ANALITYCZNE MODELE SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH

Systemy kolejkoweSystemy kolejkowe

ANALITYCZNE MODELE ANALITYCZNE MODELE SYSTEMÓW KOLEJKOWYCHSYSTEMÓW KOLEJKOWYCH

prof. dr hab. Grażyna Karmowska

PRZYKŁADOWE SYSTEMY KOLEJKOWEPRZYKŁADOWE SYSTEMY KOLEJKOWESYSTEMSYSTEM RODZAJ RODZAJ

OBSŁUGIOBSŁUGIZGŁOSZENIAZGŁOSZENIA STANOWISKA STANOWISKA

OBSŁUGIOBSŁUGI

Sklep Sprzedaż towaru

Klient Sprzedawca / kasa

Port Wyładunek Statek Miejsce wyładunku

Lotnisko Lądowanie Samolot Pas startowy

Park maszynowy

Naprawa maszyny

Uszkodzona maszyna

Konserwator

Centrala telefoniczna

Połączenie telefoniczne

Klient Linia telefoniczna

Gabinet lekarski

Porada lekarska

Pacjent Lekarz

Studio fryzjerskie

Strzyżenie Klient Fryzjer

RODZAJE POPULACJI, RODZAJE POPULACJI, Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ

KLIENCIKLIENCI

• POPULACJA SKOŃCZONAPOPULACJA SKOŃCZONA

O systemie ze skończoną liczbą klientów mówi się wtedy, kiedy od liczby klientówod liczby klientów obsługiwanych i oczekujących na obsługę zależy zależy w istotny sposób w istotny sposób rozmiar populacjirozmiar populacji nie nie będącej w systemiebędącej w systemie

(np. system – sala wykładowa; klienci – przepalające się żarówki; stanowisko obsługi – pan Zbyszek wymieniający żarówki)

• POPULACJA NIESKOŃCZONAPOPULACJA NIESKOŃCZONA

System z nieskończoną liczbą klientów to taki system, w którym liczba klientów poza liczba klientów poza systememsystemem (tzn. mogących potencjalnie wejść do systemu) nie zależy od liczby klientównie zależy od liczby klientów obsługiwanych i oczekujących na obsługę

(np. system - sieć telefoniczna na Wydziale o dużej możliwości łączenia rozmów; klienci – pracownicy Wydziału)

RODZAJE POPULACJI, RODZAJE POPULACJI, Z KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCIZ KTÓRYCH MOGĄ POCHODZIĆ KLIENCI

ORGANIZACJA KOLEJKIORGANIZACJA KOLEJKIOkreślony zestaw reguł, zgodnie z którym ustala się:

liczbę kolejek,

kolejność obsługiwanych klientów:

FIFO – First In First Out (pierwszy przyszedł, pierwszy obsłużony);

LIFO – Last In First Out (ostatnie zgłoszenie obsłużone jako pierwsze);

- losowa kolejność obsługi;

- priorytet niektórych zgłoszeń.

rozmiar dopuszczalnej kolejki:

ograniczona;

nieograniczona.

możliwość niedokończenia obsługi przez stanowisko obsługi

możliwość opuszczenia systemu po oczekiwaniu w kolejce przez pewien czas

możliwość opuszczania systemu bez czekania

Problem „ogonków”Problem „ogonków”

Zakładamy, że mamy pewne „urządzenieurządzenie”” mogące świadczyć określone usługi w stosunku do zgłaszających się jednostek (np. centrala telefoniczna, kasa, okienko pocztowe itp.)

Każda jednostka zgłaszająca się do urządzenia U U w celu otrzymania określonej usługi musi stanąć w ogonku, jeśli w toku obsługiwania znajduje się już inna jednostka.Dopiero gdy obsłużona jednostka opuści urządzenie, następna jednostka czekająca w ogonku będzie mogła być obsłużona.Tego rodzaju urządzenie nazywamy jednym jednym kanałem obsługi.kanałem obsługi.

