 14

,r

Y F

'

-ll-lr

N

ll .1

. 1.

. 'l=

S

:i ll

!D:':

^=

i'.i'l

oO

a^:-

O-o

xv)

^\51

4-i*

4-!_

od,l=

=5.

,,^!

3 I

\ .i6

-2

o =

)<

=i-

a.

g t

'rv3

r $

.jrll

p N

3.

;9

D

q q

a2

# -ll

-lr

:1 "

H

l'?

12ab

:<

i!3

-l ts

rl r'

\ l.<

l.<

5 lt ,

E o I oq >(

.. +

. :*;}

, -.

, -.

:..E

=;=

.:-+

;;i;!:

. +

....:;

;+;;:

=+

5 -tF :- o q S ,o

5:F

'i:r)

i6^

1 -a

=!.X

tse<

iL.

- d

A@

rr

,Ii

l;--

*,;.

^ il

Co

- .O

E'

loo

s,a

poa

<:'

;. "

-6 r

D

H-?

P

E:i

Na

H

:7f

Ni

Y'

N

;9.E

q A

i

:J.=

'Fi

PZ

-u.fN

:+A

N

o D

.-D

F

(}:Y

o\Y

)r'^

I oE

ol

'cX

OE

d-+

i5..t

,t)J

))"-

/p_

.=_.

\J2i

^xi

r n

o .)

@

=

^ ;

9)5:

-Or.

OJi

l:--s

.)A

P

t -

o i.

!l

-Y;^

i6)'"

r:a\ ^

(D

r9-

+r^

V.:p

^q

t.u,

@J

,6tJ

El

i'-:

t h-

E\

,=:

-j"

NJ

o +

ol

**JO

E aW

2?x'

aD

p€

o-

-'!)

fr/-

t b

.i rr

r'* N(<

^

=ts

.4=

r Atx

(*.)

:1 P

H

E

'1t

l -

ti'N

.

ilXi-@

!YLI

;U

"aY

oB

O -)\x

i t V

)

^ .-

-l-

!O "H

fr l!.P

. do

a,

o-dl

o \q

-

=

, A

-o

t/\-

na

u/\

X

sr=

: rj:

-:

*

^- a^ :. o\

6or

90 P^r

J. =o

a- ts'

"'




y

1

Slika 2.21. f (x) = sin(arcsinx)

2.43. Pokazati sledeée jednakosti:

a) aresinx=arccos(\/1 -x2), lxl < 1; b) aresinx+arccosx= 2 lxl < 1;

Slika 2.22. f (x) = arcsin(sinx)

TE

c) arctgx+arcctgx = , x E R;

Resenja. a) Za a = arcsinx, i x E [0,1], uzmimo a E [- , ]

. Tada je x = sin = cos ( 2 - a) tj.

x2 - 1 = - COS2 a, pa je cosa = -x2 a = arccos(V1 -x2). b) Pre svega je tt/2 < arcsinx + arccosx < art/2 , jer je -n/2 < aresinx < 7t/2 i 0 <

arccosx < it. Iz jednakosti sin(arcsinx + arccosx) = sin(arcsinx) cos(arccosx) + sin(arccosx) cos(aresinx)

= x2+x/i-x2 V1-X2=1. siedi aresinx+arccosx =

2 +2k0t, za neko; k E Z.

Kako je -tt/2 < tt/2+2ktt < 37t/2, to siedi da je k = O.

2.44. Pokazati arctgx+arctgy=

Regenje.

arctg `+'

7L+arctg x+' I+xv) ,

7c+arct g x+y

,

rt/2,

za Ay < 1;

za xv > 1, x > 0;

za xy > 1, x < 0;

za xv=1, x>0; za xy=1, x<0.

Iz jednakosti tg (arctgx+arctgy) = arctg x 1

, xy 1, siedi 1-xy

arctgx+arctgyarctg x + y = +rn, 1 -xy

Kako je larctgx+arctgyl =

uzimati vrednosti 0,1 i -1. Ako se odrede kosinusi leve i desne strane u (2.1), dobija se

1 1 x y 1

cos(rtt), odakle je N/1 +x2 1+y2 V1+x2 l+y2 2

+\t )

arctg x+y +rit 1._ XY

rE76,xy#1. (2.1)

< tt, Iarctg 1 + < 2, to r moze


1-xy o+x2)(1 +y2) _ 1 -xy 1, xy < 1; cos(rn) =

x 1 - xyl -{ 1, xy > 1. (i+x 2 )(1 +y 2 ) I

1 - yl I

Moze se pokazati (geometrijski), da je arctgx+arctgy = 7t/2, za x = 1/y, x,y > 0,

a takode i arctgx+arctgy = -rt/2, za x = 1/y, x,y <O.

2.45. Pokazati da za reame brojeve < 1 i < 1 vasi

aresin (x-V1-y2+y1 -x2) ,

a) aresinx+aresiny = tc-aresin (x,V1

- y2 + y/1 - x2) -t - aresin _y2 +y1 - x2)

xy<0 ili x2+y2<1;

x,y>0 i x2+y2>1;

x, y< 0 i x2 +y2 > 1;

arccos (xy-V1

-x2 \/1 -y2) , za x+y > 0; arccosx+arccosy =

27t-arccos(xy-0-x2-V1-y2), za.x+y<0.

2.46. Nacrtati grafik fitnkcije y = f (x), x E (-, .0) , ako je f (x + 1) = 2f (x) i f (x) =

x(1-x), x E [0,1].

Resenje. Za n E N vazi:

.Î(x+n)=2f(x+n-1)=22f(x+n-2)=...=2"f(x) Odatle je f (x) = 2-"f (x+n), odnosno f (x- n) = 2-"f (x), n E Z.

Kako je f (x) = x(x - 1) , x E [0,1], to posle smene t = x + n imamo

f(t) = 2"(t -n)(n + 1 - t), n <t <n+1.

Na osnovu toga je

f(x)=2"(x-n)(n+1-x), nE7G,tj. f(x)=

Grafik ove funkcije je dat na siici 2.23.

2-2(x+2)(-1-x) -2<x<-1 2-1(x+1)(-x) -1 <x<0 x(1-x) 0<x<1 2(x - 1)(2 - x) 1 G x < 2

22(x - 2)(3 -x) 2 <x<3 23(x- 2(x-3)(4-X) 3 < x < 4

Slika 2.23.

ioVl V

l *Nca:+

a B

VlV

lVlV

lV

I VI }<

R B

A

.NH

VlV

lVlV

l:

I lcr+

c.tc.r :

Bt^^lI

f rr,m

+^r

--- 'iC

! -

i-_ ^^-G

l o

-r-rX-

kkrrllvv

I I

k !

.T':

- l<

--,J.

I I

vvN

- ,

.NN

K

NN

'.I

ilnP

,:-N

Lil=L\d

il a{

... tr

ll etr

t.uoJir, -i

'\ il

o I

o.t* +

*silar\!t"E,

I ^

(J V

l

0,--la'-\V

loN

kOg

.i )A

s

lrr-\Oll

^6.^!-

lil d

a6v

I

:l(l- ,-:

-){.-rU

,=d

\rkl>

- c.l

a-u

ll v-

'i ..

- N

-Y,>

N-pll

6l-lo€1

>

k ,r'l

^'-5s

:Y=

- L

(<

^ ll

q- oO

(E

,,, ',

k ^

',oe't,

v .-)-t

i: x

s \)-

='i-

Ni

'-6 a

4 2

...=

! t

oi =

€ 8

=Y

b

o:z z

)6

=N

..i

\/l A

alNN

^>,A

'J cr

^ I

I11rnl

V"S

>,A

T

T!!

\/ /\

_t,-QN

nri

vA<

\t ll

^x-lN.---rr- oi

ilE^l-:l<

l- >

'lll

boo-l*

P \/

.*.s>

.Jl+

.^l

klil

go :i, \/,

lr I

o \

vltT

t !

+l*lx''

ir a

l.Xl x o

ll .*

ldlr.-6lllr

- *

l+11-o,i

Vt

t-1l--l

.? d *

\t v\l

?l Z

H-

;,-:3 I a

ll.r ts r '*

t] -- v

ll I o

bo {

>lli

o ::

ukllY

bo H

s

, il:,--

d \

*ll,'! T

p

ll*N

Ei

rl\--

iz o

l>o

: sH

i-.20u;'E

t "!

o<ip^9

az,N!-

Vi

nait

oSoo.iN

.i1.1^ l-

^tlt'\l.ti>

lk-t

rNl

l-\lQ,V

aOo9O=

dr

6l

Iood+EoOO

.f

coolNacoNN()ooooJ4d!o

\-,-ilr't

\.5'

N\U

ABI

il+

IBNilx\

o-1

,NN

OtrL

H t:r

.E,

vlUX

*!

d:FU

rVI

E

d3;E

=i7oo5o:)

.. :

\/l q

A

V

n V

all rir-

9 r

a n !i

-i,.1k

N

=-1,

\ :

-ilD

=

.%t-'i

'; /

^ tlt

-5-O

Jn,r-t,al:<41

.E ?

.B

C r

lr ,1lo

'. H

U

K

r^ sj

<

; ;

; ;

i +

' g

.=

Hlk

,\ o

r<l_

'.-^.dx,ilr '-

;r i a. El- J €

------ Y

' d

H

e! >

: '4

-il'_,_:

6 9-.

I -o

rl1 ll- 6

;j, vr 3trE

#._i_!-:^r t I

/l'i -

.:lt I

o :1i

oo i.' > *

\,;

.=t'

(oll

6 n'--

Fi :

-15 g X

*

I 90

il- 9

g>

î vE

*

?-)\{_td

.i\L-''_lFc

- -

:: <

H

E

p

H

r:d

N

- =

-

I I

:! l'

- a

!: -

.., X

? |

Vl

bO

-:; n

,, ,, H

|NH

-

E-o;E

llll,::.O

:'.i^llNo-l^:o

- i^

. -j-

aL 51,

-': , ?

r r

N!J

' L

; A

a

<A

=oup--!

ai 9auF

_6lx>

%c

kv .

9:1 .,

'- N

- -{- ot

g0 cn

.=

A

o-* ;

>

a c

t'.i'=--*

I R

e

-.i

r '

()E

dovi

g ^' .:

J,r

ll !?

r 9

ll '

>

.;, 'n'-

;6i d I

:' i: e E

S

o;

- )

v r,--

:u=-'-

5N""o-=

' T

.Y

d q

>a->

Qga a

s e,

6i

?vta:.':'J*

ldi

>

1-r,:l-rt

fi L-

H lcl

'r '>

'?,

on'uat

-l\)n.!

I 'r

.=

oir

6 g

=:

-,^qc.t+.I

a)

l4qt\NE

aa-H

\/ I

q-9\(6ll e r.r

kll\i,o'i

3C

]Hai-T !Y!

a3,A

C)

oHO

L@

>i

!q I --.t-

u I

/_l):

l+l

t

l-t---1.c.l

llY

ll -

r lr---

ol:>dL4

l"'l-o

l.'

a |_,

o!a2

.olld

I ()

lr\

- al

(-)'.!

o l-r

9 o,lt

yo9r?aO

!N+

a)

ll!ci

q llr

H o-ll

'!*

:.4 t>

-[-kr lt,'

-tt(

x l--i

bok

H

,,l

>,1 q

i+

ll I

.-l ^ r>

'l* -'t \

bo ilr

Y

't*dboIOb06l+

iri

<O

o1r i

9rG,

boakdo:l&.+




2.1.2 Parametarsko zadavanje krivih

Neka su na intervalu I = [a, [3] date dve fúnkcije x = 4)(t) i y = yr(t), t È I. Skup svih tacaka ravni koje su odredene koordinatama (0),111(t)), t E I (uz dodatne uslove o diferencijabilnosti funkcija Qa

i Itt), mofe predstavljati krivu koja se tada naziva parametarski zadata kriva.

2.47. Nacttati krive date paratttetarski, ako je a > 0, t E IR:

{ a)

x = a(t - sint); b) x=acos = 3t;

e) xat/(1+t3);

y=a(1-cost), { y=asin' t, y=at2/(1+t3), Prva kriva se naziva cikloida, druga astroida, a treéa Dekartov list.

lt

Slika 2.24. Cikloida. Slika 2.25. Astroida.

Resenje.

a) Funkcija je y = f (x) definisana na skupu IR, i po t periodièna sa periodom 27c. Na osnovu slédeée tabele, mozemo nacrtati cikloidu (slika 2.24 za a=1):

t 0 7c/4 n/2 37c/4 7< 37c/2 2tc x 0 a

(7t/4 -

N/2/2) a (7c/2 - 1) a (3n/4

- \/2/2) arc a (37c/2 + 1) 2an

y 0 a (1- V2-/2) a a

(1 +V2/2) 2a a 0

b) Ako je 0< t< 7c/2, tada je 0< x< a (t = 0, x= a, y= 0, t= 7c12, x= Q y= a). Ako je 7c/2 < t < 7t, tada je -a < x < 0 (t = 7c, x = -a, y = 0) (slika 2.25 za a=1).

c) Slika 2.26 za a = 3.

d) Slika 2.27.


Slika 2.26. Dekartov list. Slika 2.27. Arhimedova spirala.

2.1.3 Krive date u polarnim koordinatama

Za svaku tacku ravni A(x,y) postoji jednoznacno odreden polarni ugao (I) E

(0,7c) za koji vazi

x y cos (1)= / , ,sin0= / Vx2+y2 Vx2+y2

i polarni radijus ili poteg za koji vati

p = Vx2 + y2.

Odatle je x = p cos (I), y = p sin O, odnosno tg l:1) = Y -. Skup svih tacaka ravni koje x

su odredene koordinatama (p, 0), E (a, ß) mofe predstavljati krivu koja se tada naziva kriva zadata u polarnim koordinatama.

2.48. Nacrtati sledece krive zadate u polarnim koordinatama (a > 0) :

a) p = a(I) (Arhimedova spirala); b) p = (logaritamska spirala); e) p = a(1+ cos0) (kardioida); d) p = a2cos(20) (Bernulijeva lemniskata).

Slika 2.28. Kardioida. Slika 2.29. Bernulijeva lemniskata. i'J

O !.) tn h.,

o o

fi t+

tvt

!b<

oH(?

5E!.

9*

PLt

s:@

s

+."

Lh

O\

- !.

o ll

,l

!f>

N)

o*N

)(D

Î-

rOn

,!) U5A

N(!

.=6b

u

FO

FD

2- 6tr

O-H

EO

L/)

6l

H.

NJ

P8-

l:

rY x

: )-

'

*E

P 3il* --3

o. N i

s

H AI N]

N)

I A l l.J I

IJ H N)

ll.)

s + ul t\)

G :t A I NI

t)

u :i \

l! sH

H

sU

J tJ +

(/)

H N)

ON

) :i

l.) : ^ = B

-:

b.J

-! -aN

(,

ND

DD

@

(,/)

Fd

i/.i

+

-<-d

!vK

.B.

o, X

D'

:.tr

-r ,6\J

E-a

,I :-D

)P

alU

A

<i'i

+t)

,o,

ilea

uii-

NP

NP

H 6,

!D

!'-']

5 t')

o\l

-. 6_P

ai!'

u! o5 5o ts+

o: 1b n

o o il

!) irl +ll

\< ll pI ; LI

? v1

? >

>

I!u(D

o

! 3

r-?

N

13 t

rtp\ 6

ln,"

<

,, ]/\

]]= P

lî

:1 "

a.o

oo tln s:r

ln ln

:<s

ln

ûl

l

tl *tt

llri

la ,I:i

Y r-

)

ai lrr :\'

ll

P.<

urr

(,

llpS

.D

:.

a = N t) 90 î - a. o o $ U)

Pf

TJ

N) o t ,5: o .D D)




Resenje.

a) Kada 4) raste od 0 do +co, tada i p raste od 0 do +00 (slika 2.27). c) Na osnovu sledece tabele mozemo nacrtati krivu (slika 2.28 za a = 1):

4) 0 7c/4 7c/2 37t/4 7c 37c/2 27c

p 2a Q®] a cm= 0 a 2a

d) Funkcija p = p(0) je definisana za cos 24) > 0, tj. za E [- á ái U [ á á`] (slika 2.29).

Giava 3

Nizovi

3.1 Granicna vrednost niza

3.1. Definicija. Niz je funkcija a : N

Uobicajeno je da se pise a := a(n), n E N, i a = (a)EN. Broj a se zove opti a a. U ovoj glavi n uvek oznacava neki prirodan broj.

3.2. Definicija. Niz (a)EN je ogranicen ako postoji pozitivan realan broj M takav da

za svako n E N vati l a l< M.

3.3. Definicija. Realan broj L je granicna vrednost niza (a)EN ako za svako E > O

postoji no E N sa osobinon7 da za svako n > /no

vati la - LI < E, ti.

> 0) (3no E 1) N (f/n E l`) N(n > no la -Ll < E)

.

Ako je L granièna vrednost (krace: granica) niza (a),tErt, tada jog kazemo da

(a)Ejy konvergira ka broju L i to pisemo lim a = L. n-,00

Koristeéi definiciju 3.3, lako je pokazati da niz (a)EN konvergira ka broju L ako

i samo ako za proizvoljno E > 0 skoro svi clanovi tog niza pripadaju intervalu

(L - E, L + E) (ili: najvige konacno mnogo a ne pripada tom intervalu).

3.4. Teorèma. Granica konvergentnog niza je jedinstvena.

Niz divergira ako ne konvergira. Izdvojicemo dve klase divergentnih nizova.

3.5. Definicija. Niz (a)EN divergira ù plus beskonacno, u oznaci lim a ako -,00

za svako M > 0 postoji no E N takav da za svako n > no vati a > M.

co

ltLs\Hi

n

S>

No-E

Q

ol:

ON

?

,,-*Y!tBoD ,7

d) ilr

EiPS

'^q-:*N

Ok/\.;i,

o

q,)*

|rJ?o

NL-\0oo13o\o'aN6i,HboHo,u0)

]4cdboq)Nz

,a t 7

f €!

3 3

* i

:ER

S t

t s=

I N

3

.:.-.,a !93

s= *

UsV

; E

.eE\{û

9' ^s

s so 5 S

h{}o'{:

=

E

rci T'a

isltt?

: iJ

-=

u =

tr xas

B

s r - 4

J *iiE

E

r;

t s=

adE

sE S

.Ei; s

txf H

IF $ E

':i-: :i€[ E

z=

X-

El

':-rr '!)s

'9

i i 5E E

E;? ;$;' E

ii s

' S

z in F

. gS

a gI [n'E

5

E ; _=

i *n Y: v r+

sZ

E

y"U

.c :.:

;vr *JS

-Eo gE

3i;

b"

a -v

'=.=

d s r"o -!: SE

; g* !ii

n::

€. ;'F

-i,F

s ci

n d i

.1 p. F

:E E

e5 5x S

B "

,E'S

:til# ;

F i l:

Xi, *.iY

- gE E

:; G

i *

EI

cis .d-

lE

E*:

d(,

:?.oS

!-^ !-e-

v '.i;Y

'E :=

t :P,i

sfi- eei

,Fr

E

5 r G

a E

E

q.i 'E

H I

5;

E S

# Es E

R. ts

f ls *

j.ir'it;d"ini

.-oN.-

(f)- LYGirrlrhv

J4=,1

lHls

eriI

\UN.-:

ntNaooN{)0)ilO

-c!:?o?

oln6l

H<

N

E\lN

\trvEcn

ollalI

NHsfE

o.li6l+c.l

tl

tr- d

NN

oi oo

aN

#.i.@

. u6afoso)

!-.a(dcd

Ci

Lô-o-:l >

N

oôIOiooO

.oo

9()gz:v>

.cd9!O

)fiu'?86duz

>qc)^^

ilcge

0)

,!1kNNlr)



54 Glava 3. Nizovi 3.1. Granicna vrednost niza 55

Analogno, niz (a)EN divergira u minus beskonacno, u oznaci lim a = ako za svako M > 0 postoji no E N takav da za svako n > no vati a < -M.

Ocevidno je da niz koji divergira u too ili u -oo nije ogranicen. Iz sledeée teoreme siedi da je ogranicenost potreban uslov za konvergenciju niza.

3.6. Teorema. Svaki konvergentan niz je ogranicen.

3.1.1 Zadaci

3.7. Dat je opsti clan niza a _ cos(n7t/2) . Napisati prvih nekoliko clanova niza. n

Regenje. Napisaéemo prvih osant clanova datog niza: cos(7t/2) a1=

1 -0,

as cos(Stt/2) -0 5

cos(21t/2) - 1 - cos(37t/2) 02 = 2

- 2' a3

3 = 0,

a6 cos(67t/2) - 1

a7 - cos(77t/2) - 0 6 6 7 '

cos(47t/2) 1 - a4 4 4'

cos(87t/2) 1

as _ _ 8 8

3.8. Naéi bar jednu fonnulu za opti Nan niza, ako je prvih 6 njegovih clanova dato sa:

a) 2 5 10 17 26 37

, - '

10 , ' b) 1,2,3,4,5,6. 4 13 16

Resenje. Iz poznavanja (na primer) prvih 6 (a isti bi vaiilo i za 60, 600, 6000, ...) clanova nekog niza, ne mole se zakljucití nista o formuli za opti elan tog niza. U ovom zadatku éemo uvesti nekoliko nizova, datih svojim opstim clanom, eiji se prvih lest clanova poklapa sa 'lest gore datih brojeva, ali im se, pocev od sedmog, svi preostali odgovarajuéi clanovi medusobno razlikuju.

a) Primetimo da brojioci u datih prvih lest clanova niza odgovaraju formuli n2+1. Brojevi u imeniocu formiraju aritmetieki niz, ciji je prvi elan 1, a razlika d = 3, pa se oplti elan imenioca mofe formirati kao 1 + d(n - 1) = 1+ 3 (n - 1) = 3n - 2. Dakle, moguéi opiti elan datog niza je oblika a _ n2+1

, n EN. Medutim, i niz (b)En, gde je b = 3n-2 (n2+1)+(n- 1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)

3n-2 , ima istih prvih lest clanova kao i

niz a 50 50+6.5.4.32.1 ( )EPI, ali im se sedmi clanovi veó razlikuju: a7 =

19, b7 =

19 770 19

. Ostavljamo citaocu da pokaze da je, ltavile, a , b za sve n > 7, tj. razlikuju se i svi ostali odgovarajuei clanovi ova dva niza.

b) Moguea tri niza, koji za svojih prvih 6 clanova imaju 6 datih brojeva, su: a = n, b = n(1+ (n -1)(n -2 ) ( n - 6)), c = n + 1 - ((n - 1)(n -2)(n -6))!.

3.9. Koristeéi definiciju 3.3, pokazati daa svaki od sledeéih nizova, datih svojim opstim _ n

clanom, konvergira ka 0: a) a = (

n2) ; b) b =

/n+3' c) c = n .

Re'lenja.

a) Pokazaéemo da za svako unapred dato pozitivno E postoji prirodan broj no takav da vali implikacija

I (-1)" n>no la-0I < E, tj. n>no ¡

I

2 n

1

rt<z s. (3.1)

Kako za svako n, sa osobinom n> 1/E, vai 1/n2 < E, to moiemo uzeti no =

[V1/ei + 1, pa je (3.1) zadovoljeno.

Napomena Broj [x] (cita se: "najveéi ceo od x") po definiciji je najvééi ceo broj manji jednak od realnog broja x.

U daljem radu posmatraéemo samo slucaj 0 < E < 1. To ne umanjuje op'ltost, jer ako za E > O postoji no = no(E) sa osobinom da za svako n > no vazi laI < E, i

ako je jog E1 > E, tada za svako n > no vazi i Ian < Et.

b) Za dato e > 0 odrediéemo no E N takav da za svako n > no vali

Iz poslednje nejednakosti siedi da mozemo uzeti no = [1/E21 + 1.

c) Imamo: 1 -0 = 1 < 1

< E. Odatle je ln(1/E) < (n - 1)1n2, sto znaci da

n! ni 2-1 mo2emo uzeti no 1 + [ln(1/E)/In2] .

Primetimo da se, u ovom slucaju, za svako unapred dato E > 0, broj no mole odred-

iti i na sledeéi naein: 1- 0 = 1 < 1 < e no = [11E1+1. n! n! n

p Broj no u prethodnim zadacima nije jednoznaeno odreden; ustvari, dovoljno je da za svako E > 0 postoji no = no(E) takav da vai implikacija iz definicije 3.3.

1

Vn + 3 0 < e.

3.10. Dat je niz f- 3n -7 n E N, cija je granica P =1. Odrediti broj tacaka koje odgo- 9n+5 3

varaju clanovi7na niza (f )nEiy koji se nalaze izvan intervala I = (3 -

lóóo, 3 -

lóóo)

Resenje. Rastojanje tacaka koje odgovaraju elanovima niza f, n E N, je dato sa

3n-7 1

If-El 26 26

9n+5 3 3(9n+5) 3(9n+5) '

Izvan intervala I nalaze se tance koje odgovaraju onim elanovima datog niza cije 26 1

je rastojanje od broja .e = 1/3 veée od 1/1000, tj. za koje vali 3(9n+5)

> 1000' odnosno 1 < n < 25985/27 962,407.

5 (, UrO tr 3 N

g c

d,

$ ;

! F

. S

iliE

i:=i r

itEia

fliis

f ; 5

ra_j

gr: i i

s +

r i$

-:=

f x

tJa

sEiig

fEst

o.'*

I

-iS-iQ

z 3

=

Ei+

;tii

s'g

=* ii

i H iiE

I:.is

:rs

$ j.,

-,',"

t 3 H

; j€

+:

:.p

E =

;:

ri ij

., =

d o

-o o

A E

!:_

1 =

I

.o n

, S

F

S

- E

3

: -

_ziE

; s =

i +

=E

,i*;=

i 5.

." S

g 3

q. $

[ i

Eg

slii

+i 4

=llF

lE. i:,

:;x;:l

; s i

?g i

i iE

i;=

'+!g

iili.

sa

gIE

.t-!

q'{ t

a E

; i

t E

+ 5

.*-i:

n e

r-l

-Fia

[=E

=

€ -i6

-itE

'

x i6

:'Es!

![ E

ls*"

=t3

i:e:E

g s

E "

l3-lS

i la

3 $E

*{

.1gi

; 15-

l:;5,

6+iE

=.-

: i

$ ,-

l'5=

l€ q

ir ?

=lS

Nt

g ii:

,-E

: $+

+:il

E i

i .;-

-.i-;

iE

€ ?I

$=

=-i

g E

13,

."iE

sg*3

8 .,:

i r

;,il

5 S

, ;=

+E

Ig I'

; i;;+

+E

*Fgi

l ; i

.i= |^

n s

s =

j tf,

i$$=

;=i +

=I,g

E]:[

* :-

1"3-

lg'!

Eg}

E,

-+ I

*-;

.IIS

=

EA

r +

l!

lE r

*'

's -

3.;E

I i

; =

rr;*

:=

*-"s

E

A A

t

i;,o=

:=

-i ,.=

, ;g

i -G

:)i

8.S

5"g

3 ?

- *'

i'3

x

Ix*

iilIiF

;irig

E $

ri i

[;',i

, s;

l*$

B. =

a i

6E: ':-

!

'gî

a S

*,

t{E

I F

l!pI:t

t;;;q

' s-

i,. ls

! s=

i=

,,1

'qiE

fE s

ii3

i*,,,

_o,,,

_ t

;

EIr

E u

H B

EiE

=F

s;R

t==

E=

=^

-;g:

s;

EE

E F

€i

Ig31

8'7

2 q;

;eE

E\3

s.

gF i;

B€=

f

s:

5.S

? F

-o g

3i.:E

ti+i

;';.

ii.-E

e E

Sj

r;fr

1x=

r;y!

'X[if

;=

g=

;&

,'/' :

1-

t

: -

m.o

9: p

i. i

e o

v-J=

-r

.; tr

_

f;o-

I l,

; 3i

=l

t E

srv

14 E

r ;-

-€

B" n;

; gF

E :

: B

r 6

=U

A;

i :

:Tl=

oT

b'E

o

c! =

;.O

E F

;:.-;

^Y

E'N

i

E:

E"r

F*$

Xil'

3++

; ;;i

f$=

*EiI:

=; i

=

*)ll

il=gn

) 5u

,_p=

='-i

=:lq

':rE

? 5

? -E

5<-

EE

S'

ji="?

il [9

=

-P

r-{.

*i

n E

;$

tJ

2 o

-t-

uig-

E 5

t ;S

rf:l

Ep

B t J[

i s 3

{ ;

i =

l,iE

g:i-+

$i le

i3 5

:$11

; :

! !

E .:i

=i

.IE-

= s

, sH

:E

rs?g

$a

Z

1 f,

=

siIE

-E i"

; ;: 5'

rt s

;rrll

$

S+

!

r1-

a-E

t N

St

eaS

B

;ll):

F-:

E

irr

: s*

1,ii-

l *i 5

e:g

i E* i;

;. ; r

f, i-

lfl.

r= E

r* s

i i t:+

iE E

I ':.

e 1E

=r_

E ;:

, t=

e I

E-r

;Bg

] E

==i-:

El-f

i tr

.€ a

il x

:i E

, i

: f

='-E

.

i::-,

,

+E

::,:

4.=

=.,

tr - O O( :] ni a. o q N

i4-:



56 Giava 3. Nizovi

Prema tome, izvan intervala I nalazi se 962 tacke koje predstavljaju prvih 962 clana niza, tj ft,.f2, ,.f962 Svi ostali clanovi niza (f)EN), tj. za n > 962, pripadaju intervalu I.

3.11. Pokazati da broj P = 0 nije granicna

Regenje. Primetimo da za n > 3 vali

E > 0, na primer e = 1/3, tako da je

da P = 0 nije granica datog niza.

3.12. Koristeci definiciju 3.3, pokazati: cosn

lim 0; b) lim 2,2+4

vrednost niza

n2-1

fl,

>

c)

'22 - 1 = 3n2-4.

n2-1 >

3. Znaci postoji

n > 3, a to znaci

= 0.

3n2-4 n'--1

0

3,22 - 4 1

3 , za svako

lim (0,99)n »

3n24

0; a) -= = » n II--,°° a2 + 3n- 1

3.13. Ako je lim x = 0 i za svako n vag x > 0, pokazati da je 1im x,°` = 0, a > O. »-

Regenje. Iz jednakosti 1im x = 0 imamo:

(bel > 0) (2no E N) (Vn E N) (n > no Ix! < el) . (3.2)

Za dato E > 0, uzmimo st = 51/a. Tada, prema (3.2), postoji no E N sa osobinom: za svako (n > no) va2i Ixäl < Eá = (51/a)a = E.

3.14. Pokazati po definiciji 3.3 da sledeci nizovi imaju granicu 1:

a) a= 3n2 + 1 _

b) bn = " a, a > 0; 3n2+2n+1'

Regenja.

c) Cn = f 2

a) Podimo od sledeéih relacija: 3n2 + 2n + 1 1

3n2 + 2n+ <

3n2 < n< E.

Odvade siedi da, za dato E > 0, moiemo uzeti no := no(E) = [1/N/2e] + 1, takvo

3n2 -¡-1 da za svako n > no vai 1 < E. 3n2 + 2n + 1

b) Za a = 1, tvrdenje je trivijalno. Ako je a > 1, tj. a = 1+ b, b > 0, tada za svako n E N, n > 1, postoji realan broj c(n) > O takav da je {/1 +b = 1 +c(n), odnosno 1 +b = (1 +c(n))". Pomoéu Bernulijeve nejednakosti: (1 + k)" _> 1+ nk, k > -1, n E N, dobijamo 1 + b > 1 + n c(n), odakle imamo c(n) < b/n. Znaci, za svako s > 0 vali

"1+b-li =c(n)<b/n<s, akoje n>no:=[b/E]+1.

c)

3.1. Granicna vrednost niza 57

Ako je 0 < a < 1, tj. a = 1/h, h > 1, tvrdenje se pokazuje analogno. Dakle, za bilo koje a > 0 vai jednakost Hm = 1. »-- Pomoéu binomne formule <Vii = 1 +d(n), d(n) > 0, n = 2, 3, . . ., dobijamo

n=(1+d(n))"=1+nd(n)+ 2

n(n - 1) d 2(n) + +d" (n), ,z(n -1) 2 odakle je n >

2 d (n), gto daje d(n) < V2/(n -1). Za svako s > 0 vazi:

(n>no:=[2/52+1]+1) (i"n-11=d(n)<-12/(n-1)<s).

{

0, IqI < 1; 3.15. Pokazati da je: a) lim q" = 1, q = I; b) lim IN" = 0, IgI < 1, b »

.+.., q > I;

Regenja.

a) Posmatraéemo prvo slucaj Iql < 1. Tada je lqj = 1/1 +h, h > O. Za dato E > 0, na osnovu Bernulijeve nejednakosti, vazi

(\In >

-1-) ( Iq" - 01 = 1

<_ I

< < e)

. he (1+12)" 1+nh nh Ako uzmemo no = no(E) = [11001+ 1, dobijamo da za IgI < 1 vai lim q" = 0.

Ako je q = 1, tada je oèevidno lim 2' = 1.

Ako je q> 1, tada za h := q- 1 vazi: q" > 1+ nh, n E N (Bernulijeva nejednakost), pa niz sa opgtim clanom q" divergira, jer nije ograniéen. Pokazimo da ovaj niz divergira ka +.0. Za dato M > 0 uzmimo no := [M 111] +1; tada vazi:

(n > no) (q"=(1+h)">1+n1'a>nlz>M) Primetimo jos da za q < -1 niz q" ne konvergira. Za q = -1 dobija se divergentan niz (-1)", koji je, inace, ogranicen. Za q < -1 niz divergira, jer nije ogranièen (videti teoremu 3.6), ali niti divergira ka +0., niti ka -0. (videti definiciju 3.5).

b) U sluèaju b < 0, tvrdenje je trivijalno, dok se za b = 0 svodi na a). Ako je b > 0, tada mozemo izabrati k E N takvo da je k > b. Za h > 0 i n > 2k vali:

(1+1i)"> ( k )hkn(n-1)kn-k+I)hk> (2)khkk (3.3)

jerje n>2k =n >2k- 2'2n>n +2k- 2 -n -k +1 >n /2.Akojeh >0 takvo da vati Iql = 1 /(1 +h) < 1, tada iz (3.3) siedi

Inbq" - 01 -

nl'IgI" - 11

b

< 11¡ 2kk! = 2kk!

n'-k < 2kk!

lib, -k < E, (1 + h)" nkhk hk hk

za svako n> [

k

-VEhk/(2kk!) ] + 1, gde je bi E Q takvo da je b <bi < k.

S

6- ;

! -{.s

q i .:i

:: o

d ..

V

,r -.

E _

ts fo 6i

d n

= ^

,s i E

;

EE

E

,s-;

9+ { r€;il j

r *,=

;I iiF

i a >

-,:ii iiS{;.t*€ii iq*,=

EE

S.l->

-3.., J "l e :[l 1il:S

;.1 ,,.r,.{u

io :-l

\,/

E;s=

i s1{"r ; -r:5-ii5l E'ii;i:l=

x?-=,-i

l>.-

*.e. ;;--:8'

E'E

-tt"]iE;

p;E!-v

! iE

'-iiE-E

l ; ig=

-'-:; :i-:io'S

*S:-=

.fri"€=E

i ::'J.

t==

r -

o +._"_

;d I

t-==

g.i; r i,:!',iF

rr &

-S

e S;:'

t o!u5-E

lrr t

i*€:E

a r': =

-

:i E €S

, E

i'sp,,---oE [iE

; r,[I'$E J *i i li

.5'- i

+

-t =

-=

a'i-,-:=

:':--dI'E

i:ti^f e

i* n-iixtS F

$:eE: ,- l;

f 3:;E

l: j

\ g=

*5lii;rs;;E;I:,)>

irriE

i S

gE

Eur?* i=

E;r=

l:::g5'd

E

$ ,E

E

S{I!*

i :,<

i, -r

-voatr#r;

- --

x .rz=

oo'o"E

b E

-E=

;' 'e,g

tr=

8 E

e .iee

*ttx€ E

::J{ a.i

(c

i &

e a

a-

Nopsio

6-ri

@ya

>vc

V*58

-,- !

- :=

=-o

\.2 - =

O

"EIO

":JelN

I

hN

iSr-:-

:==

'; o

v Q

Y

=u,A

l---c-:lc-'rJ-

+ -::t

lr 6t

Cr)

tln "

/\ -

@

-SN

l, ^

r /\

-,rt,.:=

r^viiltl"l -z

-; -ilO

\*-+-*,U

Olr

r.r- s F

=

I .^

=^*r{

^-=

_,

4 ?

ar I|

'E

,,: :u u

/\r\ o

i- 3

J G

€;-o ;

-l* =

o

o -v Vl

i.N

- !

U

L^^.lN

trtd?'i':ti

a u

- -

vE

r I

O

r_ -

vv (J

LD

-ld ,N

I

j: U

In o -i+

'

.. o

Vlo

tr , ls

C) T

-

i -

-:-.tlN

n-kE

i..eslae-ll-vl-{d

^ -lN

q

{.- d.=

'; '; i.i trsli € g :

=Y

--.'-t-'-6YI

=

',I: L

->\

J -

E:

9.s,;t". Il

'g N =

o .sr, tr '1.1 1 -n_.i S

A

6.=

u=

r- |

i ;

= E

-. i E; rl

: !

3..n!Ji I ll

tr€qlicrn\qr.\r.=

s

d -

-' Q

-r

& 5 € S

t?Er

L9:

di>.illi

-ll+ l.\

N-lr

olrul.iilc-:

q)>

0()

st1oa

oiicaO

",o/\

ooB

ii.;irl,Zi

di q0

\,,

,,q

aR

V

-o

-, --

x =

5i i t g

"=\.o:S

sEl^li.i/\.4

s*J-X

rr\;rl.so]'

nl !.

\, ;!-

R+

lS *.

H

S

E-*

'E

Sti

tii a

"- i:

rNstr-xllN

r: 4

{ 6_

pe!

q o

\,r 1! a

t=

L o

ll :

; v *

E

,E

r; -*

a :

:o --i

o-ri ah

i =

l u

='!

:l.

:'-'=tr>

-uJ

O

v. -

=^

=il

O

o :

o ri

=t

* c

; ^

ial-

j tr

s z\

-O

l- 'lf

A

- O

ul E

l .o

,'_: \

gf =

r *'

1o E

-' .@

'oi-

A.:'--.;.

tg

ir, =

eo t.;

o,N>

T

J d

.*^N

:'.)9'E

S=r

/\'i:S*

=

rdE

X"

Nih

cdllo.n

e !

i: ':'

Fubo.:

nx'is'.=!duH

y

o-\':jE

ru

rYC

roaiA<

>a3

e.i

et;

>oG

orQo.\f_.d:;N>

\o

.X

( -JY

z i: lll

Oîl

!.=

il

.. ui

qiu=

.\i qi .S

o- S

.54 H

'Pii

kN

!i^

'5 i:

A

Lcltr@

d(J'sE

.5

Gl.H

'i

!a\o04

i(^ tr

l.r ,6

il I.i\tr^\6N

-r.\!L

.j

-l e'

:! !.

!, Sg

nsin=

^s\.i-r.i

-5oNEr;

aEoN

,9d

N/\ad

Tll

=,IN

N

it A

rl

- l=

i- * l$

rlrit_ l.s.r l.t\lo

^16

\o



58 Glava 3. Nizovi 3.2. Osobine konvergentnih nizova 59

3.16. Neka je lim x = L. Pokazati da je tada:

a) lim(x+i x) = 0; b) limx,'-, = L2; c) lim Lr = II-,-

3.17. Ako je lim = 'al, da li je onda limi = a?

Resenje. Ne mora biti. Na primer, za divergentan niz x = ( -1)" = 1.

3.18. Iskazati: L lim x (u smislu definicije 3.3) i dati geometrijsku interpretaciju!

Resenje. Tacka L nije granica niza (x)EN ako

(3E > 0) (VM) E N) (n > M la > 8).

Geometrijski, L ' 1im x znaci da postoji E > 0 sa osobinom da izvan intervala o0

(L - E, L+E) ima beskonacno mnogo clanova niza (x) Drugim recima, postoji beskonacno nmogo indeksa n za koje x (L - E, L+ E).

3.19. Dati geometrijsku interpretaciju definicije ogranicenih nizova.

Resen,je. Niz (a)EN je ogranièen ako postoji broj M takav da za svako n E N vazi

la 1

< M, ti. -M < a < M. Geometrijski, to znaci da su svi clanovi niza (a)EN smesteni u interval [-M,M].

3.20. Pokazati da su nizovi a) x = 2"(-1)"; b) x = n(-1)", neograniceni. Ispitati da li divergiraju ka ka

Resenje.

a) Pokazaéemo da za svako M > 0 postoji n E N da je ix > M. Za proizvoljno M > 0 i proizvoljan paran broj n takav da je n > log2M vai x = 2" > 21og2M

b) Za svako M i n = 2([M] + 1) > M je x = (2([M] + 1))(-1)2gM]+u = n > M.

Ni jedan od ova dva divergentna niza ne divergira ka ka =

3.2 Osobine konvergentnih nizova

3.21. Teorema. Ako su (an)t1Ely i (bn)nEN konvergentni nizovi, i ako postoji no E N sa osobinom a no, tada vasi nejednakost lim an < lim bn.

n--ioo -

3.22. Teorema. Ako za nizove (a)nEty, (b),/EN i (cn)nEN postoji broj no EN sa osobinom a no, tada vati implikacija

(lima= limc=L) (limb=L).

3.23. Teorema. Ako nizovi (an)nEN i (bn)nEN konvergiraju, tada vazi:

a) lim (a ± bn ) = lim a f lim b; b) lim(ab)= lima- limb,,; n-«. n-+

an lim a rt-,

c) him , uzuslovb 0zasvakonENi /2, 0;

n-K0 11-,0 b lim b

d) lim (A a) = A lim an, gde je A proizvoljna konstanta; /i-+oo

e) lim (a;,)k = ( lim a)k , gde je k prirodan broj; n,- -,00

1.1 lim 6 = kilim a, gde je k prirodan broj.

U f), ako je k paran broj, mora se dodatno pretpostaviti da je a > O.

3.2.1 Zadaci

3.24. Odrediti sledece granicne vrednosti:

a)

d)

Sn'-+2n lim

n n3+1

lim (-2)'t+5n +5n+1'

2 ( ),

n- n b) lim e) lim

n sin ni

n--,n-' n+1

e) lim (Vn2 - 1 - n); f) lim (A/n2 +2n - n).

Regenja. Primenicemo vise puta teoremu 3.23, kao i granicu lim n_a = 0, a > O. n--,

lim 5n2 +2n

n-,00 n3 +1

lim n2_ n = lim (n - 0-2)(n + j2)

n-,00n-../I'/ n-IOO n- Vii

= lim n2(5 +2/n) 1 ?_ 5 +2/n = lim lim -0.5 = O. '1-'00 n3 (1 + 1/n3) n-, n n-, 1 + 1/n3 -

= lim(n+yrn) =+c"3.

' n2sin(n!) = sin(n!)

I-m n+l hm3 3 2=0 (jerjelsin(n!)1<1,nEF1). ,`+ 1/ hm (-2)n +5n = 1

. hm (-2)n/5n + 1 - 1

12-,.. (-2)"+1 + 5n+1 -

5 _o (-2)n+1/5n+1 +.1 -

S.

/ 2 2

lim(yn2-1-n)= lim (Jn -1-n)(vn -1+n) = lim -1 =0.

n-+0. n-+.. V n2-1+n "-'°°n(v1-11n+1)

( 2

) (/n2+2n-n)(/n2+2n+n) = 2n lim n + 2n - n = lim - lim = 1.

Jn2+2n+n "-'°°n(1+2/n+1)


5lD

.a

ts 3 N o

b 't"

'} ^.

rz

?,

. l,"

lrJ

'..

u.

ir F

g

riF

'rJ

F h

F

. ii

d,5

h:-

ro-i,

6tP

9,.-

'-:

c-

.G-

3 z

N <

TE

E!

=:.9

p

8-'S

Q

3 a

g l

D =

:E i

E N

r -E

= :[

r ii

*.;r

; al

g F

f F

i _=

5s=

=

=

i )

-;:

:1 a

c,

:

i.iE

s

i 7.

=;

it=j

'^F

:F

? ;1

EE

S

l :i,

f 3

g,-+

, -a

r-

= rZ

. ?.

=sl

=

"1 ?

1

S ?

Z

:-;.

=.s

i

u= +

i

rn6

tnT

E

-:

: io

:i =

;< f

*t,s

r E

,i E

xzs;

*.il Iii

i i +

o':

?i!

195

++

:= !

<f=

t:i

t?,=

ZE

l7:

ty';;

i;!I3

fi*

s11

ioE

rEIr

i':S

1=!i=

$_r

r yi

:s

#

=:€

) {s

o6

'a :

= E

= i

: i

i s

ii=

a;a

^==

- .!

F v

:i j.r

, b'

: E

i=

?,^:

e=

il

: =

:.:i=

N:lt

i F

5+;

=Y

i-;s.

r-E

;z?

iis;=

r,; ji

ii +

i;

lE i

i 3,

E i

2*z:

-'I +

; ;

= 'ii

, n

uSs

+t F

Sa3

1 g

;;t

f:;:"

i

1:.

r::

=*x

. $S

5

S €

:=

r :f

=-,

rS -

f =

N

al=

î<

+:

r';sg

r

rSS

!aa'

G;

{:

=sr

d q:

;J

:.3

-= i'q

^j i;

a;

* I

TE

-i;ii

r!:'i

; i$

: ;e"

i:

r:

_=n!

I =

i' s

€ 5l

E

+

i =

{, r

; ;.3

a

I tb

r S

=

+

; .r

\

-

z oE

-^-,

q is

'lY

rE

i. E

: ;':

E

;gi

nr

F €

! F

z E

B

*, T

3 z

.<g

i-.

l, t

- :-

F

E

t tE

, €,

$

!D N \J o o h s ID OQ o s N o N

UJ t) !,

!6-

=E

:-

:-

!;x

!J

:!

I8'

U

' = P

lltr*

ll L

ll ^'

=N

;C

{;:J

il

- N

'E

I ^

l v

='-l

i i=

- =

" :p

t!.

^

x,

J5S

s

8p

J.\=

Sy

%

:s

rr

1'l

r!.

F

z

Jts

A=

s="g

Ej}

A=

!,.

:e2

,N

+6\ sd ou

a-t A

\. z* =-

+:i -.

u I

:-

:! -

8r

8I]

il<

- a

<-.

.a.

)a'lr

srt ts lil .il

<--

-*

lI=

ll:3

A;t

tv,

^ I

S

:-*

I !

- :l

_ F

6P

oa"S

\. (\

uq

N\_

\+

.\.\

'tr

-' X

'ri'

\>ei

:'t FlP

Xi:s

:. =:

..v

x- o b

pTuS

./i!5

a< (i-(,

=P

P^-

l=

E'

S

I''}

>'u

ir.

.;'

:l

s:

S

? ;3

i5

i'

-+

i+ 5

^l

=ts

3 E

\

-lS 3

vlii

l.'*

P

\'rr

Hi

il.Y

-l$

t' n.

\

-i -=

J r'r

"

jo

5i5

"

olu

-,

<

it :

: i*

u:

1 b<

:l

^.:

A

ilu

'd

^ -

+ti -l

\ 6

r{-N

o>

D

d

^ i

ris 6

-

s t

. -r

- -

:-

- o

x,'

E

r!.

l=rr

6

l=

.='

? ^'

YJ

-iO iJ

(!

+-t

I

l,-

!f,r

- l.

'"1

<

ll =

' (r

r '

| :ll

'

i=

' -i

; \

-lu

5 =

!-

rll

" O

:l '.

qe

3:l{

- d

:--

l s

i. J

j =

'-E

r

ll tr

=

=

i=

Sr-

ri

l- -

:-

.i'

hr

E=

:.

u 8r

<

i<

_ ^"

il s

:-'t

I =

) =

*-

I N

=

lul

I e

.+l

rle.

lVtt

I l=

'll

Ml

-l:-

oU .li

.-x:

-V (>

l='

x, * t:

rlp .lr ll

E' l^ l! ll

I is

-'<

lc lr_ lv ='

i5 + -\ li + .8

:-

:-ii

8a--

t l<

-N

l :lN

l'-<

l I

lailJ

j r

l='

I t:

rltll:

qlq +l '

I

+l

:-

ir i3

i=

t 1Y

.].

lJ

q l^

\liI

I <

-l-fJ

l',

s ll

vl

I ul

l

ilN :t--

il-l-

- +l , t(

D+

l- :.

-l .D

lla

= tn .: rn 4 4 Y

(D

E' i IrJ I i l='

8r

t-\

.-lrl

Nlt

-il-

r ll=

-ll

zr

I .-

-'r

-IN

L 'lrI] l-t +IJ li x, -:

- |

<t -)l lll r

>il +l il

(, iJ (nJ ;

:_R

i 8'

\ =-

T,l

Grl

NN

I^-

!l

ai'

oo d\J

.)<

^ :l

- x,

x l<

{ t-

)

6 l-r

l%

i,l.

IUJ

'. \ta

I

Dll

I

.t! T

ll-N

li^\ll

I llul

: lrl lL

tIN

Jl=

llr t, t- ll :- l='

8' i-t \l *tl

f Ll

rll

N.!"

ll :

*-lt l'l

I

vl

tl

::,::

\o



60 Giava 3. Nizovi

1

a) lim 9-- ,ly iÉ2 ,

0n2+1+ n+1 d) x =

lm 3 +2n+ 12+n,

l/5 b) x =

(32+_k) c) x = Jn2 + n- Jn2 - n; Tb

n! + (sin(n!))2. e) x" = 2(n+1)!+3

f) x = 3T7 (vn-l-yn+l). Rezultati. a) 3. b) 1/2. c) 1. d) 1. e) 0. f) -2/3.

k

3.26. Pokazati da je: a) lim 1á = 0, a > 1, k > 0; b) lim log°TZ = 0, a > 1. 71-,0o an n-,00 T1

Regenja.

a) Data granicna vrednost je veé pokazana u zadatku 3.15 b) (uz a = 1/q). Ovde éemo je pokazati korigéenjem teoreme 3.22.

nk am n n? n n,

ZanzElìTn>k,VSZi 0<a,l <a =("'a ) =b ) , gdejeb= "'a>1. Dalje je n 2n

- b (I+(b-1))" 1+n(b 1)+n(n2 1)(b 1)2+...+(b-1)" n(n-1)(b-1)2'

nk n ¡m

2n Znaci,imamo 0< <(nl < (fl(fli)(bi)2)

2n k

Kako je lim n(n -1)(b - 1)2 = 0, to iz teoreme 3.22 siedi: lim

a = 0, a > 1. n- n ,00

b) Na osnovu a) je lim b"

= 0, za b > 1. Na osnovu toga postoji no E N sa osobinom n

da za n > no vaii b < bn

< 1. Neka je E > 0 dato. Uvedimo broj a > 1 kao b = aE.

Tada imamo alE

< anE

< 1, ili 1 < n < aE, za Vn > no. Posle logaritmovanja dobi-

amo 0< lo n< En odnosno 0< log° rz < e, za n no. Iz poslednje nejednakosti jamo ga

n o P j j

siedi da je hm log° n = 0, a > 1. moo n

an na 3.27. Akoje a realan paranzetar, pokazati da je: a) lim -= 0; b) him -= 0. n-,oe n! 11-.0° n!

Regenja.

á) Ako je la' < 1, tada iz zadataka 3.15 a) i 3.9 c) siedi 1im cP- = 0. oonl

Ako je > 1, tada postoji k E N takav da je ial/k > 1 i kI+I i

< I. Tada je

1C71" lal la! !al IQI

( Íal

)n-k ( !al

)-k 0<- <-.-.-... =,11

n! 1 2 3 k k+1 k+1

3.2. Osobine konvergentnih nizova 61

gde je M konstanta koja ne zavisi od n. \ n-k

Kako je Jim M ( k

Pi +

l

1 1

= 0, to iz teoreme 3.22 siedi da ,i-+ \ / jednak je nuli.

b) Pretpostavimo da je a > 0 (ostali slucajevi su trivijaini) i neka prirodni brojevi k i

n zadovoljavaju nejednakosti k> a i n> 2k. Tada je n- k+1> n/2, ..., n> n/2. Iz procene

a lim - postoji i 1 n!

na lik nk

n! <

n! (n-k)!(n.-k+1)(n-k+2)n 1 nk

< (n - k)! (n 2.)1`

2k

(n -k)!' siedi da za svako e > 0 postoji prirodan broj no = no(E) takav da za n > no vazi:

n"

n!

2k 2k < < < E. (Na primer, no = k+ 1 + [2k/s]) (TZ-k)! n-k

a,r 3.28. Pokazati da je: a) 1im -= 0; b) lim ,/1 +x = 1, ako je lim x = O. n

Regenja.

ay 1,a

a) Za svako n > 3a je 0<(ñ) < ()'. Kakoje m () =0 tojei -

n \ lira (a)"

- =0. : oo n

b) Pretpostaviéemo da je r > 0; slucaj r < 0 je slican.

Akoje x>0, tadaje 1<{/1+x<(.0 +x)'=1+x=1+14. Ako je x < 0, tada je 1 > {/1 +x > ({/1 +x)1. = 1 +x = 1 - 14. 1- 1x1

< {/1 +xn < 1 + Iz lim x = 0, siedi da je

lim(1+Ixl) = lim(1-lxI) = 1, pajei lim + = 1. n-ao n-

3.29. Odrediti granicne vrednosti sledecih nizova:

n2°134 + 2004" a) x =

n+ 2004'1}1

20041'2 -2" + n2004 d) x _

(n3)! ,

i 2 g) x 1- (/2004 1- <Y20042;

J) 2004

(

2004

)" xn v n 2004,04

(2004)n' n

</I- 2004

1+ 0,004' <'f,:-/5+ <V5-

5"n2+"51z' n+ 1og200411.

n+2004 '

Odavde je.

20042" + n! c) xn =

2004"+(n+1)!; %4016016 - 1.

f) x = V2004 -1 n2004 -

i) x = 1+n- 2004, 4"

'

1og2004(n2 + 2004) l) x=

Rezultati. a) 1 /2004. b) 0. c) O. d) 0. e) - 2003/2. f) 2. g) -1/2. h) 1 /3. i) 0. j) 1. k) 1. 1) 0.

=^

^l-+l

^ oi

t: ql

I'oJ | 'i X.f

lX

1lO 1

]N

Yl

lSllF

R-l=

C

lt+

i=>

*l+

6dl-\l

^l

il il

lr

xkkc3-

t--lilt:t---!Jlfo l.fN

loIN

q)oU9--.:i=

rj.ri

-lt{r-rl-'*O

l:-r

r d'

l+i,,L-H

l

l9 .;- lT

o dR

i lx=

l+ -

.El

o ll

(-r -=

d

'- I

->9

:;;t .q

s\/

/\ I

,-kPL

\ V

l lg-

s

'9 t.

aJ

'61*-2N\

.: \

a- -

E!/t

=

xn"u:qt-or

l:.rO

\F

-!d

'O

.. aR

\U

F-'X

rrL

-: O

lr ll

l!=\o

vl-/\i

\ s

Idik.oo-q'vl

+i

I .sr '9=

t

* ^r

I9

W

v I

F!

.J

NPo

J4oo"ia'l

tl-Rt1()i1

*o:aooM

*loVoCO

nl

N

\o

6iI

5D

Gi

6io6loC;

-:-ijc.l

Nil

5':92n;av

''xll uE

-iô{.:},(J'l

3 e E.E

- -,'-.

;:

3 J B

E

, :I:

E

Y,,

v 11

o =

i r

in.!'=

=l'r

: i_

*",i :_ .: e E

z ^

v clr

EY

.:go*r--:<-=

o. :

!. o.

,_.sl+ --

.. d

I Z

N

o

\l=

r-k a

E

3':8-o rr

-Ei -

i:

7 S

" E ;

=

t'=

=-

,.--\ N

X

Z

=

n

-c nl

I

Ed

lr y A

E -

i a

t E

"ll_{-iJaia^-(J,<

ll ?

e n

E- si

.s, ::

€ --i

9n:9irz':;.S-;

v A

-s

9 v

J I,

-; Z

trl-

)- ll

N _; =

E

r,

t *

y E

l.rrli

i)- o ;

': 3

c a-

H

: -:

I I

.. 5

: =

Y

o

t'-\/

L_=I

v Y

--

ii d

v -lsrli,;

- -

it P

.;

o /

*=li,\l=

=

8 "-=rt

ii rr E

:

? Li-

-,,- l-

E_-i u

3 d,, =

S

!

€ =

i=.

l=

l' lB

:

ii =

-

OE

rlc'o9T=

.i\/nE

=

l 3

: E

i j)

Y

- _

.:ifit.=-{ja,.r

;O9,'a6do.-'i''h

a-4-\-A'a:.aaa

C.Jg-;E

u:z-:lY,a

5 ga.r

lNtÎNt^ltt-t,:-

I

1+

I

\l.ll-:l,l:l+

I

sI

l:I'l.Il9l,t^lit-t:l:tlIr+tls tl

E

lil=

I

t+II;>Lslt

act I

-_.-lm-.

11:i-.

-l-f'tv-tN

ilfo

t;t+l=

lln>

|--r-lt-

llNl+

ll+t" ' l-,s l!-t1I,

lrln

l

ltlrlc{t

ll1+Nltt

r '1,

l]-[--o.>

'i-+

'ri+ !! lis il*

C)llo

I r

a{l-N

iLN.T

I

qolN,t-\tntN

Ot

I l-llslls -

f$l+

>1-:>

+

=

I ll

ll

}ixx

'r iÎr

^ llS '

=t'

." t:>

*1oI

f I

-:

I I

I U

t+

'1*l ;*

cr15il

I lor

f l-^

slt lld

r

il9o

l- llN

l\t

I

al l=

2l5lr!?l

r N

lH

l , l*-=

->llllilxkriE

eo:-

{

a ''

!tl

OL-

olll1x

N

l-:{ll^,IN

xl

llx

oN2ai\J



62 Glava 3. Nizovi 3.2. Osobine konvergentnill nizova 63

3.30. Odrediti granitnu vrednost niza (x)EN, ako je:

1-2+3-...+(2n-1)-2n a) .x =

n2+1 1 1 1

b) zn= +...+ y I + 2n+V2n+2 1

Re"senja.

a) lim 1-2+3-...+(2n-1)-2n = lim -n - 1.

n--w° n2+1 17-'°°.Vn2 +1 1 1 1 1 1 -f + b) lim - + + . . . + = lim - + + f +f 2n+\/2n+2 n-n", n 2 2

. + 2n-/2 n+2¡ = 'fin 1:2-12n±2 /2n+2 = lm 2-2n-2 _ f -2 17--+0,7 2 n n_,0,0 -2 1f4-\/2n+2 ; .

3.31. Odrediti sledeee granitne vrednosti:

e) Stavimo S = k4, i potrazimo taj zbir u obliku S =Ans + Bn4 +Cn3 +Dn2 +En + F. k=1

Tada iz razlike

S+1 -S = A((n + 1)5 - n5) + B((n + 1)4 - n4) + C((n +1)3 - n3)

+D((n+1)2-n2)+((n+1)-n),

dobijamo, na osnovu (n + 1)4 = n4 + 4n3 + 6fi2 +4n + 1, da za svako n E N vazi:

(n+1)4 =5An4+(10A+4B)n3+(10A+6B+3C)n2+(5A+4B+3C-+2D)n+A+B-I- C+D+E. Izjednacavanjem koeficijenata dobijamo sistem jednacina Po A, B, C, D, E:

5A=1, 10A+4B=4, 10A+6B-r3C=6, 5A+4B+3C+2D=4, A+B+C+D+E= 1,

odakle je A = 1/5, B = 1/2, C = 1/3, D = 0, E = -1/30. Prema tome je 4

1 5

1 4 1 3

1 1 I 1 1 S= k =5n +n +3n -30n+F.Zan=lje 1=+ -30+F, 1 1

n _

a) lim b) lim-E(2k-1)2; c) lim '`'; °k-i (2k-1)(2k+ 1)' n-, y13 k=1

n odakle je F = O. Na osnovu toga je 1+2+22+...+21z

) 1 '-', 4 1 3

2n-1) 1

n 4 Sn5+2n4+n3-.l0n 1 d) lim

2 ; e lim s Lr k ; lim 2 + 2z + 2 lim k = lim - 1+3+3 +...+3 n n- - k=1 n y5 k-1 n5 .

Regenje.

a) Matematickom indukcijom se pokazuje da je 1 n

odakle k=1 (2k-1)(2k+1) 2n+1'

je , 1 n _ 1

1kL-a (2k-1)(2k+1) -12n+1 - 2'

b) Na osnovu zadatka 1.6 b) imamo: lim n3 . E (2k-1)2 = li =-- m li

n3

1

n(4n3- 1)

4/3. k=1

e) Imamo: ,j. ,Yi.. -\%2... 2 = 2(+1+..+4) = 21-1/2" = 2

i 21/2n

'

2 = (21/2n)2"

= (1 + (21/2 _

1))2n > (1 + (21/2" _

1))n 1+ n (21/2" -1) + ...+ (21/2n -1)" > n (21/2"

- 1) .

Odavdeje 0<21/2"-1<-2 , tj. 1im21/2"=1, paje lim 42 2^=2.

12 n n--, +l

d) lim 1+2±22+...+2n - lim

1

1-2 = 2 lim 2n+t (1- 2n+ )= 0.

+3+32'+...+3n- -, 1-3"+ n-,3n+1(1- +1) 1-3 3"

f) Obelezimo sa f,,, n E N, opti clan datog

fi, _ 1

( 3 1

) 2 f, 2= 2 + 22 72 +...

niza. Tada je

2n-3) 2n-1 (2n-1

+ 2" 2" 2n±1

1 (1 1 1 2n-1 1 1 1-i 2n-1 =2+2+22+...+2n-1)- 2+2 2n+1 1-; 2n+1

Tako dobijamo

lim 1 2n - 1 l n 1

fn = lim 1+2 1- = 3 lim - 2 lim + lim -= 3. 2n-1 2n 2n-2 . 2 2n

3.32. Odrediti granicu niza (x)EN , akoje:

b)-x=(1-3)(1-6) 1

..( 1 +11)° 2

a)xn=(1-22).(1-2,)...(1- C) x=23+1 33+1 n3+1

23-1 33-1 n3-1

Resenja.

a) Na osnovu identiteta 1 - 1 = (J 1) ( j + 1) 2, 3, .... n, dobi .Ï amo

J2 J2 j =

(1.3 2.4 (n-1)(n+1)\ 1 n+1 I

limx=um 1-linl- = n-,00 32 n2 / 7,-- - 2 n 2

);

o\ t') l*l tr Z N o !.

e E

, F

s

efi

P=

.>

2'

^ =

-:-

(:

-"

F =

==

=: i

, '.E

i?-E

s 3

i3

its

i=

=

; S

l- ,r

S

' J

+*

--*

;i; IM

= I

i. i

i','

| ,

Ga

IrIIr

i

ljt:l-

lr

sl-

i- I

E

+l-r

Tl

i. ,,1

< 1

] .

1.,

N)

I;;

'.lY

ll

;' ''l

il "li

- i:1

, <

- r

r =

+

*i-=

l-I

rpi -

, -t

r*

-rl

l:;"F

: l:

Nt

! -

ii :ll

o i ]

-:.1

, N_

o .,t

., rr

*

lt Il_

l:

(=:

rt-r

r

*.

=',

l] l,

s-t

],ll+

dE

ilx

: :;=

"]l_

l;

.-f

1lls

3;

e =

$'i,

=,

li F

l-liN

$ ;=

i=3s

lrJ=

1 sl

l-s

E.

=_l

_ =

-r_

,L, i]

t! :

"l.y i

(,

I *l

S

l- <

r :

" ?

B

IM=

:M=

;ll

ll

, !

*h'

\

G

-=

Prr

rll

:

' t

d

i;=

.: x

i? Y

.rr

Yll

hlJ

l :_

,,

r

Sl

r-

sl-l=

l 51

-| |

.', <

r_

ill^l

- -:

9 e

Pl-

-l-

pr

il ii

i=

9ll ,

,ls

>-

:l s;

S

-r

'-lr

Ir

+)_

t+sl

- Y

v)

,.r

s lF

-l ,u

)lho+

: *t

3 ..t

Y

<i

7<

':l .

p-

lor

-Y

l, 9

va4

Ti

:pb

g

\poi

Jl

N/\p

<5o

.N

J N

l !D

-=p)

t.,u

/\ *

\ ?\

v

stJ^

:NlE

'-N

--,,

E

-'Qrr

tg

3i=

t--j

"o

v f

I 1!

.N

,

:l

n-

1:r

i-IM

="(

vE !?

s.-

:-

=p:

n?l-

otrz

tt!- E

' \/

J N

lr-

l\

\lN

LF'

s:-]

i t-

: \l

i 3N

1!

- Li

tl-

ulN

i-.

<b ,\

IAN

r --

lv

iS:

ul

rr'lt <:

i--) ril

L! a

'l- N)

-,L l.J N +

'l +l+

(!IN ll

8e r-lr-

rlllrl

l*l

1l-lj

il Y.;-

=

8' UIN +l +

-at-

:-l- rl

r-,

1,,

-r-

I --

!

il O

8' ,f UJ + .j tJ +

l= 8' EM

.N

) rl -t-

GI

tst

+l

-l -tll

8' \JI

ft _lll

lel-

!D N o + o od o N o

ti

l. l- +

NJI

- +aJ

l-pl t +

pl rl- I lrJN

I\ +l I -l- lt

l.Jl

-+ -l- t-

-lt tl-,

'rr-l

;-l-

il

-u +l I l-

UJ



64 Glava 3. Nizovi

b) Zbog 1- , (J-1)(J+2) J= 2,3,...,n, imamo J(J+1)2 j(!+1)

C1.4 2.5 1)(n+ 2) lim x lim _ 1 n+2_ 1

_» 2,3 34 11(n+1) 1,n3 n

l3- 1 = (j- 1)(J2 +j +1) _ ('- 1)('2+ +1) sto daje c) Za jElje - 2- J JZ

J i3+1 J + 1)

- (j + 1)((j - 1) + (j - 1) + 1)

1.7 2.13 3.21 (n - 1)(n2 + n + 1) 2 n2 +n+1 lim = 111T1 = Lim - 3.3 4 5.13 (n ,13 n(n +1) _2

3.

3.33. Odrediti sledete glanicne vrednosti, ako je a > 0:

a) Lini l

+ 1

+ + 1

b) lim a

n2+1 z+2 V11' +11 »-,-(1+a)(1+az)...(1+a").

Resenja.

a) Iz nejednakosti n

_< 1

+ + + 1

<_ n2+n /n2+1 012 +2 n2+n n2 +1 i jednakosti lim

'a = 1 = lim

n na osnovu teoreme 3.22 dobijamo n-,°° 012+11 ,1-'°° n2 +1

/ 1 1 1 \ n,

b) ZzaO<a<1va2i 0< a

n

< a, pa iz pm a = 0 siedi

him (1+a)(1+a2)...(1+a")

-0.

all Za a = 1 je, takode, Lim = I =o.

n-°°(1-I-a)(I+a2)(1+a1') 2 a" an n

Za a > 1 je 0 < < = a = a (»Z-,:); 2

(1+a)(1+a2)...(1+a") a.a2...a an(n+)/z pa opet dobijamo jednakost (3.4).

(3.4)

3.34. Pokazati da postoje nizovi (a)EN i (b)EIy takvi da je lim a = +00 i lim b _ -, ali vaZi:

a) (a +bn)nEN konvergZra; b) lim (a +b) = -.; c) hm (a +b) -, ,1-+00 ,7

d) niz (a +b ) EN viti konvergira laici divergira ka +00 iii ka -oo.

3.2. Osobine konvergentnih nizova 65

Rezultati. Na primer, mo2emo koristiti sledeée nizove. n+1 3 1 3

a) a= +n , b= - -n ; n n

1

b) a=n, b=ta+3-2n;

lim (a + b ) = lim n+2 -= »- » n

lim (a + b)= lim - n) = -,°° (;+ 3

e) a _ "2, b _ -n; lim (a +b) = lim (n2 - n) _

d) a = (-1)" + nz, b = -n2; niz (a+ b )oi ne konvergira i ne divergira ka +.0 nisi ka -00.

3.35. Naéi nizove (a)Eiy I (b11)Ejy takve da lim a = +00, lim b,l = +00 i vati:

a) hm a,l = 0; b) hm a/1 = A, A > 0; c) b n b a; um -_

d) niz (alb)EN niti konvergira niti divergira ka +co ili ka -00.

3.36. Neka je lim x = i neka postoji C > 0 takvo da za sve n E N vati nejednakost

y > Cx. Pokazati da je tada lim y _ +00.

3.37. Neka je lim x = b , gde je ili b = 00, iii b = Pokazati: 11-'00

a) ako je y> c> 0, n E tada je lim x,ly = b; ,1--'

b) ako je y < c < 0, n E tada je lim xy,l = -b. n-'00

3.38. Pokazati da niz (sinn),lEN nije konvergentan.

Resenje. Pretpostavimo suprotno, tj. da je lim sin n = L. Tada je i lim sin(n+2) = L.

Posto je sin(n+2) - sinn = 2sin 1 cos (n+ 1), to je

lim cos(n+ 1) = lim 1 (sin(n +2) - sin

n) = O.

sin 1

cos n cos 1 - cos (n + 1) Iz jednakosti sinn = (proveriti!) sada siedi da je lim cosn = sin 1

lim sinn = 0, odakle dobijamo da je L = O. Medutim, ovo je u suprotnosti sa

osnovnim trigonometrijskim identitetom sin2 n + cos2 n= 1, pa je pretpostavka da

niz (sinn)Ely konvergira pogresna.

q R

*r

!i t€..

il \

'- 13

's S

a

'iE:

I i*

$ t

EiE

E

f S

*

t>

-i+

F.A

;e

.E

.u,B

p

" :

t b""

; e+

o f ;A

6tr+0,a--rr!'-d

l.-ll ,',

lu-rr 9oo-

t il

.E

_c=

_,,, _ s

s :x

o ,-:)

q ?

Nr ,-:-.

so pp $ts

=

t [

3 =

*";

ii=

i 0

.:' eR

=

h

i=

r i* s' e :=

E

"'- 8- $ e

. F

f

I'E

=

!, Ei -l+

+ E

8

-r +

i

: s

t *:q

T

=E

ti=

=

r=

o i

c s

t q ;

,l In*

=

92+=

r;'? 2

'! r

&

' .=

i i;

Y6 i"*

; s

Ei ^, :

Io d S

! r

L C

; s :,1

r =

E t

I -i s E

: n x

;1 =

g9 ei

S E

i=

i= =

l . Z

iir $f: t t=

r I ti, i:=!'f

t=g-lr;i *E

,A

=.s+

E

* ,i i

:'Ei I

t N

5:; =

=?;E

E,H

.t -- E

i + .

z -r

r- **-

i ;

; .\

E?

=

;t"'.g:Fp

i -i

==

{ j,

.E?

: +

E

.0,

zi 4

=

: r

^ i.-

,e fi

.trr r, d

.i .:

i S

=

E

i

* I

A

Bi :

,3.jp l'i

=l-l

: a

.: s"€

* o

o a

lT

q" t;f

: .s _i? : '-

i =

u I =

-s n

r, .E

I -: .ii

- E E

iE

-'-Ii^'=

-; d

y lt F

t

" "

Z

=?

=l

:E2a

E:

,,=i;

s ,

-. ;^!

x= nr vr

Y gI

.!^?î6- i

i i

' -a

E?{

E? .

i :

9 E

F, r

E E

e1i=::=

q i

o=i:;

J-- i

S'f;

€lEi

1=,1-i ; r+

.! Ei i

;=i, s $ ** 5 l;

gi,EE

g S

r=

s =

=:=

-E

: .u -

.L :

* '>

'S

;.EqE

l=

-

'E

a cE

E

=

=

: =

A

.o

{ 6 d

' r

="o'E

E e a oe

q S

q

4'P

$NFo

0,\1q)

o6lcr)

nca

:il+

trlal+lltÎtralr1l

j.?;(lt-

d ._

-oo.-a

_O

-;l:

El^

lr- c.t

o\l^t

_llr- Ilr

* il1. :

l' ll:

c.l s

I >

-

-Ol

- \/l

O

.r I

lv !

-=l+

ll=

I ri

N

-Aci

=9

-lR

3 rr=

ii|

6 I

:- C

.v

t\ \,

.. a

. I

/ v

.;;.-ttr+

l=-

J l=

ll+

ll; +

l-

i-lt -lL"i.llÎ ii^ L

i -ll't

l>

r\=

ll+

:

c ]>

i

2 -lr

-l--.t

i 1

ll--':= l'

lr:

il ,,

t- l*

-e r - iL'=

r' tr-

l=a

ll+

vr rr "[!

1]! -l-

i=

l'- r-

:! l(S

lii

ll r --i v

- 2

_ll ,=1",

S

r <

ll^:- l=

=

I\.=

'r r-

l>

-: ,N

ll , =

8 I

J-i: 7

=-

Sl>

ttrv.v

Z

3 tr

S

ef E

t

v

E e

f s 3

,\;,

,?

-!&ns

({)

N

lcnil

*ta--lrrl-T

l-:.i\

.i--ail+

I

+

I

+

++

I

:

-l-

*;.t .

Nl!

-i--lotltal

c.)'aUo

,>a

-l-rr l-II

Nlrll^

+l=

^l*

=l

lr.tt.-.

'\l---U

^

II],

d Y

I '

ts -=

l cr

lN6

;: '>

l^

.E

tt -l

I

l'>=

^r lr

: rl

:lX:

rl^ l+

_rt_m

:l

ltN

^_l-'rr

- ll

" Il=

ll

- :

I ^l^:t_

:,1,N

TT|

'Ll.\+

l^ () +

,'l

'\l l.

I

- l -l-

ct lr,

cr l"r

'-- l \

--l--', lY

-t lo ^l^

rt'l-l-)l

-ld l+

" iJ

, =

i ,,

l.r =

L ll

I>

- -r*l-

lr-lr

.t l'

l! ,,ttt.

l\ -r

'>l >

It:Z

.bo

u,

NN

f9

oN=cjcd

U

E.

<-



66 Glava 3. Nizovi

3.3 Kosijevi nizovi

3.4. Podnizovi i tacke nagomilavanja 67

b) 3.39. Definicija. Niz (a)EN je Kosijev, ako zadovoljava uslov Za dato E > 0 i proizvoljno p E N, imamo

(VE > 0) (ano E N) (b' in E N) (Vn E N) (nz, n > no =- la, - a1 < s) . (3.5)

Uslov (3.5) se moge zameniti sa njemu ekvivalentnim uslovom:

(VE > 0) (3120 E ì) (dn E N) (Hp E N) (n > no 1an+p -a1 <

E) . (3.6)

Ostavljamo citaocu da pokage da je svaki konvergentan niz realnih brojeva i Kosi- jev. Bitna osobina skupa R je da vali i obrnuto.

3.40. Teorema. Niz realnih brojeva konvergira ako i samo ako je Kosijev.

Napomena. Metricki prostor u kome vali teorema 3.40 se naziva kompletan prostor. Dakle, skup 11g sa uobicajenom topologijom je kompletan metricki prostor.

3.3.1 Zadaci

3.41. Ispitati da li su sledeci nizovi Kosijevi.

Ibn +V - bn

I

=

sin 1

sin sing sinn sin(n +1) sin(n +p) 1.2

+ 2.3

+... +n(n -1)

+ (n +1)(n +2)

+ + (n +p)(n +p +1)

sinn Isin(n +1)I + Isin(n +2)I + Isin(n +p)I (n +1)(n +2) (n +2)(n +3) (n +p)(n +p +l) 12 ...

n(n+l) 1 1 1 1 1 <

(+i+1)(n+2)+ + < <E.

(n+ (n+1) (n+ n

Dakle, za dato E > O mogemo uzeti no :_ [1/E] + 1 , jer tada za n > no i svako

p E N vali lb+p - bi < E, sto.znaci da je niz (bn)nEN Kosijev.

c) Niz (q,)EN je Kosijev, jer za dato e > 0 i proizvoljno p E N vagi

1cos(n + 1)! cos(n + 2)! cos(n + p)! 1

(n + 1)2 +

(n + 2)2 + ... +

(n + p)2 (n + 1)2 + ... +

(n + p)'- 1 1 1 1 1 1

< n(n + 1)

+ (n + 1)(n + 2)

+ ... + (n + p - 1)(n + p) n n + p

< n < E,

pod uslovom da je n> no := [1/s] + 1.

d) Niz (dn)nEN divergira, zato sto iz nejednakosti lnx < x, koja vagi za x > 0, siedi da za E = 1/3 imamo

I cn+p - Cn

I

=

I 1 1 sin 1 sin2 sinn 1 1 1

a)a=1+3+9+...+3n; b)b»= 1 2+2 33+--+nn+1 Id.l+p-dnl=lnn+1 +lnn+2 ++lnn+ >In + 1 fn+ ( ) ( ) ( ) ( P) ( p, p

cos 1! cos2! cosn.! 1 1 1 C) c=

1 +

22 +...+

n2 ; d) d»=1+1n2+1n3+...+inn'. Za p = n dobijamo Idn+p -dnI> 1> 1

e) e = 1 + 1

+ 1 +. . . + ? (harmonijski niz). 2 3

2 3 n e) Pokazaéemo da niz (e)EPT nije Kosijev. To znaci da treba da pokagemo da postoji

Resenja. E > 0 takvo da za svako no postoje n > no i p E N takvi da je I e+p - en [ > E.

a) Na osnovu definicije 3.39, okazaéemo da za svako E E 0 1) mogemo odrediti Uzmimo E = 1/4. Iz le+p - en I

= 1 +

n

1 + . . . +

l > p

, siedi da za J p ( n+1 +2 n+p n+p no = no(E), takvo da za svako n > no i za svako p E N, vagi la+p = an < E. 1 1

Imamo, p= n imamo I en+p - en = Ie2n

- en l> 2> 4, za svako n E N.

Ian +p -a1 ( 1 1 1 1 1 1l 1+ 3+... +3 +3ñ + +...

+3n +p)- (1 +3 +... +3P/ 1

+ 1 = 1 1- 3-P

< 1 1 1 n ...

3n +1 +1 3n +p 3n+1 1 1 /3 3" +i 2/3 -

2 . 3» < 3

Ako stavimo no :_ [-Inc/ ln 3] +1, onda za n> no vagi nejednakost I an+p - an! < 3-n < E. Dakle, (a)EN je Kosijev, pa je prema teoremi 3.40 i konvergentan niz.

Dakle, harmonijski niz, sa opstim clanom e = 1+ 2

+ ...+ ñ, nije Kosijev, i zato

divergira.

3.4 Podnizovi i tacke nagomilavanja

3.42. Definicija. Neka je p :N -> N strogo rastuéi niz prirodnih brojeva, tj. neka za

brojeve p(k) = pk, k E N, vati pl < p2 < ... < pk < .... Ako je a :N --> I[8 niz

realnih brojeva, tada je niz a o p : N -- IR podniz niza a = (a)EN, tj. a o p =

(aPk)kEN

:g) s o o- 5 N o s o< F o Oa o : î

n + I s il

-r J

: 1.

.ftn

I

Nl

+t.- + lo

^l

O sl --t p

l N

l.- L : l lo

,a-

-rj-

* l-}

--l*

IJ ln

-l:t -l lt" -trr

l +

rl-I

5i +

+ -l JI sl vl

t a

^l :l +l

*l !l rl t--

-5l ^l F

i!l vt

!D 3 N A -l

n -_

l-=

,-il

^ l+

" tl

f' --

-i

+

Irlli

.!.)

e!

i$*E

r ?E

: gi

#s i<

Ea-

*H=

. E

F':

i 35

; ;s

;7v

li,F

F

f =

:tA'=

i

,r ;-

?-S

;' X

a

=

, o

I o-

\

-rr

o

i;-

E'

i q

Isia

I

Bai

s:-$

E

?;

r;

=

i ri

E#;

Sr-

i' S

. =

. I

s 6;

'- =

l di

'=:.,

r,\

r' N

3

- 5a

i

: -

I v

et

@

,. !

: +

I

Ll

-=

4-

tD

nD I

r -

5,0

\ -

i5i.

4 aA

( O

-

- _

- !

..;E

r F

E

. s

,df.s

r

n'l

E,j:

.. G

-.

-r

S

?t.

- =

r "

-=\s

z

=

=

1s

,'*.X

v'

i-;

F

';=

. !)

g

: rr

ry

o M

'-z^

i E

{,

t ji_

i*:

u si

E

rr=

PY

opt_

.rl-u

9ur-

-a-

t rJ

I

.. -l

r -

SH

,OA

)d,

,,t

=

S F

;_=

l ;

F

: =

E:

i ?

r +

l-l

! +

A

=!i

*.

"t-3

!

-=i

ii =

r,r\

--

L-3:

F5

+l-

II'

:. -t

i'r

d I

s -

:l o-

Fr

\/

i,$

=t-

);i-;

+

=i

q6-

Ss

v ^:

ll"

:

*\^s

;,

;l=: i

sl

F,

.r:s

*

5-r l3

_Y

Niz

s E

r *:

3 i,=

")

ali

"?

i'Y€

-ct?

s s

s 7

3il

F't

I N

E

, B

-t*?



68 Glava 3. Nizovi

Podniz niza (a)EN se moke posmatrati i kao restrikcija funkcije a : N -> R, datom sa a(n) = a,,, n E N, na beskonacan strogo rastuéi podskup {Pk k E N} skupa N.

3.43. Teorema. Podniz konvergentnog niza konvergira ka istoj granici kao i sain niz.

Sa druge strane, podniz divergentnog niza moke imati granicu, sto je u vezi sa sledecim vaknim pojmom.

3.44. Definicija. Realan broj L je tacka nagomilavanja niza (a)EN, ako za svako E > O i svako rn E Npostoji bar jedno n E N, n > in, takvo da je la - el < C.

Lako je videti da ako je L granica konvergentnog podniza niza (a)EN, tada je L

tacka nagomilavanja tog niza. Ekvivalentan iskaz za definiciju 3.44 jeste da je realan broj L tacka nagomilavanja niza (a)EN ako i samo ako za svako e > 0 postoji beskonacno mnogo prirodnih brojeva n sa osobinom an E (L

- e, L+ E). Na osnovu prethodnog iskaza i teoreme 3.6, neposredno se dobija sledeéa teorema.

3.45. Teorema. Niz je konvergentan ako i sarno ako je ogranicen i ima tacno jednu tacku nagomilavanja (kola je tada jednaka granici niza).

3.46. Definicija. Limes inferior niza (a )nEN je granica 3 = lim (inf {a ,I in> n }). oc,

Limes superior niza (a ) EN je granica C5 = lim (sup {a, I

> n }).

Svaki od poslednja dva limesa ili postoji u obiènom smislu, tj. u smislu definicije 3.3, ili je ili -00 (definicija 3.5). U svakom od ovih slucajeva pigemo da je

3= lim a i = limsup a. Napomenimo da je limes inferior (resp. limes superior) niza najmanja (resp. na-

jveéa) tacka nagomilavanja niza - videti zadatak 3.49.

3.4.1 Zadaci

3.47. Pokazati da je tacka L tacka nagomilavanja niza ( f)EN akoje ispunjen bar jedan od sledeéa dva uslova:

(tnl) skup {n j fn = L} je beskonacan;

(tn2) za svako e > 0, skup (L - e, L + e) n i { f n E N} je beskonacan.

Resenje. Ako je skup Ml = {n j f,, = L} beskonacan, tada njegove elemente mokemo urediti

u rastuéi niz koji divergira ka +0.. Neka je f,.tk = L za k E N i nj < n2 < ... < nk < ... +°°.

To znaci da za svako rn E N postoji nk E Mi, takvo da vaki nk > m. Tada, za proizvoljno E > 0, imamo


gto znaci da iz uslova (tnl) siedi da je E tadka nagomilavanja niza ( f)EIN. Ako je za svako E > 0, skup (e- E, L + E) n { f ;

n E N} beskonacan, tada se skup M2 =

{n I

0 < < E} moke urediti u rastuéi niz nl < n2 < ... koji divergira ka +.0. To

znaci da za svako rn E N, postoji k E N, takvo da je nk E M2 i nk > m.. Za proizvoljno s > 0

imamo f,,k - el < e, Sto znaci da iz uslova (tn2) siedi da je L tacka nagomilavanja niza

(ft)nEIy

Napomena. Podniz (.61k )EN niza ( f )EN takav da je fr = l' za neko f i za sve k E N se zove stacionarni podniz; prema (tnl) je tada L tacka nagomilavanja niza ( f,)EN.

3.48. Ako je L tacka nagomilavanja niza ( f)EN, tada je bar- jedan od dva uslova ispunjen (tnl ) ili (tn2) iz zadatka 3.47 ispunjen. Pokazati.

Resenje. Neka je L tacka nagomilavanja niza (f,)EIN i neka uslov (fill) nije ispunjen (sto znaci da niz (f)EIN nema stacionaran podniz (f,k)EIN sa osobinom fk = l', za svako k E N). Pokazaéemo da je u torn slucaju uslov (tn2) ispunjen.

Pretpostavimo da to nije tacno, odnosno da postoji E > 0 takvo da je skup (L - e, L+e) n

If n E N} konacan. Ako je nr najmanji prirodan broj takav da je n > ni L, tada

gornja pretpostavka znaci da je konacan skup (L - s, L+ E) n { n E N} ili prazan

postoji prirodan broj n2 > n1 takav da za svako n > n2 vaki f,, ¢ (L - E, L + E) . To znaci da

tacka L nije tacka nagomilavanja niza ( f)EIN, gto je kontradikcija.

Napomena. Tvrdenja u zadacima 3.47 i 3.48 se zajedno mogu izraziti kao: Realan broj L je tacka nagomilavanja niza ( f)EN ako i santo ako niz ( f)EN ima

stacionaran podniz ciji su svi elementi jednaki sa L, ili u svakoj okolini tacke L ima

beskonacno mnogo clanova niza (f,r)EN.

3.49. Pretpostavimo da je 3 = liminfa realan broj. Pokazati da je toda 3 najmanja n-+00

tacka nagomilavanja niza (a )EN.

Resenje. Niz f,, = inf {a,} je neopadajuéi, pa iz definicije 3.46 siedi lim f = 3. Tada, za

dato E > 0, postoji prirodan broj no = no(E), takav da vali

n > 110(E) -E < f < 3 + E.

Iz definicije niza ( f )EIN, siedi da za svako n E N postoji broj in = ni (E) > no sa osobinom

f < a,,, < f+E. Brojevi lib, se mogo izabrati tako da niz (m),,EIN bude rastuéi. Tada

za svako m vaki 3 - E < a,, < 3 + E. Prema tome, 3 jeste tacka nagomilavanja niza

(a)EIN., samo jog treba pokazati da je to i najmanja tacka nagomilavanja. Iz implikacije

(n. > no A in > n) (3- E < f,, < a,) i zbog proizvoljnosti broja E > 0, siedi da je 3

najmanja tacka nagomilavanja niza ),,EIN.

l€?s g2

=

g-g ci=€

=F

s

o E

€8,5,-.=

+'^ 1\ '=

z

*irE

* u= +

zi 1;EE

:s 3 E

;=.1 gi

?;;E iE

i it lt:: ,ti i : p:E

ii*ic,t=

;ti :;A

r?* t€t i Ei qzrE

lE

Etlr sgi;t!glyg;,1i : E

'jE

=:-

:'i.iu lg:"ii*=a:=

E E

is S i,*:i:5;i

iz;lt T

{ \i

:r+i7),s$

f )o :

:i'S

irE

!=:r i.r'!?G

i:!jltFC

l i

5!:gEE

ripiire ;r sR

:;-'ssi;igg:E i

;s (,EE

iiiiiE

E 1i ni E

risi;ii=tt::

,t e;;e*i :ri:;!;

sE is iE

E];F

',;!s::s; E

,-E tr i 3i;!:i

;Js;; si $:fgE

;.it*CiiS

E

iGeinu.a' =

":)!;E

aE ?i s-* "'.;;E

is?*E$s: J.E

i; = E

;iE:f

1t=2i

{€ =i,;E

;=i*'*lE

ISF

S visi

ai:+--=

=E

;g:': 51 $y4ri;E

iigiE,!$

rv=i1

jc,.3"ei:'l,J

:'E I^-:-i;':

iE=

r. EE

t:liE!igE

iEiE

i itl=E

E;iE

li'3!.reinE

s iirE=

Zilt':

'ctl's ES

;i :3-s€;i;

5i=E

ieie siEE

li;tatisii Fi E

E ti;i.a

Za*;iigE

EtaF

,i. 1

i E

iijZ

=l

*;!iiEs

t==

q c s

e',d)z : 3 ;=

+ F

,3, 'il i =

- =A

E

E

- Elt

ii ! e ;.t

5i i € *gE'* E

i

,EE

;{g:B

i i:s!l E

=E

i=i ;,r-i

i i*ii

ig$; E

€gEi :,g .'t=

;3;; :- :;"s,5gE

: E

.u: E E

i= € S

u E

EE

E S

e i

z :zs'=

rd -s q T

: s.

gg E

6"t

S S

E

=i

3; 5

Ya E

'E E

t g ;,H +

iP $t,q:,[:x

s:sn=

.ulEig3 l.p*igE

JI; i !E

r::crra E

zBir'.;i,i i*:r=

tt i F

s;;ri;g 5 I

$:: a:'!

:* +{'s{o=

*n i .i;us i

El i g

;€ ! +

-€.8 :s ss A7 n€!

i ,E

i a?-= i

i;Sr iiil-air: tsii;sgs* I,l rt? i

s'E

I g €i =

-,$ JE,E

*v_E E

t i E

E;i,l'*

..F \.\

=dv

i6 e :d

.a-r "spE?r.=

fi E

g ig_SE

:_:+

:iZ2; S

Eit=

n*=llE

g ss nAii i,€ i:f;ur;

j\, i,,r *E;giiE

E *s E

E =

i ia.-!="1

+€!

r: s g,F ii E

tEzE

'+ !E

:= A

t E5 * iii* iii=

5=E

s,i ,iiliES

;; Ht,i gg E

"i s;!q;*,=;E

s; E ;E

=I iE

iEE

; E

$ E i;

E? ; F

i ee #ixir1i

s ,a

g i-

'q,Y

RR

Y+

&eQ

(n

cO

cA

e'i

oNErie



70 Glava 3. Nizovi

Napomene. 1) Za niz (a)nEw koji nije ogranicen sa donje strane ocevidno vai hm ( inf {a,}) =

n->.0 m< Uobicajeno je da se pige liminf a = -O°.

2) U prethodnom zadatku je pokazano da tacka 3 za koju je 3 = liminf a ustvari najmanja n-,00

aka nagomilavanja niza (a)Er,y. Na osnovu toga moze se pokazati da za svako E > O

postoji beskonacno mnogo 61anova niza (a)EN za koje vazi a <a + E;

postoji najvise konacno mnogo clanova niza (a)nEN za koje vai a < 3 - e.

3) Slicno kao u zadatku 3.49, moie se pokazati da je tacka C, = limsup a najveéa tacka ,t-.

nagomilavanja niza (a)EN. Dalje, za svako E > 0

postoji beskonaeno mnogo clanova niza (a)nEN za koje vai a > C7 - E;

postoji najvise konacno mnogo clanova niza (a)Ei,y takvih da je a > Cy + E.

3.50. Ako niz (a)EN divergira u tj. lim a = +00, toda nijedan realan broj nije n-,co njegova tacka nagomilavanja (ali je lim sup a = +00.)

Resenje. Ako je a E II8, tada iz definicije 3.5 sledi da za proizvoljno > 0 postoji najvise konacno mnogo prirodnih brojeva n takvih da a E (a - E, a+ E). To povlaèi da a ne moie bid tacka nagomilavanja niza (a)Etyy.

3.51. Odrediti tacke nagomilavanja niza ( fn)nE]y, ako je za n E N:

a) fn = (-1)"; b) f, = n

n+ l sin

Inn ; c) fn = n2 + (-1)n2

Resenja. a) Niz ima dve tacke nagomilavanja P1 = 1 i P2 = -1, jer je f2k = 1 i f2k_ 1

= -1 za k = 1, 2, . . .

(uslov (tnl) iz zadatka 3.47). Ocevidno je da je liminf f = -1 i lim sup f = 1.

b) Niz ima tri tacke nagomilavanja 0, 2 lim

3k

3k+1 sin (2k7t+2at/3) = e//2, k-+

i -2 , Jer je f3k = 3k+1 sin(2rck) = 0, kirr ßk+1 =

3k+2 f3k+2 =

3k+3 sin (2krt+4tt/3) _ -0/2.

Prema tome je liminf f = 3 i lim sup 2 2

c) Niz f,, = 722 + (-1)"n2, n E N, ima jednu tacku nagomilavanja jer je f2k+1 = 0, za k E N, me.dutim, zbog kim f2k = dati niz ne konvergira. Dakle, liminf f = 0 i lim sup f =

+°° (Uporediti sa teoremom 3.45!)


3.52. Odrediti sve taeke nagornilavanja niza (r)EN, ciji su clanovi svi racionalni brojevi iz intervalo [0,1], tj.

r1 =0, r2=1, r3=1/2, r4=1/3, r5 2/3, r6=1/4, r7 = 3/4, rs=1/5, r9=2/5,- Odrediti lim inf f i lim sup f,,.

Resenje. Svaki realan broj iz intervala [0,1] jeste tacka nagomilavanja datog niza, jer u

proizvoljnoj E-okolini svakog realnog broja a E [0,1] (tj. u intervalu (a - e, a + e)) ima

beskonacno mnogo racionalnih brojeva. Ako tanca a [0,1], tada uvek postoji okolina

tacke a takva da ne sadrzi ni jedan elemenat datog niza. Jasno je da je liminf f = 0 i n-,-

lim sup f = 1. n--

3.53. Odrediti limsup f i liminf f za sledeée nizove: n-,-

(-1)"+1+ (-1)" a) f" = n;

2 nn

c)f,=(-1)"(1±"+sin; Resenja.

b) f, = 1+ 2(-1)"+i + (_1)n(n +1) /2;

d) f,, = cos" 27tn

3

a) Iz Jednakostt f2k = (

2k,A +2k = Zk

+2k siedi kim

f2k = +°O, dok lz f2k+t = (

2k+1

'

+

i+( )''k+' (2k+1) siedi

kim f2k+t = O. Prema tome je lim sup f _ + i liminf, f = O.

F

n

b) ITTlamO: f4k = 1 +2(-1)4k+I l l-1)4k(4kt1)/2 f4k+1 = 2, f4k+2 = -2 = llminf fn n

1 f4k+3 = 4 = lim sup fn.

c) Imamo: lim f8k = lim f8k+4 = e; lim f8k+2 =e+1-- limsup f; lim f$k+6 = e - 1;

]im f8k+1 = lim fak+3 = -e+ -; lim fak+s = lim f4k+ = 4- e--= liminf f,,. k k 2 k k 2 n°°

d) Imamo: lim sup f = 1; liminf f = 0.

3.54. Dokazati da je potreban i dovoljan uslov da niz (fn)nEl` konvergira jednakost

lim sup f = liminf f = 1im f = (3.7)

Resenje. Tvrdenje siedi direktno iz teoreme 3.45, koja tvrdi da niz konvergira ako i

samo ako je ogranicen i ima tacno jednu tacku nagomilavanja.

3.55. Pokazati da svaki ogranicen niz a = (a )EN sadrzi konvergentan podniz.

-J e !! tr 3 N

.6-

n n

F

A

F

il uJ

rr

?z

-8,:-

3,--

!DiA

f ry

,= =

= a

3€.

!'i S

3E

E. E

f =

2 ;r

- -n

?a

5' r

;

TIT

;E

.I:-i;

i:E

3;

ii =

- 2L

>':i

'Z

E=

T:E

#lE

srx:

ij-r

2 E

=[

T i

q.;g

iS

. g,

E-,

5 =

b-,8

,,,i8

-

i"Sr-

'1 r

.'€ t

€ z

E i

is}

S i

a; i

; i

6: =

: *E

,E,

er, ;

"rr€

+ t+

;+ s

E; +

* i?

iEiB

i!1;

7n)

?E :

r rS

fi:I

S

: 2=

i,:3=

l-*i=

E=

::

-1,

. =

- ti

=l

E

i E

-"

i +

=

ry .=

(.

= E

i il'

1.i,

ig*

--<

)r-

t.>

+l=

= =

lr iI

Hil;

';i=

=Z

i:

*q=

-e=

; F-]

6 il

-J N

3+

= r

.--

E =

Ei

E H

;.o.

'pH

iLt

tr,

;s

?-=

1 E

,g*;

;-:

q*?=

t f

x*A

ag5P

;"i-l

SE

:Y

"i=il

=F

:,;;*

= =

;?E

=5?

i .i

? e

-,

,r

L.

ii l

7 iJ

s

u 8c

>

s P

D

,;

='

: ?

i Lr

i

2. =

Lr

uru

I

":E

-l;:lT

;;i;

3 s

91[ F

i ii'

;1

EiE

i I

Xg

E-J

- rs

Tr'F

f tl

ti tii

:t $

,+E

, iil

-=.

In ;

{ '+

t'i

?}3t

=+

E,,i;

€1

;z:'

jz 1

il E

F;'

;; T

:'t,i;

==

-x- !r

l ,g,

y;

:E i

l;'f

:, If;

H

3,

jIL[

p:

ii?:i;

?a

-r

i;[ s

# -

E; s

ri qi

ItE,

?T

p f

i E

s_ *

, F

-,

f; i

ll

oJ(J

JtrJ

('

h d,

S

e

e s

e g,

B

--

I*,

^=-X

."

E.E

' p

T.'=

i:t

l=

.99.

?

e P

=5E

rEg

9ti i

i Ss

Ef

$ E

'3 5

r3

*=lg

E' :

- i

i '!

6. F

ib' i

"-ii

3 'F

lI 'i

;i'-id

''1

* i

l^ =

S;E

gr =

llEi

:' bs

=

i ;

H'

S 1

5=I i=

o*-

x

7.

= =

iliJ

-7?'

-=

:lr1-

(s

€t

* r€

;:'$=

;i :S

+l-=

t€ T

.i3gr

:;3i

;. Z

,'g.

3 ilt

-I':r

?

r' =

=-1

+:

;;i=

= I

;"S

E. ;

* ii

I ti +

':- =

; Li

il t

=t=

iI ;iq

E iE

. i

I I:

"S. E

'S-t

sl +

T J

: si

:

9gii

=-.

: r

r;i

x:

Ii=i;

? tI

'*

*sg;

. 1l

-C

+e

li'

a ir 5

6=

i *

F-

i fi

*.o:

_ --

:1;

iii

ir-

iit

3Ei

35:;'

:Xl:

P.u

, {

a u

N

i 6

=

} }

: o.

-^3

o 6

i f:

.1 =

= i=

{ r

;;s i

; i

€tii

; 7r

,,

$;E

i3P

iII

=?l

-ii

iE

:E ii

: ge

t i

x;E

l" {€

: :

E;=

1 r

iE

tq

R

{ 3

ts =

'- i

I ;+

!.3

; ;

s =

t

' i

r f

- B

-;:!

ji i

i a

: *S

ir n

I F

. =

. -:

:;g

; :

F

€ $

-r i

[ ]1

L

";

Iis-"

]= i,

.ti

S

i=

ll -=

"i

so-p

*

y*

G i

"S I

{i T

il-I

l5-=

=

;'E

!D s c" N o o< 2r-

Cl

0q o {

I



72 Glava 3. Nizovi

Resenje. Obelezimo sa S skup vrednosti funkcije a, tj. S := {a = a(n) I n E N}.

Ako je S konacan skuÿ; u toni slucaju postoji P E S i strogo rastuéi niz prirodnih brojeva (nk)kEn takav da vai and = a2 = . . . = ank

= ... = 2. Znaci postoji (stacionami) podniz (ank)kEN niza (a)E¡y koji konvergira.

Ako je S beskonacan skup, tada prema Bolcano-Vajerstrasovom principu 1.57 siedi da

skup S ima bar jednu tacku nagomilavanja; obelezimo je sa P. Prema definiciji tacke

nagomilavanja skupa, u svakoj e-okolini tacke e ima bar jedan elemenat skupa S, koji je razlicit od L. Za e = 1 postoji broj n sa osobinom da je 0 < a - Bi < 1. Dalje, za e = 1/2 postoji broj n2 > ni sa osobinom da je 0 < a2 -2 < 1/2. Nastavljajuéi ovaj postupak, do-

bijamo strogo rastuéi niz (nk)kEn prirodnih brojeva sa osobinom da je 0 < lak - el < 1/k, za sve k E N. Niz (a k)kerv je trazeni konvergentni podniz niza (an)Ery.

3.56. Ako je ( fk)kEN podniz ogranicenog niza ( f,)EN, pokazati da je:

liminf f < 1

kminf fnk < lim sup fk < lim sup f,.

Resenje. Prema 3.49, Iiminf je najmanja tacka nagomilavanja jednog niza. Sada tvrdenje sled) iz ocevidnog iskaza da je svaka tacka nagomilavanja podniza u isto vreme i tacka nagomilavanja niza, ali da ne mora svaka tacka nagomilavanja niza biti i tacka nagomilavanja njegovog podniza.

3.57. Neka su (a )nEN i (b)EN ograniceni nizovi i neka postoji no E N tako da je an no. Pokazati da tada vazi:

liminfa < liminfb i limsupa < lim sup b.

Resenje. Pokazaéemo samo prvu nejednakost. Oznacimo sa a = liminfa i b = liminfb, i -,.. 71 --w0

pretpostavimo suprotno, tj. da je a > b. To znaci da je d := a -b 0. Kako je a najmanja tacka nagomilavanja niza (an)nEN, to postoji ni E N takav da je a > a - d/3, za svako n > ni. Kako je b najmanja tacka nagomilavanja niza (b) neN, to postoji beskonacno mnogo clanova niza n E N takvih da vaki bn no.

3.58. Dat je niz x +t n n1L J ()nEtsa: a) x=(-1) (4-2n); b) x=1-n+3cos 2.

Odrediti inf{x1 n E N}, sup{xnI n E N}, liminfx,, i limsupx.

3.4. Podnizovi i take nagomilavanja 73

Rezultati.

a) inf{xI n E N} = -5 < liminfx = -4 < limsupx = 4 < sup{x1 n E N} = 6. - n--,w

b) inf{x1 n E N} = liminfx = 0 < sup{xI n EN} = limsupx = 2. n c0

3.59. Ako je ( f)EN niz realnih brojeva, pokazati da je: 1 1 a) lim sup ) b) liminf-=

, f>0. f, lim sup f,

Re"senja.

a) Nekaje L realan broj dat sa L := lim sup f,. Tada, za svako e > 0, postoji

beskonacno mnogo clanova f takvih da je f > L - e;

(3.8) najvise konacno mnogo clanova f takvih da je f, > L+ E.

Iz relacije (3.8) siedi da, za svako e > 0, postoji

beskonacno mnogo clanova -f takvih da je - j;, < -L+ e;

najvise konacno mnogo clanova -f takvih da je -f < -L - E.

Kako su -f clanovi niza (-f)EN, to je liminf(-f) = -L. Slicno se pokazuje da iz lim sup f, = +.0 siedi liminf(-f,) rt

b) Neka je L := lim sup f i neka je L > O. Tada, za svako e, 0 < e < L, na osnovu (3.8), postoji

beskonacno mnogo clanova 1 takvih da 1

f < 1

L-e = 1

L + el; f,

najvise konacno mnogo élanova 1

takvih da je 1< 1 - f, f, L+e L

- e2,

e e 1 l 1 g de j i , e2 > O. Kako su

fn clanovi niza (1 / f )E, to je lim inf f _

L lim su .

- n°° pf, -,

Ako je limsup f, = 0, tada, na osnovu (3.8), za svako e > 0, postoji 17-4.0

beskonacno mnogo clanova f takvih da je f < e;

najvise konacno mnogo clanova f, takvih da je ,f;, > E.

Znaci, za svako e. > 0 postoji

beskonacno mnogo clanova 1

takvih da je I > > ; f, t e

Oal

- l(l:,

o

a' 'u

oq0o-o

^tr/\

o

>Y

6()N

-O.:'ooN

do-

Yn

c) .E

ovFqd

au!

l)@J:la:

C'

ad=

-o\o

d>oo

SE

bE-S

-L=

,tr,ull

^€

ai o

l=

=/o6'

oaa

l":t=t.tl* t\lil

riCo

.=i

oo;No)OdMoajda)

oEil

o64.d

* l.isoboodoo'aa

6+*

l*-l

lilo*lrl*r

-ls

cqc7)

oo*rout

.vrdN;GF*lOoa-:gelil

;o'- :a

za

c?

ia

- l!l

tila-l+I --l

* l\i.

A-ic'i

rl =ilt\

IU\

-l;IQ

la

l

6I lF

rlFi

l

ll -ls

...Lo rz

.: !,

: U

\

H=

IrsY.

kl:<p^@

qF

.i

OY

.-:1r

P'

t'=

S-

k-=

.=c s

E!

=Llll

.iJ ,

' =

ll

YO

,\,

_=

-o-

qi\\_l

PU

+,

'\G!{

ao\incri

\olt

Z.t,-:ior

@<-l.=o.

tr

\lllk.F

*

I

zt

.-N6)^*d

-.a

- l*i

dGd)oobo

Eooe

J<.:NEar

Fl-Oica

elI*lrr,3-

E\\

.:8a\

)r

{-7 'z

:- ur

t\,,kll +

-o.

s l,

z*

s.E

B\

ao.:w

!(n

!d N

G

q

o N

a

- d

O

.! U

.-

u :.:

aE

!f :l>

:t E

;.N

') '

'-Lftte E

:E;;i

a=i

I €, !:S

s

=-

3:?nE5+

iE

F

* E

" _Bi"

A

=E

EI*+

ii! IE

I ; I=

:s; x

i# E

:IErj

i35 7

: t*r

s=

rd ?A

=

' i"#

*o :

! sS

'-::,

.=r6 _li; t

E {

.=:

: i

jo,lEs

.iS

,E'g =

o_EJ_q3j s-

+"

ctoq :\

+

.={^-aE

vr

i;A=

:E;=

:_-:g:Ei F

EE

E

Ei E

.+3E

'y -is-=

IrC

9;go=3F

S

E

'=-

a&c

6- '=

- rr -.1e

; g

-:ioE

sg.g-z-='=

J

vr '=

t4 *

ul :r:E

: ;€

;=3: eiq*sE

€ E;

A#i

N

f 3:-i:!,,8E

:ta, >

'U=

';:lq 6

z o-

F'H

I +

=

u-i'a?'=:

-r'

- , A

6=-oIE

i !

tl ;:!

=

Ti ,E

ES

F'Z

a E

E;-":

i 5=

r:i5 -

E*

-Yr<

:.j i

Hi

r.l-.Ll-=

:4.r.;

gSS

E'^F

E

S

=*'esli:

':'. =

:*;rs6''E

E

g'is=

?{E

EE

:P

E V

, ;A€-E

F'V

:81;;t-:

F-+

rscotr'EE

= a;

-eEB

:=i

r G

i'r;s-

tr -c=

Et*n:;.;

f,E

= i,

; a .: =

a 7 9 oo ,_.

E:

=. ?p

S t

t" E

: =

S y ,

o .5

E,s,rxE

Erri=

$ =j gS

S1 $i E

: EaiI;;;C

c =

il

'i! -

i1.1 .-

t -.3

,d .:*

Eeis::€=

i=E

:i'i t *f.t+

eE; =

i:'=!i:i

Erss=

;EiE

Eii i

Eu E

tEi G

s ;, i;;;i*s I1:sr,!E

lrr-:':s o =

$'3at

)S

.=* ;E

*;,i=:

E

,i EfssF

Est=

; ? *i;$ +

: gvl:E

a iiE

stliEE

;iB: G

F

iE# ::

i==

si; !

:r;:{;-?a€.ae} 5 ;E

H=

$;; eF

;;ai: f,F

.'ais *; S

E g-;s *

,E'z*E

* s 'E

r*g;tA

E&

EE

6E

oNEr;6L)

Ci

a-



74 Gaya 3. Nizovi

najvise konacno mnogo clanova 1 takvih da je 1

< 1

fn f, E

1 1

Tako imamo: liminf -_ = +. f lim sup ji, -- 3.60. Ako su (f,)EN i (g)EN dva niza realnih brojeva, tada vati:

lim inf f + lim sup g ... a) liminff,+liminfg < Hun inf(f,+g,;) <

-400

< limsup(f +g) < lim sup f, +lim sup g ;

b) liminff -liminfg <liminf(fg) <_ lì--oo II-+oo 71ioo

lim sup f± lim inf g

lim inf f lim sup g

< lim sup ( f g) < lim sup f - sup g. Hm sup f Hm inf g

Ub) sino pretpostavilidaje f>0ig»>0,zasvenEl`. Resenja. a) Oznacimo sa f = liminf f,,, g = liminfg i P = lim inf(f + g), odnosno

F=lim sup f,,, G=limsupg i L = limsup(f + g). 1) Pokazaéemo pivo da je f + g < L. Pretpostavimo suprotno, tj. da je L < f + g; táda vai

d := (f +g) e > O. Za svako £ > 0, postoji

najviue konacno mnogo clanova f < f £;

najvi"se konacno mnogo clanova g < g E.

Znaci, za svako E > 0, postoji

najvise konacno mnogo clanova f + g < f + g 2E. (3.9)

Ovo vai za £ := d/3. Kako je L'tacka nagomilavanja niza (f+ gn)rioi , to postoji konacno mnogo clanova f +g < k+d/3, sto je u suprotnosti sa relacijom (3.9).

2) Pokazimo da je P < f +G. Za svako E > 0 postoji

beskónacno mnogo clanova f < f +£;

beskonacno mnogo clanova g < G+E, ali konacno mnogo clanova g > G + E.


Za svako E > 0 postoji

beskonacno mnogo clanova f+ g < f+ G+ 2E.

Kako je L najmanja tacka nagomilavanja niza ( f, +g)EN, to je f -{-G.

(3.10)

3) Poka2imo da je f + G < L. Pretpostavimo suprotno, tj. da je L < f +G. Tada je (f+G)L=d2>0. Zasvako£>0postóji beskonacno mnogo clanova f,, > f E;

beskonacno mnogo 61anova g > G E, ali konacno mnogo clanova g > G +E. Znaci, za svako E > 0, postoji

beskonacno mnogo clanova f+ g > f +G 2E. (3.11)

Kako je L najveóa tacka nagomilavanja niza ( f +g)»Ey, postoji

najvi`se konacno mnogo clanova f -{-g > L+d2/3, sto je u suprotnosti sa relacijom (3.11) za E = d2/3.

4) Konacno, pokazaéemo da je L < F + G. Pretpostavimo suprotno, tj. da je L > F + G. Tada vali L (F + G) = d3 > 0. Za svako E > 0 postoji

najvise konacno mnogo clanova f > F+ E;

najvise konacno mnogo çlanova g> G + e.

Znaci, za svako E > O postoji

najvise konacno mnogo clanova f +g > F+G+2E. (3.12)

Kako je L tacka nagomilavanja niza ( f + g )E%, to postoji beskonacno mnogo clanova f+ g > L d3/3,

sto je u suprotnosti sa relacijom (3.12), za e = d3/3. b) Pokazaéemo samo da je f g < Q. Uvedimo prvo sledeée oznake: f = liminfoe f

g = i P = liminf ,,( f g). Ako je bar jedan od brojeva f 'rii g nula, tada je nejednakost fg < Q trivijalna. Pretpostavimo da je f >0i g> 0 i da vai 2 < f g. Tada, za svako E > 0, e < min{ f, g}/2, postoji

najvise konacno mnogo clanova f < f E;

najvise konacno mnogo clanova g < g e.

Znaci da, za svako E > 0, postoji

najvise konacno mnogo 61anova f g < f g e(f +g e), sto je u suprotnosti sa cinjenicom da je P(< fg) tacka nagomilavanja niza (fg)Er-

\] A o !" 3 N s

c e. o a D O( o = oq o p o

(+t* C

L p

bJ

o.P ==

=:-

::IA

aa f5 oor

mm

A

A

LJ

!i!D

N

oq\F o\:

l_ru

D-O

vi D o< o oc o< N o ID Oa + o

:nl-

ol-

ot o- N o a. x- o 5

S

J E

:TE

5' F

s

F,F

s

r J

qs r

z .

1,..

. F

.E.=

[; .

5 i:.

.

?==

:.

*x

! *!

? +

c r

o s

Q I

!:j

c

!. <

9'

=

t J.

?l

'

' -.

,R.

.e

Na'

*-.3

,9+

Fg'

E[[

I€, -e

:: E

E!

][[i=

3=

KC

,€.'(

:..

gk';h

,;ifg

i:egE

*f

r;i;i

E

A fr

,E

Eqi

:B

E

r6

tr p

F F

oqm

P x

6. '

' 5

7 3

^[

i l;

3 o

E ]

; i

-?

i a

5 -

. m

o

o .'r

r'i

Z

9,

i. m

3'

?'

,*

Fi

; E

.3E

E.5

:it[.g

€; y

E.E

.iq' a

E.i.

i=

iy;'=

.5;,

e 'y

e a

;1'

;5

i =

i €

-"=

S 3

-oE

';

; -z

d

P =

= e

1 ir

cr :

;. =

-o =

I

IS.i;

'.i

€ +

'-;

5 =

= ,

o A

; G

3

e -a

-o

-.'

! 6

:i

E t

E

S i

^==

''p-E

Z

h' i

=

i lrr

tr

3 =

i.

iEB

b,

A i

?

€,=

. 6

; E

; E

.E'i.

)*,

* $

r €

5 E

-ot

s E

, .6

d6

3 3

s o.

o !-

$

=2

a x

b 9

i-I*

E e

I

i -

E B

v*

E f

g E

. i:

g p

E.o

E

B

.X

o.

.:.6(

5 ;

= P

-{P

i'n

1 ?

=.

? g

g p'

^-

i o.

=.

=

4 4

€A

i =

^ =

=

i;,e

i_=

: E

F 3

I5

*l

G

5 g

;

s S

;E

= =

6 ;

i j

SE

S-!

s'

a =

?

? !':

=

r

r 'l

ss :\

vz

! =

,= \

oo.

r-P

!-

+

=;

: s

6 =

1 :6

;

C

i :l

og

,3 C

n =

i.

! f

S F

N g

" j

# h

! d

o !r

-

o v

v P

i'

E'

o

\$

n A

eg-3

Ti;

e E

iv

i; ;is

g

?'li=

=

FF

a'=

oo

\ i=

'- 5

rr

v H

;;3

a ,l

?o i-

B

:

,j, f

,f E

B

; "i T

*,:s

;tia

= i;x

E r

i,:;B

*n

-€ a

iP

\m^

=

;: .5

E5

:- -

s 6

=

c i

rL

n F

tc

,>

=

i +

:n

6i

oa

= ,

6s

e D

: ;

:' j:

Eg

P I

S. :

a

F

gl i

o 1z

E

h-

6 oo

-

o -l

? :-

n,

d

[ :

=.

r ;9

3'

'=:

^=,

E

P p

v

1 j.

( ,1

F

o!

ll "

v '6

I

- 3

E

5 .*

3 i

;&5

T

A

.q +

E

, F

;

+E

i1

vsH

. A

:

- ?

H.

{,

,n=

?!r

- - o€

. e!

H.o

+

€:

u

Ei

+

- [r

F'

+i.-

53

o-

b-

r

n ?

N-!

r,

:''

D

i

:':-

. j-:

"

h -:

.-

a

t-

!'F J

F

. :'

B-

I :=

1 v

/ ;

T

.t p=

i' \

- o

, -*

i 't"

I

ii +

G

1.,.

' o'

" +

=-

E

a E

e

a



76 Giava 3. Nizovi

3.61. Data su dva niza (x)nEN pri éenau prvi konvergira. Pokazati da je tada:

a) liminf(x+y) = limx+liminfy,,; -y°°

b) akojejosx>Oiy>0zasvenEN`,tadaje liminf(xy)=limxliminfy. ->oo

Resenja. Pokazaéemo samo jednakost u a). Iz zadatka 3.60 imamo

lim infx + lim ínfy < inf(x +y) < lim supx+ lim 17-,00

pa iz konvergencije niza (x)nEIT i zadatka 3.54, tj. iz lim x = liminfx = tim sup x, dobijamo trazenu jednakost.

3.62. Pokazati nejednakosti: inf {x,1 n E N} < lim infx < lim supx n}) = liminfx.

3.63. Neka niz (fi,)nEl`V him dve konacne tacke nagomilavanja a i b, i neka je liminf, f, = ,t-40.

-00 lim sup f Pokazati da tada postoje rastuéi podnizovi (nt )lEN, (nk)kEN,

(np)pEN i-(ng)gEN skupa N takvi da je

hm f,, = lim fk = a, lim f = b, lim f = - -Poo. . p P

Resenje. Posmatraéemo samo dva podniza niza (f)nEN koji konvergiraju ka a, odnosno ka +.0, respektivno.

Neka je M = {n E f = a}. Ako je M beskonacari skup, tada se on moze zapisati na

jedinstven nacin kao rastuéi niz (nk)kEIN koji divergira ka +co. Ustvari, (fk)kEN je stacionarni podniz niza ( f )EN koji konvergira ka a. Ako je skup M konaean ili prazan, tada postoji no E N takvo da za svako n > no vai f a. Neka je n1 := no + 1 i Et := - a1/2. Kako je a tacka nagomilavanja niza to postoji prirodan broj n2 > nl takav da je f2 E (a-EI,a+E1). Neka je a2 :=

11,22 -

aI/2; tada postoji élan niza f3 u intervalu (a-E2,a+E2), itd. Nastavljajuéi zapoèetu proceduru, dobijamo podniz (f,k)kEV niza (f)EIN koji konvergira ka a.

Sada temo konstruisati niz (ng)gEIN koji divergira u +00. U tom cilju, neka je ni najmanji prirodan broj sa osobinom f,,, > 1. Neka je, dalje, n2 najmanji prirodan veéi od ni broj sa osobinom f,2 > n

1 + fin, pa neka je 03 najmanji prirodan broj veéi od n2 sa osobinom fa > n2 + f,,2, itd. Nastavljajuéi ovaj postupak dobijamo monoton niz (ng)gEIN koji divergira ka

pri cemu odgovarajuéi podniz ( f )gEIN takode divergira ka

3.5. Monotoni nizovi 77

3.5 Monotoni nizovi

3.64. Definicija. Niz (a)EN je rastuéi (respektivno neopadajuéi) ako za svako n E N vati a < a+1 (respektivno akojea<a+1), opadajuéi (respektivno nerastuéi) ako za svako n E vati a> a+t (respektivno akojea?a+1), Niz je monoton ako je ili neopadajuéi ili nerastuéi.

3.65. Teorema. Monotono neopadajuei (respektivno nerastuéi) niz ogranicen sa gornje (respektivno sa donje) strane je konvergentan.

3.5.1 Zadaci

3.66. Pokazati da je neopadajuéi odozgo ogranieen niz realnih brojeva konvergentan.

Resenje. Neka je niz (a)EIN neopadajuéi, tj. al < a2 < ... < a < an+t < ; i neka je ograniCen odozgo, tj. neka postoji broj A takav da je a < A, za'sve n E N. Tada je skup S := {a in E N} odozgo ogranicen, pa prema zadatku 1.32 a) skup S ima supremum f. Pokazaéemo da je broj f granica niza (a)EIN. Neka je E > O dato. Kako je Q supremum skupa S, to za sve n E a no vazi ap < a < Q. Odavde imamo implikaciju n > la - et < E, tj. lim a = f.

n! 3.67. Pokazati da je niz (x )EN dat opstim clanom x = (2n +1)!!

konvergentan i odrediti njegovu granicu.

Resenje. Dati niz je ogranicen odozdo sa brojem 0. Pokazimo da je xi+1 /x < 1 :

xn+1 _ (n + 1)!(2n + 1)!! _ n+1 <

1 -<1. xn n! (2n+3)!! 2n+3 2

Sada iz teoreme 3.65 siedi da dati niz konvergira. n+1 Oznacimo sa a = lim x+1 = lim x. Tada zbog x}1 = x mozemo pisati 2n+3

a= lim x+1 = lün lim ,. x, 2n+3 n+l

m Odatle aobijamo da je a = a/2, sto znaci da je a = lim x = 0.

3.68. Pokazati da je niz (en)nEN a) rastuéi; b) ogra.nicen odozgo brojem 3, alto je

1 ' e- (i+) . (3.13)

=__--'

t-.r-

\ct'-

ga-

+:e'

"soOO

No\o.9P" ,^.-T

\-f

ic!zUiNllN^ts&\o(.)

,6

o.V

^.i

c<

!-<

o:,N.+

old

!ic

Si-l

II9

l: 'a

'N

,, .=

,y,V

_l?

-tN

I I

u=R

\/ .-:

o,-.=511u

c --,'P

t d

:'lb +

i:0 €

:. tI

-lN

E

.6 .=

i ;5

-o il

V

Y

.t !J

!! -

r p

F

-i- N

a att

I3

-::-- ,'

-l:ri7X

ll-:

-r ^lN

' î i-!

.='

tr{ t.-r

!? N

l-- -:

.=l

\-

-. liH

ll

_ !

c ,^lN

v

rr rt

r

:2 - td

I I

:L=

a^=6

: -'

-9 X

o

L n

-1 -O

-

j P

ll

9 =

=

.E'S

U

- *r

.i r

-i -

'! .g

,_lso, * tt

P

eorr:.i:=o^-c

\;iulo:!-;,oo'>

0.;SE

=w

iip

.l:aJOQ

L)>

q

QO

Uoa.,=

o=

i

.="

.-r- t

- !

: i

tt S

tr,-?i Et, --

;*\a

-r? drr

E

tr.:,b l

aqr

s -

:;E

.* c, -

+>

ii3 S

;

f":87 ;[;r S

T

T

)i R

u,=g si=

t I

:i." 'E

,g: y

V

n F

S

--- o

'.=@

s

s S

;

\:Y-'

zs"r e

=

l' '::z u x*

'Y

'Y

-. ^5

S\e

= 5

i;-n

: :C

S

.,/r JN

v ?. =

_.,-

z z

; S

': ,), a

i.l!.

u v

3 S

:vt

q E ^

'=r

i .i

S

: vr s!

:;:- i:r

o o

: a

.S s.gE

=

+ :

t :s

F :i

I ,cN

?31 k=

; ;

I 'E

s ,j

->

d iii

sE

E

,=

a* :

=-lizE

:-,1 :

o o

: ip"

F;E

HE

76E

Si<

':

:- i!

i.:<l-=

=*

;nE

sq ,B

S !S

*F

g;;qsr ;

'+

3 !

.i r !

4:='i'=

a-

? a

.ir cE

' 6

=

-v'i -i

+a'=

= ---

E

5

3 . E

E

i iS

,j 3i.F

ii., i

t.-

<

O

: =

a:

: za:

I ^ l

u -

(-! ;

! a

.- lr' 4

'5 uu

c c! Y

.E

1, r, =

\,

t -.

* j6

9F=

-E L, :

i.-

: -

; ':

.. \

: -a -

l.- J

-i -:

E

-:..: s

:';' i

s.-.=txs-=

x=

: ;+

r+=

; E

: .a ! i*;=

;1* i

=

:. X

--

p I

a d

d cg

u .,

a'4 d

" r

'vl

S

, r

u', ra nr E

< :

F s

sE i ? n i

s g

H E

:sBii it r srE

"lE iz;

s+

..u.;.d'f'qq'qe,qtrt?atrr.c;

i d

r 2 3A

*4 ;;i*=

*eqflgi

El

E\ !;i

Er:

2 a;;ssr, ! :=

Ey

S ;

jl ri:

i-+ +

;e+,1=

=i;i'

t E

i ?Er E

i V,?7 ii

.i:i=;igE

E.i!r:-

r =

E

,-o f=

!= :E

:- !

Ei a ua iE

^zs sEi

==

re

i a

: ll

+

-:F

" ,=a a r=

. rrSi :E

E

= ; ii

S$r;f.?.1 ;E

I$

Ei i;r E

: f,=.; ii

i ; E

'; i;:a==

1'azi! trx{

E, }A

E$ L;;g,;grt:;gE

ig,i i ;

- :

: !,),

tt *, d E

Ss-iE

'so=si;E

!;iE

r iii E

T

'= ci siil E

iigg:; E:gelE

s3,t5€i:;

s i: 5srE

jg:=F

$i;:G+

1gii: E

: : i fr xi ; if, ti3 ;- r +E

irr;:alsil+,i"1 rE

liiiE

;i?I;u,EE

! unt=€:;:

r -=q s E

e ub,E i

EE

:ts{ t E

;'E! S

iga51.i;,iii

E

i s

==

9: 9

!t j7t=

E

'q E'E

r=-E

:=;3€-^;::=

7!E

l it iE

i:,[' l€'a=

iEil?ig;:;E

;E:i

s;:,il -E

EeaE

rEl3' ,A

\Eie1'iia+

'/"=r=

.E.i

ri 'E

g'E

q

'&

Nzr; oNo.si



78 Glava 3. Nizovi 3.5. Monotoni nizovi 79 -

Regen ja. a) Posmatraéemo kolknik e/e+l i pokazati da je manji od 1:

1\111 n+l ". e _ 1+n n 1 _ 1 n+1

e+l 1 \"+l =

n-1-2 n+2 (n(n+2))"

12+2

(1+n+1/I /z+1 n+1 (n+1)2

Pdmoéu Bernulijeve nejednakosti: (1 + h)" > 1+ nh, h > -1, n E N, dobijamo

(

\" ç+Ij)

¡.

1 (n+1)2) > 1

(n+l)2' pale

e en-Fi

I n+1 n3+3n2+3n+1 n+2 n3+3n2+3n+2

< 1. n

(n + 1)2

b) Na osnovu binomne formule je

/ 1V" n(n-1) n(n-1)(n-2)(n-(n-1)) 1+ =1+1+ +...+ , n=2,3,... n 2!n2 n!n"

Iz nejednakosti

n(n-1) _': ( 1)

1 - 1-- <- 2!n2 2 n 2

,

n(n - 1)(n -2) 1

(1 1

1) ( 2) 1

3t n3 =i -n -l <3!,

n(n 1) I(n (n-1)) l ¡

1) ( i 2) (i n

1) I\- < n.n n. ' n n n n!

dobijaino

( 1+-/ <

n

1 1 1 1+-+-+...+- 1! 2! n!

< 2+2+ 2+...+2 1

I =1+1 (1Zn <1+2=3.

(3.14)

Kako je ei = 2 i, prema a), dati niz rastuéi, to va2i 2 < en < en+r < 3.

Napomena. Iz teoreme 3.65 siedi da dati niz konvergira. Granica ovog niza je iracionalan broj e 2, 718281828459045.

3.69. Pokazati da je za proizvoljan prirodan broj k > 2 va..i: lim n-- \ /7 (1 -t

k = ek, - n Regenje. Niz je ogranicen sa gornje strane. Zaista, iz Bernulijeve nejednakosti siedi

1 + k/n < (1 + 1/n)k , paje (1+k/n)"<(1+1/n)"k<ek. Stavimo z = (1 +k/n)" , n E N, i pokazimo da je dati niz rastu6i:

/ k n+l k

»»+ I _ (1+ (i+i"t(k\ I n(n+k+1) 1 n+k X (1+) \ ï+; \ ' / ((n+I)(n+k)) n

(1 (n _ k

1»+1 n+k k \ n+k

+1)(n+k) n >

(1 n+k ) n - ]

a

Sada, prema teoremi 3.65, sled da dati niz konvergira; neka mu je granica P. Da bismo je odredili, posmatrajmo podniz datog niza ciji su 61anovi .x,i = ( (

i + 1 /p)P)k ,

tj.zan=pk,pEl` N.Kakoje Iim(1+1/p)P -e, to je kp

lim xi,k = lim 1+- = ef'.

( p Prema zadatku 3.43, granica podniza konvergentnog niza jednaka je granici niza, gto daje trazeni rezultat.

3.70. Neka je p,,, n E N, proizvoljan niz realnih brojeva takav da je lim p = i

nekaje q, n E N, takocte proizvoljan niz realnih brojeva takar- da je 1im q = da je:

/ Y» / 1im I 1 + 1

) = lim I. 1 + 1

1 = e. p \ qn/

Regenje. Neka je (nk)kEN niz celih brojeva takvih da

clanom (1 + í/n)" konvergira ka e, gto znaci da za 1

" !

da za svako n > no(e) vali (1+ -) -

el < E, n

E, za nk > no(e), gto daje lim (1 + 1/nk)"k = e.

Nekaje, dalje, (p)new niz realnih brojeva sa osob

je lim nk = co. Niz sa opstim

svako E.> O postoji no(s) takvo

odakie siedi I

/

1(1- 1)

1k

-e nk-

om li.rn p _ -1-co. Tadapostoji niz celih brojeva (nk)kN, takvih da je lim nk = i vazi tlk < Pk < nk + 1, tj.

nk = [pk]. Odatle je 1 1 1 1 1 1 <-<- 1+ -<1+-<1+-.

nk +1 pk nk nk + 1 pk nk

Prema tome je (1 + + 1Pk <

( l+ i

)Pk < + (I )rk, odaldeje pA -

k

nk pk - \»k+i , tj.

(1

1

+ )

< (1+ -1-)N < (1+

nk + 1 / Pk k Ì

t;"

N

'i-

.h(!

l-

c>O

.-l:

H

.rl.-

1

lYl=

' 6

---

iP

+@

l

il3 ITp

r'Jl

rr

oT

+

I pi

- i - o

nu NrB

r

.:!

t^ i=:t 'll i= i

*t, l-

i! a- ar

C-c

=:

.NO

i ^+6

il \J

'il* NJ

..i-'

/,,

h

gNJ

D ^.

Nl

o.

fJl_

...,

D

pt

r"l-

=. =l-+

+

-.1-

D'_

l@

N

)l+

:t

-t!

EI 9:

-r

;rl

o! N<

t-

. -t

r.J

lllt^

tn -

t-s

;]lE

n. +,

!T ^Nil

'!"

!D E

z

$^.

:N

ofto ((

:l

tJ

)jo { oo

i:r

Nt,

m @(D

tj o.

Eo-

LA rD

\o-

L^ F

.

N o o t oc : o p) o o oq N (! :1

iisI

I I N) : I I

tl I 1

=lN

)ul

-

o 9) 3 N o

: tl -N)

-u)

:a :-\ o N o

!, --l

N x

; H

ryil,

h

G'

e .D

c.s

5 !i.

3a\

\_

a

.P/

^1

=.-

s\'

?s\-

6+ .\ ln

:

iJ

2/2

^J6

,T

zNA

LWl'{ x"

: ,'-

Eha

D\a

r! s.s

il.)

:.r ^'i-

*:s

alN

:=:

=S

t

:_:r

ti vi

^: ^*a-

!$..! ar

.,

:\o -:i-

1..-

\.

!.n :--t

- A

)E'r

ry:

A:D rll

o

l,l,

aoN

-J \o



80 Giava 3. Nizovi

)H7+

l

(1+ (+I)' t; / nA

(1+ I

Al k < 1+ A) (1+ k/ /t.+1/ \ /i /1

Prema tome je lim (1+11 pk )l'A = e.

Neka je dalje (1)EN, niz realnih brojeva takav da je -q > 1 i lim q Uvodenjem smene q _ -a dobijamo

(1+

"" - (1

- an ) -(1+ail ])a-I (1+a,t1 1),

pa je lin (1 + 1/q)`1" = e.

3.71. Odrediti sledeée grtani(ne vrednosti:

a) tim (1+

1 »

n+3/ 2 _

l m (n2 2+2)

d) limn (log\/n+1-log , a > 0. c)

Resenja.

a) lim (1+72+3J

Crl b) lim

+1)n = lim

» r2-1 »-".

(n+11» b) lim J - 1

(12+3) i

i 3

lim (1+ n+3 him r1+ =e-11=e-1. / \ n+3 » )

1 \ " 1\n 1

n(1+ (1+ f - lim (1+- II II / n-14O n 2

( 1\ h

( 1\rz (-10(-1)

-e .

f\./1 1- 1-

J) lim 1-

/1 11 rI II

Poslednji zadatak se mole uraditi i koriséenjem zadatka 3.69:

+1\n 2 \n-1 2 (- n J

\ lim

=1im(1+--\i 1im(1+ =e'- 1=ez.

Il - 1 n-1/ »- n -I/ 2 -

- 2 (1-2/ttz,t Z 2

c) lim = lim = e _4. (Koriséen je zadatak 3.70.) n `122+2) (1+2/n2)"-/2

d) lint n (lo in + 1 \ log 1 = lim 1 log

C

n + 1 "

- log e =1og» n a " n-- 2 ` II ) 2


» /

\ Resenje. Ako stavimo é = 1, i, kao u zadatku 3.68, e _

( 1+ 1 I n E N, tada iz

1_0 /' \ II

(3.14) sledi e < e < 3. Odavde siedi konvergencija niza (é)EN ka nekom broju e. Pokazaéemo da je é = e. U torn cilju, neka je 1 < k < n, k EN. Tada vai

1)" _ n n(n-1)

12

n(n-1)(n-2) 1

1+/t I -

l+n+ 2! n+ 31 n3+... n(n - 1) (n -k +1) 1 n(n -1)2.1 1 1 1 1 +

J +

k! nk +

li! n" 2+

2! 1 -

n

+ 11 (1-1 (1--2) ...+

11 (1-1 I-(1-2 I (1-k1.. 3. n) n k n// n II

Prelaskom na granicnu vrednost dobijamo

1" 1 1im 1+- > hm 2+- 1 1- - 1 +- - 1

+ n) - -. ( 2! ( II) 3! (

1- n) (

1- nl

+ kl (1 i/ (1

I (1 kn1))=(l+ll+2l+...+k _

za svako k E N, pa i za k = n. Koristeéi granienu vrednost iz (3.13), zadatak 3.68, siedi da je e < e, za sve n E N. Tako smo dobili nejednakost e < e < e, odakle je

limé = lim (1+

1 +1 +1 +... +1 I = e.

k

3.73. Pokazati procenu: 0 < e - 11

< k lkl

, k N. N.

Uputstvo. Data relacija lako siedi iz nejednakosti

n 1 1 a+1 > 0, i odrediti lim a. \ _ n.--,

3.72. Pokazati da je tim (1

+ 1 + + 1 + . . . + 1 r = e. '

b) Pokazati nejednakost: 1

< in (1

+ i )

< 1, n E N. »-a 1! ! 3! n.!) n+1 n n c) Pokazati sledeée jednakosti:

(1 1 1 1 1 I 1

1 lint 1 -!-...-{ - =1n2; lim + +-..+-+...+- ln k, kEN. n n+ 1 21z n + 1 2r2 kn

Zul

A.

;--l$++i--t-L+-R

=l

a'.iIN:

-t-l.-*1L+*_i<Lrl

aiil

--' 0)

-4-

,.',.ol&

o.6u.-r-Y

I

Vl

+N

".

^ l\J

' .ovlaou

*lN,N..

T.io

a4

;.arF

U,

2ali

.9*l=

!î.u@eVay

.i-: M

;.2.N

l=

,, -

*tO

N

' >

\tl

4 vl

lr i

*lU

-l! -t<

-.Itr-:

tr'd.a

@'5

cgoN

- O

.l: ,/-\N

lrN

l=

r

li

rlr

*ls I

t-6-.F

-16

+:=

'I,ET

+@

aO

'\--l

IU/A

r.=

\-/,U

e8!t I

bo-=.x

-lMilFrO

TT

a -

.!ieo =

;k

.ilA

-=

:iNl:l'!-.

?t=*',î+1

-rlrl-t\-|.le'l--lrl-t

N5

JLd+

E'N

U:9

tu E

ct.) *

>:

* I =

iiz.

+

jul,si -V

I .N

ru -i- 't=v

--Vd

:FV

i'ri

!o !,1 -

,lfi)

O

n) -

I

- ho'+

5l

- 0r:'i

-lm.x

7u tl

:Fd

NJ.\-I

=

.-.1- :

I

I ;i

,-' -f

l<

a s

-l"l-.:

or F

l*-Y

pa-

-l'\ 6J

=hlI5 "j

I l"i'

rr =

lll

..i ll

-r$+'\i

\/ -. -1".

o,^=-a

-v6

6:io

!'qvo!!

() --ru

(,)

oo

| ,--:

.:/rl-_.t-*

lel <

l

+l

N

IINI

<t-t

:

+*

lco+

*N++-8pltl-a

'i:oNT

oo\fian

0lil:dR'E

l Itt

+lla

nlt-,l

<d

,'---\u

l->

-il

cJ l:

v l*

f!o

-

^'All

Yr'l

-.-

-L

z -a -ix'

tO

:LL>

i:i\I

='!:

;tllll::

:s s

i :

-:9 i.

;aA

+T

-:J

-a a

-2 4

'-u-i-:cdluC

)iiu>

a\J-(F-e.i

F:*..'.:..*.=

:-=-:,

O@ oNEr;=\,

ti

*l-+

booilU

i-tillNolll

t-T\=la4

.4 iNti

({bt

lr(5bllo:=1

:t

rr :-

-1r ] N

IN.

tt-t-IN

IN

-t -i

._t*E

q*

n(:boI

t*l+--t-

2

- l-

adat

oLI*t-

:r8

ai

+i

-=

-1-

:*

+

+-

lr,l-l-,

- l(-l+t*

+.:--P=

l

_t^*+V

J-il

-:lr

\-l'

\.l-

iR=l

()FUi*

L-

o!a^ca.lt-rA

--L



82 Glava 3. Nizovi

Resenja. a) Koriséenjem Bernulijeve nejednakosti imamo

_ a (1 4-1/n)"+1 1 "+ n+1

an+i (1 + 1/(n+ 1))"+2 - 1 +

n(n +2) n+ 2

n+1 n+1 _ n3+4n2+4n+1 > (1+n(n+2)) n+2 n3+4n2+4n

>

Znaci, à > a+1, tj. niz (a)nEN ópadajuéi. Kako je ogranicen sa donje strane (na primer, nulom), to na osnovu teoreme 3.65 sledi da dati niz konvergira. Njegova granica se mofe odrediti kao

1 "+1

1 "

1 lim

(1+ri) = lün (1+) lim (1+-)

=e1 =e n

1n

(1+ 1

n+I

b) Iz a) i primera 3.68 siedi (1 + - 1I < e < -) . Kako je logaritamska funk- \ n

cija rastuéa, to vali n ln (1 + 1 /n /

\n)

< 1 < (n + 1)1n (1 + 11 n) , odakle je

l n( I <ñ i

Inl+n)>n+1

Prema tome je n+ 1 < In

(1 +

ñ) < . c) Dokazaéemo smo prvu jednakost; druga se pokazuje analogno.

Pomoéu nejednakosti pokazane pod b), dobijamo za n >.1:

In(1+1) <

1

n

1 1 ln

1+n+1 < n+1

) in ( 2n+1

\ 2n

< ln(1+ni- 1)

< ln(1+1) n

Zn <

ln(2nn1). 2n

1 2n 2n

(1+ Sabirajuéi gornje nejednakosti dobijamo ln (1 +-< E -< E ln

) k-n \ k k=n k k=n k 1

/ 1 1 _ 1 n+2 2n+1 Pomou transformacija E ]n I 1 + )

=1n n (1 + ) (n+ n + 1 2n ) k=n

dobijamo \\\ \

( hi

2n + 1

< 2n 1 ln

2n n ) k=n

2n

(n-1)


Logaritamska funkcija je neprekidna na intervalu (0, +00), pa je

lim in (2n+ 1)

=In lim (2n

+ 1)

- In 2, i lim ln 2n i In ]im ]n Zn

1n2. /7+- n- 1) n-+_ n -- 1

2n Sada na osnovu teoreme 3.22 konacno dobijamo inn

Ñ =1n2.

n-.m k=n

n 3.75. Pokazati da je: a) () < n! < e (n)n, n E %Y, 0 < s < 1; b)

n + n!

Resenje.

a) Pomocu matematicke indukcije,pokalimo prvo da je

n! > CI)" n E N. (3.15) e

Za n = 1 nejednakost je tacna. Pretpostavimo da ona tanta i za n = k, tj. neka je k! > (k/e)k. Za n = k+ 1 imamo

(- e

\k (k+

k+1

(k+1)! = k!(k + 1) > I (k + 1) = e

1

) 1 + 1 k (3.16)

e

/ ( / )k.

U zadatku 3.68 je pokazano da je ak = (1+110k < e, tako da iz (3.16) siedi (k+ 1)! > ((k + 1)/e)k+i

Pokafimo sada da je n! < e (n)fl , za svako E E (0, 1). e-e Zan=lje e/(e-e)>e/(e-0)=1=1!. Neka je za k E N data nejednakost tacna, tj. neka je k! < e (k/(e -E))k. Tada je

k+1 _ (k+1)! _

(k+1)-k!<e(k+1)(ekE) <e (e+s) (1+1/k)

(k+1)k+1 e

¡k+l)k+l e-E (1+1/k)k Ge

f\e-a b) Napisimo relaciju (3.15) u obliku - 1

< e. Odavde siedi da, za dato E > 0, , n

molemo odrediti no :_ [e/Ej + 1 takvo da vali n > no 1 _ 1 e< e

n nl 711 n

< e

k

sto povlaci da je lim 1 = 0.

,n f

aW

9foo

:d N

l x

E'

t-L\ r;;.:

o

d.-A

i

n'q

F:

81 '

o?5

:. .= o

= 5

v t

I i

^ il

>l3

S

i'rr

Ea

, ,

+ l

: .0

i".

=E

E':

r l

.=f

'-+<

G

-=N

t-)

5u^

a <

--

-t

t r:

- e.

'--:-

-i

-l:

o

B'z

llis

l<

3d-

Q

,',1-

T

l3

6=

'?

]-'i

-i n

ac'

d v

--i

-,

o :l

aE.

- it

Ipl

=

Plo

' rl

,, D

: -'

^-,,-

l'

=?+

tJ

t-

/--\

O

6 u

\i.

T

;.!.

:lr

--l

-l r

: I

A.E

tl-.

-l

- !J

-p

l +

-t

! 3

,ll

.!_/

N

^z

I l+

=e

5l;

1a

a li

r,-

<P

ul,

cD d

v

tlt;=

b

rol-

='d

-rt

o -lo:

Joq

o 1= OD

t-

o -

O-X

-u

(=

: N

=+

oiA

)FD

J I:

^ p

H

:rX

N=

P

=ci

' 9

6.

E'

..DQ

lDD

AE

'5 .

6 -

qA

L.

l-,=

V,

TO

:l fi,

o

J<

j,-

L.

6

-r--

@"

; tv ^

EE

\J/ o

o T

:-

-,.

- @

>

t-E

j-r -l_

- n

nyO

-O.

\r-

i) --ol

a =

l- /\

\-D

i'n=

rD

=

+,^

.

tn N-E

=

i$ ;

'\/

! :

-t

xE

-l

Pa

Yao

(Do

q'

Oa

(DlJ

3 E 5 h

:H

oa ;,' t

Y s

= l+

d =

)il! '')

()

85

:./^

\ (D

]P

E-

t*

J_!

- la

U

l{ ,*

o !...

o-ll

!J

=_

5

{;r

I

:l e

,p L_-

gilt YO

i=

rl11

J r ll'

J+

l il !e

oo IJV

t^

VU

eJd

JLd

=0q

@A

+-

o:l

-L. 5rD

:'I d6 (=:

(D

:

J -M

v n

't\j

='-'

5

!-rr

irr

r a

i; -lr

i: =

.x

lr ^

\--l

tr

=t-

+

I

,CI

Fl-

(=:

/\A

\!/

'Z'

lD

' rr

5

li t7

4ti

" o

=

\i1-

=r -

-i_

IMv

d

" L!

: _

tsl-

, i!-

--

---

o -.

L v

vl\/

: n

-lNA

r54

- _1

"l:

-+,-

\lln

- ;-

xM

s-t

---

rtl

I-

I N

J ,/-

-:

:+ lti

+l

\Jl:

l'-'lr

-l

t!v

L}J

lrrg\

s'

i! !,r

ar<

! Lr

::L}

P H

\

:L.O

-vs

io-

a

^-ll

6.

Nr\

_../

DD

\..o

o

\.t\A

-\

rr A

o.

!,

ilv r-. I

ti-

o f

trr

o-S

E=

'6.

Fj=

a

I

o'u-

-{n

- \/

I(D

vo\

5>!

: '-:

-\

io

,---

':I

Gls

N

(Jl

n 5

l-=

t!

3 -c

\-

---/

o.i-

arT

)oa1

'!ifi)

o<A

-.o

A\- ll- €.

i=

. .=

l-.

li,+

uJ

eo

- ll

='L

ô(9

v

ZN

P

:CT

P

I X

- ,;N

-tID

VP ,il

N<

: rD

,, -

C,=

F

N.-

B

-T

+

- --

\ F

' 3o

o ll

T

z\

3 :i;

^-

+

,\nf

avN

/\ o-

' "

=^

E-l

\ :

V.5

6-

FD

-,

^\

O-

- f

cl

- \r

x*+

;g

tl\

;'m

l F

'7.+

ts/-

\ :'

Fri+ .:-

-, :

" :-

2

t ll

nrl'4

>r'

,' iD

o

-*

lF,

\ q.

m

"

.r l

-l-'o

^nt

itl

| -

'^ril

]

\--l

rlr-U

+I

IT

/\ "

:T

T

-/a

iF

+

:l_\

lD

,

r

tt^r

-lr

-t rl":

t P

=

-l-l

l- -s

lll'

F^ i-l'

:'-*

l H

e-

9r a.

UJ

rDF

_rO

rlv

- vE

3za6 EN

''dxo 9i

a<

5<ô

*ia

Fio

=

e ^

;k

il ^

o:

o uJ

I

+<

:l ',i

+

m

i-=

ll -

ll b

,,-G

'-i

,lh

Tl

tr

-lo*

-:l

lo

- r

\'IF

1:

r -l

z :)

l- -l

^ .-

ll-

/\P

.nG

d \lh

-N

( r

lI(l

I I

d,

ml*

vli

=o

Q-@ l1

a

<.i

o.-\

t !

Nll

e,

<=

l +

:-il

o mnv

8J -^ +

:

8, I

d,

+ tl T l

8' ilr.z

v:r

lP 1t Ij

-l-l-

s l-

,I

5+

:t rl-

+rl

!l \

l.!

== ++

\-_/

ti- I

!l

U) z N s :a !^ o o N o

a o 0) o o o o E o 5 @ (l) i') t) Pf o o< o o- o

@ UJ



84 Glava 3. Nizovi

3.76. Pokazati da je niz dat sa a _ 1 -1nn opadajuéi i ogranicen odozdo. k=i k

Regen je. Iz primera 3.74 b) siedi da 'e a ( 11 1

j p ) J - a+t = ln 1 +

n J -

+1> 0, sto znaci

da je a > a+1, tj. niz (a,l)EN je opadajuéi. Niz je ogranicen odozdo, jer je n

1 It 1 4 n+1 a = E --inn>yln 1+ - I n n

(2. -3 3 ,a +1 1

ln >0. k=t k k=t k ( 2 3 n n) n

Iz teoreme 3.65 sada siedi da niz (an )EN konvergira. Njegova granica y := lim a je tzv. Ojlerova konstanta.

3.77. Ako je r E Q veéi od -1, pokazati nejednakost r1(1+ r) < ln(1 + r) < r.

Resenja. Neka je r = p/q, gde su p i q uzajamno prosti prirodni brojevi. Tada iz 3.74 b) imamo

111(1+ r) -=

1n(1-I-) =1n(q+1 q+2 q+p

) q q q+1 q+p-1

ln(l+q)+1n1+q1)+...+1nl+q+p-1) 1 1 1

< -I +...+ 1

+ 1 +...+ 1

> p PI _ r

q+1 q+2 q+p q+p p/q+1 r+1. (3.18)

Za -1 <r < 0 i r E Q, mozemo staviti r = -ri, gde je 0 < rl < 1. Ako uvedemo

r2= ri

, , Tada je r2 E Q i r2 > O. Iz relacija (3.17) i (3.18) dobijamo -r1 r2 < ln(1 + r2) < r2.

1+r2 /

Ako je r2 = ri '

1

, tada u poslednjoj relaciji imamo ri < ln I 1+ 1

r1

) <

1

ri

ri Prema tome je

\ f

< --ln( 1+ ri =1n(1 1+r 1-rl \ 1-rl

= ln(1 +r) < -r1 =r.

1


3.78. Pokazati konvergenciju i naéi granicu sledeéih nizova:

a) f,=c+\/c+Vc+...+Ag=c+f,-t, b)

f,+i°(/a.+f), fi=, 0<a<1;

c) f»+1=ZIf»+ -b »),

fi0, b>0;

1 b d) f+t=n (rn-1)f,+ f, »,-t ), f1 0, b>0,rnEi,n>2; {

e) f,+i = f - sin f,,, 0 < f < 7t.

f =c, c>0;

Resenja.

a) Pomoéu matematièke indukcije pokazaéemo da je dati niz rastuéi i ogranicen sa

gornje strane.

Jasno je da vai 12 = -Vc+ > fl. Pod pretpostavkom da je f > f,l_1, imamo

+fi > +fl-i f,+3 > J Pokazimo da za svako n E N vari f < -VC + 1. Ocigledno je fl = < -I-1.

Akoje f= <-VC+1 zanekonEN,tadaje

fn+i + + +i< (-\/ +1)2=Afi+1.

Znaci, niz (f7)EN raste i ograniéen je sa gornje strane. Prema teoremi 3.65, on

konvergira, tj. postoji realan broj P takav da vazi

lim f = takode, lim f2_1 = . ,,->oa ,t-iw

Granita datog niza P se mote odrediti na sledeci nacin:

fZ=c+f-t lim fñ =c+limf,-1 2c+, n-4.0 n-,00

tako da je f1,2 - 1+

21 +4c Kako su svi clanovi datog niza pozitivni, to broj

1-V1+4c e1 =

2 < 0 ne moze biti trazena granicna vrednost.

1+4c Znaci, f = L2 = 1+

2 je granicna vrednost datog niza.

b) Niz ( f)EN raste. Kako je f > 0 za svako n EN, to je

2 2

fz= 2(a +(4)) 2 +2() >2 =fi

v!

rt -o

q9co'=

E>

g:E6-Ndl\o

]Q6_c0F

-N_

6i'E\

. li

^ jJ

e -

-. trN

p *

_ ,l

S

E

s6.a n

F_.=

trc..,,

_'Q

=

.-i -a

a -O

Z

? rJ lN

.gr.- E

i .:

tr8 =

'o

i,c

>N

;r

.e .:T

-:

.=

O

v _lN

: s

o -=

,)

=

c s

e^>

, y

i: -o

^ T

Hfl?5aia,-=;;

9 o

=

H

: i

lloaE

Eq.):@

r* :

:E t{

, 'F

rE s A

,gJ E

E

? 3 .:

E o

^tl$'E

'=

\' €

==

*

E

Eo ./r

v6E

t, o:u=

+ioe

.'- !2 |

:t ,k

: .i

.o E

s" .E

-

llJ g rvr .

\-/;

H

-r g

+

E i-rN

=

il

* Y

6

ll -l

,, l

o, g ii

rr ,

V

-l di

X:

'=

1r=

| '

-ia. rlyl

l E

qi.+

PJ-

" -

I I

\

.Ni

E

,Sl^

t, -y

;'-sN

d

ll, ri

'BE

F

e r

'E !

S-9

0 E

\

tI z

-i+t-QilNIIU+IU+U

r-6,U

E

1.,

-/EJivboloqiq.::

/,G

i tq

:=

ll

d(J:N

-o.'-=

!\U

S

=

9

/\ o

w:

.Ea-roo

(!+o-!)O

n'-x\-o-i

€ *

f :;

(,):

O

=

i- r

cdul-tt-rt-

E

p l<

e;

' N

lI

rz ucl

(v

r- H

,O

, n

A

.-,4-ll

v sl

,,'J ,.'= 'E

Il-t\t\l<

r<tJ12r2,,3

' :z

l,I

v =

lt

l" ?'-

9!\

">|

.'-: -v

ll +

>.G

->6=

6iI E

-Lu

)\s>r\

\ J_

u ;

cd ,l

rttqc--ollL

:' -

- -=

=.-

::=aoE\

X

O

,\.!a;

l'=:

d ^'

.--r

= a a'84s

8i>

o(D^

^/d

.;\/lBnl

V*s

s rll 'il-

r<q^ *a lL-

i loi

r lN

llll+

+

otrrillq<

lll":lrll.illl ul->

Ll+t:ll+t\_li-->t

co

I

bw\)\)()ts04\(JbUL'

AT

-1?

ô€F-t)

oNT

ic.)

l,'IIt1+"\

--(U

L-.oC

.)+3^v{

{:i -l:

i. s

Lll I

o l-

.arV*@

Ll*+\/

ca E

-

'9,s r

llo-'

6 \/

6 |

lxa{qI

o -.1-

:=,LU

I-::

'! F

9

l-

t Y

v 'a

rl r

t-N

t-^.t<

.=

I r rl+

E

+t)

'- '

I \__-/

,NA

!l-Û

g

FtL'!v

aJ,--ri

u -

-li.

ll,\

6 -

lll\

l-uH

ultv

- Il

II U

I

' l*-

'^, E tll-

EdiioN

.N7,F

€r;t--

ca;

'-oNE..iE"litlt*xlt

--tl\I N

*l\n,

il

^t,*lT

l- lx

Vn

C

i\-L

-1-l-

E

ls(),

+lq

'$+\rN.a

*l+_

os lx

cBI

9l+6N

*tpB.nOH

Le!+bsoY

.Sl

bo '5

oZd

-A!i-oo

t



86 Glava 3. Nizovi 3.6. Razni zadaci 87

Pod pretpostavkom da je f > f_t, ili f- f_1 > 0, vati

2(ft+1 -fn) =fn = (.fn+ft-1)(f,-fn-1) > 0.

Pokatirno sada da je niz (f)ENT ogranièen sa gornje strane brojem 1. Prvo je a 1

f1=2<2<1. Akojef<1,tadaje 2 afn ?

ft+1=2(a+f,)-2 2 <1:

Sada siedi da dati niz konvergira, pa postoji realan broj £ takav da vati lim f= £ =

limf odnosno £ = 2 (a+£2) . Resenja ove jednacine su £1,2 = 2f / -4a

.»-11

Svi clanovi datog niza su manji od 1, tako da broj et = 1 + /1- a > 1, (zbog 0 < a < 1) ne mote biti granièna vrednost niza (f,)E1y . Dakle, tratena granicna vrednost je £ _ £2 = 1-

c) U zavisnosti od b i f1 posmatraéemo tri slucaja: I Ako je b= 0, tada vati f = f1 /2"-1, i lim f, = 0.

IlAkojeb>Oif1>0,tadajef>OzasvenEN.Naime,akojef>0,zaneko n E N, tada je f+l =

2 (fn + f I > 0. Iz transformacija

n

2f b f 2A= 2f+ 62(f ( /b

)? n+l=fnt-? n+1` ft` ,1+1` )= fl-1/ ffl >0.

fll fll

zakljucujemo da je f > v/E, za n > 1. Iz poslednje nejednakosti imamo 1 b 1 b- f2

fn+I-ft=2fn-f1=2 fin <0

odakle siedi da je dati niz opadajuéi pocevsi od drugog clana. Prema tome, niz je konvergentan, pa postoji £ E R takav da je lf t+1 = £ = lim fn. n-.

Broj .e éemo odrediti iz date rekurentne veze: £ = 2

I e+ -b)

> O. Kako je f > 0

za sve n E N, konacno je e=N/b. III Ako je b > 0 i f1 < 0, analogno se pokazuje da niz raste i da vati f < 0 za svako

n E Znaci, dati niz konvergira i granicna vrednost mu je £

Napomena. U slucajevima II i III niz postaje monoton posle nekog indeksa no.

d) U zadatku 1.14 je pokazano da aritmeticka sredina nije manja od geometrijske sredine konaèno mnogo proizvoljnih pozitivnih brojeva. Tako je

(ni -1)f,-I- 1 b > { m-1 = nt b fi+l = n nt

fn m- ¡I flm-1

za svako n EN. Niz ( f)Ey je opadajuéi jer je

J

ft+1 -f, = m

( ft b-1 f, b ftf'_1

<

Slicno kao u c), pokazuje se da je lim f;, = 6. e) Niz je ogranicen, taènije vati 0< f < 7t za svako n E N. Za f1 je to sigurno tacno.

Pod pretpostavkom da je O < f < 7t, imamo 0 < sin( f) < f, odakle je

0 < f,+1 = f, - sin(fn) G fn < 7t.

Iz poslednje relacije takode siedi da je dati niz opadajuéi, pa on konvergira. Funk- cija g(x) = sinx je neprekidna na ][8, pa se granica mote odrediti iz jednakosti

= £ - sine, (3.19)

sto sledi iz lim f+1 = e = lim sin( f) = sine. Jednacina (3.19) ima dva resenja na intervalu [0,7[1, naime £1 = 0 i £2 = Tt. Iz nejednakosti f < f1 < Tt, n= 2,3,... siedi da je tratena granicna vrednost £ = et = O.

3.79. Pokazati konvergenciju i odrediti granicne vrednosti sledeéih nizova:

1

(2bn+ a) Q1 =2+Q1 at > 0; b) b1 =- 2 , bi O.

3 , bn

Rezultati. a) 2. b) 5.

3.6 Razni zadaci

3.80. Niz aritmetickih sredina niza ( f)EN je niz (F) EN dat sa

F, n:= fl +f2+...+fn

n E N. n

Dokazati implikaciju: ( lim f, = f) ( lim F = f).

(3.20)

oo o\lj :. I lt :. +.

Sis

,r.

f l.J '-. i I li ll :n I t') +-

(*t* .l"

t t) i I 1l (*t

l GI \ ::n l

E=

r:

Eu

Tq

N^F

z!U

Uii

'r'

i( @

c

3 co

+

,r>

O

<

x .-

a,=

.a

\ g

6-

='

li+:

E'

E*

.E:

g,

\/ 3

i X

o

^/v-

^;l-;

,U-^

P

-'T

e r

N

=\:;

D=

.LI3

z\o.

=.X

O-r

DF

o:

:: 23

.:1

(\22

o

d =

;i.

\rl.<

\<

lD\*

-

#d

ll =

=

- JE

1

s-l

i'5

e I

i=

r'w

;5S

5iE

o"t,.

r-N

-^6n

i:>ll-

'H

; H

,=

'? 9

, 1'

lo v

=.F

o

rr

iD O

:

o(tD

-

rr

.-

3,

:-

S.

=E

ft

s.=

_s;

I

rl 2'

. ti

E=

^

:-

4 .t

K 6

- \

l5'

- rJ

r-

6-?

5 ,,

E.-

o-

;-

+

Ei

bJ-

i- ,E

sijt

F

P

o r-

-:.5

2 2

\ ar

o -N

.o:.o

I

;, n.

E

<

^\l,

s v

- A

EE

h

S:-

^3=

9l ^

nr'

ED

E

r\

x-

5o.

clN

rD6

h->

FO

\,/

N

5',*

.O

Oo

S sa 3 N !:.

.-.:*

->=

.FE

*iq

'J.) IU N N a o

E

F

S

@

a-z

=oi

€vE

p'z

? i

.!, N

sn

? ,!,

f F

42

! H

.ES

o.

f e

f g;

: ts

; 3-

s =

: @

:' F

s t

BE

s [t

E:i

* f+

ga

g e

I $

:=o

t, #

ig:

=

3e c

a s

. <

x x

.pj=

a'

; E

;.;

2 i,=

==

N'

i t

f;+us

:E

- 1i

T"

! ;

3;€:

r B

- s

i-i i

ri:

I9

1$f

i- 3:

- =

'{=

jA

6i

d _

1-€

,_ ;

r6'q

f

; :

f I

E -

' -r

$ B

s,

tF ,

X :$

. A

:"

-=-

EE

=i

v F

- {

tl=

? @

:r

tn :

o-

tt i

I S R

a =

ii e

* F

o{!

EE

.-.-

or

=l-:

lia

+=

S

=.

=r.

,; =

=

- =

'tA ;.

:-

t as

i )'=

g {

l"i=

i- E

=li-

+=

iD

s

i, ii

=

I E

[ =

,' =

S,:.

:r

c- ''

i I

E 3

A:

; 5

=sI

i ;g

E il

,-

I ;'

l-l'=

ft?N

_

x il

H =

' )'

-q H

S d

2 <

: _a_

; rv

+

a E

S

$ =

-S:

j- =

l r

o'i

e) Y

"-

:=_

-,

=y

t/Jl

F

? 's

* ag

3€ l t

L =

ili =

,?9a

i 1$

i3

' [;'

Fi(

1- r

-li:I

s .*

l-i-l

y f

L P

=

!^']

/\'P

n

;lsl

e't

*-.

-,8

!a

*'.

i;.

P

,, i;E

€ a5i

,';

s 3

&a

<i

x o-

i H

3

u..<

P

a

*\{

s p-

?o

E

o ";

I

t5

rr s

*F

h:

is

j'Ja

g;

: oi g'

-r-r

E'

I =

' i'

E'

@

:bY

T9^

F li + iI, + + It

rn ,2,

! 'N)

Ft o x-,

N s \ h. o

8= lr ,;-

lE'

EP \: il

@ {



88 Giava 3. Nizovi

Resenje. Iz uslova lim f = f, siedi da je ,1-l0.

(VE > 0) (Ano E N) (Vn E 1?) (n > no j - .f < e/2) .

Tada za n > no mozemo pisati

ft + ... + o + ... + ;, ¡

1

IF, - .fl - fl

A n - no E A E < < +

n 2 n n2, gdejeA -fl+af2-fi++I.flo-fI. Postojint=nl(E)EN takavdaje

A/n < E/2, za n > ni . Neka je n2 = n2 (E) := max{no, nil. Tada je

(VE > 0) On2 E N) (dn EN) (n > n2 - <

E) .

Napomena. Suprotno tvrdenjé ne mora uvek biti taèno. Na primer, niz f = (-1)", n E N, ne konvergira, ali je lim F = 0, ako je F,,, n E IY, dato sa (3.20).

n-,.0

3.81. Neka je (g)nEN niz pozitivnih brojeva i oznacimo sa

Gn:='/gtgz-gn

niz njegovih geometrijskih sredina. Ako je g > 0, pokazati iniplikaciju:

limg=g => G g.

(3.21) d¡

Regenje. Logaritamska funkcija je neprekidna, tako da iz lim g= g siedi lim ing = -70. n

in um g,, =ing. Kako je ln G = -1(ingi+ln$2+-.+ing), to mozemo primeniti zadatak 3.80 i dobiti

liminG=1ng, lim/gi g= g.

3.82. Pokazati da ako niz (g)EIY ima osobinu lim (g - g-i ) = g, tada je lim Sn n, = g. -+°0 n

Resenje. Oznacimo sa f = g, - g-i , go := 0. Tada je lim f = lim (g - g-i ) = g.

Niz aritmetickih sredina niza ( f)EN je

f+f2-i-...+f,l gt-ga+g2-gi+g3-gz+...+g-pn-t gn Fl = _ _

n n n.

Iz zadatka 3.80 sada siedi da je lim =l` = lim F,, = g. 11-.0c

3.6. Razni zadaci 89

h 3.83. Akoje h,, > 0 za sve n EN i vagi lim = h> 0, tada je lim " la = h.

,1-r- h-t Resenje. Oznaèimo sa g = h/h_1, ho := 1. Tada iz jednakosti

G= {/gt ..g _

i zadatka 3.82 sledi da je lim " h = h.

hi h = h ho h-1

3.84. Odrediti granicne vrednosti sledeéilz nizova:

a) f,, n!

n '

1

b) g= ,, (kn)

kEN; c) h= 1 (n+1)(n.+2)...2n. n.

Resenja.

a) Ako oznacimo sa x := f,," = n!/n", tada je

n!

x z n(n-1)l,-t 11-1 -1 1

x_1 (n-1)! n" C n ) 1 }nl. (1 + l -11

ra _1 (- 1)

Sada je lim xn/x_1 = e-1, pa iz zadatka 3.80 siedi da je lim " n!/n = e-1.

b) Za v:=g"=(kn)!Ink" dobijamo

(kn)! T1kn (n -1)k" kn (kn -1)(k(n-1)+1)

Yn-1 (k(n - 1))! -

nkn (11+,1)k

Yn

(71 - i)k(n-1)

1 kn(kn-1)(k(n-l)+1)

((i+1/(n-i))"-') k ,t

k

Tada je lim y = k

Yn_i ek

e) n m hn = 4/e.

1 k

i, konacno, lim (kn) = k k E IY.

iZk 2k ,

3.85. Ako je (Fn)neN niz aritmetickih sredina niza (f)EN, pokazati da onda vasi:

liminff, <liminfF <lim sup F <lim sup f,,. ,2-700 71-700

Resenje. Pokazaéemo samo nejednakost limsupF < iimsup f. Oznacüno sa -1oo yoo

f =

lim sup f i pretpostavimo da je f > 0 (sluèaj f < 0 je analogan). Tada, za svako

ilcta (3

ON

'9 ..i

.bo

6€aiGtslo

Ovl vt\

*:

-15

Oo

/\l

trn)o-o'

'tf

o.:

.11 u

d^N(3 'i

p!'t:1c)

o=>

q

\lt) )

y

s@r

;Vl

tl .=

:L\

.-.- a

i-l

* \/t

B

''.=

l{-

a E

i"r

.!=-\.

VI

- ri

.Y=

z\,

t\\)olr)oocA

ZU-r

**il

t^tl=

lts ta\t

trq.)td>odo.jilt*

iJd8\*l.g=

l-<

-=

=lrl

^lrlrt-t^t--l

L

EI

5l:l;*l-lll:t^--l I| {_

t\I-l+I*il-z

I

+

lI

-

Iil

l-s-8Ooa09co(d&N

ON

E(c

ô-a

il-\t?

{llrl

=tri,-

ll.

(aN

@

lit-:-l-.lr

I r:

l+lil

I "iil.I--t\

lTlEj-l+t-L-:l

. R

RE

Ult

* ^k

- l-

-a -:

+

*-ts9

h t-i

*':]"

: ]>

lo-lS

ll"salsu'

5^

o:!

m=

.-M

l=l-

:'\l\jH

S*:6i

Nr$

,>q

*frrn

lll-rl

-:t::

-lJ

il

\aR

'\x":4-o

-N

15tl

#l-

€l I

t\ il

c8 ':

tNl

9--a:

!r ll

i-:!--

>o

63

EN

0)

"I<

E'

..i 'E

4&rO

Ill=

q,>

ll

*l:ils\-lil

ll

-tt-.

\ t^l:

' t-l^

ll =

lll il-

'-t*tlk

l-l :

ti-d6)lo4l-F

E

I

;6 'i

No,y

olf,NN\aicr

lt

l:"t;lt

tiII

OOjOaibO

+:

-1-

OOI

60-t-alO

O

+OOOIG.S

:

-!1-'q=

.) *^

i ll

.* oo

oo

E

; S

$i

rr ir'

u -

E" E

dl " :

tre O

-a

.L

5 -;

.il= ^

El 'B

.=

l G

z v

\i =

;

E

;. l*

Nc.)

:5 6

o I

Sii

- '].a

k ;

'{=

=

_nl9€'-

;? S

60;

S

.Ei

.F

k; EZ

tr

il o;

"; ;

;=rr_*_ "o E

t .=

6 E

ll

r- 'f

rs tt

;z E

E

f I lO

-

\,i:

s' zr" S

o; '=

r , l,

- E

E.=

\

; E

s

* ,'

N

i l-

$ =

lB

Y'j

E ,-

%

\) "

E

I L$

.gdG

-i'gki :

;6 :

r.' =

, oo

,, a

c6

. E :

.: g ;E

1: ? !r

-v E

Ei

:r" F\

ll ;_

.E

o s

lru /\

.:l C

g _t_

=_

tr{ F

| "

4 -o t

=

loo o.

-- .=

i ;

,Â

u l-c

'i ,-

t d

G

-i J'

{-- s

9; .:

g i

il 6

E

t} E

ll.

o,

o,d ttt; E

rl .i

lr. <

|

, :S

z- Pr{:

.>

E -

F

ll f

E

+:

= =

-s : ;E! i

o $ i' a ,=

; i

"iG" *i. 6 a;- .=

I

==

,$ = =

u G

^: !oror .-9

: 'F

::' :=

S

g

.gr E

! =

*

=.

\z- :

u - N

-Y

=

':6

lo -

li g

il_Ts; E

; t

,3 E

€= .E

l -e +,=

ll-<;#

eA !

E

; rs

: s,'i

+

I s

= E

z

6 E

o;m

o

9 -E

<;E

<S

iE

j

Y"

E _f*

t ,=

il,,

lî A

* 6

t S

rt E

t

'E E

v <

\ R

^

* 6

il tr

.ci; E

; 5

.V

-J E

r

E-

.; s

+

.J Ei:E

S

.i :

E>

E

Y *

: 'r;"E

e '.a2

*;>hî'3

2&ie,qx

\I

T+\I

1'l:l+

lu:l=,.I:l

TI

I

\I

l.I-/

(l\U--\

.dol]-/d-.d

(mq

rl 6o

,-S

n E

-o c)

Fl

u ,N

-=

aJ t!

>Ro*6

/\

N-

i:Ut

.'w

>q

oNErio

q)I

;O

_5t:

+\I

sVI

__\I

hO

*llr{tAtl

obl -

o09co.vN

t{

rc€



90 Glava 3. Nizovi

E > 0, postoji no = no(E) takvo da za svako n> no vai f,, < f +E. Tako za n > no imamo

F _ f,+f2+...+.f,o+...+f <f1+f2+...+f»+(n-no)(f+E) <B+f+E n n -n

gde smo stavili B := fl + f2 + .. + f o. Za dato Ei > O postoji ni E N takvo da je IBI In. < El, za svako n > ni. Neka je dato Ey > 0. Izaberimo E := EV2 i

Ei := E2/2, pa oznacimo sá n2 := max{ño,ni}. Tada za n > n2 vai F < f +E2, a tó znaci da je lim sup F < f.

3.86. Pretpostavimo da jel(p)EN niz pozitivnih brojeva takvih da je

i neka je (a)EN n.iz realnih br-ojeva. Niz

F. - pia, +p2a2+...+pa" n E N »- Pt+PI++Pn se zove niz uopstenih aritmetickih sredina niza (a)nEÌy

1im pk = +-, k=1

Pokazati sledeée:

liminf a < liminf F < Ern sup F < lint sup a,,. 71-.00 77->O , 11--,.

Znaci, ako niz (a)EN konvergira, tada i niz njegovih uopstenih aritmetickih sredina konvergira, i to ka istoj granici.

3.87. Stolcova teorema. Neka nizovi pozitivnih brojeva (P)EN i (Qn)EIy zadovoljavaju sledeée uslove:

i) lim P = + i ii) postoji lim Q" - P +1 > P ,

n Pn - Pn- I

Tada postoji lim Q" , i vazl lim Qn = lim Q.- Qn-i

Pn n-.°° Pn -Pn

Resenje. Na osnovu usiova za niz P, mozemo konstruisati sledeéa dva niza:

Pn=pl+p2+...+p i Qn=piai+p2a2+...+p»an

Tada je Q" - Q" i= Pna = a. To znaei da je lim Q" - Q" = Iim a,,. PH -P,-1 Pn n-- Pn

- Pn_ i n-- Ako postoji iim a = P, tada iz zadatka 3.86 siedi da njegov niz uopstenih arit-

metickih sredina ima istu granicu, tj. lim Q/P = L.

3.88. Pokazati da tvrrtenje suprotno Stolcovoj teoremi ne mora uvek bici tacno. Znaéi,

ako postoji lim Q" = e, rada "am Q" -Q " -1 ne mora da postoji. n-00 P "--- Pn -Pn -1

3.6. Razni zadaci 91

Resenje. Uzmimo, na primer Pn = n i Q _E sin(krc/3), n E N. Tada postoji k=1

Q, s i n - n i t

= O.

Medutim, granicna vrednost lim Q" - Q"-1 ne postoji, jer je -Pn-1

Qn - Qn-I rat liminf = liminf sin -= --

Pn - Pn-1 n-. 3 2.

Q - Q-1 limsup D = limsup sin = -

» -Pn-1 »-, 3 2,'.

3.89. Odrediti sledeée granicne vrednosti koriséenjem Stolcove teoreme:

lk+2k+...+nk a) , =

nk+1

.f_ 1P+3P+...+(2n+1)P

k EN;

e) hn nP+1 P EQ;

1k+2k+...+nk n e) Yn= k kEN

n k+1

1+ v

+ ... + ñ b) g _

n

d)xn=nn;k, kEN;

Resenja. a) Oznacimo sa Q = 1k 2k + . ..+nk i P = nk+1 n EN. Tada iz jednakosti

Jim Q"-Qn-1 = Pn - Pn_1

lim nk+1-(n-1)k+1

nk

nk

= lim _ n--,yrk+1-r1k+l+k+1)nk-...-(-1)k+l k+l

siedi lim Q = Iim fn = 1

Pn ,i k+ 1

' 1 1 b) Ako 1

] e Q" = 1 + -+ -+ . . . + - i Pn = n, n EN, tada imamo V2 v3 VT?

lim Q" Qn-I = lim 11 f = 0, pa je i lirn g = lim Qn = O. n-, P -Pn_i n-, I n--, -, P e) ,Inn = 2P/( P+ 1)

n

d) Koristeéi nejednakost ln(1 +x) <x, x> 0, za Qn = Inn i P;, = ni/k, k,n E N, imamo

lim Qn Qrs-1 = lim Inn -ln(n-1)

Pn- nl/k-(n-1)1/k

< lim 1 1

n-1 nl/k(1_(1-1/n)l'k)

1n(1+1/(n-1)) lim n

(1-('1-1/n.)./k \

1

n k 1

1 jlk

limn-1 ;rl/kf(1-nl =0.

C o b) !o N o ,:.

E.

'D\r :,

E V

l>.

o rj

l9 l:l

Plr i.

a1l lr L-

l

l. a

l. D

l-]-

-lq

u

nlJ

N

IL l: i,

lv t+

:-l-

sr

la-

t-

:\t- t^ l'\

-l-

i+

trtm lv

j ]Etr

/ 3

+rD

+iv

O

(r)

bo

:';

prR

-i

x d.

':.+

A- i

s r'.

:t'

i E

.t tr

:i-

s :

ri{"

\=J-

!a:{

.;\*-

.^J

2^^'

,):.

ii E

l7

::.x

l:

^ u

! !.

I

a =

' t'3

S'-

: :-

=

'- V

',-z !-

- 'a

. ,S

t

,1,

!- \.\r'f !rll

=(X :-

:P

-L

= I

A6'

J.r

S

:

^-^:

.op

!,

Y*=

tsiv

P.N

GJ:

P

r aa

D

^-

D

lr -

r\\/i

j-vN

-A

=D

E!

,: o-

-ao

.<

t-r-

. N



#

E'

:.-r

>9'

E

'N

?S

*

q T

a

E.

!' i5

o

! lo

i d

f: a

, a

i- n7

1 zt

ir,

,"1

E!

7,2;

7

i =

r::

t:.

it

=

=

Z

..^

1 o

* :.i

<

i-s,

=

<.d

.si!c

:

3 i=

d;

-g

a ?"

Q -'

r \

E S

ir

i3

E=

. :

T=

=

=i=

:---

ln-,

:-

6 =

-E

:A

c

s E

-i.i

:i=f

:" f

i ;=

-; '

iF ;I

=

= f'

=-,

',=-'*

' B s

i' r

n;

"19

j =

ri

t:. =

.:'-

-.-

-=

Z -

.e]

\ S

-.

=

A

t "1

;

: !

=

:-i,,

i ,:

; s

:! ;.

a o

S

i:

d 0o

!

:j A

. i

c r't

-

=si

E

: rr

..

=

\j -

\ qe

6 rn

Ei_

_ S

3.

Ei =

r '

[' =

:-:

, S

p

G

=]

Il;'

'a

! 2

='

' .J

F

6i

j!

C,

X =

^=

E

- l-

o {f

,-

N

-.

X

: F

'}r

rl,i

:-

S H

-

R.

l =

: )

? :'J

?+

ipa

jif

i, 5:

S =

=

:. =

. rn

e:l-

l-'-

* \

rO .

, *

rr

3 u:

^ :

tO

F'

= f

7

= r

:-_r

* \

dlip

i

=

;. iA

:li

i ;tr

z-=

-.

a ;

-' l-

*:

] #

'i 4i

'

X t

I

*i5

+

E. -

l: ,=

{i

<

:-

1.-

+s

:+*i

eE g

-l-ii"

ri 7

: i

i i

e.lll

p' i

=

,-l=

, i-

€ =

- u

} .-

3:

ur-\

r -i-

P

*l

^ E

' H

' he

;

,3 R

E

r :

' E

: i"l

=" E

3.

':

I5t

tT^-

i*:;:

ii

il'=

=

S

? 3

=.

i:

ir5

i =

-

=.

='

! €s

i-

=

i a

+l.

;.:

N

.i'

a.

iE

H'ii

:*t

-5a,

c,R

'N

=.7

':ic

'5H

R-

=.

.'-::

i '.

&H

*a7

E.

<*

r(X

(Du \i=

--'q

k_F

!6, a-

m --=

iJ =C

c{'

=.

oo

')<

5i:i

-lj<

ii

-s'

i3

-3

k

's,,C

r j

n iE

i=

' f

:-l=

- q

<'c

JOil

N :

"lP ]1

9 3

=-

FS

-r l-,

tl

i=

l=

r,

3 ''o

n .

:ulg

ii

I t.

:=

. --

l:-

: li

r ttc

) |

='

N

- ll-

._

* =

,-l=

, l-,

1 {O

i rr

ll

'lr

l+

:r.

\ ..

=

:=

I -

I '=

l:.

L.

T-r

M.

* s2

'1

-

-l'"1

5 --

--S

't:

a

x -ir

5'

''l-

!:.

=

-=

. 5

.rs

X

I :

S5

.ts

"'ll

6 r

'\-

*l:r

,,

3 i j

3

l='

:lt

i-'i=

i ,,1

1,,r

<

E

i"lS

/h

G

; ul

tv

l.-\

-:o

ll =

c\i -P

J iEo

"a

€.

lF l+ I t\.

)

+lr -t: l+ l= ; rn ? i ti l- l+ t? I'Jtl

lr:l

I

t: l; lr l<r-

i :ll

+ O t + IJ = +

oll

il-:F

6

lr!

A

85

!)jl5

lQ

3 Nili

rn I >l: nr+ \ 6 I

:- n

B,A

)vo

Q<

Aa

sE.g

ED

,lE

r

li

rlto

; i ,

*rlr

^

l**l

^ Lv

-1

,Ll

i it

I:lH

l.

-=

l+ilI

:ilt

l+N

)

1;.

! *.

Jits

.'

+l=

-,.1

-t_l

.

-lrl

I*l

'h.

rl -

tT)

"|ts

-

ll 5

-ii

lt + rn '2 a o. F9 N (! a

ll

u! +l *l II -t +l

+t

--.,1 II -ls SI tl li li +l -lil II

,!"o -

-.o lll

r,

]:3

5lP

r

lullo

, -

l.

lll

i l

Slto

r

=*

'i i

<l-

lE-

l; N

rll

8.r

,L=

,Il

:*

I I

I

{i al

l ts

rE

P

Itlq

l-:

-l)lr

ili lt <

t

(a !\ N N a. o

o!)

16'

s.-(

D9:

ll

*N) &e

s' A-

-]-

Fi -l >

< I N te ro il li '- n ?

iE I -.

in

i5:-

iE

]pli

r ll

,lJ

'ls

r iE

iP--

t:

tsl

-;]i

*r.

It-

|

:-+

l l=

'

-l 8=

FI

I \l!

^ I

+l

St

l- r

l,,i,

lr!l

-lP:

i r

li--

!

HL

-i--t-

lF+

r \l*

vl

>-l

llll

- :-

l!.

l;b.

/

,l-

r-l

rl*

+lT

= I

I l-L

-i*lr

lMi

I ls

-lr/-

\ >

l'vl

s r-

ual

\J

I

U

@i:-

-=-PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor


92 Giava 3. Nizovi

Iz teoreme 3.22 sada siedi da lim Q, Q-1 Q Qn-1 postoji i da je lim = O.

n-°° P- P Pn-t Q Prema tome je him -= O. P

e) Oznacimo sa Q = (k+1)(1k+2k+...+ Tada imamo

_nk+1 j Pn = (k+1)nk, n E N.

3.7. Asimptotsko ponaganje nizova 93

3.7 Asimptotsko ponaganje nizova

3.91. Definicija. Niz (f)EN se asimptotski ponasa kao niz (gn)EN kada n tesi ka

ako je g 0 za svako n EN i vasi lim f' = 1. To pisemo f ti g,,, kada n co. -oo g

k _ k+i _ k+t 3.92. Definicija. Neka je (g)EN niz sa pozitivnini clanovima. Tada je liln

Qn - Q -i = lim (k+ln (n (n-1) ) _ 1

P,, - Pn- (k + 1)(nk- (n - 1)k) 2' niz (f,)nÉN vellko 0 nlza (g)EN, kada n oo, ako postoje no E N i konstanta K > 0 takvi da za svako n > np vasi:

Q (k +1 )(ik + 2k + ... + nk) _ nk+1 1

pa je fi " -

lim =

P (k + 1)n k 2

3.90. Neka su dati nizovi (a )EN i (b)EN; i neka je niz (c)EN odreden sa

arb+a2bn-i +...+anbi c= , nEN. n

Pokazati sledeéa tvrdenja:

a) Ako je lini an = 0 i Ib l< B za svako n EN, tada vasi lim c =O. ,i-,00

b) Ako je lim a,, = a i lim b = b, tada je lim c = a - b.

Resenja. 1

"

a) Iz lim a = 0, tj. = 0, kao i tolcove teoreme, siedi lim - ÍakÍ = n k1

lim Ía1= O. Kako je niz (b)nEN ogranicen, tj. ro

ÍatÍ+ia2Í+...+laÍ ÍeÍ < B; pa je lim ÍcÍ < lim

B lad = O.

n k=1

Znaci, lim c = 0.

b) Neka je lim a = a i x = a -a za svako n E N. Tada je lim x = 0 i vai n Po n-,00

(xi +a)b+...+(xn+a)bi -xib+...+xnbi b+...+bi c = - i

y a n n n

Iz a) sledi lim f = Lim xtb"+...+xbt

» n

= fn + gn

= 0, dok je, na osnovu zadatka 3.80,

b,,+ ... + bi limg= lüna =a b. n- 71

Prema tome je lim c = a b.

If,I < K

sto pisemo fn = O(g) kada n

niz ( f)nEN malo o niza (g)EN, kada n -* 00, ako je

lim fn = 0, n-4°° gn

stopigemo f=o(g), kadan. U skladu sa definicijom 3.92, 0(1) oznacava ogranicén, a o(1) niz koji tesi ka nuli. Ako nizovi ( f)EN i (g)EN divergiraju ka +0. i va2i f = o(g), kada n 00,

tada ka2emo da niz (g)EN divergira brie ka beskonacnosti nego niz ( f)EN, i to

pisemo f g,,, kada n 00.

3.7.1 Zadaci

3.93. Neka su dati sledeci nizovi (f)EN i (gn),tEN sa

a) fn=n4+3n2+2,gn=n4; b) fn= "?i!,gn=n1e; c) f,=1nn!,gn=nlnn.

Pokazati asimptotsko ponaganje f ti g , kad n

Resenja. n4+3n2+2

a) Tvrdenje siedi iz jednakosti Lim = 1. n4

b) Pomoçu Stirlingove formule

n! = n"e-"V27cn eal (12n) 0 < 0 = 0(n) < 1,

odnosno iz asimptotskog ponasanja

n! ti nne-"V2rcn, kada n co, (3.22)

Nclc.)

-iV@6

r1@s

t\/cd-o

19qd,,

-izN

I-tt|

- l=

^-l- :

lH-: r--

t]-r@

-Ei 6

A d

\q)

==

(!

--@

E!E

j\A6

-9 ,,

Yil*

UV

Pdr

>

* ^

Nb!!3

iu-d+

@U

!;aa.:o_F

'!.cU

U6'Y

FY

A'aad

6rFB

rO,o3

G3

ilOO

tl

1r s

=r!

Ql

'Yc"

l.-c!,2tN

--fztV:

- z-

;F.r{

s € u

pEs

i S

€

,+o,(

I ,:.

.\, -V

,-: c<

G

'+

n oio

=n ?

\ F

E

t*':q.\+

-ll .*

:l a

N A

\

x{ES

.9 =

"' *

'l;s'!o'5-

i I

:- '8S

is es s !,* d

i +

E;i

.! i

tt .=

E

o ,;

s 'il $

s satr

S--=

ts i o:

v' 8' E

E

g S ,iI.V

06) .::-, y

i Z

^ ..S

r

{ i-

t. 6.=

i'T

i:i s +

; I E

: 5:l:

,8 B 'n- ; eE

! a

* . I *E

.g: I

E=

'!

3 s 5€,1-

o 2 :

=

i i -:

i --: :

rÊ

&a

:o, .- =

* -=

': $ C

if l

O

4 v-

n o'=

O

c

5 -

î-i *

jl 1:

^! #A

r

I rr

EJsi

.3 :

S

-a E S

.',: E

.=

,?.'15E-

i .,

-O

'-i E

'*:

'- Z

*iv

(l: :

.d '

-:J ..::

--o. '-'I

s' il

9 =

:

,Ej!

lriiic:

,P.

,it:;i*2

.{\ .d.;:

}:- tr :E

Es

NR

:=

$ :? {;

; !

.d €.!,x.'--ii=

\ € J € '

' =

a=p,

".?a A

E

a D

<s'E

e.i

Ei

E{

oNo.51sNsi f)O

1

.I

-tsl+

l't-.ltlrl-5

I-a8=lloo{

-oLI=

.,_ -tl=UaRtri

**!)oocd(-)

o.

OoecoJ4'oNoao(g4)

.&o€tl

*5k1+'sq

ocdN

11 g=

trsE

tF";

.nJ: I

*.

_r=

- O

O

-'..; r,

o ll

ll E

= ft

=

ll .s-l

tr -

;r(;=

->a

il I !

=l^ll

Il ,l=

=r

@

cr eQ

ltr =

l ll

;Ns

y 2 E

l s

o=l

::UN

-d*B

F

.d vl

t r:

"Er

;1s

" 'jt

=

t-- -sI

J9,9=E

cz-nl4

tri o

-s il

\, ll

(t,l r=

: .j

' q

:l=-

I \, d i

s S

-i

=

*€ ':,9

8- X

-"=

l

a': S

E

- S

"

ss i

F S

;

-"vr .d

I :

1] tr=

:l* s.E

l o=

s ,'l

"=l

.< =

- -i -o

...- -l\

=

-ls'

tr, u

--:l t<

-rl

* '* '- =

l'=

-Ei

: rIO

Be I

[ -

h f

a T

.l.tr i

r=

E

rl ll

"=

*=l

Siuil

iiu u

e. IqTl

i==

==

o

t E

i s_ _l

E\\9,rl

:=1

,:li

o o

Ei

"=

:- I

llj

=

=

11i =

=

-. .i

-y ,:

.i\\'-tr;tEo

{;aEN

=-N

Z,qJ:Et

(l)ll

+:

+I

"s+

ll u,,

LlrO

rlC-

*-lt

A

dlo-- +

-r^

Ir!

<

,&.=

l !

-: r

!<

l

- 'Ja

l-i--J

-r+

4'o

, t^ r

::i ,,=

'aJr=.ru

f :

:lr t I

.!L

| .:* --

o=l

i{-

:15 rl

.!|

- {

1 I

^l

ilt' r

*=li *=

t

rl, :

:15 +

l* =

dlo: +

Jl

.r=

:11,

?'7t

N

*t, :

.:l ,

={

nl+

;^.-:t^r

o 1

;=

*-l :)

-o o

l- -l

i,o

It +

îl"=

r I

ia ^=

,1^=5

tlr =

l g

figl\-l -

E

-r ll

ci,lo-- ef

.-N

5=

a-,

tr9.;-i

\x .=

I ll

.Y.o

cJ ^ ^:1,.=

n, C

: a

Q

\Jl\ t

; ?

o Z

eL +

- -

Ll

? z

.=F

=

- =

C

6 ,ct.A

g -E

Es

.s S

s !u

N:

6 u

r o: O

+

D'

a=,q

t)

NEc.)

rts\

-tEItlc8.:t

ailo\



94 Giava 3. Nizovi

i n ° n"e-"v2 7cn7c eel(12n) dobijamo: lim = lim = i. --,a n/e n-- .. nie

c) Pomoéu Stirlingove formule dobijamo:

Inn! nlnn -n +- 1n(2nn)+ 0

umnlnn -1ÿn, nlnn 12n = 1.

3.94. Pokazati sledeée asimptotske relacije:

a)" d' --<12b za 0<a<b; c) gn za a>0,g> 1;

e) Inn n za a > 0;

Resenja.

e)

b)

d)

p" za 0<p<q; g" n! zaq>1; n! -{ n".

Postoji q E N, takvo da je a > 1/q. Tada je nn inn

< Inn ni/g.

Iz relacija

(n + 1)1/g n((n + 1)1/q - ]n(n+1)-Inn _ ln(1+1/n)" < q(n+1)(9

1)191n( 1+ lin

, - ni/q ni/g) -

J n n

ln(n+1)-Inn siedi Hm (n+ 1)/q -ni/q = 0. Poslednja nejednakost se dobija iz identiteta

1=(q/ n+1-</ñ)(g (n}-1)q-1 +(n+1)q-2n+...+nq-1),

gto daje 4 n+ 1- g r. > 4

1

1 Iz tolcove teoreme siedi Hm in4

= 0, a qn+ 1)q- n

to povlaci lim )nn = 0.

n oo nn

Napomena. Na osnovu ovog zadatka mozemo formirati delimicnu skalu rasta za nizove koji divergiraju ka beskonacnosti:

lnn -<n° q" n! n", 0<a<b,q>1. 3.95. Ako je niz (fn)nEN takav da je f> 1 i

riÿm fn = +0,s, tada vasi gf' f, za q > 1.

Regenje. .Kako je [ f] < f < [fn] + 1 i pf. > qLf to je < [f" + 1 - nk +1 - qf, q[fd qn,t Niz dat sa (nk + 1)q-"k, k E N, je podniz niza (n +1)q', n E N. Iz jednakosti

k qI Iim n = 0 siedi

1ÿm

n

k 1 = 0, tj. lim -= 0.

q" q ny°° f, Na osnovu ovog zadatka mozemo formirati jog jednu, opet samo delimicnu, skalu rasta nizova koji divergiraju ka beskonacnosti:

", ggn" n q" -<..., a>0,q>1.

3.7. Asimptotsko ponasanje nizova 95

3.96. Ako je g> 1 i b,,, n E N, pokazati da je g»" gb". nn

Regenje. Iz jednakosti lim -= Ern g""-b" = lim gn"(1-b"/"") = + qb lim a = +, dobijamo Hm = O. qan

Prema tome mozemo formirati i treéu skalu rasta nizova koji divergiraju ka +: q" q"' ..., g> 1.

i lim h" = 0 a»

3.97. Ako za niz (fn)EIY vasi f > 1 i Iim f = pokazati da je tada ln f ,,.

Regenje. Slicnó kao u zadatku 3.95, vai In f `"In([f]+ 1) ln(nA + 1) <

¡¡ - fn Lfd . nx

ln(nk +1) Niz , k E N, je podniz niza ln(n + 1)/n., n Dalje je nk

lim in(n+ 1) = 0, tj. lim inf" = O. » n »-- f,,

3.98. Pokazati sledece asimptotske relacije, citajuci ih sa leva na desno:

a) 0(1) + 0(1) = 0(1); b) o(1)+o(1)=o(i); c) o(1)=0(1). Regenja.

a) Zbir dva ogranicena niza je ogranicen niz.

b) Zbir dva niza koji konvergiraju ka nuli je niz koji konvergira ka nuli.

c) Konvergentan niz je ogranicen: .

, pokazati da je:

o(fn +gn),

3.99. Ako su nizovi (fn)nEt`1 i (gn)nET` sa pozitivnim clanovima

a) o(fn)+0(gn) = 0(.fn+gn); b) o(f)+o(gn) =

Kao i obicno, pisemo (fn +gn)nEl` = (f )nEN + (gn)nEN

Regenja. a) Koristeéi definiciju 3.92, asimptotske relacije = 0(f) i U = 0(g) znace

redom Ikl`1 < Kf i Mg, za neko K > 0, M > 0, za neko no E N, i

za sve n > no. Tako je za n > no : +Uni < Kf+Mg < L(f;,+gn), gde je L=max{K,M}.Toznacidaje IV, +U=0(f+g).

b) Izrazi an = o(f), b,, = o(gn) oznacavaju lim -cL = 0 i

a f i b,,

f,+ g b g

lim " = O. Tada je

l-a9 E

;=

lJ

15oS

= l<

.rD

!

.-l

3lt

o.

li\o

l:le:

l\,

1e

*lii

i \l

ull

9 \l:

ll 16

|

l@l

l>l

lp I -t

ll

rJJ

._l

'rJ o o $ o N

- l= t) l^

-lT,-nl

:'. l+ is lt l3 t+tr

> I

='

E'

)13 ti

*El:' is t- lr is lr lr

= lu

l-

=l;IN l-t t-

,lrg

lotl

',ni

iiD

Sh< (D

Pav

a9

h-

,11-

r;-

arN

Aal

S

s

6'au

-! x

-. ,

5 /\

Y Iv

.ti

N,

G G o n

v

@a

OY

(:.

:E 1E'

=.t-

a

a'l-

T:

stv

- i-

Atr

-t\

_l

)

di -

|

,,ll

^l|

\/af

,-,v

\^

!t!

; :-

l ,

:-

*lT

o >

-l*

it-

^.

1,p

lt:

g

P

-t

: .

5>l

q,a

-:

lc0

,.

sI5

d t/\

st

-i

rr

Ll^/

\4

t\h

l+

-l=|

-\-

--

-l-

s n

6 -t

-^^

iS

s!+

lrNZ

15

H

L.s

' ta

is

-

(=:

o- .Df

i -,

4 (Dr

a\\=

,1.

,{.

.(:s

= A

s=

1^l

tr

.aO

5\

'aS !D N o

.I S it :i I -\ --- al _il :l :l + + -\ 1l



96

Odatle je

Giava 3. Nizovi

a + b á» b lim = lim + =0, -,- f,+g f+gn f+ g

stoznacidaje o(f)+o(g)=o(f+g). 3.100. Ako nizovi ( f)ÉN i (g)EN zadovoljavaju uslove f > 0 i g > 0, n E N, pokazati:

a) 0(.f)+o(g) =0(.f+g); b) 0(f,)'0(g) =0(.f, g); c) 0(f,)'o(g)=o(f,g); d) o(f,)'o(g)=o(f, g).

3.101. Ako je f g,,, n -> , rada va4i f - g = o(g). Pokazati.

Resenje. Jednakost li,n f" = 1, znaci da, VE > 0, postoji no = no(E) takvo da vai g I f/g -1 1< E, za svako n> no.

Prema tome je -E < f' - g" < E, tj. 1im f" g" = 0, pa je f = o( ) , _ ,

- gn - gn g g 3.102. Pokazati da je f g kada n -> 00, ako su nizovi (f)EN i (g)EN dati sa

2n3+3n2 +n+1 2 a)f,= 3j1,+1

, g=3n; b)..f,=1+2+...+n, g= n2/2;

2pnp+1 c) f=b i +n+2, g=n'n; d) f,=1'+...+(2n+1)', g= p+l , p E Q.

3.103. a) Da li postoji niz, koji "najbrte" raste, tj. da li postoji niz (g)EI koji divergira u

+00 takav da_ je lim f/ g = 0, za svaki drugi niz (fn)EN? n--, b) Da li postoji niz koji "najsporije" raste? c) Ako za dva niza f i g,, vati g,,, kada n --> co, pokazati da tada postoji niz

(C)EFI takav da je f,, -< c -{ g,, kada n 00.

Rezultati.

a) Ne, jer je uvek f -< et".

b) Ne, jer je In f f,,.

c) Ako su data dva niza sa pozitivnim clanovima, tada, na primer, mozemo uzeti Cn = Jfr,gn .

Giava 4

Granicna vrednost funkcije

4.1 Definicije granicne vrednosti funkcije

4.1. Definicija. Neka je xo taeka nagomilavanja domen A C R funkcije f : A -+ R. Broj L je granicna vrednost funkcije f kad x tezi xo ako za svdko E > 0, postoji S > 0, S - S(E), takvo da za svako x E A sa osobinom da za 0 < Ix -xo; < S vati

(x)-LI < E.

Tada pisemo f (x) -> L kad x -> x0, x E A, ili lim f (x) = L. x-*xp,xEA

Primetimo da za definiciju graniéne vrednosti funkcije u tacki xo nije potrebno pretpostaviti definisanost funkcije u toj tacki. ak i ako x0 E A, vrednost funkcije f u tacki xo nije bitna sa gledista definicije 4.1. Pomoéu logièkih simbola, definicija 4.1 se moze izraziti i na sledeéi nacin:

( ylim f(x)=L) e=> ((Vs >0)(3S>0)(V x

/ EA) (0<jx-xo<S f(x)-L<e) I x xp xA

Definicija 4.1 je ekvivalentna sa sledeéom definicijom.

4.2. Hajneova definicija granicne vrednosti funkcije. Neka je x0 tacka nagomilavanja domena A funkcije f : A -> ll8. Tada je broj L granicna vrednost funkcije f kad x tezi x0 ako za svaki niz (x)E]y iz A\ {xo} koji konvergira ka xo vati

lim f (x) = L.

Ako u definiciji 4.1 uzmemo samo vrednosti x E A koje su veée (resp. manje) od

x0i dobijamo definiciju desne granicne vrednosti (resp. leve granicne vrednosti) funkcije f : A -> R u taèki xo. Desna (resp. leva) granièna vrednost funkcije f u

taeki x0 se oznacava sa lim f (x), (resp. Ern f (x)). x-+xp+,xEA x-.xo-,xEA

, :!i;i q .ci-

'; J. \

'q a r

z;=

E,i

_ !,i

aE;

t S.,"

EE

{

p^-!,- '?i.=

1?: r;

'= -q

EE

'! E

ii:

\ X

:=

: 6

.* C

- o

^ erE

iJuri€=:s<

='1;E

-g*-

-.,.-E 5 .l

sEs

s::3sa:

,, ii n ?

.tE*

HS

E-.

q e'E

I .qlrr

e =

'Y

cl 'l:3

E _=

:: -i.'?E

= .- =

:E*

i*'E_i

E

s.IS

.EZ

E,.=

E

I a

.,il'F

-ij5,E'

.=

!rS=

=

i.F;

.E -3_,i

:S_r*

:;;=F

€ \

< a

=

Z-.:a

{ 5

4 i:; =

!u+E

'Y 2 E

i> I

ZE

Z.

€ io_<

\u g::i:

=

.E E

S=

i :;9.

."?) -:..,ur

x -?'Eo

- 't

=N

; :.,

!1"-;-

'=:?-

:; iE

s :,!aEB

I 4 Ery: E

: ;'.ili-,E

s"EE

i [i,EE

5 I i]i fii?,!

'i sE€ ; IE

E€ I

E ,E

li E

;;-Ei

X S

€S

i:s'a;'* 5 E

EJ*

E*E

I

AO

oP^\Jc2'hX

vSO

r,:-;s=-cJ

o I;i

1 .tr = d=

.e* X

=

'-='"

:=.+

Es

-.e=A

';= l1 *

1iSi

=;e*

:2 s:Er r!5g=

:i E

it X

Ei'!

,E :E

#; ,'eE3*, -i-; E

Si

:g!:SE

,$T--,8 8g5: p :i :iE

E

3;U'i*:-: '

o'E Q

g'Z *"

E i:;

=E

'iI..: €orsE

EgrE

E;E

F$.! f;5E

!+

Qcqoo)

FF

i*'.vqt+

()a-o-aq)va

- a-t-ct-rlF

aV)

vA-'l5otrGa->q).-(l-- butrrhV

t-G- rhV*As.s

cs\rs*&

..::=S

;sGirsE

o>J,9hsr

a. d

o ;

; l*

,: R

=

z G

; :

rL E .i }lt

I -i'

oru G

r t

"n : *- N

,r - S

E

,E:

.ii t

, u :

2 i

"o .("r

: ,,s X

rr d i

! E

? tIY

it b*f

s3>s

g

lS

; -(-=

*

=-

: i

..1 :

5 .:-:

\ cs

^=lj"

/\ Y

o

â n

i -]

,. :!

'=,i

^. =

i' x =

S e E

; *i =

! : :

it i

€i=

-p

\r o

!' 6

lloi g

; I

=.;

\ q

cjtc

a o o

; <

l r

l- : s S

t I

E

-ti+r i

e€ 'r I s =

i ; i

il ;ii:=

Ey

+

c '6 {

u =

l €

6 *:

-u s s ,}s cj

Ei {

'ts* .:, €

v T

:. r

€ .E

a.:;S

Ir

5 6

^ r

6 N

-- --

N:S

,=

- .=

' ,r

\ ^:

'U

P

v I

.. =

o-': XS

$ r:

-s=l; ]

E

I t

: S

"i,

' '

'r t*

'{c \"rF

v- '=

s$t -t --- i ,, >

ll t S rr r

S{.-E

lY

s.

=8

=

a E

8

":l -: :

tl G

:=

.rt ii -

* -:

6,=

! -: j:

lrq:

1=?

X f il:"i

E?l€:T

)*l

5 (

S-:

r =

: .'=

tl.i: I=

l:i_l .:,

io --r =

; j

z. s

;:;; ,i=

.,$:i f ii

. i;

G: i i

= S

;r r; .g:E:t I=

=;

,e o

--{ *i

E

/, ':

,, ,

i'c :;i

e" *€1-!.e

E

i 5 o

\. ;

a E

':

'' :t:;

= .: A

'U ;Y

x € a e-

;.9 E

i ,=

: i8lT

tEIJ::

{ "

{ 5

d n

a e

aiea-: =

ZZ

<:

c i

'3 e.i

i. U

^-oqt:oo,!iE

!F

ir-1 "il-

c'i t.;

r; ri

,ir!E-isoo\



98 Glava 4. Granicna vrednost funkcije

4.3. Teorema. Neka je xo tacka nagornilavanja domen funkcije f : A --> I" . Ako i leva i desna granicna vrednost funkcije u tacki xo postoje, tada je potreban i dovoljan uslov za postojanje granicne vrednosti fimkcije f u tacki xo jednakost

lim f (x) = lim f(x) =: L. (4.1) s-xo+,xEA x-+.ro-,xEA

U stvari, relacija (4.1) je ekvivalentna sa lim f(x) = L. xo,xEA

Ako domen A funkcije f sadrii otvoreni interval koji sadrii tacku xo (ali ne obavezno i samu taèku xo), odnosno u slucaju desne (resp. leve) granicne vrednosti interval oblika (xo,b) (resp. (a,xo)), tada radi jednostavnosti pigemo

lim f (x), lim f(x) i Jim f(x) x-,ro x->xo+ x--xo-

za graniènu vrednost, desnu i levu granicnu vrednost funkcije f u taèki xo.

4.4. Definicija. Neka domen A funkcije f : A -÷R sadrsi interval (a,+00) za neko a E I8. Broj L je

granicna vrednost funkcije f u +.0 ako za svako E > 0 postoji broj M > a, M = M(E), takav da za svako x > M vasi 11(x) - LI < E. Tada pi.ìemo lim f (x) = L.

Neka domen A funkcije f : A -> L8 sadrsi interval (-00,b) za neko b ER. Broj L je granicna vrednost funkcije f u -00 ako za svako E > 0 postoji broj m < b, m = n2(E), takav da za svako x < rn vati (x)

- LI < E. Tada piserno lira f (x) = L. x-+-

U definiciji 4.4 x teii u prvom sluéaju ka plus beskonacnosti preko rastucih pozitivnih brojeva, dok u drugom sluèaju x teii ka minus beskonacnosti preko opada- jucih negativnih brojeva.

4.5. Definicija. Neka domen A funkcije f sadrsi interval (xo, b) i neka za svako T > 0, postoji 8 > 0, 8 = 8(T), takvo da za svako XE A i x E (xo, xo 8) vati f(x) > T. Tada kasemo da funkcija f teii ka plus beskonacnosti kad x --i xo+, i piserno

lim f (x) = -I-00. x-->xo+

Analogno znacenje imaju sledeée oznake:

lim f (x) = -, lim f (x) = +00 i x

lim f (x) = r -.

0 0-

(4.2)

4.1. Definicije granicne vrednosti funkcije 99

4.6. Teorema. Neka su funkcije f i g definisane na skupu A CR i neka je xo tacka nagomilavanja skupa A. Pretpostavimo da postoje sledeée granicne vrednosti:

lim f (x) =- L i lim g(x) = K. Tada vase sledeée relacije: x--uo,xEA x-,xo,xEA

lim ( f (x) g (x) ) = L + K; x-->xo,xEA

lim ( f (x) g(x) ) = L K; x->xo,xEA

lim f (x) = L gde S/710 dodatno pretpostavili da je K 0, i da postoji x-xo,xEA g(x) K'

broj 8 > 0 takvo da je g(x) 0, za sve x u skupu (xo -8,xo+8) nA.

((3S>0) (ex EA) (0<Ix-xol<8 f(x)<g(x))) (LGK). Zadnje jednakosti i nejednakosti vaie i ako se tacka xo zameni sa jednim od simbola +00 ili

4.1.1 Zadaci

4.7. Pokazati po definiciji 4.1 da je

a) lim (2x - 5) = -1; b) lim x2-9

=2; c) lim cos x=1/2. x-2 x 3 x2 - 3X x- oli 3

Resenje.

a) S obzirom na definiciju 4.1, potrebno je pokazati da za proizvoljno E > 0 postoji 8 > 0, tako da iz nejednakosti 0 < Ix

- 21 < 8 sledi (x) - (-1) 1

< E, gde je f(x) =2x-5. Takodobijamo 1(2x-5)-(-1)1 =21x-21 <E. Poslednja nejednakost pokazuje da je nejednakost I f (x) - (-1)1 < E ispunjena ako vazi 0< Ix- 21 < E/2, pa mozemo uzeti 8 := E/2. Znaci, za dato E postoji 8 takodaiz 0< -21<8=E/2 siedi (x)-(-1)1<E.

b) Potrebno je pokazati da za proizvoljno E > 0 postoji 8 > 0 tako da iz nejednakosti 0 < x - 31 < 8 siedi If (x)

- 21 < e, gde je f (x) =

x2 -3 . U ovom slucaju x -4 3,

pa moiemo pretpostaviti da x E (2,3) U (3,4) odnosno da je 2 < x < 4, x 3. Tadaje

x2-9 2

x+3 x-31 ¡x-31 x2-3x

- -2 x

- < x 2

Ako uzmemo 8 := 2E, tada za x E (2, 3) U (2, 4) imamo

(0<Ix- 31 <8)

=(x2- 3x 2 <

E).

Znaci, (Ve > 0) (38 = 2E) (bx E (2,4)) ((0 < ;x -31 < 8 ) I

x2-9 x2 - 3x

2

(4.3)

<E)).

\o oo tr -

) F al AJ : d o- o i' 2r o o

fi O

'F

fr

5 s[

H a

;F ]-

}E=

E?=

F N

?;

>c

;r#

s $;

EE

EE

Fi$

ii$E

i,5ii i

i{,3

i=H

i:*

i$1$

es:"

Es

=

:;ig

5i,S

t€

$fl+

?lla

$sa$

r

gttE

*ii

?;

e.5$

t3:'5

*g3[

i ;._

:iati,

t$"j

t --

-il

.>

E;

:.3.)

x.

9.::

3 i3

:-

6 3

2- 5

=

5i=

S-8

rt

- i;]

-]

5d

a';"

>

YE

'o

=.

<-

Ycs

2

,)

dF:

a S

::i

==

:i.

R)t

;

; s'

.!: =

i =

iAj=

- 3'

l* g

S^1

, i,?

, p,i;

s?=

i

.'- [S

: i

[ ]

$flE

?r ii

is s

g?g+

Tis

5,'.

1 .?

r,;,'

'j=iii

+

6nS

S

; I:Q

>

=Q

=

-a

ia=

'=

''j

'3=

a i

EIS

=$

A$i

;ri

E.

;tla=

(: S

Ei

*-

3'i:

s$n;

T3t

" ij=

;s;?

"iiti

i=

3.ls

vi

i1

.d

R':r

. ?

,. ;:-

; -

r:*=

"ij

$5L

Is'

i3s:

*\"3

+

]

3'E

E' [

.tt

i-iI

- it;

i:

!'3; i'i

I t'

: d=

,-',.

- i

iix'

il i=

i* ie

.=$$

.lsi ;

Z

i $*

i'

ii,i

;; ii'

Il+E

=r

r &

e is

JE

;ii ii

';iF

'rtiF

_i. 3[

]$

s*x;

BE

x;F

[;i

g$ s

$$

Fr o o lq $ o ai o- o >r o oo lo I

Cro lai

lIl Its;

lo

E

e.F

S

.

. .

. 5

il r

fEirF

rtis

irE.

eriiH

? j=

i=;=

+=

€f.t-

' d

3 E

*$lg

i*gx

3+n

:1 i ;

;E g

si'"i

:i:,;i

iL

=

;l;g;

;8",

.=

s&S

-r

3c,

:r::.

a 5

.;Ef

a !

- T

y

,'?-r

;.6-

; S

' ;-

:. ?.

A

:

I oo

l-f

r.

n d

u ?

r;r

E+

+tti

uE€ ii

t :i;

tt;;ii

i:r."

;Itlig

Ei;

I+ *

+*S

Ixts

iS

l i-_

-plC

rE.s

sr+

f*

s,*?

$ jg

l:;'

3'IL

EP

=:E

I=T

€ il:

r;

:s

:=$

I fr"

i-=

;+;ii

rl;e

.r,-

[ ] l $

ssl

i ?-

e.iT

;iitT

e=;i

e r

t] =

5

i.ii

^ I

=

e T

ai*i

,5--

;$f

*-

5 ,=

ir =

S

XS

z -^

3 ^

q-lr

f ai

=r:

* n+

i.=

! S

$t

iA

-?

",li

E.:F

.ilf

iE ;

- g-

s I

i-$I

\.rr-

T

,[[ ;

'Jo-

l 3

r +

i-n

i";';

r-,.

l Zi

g; 3

-i rr

-&

---r

'=

i'l:

, ,iH

E 3

.; ^;

I'J

=

I.& 5

' S

'$-i

:E+

E€:

s i-a

iE

[;--

- n

+.t3

€,

t'*4

+

t, i*

--

J P

y, E

. -H

i.€

, f."

F

s\o



100 Giava 4. Granicna vrednost funkcije

Napomena. Umesto pretpostavke da x E (2, 4), mogli smo uzeti S < 1, odakle iz - 31 < S < 1, siedi -1 < x -3 < 1, odnosno 2 < x < 4. U daljem radu to bi znacilo da je za dato s < 2, moguée odrediti S := 2e < 1, tako da vai (4.3).

c) Kako je za (x -it/31 > 0,

cosx- l/21 = 1cosx- cos(m /3)1 =

< 21sin(.' 2/3)1 < 2

-2sin(x-2/3) sin(x+2/ 3

x -rz3 i

_ x-n/31,

to inozemo uzeti s := E. Tada iz 0< -7t/31 < e siedi 'cos x- 1/21 < E.

4.8. Koristeéi definiciju 4.2, pokazati da je: a) Iim 2x+ 5 = 1

b) hm x' - 9

2. x-,3 6x+4 2' x-,3 x2 - 3x

Resenje. a) Neka je (x)EN proizvoljan niz realnih brojeva koji ima sledeée dye osobine: svi

c 2x+5

lanovi pripadaju domenu funkcije f (x) = 6x+4' tj. x,, 7< -2/3, n E N, i lim x =

3. Nizu (x)EN odgovara niz vrednosti funkcije f, tj. niz ( f (x)),yEN, a njegova granica se odreduje kao

-+00

2x+5 lim(2x+5) _ 6+5 _ 1 lim f(x) = lim

n->-6x+4 lim(6x+4) 18+4 21 ,,-,00

Prema definiciji 4.2 siedi da je lim 2x+5 _ 1

x-3 6x+4 2

b) Ako je niz (x)nEN takav da je x S 3 za svako ri E N i lim x = 3; Tada je

2 - 9 lim(x+3) lim f (x) = lim x - lim

x + 3- = 2. 11 -400 x - 3x n-° x hm x

4.9. Pokazati da funkcija f (x) = sin(1/x), .x E II8 \ {0}, nema granicu u tacki xo = 0.

Resenje. Posmatraéemo dva niza data sa x = 1 i y = 2 ,

n = 1,2,..., koji um (4n+ 1) tek ka istoj granici 0, tj. lim x = lim y = 0. Medutim, iz lim f (x) = sin(rn) _ n-, n-+ -.00 0, 1im f(y) = sin(7t4nz t)=1, sledi, prema definiciji 4.2, da ne postoji limosin(1 /x). u=0 ny

(Primetimo da ne postoje ni granitne vrednosti lim x

f (x) odnosno lüó f (x).) x

Napomena. Hajneova definicija 4.2 se ugiavnom primenjuje u slucaju kada zelimo da

pokazemo da neka funkcija nema granicu.

4.1. Definicije graniéne vrednosti funkcije 101

4.10. Pokazati da je: 1 2x+4 2

c) him = + a) him - +«; b) lim = - ex +00; d) him e ` = O. x t(x- 1)2 3x+ 7 3' x-+00

Resenje.

a) Na osnovu definicije 4.5 treba pokazati da za proizvoljno T > 0 postoji S > 0 tako

da iz nejednakosti 0 < - 1 < S siedi 1 = 1

2 > T. Neka je T > 0

(1-x) 2 (1-x) dato. R.esimo nejednacinu

1 > T, odnosno -1

¡ < 1 /Vt. Ako uzmemo

(x - 1)2

S := 1/\/7 tada vai implikacija CO

<1x -1 1< S= `( 1

x-1 I )2 > T i) , pa \ / \

iz definicije 4.5 siedi da je lim ih 11)2

=

b) Na osnovu definicije 4.4, treba pokazati da za proizvoljno e > 0 postoji M > 0

takvo da svako x > M vazi < e. Kako je x > 0, to je 2x+4 2 2x +4 2

3x +7 3 2

3(3x+7) Ako je

2 - 21c. Tada,

9e 2x+4 2

lim = A--3x+7 3

2

3(3x +7)

3x +7 3 2-21c

< E, onda je x > , pa mo"zemo uzeti M :_ 9e

12x+4 2 za dato E > 0, vai da iz x > M siedi ¡ 3x+7 31

< e. Znaci,

2-0.021 Na primer, za e = 10-3 je M - 0.009

ti 219, 8889.

c) Neka je T > 0 dato. Treba pokazati da tada postoji M > 0 takvo da za x > M vazi ex > T. Iz relacije ex > T, siedi x> In T, pa mozemó uzeti M= ln T. Prema tome, za x > M =1n T vali ex > T, pa je hm ex =

x-,+- d) Treba pokazati da za dato e E (0, 1) postoji M > 0 tako da za x > M vazi

l

e-x -01= e-X < E. Neka je dato proizvoljno s > 0. Tada iz e-x < e sledi x > -lnE, pa tnozemo uzeti M :_ -lnE. Pima tome, za x > M=- ln s vali e-x < E, pa je hm e-x = O.

4.11. Ispitati da li postoje granicne vrednosti: a) limo

cos sgn (1/x) ; b) im sgn cos (1/x) .

Rezultati. a) lim cos sgn (1/x) = cos 1. b) Ne postoji. - x-o

4.12. Neka funkcije f i g nemaju granicne vrednosti u tacki x= x0. Da li to povla.ci da takode ne postoje granicne vrednosti: urn ( f (x) +g(x)) i Iim (f (x) g(x)) ?

.t-,xp x-'xb

Rezultat. Ne. Naime, lim X

i lim (-1) ne postoje, ali je him ( + (-1)) = lim 0 = 0. x-,o x-,o x-,o x--4)

o *7 E

i i_kl'g

'! +

i s

s i

1, Ii;L *:t:5+

;r;i t

:?IE

+'=

o

:' +ii* i?E

i,; !i,;; r ; :E

, +i

i_llyA

g7 s"r_ti :Et E

; Ir s ;-:'=

. E

llF

- I

\ -,'

=

n: -8 s"

.=i

=

:i \.=

E

T

il E+

:l'[g:l-3 BiE

;i!;**rg !ii.^'

E-rqE

v sy n ]

gri*IS

3 sj?;E

I-; r;i +

it+ri ,i=

E;i}; i:ati'I

ot,_ E # a€__:!*i* =

; ?l=

;i: E;,F

s Z,ri

:*l+

e;-h;;[;-li; i ir-E

=s;*; t ?

,: s !.=

i #l l:g =

-E* si

:E#l;i

I i +

;! :,:

"' ;l

= E

3 j'i-,1 'Z i;;,A

lZ,l

,; ) i,i ;:

.. $

V

':' !

* '--t:

l- i'

: ;o

C S

F

?

+ i; s : igl i:

;!;lIalr $ 3 i.F sr

o{_} EE

Fr:=

iii-,,-q;it Eti I i=

:;i iI-ii

:8fi S,?22,'r_l::girE

E."B

E S

. E

j.,sE

t, saiZ i€2E

^linls*-?ir;f {rF* : E

ss E

E e .i2 € E

.a .I 2 i ii^,- E

':2 =tE

E"E

E s :

=E

:

=

Ea

6 6

a I

P 3

.q

bi ,,5A

o 'i{e^

t'il

; j,8 '^ o, H

:'\ tr

I -l"i

:.E:'"

.g .*' IF

E<

t

J_"u1^'- E;"u

fi t

llE:,E

:Ei

si €yi -N

:

i : -€ge-;

\ ^

.!2 -

tr" r

r .!

te c8 5 2

A'

?.c'H.o_m

lrl^.=la.ts,o

: -r^ E=

"- lli ir ;t5, i^ll;=

5€ Ii

,, i

\ =

'cl=

'-i

Ecl!=

s. f - =

; u

- -ly

.= x. I

^,,,^ ;

E:l -

! L E

I <

:=o

tlt :1

V rlq s:)

913 ,=

ri = ;

igEE

:E*

'HrrY

E E

clEq ,, 1

ul, &

,=

? ! E

EI

e E

"i"; E

:lEi ljlt

T=

i +

i,FE

iiI

\ E

i2 ,'r'o sl;;l

-',' = ;

sEi K

i liE

: €

E o.E

'=

l = E

T\ ?li

S * r'p:E

v!-

i :gi

slf ;-[ *lu=i;i,+

1]En €

i€; .:: i;

Ei ji i;i;3,i,i

.:-)uj

\ E

e E

', =

,i !

f. i..=

:.8 .a2

l: is8f, +

, Ii s ,s e;ga:*

.=

:=r

= .E

.E

1 .:

Y

e',t * .H

E 5 y

?,ig

.: z.A

, t.,il =

r :=

=

_ =

L

I ;, _

9ci

.E

! E -:E

:

x=

-i i

i bl, ii €

i;E

1' srs;

5 ! t

EgS

E i;

'E !

i:,i; E

a F

i' e'-q E i,E

l4'c3O:

= .\#=

zi E

g S

giE=

.E

EE

,q 'Ea

a q '3,

F=

v

!l+l-\

El^

|

rl k

Y!lN

';rI

El^,

-rl ll ''c.l

>.i\l5

Fl"t

r il

?;

o o.r

ll vl

alIx-?

\;5-dN

T.iN9'^=

^

@

o>N

i

-(d>N

-(d

a rz

ij

Eo h ._i

o \/,,E

^". v

^^61\cil

î r l'.

-Za

ul "o .-;-r o.!

ov!?i4-

e!9

I .O

-.6 4 5bo^

\/ A

! r

-m*,c.lr\o.i

\i H

oH"r

o_:z u)

Edof!-

Fl

-:,'U

N

eiVae)

troo N'l

I rz .91. -V

zQ

oJ4\of5p>o{Joa.+or("5o\50)utr

\tl!

-lOIil




{ x É - ' 4.13. Pokazati da Dirihleova f unkciJ a D( x) _ ' vdeti zadatak 2.29,

nema granienu vrednost ni u jednoj tacki domena, tj. skupa realnih brojeva.

Re"senje. Koristiéemo Hajneovu definiciju. Neka su data dva niza koja konvergiraju ka realnom broju a i to tako da je prvi niz, (x)EN, niz racionalnih brojeva koji konvergira ka a, a drugi, (y)EN, niz iracionalnih brojeva koji takode konvergira ka a. Tada za svako n E N vai D(x) = 1 i D(y) = 0. Na osnovu toga je lim D(x) = 1 lim D(y) = 0, sto znaci da granicna vrednost funkcije D u proizvoljnoj tali a E R ne postoji.

4.14. Oznaéimo sa I, skup svih iracionalnih brojeva iz (-1,1) i definisimo funkciju f na skupu I; sa f(x) = 1, za x E I. Pokazati da je lim f(x) = 1, za svako a E [-1,1].

4.15. Neka je data funkcija f(x) ' x E 1= IIl \ Q; Pokazati da nkci'a ima J .fu J f ( ) _ 1 X E Q. .fu J f

graniénu vrednost iskljueivo u taékama x = 1 i x= -1.


x3 Sx? + 6x x +xb + 3x4 x6 - 3x5 + 4x2 -12x+ 10 a) lira , b) lim c) lim x->3

/ X2-9 x-,0 X6+x5+x4 ,

x-,1x-8x5+4x3+x2+X+1,

I

x5 -x+ 1 d) lim

1 1 e) hm x6 - x5 - 5x4 - 3x3 -t- x -3 x--.i \ -x5+x3-x2-x+1 x2-1 x-53x8-3x7-X6+3x5+.x2=x-6.

Resenja.

limx3-5x2+6x=lilnx(x--2)(x-3) - 1

x--53 _r2-9 1.-3 (x-3)(x+3) 2

X7X6+3X` X4(x3+X2+3) lim- -1-X6 =lim -3.

x-+0 x6 +x5 +x4 x-+0 x4(x2 +X+ 1) Ako je x = x0 nula polinoma P(x), tada vai P(x) = (x-xo)Qn_1 polinoma Qn-1(x) se mogu odrediti po Hornerovoj semi. Ona nostavnu proveru da li je racionalan broj x0 nula polinoma P(x). polinoma P (x) sa polinomom x- xo (stepena 1) daje

a)

b)

c)

P(x) = (x-xp)Qi_1(x) +r,

(x). Koeficijenti omoguéava jed- Naime, deijenje

(4.4)

gde je Q-1(x) = b-- lxri 1 + b,,_ lxi-2 + . . . + b1x + bo polinom stepena n - 1.

Njegovi se koeficijenti b_1,... , b0 mogu odrediti na slédeéi nain:

bn-1 =an, bn-2 =x0bn-1 +an-1,..., b0 =x0b1 -1-a1 (4.5)

4.1. Definicije graniéne vrednosti funkcije 103

bk = xobk+1 +ak+1, k_ 0,1, ..., n-1, tako da je ostatak r dat sa r= xobo +ao. Ako je r = 0, tada broj xo jeste nula polinoma polinoma P (x). Ako je, medutim, r 0, tada broj xo nije nula polinoma P(x). Hornerova sema se najcesée predstavlja na sledeéi nain: U prvu vrstu napisemo sve koeficijente datog polinoma funkcije P (x), ukljucujuéi i one koji su jednaki nuli. Pomoéu gore navedenih formula za bk, k = 0, 1, .., n - 1, kao i za ostatak r, formiramo semu:

a an-1 an-2 ... ak bn-1 bn-2 ...

Znaci, u sïucaju ovog zadatka imamo

10]x=1 1 0 -8 0. 4 1 1 lix=1 -1010

' 1 1 -7 -7 -3 -2 -110.

1 -3 0 0 4-12 1 -2 -2 -2 2

Sada mozemo pisati:

a0 iX=XO bk b0 I .

x6 - 3x5 + 4x2 - 12x + 10 (x- 1)(x5- 2x4 - 2x3 - 2x2 + 2x- 10) 13 Yln

_ i x - 8x5 + 4 x 3 +x2 + x + 1 xl

n i (x - 1) (x6 +x5 - 7x4 - 7x3 - 3x2 - 2x - 1) 18

d) Iz 1 0 -1 0 1 -1 -1 1 1 0 0 1 0

tako da imamo -1 0

1 siedi P7(X) =(x- 1)(x6 +x5 +x2 -1),

X5 -X+ 1 1 (X5 -x+.1)(X+ 1 ) -x6 -x5 -X2+ 1

xni(x7-x5+X3-X2-X+1 x2-1)' xm (x-1)(x6-x5+x2-1)(x+1) -2x2 ± 2 -2(x2 - 1) xln

_ i(x-1)(x6+x5+x2-1)(x+1) x`"(x2-1)(x6+x5+x2-1) = -1. ,

x6 -x5 - 5x4 -3x3+x- 3 _ (x - 3)(x5 + 2x4 +x3 +1) 433 e) i.mXg-3X7-X6+3X5+X2-X-6 x-,n3 (x-3)(x7-x5+x+2) 1949.

4.17. Ako vate jednakosti

da li tada mora biti

lim f (x) = L i lim g(y) = K, y--5

limg(f(x))=K? x-5a

(4.6)

(4.7)

Rezultat. Ne, u opstem slucaju. Na primer, neka je funkcija f : (0,1) R data sa

f(x) = 1/q, 0,

ako je x = p/q, p,q uzajamnó prosti prirodni brojevi; ako je x iracionalan broj,

O U

eseF

i

fi F

zs'

rF-t

;i r:

i'*;;r

i#' ,

! i, S

si i3

$ *a

lE +

xi$

lt eq

,3 1

;lrlr{

-"

--i*

+

i +

5i5

s;

,pi5

S

rs

g-.

b?:-

5-1.

+.lJ

,'l

rl;*

N

S

ff i=

Nzr

lE

i;.iE

'i ;*

i=i*

l=rE

;l"."

llriX

iiE

Hlif

3:!

J is

E

IiE:i

,l :r

r,-"

rE$

=r'

:1! .

1:=

Sr:

i ig

;==

\ *

E:E

Tnt

=;T

+ ll

l cr i'E

i Ir

E'it

=:?

iSi:;

isE

iilli:

I, it

_;x

sI

î i?

$gli

*sil

,-3

--j '=

t{I|r

,-li

=i

;?.$

i._

- .d

. ;_

F,i,

*\

+:

+ "

ll I

i$+

i;llU

ii ni

ijlS

*-r

- n,

! i+

i"-.E

: s.

q

i g] i

cgB

r-.:l

r ril

t. l;;

$s ;'

ulE

:; t+

T

6:

\l E

I:a

r'-l3

s rr

,; fZ

Firi

g=*e

lal

i E

.c*

:-

:l.;

Hi

5 al

:F ;

+

- :if

: I

iI '=

I

'=

h'T

?,

ts1.

f

:-*€

'.o!

- 6-

s. )

6B

.q

,*lrr

r:

- I

i_I

;iEiB

S

"Li;E

i3

t lli

*l-

$ ai

r I'*

Ei:-

;*

g'g

:rf

arJ"

ll-

: =

'=S

s :

'gs

$" -

s=€ fE

i iii iii

F ,g

E fE

F $

$F

DC

G ;

u E

BE

ili

il:

i ;1

E

.Esc

-

I .a

.

l! t' t-,

I\, to l!. t6 lo lOo

lri ts lIf lr:(

lo l< iE lo-

io lh l=.

l+ IF lo IO O ())

A B {g^:

,S

=

)=

'

Iti@

l^

N,

llx=

G11

6*

q !')

l r

=

h n-

1.'

!t x

S=

',lu

\irl,

s !

xl,

- -l

!,:.

q tl

A{'

}.

+,1

r-{

,ul

b

rllIU

rl,!-

N

l T

l='

tl\lP

!

I l

\ ,'l

url

! î

rl

llll

F!

apl^

i s.

{

I r

J5

tir

oo

olv

v 1-

l!

:t u

{l ,

, l+

il llN

x lla

" -,

l-lr

rtl

-t4 r

l'oI

rrN

l r

-L-

I

-l -

blf alx

:r'

/9 o N 6 P +

lio tdA E @

<j--

O -

:rF

@

oo :<rZ ,,N

ts *

!l

15J.

5p

oEQ

BU

ct-

ai-

si\

U--

-'>-

o-X

c4,,

.oN

Pll

'E.D

x=

r'.J

erf

Fdo H

,E'

5.\

!. ts-o

pv dl ,9.

Haf

r <^

p

\

+ o s a)<

cd o. o X.

C)

-..r

r#:t

#-..:

_,,PDF compression, OCR, web optimization using a watermarked evaluation copy of CVISION PDFCompressor


104 Glava 4. Graniéna vrednost funkcije

a funkcija g: R R neka je data sa g(x) = 1, ako je x O.

0, ako je x = 0.

Tada je lim f(x) = 0 i íim g(y) = 1, dok je lim g( f(x) )= 00 1. z 0 y-+0 c 0

Napomena. Prirodno je pitati se kako da uslovi u (4.6) ne povlace (4.7). Iz druge graniène vrednosti u (4.6) siedi da za svako E > 0 postoji rl > 0 tako da vai

0<Iy-LI Ig(y)-KI<E.

Dalje, na osnovu prve granitne vrednosti u (4.6), za dato ri postoji S > 0 tako da je

0<Ix-aI <S (x) Li <r1.

Primetimo da na desnoj strani zadnje implikacije nismo iskljucili mogucnost f (x) = L. Medutim, u tacki y = L funkcija g(y) uopg'te ne mora biti definisana, a ako i jeste, tada ne mora biti g(L) jednako sa lim g(L) = K.

v L

Dakle, iz uslova 0 < Ix - al < SZ ne siedi Ig(y) -

KI < e.

Ovo razmatranje pokazuje da ako zelimo imati postojanje granitne vrednosti u (4.7), tada moramo uslovima datim u (4.6) dodati jog' neki. Ostavljamo citaocu da pokaze da je jedan takav dovoljan uslov nejednakost f (x) L, dok je x u nekoj okolini tacke a, all je x # a.

4.18. Neka je n prirodan, odnosno a realan broj, i pretpostavimo da za funkcije f, j :

(a, a+ 1] -> [0, +00) , j = 1, 2, . . . ,n, i g j : (a, a +1] -> )(8, j E N, vaie sledeéi uslovi:

1) f j(x)=1,zasvexE (a,a+i]; J=1

2) lim f,i(x) = 0, za sve j i sve x E (a,a+ 1];

3) lim g (x) = L, za sve x E (a, a +1]. n-too

Pokazati da niz S(x) _ E f,,,i(x)gj(x), n E N, konvergira ka L za Vx E (a,a + 1]. j=1

Re"senje. Neka je e > 0 dato. Iz 3) siedi da postoji broj J = J(e,x) takav da je j > J 1g1(x)

- LI < e/2. Odavde siedi postojanje broja K > 0 takvog da vai

(b'jEN)(dxE(a,a+1]) (Igj(x)I <Kn

-LL<2K). Dalje, uslov 2) povlaci postojanje broja N = N(e,x) > J sa osobinom

(bj Ell, 2,...,4) (f/n E N) (If,,j(x)I < 4JK).


Sada, iz nenegativnosti funkcija f t j i uslova 1), dobijamo za n > N i x E (a, a+ 1]:

ISn(x)-LI < ftj(x)gj(-x)-L ft,j(x) < fx,.i(x)Ig.i(x)-L

i=1 j=1 j=1

l E E _ (

+ J

ft,.i (x) I gi (x) - LI < 4JK

e J 2K +

Z f,t,.i (x) < 2 +.

E

2 =

1=1 .i=J+I j=.1 fl

Ovo znaci da je lim S(x) = L, za sve x E (a,a+ 1]. n+00

4.19. Pokazati da ako je funkcija f : (a,+W) R ograniéena u svakom konaczzont intervalu (a, b), tada vaie sledece jedzzakosti:

a) lim f(x) = lim ( f (x+ 1) -f (x)), ako graniéna vrednost na clesnoj strani x-t+.' x postoji;

b) xli m(f(x))11

a = llim (f(x+1)lf(x)), ako vati uslov f(x) > c > 0, i ako

graniéna vrednost na desnoj strani postoji.

Resenja. a) Tvrdenje siedi iz zadatka 4.18, ako se stavi za x0 > a,

_x +l .FF

q fn,l(-x) x+llt Jn;j(x)

_ x-I-nt gl (x) = f(x+ 1)

t gj(x) =f(x+j) -f(x+j- 1) , .a. -P1

za x E¡xo,xo + 11, 2, 3... n Tada je S x (x) x f(x+n) i \ ]t .1 = 2,3, t t j n( ) = .ft,.i ' Sj( )

= i=1 x+n

poto su uslovi pomenutog zadatka zadovoljeni (proveriti!), to je

lt

lim S (x) = lim g (x) = lim ( f (x + n) -f (.x + n - 1)).

Sada, po uslovu zadatka, granicna vrednost na desnoj strani postoji, ne zavisi od x, i jednaka je lim ( f (x + 1) -f (x) ) .

x-+w b) Staviti F(x) = ln f (x).

4.20. Pokazati da ako je funkcija f : (a,+.0) -> R ograniéena odozdo na svakonz kon- acnolzz. intervalo (a, b) i zadovoljava uslov

lim ( f (x+1)- f (x) ) _ +0°, (4.8) x-+-3

tada vaii lim ( f (x) ix) _ +". x-t+oo

arltr

o lc.l!l

@

lal(,.-v.-:^j/\*tsS

;=hf

9 ;

@rN

(u,

oof4\qopt:o>(Jo*=+

T

S

lg :€7

;i .-:

€ :

*$ E

AE

-s* i

'F

q€ ?

EE

I:[

t* s

'*

h -IJO

\ro A

A

p ;qE

5,,4-*

i; *)

'- -,-<

::a

oor E

a v e; IE

;S

E<

S

r' E

ii *;

:=

=* S

i Y:

*r ;E sg:E

,E 3T

$" :a :

rJ "i-

F-..-!=

=--=

d<

:',=i:X

3 ,e 3

,1 H* 6E

EE

il

A :5

i, ; --i

o, f,o

oo 9 5

H#ll

"o.E€.*

.ris^ =

z

qE

^ ;

--,l

.- i

o r

6_^ -

^:9. s-.a

r ;

q ^

z: i

Et

t :

1r E fS

r E::

S:

t i

gi :

i :,

ooe6;,-2,^trôo;=yb=

X-:i

.q ; *s

'-: I

r :'q*-ll.=

s i\

I I

- G

E

t =

:.

;.--:-: 3 rr

I I I I:!

? I€'e* I , s ; s ? ;E

; (

:3 lr.2e-:

x) e=

*;IE€s

F1

;:ji s

v.:l d,^

E -'.=

e o

E -

;aE

i i;;* i;

: ; i 'nl

tr - o'<

- f

lll ;5s;**

dl ;

a i t

=u

: -

& .g;

E

fi:jvi=iz

ol s,isi::1!i

fliJs€E

I E

E:!sE

*:ti;?:?lll? ?t

,qi:EE

E;E

eFE

:5*s?qi+si3il

e q E,B

q ;,fr; : N

E:; 5;

< -s,$, E

2r vi

E € ?'E

S

E

S; E

is_j= S

! =^l=

iEi ji

.s: E

-.cs=i:6'--od

cd F:

360 A

dlE

aogE

t =

S

=

Aa

e E

-'_ A

>o

"' 6

6,)zi&

oUJ<o9)i>o=6\tD$

E:]




Resenje. Iz uslova (4.8) siedi da za svako M > 0 postoji broj T > 0 sa osobinom x > T f (x+ 1) -f (x) > 2M. Ovo povlaci f (x+n) -f (x) > 2nM, n E N, tj.

f(x+n) > f(x)+2nM (4.9) x+n x+n

Na osnovu pretpostavke, za svaki interval oblika (T, T + 1) postoji broj c > 0 sa osobinom f (x) > c, pa iz nejednakosti (4.9) siedi postojanje broja no sa osobinom

((n > n0) n(x E(T,T +1))) (f(x +n) > M j x + n

4.21. Ako su in i n prirodni brojevi, odrediti sledeée granicne vrednosti: x2005 - 2005x + 2004 n1 n `

a) lila b) lim r--.1 x2 - 2x + I .r-.1 \ 1

- xn' -

1 - xn ) '

xAl+I _ x"+l +.x" -mx+in - 1 (1 +mx)n - (1 +nx)m c) lim d) lim , x-,I (x- 1)2 x-.0 X2

e) lim rl z"-

Resenja.

f) lim (x" - 1) (xn- I - 1) (xn-m-1 - 1)

x I (x-1)(-x2-1)...(Xn-1) m > n.

a) lim x2o05 - 2005x + 2004 (x - 1)

z (x2003 + zoo2 + _ . + 2003x + 2004) - = -2009000. s-,1 x'--2x+1 r1 -

(x-1)2 b) Neka je in > n > 1; ostali sluajevi su analogni. Uvodenjem smene t = x - 1

(t -> 0, kad x -- 1), dobijamo n7 11 in 11 m

1--.x1" 1-xn I-(l+t)n' 1-(l+t)n -tm-tm-1_...-m"l)t 11

-tn - (I)t"-` -... - (i-"1)t -

t(en-1 +n1tm-2+...+m)(tn-.l +ntn-2 + .. . + n) tn-I (-m +i.( ni-

ni Il ))+...+ntm-1 ..

+t(tm-1 +nitii-2+... +in)(tr-1 +nti-2+ ... +n)' odnosno

( in n I

n1n(m`1-n21)+o(1) n1-n I1m I

1 -.xn' 1 -xn/ ,-,o (en-1 +111tni-z+...+in)(tn-l1 -I-ntn-2+...+n) -

2 x-t

Pojam "malo o"je dat u definiciji 4.60 poglavlja 4.3. Posebno, 0(1) ovde oznacava funkciju koja tezi nuli, kad t --> 0.

c) Uvodenjem smene t = x - i (t -> 0 kad x -- 1), dobijamo

limen+I-.x"+i+A"-n1X+171-1 =1im(t+1)m+I-(t+1)"+I+(t+1)"-m(t+1)+n1-1 .

'i+P(x)-1 /1+P(x)-1 P(x) - _ lim /1+P(x)-1 .r-?I (x-1)- 1-.0 t z 111T1 = 1i171 xo x x-.0 P(x) x x 0 P(x) t7 nt+I ur n n+I + 17(n- I l O t _

` 1 al = lini `( 2)

(

2

z 2 ) ( 2)

, m

+1 2n

Ximo(al+a2x+...+anxn l) =a, lim ,,, m-1 n, 1 +P(x lnH-2_...+1 rn ."o (1+P(x)) + /( . )i

i 0 t

(-n1n(n2 -1) +nm(m

2 -1)) t+2 (-1n( n

) +n m-3 ( m

)) +


Podsetimo se da je o(t2) neka funkcija 4(t) sa osobinom lim 0(2 ) = O.

r U t. d) Slicno kao u prethodnom siucaju, imamo

(l+mx)"-(1+nx)'n n(n-1) , m(m-1) , mn(n-m) li ó x2 =

2 rn

2 n- =

2

e) m

0 n(n - 1)(n -m - 1) 1-2m

4.22. Odrediti sledeée granicne vrednosti:

/x+2- /x+20 '/1+'x -1 a) lim li) lim n E íL \{0}; x--.7 ° x + 9 -- 2+ .r-,0 X

c) Eau l+axV1+bx-1 in,nE7L\{0}, a,b E R; "

+P(x) -1 d} Iim , gde je P(x) = a1x+... +ax", m E 7G \ {0}; x 0 X

e) ll,m(1`/)(( nEN. 1->)_l'(1-i) Resenja.

AY .x 3- /x+20 lim x+2-3 + lim 3- x+20 x + 2 -1X + 20 _ x-7 + x-7 _ x-+7 x-7 x-.7 x-7 a) lirn x + 9- 2 X m Jx+9-2 x+9-z x--+7

lim Z/ .

x-7 xti7 x-7

1/6 -1/27 112

1/32 =

27

b) Ako uvedemo smenu t = <V1+ x -1 (t -* 0 kad x 0), dobijamo

lim /1 +x- 1 1 =1im

t - lim t =

x-+0 X t-.0 (1 + t)n - 1 t-+0 nt + (2)t2 + ... + tn i1

c) Neka je a, b 0; tada iz b) siedi:

lim J1 + ax V1 + bx -1 = lim

V1+ bx( " 1+ ax -1) +"' i+ bx -1

x-40 x x-0 X

{/1+ax-1 + b lim 1+bx-1 a b = lim "' 1+ bx a lim =+

x-+o x-o ax x--.o bx _ n in d) Neka je m E i`1, (slucaj -m E N radi se analogno). Tada imamo

='

:cO o\ o A) $ A C

J< s d o- o + x C) o

F N)F

93i--

3,,D

?-.-

rrD

'a

=

:I e

Z)

v5'

-.:b

',-

L= ._

iE=

B

li i,v

lr-i<

-.i -

ir

i. |

=

\; -:

;,1

- i,H

: ip

:-

i- r:

15 t

r -'A

+

<;l-

-iF

:' tla

--

--.-

t *

:7

1.4

5, '

rr

-J ;

: 1.

-:

6 *3

;,t _

lg

:-

v

,a

_:lS

lr

S

=.

if,

:,?t-

-

:.l+

t

; E

x v3

l''

s :

d-2

<r,

l- !

' -

E

il;'r-

r.,.

ai

-:

=-

-+-1

, ^F

)*

; al

=lg

3=

5 s

s i

, lE

v-

;at

. G

aa

u

oi=

.-

.-

\

.nf

\ S

5

:-l

L='

li S

e-

r-

:lS

-lc "?

^ ;j-

R

--

[ g

I l -

i'v

l! ;*

T

v

3_=

llllo

qll

lI .' l=

S '-

-l\ =

0 -r

S'r.

l- !

,st

=.

,i.r>

Ei

i f;

-lc

+il1

"l=

r t

ilr

ai

rg.

,-lrl

-tl=

l- )-

t: >

r-l-

t l:

'r x

>I,

i3-=

'8

-:-

5E

v--r

;.l!-

E

r =

N

)V-.

,9

==

l .

=- rl

> o

t:'lr

@

9t@

:i -

r: a

, -

P-l

I o=

' t'-

Or-

3

r 4t

?l.-

!

-o;

i5 G

iiv

5s s

5

!7t?

q< 6 L.

.l-' i-i

l

rlN 'lc)

N^ il- r l!.

ll' *lr

IJ IO il

r='

,3

o oo 'l <N o Or o d. (D 5

*l ,t- il I ii= I

il*l rl -t

: +i*

\l

I II ^l i= il il

.ri ri +

l TI I :l rl

r-l --l

I rl :i rl

-tal ]I --t rl-

,.

ri a-l

j =

l*-

lal

tl l-

-l.L il-li

rll-

rl

ll^N

l ,-l

:+

l lL

.lr- :IY *l

-+-

:tlr

=l

N"r

I -

l-:iJ -l- rl:^ rli

-:lv

lrpl +l=

-l -f

-f5t il l 'i

l-i.

tl-t+

i; Il^ -llv rl+ .t: l :: l1rl .i* :l +l

--t

{l .JL

x.aD

o.;.n

*r

I r

i >

l:i

^ -

=l

@r-

X

o !

'-lg

N(,

-

,I;

-'6

.' =

ri i

H t

----

,F^l

lr'

H 6

- ;:'

:ts

-\=

O! I

;, -.

\l\

-t

o ll

I U

-.

rl

E,I

u.+

h^-l

e I

1l:

-\

oa

'rt ,t-

.i1

I t:

^.

' lrJ

rl

s -l-

lr-

ÛN

-l '

q -

qlN

lTq.

v

:l t_

^r

A

rl'1A

-l

=

o ,l+

v I

t^

. :l-

-O

- ,',

1

_ +

l-l o

:l <l

o-I

o =

t-t

o Nil

o<

.-l-

^1

Nl

I

<

t*

l_ - 1 + \ I < + i

tll * rl-,

:l ,*

,-l l lr It i: il il - i+ I

_-: lr lr* l'*

-- II t'-< l+

*I -l* l+ t --

: li rl T t5 l+ ll t*

i1 lr. l-> I t:

,,t+

l5 ti t,= ll. .l 'it

,Jlr- i+

t:

ll: I...-

,-t, iI IA lL l- I l: lr, ..lt lr ilJ

lr* l' l- 10 to l,i. jo ]E iai

l!] l!. lr! t< i.i tCD

to r:.

t: l>r

ta lo t. I I

lh 3.

o-H

q

;-i

.D

To.

@N

)

5.5

.tD

o

EF

J o o o' :J

\l:l- it

+ :< 1 +- lr

\zr r2

-LA p-

.rt

,o rv L- 2o !1.

@L.

-

a. @ d

|,i I 'c o + li o o t '. + IJ O }l + IJ 5

il t- .1

5l- .-lo

. ls

--

lr l-l

Gl '

<

.i*l

Nl<

rll

pl

lN

-,]-

ll r

-ll.-

l I

l><

)sr

l -

-l+!.1

r.:

ltsl

ilk! t:' {p

la t -'

rJl

L

tl t- tv : I l: l=rJ

I - rl I IU ': ii t-.-

-ul

_ lr lv

,1il

+ ,1$ iT l1

T lr

l-lJ

,

+ t=' It

f l<

Y

'lei

i5 l<+

t+l

-t i' lN

o o

lt NJ \o

@ o CD il I I

I

:li

t.: lT t.P

i :

.t- -t

I I I

F IJ !.)oE

oO{

\-

::t

+ !

tL

l<=

)?

l,-l

lrl

3I

t I

--l

tl ft

li I i

:l ,l,

i *

lxl

.Llr

o.|

.:il

| r\

:< l<

: Y

' (-

oo

l-)

| t!r

:l

,I pl

-rl

Q

ls*l

lt:

l i;

txt

l9

!t.\

-rd -\

v aill

i:

:.N

SE

/ l<

=-l\ ol

l.

r+-l

- -1

."1

t-"s

- l-

rn 'rnN Y

3 l<= l> l+l

l-ul

l^, lkl

l-r tt t-O

a \ I it fi + ; x rn N YJ O

(D o< tD L.

t^ lr l2 lh t^^l

- il r

*l:r

)rl -t^ t- Ir I l:) l- : rn

,1fl

>v

o; h^ L.L (D

<o

so.

-o. 15

a !j

l<=

oN

l-)

!5

o-

L|

E*

nt.l*

Nlil

9 l-.

=b|

*\O

\*

rl

o.

lE'

Tl

i. 5r

tl

^{l

Ht +l

.B_t

- ^

-t

+;t

t,I

J Oil

,r

-"i

)r

+l

I^l

.u

_til

v

n,l*

a

rl O

tt : I

lE:

.t rlP

ll

!t+

d=

li J

%

l4:7

* lll

A

+

+l i

s r,

lxl

rlr

l)i.l

sI

lirn

: l-

Z

k--r

Gta

E-:

6r

o'

I=

l-l--

l.:

d'

-.=

l r

'Il>

r >

le

lll

| ,l

s rl

1.''

! ?l

il ;

Pl .

is=

i'-l't

7:

ltl::1

+

i= lT

l:)

l i-

3 "i.

= l-

.,

ll 4l

1l'

l*)

+rr

r'1

:

r r

ll

-!ll

,',- in

lIlT

;P

il

O

t !

o,

=ll

-i'E

l r<

ir -1

o

i- l-l

l<:-

*+il

li+

+

ls-l

s -J

l!l s

i= li

-il

l^

3 io

= l

llril

lr

P

l.i

lsl

s.ll

'- a

*lS

l" li

: l4

r:'

il l;

.'i

ri lS

r =

-1"

lsl

._l i',

!. :'

li:ls

t_ la l!



108 Giava 4. Granicna vrednost funkcije

e) Smenom t = 1 -x, gde t - 0 kad x - 1, dobijamo

lim(1-x/x)(1- 0)...(1-"x) -lm(l-1-t

1-/1-t 1- "1-rl x 1 (1-X)n-1 t o t t t

_ (1/2).(1/3)...(1/n) = 1 /(n!)

4.23. Ako je n E N, pokazati da je lim = " a, za a > 0, odnosno lim O. Tada za proizvoljno E > 0, iz relacije

-I- Ix a x-a x a

I'/ < <E, Vx"-1+ Vx" an-1

siedi da mozemo odrediti S takvo da vati

(ix- <5;=c'/a"-11 (10-- fl <E). Ako je a = 0, tada, za x > O i proizvoljno e > 0, sledi da postoji S ;= E" takvo da

je (0-<x<S) (I <E), stoznacidaje lim f = 0. x-0+

Napomena. Takode je 1im = +4>., jer za svako T > 0 je " x > T, cim je x> T".


a} lim x-.o -+x-2'.

3/6+x+x+4 c) lim

x---5 +2x+ 1.

VT:. 1

e) lim n¢, ri E N; "c-.1

V/1 +ax +bx g) lim m,nEN,a,bE

b) Ern 9+2x-x2-3+x+x2

x-2 2x - x2

i -i` d) lim

1 - ,X'

(/c+x-{/c-x fj lím

x o x

Rezultati. a) 12. b) 7/12. c) 2. d) 7/3. e) n/rn. f) 2 " c/(nc). g) a/na-b/n.

4.25. Pokazati da je za a0 O 0.

n E N, c > 0;

ax"+a-tx"-1 +...+ao 1i+b,"X"'+b,,,_tx"°-1 +...+bo

(sgn(anlbm))'°°, = an/b,

0,

n> na; n = in; n < na,


Resenje. Dati izraz se mote napisati kao

ax"+an-1X"-1+...+ao a, 1+ x-1+.+ x-" b,x'n +b,-1xn-1 +... +b0

-

Pretpostavimo prvo da je n > in. Kako je

b,n- 1+ I 6 X-1+...+X , r n

a-t 1

a0 n lim x -- . . . + -x-n)

0 x~+°° a a

b,-1 b0 n. Ylin b

.C1 + ...+b, x , to postoje pozitivni brojevi Xt i X2 takvi da vate nejednakosti

an-1 a x1+...+ óx a an < 1, za x>Xt, i b,,,-1 x '+:..+bax ,

2 b , b,

Za x > max {Xt,X2 }, dobijamo

1+ a1 1 ox-n n-x + ...+ arr

1+b,/%1z 1+...+box

(4.10)

< zax>X2.

1 1

i an _

> xn-, > x!,n, 2 b , _ 1

...+box n,I + . niaxt+"+...+a0 a Zb0 g llm X-nt= sledi = s n -) oo.

x++b,,x"'+b,,,-lxm-1+ ...+bo bnt

Ako je n = rn, tada iz (4.10) siedi lim a"x + a_ tx

°-1 + ...+ a0 = a e + b,,,x,n+b,,,_ix,n-1 +...+bp b,n

Konacno, za n < ni iz (4.10) i lim x"-"` = 0 siedi lim ax +a"-tx"-1 +' " +no b tX"-t+...+b0

4.26. Odrediti sledece granicne vrednosti: -

a) lim 2x4 +x2 + 2x + 3

3x4+x2+x+3 '

-/x+1 c) lim x-+-

x+1/4+,-1/.7c 3

e) lim X(x2+2x-2vx2 x+x);

x5 + 3x2 + 2x + 5 b) lim

-4x4 + x2 + x + 3 '

d) lim (.3/x3

+3x2 - x2 - 2x)

;

ltm (

+ (.x+aJ )(x+a2) (x+an_ x + .

= 0.

Fi'.rN

Oii

olcQ

rlr

'.1.l

d'ls= cls

i I-rc

r lll

^ 9le

\-/ ^9 l^n' -:l -:

.. lir

Ilt

att :t

s

sl-S :1, +

+rlt

-i-I klY

. I

il cl^s

'J -Llk

-q'li

I I

rl

i lL

<t

I -l-l-]-

Etr_t-

:l* gl-i

ot l-1-

r{ ll

-kl-\- tri

n

--a t

*k 'i

-8 -8

R

='

o :=

l -:

lqku:

vv@<

!+,t

,:-{.!N

S'o+

l,.!E

04-'q\/\.

v .(J

=i=

*'rR

rii*cY

q

ir s

9 i

ro,D-X

?p'lEi

!v=-:

\dal+

i li

)rl<3l o=

l^'lo:+

i+.l:l:rl'ttT

-t*xl!t*=

ll r

al,t-t-

--L'i<

rttiItrl -

+o*!++lLI

"5+\ +lk

O4I

i--:.

i:i.'ts'

i5lrl:

m lm

l"-, !l'

l lf >

l+

klx I

!N

la ]:i

ttN-]-t-

tx t-

- lk

o lr

.il+ +

l+

+la G

L5

xll-8 -3

IH

+

E+

tri

+t

.-l-lG

.R+l.l-LiNilrNI

l<Nl+:t<-f

lt r$l t*->ll Ir

i lll

J.

li ll>+

l +lL-*l->-$tr1=

la:

olo+

l+î l<

,lf I'^-lxrli+al l'

'

_8nl

'-, :f

VI

-:-ik+

:

-+'

Ikllsl+o+:

+i11

+

oao>NoNtNa0,)

qJ,qqJ

0)

oJ<o9)

>(JFEa

L]

-:l\-

nil vlo

!-tl1-,I:l:

o +

lr-1r

- l-:

r 11

rllues-U

rlr

c{k:

* -a

u r!

\.ôvtq!f

.-\-5-\A

Dnu

,-i.(J

<1

5LJ'

:\-

L!Nir|

u't,l[!itlu

\Lrll-P

8i

N

\->

l-> l-L

/:I fU

L X

r>io

-O.=

1 .5 1

-: F

-

;s

c.i

^9J

lXl

Z1

l"q I

l,l 6l

l*l--lfl+

i

:>

r-*'Ir *

t ,l

^filî

I x

lillr -,*

lEl

lTllo.

l, l+

l oj

!Yl->

"l- l-1

*'21

:-i\',\t ^

r/ :-,1 r2

rz- ?-

it d=

9

o66EN()

il

llI\NC]

lril!t llr'

ilJl:>.E

1

EItttI

ljtalrlo,

€i

^c)9x;l*

-? o

trIE

+drl.;;

-i I:l

V

co

i s-

orrr 'e

I!

, |-

I I

q l|x

6 t*

trl s

. xls 3o

:>>

l- ts :5

v s ll

o>

I -'

g r-

I'-: 5

--; u

,: aJ =

>e --r

; E

tlt

E :-

nE

l*l -

nr lS

;E

"I'-,il-l

: :

l+

'-d=, s

t >

l- i

'- l:

---n.gl E

l,\/a(o@__i _i

Ls a

tr T

__ ^ -o co

.' E

? ll

-i -"tl= '3 " Z

'i q

t =

_ ^

li. Y

](a

_ I

>

N

v -' "

lr- i-ii"" :

5Sl

-; =

_ ii. il: =

il

{"t-tL\!+

.:lae<!

I _l

€ 5

| ">

,o ,, 7 rz

:>

o :l-

.: ,(1

rr ;

l-':-<<

E

+

,:T

€l;^ i

o :i -5Lt \-

Et

-'l ,'f j

n I

o .> S

+

.%

i":r'5'd

r =

. --

.- .o

u ;.

; co

5 - ll

\, z

E E

;V

E

St-Jq)U

=

i :

.+

Z

+ i-

E

+,5 =

- f

.E'

;---tsi i

d;tE

ditd&

2.\d+

o.v\op)u6'jE

q^: -i

\\Obo

€



110 Giava 4. Graniéna vrednost fnnkcije

Regen ja.

a) lim 2x4+x2+2x+3 = Ern

x4 (2+z +3+) _ 2

x--+- 3x`r+xz+x+3 x-.+°°x413+z'+r +x4)

3

X5+3x2 +2x+5 b) lim

x-.+- -4,x4+x2+x+3

x+1 1+x c) lim - lim - = 1. x-+cc

3X+ 3 x+ 3 x x-'+°°

31 3 /t 1Y/

1+VXZ-}-3i_

= -CC.

A3g xs


4.28. Pretpostavimo da na intervalo (a, (3) vase nejedrtakosti:

gl(x) G f(x) g2(x),

sent rrtosda u tacki xo E (a, (3). Ako postoji broj L takav da je

lim g r (x) = lim g2 (x) = L,

d) lirn /x3 + 3.xz -v xxl = lim (/x3 + 3x'- - xl + bin (x - x/x'- - 2x¡ dokazati da tada postoji x-+. ( I x + \ J x-,+- 1 z

= lim 3x

+ lim 2x = 1 + 1 = 2.

(x3+3x2)2+x/x3 3xz+x2 x +°°x+.xz-2x 2x

(Vx2 +2x-x-

1) e} lirn x(Vxz+2x-2Vxz+x+x)

= lim x xa-= x-'+m x/x2+2x+x+21/x2+x -2xz _ 1 = lim

r + (vx2+2x+x+2x2+X) (1/x2+ 2x+x+

1) 4

f) Za x=?/t, imamo " (x+ar)(x+a2)(x+a)-x= 1+P(t)-1 gdeje

P(t) = (al +a2 + . . . +an)t + (ata2 +aia3 +.. . +an_id)tz +... +ala2 at. Iz zadatka 4.22 d) i cinjenice da t -; 0+, kad x -+ +co, siedi

lim (;y(x+ai)(x+az) (x+an) -x) = lim

1 +P(t) - 1 ai +az+... +a r-00+ t n

4.27. Odrediti sledeée granicne vrednosti funkcija: (x+2)(3-5x) (3x3+2x-1)6 x4+2x3 a) lim b) lim c) lim x; (2x+1)2 x+(3x6+8x2+1)3' x + 1+x3

d) lim / x2

+ x' +4x2 -

21 2z+ i 1- 2x2 i' i

y/x2 +1/x2 + x7 -x1;

e) lim (,/x4 + 2x2 - 1 - x4 - 2x2 -1

g) lim x2(VX4+x2/X4+1-'\/X4).

Rezultati. a) -5/4. b) 27. c) 2. d) -9/4. e) 2. f) ij2. g) (f)/8.

)'

lim f (x),

koji je jednak broju L.

4.29. Pokazati da vati: a) lim sinx = sinxo, xo E ][h; b) urn cosx = cos xo, xo E R; x-.xo x-,x0

c) lim tgx = tgxo, xo '(2n - 1)7t/2, rc É Z. x-. xo

Resenje.

x-xo x-xo a) Iz O 0 postoji S = E tako da je sinx < S = e.

x-xo x+xo b) Iz 0 <'cosx - cosxoI = 2 sin sin < xol, siedi iim coSX = cosxo.

2

lim sinx x-.xr, sinxo 2i_

c) lim tgx = - - tgxo, ako je cosxo 0, tj. za xo # z Tr, n E Z. x-xo lim COsx cosXO

x-xo

4.30. Odrediti sledete granicne vrednosti:

sin ax 2 1 cos2.x3 - 1

a) 0 a,b E "; b) lim c) lim 6 a lim

x-.o sinbx' x-O sin2xsinx sin2x x-o sin 2r

tg(a+x)tg(a-x)-tgza cos(a+2x)-2cos(a+x)+coscr d) um z e) lim

x-.0 X c,0 x-

U d) i e) pretpostavljam.o da je a O.

(! O

lr-

at

l-+

t +

I8-

8-

I lF

( al

Nilf

""

1 l'

,*l u

+

l.'

flr'

rl-r,

irlr

rl-F

+l-

"1r.

,T

11

+li

-f

II al

..rr

:lu

rwll

*ll

r l-

O

;J

gl- r=

<:l

:< -

ll

+ ll

<-

.' -

ll <

-li

il+l

..-lll

-li|l

ll

a:j i'

x) S TI

t=

au

fot=

rl'l

r-l

+l

$ld

{lI

all

t

S

"-ll

\.)Jl

-,

_tl

I I

rl/

-lla

Nl

Xli

g lX

5<

lrL

-'lN

\/-T

I

<!"

1

-L

fll

ll

.. al

l l--

il ;ll

iE

i=

trll

a5

, I

i' ll

sqi

- -_

l_ ll

Lll

k *

,',1

--ll,

--:*

. 1=

tr

irll

<

!E

N

llg

ll >

i r

rl ,l

x I

r<Ilt

l rl

ilyl

.l +

,!l i

\-)lY

T=

< I

!

' ll

+5

rll I

I'll .

f-{ll

- r

T

iStJ

t

il ,!l

bJ

Xl

?l ,l,l I

+ll

pll

!| +l

xl TI

3-l

'Ll i

r+

llN

xllx

-vl ^l <

lr<

) |

NI

I

+ll

ul I

kll

rl ,il +l

.--l ll I

E'B

lr-tr

NE

.l,i

qr

rl

x'A

r-

.NT

ieS

=.

t'.J

, >

.{

^rD

).t

C)<

+

Eyq

l6-

I

rlo

6'

slA

l-

JIF

Sci

- N

X

trT

llI

^ al

^Jt

ir.;

'lT

Ir^

l|<

:<

'lca

:

,lo.

,

-rl

x r

slI

i- -l

Jrl

+E

ri:-

l

9, -

L l<

-(D

.'

l-lO

. :

lrl;

-lil

' l^

l-

s la

lts

lv

l^l

'N

I' . IJ

:" Sqe

qBso 'a.

o

+:

x

r, l

+l

:-l

^l \l +l

s-l

.t .t 'l el +l

-l I >( ll

T= l<

= I*\

l+l

* I'u

ll^

l l3l

Ir l- ll

+ s t +

5 i'J :r o {!k

XlE

]E

*

+E

+E

!:IE /-:-

\ lt.

- 3

il* S

IS N

-l r

l.X r

('i

*la

oo

ir xl

* S

LX

i-.-

l_F

rv

o.

tlE'

::N

lt<N

l r

\

|t ii-

i=N

+H

4aE

:

9lo

Ee1

l i.!

F

-Lt,

ne

rll E

'*

-l 1

"Ji

. f

tl+

e *l

!

)tt ,*t

6T

I pl

N!l

lH

llir-

-l I lr<

. -l

.5i\

+l+

'\l

:{ l

N1l

*l

LN

JI

r

l<t

l

, I

..-=

12rl Fl Y

r5 I I!3 i' \. S Il il ll iil rll lil I ul at

(D N g I ,I t') :-r n P I \o I (! !..)

!..)

o0 N)I

6

lr

8

l( t>

iA

I I

^lt^

)lN +l+

irlr

-+

t+!-

lr-t

*+

t+!-

l\l

-.-

zl-z il

olN

)

!, s (-.) d e)<

ai

r<l

pl rl )t r.>

t+

ll<

II:<

)ll

*1il

I H

N o o o Oc o< o CD o. o + >r o

F b') F

\?\ Sitr

^:;

s.N

.R\$

es+

o\a

^co

<=

\x:

qa =C *,rn

i\

P.:

.i5'

3 s

:)

Da

13;

lo,;Y

iE

ll I

\ S

-{1=

3e',i

'--

l .r

=

q.:>

5J

;

tn

G.

:-ua

:_^

e€.[]

f-'\l

I-h. rl

x'o

f-.+

<"a

i.< \

.\a\

5 n) \r

x=

*.

E:

S\.

N\ s.t

s-$

<x

!N .. ^

ollE

v v

N

*fi

9v.

_Fe

alB

'J=

N

5

* E

.6)

o

r o

!D6l

n"tn

>i-m

_ov

='

i=li=

r

o r<

A5l

i3

I 'd

I

- r l"c

. 3

9, e-

.

rl I

I d:

- 5

ar':

llilo

,llol

h ol=

' N

ll

uiil

r @

6

g.A

'lo

=

H

ll lx

F

D

l><

6 -ll

Q -l

.ln

lo

* la

:blo

\D

@,(

l'i

rk

u .-

l +

r.

-l

I,v

t'F.lv

llo

lll

5 I)

ix

'.-()

-

o A

Lr

l/\a

5!!U

! -_

_-'+

L I

)<

?.

- -

rA

lxa.

--

N

t I

! t*

N

O

. lo

! tn

'+r

i3

n T

tv

e @

i-l

| 9n

1

:1-

iIr,-

-,r

O

!,

N?A

a.-

.Nt,

i (,!o

.pY

*i=

. =

' S

-rs

3C

t,5

i''

\-

bla

-'X

lm

E

'lr'

q;

t-.

at=

R'

i l*

i.

%tv !:

I ri6

qa

,.1^h

:

S

lr :

Q.

s-

lr w

h16'

-:\'

lJ'

N-

a''(t

d-t

l 4

]N C>

6

lE'

:<

1= J5

bl

]Y

t<Ll

Jt!

=l+

-lp l4 _

0t

II t-

tN

. I

l6 ie lr \ t_

,t- lI

:-lr

='

I :

O'

o lo

lA

l-'t

@ l

;

= l!J

. -l

r,-

i-'1,

Its.

lts'

jts jt

s

TF ili

ilfa

a-x

O

o, \UO

^ fl'

lN

)

I

. lE

ô n)

o|\x

il o o 4 a I O lT)




Resenja. U ovom i u nekoliko sledeéih zadataka, koristiéemo granicnu vrednost sinx

lim =1. x-->o x

Olav sinax a si lL_ a

a) lim = lim i

_ xo sinbx o b. ' n t . b,'

. .

2 1 \ 2sinx -2sinxcosx I - COS X b) lin - lim = Ihn 2

(sin 2xsin.x sin-xi .x---0 sin 2xsin`, x -x-m sin2xsinx

I-cos.i. 2sin2(r/2) 4(x/2)2 1 = lim = lim =

2 x--0 sin2rsinx v0 sin2r SUIS

2r 2r x

' ( sinx; \ 2 ` cos 2x3-- I

-

-2sin'-x3 l .i 1 c) 1im = lim = -21im - -

x-11 sin62x x-o .'sin62x .r,o 26 sin 2x 5 32 (2x) d) limtg(a+x)tg(a-x)-tg2a=lim

1 tg'a tg2x tg'

a/ v-0 x2 .r---o X2 \ i - tg- a tg-2 x

tg2 x 4 d cos 2a = lim z (tg a-1)=tg a-1- 4 r0 x COS a

e) Hm cos(a+2x) -2ços(ci+x)+ cos a = lim i¡¡cos a+2x cos a+x r-.0 C: x-ox2(1 ( 2x) ( x))

1

(-2 x, 3xx x

(cos(a+x) -cosa)) = lim , sin(- sin Ca+

- I +2sin(-) sin (a+ -) sin(; c)

2 2/ -2sin(;) (sin (a+'') -sin(a+e)) = -2sin(2)2sin(Z)-cos(a+x) - . = lim - litn - cosa. x-,0 x- ., x+o x2

4.31. Odrediti siedete granicne vrednosti:

tg(5x) sinx a) litn ; b) lim3xctg(3x); c) lim

x-o x .r-,,o x-o sin 7x - sin 9x' 1+sinx-cosx ctg(a+2x)-2ctg(a+x)+ctga ) ló 1+ sin ax - cos ax e) lim x2

U zadacinta pod e) i pod f) pretpostavljanto da je a 0.

Rezultati. a) 5. b) 1. e) - 1/2. d) 1/a. e) (2cosa)/(sin3a).

4.32. Odrediti sledete graniéne vrednosti: sin 47tx ctg x- ctg a tg3 x- 3 tg x a) lira hm a k7ti; c) ]im c-, I sin 57tx' x-,a X - a r-n/3 cos(x+ 6)'

sinx sin(x- 1) d) lim 3x2 (cos( ) - cos( )1; e) Iim - - f) lim +w s ,,-n 7t2 -x2' I 1 -x3

2cos2x+cuax- i cos(x+7t)-cos(3x+n) g) lim , h) Iim x-an/32coS-x-IcOsx+1 !;-n (-x-7t)2

4.1. Definicije graniéne vrednosti funkcije - 113

Resenja.

a) Smenom promenljivih t = x-1, t --; 0, kad x --> 1, dobijamo sin47tx sin(47t(t+ 1)) = sin(47tt) 4

lim = liln lim .,-.1 -i*t si

- n5 t--ó sin(5tt(t+ 1)) r-,o -sin(5nt) 5

ctgx- ctg a sin(a -x) i 1

b) hm - hm . .r--a x- a .x--+a sinxsna x- a Sin2 a

c) lim tg3x-3tgx = lim tgx (tg2 x - tg2 (Tt/ 3))

.x-.n/3 cos (x+7t/6) .1-n/3 COS (x+7t/6)) sin(x - 7c/3) = - lim tgx (tgx+tg(7c/3)) = -24.

cosxcos(t/3) sin (7t/2 - (x +7t/ 6))

d) xfirn 3x2(cos(1/x)- cos (3/x))=`lim 3x2(2sin(1/x)sin(2/x))

= firn 3-2 2sin(1/x) sin(2/x) - 12. 1/x 2/x

e) 1/(27t). f) -1/3. g) -3. h) 4.

4.33. Odrediti sledeEe granitne vrednosti:

a) lim b) lim 2 sin(A/x+ 1-1) x2

x-.o X x-'° -V1 +xsinx- Vcosx' "' cosax- {/cosb.x

c) lim d) lim (sin /x+ 1- sin Vi), s- 0 x2 x--.+.-

gde u c) pr.étpostavljamo da su mn EN i a, b E IR.

Resenja. -

2sin(/x+ i- 1) = - sin ( x+I+I ) a) firn firn 21im - 1.

x-.0 X X-0 x+I+1 (Vx+ 1+ 1)

x2 x2(N/1+xsinx+./cosx) N/l+xsinx+sx b) hm - firn =1im

x 0 1 x+0 1+XS1nX-COSx x 0 I-osx sins +xsinx-/COSx , X

Vcosax- {/cosbx ( Vcosax- 1 cosbx- 1 - 1 /b2 a2 c) lim = lim

I\ l

_. x-0 - X2 x-+0 X2 x2 2 ` n Yn

x+1-f yx+7+Vi d) x-+- lim (sin /x+ 1 - sin V.-x)

= 2xlim (sin 2

cos 2

=xlim 2 sin 2 ( +11+iX)cosvx++x/z ,/x

= 4/3.

d.{-t1ca

!t*.i <

.1cr

i -, "l

is \

rl:'_-_, -i

| ."H

cr _F

l

ll t-x

I

/.- 2l

-lr! O

rirkll"s l.':r.

\'ll6lra

2lloi

,lIol

I

>l

l-ln Lxl

I l+

l -l

r lxl

+l

*l ->

l +

lNrl

': l+

ltrl-.

a [xl

l; l'i \--/

'>l

lo 9.

6Lol

tr+

o>

l =

r o

'---. cr "

GE

1 l

aa l'

e l1.-

ti \'

+

I

t>t

- tL.',

ta t

, |-,

lhl 6

| >

lol r

i--lol

' tN

\t t*

tttrlN

ll a

rl<

lx N

lq E

trT

vt ;^

-lryl':>

i cl

ll

HL



lllL+

al=

"lL rlk l\l?

u l9{-r 1- l:

s E

I

l+

/lt._tt^vl

"' 1<

ll+ ru

I

x lli4

xl%

I

l>

-a

^ =

i ll

JNc tt

ll?!-\

113i

-l l->

: rl

ltS

:l* t'll;

t? L{

I |a

i >

l il\

ct il

|

L .-

t l-

s ;

nl l>

04 (,l

=t

I.>

O6)^*c!!

.-i.IR

I

l-l+[<-s=lxioi1

do

::=

4

lnloo

I

t;1.4lgti

N:<

\oI :

Na

5<.

A''

\Noo9 _8

<

-+o'r

aaHl

N<

.ll

^<

t\t

tN

l--iloL-

o'dl

I

?l 6

<-t -

- tJ,

---t--'dt

-\NN_-E.i

I

H,onlJ

()

^r I'S

rl l6

,l lo

I I Lo

,t\lrlrl..lIrt

o\p\)OO

\J

\UL(t)aat

1t

a i'_

.,Ubol

-lllll rit

oCd

::<_,

-ooJ't l'rl

'

I

t,'ll re

1 ,^

lo- --rE

els !6qi^

::tl=

I trl=

1 ';1? "

Slx-

I I

lB

,lt,

' I

_=t

i.' *,

1*

bof,

" ;lc

9L 5't^

,

-'lo Y

lI

I1-l :tx

-!

i.=

- H

_ EIE

;t- =

.F

<r)tr!

-'=lY

.=

l ll

:=

Llr=

''itG,

r et^

ts __

| 1l.o

H

.ET

trr :!1:-

C

-i o:H

;t l

Y

I' U

lr ll+

o ,1,

ula<

EiE

.1. -r^lE:

Yl!

bbl :rlU

. L

.-'.- O

t -

cE

(J @

lo q>

H

.i .=

l =

iO

v.

O

,^r/.cgE

a

o.votl!Jt:q)

)CJtrsooq)

ooL.l

j

do

:l,l;;'i'lr =

l-xl;

li4-

lo klr

ill (r

Ji

d>

o

t -!

acîH

lrll_i

rlr-

kl'l'[

a l,rtr

)llp^-'l

tltil

pi:I

let +

lllr

>l<

ul

'-i" -lt

-llA

r.l '

a)J'l

a)c' O

lu

rtr ui

=1

.-ts cH

: =

r !l

anl!t(]l

e+

l --

-t .=

',^. rN

t I

Itt- ,

I !,

:)lF

tt

hl.-

Ai

l@

t-l !

Oaooil

\J+

l*-

ll *

tr!l

'J P

1 :

-F

; \'

-J^%3

bo A

a

-- i

S?:-s

:rv!|-ri

:u|--"=

-:--

Ca

! i

- A

''

\ .il

9lt: \.

_-

- @

)q !

{i!

otc o

i -c

ulu \

'I\1,'\ctl'^-r:

!l!-&

:.y

., .J

tF

!'L

^, ql-

O

LI

el ,t'j

<

h a

\ ri i* +

-' : ^

\-;E

l -

. j o

-:.J-t

-.S

l'Ei

-iie\=,v

.N*o..i't,

*:-fr=

+

3ollloI\i1 Eil

-l;l Ft

+6ooItlNoll

I;l!fl'cl

-l-lhljlEil

"i lN+Y

ti lN

c.]lt<ltooIt+BoOl

+aoI

xN+o.O

? lt- * t'l9tuU

IO

trYI

!lil

ilclol

,tb0 rl

- -l

I ilrlrl

r};l!

ltaa.^

ot II

.,'l^ a)

o0l I N

, ol

lt ul.E

1

b0I

!t .

^' t'1"

l^:*lbo!te

bol I

-lk-=lt

alb4l

TI

^t-ttt!t>b{]l

-lrl:leol.=i

oo>O

o

l.b'1

alhH

ui,i

f- tN

oo l=

oe C

l lN

-dcm()

El

.6 =

J I

.Z

lt ll

6:l ^ro^

Y,

A I

z-l :r

i -

t.t -

,j, i

\ "-'=

rî.t-

z)

:j ';l'G

-./l

6cJ

lJz rN

u i6l

==

S

.i l=

-.r.! .=

l-

l! .l

'ts -

"'il ;;r il.,

,',

- -_

'll1 l;l rl

g '

.='i :lrl''.

-.|a

'. ilat?t

'| >

9 il -. ! r-. ri

"ll=l:il-i .! J"

=

Er

a =

E

e? .- t.-t

I '. ':9

't ;'

7t c.I

: -l<l -

1., '=

f-

E --;-i;r-

l; =

==

r

-: i

_ l: -1'

-c -

l=L

ll

g =

- l=

1l,"lil:, _,b

,, l'a

ll l.=

tl-

: I'

N l:

t,. -

1..jtJ

, ,

l-l -.

-1=-

= r

^, i -:-

: -:

i.=

.=

^ t.=

; 'A

-IA \-/

U

iI

>aO-

t(gco

oJ<oo+>()

=ts

:i lct-.1-

?}<

lN

N+

N

€''



114 Glava 4. Granitna vrednost funkcije

Kako je ,/.z+1+`/x cos 2 I< 1, x E R, to je

( lim

(sin Vx+ l - sin ) < lim -.. + 2 sin

Tako dobijamo lim (sin Vx+ 1 - sin )

= O. .

1

2(ß/x +1 +fa)

4.34. Odrediti sledece granitne vrednosti:

tg2x Vcosx- Ycosx :/sinx- AY -17-1.,x a) lim _ b) -lim 2 , c) lim , x-o - f2+cosx' x-.o sin 2x x--</2 cos-x

Rezultati. a) 40. b) - 1/12. c) 1/24.

435. Pokazati da je:

a) lira arcsinx = aresinxo, Ix] < 1; b) lim arccosx = arccosxo, 1xl < 1; -1---0-0 - xxo

c) lim arctgx = arctgxo, x E 1[8; d) lirn arcctgx = arcctgxo, x É R. x +xo x->xo

tt 4.36. Odrediti sledece granitne vrednosti: a) aresin(x+2) lim b) lim -4arctg( ;+x)

x-.-2 x2 +2X x-o) X

Resenja. a) Iz t = aresin(x+2), tj. sint =x+2, gde t 0, kad x -> -2, dobijamo:

aresin(x+2) 1 aresin(x+2) 1 t 1 lErn - lim - -- lim -_ -- x*2 x2+2x x-.-2x x+2 2' sin 2

b) Ako stavimo t = tt - 4arctg(xx+1 ), tj. x = ctg(y) - 1; tada dobijamo

]im 7C-4arctg(t+x) = lim tSin(t)Sin(4) = t - - hm - x-.0 X t-,OCtg(n4t) -1 t-+0 sin (4

- y). t--:o Sin(4)

4.37. Odrediti sledeée granicne vrednosti: a) lim arcsinx x--4o 3x

Rezultati. a) 1/3. b) 2.

b) him arctg(2x) x 0 x

4.1. Definicije granitne vrednosti funkcije 115

4.38. Pokazati da je: a) lim (1 + 1/x)x = e, b) bin (1 +x) `/x = e.

lResenja.

a) U zadacima 3.68 i 3.74 glave 3 je pokazano da vai

l "

1

Elm (1+-)

1 = 1im (1+--I = lim (1+- » -+ n Il--.+°° n +1 J %i_+°O n /

n+1 = e.

Ako óznacimo sa [x] najveéi ceo od x, tada je [x] = n E N, pa kad n tada i

x +0°. Dalje je

1 [xl

1 \ `

[x] 1

\ (x]+I lim I + (- = lim 1 +

¡ I = lim 1 + ¡-¡

= e. ( [x] ) "LJ+ L'Y] + 1 / xy+ [x] )

1 x [.Yi+i

Za x > 0 vazi (1

+ + 1)1x]

< (1+ j1))1

< (1

, pa na osnovu zadatka

4.28 siedi da je lim (1 + 1/x)x = e.

b) Ako x 0+, tada za t = 1/x vazi t +.3, pa iz a) dobijamo

/

flt lim (1 +x)t/x = lim `

1+ = e.

Ako x 0-, tada za s = -11x vazi s -> +C°> i imamo

Lin' (1 +x) i /` = lim 1 -

1)-s = lm I

s 1

lim e. x-0- s s+ (1+s-1) . S -1

Na osnovu teoreme 4.3, sada iz li m x

(1 +x)''/x = rim (1 +x)1/x = e siedi tvrdenje. x

4.39. Pokazati da je: a) Iim ax = axÓ, a > 0, xo E ' ; b) litn lnx =1nxo, xó > 0; x--,x0 x->xo

c) lim (u(x))*l = ay, xo ER. x-,x0

U c), pretpostavljamo da je u(x) > 0, kao i da postoje a > 0 i b tako da vazi:

lim u(x) = a i lion v(x) = b. x-,x0

Resenje. .

a) Neka je a > 1. U zadatku 3.14 b) pokazano je da je lim al/" = 1im a-1/" =1, tako

da, za dato E > 0, postoji no takvo da za a > 1 vai E e

1- ax°

< a-t/"° < al/»° < 1+ ax0

.

Y-

i- ls I l-, $ J\ a s' F: ai F o

r'! .D o o t\ til ttp-

t l+ I .)

*n-

j- !< rn F o (D

tFE

ag

i g

?F, H

li

F

Fq

^=- .=

- d

:€. S

e

e S

F =

S i

:'' i

i' q

J =

:= i;

i=t

F'it

=\ i

E

:i s

='

1-

a.

+

H -B

p

D '

-l ;

&

; t

.lE ;

:= ;

$ €

5i-

IIl",

$ E

,=d

E

l-t S

.lg

-$ E

I

I "'-

Yi;"

; '-

';g

=

i,'

'r'

Jlr

: S

fr

e

* er

i i

i=

:,v

;'

l S

$l::

i'

d i

Y ll

l i,'

; lr

-?=

gs5.

;{;i{

='-

$ ;F

l- il-

.=

;

$ i

E-

r.f

'al ;

;;-

i i

F a

"

LJ. i

i'59

-,1,

x

,, E

!e

:

iil

: n

rr

rr

t; 6-

v

=.lI

l 3

,=A

=

i5

| xi

=

1=

rr,.,

oq

ili

] !=

e

s |

"l-il

I ;!

*l=

j:ix

S -r

l "; l

a ;i ii

rH e

x.,.

n -;

-l--

1 r

o.

+r3

H

-H

.l{l

"i-i=

l =

r :l-

T :t

l € r

" ltl

_ii

rlG

B.

i=

: I=

1.

rr

ii

-=

;'i-

a3

-:

3 ai

_ ;

E

i :

i=

--l

lE r

!_ S

ir

A

i1

6 H

lX

3'

ltlq

sl

-', I

',' E

' 'T

l 5

5 î

;l :-

ls+

E:s

p-H

lr;

E

il*

.rjl

- rl.

irr

;E

fr '1

l;l

Ir

I'l

:91.

&F

, !E

E-.

.n-ir

n=i!i

*!4

l! i-. !o Ir. la l-os

lai

tr.

lO.

lo lo IJ t6 to :rr ti ,J,

iD

N CD 5\ n

7Z'

ai

"rs.

.i.

i Tr'-

l r j_

l -

a_/

.;-l-

l-ll

l?

Ir.

lo-

_r_

^ a+rl!

4.

1\_

-__-

/ i -

t tl

n* , ' \_

-/ ,-!:

+ll

I ?JJ

Uy,

+

.

\. D

?j

T

6

b6s^

rol;=

5-\2

i6tl&

^/X

*-i-

-o-o

"Ill

-ao

6 ,

*,

L'-

!9

I .=

. ;i

rD l

='

,:- I

is

I

s'l

53

; I

ri T

=

lr:ll

ED

=2-

-a

s'

i>

; 5

ia

tL/1

N<

Lr-)

.\/=

T5h

lt l

^t-

e +

1=

' 7;

O

.\i-+

tt,-6

a i

:l -6

:

.ll*

tu-l

:: rF

''=

=

*

- !

:=l=

vro.

i^X

,,Oit

o-'-

G

L.'=

-F

;-

!o

4 an

--o

r<

il -l-

ll G

%

l:

,,,

ll-.

a P

l-A O=

-+ll xIi

oOr VE

I.9

Pn

D.N

J(D

6<C

L4@

-r-

44j

(!

L.-,

F6-

*i.i

!D

o-6'

i

!.-{ mvo

\/ l

v.s

!rq *N

E'9

- 6'

o

T=

I -

^ lF

d:.

;^.

:!x3

\I

d'

.*,

,1 =

' ^

:-a7

q

><

'1 lm

"

ava

:

il -;

,,,7-

-:1

^.:r

5",

+

1 il

o il

isN

.,s --.k

^C:

c E

'.=

'. i'

rng:

- $3

\

" \/

Fr

--

5 P

/\ l

a,

<.o

i Li

l=

rr

fti

l- s.

i3

Lr

it6

sa:

'o:t+

s_

IE i=

=-C =-S

1l-

;-s

l'2i a

+,1

.-

7 til

o N p a 7, le



116 Glava 4. Graniéna vrednost funkcije

Funkcija ax, a> 1 je rastuca na skupu R. Ako pretpostavimo da je Ix-xo < 1/no, tada iz -1/no < x - xo < 1/no, siedi:

1- E-<a-1/"°<ax-xU<!tt/"0<1+ e

.

axa ax0

Odavde imamo - s < ax-x0 -1 < -6 . Za S := 1 i

axo . ax0 no

ax0 I= ax0 ax-x0 - < e.

Za a > 1, sledi lim ax = ax°, za xo E R. x-+xo

-xol <S je

U slucaju kad je 0< a< 1, tj, za a= 1111,b> 1, je lim a` = lim 1= Li = ax0 . x-+x0 x-+x0 UY 10.0

b) Na osnovu nejednako`sti iz zadatka 3.74 b):

n+1 <Inl 1+n !<n i-n1 i<lnl 1-ñ <-ñ, n>1.


Resenje. limu(x)"(x) = lim (1+(u(x)-1))t/(u(x)-1))("(x)-1)v(x) .C-+.C°

= ,11111 exp((u(x)-1)v(x)ln(1+(u(x)-1))1/(1(x)-1))

= exp(lim(u(x)-1)v(x)).


a) lim( 1 +x-x)2/x; x-+o

1+tgx \ 1/sinx d) Iim I I ,

x-+o\1+sinxiii

g) lim (1+ctgx)1gx; x-.n/2

¡ 1 +tgx 1/sin3x

e) limi \ x-+o 1+sinx x2+2 x2-1.

f) lim x-++-

Resenja. Koristiéemo zadatak 4.40.

a) Ako je u(x) = +x-x i v(x) = 2/x, tada je +x-x) = 1 i lim v(x) _ x-+o x-+o+

lim 2/x = Iz formule (4.12) dobijamo x- o+

mozemo pisati i

< ln j i - 1

I < ln I 1 + 1 I < 1. (Logaritan

' " je

t " ' 'r / ` 2

(V1 '

(x+ ' .\

n-1 n \\\ n/ n .

rastuca na (0, + ).) Za dato e > 0 i e < 1/2, postoji no takvo da Takode je i lim (A/1 +x-x)2/x = e-1, pa je lim (V1 +x-x)2/x = e-1

1 1 1 1 x-+o- x->0 -e< <ln(1--1 <]n(1+-/ < -< E. (4.11) 2

no - 1 no no/ np b) Imamo Xlym(cosx)-"g2x

= lim (1 -sin2x)-cos

x/(2sirtz; - Ako je x -xc¡ < x-o

, tada imamo

i < x-xo <

i . Iz relacije (4.11) dobijamo c) Ako oznacimo sa u(x) = 1 +tgx i v(x) =

13 , tada imamo no no xQ no 1+ sinx sin x

/ \ -e<ln I - j j <In 1-i-XxQO <1n(1+ ò l <s.

To znaci da je 1In(1+(x-xo/)/xo)1 < s, tj. Iinx - inxol < E, pod uslovom da je Ix -

xol < S, gde-je S := xo/no. Tako,' za xo > 0, imamo: lim lnx =1nxo.

c) Iz a) i b) dobijamo

lim (u(x))"(x) = lim exp (v(x) lnu(x)) = exp ( --+

Ern v(v(x) Hm inu(x))

= gGlna = a6 a-+a0 xx0 c-+x° .c-,XØ 4.42. Odrediti granicne vrednosti:

4.40. Ako zá j'unkcije u i v vate uslovi lim u(x) = 1 i lim v(x) _ ., pokazati da je tada '

loggx- 1

(-)a) lm b) xlog3 ; c) lim lim x-+4-]n(1+2')

ln(1+3x) /4+x-2-sinx lncos4x "(x; _ \

d) lim e) lim , t7 him iimu(x) exp lim(u(x)-1) v(x) I (4.12) x---ln(1+2x)'. xo ln(l+x) xoln cos 3x' x-+xp x-+x° / ]n(1+4x+x2)+In(1-4x.+x2) 2 ( ako poslednja granicna vrednost postoji. g) Xlm 2x2

, h) lim x In (sin \ 2- x)).

_ tgx - sinx 1

ux 1)v(x) ( ( ) -

1+ sinx sin3 x - tgx(1 -cosx) 1 2sin2 z 1

1-1-sinx sin3x cosx(1+sinx) sin2x

1/sin3z ¡ 2.z

Takti je lim C

1+ tgx 1 = exp I lim

2 sin

1 + sinx J \x-+o cosx( 1 + sinx) sin 2 x

d) 1. e) 1 /e. f) e4. g) e. h) e.

_ \.

r-

Hlxl

Hol

xts?

^'t'hlll

+l

I

5L,INI lî

al!t+l!l

+l+l,E

1

ho

- l:r

r, lat

+ I +

*'r'x

I +

16'

61t'a)a

U

I

n9 -

r

t =

,1.O

t&

" kI

' .=

)610

olrlr

r l:tt

rtxxlx

nlrrl'd

- ,J1:.

oo L. lcal+

-<

L!

oo'E--qBo

'up)

^r-rH

k

l<Y

-r

o C

n

. )!

lln +

l+L

ill r:l-i

oooacl

v':

=oi

=

"\<

1l-()>

Utebo().BqJ

a-;v

s i

:$ 3i E

i3

r e,

*rs E

g

E;" ;

Sr

i tt

; g

=

ii ;

Et

; -i\

: E

( G

S

a

.d; r,

S.g

o c.o

- o

-o ,-,

o.r r"z

5j lr

dcd

r- .=

r E

9 _'i .

,t *E

i ;\

:E

-ii

I I

v &

i -ls

E

-ro ""=

' a

8' '-:--

- E

E

v E

-r\;.."

=

u e

A

; -ir=

; E

i I

-,,='g -.is -t=

o Y.IE

E

i :. =

_o- -S

,l

=

v a

V

l'- ._

.Ei

I

B i

A I

: f tli?E

I;i? 9 =

r eS

I

S

i ^

+ 6r

rs' \

- E

r'

u '.

.li .-i d

i S

lr

5 vl -l-o +

;S

;-

5 :2::-

-.-; \./

- -

1r r--

r v

o '^

-lS

l; f,

=

^ o'

6.8 -

v ll

: rr

-i -*:-

" -V

i c:

f E

E;

: I

a :

: g

- r? Y

e :

?f =

E

. ;i

&

;S ; 1 ; J :

x I -i; y E

::G ig

I € =^ ;

\ii- e

-* q

! -l

=

4 l:

A; *-i i : : ! ; ,_*-. y_: _ii € __-.ir i $ :,

:,, I

.li \- c 'i

----- -l-I ,l

,o,'_o i =

:? f

I ,5; ,!

;; :-

Ei? # :

t=i I

1r=- +

:gf ir S

*

=.s

s ;?

P-l;

Ed

F

i1,F

:i i

-:-l Z

'a

ji =

i=

a 7

:t =

'. e

: =

!

I a

' E

li ;

'BY

6 =

's'

*'3.

e ;

;A e

,.;j .-

s€ e S

E

E€

! =

i '

'P i,

i .o r E

:"" S

]dE

o

s 3 <

E E

i.

F,<

s si t t

.oq

"Es)BCi

)otrrEv

* #,@-t*,

E



118 Glava 4. Granicna vrednost filnkcije

Resenja. log, x- 1 1og5.x -1og5 5 r 1/(x-5)

a) lim -=- = 1im = 1im loQ l x--5 X- 5 .r-+5 X -5 x5 a5 5/ x -5\ (5/(x-5)) its

= lim log5 exp In (1

+ 5 ) )= 5 logs e

S 1n5

V lim xlog3 x+5 = 1. lim in

2 = 2 x+ x,+3 in 3 x+ 1+ x+3 1n3.

1

, . x1n3+1n (1+ 1) lim In(1 +3") = Em /\

3 1n3 +- In(1+2x) +-

x1n2+ln! 1+2)

In2

ln(1+3x) ln(1+3') _ 2' ln(1+3-')3' _ lim - lim - lim - 0. -"---1n(1+2x) r-1+1n(1-I-2-') t-»+:w3t ln(1+2-¡)2`

- ,V4-1-x-2-sinx /4+x-2-sinx ) lim =1im( - (ln(1+x)1/x)-t x-0 111(1 + x) x-.o \ x ¡

/4+x-2 sinx -1 3 = (lim

lim lim (1n(1+x)1x1 -_ __

.T.--.0 x x-00 x) x-,o 1 4

ln ürn

cos 4x

x-olncos3x = Ern -

x- :o sin23x ln(1 - sin2 3x)- V sin ?.3x 9

sin24r. ln(1 - sin24x)-1/sin24x 16

hi(1+4x+x2)+in(1.-.4x-+.2) __ 2

11 á 2x2 lóln(1 - J4x +x4)1/(2'2)

r (x2 14)/2 = lim

I 1n(1- 14x2+x4)1/(X2(x2 -14)))

_ -7 x-4o \

¡ h) lim x21n (sin t

- ) )

= lim In (1

- sin2 ) x 2

= - 2 2 x G x-.+ 2

4.43. Odrediti granicne vrednosti, ako je b E R: eC - J

a) Ern x-+0 X

(1+x)b-1 ; e) lim

1-cosbx b) lim '

-0 X x-.o x2 d)

ex` - (cosx)20 lim x 0 x2

Resenja.

a) Smenom promenljivih t = ex -1, tj. x= ln(t + 1), gde t --> 0 kad x 0, dobijamo ex - P t l

limx"_,o -1fm =1im 1n(t+1))1/tÌ = 1. x t-.oln(t+1 r-,o /

4.1. Definicije granicné vrednosti funkcije 119

(1 +x)`' -1 e°ln(I+x) - 1 b1r.(1 +x) b) Za b = 0 je trivijalno. Za b # 0, vai x

= bin(1+x) x

Na

ebin(l+x)-1 bin(1+x) = (1+x)b-1 osnovu lim - = 1 i lim - b, dobijamo lim = = b. i-4:1 bin(1+x1 x-0 x xyo x

c) Za b = 0 granicna vrednost je nula. Za b ; 0, kao u b), mozemo pisati 1 - cosb x

1imxo 2 x

d) Iz a) i c) imamo

1- ebin(cosx) b.ln(cosx) 1. b =lim lim- -rb _-. x-so bin(cosx) x-.o x2

eY2 - (cosx)2`` ex2 - 1 1 -

(cosx)2``

xi-imo . + lim = 1 + /3. .r-0 x2 x--0 XZ x-41 x2

4.44. Odrediti sledeée graniËne vredrtosti za a > 0:

a) -A

lim , x a x-n

- aa b) hm

z--a X-a

Resenja. a) Pomocu zadatka 4.43 b), dobijamo

a"z x ax-a 1 lim = a" lim Em ..-,a x-a x-'a x-a x-'a

aa, - CT n

e) lim --- x--+a aA. - xa

x-a) a

a -1

' 1 =aaJna -aaa--1 =as1n(aIe). x-a a

Xx - as x - Xa Xa - aa b) Iz jednakosti - + , i lim (x - a) lnx = 0, siedi x-a x-a x-a x-`n

ealnx (e(x-a)lnx

- 1) lim

x"-xa = lim lnx = aa ln a. x->a x- a x-.a (x- a) inx

t a-1 (( 1 + x-aa i \a -

) - Iz zadatka 4.43 b), imamo Jim a a a

= Jim 1

na, talco da je x-a x - a x-ra

xX-aa lim x-a x-a

a

= aa(ln a+ 1) = aaln(ae).

aar_axa aa" -1 a'-1 C) lim = 1im lim a=

Limo --aa = aa

n ln a.

x-'a ax -xa x-'a ax -xa x-+a r-0 t

tE l- i*

Ef

At

irsvv

.Dq<

lo

oo

'14

!=ut

I

<lx

oa

l-

rlr rlr

o ll

olu

x "

,, ,d

l=

" ,/-

=\

&3

ut

ldt

T

xl:<

J:i'

I I

I I

tj l)i

ul

=o=

,_

l I

lrHp

lu

lq luru

, ll

xl

i r!

1*l

r':

14 -a

ol

Yo

'--/

; r

. \-

_-a

^ll

ut\

ll v

: ll'

.J

urB

\

wt

ocu

G ilu) -t ul

{a

^l^ r

llrlr N)I

Ual

i

!/tv

il

T5i

l''

r='

/--

AF

F.

r.)l

ii I

lr-.

:' i._

- i:

f

ileN

)l '-

!\_ I r.

X

lp 6i{ =

l rS a- E. N-.

x l:i

-* I

L,,4 ll-

v I tg

-

-ll"

lt'l

-.J

a lD s !l .)<

cd o- 2r o o

il

Nla

J t-

.

:li rla rl NIU

vl-/

ll T-

+t E-

-l- +lr- rrlu rlr

-il-_

)lt i- 6 alN =i=

^l^ + i+

Nlu rl-

rvt

-

lt

t=' i<

.-lrl

:-l

kl-lr *lr

o5l

l

la ll< il la lal

t,t tl.lt 'ls

r li lF. l! ^ + >

< T

) tr

3t3

aL6

lr:uJ

l.E

l5x

tx

o,ill

<ls

lI

i' lrl

5r:

x lil

b lb

I

NI

N

Ii.J

uls

,

x t\<

|

. k-

. -t

. -

t@,

l, r<

l!rI

lr lx

r' lH

Nl

N,..

lr

l=i'l

iI

lEv,

.v rl -t-

\l \

i3bl

b

5l=

'xt

4

ll*.^

ls

Ivl

o\ .)II I

Alo

5 + A x + l< + I A )< *, I N

m t-'

Ri I i ilil I 5 x + >(

I=

NA

q,/

iD

(r}

=(A

0<ci

t-=

!).O

i 6E

' $

I l+

{

-ll

'o

-1."

oa

I t

-tt

r-

o I'

trr

tr

.j.

,-.

S,|=

(D

A.

rH.

3 i'

5=&

iA

i 5G

+J-

-

TF

$-l

il 05

o

,, l._

q

6 lts

\

ll !

l, 5'

--

I lr

S

-ls!

- lr

\'

:)< r',rn

Il o:

H

='

rop

l'lF

ttll

" )<

l;E

*l

g lso

l.-

I

9 h !- O

J)r

tq

I l'1

"J

I, ll.9

t^

^ llo

s bt

oO

lb

u t< iv

Fo

l<ita

t5

.^

ef;

F

e e

g3E

!e

o

S

=

hr B

hr

ls

iE.

3 c

i ;3

;

i:_E

' ii

* s

i'X"i

r lV

I rt

ts F

\"la

Eti;

l*

F r.

rt $

a li

E,E

li =

, lH

'5

l}6

1=

il pc

-l r

E'

lis

i .r

1=

S

+i

a t

15ur

E

S "

;^ S

s E

:l t

F

l!,I

B;

l.-=

lf 3-

,i: N

ll

t iF

I *l

aEli*

r l

3

E i

l,S

l5"g

ltai=

s,

lA6

rlr.

E

lS

l'tr-

To:

li

r ,r

, i=

t.lA

f'

lt3

; I?

^ lE

-[ lg

l?

l*,

;7r-

"lll

gg;*

ir* l

{l{

tr:e

g I

'r -=

iin

,;-E

i l

l i

I

la

rl' X

'*"

=l J

I

1"19

Nrs

- ii

iT +

I :

I

l: ;

6'?^

51 I

I

l:;

E l;

i;

I

ri E

"l+ iE

I

+

li'l?

I

6rr.

l5l

z i=

I

I

I t,--- tr I i*

l"lt

I l$

IV Is Ir IB

a I J ix*1

,I lsl

N o a- o xl]"

rlr

il

xl! lll s lt< ls + tli

xJb

llr "1"

:< 1 i< il (D

\ I >r

a I

I

xlk lll s tl< l5 il

N N o tt I s (}) rlr li ls l5

J x i

t='

nl\

It xls l5 il

^la

-i- L

4

'tt I I

:{

k!L,

I

IH

at

I sp

l- r!

: xl

!ttl

{E

" lq

-\l rr

S

il 5

!il

-r"t

l Iil als^

^ll

=N

^ !J:-

s

ir I- t^ i=-r

l+"i{

l.rT

llb I\J la ll t- lv il n o p-

>! I s :i l 5 H

l

lr I I s tl

rr ll



120 Giava 4. Graniéna vrednost funkcije

4.45. Odrediti granicne vrednosti: x+ fxI x+ IxI

a) lim lim x-,0- 2X

' x->0+ 2x

) c lim ectgx eÓ1éx; ' x-,lim 0+

e) lim arctg 1

, lim arctg 1

e 1- 1-x x-41+ 1-x'

b) him aresin(x+I), lim aresin(x+t);

d) lim 1

lim 1

x 2-x`+e(2-x)' x--2+x2+e17(2-x) '

1

0xhm 1+e,x' xlió+l+etx' g) xhm (1+1/Ix1)x, xli (1+1/IxI')x; h) lim (62+5x--Vx2+2x+1); lim (ti/x2+5x-ÿx2+2x +1) .

C , x- } Rezultati. a) 0; 1. b) TE/2; Nemoguée. c) 0; +.o. d) 0; 1/4.

e) TC /2; -it/2. Í) 1; 0. g) e-1; e. h) -3/2; 3/2.

shx '

chx -1 thx 4.46. Odrediti granicne vrednosti: a) lim b) lim ; e) lim -. x-,0- X x- o- x2 x-.o- 2x

Resenja. Podsetimo se da je shx = `x - e' 2

shx ex - e' x e2x - 1

a) lim -= lim = 1im e = 1, x-,0 x x0 2x x=o 2x

b) lim chx -1 = lim

2 sh2 (x/2) = lim 1

( sh(x/2)

)

2

= 1

x o x2 x--.0 x2 2 x-o x/2 2

thx 1 shx l 1 c) lim - = lim

x--,o 2x x-i0 2 x chx 2

c x

chx=+e i shx-zc -e -x thx =

2 chx ex+e-x

4.47. Pokazati da za a> 1 i k > 0 vati:

Resenja.

xk log, x k a) him -= 0; b) inn = 0.

-,}

nk (n+ 1)k a) Iz zadatka 3.26, imamo: lim = 0, pa je lim = 0. To znaci da postoji 11-... a" n-,- an (n +1)k

-

no E N takvo da za dato e > 0, vazi a t

< e, za svako n > no. Ako oznacimo xk (n+l)k n=[x], tada imamo n < x< n+ 1, i 0< ax

< a"

< e, za n> no.

b) Neka je t = xk, t kad x -- +00, dobijamo

log, 1 log,t li xk

= k

li m t .

Iz zadatka 3.26 siedi lim log,n - 0, pa je lin log, (n_+ 1) .= 0 sto znaci da x+w n x-+ a2

za dato e > 0, postoji no E N, takvo da za n > no vazi 0 < i°g,(n+1) < e. Za

[

4.1. Definicije granicne vrednosti funkcije -

- 121

t > no +-1 i r7 = [t] (tada je n > no ), mozemo pisati

0 < log at < log(n + 1) < t.

t rt logax lint"

xk

4.48. Pokazati da je lim (x sin (1/x)) = O. -

x-+0

Regenje. Imamo, Ix sin(1/x) - OI = sin( 1/x)1 < IxI, x O. Odavde sledi da, za dato

e > 0, postoji 8 := e, takvo da vai implikacija 0 < 14 < 5 Ix sin(1 /x) j < e.

Napomena. Moie se pokazati i jednakost lim (xa sin(14)) = 0, a > O. x=o+

4.49. Odrediti sledeée granicne vrednsti:

a) lim ((x + 3)1n(x + 3) - 2(x + 2)1n(x + 2) + (x+ 1)In(x + 1));

ln bx b) lim ln(xlnb)ln , b > 1.

x o+ ln(x/b)

Resenja.

a) lim ((x+3)In(x+3)-2(x+2)1n(x+2)+(x+1)In(x+1))

(x+3)x+3(X+ 1)x+l (x+3)-T+2 (x+3) \

= lim in = lim In x+" x-++ (x+2)2(x+2) x+ e+2 x+1

(x+1) GK+2)

C

In(bx)

Inbx-In(x/b)) b) lim ln(xlnb) ln = lim In(xlnb) In 1+

x-+o+ ln(x/b) x--,o+ ln(x/b)

= ln(xlnb)lnb2 In b2 hi(x/b)/1nb2

xh+ó+ ln(x/b) In

(1+ = In b2.

4.50. Ako funkcija f : A ->1 R ima graniénu vrednost u tacki xo E A, tada postoji okolina U(x0) tacke xo, sa asobinom da je f ogranicena na U(xo) f1A.

Regenje. Iz lim f(x0) = L siedi da za e := 1/2 postoji 8 > 0 takvo da za sve x-4xo,xEA

x E A vazi implikacija (0 < Ix-xo I

< 8) ( I f (x) -LI < e =1 /2) . Drugim recima, za sve x0 iz preseka (x0

- 6,x0 + 8 ) n A vazi -1/2 < f (x) - L < 1/2, `sto

daje I f (x)1 < L+ 1/2. Kako je po pretpostavci f definisana u xo, to je na preseku 8-okoline tacke xo i skupa A zadovoljeno (x)1 < max{ L+ 1 /2,1 f (x0) 1 }.

4.51. Neka je funk:cija f- rastuéa na svom domenu A, i neka su brojevi 11 := infA i a := supA tacke nagomilavanja skupa A. Pokazati da him f(x) (resp. firn f(x)) postoji ako i sarno aka je f ograniéena odozdo (resp. odozgo) na A.

i,i

g'tr"oNo3'H

'Ej

I d

N

F.i

vlk

I '9

dlt, ;a -? 6

E, ;l

:' P

<

tr

*1".!N

/\u\-/l

E;,o€rdl

-* r

s

-=/\

6 o

x '.

+l

ttli

o o

rl: o

* .1

v ^-xl ,..

;r =

l i

o .*

;;Y

'i:-

- =

l -*l

jir i

ti r'-

d ti

"1"1 ,_ ^g

{ . s

* :1" ^ _Ai

Ei

S\lc

. :l

.1 E

i ,: -,, F

r8-

' /\

.rl -

:='

-r !

-i o.: :-l

*klt €

cr'--i_.-q-t+

E_N

cs F

+

l\ v

v ,

o-

5r ?

xt e

o..o

. .

dtlf. a,

'S

ll 'N

1

o'l =

{

: *-.:

>

+

! 8

m=

,r*)-:s'E

io'l ;

A

.Il n

V

c': i

-! ,,

'-l "

. -Y

E

T

v-

(r) '

- =

l =

: E

€ Y +

=

-,1r!to:

q;t'a*=

'-Nr-

/

s \:

=^\

i i

vd+

a?illcl\';E

-EE

*Ecrr

N-j-.0eJ,^

s-:.d...jN:

x.9lN\rl

ql'f-! S

=2

s S

i'?U*GE

\s

U.ro

L.l

\+U

* la.lillxlo

k*i^.Er

lt

E l.i

Oc..l



122 Giava 4. Granie'na vrednost funkcije

Resenje. Teorema 4.50 kale da iz postojanja lim f(x) (resp. lim f(x)) siedi

ogranièenost odozgo (resp. odozdo) funkcije f. Ako je funkcija f ogranièena odozgo na A, tada iz teoreme o supremumu (R16'), zadatak 1.32, siedi da postoji M E R takav da je M = sup{ f (x) i

x E Al. To znaèi

da za svako E> 0 postoji c E A takvo da vazi M -- E< f (c) < M. Kako je funkcija

f rastuéa, to za sve x E A, za koje je c < x < 6(= supA), vazi M - E < f (c) <

f (x) < M, tj. M -E < f (x) < M, sto znaèi da je M = lim f (x). Analogno x- 6-,xEA se pokazuje da ako je f ogranièena odozdo, tada postoji i granièna vrednost f u

taèki rl = infA.

4.52. Ako je firnkcija f : A > R monotona i ogranicena na A, da li onda postoji lim f(x), xxo ako je infA < xo < sttpA? (L'porediti za zadatkom 4.51!)

3

Resenje. Ne postoji uvek. Na primer, funkcija f(x) = { x3 +'3 jeste

rastuca na [-1,1], ali nema graniènu vrednost u taèki O.

4.2 Asimptote grafika funkcija

-1 <x<0; 0<x<1,

4.53. Definicija. Prava x = xo je vertikalna asimptota grafika fimkcije f : A ->R ako

je bar jedna od granicnih vrednosti lim f(x) i lim f (x) jednaka +.0 ili x-,xa+

4.54. Definicija. Prava y = n je horizontalna asimptota kad x -> +x" (resp. kad x ->

-00) grafika fünkcijé f : A -R ako vati

xhm f (x) = n (resp. xlim f (x) =

n) .

4.55. Definicija. Prava y = kx + n, k 0, je kosa asimptota kad x --> +0. (resp. kad

x -> grafika filnkcije f : A -> R ako vati

slim (f(x)- (kx +n)) =0 (resp. xlim (f(x)- (lkx +n)) =0).

Brojevi k i n se mogu odrediti iz sledeéih formula:

k = lim f(x) (resp. k = lim

f (x)) I

n = ( f (x) - kx) (resp.

n = 1im ( f (x) - kx)) ,

ako graniène vrednosti u (4.13) postoje kad x --> +x" (resp. kad x

(4.13)

4.2. Asimptote grafika funkcija 123

4.2.1 Zadaci

4.56. Odrediti asimptote grafika sledecih funkeija:

a) .f (x) = x

-x2' b) .f(x) =1n

1 -x 1 +x; c) f(x) _

1+x2 3x

d) f(x) +l - x-1; e) f(x)=f+ -x; F) f(x)=aresine--x

Resenja. a) Funkcija f je definisana na intervalu (-3, 3). Iz 1im / = , lim

x--3+V9-x2 -X2 sledi da grafik funkcije f ima dve vertikalne asimptote: x = 3 i x = -3.

b) Funkcija f je definisana na intervalu (-1,1). Iz lim In 1 -X = +00, lim In

1- x - x-,-1+ 1+X x-d- 1 +X -, siedi da grafik funkcije f ima dve vertikalne asimptote: x= 1 ix = -1.

c) Grafik funkcije f ima horizontalnu asimptotu y = 0 kad x --> +co i x -- - jer je 3x

iim = 0 i lim 3x

O. 1 +x2 +x'-

d) Funkcija f je definisana na intervalu [1,+co.). Grafik funkcije f nema vertikalnu

asimptotu. Medutim, grafik f ima horizontainu asimptotu,y = 0 kad x - +, jer je x-.+ lim (fz+l- x-1)=0.

e) Funkcija f je definisana na intervalu [0, 41. Njen grafik nema asimptota.

f) Funkcija f je definisana na intervalu [0, +.0). Nema vertikalnih asimptota, jer je, na primer, lim aresine-x = . Kako je lim aresiné x = 0, siedi da grafik funkcije

x

x-p0+ . 2 x-leco

f ima horizontainu asimptotu y = 0 kad x -> +00.

IN 4.57. Odrediti asimptote grafika sledeéih funkcija:

a) .f (x) = 2

1 -x2' '

x b) f (x) = x + t ; f) .f(x) _

x -3 ' X` +i

d) f(x) = Jx2 + 1; e) f(x) = In(1 + ex); c) f(x) = arctgx;

Resenja.

a) Prirodni domen funkcije f je skup R \ { ] , -1). Njen grafik ima vertikalne asimp-

tote x= 1 i x--1 jer je lim 2 = i lim

252 - +. (Primetimç da je x-,t+1-x2 x -

fim 2 - +00 i fi

2 = -.) Grafik funkcije ima horizontalnu asimp- x-.1= 1 -x2 ..-4-1- 1-x2. .

.

9 totu y = 0 kad x -4 +x" i kad x--, jer je firn 2-- 0 i lim - O. x--. 1 -x2 -x2

b) Grafik funkcije f ima vertikalnu asimptotu x = 0 i kosu asimptotu y = x kad x -->

+.0 i kad x - -, jer je k = lim x ± 1 / x = 1 i n = lim ((x+ 1/x) -x) = 0. x->f-

I'

N)

NJ a s o (.Jr

lAr

l+ r{ tft l6 lo t- 5 lx'

to l,!' cD

fi F

fi

d, p

H

E. €

l5

*SS

Es;

tista

iEt[f

Ei

E

i?=

9€;

i€

,EE

'f ;i

=iiE

S!:r

*?,:!

ia'

;ii

gi

i!isE

rE

i:,*[

:3;r

gig

$ ; i

l fi =

5:

g: g

: E ;;

i I

-t i;;

F.:F

;2

r==

rr :

= €

-t t

= -i

11 3

t\ €L

ei;E

g'E

;at

i: -

l: =

;i

3 n€

, +

E f

e_ =

:- 3

i,

l?i=

li =

E r

i- +

x ;i

I s

H if

i

i'F: i

i si

!a;;i

;s-

=-i

H G

- rf

-i

i.9 ]

=t

* :=

i€

i

?l;;*

iie71

- +

E

S

\ d

r,d

--rc

o

g-T

:-i

s:;;q

i-i*

:'q r

i,f

l.= E

i: -

: A

5'$i

il;

lE;q

"=l_

i=*;

\ r

,B

Z.t=

E

rlS

;

a Ii

=t'

''' i=

[;I-

=

E']

si=

r 8^

Ii E

l;lii;

A !

I $

I $

iB

=;'"

:il

€,rE

uig

;'

? S

-=

- I

;B

1.'

' qi

=:l}

3 g

I g

i ]

r ]N

_

+

gi=

E,s

:r

r5

r --

:

I I

*i'

ir E

$"

><

f ;,E

:=i

L T

i

+i

!t ":

i;*

giE

;3

'=

F

s i!

'-;

u= ;

l=

?Ta

=s $

$ j

'$

B

9 :E

;€'8

,9 E

s N h r:l

('r,

U\r x .* ,r o N)

I

e er

fi $

=e

e e

s er

F

F+

n

A

1_

=

-r

7d'

- \

=

Ti

? A

'p

n -.

_- O

I

Tj

+

,a h

(\

5

T ;'

=

r=

? -'=

e,

E,

^v

_: l,

= E

. "';

.c'!=

. =

z

i' 8

='E

. 3

E

5 [r

x'zf

;

*l

r

B.=

- oi

l--=

qq

=: ss

{.p"

aFi;i

rjEE

IE

":

?=

Nir

F",

i f ?

IJ s

si=

*iil;

"' E

Fi' F

i ;s

] s

Fji

T: ,

'i Il-

,|-E

5';$

$I+

$.=

:$$+

$ ;l.

ll'E

n

;= I

;a ;

:' S

g;E

5iE

si=

iiHi3

n'g

.:. 1

i

l=

J.

li ur

?-:n

esB

Eili

I$;l-

3glg

3 1i

I,,-

,= 3

;.i-;

i[ :=

t€-i.

i=t-

:; =

*,-i\

F

Rli=

i."

r ;t

.E 5

5i

ir33

ig:l+

a=i

g$ii;

ii*,

1, 'E

ii$

r;=

:; ii

Xii-

i+ E

-;i

riY

" --

:<

t-

^-

p .-

-

--

N -

a

z z

u)

I ll

+:g

E

o 8

i- d"

€,

il=tl'

3;

E

3_3s

i:_

;_*

:i 6

*.-=

j

. ;'x

ttz

lg

i d;

E;

j.,i.

: :'

1-

n- a

* o

a 7.

a

- =

.-

3t

E-,

,.-o

i=

i:i'

7 6

- .u

E d

qo

P !

' ll

3l=

3.

=t-

: i..

-z

'"6

es

[=i]

E1

L'a'

3 -@

-=

jliia

,i-g-

l-,i

ii i;T

E=

[.a'

;ei

i:'-=

; 'r-

i 3.

f-i

sj

J -:

c>

:

-a

i: =

-r-

?\t':

TI

xE*,

, $ 1

.i,..

fgE

;g

ll'1,

'[illx

3e<

€ o;

*i

Eiii

o.

=b

ilo +

i-+-i"

i ii'

EE

. $

L:

f {it

-n;

F:

-_8

uJi

,,

...

t= 5

ry3

. G

EE

Bq

T;,:

;.,-o

!'-

r;,

i ;=

3 H

S

Bg

F

f ;

+ ,

L=' r

i i=

S ll

r;1

-1,

"7iil

-?

r.

5 ;_

;Ji

^;':'

'B

- *i

'"il

i a

=t

+a

--

-,'_

r-->

-li":

+*€

g;

{?;

ilifll

.



124 Glava 4. Graniéna vrednost fmlkcije 4.3. Asimptotsko ponasanje funkcija 125

c) Grafik funkcije f ima vertikainu asimptotu x = 3 i kosu asimptotu y = x + 3 kad x +00 i kad x -+

d) Grafik funkcije f ima dve kose asimptote, naime y = -x kad x -00 i y = x kad

e) Grafik funkcije f ima horizontalnu asimptotu y = 0 kad x -; -, jer je lim ln(1 + x--,- ex) = O. Primetimo da je lim in(1 + ex) = +00, pa funkcija nema horizon-

x-,+- talnu asimptotu kád x -> +00. Ona ima kosu asimptotu y = x kad x -> +°°, jer je hmln(1+ec)/x= 1 i

lti+ (1n(1+ ex) -x)=0: f) Grafik funkcije f ima cive horizontalne asimptote, naime y = -7t/2 kad x -00 i

y = Tt/2 kad x: -> +00.

4.58. Odrediti asimptote grafzka sledeéih fi2kcija: a) f(x) = x4e'; b) f(x) = e-x4; c) f(x) = e11x;

d) .f(x) = e-11x2; e) .f(x) = e11x2; f) f(x) = xe-11x

Regenja. Grafik funkcije f ima

a) horizontalnu asimptotu y = 0 kad x -> -00;

b) horizontalnu asimptotu y = 0 kad x --+ +00, i takode kad x --> -00;

c) vertikalnu asimptotu x = 0, jer je hm e-11x = +00 (ali je lint e-tlx = 0!,) i hori- x- 0+ x-o- zontalnu asimptotu y = 1 kad x -j -00 i kad x --> +00;

d) horizontalnu asimptotu y = 1 kad x - > -00 i x +00, jer je hm e- I /x2 = 1 i -ect

lim e-1/x2 = 1, ali nema vertikalnu asimptotu, jer je lim e-1/x2 = 0; x-,of e) vertikalnu asimptotu x = 0 i horiíontalnu asimptotu y = 1 kad x --> -00 i kad x ->

+00;

f) vertikalnu asimptotu x =0 i kosu asimptotu y = x - 1 kad x -> -00 i kad x -> +00.

4.3 Asimptotsko ponaganje funkcija

Pretpostavimo da domeni funkcije f i g sadrze skup (a,xo) U (xo, b).

4.59. Definicija. Funkcija f se ponaga kao funkcijá g, kad x tai x0, ako postoji funkcija ¢ takva da je

f (x) = cp(x) g(x), x E (a, b); x xp, i liln 0(x) = 1. x- xo

Tada pigemo f(x) g(x), kad x -> x0. Dovoljan uslov (ali ne i potreban! - zadatak 4.63) za asimptotsko ponaganje f (x) g(x), kad x --j x0, jeste jednakost lim f (x) -

1 xxo g(x)

-

4.60. Definicija. Katiemo da je funkcija f "malo o" funkcije g kad x tai xo ako postoji funkcija takva da je

f (x) = 0(x) g(x), x E (a, b), x xo, i lini (I)(x) = 0.

Tada pigemo f = o(g), kad x xo. Ako g(x) # 0, za svako x xo, tada je potreban i dovoljan uslov za asimptotsku relaciju f(x) = o(g(x)), kad x --> xo, jednakost lim f ) = O. Posebno, ako je g(x) = 1, tada f (x) = o(1), kad x xo, znaci da f xxo g xx ) tezi nuli kad x

4.61. Definicija. Funkcija f je "velikoo". funkcije g, kad x tezi x0, ako postoji konstanta K > 0 takva da je

If(x)I < K Ig(x)I, x E(a,b), x#xo. Tada pisemo f (x) = O(g(x)), kad x -> xo. Posebno, ako je g(x) -1, x E (a, b), tada f (x) = 0(1), kad x x0, znaci da je, za neko S > 0, f ogranicena na (x0 - S,xo + S)\{xo}.

Asimptotska ponaganja se mogu definisati i u slucajevima kad x -> x0+, x- xo-, x --> +00; odnosno x -> naravno uz odgovarajuéi uslov o definicionom skupu funkcije.

43.1 Zadaci

4.62. Pokazati sledeíe asimptotske relacije: a) ex - 1 sin(2x)/2, x -> 0; b) shx x, x - 0;

c} (x+1)xe 1' x - +00; d)

Regenja.

ln(1+3x),., 1n(1+ 2x), x-- +0s. 1112.

a) Iz lim ex -1 = 1/2, po definiciji 4.59 sledi e` - 1 sin(2x)/2, x -> O. x-o sin(2x)

.f() ^g(), J f()= sinx xEQ; 4.63. Pokazati da vazi x g(x), 0 ako 'e x 0

'

r ER\Q x, x E Q;

g(x) _( 0 x E 118 \ gde sa Q oznacavamo skup racionalniiT brojeva.

s)UBI*Yo\JBN-o!*(rI

t+

Ei

cr S

' E

o L+

u='r5kv

;€ ;6

a 6.,i

i7o-.4

E

c -'

| *

!ii:

* ;5

;E::ii

Y-

Îl4(dl,=€-i.

;S

t1B

J.EU

=J

oF^6:2>

knL:i^

=

.. o

oO

cd=

=56

-s );f.

EE

::, il

6 -- t,..'

c"QN

o ? q,

6' dY

.il3

^ll -L'i:

{l ^'v4>

rNP

.3=,.'6o-h)

-- !

=

." o !

- do

/<\a.r<

e<C

)-E-

EeQ

i-:i -

:^ -:

): i E

"r

-!9 ilt

- k

t''l 'E

,<

* :

9 x

I g E

eo

i ;--

P

a2,

=V

_o)'.r9-O:g:

14 or

j :

illa doE

Lf, I

..9 vl -{E

gi

:* +

':i.:'=

;=

tq'E

-

'"^ q>

E

: =

t :

I i

x!=

9 r!E

\:rd

;"G

;i i ,:'-E

ol

3t*s

V s

*E

I '. ,gI

ii : !-

i (;

.48 7,4

.-9 :

- -

A

<-v

E-6

?-.'a

j -j

r, 2'-:-

.E

{tt

9E

-

' ii

j d

E.=

i,

a s

U

=^r^!

.a ji

4,A

i N

,ae*l*= :T

E

,i rl ? '" i h

€i'a:r;I €-E

Eq21''*

;#.:

a.P

a-V

#<.44+

E

v'j9r+

CH>N6)k--

V^

MY-9

L1va

:AO

-IN

\^,'5., U

\.-,,9 M

! >

-;-:

=i:

vU

îlS

av.;

x

H?

,-x

t

-o (.)

''=+=

cO

pio*A-o.(h^NEm

Q ro -r^

. rt,.\

\ vlv

l3;\l oa

.ilF

! 4i

o:l

r<ooo.

.qoo.

c.).+

rio-:z

'd

ZaE6o(.)

-l6-a69&9

2

o(=

E

*b t

a :

I s

,gr:r:6'-;

I E

Fa

i -c

it I

+

{I

I !:! :

1- I

s g I

SI f :,E

l E

", 1,"{E

t -;

E 1 qeE

t 8"i E

i* i i

s i :

-o. -

o^'O <

,

-t -1

- i

^5 t

iE

E

iEr

, 1E

j 3'oE

r ;

€ =

,=

:

1' : =

-

.. S

,, ., .q

E=

.-- :

c

a i ;d"E

Z

ti *;

8-=il E

3 !

:':

_ i8"i =

ii

i: i;3Z

I

.s e. E

'i E ri::E

Q

e €i;i;F

I gl ! I

4 =

_'_

a; ?

.: :

_ "

iz Z

E-:iâ

:g qqiE

'-r2 g E

E *

:lo

.? E

'- i"

; t

'^: ,Ir;

i 'i

E

E

.g oo S

:

=.=

!i

e e E

i6;E i;;

;{*'l s€ F

f ,E

E *

YE

6,

=

';t=

z

i -r;fg.!

t;; -U

j r'\-

=

H

S

i: 9

'*g

o IE

:h *5,1

oo.9'o- U

: j

5 E

E

;

E t s*l-'!

s::€ll?*rEi;

3E r

1;

el; E:;;;u

E=

',$EE

ItE ? i

, f

E ;

€,X

r- ':;!::l

t,i'&

?f E:_il=

"E E

€:

!=*rx.gl

;E:-,.,'i

x-v-: .i'e'4iZ

-2 -j

=

? a:

=

j'6lE

'i ,1E E

;'i* l*"'," I::;

T;

| .E ;

.E I

.'iy Yl:z

a c-==

*1 =

lI E

EE

I*=:

: =

'4

,?.oEn=

'=-^.r^,<

.

e;qir;;=: E

H E

::;EE

iE! iuE

..E ca 'E

E<

=".=

1s-E,.E

t :e.E

fE:gQ

_egiEit

S i

E:

L, t v

" U

\

ij..-. r

-.'a a

6 ;

fi P

aae e'

6 c

f,

U*EL,ciGLrH\u

E.+N



126 Gláva 4. Graniéna vrednost funkcije

Re`senje. Neka je w(x) = sinx/x, x O. Tada vazi f(x) = iV(x)g(x), x , i lim Ur(x) = 1, pa po definiciji 4.59 to znaci da f (x) , g(x), kad x -> O. z-o

Napomena. U ovom slucaju lim ( f (x) /g(x) ) ne postoji.

4.64. Pokazati sledeée asimptotske relacije (m,n E N): xJll

a) - x"', x --> 0; b) x" t-", x -> +; 1+x" 1+x" c) 2- 2 cosb x bx2, x- 0, b 0; d) arctg(2x) 2x, x- 0; e) arctgx it/2, x -> f) cos-mx - (it/2 - x)

1" , x -> TL/2.

4.65. lOdrediti numericke konstante a i b tako da je f (x) axb, kad x - i xo, ako je a) f (x) = 3x+ ,,/x+ , xo = 0;

b), f(x) = % 3x + x + xo =

c) f (x) = Sex; + (cosx -1)2 +x6 - 5, xo = 0;

d) f (x) = sin2 3x+x+aresin2x+2x+arctgx2, xo = O.

Rezultati. a)a= 1, b= 1/8. b)a= , b= 1/2. c)a=21/4, b=4. d)a= 12, b=2.


a) lim sin(3x) + 2 arctg(2x) +3x2; b) .lim lncosx

x o In(1 +2x+sin2x) +xex x-,o tg(x2)

e) x-+- lim x(1n(1+2)-ln); d) lim(1-x3)cigx x-o

Resenja. a) Na osnovu sledeéih asimptotskih ponasanja:

sin(3x) 3x, arctg(2x) 2x, xex x, ln(1 +2x+sin2x) - 2x+sin2x 2x,

sin(3x) + 2 arctg(2x) +3x2 _ 7x 7 kad x -> 0, imamo li ó In(' +2x+sin2x) +xex xl.ó

_ 3x 3

b) Kako je 2lncosx =1n(1- sin2x) r., --sin2x -x2, tg(x2) x2, kad x --> 0, to imamo

lncosx -1 x2 1 im -

xl--o tg(x2) 2 X-,o x2 2

c) lim x(ln (1 +x/2) - ln(x/2)) = 1im xln(1+2/x)= lim

x(2/x+o(2/x))=2.

4.3. Asimptotsko ponasanje funkcija 127

ln ( 1 -x3' ) -x3 d) Na osnovu lim(1 -x3)c`gx = ee, gde je P := lim = 1im -= 0, siedi xo o tgx

lim(1 -.x3)ctgx = 1.

4.67. Pokazati sledeée asimptotske relacije: .

a) x2 sin .6='x+o('xt),x->0; . li) éx-I=,x.+o(.x),x ;

c)._.logax=0(-x`'), c(> 1, c> O, x-> 0+.


a) lim (2ex/(`+) 1)(x? t)/ in cos ax / 1 .Sir.xcósax\

j b) lim , a, b 0; c) 1im I {

x o o ïncosb.x 1--,o \ 1-{ sinxcosbx

Resenja.

a) Na osnovu ex/(s+1) -1= x :

x+ 1 + o(x), -> 0, i zadaticá 4.40 mozemo pisati

lim (2ex/(x+1)

- 1)

l+t)/X _ exp (lim2 (ex/(x+)

-- 1)

x-+ 1

/ xo xo x

(-- x2+1 x2+1

(x2+1)0(X)/) = exp

(lim2 +.o(x)) / exp m 2 + x+ 1 - x . x-+o . x+ .

b) Kako je ln(1 +x) _ x+o(x), i lncosx = ; (1 - sin2x), kad x 0, to imamó

In cos ax In (1.

- °2 +o(x2)) -G:2" +o{x2) a2 lim = 1im = Ern - x-.o lncosbx x-o b2x' () x o_b'+= 2 b

hl(1- 2 +O x

) + O(x )

2

c) Za x -+ O vai:

/1+sinxcosax cosax-cosbx cos3x

1) ctg3 x = , 1+sinxcosbx % 1+ sin x cos bx sin 2x

, 3 b2

-2 a2 x2 + O // 1x2

I.) (.1

^ + O(x')/ 1 + (x +

O(X))((i -

bz2 + 0 (X2))

(x2 +042))

Tada imamo

tg.3

b'--a2 2 2

-x +O(-x-) x'- + o(x2)

1

+sinxcosax! ctg3x

3 1? sin,rcbsax lim

1 = exp I urn ctb x

C 1 x-o I +sinxcosbx x-o 1 +sinxcosbx = exp ((b2

- a2)/2) .

'=a

N

zfr

$(D

Fb( 5

f :r

er

-\5

L.

E-r

y,,o

cilF

'

s "6

':U rh

a;ev

- 6.

o-D

6+

liE

1'

._1=

.)

5

lr,ts

'i

. .-

.a+

4a-

(I

1 ro

1A

-'r

uq

a< PF

D

O

(*<

q:î *. :-.

) (\ 0a

i-)^- :iv Y

tril

o- 1

-g5 .r

c ,^ t:<

FA

As'

'frhh

:d-e

lnF

S f

ss

EeS

e3

!r-i

t 9

7-:'

3 1

l' 6

*,ll'

:lR

n

'l I

ii rl

=

\ I

=t

i-

R

:-

1,Lr

-)i-i

:.

n;'\

I.rq

g.

. 3-

T

l:ll

$,,

^"

{ r

:'. e

. i;

i: -}

1 Y

: !

: oo

+

-rr

+r'F

I

r ?

iil

:' T

.ll

-l 3

I "

gs

- 2

= irl

l i.ll

l S

.6. '}

a!-

lrrJs

sit-

i5.

;N,',

' il$

'o5

::'":

l"i

P s

I

'=e-

:'.j

o'i.J

-gi'

!"

\- o

\

! P

-r

n\

; 5

5 !:G

al

--.-

il ll

2 z5

2

rrpF

:-?\

'\<N

CN

JI|

$ -

.=s-

A-lr

*il

\ :1

J

.l

l. 1

lp

+e*

;"q

-o !-l i

+r.

!N

;\ li.

b.J

(D q< t9 L.

k *.

-tia

ai

'I l@

^--

l1-l

/4_\

r

I

t.i I

-rI

4lN

rgtr

. .f

lE\-

'i.t- ,

J to

aI

Nl^

! llJ

=

-lXlJ

llrtl

V

H J

-t.

G I

U4l

'4 IN

ulti

v'J

q,(

aI

a I

X

o =

:'

FD

r=

' ',

n.a5

Ja

. a

=,u

lOc6

i=

c)

) <

! l^

@

-1i*

;3ra

'-D

AIq

i^,o

4 a

=

O.

lrl

I i,

. 5

" i=

oc

i _D)

-@N

]o=

tq

!<

=

)<l*

=

i=

fiM

t u

I j<

l-*

) =

-la

( C

li !'+

13

N

aI'i

r4-

' u

Ntf

' ;,

N,-

X

!(

lp

=.

v Il^

. 9

_I

=.li

ri E

: "-

iR

) D

)

- ;

a=!.-

N

.' I

I cD

9i ) 4t

|<\tp I'r

I

rilI

>1 .

r-

u-'-

15

N

Oi

L#.

!,

l-t

_l;-

xr

4 2.

k,,5

NilN

i et

{ .i

( u? -a

N)

ti,f

-Ldt

a

N

.i.

rc)

(.N

Jl{

8

I + ir tJ I l{ N)

II

8" I -f tJ h lt

I 1.

J $ \ tiJ Or

oi o + >r

6 o

i=

f =

, oc

l:

l= ti 15 8

a tJ li + o N)

|< il t\)-t

+- -.

F tr tl o o \ b. Ei' o R C

)

zri

O

! li

,:^ I ,1

h ii 0q a o (D tit:'

-+

l-oo

lrlt

ll- l.*/

ti

.ll 4lt ||, I

"@ o (r

v N,-

-"\

D)

EIB

!

+r+

|!.]

!.

515

?la

N.

*t^ I o 0a k it

-lo , to

fl@ ,. ls

-ill

oio

}ith

=.ir

!l

Fl +t

<-:

I lt I t.-

---

,:.-

| li,

5-

lt,l

t

-ll ^l

io

il;!

'ltl!

-l-l-

ol 'rl,

I

\/li^

'-l :-

iJl , I

,r11

,

ol-1

-,-

i o

3l E

,--

t-l'-

--il - i*

l;'rr

l li,

+ii_

clr atl

-l--

l4 l-l'

j p tr-

1.. r'

F,

FN

-l-

?rlr

e

tt it: olo

k}<

'*/

dT

ii ll

(DC

Dxx

D-'

ln {00

-\< IJ

IL-ll

,,@

a 41.r

olo

@ lu

).i

l.n I



128 Glava 4. Granicna vrednost funkcije ; 4.3. Asimptotsko ponaanje funkcija 129

4.69. Da li su sledeée asimptotske relacije korektne?

a) 2004x+xcosx = 0(x), .r -i +.0; b) x = 0(2004x+xcosx), x +0.; c) x=0(x+xcos.r), x +.0; d) x2+3-x=0(1/x), x->-I-0.0.

Resenja.

4.72. Pokazati da ako za funkcije f i g vazi f (x) i g(x) # 0, Za x xp, tada je f(x) ^ g(x)

--/g(x) - .f (x) = °(g), x - xo.

Resenje. Iz urn f(x) = 1 sledi lim ¡ 1- f (x) = 0, tako da dobijamo xx0 g(x) x-'x0 \ g(x)

g(x)-f(x) = x ,x a) Kako postoji C > Q tako da je 12004x+.xcosxl < Clx, x E)I8 (na primer za x > 1 lim - 0, sto znaci g(x) -f (x) = o(g), a. xxp g(X). mofemo uzeti G= 2000, sledi da je dato tvrdenje tacno.

b) Tvrdenje je tacno, jer za x > 1 vai

Ixl < + (2004 + cosx)xl = 1 12004x+xcosx.

c) Tvrdenje taèno, jer za svako xo > 0 i za svako C > 0, postoji xl > xo takvò da vati 1+cosxl < 1/C, ili ,C1 > C(x; +xi cosxl)..

d) Tvrdenje je tacno, jer je I t/x'-- + 3 - xi < 3. 1/x, x-> 1.

4.70. Pokazati asimptotske relacije: 2

a) 1-çosx=- +o(x), x - b) ai-1=xlna+o(xlna), x-+0; e) x+xcosx=0(x), x->0; d) 1/x=0(Jx2+1-lx1), +00.

4.71. Neka je 'f pozitivna funkcija u nekoj okolini tacke x0. Citajuéi sledeée asimptotske relacije sa leva aia desno, kad x -> xa, pokazati ih:

a) 0(0(f)) = o(f); b) 'o(o(f)) = o(f); e) o(f)+0(f)=0(f). Resenja. a) Neka je g = 0(f) i h = 0(g). Tada po definiciji 4.61 postoje konstante Kl > 0 i

K2 > 0 takve da u nekoj okolini U od x0 vafi za x xo

Ig(x)I ÇKIf(x) i Ih(x)I <K2g(x) .

Tada na skupu U \ {x0} vati h(x) I .< K2K1 f (x), odakle siedi tvrdenje. c) Neka je g = o(f) i h = 0(f). Tada po definiciji 4.60 i 4.61 postoji funkcija

konstanta K > 0 i okolina U od x0 takva

g(x) = 0(x) f (x), iim 1)(x) = 0 i Ih(x) I < K (x), x E U \ {x0} . T-'xp

Suma funkcija g i h na skupu U \ {xo} se mofe pisati kao

g(x) +h(x) = (I)(x)f (x) +h(x). Kako nuli, kad x -4A-0, to postoji okolina U1 C U tacke x0, takva da na skupu Ut \ {xo} vazi 1(1)(x)I < 1. Tako je

(f/.xEU1\{xo}) Ig(x)+h(x)I <1f(x)+Kf(x)<(1+K)f(x)

4.73. Nékit je f (x) (x) i g(x) - gl (x), kad x -> x0. Pokazati da ako postoji lim fl (x) x-x0 g 1(x)

tada takode postoji i lim f (x) , i vaZi jednakost

x-x0 g(x)

linl Px) = lim

fl (x) x--ao ex) x-.xo g l (X)

Resenje. Na osnovu f (x) = f 1(x) + o ( fl (x) ) i g(x) = g i(x) + o(g l (x) ), kad x xo, mofemo pisati

1+o(.fi(x)) hm Px) = lim

f l (x) + o (fl (x) ) - lim .fi (x) llm fl (x) = lim .fl (x)

x-+xqg(x) x-'xOgl(x)+o(gl(x)) x-uc0gl(x) x-'x01+o(g1(x)) x-x0gi(X) gl(x)

CIIt.-{RbO

+':<

.OO

^lki.r il

<t g

\trE

oo

.!1rr A

ilx {

\l bo X

19 r

=i

-TILave6a

a,tq)>N

))9

>aq)

^l^!:lj\i

oo

o'o\,\NB*tsts\Ox*ld

:'.I*.ri

-sJ

! r

OO

)-L ^t-.

- X

lk-i

\MM

=l

jp*-Y

-:

=s

rat-!+

ot1RbOilftItbo

>()Njll

q-l^,Ltttr

^l o!

5lool

qJ

\5!a,,H.tr-

H

NI-Y

IU-i!dtF

.

?G

*oo!

lr o

le^lI-

--) ,z--\

k xlx

r-L l

Yl-

\ ^

\l oo

kl>

lJ v

NM

;'oo t t9

.]L .;

T

<v

'!' v

d)U

A^

*\?q

*--r'*(rlN

.

z\lô-515

-5a 9-l

MB

''^-

t .il

:Ni-*! q)

-.-r\6

î 'E

\ilt

o\N

î:<l-

\l oo

ll

^t lz-t

^l l^l

Slal5le

5l*<l-ts]

6;ol

lolrla

1'llH

^;-l<lx-l-I

^l^^l^5t5+

-l M

-li alo+

l+^t^Jt\i.*t-\l

o4

il

^lxtx\-l

oo

l<oo.,

{eor

cF)

\i

\V+VIxl-a5V]!.1

*=(J+

.ct s<

)ts--

,O

--/.e

!J-*

\t,,N

2\.yc.i

qJAO(J,r4

^'o.Y

<{.gU

@t

qt'5U

-i'N

(H

. X

!?"7,l

T

a1i.uîd

JIo4

.,-i

o-_i4

,riC

Or.€.

-6C

N

TZ

tlk-r

- <k

Av

.<o

!lil<

kO6l

lo

^ ol+

q;t'L.{<o"v:5

b-

::d

$x+<

il

s-x'!ller;!q

:-:k+C

!+<

-_+\J

4Oil

-sN1

11

oit

8B+

+



Gia a ;

Neprekidnost funkci j e

5.t Neprekidtxost funkcije u tacki 5.1. Definicija. Funkcija f: A C II8 je neprekidna u tacki xo E A ako za svako

E > 0 postoji realan broj S > 0, koji zavisi od E i od tacke xo, takav da za svako x E A sa osobinom Ix

- xo I < S vati nejednakost if (x) -f (xo )

I < E.

Pomoéu logickih simbola, definicija neprekidnosti funkcije u taèki se moze zapisati na sledeéi nacin:

Funkcija f : A CR -> II8 je neprekidna u tacki xo E A ako i samo ako

(VE >0) (3s> 0) (dxEA) (Ix -xo1 <5 (x)-.f(xo)I «) . (5.1) Ako je tacca xo E A tacka nagomilavanja skupa A, tada se mogu koristiti i sledeée dve, medusobno ekvivalentne, definicije.

5.2. Definicija. Funkcija f: A CR -> IR je neprekidna u tacki xo E A, gdé je xo tacka nagomilavanja domena A, ako vati

x sonxEA.f (x) _ .f (x0)

5.3. Definicija. Funkcija f : A C II8 --> R je neprekidna u tacci xo E A, gde je xo tacka nagomilavanja domena A, ako za svaki niz (x)EN sa elementima iz A kóji konvergira ka xo, vati

lim .f (x) = .f (xo)

5.4. Definici ja. Pretpostavimo da domenfunkcije f sadrti interval (a, x0] (resp. [xo, b) ). Funkcija f : A -> II8 je neprekidna sa leve strane (resp. sa desne strane) u tacki X0, ako je lim f (x) = f (xo) x-+xo- ( resp. lim f (x) = f

(x0)) x-+xp-F

130

5.1. Neprekidnost funkcije u ta6ki 131

.5.5. Teorema. Funkcija f : (a; b) -> II8 je neprekidna u taëki xo E (a, b) ako i samo ako vate sledeéa tri uslova:

1) postoje leva i desna granicna vrednost funkcije f u tácki xo, -

2) postoji granicna vrednost fimkcije f u taki xo, 3) vate jednakosti lim f (x) = lim f (x) = lim f(x) = f (xo). x--'x°-

Definicija 5.1 neprekidne funkcije.0 tacki je slicna definiciji graniène vrednosti funkcije 4.1 u 4. glavi, ali postoje i sledeée razlikè, i to:

Tacka xo u definiciji o neprekidnosti pripada domenu funkcije f, dok kod defin icije granicne vrednosti to nije bilo neophodno. Tacka xo u definiciji o neprekidnosti ne mora biti tacka nagomilavanja domena funkcije f, dok je kod definicijë granicne vrednosti to bilo potrebno: U definiciji 5.1 tacka xo mole biti izolovana tacka domena, z.naci da moze imati osobinu da u nekoj njenoj okolini nema drugih elemenata iz domena, osim nje same. Funkcija f je uvek neprekidna u izolovapoj tacki, tnedutim u toj tacki ne moiemo govoriti o granicnoj vrednosti.

5.6. Definicija. Funkcija f : (a, b) -+ R ima prekid u tacki xo E (a, b) ako fije neprekidna u tackixo.

U skladu sa teoremom 5.5 moiemo klasifikovati tacno tri vrste prekida funkcija.

1. Ako postoji lim f (x) i jednak je nekom broju L # f (xo)., tada f ima otklon- . .

. x-.xo .

jiv prekid u tacki xo.

2. Ako postoje i leva i desna granièna vrednost funkcije f u taéki xo

Lt := Rua f (x) i L2 := him f (x), x xo- x-xo+ (5.2)

ali je Li L2i tada funkcija f ima prekid prve vrste u tacki xo.

3. Ako bar jedna od granicnih vrednosti u (5.2) ne postoji, tada funkcija f ima

prekid druge vrste u tacki xo.

Funkcija f : A C je neprekidna na skupu B c A ako je neprekidna u

svakoj tacki skupa B. Ako su funkcije f : A1 C R ---> R i g : A2 C R Il8 neprekidne u tacki xo E At nA2 (resp. na skupu B C A] nA2), tada su sledeée funkcije takode

neprekidne u tacki xo E Ai nA2 (resp. na skupu B CAl nA2) :

f+g (zbirf ig), f g (proizvod f i g), f/g (kolicnik f i g), ako je g(xo) O (resp. ako je g(x) za svako x E B).

*-'.

..:-3

5.

:

g.

:+!;.

n,i{

A qf - ry se (Jr

z (Dhd IJ I 'a tD -,\ E

.(.

l .

-: L) ,-I v cn Ft'

f.{.i

F - H P -,\ o l. Lr. 6

ilil$

FI

i-E

Ii.P

iP

?\

]E

F:'"

p u,

iiI

iifj

!+ i

i i*

;1.3

L

* E

'€; '

tsE

; =

:; i-l

R S

,ri'r

{E:

--r'

ctp

;p

?e.

- ,:i

,=:;*

: Z

j;-;i

Isp

€lai

n;E

Et:;

{E

trS

d,i*

, 1t

'ti

7 n

!,;$t

, A

;t ;i

l.-

l))

iB,

e :

8-

p\

E

igi

S:

i;5;$

!-[t;

:i-

5; \

:. ,

SE

F

6 .

E

g ^^

\,,

E3s

==

Pre

.= F

r tl.

) E

E: ^

i'=*

+.-

^\E

I

s=

i- an

tl--

=

'=

F

=.

i. l-

i tr

"I g

'i .-

:;

i- #

5s'?

? i

l'*,=

#:

s g.

x 1

;i ;

i n'

Ei.

: E

B:l

:i-

ii ;]:

I

.= z

:

E

* F

...

F =

6 ,+

J= E

-"

.€

l' +

!

,^ B

, +

+.E

q,

-ii{

a:r

a r

tri

iii$

8:'

n i,I

, S

3 :

I ;

{- n

, =

, -:

.^-q

r.i:

d .-

: s

ISi,;

,rS

:'5

=ir

ii r:

3Ii:

'i+*

-=fg

si

r l+

s*ai

;E

^ S

l R

;.-

1-S

3'i3

ES

d;

h

=:

g.

*a-

trF

S

* s

; I

tts:

>

i. I

F

-E

q q

*;?

q;

s $f

s

$+

S^ 5 z o d Fi

:l o o TD $ o< ui UJ

$...!

"c

str

.ot-

'=r"

=do

dgE

E

s=x.

#e=

?l

? $$

,

i:: E

FgE

E; =

; ,:;

g iE

2'rr

l*E

fi,is

E !

:s iE

;-"r

ii[:

i+ r

E ig

E i!

;6E

iEaa

sii ]

iE$!

9";'!

r.

f --

g"

p.-=

. -

!

*E{

5te;

EE

} a=

i,; i

's.

e+E

I}E

=tE

E .i

i$i

{,i;'

;A

ri ;:

"-

Z *

ui

i -:

ea

:.o'-'

:*;.d

i=

}i r.

.^'

:? >

f 5r

e 3,

s +

..-

::g

:nrr

rH,e

;r!if

3

?[iiE

3Ee5

'1i!

3+

- !I

==

g ;E

i*g?

s+=

E i3

L ie

AE

'lEZ

i€,l.

i: *

a .P

,'*:*

:<

: b.

,,:.

= 1

>

'- =

, *

=.

=

6.;-

$ =

.r e

=.d

;.- j=

t'l-

:

5 E

ii: iE

ri+?

E ii

Ei=

=E

[5';i

5ia

d >

EU

# P

'i-E

3F

i7

gx

I

3;=

is

5i'

1r5

i3

i*T

: ; =

,t =

. E r

I ii$

;I 1;

1;::u

: i

:i llr

x I

; +5 ,i

i =

; ;:+

i1 {

"i ;

I =

t 'ri

; i ;

.; ; ?

g i

t*: ;ft

i E

: I i $

; =

;l 3f

:

)t

s B

gits

* E

' 3

d 6=

=

ii r-

-'

?-

e.

.; Z

??ca

. ?

4 h.

i If

F E

' i

v r'

;tizi

i

E

s'

-*'-

\ g{

' * i

rrlE

, 3

;, V

+

E

$r:

E

.U

, ,



132 Giava 5. Neprekidnost funkcije

5.7. Teorema. Pretpostavimo da je funkcija g : A C ]i8 --> R neprekidna u tacki xo E A i da je funkcija f : B R neprekidna u tacki g(xo), pri ¿emu je g(A) C B. Tada je sloiena funkcija h : A-> R, data sa h f o g, takode neprekidna u tacki xo.

5.1.1 Zadaci

5,8. Na osnovu definicije 5:1, proveriti neprekidnost sledeéih funkcija u p,oizvoljnoj tá¿ki x0 njihovih domena:

a) f (x) = 3x + 5, x E IR; . b) f (x) = x3, x E R; c) f (x) = x E [O, +°); d) f (x) = f x E e) f (x) = arctgx, x E R; f) f (x) = arcctgx, .x

Re"senja.

a) Uzmimo proizvoljnu taeku xo E R i neka je dato E > O. Iz nejednakosti If (x) -

f (x0)1 = 31x - xo 1< 38, x E R, siedi da mozemo izabrati 8 := E/3 tako da vali

implikacija (5.1), tj.

(Vs E R) (Ix -xol < 8 = E/3 If (x) -.f(xo)I < E)

b) Neka je xo E R i neka je dato e > O. Tada va±i

I.f(x)-f(x0)1 =1x3-xó1= 1(x-.xo)(x2+xxo+x6)I <Ix-xo1 (IxI2+ Ix! .IxoI+Ix0I2) Za Ix-xo1<8 i 8<1 je Ix-xoI < 1, paje 1x1<IxoI+1, gtopovlaci

I.f(x)-f(xo)I <S((irol-I--1)'+(IxoI+.l)Ixol+Ixol2) =S(31xo12+31x01+1).

Ako stavimo S := i min {

1, r

, tada za svako x E R vazi

(;x-xoI < 8 If (x) -.f(xo)I < E) .

Napomena. Broj 8 iz definicije 5.1 (pa i iz poslednjeg zadatka) nije jednoznaeno odreden. Naime, akó za dato E odredimo 8 > 0 takvo da za svako x E (xo -6,4 + 8) vati I f (x) - f (xo)1 < E, tada i za svako drugo 81 sa osobinom 0 < 81 < 8, vai

1x-xoI <Si I.Î(x)-f(x0)1 <E.

Dakle, veno je samo da, za dato s > 0, postoji bar jedno 8 > 0 sa osobinom da vazi implikacija iz (5.1). c) Neka je xo > 0 fiksirano i neka je dato E > O. Ako je Ix-xo1 < 8, tada iz relacije

;ol` Íx II

1

i-vól = siedd if(x)-f(xo) < x vx+0 r

5.1. Neprekidnost funkcije u tacki 133

Znaei, mozemo odrediti 8:= E xo, tako da vai implikacija (5.1). Slucaj xo = 0 se ostavlja eitaocu.

d) Neka je xo > O (ostali slucajevi su slicni) i neka je E > O dato. Za Ix -xoI < S je:

Ix-xoI 1f- 3xo1- x2 + 3

E10 +

_ IX -X01

3x (f+ 2 3o)2 + 3/..2

Znaei, 8 se moze odrediti kao S := á 3

xó a.

e) Neka je dato E > 0 i uzmimo prvo da je xo = O. Tada za svako x E R vazi

I f (x) -f (0) I

= I arctgx - arctg OI

= I arctgxl < IxI .

Ako izaberemo S := e/2, tada siedi 1x -

OI < f (0) I < E.

Pretpostavimo sada da je xo i neka je h = x - xo. U nastavku éemo birati h

dovoljno malo da je 1h1 < Ixol, sto znaei da su x i xo istog znaka. Stavimo t = arctg(xo + h) - arctgxo, tj. tgt =

t+xo ó . Kako je itl < I tgtl za

It < rt/2, na osnovu prethodnog je

IhI IhI Iarctg(xo+h)-arctgxol= ltl <tgt = _

,

1+zó+xoiil I(1+4 -(-hx. Ihl <

1+xó - 'hi IxI < e;

I

pod usiovom da je 1h1 = Ix-x01 < 8 := (I +xo)e

1+Ixols' .

5.9. Proveriti neprekidnost svih elementarnih funkcija u ta¿ki xo njihovih domena.

5.10. Proventi neprekidnost sledeéih slozenih funkcija u taeki so njihovih domena:

a) f(x)=sin(ax+b), xER; b) f(x)=x2+x+3, xER; c) f(x) = x3 + cosx, x E IR; d) f(x.) = sin5x, x E R;

2-2cosx e). f(x) = x ctgx, x E R \ {kit' k E 7G}; f) f(x) =

xz , x O.

5.11. Na osnovu definicije 5.1, proveriti neprekidnost sledeéih funkcija u tacki xo E R:

{( x/IxI xp;

b) D(x) {

0, xEb:=R\Q; a) fO-1 O=

1, xEQ. x - -1, x=0; Q i II su skupovi racionalnih i iracionalnih brojeva. Vati Q U II = R, Q n II= 0.

-;:l=ds

;, i{

d ..

u) |

Y:

i'f s

I Mr o

-;;d.=

: ij

: S

i,T,)

!Y

1o

V

:i -t

x 1

5E

&

sE is

ii:t;iî#siE

s l+

i:. I;.ifl*E

{i5* l:

sl.-. a

.I ^\ +^l

S

;S?

Y-i:

r'\o E

t l-l I

E:_s

--..if i+

\ \

x1"r--

l=

: :i*:

* il

S

iI ,

"i.r* 'i 'F

a=

E I

+; ;o

lE

'"-l.i t

* E

E

c S

o

.eo *

l9 'i+

Ls

\ ':

sI;

=l; :lr F

S

t e"s

'H...-lf J E

.i s $

FI

oo .u r-

., s

d \u

Le? -

,__ " S

t

* S

E

'1 H p

I s

s ; r tr

? i

"! r

\ S

iA;

Qoos

f- I

rzr x

\/ { =

::

i e.r -

i i

c I

* e o

-om -a

* *

1 t

'e !T

E

E

ll id

.5Co

ji ta

';.,

.o>

(.) :

lr.rc Z

=

,? .^lt5 'N

E

q '

0ol};>

9 ";.8

I r,r+,-&

\/:3(

â:l

N

tl.'jo *

- :Y

4,1{aVl

-a.=

o

l->

9 '

\csu

d ,4ld

d a

i!-or>o{,

J-=.ta

=O

,?l^;?5*

n r',i^,-

hi a

i.o=

.,

.'.Ldt^, d

-*

J-l*>l

E

ll ^

I

.d -

r ..'

oA>

i:

15 -l

oo ,,

rl

oEl">

;Z\'-

'o E

rv

c.i ii E

;--l

i .:

i' tib*=

'i ;:

E

- ll..t-o

Xc,

r <

ji,j

! l:>

;;;

go :Elra

' I r

, -o g

!.*4

--l ^

S

; ;

ri[ .

a tr €\

l. .91 ri

">

E o

^ ci o

ua .:1

r* r

E

o

E

.: t->

u

N

I o-S

tscllo.-Cl-

oiolgoY\a&

^Yv,N

tr;j-:rEutr9

o.inlrÊL

,N,u,l

Lx a>

Z

g.!tr=

rLO-!:j

.-i .o'- .;

.9 S

B,H

Eg

,H S

;4

F.J:

uLo.:4yN

gz N

Z

<p.

(ocf)

E)(J

J<oE.\<!Jo,.i

< \

i' r

r;E

q o^

ri€ F+

i;;G-i;-*E

s+: €:fl

:us s'

: $

-gi ';'

E *

1 $

e*oV

E

:,or€ia:

:sr€ siiE

I€sF*tfY

g E

r"l.'p

--,j( \

i=?

< A

g ;:

I -e- - ;

€ fIE

;

'i ,g

l,!q F

;.-

:f :,

i I

"i, s

da? *

-; r

t-:

+i€ s a : Ii * j s €

R ,, $s,E

r E, .r r

r€: r s, u E

F * #{ri €*E

EA

rr s;IE

$ t !p lE

+iF

[5-Et*iB

3E]#

,S:{

s i :

t€ :E

i - + lis,:E

: -E t

^ sr,-

t€: 'i +

: ;E

t: r I 5'r?:e€r t 7 :

-=s

€Is i

6 6 gf

iE-.

.'=

l$'i: .[ii -

€ ;: =

11oH

r *i:

;i A

E

-:'.s --l

J --'igg i

s E

ii;S

tr ';$tr_d E

t gf +; ! Y

itEi

5:;i'l=E

,:* .t$

u-, 5,-"=

- E

-, cc ,a -l^ r- i-gu

E:-.F

rc

FE

c.ES

Ei; l.;

A f ? +

t) ,:g..= [,*g

-;

^{:H *:=

'a:fi€E lii

t-t."i

I

slU

IIII

:^t:m1*+E

:.g.

E;,:;..r.,-.-



134 Glava 5. Neprekidnost funkcije

Resenja. a) Iz definicije apsolutne vrednosti siedi f (.x) = 1 ako je x > 0, i f (x) = -1 ako je x< O. Pokazimo prvo da je funkcija f neprekidna u svakoj tacki xo Ako je

Ix-xoI < Ixo1/2, to su x i xo istog znaka. Tada je I f(x) -f(xo)I = IxI Ixol Neka je E > O dato i stavimo S := Ixo1/2. Tada vazi sledeca implikacija:

(FtxEIIB) (Ix -xoI <s If(x)-.f(xo)I <E)

Kako je lim f(x) = I i firn f (x) =-1 f (0) , to je funkcija f neprekidna u x-o+ x--,0- nuli sa leva, ali :fije neprekidna u toj taeki; f ima prekid prve vrste u tacki xo = O.

b) Za funkciju D, tzv. Dirihleovu funkciju, je u zadatku 4.13 pokazano da nema graniénu vrednost ni u jednoj tacki xo E I18, pa je zato prekidna na celom skupu R.

Sada éemo to dokazati na drugi nacin. Neka je xo E Q ( siucaj xo E lI je slican). Pokazacemo.da postoji e > 0, takvo da za svako S > 0 postoji x E (x zavisi od S) sa osobinom

= O.

1"

Ix -x01 < ID(x)-D(x0)I >e. Uzmimo e := 1/2. Tada za svako S > 0 postoji iracionalan broj x.g E If takav da je Ixs -xoI < S. Tada vai

ID(x5)-D(xo)I=IO-1i=1> 1/2.

Koristili smo cinjenicu da je skup iracionalnih brojeva ][ gust u skupu raciónalnih brojeva Q, tj. u svakoj okolini proizvoljnog racionalnog broja xo postoji bar jedan iracionalan broj. (Ustvari, u proizvoljnoj okolini broja xo E Q postoji beskonacno mnogo iracionalnih brojeva.)

5.12. Pokazati da je fi.cnkcija f prekidna za svakó x E akoje f(x) _ {

-1, x E ; 1, x E l[ \ Q:

5.13. Ako je funkcija f prekidna u svakoj tacki xo E R, da li to tada vati i za funkciju f 2? Rezultat. Ne obavezno. (Koristiti prethodni zadatak.)

5.14. Pretpostavimo da fimkcija f : (a, b) -, I[8 ima sledeéu osobinu u taeki xo E (a, b) :

a) (Ve >0) (3S>0) (V.xE (a,b)) (If(x)-f(xo)I <e Ix - xoI <S); b) (VS >0) >0)(VxÉ(a,b)) (If (x)-f(xo)I<e Ix-xoj<S); c) (VS> 0) (3E> 0) (VxE (a, b)) (Ix-xoj <S I.f(x)-f(xo)I <e)

5.1. Neprekidnost funkcije u taéki 135

ka se mote reti o neprekidnosti fünkcije f u taNki xo?

Resenja. Odrediéemo tri funkcije koje redom zadovoljavaju date implikacije u a), b) i c) respektivno, ali niti jedna od njih nee biti neprekidna u tacki xo. To pokazuje da su u definiciji 5.1 bitni kako redosled kvantifikatora tako i smer implikacije.

a) Posmatrajmo funkciju f datu sa : f(x) = S x, x < 1;

(slika 5.1). Data funk- '. xi-1, x>1

cija je neprekidna na skupu R\ {1}, ali ima prekid prve vrste u taéki 1. Medutim, pokazaéemó da data funkcija u taëki xo = 1 zadovoljava navedeni uslov pod a). U tom cilju, za E > 1 stavimo S := e -1. Tada, za svako x E R, vazi

(If(x)--.f(l)Ì < e) =r <S). Ako je E < 1, stavimo S := e. Tada je skttp brojeva x veéih od 1,

nejednakóst I f (x) -f (1)1 < e, prazan, pa je implikacija (5.3) tacna.

(If(x)- f(1)1 <E) (Ix - lI <e)-

Y

2

/ Slika 5.1.

// 0 2

x

Slika 5.2.

(5.3)

za -koje vati i Za x < 1 vati

2

b) Funkcija f data sa f (x) _ { 1

'

x 00, ima osobinu b) u svakoj tacki xo E R

Pokazaéemo to samo u tacki x0 = 0, u kojoj f ima otklonjiv prekid. (Zagto?) Za dato S > 0 izaberimo e > O tako da je 1 < e < 1 +SZ (na primer, e := 1 +S2/2).. Tada za svako x E R \ {0} vazi

(If(x)-.f(0)I=Ix2-11 <.x2+1 <e) > (IX -01=VIx12+1-1 < <S).

-x2+4x-5, x<2; c) Neka je funkcija f data sa f (x) = 0; . x = 2; (slika 5.2). Data funk-

x2 - 4x+.5, x > 2

cija ima prekid prvog reda u tacki.xo = 2, i neprekidr.a je na skupu ][8\ {2}. Pokaza- éemo da f zadovoljava dati uslov u tacki xo = 2. Naime, za dato S> 0 stavimo

1

'-.= .:. l :

l- (! l+ I i I

L E

3

iF

S!-

t'rry

r:=

-.!:.

:*at

rEJ

3 1

t E

\

\ -

-.:/_

:

O

sB;a

!*:S

$ €

iia

r= g

p=i +

;il,*

a.

,,,A

*FIIY

g 1

+ i

ira;

if, 5

EP

:'rg

; i:,

;rA

H s

i $F

' S

Sfo

t e"

ri =

ii-

i?:;

i=

lt_$;

',;

; +

$ =

- I

t:s;,

Ei

gt 5

:*!.\

rr

.EE

; ^ ^

r: i

i i

E:e

s tr

*'$r

1; iY

i. A

?;3

;F

." F

]

E: s

s

-=i=

? A

?

u ;+

[F

i'-

d ..

ts+

s 5.

s.6

'! n

S

Eef

:

f ;

s.6.

:iiig

-a

?z

fa;;;

i1i

q gf

r: &

'r 3;

*i;;

;+,6

sis

3. e

s s

' i $

5fi i

i+

[i ;s

,i' :

_3+

5i,i.

l i s

F A

x

gE=

i .a

,i g*

e--

-; I

,eq3

li+tr

s f

+f5

: i;y

!;l;li

3+F

;F

A I

s i

$ fF

I ;

i1

-a N

Ha

> [=

i3i

I I

: ;.

; sI

3

i =

r'i, E

il i =

' : r

.g;

= 0

a F

::

Aix

. #

f: E

EE

E,

g_;E

-'\

/r

n $

fi -

r .0

t€

rn

tuE

=

f'o

D

=

rr f

,>3

cc e

,; i

:-*

::5=

=

i'm

:S

=

--

esl"S

S:::

:;,

+ x

; [-

E-8

*

EF

]ii€

E

'_i ]

"..

l: T

tl 9.

:.3

2 r.

!"

=f

.= 1

- sl

8-'.

:'i-a

H

.$i i

E

gggi

i aF

E'

@(D

I I l^ ItJ l!i lu lr ll5 io-

IN ICJ

i.r lPr

ro lCo !4 iq o IJ I o. o a a':

t

atrr

.ve\

c .7

-lN

! ?t

J=L-

F

Z =

' 6i

.*

l,

EiP

-x

- 3

.: N

ar:

o

*E

.D

k tD

u

x L:

:

\E

=

- 6v

? \

N r

t-

- --

t F

êP

6i

3.

a o

Y.*

6i

:iNJi

]Q

't]

D)

I ^

i:i o

,

X:

\ ll

rn;r

6 ?

(h=

; -O

E

-

=L.

-:

g .4

&

\ r

:ou2

D

N

zI

'e

q :l

<t-

l'1e

:&

; -

65:5

!^

:*P

) $

- --

n 7.

r

I-Z

c,/\t

,t*c-

i 3)

2

L N

(O5.

a O

, J

*'-O

!

tF

ro

,, --

tr

?i

r ,_

. -il

- -

-5+

. ?=

- ,

- *-

!

r.l

PE

l,'L

. -ll

6.J"

.i'

1"

.lL

^ A

-oo

,^ -.

| "

-(:.-

..

sBl=

+

G-

nf'

--E

r

o\

=l;

Out

='r

lr!'.

: :

*E

Q

:n-3

.

'1_

O

t] =

ar.

{'v

a i}-

q,

- :

;J

5-riN

rJ--

-l^=

E:'l

-o;

il E

E,

o-

l'-)

o-E

='l

::fli@

1L

D

, on

. i

afu

(,

' j:o

, ?r

v.S

:-

Tl

ri ilS

r^*

r -1

i

*6,

o<U

Y-l

Fht

-*^_

.-?l

'

E+

i .';

?r

:"5

r.s

:N

* N

i i

oi

".

:-

N




E := 1+SZ. Tada za svako x E R vai

(Ix -

21 < o)

=- (If (x) -f(2)I = 1 + (x-2)2 < 1 +82 = e). Primetimo da uslov c) daje samo ogranieenost funkcije f u nekoj okolini tacke xo.

5.15. Pokazati da ako je funkcija f : (a, b) -4 R neprekidna u tacki xo E(a, b) i vati f (xo) 0, tada postoji S > 0 sa osobinom

1) (Vx E (a, b)) (Ix - xol <. .f(x) > .f(xo)/2, ako je f(xo) > 0) ;

2) '(dx E (a, b)) (Ix -xol <S .f(x) <.f(xo)/2, akoje .f(xo) <0) Resenje. Pokazacemo samo sluèaj pod 1). U tom cilju, pretpostavimo da je f (xo) > O. Iz neprekidnosti f u xo sledi da za s := f (xo)/2 postoji S > 0 tako da vai

(dx e (a,b)) (Ix-xol < If (x) -.f(xo)I <.f(xo)l2). Dakle za sve x C (a, b) sa osobinom xo - S < x < xo + S vazi

(xo .f (o) )

r f (xo) ,f (f(xo) <f(x)-.f(xo) < 2 2 <f(x) <

s 2 ¡.

Napomena. Zadatak 5.15 se mole i ovako formulisati: Ako je f neprekidna na intervalu koji sadrti tacku xo u kojoj je f (xo) 0, tada postoji interval (xo _ S,xo +S) na kome je funkcija f istòg znaka kao i broj f (xo).

5.16. Monotona funkcija na skupu f : A --> Ill mote imati samo prekide prve vrste.

Resenje. Ako je xo taeka prekida funkcije f, to je ona i tacka nagomilavanja skupa A. Iz monotonosti f, na osnovu zadatka 4.51, siedi da postoje (medúsobno razlicite) leva i desna graniena -vrednost funkcije f, kad x xo, sto znaci da f ima prekid prve vrste u xo.

5.17. Ispitati neprekidnost sledeéih funkçija u tacki 0 :

x}0; x=0;

x#0; x=0;

sinx/IxI, x 0;

1, x = 0;

xsin(1/x), x 0;

0, x=0. U zadatku pod c), C oznacava nekirealan broj. Predlazemo citaocu da pokaze neprekidnost ovih funkcija na skupu R \ {0}.

Resenja.

a) Pokazimo da je f neprekidna u taeki Q. Na osnovu 1im sinx

= 1 imamo x-o x

Hm f(x) = lim x--,o+ x-o+

sinx ` sinx =lirn--=1, X lim f (x) = Iim

sinx x-+0- x-o-

i x

- sinx = lim = 1. x-+0- -x


Kako je i f (0) = 1, to iz teoreme 5.5 siedi da je f neprekidna u O.

b) Funkcija f ima prekid prve vrste u tacki 0, jer imamo:

lim f(x) = lim sinx = lim.

sinx - 1, i x-3o+ x-o+ Ixi x-.o+ x

sins sinx lim f(x) = lini =. lim = . 1, x-4)- .r-'0- ix1 x'-0- -x -

c) Pokazacemo da u ovom slucaju f nema granienu vrednost u O. Ako je

x' = 2 , n C 1Y, tada vai Inn x = lim x' = O. Medutim, kako je (41a+1)1L n-, n-..

lim f (x) = Iim sin(arc) = 0, i lim f (x') = lim sin (((4n.+ 1)7t)/2) = 1,

1

A.=nit

to na osnovu definicije 5.2 siedi da f nema granienu vrednost u O. Dakie, na osnovu teoreme 5.5 sledi da, nezavisno od izbora bruja C, funkçija f ima prekid druge vrste u O.

d) Pokazacemo da je f neprekidna u O. Za dato e > 0 izaberimo S := e: Tada- za svako x E ll8 sa osobinom 0< -

01 < S vazi

If (x) -f(o)1 = Ixsin(1/x) -01 < 1xi = Ix-01 < S = e.

Dakle limo f (x) = 0 = f (0) , i iz teoreme 5.5 siedi neprekidnost f u 0 (sl. 2.4).

5.18. Odrediti tacke prekida i njihovu vrstu za sledeée fiinkcije: ._

1, x>0; a) f (x) = sgn.x := 0, x = 0;

-1, x<0; b) f (x) = sgn2 x, x E R.

Resentja.

a) Kako je xfirn

sgnx = 1 i xlió sgnx = -1, to f ima prekid prve vrste u O (si. 5.3).

b) Kako je sgn2x = 1 za x 0, to sledi da f ima otklonjiv prekid u O.

Slika 5.3. f (x) = sgnx

0 1

Slika 5.4. f (x) = [x]

5.19. Odrediti tacke prekida i njihovu vrstu za sledeée funkcije: a) f (x) = Ex], x E R; b) f (x) = ax+b(x], .x E R, b 0;

e) f (x) = x Ix], x E II8; d) f (x) _[x] sin(7tx), x E R.

-t,'C)

E$. 'i'M

,

r)-v,U

:=r,

.." -- H

:<-

l, r,

_itti%

kP!L>

---.i:\,!.oo\q>

^^

\s'Y

::\

.- *'B

#-'c1;Q

urar)P

\i;

{ --:)

a t;-fB

I

ll

,Ek!

\ !-i

.-:\\\S

u

\?4:o'"c\F

irf)

,,'1_

:-----IJ--l=

"

I

aor/)

-j.a

c)!o0;I

fral-rr

(J

4'D

.69U

A

ob ts

.=,=

il-uF

.:2.

\\CB

:r

!*i\

l .i

', 'd

! 6r

L6ao/\

lt v

6 a

!!!

.Hl

KK

r<d

,NIt

"il

-w=^6<

X

r cr

I .=

i bo

!'--_)

o 0)

cg -v

_y.r|:!\l\l

>q6)^

^16-o

-cEo

; *lE

=

=

Itt

j uY

;

'ti aaqi

.=l-ir,A

FN

N,.1i;l-37

!5-o-:O-.a

.=r

F

u i

I ;

73 ri

? \a-,-

O=

F..rr

=

4i:- =

e

+

?E

.p Lo

'a9.i

-=1

? F. E

::

=

o ! :!

/ ..

. =

+

o

i.9 0)

O

'i!-

=

E

) a

=-

=

,C

N

, I

=

*.8- E

i E

l, ,i

ES

o

'i =

*

=;

Z-

F" =

: i" g;

.3 o:

*E

.s E

i E

i*i ?- e s

s

n =

r'

; =

i .1 =

d.:

E

p f

iZ.d,-

=

rS

c i'e

6v -a .N

=

b i "-*

'q =

'.

r.r i ib-

'r '-

!: i

E:

i €

E ui :

i- 5 o

'i9 E

i,

9 Z

'4,

2i E

] I

tr €

-i 6 trlr

c -

.ai ,5 r, \:

\ o

a^(gE

-cit.',JCE

ic

E

.=-

- lH

-:

= E

- -:'7

:. *

Y.=

^

l- i

>

6r =

-=

\\ ;^,i*

l- thol;

f^ E

!q !r

.u ls =c E

EE

'gS

EI :

.JIdA)4E

.=

- &

i !E

=^c'-,

d d

ir'1c'tr*\a6as

\f}

i;**'-**::--

o)N

lldv

,t6

;t-t l|

-t'

^Fi

,(, .5

}(l(

r 'A

lu,N

5l

o u

a !-.'

9*O

CO

r Ll

llH

.-k=

.-)

.-:>{

UA

! !.Y

^ =

l>

0)-t

E9.

.d-.

oltitg

) d

{t(3

@

- r-I

d!v

E.:

€ E

TN

i'i )l

O

V

q, ll

.dv.5 u

ilH

-H<

*Yo-:

G

;.1,O)F

^ll

#€ E

-:

k.iH.i

O-rN

L

r9F'ôil

-rAO

a*.6

'$l t's

i N

; <

aE-\<

l ql

>

n B

r' *.=

.Ytr.

"lz \

.-) ;i >

o 9)

Ei ;g

is --. !s=

ieEc

€t E

;

g; jl^

:: ;'F

F;

tl -r'iH

--,gio xJ^;qSS

C;

sl ?gE ll;;i;F

i iiE

iEe'c

,.;1 ;::

??iA:'B

; S

[ X

"treosi

*; F

<

<F

;iI-Gr

=S

F se';

Sl

riS

ii3;E:*l^

*-i s's-3'?I

:€ $ *t+5 IyY

'5t$ S s:l

i ; p A

iii;{;;-E;=

I

qEE

I -,p T

sSc:{T

?€l-Eti

R, e"*

I r r s. ?i II:iI ri €is f E;r

i * 3 o rS

5< iS

i i <

l+s

: E

EE

i ;-)E

>

:rr.E€,'€

I.iE;

_:. .i;<-,

I ;1$:3,1;?iE::5

Esi rsei

I tlo-t

Xt

i, v 6.iXes

E3:3;

li: i

{EE

I ET

E -!$=

=pi!;€l^tS

r sgi,Ei E

'j= ;!€S

gE ;--E

t: E

aA$u

it E

tr;;fE

r iS

tF€E

fi;i

- E

*:if i+

j

l----,= ': <

247..i

r .E

**=--.g;

* E

fg S.qE

;i:i

; i

{<aa a"

5 i*i

s-f;iig

E-

E

s&v;

x :-

'+l

ll

{r ,r

tktiI8t

-_iiXIi

-\

.=

E;




Resenja. Ocevidno su sve cetiri date funkcije neprekidne na skupu I" \ Z. Ispitajmo sta se desava u celim brojevima.

a) Funkcija f(x) = [x] dodeljuje broju x -E najveéi ceo broj-koji nije veéi od x.

Dakle, za k E Z je lim f (x) = k i lim f (x) = k - 1, pa f ima prekid prve vrste x-,k+ c-k-

u svakom celom broju k (slika 5.4).

b) Odredimo levu i desnu granicnu vrednost funkcije f u celom broju k:

lim .(ax+b[x]) =ak+bk= (a+b)k i lim (nx+b[x]) =ak+b(k=1) = (a+b)k-b.

Kako je b 0, to siedi da f ima prekide prve vrste u svakoj tacki k.E7G.

c) U tacki xo = 0 funkcija f je neprekidna, jer je f (0) = 0, i vazi

lïm x[x] lïm x lim [xi =0-0=0 i lim x[x] = lim x urn [x]=0(-1)=0. x-0+ x-O+ .x-.0+

Akoje kEZ\ {01, tadztje

11m x[x]= lira s lim [x]=k-k=k2 i lira x[x] = lim x lim [x]=k(k-1)=k2-k. . -

Dak1E, data funkcija ima prekide prve vrste u svakoj tacki skupa Z \ {0}. d) .Leva i desna graniena vrednost funkcije f u taeki k E Z su jednake. nuli, jer je

hm [x] sin(rx) =k lira sin(rx) = 0 i lim [x] sin(rx) = (k - 1) lim sin(rx) =.0. x k+ x--,k+ -

Kako je i f (k) = 0, iz teoreme 5.5 siedi da je f neprekidna i na skupu Z.

5.20. Odrediti tacke prekida i njihovu vrstu za sledeée funkcije:

a) f(x)={

il/xi' x0> b)

.f(-x)={ x [ljx] , x 0'

0, x = 0; 1, x = 0;

c ,`'rx) - ,i [1,/x2] sgn (sin(1/x2)) ,

x ` 0; )

{ 0, x = O.

Resenja. - -

a) Na osnovu smene x = 1 ft i t = [t] +r(t), gde je 0 < r(t) < 1, siedi lim [1/x] = x-,o+

lim (t - r(t) ) = 1-.. Analogno je xlim 11/x] _ -00, pa f ima prekid druge vrste

u taeki O. Sa druge strane, pomoéu smene x = 1/t, lako se dobija da f ima prekide prve vrste u tackama i/k, k EZ\{0}.

b) Kako je limx -[1/x1= 1 i f (0) = 1, funkcija f je neprekidna u taeki O. U taekama

x= 1/k, k E 7G \{0}; vazi

x L11-

lim (l-+-E 1 - 1 lim

i

k k--1

xi e--,o+ \_k 1/k I k e-:o+ 1+kE 1:-

5.1. Neprekidnost funkcije u tacki

Kako je

lirü x-[1/x]= 1 k=1, k

to f ima prekide prvog reda u 1/k, k E Z \ {0}. c) Ispitajmo prvo neprekidnost funkcije f u O. U tom cilju, krenirno od niza x,; =

V2/(7t(1 +4n)), n E N, koji konvergira ka O. Tada je lira f (x) = +x,, pa f ima -Ko prekid druge vrste u O. Ostavljamo citaocu da pokake da za niz sa opstim cla.nom x' = 2/(r¿(3 +4n)), n E N, vazi Ern f(.xn') =

Ostaje nam da ispitamo tacke ii/k, k E Z \ {0}. U tom cilju, odredimo leve i desne granicne vrednosti funkcije f u ta6kama 1/k, k E N(dstali slucajevi su analogni):

/ l sn [ sin()) _ I(cY2] sgtt szn ((+)2 :+ J \'k

lim .

k 1

sgn (sin

k )

\J` _ (k - 1) e+{(1+)` Ci +EV)21/

r i -21

x-1/A- Lx x lim ]

sgn sm (- ) ) = lim 1( E-o+ \

e - s

ehó+ [.(1 -E f )2 j sgn

\(sin ( (1 -.e)2 ) = k sgn(sin k).

Kako su leva i desna granicna vrednost funkcije f u taéki 1/jc, k E N, razlicite, f irna prekide prvog reda u 1/tik, k E N (a i u -1/ k, k E N, proveriti!).

1 11 21

n\siri i

\vk /

5.21. Ako je moguée, odrediti konstantu C tako da fun/raja f bude neprekidna u tack.i

xo=O,akoje

a) f(x) _ (1xl -xl/x2, x 0;

C, x=0;

c) f (x) _ {

exp (x+ 1/x), x 0; C, x = 0,

e) f(x) :_ r xlnx2, x O.

C, x=0.

Rés"enja. -

a) Funkcija f se moze zapisati kao

_ {

]x%x, x 0; ) f(xi

C, x = 0,

- (1/x), {

cos2 d) f (x)

x#0; Ç x = 0,

0, x > 0; f (x) _ -2/x, x < 0;

C, x=0

r,J

c€ a !^ o ai a. o ii" r) o

.i.-

\'i

l I

r='

IP

-L o\J

- PI

I olli

Fl ,l ol

ri l>r

--t -ii

lt' - 6 ti rd 5: |\ E{ >r o (! h

:: =

.

f L-

---- 0,

)ll

5o

I s

z---

-:)t

a hiF

rrl

a '--

-/0a =

t

!.

,--\

+

"'--

t'I -

lo a

,l -'

<I

"',t

Fli

l

--l

o,.

\/\/ \---

l i,

- L-

J

l

(j.o

t}.F

pE

O_

5tD

oa5

4Fo

Qoc .)

<

\-

Flr

?--

<:b

l 6 :"$

rnQ ,!R

;. P

f o o

.lrl 6

r

"42

*,1

t3"

<

til

'N

o. .D

h-'

/---

\ .\ ?ril I

\-.

t\-;-

/




pa vai lim f (x) _ +, sto znaci da f ima prekid druge vrste u tacci 0, nezavisno x-;o-' od vrednosti broja C. Posebno, za C = 0 funkcija f je neprekidna sa desne strane, jerjetada

.Î(0) - m xlo+ f(x) = 0.

-1, .x<0; b) Funkcija f je jednaka f (x) =' . 1, x > 0; pa f ima prekid prve vrste u = 0.

C, x=0, Za C = -1, f je neprekidna sa leva u 0, dok je za C = 1 neprekidna sa desna u O.

c) Kako vale sledeée jednakosti:

lim f (x) = lim exp (x + 1/x) = 0 i lim f (x) = lim exp (x+ 1/x) = x-0 - .

to funkcija f ima prekid druge vrste u tacki Ó. Za C = 0, f je neprekidna sa leva u 0.

d) Kako, nezavisno od izbora C, grafica funkcije, f (x) = cos2(1/x), x 0, u 0 ne postoji, to f ima prekid druge vrste u 0:

e) Kako je (videti zadatak 4.47 b)): limxlnx2 = lim2x1nlx1 = - him (21nt/t) = 0, to - x-o . x-a0 je za C = 0 funkcija f neprekidna u 0, dok za C ima otklonjiv prekid u 0.

5.22. Odrediti konstantu C, ako je moguée, tàkó da funkcijá f bude neprekidna u datoj tacki x0i ako je:

r x-3

a)f(x)=S x2-9' l C,

x#xo=3; x=x0=3,.

4cos2x, x<x0=7t/4; c) f (x) = 2

: C(x +3), x>xo=l4;

b) f(x) = ( Cxx2 3,

l

d) f(x) = ln(x - 2) '

C+3, x<x0=2.

x>x0=0; x<x0=0,

x>xo=2;

Rezultati.

a) Data funkcija je neprekidna u tacci x0 = 3 ako je C = 1/6. b) Data funkcija ima prekid prve vrste u tacci x0 = 0, i ni za jednu vrednost konstante

C ne moie biti neprekidna u toj taèki.

c) Data funkcija je neprekidna u tacki x0 =21/4 ako je C = O.

d) Data funkcija je neprekidna u tacki x0 = 2 ako je C = -3.

5.23. Ako je nioguée, odrediti konstante a, b i c, tako da slede6e funkcije budu nepre- kìdne na njihovim donzeninza:

5.1. Neprekidnost funkcije u tacci 141

2x, a) f(x) = x2+ax+b,

c) f (x) =

Resenja. a) Kako je

I.x¡<1; (x > 1;

1

x {-1,0,1}; 1

a, x=-1; b, x = 0; c, x=1;

lim f (x) = lim 2x = -2, x--1+ x---1+ him f (x) = lim 2x = 2,

x--01- x-1-

(x-2)' x 1-2,2; x2-4 ,

a, x=-2; b, x=2;

x cos (2) sinx

a, x =.0; b, ,c=it.

x E , 2 ] \ {0,74;

lim f(x) = liai (x2 +ax +b) = 1- a + 1) .. --1- x --1- him f(x) = hihi. (x2 : +ax -Hb) = 1 +a +b, x-'l+ x-tt+

to je funkcija f neprekidna na ]I8 ako i samo ako je 2 =1 + a + b i -2 = 1- a + b.

Dakle, treba uzeti a = 2 i b = -1. b) Kako je lim f (x) = -co, to funkcija f ima prekid druge vrste u x= -2, nezav-

x-.-2+ . . .

isno od izbora broja a. Iz jednakosti 2

him f (x) = lim (x - 2) = him

x -2 = --

0, x 2 x-,2 x2-4 x2x+2

sledi da je f neprekidna u tacci x 2 ako i samo ako je b = 0.

c) Pre svega, vale jednakosti: him f(x) _ +00, lim f(x) = -1, i lim f (x) = 0. Iz njih z--1- x-0 x-+1 siedi da f ima prekid druge vrste u x = -1, nezavisno od izbora broja a; za b = -1 ona je neprekidna u 0, i za c = 0 f je neprekidna u tacki 1.

d) Iz jednakosti Xi m f (x) = 1 i

him f(x) = 7E/2 (proveriti! ), siedi da za a = 1 i b =7t/2 funkcija f postaje neprekidna na svom domenu.

5.24. Ispitati neprekidnost slolenih funkcije fog i g o f na I[8 za f(x) = sgnx, x E 118, i

a) g(x) = 1+ x2; b) g(x) = x(1 + x); c) g(x)== 1 + x - [x].

Re"senja.

a) Funkcija f(g(x)) = sgn((1

+x2) = 1, x E !íi, je neprekidna na R. Mecfiutim, funkcija

g( f (x)) - 1+ (sgnx)2 = { ' x Q, ima otklonjiv prekid u tacki O.

111

( -1, -1<x<0; b) Uovomslucajuje f(g(x))=sgn(x(1+x))=( 0, x=-1, ili x=0;

I 1, x<-1, iii x:>0,

Dakle, obe funkcije imaju prekide f x) s nx 1+ s nx {t 0, n< 0, odnosnc S(. O= g ( g)=

l 2, x>0.

,U

!)

L6

!vCJ.V

V>

.. ' .Y

\rr+

a

\/ d,

PJ9-i-i

tr # -, ]i v

".g

E

\t '9

a) d'

9-.kEo

! !-,-O

O

ri 6

11 vl n

()_C

)N\I,

T

* 1.. il

.=l-

ll l.lx a

Gl

ooEN

- a

oo,aIN

-t +

MboilJE@

^,(<bo

,, ;-ll

t o

il

i: -l-

'(J ('-

(ut

au),l4x>

o=

Lv;-)

.-- 'o

tLbo)o>

oa)

-qi,_e*N+

i

,3r -E

_ _^

t i

E

sJ t)

7,

it I

I l]:

1;iT

r

P[ r

i=: i

: ;

E:5 s

rr '

= r

: a

d:'E

€ 9;

.; E

\-.

.l e --

y" 'l

{ - !; ,

s. t,

:.; I E lll 3+

:'E; =

sE

;=:'J

E

.l;E*;i:;

soou

E I

O

tr= >

y

' z

9 F

=

r -

.='ft

E

a :

o' Q

.1. :- o

H

2 q- F

! -* I

=.)*H

\ llr€;lF

t€ {;

-=)

gT

.- q

kii ^,

^ t,

E

il E

- =

l o

:? ll

^ t

] o

'l H

.\

-'

t E

_9 i E

l I

<

\:a ?

3 'C

- t.,

*-EE

;';=;E

lErE

e+t

E 11 9 E

E

' 'H

-r1 lr =

,iE

-q'Xll

il -o'-

*N

'ii:"

'::^r :

.=:

=

? =

.- |

e o -

-- ri

o ,

'l >

-O

J

e -l

^ O

-.i:

iit^J pE

=:59

;=

:o'k'-criijoNrn=

r:,E<

s fitE

E:&

S

i?

" 6

=

-Ni

- !N

7'

+

-ipi#E

i€ !:sE

Ee tr

g.=r=

=E

s.g'i g$!gEe:I

^' -

=

-() -

6 .-.

i =

c-) f

i'l F

: J.

.- i

a ;

€ @

=.-

6 _v

:L!

J .-i

;'=

-A

^-3 o

E

t-,l o.,l X

6 -

r =

^

EJ

sd'z Z

;&#5rE

B

GH

a a

6 a

xi

H:U+

Nnt

N..

Hl-,

, al

ll' ..

H,lurili

kk4

I

A-.i

rg ll li

ll8H

*t

lli

VI A

-x, t

$

- --l

']-l* utolvt

- -.

Î id

c!l.ct{'llnr

al6r. 12

e I

!r {l

+-,-

s-r'#

t-1.- .-t+

I

ttt-:-t tl

lr

+!tk

c.l !+

qv-l

illl

JZ>o(Joo-ts

Eq0)

z-iv.,

tix

ooSF

gSE

$l

: !

: d

€ 6i5i

E

$=

E

;

- l;

: dd

1 ,

E

E

g p

R

f i

.: ?

E

,il _:;

S

tf

; :

€ .tt-

; :

F

exo i J,

6 i

u 2

,' !

x -

j T

/tv

\ \

g :

?l-,.,J^(,ip*-u:5

E

t I

3 :-

it ,i

i ;

,o; :

.SE

+

.:

'9, '.,l

I F

' \

-+.- -ln.+

c

->

i s

?:; H

I € i

-;\ l='

{B o; i

=

- '

? tt

+

E

: q,J-.-,

N

ri ,

+.;

ii E

? t, _

=

I ,3

yt-1- ;;

,,, ,', -

\ u

=1 !

g E E

s 1

1 Ji

?J r!ott

.5\tr9Ek.v-'=

vo'

: ;

,.{ -

:l i

E

i i

u o ) '

o

vn It E

,;

oJ t

"; ei

a -

- 6

<

-J -r

.-.-j E

i a E

.2 S

S

-r E

"' ':

o -

; ;o:^

t s

I|H

l ,,

a1-vg

- i

Ee=

t o

'S

E>

.q o,t'._._

v- u-,L

? F

tÊ

^ =

gr

# 6 lr rt

i E

E t i

=i

I e..

,, -uo ,1 ;6

E

i ri ri pf

iias: :

I fr;

1i i

::p* .E

qJ

oo.,,

=Y

-==

i:.

,<E

C!\;F

=Y

v\xk.JL=66iA

s.j€:j!-'

rE

+ ri

€=:

H a

\l' -*

E5E

€€ :i

s E€ :

i !E

t g,o, :"

!o- E

*!;t *i

E

[; ?

6. EE

{ \

Y

qro_ t; iE

E *F

. i€E

a!

;. E

9;'i

,$ =

rl't,

3"1 -

E il E

=

i.S;

q! E

-- - ?E

c I E

g"''* nu il,;3i

gi;

'z +

S;: : S

*:-y !.gi!,9

gEc

I ,N

'-:

':::i,,F

1j=-^(jL-'i;--=

=d=

=E

ry

_rr : -

E

:.,-='3

| -E

.: J

5 ., E

E E

.j E

q, i

,i Sg -!::,zZ

et s S

S ?

e t-8aE

E

{i6

a 6

$ ,&

ea ca

riro

ui

9c;tD

=>

l:R

0.,

--a o

eto.r9d)od-a

{U'udll!v,

ts a

-To

.!Y\-r'[k€

r, ll

)U

a. i'

siiYq^(rN

O

',h E

QO

I I.!

Iuk'=(+

-- =-

I .-tso!

,N

U

.iJ

>

>,4

otU

I"\l

-l

I

=t

E]

E:



142 Chava 5. Neprekidnost .funkcije

prve vrste u taèki x = 0, a funkcija f o g ima i prekid prve vrste u tacki x = -1. c) Obe slozene funkcije su neprekidne, jer je za svako x E R:

f (g(x)) = sgn(1 +x- [x]) = 1, g.(f (x)) = 1 +sgnx- [sgnx] = 1.

5.25. Ispirati neprekidnost sledeéih funkcija: 1 nx - n-x a) f (x) = lim , x > 0; b) f (x) = Jim x E 18; n-,2+x" ,t nx.+n-x'

,

c) f (x) = lim /3 +x4i, x E II8; d) f (x) = lim (1 - sin2n x), x E R;

).f( e x) 1im = x E R. "---°° 2 + (2 sinX)4i

Resenja.

0, x E [0,1); 1/2, 0< x< 1; a) Kako je: 1im xn = 1, x = 1; to je f(x) = 1/3, x = 1; pa funk-

"T + .x>1, 0, x>1,. cija f ima prekid prve vrste u tacki x = 1. Primetimo da granica niza neprekidnih funkcija ne mora biti neprekidna.

b) Lako se pokazuje da je f (x) = sgnx, tako da f ima prekid prve vrste u x = O.

c) Pokazimo da je f(x) = 1. 1x1 < 1. ' Sto Ce znáciti da je f neprekidna ná R. { x4, 1x1 > 1.

Za Ix1 < 1 vai iF.3 < +x4" < VT-E- 1 = N., pa zbog lim ij = lim " 4 = 1 vai n -.a,

f (x) - lim %3 +x4n = 1. Za 1x1 > 1 je f (x) =

ñ itin {%3 +x4i = lim x4 %1 +3x-4" = x4. ,a-00

d) Funkcija f ima otklonjive prekide u tackama (2k+ 1)7t/2, k E Z, jer je f (x) = 1

za x E \ {(2k+ 1)7t/21 k E 9G}, odnosno f (x) = 0 za x= (2k+ 1)7t/2, k E Z. e) Krenimo od sledeéih relacija:

12sinxl < 1< >(3k E 96) x-k7tl <7t/6 i 12sinxi > 1 t=> (]k EZ) 6< x-kit1 < L. Dakle, granina funkcija f je jednaka

x/2, za

f (x) = x/3, za

, 0, za

Isinxl < 1/2,

Isinx1 = 1/2,

Isinx1 > 1/2,

tj. za lx - kitl <n/6, k E 7L;

tj. za x= k7t f 7t/6, k E 7G;

tj. za ir/6 < = < 57t/6, k E Z.

U tackama xk = kit + 7t/6, k E Z, f ima prekide prve vrste.


5.26. Ispitati neprekidnost sledeéih funk-cija: ; .t

a) .D(x) = lim lim cos" Om! x)).; x E R (Dirihleova funkcija);

b) f (x) = x D(x), gde je funkcija D definisana u a);

c) R(x) = 11n, ako je x = m/n, (rn, n) .E Z x N, nr i n uzajamno prosti, odnosno

ROO .= 0, .ako je x E 1[8 \Q (Rimanova .funkcija).

Uporediti funkciju D iz zadatka a) sa onora iz zcidatka 5.11 b)!

Resenja. a) Prvi metod. Neka je prvo .x rácionalan broj, tj. x= p/q za neko p EZ i g E N.

Tada za ni. > g vaki

m!x = ni! 1J=1.2...(g-1)(g+1)...rn .p

dakle rn!x je paran broj. To povlaci cos(?im!x) = 1, ili D(x) = 1 za svako x E Q. Ako je x iracionalan broj, tada ni za jedno n7 E N nije x 'ceo broj, Ali tada vati 1cos(7tn7!x)1 < 1, stopovlaci

lim cos" (rim! x) = O.

Uzimanjem graniène vrednosti leve i desne strane zadnje jednakosti (kâda rn -+

dobijamo D(x) = 0 za sve x E R \ Q. Tako smo dobili istu funkciju kao u zadatku 5.11 b), gde smo dokazali da je funkcija D prekidna u svakoj tacki x E R.

Drugi metod. Dokazaéemo ponovo da je D prekidna u svakoj tacki reame prave, ali

koristeéi definiciju 5.3. . Ako je x0 proizvoljan realan broj, tada postoje dva niza, (r),ry i (i)EN prvi racionalnih, a drugi iracionalnih brojeva, koji oba konvergiraju ka x0. Tada je

limrn=xo limD(r)=1 i limi=xo limD(i)=0.

Dakie, ni za jedno xp E R ne postoji lim D(x), sto znaci da funkcija D ima prekid x-,x0 .

druge vrste u svakoj tacki xo E R.

b) Prema a) je 1D(x) 1< 1 za sve x E 118. Ako je xo = 0, tada zasvako e> 0 vai

If(x)-f(o)1 - lxD(x): 01 <.¡x(- lx-0j « pod uslovom da je Ix- 01 < S := e. Dakle, f je neprekidna it O.

Sada éemo pokazati da je 0 i jedini realan broj u kome je f neprekidna funkcija.

Neka je xo E R \ {0} i neka su (r)EN i (i)EN dva niza racionalnih, odnosno

iracionalnih brojeva takvih da je lim r = iim i = xo.

I11,.,;11;Li

-.1

'

5 N.)

{,H

P6U

TJ

a< 6\ E.

e 3

e C

- ii3

19i'o

r,'\\

\s-.

.: L

<S

-N<

-lll

l,r\r

c.D

(tll

\,-.=

-:H

:_,:g

\5:a

!l=

=

r!

. 6

i= i

3 A

= S

;

=_.

i,lJ

l <

= N

l S

* rr

1

,++

l Q

rl-d

,g

6;-:

l *l

-

I h

";

-:

'I-

l l':

' =

- o

llbl

, >

1 I

- q

b ^

=l

. R

+

c

j-':l

r.

r\/

i*

I ;t

D)

a'd.

,'3:l

n ^

-..i:

J-S

rs=

* P

F

= &

rn\

*

li +

+:

^|Jp

ryq'

:P.-

'"f'o

1=-'r

iL. ,CV

\\OoN

:i

, ,

E-

SE

:-:-

=F

*

iJ

i3

ll :<

a-

r r_

ir +

q

{-l*

;*a

-vli

I =

a

i15

"x't

lrn-"

?Frl'

r F

.=

?:

H

-\.

t c'

(:k

rll 'l

e 3

e g

Xi:r

r'>N

-dF

-tr

x-E

f;aJb

=.

='/T

\irll

:N(-

(D

3a,i,

l=

:/r5

6=?t

=:

<: s

3 F

e3x

i ?,

F';

F#

Ot:1

>tl/

_"(_

oD!:*

x S

'l rp

l i-

^ E

-c'

:-:

';i

" rA

3

il !

--H

5't/'

rru.

E

t ;I

$, x

l;:i

sk.

;B

_ ill

sj-_

a =

-'S*

n 5l

- tr

€*L

- V

ln:

.-x

*r A

J:U

iFn

- *.

(:

.ritn

F

=

'.D

ul"'"

x==

!j

\ +

t :

=o.

)(I.l

$P

3i-5

;@.5

8-:

<:"

=r

\ '

:=

^\

o\

oa<

^ i=

-F

r o

.-

-:i-

tg

u'

il N

-l

P-\

' (:

;: =

=

t

ll +

-)

: B

. B

5'J

;l

3 =

. =

=

N H

S

loo

o-

g X

x P

ll

l=

:. e,

6il

:-

iJ

rcl

I o

ii -+

\

=

:\'N

-'s

rt

-U

< E

+*.

<

::-.

A

; 'd

E

S,i-

t 6

r-d

o

ll(:

=

--'"

3l 's

) E

\

P:-

-'\

=

IlF

, 'k

5l

'r

D)'

-i- rr

r ll

z ?

AN

<

a4

Fi

O(!

'iqP

D

],-

'i-

Oo

D-0

):l= <

'1.

.. z-

J-.

I'lt

sh-

^-

I !

+d-

oNJi

jIA sO .{(!

NN

C\ "

;;;

\fll

t>itJ

.N

ro!::

') \.-

\\.

L

=.N

.)N

)N(:

l-

\a HO

D,

u l=

'fli

8=

c!l

'IJj-f

-

or

6'V

ll m

O<

-

!-^-

ll

o )i it

-'Y-

" (/

JN)

\/ ll

i^ i:

rd n

l1 f| u LL]

n) N >( I :i H N fr .A ti .t, t]-l rl N

o\l a r I H

1-l

!^ 2 o \l .i - tr o !+ h. o o

s id

:"i-'

:';N

NN

a. a-:ix

Eo\

ll ,

9ts*

X/tH

:iO

-+ . T

$^t\{ I

+.o

iirD

:l"o\

' "

+'-

/\ ^

Fu"

-,q

Nl

ll\{

.N

rT) N

;'*ti

i

*I,

-.*.

*,

- -"

#'h'

- *r

' - ,,5

{I Ils

^!u i. I t> I\j rd ll. ts 1q i- lr i>

rlC

)

lE tr tg l*'

I

t')

Fa+

a!.

: G :o{ .-i!: g:'

_!-/

A

_

2h n1 fr r-l

(D

l5 it!



w'Ì


Tadaje 1im f(r,;) =-..r0 1 =xo i lim f(i) =xp0=0,

sto znaci da f ima prekid druge vrste u svakom realnom broju x0 O.

c) Pokazaéemo da je Rimanova funkcija neprekidna u svakoni iracionalnom, ali je prekidna u svakom racionalnom broju. Neka je prvo xo E R \ Q. Posmatrajmo niz racionalnih brojeva (rk)kEN koji konver-

gira ka xo, gde je rk = tnk/nk, i pretpostavimo da su nik i nk uzajamno prosti za sváko k E N. Tada vazi lim nk =+.0, pa je

k-soo

lim R(rk) = lim R mk

I = hm 1 = 0 = R(xo)

nk

Ocevidno je da za svaki niz irácionalnih brojeva (ik)kEN koji konvergira ka x0 vai Iini R(ik) = 0 = R(x0). (5.5)

(5.4)

Ako spojimo relacije (5.4) i (5.5), to siedi da i za svaki niz realnih brojeva (Xk)kER koji konvergira ka xo vazi

lin 'R(xk) = 0 = R(xo). k-,.. To znaci dá je R neprekidna u svakom iracionalnom broju.

Neka je sada xo racionalan broj obliká xo = ln/n, gde su m i n uzajamno prosti. Iz definicije funkcije R siedi R(x0) - 1/rl.. Stavimo sada rk := (mk-i-1)/(nk), k E N. Ovaj niz racionalüih brojeva konvergira ka x0 kada k co; medutim, vai

lim R(q) = lím 1=:O y 1= R(x0) nk 77.

Dakle, funkcija R ima prekid u svakom racionalnom broju.

Napomena. Prema zadatku 5.26 c), Rimanova funkcija je neprekidna van skupa racionalnih brojeva tQ, cija je Lebegova mera nula. Pierna teoremi 8.1.4 iz (AK891, ona je Lebeg- (ali ne i Riman-) integrabilna na svakom konacnóm intervalu.

0, x = 0; 5.27. F dnkclJa f : R. R je data sa .f (x) = 1/x,. x E Q \ {0};

x, .xEI:=R\Q. a) Pokazati da je f vijekc;ja. b) Ispitati neprekidnost funkcije f u tackama x' = 1, x" = -1 i x"' = O.

e) Ispiiati neprekidnost funkci je f u tacki xo E R \ { -1, O, 1 } .

Resenja. a) Treba da pokazemo da je f it.jekcija,.tj. (dxt,xz E R) xi x2 f(x1) 7= f(x2), i

sùrjekcija., tj. (dy E R) (7x e R) y= f(x).


U tom cilju, stavimo

g : Q \ {0} \ {0}, g(x) = 1/x, (5.6)

la:II--->d, h(x)=x (If :=R\Q) (5.7)

Primetimo da je f = g na skupu Q \ {0} i f = h na skupu T. Jednostavno .

se

proverava da su i g i h bijekcije. Kako je unija njihovih (medusobno disjunktnih) definicionih skupova skup S := (Q \ {0}) U II = R \ {0}, a takode je i unija njihovih (opet medusobno disjunktnih) skupova vrednosti jednaka S, to je f bijekcija na S.

Najzad, kako je f (x) = 0 ako i samo ako je x = 0, to sledi da je f bijekcija na R.

b) Pokazaéemo neprekidnost f u tacki x' = 1 koristeéi definiciju 5.3. Neka je (xk)kErd

proizvoljan niz pozitivnih realnih koji konvergira ka x' = 1; nije restrikcija ako

pretpostavimo da je xk za svako k E N. Nag zadatak je da pokazemo

lim f(xk) = 1 (= f(1)). (5.8) . ._

Neka je E > dato. Oznacimo Al = {k E Nj xk E \ {0}} i Az = {k E IYI xk E R \Q}. Tada vazi tacno jedan od sledeéa dva iskaza:

(A) oba skupaAl i A2 su beskonacna; (B) jedan od skupova A1 i A2 je konacan, a drugi je beskonacan.

U slucaju (A), za j = 1, 2, vazi

Iim xk = 1. k kEA¡

(5.9)

Uvedimo broj i kao sledeéi infimum: i := inf { I xk 'Ike A

1}. Jasno je da je i> 0;

ustvari, .pokazacemo da je i .pozitivan broj. Ako je i = 0, tada postoji podniz (xk,)1Ety niza (xk)kEAt koji konvergira ka 0; primetirno da je svaki elemenatxk; gorr.- jeg podniza razlicit od O. Medutim, postojanje takvog podniza je u kontradikciji sa

(5.9), sto zna6i da mora biti i > O.

Na osnovú definicije f vai f (xk) = 1/xk, k E A1, pa iz nejednakosti i > O sledi

if(xk) - lI = Ixlxkll

< (inf{lxkj I kEAl}) 1Ixk-11=1-i -11. (5.10)

Za dato E > 0 izaberimo k1 E N takvo da je (Vk EA1) (k > k1 (jxk E)). To povlaci

(dkEAl) (k>k1 If(xk)-f(1)i<i-1(iE)=E). (5.11)

Kako za svako k E A2 vai f (xk) = xk, to za dato E > O postoji E takvo da je

('dkEAz) (k>k2=(Lf(xk)-f(1)I=lxk-lI<E). (5.12)

6 S

9?E

;. ;€

A

*: o\

,E ) *;

- 5

: .r

&ri

-; ^ E

ilezl ;E

r;

(-, :, -3 E

'- E

a

Yr ? B

iEE

E;"

! ':

Y) j:E

i't 4 'd .:

d € dE

aii"+4*^ Y

.F

r{E : ;

/ s

c< '?'l, V

:'9 t: \'

il E i

E

.; ,

I i

Eg.1 r'gge.i

2 gaH

i 'z^ q

r --t z

^:jE

*ql*ii* s , E

€ia;n.i I:,I+

EE

'f3;E

I ,E

l;E

E E

';i ;: ?,i

=k ygE

:;,:lE

j E

?;a€ $ i

g _: -[ ]

??:E;E

II;E;6 a

Y;E

$ r i; lii

CT

{.=a;;.E

i,t{A'$;

E*E

*"=,; {

=e=

i ilgf iE

a:A2:;S

I

t. E

aa=' :

q 3 {

F

;-

l rz;e;* l;i +

1i'E

E; I;39 :t n € { : i

i E

==

>

p s lJI r-

5S,6 5

=l

;.i e ?

ir =

_i

; -

r;

a *;

+-?

7=

{=X

:,

1-o E!'

+

= '=

r^tr 5-

S

li ir

:,

= r!qlio

E=

; E! =

.fr8i,.. E

iqEi*

{ 2

:;*',4.: ;A

i€!;:S

=+

.eeE{: ; -€E

=u" ; :

a : e

E I:t;l€E

) s: !I; #:T

EE

:i rl* F -. i {

i ;i+

Egtir =

rigo iE;*S

:gsiEi *{i

.=

adE.E

.9 9*?

Xr

:i=ai;=

c iEg!3

gEst'sE

=i_2-!

E

E|E

E=

t=.=

^,FiE

r gLZ

E;:

;e i

: E

s,Efe};+

ii::g €srB

;F iE

8 2

'= ^ € x.'a 6'F

E

fr

.:l

ilJ<oEIoz\ai

Ef{+F

l;rl::_';:E_*+

O2.ilO

I

-lsil no.rd

:1N,)ru=

@

tr'v!li

.- *

l4t-+

l o

!/.6

--<i:L=

iloE>

ii O

.r.-

lfz'=îdY

,Y

: at

d +

Lu

iq:vd'u=

^

=B

E!

:E-t

6 ;

i: Z

o

auN:i'-

z-.-aa7.a=

LoD-

, E

:?.a:

:: a

@ o

a' tr y 9

I

,arJ_:E...<

: zE

*-i

I,\-=

-L+-.H

i

-S()E

evli '.4

rji +

':- A

z "'J

=Ltr-U

.-^-.<!'-F

Y

- /

. -o

c--.., =

\ -d

13 -;* F

-^>a;'^

LJV@

lU.9

c o.Y

'Jard:-=

a-*

5 N

d

=

6.- 2

=

1=

l)fu i:6

Fj

;i; d, a Z'^

,-

CJ

q)

oJ<o?3&o!oz,,.is

Sisa<-ait*aRC;

.il

I<

tl.i-

|

tr,




Sada na osnovu (5.11) i (5.12) dobijamo:

(bkEN) (k>max{ki,k2} jf(xk)-f(1)1<g), (5.13)

Sto znaci da je pod pretpostavkom (A) funkcija f neprekidna na R. Slucaj (B) je nesto jednostavniji i ostavljamo ga citaocu za venu. Dokaz neprekidnosti funkcije f u tacki x" = -1 je potpuno analogan prethodnom dokazu, pa ga takode izostavljamo. Naizad, pokazimo da je f prekidna u tacki = O. Ocevidno je

lim f (x) = lim .x = 0 = f (0). xEI r-O,.rEi

Za racionalan broj x takav da je Ix] <1 vali

If (x) -' f(r) = If (x)1=.1 / 1xl > 1.

Izaberimo e:== 1/2. Tada za svako 8 > 0postoji xs E Q, x 0, takva da vali

ÌxSi <S I.f(xS)-f > 1 >e.

To znaci da granicna vrednost lin f (x) ne mole biti jednaka 0 (ustvari, ona i x-O, xEQ

ne postoji), pa iz teoreme 5.5 siedi da f ne mole biti neprekidna u O.

c) Pokazaéemo da je f prekidna u svakoj tacki skupa R \ { -1,0,11. Neka je prvo xo E Q \ {--1,0,1 }. Tada za svako k E N postoji iracionalan broj xk, xk xo, koji pripada intervalo (xo -1 /k, xp + 1 /k), pa je kim xk = xp. Medutim, tada je

11riZ f (xk ) = Jim xk = x0 # 1 /x0 f (xo),

Sto povlaei da je f prekidna u xQ.

Drugi slucaj, tj. za xo E II, je analogan prethodnom i ostavljamo ga éitaocu za vezbu.

5.28. Ako je firnkçija f :_ A C R -> R neprekidna na kompaktnom skupu K C A, tada je

njen skup vrednosti f(K) := {y. E R ( a E K) y = f (x) } takode kompaktan skup.

Resenje. Skup f (K) mole biti ili konaéan iii beskonacan. Ako je f (K) konacan, tada je zatvoren i ogranicen, pa je prema torne f (K) kompaktan skup. .

Ako f (K) ima beskoüacno mnogo elemenata, tada je za kompaktnost skupa f (K) dovoljno pokazati da svaki njegov beskonacan podskup S C f (K) ima tacku nagomilavanja koja pripada f (K). U torn cilju, stavimo T := {x E K1 E S) y = f(x)}. Kako je f funkcija, skup T je takode beskonacan. Sa druge strane, kako je T podskup kompaktnog skupa K, to on ima tacku nagomilavanja xp koja pripada K. Pokazaéemo da je f(x0) taéka nagomilavanja skupa S. Neka je (x),;Ety neki niz iz T koji konvergira ka xo, takáv da za svako n E N vali x xo. Kako je f neprekidna u xo, na osnovu definicije 5.3 vazi:

iim f(x) = f(xo), tj. f(xo) je tacka nagomilavanja skupa S.


Neprekidne funkcije na zatvorenorn intervalo

5.29. Teorema. Neka je fiinkcija f :A C R - IIB. neprekidna na interval,, [a, b] C A, i neka je, na primer, f (a) < f(b). Lida, za svako y iz intervala ( f (a), f (b) ) (tj. f (a) < y < f (b)) postoji x E (a, b) takvo de je f (x) = y. Posebno, akoje f (a) f (b) < 0, tada postoji c E (a, b) takvo da je f (c) = 0.

Dakle, nekonstantna neprekidna funkcija preslikava interval na neki drugi interval.

5.30. Teorema. .Ako je firnkcija f : [a,b] > R neprekidna, cada je ona ogranicena i

dpstffe svoj minimum i maksinnrm na intervalo [a;b].

Dakle, postoje dva broja x,,, i xM iz K sa osobinorn da za-svako x C K vazi f (x) , f (x,)

_r(x,)

<

5.31. Da li funkcija f(x) := sin(itx) +cos(rrx) -xz + 3 dostize na [O, lj vrednost 2 ?

Resenje. Funkcija f je neprekidna na intervalu [0,1] i u krajnjim tackama dostize vrednosti 4 i 1, jer je f(0) = 4 i f(1) = 1. Iz teoreme 5.29 siedi da postoji na intervalu (0,1) tacka c takva da je f (c) = 2.

5.32. Da li jednacìna cosx -x = -1 ima resenja?

Resenje. Funkcija, f (x) = cosx-x+ 1 je rieprekïdna na skupu R i na intervalu [O,7t] menja znak; jer je f (0) = 2, a f (it) = Prerna teoremi 5.29, tada. na intervalu [0,7c1 postoji bar jedan broj c takav da je f(c)=- 0. Ocevidno je tada broj c i resenje date jednacine. .

533. Pokazati da algebarska jednacina sa realnim koeficijentima neparnog stepena

a2n+ix2n+1 +a2," -}-...+a)x-;ao = 0, a2,-f-1 (5.14)

irna bar jedan realan koren.

Resenje. Primetimo prvo da je funkciá (x a ,' x'.1 +a2 x2r H- . . . + ail +ao J P J J.f )= z+1 ,:

neprekidna na skupu R. Neka je cien+l > O (dokaz je analogan za a2+1 < O.) Tada je lirrl f (x) = +00, i urn f (x) = -.9, pa, prema teoremi 5:29, f preslikava sküp R na ceo skup R = (-x,+.0). Posebno, postoji bar jedna taeka c za koju je .f(c) = 0. .

( z 5.34. Na primeru funkcije f : [--3, 31 R, date sa f (x) = --3<x<0;

-(x2 11) o < x < 3

pokazati da se uslov o .nepre.kidnosti funkcüe u teoremi 5.29 ne rno2e izostaviti.

Ll'

lo I

O = Sn z o cd a, F () C

D

i;(P

:^s+

I;f

-i V

s. e

sie.

fi zi

**x}

I3:

s3*:

srrE

.=rs

*ssE

3 eA

$Ii,

f $

t.ffE

I f*=

sH€;

eeE

lfS**

i iz

Egr

,= s

ir;

et'

;gs

Ojg

:Ia;:.

+

i*

Et r,

"6

",,-

i" s

; ":

r*

x_-:

il

,,*

=*i

in"*

=-r

u[E

iiili ;r

=iI

= i

f[fI:E

Fi

Eiq

-iEE

,{B

. 5;

,a l;

i;

r \e

P:,1

--

eE--

ilh-

:=F

r:-r

3'E

= ir

;i

ii F

=3f

r1+

a I

= 3:

=;*

EIE

;9=

g+;,-

.r:fi

.36.

=

| l

e?

? !IF

. *

d

E,[:

]isu;

:; rr

+;

r ?i

I ?,'

L r-

; ;-:

; lE

tEi I

;3r

€gi.a

f;3qE

. zt

'E

:c=

io=

I

6 -

r ?

I7;;:

r

g.jN

1=*F

fgsB

;$E

i:

id5g

A=

i=7;

1 ;

!g-?

FE

')'i

,:+t:s

';*[ii

+ 5

-;;+

!-ai

les'

:= t

-;E

l=

==

;c*=

;=-.

'\ --

! !

r;l€

,1*E

.g _

9€I

,l:

_?.._

='|?

tEE

.iEi6

i ii

; 5'

r*ui

n -i-

i + i

; re

; g:g

.h*r

c;ilE

isi'#

. \

11".

a l:,

e;

=i

€EE

l;i'

Fg5

tisiE

;i E

a ;i

rtf n

d 1

= i

E;r

=t];

;T;s

Esl

$s.;

?r.-

ra -o

lr-.a

grig

:il1

F;

:;;iE

3

" gY

*:..q

ri E

e.,i.

: 5-

E;

s ai

3-;

i :

t

rqaA

ri;tF

S;I

s)5

i $

+p,

l.t,l

-{-f

i>

": F

$ (!

, 1{

i

='

* t^

fE:"

1"ii

n"E

$ i

sE i

s E

'i

tz !o'

(d le ta-

io ]F i() ri l': lii iDr

ra j I I I I I I l I i I I I l i A"'

l-l

|;^L,

turt

xuq

!tfr'r

frL;

piiL

j.*

Ei

=rf

EE

. ^:

i

i=eT

:. F

=;E

: i

;,; li

s

=-=

--iF

ZF

! ^'

€ 3;

F'

: i

,.,r_

E!D

=

4lE

'I '1

. a;

i

iSS

; e

'd j

12d,

=.:.

:r

N h

';-E

'' {:

E

-E_

S

,,rf-

,I,9

F-

Si^

-E

Xl

i ;;,

':tl

i i

tE:=

$

=1=

s '

-= n

r ?

5-:'i

F

s *

-;E

! s

t- E

,g*+

S a

^[

1- s

E S

: f

*.nI

r 5

{ -=

\' ijt

;3

s-

i a'

l+i*

, S' :

:',4

E .

:* :

} s

o=e}

fE

-+ +

;+E

N S

i Ii-

: ;-

= -

- =

3 =

:i- E

.êi

5 f

$t'

€:E

: i

i. [

-$ii

I f;;

3 +

5; 7

iEii

I;t

fl;F

+'iS

+

eli;=

:, E

:*E

;s;x

€:!'i

':r

;.+ I

; $

*LE

I te

E =

5

*t'

[.5,=

';;,

if"

: ,,=

il? s

t,*i:

_EIF

? S

gf F

f;t:I

$; i

'ils

ii ;5

i11;

rE i:

c-s,

=:,i

H*

+

# jr :;-

a

$ ;.

5 I

3i*

; 't'

=l

E s

ii;

g

? d

L rV

,a

;r +

i,,

i S

' l, ''3

I

; E

; E

'EsF

3

Ir

Fj;.

i

* ,*

"[5'

--i:

" ?i

e ['l

$;f

B

$i 6

i$i i

$;If

g!s

ir+ill

lig;-

-,

gB-"

: ;3

f 36

li 3;

i,

I i

;:-l;$

*H

r i

6Pr

; f

p€

if i'

'. s

i i'.

i..-

ye,,_

EgF

a ,i

i js

y S

g i

i $

s- !

tiil:

33€i

. :l

Tu7

6E

'.:

iiSii

i:.

6. 9

=

,: rr

.. i

E_

=

.;_

rl,

: d

.*

:)_:

'r"

rilit'

"A

! F

;; 'io

':

'i i

ei

sii.o

o:

*^:

c;

ir;'

*H. i

\ :

i'i

>+

ri i-

:)i'+

3

*;g

gI'$

-i,

T #

3 )

-sS

'.rr

E X

f .f

\ :.5

E

E ts

)

- i

=,

, >

_".

i' ,:;

a

=;1

a

; e.

eE

,Z*;

: ;

i: ;

e S

,,-

tr

:l ^

et

<

C

=:=

!

: j

- -.

- -,

y 3J

S

5 ;i=

ts

X,

,n

: I

Si




Resenje. U krajnjim tackama intervala [-3, 3] funkcija f prima raziicite vrednosti, jer je f (-3) = 10 i f (3) = -10. Medutim, f (x) # 0 za sve x E [-3, 3], tj. f nema nulu na datom intervalu. (Primetimo da f ima prekid prve vrste u taeki O.)

2x+2, -2<x<0; 5.35. Pokazati da je funkcija f(x) = 2x, x = 0; ogra.nicéna na intervalu

2x-2; Cl<x<2; [-2, 2], ali da na tom intervalu ne dostite ni svoj tnaksimum ni nainimum (uporediti sa' teoretlaom.5.30)

Resenje. Na intervalu [-2, 0) data funkcija raste od 2,25 do 3, i u tacki x = 3 ona ima supremum, ali nedosti2e maksimnm. Na intervalu (0,2] funkcija raste od -1 do 2, ali u taeki nula óna ima infimum, ali ne i minimum. (Primetimo da f ima u tacki x = 0 prekid prve vrste.)

x+2, -2<x<0; 5.36. Pokazati da funkcija f(x) = _x 0 < x < 2 dostite na [-2, 2] maksimum

(u taeki x = 0). i minimum (u tacki x = 2), iako nije neprekidna na [-2,2]. . .

5.37. Neka je funkcija f : [a, b] - R monotona. Ona je neprekidna na intervalu [a, b]

ako i samo ako je slika' iriterala [a; b] interval sa krajnjim taçkama f (a) i f (b). Pokazati.

Resenje. Ako je f neprekidna, tada je prema teoremi 5.29 skup vrednosti f, f ( [a; b] ) ,

interval. Neka je, na primer, f rastuéa funkçija.. Tada, za sve x E (a, b), vazi: .f(a) .f(x) <.f(b) paje.f([a,b]) = [.f(a),.f(b)] Neka je f rastuéa funkcija na [a, b] i neka ima_.prekid u tacki c E [a, b]. Tada je, na osnovu zadatka 5.16, to prekid prve vrste, pa vai f (c + 0) := lim f (x) f (c) x--w+ f (c

- 0) := lim f (x) f (c). Neka vai prva nejednakost; tada je f (c + 0) < f (c), x-c- jer f raste. Tada za d E ( f (c + 0), f (c) ) ne postoji x E [a, b] takva da je f (x) = d, pa skup vrednosti f ( [a, b] ) funkcije f nije interval.

5.38. Neka je funkcija f : I -* J neprekidna i strogo monotona na intervalu I, i J = f (I). Pokazati da tada postoji inverzna funkcija x = O(y), koja je neprekidna i strogo monotona na intervalu J. (Ako je f rastuéa i 4ì je rastuéa.)

Resenje.''i?unkcija f je preslikavanje "na," jer je J = f(I) i, zbog stroge monotonosti, "1-1",,à;ïáaci bijekcija, pa postoji inverzna funkcija $ = f-1 : J -> I. Nekaa je funkcija f rastuéa. Neka su yi i yZ elementi iz intervala J takvi da je yi < y2; tada postoje elementi xi i x2 iz intervala I takvi da je f (xi) = yi i .f (x2) = y2 (Yevidnfi je xi x2; treba pokazati da je x; < x2. Ako pretpostavi-no da je xi > x2,

5.2. Uniformna neprekidnost 149

tada je zbog monotonosti yt = f (xi ) > f (x2) = y2i sto je suprotno pretpostavci. Znaci (1)(yi ) = x; < x2 = (1)(y2), sto znaci da je funkcija strogo rastuéa. Iz zadatka 5.37 sledi neprekidnost (I.

5.39. Pokazati da za funkciju .

2;,+1 2n-] 23 3 f(x) = a+lx +ax I x2,, -3 +... } a2x +aix+ao, (5.15)

gde su ao, al, . . , a,,, a+1 pozitivni bmjevi, postoji inverzna funkcija koja je ras- tuéa i neprekidna na skupu R.

Resenje. Funkcije x2"+1, x3, x su neprekidne i rastuée na skupu l','. Kako su koeficijenti an, al ; . . .

, a,,, a+i pozjtivni brojevi, to je i funkcija (5:15) takode rastuéa i neprekidna na R. Skup vrednosti funkcije f je skup R. Tada náosnovu zadatka 5.38 postoji inverzna funkcija funkcije f koja je rastuéa i neprekidna na skupu IR.

5.40. Pokazati da postoji neprekidna funkcija x = x(y) koja zadovoljava Keplerovu jednacinu x- E sinx = y, gde je 0< E< 1,

Resenje. Funkcija y = y(x) je neprekidna. Pokazimo.da je rastuéa na skupu R. Neka su xi i x2 proizvoljna dva broja takva da je xi < x2. Tada je

y(x2)-y(xi)=x2-ESlnx2- (xi -ESinxl)=(x2-xi)-E(sinx2-sinxl). (5.16)

Kako je x2-xl

1

x2+xl .. x2-xt 1sinx2-sinCl¡=2 sin cos <2Ism <Ix2-x;¡=x2-xi, 2 2

- 1

2 - iz jednacine (5.16), a na osnovu pretpostavke 0 < c <:1, siedi da je y(x2) - y(xi ) > O. Sada, prema zadatku 5.38, postoji inverzna funkcija x = x(y), funkcije y, koja je rastuéa i neprekidna na skupu R.

.

5.2 Uniformna neprekidnost 5.41. Definicija. Funkcija f : A CR, -R je uniformno neprekidna na skupu X C A

ako za svako e > 0 postoji broj S > 0, koji zavisi samo od E, takav da za svaki par xl,x2 E X sa osobinom ;xi -x21 < rU vati if (xi) -f (x2)1 < E.

Koristeéi logicke simbole, definicija 5.41 se moze napisati na siedeéi nacin.

Funkcija f: A CR -- II8 je uniformno neprekidna na skupu X C A ako

(Ve > 0) (38 > 0) (Vxi,x2 E X) (Ixi -x21 <8 If(xi)-f(-z2)I <E). (5.17)

Uniformno neprekidna funkcija na skupu X je neprekidna u svakoj taeki tog skupa. U opitem slucaju, obrnuto tvrdenje nije tacno; medutim, vati sledeée tvrdenje.

'i ;-

i ..38^,

+

-{ G

^.q

<t

.. r

E

eI IE

t?i = '3 I€.i

i€. 6le

iq 'i S

EE

EA

Z ? i-;+

cs'E

te:EgE

F

:5 eiT

p *

t =

,=

i* 3t

ip< ^

E.H

+$

r* E;:E

s: i i8:

!t E

;i€5iE

'ii

ii:i E

*:F 'rT

E

]'*i lrr

''; is.H

E"-us t€; l^1,[

il]n.ai<E

;in.i:B

rerES

;*lg E

Ei[E

+B

EQ

g I,i #it,-: fris +IE

Ht,1*!iliiE

:E

c= i

q;=,E

5;

'5 ;

^"i'4 5

sQ'3 <

: -

-to.ee

+ s

I::9 ;.

E!

i ',

a;:- i

Je : v', t

: =

:!

:-;E r i.;E

;; siEE

i fr5rr a ;i; E€ i;g

Era F

-i +S

,.iE t;:E

v, '= ;?t : lS

:i=*;E

FZ

i'i ,3. --

:t - -=

g'i i,

g;r *ô i!i==

5 :[i+;

;:gE

E S

-RE

EJ;gi

8 rZ

E T

:

:rn ; i =S

,i.EE

it 5s r E

*sg E E

ti ai Oilg

3-:6 -; I oN

t SE

,i S- -vE

x ?

;

!5* I i *i E;E

e i,; ;l r i a's5; s ,lr; i,.i; E

E.g.r€

E

\ i

glE

-! i.i

*:iqf ;'E

d; x 4 -a FE

'?'ES

- u:'

-'a'7'sN

s{ ;aS

EE

:;eEf;

X

33r tEt;tS

}Si

:{'ii q'P

Itnu);

"l qlol"Ifl-:<

I

!ta-to'l;lF

I

\t.lril

,.8 t

t .E

€'g S

:-s

F's E

=ii

rg E

vi;rE

t E

! ;-:

s :=

!i

*st1 I,g I

:t;.i:a ::

t:E E

-.,-iS *itii;S

ii

Esir

Eli

,E i i;E

r+ sF

E{ E

:**! :i s.,i"i

EV

; E

: i2E

t;

s:s E;

y-Eif *

si i:sâ

sll $l;E

E

,rS$! +

s*ll+

;i_f.-Eeg

iti."= fr?; €g$s x!ig€v s:;rlsrB

L.^'o \/

-*Q'}it

i;l' E

N

EE

o^,,i iI

X*- i<

€|; !?F

.ll;i*

*.i -iir

:r=

;)'s' st E

;5+'! a;:E

!ii l,iF

ti,i<

E ;i;3

v,==

v, iS

:s 5i=

ri;3: e*:

siEi:,,

aE\

N.ie

s:g jol.

sE

;-sg;1i.r, ;o=

= -'d^*

+E

E *-.^5 iiE

" I si [;iE,i'[3.: ;:E

r.l":*E

:E Y

-: E

E; IE

is 5l+

?i#3'3 *Ei.si!tE

Eif

5 E iE

E

S T

s Est-E

:IE iI* :A

Iif,S

*; ,!E

3.'f,E

, iS E

; giq'3r<

!3 i:::i **;-iE

i; I = -LiE

E j:* {E

Ei:=

;;Y* t$t *aE

EX

E;E

t si Ei*i S

: $s $;lr*E,$: t$i :if,;B

{i,iE

i

Ss E

E;=

:? tÊ

gE

.

iiE E

:E E

=E

E E

;i ii* '::;iE;ri iiS

".E'xflE

g.i<

=

S.i!

"ie=o

ss S

.+ E

is--si:*; ;S

!."--tEi

,il*E q -_;,ri":l

N ! **E

:fE<

=e <

i[ =

83 fiiis&

,r'EH

}',&,-se,

. ro

ut ttt

oJ<otl.F.<Io.oz'rici

E]

oo.+




5.42. Teorema. Ako je fimkcija f : A CR. neprekidna na kompaktnoai skupu K CA, tada je i uniformno neprekidna na K.

5.2.1 Zadaci

5.43. Pokazati uniforinnu neprekidnost sledeéih funkcija: a) f(x) = x2 -x- 2, x E [3,6]; b) f(x) = 5x - 4, x E R.

Resenja. a) Naravno, uniformna neprekidnost funkcije f siedi neposredno iz teoreme 5.42, jer je f neprekidna na kompaktnom skupu [3, 6]. Mi temo, médutim, tvrdenje pokazati direktno. Za svaki par x1, x2 E [3,6] vati

Íf(xt)-f(x2)1=I(xi -xi -2)- (xi -x2-2)1=Ix1-x2I !xi -1-x2-11 <11,Ix1-x2I. Odavde siedi da za dato E > 0 motemo izabrati S := E/11, jer tada vati impflkacija

(dxl,x2 E [3,6]) (Ixt -x21 < S If(x1) -f(x2)1 < E).

b) Kako za svaki par Xi ,x2 E R vati If (xi) - f(x2)I = 5 Ixl -x21, to: za dato E > 0 motemo izabrati a := E/5. Tada vati sledeta implikacija:

(VT( ,x2 E 1(8) (ixt -x21 < (S -f(x2)1 < E).:

Primetimo da je ova funkcija uniformno neprekidna na nekoinpaktnom skupu R (jer skup realnih brojeva lI8 nije ograniten).

5.44. Data je funkcija f(x) = 1/x, x > 0. Pokazati a) da je f uniformno neprekidna na skupu (c,1], gde je 0 < c < 1; b) da f nije uniformno neprekidna (all jeste neprekidna) na skupu (0,1].

Resenja. a) Neka je E > 0 dato. Za svaki par xl,x2 iz intervala (c, 1] vati

(xi) -f(xz)I = 1x1-x21 < Ixl --x21 xlx2

Zato motemo uzeti S := c2E, jer tada vati

(dx1,x2E(c,11) (Ixt-x21 <8 If(xl)-f(x2)1<E). Pitanje: Zasto nismo mogli prosto primeniti teoremu 5.42?

b) Dokazaéemo da funkcija f nije uniformno neprekidna na intervalu (0,1], koristeti sledeéa dva niza: x = 1/n, n E N, i x;, = 1/(n+ 1), n E I`, koji oba konvergiraju kaO.Tadaje If(x)-f(x,'t)1=1f(1/n)-f(1/(n-!-1))I-1n-(n+1)1=1.

5.2. Unifortuna neprekidnost 151

Ako stavimo è := 1/2, tada z.a svakó Q

Ix-x;,l = n(n+1)

<S. Topovlaci If (x)

neprekidnost funkcije f u svakoj taéki xo

< & < 1 postoji n = ns E i` takvo da je

-f(.x;,)I = 1 > = E. Konacno, pokatimo

E (0,1]. Za dato E > 0 izaberimo

o E S:= min x

`2,2xó (5.18)

Ix-xpl 21x-xol Ako je Ix - x01 < S, tada vati If (x) - f(xo ) I= x xQ

< x2

< é. o

Napomena. Vano je razumeti da je broj S iz (5.1.8) zavisio ne samo od E, nego tacke xo. U stvari, u b) nije bilo mogute odrediti S uniformno u odnosu na xo.

5.45. Ispitati uniformnu neprekidnost sledeéih fimkcija na niihovim donieniina:

a) f (.x) =1nx, x E (0,1);

f(x) -{ x x E(0,zt);

0, x = 0; c)

b) .f (x) = x sin x, x E 10, -i-00);

d) f(x)= e`-cos(1/z), E (0,1).

od

Resenja. .

ai Pokazátemo da je funkcija f (x) =1nx, x E (0,1), neprekidna Ú, svákoj tacki xo E

(0,1), ali nije uniformno neprekidna na otvorenom intervalú (0, 1). Neka je xo E (0,1) i neka je E E (0,1) dato. ,Nejednakost

If(x) -f(xo)I = Ilnx - lnxol < E

je ekvivalentna sa --E < In z

< E ili xoe-E < x < xoeE. To znaci da ako uzmemo X0 ;..

S := min{xo -xoe-E,xoeE -xo}, tada vati sledeta implikacija:

(HxE (0,1)) (Ix-xol <S f(x) --f(xo)I <81/ .

Na slitan man se pokazuje neprekidnost logaritamske Y:unkcije na intervalu (0,1 5.). Pokazaéemo da f nije uniformno neprekidna na (0,1), kóristeéi nizove (x)EIi i

(x,1')nEN, gde je xn := é i x' := e,Iti

za n E N, koji océvidno konvergiraju ka 0. Stavimo E := 1/2. Tada za svako S > 0 postoji n = ng E N sa osobinom da je

e-1 Ixn-x

=.en+1 < (S.

Medutim, za to n vazi: I f(x) -- f(x')I =. (-n) -(-(ü+ 1))1 = 1> E, pa f nije

uniformno neprekidna na (0;1).

1l

tn l! ln l!r I lz I8 c, IF l5 Ulb t+ l{ i5

'IF lo t(

}

.%4{

f.J t' lc i& i3 lF) 5 irb iH lh:

tg io lb (-\

e-]1

-,

h g

ll +

f:F

F

': fe

5

E-t

rii

I=5

id:5

P:

5i3

E-g

i.=

, =

r

r+

Ss

1 H

iI i

i ;a

; ,-

"--

f :'

; y

x :-

=l

J

: s

p= i

i ;

| :

E 5

o

?*l--

a b

* !.u

.r,

D

-F

o e

- i

16

/'\

*-:

,ri

tr

ag=

.c!

:x

3p":

I'l

;i,s

j* E

3{<

\>

i

s;

fi 3.

g s

'=;

> 6

a;

.eo

i =

-1 >

7'

:

E::

q= g

=:i

P +

E,E

5

3 r=

+*.

{ l

iII

. _.

i 3'

? >

.j-,

t i

3;

- 5

: jn

, =

g'

:r

;'=

3 r:

,i n\

7\t t

T fi

e i;5

+* i

.'rj: ei

r5'

r

i=;

i ?:

-=

4i

':-

i -

=,:

B x

ie

" li

=D

sr:

DJ-

:E

:t: z

iE ;

=iE

r' l-

r'-Y

*,g,

il =

''

s C

. a

:, 9

= =

tr

J i

r :

EH

. "a

: i:l

ig

''ll

5^l

; ?i

'

: x

3 1=

F

; -

:

'D

sD+

;

; i

A6

A

E E

. 1

*r

5 ?

9=

=?'

LF

=i

f"

=

i E

a aa

+I

=

€'ri

3- o

Hta

Gi!.

o-

Z

; Z

E

3A

i* flt J} I= I k O. o? il \ H o' >i- .D

t:-



I 52 Glava 5. Neprekidnost funkcije

b) Pokazaéemó da data funkcija f nije uniformno-neprekidna Neka je x = nit i x' = nn -{-1 /n. Tada za dato 6 > 0, postoji n = ns sa osobinom Ix -x'1 = 1/n < S. Ako stavirno E. = 1, tada za n > 2

tinsin(int) - 72?t-1 ) sin (nt1- 1

7x> \ nl ( I)" sin j

i

j /17L+ il > 2

,

i I > 2 > c.

\ \ / \

(Koristili smo nejednakost sinx > 2x/Tt, O < x < rt/2 - pokazite je!) Dakle, f nije unifornmo neprekidna na [0,+.) (iako je proizvod dye uniformno neprekidne funkcije na tom intervalu).

c) Za xE [0,n) vai nejednakost f (x)1 < Neka je E > 0 dato; nije restrikcija ako pretpostavimo da je 0 < E < Tt. Ako je xr,x2 E [0; e/2], tada za 61 := E//2 vazi

-Ix' --x21 <61 If(xl)-f(x2)I <x;+x2 <E, (5.19)

Ako je x1,x2 E [E/2, tt] ,±ada vazi:

If (xn)-f(xn')1 =

If(x1)-.f(x2)I = xi s 1 - x2 sin 1 xi X2

< Ix, -x2.1 sin 1

+x2 xi

xi sin 1 - x2 sin 1 +x2 sin 1 -x2 sin 1 xi - X2 X1 xl

2 sin xl -x2 cos

x1 +x2 j

2xjx2 2x1x2

xi x2I 1, < 1X1 -x21-i-2x2

2 2x x Ixt -x2I +x i jxJ x2 1

Tako dobijamo ]f(xf) -.f(x2) < Ixi --x21 (1+2/E). Tada, za 62 := e2/(2+£), vai sledeéa implikacija:

(`'X1,Y2 E [S,%t)) (Ix1 -x2I <62 If(xi)-f(x2)I <E). (5.20)

Za dato E > 0 izaberimó 5 := min {e/2, 0/(2+ s)} ; onda iz (5.19) i (5.20) sledi:

(dxJ,x2E[O,tt)) (1xi-x21<6 I.f(x) )-f(x2)1<E), Sto poviadi uniformnu neprekidnost funkcije f na [O,,t).

d) Kako je 0 (0, 1), data funkcija je neprekidna na (0,1). Sada demo pokazati da ona nije uniforrnno neprekidna na (0, 1). Nekaje

za n E N. Tada-je

x = 1/(2nrt) ix'= 1/((2n+1)7t)

ïim 1:inx'

d *a

E:

E :e ..-v:E

,g

--i sE

'a +

-i

- E

: E

\

'-i,'o E

=

I

r- 6

,e _

: i

>.=

..- il

q ..l

?+..,

-; il

=

: ->

v I

-: ] o E

c)'

- =

@

-l ii

= -

o ;iS

E

tS

,i=

E=

., I -:-;

-i= E

i;

EE

-ll -G

$r

==

?:+Y

2 ,-rl ,l- -15

i E

.; gfi'f

-i? .i

:: *!'JLE

ruoi =

f;'! -i

: w

cri

E-

lc\ il

A

=+

ll

'tr'l -Lr

' oo

-r- '

=-

='t

, nr.-- E

+ ?;E

':,.9 ;871=:lIi {

S;

,g;.=

Yi5jE

i (*i=

;,8$€:sEl:1r,=

t: ir=

., ? -iS

a ;; E

;;?8,3 E

=,eE

ar ^- -r u\

r"E

? t

; rS

E ;5-'_'? ;:s) =

i ! :,1 E

: E

2;

A:_

= <

E

e-EE

rr I =

>8E

;l=:

-? s;

E,

r e' ') E

;'i ;

E=

-,=". €=

E it <

i=:e'!J sI

Ei-

=u

:i.-.\ y

'..='

'i >

.u {

5aEi

Y;;1r

t !:;E=

i;=:*i=

.;+it;,1

i r : ; := :;s f,;;ire- LT

Ef ;i #

5 =

,ls? =E

=.B

:#gl:i* j: iE

is iE;, iF

: r qi

E i?E

iFt;=

:l { se ,+

: ?:

i i =

!

€* , is :

EE

:rs- I s; =

E

3::

a 5 ;6 :5

e ,rp

Z i =

Ftgi

; 'sE

:: E

:-E

* =

I S:=

-'n BE

gEE

Ip;r =

FE

Is*Ii,, s

.: tr:,. f I[

5 ggEr,g*.

8= {E

'lEL

€ 't

q 'E

e'hw

)

'iq&0LtrtrFF\ENrri()

*lE.\aI*zrric3

Nr)

(,)

'E-?=

=,,




(a, b). Kako je- f ogranicena na (a, b), to je skup vredno'sti funkcije f A:= f((a,b))-= CyE-Il$i.(3xE(a,b)) y=.f(-x)}

-

ogranicen odozdo. Skup A ima infimum, koji Carlo obeleziti sa L; pokazimo da je

lim f(x) = L. (5.21)

U tom cilju, neka je..(x)EtY proizvoljni niz brojeva iz intervala (a,b), takav da je lim x = a. Prelaskom na podniz (ako je potrebno), mozemo pretpostaviti 1a je niz

(x)EN' opadájuéi. Prema pretpostavci,.tada je i niz (f(x))EN opadajuci. Kako za svako n E N vai f (a:) > L, to postoji granicna vrednost

L' := lim f (x). (5-.22) ,:-- Jasno, ili je L' > L, ili je, kao sto tvrdimo, L' = L. Ake je L' > L, tada postoji element yo e A sa osobinom L' > yo > L, jer je L infimum skupa A . Kako je f neprekidga na intervalu (a, b), moiemo primeniti teóremu 5.29, koja daje postojanie.jedinstvenog broja xo E (a, b) sa osobinom f (xo) = yo. Iz jednakosti lim x = a siedi da postoji no sa osobinom n > no a < x < xo. To povlaci implikaciju

;T>no (f (x) f(xq)= Yo) _

Kako je yo < L', to za beskonaéno mnogo indeksa n vazi f (x) < L'. Medutim, çinjenica da je niz ( f (x))EN opadajuéi je u kontradikciji sa definicijom broja L' u (5.22). Dakle mora biti L = L', sto povlaci L = lim f (x). Kako je (x)nEN a

proizvoljan niz koji konvergira ka a, to sledi da vai relacija (5.21). Na analogan nacin se mole pokazati da leva granièna vrednost funkcije f u taèki b takode postoji; stavimo

K := hm .f (x). . (5.23)

Uvedimo sada sledeéu funkciju:

L, x = a; F(x) := S f(x), a< x< b; (5.24)

K, x=b.

Gornjim izborom brojeva L i K, funkcija F postaje neprekidna na kompaktnom skupu [a , b], pa je prema teoremi 5.42 ona uniformno neprekidna na [a , bj. Ali tada trivijalno siedi da je f uniformno neprekidna na (a, b).

b) Pretpostavimo da je, na primer, funkcija f rástuéa. Slicno kao u a), pokazujemo postojanje granice L := lim f(x). Tada iz ogranieenosti f siedi da je skup

i B := .f ( (a, +co) = y E R (axe (a;+°°)) y=f(x)}

5.2. Uniformna neprekidnost 155

ogranièen odozgo. Odavde siedi da skup B ima supremum, koji éemo obeieziti sa K; slièno kao u a), moie se pokazati jednakost lim f (x) = K. Da bi pokazali uniformnu neprekidnost funkcije f na (a,+.), stavimo

L, x=a; F(x) :_ { f(x), x> n.

Neka je E > 0 dato. Tada postoji broj T > a, koji zavisi od E, takav da je

(dxEllB) (x>T IF(x)-KI <Ef4). (5.25)

Na osnovu a), F je uniformno neprekidna na skupu [a,T], pa je i f uniformno neprekidna na (a,T]. To znaci da postoji S > 0 sa osobinorn

(b'Xi,x2 E (a,T]) (Ixl -x2I < d if (x>.) -f(x2)I < E/2). (5.26)

Ostaje da pokazemo da je f uniformno neprekidna i na skupu [7'; +00). U torn cilju, primetimo da iz (5.25) siedi da za x> > T i x2 > T vali ,

If (xi) -f(x2)1 < If (xi) -K+K-f(x2)I If(xi)--KI+IK-f(x2)I < e/4+£/4 = E/2..

(5.27)

Dakle, (Ixt -x2I < S) (I f(xl) - f(x2)I <612), pa iz relacija (5.26) i (5.27) siedi da je funkcija f uniformno neprekidna na skupu [T, +.0).

Napomene. 1) Funkcija F iz (5.24) koja je neprekidna na [a, b] i jednaka f na (a,b), se naziva neprekidno prosirenje funkcije f sa (a, b) na [a, b]. 2) Pretpostavka o monotonosti funkcije f u zadatku 5.37 je bitna. Naime, funkcija g(x) = sin(1/x), x E (0, 1) jeste neprekidna i ogranicena na (0,1), ali se ne.moze neprekidno prosiriti na ceo interval [0,1] (videti zadatak 5.45 c)).

5.48. Pokazati uniformnu neprekidnost sledeçih funkcija na datom skupu X, ako je: a) f (x) = sinx, X = l' ; b) f (x) = cosx, X = l' ; c) f (x) _ , X =

[ 1, +)

t-"

1,J l' I i I

o z

,. t-

-

=E

=

2,.7

J

&--

3,>

L_

N _

:=C

p

1_;A

.Ex'

;

*ti:=

'e

d:ud

'-d

'rl=

i €

ir=

a:E

z +

Flri

iEg

E+

.:is"

= ii

l,ig

E

s*.

ts z

=E

.=

' ==

='

E j

#';9

il g+

€E.:=

?=

o ll

i' r

{.:T

O;.C

(!

Z

e:--

.oo

=

r-iF

6

l=5

ti;t

-.*o

')',t'

, ;;

)g

c T

a5:ii

F

5t'g

Ei,

[,:if

$l

3,r,

e; 7

^ i";

! O

;

O.

5 O

=

a

(*

- -:

-

,-

J.,-

F

C

:'

v)

(--

i*

i:.i3

e ?'

=

351r

:l E

' lr E

:.'3=

>

= =

; f

;r =

j- ..

- =

.:a

l. -

a2

v.!

_ __

:.=

.!*.3

=.

,: =

i ?

: i;

r i.-

<

i t=

: -

11 s

3

N. a

=.*

i

' .:!

=,a

:i

: '

g +

==

g*-

r

i. {'F

-il*

Y

f,h

'*=

' r

,::7i

;.:

,--.

8.-

6ai-

3 t=

' E

Jt, :

;s

:i-X

ii iE

=E

=

---'4

,, -{

5 5

5 *

'' ;-

'

-'/\

'ri

- x

N f

,=E

g' I

3

: d

6 a

-- =

d :

. 3

, a

i a

. --

--:l

- u'

J.LF

v,.r

- 1,

, =

:;.8:

. E

Z1=

_; ,,

.ii

lel=

. 1-

-S;

.J-E

'J5

F l

av33

-' i:-

1I-

ti IE

E;'E

:-

=f=

lF;t€

iI=

--i3

-9,

;::t=

; "

-.r

5*<

".

\ d

7 T

l_ E

T:

ri iri

3

EY

i'd+

.; B

si;l-

i

3t q

E -

e'l-

rr €

': c;

.=i;

=. Io

-

;,F.-

Af €

qlt*

-'.-

E.=

: ig

: i

I i

- 5i

p j'=

.ii:-

g

s-o;

' c

o j't

t B

: lt

:.j-

r- ;

1 <

f.)

; d-

?1=

:

*$:=

FiE

g"s

:3

iSe.

: rJ

?

9v=

'.i-!

o

:;t

iE

$€''i

i'i'-

::fi"

aogA

i: ?

: ?;

?+

ra

i3i

yaiv

--

-iE

; r

s_

.3 s

t :;

a=ril

t=

=i

EE

E E

-a(

!1r

2P

ia

fi:

-€' \

:-

g;

'+ i:

T

5F

'==

r-

- hE

=,

-r{a

'2

='=

: 5

f: t

€3

>;

E

:-dd

=

=it

F,E

-f

=.E

. =

f -

S

i I

E

,\,,

c r*

.';

<

c)

o'

- =

u

(r

1<

:-..Y

. E

.

ll ;

_.

!^

X i

i O

- !h

+

i ru

!

u 3

,iF

{-:i+

Ii

}E#:

;6

f ts

rO tx F :. a o lb lg lX'

io !. rl q N l- e' 3 o "U : N g

q h * ;-\S -N @

s=

'.r.

_l

NS

".\ i.

!+.

S!

lO il\ !\- Eh.

-.

o

â l \i: :(\

ll 5

PS

\1. _P

<'r

5T

ts.

8o

t-

>so

;,

!I E

=

8P

-JD

\X

î5

-r

\J

e,-t

ilB

<o

ovo (D (} N

<

7Z "up

Yb o-o

i:!J

FD

:/

s\ 5

i

,c

H*

;,

aO "6 \/' *.a

qF,

o' o- ns

; s c a) 5 c

'oA

i.a (9

^l{E

O-

!$

-,9

6AlP

a\\N

N.

,5

r,n

H:

io5

U^

/'\.

/\ (a

L.

p\

--i

.-I

^ 5

-iî!

N:)

I I

:=>

n !u

<

C

-aP

+

V?

x 1"

!E

F.-

E

.* -

l '5

9--<

anl<

N

\,,

^'

:_- ._

_- ,t

Htl

<

''

m

N1

si @ I! --

uF

,N I",

-Tm

o0

PY

-.,o

G.)

{t

z:J

'q

t-i

=

-E

@rD

a:;6

i-=

5'

Ug

.1

rJE

Y

1 i,

cr

$e2-

":-!

e'6=

rlr

il 39

5I

aii-

=.-

'o

4-

-P

FD

'J=

.?a9

. *.

^--

'ii^p

-x()

-<*t

sI

g-

X-E

';

5 |

i:9I

3 F

f

xH

Uh<

^,-'N

;{5E

uFD

IrnB

Ci..

: .-

A,E

9N si^=

€.tr

.A.U

L'@

-

.i .-

. Y

c',o

=

{

\/vri-

,u

hL.r

;-rz

-_\

=oe

o;'J

-I

I *'

q::

E >

/ O

e'

\D

Jr:

-

i q-

Ji

=

-;=

=o+

.:rio

XlrD

Jl9;

,r.P

F=

- d

=.

^ !.

(9

q

-11

O'^

-;^

* 1 r

1'?-

's-o

fr

o -'p

or

--

=

n:d

B

-ri

91s

E ;:

rt"

* --

5

r.-\

!:=r1

:s.i\

_-,

p i,

r.-'

=

-.ox

:o=

93

+

-.lE

L=

rn

^'

-1-N

L^F

D o

- l0

R

H

o.=

i' :-

I

.v95

.'$-'

lo

=

?l 'n6)

NJ

.;lec

}\,@ =+

o

Ef

R

e'Y

:i-

iJ

trn

L.

<

-_l

rDlJ

D-.

k p rD s ! Ti I 2 li ; CY

) I v -; I I h IJ l! .tJ --._

r'

io an

S m !i H .t, -\ .i vl I r\ A o -Er

\:-/

i.>

.D t) @ m a FD P j l.J a € o &.

!) ; N o -m o- c, a

I h ti \r-

l( !t \' lt

L} (,r -l*

_



Giava 6

Izvodi

6.1 Uvod

6.1. Definicija. Neka je reitlna funkcija f dejïnisana- na otvorenona intervalu (a, b) i neka je xo E. (a, b). Tada se granicna vrednost

f'(xo) = lim f(xo+h) -.f(xo) (6.1) h--o h

(pod uslovórn da postoji) naziva prvi izvod funkcije f u tacki xo.

Ponekad, umesto. f'(xo), pigemó L' (4) da bi naglasili da:je.x promenljiva po kojoj se tra2i izvod.

Broj h u (6.1) se zove priragtaj nezavisno promenljive xü tacki xp; dok sé razlika A f= f (xo + h) -f (xo) zove priras"taj zavisno promenljive u tacki xo. Takó relaciju (6..1) mozemo predstaviti kao granicnu vrednost kolicnika priragtaja zavisno i priragtaja nezavisno'prömenijive; kada poslédnjitezi nuli.

Tablica izvoda run , n E N x R.

(sinx)' = cosx, x E R.

(tgx)' = 17 xER\{(2k,1)n kEZ}. cos-x "

.(av)' = ax -Ina, a>0, xEIIB. 1 = (1ogOx)' x -Ina'

(aresinz)' _ - , Ixl < 1. 1-x-'-

(xá)': = axac-' a 0, x > O.

(cosx)' = - sinx, x E R.

(ctgx)' = z x E í'(8 \ {kat, k E TG}. sin 2x

(ex)'=ex, xER.

a>O, arA1, x>O. (lnx)' = , x>0.

(arccos' = -1 x Ix! < 1.

1 -1 (arcctgx)' = (arctgx)' =

1 +x2, xE.

156

+x2' x E R.

6.1. Uvod 157

Desni izvod (resp. levi izvod) funkcije f u tacki xo, òzñácen sa f+'(xo) (resp. ' x predstavlja desnu res levu ranicnu vrednost kolicnika f(xo +1z) - f(x°) f( o)> P j ( P. ) h

Ako funkcije f i g imaju prve izvode na intervalu (a, b), tada je za x E (a, b):

prvi izvod zbira (razlike) f i g jednak ( f (x) f g(x) )' = f (x)± g' (x) ;

prvi izvod proizvoda f i g jednak (f(x) g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x), i, posebno, (A f (x))' = A f'(x), gde je A proizvoljna realna konstanta;

prvi izvod kolicnika f i g jednak

Cf (x)' - f'(x)g(.x) f (x)g' (x)

pod uslovom da je g(x) 0. g(x) g (x)

Neka funkcija g : (a, b) (c; d) ima prvi izvod u tacki xo E (a, b) i neka funkcija f : (c,d) II8 ima prvi izvod u tacki g(xo) E (c,d). Tada prvi izvod u tacki xo slòiene funkcije h= f ó g, h: (a, b) Il8, postoji n'vazi

h'(xo) = fs (g(xo)) g1(xo).. : . (.6.2)

Ako za funkciju f : (a, b) (c, d) vale sledeéa tri uslova:

(i) funkcija f ima prvi izvod u tacki xo E (a,b); (ii) funkcija f je monotona na intervalu (a, b); (üi) broj f'(x0) je razlicit od nine,

tada postoji inverzna funkcija f-' : (c,d) -> (a,b) za funkciju f. Pod gornjim uslovima, prvi izvod inverzne funkcije f-' u tackiyo = f (x0) je jednak

1 .

(.f-i)'(yo) - f'(xo)' ili (,f-i)'(yo) f'(f h(Yo)).

Pretpostavimo da jednacina

(6.3)

F(x; ÿ) = 0 (6.4)

definige jedinstvenu funkciju y = f (x); x É (a, b). Tada kazerno da je funkcija f data implicitno jednacinom (6.4).

Pretpostavimo jog da, za neko xo E (a, b), izvod po promenljivoj x funkcije F iz (6.4) postoji i vazi Fx (xo, yo) 0, gde je yo = f (xo). Tada iz relacije (6.2) siedi da je prvi izvod implicitno date funkcije f u

(x

tacki xo jednak

°,'lo)

f'(xo) _ (6.5) Fx(xo,yo)

Neka su date dve funkcije y = y(t) i x = x(t) iste promenljive ("parametra") t, koje

imaju. izvod *.ia (a, (3). Tadase funkcija y = f (x), definisana tako da, za svako

0)O

.adag-EU

!u -:lxE>

.4U

O!!/O

-p.8

'-tl.:,

21h>

oil":-tt)E

cn0Je

riNo(1'7.;o

^L-\

=lc

3l:,|{''l tiItlot.Y v]\o

cl\ooaPok60tlOt

o.-..v, )1g,U

u-N-s'::.i>-d2=

.1,.LJ

>N

'Y -.-

'o-'a>

-o.N

^.iotr,u -s

-:o*lN

oo|

.a O

G-i\

sall

oo .=

q,

.':. &

a)

i1E

fi -:.

6Jo)N

a

-il-aO€

i)oaoo.IVJ

IO!

-<II04

Y

I

kl>i

\l oo

^lh -)loLl5

,'l-:?l'q

15 -:

i!---: I

I !_

-j. N

+ -ol

,,, -i

on I(r--ll

* k

-<

!,,<

l <

+\9

661!{Li-V

N

rr ,'Y

'O,()-k-e-o

S I

.E i-.xs

O!.rt+6

^ Il

v=A

o

.5-: !?

; -

- ^\a

'ilca-:.:]'t5lioil<

roo:)

>

rr-::-<-r,Jg2jG

)

'=.!\o

.sr i;" i

-c*-o"'nE

v-)---V

a ,

E \^

r>9:4

^t/i>

!

=;

-y,.lr'-rJ\!

^N-r)cJ

aa:

: :(

tr.-?<

€;

.tr i

.-.4..-..,.S

; 6. .-, oo '

'll-)4.

'! a

q =

'.-

J!trNcqx

u i : E

t<E

=-'qJyI e ;- F

.E<

.,8: E

,=i ie i

<

- r

E:tr-6

'r,;2-r)-

'=a-.N

NO

Ni>

!r.r^!D

-:

O

.-.- -.E

aa

t--

1l

F-:*.:

-&

,U]

^tlii

*ir lN

,ll ,*lt

It* ! r-

t>

l_t.

llil':-x-io.JP

9E

E,

.;i

nf(

--.i'

+-;

qV'

r. \1,1

c ll,'ll:

i<,-llr,'-.r (r-- li '

l'i-tul\*!l

*t* t>

tr

l, l+

IlIrncij'O

oi)Q

O)',i

*1.<lix

'd S

d!9 i

s s

: E

€H

',)

5 3

;P:

C'

;S

=

* *oF

n

*\:-tqkil

: F

"^!

g E

:'

t =

o)u'-

O

a F

ioF

rSA

l(a'Jt

a.jlo.;o-14S

,9

x S

Y'E

d

t\e('-

Le cl

: :a,9

; -l

l,r_ u_r

F

: i

lts=

-i i

, , .i

ptr

':l g

;6_VJ

"x i ia

S

{t .sl ;

r:lF 3;N

,, ."

': i,

: I

'o' * E

a€.: a ?-

rr

: :r,-q*

Y

tr39=

c!.- o

-i. -:

Eu;i-"=

: E

E:€E

3! n'iS

€5i EE

s'R,qE

,: .\." I \r_ (

.: .I .eF

S .g

b;'N

.=

r'. 3

ifi E

ox =

u:i,i

-q f,

-_ N

F ox

.d A

-'C

']! lt

A

<

1.! F

o; F*!

^ ;

e .iE

:E

:i n

:y P

S,g ,E

geE :

rl 3

'Es

R ;

'EÊ

? ;

P=

iz o

PS

.9',,o

EoL'o

s u-i

ir l

;N

F S

9'1 T

P

- n

- tr

': X

L

O-\;

=

=*:-*.'N

,tr.=*:

r z sl,.ee

j r.IS

E *;

i H:niE

U is-tH

:>

) :=

r. -:

7.:: =

f<;'9

tr _ I

.E r.

: grE

*\Y,E

<

-:l

-., €+

t B

! a,,ii { ;

6, a\o

E=

!

t;E;!1

Jv :-

'-:j,.r

.Er+(YVNf-,'{

\odb\.

dL\'Erh\J



158 -

-

Giava 6. Iz vodi

t E (a,13), broju x = x(t) dodeljuje broj y = y(t), zove parametarska funkcija. Prvi izvod parametarske funkcije y = f (x) u tacki xo je dat sa

y'(xo) = y(to¡, to E (a,0), x; (to/ (6.6)

gde je x(to) = xo. Ocevidno da (6.6) ima smisla samo za one to za koje je x; (to) O.

6.2. Definicija. Funkcija f : (a,b) je diferencijabilna u tacki-x6 E-(a,.b), ako se njen pri-rastaj Af u xo ,node pisati u obliku

óf=f(xo+h)-.f(xo)=Dh+r(h)h, (6.7)

za neko D (koje zavisi od tacke xo, ali ne i od prirastaja h) i vazi lim r(h) = O. h-->0

6.3. Teorema. Funkcija f : (a, b) --> Rje di ferencijabilna u tacki xo E (a, b) ako i samo ako in.:a prvi izvod u toj tacki.1

Iz definicije 6.2 siedi da je broj D iz (6.7) jednak broju f'(xo), tj. vrednosti prvog izvoda funkcije f u tacki xo, ili D = f'(xo). Diferencijal diferencijabilne funkcije f u taèki x je linearna funkceja d f (x) : IIR prirastaja h, data sa

(d f(x) )(h) = D h, h E R.

. Za funkciju I(x) = x, .x E 1I8, je D =1 za svako x E ill, pa. je (dl(x)){h) _ (dx) (h) -- 1 h = h, h E R. Sada siedi, izostavljanjem priragtaja h, a na osnovu teoreme 6.3:

df (x) = f (x) dx.

Na osnovú definicije 6.2 i teoreme 6.3, imamó siedecu pribliznu formulu:

f(xo+h) tif(xo)+f'(xo) h,

(6.8)

(6.9)

pod uslovom da je funkcija f diferencijabilna u taki xo i h je "malo". Neka funkcija f ima prvi izvod u svakoj tacki x E (a,b). Tada se funkcija f' :

(a, b) -> R zove prvi izvod funkcije f na. (a, b). Ako prvi izvod funkcije f' u tacki xo E (a, b) postoji, tada se on zove drugi izvod funkcije f u tacki xo i oznaèava se sa f "(xo).

'

Analogno se definigu i treéi, cetvrti, ..., n-ti izvodi funkcije f u taèki xo, i oznacavaju se respektivno //// a n1 . Saf .lxo),f ,

i )(xo),..., fl (xo).

I Ova teorema ne vati za funkcije dve ili vite promenljivih.

6.1. Uvod 159 -

.Ako funkcija f : (a, b) ima prvi izvod. u tacki xo E (a, b),. tada se prava

)-yo=f'(xo)(x-xo), (6.10)

gde je yo = f (.xo), zove tangenta grafika funkcije fi u tack.i T (xo, f (xo)) Ako je a E (0, t/2) U (7t/2, tt) ugao izmedu tangente grafika u tacki xo i pozitivnog smera x-ose, tada vai

'(xo) Ako je jog. f'(xo) 0, tada je normala grafika funkcije f u T (xo, f (No))

)'-YO ° - (.x-. ll) f (xo i .xo)

ava

6.1.1 Zadaci

6.4. Odrediti; po definiciji, prve izvode sledeéih funkcija-u datim-tackama: a) f(x)=x(x-1)2(x-2)3; x.Ell~3', utaekarìia.xo=0, =I,x2=2; b) f (x) = x/1 +x, x> -1, u tackama xo = 1, xi - 0, i desni izvod u tacki .x.2

- -1; e) f(x)..=x+(x-1)aresinVx/(x-I-1),x>0, utackixo=l; -

d) f(x)=/x+1, xER, utackixo=-1.

Résenja.

-a) Iz definicije 6.1, siedi f'(0) = 1im i'(i'-_1)2 11' ,2)'

0 = -8 h-C

f'(1) = lim (i+h)(t+/t-12(1+h-2)3-0 -© f/() _ lim(z+h)(2+;-I)=-(2+h-2)3-0 - O

h-o h o

b) ' 1 = lim VI+I+h-f = lim I = I

,. f/(01= lim i+l'-` = , ) f( ) '- i,-,o '' i,-0 v?.-I;.,;2 2 ir-0

_ N/1+(-1+h)-y í ( :) i f +(-l)= tm = iirr _ . -- h - h=o+ f l .+

Geometrijski, poslednja jednakost znaci da je vertikalna prava x - -1 tangenta grafika funkcije f u tacci (-1,0).

1 -}-h+(1+h- 1)aresin c) f'(1) = lim

d) f'(-1) lim -1 +h+1 -0 =

,,-o h

I+h.+i

4`

6..5. Odrediti po definiciji prve izvode sledeéiJi funkcija u datint tackaina:

a) f (x) = ]3 ,

u tacki xo = 1; b) ,*"*"(x) = ( t +x)'-; u tackama xo = 0, -xi = -1; x.

c) f(x)=3;2+.x1, utac,'cixo=-3.

.tG,lUobjuliw

co

6O\

!"'

!-_r

:i!>

?27

'z

:'iS

-,

(r

Sf

n *?

o!

.E

:;'

-!'i=

>t!

i ;!

;.Fi i

E N

i'5

E

I:Y

) --

' e.

o-:1

rrlS

-r'g

E L

J;

i -*

-:

:, :-

=i

r' =

E: \

*' i-

qr;-

3Ei=

5?

z --

a r;

; iF

;

-r

G

s*.d

':-=

x"'e

-î

=

s,E

j*

;, :*

v

e,ii-

--:i=

6.i.'

ira.E

ri-

;*

h'

["

jf :

S:

:-

3;ii:

-=,i'

ilrE

$

*5 s

ir;$*

' ;r

l xs

i,, i:

;ii+

g ;;

gi

Si6

iS,!

'i*;

aisl

*-

':ir

i:: s

it':5

3

[; .3

3r s

: E

: q

i-"

i: F

i=

i:>+

*'E

i,!,

\ ;:

&*

i-.ia

SI

1.rr

Ee

+

F;

A

I l:O

-'.

O

r;.

'r: -

a!--

r'=*-

i ;

;,* c

S:s

i:1.

+ i

iS E

:_ f

3a)

a-o'

-E'N

ol

i-1-

c::

i6

r-o-

Tea

r

! s-

;S

;

:.=E

-:

i

'*;-

i a

b F

-r-=

: f

\[,*'

=H

s

1 =

gi

r =

ii.:

,=

. F

I

3.ru

b.

; €,

ti

r,B

.,]-=

3 ;

i t +

: = S

Ii r

t s

:* ?

,?-

:qE

d -?

53*l

er:

; ti

,.i. I

ir ;ii

;T

:

q,

So

i =

i=

il€.

";i3

3;i?

3nir:

i:E

i i?

Ff;'

n.1=

arE

ii;"

f i i

F -{

E[ ;

gF

] $ }

i e

[ * ti

-S

X

=i

.: i:'

=

R

F

ii..e

.=.

; .S

r

=

i e

; E

: -,

:. :.

- j-

-C

J .-

-S

:i'

. .'

X.

: 0,

D

, o'

-:

. :-

: t,

=1.

3=

] i

i S

:

; -E

id

P r

i-.

E'is

d-'=

$

;E

iEe.

;-

:

F

* :t

FE

65;

+i

e s*

sE

_ ?

x tr

N

raaE

t i--

- g

:=

Ei:

:.u'

s -\

"9

;;i

l- 4

;i '-$

+ 3

-3

I {

[E

$l c

, =

3$

;e 1

+

:*

$:=

'6 -:

$

,$ il

,?

*t;

s -

3 [

5 a

E'

;s v Nl 3 $ L cr a

.P tsi

Ff

u. (D

No

a<*! f)

a\-1 C, 'it -O

.o-

F9

tfD ^-,

il F

t I v<

lD?*

uo\./

! r^ {+

A L.

' ia

r

,tr'l d

'-\ ? c

'a.

tl

oel- l-+ l- i= l+ lr t*

l*l- l= l+ p lr lC

r

il -O n I.J lt

ar

l+ t; It li

loJO

!--

^td)

t\- I

r-

i-

r ir5

--

T=

i

.;r.

--

>H

li -)

b

[5X

X-,

,5!

'- 3.

-t''

ll

l<tr

q.i-*

lr!

't)

i:.-:

l

I i

>:6

I;'

iJ

+i

l_ t

r iii

t.-

i

i,--O

. l-\

1.l+

B

.E.

_l

ti)l^

lllir

--6'

lrl

r=-

i D

-

A,

ltl

< r

l, 95

=is

l 'rl

l-

I ;.

. th

I

, :-

ll-l=

lr

t<-

N

la

-.1

i\\tL

\r/l

:l i

E

l'-l

Ll--

-I

rl l-.

r-l

li+

:-l

--l

rJl

r :.1

I

ra.

._i-"

!1

i r.

)nllr

_"i

l\_-!

-:-

.i :.

- t-

,. v

T

;=-;

-,-l

()

rr

l-iD

''

:.=il

t.I

', t\.

; t

l.'l

I P

i-i

*-l

tt,

ia>

: i-t

lili I

,jr-

.(la

rD

6

I ll

C'

i

li -l E

.JA

h.^

\ t\

--<

--l

,Y!<

sr+

airit

i*uJ

!r

>.

. !l

-\N

"o .-

:. iY

<!:

-i *:l.a

! -,

.

;?"J

i

u ll

i= ll c

r?^\

a *:_

l5'

R c:; r

--11

^l

rir

I >

,'T

l -)

4 '.:

:.-1

!

{\ : :'

:. -,

x-. tF :_:

it rr

I1.

.-)

" 3 l l

-- .r

...;"

,i#!i.

|}&

xi'



160 Giava 6. Izvodi

Rezultati. a) f'(1) = -3. b) f'(0) = 2/3, f'(--1) ne postoji. c) f'(-3) = -3.

6.6. Odrediti po defiraiciji prve izvode u tacki x sledeéih funkcija: a) .f (x) = X2 + 2x, x E I" ; .

c) f(x) = 1n(x + 1), x > -1;

Resenja.

(.x+/a)2-F2(.x+h) -x'--2x a) f' (x) = lim = 2x+2.

h-.o h

.r+h-1- x-1 b) Za x 1 je: f'(x) = 1im h o h

b) f(x)= 3x-1, xEI1k;

d) ,f (.x) = cos(2.x), x E R.

e)

= lim 1 - 1

ho ://(--,x (x-1+h)2+-1)(x-1+h)+ (x-1)2 3(x-1)2 Utackix=l je 'f+(1)= inn 3h-a=+... i f'(1)= lim 3h-=+00; sto

h--o+, h h-,o- h znaci da je tangenta grafika funkcije f u tacki x= 1 paralelna sa y-osom.

h 1/h

+1) In(x-hh+1)-1n(x+1) f'(x) = lim = lim in 1 + h-0 1} . h-»0

1 h (Y+i)/r, .

1

x+1lnino.l±x+1) x+1' x> -1.

d) f'(x) = lim cos(2(x+h)) - cos(2.x) - lim -2sin(2x+h) sinh ho h. . h-.o h

6.7. Odreditipne izvode sledecih ftuakcija:

a) f (x) = i/1 +x4, x E 1!k:

= -2sin(2x).

b) f(x) = 1+/1+ °1+x`t, xE][k;

c).f(x)=32t53`, `x#(2k+1)2,kE7G; d) f(x)=ln sin arcctgé`, x

2e2., e) f (x) _ In

1} cosx' X E (0,70); f (x) = log31og51og7x, x > 7.

Resenja.

a) Smenom it x= 1+x , dobijamo x 1

u(x ' u/x 4x3

x E R. a

ii( x) 4

J ,f'( ) _ -( )) 3 '( ) _ 3 3Z/(1+.x4)2

b) .f'(x) _ 3

1 1 _ a xEIlk..

6V ]+1+x (1+ `'1+xa)2 (1+x4)3 2

e) f'(x)=32t53t1n3 (2tg''x)'=61n332t53x tg x x f (2k+1) kEZ. cos2x 2'

d) ff(x) = - 1

(sinarcctge')` = .

1

cos arcctger (arcctgex)' sin arcctg e` sm arcctg ex

_ = ctg(arcctg(e'))! + ear

eZ:r

1-!-e2^ xElk

6.1. Uvod 161

1 1 ,x x 1 1 1 x e) Iz f (x) =

41n (e2") - 41n

cos- 2

= 2 - ln cos

2 , dobijamo f' (x) _ + 4 tg

-2, x E (0,n/2).

Kako za x> O a> 0 i a 1 vazi logo - -In ( okazati! to e f) g¡ -

Ina p ), J

1 1 f (x) = ln 31og51og7 x (log5 log7 x)' = 1 1 1 _ x

log5log7x log7x x 1n31n51n7 xln3lnxlnlog7x

6.8. Odrediti prve izvode sledeéih fuukeija: a) f (x) = shx, x E TR; b) f(x) = chx, x E 111; c) f (x) = thx, x E Ilk;

d) f (x) = cthx, x 0; e)f(x)=1n(.x+1/x2+1),xEIlk; 0 f(x)=1n(x+x2-1),lx1>1.

Rezultati. a) f'(x) = chx. . b) f'(x) = shx. c) f'(x) = 1

ch?x e) f' (x) =

,/x2

1

+ 1 f) f' (x) _

x2 - 1

6.9. Odrediti prve izvode sledééih funkcija: 9

a) f(x)= (- s) x 0;

c) f(x) =coscoscoscos2x, x

pt.

e) f (x) = e`'+ eev + eQ , x E IIk;

g)f(x)= Ya21b2aresinQ+bsñb,

IbI <a,;xE -2,2); 1 b+ásinx- 1/b2-a2 cos x h) f(x) =

1/b2 a21n a+bsinx , < Ibl

d) f' (x) = 1

sh2x

b) f(x) = VX X VX2 -+1+X + ± x2+1+x vxz1-x ,

d) f(x) = 2 arctg 1 2, x E (-1,1);

f)f(x) = ln(1n2(1n3(x2))); x # 0;

8

Resenja. a) f'(x) 5 ( 51 z) +

5x6) b) f' (x) = 8x.

c) f (x) = 2 sin cos cos cos 2x sin cos cos 2x sin cos 2x sin 2x.

d) f,(x) - 1

1 +x2' 1

g) f'(x) a+bsinx

e) f'(x) =ex+exeer+exeecee. Î) f'(x) _ ,

xl 1nx2 ln(ln3(x2))

12

x E IIk;,

h) f1(x) = 1

(uporediti sa g)!). a+bsinx

6.10. Odrediti prve izvode sledeéih funkcija: a) f(x) = xx,.x > 0; b) 1(x) = x > 0; e) f(x) =(f )x, x > 0;

d) f (x) = xsinx x > 0; e) f (x) = (sinx)cosx sinx > 0; f) f(X) = (2+slnx)x, X

&t,rr

l<t

llr'l' _i

,il, I

aLf l[- ,i

-+i-

(x lt.5 u x

>l

>

6-L

^ --i

!M!i.'

ll+.i

I 5

r-r!l-6l+

ll-r- ; "t

lNllN

uNtkt:

r E

>l >

*to.t -i

llrri''L

.k, ;

i-J-

q-

9a(3.<u

..*\adil

'\ -,,

u_R

ii k

lll-:-kR

a ol=

-*

-l)i i

Ydi3-r.:J

l-\ ?

\u

"/ a

t+

tlt 1

tJxx,i:

q* )--\<

tU.:

nl

*lkllrIt,LIllt{'a+

\As

c*il,l

zl^

lt

Lu \

,i-;

^ il,

' o

lr'

-llNr*

lr-Ilr

.: |

?l^:rlIlr

a "

+.\all ^

? ll+

' x

il-o

i; t"

rll..tl

Ot\\lcgq!Oil

..1

^l\

*f-50atlr

o ltr

^lh:

ql-

-l=-lmNcd

*L{

a )1

O.

ls

erts l9

.=

l=tP

,ll

lrl'

boI

lom^

l@

)N6ll

-+L s

;sbi

OO

/\ rk

_bo

" -lo

/\ | m

,. lo

- l-

-t-N

lso,,,.y

I

L

:(,ktl r?-r

bo

<++

'+ lc.l

ilko:=!oE,a tl..oo

d l.lI

t lcril

It i c-]

o

-. l+I

il+ll\N

\o

&ruxqilt

.d*t\-!>-

\! ..

uuJ>

k_t

.Sa

\k{?

3*;Li

&turtllNl--.:

&rllt

r A

-

ll ,' :--

; ;

+11,1 s

Nj y

-*il+u-e

; ";

lm

- I

:U

!

tt H

'c'r :9

n -

r",;

o0 l--

L;si-ll1

-9,:!

# -=

-ll r x

3=

3

:i t-

=rltr'-.l-al32r5'-oE

:'!

: I !l--

lt u,

' \

Ila *i<

r5.q

-1.. lllk

lN

l-li

. N

La

loir

llll :pl 3-l:

',.,.i

5 '-i:.;

-: r;

a(,

A

i- ll ,

'1 I,; '\' l--

* i--

-' |

*'-trC

l(--:-trr^ ?

E

l-=

=

'r ri

,, g

tr)

| ;

* illl:

J --li'

x i

llll: ;

! 'l

t>

ll l>=

.:

)+

l-lI r

lll- :!

. j-

-rLl3 T

."ll -.

:t it

i.'|

l- ,,

l->

l; E

I a->

:r

, :..

l: =

?-, s .

l<

,':,, l: ;,

l il

: {

,, ;;;

;;;;l^rr

cgo-<a

a'j7 L

i \

'8NG

Ea=

&IUia

|l L

l|t IllllI l:>ll+[-I --->t-l+

ll<Ht,tlJlri*ll\

\l:-l:l+

_xt..1

|+

larulrl-O

'i- | -l

N:a I

::-ta

-=-c e

+l

r

ol u

io i

=+

r\

r'i

JL:-e

oe\

o,>

@ll.!llîl-.

alt

Ylt

TtxLt

i[-ilF

tt-,? te

I I

lo;>,

IItt\l

ll^ ->

I

cdl*ll r

c.loI]

EY

A

ilJ --:

t\<u<

il;_-t,rt-lt,-lllf

(\ ,

lr t

lralr

k I

ll \- I

jZ

\-/ll=

-_

)O

I

ll , c-

l<itr

5 .bt

llJ \i

l;> :l

, rr

^\l'+

r-=l 9 *l

tii.r

-\l +

lt----alli

alt

=-'Z

=

l i-

ll ' .=

Jo =

-rl--

li* -<

-:l l.

ll r E

^l-lY

:

A

+l

_o

(-/ 3O

Jr c

=

fil

Jl o .=

- -'I..--<

Y';-d:l,U

:i2!i

,H

_jN

I

r*lltlIrl>

llll* l.:lltt\llrl(-lE

]lt

3

ol+tN

NI

\i

l<c.l++

-

EeNEc.j

6l

.:1 id

1l-?

-ll:J.

1'N

,==



162 Glava 6. Izvodi

Resenja.

a) Funkcija f se moze napisati kao f (x) = x > 0, pa je f '(x) = e"rinx(Inx+ 1) = xr(lnx+ 1). Prvi izvod date funkcije se moze odrediti i tako da se prvo logaritmuje jednakost

y = xx, sto daje ln y = xlnx. Diferenciranjem ove jednakosti siedi: y =1nx+ 1, ili Y

»' = y(inx+ 1). Posle zamene y = f (x) = xC, dobijamo y'.= f'(.x) = (ln x+ 1).

b) Iz f(x) _ e fix , x> O, sledi fl (x) = ef rinx

\lnx +- = x,A .

Inx+2 21/4 21/4

.

c) Kako je f(x) = e(xin x)/2 to je f'(x) = e(=ln.x)i2 j 2

1

+lnx) `

= sinxinx sinx\ d) Prvi izvod funkcije f je f'(x) e

(cosxlnx+ I

z / e) Iz jednakosti f(x) = ecosxlnsi"x, imamo ft(x) = ecosxlnsinx (_ sinxln sinx+

cos 2 x

` sinx.

= rin(2-hsinx) In(2+sins) XCOSx f) Iz f (x) e sledi f. t(x) = ex ln(2 + sinx) +

2+sinx

6.11. Ako je fimkcija f : (a, b) - R diferencijabilna u tacki xo E (a, b), tada je u toi taçki takode neprekidna. Pokazati.

Resenje. Po definiciji 6.2, prirastaj funkcije f u xo se mole pisati

f(xo+h)-f(4) =Dh+r(h) h,

gde D ne zavisi od h, dok ostatak r(h) zadovoljava uslov lim r(h) = O. Kako je h-0 r(h) ograniceno (na primer) sa ID1 ± 1 za IhI 'dovoljno malo, to. postoji 61 > 0 tako da vai sledeéa implikacija:

(dhEIIB) <61) (1r(h)1<i4+1).

Tada za dato E > O postoji S := min {

2IDI + 1 , 8 1

} , tako da je za IhI < 6 :

If(xo+h)-f(xo)I: (IDI+Ir(h)I)IhI < (21DI+1)2IDI+1

E.

6.12. Funkcija f je definisana sa f (x) = I x1, x E R. Pokazati da:

a) je f neprekidna funkcija u taai x 0;

b) f nema prvi izvod u'taai x = 0; e) f nije diferencijabilna u tacki x = O.

6.1. Uvod 163

Resenja.

a) Neka je E > 0 dato. Tada za 1x 01 < 6

If(-=)-f(o)I _ 1-xI -10I = Ix -01<E.

b) Desni (resp. levi) izvod funkcije f u tacki Oje f+(0) = lim 'hi 0 h 1

h-.o+ h h

(resp. f'_(0) = hhó Ih1h

0 let

Kako su prethodne graniéne vrednosti razlicite, f: nema prvi izvod u taçki nula O.

Napomena. Ovaj primer pokazuje da funkcija koja je neprekidna ii'nekgj tacki ne mora u toj tacki imati i prvi izvod.

c) Kako je u b) pokazano da f nema pivi izvod u tacki 0, to iz teoreme 6.3 siedi da f nije diferencijabilna ü O. Sada éemo direktno pokazati da funkeija f nije diferencijabilna u 0 (tj. bez koriséenja pomentite teoreme). Neka se prirastaj funkcije f u tacki x = -0 moze zapisati kao f (h) -f (0) = D h+ r(h) h, odnosno

1121 = (D + r(h) ) h, gde je h priras"taj nezavisno prómenljive.

Pokazaéemo da limo r(h) ne postoji, bilo kako da izaberemo konstantu D. Ustvari,

zah>Oje r(h)=1D, azah<Oje r(h)==1D. Kakoje 1D 1D za svako D, granicna vrednost u nuli ostatka r(h) ne postoji, to siedi da funkcija f nije diferencijabilna u tacki nula:

6.13. Odrediti skupove na kojima su prvi izvodi sledeéih fimkcija (i) neprekidni; (ii) diferencijabilni; (iii) neprekidno di'ferencijabilni, ako je: a) f(x)=x1xI, xE le; b) f(x)=2nIxI, x 0; c) f(x)=I(x+2)2(x-1)31, xE

d) f (x) = j cos3 x1, x E R;

f(x) _ {

x2 sin(1 /x), x 0;

0, x=0; gde je a pozitivan parametar.

xsin(1/x), x=0; 0, x = 0;

x° sin(1/x), x # 0;

0,. x = 0,

Res"enja.

a) (i) Funkcija f jeste proizvod cive neprekidne funkcije na R, pa je neprekidna na celom skupu R.

(ii) Kako je .JxI = x.sgnx, x E I" , to mozemo pisati x Ix1= x2 sgn.x, x E Posled- nja funkcija ima prvi izvod za svako x 0, i vazi f'(x) = 2x sgnx = 21x1, x O.

Prvi izvod funkcije f u tacki nula takode postoji: f'(0) = lim h2 sgnh-0 0

h-40 h

-:-:

?; .

-':-.

,N (! q<8.

: 0a

6

Sv

' (D

i.rc

3aj

5 o

o5 *b(

ii (l

Xo<

F)

oH

^

i.H

S.

:

-='

rJD

J. 9.3

d \

E..v

O

O

E

Dbr

ht@

<;a

+T

-$-

N$e

'v)

)a\

I

!-1

_ /-

r\

\ ,f

S.

i-:-

oN

-o'=

'D

JN s.+

ll -'

+:

Y.\

: _-

AN 5P

:EA

--C

O-@

N.

P

o .:

Pt-

Qb

.e

+r

s

-oP

'O

-1gc &.,

tl

9rP

rn w :s, a .l,

L

/:_--

\\ -H r

9\ \ N a

VX

:* ar d o. G

3 3

g er

=.B

N P

=-Z

+.*

F =

E ^

E

u z

!!''6

;;+re

-;"1

538

-lc g

$E

=*v

Ns;

3=J.

;I 7.

- =

' L.

.0'ia

O

O

.Jo

O(=

:.0

-!

z \

- (D

E o

a 3;

p E

'l"

e.^

E:i

g e

d---

5"

-='7

*o

elY

' 6

o -:

r n

cEsB

lR,r

3! *

: 3-

; [

3=

i.t

t =

- 9

5.

c 7

* =

'H

9--=

--

, =

;fi':o

ii=o€

,R

E=

j:5

F _

?ci

::.

*eai

=

...r'i

t= 5

>J

:-*

i t-

-, =

-:-A

=

,-

_-

=\t

- s

-:

1=

. o

v --

.r.

o- =

,:

: t

X:-

l t

+

,-_

Ei

lli

O."

il

: (D

bi

tri,

P r

i '

i{:

Ei i

.f $

io

='

i n

= g

N ,?

et*

T=

-.-

:: F

? ,

, 'T

>:

E-F

!!?v_

51C

P -

--

@

. T

-

@;

6 g

. 3=

i=

E'

-=

I

E,',

E.:B

.B.f

=,+

.-

T,

) ri

c*

o .-

'.:'

b. E

. a

-h

^ L.

-:

- E

'r. E

, =

. :-

. |

- ,

ni;o

a=

i-.-.

i i

: r-

2

ff -

6-:-

tt

E B

-.

* P

-

+

T 7

.'

fS[B

?a=

: €,

A

; .

j:

tl o

-; I

E

q P

x-

5

E'

,-..

^-irn

F,-

^)3

r E

i>'E

')Lo

*.

!-

-::

-..

k.'^

.\'a

6 st

s."''

EF

F

h E

;

i '

Er:

#:

:€

d'a

.'.

=t

'-'

ciy

lA

,i lp

: e

6 ii

-_o

n3E

* 9F

= ;

Z

i= l

;"*O

=;r

'NA

-.].:

5-ii

-1

1 rD

- =

'a*

31:.

l! r:

=

-i=o

* Ii

ra -

i iJ

h

a l

r

H.l=

a--_

;1

'-9'a

'.-'l

6U

trE

I

*.+

-r

u o

\-

,, Z

5'

-Z

--

>

il,

llA-N

.-'f-

, c

i U

E

:R

=

P,"

':'o=

6

o q< (! L. TD

t+ r"

*.=

: i'6

=r:

.**O

* i'A

= :'

N-P

DI

Q-*

a

!-Y

r)

e

4 ia

='.o

a

L.

5 =

X

*\

o.?i

l';rD

-.a

({

;,a'

*. c

ro

'd5N

5!,r

<!!/

-P

U"N

O(

d.

)!.N

^9*

iD

III

O'

J.

,da

d6

a\a

tr x

! '9

vt) al

-t{

N,

=tJ

-'

3 !:'

? iE

6

N.Y

l+

'\ '+

, .

x_:.

--a

O

l1 l

lil

BJ:

J x

N

'Ar\

@

a

| -*

,cp

cq

Ilq

't '>

G

.tm

-'

j' a

lq

" <

)

ll -r

n *

lO-!

E

fli x'

U

' -r

ls1

E^(

D'i-

o



164 Giava 6. Izvodi 6.1. Uvod 165

(iii) Funkcija f' je neprekidna u 0, jer je lim f'(x) = lim(21x1 ) = 0 = f'(0). (iii) Funkcija f' je neprekidna na IR \ {0}. Kako granicna vrednost lira f' (x) = x->o x-+o

b) (i) Funkcija f je neprekidna na skupu R \ {0}. Primetimo da ne treba ispitivati

neprekidnost u nuli, jer u.toj tacki funkcija f nije ni definisana.

(ii) Vai f (x) -1n(xsgnx), x 0, pa je f'(x) = x spa sgnx =

x, x O.

(iii) Funkcija f', definisana sa f'(x)=.11x, x 0; je neprekidna na svom domenu, ali nije uniformno neprekidna na (na primer) intervalu (0,1).

c) (i) Funkcija je neprekidna na R.

(ii) Iz f(x) = 1(x+2)2(x- 1)31 _ (x + 2)2 (x

- 1)3 sgn(x - 1), x E R, siedi, za

x 1,

f'(x) = 2(x+2)(x-1)3sgn(x-1)+(x+2)23(x-1)2sgn(.x--1) _ (x + 2) (5x2 -x - 4) Ix

- Funkcija f takode ima prvi izvod u tacki x = 1. Levi izvod od f, u tacki 1, je

f' (i)= lim I((1+h)+2)2((1+h)-1)31-0 _ lim (3+h)2013 0 h-ao- h h

a takode je i desni izvod od f u tacki 1 jednak O. To znaci da je f'(1) = 0.

(iii) Funkcija f je neprekidna na skupu R i vazi

lim f°(x) = 11m(x+2)(5x2 -x--4)1x- = 0= f'(1). x-1

d) (i) Neprekidnost funkcije f na skupu Il8_sledi iz sledeéeg tvrdenja. Ako je funkcija f: A C I[8 --- II8 neprekidna na svorn domenu, tada je i funkcija if ,

data sa I f j (x) := if (x) 1,:x E f1, takode neprekidna na A.

Obrnuto tvrdenje ne mora biti ta6no.

(ii) Kao u c), imamo f'(x) = 3cos2x(- sinx) sgn(cosx) _-3 sin(2x) l cosxl/2, za svako x E R.

(iii) Funkcija f' je neprekidna na skupu R.

e) (i) U.zadatku 5.17 d) je pokazano da je funkcija f neprekidna na R.

(ii) i (iii) Za x T 0 vai f' (x) = sin(1 /x) - (11 x) cos (1 /x) .

hsin( 1/h) --0 Kako granicna vrednost i ó ta

= hlimosin(1/ h) ne postoji, to funkcija f

nema prvi izvod u tacki 0.

(iii) Prvi izvod date funkcije je neprekidna funkcija na skupu II8 \ {0}.

f) (i) Funkcija f je neprekidna na R. (ü) Izvodna funkcija f' postoji na I[8, jer za x O vazi f'(x) = 2xsin(i/x) - cos(1/x), dok za x == 0 imamo

hZ /h) -0 f (0) 1im - -= limlisin(r/h) = 0, h-,J h h ->o (6.12)

x-o tirrn (2xsin(1/x) -cos(1/x)) ne postoji, to f' ima prekid druge vrste u tacki.O. xo

Napomena. Funkcija f', koja se dobija kao izvod neke funkcije nema nikad prekid prve vrste, ali, kako smo videli u zadatku pod f), moze imati prekid druge vrste.

g) Slicno kao u e) i f), siedi da je funkcija f neprekidna na R zaa > 0, izvódfúnkcija f' postoji za a > 1 na IR, i, konacno, f' je neprekidna funkcija na R za cc > 2.

6.14. Odrediti najvece skupove na kojima postoje prvi izvodi sledeeih funkcija: 2-x, x<2;

(2 -x)(3 -x), 2 < x < 3;

-(3-x), x > 3;

x3 + 1, x < 0; e) f(x) _ f

é-1/x+1 , x>o;

a) f()) = b) f(.x) _ {

arctgx, t.xl < i;

(

4

d)'.f(x) ° j 0,

xEQ; xEIIB\Q.

Resenja.

a) Na osnovu jednákosti lim f (x) = lim f (x) =0 -f (2) i im , f(x) = lim f(x) =

x-,2+ x-3- x 3+ .

0 f (3), siedi da je funkcija f neprekidna u tackama 2 i 3, pa je, dakle, neprekidna na ceiom skupuIIB. Kako je

= lim f(2+h)-f(2) = lim 2-(h+2)-0=-1 h o- h ho- h

= lim f(2+) f(2) = lim (2-(2+h))(3-(2+h)) 0) ho+ h moo: h

to f'(2) postoji i ima vrednost -1: Slicno pokazujemo da je f-'(3) = f+'(3) = 1, pa je f'(3) = 1. To znaci da funkcija f' (prvi izvod funkcije f) postoji na I[8 i vai

-1, x<2; f'(x) = 2x-5, 2<x<3;

1, x>3.

b) Funkcija f je neprekidna na R. Kako je

-1) f(-1+h)-f(-1) arctg(-1+h)+/4 f+` = lim = lim o+ h h

arctg(-1+h)+arctg1 1 -1+h.+1 1 lim = lim - arctg h-,o+ h h-,o+h 1-(-1+h) 2 -

r(-1+h)-f(-1) = lim á ssgn(-1+hi+1-1±111-1 -(-4) ,f..(---- 1) = lim °

it-,0- h h-)- h

'* iaJill

,.\l11.!-irirlr-l

I

Tl^l

Tl

I

il-_T

I-.-l-t+l

i_l-l&

i6i

cto I

trcE

1il

!lrl\-]rl:lq+

irl.,'l..,1-lI

--t'l

L.

.i;sd|-{te\:.H

_

iNll a

il

O P

-l.

' *

ll,r^

+(.- .L

':-l +

i-u o

trl li

.,.: ,1

-l6L)-o -:z

ql l-.

9=

'i-=

boH

.; -i

E-cl.O

ifi

d N

(rl

*:: F

i E

q

o*=:

tr-,-

) o

..- -

=

\ ':'

'l o6

tD $

9 ^t

rj,

-q 3

r 7

I r *

- +

l'

E

Lii;.=

e,

,t -=

l_F

s -.

o ^l<

'l;

-d ri

tr {l

-lE

;a.il; E

+

l ll>

::,,

., ,, a

:. urrl

d E

!

:lE

N

xc-.r x -!

-l Y

ltr

^ 0J

\ cl

:=

' h

I .E

? .=

?!

rl I

e C

)

E-:

t- i

l

.,i--

frl- r

,i '-

-->:

.. -v

\.: x

tr I

A

lE8-Uq-il:'_9 ,

.!r't lr

,/-|ll

oI

.:- y

j. 6

=:1,

<

- sl

a; -i

+J

Ea'?

I N

Ca

O t

.t,-I

vlct

N

rr =

lr E

tl*.dl

-Jlll E

rlN

- -

Nl

.-i1

i -,

-t!:b"rot1-a{<trT

Jl rl

=ru

ll

^lI

r .Jl 3l

-c\l\lx

(i rl

rl(

* =

l*:i*_,.-,o

\l \l

.Er-V

tr +l

1le:i

Nr

Nl

< =

- vr

.Ea Q

)-^'-.;-;-

v N

u

O

6, =

ll ll

.- *_V

A

'aa

o =

tr N

N

- .,| ^

(JilrO

A

O

trar^

'-looiv

-.;i4ca\\^:=

"..c

V

-d ?

cH

,/\,=

u

|i IU

, E

><

-kr *

ilv-

=-l:N

N':-du

L g

tr6 n

c,>

oHz<

d

tr S0 _V

E iij

!v,J.r-,2o-H

.:o,5=ci

O g

9 F

tr.HJ^!-9Y\)sY

L-*rtr

>r3

!=;i

A=

e((qo

- o

cd i \-'

;" JE

.c\

.6 o'

'r'cd Y

Y

!N*!

4 @

-

-- C

, )()

q R

€=

E!

E-..5=

E v

a a gi

.X

* os.X

cd

.H

: 'R

>

-o ao. x

-V a

=&

,u\dv+d--.co-oo\^

!e!!.i

-Y

g -.

O'-

/^--b=.i-C

h>:=

-.5 E

l ih.;i-cB

a,oo

f)\oos-j

\.;:,iE

.r'.s-B:=

{'9,--E

EE

s^:s,4E*

4.5 €

@

. o

- S

?

=

Ei#

?E

e =

a t

S

s ;

IJ;

r-E

Y j

iEl"{

dF E

x g g

,,

?i*-='=

-rFil*I.{g: T

;1;=+

e 1

lr a

I -1.

--i

?.;E7.-+

e 2 b z =

1 ,E !.'ili=

E

ES

= z-'E

:=

.EE

-|E,:; -a' I

:: ;

: | !ti

t rz:'

E :

E

+:,q'"fE

?* !11 5,oltsS

* :iZ

g *

s:tr9 +

.* 5

x ^=

L-;EL,sE

5 ? I i iE

: E

sE i

H=

i-,, ; i

rit?E

=;-i !:=

E;l

:e.iJt: -L =

:Q:-i !

i sl-

i ;-E

.? "E 'i I I i ;l* E

; i =

jES

Er 7s;51- [ !

?l-:

!E:,"{=

,;_ E

-E

nl ;E

?4 }=

'E;

gZi=

l E

4,*- ^:l

= E

-"': I:E; {i!:l

;€?. I.YIE

] €]s'c: qEE

E -s:

i E

:, E

= e:

I |

=

+l

6'4.!t ]';=

r

'i u i-- =

r :=

io-trE

Ei*f"r€X

:1hi =' E

Br'if+

E=

: E.a;E

E=

E:t

?E

ql5-.rH

T+

a=

.E

e^.>-5E

q<eP

;;i

€ j;F,5_

i_

i,i= i

:- : /l ; i E

'z: ;'4 i- 5 ;;

i, ;,i"- =;L i i:

AE

5.E

sE 5 e€ il

I :E

: I g-'-5'i3E

di,*;.i,i i : :;E

iEE

!=i=

;.: i )- E

=E

Ei;u=

siES

=:i;;:s

E ^*.=

G.:=

:;- E

i_;

1e-: =

-^'@.=

i: *;.lE

-^:;E

5;=

E

E'a'.

1 rr-

5E.

5<-:S

gStE

eE

)Z P

Et,'Z

p.

oNs\Js'\o



166 Giava 6. Izvodi

to funkcija f nema prvi izvod u tacki -1. Analogno dobijamo f' (1) = f+(1) = 1/2, pa f'(1) postoji i jednako je 1/2.

f Kor_acno je f' (x) _

i/(iTx?), -1/ 2,

1/2,

-1<x<1; x < -1; x> 1.

e-1/x c) Pokazimo prvo jednakost: 1im

x"' = 0, rn = 0,1, .... o+

Ako stavimo t := 1/x, tada x-. t kada x --> 0 + . Prema tome je

e-1/x lim = liln t'" e-1 = 0.

X"i -t-+- (6.13)

(Lakgi nacin da se pokaze poslednja relacija jeste da se in-puta primeni Lopitalovo pravilo, videti poglavlje 6.4.) Ftinkcija f je neprekidna na skupu R \ {0}. Iz (6.13) za in = 0 siedi

lim f(x) = lim e-1/x+1 =1,

a kako je lim f(x) = I = f (0), to je f takode neprekidna ftinkcija u taèki x = 0. x->0- Ako u (6.13) stavimo m= 1, onda dobijamo

f+(0) = lim f(O+h)-f(0) = lim (e-t/,+1)-1 e-1/h = lim =0, h h h=.o+ h

Takode je (0) = 0, pa funkcija f ima prvi izvod u tacki 0. z

Tako dobijamo f'(.x) = i e_1z / /x2 x > O. Funkcija f' je neprekidna na R.

d) Funkcija je neprekidna u tacki 0, jer je I f (x) 1<ixj za svako x E R. U drsgim realnim ta6kama funkcija f nije neprekidna (moze se pokazatì analogno kao u zadatku 5.11 b)). Pokazacemo sada da data funkcija nije diferencijabilna ni u tacci nula. Imamo

( f(h)--f(0) - f(h)` ( Q(h) :.-

h h l f Q(l1) _ {

1, hEQ; 0, h ER \Q. )

Dakle, f'(0) = lira Q(h) ne postoji, sto znaci f nema izvod ni za jedno x E R.

6.15. Neka je domen funkcije f interval (-e,e). Pokazati da tada vaie sledeéa tvrdenja.

1. Ako je funkcija f neparna i neprekidna, tada je f (0) = Q. 2. Prvi izvod neparne (resp. parne) funkcije jeste parná (resp. neparna) funkcija.

6.1: Uvod 167

6.16. Odrediti prvi izvod inverzne funkcije f i za fur.kciju f, clam sa

a) f(x)=2x+1,xEIll; b) f(x)= +2,x>0; c) f(x)=xz-2x,x_>-1; d) f (x) = cos x, x E (0,7c); e) f (.x) = shx, x E R; f) f (x) = chx, x > 0.

Resenja.

a) Prvi nacin. Ako stavimo y = f (x) = 2x+ 1, tada je x = X

2.1. Tako je f-1(x) =

x

2 1,x E rv; inverzna za funkciju f. Prvi izvod f-1 je tada (f-1)'(x) = 1/2, x E R.

Drugi nacin. Kako je f'(.x) = 2 i f'(f-1(x)) = 2, to iz formule (6.3) sledi 1 1

(f 1Y(x) = t'(f 1(x)) 2.,

x E

b) . Koristiéemo drugi nacin iz a). Iz jednakosti f'(x) = 2

x > 0 i f-1(x) =

(x - 2)2, dobijamo da je prvi izvod inverzne funkcije f-1. date funkcije f jednak (.f-1)1(x)=2Jf-1(x)=2(x-2), x>2. -.

e) Iz f'(x)-2x-2if-1(x)=Vx+1±1(jerjef(x)+1=(x-1)z)sledi (f-')'(x)- 1 1

2f-1(x)-2 2/x+1'

d) Iz f'(x) _ - sinx, x E (0,tt), sledi (f !:)'(x) = (arccosx)' _ 1 1

x>-1.

sin(arccosx) V1 - còsz(arccosx) V1 -x2' e) iz f.' (x) = chx, za x E R sledi:

1 l 1 1 (f-1)' ---= _ _ _ (areshx)' = ch x ch(arcshx) (f 1(. )) ( ,/i+sh-(areshx) Vlx

ï

sin( f-1.(x))

rE(-1,1)

f 5 (arcchx)' = 1

x > 1. 1/4-2 1'

6.17. Odrediti domene i prve izvode za inverzne funkcije sledeéih f ùnkcijà:

al f(x).=x+lnx,x>0; b) f(x)== iryz,x<0.

Resenja.

a) Za x > 0 vazi f'(x) = x+1 > 0, sto znaci da postoji jedinstveno odredena funkcija f -1 inverzna za funkciju f , ciji je domen B jednak kodomenu funkcije f . Ustvari je B = R; analiticku formulu za j` 1 ne moemo eksplicitno odrediti, ali ipak mozemo

1 1 náéi njen prvi izvod. Iz relacije (6.3). sledi: (f-1)'(x) = 1(

- f f- x,) (x + 1)/x

..4 4

iE lo,

CT

\

t* sx,a

g;;

$ E

#F

.+I r

-i F

? ilE

E 5

F $

:,1

rs^^

H

rE6+

$ 'iE

??

i: 3s

:3ts

i!S

;-"r

.-.$

IF;ii

tl.-:

qi

E,

iE;i*

ii r

s s

e.$;

B :

j ;-

t ;g

} :!

: ;;

{^!'

s ..,

" ::

itlE

-r

;;=

Ir=

E

d.s

tB-

5- E

gi

l;'

iFi,t

l=

[i5' :

i:'l:!

I +

={E

S$;

-!,i

st

n s

=i-

[ €'

;-^-

E

ii ;;

reH

. s,

6 -.

iis*s

s'

-

l;r F

:;^

g -1

.+ l_

,r'

=s*

* 3-

_r

::-is

ii S

{ r-

::[:.

[]-E

=ill

B{iS

+ir

ilsF

ii}i

it ^1

E _'

,'-=

i'Ii,:

''I

i3 +

; i ?

s,^

, ;;;

" '":

''s:

=, I

I F

: lf

#, f

3.. J

,i g

E ,I

Z "a

_=j ;

i=lt;

il;B

.*$

: 3

-f'*

s:

xA€

+t

E'E

lr e

E,l

so ,'

',t ,

I: ;

$ E

. /_

__ x

r>

"=

i 11

B a

* i

E. 11

i i

-,.1

[3$

i;'3B

a;;ii

=r*

=

Eie

fr

^, +

l ;i

p-

: 6

- s

!,-'e

:: i\

=

+

.dk

,i: ;

li I

I A

;

I l:

E

i?il:

:l{;*

x i

r;:ja

f i

.i= i

*

:.: :

t:<

: e

='

=

l E

e

E'

i i

i'!e$

uf E

i;

-*

c)-

s +

-s. a

r il

*

=i"=

E'

g i

+

:S

:

; *'

!:1

tr

€S

i

rn

5 l_

+ f

t ;

E

ts$

€. F

' 3

g :

a 3

g ?

!i \ t{ il- o\ - > \)



168 Giava 6. Izvodi

x+l gde je x regenje (po x) jednacine y = x+lnx. '

2x b) Za x<-0 vàzi f'(x) =

2 , sto-znai da postoji jedinstvena funkcija f-i za f (1+x) 2

sa domenom 0 1 0)) N'en izvod je ( 1 )' x (1 +x2)° = de je x ( , )='f((- , )) J J f-

. ( )_ g J

A2 regenje (po x) jednaçine y= °

1-1-172, .. 6.18. Pokazati da postoji jedinstvena diferetecijcibilna futakcija na-II8 takva da je

y3 + 2), = x, Y(3) = 1' (6.14)

i odrediti njen prri izvod yz'.

Resenje. Postojanje funkcije y =y(x) sledi iz teorernë o implicitnim funkcijama; u ovoj knjizi éemo pokazati postojanje funkeije y na druga dva"naçina. Neka je funkcija F data sa F (x, y) = y3 + 2y - x: Prirnetimo da, za svako fiksno y E R, F ima izvod FX (po x) za sve z E a[i;; a takode, za svako fiksno x E R, F ima izvod F', (po y) za sve y. E R.

Prvi mein. Posle diferenciranja jednaçine F(x,y) = 0 po y dobijamo xy = 2+ 3y2 > 0. (x je funkcija od y). Prema tome, inverzna funkcija za funkciju x = x(y) postoji i takode je diferencijabilna na R. Tada vázi (vidi (6.3)):

, 1 1

Yx = = x' 2+3y2

Pretpostavimo da postoje dva regenja jednacine (6.14) i oznacimo ih sa yt (x) i y2(x). Tada je yi + 2yt = x i y3+ 2y2 = x: To znaci da je

vi -Yz+2.(Y1 -Y2) - (Yi -Y2)(04 +YiY2+Y2+2) = O.

Kako za dy, , y2 vazi yi +yty2 + y22 + 2 > 0, to je yt (x) = y2 (x) za svako x E R. Drugi nacin. Ako diferencirajmo po x jednacinu (6.14), pretpostavljajuéi da je y =

x onda je 3y2 '+ 2 '= 1. Regava uci po dobijamo '= Y( ) J Y` Yx Yx J P Yx J Yx 2+13y2-

6.19. Odrediti prve izvode sledeeih funkcija y = y(x) datih intplicitno: a) x2 +y2 = 4;

c) + V5, = 5x;

e) (y2-9)3 = (2x3+3x -

b) 2x-3y+3 =x2+2y-6x; d) x4 + 4x2y2 - 3xy3 + 3x = 0;

2; f) (2 + xy)2 = 3.x2 - 7.

6.1. Uvod 169

Regenja.

a) Posle diferenciranja date jednacine po x (zbog (y2)", = 2yy'); dobijamo 2x + 2)'Y' = 0, ili y' = -x/y.

b) Iz 2-3y'=2x+2y'-6 siedi y' = (-2x + 8)/5. j

c) Kakoje 2-+2=5,.toje y'=10f--. d) Iz 4x3 + 8xy2 + 8x2yy' - 3y3 - 9xy2y'

-4.x3 - 8.ay2 +3y3 - 3 +3 = 0, siedi v' = 8x2 9xv`

e) Iz 6(y2- 9)2yy'= 2(2x3 +3x - 1)(6x2 +3), siedi y'- (2'3 +3,x- 1)(2.x' +1).

t) Kako je 2(2+xy)(Y+xy') = 6x, to je y' _ 3.):- 2 ) -av' . x(2+xy)

Y(Y2 - 9)2

6.20. Odrediti prve izvode sledeéih paratnetarskih fiinkcija, datih sa: a) x=tZ+2t, y=.2t3-6t, t E I"; b) z=2(t-sint), y=2(1 -cost), t ELá; c) x= 2 cos3 t, y= sin3 t, t E (0,7c/2) .

Regenja.

a) Iz xj = 2t + 2, . y; = 6t2 - 6, i relaéije (6.6), sledi ÿ, = 6t' -6 - 3t2 -3 , t # 1 2t+2 t+1 .

b) Iz x; = 2(1-cost), y;=2Sint, tElCi;, slediy'= sin

tElfB\ {ant kE7L}. (1- cost)

c) Kako je xÌ = 6cos2t(-sint), y; = 3sin2tcost, to je , 3sin2t cost - 1

Y - ( O,tt / 2 ) . : -6cos2tsint 2ctgt ctgt'

t

6.21. Odrediti diferencijale sledeéih funkcija:

A) f(x) = 2 Jcos(1/x)+ln(x2+ 1);

c) f (x) = 5 arctg(2x+7)e3x+1 + 12x;

sinx+tgx b) f(x)=x3+3x+3.x'

5' + 4x2 d) y = aresin(5x4 + 2) + exp(sinx + cosx)

Resenja.

a) Prvi izvod funkcije f je f'(x ) = sin(1/x) 2x

x2/cos(1/x) +

I +x2' pa je (vidi relaciju (6.8)) diferencijal of f u tacki x iz domena funkcije f dat sa

df(x) =f'(x)dx= x2 /îosl/x)

+ 1+x2)

dx.

-\O:=,U0)

!{(J!

^-l I

l-

,r l-T

!I :

€

î l* -

+lr !.

+

-o -llt

L /.)4

lt- )

\|\/ll->

1 D

-ll*_-ll

\._ -_)

?R

l- i

clir-J

--ll aL

q >

__ilo c

lN-li

U

i l!

lr.c ll

O

:N)

ohll,Y

-:l

\,U!

.91a-,y\!q

l '-

>t)

Ntr

L'q rf<

'u

>a6)^.

U*Ye--.^rI\)fi>!!-u

-) +

i5

SIA

-rE

L\:3 l=

.{

!hP

Le ()

.\u >

E

FN

n_:iltr,:-rxk:Y

+T

\\O

.qu

c*e

I't r

", N

ifu1l

') *

&6lt'ri

" I

-s.llc:Jli

: -l-

xci -a

l u

;,-- &

, lL 1.1

-rl* ;ii , .-

rr :-t

alti-l

rl Y

N

vlN

1 i -,.

.: r

I i-* t-

rr 'Jl .E

i '.ir l" =

lB

# r lii t.l.

H .,

sO

z

l,: €;l

# .-; ;

t' .:

;11 - li 6

E

8*

.a f'l

&-t-llfe\rt*'L'riorez'a!]

'i: 9 cr S o

g y T

5-?

| ':

Fei

p _j

:-;;,

i ;

_V::

f î

E-lE

"I

-L {- \Y

_.* }

-]i ; 'rf

: :

'4 I"'

{ G

-i

y l

î .!

t *;u-.;

r .

a il

:: E

',1 ;r -:;

i;l=-

+

: =

.i,.-

3 3 gll

.7 r rl{

I i

itrtt' a 3 S

rs .\ = +

fl.i-L

:L g

Niril

ll 1l

.g tl

.f, E

- _9

S

)iB

q fj.

-{. g

:..>

q-F

lil6i-od.d;

+HC.l

o-oo9-Nil

\r!_!

3O

m

l;.il-€

1 >l>

alk

a-l r>

r\'A

aoll

1

i(.)i I

d)-E

O

.:a

!) \o

d>_,

!

.'l I

t.{'.- lLa

Ett

r>.1

>!!".rtN

Io^N

-1-E

,,y

- r

-t\t-

^tNE

o m

' o

", ll I

':.;--

N

9'

o:& S

g

!e!9

l-;) tt)

lc"r

I u-ri'r1l>t;

h l'alo-lxto

.- -+

i;,ll a-l-t

i!

l"r i.

;t-r n

a lta, tr

11 gG

.5 ir

>qq)

tJaLJ

--.i

vi

\ -i

-=

=

o 6

n:=*€q

; E

Ef hE

I

ffr1E

f s

:il sd *; i

i€-lf ;c

l.r-i t

E iY

-||X

E

E

,g,',- f ;

=;l^

€ :g:E

f: E

T -S

" &

.i.i =

l :

E'E

€E E

,i 'E

-

5i ? =

î{',E

e E

EgE

r€E i*$IaB

rijf.s ,

'i ;*=

s l::

Ie i

3:i ili.o

: ,r

) =

-

3ttu.si i';:

.0;6 : ;=

i

s € $ i-=

i ,

':; I X

luE -u*:

;" r: *

,; e

* **'liI * A

S

o E

a"I +E

B -l!,E

i ; '-E; i::.-

ir € =

E i

=,tlJ 5S

X ,,,., E

_ , ;,E

i ;;aa

E 'E

g 'g t

EE

=tr Y

E: *i+

ili a rE,E

l;6 n 7-

i i

lsll 'g;E

,',. ,ti$ J .l,ie ,i

E ;i_a.,lj ! i

*53r flE; .; Ii i i*;

E

i_?rl{ |

, !

- lF

.5i*:qgE

€r I iEi

F

I

n ^. i ;E ,i

i Eqf5gE

:i* i]

*,lE{

* ri

'p .' i €

; i

'ii:Eft€E

H

€-- -i 'ir s

rj \-;

: E

I s.

I E

-*'ii;;,F-E

:{

-i r--"

:'iS

ne I 5a;=

,EeE

5E 5f -;;i5 ii:r

OO

(,.-

iYE

F !

i;Es;;"H

ig F:

5'rE €{s>

'l*'S 1'E

E

: $?Zyi=

:= E

E I+

= S

.,,E

'g

-E"-

E>

i

1:PNrcile

Uoo\o

E



170 Giava 6. Izvodi

(cosx+ 1/cos2x)(x3 +3'+3x) -(sinx+tgx)(3x2+3x1n3+3) .

b) df(x) (r3=3x+3x)2 dx

2 e) iz (6.8), sledi d f (.a)

_ ( 5

1+(2,r +7)' e3`+I + 15 arctg(2x+7)e3i+I + 12x1n 12 dx.

20x-1 (5' 1n5+8x) - (5x+4x'-)(cosx- sinx).l.dx. d) dj'(x) _ ( /I, ,(5.x4 +2)2

F

exp(sinx+cosx)

6.22. Ako je f(x) _ V u'--+»'-, geie je m E N, m > 1, i ako su .it = u(x) i v = v(x) diferencijabilne fimkcije promenljive x, odrediti diferencijal d f (x). .

Resenje. Iz (6.8), dobijamo

( r o 91- 1 ' 2(1-m)/nt 2 2- 2 m

d.f(x) = d \ u`+v - -(ú +v ) d(u +v i - -(u2+1,2`0.-."3), (udu+.vdv). nz m

6.23: Odrediti u priblitnu vrednost broja A, ako je njegova tacna vrednpst data sa

a) A=ti/4,0003; b) A=ln(1,001); c) A=3/1,0003..

Resenja. 1

a) Za funkciju f(x) x % 0, je njen prvi izvod f'(x) = 2/j_c

, x > 0, pa za x = 4,

h = 0, 0003, iz formule (6.9) sledi

0003 ti+ 2 0, 0003 = 2+ 0,

0 03 - 2,000075 .

b) Ako je h = 0,001i x = 1, tada je ln(1,001) In1+10,001=0,001.

e) Ovde je h = 0,0003 i x = 1, pa je /1, 0003 ' 1 +

3\71 0, 0003 = 1, 0001.

6.24. Akoje a > 0, n EN i x zadovoljava uslov K a" (tj. jxj je mnbgo manji od a"), pokazati prablrtnu formulu

x tia " +xra -1- na"-1' (6.15)

Resenje. Ako je f(x)-:= {/a"+ x, tadá je f'(0) = n(a"+x)(1

")ln x=o na"-i

Kako

je f diferencijabilne funkcija u 0, to siedi

.f(r) -f(0) = ncz 1

+x. r(x), (6.16)

gde za ostatak r vazi lim r(x) = 0 (videti definiciju 6.2 i teoremu 6:3). Zamenom .a--ro

x r(x) u (6.16), dobijamo formulu (6.15), koja vazi ako je ;x¡ mnogo manje od a".

6.1. (Nod

6.25. Pokazati .sledece formule: a)

za "malo"

171-

1

, 1+=; b) sinxx; c) cosx i, /1-x 3

6.26. Pretpostavirno da su fiinkcije u = u(x) i v= v(x) n puta diferéncijabilne na intervalu (a,b), gde n Koristeéi uobicajenu k-onvenciju u(°)(x) := u(x)), pokazati da vati Lajbnicova formula:

(')uu(x)v"i(x); (u(x),v(x))(r _ xE (a,b). (6.17) ì=0 J

Resenje. Za n = 1 dobija se poznata relacija za izvod proizvoda dve funkci;e. Neka je relacija (6.17) tacna za n = k; taCja za n

-=}k+

1 i x E (a,b) vazi

(u(x) V(x))(k+1) _ (MX) v(x))(k)) (uJ(X)vkT.J(x)

_ (k)uo+i)(x),(k_,)(x)+ k/ u(î (k ì+1)

(x)

¡ 1J ()t/(X)Vk_1(X)

ì-p JJ

)()() _ { f ú (x)Vk(X)+ +...-+ ¡ k k1

+ (uk+1¡x)v(x)+ (lu(X)vk+t)(:C)-{-

()U1(X)Vk(X)+... l

{\JJ k+l

+ (kk lu(k-1)(x)vn(x)+ ()Uk(X)Vf(X)

= E +

i(ì)(F+1-ì)( i=o J Prema principu matematicke indukcije, formula (6.17) je ta6na za sve n E N. U prethodnom smo koristili jednakost (kj)

+ (ì+i) =

(;+i)+ k e N, 0 < j < k -1.

6.27. Neka je funkcija f tri puta diferencijabilna na svom domenu. Odrediti g" i g' ", ako je funkcija g data sa:

a) g(x) = f(x2); b) g(x) = f(1/x); c) g(x) = f(ex); d) g(x) - f(lnx).

Resenja. -

a) Na osnovu pravila o izvodu slozene funkcije siedi

g'(x)=2x f (x2), g" (x) = 4x2 f " (x2) + 2f ' (x2), g'"(x)=8x3f"'(x2)+12xf"(x2).

b) g'(x) = -

z2f'(1/x)r g"(x) = 3 f'(1/x) + f"(1/x) . .

gin(x) _- fiü(1/x) 6

f"(1/x) -- f'(Ix). .

c) g"(x) =e2xf"(ex)+exf'(ex)r grr,(x) = e3x f;u(e)+3e'x frr(ex)+exf'(e.x) d) g"(x) =

X (f"(lnx) - f'(lnx)) , g'" (x) -z ( f "'(lnx) - 3f"(lnx).+2f,:(lnx)) .

I .! :r 3 ll

IM= :, I l

ii Y h. /Tl I -.

1

N o o.

71

F .

g s

?,F

. .

F,

$ e

u, s

ag

:t i*

-gg

?;,v

;i.lE

ii ?

1;x -;

- E

,\ E

X I

c,

Ii ii

" r:

z e

E F,

3i

i] $;

;E

-;$:

F

+ll

;$!li

,.=r

li3R

. e;

:1

" H

; ;l

i r

'=' :'

lj

Fil'

] rU

i ;

l;E

-;

il:

=;

; ri

g, *

; i

,f :

iii

":| "l_

rq

,3=

=

*n

='*

ii

.*

?l a

i 9*

:--'l

^ ::1

1 '-'

- l:

==

: - is

\)

E* ;

i i-

Ei

+g

:" i

: l;

tl'"2

17e'

? =

a;

1l ;

f

:: -5

f;

:- {

- }

li --

:l ,il

?ie

=i *

,-=

{ sE

r q

e i

:s j-

t3:

l'-tii

i*$

-1-:

=-

E;I

i i

i?

FiE

lefq

li; E

. I

=^-

il, ^

s 1

'o

e

eS j_

i,il

:ll

? i;

S[i

i - f a

---

"e s

- ii=

,'. ii

Z,;

g ii

i; =

= *

E i

{- r

i- :i

} dl

ri r

r:=

6

: ;

B e

E

rt

E

i N f

_.

:. lg

-,

l.'€

i L-

€

: E

s

x " s'

: ;'

Y

*. ty

='!

: x

E

E

$ i

i -

= i

.H u

"t

l- {,

.

N

.E'-s

ll\X

rv-G

f+.=

3i!9

6.-

L. d n,

O\

O\

N)

h.i

s!,l

$E -

u 'd

p+

a!

N^N

Jil

N('^

'^-

6 N

rii

s 3

i!-:-

5

\ b

L.-

!h:9

P =

+

d-

A'^

^)'

o:l\.

's^-

; .n

,

O'

n

-g

I -{

a'4!

* =

ExS

*

'^,! P=

t' tr

:il

<-r

. I

* \

" il*

O<

!)

lllQ

*.

;,G

:((

( ll

eJ.-

eJ

l\::x <\J

*@

Y\'

))-4

_ R

i

',i

o*s *\ Y;

o ^:x

ah.

*-

3i

r-'

,)q

0q

=\ -

,l il li

'i,j

* Y

k -.

1

t.\ '\- !--

OA

:v fll il?-

t*

I,!l

{

;: -r

I6

IJt.i i

\^.

.-i

iT iJ 5 x

L



172 G1ava 6. Izvodi

6.28. Pokazati da koeficijenti ai, 0< j < n, polinonra

P: (x) = a,.x" i-1 + ...+ a 1 x+ an, x E I[l;,

1 0 zadovoljavaju jednakost a1 = PP) (0) / j ., < j < n.

Uputstvo. Odrediti /34-1)(x) za 0 < j < n, pa u dobijenu jednakost staviti x = O.

6.29. Odrediti j-te izvode i; posébno; f (i) (0) za j E N, ako je f data sa:

a) f (x) = ez, x E Il8; b) f (x) = 2x, x E ii8; c) f(x) = sin.x, x E I[8;

1 d) f (.r) = cosx, x E I[8; e) .f (x) =

Resenja. a) Kako je f'(x) = ex za svako x E I[8, to na osnovu principa matematicke indukcije po

j E N imamo f(i) (x) = ex za sue j E N. Prema tome je f(i) (0) = 1 za sve j E N.

b) Slièno kao pod a), imamo f (i) (x) = 2x lni 2, za svako x E l[8 i j E N. Prema tome je f(J) (0) =1n1 2, J E N.

c) Ako je f(x) = sinx, x E R, tada je f'(x) = cosx, f"(x) = -sinx, f"'(x) = -cosx, f(4) (x) = sin'x, x E R. Iz jednakosti f (x) = f(4) (x) = sinx, x E 1[h, siedi da za svako x E 118 i svako j E N0 vali

f(4-')(x) ='Sirix, f (4+1) (x) = cosx, f (4j+2)

lx) _ - Sinx, f (4i+3) (X) = - COSx,

f(")(x) = sin(x+n¡'2)1, n E N. Tako jelzá j E NO:

1 -x' Ix! <1; f) f(x) - in(' +x); 1xj < I.

f (4') (0) = f (4.r+2) (0) = 0

f(4J+1)(x) = 1, f(4J+3)(x) =-1. d) Analogno kao u c), za svako x E R i svako j E N0 imamo

(4i) x = cos (4i+a) x) _ - sinx, (4i+2) x -cosx (4J+3) x = sinx, () ,.f (. f ()_ ,f () ,

f(")(x) = cos (x+nst/2), n E N. Posebno je f(4')(0) = 1, f(4j+2)'(0) = -j, f(4i-+1)(0) = f(4i+3)(0) = O.

r

e} Proventi da za b j E N vazi f0) (x) _(1 x)i+1, < 1, to povlaci f (i) (0) = j! .

f) Prvi i drugi izvod date funkcije su jednaki f'(x) = 1+x

i f"(x) =

(11x)2, Ix1 < 1.

Pomocu matemaiicke indukcije pokazuje'se da vai f(i)(x) = ( 1)j 1(J-1)! za (1 +x)i

syako f E Ni ;x.l < 1. Daije je f(i) (0) = (-1)-/-1(j _ 1)!.

6.30. Odrediti f(")(x) ako je, za.1x1 < 1: a) f (x) = 1 + .b) f(x) =1n(1-x).

6.1., Uvod 1.73

Rezultati. a) PO (x) = ( -1) "n!

(1 +x)' +t . b) f(n)(x)= (jrt x)!

6.31. Odrediti n-te izvode siedeéih f,enkcija:

a) f(x) = x23x+2'x {1,2};

c) f(x) = cos2x, x E IR;

bx , e) f(x) = 1n

a -I- a 2 fi`x 2 > 0; a -bx

b) (x) = 2.x .f , x {-1;1}';

d) f(x) = sin4x+cos4x, x E R;

f) .t (x) = ea` sin(13x).

Resenja. 1 1 1

a) Data funkcija se moze zapisati kao f(x) _ - .x2-3x+2 x -2 x-l'

Pa e (':)x 1"nl 1 1 \ P j f ( )=(- )

(x-2)"-FI (x - I)»+1 )

zax {1,2},

x 1 ¡ 1 1

b) Poste transformacije f(x) = = 1

- imamo x 2 -x)' - -1 2 ,1+x íx

_ n! (-1)" 1 _ (-1)ni1! f 1 1 n _ fO(x). 2 ((1+x)»+1 (1-x)»+ 4 1

- 2 \(1+x)n+1+(X-1)»+1

c) Iz jednakosti cos2x= 1/2 + (cos(2x))/2, sledi f(")(x) = icos(2x+nm/2). (Uporediti sa zadatkom 6.29 pod c) i d).)

d) Iz f (x) = 3/4+ (cos(4x))/4, siedi f (") (x) = 4n-1 cos(4x+n7t/2), n E N.

b b (-1)"-1(n- 1)!b" (n -1)!b" e) Iz f'(x) = + dobijamo f(")(x) = + +bx a-bx (a+bz)n (a--bx)'° nEN;a2-b2x2>O.

f) Na osnovu Lajbnicove formule 6.17 imamo

(')a1'1_3esin(x). .f(n)(X) =

n

(e')(ïl(sin(ßx))(n-i) = E J=0 i i=o

za

3x-a-2 6.32. Odrediti vrednost n-tog izvoda funkcije y(x) = x2 _ 2x+5

u tacki x = O.

Reset>(je. Ako n puta diferenciramo jednakost y(x) (x2 - 2x + 5) = 3x + 2, onda, ko-

riséenjem Lajbnicove formule, dobijamo:

y(")(x)(x2 - 2x + 5) + ny(" (x) (2x --2)-I n(n - 1) ,

2 y( _>. 2.= 0, aa > 2.

Zá x = 0 imamo: 5y(") (0) - 2nv(i-1) (0) + n(n - 1)y(n-2) (0) = 0, odakle se dobija rekurentna veza

y(")(0) = ny(n-1) (0) - n(ns ly(z 2)(O1. (6.18)

,*r j

rr- |

-lIII

i-[ aE

?,

\ l

o -; Y

'E

'?': i[ E

"€ i

J Erl

I i i

-EIE

if Y

s r

F=

'i-=li

7r ; ; j

#a> {E

+

t ,3 d ;

llri=

:

t E

s;; E

t; za I -o

: ; +

'-rl.- =

3 ), = * ? c

gr! rr i i

i ,i l : -ii,F l

,k

i ,

;, E

'.* I

:E I

H=

- S ii

; ^-

,i e f

i ,''-

^.= +

.

a E;

r ;oX

,1

t i

l5 =

:---li{ a1

c: i :

i ?;-i: i;i, tQ : E

E ;

; l-E i,- ;

ti Li i t:t ;[i iu P

S,lnit* ? !r

+':

rr R

;.1 :.)

XtE

,s-'N

=r, g+

; 3

E

S e

EA

:

:i ?, s := t &

U !tt^=

;Za; i=

"I; if =

u d #: ts

i=i;E

sE

l{ll;;?1s,?s-!iE=

i =

e:

{5*-=? ii;l.il:{=

,JaiiE;c:', t

! i

g S,::

.igz,Eg;]s

\ =

\-u X

: F

e E

E

i E

S e e .f J.;lr<

{ =

L<

=r E

E E

E

S

f 5 S

E

a .a n 6

a ; i-

'r3

'ooN\c)$$3

t5C.l

F-



174 Glava 6. Izvodi 61. Uvod 175

Iz jednakosti 0` = 2 / -3 - 4x+ 19 19 J Y( - Y(x) _

(x2-2x+5)2 i y'(0) =

25 i formule (6.18),

dobijamo y"(0) , i, uopste, y(") (0) za n > 2.

¡ -f/x 6.33. Pokazati da je funkcja f(x) = {

0, x < O' beskonacno iliferencijabilna na

I[8, i da vati f(")(0) = 0, za sve n E N.

Resenje. Data funkcíja je diferencijabilna za sve vrednosti x E R, izuzev moda u tacki x = O. Funkcija f je neprekidna u nub, jer je

lim f(x) = lim e r/X = lim e' = 0 i lim f(x) = lim 0=0= f (0). xy0+ x-4)+ x-po- x--o-

2ax>Oje f'(x,)= e r/x f(x)= -X3)

e-t/x i frrr(x) _\X _ 6

+¡e_ /x

Ostavljamo citaocu da proved da je f(" )(x) = Q2n(1 /x)e-r/x, gde je Q2.n(x) polinom stepena 2n takav da je Q2(0) = O.

Prema tome, imamo lim f(")(x) = lim Q2r(1/x)e-r/x = lim Q2n(t)e-' = 0. x-,o+" x-.o+ t-.+c- Iz f(") (x) = 0, za sve x < 0, siedi da je

x---.O- f(") (x) =

xli ó 0 = 0, sto znaci da su i levi i desni izvod funkcije f110 u 0 jednaki nuli. Potrebno je jo, poka.zati . da postoji f(n) (0). Jasno je da je f (n)

(0) = 0, n E N.

Dalje imamo fV0) = lim f (0+h) - f(0) - e-11h h--41+ h h

= O.

Pod pretpostavkom da je f+") (0) = 0 za neko n E N, imamo

4n+1) (") O+h - '(")(0

t0) = iim f( j )= hó hQ2"(lIh)é r/h =0.

n+

Na osnovu principa matematiçke indukcije siedi da je f+n)(0) = 0 za svako n odakie sledi postojanje f(n) na

Napomena. Ovaj zadatak pokazuje da postoji beskonacno diferencijabilna funkcija ciji je Maklorenov polinom bilo kog stepena identicki jednak nuli, i pored toga sto vrednost funkcije nije identicki jednaka nuli. . .

6.34. Odrediti jednacine tangente i normale grafika u tacki T(xo, f(x0)) sledeéih funkcija:

a) .f(x) = xo = 4; b) f(x) = ex2-1 xo = 1;

c) f (x) = arctgx2, xo = 0; d) f(x) = aresin (x2) , xo = O.

Resenja.

a) Jednacina prave sa nagibom (koeficijentom pravca) k-koja prolazi kroz taéku T(xo,yo) ima oblik y - yo = k . (x

- xo ) .

Geometrijska interpretacija prvog izvoda u tacki xo je da je nagib k tangente grafika funkcije f u tacki T (xo, yo) jednak vrednosti prvog izvoda funkcije f u xo, tj. k

f (xo). Prvi izvod funkcije f u tacki x je f'(x) = , pa ako stavimo xo = 4, dobijamo

f'(4) = 1/4. Vrednost funkcije f u tacki xo = 4 je yo = f (4) = 2. Tako je jednacina trazene tangente oblika y -2 = (x - 4), ili 4v -x = 4.

Jednaéina normale grafika funkcije f u tacki T (xo, yo) je oblika (relacija (6.11))

y-Yo=kr(x-xo),

gde je k, = -- pod uslovom da nagib tangente k(= f'(xo)) nije nula. U. nasem k sluéaju je ki = -4, sto daje jednacinu normale grafika funkcije u tacki T(4,2), koja je oblika y +4x = 18.

b) Prvi izvod date funkcije je f'(x) = 2xe'-t , odakie je nagib tangente k = f (1) = 2.

Jednacina tangente je y- 1 k(x -1), tj. y- 1= 2(x-- 1), ili y- 2x + 1= O.

Jednacina normale grafika funkcije f u tacki T (I ,1) je oblika 2y +x -- 3 = O.

c) Iz y - 1+x4

siedi da je y'(0) = O. Prema tome, jednaéina tangente je y -0= 0 (x - 0), odnosno y = O. Ustvari, trazena tangenta je x-osa, dok je normala grafika funkcije f u tacki T(0,0) y-osa, cija je jednacina x= O.

d) Domen funkcije f je interval [-4, 0), jer je apsolutna vrednost argumenta funkcije arcsin manja ili jednaka 1. Lako se pokazuje da je funkcija f neprekidna sa leve strane u tacki O.

Funkcija f nema levi izvod u tacki 0, jer je 7\.

f(G+)i) - f(0) aresin ( 2)-aresin l f tt/2 lim = lim = lim h-00-

, h

_

.. h-4¢- . . h r-n/2- 2(sint -1)

lim -- uni z-o- 2(cosz- 1) z-o- -.4(sin`(z/2))

7naci, trazena tangenta je ustvari y-osa, cija je jednacina x= O.

Jednacina normale u tacki T(0,41/2) je y = 0, sto je ustvarï- x--osa.

6.35. Odrediti parametar k tako da prava y = kx+ i bude ?angenta parabole { (x; y) j y' = 4x, x> 0} , i odrediti tacke dodira.

Resenje. Data kriva jeste grafik dve funkcije, f; (x) = 2,, x > 0,. i x > O. Oznacimo sa T (x0, yo) , x0 > 0, zajednicku taéku tangente i parabole.

i;=49

ri:

-t +-"

o- d .F -A O c oll

,d (D 6rl ^l

rN

!

l,'.

D

irl Y

"-,

1-i.

,i, n

. I

Ir"

:<la

P +

lr ul*

-tp^

llP

l-Li

, \o

t CO ; @

Xt,l

b(,

a<oL

: a1

{

o(.r

7'6x

.^N

- -

s ar

r.E

il

;, =

I.

f U

:i N

.qt

i= , ai

- 3

q.â

!'

.-

()

I .a

5;1

rr

rj

I oa

!.

6c'

i tr

iluo

tE

i*'

:.---

u 5'

A

rT)

oc

it *

P

i

-N

- F

t I

, r.

q'\

r

\/

=

9?ot

oJt*

o

*\a

-x.f,

o

x-h-

lt /,

a

a=

- n<

o3

Ir)

xd

il*.s

N{

ll N

s

,r)o .:

!v 'J\ N<

Ss

oxl_

\a

4 ,l

ox'

o:lq

.

so.\

N)f

i

\ii NO

g)

^ !r

(!

: .r

^(x

ii-o

--

.O.

FD

J'

,,.D

llil ; >

-f,

'-J-

+

l

)rr

v9r tt

-l I''

ll \_

--l

X\

pl

:-

r-i

'a ,--

_il

L''l

'?F

ii:'

P

5'::E

*r

F P

Pb-

Fi !

-=t

+;.

Et;

-?*r

i: '5

3\

O

--

o g

; -.

J

n :

!)i:

3SP

-i

! 3

g 3A

-S

a;.

!r*^

q

J :-

: :

I ;.5

i

\ =

3?

*:

ri I

3 6'

l: i;

e

i' ;';

N P

E :i

*\

{'1"s

;

qi

= :

+

*'

: rr

5

A

*:r

- 3

C:

: =

ir

=

<

OF

o:

tnl

<.ts

i':

, i,'

il

N "

.x 1

*=

-.

*.

,f

o :

t #E

;>H

i=

hi

= i

€'X

!a:.1

t

!1 e

r:

- +

-f,

-i l>

:'i=

S

{'J.-

\ X

:,+D

-

[

: f

*,U

6F

, 1"

, -'ll

F

i v'

:s

trt:-

Ftr

l.ei

;,5-

sz:

= oq

ro

i =

i5 1

l- =

ls .=

' ;- +

' .'

:L

*-a*

+

lr

o I

'>[

J.t=

5 C

gH f

i>

N i>

:t;l=

*i

e g

E.

;, l=

= j

rS jr

_ 6:

i= S

F

:-':;

?

1= f

r, =

i'j:

: E

-a E

- "

: -t

" fi

.- +

;-i

=.4

+

i=

nr

---l :5

c'

x*

fE,

fi ?=

? ,

I

Y ;

i ,,

g 'r

i._

5 P

3

T=

riC

i

c-

': g

P

E

+3

--.=

- lE

' :0

<

t '"-

oT

=c

e2

il i-

s '"p

6 *:

-

x a

-o !,

-.r

,,: -'k

N

- q

l3

:E:

N

: ll

6 5

] Y

=

2 tl

I \

I

t eE

L

? -

5 rl

+

F=

6

; 3:

e>

E

+ ;

. z

r+

a'

€' 2

?

l"(

kiti

tlD

a ts>

r

;rl

a.tr

.lt"

'

5{

:<

ilil

$G ,tl R\lr

-

'-lp

li

!( O il Pa F

O N c II

oQ ,/

-\.

O-

!rcD

6-.!l tO

:i.l

o'Y

r5<

fiJ

^rd

:--

-:/

;.>

4--,

++

J

--t

cl"a

=eE

J(D

iE?H

?&"

F;tY

rlo:

F3^

:y:+

3Eg€

. il

?Ze*

r;,

aA; :=

.9#

ilH3.

:aE

***.

(:=

=lis

-',

=';'

Eg;

.-

=':i

i i

E3*

5'

138.

.E. E

iy+

ly

Ie,

Era

Li"iE

r*;,

iEI;

iEi;

i==

;e5i

c*H

iir;-

+3+

E rq

il:ijB

Hrg

;i=iF

a>;E

:c

i

:E:1

1$tn

;rr

?:E

? *=

Ji i

rr;F

:r+

+ E

f j.a

.,t;

rs=

a I

;':'"8

-F',i

i,E,"

E E

Ii'li

?!

r'

I

Cttf

;Ii=

T

:'"3.

lri'

E: E

i

5?E

*#i;-

;#;-

3 i"3

;Ir

3z 5

i

+!lt

a?*;

+{

=li

? *l

+ s

'*a

P:

E o

_

t' fi:

i'*.;7

ic *

-iii

=E

E i

II pr

i

,>j*

-'t3

2,.1

. 1

,J 6

*e

S

I

€'E

:'s

J;

B

:a

I d6

;,

I r

I

r3 ;=

i:i

t3 i

E:'i

F._

[ i

ig q

:'i;=

:;-

I

+g

:; 1

I

i: -=

= =

_ ig

=

=,E

it ?_

i;

5;'

=

rj :i

= E

rf

3-

afr

(,3,

I'

P.g

ia

ls

tA

d.

' u

; t

'îr-

(-i1

1-

(;

E.g

!=

i'I

i= E

'{P

-i-.N

(X

-

-.p

P d

' l>

^ ri

: =

lO

;{

9?

\_S

=

!D

li a

"-.r

L i

t gs

-l>

- E

i.tq

+\

:E

*r;

na

o -

x..

- ::

<

j.

.'E

! S

B

.F

o F

''

i k

I ir.

ru

o5[

is

Ig

ilr

3

J =

it

9?ô

=

:: -

ni

,.'

=

P.

i r

d r

l=

=

1lti

5 i

p-Y

i5

D

i --

.Fx9 6'..

: .-

.^

lll

lec-

(=:

li ';

)/

ol

o ;'

=

a x

.<

L:i

?l

l, -i

**.

1 l'o

)'i

1t'

li'A

; +

i.

^q.

I l':

-*

2 :-

)

_l

l-rtit

>

:l-

- -l

=.i.

'.'o,

+

P

ri I

q:-

a N

t'J

2

-*

::'l

-a.

:' a

I ill

' lr

1--

i ,.

i_13

z l:1

-.

I

-l t'.



176 Giava 6. Izvodi

Tada je yo = +2070 k= f 1

, odae Je yo = kzo+ 1 2 xo = 1 'xo kl xo +1.

bxo xo Tako dobijamo xo = 1, pa je zajednicka tacka tangente i parabole fi tacka T(1,2). Dakle, jednacina jedne trazene tangente je y = x + 1.

U drugoj tacki tan enta ne osto i, er e-2 x 1 bJ g postoji, J je = zo+1 xo=.-1<0, xo

sto je kontradikcija. U tacki x = 0, grafik funkcije f2, dakle i data parabola, imaju vertikalnu tangentu.

6.36. Odrediti tangente parabole f (x) = ,CZ - 3x+ 1 koja prolazi kroz táckti.A(2, odrediti njilzove tacke dodira.

Resenje. Oznacimo sa T (xo, f (,xo)) zajednieku tacku tangente i date parabole. Nagib tangente hoz tacku T je jednak k = f'(.xo) = 2,x0 3, dok je njena jednacina y f(xo) -=k(x-.xo), ili 2 3x0 +1) = (2xo-3)(2xo). Tako dobijamo kvadratmi jednacimi xo

- 4x0 + 3 = 0, cija su resenja xó = 1, xó = 3. Odavde dobijamo da su dodirné tacke tangenti sa parabolom B(1,-1) i C(3,1), a nagibi tangenti (koje obe prolaze kroz tacku A) su ki = 1 i kz = 3' Dakle, jednacine tangenti su y+x = 0 i y= 3x 8.

6.37. Parainetarska reprezéntacija centralne elipse je x = a cos t, y = b sin t, 0 < t < 2n, gde su a > 0 i b > 0 poluose elipse. Pokazati da.povrsina trougla AOBnije mánja od proizvoda ab, gde, su A i B one tacke na x i na y-osi u kojima tangente u proizvoljnoj tacki (x, y) elipse seku x= i yosu respektivno, dok je 0(0,0) koordi- nanuTi pocetak.

Resenje. Kako je elipsa simetricna u odnosu na x i na yosu, dovoljno je analiiirati slucaj 0 < t <n/2. Jednacina tangente elipse u tacki (x(t),y(t)) je

vtisint _ ( \ n ctgtl (x=acost). / \ Preseci ove prave sa koordinatnim osama su tácke A (

a 0) i B (0,

b I. Dakle, cost' \ sint///

za povrsinu PosoB trougla AOB vati P.AOB = 2 cost sin t 2n2t > ab.

ev

6.2. Teoreme srednje vrednosti 177

6.2 Teoreme srednje vrednosti

6.38. Rolova teorema. Ako je funkcija f : [a, b]

neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b],

diferencijabilna na otvorenom intérvalu (a, b),

vati f (a) = .f (b),

tada postoji bar jedan realan broj t; E (a,b) sa osobinom f'() = O.

6.39. Lagraniova teorema. A.ko je funkcija f : [a, b] R

neprekidr?.a nazcitvorenom intervalu [a,b],

.,.i diferencijabilna na otvorenom intervenu (a, b),

iada postoji bar realan broj 4 E (a, b) sa osobinom

Î() = f (bb(a) a (6.19)

Geometrijski, teorema 6.38 (resp. 6.39) znaci da je tangenta u taçki tá paralelna sa

xosom (resp.

sa pravom y f (a) = f (bh _ a

(a) (x a) ).

6.2.1 Zadaci

6.40. Pokazati da funkcija f(x) = x(x 1) (x 2), x E i

, zadovoljava uslove Rolove teoreme na intervalima [0, 1], [1,2] i [0, 2] i odrediti odgovarajuée vrednosti .

Resenje. Data funkcija je polinom, pa je neprekidna i diferencijabilna u svakoj tacki posmatranih intervala. Kako je f(0) = f (1) = f (2) = 0, to funkcija f zadovoljava uslove Rolove teoreme na sva tri intervala [0,1], [1,2] i [0,2]. Dakle, na osnovu teoreme 6.38 postoje tacke E (0,1) i SZ E (1,2) sa osobinom f'gi) = 0, j = 1, 2. Ustvari, posto je f' (x) = 3x2 6x + 2, to se brojevi i , j = 1, 2, dobijaju iz kvadratne jednacine f'(x) = O. Dakle, imamo i = 1

33 E [0,1], =

1+ -E f1 21. Na intervalu [0,2] funkcija f ima cive nule, i

6.41. Na intervalima (-1,1) i (1,2) odrediti tacke u kojima su tangente grafzka funkcije f (x) = (x' - 1) (x 2) horizontalne.

6' 3

X

EgS

l3,r :y

o. S

S ifii-=

d: a

o g

:I;;e{;; E

1 E

S

U E

g?E-,o,i "j{ r

rJ =

d'$ E

=F

E',;*'|- :

$

3 S

E

i T

se--i:e't =

a

-i €

qS

ij d:E

,rI:*: S

._ : :

_. s E ei *;l-

yt sS-;g: E

E 'i

E

s; i

:siIl :;ri r :i€i';;E

=*

I _=

S

i i

.\ a -sr-

E':l+

r_a X

;=

-: \.

<tr

; * -:

;JE<

l :il

.*-'r-g:EI;E

,iS€

i :

ur e

s u

t, S

'u 59

', !-

| !

* .:

fl .E

s {

.= i X

g : s ri,r [O

,3e^r j E

]*L H

sS {

=F

ii{gT

*1 II;:;r.3:x=

T

t

a E

- ;

I a

s ..

>,

il,-, " o -u?

5 :'

.i t^

- !

i a

! E

ff

E

?d E

t s!=

- \

* =

iP

S

\

I -

I =

- S

:

x 'r

5 J::-

E-v -t*.

;-!d

d I s -sl s

.i * n S

'

:E

.ca l:, H

g =

itr

-:\ s

"S

ll '<

l'-

. .:

s z

- II

:=16:!

=

6 tl

E E

'S S

i s :r !E- i'i s

i u'E E

! tE:iE

E a

==

o iri * i'F

,E

= 5 $';=

E* s IF

;s;ie,E ;

i,.f

EE

H. ,g

;

u gs ; : : s g+ ; ; g E

i s sS ?E

;gii-i' sica

a: o

'fr, _1

"-l-4';U

E'-E

t-.r-UtlIo0)

obri

rorN\o

.t=0

.r -IZ

Nd

.=E

,---\-

l\ -

i .lE

toh

nl

?g -:/

,Ni'---

a S

lc

d-<

ll\

El@

l$-

I *

ql "l9slc

. <

v ?

ru -

.-U

.vH

.l

Ei

; <

c

F.-d,o'JeJOI

4 J

E

_.,N

:.v :'

il

.:ri6v!t!-./t

9u r

I a"'

YilO

'Nuioll-.J

6 .<

tl

::=.i=

-<L,*:'o

i €

6la:-LF

lOolJ

,-'E

'i )

A

A,

U

--i

:. tr

::D..i

.l I

:=--\

I O

l,H

A

<C

r'\/ =

.'

OL

() s

\-/ ^ .1'

U-

.'=

u i

.:i,9 oj

o-r!:

A

aJ0J6\

t6

9 ;f r

F,iA

:# 5$ix3 f

I =

6i

'.{iE

Yo

::US

LoS

r'! ;

-?.q'ts .-..

vi:ii1-l<

E

- €

i F

c o

'- rr

O

i:-'

^-: :I E

Agf.tJ"

E$,S

S5; 'I

s i;r+:-l ri:i

I1 f,-# !

.!*t;€! :S

B;

je,-,.i ; g,IE}3 rssE

? E;<

'i :

*,ri'Y::

rr P

,, f t' .}* r

o.-r^:nE*;

5S:;

#{a"f .n -?-5;=

ry:l 3E::

€;;qE "l E

;;5;s; Ie!i-lqggt# I

!**:=:.1 ;e: S

i!*I

.i 3 3 -

l: 9E

r'-.I

io :\'a:

e..R, s

,:S yE

TfE

ef ,S

E;,i

5 rr E

*1, ':i: ?=

,.=€.3,; ys..t^;

î s'J E 'lE

<

E 2i

:i e -'I iz

lY+

..iI j:u

Sp

?a. i=

-FA

. l.tt^,

ir E;?fE

# yS

ri:*€,5"'oBo

S^:;iX

:,3i j

:: ii'i,a't

!.,'3EE

E'-l+

-n-ii-q3-=

3 :s

-=jE

'8.2=

; i= i!

93<:E

iE i;is!

S S

d);y oF

.il--.d;E

*i:i.!H

'&

*B

EoN,dfFl

\ctr-

i

re-:'- *-r -



178 Giava 6. Izvodi

Regenje. Data funkcija je neprekidna i ima prvi izvod u svakoj tacki oba data intervala i vati f(-1)= f (1) = f(2) = 0. Znaci, funkcija f zadovoijava uslove Rolove teoreme na intervalima [-1,1] i [1,2], i takode na intervalu [-1,2]. Iz f' (x) = 3x2 - 4x -- 1 sledi da je f (x) = 0 za , = 2-fl

E [-1, = 2+3'/-2 f

í1,2]. Primetimo da su tangente grafika funkcije f (x) = (x2 - 1) (x

- 2) u taèkama horizontalne (f'(Si) = f = 0).

6.42. Proventi da li sledeée funkcije zadovoliavaju uslove Rolove teoreme na datim in- teroalima:

1 - 3

x2 a3 (x)=--2 . na[-1,i];

a c) f (x) =

sin(ix) na [0,7c]; ;=1

Resenja. a) Ne, jer funkcija f nema prvi izvod u tacki x = 0, sto siedi iz

lim f(0+h)-Î(0) - lim 2 z- f(0+h)-f(0) h o+ h h-.o+ h hl h .lí.ó 2h

b) f (x) = - 11 na [0,21;

d) f(x) = ° sin(ix) na [0, 2]. ;=1

-- v`li 2

b) Ne, jer funkcija f nema prvi izvod u tacki x = 1.

e) Da, i diferenciranjem date jednacine dobijamo jednacinu ai cos(ix) = 0, koja, na

osnovu Rolove teoreme, ima bar jedno resenje na intervalu [0, it]. d) Ne, jer je f (0) f (rt/2). Ustvari, vrednost f (tt/2) zavisi od koeficijenata a i =

1,')_,...,n.

6.43..Akopolinom P(x.).=áx"-Fai_1xn-1fi...Taix+ap, O,sarealnimkoefzci- jentima ima samo realne korene, tada i izvodi polinoma P (x) : P' P", ... i Phn 11

itnaju realm, korene. Pokazati.

Resenje. Pretpostavimo prvo da su svi koreni jednostruki. Tada iz Rolove teoreme siedi da postoji n -1 koren polinoma 13:,(x) Svaki koren polinoma Pn (x) se nalazi izmectu dva korena polinoma P(x). Analogno dobijamo da polinom P"(x) ima n -2 realna korena, i tako dalje. Primetimo da je izvod reda (n - 1) jednak

P(ii-1) (x) = aan! x+an-1(n - 1) !,

i on ima samo jedan realan koren. Konacno, izvod reda n je P') (x) = an!, tj. konstanta.


Ako je broj xo visestruki realan koren polinoma P(x) reda m > 1, tada je taj broj takode i koren izvodnog polinoma, sto siedi iz reprezentacije

Pü(x) = an(x-xp)"'Qn-ne(x)

6.44. Pokazáti da su svi koreni Letandrovog polino;na n

P(x) = 1 d ((x2 - 1)") (6.20)

2n n! dx"

realni i sadrtani u intervalu. (-1,1).

Resenje. Polinom Rn(x) = (x2 -1)" ima na intervalu [-ï,1} tacno 2n realnih korena, ioni su x1 = X2 = . . . = X = 1 1 X,ri I = Xn+1 __ . . . = X2,, = -1. k.ak0 je

R7,1(-x)=2'n!P,,(x), . (6.21)

to iz prethodnog zadatka i Rolove teoreme, siedi da na intexvaiu (- I ; 1) postoji n realnih korena n-og izvoda polinoma Rn(x). Iz (6.21) onda siedi da postoji n realnih korena Letandrovog polinoma Pu(x) .

6.45. Ako funkcija f u svakoj tacki konanog ili beskónadnog intervala (a, b) in konacan prvi izvod f', i vati jednakost

C := hut f (x) = lim f(x), (6.22)

tada postoji najmanje jedna taaa c E (a, b) koja zadovoljáva 14510v f'(c) = O.

Pokazati.

Re"senje. Pretpostavimo da je (a, b) konacan interval i oznacimo sa C graniènu vrednost u relaciji (6.22). Tada funkcija

F(x) -_ f (x), x E (a, b); C, . _x E {a, b r,

zadovoijava uslove Rolove teoreme, sto znaei da je neprekidna na zatvorenom intervalu [a,b], ima konacan prvi izvod na otvorenom intervalu (a, b) i vati,F(a) = F(b). Znaei, postoji tacká c E (a, b) takva da je F'(c) = f'(c) = O.

Ako je interval (a, b) beskonácan, tada je prava y = C horizontalna asimptota. Posmatrajmo prave y = C + e i y = C - E. Alzo je E > 0 dovoïjno malo, tada bar

jedna od ovih pravih preseca krivu f u (najmanje) dve tacke sa apscisama ai i a2.

Funkcija f zadovoijava usiove Rolove teoreme na [al ,co] C (a,b), sto povlaci da

postoji tacka c E (a, b) takva da je f' (c) = O.

Napomena. Tvrdenje zadatka 6.45 vati i ako je granicna vrednost u relaciji (6.22) +.9 üi -.

{ A)

7oR

AA

p"F

. =

_._9

, ,6

g

9 g

"-

e}F

g

sl

i: F

iA

i5*=

i..i3

$ ;-

i'? F

7 i

==

7E

r\ c

'SS

B"y

'rsF

:E:i

I'++

=;S

$tlr3

+i

i=ip

;;+iia

l=iE

$,t

rr -

=

. o-

'd

:-B

rr

Hg

S5$

=1,

€ f

+ =

li ?

r'M=

i;ii =

3 'I>

FH

:-

t::-

g[:,

ri$.i

ia=

g=i*

6 -=

u'l;,

''igf

t;;a

olJr

Ds<

s F

;iiii3

Ig

f ;

,,']

?i

S*i

F,.i

>F

; E

E;;

s$l

iH 1

3 l*

3

: --

i

L'E

.'-I

={

15

* F

i=,'O

-

s .!

3.ss

: *$

3t :;

i- i

-';_ !

E :,

E :

j r+

=E

I _=

+'_

E;

i.SS

5i

3.

i:

I-rl*

i:

+, f

;E *

Ijg9

q .'

={a

: --

- 3.

:, E

,3 sl

irr 3

I rr

g=

,i':

rl :l

5?

? S

,t j--

6 3

a l-;

- o-

R

o-

. 6'

-;=

6o

^ s

;:F;

$1

;+[:

i;- :

a u

$ =

g ii,

I:'

i2 :

3>'ro

-

3.:

g 8,

',

i ;

; .^

* 5

S:-

.i.E

i i s

g;i s

i :i s

t r;

[ ? i s

3 5

g;E

! -

:;Ff

[i <

; -E

:- '

=

i IM

=q

i- l-

i.ri r

Ee:

ia;=

$J

i3'

I i=

;-]]:

T

r;;.

;'i-

a-:o

E x

: _

? 3'

ll

fr

= i

i ,''

-r:

9:S

+ =

[3i:

ii ;$

,.1=

=is

$

i rd

+ =

:-,+

H.a

I T

gf $

il}.

FE

-;' l

a .

; : i

i :l

*ts

-_g

=iF

" i=

: 3,

i

_i

I 5

= *.

..l,S

F

? 3-

1t?

t-$

t' a

t=

I f ;

,+s

F

=9[

s +

i $

r sl

* $

f li

&;

d:.

= t

=

"id

il t

t' =

;;

r-'

_T$

. p

i.'D

r

p i

t

0 N p\ N.

o F^

!.1 E)

CD

'

ci 5 (! ai c\ o qi D. c \J \o

ZF

=!:E

Ey

.roE

z.

f'iE

3+

f H

>-e

6_7

3F'

'P

;t'ai

aN:t

aPJ

*-.:E

hE,P

-H

5€i

r:.i

=5

5'=

'-Z

t,9*

r a:

- 6E

='.

-r,i.

/1 9

xE:[=

5 ez

T e

i3;s

.0;5

S

Ei

'*;

5v

f. -.

'9

n :-

'oli

- -*

;

'i s.

.o.6

<

=

o, D

r,f

) d

i ^*

fl q:

o-

=.

ei

- n

C

'),-

'- =

d

.rt

- r)

t 67

B-E

;:*

;; "e

-so

l-m,\'

rrr

:"1-

:(n

s'lj-

.O^!

.if,3

-<

'=

'F

?-

IS

*'o

ll b!

N5.

i.-S

. _

=.=

r

R.S

I

d _-

_ -6

.6^.

^3-

[.::?

;*[a

r+

fi.

Qt';

a:o-

oi-N

-:3

riv.)

r,r.

\i5..

,r

E =

,-

. ?

n D

I

(,o

)-i

I >

a',?

E E

: ^ !

5

; 6H

lp6i

in-

rn..

:=

.=oL

..tJ>

1 "'-

NE

; ,

i-d S

:g;

F's

:

$e?-

.*--

:I.=

e-qJ

-O;

rivrr

rr

E{'-

--;

Hi:

i. =

-

a\ \

a

o .)

,if

'J,)

<^

r ::<

;:.

r.5

.6-T

;9r

3g

__..<

1rc=

D

eSr:

Y.ii

'rr

Â)@

: L"

r:=

'b

î

=

ird

:?

o19s

-rD

o

!, F

:fii't

:I

Ea

E3:

-a

E:X

6;

N)

ls

lo

=

hia

it:

a!

o.-.

tr

3 -S

i I

-]_

-'a

-rc

v-'

do

+s

E S

,

=

iop

.-:



180 Giava 6. Izvodi

6.46. Pokazati da d" a) Lagerov polinom, Ln(x) = e' dxi (x"e-x), irna tacno n pozitivnih korena;

b) Cebisev-Hermitov polinom, H(x) _ (-1 )"ex zd n

x (e-x z

), ima n realnih korena; c) jednaeina (1+ x2)"d ((l +x2)-1) = 0, ima n realnih korena.

Re"senja.

a) Funkcija f(x) = x"e _x zadovoljava uslov f(0) = lim f (x) = 0. Iz prethodnog '

zadatka siedi da postoji tacka e (0, +D.) takva da je f'gI ) = 0; takode je f'(0) = 0 i lin f'(x) = 0. Ponovnom primenom prethodnog postupka dobijamo tacke b2 E (0,1) E +00) takve da je f"(2) = f"(6) = 0. Primetimo da je f "(0) = 0, i lim f "(x) = 0.

Nastavljajuéi ovaj postupak, dóbijamo da funkcija f("-1)(x) ima n realnih korena ukljucujuéi i tacku x = 0, dok f(1) (x) ima takode n korena, jer je f@) (0) Ò. Prema tome, polinom L,,. (x) = ¿f(hl) (x) ima n pozitivnih nula. b) Posmatrajmo funkciju g(x) = e-12. na intervalu (-,-}-). Analogno kao u prethodnom zadatku, dobijamo da g(") (x) ima n realnih korena. Zbog toga, i polinom

(x) = (-1)" er2 g(") (x) ima n realnih korena.

c) Primeniti postupak kao u b) na funkciju h(x) = 1

,xE +x?][. 6.47. Diferencijabilna funkcija f je konstanta na intervalu [a, b] ako i samo ako je njen prvi izvod f jédnak nuli u svákoj tacki otvorenog intervala (á, b).

Resenje. Ako je funkcija konstanta na intervalu [a, b], tada je njen prvi izvod jednak nuli nà intervalu-(a,b). Neka je: (x) = O za sve x É(a,, b) i neka su x1 i x2 dve proizvoljne tacke intervala (a,b). TLagran2ove teoreme siedi da postoji tacca E(xl,x2); dakle E (a,b), takva ciaj:e

f(xi) -f(x2) = f'(t)(xi -x2). Na osnovu pretpostavke (fi (x) = 0, Vx E (a, b)) i poslednje relacije.dobijamo f (x1) = f (x2). Kako je par x1, x2 bio proizvoljno izabran, to je funkcija f konstanta na intervalu (a,b).

6.48. Ak.o su izvodi funkcija F1(x) i F2 (x) na nekom intervalu jednaki, tj. vazi

Fi(x) _ F;(x), xi,x2 E (a, b),

tada je razlika té dve funkcije jednaka konstanti. Pokazati.


Resenje. Ako oznacimo sa f (x) = FI (x) - F2(x), tada vai f'(x) = 0 na intervalu (a, b). Iz zadatka 6.47 siedi da je na tom intervalu funkcija f (x) konstanta.

6.49. Neka je f diferencijabilna funkcija na intervalu (a,b). a) Ako je prvi izvod funkcije f pozitivan (resp. nenegativan) na intervalu (a, b), tada

je f rastuéa (resp. neopadajuéa) na (a, b).

b) Ako je prvi izvod funkcije g negativan (resp. nepozitivan) na intervalu (a, b), tada je f opadajuéá (resp. nerastuéa) na (a, b).

Resenje. Dovoljno je dokazati slucaj pod a). Pretpostavimo da je f'(x) > 0 za svako x E (a,b), (resp. f'(x) > 0) za sve x E (a,b). Ako su xl,x2 dve tacke iz datog intervala i xi < x2i tada iz Lagran2ove teoreme siedi da postoji tacka E (x1,x2) takva da vai

.f(x2)-f(xi) =.f @)(x2-xi) Kako je po pretpostavci prvi izvod funkcije f pozitivan (resp. nenegativan) na celom intervalu (a, b), iz zadnje relacije dobijamo f 42)- f (x1) > 0 (resp. f (x1 ) - f(x2) > 0). To znaci da je funkcija f rastuéa (resp. neopadajuca) na (a,b).

6.50. Kosijeva teorema. Neka su funkcije f i g

neprekidne na zatvorenom intervalu [a, b] i

diferencijabilne na otvorenom intervalu (a,b).

Ako je jos i g' (x) za svako x E (a, b), toda postoji bar jedan broj E (a, b) takav da je

f(b) -.f(a) _ .f'() (6.23) g(b) -g(a) g'(;)

(Ako jé,g(a) g(b); tada uslov"g'(x) 0, x E (a,b), inoze biti zamenjen slabijim úslovom .f (x)'2 + g(x)'2 0, x E (a, b) )

Resenje. Ako g'(x) 0, x E (a, b), tada iz zadatka 6.49 siedi da je funkcija g monotona na (a, b). Ako je g rastuéa na (a, b), tada postoji inverzna funkcija funkcije g, x =

x(t), definisana i diferencijabilna na intervalu [a, ß], gde je a = g(a) i ß = g(b). Primetimo dá je g(a) < g(b). Funkcija f (x) se moze pisati kao funkcija f(x) = f(x(t)), t E [a, (3]; time je f diferencijabilna funkcija, kao konipozicija diferencijabilnih funkcija. Primenom Lagran2ove teoreme (i izvoda slo?ene funkcije) dobijamo, za neko c E (a, ß),

.f(x(R)) -f(x(a)) = f(x(c))x,(c) (3-a

a =

E

ti ;. \E

: 6\

::* *f;

; 5Jr,

EE

aS

E

'5* -1ro

.: :. -V

'-t

.e5e 9..sy

S

!Ea-q9';

'ii tr :F

. ll ,| E

#,-$

o E

"

^- 6

.v. ;e.g

-:=\

iiEooS

=o

F

=

tr -O

K'E

tr

L=

" ; r m

{Ec

-:;-

O

''-'lI? :

. *a

: Z

-rt 'r 94

?G

iG d

+'=

i -e.E

;

si- v

;a d^ -_l

\ t-

u'-_.>

l io u-, i

I =

<

=.gr

-!:'

l 1

*HT

*f:

rl

^l^ -

* F

E

.-'-d.

,^.1_r'\.

v ^

y _

9 9.6

E

;l<

li; tc S

t= tX

* el

ll k

* -

d {,i

tr :-l-

sl6 i^r €s'

oe',3 ii;<

l * i{ o.S

_C -uS

; :i.o;

G.E

;?s

=i

s c) ": * ,5-s_.=

j: F

{ls-id

J.3'986-;(, '-'

Sr

y: E

v.g,=,:

+3 o E

#eP:;

*_I 'H

- :::'6;; E

' |

^-:a -

o, d

='+

LN

X

'::'- =

u

^.r _-3 E

,ceiJJ-

s 5 o.?.9

el--o c,

.Y

':-(L O

-

c O

-q?

i: .V

=

<-sJ9.c:=

iC>

.-'!

"4"99!,trp

"i b

.gf r--Lu.|3\,s

o tr | o-E

-'E-r

,8*1

l u(lO

bO^5|

" N

\

E9,:

-: s-

t I

: ijg.

aF

-s_g

.- ..-

@ -'

>.

E.'-i

ES

.ScdN

-'t\Ul

'= d

I :

- :: ur

'i ;=

!.r'

:s s

E

Ê;

gg$ P

l^r*4,{

! C

!

:r k

)U

ts^.Jlo

( (

.-rgs -uc

s;1

* I

L.a,-=

+']a

ii---<

_ .=

.=

.0, .^'e

6:'1 \

!<

! S

J-,4

35i S

;E.E

:

: :{a

E}E

s

F';i

=

e 2

-..o ;

' O

.:E

.

! !

.=d=

,:::eg

s--x =

{'.i

'i z

g-o r

N5e

._l q

6-:r;- '

Oi:-

- -a

Os:

s i, H

;t;

p. ii).i -s- i.

-i -=

i +

e--;:.-E

E

;ssqZ

\

P

: fG

.E

'\, ''E5

: =

E

i: E

Ps[s

d;,9 u *E

Z

* S

c';Z

;:r;i:;9

aE,B

E

i.E

g-.-;

:F;S

; lie,R

-1:H

) :

i u,

I g J E

t J.r

,3 q I ,

.S:'-

- =

ag EF

SY

! i:s e ig=

s I x

"6.e S '3i'S

S

N^r ':

a ii';' i

S

,c,

:J S

! F

.:: iaE

e'i8

oo E

; o

Ef

,+.=

i.= +

€i-: E

'.5;E ;i

s S \

,Ei i!rri

! r +

;F r,i ! E

sF

t &39:.S

ifru- ltr

a.: : !

oo

:E

t':I .s.I .i

E5;';

pi--r .s.S

N

p -

:i s '\

i :

iS

3.:':; .:o

S}

N

e 'E

{ s Y

\E }i

d--*: .e5n

a; I

€ .i-,-

:. \E \*

.,iii "E

; ;#S

. .

\.gl-S

*

:.L a (-

o -

- c

? i'

'= t

a.,r *-&

..y,.irr,,9i

A+

" oi

i=

.: t?.v<

.r, E

F

4 !,9<

V

=

t?-'\.\\.>

>A

a.=;jE

i.'E

aia,::ee1+

-=rtnG

G

\f,oLo\loq(-)Lof:c-i

co

6'g:€ E

=

EE

tr

-v 6-

r E

€,5i g,q EE

$

E tc

:r!

; iE E

=i

ia I

E E

s '+

i-i

ei;5 E\ s.

Y 3J*

:i! E

;IF

: i.o E

B

s :: iE

'3s 'R

S

F

,t,\,&rr

s\ E

A.

: !

gi :'5

it;*

i:ryo:Fg$ H

SliE

i ;:i i3":S

--r3E{=

'i=85 ?E

Ei+

; 6i i ,E

,

sis ;';30 iiE

ii E

is:{gT;:€ i1.s

,srr*: e;E*

g,g Eyi*lrE

$g::!,?.i: !J:S

: $

i{Fi

*tsteEc

:i;;'Ft4;€

5: "$

; jo 7=

FE

:E:!i::

s!a*4i;i i;

si;.

s;;i B

5E":;;g E

E;i€t?l :it

+ri

S;F

$"€n-sls:f $gs t+

1.r-o k,i1, =

, €E

::il Ii'S

rr *s E

*.i

E s;

;'tf a i

$

: i -=- i.F

.Hi ?ii:;i ; i{ g.lE

;; * fl i 1' .g

ssi"igi;fiiE:E

stEs$g:fE

Fgos :

iFi; ;;l'+

+sg€ertF

sis*i-$"' ie;i !* $ t

S giE

o;f lie

F=

s E s!

:E:::

619 ; i

es,d i res\EqzE

EE

EF

,= si;r=

ES

E f€=

s t

:Gea'f'e

â ;

S

,E

t

9toia:iN

I

:t':i:el

"l

Ooo



182 Giava 6. Izvodi

Iz xl (c) = 1(c))

dobijamo f (b) - f(a) f'(x(c)) Ako uzmemo x(c) g (x(c)) g(b) -g(a) g'(x(c))

- , do bijamo tvrdenje teoreme.

Napomena. Lagranïova teorema jeste poseban sluèaj Kosijeve teoreme, kada je funkcija g data sa g(x) = x.

6.51. Ispitati da li se Kosijeva teorema mote primeniti na sledeée fimkcije: a) .f(x) =x2, g(x) =x3, x E [-1,1]; b) .f(x) =x2+2x,. g(x) =x3; x E [-1, 1].

Resenja. a) Ne. Ustvari, iako je g(-1) = -1 1 = g(1), ipak u tacki x = 0 vaïi f'(0)2 -i- g/(0)2 = O. Dakle, uslov f '(x)'-+g'(x)2 # 0, za sve x E [-1,1], fije zadovoljen.

b) Da. U ovom slucaju je g(-1) - -1 1 = g(1), f'(x) = 2x+2 i g'(x) = 3x2, takodavaïi (f'(x))2+(g'(x))2; 0, zasvakoxE[=1,1]. Odredimo taëku 4 koja zadovoljava uslov

.f(1) -.f(-1) - f'() E (-1 1). g(1)- g(-1) g'(t)

, '

Kako je i+i ; -1 = 0, to dobijamo 1 - 1+613 (-1,1) i t;z -

6.52. Pomoéu Lagrantove teoreme dokazati sledeée nejednakosti: .

-

j a

i

sin sin , a 0, x,Y ER; b) Iarctgx--arctgyl c Ix-Yl, x,y E x x-y e)).±-72-' <In-<- 0<y<x;

d)1+x<ln(1+x)<x x>0; x Y y

e)et>l+x,-xEIIB; ' ex > ex, x > 1; g) n(b-a)an-1 <b"-a" <n(b-a)br-1, O <a <b, n E l`; a

( 1 _ 1 `1

: h) 1a;-I

`' \(n- 1)á na 1 r.EN`,a>O.

Re`senja.

a) Primenom Lagranïove teoreme na funkciju f(t) = sinat, koja je neprekidna i diferencijabilna na proizvoljnom intervalu [y,x]; dobijamo da postoji taèka E (y,x), takva da vai sin ax - sin ay = a(x - y) cos a4, odakle je Isinax - sinayl = lal Icos4l .Ix-yl < laI lx-y1. b) Funkcija f (t) = arctgt je neprekidna i diferencijabilna na intervalu [y, x], pa postoji taèka E (y,x) sa osobinom da je arctgx - arctgy = 1 2.Odatle je

6.2. T'eorerne srednje vrednosti 183

ix -Y1 arctgx - arctgyl =

1 + z - I x-yl.

e) Funkcija f (x) =1nx je neprekidna i diferencijabilna na intervalu [y, x], 0 < y < x,

pa postoji tacka E (y,x) takva da je

lux - lny = x-v (6.24)

Ako u (6.24) zametiimo t; sa x, tj. sa veéom,vrednosti, to dobijamo levu stranu traïene nejednakosti. Zamenom t; sa y u (6.24) dobijamo njenu desnu stranu.

d) Pomoéu funkcije f(t) =1n(1 + t) na intervalu [0; x], i reiacije

1n(1 +x) X1n(1+0) 1. za SE (0,x), tJ

1 1-x < 1+ < 1,

dobijamo traïenu nejednakost.

e) Funkcija f (x) = ex na intervalu [0,x], x > 0 (resp. na [,x, 0], x < 0), ) zadovoljava 0

uslove Lagranïove teoreme. Zato je e . = ep e` -

Akojex>O,tadaje >O,pajèe7> lie'> 1-4-x. Ako je x < 0, tada je < 0, pa je < 1, ali xe > x, pa je nejednakost tacna..

ex - el f) Ako uzmetno istú funkciju kao u e) i interval [1,x], dobijamo -x

e, za

neko E (1,x).

g) Uputstvo. Koristiti funkciju. y = tn i interval [a, b] .

h) Ako uzmemo funkciju f (x) = x"1-

na intervalu [n - 1, n], dobijamo traïenu nejed-

nakost.

6.53. Ako je izvod funkcije f ogranicen na intervalu (a, b), tada je f uniformno neprekidna funkcija na (a,b).

Resenje. Kako je funkcija f' ogranièena na (a, b), to postoji broj M > O takav da je ;_f' (x) I

< M. Primenom Lagranïove teoreme, za svaki par tacaka .x1, x2 E (a, b) moïemo

pisa/ti If(x1)-f(x2)I If -x2I <MIxi-x2I, E (xi ,x2)

Neka je e > 0 dato. Ako stavimo S;= M , tada dobijamo

(dxi,x2E(a,b)) ¡xi -x2I <S If (xi )-f(x2)I<e.

..=+

oo IJ

o\s

eF e

g z

Pgp

*-:

<fr

'>.;

,.E s

FaP

as,

E.S

'l t,i

(=:

s33

c -i,

1 '

,i i

€ 3

E jr

3zoi

iYrr

l'Pol

eio

G !

^

<

.-

=

H '

2

-\(u

us{$

-:ll

s*5

F.

Dt

=

r[,

er-

i'?=

-i7.

U

! q

P o

fa d

r,c

i

a\3

5 6'

:)

^

0o =

E

.--ll

.-iE

. {

ry

: h,

;

=

Gi1

l-;

jte.

rD e

r

9'

_i N

. G

. r'l

J.--

j. ct

s'

"i:

it ;

gYr

\!-rD

- +

(D

=

oa

\ J

\ -

ai>

E

=*

YI'

n' d

.,

5 o

--r-

--

-,

-a

! A

ct

rl

ili

!q j

^r

Y

-* g

5

goo

i.-

g=--

\

ll -

S

E,

d-il

? ts

.-lr

-_r

- =

h.

-lf

3*i'

+-.

! :

e A

l=--

!-

o*

oq-K

E

:

St:-

.li.

3xx

?-

s5'

8 Jl

l-:l:

::_

-_,r

i:

e il"

]gl

ljl

s ll

'll-

0a

r =

' P

!r

-

5e

-oJ

; S

,-

rl

T

i: r-

. \.S

E

. '-i

l:fl.

A

!,,

- .A

; ?l

ChD

-_l^

tÎ

-,>

<

ri N

: x

:-l.r

Xi:b

<;

Fl

nS.

?N

E

Pr!

r'E

. v.

\' d

o

': --

\ J F

F

s

r F

! -'*

5

H

oo

.;'s

rh t

P

5

-:

nN:

-l-

f ,

A4k

o-a +

(*

- fJ

li ?-

' :

? ll

s .*

9-

? r'"

Nli,

Fo_

":.-

l-x-.

o

lr r'\

5l<

p

r.,r

o

,(D i-r- .Hl,f

"IIJ *' UJ

unl p I tr

lr I il * a. o ct E g' il l+6l

< lu'i

rD I 5 ll

7*F

i-S

,otn

:1

H

,--^

*

Il })

-;i'

,'*=

lE

.:,.

ro a

G

,

F!:Z

<(!

='E

'J9i

.;A

)-06

i

.-t

_n "

- l!-

:'J

*,

G'E

i ilp

a il

.1,

"- 8

.ili

5*

,Y

'i L.

. i\.

$

s:

. 9=

6e

1 /,

i "

r' :

S5,

j::+

=i,

-ri=

|

J r.

13

: rt

=

.: dG

<

-,

: !-

i)<

=

Sat

;/e-;

6 co

=;

- 3

:l -

\ r'

D :

- i

F F

, R

5

It*

A

m

" Y

- 1.

>,

,)

- -.

P

N<

*l

_

., JI

r6

6 t

oio

9'

Yi

\ 4

<it

tl X

' -

a <

F

l -

- j

J'=

.9.?

O

.o

r I

.r'<

3

t-!

N-.

O5

; e

1 =

3 =

nl* ^=

o

\ n

S X

rr s

E'S

--

.: a

,= t

@l.s

sl'"r

i/\-o

-sE

rnoi

,.fi

i =

rr

E'to

}.l-

zZ

s'ga

l',da

e;'-i

u4

=?C

75

a -

;;i

E,R

TB

I v

- .<

f#

3 qx

a--

^ F

t,L

c:

Xi

q-;

D

' ;.=

--<

s

ii 5'

'<e.

JA3o

.u5

-.r.

. j

,, .-

,^r o-

,,

r..

I -

d+

lld

l/\-

o ll

: r

-l --

\

""1-

i s

33r.

:

v 1r

\ X

ip'

!

tD

-.

tD

FD

5

rrr

3 4

I fi

\

O=

E6'

35.r

: '/\

4';

5.o-

r*.-

-r=

'lI'

g ?,

1 '3

r v

; E o

J. =

!E

' j:

.r-

6'o

- O

, :(

\<

i .5

1 A

ln

o5\

-o-9

I

* o.

r$

:<

\<-O

F

^-

\/

-;-

3 -+

o

h '

,ap)

v;:

r,T

, _.

rt

\ fr

!,i i-\ N'

^lia

6c

i N

.A

r 5

nha

)--

t^

()o'

O

-

-E:

tr =

?

o.-P

E'*

'\,

=)

* +

e 6:

J:lrN

!,

llrl

A

3 tY

-

,b=

v N

rr

C,

rl B

'5

1e

E=

e.r'

ET

i 'i

^ i3

b

x-aj

'-oF

.<F

i-2

-0,=

i'lu

-r''-

=

il5

q

a':'

k q.

Is-lr

D:'l

i3

E

z a'

,

ti-

- ;

<

- f

llI

o\ d

' o

",.1

-;^

l'|JN

l::

t9;

c)

- +

, l/\

j-,

o- <

u"

l, -c

r

O O

nt

i<

=

;

-l-:=

I

:4.

" F

to

5'-'

I.91

s)oj

o-

='

D,l,

ô-

='J

-o

Zd

e]Û o?

.h>

-

!^!{ ti

.D

C)

Bi

A,@

\< r ;,'

D

tJ

/\?A

)<E

J

; + 4rl

)) I: 1-r-

lc)

il!l

l-f

l- : rij '= L f. :l -ri*'

!j

ls itr l* lo lrd l!5 l(} lo t3,

IG is l6 to-

lo lo

+t-

,rn

I .:-



184 Glava 6. Izvodi

6.3 Tejlorova formula 6.54. Tejlorova teorema:.

Neka je funkcija f neprekidna na zatvorenona inte pozitivan broj takav da su svi izvodi funkcije f do postoji konacan izvod funkcije f reda (n + 1) na (a, postoji tacka izrnedu a i xTakva da vaZi Tejlorova

rvaiu [a, (3]. Neka je, dalje, n reda n neprekidni na [a, f3] i

ß). Ako su a i x iz (a, ß), tada formula

f(x) _ .f(a) + (x a)f'(a) (x - a)2

f"(a)+ x a)3

ff m

(a) +:..+ (x

n!

a)" f(n)(a) 2! 3!

(x -ç),+1 f(n+il

(n + 1)! () Tejlorov polinom reda n u tackti a za funkciju f je polinom

P(x) Î(a)+(x a)f' (a)+.

(x-a)2 " (x-a 3 (a ) + f (a)+ ,

31

) .f

n' 2!

Talco se Tejlorova formula moze zapisati kao

j'(x) = Pn(x) -!-R(x), gde je ostatak Rn dat sa

(x-a)"+i Rn (x) = (ra+î ) (n-r-1)I

f ()r a+0(x-a), 0<6=6(x)<1. Pomoéu çefinicije 4.60 relacija (6.25) se moze pisáti kao

.. .f (x) Pn (x) + o ( (x - a) n

) , x ---> a.

Za a -0 dobijamo Maklorenovu formulu z

r(x)=f(0)+x.f'(0)+xlf"(x)+x3 fni 0 x"

(n) x'r+1 2. 31 ( )+...+-f

(0)+(n+1)!f("+(), E(o,b n!_

Maklorenov polinom reda n. za funkciju f je polinom

Pn(x) =.f(0)+xf'(0) 2?f"(0) ...+nll f(n) (0) I

n

+ x - a)

f('r)(a) n!

(6.25)

6.3.1 Zadaci 6.55. Pokazati da je Tejlorov polinorn za polinom Pn(x) stepena n bas on sam. 6.56. Razviti,riolin.om :f (x) -.x`* _ 5x3 _ 3x2 +7x+ 6 po stepenirna od x- 2.

6.3. Tejlorova formula 185

Resenje. Iz f(2) = -16, f'(x) =4.x3- 15x2-6x±7, f"(x) = 12x2 -30x-6, f"'(x) _ 24x- 30, f'(2) = r33, f"(2) _ -18, f'"(2) = 18, i f(4) (x) =:24, f(4) (2) = 24, siedi

2 3 4 x4-5x3-3x2+7x+6=-16-33(x 2) 18 +18(x-2) +24(-x2)

2 3! 4!

Takojex.4-5x3-3x2+7x+6=-16-33(x-2)-9(x-2)2,+3(x-2)3-}-(

6.57. Primeniti Maklorenovu fonnulu za sledece funkcije: 'a) f (x-) = e; b) f (x) = sinx;

d) f(x) = ' e) f(_x) = ln(1 -x); 1-.x U f) a je racionalan broj razlicit od nule.

rr xk

Regenja. a) e' = l +o(x");

x_0

+r

.(-1)kx2k C) coSx =

. 0(x2n+1). k=0 (2k)!

e) le(1-x) =- k+o(x'r); k=1

c) .f (A-) = cos x;

f) (1 + x)a.

n k 2k+1 b) sinx _ y ( l ) _.x + o (x?,r+2

k=a (2k+1)! 1

d) - Exk { o(x'"); -x k=0

a 0(l+x)a= k=0

Ako je a racionalan broj razlicit od nule, tada je po definiciji

.xh +O(x").

/ak k!

\ a(a -T). (a--(k-1)) .

keT.

)4

(6.26)

6.58. Primeniti Maklorenovu formulu za sledeée funkcije:

a) f(x) = e5x+1; b) f(x) = 1

c) f(x) = sin(2x+n/3); d) f(x) = 111(x+e). y 1-x

Resenja. U ovom zadatku koristimo sledece tvrdenje. Ako je b i ir

.f(x) = akxk+o(x"), tada je f(bx) = y akbkxk +o(t'), x - (). k=0 k-0

5kxr, a) Iz e5x+1 = e e5x dobijamo e'+1 = e E k!

+o(x"), x 0. k=0

= (1+(-1)a-)-1/2, pa je (videti (6.26)): b) Iz zadatka 6.57 imamo x

1 " k/-1/2

1 x - I(-l) k k=0

I-1/2' -(-z)( I)...( -(k `k )

- k!

+o(x"). y 0, gde je za k E N

)k(2k- 1)!! 24k!

|r)u)

t'-Js G

-

,:\ ,Y

.A

d

.YY

E

; :

nE

ea ,-f

t e

!'\i

f- un

";r :-l

;'\':3

-r- trr-

wn

5+.i -.1

!l=

I f

s .3$i=

+

j I

ih so ,: i

---ri !

:- tr

- \

<l=

1\.

-s ;

.SS

:E _)

= .=

.

s i l-

\r_{ :

S

E;?; ilo

E,-i

€ : i

o q -1 E

$E

l:5 :l I .r-

f ], E

:

E

: $ :

sv"E 1

;.i" #

; 3 !

,.i( E J

i :

i$?g :r

:4. : 3 +

1

'd ; +

.s :=

;;

;sE

gr; E

s;: i ; gE

,' =-.ri

s,i,i:is Ij"G

E=

[r i ; 3 j E

.i E .

E

=;

*;n- rr

S

: :

2 'i-.

g l

i --

- r

S

"ip -

s.* \

=i

=

E

-d

iSS

; ;,/= ; i: E

u lL' 3 s' g î E

g E

:,

s":sis;liti jf r*=

lii f -f5i i5

g$,sx;r iti :€.E

i?e ss-i

=J.F

.*t ?

\p{€E

:

E

qH

-q)'H(f)

\o

9lNI

-i\dlsl

"l

.i-@

ci

!po'=rci

-F;.:

:::ir' i=:

@{*:::=

=,

,.



186 Glava 6. Izvodi

1. ", f2k - 1)!! Tako dobijamo -x = '

2kkI .xko(x ), k=;

c) Iz f(k)(x)=2ksin(2x+Tc/3+km/2) i f(k)(0)=2k sin (6(2+3k)), kc -N,paje

n ,.k. sin (2x 3 - sin 2 ( ) = - (- (2 +3k)) -f-o(x")> .x O.

k=o k! 6

i`3 , 2x3 f 2x5 Posebno je sin(2x+rt/3) = +x- .r - 3

+ 3x4+ 15 +ö (x5) , x O.

.

(-1)ky'xk cl) Iz (x+ e) = 1 +ln(1 +x/e) i zadatka 6.57 e) dobijamo In(x+e) =1+ E . k. . + k=1 e k

z 4 ()V), x O,aposebnoje in(.x-I-e)=1+x- Y+ r--+ -+o(x5), x O. e 2e= 3e3. 4e4 5e5

6.59. Pritnettiti Mnklorenoxu,formulu na sledeée fttnkcije: (x2 + 3ex)

c) .f(x) _ (x + 2)1/1 - x; e2x

(

2-3 d) f(x) _ cosx+ x 5;

he) ) fj(-xr)) -_

1n Î=1n 6+llx+6x2+x3 ;

1-2x' 3+2x'

x2+2 P) .f.(x) _ 2+x-x2 X3+X2+X+1'

a) f(x) _ (.x2 +5)e. , b) f(x) _

Resenja, a) Na osnovu jednakosti (x2+5)e3x- = x2e3x+5e3x dobijamo n-2 3k xi. n 3kxk

.f (x) = x-/ k! +o(.>")+5E k! +O(x")=5+15x k=o

k: k=o k

+ n

3k xk +

3kXk

+0() X' ,

k=, (k -

2)! k!

n / 3k-2 5+15x+ ( k (k(k-1)+5-

k=2\ Posebno je (x2 +5)e3i =5+15x+

2 41x2+

U f( ) ) Na osnovu x= xè-+ 3e-' imamo

v2 `

("N-7,2

( 2 )k +o . 2 (- )k u ki ( ) +3 n

k +o(x" ) .

\k=0 i k=0

= °

tL; (1)kXk

! +-'-3.x+3

2 ) k=2

3-3x+ 3+k k: - I)2k-' (-1)kxk + E (3 ( ) k +,(x'), x-+0. k=2

f(x) =

/ 3k-2 3k =5+15x+E I +5-

\ k-2 (k-2)! k!

9) Jxk+o(xn), x-0.

xk+o(x'')

51 3 171 117 s .2x+ 8x+ g+o(x),x-O..


Posebáoje .

2x r 5, 5 3 -17 4 163 5

; - x2e +3e _ -3 3x+ -

-2x + -8

x - -120x

o 5 r x -> O.

c) Ako u zadatku 6.57 f) stavimo a = 1/2, dobijamo

x/1-x=1- --2kk xk+o(x"},.x. 0. `' k=2

xz " (2k-5)!! (2k-3)!! XX--- xx-I-2-x 2- k X"+O(xn)

k=3 .

3x'- "

6(2k -5)!!(k - 1) = 2- 4 - ZAk ,k+o('),

k=3

Zan=5;je 1/1-x=2-4x2-4x3-64x432x5+o(-x5),x->0.

d) Posmatrajmo funkciju h(x) = lxI5. Ona ima cetiri izvoda na R i vai h(0) = h'(0) = h'a(0) = h"' (0) = h(4) (0) = O.

Daljé, funkcija h ima i peti izvod na skupu Il8 \ {0}, tako da mozemo pisati P4(x) + o(x4) = o(x4), x 0, jer je P4(x) - O. Prema tóme,'amamo

C O S X x-4 0

Prema tome, je

(x +2)1/1 -x 2 `°

2k-1(k-1)! k=2 . 2 k":

/ / e) Kako je ln

3+ Zx = 1n1 -1n3+ 1n I 1-

-3±c)

- ln j

1+ 3 1, to iz zadatka 6.57 e) \ \ i siedi da je

n

,f(x) = 1n2-1n3-S k=1

n

= 1n2-1n3+E k=1

2 13 65 2 f(x) =1n 7- 6 x- 72x

k k=1

( +0(f)

0,

+° (x') , x* 0.

+O(x")+y,

((-4)k-9k)Xk l

3k

x

60073 5

61k +o(xr),

793 3 6305 4

648x. 5184x 38880x

'' -:

'l:ffi

'

cn

(! a< (! -5re

a;\!

<

'!?'

JJ- lI

Nl

o

II,

?4,

lL)

Irl< il

t)

--tJ

:-

- i-:

i1

5lrl

l,l

uNT

l. rl,

*l

- ui

qt+

,tr)

f l,

! ltJ

+l

ts.r

3

:i<

il + + k I )<

:: d 6

| !.J i< io lc p\ u \j. I F, *

i I t. I I I I i I I I I I I I ! I I I t,- loo

l-J

:$,9

t-.+

a :

T

' G

- a

=)(

} E

:

T

3 '

Ar:

. b,

ll

NJ

tD

! !.

Y

"?

3 (^

1

s S

^'

' 5

_)=

o-S

h.1"

5 E

h'

rl e

g

I s

E'

-]

'-l

o'

Qr

a;

* .l

I ll

l, rl

; ^,

\l s,

.9.

\r

rr

{ t

:i:.4

:.

il N

|

il .3

[

'. ;'j

J I

t: I

I a

u)lE

rl :

siy

-lr-

t $

r

J I.

:s,

:-

AJ-

I

io

I r'J

rr(

i. uJ

9!i

ll T

- rr

*r

.;r=

-l 3

Ib

&Y

roi

- -M

= -

,1,'

LM" a

-i**.

=

. ll

x o.

, -

l- '.-

l<

-) l

l rr

.o'

ro

- la

: -l

Y

l\l!s

*:

O '

lX

=l'i

Y

l?- <

|

aea

R?'

l.o

ll ri,

- :i;

.l..,,

iv

ru,

3 E

-

-:. -i

1*13

-l:=

l=

cL

k*rr

r 3r

l =

,o

al.:

:"-

l -

i- g

+rr

r r€

\ tD

I

lt)

5r

l. q

P a

i B

. S

l- li'

i

: E

' co

l=i

_v o

o

=.

a-

lF-

N)

r <

A c

rJ

:. ,l-

' 'i

\ o

+lj-

1 {'t

'L

x

:-

I

oD !L

- -

! +

|

,-i-

- 4

>-

O /

':.'.

6 :

tJlc

ô

e .!

o-

'1^

.:-

- N

,

€)l':

:H

3a-I

--'

3:M

=

I ',n

s!--

l-H

.5

" :

lN)

I o

I N

|

\ -lN

O

f l{.

6

-.

' 'i:

t r

59-

- p

, >

i.,'

\ts

3 ;

o '-i

3 --

iN

( l',

-E

.{@

td B.J

i;v

i'c>

}i- lt *'

(D

.Ds

os5

'@

H

A]N

Jrlr ttl N

lar<

lk ll .

3@ t.J

:(1* rl -l

cl

t.r"

-,I .lS

oiu

-'!,

-/

-r

*'I

tl 34-

llX

ull',

I

r<

'\-

' + a N1

iI o- !D 4 t,l -J o

'i:.

\ t{il* 5r

l(!

l N

fl=

=-

ai

ii rJ

N

),l*

|

I

-Jio

.\ a

U)

t.).l

u'

+

I

:-

liM=

ilt-

,=t-

d\l{

l'---

: N

Jlr,

:

&13

lt

^1-l\

oal

*Tt

^rl t

g

ulo\

ItO

!-

+lD

I

h

rl8

l{ +

"^

+

il-M

=la

Iza

ala

><

lr

@lO

.-

: u:

l^',

*13

- sl

-;C

).r a

x l.l

.,+

-rt^

oa

.)"

:l<

\-

-

>< I O



18.8 Nava 6. Izvodi

f) Iz In(6+11x+6x-2+x3) = ln(3 +x) +1n(2 +x) +In(1 +.x), siedi -

n k-Ik n k l n k l (-1 z (-1) -

xk (=1) -

f,x) = In6+ -

3kk +

2kk -( +o(x") k=1 k=1 k=1

_i,k-1 k

in6+E ( X-(2k+3k+6k)+ñ(.a") x->0

k=1 6kk

11 49 2 251 3 1393 4 8051 f(x)=In6+-x--x +-x -

x

x5+ox5), x- 0. 72 648_ 5184 38880

g) Iz 1 2x2 = 2 + -7 +

-1 siedi, za x --> 0 2+x-x2 3(2-.x) 3(1+X)

7 " i n

((_2)1c+1 % xk f(x) -= 2-6E k.-3E(-x)k+orx")=2 3.2k+1 )

+o(x"), k=1

_ 1 5, 3 13 Q 19 5 f(x) 4x 8`+lbx 32 +64x +o(x), x->0 2 _

h) Izf(x)=x3+x2+x+i. 211+x +1+x)sledi

f(x). 1 n n-1 2n

2 E(-1)k2k- r (i)kX.2k+1+.3 E(-ljkxx)

+o(x2r) k=0 . ku0 k=0

n (3-+-;-1)k)x2k

n-1 ((-1)k+l -_3)x2k+I = 1 2 +1 2 + o(x2r), x-r 0 k=0 . - k=0.

f(x)=2-2x+x2-x3+2x4-2x5+6(x5); x--0. 6.60. Primeniti Maklorénovu formulu ná sledeée f,unkcije:

a) f(x) =x3'cQs2x; b) f(x) = sin2xcos2x; c) f(x) = sin4+cos4x; d) .f (x) = arctgx; e) f (x) = arcsinx; g) f(x)=chx; h) f(x) shxch2x.

Resen ja. a) Kako je

f) f (x) = shx;

x' cOs2 x=_ x3 1+ cos 2X

2 to iz zadatka 6.57 c) siedi za x -> 0:


3 n-i (_ )k 2k k F3

_ 1)k-122k-3 x2k+1 ? 2 1 1 2 X` 2n+2 _ 3+- +o(l'"+ ), f(x)= 2 + E - (2.k)!

, o( )-x (2k-2)! k-o

i posebno je f (.x) = x3 x5 + o (x6) , x -- 0, za n = 5.

1 .

,

n (-i)k-124k-3x2k

b) Iz sin2xcós2x= -(1-cos4x), siedi f(.x) _ I (2k)!

+o(x 2rr+1 ) I -, 0

8 .

F_I

f(x)=x2-4x4+o(x5), (i=5),x-->0, 3

k24k-2x2k c) Iz jednakosti sin4x+cos4x =1

r*_

(3 +cos4x), dobijamo f (x) =1 + E (_i) + 4 k=1 (2k)!

o(x2i+l) x-0,odnosnof(x)=1-_ 2x2+ 3 8x4+o(x5), n=5, x->0.

d) 1

Na osnovil jednakosti (arctgx)' = +x ( --)kx2k+9(x2"+1)

molemo pis.ati -. k=0

1 1

arctgx= y(-1)k2k { 11

+ o(x2n+2)(= x -x3+x5+o(x5), n=5), x 0. k=0

(2k-1)!lA+0 (z2+1) x-+0 tosledi V

e) Kako je (aresinx)' _ / 1 -x2

=1+ k=1 2 kI k

.

, (2k-1)I! x2k+l o ( / x2n+z, ( =x+lx3+3

40 x5+o(xb), n5), x aresinx = x+E 2kkl(2k + 1)

' 6..

0.

ex -. e-x Iz shx =

, dobijamo 2 n z2k+i

.{

1 x

1 X5 shx=

(2ki)!+o(x2n+2)(=x+63 + 120+q(x5)'

e + e' dobi amo g) Iz jednakosti chx =

2 J

x2k 1

chx=I(2k)I+o(x?"+I)(=1+2x2+24x4+o(x5), n=5),

k=0

h) Kako je shx ch 2x = e3x-ex+e-x -g-3x = 1 sh3x- 1

shx, to je z3 x-> 0 4 2 2

i n 32k+1a.2k+1

n x2k-!-1 \

chx ch 2x = (2k +1)!

+0(x2n+2) (2k+1)!

2 n xzk+1 2k+1 -1 +O x2n-12)(= x-I-33-` x + rx5-ro(x5), X3 _

2(2k +1)1 (J ) ( io

n = 5) , x -> 0.

x - O.

r1=5

v)tl

,-4-L,6

x^' In\Y

t+-t-o

dxt N

ls.i

r-!ro,;lillv

,---..-r .(-'

l/\ =

Tl*^-

t- l*t

:'tN

f

"2nI jt-:

-1 J

.: t:

d)e.

I'-i'i

r- l-

+i{-lH

+lN

,lr1-t-

J trcr

l{-

\o k 1^r

=h.l 1l

l-_ IN

=

hJI

ltlixN

.q)

lio

tI

aNC)

otr

d l6rIx

dlN

il

"'j I

ttsltlxlr^1.

+t

-tultl"l\l

T'o

itx

-tEn

Yl]lr

l:lo--'*:-j-111:o\nl\-/li

xa(i;-............... -

+

rr -t

nll !/

;\EQ

-- - .\

ol+

r

? i

*'x 3..

- I'x--

x -!'o

o +

ilx +

*

o-lV

) -'l

e .^

}<

, Ll

,i "x

-lN-L ll$

* -rR

+

*r'n olN

T

*

;,^lut jf-

E i

-- r

...1- r

6 î

j |

,:

-l<':'5

'ilonrx_Li+

R

tt^r 4

* ll.i -.r:

e {-

xr *r-i+

-lll:l+

H

s yl^1ix

i tl ls llx

:} 5

+t"

* rr ,,

*vr=7 €

E

-.1 =

9,.1:^* |N

-"

sll5 -o

--. il

rt

>-

e rN

yt

-l=

I x

T

n "NJ "l *l+

!

f.

o a

r lc.t \l-v

'.=

"H! 3

* r,l

_li- p1.9,X

r, =

HIE

6-e,E;LE

.o6t)"trr,rE

.rs#JJ6aG

{-,j+.-

t I

:i.l A

or'-.s

-i ;'

3,18 E

-rl r

-iI

! T

I A

,DF

_ lor r-_

.h]l I

;'\lr

*i ,

5-

l{ -N

I

-T

II

lc.r X

l ii

J-l-- ?|

, ')

a1l

* l--: I

ll o

| _l o.t l+

' H

=

-l_

: 16l

.L"]I -!_l-

; _:_

\t-

,ri li E

'-'*'

i-;

tt -l .g

\-/ I

r:=z-li

E;

.x!?.

fi ll

"^ ox

,, -:

-{ -

@l-

-x15€; +

+i'L

-r E

x

Y

N

l-"l

'(:jTl

I

.\l- 5

-. tt

-r+

l, Q

XIS

: +

3 1 c

tr-v

li-i. T

6

. ';

-l oo-t\..6

Tl

k o

2 c

l-l Il'--U

t'Ij^! -r _3- x'

_{ € E

+ld

+

'c o

P+

5ioxaoE"it., ;

? ol- A

I

ill';r^-vx>.e-Î<

E:-e

Ok.-xC

g

-o

'e' rd

aNi.9,o

,ri5;9t

fIE

Y

] T

h@

t

- *lX

,^ 'LI

* ,.

^ -'

j -lm

P

I N

I'+

>-1.". ?

,"- Jl

o.-

Ti

I c

o rt

tE

-rl k

+

I =

nI \

;=,..]l

a 'L

\ +

':) +

. r<

:l-

-- A

r 1J

+

-1_t :

Hloo

N

tl -r-

ZY

*

l* -i-

-i rc

*u -!

r,.-f

I L' q-, rv

1- o,l.i-

l---

-l :-

q loo r^

lro _r

I =

r^lrr :; =

]o . i? ? =

i- .l*c.)

+

ir. 'l-.

y^ I

ll+ts ** I

'1.I -f- lx 'h]I : ls ; l-

tr 1l** , l* KIS

,*- -i- -'

--fr._

z-tn .al;

a IX

I

ka

fl' ;1"

1 \l

* ;* ..,1g

rr

r vl

-'-l '<

rlN

tlN

T'

' O

rlN

lv -

J '-l-

3 =h]I .N

J ol- i- =

!^].i \ ^l*

Y

+

+'

,. .i

"rr- "rrrcr-jj

'f-\o \o

-i,^ ll

;- I

^!*l\\

tr tr

*l*I

N

l<

16

+

ll r,

E 5lt

,, |

,l*\o

tlx ir

--rN

llil

lltI

F!

t I

l e

=

.x- lc.t

? "

!-)

\\i:;

cAF

EJNrd

^{o*

@l9

lr(J

bk+Y

-<-cls

i-r.;Fqa;

5,ti;:.oll

llJ

'1-) -

,.<)i

I Il

:, \ (

x i 'i

ltr.sN

I tl cj S

' e Q

?ln

,'l 1

s: ;lN

; tl

.8 o .^

x^l u''

^,. -:l

n- '{

X ;

E

f+

llX\)^,.r.ll:-l

^ h

L O

-i

-

,-J;".l,.tIJ E [ [T

-t, ?

lP.lJ

+

ji i..-^^

-.r

Et

| *pS

J ":

Nr\l$.S

\*---Nx

+

I ^t

,u{

}l-. ? \16aG

ts

r la.l I

a.J

Yl

a S

r :

=l^]T

JI *' ii"1 t

S-=

i *r-^ i

S 8 .y {

h-r^

=hJl !

S -'. H

€ :

,'iSllllll#

ri ll

':N

'=eaG

n,€?

r, E<

<*.i

fii

a .s

.q-v .N

L cE

:6 on

q'^1 0

\i*or*\o:aR\d

ccoo



190 Giava 6. Izvodi

6.61. Odrediti sledeee granicne vrednosti:

2/1+2tgx-2ex+2x2 ch(sinx) - V 1- 2- 5 a) lin

b) lim .-o aresinx - sinx ' :--o thx-x

x'- -'+ex arct x )+1 2 1-x _ P( g c) lim

x+3 ]n t x y 2x d)

Xtym(cos(xex) -ln(1 -x) -x)1/x; a

t+x Odatle je syo(cos(xex) -1n(1 -x) -x)tJ'`3 = h

G(1 -2x3/3+o(,v3))1 /' = e-2/3.

f i/(z'( 1+2x-11) e) .1xyó (\ cos(sin-x) + ' ; f) lim (v+1n(x-1 ))1/sin'(x-3) Na osnovu sinx =.x--x3 5+o x4 cos(sinx) = 1 --2 +-

Z4x4+:o(x'), 3 I

e) / ( ),

1 1

x-->0 x/1+2x=1+x+o(-x), = 9 3

x2(/1+2x-1) x-+o(.x ) .

. 6.4. Lopitalovo pravilo .1.91.

x+3, - lx+exp(arctg.x)+1 -tbx''+o(x3) dobijamo 1i ó ln 1=' +2r

= lim __'

= 134. 1+.r -C x'+00x3)

d) Iz xe`=x+x2+o(x2), x--> 0) imamo cos(xe`) = 1-.x2/ 2-.x3+o(x3), odnosno

cos(xex) =1n(1 -x) = 1 +x-2x3/3 -1-o(v3), x --> O.

Regenja.

a) Posmatraéemo Vlaklorenove formule za odgovarajuée funkcije. t t2 t3

./I+t=1+2-8+16+o(x3),x 0, t=tgx=x+3 +o(x3),x-O.Odadeje 2tgx (2tanx)2 (2tgx)3 2 3 /l+2tgx=1+

2 --8 + 16 +o(tg3x)-1+x-2+5-6 x-+o(x3),x-.0.

x` x3 3 Balje je e r = 1+x+ 2 + 6 +o(x3.), x -> 0, sinx =x-- 6 +o(x3), x 0,

3

aresinx=x+6+o(x3), x-->0.

Nâ.csnovu toga je lim 2V1 -I-2tgx-2ex+2x2 = lim 3x3 -o(x3) arcsinx - sinx x-aC 3x3

-- 4.

b) Na r_:snovu sledeéih jednakosti:

dobijamo ; '

,J 1/(x'(y +2a)) _ (im (1 +5xt/4!+o(z))1/(r+"('n =1 lim

(cos(sinx ) +L ro .r-c'i

f) Smenom t = .x - 3, dobijamo lim (V4-x+In(.ri ))1/sin'-(.r-3) =¡yó(-1 -r+1n(1 +;))Í/sin'r

t t2 t t t'` Izsin'`t=t2+o(tz), -t=1-2-g+o(t2), ln(1+)=2-8+o(t),x 0,

o 2+n(r'-) .

siedi lim ( 1/sin2t - t z \ 1/4

r_c JI-t+ln(1+)) -ó 1- 4; o(r ) f t.

6.4 Lopitalovo pravilo ch(sinx)=1+1

t,.-Y3)2 ( x314 4 x2 x4 4, i \° 6 +

24 x- 6+o(x )= 1+ 2- ±o(x J, x O, Neka je c realan broj il simbol , tj. jedan od simbola + ili

`1 Y2

1/5 x2 Y4

2 1

10 50 +o(x4), x 0, thx = x- 3+o(x4) x 0, siedi

sinx ch ` . , x' -3x2 2x4 ]ím

( J 1 z s= 1Ern . zoc +°(x 4

1= O. thx-x x--C -3 +o(x4)

c) Na osnovu sledeéih relacija: aictgx =x- 3 +o(x3), 3

exp(arctg.x) = 1+(x -3)+ 2 + 6+ o x3 1 X2 x3

( ) _ +x+ 2 - 6 +o(x3), x

In 1+x

- 2x - 3x3

+ o(x3), 2

= 2+ 2x + 2x2 + 2x3 + o(x3), x- O, 1--x

Izraz f(x) je neodreden oblika "0/0" u x= c, áko je lim f(x) = 0, tm g(x) = O.

g(x)

x Izraz f( J neodreden oblika "../'.." u x - c ako je tim f (x) = oo, 1 mg(x) _

g(x) -

6.62. Lopitalovo pravilo. Neka su funkcije f i g diferencijabilne u svakoj tacki intervala (a,b), osirn moz-,da

u tacki c E (a,b). Ako je g'(x) 7i-- 0 za x c. i alzo je f() jedan od neodredenih g(x)

0 izraza oblika "" "--1; t x= c, tada vet

o0

tim j(x) = tim "t (x).' x c g(x) X->c g'(x)

(6.27)

lil l- I

6 o\ \) ci (a s q tr1,

Oa ei G d \ h

* I I

l:< i+ i-ll,

Ir-l-

rs

lilN

-t-lr

I

f l.!

t +

-IIE

t'.r l:-

<lN

lh lo loo lr l+

''l

re.

FoH

.lD

,;:';r

ra-)

]g--

.5.9

;=',:

Oua

jN

r1. i

E

E

I. Il

li i

* r=

rr-)

;6!lN

^;-

o,o

tr=

,; ll

+-r

poI

-T-g

€

H:

I-i-3

a

L-;-

. E

,5

i i

r* :-

" =

i

Er1

. T

{

T;

i ;

-lg*l

-uE

i

| *l

f 8-

33

Ir u

l[ i

-.-i-

A

,.t],

!4 l:

r 5

ly

x r

tÔ

\l u

d v

or

a u

flL

l<\

+

:. l\i

.

? --

{ ,.1

A x

li -r

ril*

*lS

A ;

I.a

Ar-

ri'

IlTl

t A

l"-

l; =

s

:j 'a

-' ii!

, 1.

\*

r ,

f ii

)r

I tll

__

? \.i

lG

I

E

:'

-r\J

I

x -l.

s ,

@

ii

.-ri

Flr,

:

; .lE

e

N

-.o

<lr

i '

lY

lo

+

, lf

I P

+

:

&sl

-i.ol

lF3

q r

=.e

6'!

{},U

lN

r.

l' ..t

? .^

' lL

?

J €

lIl.

; H

l:i

; -:

; F

' ?

*l t

r.

, l\-

+

l+

a j)-

< f

-lL

1!

11

+

: ol

o ,'

, =

,l

q I

G.jG

. +

- I

t ,i

*lq

-l\

3l:!

A -

l\" 3

€,

t

+

l :{

tl:

,e

Ej

'{ \

r."-

P

I l'I

Y

.h\

-k--

glg

I sB

+

-p

.'-. k

i! .

r.

lg

.,:J

;.

=' ta) la tp t5

*t rl < l

.<-.

'r

I --

l>lrl I -r

i' l

Ir Ito I tN

il

r i"l

t-lt

lElr"

* Ir

o 1l lv lt o

v

7r,1

l_l!

a 'P

+-ll

N

9

. 1.

1

qrr

- o

Blio

a9l\-

,trN

J ll

ca x.+

oa.

t N

._

.. o\

ilo

A

ali.

B-

5<vO

hlli

"-l

lr+

F1 t.

2I

Orl

a.

rb

:<l

-t

1

ll :.!

NJx

*lI

rr

al-

N,,

'*)i-

++

+o

NliI

'--

+

.i

I N

l'!.-

N xt I al

\,'!

t !J

A+

li^

-d!

, t: '-l 'o

I r.

)

ISp

l-lI

I,l,l

5lm

lrl\

l rlr otN

E'l

q l-r IN l\,

o o qi I I x I k N

a N'

o- j\ f. o o ^\ ! sr i. F

3<:e

eE

i$E

$H

# R

E [

il*e

l EE

I.*.;j

^T

>s1

]>fi

:=

1 d

r E

?

d G

\ e

* R

3:

5lr-

515:

f *-

I

1 b

a t

I a

-jrr

B

^=^*

rE +

Ei I

ri

gqi..

_. 1

1Q?j

.'l;

?1-U

-:

!;

*:a 8.8i

8 S

qrE

;hil

g i

iiii;=

l'i"

i3 I$

€ ;q

?* =

l l$-

;' -;

iitii

l+o^

.- ;

o+

l- <

€ ,,

N,-

-

,lL

ei

v 5_

;}$

lE'il

a i

H S

u-

d :

. ;=

|

a :-

\

tr

- e

a3 *

tr,

-1.

q,

;]l-

" i

I3

15.I

E, r

; i

: S

.-

:. r

i ;

Ttl

Z ,:

7_A

lIt I

;' S

^

ll I

I .1

*1.-

:'

,A-

er I

7 +

ir., -j

,I 5-

-l

Z "

: :-

e ,X

Elr'

S

i :.

+ 1

.r

aE

s-

- "

I "\

l-,

i?3"

r3

\ +

-I

:, €

E

i. Z

3

i ;:l

v,

:-i--

t,,;-

urid

s "+

,* s

i:r

a i

i 3l

;il i

i iii

\r.

5 $i i

ir _:

i;g t

ii*.ii

RP

T

F.-

, :

t =

=

ti a.

r A

*I-

: ^#

;E'

f. i.

:-

=-,

l-

3 i

+s

g F

-{

: e

dsX

vta

}F.

[i L

e-o

t-*_



192 Oliva 6. Izvodi

'x. pod uslovona da f ( ) ima granitnu vrednost kada x tezi ka c.

Teorema 6.62 vai i ako je hm 'f (x) = co, jer je tada lim f (x) x c

,$ c

(x) _ x-.c g(x)

6.4.1 Zadací

6.63. Primenom Lopitalovog pravila odrediti sledeée granitne vrednosti:

6.4. Lopitalovo pravila 193

6.64. Odrediti sledeée granitne vrednosti: - -

-

-

3x2 +2x-,2 21nx xb ln(lnx) a) 'MI ; b) 1im b > 0; ç) lïm --, b > 0, a E R; d) lirn .

x-++ xz - 1 x+ xb ' x+. eax x-,+.. lnx

Resenja. Izrazi su oblika "-," i uslovi Lopitalovog pravila su ispunjeni, pa imamo

sledeée jednakosti. 3x2 +2x-2 6.x+2 6 2Inx ? 2

a) lim - lim = = 3. b) lim - um x = lim = x+m 2x 2 x+ xb x+ bxb-1 x-.-F bxU x-+« x` - 1 .

0. cosx+ 3x - I ex+e `-2cosx in cosas a) lim`-

, b) lim , c) lim , a,b T 0; c) Ako je ,a < 0, r.ada je lim - = +. o -o xsin2x xo Incosbx + ear

x;' - a` (a +_x) x- a` xx -x Ako je a> 0, tada mozemo odrediti k E 1Y takvo da je k> b. Primenom Lopítalovog d) lint r ,, a> 0, a 1; e) lim

2 a> 0; f) lim .

xk k! ° a-a -0 x 2C-4 tnx-x+ 1

pravila k-puta dobijamo 1im - = lim = O. .

,,,,_+,0 ea., x-.+oo akèax

xb xk xb Kakoje 0<-<-, -x>0, to siedi 1im.-=0.

eax -

eax , X-'+'''' eax

1- d) lim

]n(lnx) = firn Lim = lim 1= O. x-+'+... In x--.+- I/x - x-+- lnx

- ...

Re"senja.

a) Funkcije. f (x). = cosx+ 3x - 1 i g(x) = 2x su diferencijabilne na intervalu koji ='

sadrzi nulu i izrazi su oblika " " kada x - 0, pa je

cosx+3x- 1 - -sinx+3 Inn = lim = 3/2. x-+0 2x .

. -,--.0 2 6.65. Odrediti sledeée granitne vrednosti: li U b)-f), uslovi Lopitalovog pravila su ispunjeni, pa vaze sledeée ed- a)

x-+lim +.x(el/x -1); b) x->m o+

sin xlnctgx; . nakosti:

1

(-----) x, c) lim za lnß ( , a, ß> 0; d) lim x t- 2 aresin 2 ). e`+e -2cosx e -e t2sin.x ex+e-x+2eosx x- o+ x x+- \ /x+1 I b) lim = lim = lim . - 4/4 = 1. -o x sin 2x - .:,-osin2x+.2x cos 2x x-o4cos2x-4x sin 2x

-

-

=a-sinax -

- 2sinax . Resenja. ]ncosax cosas asinax cos 'ux a

ax çosbx a2 c) lim = lim = lim = firn - .I-oln cos b-x .v.-,0 -b sin b.x x-obsinbx - cósax x-o

b2 sin Ij2'

cosbx b bx

cosax xi c a-1 x- -1 x a ax"-1 -a lna 1- Ina

d) lim =1im = lnctgx ogxn sinx V-,a -ac+ .r--,a aYIna ]na - b) ïim sinxlnctgx= lim

1

= um _cosx hrn z

-0 x-0+ x-.o+ - z-0+ - x-0-1+ COS x

(a+.x)'`-a` exln(a+x) (In(a-í-x)+ `-.) -aÌna sinx si m727 e) him , - lint °+`

c) Odredimo prvo za k E N granicnu vrednost lim xalkln (x) . Primenom Lopi- x-0 x x o Zr x-,o+

1/x - I e1/x (/ 1

e x a) lim x(ellx -1) = lim = lim - lim el / = - 1. x-.+ x-+- x--+oo X x

chiiu+x , x 1 a e (ln(a +x) + +) + +:c + (a+x)2 ) a` In2 a = 1im _

.

f) Inn x' - x x`(]nx+ I) - 1 x-v+1(111x-1- 1) -x = lim = lim x-1 lnx- -x + I x-1 !- I x= i 1- x

i(inx-i-1)(I+ + Ins) I-xx-1 = íim x-1 -1

talovog pravila dobijamo

lim xa/k 1n (--)

= Iim -1/X = -k lim Pik = O. x-0+ x x-n+ áz a/k-1 a x- 0+

(6.28)

(xIn( k

7datle je lirn xa Ink ( 1 )

= hm = í0. Ako i.zabzremo k E i, takvo x 0+ x x0+ \x;

,t.: :j::]

--i,::,

u-/

ooil)."oNC

)

;il

6.l

lt

Firdti,*+

.i )

'{)o63.(!

:ilH.=

T4*Y

l6llt-I

5>*-l rtlx' ld t-tllE1I

il\IJr!

-.\ ]

ll kl

' e

l

:- llll l^=

l:t n 9*'

llrlsE €

v I l"il

lh I

o la

5E

i .

., 1

CA

HY

=

.il1

, I kr

i:-' J-, "

!91 i: a

i al--=

z

U:R

t

E-:

-71 .=

.=

_, "-

co -b

,, N

Olil-O

ma-

-c^|1:E

:a:.9.=

bo/<

o-f,Ore

c: E

^ !

^!

L=

>ao)^

NdE

eJ

al o

it oo

j:c E

,-^

YE

r= E

^ls

-A8':-8S

.r1 X

=

1 !a

/---\=

n :

,- j

---:E

c

' =

t-

o l-

E

ilt-._

u _l+

e E

^"lt

6 ,,

\U*?E

'-,c

: E

i F

c,

o7t=I:Z

Asil{

1.' E

Ii^ nr

{rii.

E

Ei:

f, o ?

;i ._:--.;

Ao

el €

il ^.

I \

Ei

; E

i o

t< -Ll*u

o c

='l

o a

>::

l-u ,

=

!;c'

.E

E

E-i-: E

: ;

O.

^t k

o ::'

- z-

=-

a -+

t

d J

- u, =

i E

.:?

.i i

5 s:

| #

-t=

:>

-o

: \o,l(\

"- .::* -.

g -lF

R

;_!

.r' 3

..1 it

E -'"Y

^

ci S

\ =

1. n..'

,- 4 -i

5 =

i !

-X

^1" ilX

"lt,i

Ei t'

, >

n

p r1

818 ol"

trtE

a' "

,).,'* I

e':

=i

=

rl ?ia

i .

.: î

S

ir -,X

a ttl

-l:i) r!

dE

ô E

,-

.e,E,E

-,'," =l

$-;-oO

*

=

i' d

vr .=

i oO

- -

i<

.i'-'r' :E

ll

= €isr<

-t

.p l-)

'V tl

e&

il- :

S E

-kl="

t. --

'n '. - =

-:ilr o o

t v

-r F

1 5

* "il

N E

','l^l

,.., -^' t .-

Il, *;

qq

-Llo i

o tl>

/\

I :l-

q o

5

.= r

ir ^r 'l

^Ll s

s -v

(, E

i=

:: E

i E

JE

":l

.U -i |

.q 6, S

:

=r^

t =

l =

l$.j()!_o'o"iiril.x+

rl

.+;

=i

.y,,y F

cs

,=.:

\ a

i)d

:=r

8; =

l; A

A tr

J =

: d €

e

Ee'i,eae-ts

.O

\o

Q.

Jd4a)d.FSr

Lr ltl

1ril

\ !

l ,\

I '=

lO

a-

ll k

c.)

.ilXtsRE1

^t'ilrB

l

ol>t

UI

,)l*.1

I

\l\ol

.JIil

.t.

+

I F

, .-,

1

.-i :)

.:ai I

I'-lll

rr r

i''

t "

4f-l

-l r-i

.,i^,1.^.1I

!t

-l;i -l*

-El

l=

+l i

-i+

i

, *-

- .l

x I

=i

llq

r-l L)

-i

:-l 1;

tFt

+

I --l

,:lt:t-. i .,

1._

't- =

-

=

l=:

--ll.!.ll

l

I

Ta;k

I[-r:i+

1l'-)

IIira

;,,lII

-la.l.=r

BI

-t-.ttrlrl-l-l'tr!t

I

1l<'l

-r-ltivt

;ill!l;t1iElt

.lilI

1..l--l-f.!1=

îJ

cloulu

tl:<lsl!<

.r ld-oil

i{oio.l>. 1<

tr

|

.. law

l6

I l.-

c l-s *

I

-Oli -l

',-llr

i:1 il:

; il;lq;-

l'-E

lut ûli!

,"loi-ilu: I

I I

I a\!l

;.: ,E

I

,, 4.

lil>

)r.:tith

6 !i!

a)a rlr

UIO

^t -

i li

,l:

!i a

t

=.

a)

olArulp+

{.lI

lku lîrlD

-, lo

" l-r'.=

t1l

!lk- lcl

.Zla

NiU

-t l.iI l+!1.

^1.

tc"rt.-.=lli-thtoiul-! I -(!

^t,rl\,

I

.=1

o.o\ooa)

()>

N,Cd

o.

()'=o.

+bo

oo.ooa

ENl;t)N

aI

.3tr(-)

N;'



194 Glava 6. Izvodi

dajek>(3,tadaie 0<xallnßx <xalnkx, zax>O,paje limxáln0 (!)-0 - x-A+ x

TC - 2 aresin X v x'+1 d) Um m x s ic- 2 aresin aim

1 v x- + 1 .-+-=

vx- ¡' 2

t 2r'+ z

l

x+1 Ern

-2 t V * = rn =

x-.+x-,+00 lim = 2. x + - _ 1

- x x-

6.66. Odrediti sledece granicne vrednosti: a) lim 1- 1

) b) lim 1 1

x---03 xz sinz x x-,o ( e` -1. x

6.4. Lopitalovo pravilo 195

odakle je ln(1 + 2x) = t+2x

limlny = hm - lim x-+O xO X x-O 1 --

lim(1 +2x)1/x = exp (limlnY)

= e2. x-.0 c- O

b) Posmatrajmo funkcijù y = exp(lnu), gde je u = x1/0-x). Tada vati

1

limexp(]nu) = exp = exp (li im inx .

x t (limlnu) ,x-.1 1 -x

lnx i

Tako dobijamo 1im -- = lim x = -1 limxl/(t-`) = e-1. z-.t 1 -x x-,1 -1 x-m

Resenja. 1J ova dva zadatka imamo neodredene oblike "00 - 09", tako da je pbtrebno ¡ S1i .Y izvrsiti odredene transformacije da bi se dobili oblici na koje se moie primeniti c) lim(cosx)1/xz = exp ` lim lncosxl = exp lint osx

_ e-1/2 Lopitalovo pravilo. x o x- o x J \x->o x

/ 1 1 _ sin2x-x' -sinzx+cos2x- 1 2 1/x ¡ ln (z arccosx) 1 1 _ a) lim [ ; - , lim = lim d) si m arccosx - exp ! x1m C

exp I X ó ( arccos x - xz ) ) x-,0 \x sin`x) x o xzsinzx x osinzx+4xsinxcosx}xz(coszx-sinzx) / \ ) \

z = tim

-2 sin 2x = tim - -

-2 x O'sin2x +4xsinxcosx +x2(cos2x- sinzx) x- 'G1 +4:` cosa+ X; (cos2x- sin2x) smx sinx

1

3

/ 1 1 _ x- e` +1 1- ex -ez b) lim lim = _ lim = 1im = -1 /2. x 0 ex -1 x x-+o xex -X x-.o xex + ex - 1 x-+0 xex + 2ex


a) 1im(1+2x)1/.x; x-o b) 1imx1/(1-x); c) limtcosx)1/x`; x-rG

t/x t/x2 ( )1/x

/

1/x d) lim

( 2

arccosx) ; e) lim

C

sinx ; I) lim

1+x x--,o 7C s--.o ` x . x-+o e

g)

x

lim (- arctgx 1 ; h) 1im(1+thx)I/x. x-++ 7L

Re`senja. U ovim zadacima se javljáju neodredeni oblici a) Punkcija y = (1 + 2x)

I /x se moze pisati u obliku

lny = 1 1n(1-I-2x),

e-21n.

1/xz sir.x x rcosx-sínx ln - _ z -

e) lira sinx\ = ex ! hm -- éxp

(tim

sinx x

x-,o ( x/ p 1 x-,ó x2.

(x--.o 2x

/ 1 xcosx -- Sinx 1 -x sin x - _1/6 = expl 2x ó x2sinx ) -eXp2zi-ó2xsinx;-x'-cosx) -e

¡ 1/x11/x )1/x -

f) 1im I

(1 +x)

1 = exp

lim i

ln ((i

+x I

' x o\ e x-,o x e i /

g)

= exp (iT_x) = exp (iin x+2x 1)

_ e-1/2.

lim (-2

arctgx 1

= exp (iimXln (-2 arctgx )

= exp x + TC / /

1

I Ì thx chzx

_ h) lim(1 +thx`1/x = exp X? ó 1

- e.

1 1

1+x- arctgx lim 1x--+

x2

4

L-

ti @*:

r

L!

P3

=h iE

,)

(D

<.-

l

rA!I i,l

l: k

ll '

QT

ilLt

*

!

ii In

:- J

=. i-

5l:i

.:ttl

-l:F

rli

p)

ll,i.

' -l l^ lz

I

-\l

j:,I"

5

l+t

l-ll

ol\-

-/

iil ,.i r

l+

l I

*l: i

l=llt

I

8

lri

I lr

1J-

I i.l

*llt ll N)i

l-

\o A

,lIJ I

rll_

'd-

ll+

l,,l

_l

N ci 3,

k a

>(lB il

lo. ls fr ts io l5 i\l ti. lo

Hlfr o o o k tl o x 'd l=

tpt-

-'<

l.i lo io lq lr it o

.-i *il-

iti ' i.r

ll ll

gq9s

g:=

i-

r,

'lT

rr

i7

^,_3

i=

. 6:

r o!

p

"':

8=

* ,,-

-.

! ,-

.i

- z-

'o

l=

-o

.1

2.-

:i lN

/z

-\,

| -\

-

l=:J

. ^.

Y

=

^l-

iJt-

rx

!. ;

l=

''t\

;.'.

\.--/

\: o

o,

l-_

i=.

=

a'

t5'

l;3ts

\

! \

t^

r!ll

'--<

l-

la

llo

,, .

>r-

l >

rll?

o

; 11

*l

:.

' ui

L"

x-o

a

li ll

3.1

,' .tr

,=

i I

a =

i..!-

'

o t-

;

xl?-

'z*

. i'

.^--

--

) 'E

i =

-,

-i'o=

!

<

oJ

l-r

]=

ll ''

- \

---/

Ii

Ir | -

'z=

*

lE

ri -r

-i."li

l3l

1 -d

\r

- e

lu-.

4i

=

/-\

E-

€or

i

"l .=

//-

\ /-

\ ,l

15- -.

-i'

- o-

u l:

y-*

3.

\ [

..1]-

l- | -+

- t=

-c

\\-_-

/ €

Lli-,

" i:

3i

.r-.

ri :_

y i_

_ l:-

: ;l

I=I

tL '-

Ii'

i iJ,

l?

"o

\ ''1

2.X

r:r=

1,-

rw!

u,i-

-;l-

i ;

',,ji

.l=

; |

| l,

'13

I l=

6t\' i*

i ll

'----

-z'

l-rr

r-l

ox-

i -1

. ;

ta

Il+

l-lrc

l :<l

\---

l

il \'I

.l:

D o o a :i



196 Giava 6. Izvodi

6.68. Odrediti sledeée gránicne vrednosti:

a) lim (ex- 1)x; b) lim xx; c) lim x1/inshx, x->o+ x-,o+ d) lim (arcsinx

x->o+

Re"senja. U ovim zá.dacimá se pojavijuje neodrédeni oblik "00".

a) Za funkciju y = (ex - 1) imam° Iriy = xln (ex - 1) . Prema tome je

tg x

In (ex - 1) e 1 -x'ex -(2xex+x2ex) lim lny = lim = lim = lim - lim = 0, x->o+ x->o+ 1 x->0+ =,1. x->0+ ex - 1 ,T->P+ eT

.. .

- . .T-.

gto povlaci 1im (ex -1)x = exp (lirninY)

= e° = 1.

b) Na osnovu jednakosti lim In= lin _l = lim (-x) = 0, dobijamo

x-+0+ x .T"--0+ -Z T-->0+ X

lim xx = exp 1 lim in y

= é° = 1. x->0+ z 0

c) Kako je lim Inx = lini x

x-o+ inshx x-->o+ shx chxx

= 1, -to je lim x1/1nshx - e x-+0+

i 1

ln(aresinx) csi"x 0 _ x2 d) Iz jednakosti hm = lim x-+o+ ctgx x->o+ '

1

sin2x lim (aresinx)tgx = 1.

x-+o+

= 0; dobijamo

6.69. Odrediti sledeée graniëne_vrednósti: a) lim xt x; b) lim (3x2 + 3x)1 /x. x. + x-+-

Resenja. U.ovim zádacima sé pojavijuju neodredeni izrazi oblika "00°.'

a) Iz lim Inx - mim 1 = 0, sledi xt/x :_ eo _ 1 x-++ X x-++ x x->+00

1n(3x2 +3x) 6x-i-3xln3 b) Na osnovu jednakosti lim ---- _ iirn =1n3, dobijamo x +x X x + 3x2 + 3x

lim (3x2 + 3x)ux 3. x->+

6.70. Odrediti'sledeée grant ene vrednosti: a ) lim 2x - sinx

x-++- 2x--f- sinx'

Regenja. 2x-1 2x--sinx 2x+1 2x-1 a) Za x > 2, imam° < +-2x-1

6.5. Monotoriost i ekstremne vrednosti ïunkcije 197

U ovo;n slucaju ne moze se primeniti Lopitalovo p,ravilo. Naime; granièna vrednost

(2x- sin x)' 2-cosx lim =

(2x+sinx)' xl x 2+cosx'

ne postoji, jer ne postoji lim cosx. .

x->+-

b) Kolicnik izvoda tim f '(x) ne.postoji, pa ne mozemó primeniti Lopitalovo pravilo.

x-.o g' (x) x3 Sin( ) xSin( )

- _

Medutim, data granicna vrednost postoji i jednaka je lim = lirr_ z - _ .

. . x-.0 SIn2x 2

O.

6.5 Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije

6.71. Teorema. Neka je funkcija f neprekidna na zatvorenom intermit' [a, b] i diferen-

cijabilna na otvorenom intervalu (a, b).

Ako je f'(x) > 0 za sve x E (a, b), tada je f rastuéa fimkcija na [a, b], Ako je f'(x) < 0 za sve x E (a, b), tada je f opadajuéa funkcija na [a, b].

6.72. Tetirema. Neka je funkcija f neprekidna na zatvorenona intervalu [a, h] i diferen-

cijabilnà na otvorenom intervalu (a, b).

Ako je funkcija f rastuéa na [a, b], tada je f (x) > 0 za sve x E (a, b). Ako je funkcija f opadajuéa na [a, b], tada je f'(x) < 0 za sve x E (a, b).

Broj c E (a, b) je kritican broj funkcije f : [a, b] -> R ako je ili f' (c) = 0 ili f' (c)

ne postoji. Tacka sa koordinatama (c, f (c)) je kriticna tacka.

Potreban uslov za postojanje lokalne ekstremne vrednosti funkcije daje sledeéa

teorema.

6.73. Teorema. Ako je funkcija f : [a, b] R neprekidna na [a, b] i ima lokalni ekstrem.

(maksimum ili minimum) u tackt c E (a,b), tada je c kritican broj funkciie f.

Dovoljne uslove za postojanje lokalne ekstremne vrednosti funkcije daju sledeée

dve teoreme.

6.74. Teorema. Neka je c kritican broj funkcije f i neka je (a, b) otvoren interval koji

sadrzi tacku c. Neka je dalje funkcija f neprekidna na zatvorenom intervalu [a, b]

i diferencijabilna na ptvorenon2 intervalu (a, b), osini ntozda u c.

Ako je f' (x) > 0, za x E (a, c) i f' (x) < O za x E (c, b), tada je f(c) lokalni maksi-

rnum funkcije f.

a d

li i

s 'a

d t

o ::=

" r

6 --i*,

$ $

5 e,$."; iiEE

i >

.-,.

'E

n --,

I ii-E

'H E

-: ,si tii :Yi g IE

i E:.i

E

Eii; A

isgEisa* =

;t: :l!.

2_,-- E-;:; E

: tt:

SsgE

'a !-tE

sEtE

'i:l: EI E

EE

EE

Si{E

IsiE isii

3 E,

E n

g U :-:

: --s' i'4

E

[: g

-[t,.E

I E

j i

i _is :

ss *.i P, i- *

i,Y: J

* >*i>

- !

'' Z

, f +=

=

=

':i g\

: T

_g I t:=

I

Y

1II E

.=r.=

.r

E

e s*î:

ES

::'i,., <

r

+

"s:ir {

:= ?lr ;

g e

U X

sci ;s5*

t; E

=

-t 3 :c:

PE

ilig,e E

'E trIB

S**S

eE !

:-*: S

E!!

=

'-'a f ;S

irES

!,*i€ g ;i"q ..E

tEe

E,

=1

.!j ;

? =-,=

'E,E

I :

s-E i;

UE

;N F

b e' ,iE

E '7{E

,E E

+:ilE

i!sE€'z .E

=4 -:;:a

o -

=i

=

=

.yp oo u'g --'-- !,

; *,:i

S

vE:

:i

z;'* E

€ii: ii,3'$id =

iS

: *:i1:

,5 +

;E

E:;33=

;t=:F

A

r:Ey:jE

:,i1

'=; i

; =

e=!i geE

i-*'+ ;.

E=

[E E

tFr=

: ? f

E - - E

Bi: E

Bi:ii E

E E

EE

; EI$S

:a(tit

r=ooJ<\los)

f<otr,.i

6o.--iit

+r

î lci-8E!-ll

*i*1l+xtkN

t(\_" s!l

=F

i * ,,tl

'- l-- :<

l <llrklR

@

tCo]lf\

,1,tlf

vl \

I )<

k I k -'l

lclc

qta 11

rl+

'.:i i2

a] l.dV

I

rlr-kl).

aj I at

oE6Jfc'i

aix>

oq)^*.6

oia

:*l *oO

+

t -')

Flo

t "il

-* E

-7i;

n il.

" J

,3 *lo

S

.9- ll

=

=

=r. .'

o '-i

ql s

3 :=

H

:l

8 :

A.=

l F

t,

E

u :=

;

- '.

-t I

'o ,

€ -E

s

P

F

-r ;-

s Z

m

l=

(J rr

H

o .:

'ilr H

r:<.

* &

rr

- 5

tr 'F

::l-

ilik

.; r,t-

e i

lr 'F

tqli

{ l.^.-r'

r i

lBt

<' E

?l.r

'; t?€

; , T

1: ; S

r E

; - lljl t^* =', :E

; .l': s l.I

ro -s, tra

o. --

-. l),-ll=

ci

g .-f

-8t,

E *

=:

! ri

.o : I '';

!i E

o' .:i

.El

E: -E

; ,_',' -;-- - .l-t,

t" -li I =

- E <

. t ;*

i !

i3 '''"i _

E: ,7'L

l E

+

.j i

=l:I

.ji

5r; tr:

:) rt

I! r,

k +

=t^"ix

i!

;' Z

P

:r{

.:: r,

-i C

- ,t

*, .l ,, ll

...i is

- -j i

€I

is gE

I ii

.l-- ' l-; .i

! 3 E

=l

P>

-;

l- ,

o ;

I \

q -

tr -7-

L-l =

i 1

.=?

plS

V

I o

.5: r

)u :'

: ;

.'l-,r

3 H

r E

i.

I s

r\ -'.

': F

g--.; E T

F

:h ;' =

-: '-_n

:- 4

er ;lf

;i :

&

i =

i +

'

oo

'P =

! -!t

.g? s .=r=

.s =

. ; g

s =- E

s .t

t, ;t

I

t -'

= i

:* s E

e4

i -"

* E

rr 4 ;"

*;

i--* 6,=,. :

fE g

r --

S

n ;

B,It" i

- ;

.E

E6 =

4 :

V

2 ,

.g E

f

.: p

_8 I

X

rT

-j

, =

cJ 8.

B

'L r

€ g

"e E

; a Il S

{ ;

.1 : .=

1- ;

X

ti 4

1 =

; .r

cd ="

c -3 !

i *

EN

i >

q L -.t

# s

€l B

f

r 2 E

l S

.>0

ti '&

e a

a a

e 'E a a

$yt*r\

\o \o

\o

N\is!tfF1

:k:.



198 Giava 6. Izvodi

Ako je f'(x.) < 0, za x E (a, c) i f'(x) > O za x E (c, b), tada je f (c) lokalni minimum ficnkcije f Ako je f'(x) < 0, ili f'(x) > 0, za sve x E (a, b), izuzev mozda u tacki c, tàda f (c) nüe lokalni ekstrem fitnkcije f.

6.75. Teorema. Neka je funkcija f dva puta diferencijabilna funkcija na intervalu (a, b), koji sadrzi tacku c i neka je f (c) = O.Ako je f "(c) < 0, tada funkcija f ima lokalni maksimum u c. Ako je f "(c) > 0, tada funkcija f ima lokalni minimum u c.

6.76. Teorema. Neka funkcija f ima u tacki c sve izvode do recia n > 2, i neka vazi.

f'(c) = fn(c) = ._. = f(n-1)(c) = 0, ali f(")(c) O.

Ako je n paran broj, tada c_ jeste ekstremna vrednost funkeije f. Ako je n neparan broj, tada c nije ekstremna vrednost funkcije f.

6.5.1 Zadaci

6.77. Odrediti kriticne brojeve funkcije f (x) = (x + 5)2 s x - 4, x E R.

Resen'e. Prvi izvod funkcije f je f'(x) = (x+5)(7x-19) 't J x4.Odatlejef.,x)=b. 3(r.-4)2/3 '

za x = -5 i x -19/7. Prvi izvod ne postoji za x = 4, tako da data funkcija ima tri kriticna broja, i to x1 = -5, x2 = 19/7 i x3 = 4.

6.78. Odrediti lokalne ekstreme, kao i intervale na kojima sledeée funkcije rastu odnosno opadaju:

x a) f(x) =

r2 - 6x+ 16' x ER; b) f (x) = - f, x E II8; c) f(x) = xzl3(x'2 - 8), x E IFP;

d) f (x) = x- sinx, x E II8; e) f (x) = sin2 x; x E TR; f) f (x) = x+ 1nx, x > O.

Resenja. 16-x2 a) Iz f'(x) _

(x2 _ 6x+ 16)2' siedi da je f'(x) = 0 za x1 = 4 i x2 = -4. Dakle, kriticne

tacke date funkcije A(4, 1/2) i B(-4, -1/19). Na osnovu teoreme 6.75, iz relacija

2x3-96x+192 f n(x) -(x2 - 6x+ 16)3 ' f "(4) < 0, f"(-4) > 0;

siedi da funkcija f ima lokalni maksimum u tacki A i lokalni minimum u taeki B.

6.5. Monotonost i ekstremne vtednosti funkcijé . 199

Kako je f'(x) > 0 ako i samo ako je 16 - x2 > O (resp. f'(x) < O ako.i samo ako

je 16 - X2 < 0), to funkcija f raste na intervalu (-4,4), a opada na intervalima

-4) ï (4, +.0). .

b) U ovom slucaju je f'(.x) = x_- 1

. ltesenja jednaeine f'{zl = O su 3x2/3 (x1i- ±x2/.3 + 1)

xi = -1 i x2 = 1. Tako dobijamo da funkcija f ima iokalni maksimum u tacki

A(-1,2/3). i lokalni minimum u tacki B(1, --2/3). Primetimo da je x = 0 kritican

broj funkcije f, ali u toj ta"cki funkcija nema lokalni ekstrem.

Funkcija f opada kada je x'- - 1 < 0, tj. na intervalu (-1,1), araste na intervalima

(-',-1) i (1,+) 8(-x2-2) r c) Iz f (x) =

, x 0, sledi da su kriticni o.ojevi funkcije, f xl = _ - 3x1/3

ix3=0. Iz drugog izvoda funkcije f siedi da ona ima lokalne minimume u xi i u x2. Na

osnovu znaka f' siedi da funkcija f ima lokalni maksimum u tali x3 = 0, i pored toga sto u toj tacki prvi izvod ne postoji.

Funkcija f raste na intervalima (-,%2,0) i (;+..) a opada na'intervalima

i (0, )

d) Kako je f'(x) = 1-cosx, to funkcija f raste na intervalima (2kit, (2k+ 2)7t), k E Z

Kako je f"(2k7c) = sin(2krc) = 0 i f"'(2ktc) = cos(2kr) = i0 0, to f nema lokalnih

ekstremnih vrednosti na I"., tj. f raste na Í"..

e) Iz f'(x) = 2sinxcosx = sin2x, x E R, sledi da je f'(x) = 0 za xk = krt/2, k E

Z. Kako je f"(x) = 2cos(2x) i f"(xk) = 2(-1)k, k E Z, dobijamo da u tackama

x2J funkcija f ima lokalne minimume, a u tackama x2J+1, funkcija f ima lokalne

maksimume ( j E Z). Funkcija f raste na intervalima (k7c, (2k + 1)7c/2) , a opada na intervalima

((2k+1)7c/2,(k+1)Tt) (kE7G).

f) Na osnovu jednakosti f'(x) = 1 +x x > 0, siedi da funkcija nema lokalnih ek-- x

stremnih vrednosti. Ona raste na celom svorrl dornenu (0, -+-.0)

6.79. Odrediti ekstremne vrednosti sledeéill fmkcija: a) f (x) = ehx-i-eosx; b) f (x) _ x3+x4.

Resenja. a) Funkcija je diferencijabilna za svako x E R. Kako je f'(x) = shx -= sinx, to je

f (x) = 0 za x = 0. Dalje je f "(x) = chx - cos x, i f "' (x) = shx+ sinx, sto poviaci

f "(0) = 0 i f m(0) = 0. Posto je f (4) (x) = chx + cosx i f(4) (0) = 2 0 0, to data

tE r \c

) i- I

* H

".; $i

i

-3 F

N F

i 0\

Llr

I a.

$

I #

> *

. ;,

_- ;y

F

;i E

t i

1 f S

F

+i €

lg .|

,SH

SB

qE

" l

.f ,$

+ 3

',i ;

$;

I\ E

*s

sq o

-\ch

e 6'

=

l't -+

svi

, ss

;i

i:=ii

F $

:1,.:

3 ll-

"i +

l"l-

;ii.

i" F

; !

il i

El

i );

F

F i3

5

D \

.=

:or5

,,:t

x l,i

E

" t-

'8.

E3

*1 s

ti

3$

i^

A)

d ::i

i. n,

1'

n i-.

o a

y ;,8

O

s-

P

lt {,

- ;*

n---

+lL

r -

F '

i i--

+ t

E;

; +

t

:> ,

=-=

ii

tr

-AQ

l ;,

$ ,, =

€,

t ri

\ r:

F

i*

F

\ I

o ^l

N

I al

t D

-L

-.

:-

.j,3.

J,

'F

N:

1 s

\: **

, ,i3

F

';

,i :

r q

; $

Jr;

$ i;

s ;

i i\

\,,y

:ol

\o

- f

"" ll

-- !*

E

E

i ";

it i

rr

',, I

'':

,i'

S ?'

= ql

E It

l

jr i

:e r

r E

S

; \

i: i

=i

X :

E _

- .{

t^

E:*

l* t

;-

P !-

i S

I i

r i

Sg

; ^

est3

*-

i':."

ull:i

:i

?;i{*

ii

irHI

aA i-

lill*

*E

:$i,

?.$F

g5i

l

*= :

3 |

s e

$ *

;--

ll E

S +

:

S

"-5

1 s

efl-! =s8

f i;

s F

)";

si:+

: $i

is

=5g

i ;i

il B

;; 5t

s;

t€'$

E=

ig

=

r j

s*.;

a ;

Ei

+ $

3jr-

t"_

"_

6-

I ;"

S

t;'

$

=tj

i S

E $

H x

: $

g: ;

i $:

$,S

,F

.=

:a

E

s rl

$;=

s-

$

I :,1 N c $ (a ,v o o i. t! ni o-, a '6'

a) o

I

_8

I t'J I

Y. I NI

Y

.re.

F

* .:r

g

e*,

v(a

(\-.

e.

4 -

g Z

-T

l35

Nil

*TV

.i

ii'=

u-

F

rc

G

r:

6{:

i

d3?F

;f

2; i

la}r

:'i7€

ill#'

*S

+

A !*

'=*5

5=I3

c^:=

. +

<

i

i\,!.=

:i6'll

=

-1 ._

r-iD

" k

B.?

Ffr

a.lfX

;eU

\:r

* X

5

p l-*

.-.

j_:=

.x:t

ii

^=rr

e

=

g e

T3

^=tr

i gs

:-(

lPe

t =

.4

-rts

Sr,

: I

ll I

rVE

, S

p3

x=

'-F,:i

-;

3_a

:E=

s

5--;

3 ;A

I;E:

a:qs

F

H5

t+ ]

93;;B

6^=

! 3

=

,t >

d E

-.i

q<c=

q-.!

^ fi

!r

. =

' -'_

. X

"-{

t ?>

l-r

li E

-\*

H'-3

,ilB

s

i-,. i

is.

;Ie*3

:-:-

x

S

o \

_L

D

1.^

:H

i

?i=

E

' i=

* =

+:=

sEr{

$ :

i*

; =

J; ss

I -iq

. 'i-

tr

E

i "?

5

rn -

l ,

LI

>:

" --

z:

: -

X

: ,-

....

' :'

B.-

\ r

_o E

A

_-

. j*

j5

.-*

-=ll ;'

i ;

r I

:rB

r t,i

)31-

f

_L{,

:

iso

j-5.

.-

1,

I <

L.

- d

nIE

a

s I

t':I

-'Ql.)

;,'

* >

',:

-a

C_,

, 5-

i-

-j"e'

: e

* E

e:s

iSx!

.' \

f. aB

.i;

*;[i=

E

5

r[;

]:E

t:'a'

r,

F

il3

1 3s

'



200 Giava 6. Izvodi

funkcija ima lokalni ekstrem u tacki x = 0. Kako je f(4) (0) > 0, to f ima u toj taeki lokalni minimum.

b) Kritieni brojevi date funkcije su x1 = O i x2 = -3/4, jer je f'(x) = 3x2+4x3. Iz f "(x) = 6x + 12x2 i f "

(x) -= 6 + 24x siedi f "(0) = O i f "' (0) = 6. Dakle, data funkcija nema lokalni ekstrem u tacki xi = 0. (U stvari, taeka A(0,0) je tacka prevoja.) Funkcija f ima lokalni minimum u tacki x2.

6.80. Odrediti intervale ntonotonosti i ekstremne vrednosti funkcije y = f (x) date para- .

'

3 3 2

nletarski sa x = t 2t

.

'

..

y- t z +1 2t

t E I[8. +1 t

Resenje. Izxr = t2(t2+3) i y, - t(t-1)(t2+t+4) sledi

(t2 + 1)2 (t2 + 1)2

(t-1)(22+t+4) t#0; t(t + 3)

U tacki x1 = 0 (za t - 0) funkcija y = f (x) nema izvod, a njen drugi kritieni broj se dobija iz yX = 0, dakle za x2 = 1/2 (za t= 1.) Ako je t <, 0, tada je x < 0, pa iz yx > 0 siedi da funkcija raste ila intérvalu (-, 0). Ako je t E (0,1), tada x E (0,1/2), a iz yx < 0 siedi da funkcija opada na (0,1/2). Dakle u taeki xi = 0 funkcija ima lokalni maksimum. Ako t E (1, +c.), tada x E (1/2, -), pa iz yX > 0 siedi da funkcija raste na (1/2, +.). Prema tome, u taeki xi = 1/2 funkcija ima lokalni minimum.

6.81. Neka su date sledeée dve funkcije:

f x) {e-11x2,

x 0, g(x) x,E (;

0, x = 0;

..

0, x= 0.

Pokazati da tada vate sledeéi iskazi. . .

a) Funkcije f i g imaju sve izvode u taeki nula, i vati f(") (0) = g(") (0) -

0, n E N. b) Funkcija f ima lokalni minimum u tacki x = 0, ali funkcija g nema lokalni ekstrem

utaekix=0.

Resenja.

a) Zaxf Oje f'(x)=e 'ix2 f"(x)=x - / e 'ix ,..., f(")(x)=R3"(1) e-ltx2,

xi gde je R3,, (j:) polinom po 1. reda 3n.

x, x Primetimo da primenom Lopitalovog pravila k-puta, dobijamo

e' Li `-

x-0 %idn --x

-= 0, k E N. . .

6.5. Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije 201

f - t(0) _ U taeki 0 je na osnovu (6.29) (za k = 1) : f'(0) = lim - lim -0 x-o: .x x---o x

i slicno je f(") (0) = 0, n E N. Dakle, funkcije- f (" ) su neprekidne na R (n E N).

Analogno se pokazuje da je g(") (0) = 0 za svako n EN.

b) Funkcija f ima lokalni minimum (jednak f (0) = 0) u taeki x = 0, jer je f (x) > 0

zaxf0. .

Funkcija g nema lokalni ekstrem u taeki x= 0, jer je za x # O funkcija g istog znaka

kaox,tj.g(x)>Ozax>Oig(x) <Ozax<0.

6.82. Odrediti riajveéi elan svakog od sledeéih nizova dntim opstini clanom: 2 2000

a) f;, - re+2000' b) f, - r,_'+2000' c) f,, -

rzer, d) .f, = "n.

Resenja. x - x>0 Posto e a) Funkcija f(x) - x > 0, ima izvod j'' (x, - - , >

. j x+2000' 2(.x+2000)-

f'(x) > 0 za 0 < x < 2000 i f'(x) < 0 za x > 2000, to f ima lokalni maksimum u

taeki x = 2000. Prema tome najveéi elan datog niza se dobija za n = 2000, i on je jédnak f2000 = f (2000) _ 2000/4000 = 1.118 x 10-2:

.

2

b) Funkcija f (x) = x x > 0, ima kriticnu taeku u x = f4000 15. 874. Dakle,

x3 + 2000' kandidati za najveéi elan datog niza su f15 i f16. Pogtó je je f15 = f (15) 4.186".

10-2 i f16 = f ( i6) 4.199 10-2, to se trazeni clan datog niza dobija za n = 16.

c) n = 2000.

d) Posmatrajmo funkciju f (x) = x1i-`, x > 0, ciji je-izvod f'(x) = x(11-0-2 - lnx), x> O. Njen lokalni maksimum je u taçki x= e. Kako je f2 = 1,41, f3 _ 0 to sledi da se trazeni elan dobija za n = 3.

6.83: Ako je funkcija 9 rastuéa i diferencijabilna, a f diferencijabilná na (0,:-r00), i postoji xo sa osobinom If '(x)1 < Q'(x) za x> xo, tada je

if (x) -f(xo)I ç 9(x) -41(xo) za x> xo..

Resenje. Funkcije f i(I) zadovoljavaju uslove Kosijeve teoreme 6.50, pa za svako

x > xo postoji E (xo,x) sa osobinom

.f(x) -f(xo) I = f'()

9(x)-9(x0) 9'()

2000 --.x

Po uslovu zadatka je izraz na desnoj strani < 1, pa posto je funkcija ch rastuéa na

(0,+w),to,le

(6.29) If(x)-.f(-xo)1 Ç19(x)-9(xo)I =9(t)-9(xo) za .io.

O

3 .gl. =

..r c;.;

-. .:-'l

*., I

i.

i *

; =;

=E

s I.'.

i =

;

2 e

: 'e?

a o !' - :

: :

+! * g

5EA

;'ii .ej r

; :

A

; i

i ,-:

I =1

r5,* :li

e :

EE

o- ta i ) ,,iE

= 3;€

-"i =

5

E

u,

E X

=

I * il=

=f lE

,'i l'

s e

=

n = o

s € B

rrEe, tT

Ei .i;

€ ; E

".

!i

E -K

I - H

l;.:E, I qg ;':.

i : e

E

-i

i==

= u, S

-,t.' ':;i; iFz iJr i." ; a sE

i 1

L;rC:,'1

.=iiE

;? r;=

:.t?E

iiY--

Z

fl3 l;!; ;iE

';E:i S

iiiiii =

E

+=

N=

r:

;-E,?a*

lE

;it:=81e.",;i

Sn"1 =

_f, ir*g l

ioE Z

i i'.lf i:98;i'_

:"lE E

9eEE

il3E ;

t$,E *; g :'

t=iE

l i=E

a iEE

:- i Ex

i =

i-g i .ir,

E

rdE:_=

tAE

; !ts

!p <

frq {

; ''E

I

x h

'E

<S

l E

FiIT

;:,.., .=

,8€ E_:

@*o

.cr ;

;?9 is

E

',+Y

EE

1""-r5((. 9'p.-

s=

-J--g;;?t-E

l'!=+

.jrbiEE

Iis;'u i,.-3

.-[i '".a isri e!=

geri_ilE_i+

-e 'E'F

, ]i1i,g"tj

I =

- c t,+

ES

=:z:

-i.; E

?; E

,,E

gg$Eif In9;;rE

E,,'*H

:;*r ;f

ii,=

=

=--:i

g t

.+

= i;;.€

= zn;'

5A,.-

a.F

-/\ 8g

=<

E N

ds i

* i

n i..r.q-, 'IJ=

=dx;>

'Is'

,9.a

3 'P

e 6

6a E

li

:'. I

-- lttl!l

il

^lYi\.Ill<^t::,1{.1

L

::-ildNqoo(.)

O,9

OolooJ<€ppJ1ooo,r;'.C

;

,c\cj\o

6l:=-oo,d

*;o-

6i _-

>|

dl=

., I

uo ). l";'

!L

d .iir

o.oJoC,)

o,€o()tr

p

.-NC

d'J

.e iiE

I r ?S

E

iSE

T#s

* rE

Je E

:*

,F f:i

e ;

EE

gE

?s;

;t_: i

€ Eg. E

E

o!.i

.-:gf ^

e =

i F

E

: S

; ):-5

,s E

;'i

f =

'bo i--

.A\.-:

C

- a.t

-o 6 ll

oc

P +

;: E

E

1 E 3i.=

; i?

:-*-3 fg=

i S

i et ;-E

cEl,$

^1 . E

E5 t;?; i j:1" iiiE

;sf;ig id :i

o .j#*E

S

&

tl:=l^'

F*E

VE

sE

i *X

I;5*Eslliiii=

iS*ii;s ;- ;r

'- -f\.!l

=

hE

*;:E

""'!l-

ri-:l l--':*.-9-r'

-; S

'E:

; $lE

E iil. :i .,.i,E

g€=i;s t i tts

E

Eits

s 2 '{

as3"E"1

; Aa }:

F-6 i-.;.=

s ,* G

lr -6 I;.E

eg "i iil

:; F

te;:;E

I,i {i!

-r_r',.}j 1.j.8 *_+

"^tS!

g:Ep':E

E * I

.,- "Je.=

i-c !.;_-5ilt=

=:;:::ri

i 5:i::i;g:

, E

,5,FI

:EE

iEr st F

=

E*,iE

is s ? ssst i6

E

'E

d -;;"9

I

*iH

ltt-(,i.S

I

\o l'i1

\ tk\*-/

-:ilI

J()q,

..lixo

\o.)

l'!: .fl

,, lf,,

\.',o)':sua(-+

l o->

NE

h

9lN

l

Hiat

6tI

ON



202 Giava 6. Izvodi

6.84. Ako vaie sledeca tri uslova:

(i) funkcije f i g su n-puta difer encijabilne na R;

(ii) .f(k)(x0)=g(k)(xo)`zak=0,1,...,n-1;

(iii) f(") (x) > g(") (x) za x > xo,

pokazati da je tada f(x) > g(x) za x > xp.

Resenja. Neka je funkcija 0 data sa 0(x) = f(x) -g(x); x E 118. Tada je (V"-1)(x) - r (., )(x)_g(n 1)(x),Paje0(s,-1)(xo)=0icp(")(x)>0iax>.xo, Primenom LagranzoVe téóreme na intervalu [x0,x] na funkciju ¢(i-1)(x) dóbijamo da postoji (xo,x) sa osobinom

Oi-0(x) -aln 1)(x0) _ $(")(S)(x-xo), Iz toga zax> x0 sledi ¢("-1)(x) > 0, ili f("-O(x) > g(rr-1)(x) za x> zo. Slicno dobijamo f("-2)(x) > g("--2)(x) za x > x0, pa nastavljajúéi ovaj postupak konacno imamo f (x) > g(x) za x > xo.

6.85. Pokazati sledece nejednakosti: 2

a)x -2 <ln(1+x) <x, x> ,

b)ln(l+x)>x+l'x>0; c)x" - 1 > a(x- 1), a>2,x>1; d) <tiix áx>a>O.

U zadatku pod d), n je prirodan broj veci od 1.

Resenja. z

a) Ako oznaèimo f (x) = x- 2 , g(x) = 1n( i +x) i h(x) = x, tada imamo f (0) = g(0) = h(0) = 0 i f(x) = 1-x <g'(x) = ix < h'(x) =

1, x> 0. Iz zadatka 6.84 dobijamo .f(x) < g(x) < h(x) za x> 0, tj. x- 2< 1n(1 +x) <.x, x> 0.

b) Oznacimo sa f(x) =1n(1-1-x g(x) ) i g( )= xa _. Tada iz f(0) = g(0) = 0 i relacija

1 f ' x:' - g' ( ) _ ( ' i +x > x (1 +x)2'

6.5. Monotonost i. ekstremne vrednosti funkcije 203,

dobijamo f (x) > g(x), x > 0, ili ln(1 +x) > 0. x+ 1,

x

c) Ako stavimo f (x) = x4 - 1 i g(x) = a(x - 1), tada je f(1) = 0 = g(1) i f' (x) _ axa-1 > a = g'(x), x > 1, gto povlaci traenu nejednakost.

d) Ako stavimo f (x) - i g(x) = {/x - a, tada ove funkcije zadovoljavaju

uslove zadatka 6.84, pa siedi data nejednakost.

6.86. Pokazati sledeée nejednakosti:

a) cosx > 1 -x2/2, x E R; b) arctgx < x, x > 0;

c) (2x)/t[ < sinx, 0 < x < n/2; d) sinx+tgx > 2x, 0 < x <71/2.

Resenja. T2

a) Ako ozna6irno f (x) = cosx i g(x) = 1 - 2 , tada imamo f (0) = g(0) = 1 i f (.x) =

g'(x) _ -x. Funkcija h(x) = x - sinx (videti zadatak 6.78 d)). Kako je funkcija h rastuéa i h(0) = 0, to vati

x- sinx > 0, x >. 0, tj. x> sinx, x> 0.

Iz f'(x) > g' (x), x > 0, sledi f (x) > g(x), x > 0, tj. cosx > 1- 2 ,x > Ó. Funkcijè

f i g su parne, sto povlaci da poslednja nejednakost vati i za x < 0. 1

b) Ako je f (x) = x - arctgx, x > 0, tada je f'(x) = 1-- - ; > 0, pá je f (.z) > f (0) _ 1+x--. za x> 0; iz cega siedi data nejednakost.

c) Pokazaéemo da funkcija f data sa f(x) = sinx - (2x)/7c; x E [0,rz/21; ima tacno dve mile na intervalu [0,7c/2] . Naime, ako bi funkcija f imala nub). x_1 E (0,1t/2), tada hi iz Rolove teoreme sledilo da postoje najmanje dve tacke x3 E (0,x1) i x4 E

(Xi ,m/2), takve da je f'(x3) = f'(x4) = 0. Medutim, jednaéina f/(x) = 0, tj. cosx - 2/n = 0, ima samo jedno resenje na intervalu (0, ít/2). , .

Iz prethodnog siedi da je funkcija f istog znaka na intervalu (0,tí/2.) Kako je (na

primer) f (11/3) = 2 -3 > 0, to imamá sinx (2x)/n zá x E. (0,a/2),

d) Funkcije f (x) = sinx+tgxx i g(x) = 2x zadovoljava uslove zadatka 6.84, jer je 1(0) = g(0) - 0, f (0) = 2 = (0)'

fu (x) _-sinx+2 Sin3 _ sinx(2 3COS3x) > 0= g'(x), x E (0,n/2).

cos 3x cos 3x

Prema torne je f (x) > g(x), x E (0,n/2).

6.87. Pokazati da za x > O vate slèdeée nejednákosti: '-

xa-ax+a<1, za 0<a<1; xa-ax+a>i, za cc<O ili a>1.. (6.30)

==

'

N)

C) IJ

rn N o" t? i= lo te lc t- * :l l6 t'1 !d"

l! lL.

tn,

IJ ih to t!, tC)

l i I I I I I I I i i I I I I I ".

rlc

)I

t))

See

s-E

"tr

)r

pE

s3t'I

?3N

e

-\f

I A

e=

- =

Ei:3

'3f,*

5

"I-:

,-l

i ,'

3 9l

3 |

:ig

E

ti tv

?

2;,'(

=:

=N

N)-

.=:.-

.=

. 6

-:

"a o

(\

o \-

*

tu ;

;' .'-

-\

'6

\ i

--

o\

1 ?i

-

n=*:

i F S

i;

N

=

li :1

.,r

q-of

di

o-_?

il

l,e.

a _

d <

o e

D Y

'l x

3:_

r \

r P

ll .r

x.

=

" o

"i ,

v-?

? -=

-q

-3S

;ai*

J €'

.?'

; i

A['J

l'-,r

BE

h3:f

+1

?vi.

B .y

ril

-1,, i!

\t ;.u

' t T

a' Z

) ?4

1=,,T

',, [E

AC

;?i;

gg1-

r ,

-l I

ll -

-cf

ir '"-

ro d

,:, ;

ll=

a'7G

&-o

a>

: .-

t-

. J_

/ H

\a

O

-

D

<

- X

A

=

e.

I li

-ii

E -

'E.c

ne.

c.'

E.'"

'

s us

lT $

iE3?

Er-

=qs

bl

'-B u

E H

eLIii

l a

&i

i lL

i

'a P

E

E I;

: 1

* ru

r' n

y v:

J<E

5u

:5_-

/ ,$

C d

E-E

gA^

; V

,;"

4 (i

s !

-i A

i a

.i.

; H

:!i?.

:5

ll-::

I-"

- L.

N +

-;3p

l ,:i

, ;i

: i^

-1-

+*r

; xI

;^

H 1

5 E

,ii ;p

;

A*i

*_-:

E

. 9 }

r-

d i

7e

3. -

-?

* :i

.:*

-'l'

;i ri

G

\'

oo

* .':

-:=

3

r'l;t'

d

,l --

uD

.,,/

g

'-,l'

; :o

--5

5 6'

}{:q ti FF

++

AQ

tv tn

j-'

j-

Nai QC

3

-:.n |, a



204 Giava 6. Izvodi

Resenje. Uvedimo funkciju J(x) := xa -- ax + a - 1; tada je f (1) = 0. Prvi izvod funkcije f je f'(x) = a(xoc-1 - 1), pa je f'(1) = 0, Kako je f"(x) = a(a- 1).xot-2 za sve x > 0. to je f "(1) = a(a - 1). Dakle, ako je a

,% {0,1 }, onda f ima ekstremnu vrednost u tacci x = 1.

Ako je 0 < a < 1, tadá je f"(1) < 0, pa f ima maksimum u tacki x = 1, sto za x > 0 daje f(x) = xa - ax + a - 1 < f(1) = 0, tj. prvu od dve nejednakosti u (6.30).

Druga nejednakost siedi analogno.

6.88.. Neka su p, q, a, b, xi, _yi, j= 1,...,n, pozitivni brojevi, i neka vai 1 + 1 = 1. P q a) Dokazati Jangove nejednakosti:

ct1%P:b1/q< +q, p> 1, odnosno ciilPb1/q> á+v, 0<p<1. '

P q

b) Dokazati Helderove nejednakosti:

, 1, / n q

xiyj < 1,P

n . . rxl \y9/ ,

p>1,-.. n

(H.

1/V

E x i - Í=J i=1

i 1/q

E , 0<p<1. \.,'=1

Za p = 2(tadaje i g= 2) dobija se poznäta Kosi-varcova nejednakost. .c) Dokazati nejednakosti Minkovskog:

}-+

- \ 1,/p '1/P ' 1 /P

1=1 (1Í+_Y%)" < xl + Eyl P> 1;

1/n ,+

i/ (

,

(.x.; +vtr')

> L-) + \yP , 0<p<1. i_1 . J,

/ \.1=i. I / 1=1

Reser>,ja. Dokazaéemo gornje nejednakosti samo za p > 1. a) Ako u prvu nejednakost u (6.30) iz zadatka 6.87 stavimo x = a/b, a, b > 0 i a= 1/p, 1/g =1 - 1/p, tada dobijamó

1' 1 1

/al i-1á+1-I<0, odnosno a1/v.b1 lP<-a+-b. I\ b p b p -

p q

xP y`! b) Ako u prvu Jangovu nejednakost (pod a)) stavimo a = Ä

, b = B

, j = 1, 2 . . . , n,

6,6. Konveksnosti lconkavrrost 205

gde su xj, y j, A i B pozitivni brojevi, tada dobijamo:

x° 1 yq

Ai/vB<AJ+qB, p>1.

n n

Sabiranjem.ovih ñejednakósti po j, ako stavimo A `_ E xP, B := E y9, koriséeti- i=1 i=1.

jem jednakosti q = p dobijamo Helderovu nejednakost za p > 1. p°

c) Ako na desnu stranu identiteta n

E (xi + yi ) P = E xj (xi + yi ) P-1 + E yi (xi + yi ) P-1

i=1 i=1.. 1=1

primenimo prvu Helderovu nejednakost (iz b)), dobijamo

n n

C

n 1/9

I

ilP ,i

(xj+yi)P = C)11P \y(xi+yi)q(P-1)

.+

yy?/ E(xJ+yJ)q(P t)

1=1 1=1 J=1 J=1 J=1

Odavde, iz q = P siedi nejednakost Minkovskog za p > 1. p-1

6.6 Konveksnost i konkavnost

1/q

6.89. Definicija. Fúnkcija f : (a,b) je konveksna (ili: konkavna odozgo) na intervalu (a,b) akó za svaki par xi ,x2 E (a, b) i za svako a E (0,1) vati

f(axi+(1-a)x2) <af (xi )+(1-a)f(x2).

Funkcija f : (a, b) je konkavna (ili: konkavna odozdo) ria inten,alu (a, b) ako za svaki par xi, x2 E (a,b) i za svako a E (0,1) vati

f(axi+(1-a)x2) > af (xi )+(1-(x)f(x2)

6.90. Teorema. Ako je funkcija f dva puta diferencijabilna na intervalu (a,b), tada je f konveksna na (a, b), ako za svako x E (a, b) vati f "(x) > 0; konkauna na (a, b), ako za svako x E (a, b) vati f "(x) < 0.

Za dokaz ove teoreme videti zadatak 6.98.

6.91. Teorema. Neka je f diferencijabilnd funkcija na intervalu (a,b). Tada je funkcija f konveksna (resp. konkavna) na intervalu (a, b) ako i samo ako je u svakoj tacki intervala (a,b) g,rafikfurikcije f iznad (resp. ispod) tangente.

s :-

:gFi

i +

St-

ss,so'!

-. *\C

s\; -

.Y!

b G

t s'a

E

e S

;i

s --o

n ;.

: ^5--5

S

o '?

rA:)

! -

::.: S

S.v

'd i.-

d s?-

!,:;il:,O

'N=

--i8i'-stR

t\\i

? [=;

S;I

IItru.-!>

vs:

t lY

* S

:q 'ii*

d .::

d l-)s

@

**GY

=* 1 E

y7 3 ii;G

F

a ;

-sIx 4

Si=

<--R

=vaR

a<:J>

--1,a

6q n d

\!x .d

-d st*ii::!h-G

l.N:=

=J'::

r o. s.

+

\o ^-

I P

;"i|.<

vlc-Y9'o\i'J

; o.W

;

:5''" -

t ,j:

d T s u s.--l

i t-S

-i'-^.-{

'i,.Bi

E

.vi\U

vO)qO

i-i:'\srocP

,--:3

s:: E

$;:\t

-=*S

6 -:Es

r >

C

!:<

a \

Cg*y:

:Sl

E xa

_g E \-E

is e=

=

I 3^

L

=s

ta<

; 8si

{. :

i- o

o N

i"

.\..::j-:qq

.ss>L$!b,NO:*)N

GS

ttgd-dvVtt

(n.luvtr

-*cE

ta

I "!s.

FO

'|vl

E^

v.t^S!q

*L)\Jat!rhJ--,

'ai .-

L-JhaH

. s

rY

6i\C*

:3,S 4

-Y!

H

* r?

Y

E=

S\o

At\E

&

do),\()

>@

'k

Js.l=

r^lli *7

\.1\ /\

Jl. q

eoA.N

a.\ A

; "h]rL

Jd

\, il

"oa-.4E

"::. ;

H

E

+rs

.: i

u,-lu,i:Ocl

\'\l +

a

E!

<r\

o 6

6.VH

.-+-9

>V

l '\c

O^L

.=

--_ :i

cg =

-i5r-lEE

Es

'=

;l: 3

; .e

=

l<

t ,'_E

.=trI.J

N

E

i.l r€

o (J

l^.-a)-

a-,1 E

=s:;

6)

,..EgE

.u?tu'E

lcJJLO

..a.i.io*c2Y

Û)i)4

a.l

qoc3r<oiiotr+oo\ci

_\e

.jp'*5r!i

a'tr-brloi

.tjo .-\

q-

3t=\

o.i(-)

.

CIJ

!iX

;co@

ll*ls+

qt\ojY

x"r'tZ-l:

N

-:a'O

. h

'F*!-U

)trli6,lU

9:Uit q--

'uu5>ts-

\'9 o

E

X

.Y-\r'

O

.=

aS

G

rrk

.- il

ju+

^:v c^

i *

I-.,1 .H

-

x>

<<

ll

v \-

l- o, r

[.J>

{ 'x

v 6

e ^

\/l'

: I

\/ *

.:îlll--:l11..a"F

\X

îsVU

a! \,e

i!-=

'-)u -

'l--*-Je3r9^!F

x

ul o*j

'/:-ll7^?5=

<"Y

<^

,i -,

1\ v

!o\t

> v<

tr(,jx.=

o, > E

-

o4

- 'h

E

\/ -

Y.LV

d3\S

I

oE-t,.t

I o

^0)I/^'

.g* q- c

o <

HE

J' ; ,---

=

J, ^

.;,aq-.=

<

iiY

t:o,NL.isr\\O

.i-O.J



206 Glava 6, Izvodi

6.92. Definicija. Neka je f neprekidna fitnkcija na intervalu (a, b) i diferencijabilna u tacki c E (a, b). Ako funkcija f anenja karakter svoje konkavnosti u c (tj. prelazi iz konveksnosti u konkavnost, ili,obrnuto), rada se tacka (c, f (c)) (na grafikit funkcije f) naziva prevojna tackafitnkcije f. Potreban uslov za postojanje prevojne tacke daje sledeea teorema.

6.93. Teorema. Ako je (c, f (c)) prevojna tacka funkcije f, tada je ili f "(c) = 0 ili f "(c) rre postoji.

1Jovoijne uslove za postojanje prevojne tacke daju sledeée dve teoreme.

6.94. Teorema. Nekaje funkcija f diferencijabilna u tacki c. i dva puta diferencijabilna na otvorenona intervalu (a,b) koji sadrsi tacku c, izuzev moda u samoj taeki c. Tada je (c, f (c)) prevojna tacka fitnkcije f, ako f " menja 'znak prólaskom kroz taéku c.

6.95. Teorema. Ako fitnkcija f ima u tacki c sve izvode do reda n > 2, i vasi

f"(c) = f°,(c) _ = f("-1)(c) = 0, dok je f(") (c) 0,

tada, ako je n neparan broj, (c, f(c)) jeste prevojna tacka, a ako je n paran broj, tada (c, f (c)) nije prevojna taéka.

6.6.1 Zadaci

6.96. Odrediti prevojne tacke i intervale konveksnosti i konkavnosti sledeéih fitnkcija: a) f(x) = x`1- 6x2 + 5x +3, x E íIB;

e) f (:c) = 3exp( , x E ffk;

Resenja. .

a) Iz f"(x) = 12(x2 - 1), siedi da je f"(x) > 0 za x E (-00,-1)U(1,+00), gde je .

funkcija f konlcveksna, dok je zax E (-1,1) ona konkavna. Tacke A(1,3) i B(-1, -7) su prevojne tacke, jer je f"(x) = 0, za x1,2 = ±1, a iz f"'(x)=24x, siedi f"'(x) za x = +1.

b) .f (x) = I

xvx , x > 0;

d) f(x) =xsin(lnx), x> O.

b) Funkcija f se mole se pisati kao f(x) = S

na intervalu (0, +00).

x-1 x> 1;

0<x<1 i ona je definisana

6.6. Konveksnost i konkavnost 207

Lako se dobija da je funkcija f diferencijabilna u svakoj taki x 0; izazev u tacki x=1.

Njen drugi izvod ima oblik f"(x) = 15 ,1

x-5 ä a" > 1; x f paje f"(x) > 0 za 5-x.

x31 . 0<x<1,

x E (0, 1)U(5, +.0) , odnosno f"(x) -< 0 za x E (1, 5). i j."(5) O.

Znaci, na intervalima (0,1) i(5,-+-00) data funkcija je konveksna, a na intervalu (1,5) ona je konkavna. Prevojna tacka grafika je A(5;4//5); medutim, taèka B(1; 0) to nije, zato sto funkcija f nema prvi izvod u tacki

j P() 3r:(V-2) e) Vaze 'ednakosti (x 0 x ex x f"t_ -_ ex 3 x v x x---. 3?akle, J () f()=

3x2 ; P()

3.x2

f "(x) = 0 za .z = 8: Iz nejednakosti f "(x) > 0 za x E(--00, 0) U (8,+.3) i f "(x) < za 0 < x < 8, siedi da je funkcija f f konveksná na ( -«>, 0) i (8, -;. ), a konkavna na

(0 8)_ Taeka B(8,3e2) je prevojna tacka funkcije f. to se tice taçke A(0,3), ona nije prevojna tacka funkcije f u smislu definicije 6.92, jer f nije.diferencijabilna u nuli, Medutim, kako je

lim f'(x) = +00, lim f"(x) = +60 i lim f" (.x) _ x-,o`

i grafik funkcije f prilikom prolaza hoz taéku A(0,3) prelazi iz konveksnosti u konkavnost, to bi se u sirem smislu moglo govoriti o A kao o prevojnoj tacki.

d) Na intervalu (0, +00) je f"(x) _ cos (lnx+ 4) .

Funkcija je konkveksna ako je - -4 2ktc < 1nx < 4 +2kri, k = 0,+1,+2,..., ili

exp( 4 +21m) <x < exp(4 +2ktt),

akonkavna ako je 4+2k < 1nx < 4+2kn, k= 0,+1,+2,..., ili exp(4+2ktt) <x<

5it

(exp

exp ( + 2ki)

! exp( 4 +2r). Prévojne taeké funkcije f su Ák = ç +2kw) ,

d

-fi ,

- exp ( 4 + 2kn) Bk _

(exp (i.5 + 2k) ,

1 -

, k =0,+1,±2,....

6.97. Odrediti prevojne tacke funkcije y = f (x) date parametarski sa 1 x=3+ ctg t, _y=-2 sin t+ --, 0.<t<7L.

sint '

1 1 - -cosY(2sin`ï + 1) Yr " ! siedi ' - Reserije. IZ xt = 2, y, - 2

.

Y.r =

+ Y.r.? _Yx)r )'x - sin 2t sin 2t xr xt

cos t(2sin2t+ 1); (yz.)f = 3cos2tsint, i konacno dobijamo p _-3sin3t cos 2t.

N) O o\

_-*,

:fi

$ $

F

B

$:E

g'[.8

":,

".

c 5

R]

4 ]-

-.r:

-r

u ]E

t r

-,.!.

;

i[ia*

; ; $

: ii

fl ii$

$ #

gf,

$ *$

:E-f

i-g.

I ;l

I 6.

5r

1 i

<g*

,i:

" L

iiSP

s.F

l i{iH

iE if

iiiI

i;€

ii$\*

9 >

:)

i;*=

s L

i i

Eg

5'ui

i;*t

€ ?

E f'

.ti$

3:aI

?:

{ i

i; ;;

i sL

i E

}

; E

'+i,*

;x,;F

';

+

$i I

i

s5*;

t

i i"+

;S:€

i{ w

$ -i\

*'+

}'!€

i;qii$

[3-,

d *:r

3z+

B

-iTiii

sE;s

s'u

-' 6

s ':-

i ''-

s]

[ *

e i+

iei

F

- a

i s

.c [

$s!

B .

$ F

]r=

'6T

\ I'

,r

N

: :

.oli

? \'

; S

=i

;i; +

rli$

is i

iri *

s $

iii

A-i

: l

'{ ;

': )

t==

$

i = : "

$ s

f r

lss f i

s ii

iii

S

itN'F

ssH

i +

:F+

: $

i iii

i

t*t

[ *

E'

g .ij

;s

o *,

s, =

u

c))<

ntv o o. o

ni ^< i; c t!. o X-

t\) O -l

r- rrS

-O(D o- o- o .) o. n' o o lc .o a)

<

-, -.:) N N l:} o<

rE:

dp -:l l-o QN

(,@

o h o * lt Y

4l-

a11

<l

r<li

l1l

:-

rrl

*

a l$ 6 La E N Ct

7 i1 o o- 4 N E tJ I it

..tE

l.l '

r \

rri"t

.-

'r I

>il

<

:it u

:{i

-:-

$ (-, it O N

:-;,5

933s

a

F g

l#i

7 {;

F

;HF

E\6

e.}il

FI

$---

t,r+

*.;:+

i€fln

l?t:;

:'ii-.

- :

i N

i *-

i 5.

Ea

'=;;;

,\o

f ?;

*-i-,

,-,S

? s

-rE

;=;=

T A

ftIiT

;-:a

;?=

, X

S

ry

; ;

it',

eE',-

I rl:

. e,

i 1 s

TS

t3r

:l-; *

P €

^-=

it *t

is-g

; sr

ragt

*r;

t F

$ l:

f si

[1=

'+i:E

E

*riv

;?"

f ia

i i *

ii t

i"Jg

-E: i:

"T E

; i['-

5r:

rI=

l,* t

; 'i*

+ *

io5l

=.,*

ir;i f

t lgt

;E;;

iij.

i:=9€

.

r:iE

+:

i= a

iil:r

i*::

t i:

z--'.

F ;

5

5?S

l ?

*,€,

f ;"

tr'!S

f f

; '-

=i-

t rr

;

ii r

: a

', 6-

- r

o.*

I E

=i

ii.

?i

i--.-

,= i:

e?i":

*r

iisqg

*:fr

,.r:.-

r E

",r

?-lt

.1*

[$+

* $[

:, j

;.Ig:

:3.

-. i

+ :

'-,

I s-

3E

" a

3*3

;g*;

r?a

l;i.

E

p^F

il :

3l

$[;-

*ir,

i i'f[

i"-i-

li;'.

; ir'

'i:

:*

-rl

i:ll'

-l;

+ r

Er

3; r;

ljia

Si,

=--

l. =

, :'

F*'

;A

nL

39



208 . Giava 6. Izvodi

Kako je yXX < O za t E(0,7t/4) i t'E (37t/4;7t), to je funkcija f konkavna na intervalima (3 +Aff/2, 4)., a kako je y xx > 0 za t E(7t/4, 3n/4), to je f konveksna na intervalu (3 - if/2, 3 + .4/2). Za xi = 3-fi/2 (t =37E14) i x2 = 3+ 12/2 (t = 7Z/4) vazi yxX = 0, i posto u tim taekama funkcija f menja karakter svoje konkavnosti, to 'su taCke A(4,0) i B(2,0) njene prevojne tacke:

6.98. Pokazati da ako je f"(x) > 0 za sve x E (a, b), tada je f konveksna funkcija na (a, b). Drugin7 recima, pokazati da za svaki par tacaka xl , x2 E (a, b) i proizvoljne brojeve aal i a2; takve da je

ai > 0, a2 > 0, al +a2 = 1,

vari nejednakost:

6.6. Konveksnost i konkavnost 209

Resenjd.. Ako je ai. = a2 = 1/2, i ako je f konveksna funkcija na intervalu (a, b), na osnovu definicije 6.89 vai

f(xI)+f(x2) (xi

+x2 2

E (6.33)

Funkcije a) f (x) = x", x> Q, n E N, n> 2; b) f (x) = e`, E- R, su konveksne na svojim domenima (f "(x) > 0), pa primenom relacije (6.33) redoul na gornje dve.funkcije dobijamo trazene nejednakosti.

6.100. Neka je , f konveksna funkcija na intervalu (a, b), neka ta. cke xi, x2, . . . , x l3ripadnJu (6.31) (a,b), i neka su a a , . . . a nene ativni bro'evi sa osobinonr a f a2 + . . . + 1, z g J i

a = 1. Tada vati Jensenova nejednakost :

.f(alxi ci2.z2) < al f(xi)+a2f(xz) (6.32) Resenje. Neka je f"(x) > 0 za sve x E (a, b) i neka brojevi a1 i a2 zadovoljavaju

uslové date relacijom (6:31). Ako xi i x2 pripadaju intervalu (a,b) i va2i xi < x2, tada je xi < alxl + a2x2 < x2. . Na osnovu Lagran2ove teoreme 6.39 postoje brojevi 31 E (xi ,alxi +azx2) i 32 E (aixi -F-a2x2ix2) takvi da je f (ai xl+azx2)-.f (xi )=.f'(1)a2(xz- xi) i.f(xz) .f(alxl+azx2)=.f'g2)a1(X2=x1), Mno2enjem poslednje dve jednakosti sa ai i a2 respektivno, dobijamo

álf (alxl +a2x2) -ai f(xl) =,f'g1)ála2(x2 --xi),

az.f (x2) ` a2.f ( at xl + a2x2 ) = .f g-z ) a t a2 (x2 -x) i

odakle je

K alf(xl)+a2f(x2) - (ai +a2)f(alxl+a2x2)+C..la2(x2 -xi)(f'(2) .f'(S1))-

Funkcija f ima drugi izvod..na intervalu (a, b), tako da ponovnom primenom La- gran2ove teoreme dobijamo .

.!` -(32)-f'(31)=(52- 1)f"(3), zaneko 33E(41,32) Prema tome je

1 f (xi) + a2.f x2) _ .f(al xl -;- a2x2 ) -f- al a,2 (x2 - xl ) (32 - 31).f "(33 ) ) Na osnovu pretpostavke f "(x) :> O i zadnje relacije siedi nejednakost (6.32).

6.99. Pokazati siede6e nejednakosti.

a"+b" 'a-i-b`tn a) > a

2 % r a > 0, b > 0,,a

b) ex+el

e ,

rÌií _

2 Y

n EN, n>2;

f(a.1xi+...+ax)'<al,f(xi)+... +af(x,;) (6.34)

Dokazati.

Resenje. Nejednakost (6.34) éemo dokazati koristeéi mateinaticku indukciju. Za n= t

tvrdenje je trivijalno, a za n = 2 relacija (6.34) vai po definiciji 6.89 (relacija (6.32)). .

Neka je, dalje, data nejednakost tana za sve prirodne brojéve manje od n; pod tom (induktivnom) pretpostavkom treba da poka2emo nejednakost (6.34) za n. Ako je neki od brojeva a;, j = 1,2, ,n jednak nuti, tada (6.34) va2i na osnovu induktivne pretpostavke. Neka je a; > 0, za sve j = 1 , 2, : . . , n. Ako stavimo

a2 an ß = a2 + . . . + a > O, tadá je ß + . . . -f- ß = 1. To

\po\vlaci ( ( a2 __ an -. ! 1 f( ixi +... +a,nxn) =f 1 alxl +13 l

G + +

R f/

\\

< alf(xl)+I-'.i .f(X2)+... 6.101. Dokazati sledeée nejednakosti:

a) ailnxi+...+a1nx<1n(aixi+...+ax), xi>0, ai>O,i=1,2,...n, Lai=1;

f(xn)) < f(xl)+....+ai(-Xn)

xi + . . +xn b) ,xl-x< , xi>0,i=1,...,/1. 12. .

Resenja. a) Funkciia f(x) = In.x je konkavna na (0, +o.), pa za uju vai nejednakost

f(a.;x1+...+a,i) > ai.f(-iI)-I-...-i-a.f(x)

i=I

(6.35)

=

; ;

.i- +

-'-

=-:.1c

-*jI:.,.rr :i'?-"c4

-:;-4.-a:.J1^

Y-

;1 :

'D

::-=

.. N

-

>';

E. :

il r.g

:+:f;

; r,o

r-3' ':;

B.i'S

g;

-<>

-=

-i ,"=

'4 u$tf

l- +

.

u\o ?

i -.",,Y

t.E

g=

F

rg*.=

ir !

.,i r

E:: iE

*.:,i

: i;

.''i =

'sC

bbEl's

J v

;! "ii

t ;,1

HE

E;8.

E

i' -E

: :'

;'\ =

Ftr.J

; ;

aE *:

Es

i'H+

i€i

'1 E

* i.$

: ,i+

u*:<

,i

i-' T

=i

G-s

7. 9n

e-aEj

I

>

i'l A

l o-e tt., 'ilt

S=

; : E

: I€i{\"=

l*{

,.1 z3i *E

i 3,

;'} :.9,u-+

q -r-

yi-E

iyE

l S

# ,tH^q:

e i

:;E

**E.E

j E

: EE

.*-=

?l

5 E e

: ='E

: :',i

E:, ti z8',-

/t \

- F

:

x L

f u

r Y

!

\6i

<i

'-r.:a I-.S

:

? =

tS

-e 4

-,E -ti'u

"eF

:$."a ; !S

f

Ho-E

4il

_rt i:P

-!

'"F

t ;

.!i+-a

-N

c\ n ., * i

.S 3'E

1

i :

E ! r R

:Y

= --i

1'0"= E

=E

C

:E

!!ip=7

.=.4

{^,=

<_.!J

9,=

"5o, d

EE

"E

i srs gt E

*EE

:

ii r'd.+

'<

.:s S

p n,

":! --o

+

;=

E;Ie\*;

51;ss-:lxg:fE

,i;;iis

E:f'5=

9EX

?[&

,=e

6

CJ

-\<JiC&oV\ci

dE

Ea

ii ;

6 3se

-: i

EE

:î

c:\ T

I

S,lE

t

J;,

;E

'3: Y

Y

31.si l"

e --

;;E=

*i €!E

i, G

E {u

a'* -<

J- :^

s lq' ..r.E

i_

E

^: e

E; iT

*B

s;G

.-,9 iE

-i

fgi::jI

s; rsfi.lq-:_ eF

* e€

,:Si; !; -

s.iEP

i:il; ;e Y iI

r,

Et ls :t ? ii$fxerE

g EE

; $g r

--:.u :g

"sR

.: aE "]

; J, :C

Sre:y0

:=q F

r

srs

q,_v -r ;

;s:;is;;i ?:

__: iS

l_s?

;i ;;

; ;s,,E

_:F

-:_-;=

1 {z i: j'

iy;?5T;*s iE

y -tI

ii€trE

is": li:5$:gij ii"l i;;i

ie*:s-F

siSE

p?3.Iiigf ; f E

A:s :,; !._ i

:^+,t=

5.,p;,li 3E

?i;**5; r rE

;)Y

t+-

'

S:+

ssE,E

j''p:. ; .r.'il:{<

*ni i-YE

Y :p S

il:rvlr-r.,?.H

:sS

i qE

dlaR

d 3' i

Eg

s i E

*=^l .I

.d*;TE

I Es.r e E

$:;rF

e, iri y s : 3 ;]i. .i^

sEf ;E

F $.i

,: q53s5'8

* i;'.8 E

'' E E

'.' ':'r

sEE

s'E3ess 's

:fzEqis

Eo=

Eg, E

i I

G

a

5'&a

a)N

q\d-i'i-:

;.j/z=

--\ .

+'i.

/^- ;

ri*\.2

I

i1'"!.!i'q>

F.,

Nl

- t

\\-/co- -f-

II at

-l !>

'-y l,

l*\

'--.-'rr

c.Lll'

l-:-\4--5>

r'\ ,J+vl

xLJ

tlCNr.i!r,

6@N



210

Odatle siedi

Giava 6. Izvodi

ailn(.xi)+...+aIn(x,;) <ln(aixi+...+ox). (6.36)

b) Iz relacije (6.36) sledi xai '

x,`,`° < aixi + . + ax, pa za ai = .

dobijamo +...+x xi...xt<< , X i i=1,...n.

1

=an =-

Poslednja relacija je poznata veza izrnedu aritmeticke i geometrijske sredine:

Giava 7

Grafici funkci j a

7.1. Ispitati tok.i nacrtati grafik funkci je ,f (x) = 2c6 -12x4 + 48x2 -189 (slika 7.1)

Resenje. Domen date funkcije je I<8._Funkcija je parna. Nule turikcije f se odredjuju iz f(x) = 0, odnosno (x - 3) (x +3)(x4 - 3x2 + 21) = 0. Odatle dobijamo da su nule

funkcije xi = -3, x2 = 3.

Prvi izvod funkcije f je f' (x) = 6x5 - 48x3 + 96x = 6x(x2 - 4)2, - x. E R. Nule prvog izvoda su x3 = -2, x4 = 2 i xo=0. Kriticne tacke funkcije f su A(0, -189), B(-2, -125), C(2,-125) .

Funkcija f raste kada je f'(x) > G, ustvari kada je x > G, tj. na (0;+0.), a opada f'(x) < 0 tj. na inter valu na (-6, 0). Drugi izvod funkcije f je f"(x) = 30x4 -1443[2: + 96: odnosno f"(x) = 0, za x3 = --2,x4=2,x5= x6=-5V_ Kaka je f"(0) = 96 > 0, to je kriti6na tacka. 4(0,189) minimum funkcije. Primetimo da prvi izvod ne menja znak u tackarna x3 = -2, i x4, = 2, iako je f' (2) = 0, j'''(-2) = 0, Ro zna8 da funkcija nema ekstreiìtá u tim taçkarr,a. Funkcija f je konveksna ako je f"(x) = 6(5x4 -24x2+ 16) > 0, tj. na (-«,=2), na

(-5 /S S j i na (2) a konkavna ako je f" (x; = 6(5x4 - 24x2 + 16) < Q, tj. na

(-72,-5 ina (5-/5,2). Funkcija

/f ima cetiri prevojne tacke B(-2,125), C(2, --125) , D(- 3,:f (x5)),

B(SV'S,f(x4)), gdeje.f +s15) = 'izsl = -157,768 Data funkcija nema asimptota.

7.2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) -

211

x3.

(x- (slika 7.2). 2)°

t'J d N a.

o o- o @ o o-

l? k r + a : I- in H .L : I a l(

I vF

UO

-Hoo

Ntu

-:o

,=E

Bo9

u.'o E rD

^()

UJ

!i o

: :i

*N

:l

:r^:

S

t: i1

-*

lLN

l.

ln

ol,x or

l+

:-!

tdfl

l=T

HX (D

r\

/tv

+

+-e

a

CD

*.!

oall-

rD'd

3:N

rD-a

D .x

orr

@'

t rD O-il

i; l,

9SL^

)tl

i'i I -ge A.t

7 \l

t{l

f.t p a tdd t" -. l-tl

-)r H t ,i o --.

l-.

!e

Y X

3a-

'igp

I tJ

, y:

q 5

1. 3 $i

g $

$ng*

;EiE

gi:

i1rF

=*,

yu j

g9B

*srr

s3;3

:;ttr

ii;r

i: e

sA

B 9

"5; gr

ri}["

s:E

$ 3

sI*

t if p

,I"xf

Se.

*rt;i

;+ s.

E +

5--

i"-.

EL +

d r

1 ."

I.-

z

-.1

;*'

*B

tE

i.gle

;-t.:

:g!s

€ ;#

F'-*

ls

55.*

E.n

{5

Ii,F

tt ll

+v

+,,

E(

?r\6

S+

!.)l{;

-t

eq.

:; *,

i' 5-

3

iE'=

g'

x9-;

Js+

[iE

r; i=

?e *

ird

T*

SeH

B* I

[x ]

{'t'

;iu

E

-itgA

A, [

"t, k

IE i

-$i1

c:

xEf

i i

I,L

il ;5

;;

dF r

iI:;s

i

x,P

F ;

: l

I A

,-r.

r=

ts

v^

^*,

03

Fb.

J !i

O\

Hu,

-^

**s.

3 il

sr!

I qE

{,

: r-

vF-I

'E'

E-

€i,'

i: 6-

P

I

u u

P i

$5

E

o -

r -

o 5

;" t

tH"3

; :5

L g

rg:

S

iB--

p-*

5 ;

? r\

k

--,

gT

6,9.

tl

t *r

?

6 s

-*-

A 8

ts

F'

-"

Y

t 3o

:,

3 pt

\

N

p F

-*

i

._l!.

iirg'

5Eai

--y

r E

?

EF

EB

r

r 3

,E F

E

{ N !=:\5

+,

o Oa h,

.

h,.a

) (\ \sr

5;.

ll--

\ l

*l l15<

pt -l.t)l h

.x- il N tJ



212 Giava 7. Grafici funkcija

Slika 7.1. f (x) = x6 -12x4 + 48x-2 - 189 x3

Slika 7.2. f (.x) _ (x - 2)2

Resenje. Domen date funkcije je (- .0, 2) U (2, +00). Nula funkcije f je xi = 0.

Pavi izvod funkcije f je f'(x) = x? (X 23. Nule prvog izvoda su xi = 0, xZ = 6,

tako da su kriticne tacke funkcije f A(0, 0) i B (6,27 /2) .

Funkcija f raste za f'(z) > 0, odnosno za (x - 6) (x - 2) > 0, tj. na (-0., 2) i na

(2;+00). Funkcija f'opadana (2, 6). Drugi izvod funkcije f je f''(x) =

a- 224)4

i ima nulu za .x = 0: Znaci, tacka A(0,0)

jeste prevojna taçka. lz f"(6) > 0 siedi da je tabla A(6, 27/2) minimum funkcije. Funkcija je konveksna ako je f"(x) > 0, tj. na (0, 2) i na (2, -}-), a konkavna na

(-Q.,0), Funkcija ima vertikalnu asianptótu x = 2, jer je "Jim f(x) i Em f(x) = . Funkcija nema hórizontalnu asimptotu, jer je xlim f(x) =

Iz lim f(C) = 1 Ern Ern (f (x) x)= 4 ) sledi da funkcija ima kosu asimptotu y= x-{-4. x-w x-00

7.3. Ispitati tok i nacrtati grafikfunkcije f(x) = 1

(slika 7.3).

Resenje. Domen date furikcije je (-0.,-1)U(- Funkcija f ima nulu za x = 0.

Prvi izvod je f'(x) = x4 (

`` 1)2. Nule prvog

Kriticne tacke funkcije f su A (0,0) , B -a 5

(4' ) v , Funkcija f raste na (-, -5) i na na (1, <V.).

Drugi izvod funkcije je f"(x) = 4x3 3-'4 +5 i

(r4-1)3 f"(A > 0, to funkcija ima minimum u tacki rnaksimum u tacki C.

1,1) U (1,+.0). Funkcija je neparna.

izvoda su xi =0,x, = -/3,x.3 = 45.

*4) , c (-`.\Y-, -5v//4) .

a opada na (-1/5, -1), na (-1,1) i

prevojna taéka je tacka A. Kako je

B, a zbog f"(-ti/3) < 0, funkcija ima

213

Funkcija f je kónveksna na (-1,0) i na (1,00); a konkavna na (-co,-1) i n (0,-1).

1v

10

Slika 7.3. f (x) _ x4 _ Slika 7.4. f(x) _ (2x -3

Funkcija ima dye vertikalne asimptote x = -1 i x =1, jer je 5 5 5 5

llm = -00 lrm = + lam ' _ , la x -1 an

k I =

Funkcija ima kosu asimptote: y = x, kada x --4 00, jer je lim t (x) = lim ,15

) =- l 1im ( f (x) - x) = lim (

xs x)

= O. ^ X-ico 1 S--ioo x-iw _1

x+1

7.4. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f(x) = (2x - 3) x+l

(slika 7.4). z-4

4'

Resenje. Domen date funkcije je (-2,-1) U(2,00). Funkcija f nema nula.

Prvi izvod je f'(x) = 2 2)3 lax+3x2-4 Nula prvog izvoda je xi = 2.47 (jer je za

(\/0.2-4.)) (z+k)

g(x) = 2x3 -18x+3x2 -4 = 0, g(2) < 0, g(3) > 0).

Minimum funkcije je A (2.47, 2.49) .

Funkcija f raste na (-2, -1).i na (2.47, 00), a opada na (2, 2.47). rr 1

4 -128-48x-16x, 2+2x5+9x4-45 4x-3

Drugi izvod funkcije je f (x) = .

(\/(x+i)) (v (x2-4))'

Funkcija ima dve vertikalne asimptote x = -2 i x = 2.

Funkcija nema horizontalnu asimptotu, iako je lim f") = lim lx-Z r =

v) = 0.

x-+L° x--» V x -4 i .

Nema ni kosu asimptotu.

7.5. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) = x3 7t2 (slika 7.5). x-3

Resenje. Domen date funkcije je ( -00,2] U (3, +.0), jer je .z > 0, za .v < '_' i x > 3

Funkcija f ima aule za xi = 2, x2 = 0.

.:

No:7.r

5^l"ilbk:.-arot\

-\€

.16JO

N6S

csC

A

ri>OcJ^9

^JS

I Z

?r' -<

-lbo6

-'Yl lJ o

$l.'

lt-1' V

. c.i

îsi ?

\rrj^./

-{llT

* .i .I"(.) ll.l -.-^^

'6 |

t g

t\ -i

.qAl <

rr n

r.n'l/No

t!/$ -

î*

-.r- I <

','!..,,

1

a rr

x'--(.)g

.:x-L:=H

Gv

!L 5E

;o9-,,t!E

p'.' E

\A

f ,i;.s,

-Ni1

Eo

o.: ^C

'='-2r';=E

E E

> d

>Qa)

\1.f..

l- r+l+

ltl-l,rl-'I

x_>

,caItc-]llI\)(,-Y'r?<LbOQ*!oi-\i!+t"

<)lttI

"ll't-t

-trql1H

I

-R

-illl^t.i,^llklalill

et,.\lt2 4

8Tt81

(.)

Li'?:-81llll

-d)d.- )

lt :

>:l

(.) F

9-o,(dn

tdall(.)

o,(do:=,&tu

a+ill-q,

l!

o,:l!o

8

ll.Rll

,'>l-

i l!

ll-0t

;9alld_l-

4, l'4

I -l

Ea-

nt;rl:=

t*

O-lr

-v <

l='

d ]x

!ttrt

* L<

.l+

ltl"lf.1

cillana-J4at+-ll

L=t

iladtr-

a

C)

YaEI

do8O

I

.d

J4ooJZo:=o-vk

an.ll

IIIIIIIlIIIIIl

a

.N

1' .j

t\,eA-!=

lt

q -ta

iNlii o

6l"l,

Ft

tlt., -:

lo l<

d

l\r ?

->r

6t-

lN^;:5

ltU

v..r-vk:(l);

$),,-v

:=

ll

iF)v:<

!iCd

o04iiiO

. 't

-- o.:

L\!'!6.i

6;"c=

iaFa

.- rD

.::u,li.

{^tl

U..')

E

E

.site

$ E

'.IZ

- t

e) LLr

>b

"i 3

r*

' \*:,

-, l

4t c

0+

t E

ll^

=-llc

lloil lr

-lll3 .i <

1"ll >

ll rQ

N-1,.

x =

Idl .-.-il

l-* o

llr (.r

-illJ I

o*t

t-ljl)

rt EIO

El=

)n-lsU

jirp:f'dH

t'a;9d.e

k-' ii

o-N./'>

!Y

o2ca

13truooao

JZ

-t4

a ti.

ti

hN.\.tlx$u'ie*tL64r-u"\i

{irAF-

,d1

*tCd

-!cd a

lL,w"!rr

n!lt

,v)<O

e\o.d

+P

'v-./

.!082D

' ',

fl)<,i'F

ll 6

E-

\;r ;

qd 9

*; -:,

Itr-

=

tr1| J'li-,\H;.i!.-d

E--

':i b

.:^r

A

| 3

-::"rl

:at9

rcir :

E

llY

\ :'r

-::ad5

*o'ad,)-'E

ll (l

E

\!d-tY-.!=

(+-

.:46trx-a)

e 6

Lu N

,9

'YF

>;^46:",_:ldF':."

() H

I

Y

n '-

.; rr

^l?

,' -

, --

.r_1 s

a -

O

v ()

O

eR,.

\ I

o- lZ

,Y

q1-

h-li6-1

Nirit,i

,i N

.-qBv*il

6lxiaI

,<r

ICB

tlki.lIN

>ttt:ilt.ir-ao\Iaco$aotN

I

I

tlEsa

oorJ

i-.15Nan

tl

nli" ll"

c:,oo!:

.-,aH

\co *-

Noxu:?9aa;/\ltr^"N

l=

x"6H

!-^l N

daNJ=

\(,

Z ..q .t -'o

e

8Z.coktr

-16oi9l a\-

i5 r"

.ltl io

o +

11a'<

E

15"' 'L

<+

- i ia-

li

rr.grE.i^

.i,---k-.-u^--,-i

:=t*,€^1]

rr

4 '-

-g --

Q.'{-

!r,uc-O-.

-2)(EU

t'B,

N -"0

'aa:i.B?,2

a E

.F.d=

qi!-*-rr^!

U

- 'H

:'

CoG

aar

a- d.;'^'FU

V

U

.*

-t--vro!v-44'q

.->\/=

^-tri-

?.?.r,-O

L<ii!i-H

>a



214 Giava 7. Grafici funkcija

Prvi izvod je f'(x) - '-`-3-1 lx'+l?x sgnx, x O. Nule prvog izvoda su x1 - 2 -0x-3)' 0x' -2x2 )

3/2, x2 = 4. Kriticne tacke funkcije f su A (3/2, 0/2) , B (4,4) .

Funkcija f raste na (0,3/2) i na (4,..), a opada na (-0°,0), (3/2, 2) i na (3, 4). Drugi izvod funkcije je f "(x) =

á 13-2/4 5 sgrix, x 0 i ima nulu x = 24/11, l á"-2) ' 3) koja ne pripada domenu, pa funkcija nema prevojnih tacaka. Kako je f"(3/2) < 0, to funkcija ima minimum ú tacki A, a zbog f"(4) < 0 ona ima minimum u tacki B. Primetimo da funkcija f ima minimume i u tackama 0(0,0) i C(2,0): Medutim, u tacki G prvi izvod ne postoji, ali f'(x) < 0, x < 0, i f'(x) > 0, x > 0. U tacici A ona je neprekidna samo sa leve strane.

.

Funkcija f je konveksna na (-Q., 0) i na (3, ), a konkavna na (0, 2).

Funkcija ima vertikalnu asimptotu x = 3, jer je lim x-03+ (

x3 2x'- r-3 ) -}-.

Funkcija ima dve kose asimptote:

y + 1 / 2 , kada x -> +00, jer je lim /x3-x2 x' 2 1

V x-3 /x) = 1, lilri 1/ x-3 1 x-, V

y = -x- 1/2, kadax > -00, jerje lim \/X3

2X2 x) =- -1 lim ( V xx-Z +x =

-1 Data funkcija se mole napisati kao f(x) = jxI

iv x_3.

o 2

Slika 7.5. f(x) = `/x -x3-2x2 3 l Slika 7.6. .f (x) _, ¡x+31. ,x2+t

7.6. Ispitati tok i nacrtati grafik fisnkcije f(x) = +xl (slika 7.6). yx2+1

Resenje. Umesto date funkcije posrnatraéemo dve funkcije

215

+3 x+3 fl(.x.)=--x ,x>-3 i f2(x)=- x<-3.

/x- , + 1 Y- + 1

Domen date funkcije je IR. Primetimo da je fl (-3) = lim f2(x) = 0 i zato je to -3--

neprekidna funkcija na R. Funkciia f1(x) ima nulu u tacki.A(--3,0), dok funkcija f, (x) nema nula.

Prvi izvodi su f; (x) _ _(1-3x) ' x > -3, (x) = ( I -3.x) < -3. (0:04 1

)) (/r-Fl) Prvi izvod funkcije fl ima nuìu u tacki A(1 /3, f10);-a prvi izvod funkcije f2 nema

nula i f?(x) <0, x

Funkcija f1 ima minimum ú takki A, raste na (-3, 1 /3), a opada na (1 /3,..0). Fhnk-

cija f2 opada za x E

Drugi izvodi su ff' (x) = 3 2x3-1

`5 , X > -3, i f;'(x) ' - ti (x); x < -3. (x'--+1)-

- Funkcija fi ima dve prevojnetacket C(-1/2, 15) i D(1,2V2i2). Ona je konveksna

na (-3, -1/2) i na (1,00), a konkavna je na (-1 /2,1). Funkcija J2 nema prevojnih tacaka i konkavna je na. (-00, -3). Funkcije nemaju vertikalnu asimptotu. Funkcije fl i f2 imaju horizontalnu asimptotu y =1, kada x i kada + ,

jer je lim (- "',3 ) = 1, hm = l. , x +l x-+ V.x=+1

Nema kose asimptote.

7.7. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) = cosx+ ; cos 2-x ( slika 7.7).

Resenje. Domen je (-00, +00). Funkcija je periodièna sa osnovnim periodom 27t.

Funkcija je parna. Nule funkcije f, na [-7t,n], su x1,2 arccos (-; + z v 3) (do-

bijaju se iz jednacine 2cos2x+2cosx-1 = 0). Prvi izvod je f'(x) _-sinx(1 +2cosx). Tacke A(-27i/3, - 3/4) i B(2n¡3, -3/4) su lokalni minimumi. Tacke 0(0,3/2) i C(7t, -1%2) su lokalni inaksirnumi.

Funkcija raste na (=-27t/3, 0) i na (2n/3, 7t), a opada na (-n, -27t/3) i na (0,2n/3). Drugi izvod funkcije je f" = - cos x -- 4 cos2 x. + 2. Drugi izvod ima mule za x4,5 =

f arccos (-1/8 + 0-378) 0.936, x6,7 = f arccos (-1/8 33/8), ^s ±2.574. Pre-

vojnetackesuD(--0.936,0.445), E(0.936,0.445), F(-2.574,:.-0,63), G(2.574,-0,63).

Funkcija nema asimptota.

7.8. IspitatiYok i nacrtati grafik fitnkcije f(x) = sin 5x -5 sinx (slika 7.8).

Resenje. Domen je (-00, -Funkcija je periodiëna sa oslióynnn périodom 27t.

Neparna je. Nule funkcije su Xi -= -7*., i x2 =0, ( dobijaju iz jeclnacìne -4 sin; x(4cos x+

1)=0.)

l.J AT

I s. a o. o I il

i.I rllL,

tli !

all

I

u,il_

< i'1

,

llto

!ll"

TJ

'r'l

T]

o rT

-d

=

7+

Ft

-11

uJ

=

a =

-

+ i

=

;. E

=

rJ-

t T

5;':

'd=

; qe

.r-

-:

r=:

.=:

* q)

E'.

X'

.o

.--.

:. i.'

:r

ro

.i 5

.-

; 9.

- N

;'

=.=

\E:3

.'I.d

; i:

E ;

;'+

'+E

'r a-

:-o-

. iE

':=+

f

A ^

<

o ^

=<

5

x,

t;N

==

==

(:.-

=.

7'

=

<,^

aX

-=

!2

!.*

e)<

a::tt

:.,.)

-:j=

.*=

*.

=

G+

-6

*:ro

.''y=

r}:l

E 1

-;;"

1=

6-.-

s6

^.

; ,.

O -

\ tr

;-

.*

.-w

.)

.n

*2.;r

F=

':E

i-e:

! -:

[i'6

s

i 3'

: =

o =

i

rl --

A o

.=

,, s

=6'

9-

8;

o.

-=.d

."2-

ll

6 *

" ;

f, 6

ar-_

^ r)

; ?E

\5l*

'.t

-sE

'rr

_.

dtE

p:;.l

i g_

,,."

=

5=

tr6r

ll-:"

,..

i ? i3

\;;11

;;,-

-

"..,G

:;li

il N

j

.,!

-.

=

:i o

il \

w{

a,

l) !

n -.

,*

-

a-s

{o5H

. h

i:-',.

-i<

---o

i !D

k,

-1l

'l;

ab;

F-

-,r-

,s.P

.-ll

iis

'.t -

.?

* c^

+

'=3l

: c.

r50:

:-:t

.î,4

-Ir.

j<_

Il .

--

I Ir

E

'o

= i-

Nt

N^!

.L.F

N)V

+\/e

:1n)

=-

R

-' E

\ =

-'-"

--

za

i. tr

5-:

a -

a-

! D

,-_x

tr.

{ ,iC

t

E5f

.s N

i>

L w

-e F

Y il :,t + _1.)

7l-

o- k I + .,8

.(D xa zr .

l-r I

Tir

I

;lN

I

1L,i

h ll

IE

;) r]i.

Ir-

lI !( lt

Nl'-

L/t-

9)

ui*

!iD +

,1!-

I x\) 3n

'6:

- N.

1(D

l

iu

-o tha

.F

DO

Or

l=-\

tJ

:! t2 rr

-)\

>i

, 1L

l--

'lil

-\

ull.)

|rr

k I

l1-J

rlrl-.

'- il i

/-\ ? \ , IL

IT

lr I

,,.tN

I

"lrl

I 1 h'--

-/ lt l

pi--

----

---

----

-€

U) il \.! Ut I ti .t--i

ilr I

r"JN

lt1

. I

ID

:\d.

'r

r!

+'

g: !a n*-

^S =o

a Elh

E

.h.

D

.{-

N\. th (D

!

oll

D-

/t.ii

!<

ll a

--

,il-

! *l

l-

o (Dq

>f. N

s S' 0 C

) tr'

ts oI

oc ; Y- P 4 (D t o D

A N o a- @ k il

(,/)

FJ { !r.

4 II

<l- i,rii

+ il

e

IJ

35f

PrE

rysr

F.i

7\:r

1 E

ie e

?32P

3r)

= a

aEas

Eri;

.E:

E i,

-rgl

'fig*

;Eii

;?E

i=

*iiri

;1*s

!: I i

f ;i-:

gi::,

+E

:?] iil

ii3

;=i5

{.E

x= i

r.t:r

.Bf

.'= [i

=']*

.-

=.a

E :

p!r+

.E=

-:E

t; r

i-)ti=

.=;:l

i-i

i=t

-,'6

-x

r2,

<.ii

.-:r

.2,!"

_ =

ir,lry

E{;

:3;1

3: ;

( =

: .I,

*, l',

Ex*

!TE

i',' ;

fIi

F,=

1i;:*

=li^

,,, I#

i,i,

' iilg

Ellt

' + .'

g f;i

€:-n

'ii =

I E

3ii i

F i['

93 r

;:'-i.

,r._

I T

=E

E Ii

ailli

.13=

:,t

^- B

rv:X

;c-1

xgii

+,

t=7:

jIf

-1i''

,. I

:

E'i

Ext

e)B

{i.?,

\

l[0.i

Br

k E

i:

: ]

a l

sla;

i#;i:

;'rE

ti i

I i i

Ei i

-"'!l

!-3

;a

f i

rir,+

D+

EE

:; i

:";.

; :7

; i_

i1,.;

1,I;"

Ei=

u 1;

''i

+

'Eî

a,li

il "

ii;;f-

"r?r

T

*!IE

I---

i, llu

-l;€

g.s;

-i e!

:a

i *'

i:'1

+ 5

-ir,'

--:l

',

iiliii

fii

i rg

;;7"'!

i*t:

G I'

' Fl

i sl

:ii!=

:1+

iE7!

.isi;i

";di

3 s

iF

.a

ax

+ =

j:

;:,

-I @ o : n f Oq { :i. 3 F o I tl - ! I b i a N ac

(! @<

a"V

o

llE!D

9i --'

D

\-,/

L.O o:3

(DtD

:il a-"

(i:

L

^-I ;8 !l -''n it

-sA -:!

,::

,5o

ti -il

ll a!

F

rr.

fj:* Dh

q- -..

aN

a

!: =_ :.

@A

-39 .ll

r.:

o c \ l



216 Grava 7. Grafici Funkcija

J

fY

Slika 7.7. cos.r+;cos2x Slika 7.8. .if (x)=sin5x-5sinx Prvi izvod je f'(x) = 80 cos5 x - 100 cos3x + 20 cos x. Tacke A(-,t/3, 3 ,i3), B(-27t/3, 3 0), C0c/2, -4) su lokalni maksimumi. Tacke D(-,t/2,4), Eat/3, 7-30), i F(21t/3, -30) su lokalni minimumi. Drugi izvod itinkcije je f"(x) =, -20 sinx(20cos4 x-15 cos2x+ 1). Prevojne tacke su 0(0,0), G(-1.295,4.619), H(-0:605,2.732), K(1.295, -4.619), L(0.605, -2.732). Funkcija nema asimptota.

7.9. Ispitati tok i nacrtati grafik ficnkcije f (x) = (x'- - 1)'- - i/x4 (slika 7.9).

Resenje. Domen date funkcije je 1I8. Funkcija je paria. Nule funkcije su x1 = -/2,.x2 = V2/2. Prvi izvod je f'(x) =

3 (' x2 - ox-' - 1) ) -_,;(21-- PM. m izvod pije definisanu tackaa e-1 x= -1, x= 1, ali funkcija ipakimà minimumé u tackama A(-1, -1) i B(1, -1) (zbog lim f'(x) liln f'(x) = -00.) U tacki 0(0,1) funkcija ima maksimum. x-1+ ._ .

Funkcija f raste na (-1,0) i na (1,00), a opada na (-00,-1) i na (0,1). i 1}-;'-V(x2-1)+'s(.rlZ Drugi izvod je f(x) -- 94.-

'

na (-00, -1-00).

Funkcija ama vertikalnu asimptotu.: Horizontaina asimptota je y = 0, kadax --> + i kadax --- - jer je lim. f (x) = O.

Funkcija nema kosu asimptotu.

Funkcija f . e konkavna (..\,4)2(v(C2-1))

7.10. Is irati tok i nacrtati graft , inkcije F 1- e x p f r (x; = --, a (slika 7.I0). 1--x

Regenje. Domen je (-0,0,1) U (1,+00). Funkcija nije nì parna n: neparna. Nemá nula. Prvi izvod je f'(a),= e` It ,. Tacka A(0,1) je IniniMum, funkcije. Funkcija

217

5

Slika 7.9. f(x)= Ox2-1)2- Slika7.10. f(x)= 1-x

raste na intervalu (0,1) i (1,0o), a opada na intervalu

Drugi izvod je f"(x) = -e-x ( +)3. Nema prevojnih táçaká, ali je funkcija kon-

veksna na (-00,1), a konkavna na (1,00).

Vertikalna asimptota je x = 1, jer je lim i=x = , lim i=x

= x-- 1- x- 1+

Funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0, kada x jer je lim ? = 0, ali

je lim = 00

7.11. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije f (x) = (x -2)e-11x '(slik_a 7.11).

Resenje. Data funkcija je definisana za x E (-00,0) U (0, +). Funkcija nije ni parna ni nepama. Nula je x = 2.

Prviizvodje f'(x)- (x+2)-1)e-Itx Kriticne Mae sá A(-2,-4e112) i B(1, -e

Funkcija f raste ná -2) i na (1, +.0), a opada na (-2,0) i na (0,1).

Drugi izvod je f" (x) =.52e_ Kako je f"(-2) < 0 i f"(1) > 0, to funkcija

f ima maksimuln u tacki A i ima minimum u tacki B .

Taèka prevoja je C (2/5, -8e-5/2/5) .

Funkcija je konveksna na (-co; -2/5), a konkavna na (-2/5,0) i na (0,+co).

Vertikalna asimptota je x = 0, i vazi

lilñ f(x)= lim (x-2)e-I/x=0, lim f(x)= lim (x-2}e-iix= x-,o+ x-+0+ x-o- x--.o-

Kako je lim f (x) = 1-im (x - 2)e-11x = f, to funkcija nema horizontalnu asimp-

x t- totu.

Kosa asimptota je y = x -3 kada x --+ -±00, jer je

-1)

l=:.-.ac-

gE-LqE

--*r*'a,$ll

'ErE

-:.:tli

: -rli

,$ E- e

I E

.4R-.i--l-iîc

lL ;

B'.E

i :

,* C

=X

=

E

R

5 ::'

i --

F:

Z

+E

: =

'

!\E

il.:{S.5,-i-=

=o

a d

"{t 'tj

S

lri ..i:

\ =

:

E---

o-=

"lj ?

:l ;

r-o fl

- d

E &

's Ei+

s

i 5i;

j f

,ie

;E

i a

e 6e6a

E

: E

F g

8- <

il )

*erE

E

EtE

!-,

g I ri E

,-

? ; &

\E

e --.e

;C

s.jr', JJiE

O5J.'!-

,{ E

E

.l- o l

l_ .E

:3E

E

g .,8, 8''

. 6

--r 1

\ t

.-E'=

;

Ee.

"l

1",_.F^_frJ.g"Z

,s

s i=

;Ea:r,E

=i>

J

l; -.rljE

b F

&

E -yE

-i E.- r.: o i

iI I

1i d

-]:-

8-"-!;; S

E

;l :..i::i

Io r'

r j:

\- \ 6 r

d i

.E ;l-l

lla; "X ;

n i lu

Tr,

lrr 0;

G

H

lri :l [], de:r.:

E]

u;

^ r.r-

E

3 .y,:<

r_'_;E

^- E

J N

,,.

rl

i dn:E

E

E

,*4,-Ei;3#g r.::

:r f;?ria

! =

r*E:=

EE

-F:t:*

gJ

.eE-: E

-','t i ii:,igE

i-*;, =

,';r-

;.ii*,3 11

: A

Ei,S

iEl,S

t5 q

H

y=ii E

E. i

sg;E'tzE

Eari,4.;i;

r-59# E

.sr, i

,6=dd5-Ji5=

-teaj&

,t-

r-

P

i' Sru

E

o*!

i E

t! -€

li.'F

r.r tof

:-.itr E

a

't =

.=t

^ L

z.-E

.s -'e

!;92+A

!+

:) ;

- -

^ -

il

i E

==

S E

I f -:a:g

g'=

.;5.:

- ,B

,i_'i E

E

br

i i.iyr

r-t1 i ;

{t ^1 fi

7i

i;Hn

-iE

SE

tl),r i

": ,;Q!i

t:! * ,;S

1 s":l T

! H

T{1,-

lT z. &

:5JiL ;

ir.qtI I.H

*il;iE:i=

iF

*-\-]548

rr 9 -..E:l

+-IS

:,

@

LL <

=

=

6J

t-.- q

- "

ai-

ir"-t:F

j'i l-- E

q _1,=i'-.

?!i

i-:c t'd

=

l^, 6

'g€l:l =

€T

;ST

sE

,3,r Q

E1-.2r

6!,a

-E-,

Ir -rf *

&

''*:1 ;"il

-+=

E i,-T

-;o

E

.=

o ,r

.3-- E

---r E

: 2

:1 _a Jqi;,i

j a [i ,3 =

.: -l_- E I

3.-+

9, =-.e'.-.* V

E

;;

-'-'CnL:

-- =

.q E

; :, a*3S

.= y i

--,Eo I

| =

Xe

A.s+

O--<

dJ^:-::--a=:/

r-- ,-_ ---_ .=

i< r_

: :

..- -- .j d

n,, cs I

c3.,

.JHH

--^: F

-..,i

-.:{ .j.::

i-lj i'l":.'r

-J E

3.r' --.i;

IE=

i

; i=5i?"

: E E

:Eri i ;;E

=

.j o, o.-lY

'^:

- i

-I-^-'.--2,J, boxy

.s ejll::

X,-V

:: ? I

E I

-i;H:3î:e

i'ir- u t€ E

I :E

==

+r-r-..a{

; fi

>o-

-: LL o

iti'!E

'i

UI

&rcl

ei'!lulcJt!tal,-lci>lcgl

5l

aa]



218

k hm f(x) = lim

x 2e if` = 1, i

n lim (f(x)-kx)= Ii m((x-2)e-1/x-x) x

4 Clava 7. Grafi_fùnkcija

= 11m (X(1 - e-I/x)) - 12m 2e-1%: x-i}bo

1-el/x 1 e = lim -2-1im- 2=-3. x-±0. -

1 t-+0 t -x

o

Slika 7.11. f(x) (x-2)e-1/x

0 2

Slika 7.12. f ) = (1 + x ) x

x °%.12. Ispitati tok i naertati grafk funkcije f(x) (x) =

(1 + -1 (slika 7.12).

x///

IIe`senie. Data funkcija se mofe zapisati kao f (x) - eeln(1+1/x) ©na je definisana za

x E (-00,-1) u (0,+.0), jer je (1+ x 1) > 0, za x < -1, x > O. Funkcija nije ni parna ni neparna. Nula nema. Prvi izvod je f'(x) = ( -+xx)x (ln (1 +1) - x+i ) i nema nula. Funkcija f raste na (-00, -1) i na (tJ, ..;_00),

Drugiizvodje f"(x)=(iyx)x((ln(1+x)-x+1)2 1

z), nema nula ifunkcija. x(x+1) je:kor.veksna na (-., -1) a konkavna na ((I,+.0). Funkcija ima vertikainu asimpltotu x = -1, jer je lim exïn(1+1/x = +. x--i- 1 1311î eeln(1+i/x) = 1.

x--+-0+

Funkcija ima horizontalnu asimptotu y = e, kada x +os i kada x - -, jer je lìin (1 + x )

x = e.

Bibliograbj .

[AK89] Adnadevié, D., Kadelburg; Z., Matematická analiza, Naué na knjiga, Beograd 1989.

[Do97] Doroslovacki, R., Elementi opste i linearne algebre, Fakultet tehnickih

nauka, Novi Sad 1997.

[GP98] Gajié, Lj., Pilipovié, S., Teofanov, N., Zbirka zadataka iz Analize I, Drugi deo, Institut za matemaiiku, Novi Sad 1998.

[Ku77] Kurepa, S., Matematicka analiza, I, II, Tehnieka knjiga: Zagreb 1977.

[Lj78] Ljagkó, I. I. i saradnici, Spravocnoe posobie po rnatimaticeskpmu analizo, I,II Viga gkola, Kijev 1978, 1979 (na ruskoni).

[MU88] Milicié, P., Ugéumiié, 1VI., Zbirka"ìadatáka iz vise nìaterriátike I, Naucná

knjiga, Beograd 1988.

[Ra95] Radenovié, S., Matematicka analiza I, Osnovi teorije, Pregled teorije i

zadaci, Kragujevac 1995,

[STT95] Schmeelk, J., Takaci, D., Takaci, A., Elementary Analysis through Exam-

ples and Exercises, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London 1995.

[Sk79] Skokowski, E. W., Calculus with Analytic Geometry, Prindle, Weber and

Schmidt, Boston, MA 1979.

[TRT99] Takaci, D., Radenovié, S., Takaci, A., Zbirka zadataka iz redova, Uni-

verzitet Kragujevcu, Kragujevac, 1999.

[TT97] Takaci, D., Takaci, A., Diferencijalni i integralni ,raìun, Univerzitet u

Novom Sada i Stylos, Novi Sad 1997.

[Zo81] Zoric, V. A., Matematireskii analiz. I, Nauka, Moskva1981 (na ruskorn).

219

t') oo

I

{ilt

1E,

iE.

ti.

I,EIJ !(*r

\l-

-"-

" lQ

iil-;

r\r

.i-l ^

|

tll<

ts

iI

r tE

t.)I

ItI

l;-,

. t]

tt,=

c"

rt

!ta

^

l-\l

r! lE,

, :

-l I

Nr

llln-\

\rl ill t3

-'l

li

+l a t{ r) o- {D !{ tl i+

!? l

i' l'l + I +l-

-l

l

+l* -t'

Nl v o 5 ID Ltr: l!

|fX 6u s r!

<F

olD

a- HI

oo el '15

li l,

ID L.9

Or

tT u.a rD

-a1= I

E i tl + 8

r J

a:,.

o a

15+

Li

. oi

r.J

L.

_l

il o

r\

;..N

oll

5 ! @ 5 o \? it s o. F) H I + + 0 F

J a- I,i

+ I

-8 (D E ID

H \,\,

F.

rd L.) -F. A \, oa Fl

A.l

f, ir+\

ild €r.

3F

U =

a *

Z E

E 5

E a

= ;

: z:

) 6E

rg c

E; F

.E .E

rE

S tE

=3

HE

} 3;

*i i

+ *i

4 E

g fi

;+ E

ie *

EF

Z =

?"'=

i8, ;

; sa

sa

g::

r"-

F -;

ii

G*

; ?,

= E

-; ,i

't, tF

EF

, 'iF

F: {

Sl #

i rF

R €

* €;

F

Ft

R,-

sf

i*

Eg

S 3

a= =

:-

uS

E-r

Xg

z<

':"s

1-=

BE

r E

'E t

EE

er

:-

i .:F

t F

E >

^ 5i

l G

i' eo

E -

5 =

B.F

, -:

n,

5i,7

'rF3

s!

;Tss

I;t;

3t"n

Y

tiis

E;=

i [g

t sli

i?3 i e

r:

i qi

"--r

=

E

i, i

* IH

iG

;=E

si ii

il t i

ei :s

r i$

3 ::

\ E

as

o

i a$

9

i: i

i,

riIiri

ii16$

sts

: $

T ti

; i

i3

[ i

i;

+ r

q r$

r i

$E $

a i

i g i f

t+ +

r *s

i **



Indeks

Abelova grupa, 13

adherencija skupa, 23 adherentna tacka, 23

apsolutna vrednost, 11

Arhimedova teorema, 16

asimptotsko ponaganje funkcije, 1.24.

niza, 93

Bernulijevá nejednakost, 8 :.

bijekcija, 31 binomna formula, 7

binomni koeficijent, 7

Bolcano-Vajergtrasov princip, .24

broj e, 78

ebigev-Hérnútov polinom, 180

definicioni skup funkcije, 30 Dekartov proizvod, 2 desna graniëna vrednost, 97

diferencijabilna funkcija, 158

diferencijal, 158 Dirihleova funkcija, 39, 102, 134, 143

divergentan niz, 53 domen funkcije, 30

drugi izvod, 158

ekstrem, 197 ekstremna vrednost funkcije, 32, 197

funkcija, 30

diferencijabilna, 158

ekstremna vrednost, 32

inverzna, 31

konkavna, 205 konveksna, 205

neopadajuéa, 32 neparna, 31

neprekidna na skupú, 131

neprekidna u tacki, 130.

nerastuéa, 32 .

ogranidena, 31 .

opadajuda, 32 -

parna, 31

periodidna,. 31

rastuda, 32 ... .

siozena, 31 . .

tezi ka +00, 98 . .

uniform() neprekidna, 149

grafik funkcije, 31.

normala, 159

tangenta, 158

granicna vrednost desna, 97

leva, 97

granidna vrednost funkcije, 97

u+.3,98 u ,98 u tacki, 97

granicna vrednost niza, 53

grupa, 13

Hajne-Borelova osobina, 24

220

Indeks 221

harmonijski niz, 66

Hausdorfov topologki prostor, 24

Helderova nejednakost, 204

horizontalna asimptota, 122

Hornerova gema, 102

implicitna funkcija, 157

prvi izvod, 157

. infimum skupa, 14

injekcija, 31

interval, 14

neograniden, 14

ogranicen, 14

otvoren, 14

zatvoren, 14

inverzna funkcija prvi izvod, 157

inverzna funkcija, 31

izolovana tacka skupa, 23

izvod desni, 157

drugi, 158

levi, 157 :

prvi, 156

treéi, 158 izvod slozene funkcije, 157

Jangova nejednakost, 204

Jensenova nejednakost, 209

Kogi-varcova nejednakost, 204

Kogijev niz, 66

Kogijeva teorema, 181

kodomen funkcije, 30

kompaktan skup, 23

kompletan metricki prostor, 66

kompletno uredeno polje, 14

kompozicija funkcija, 31

komutativna grupa, 13

konkavna funkcija, 205

konveksna funkcija, 205

konvergentan niz, 53

kosa asimptota, 122

kritidan broj, 197

kriticna tacka, 197

Lagerov polinom, 180

Lagranzova teorema, 177

Lajbnicova formula, 171

leva granicna vrednost, 97

limes inferior niza, 68

superior niza, 68

lokalni ekstrem, 197

maksimum, 32, 197

minimum, 32, 197

Lopitalovo pravilo, 191

Maklorenova formula, 184

maksimum lokalni, 32

strogi lokalni, 32

malo o

funkcije, 125

inalo o, kad n -4 +o., 93

metricki prostor, 29

kompletan, 66

metrika,. 29 minimum

lokalni, 32

strogi lokalni, 32

minimum skupa, 14

monotonost funkcije, 197

najvedi ceo, 17, 55

nejednakost Heldera, 204

Janga, 204 Kogi-§varca, 204

Minkovskog, 204

neparna funkcija, 31

NN

.-@65

=iE

? MeQ

iaa; s

?- :Q

=E

n tt=

si r-_ =

.d+E

€5- - g.*'_o e ';

-iis i;.? Li E

{*d..j:i>

o. tre,dE

d.!

E j:*: E

E

-€

St

a;. orE

H.E

: xS

F*'.6;

=E

i; ?EE

; =E

;EE

.E s :ii

,s;EE

- 2EA

i;ufli4Z'=

eegE ?E

-i,i a? zii, gE

€E 'Z

3uFK

=E

+a{ l**i'4i=

-oF

a;E

E E

E e-€ *aE

E E

i Eli;;e!t5 E

?i17==

?,'ie_iE;=

;38.;:E

Eqq[E

E

5 EE

E E

E _B

E E

E gg

H:l

J;Y=

iiH--

xS\a

{-"1 'o

9s- E

*B Z

6:

ER

=

K

: 3i

; E

S;

*,rlA

*iA

E

a; 1;

E

-^ z 3

'r'3xis6;sr-_

i ,.E

i: gE

€B:qlE

;'gEt,f

,^.ro g

: e

i f-

;€Ef:,i=

1 J=

-o.<!"i#

E *€

g E

:EtE

g=!+

=*.x E

;;EE

gt !rnEE

B E

g e:E=

*E:agtE

:t /

-. 8,.

-l N

+-\r

ij'=

I =

,=4€ :=

E E

,;E =

.t Fr*5 i E

; EE

A r;r.rH

I E A

;EE

EIi

H E

[+E

ig E E

ELegi s e'6 F

; ";i:€'i,! 6"=

; tuE ,l:?,?€ f E

E gE

E i

EE

i=-a E

€rrE

E ;E

i i

s.q n,r3,9s,e223-t,==

T'r

=f

r =

.=.=

-=

!*B+

H

o\,

o\d=

f,F-

N

9o a

o' g

*, --

F

.ii t.

..:-..:

i- *

.;.- u1

.-1

i; 3u

Z

i ":

;:e

,^N

*4 E

E

ii

l:-E

n3-;

;5 -r^r

"oE"

E

E

IF

eor;

E=

nlr,S

rr J.,!

=ogg;

i; A

A

"=^

r.U-

- o6;'

j --,--

"" tr m

iir,3 o

o s

= i E

iE;€€ g,s:i=

,8::t E,r;;is-rssrfi

,igH

se&E

TE

EH

€'dE'gE

j.8 iEE

rdlino!! X

* e;5 E ggIE

*$[[r:H5E

i Eg.E

€E.E

i ii.g; T

rccc-L:id(!6d=

t='

A

Fo

ao ioF

,, i .,x

:.+F

*O\

X93ci

01 =

&1

1.:

'.1 \u)

N

ue

3 g

o\* a

::l\o

. 'F

Q

n;

-; i

q,,-:ls

E ,-1 ; fÊ

i s E

'i

N rr -

E E

A

-

.' o

r d

a =

.;

=x)*E

'E=

, E

'jE(

; tE

gE ,iilS

'E

S

!i, li E

=

trN

.q

=:=

,U

.i a

! 2

-*, A

:

-i@

=

-o{jil€

!r ?- ''.

E.9 l.-

'4 5..S

I E

,^,=.!'l.e,r,

r, 6

i3E;;;.f: E

:fif_ g :iEaiie-*E

ri tE

EiE

EE

Ej5 {iE

Ext I ii$E

Pi[;! rE

,i*E

CE

EE

g*- rueE€; E

,E*aE

EE

liry aF, z

<E

E3<

E

d;E=

d;,J €A

€EE

E..E

€€ fri E

(a14

-tOEd-l-,(



272

neprekidna funkcija, 130 ir zacki sa desne. strane, 130 u tac lci sa leve strane. 130

neprekidno prosirenje funkcije, 155

neprekidnost slozene funkcije, 132 uniformna, 149

neprekidnost funkcije . na skupu, 131

u tali, 130

nezavisnoprornenljiva,30 niz, 53

aritnretickih sredina, 87

asimptotsko ponasanje, 93

divergentan, 53

divergentan u -{-.°, 53

divergentan u -.<>, 54

geometrijskih sredina, 88

graunicna vrednost, 53

granica, 53

ïLogijev, 66

konvergentan,53 neopadajuéi, 77

nerastuci, 77

vgránicen;53 opti élan, 53

opadajuéi, 77

rasluéi, 77 tacka nagomlJ.avanja, 68 .

uopkenih aritmetickih sredina, 90 norniala grafika funkcije, 159

ograniéen niz,.53 ogranicena funkcija,'31 Ujlerova konstanta, 84-

.okolina tacke. 23 -

opadajuéa funkcija, 197 osnovni period funkcije, 31

otvoren skup, 23 otvoreni pokrivac skupa, 24

Indeks

parametarska funkcija, 158

prvi izvod, 158

párna funkcijá, 31

partitivni skup, 2

period funkcije, 31

periodicna funkcija, 31

podniz, 67

stacionarni, 69

pokrivac skupa, 23

polje, 13

prekid funkcije u tacki - druge vrste, 131

funkcije u tacki - otklonjiv, 131

funkcije u tacki - prve vrste, 131 prevojna tackaï 206

princip matemáticke indukcije, 4 prirastaj

nezavisno promenljive, 156 zavisno promenljive, 156

prvi izvod funkcije, 156, 158

rastojanje, 29 rastuéa funkcija, 197

Rimanova funkcija, 143 Rolova teorema, 177 rubna taèka skupa, 23

skala rasta nizova, 94

skup, 1

donje ogranicenje, 14

gornje ogranicenje, 14

infimum, 14

kompaktan, 23

minimum, 14

ogranicen, 14

ogranicen odozdo, 14

ogranicen odozgo, 14

otvoren, 23

supremum, 14

unutrasnjost. 23

Irndeks .'

zatv.orer., ,

23

skup celür brojeva, 2

skup kompleksn-ih brojeva, 2

skup priiodnih biojeva, 2

skup racionalnih brojeva, 2

skup realnih brojeva, 2, 13

skup vrednosti funkcije, 30

sloì'ena funkcija, 31

stolcova teorema, 90

stacionarni podniz, 69

Stirlingova formula, 93

supremum skupa; 14

surjekcija, 31

talla adherentna, 23

unutrasiijá, 23

tacka nagoririlávainja niza, 68

,

skupa, 23 .

tángenta grafika funkcije, 158

'Pejlorov polinom, 184

Tejlorova formula, 184

teorema o infimumu, 19

o supremumu, 19-

teorerne srednje vrednosti, 177

topoloski prostor, 23, 26

uniformna neprekidnost, 149

uniformno neprekidna funkcija, 155

untrtrasnja tacka skupa, 23 uredeni par, I

uredeno polje, 14 -.

veliko.o

funk.cije, 125

vertikalna asimptota, 122

izvodi, 158

zatvaÄ-anje skupa, 23, 25

zatvoren skup, 23

zavisno promer,liiva. 30

223 5liJ iJ 1,.

I I i I I I l I I I I l I I I I i i I I

i?A

€+.-

a{;,E

=

1 =

; 5

==

:

i:iE

ST

iE

4..

F3

€ €s

*

3 *

i.= E

? E

,e,

='n

- =

A3.

i =

= 7

z:o.

t.'r-

- c

.-c-

- =

'tV

= =

1-=

=L

i*

= X

=.-

-.

E. I

r- h

.t;

r+

g ":

.;-.-

p-,,E

? g

g i?

.--

= Z

? -a

a{

j v;

;..i-

.tiar

,+?:

o;

.=

=

d ::.

:: -

-=

p ?i

;,t:

: =

i q

q i

= =

i

l::.z

i 1f

r,*i

r X

,iA

-

rD

: i

; ?;

&.

r.,

i.=

F o

6

a a.

d m

j o;

fr =

E

a

)! 7

-n

i =

x =

z: z

r =

=F

I =

F-;

iF

i+,8

ls: {

&'E

.FE

i p

i +

0 n

ia?

? r€

a )

6 i

,, *.

1<

tJ

B

f,.

, i

;l :

5,-1

3,L:

r fi i

1i'3

='il

i!F,E

a *

;Fs

i;++

?

=,"

FF

3'-;

,;i1

; 1F

F

*,-

dc+

.-

l,;-_

,r

5==

-_,.,

,";:;

Z

'-3*

;F

i7i,a

€ !,

; r;

rii

-iu

' ifr

;i-3s

-'=

;c;r

'ilar

P

p{

;:6tE

. ;-

a,f

.o

i,=.

F..

" 'o

7,2_

H i

i;=l-

rEK

s E

l s

B g

i;*3c

a oo

J'

-1

7'-9

-9,

3 5'

3; 3

r'_ ku Et

+U

.:'ii

E

:=";

:E

E"

EE

EE

E E

czc

coo=

-5.q

:+F

I E

gEag

Ii

*=*.

X<

__

n:.F

ry +

77=

.=

J

=!

=*E

F =

I =

E g-

i ;f

Z;

s !

' E

;'€=

g-?

f ar

:= 3

( +

K::

os =

3 A

i 3

i: =

'E 5

E.fr

. *

e'd,

-'-.

.:.

:-'*

=

E +

77

ee,a

. ^f

; =

i ?s

Rs

i = i;i

;i;; +

F;;

i ;i

ttf ?

Ei t

*??t

" E

i.1r

?t,i*

;'E

u>

i 3

d b

'i.:l

n ?

e --

-.=

;I g

? €

F rE

' r5

; 5

i^ =

= c

;

=

=*'

FF

r..:

ca-

- ^

,,.>

!o

-*iy

i;6

i P

E

--*:

-

q, 3

i 1X

t,:.[.

;"

: tr

.;-i":

-"*3

; #

X

' d'

.3

p L:

P

S

e g

5 e+

5,-5

.X

UJS

F'=

-'{

:FE

E

!r

(!

";:,E

*:r,

H

5

, a.

s

l;6 :-:*

-

il :.x

5

g=g=

!.58

s#;iI

E

. i,'

=E

'i*:'t

?t'n

?**

'; ':'

:+

=

2 7.

4 =

Z

1.4

i:-?d

; ?<

'-:

''1

-''.

Y-r

'=-=

=::

ri :-

t!.=

T

ait?

F

FE

"oa?

?Yp

rilqq

il 3E

=43

3:::j

iX.'

;.r )

i:=-

-+.A

,;i

,, 1;

=E

ZZ

'=E

SB

;-+

;,=

EE

;1E

g-A

i3?7

'-;E

=C

E r

,7'i

" -r

; ';

I = -|

!i=-

r-;{

F ;

E A

A

i =

; =

7i ?

Zs7

A=

';":

'-.;a

:-

?. +

1r: ;

:-*q

4 ie

-=-3

i_T

=Lj

'=€$

=:;i

TaI

,'4 l?

=*i

ito

:' rT

r**:

;F1

+11

Et*

E

-irl'=

=ti;

*F'

tr

,, 'J

=,2

; Lj

E_-

. ;F

* ;

- w

I;g

8*ei

,€R

t,,{!

r E

ts

; ,"

J o

E.!,

uJ

-

a :,.

1 t

- 7.

.'.;

!.1

:.=

i; o.

; E

' l.*

.P

pZr'r

t*

a I

"U

3-'.,

:,

E-I

!n

-a ic (T

-Y

="

a) rJ

ai .n F: IJ f..)

,J]

Documents

Analiza 1 - Zbirka PMF