„OGONEK” OBSŁUGAWE WY


Urządzenie wielokanałoweUrządzenie wielokanałowe Jednostka czeka na obsługę w kolejce tylko wtedy, gdywszystkie kanały są już zajęte obsługiwaniem innych jednostek. Może się zdarzyć, że przy małej ilości zgłoszeń powstanie kolejka czekających kanałów obsługi.

OGONEKWE

OBSŁUGA

OBSŁUGA

OBSŁUGA

WY


klienciStanowiska obsługi

Opuszczeniesystemu

Równoległe stanowiska obsługi


klienciStanowisko

obsługi klienciStanowisko

obsługi

Szeregowe stanowiska obsługi

Opuszczenie systemu


Analiza funkcjonowania Analiza funkcjonowania urządzeń obsługującychurządzeń obsługujących

• określona ilość kanałów• nie można z góry określić momentu czasu

przybycia jednostki• A0(t) prawdopodobieństwo, że między

momentami przybycia dwóch kolejnych jednostek upłynie okres czasu t lub krótszy

• X – okres czasu upływający między dwoma kolejnymi przybyciami

A0(t)=P(X t) dystrybuanta przybyć

WW00(t)(t) prawdopodobieństwo zdarzenia polegające na tym, że między dwoma kolejnymi przybyciami upłynie okres czasu dłuższy niż tt (w okresie czasu równym tt nie przybędzie do urządzenia ani jedna jednostka)

W0(t)=1- A0(t)=1- P(X t) =P(X>t)

gęstość prawdopodobieństwa

dt

tdAta

)()( 0

)()(0 ta

dt

tdW

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących

t

a t

t

dttadttatW

dttatA

)()(1)(

)()(

0

00

Średni okres czasu TT jaki mija między dwoma kolejnymi przybyciami:

0

0 )( dttWT


0

)( dtttaT

0

00

00

0 )()()(

dttWttWdtdt

tdWtT

Zakładamy, że to wyrażenie =0,

Stąd średni czas między dwoma kolejnymi przybyciami:

0

0 )( dttWT


Średnia stopa przybyćŚrednia stopa przybyć

Założenia dotyczące przybyć jednostek w celu uzyskania usługi rozpatrywanego urządzenia:

a) Ilość przybyć w dowolnym czasie jest niezależna od ilości przybyć w innym okresie czasu;

b) Prawdopodobieństwo określonej ilości przybyć zależy tylko od długości odcinka czasu, nie zależy od jego początku i końca;

c) Wyklucza się możliwość dwóch lub więcej przybyć w jednym i tym samym momencie czasowym; prawdopodobieństwo jednego przybycia w okresie czasu równe jest

T

1

t t


tn

n

t

t

en

ttW

edt

tdWta

etW

!)(

)()(

)(

0

0rozkład Poissona

prawdopodobieństwo, że w czasie tt zdarzy się n n przybyć


BB00(t)(t) prawdopodobieństwo czasu obsługi jednej jednostki.(po analogicznych przekształceniach jak poprzednio otrzymujemy) Średni czas trwania obsługi jednej jednostkiŚredni czas trwania obsługi jednej jednostki UU

0

)( dtttbU

0

0 )( dttVU

Jeżeli VV00(t)(t) jest prawdopodobieństwem tego, że obsługa jakiejś jednostki będzie trwała dłużej niż t t , to:


U

1Średnia stopa obsługiŚrednia stopa obsługi

Oznacza ile średnio jednostek obsługiwanych jest na jednostkę czasu.

t

t

edt

tdVtb

etV

)(

)(

)(

0

0

Założenia dotyczące strumienia jednostek wychodzących z obsługi są analogiczne do założeń poprzednich.

rozkład wykładniczy


1

1

,...2,1,0 dla

0

1

n

n

nn

nn

P

P

nPP

Prawdopodobieństwo tego, że w ogonku będzie nn jednostek


Intensywność obsługi klienta Intensywność obsługi klienta

0110P

Ponieważ:

Przeciętna stopa przybywania jest mniejsza niż przeciętna stopa obsługi.Długość ogonka Długość ogonka – ilość jednostek oczekujących + jednostka znajdująca się w obsłudze

0)(

nnnPnE


Documents

ANALITYCZNE MODELE SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH