ANALITI ˇ CKA GEOMETRIJA 1. Ispitati medjusobni poloˇ zaj pravih p i q. Ako se seku, na´ ci taˇ cku preseka. (a) p : r = (2t, 1+ t, 6t),t ∈ R, q : r = (2 + 4s, 2+2s, 6 + 12s),s ∈ R (b) p : x 2 = y-1 1 = z 6 , q : x-2 -4 = y-3 -2 = z+15 -12 (c) p : x-2 1 = y-2 3 = z-3 1 , q : x-2 1 = y-3 4 = z-4 2 (d) p : r = (3 + 4t, 3+ t, -1 - t),t ∈ R, q : r = (2s, 0, -2+ s),s ∈ R 2. Ispitati medjusobni poloˇ zaj ravni α :2x - y + z - 6 = 0 i prave p, ako je (a) p : x-1 -1 = y+1 -1 = z-4 1 (b) p : r = (0, 0, 6) + (1, 1, -1)t, t ∈ R (c) p : r = (2t, 1+3t, -1+ t),t ∈ R (d) p : x+2 -2 = y-1 1 = z+1 -1 3. Date su taˇ cke A(0, 6, -2),B(3, -3, 4) i P (1, -1, 1). (a) Napisati jednaˇ cinu prave p koja sadrˇ zi taˇ cke A i B. (b) Napisati jednaˇ cinu ravni α koja sadrˇ zi taˇ cku P i normalna je na pravu p. (c) Na´ ci taˇ cku P 1 koja je presek prave p i ravni α. (d) Izraˇ cunati duˇ zinu duˇ zi PP 1 . 4. Na´ ci jednaˇ cinu preseˇ cne prave p ravni α :4x - y +3z - 1=0 i β :2x + y +6z + 1 = 0. 5. Za koju vrednost parametra a ∈ R ´ ce prava p : x-1 -2 = y a = z+1 1 biti paralelna ravni α odredjenoj taˇ ckama A(1, 0, 1),B(1, -1, 0),C(3, -2, 1)? 6. Date su prave p : x 1 = y-2 -1 = z+1 0 ,q : x+2 3 = y-2 -1 = z -1 i r : x+1 -4 = y-1 0 = z-3 5 . (a) Na´ ci jednaˇ cinu ravni α odredjene pravama p i q. (b) Odrediti projekciju prave r na ravan α. (c) Izraˇ cunati ugao koji prava r zaklapa sa ravni α. 7. Date su ravni α : x + y - 2z - 1=0,β :2x - y +3z +4=0 i γ : -x +2y + z - 5 = 0. (a) Na´ ci zajedniˇ cku taˇ cku P ravni α, β i γ . (b) Odrediti taˇ cku R simetriˇ cnu taˇ cki Q(2, -1, 3) u odnosu na ravan α. 8. Date su prave p : r = (0, 1, -2) + (2, a, 1)t, t ∈ R i q : r =(-1, 3, -2) + (b, 2, -2)s, s ∈ R. (a) Odrediti vrednosti realnih parametara a i b tako da prave p i q budu paralelne. (b) Na´ ci rastojanje pravih p i q. (c) Odrediti jednaˇ cinu ravni α odredjene pravama p i q. 9. Kroz taˇ cku Q(2, -3, 0) postaviti pravu q koja je paralelna ravni α :2x + y - z +5=0 i koja seˇ ce pravu p : r =(t, -4+2t, 5 - t),t ∈ R. 10. Date su taˇ cka A(1, 2, 3) i prava a : r =(t, 2 - t, -1),t ∈ R. (a) Odrediti jednaˇ cinu ravni α koja sadrˇ zi taˇ cku A i pravu a. (b) Odrediti jednaˇ cinu ravni β koja sadrˇ zi pravu a i normalna je na ravan α. 11. Taˇ cka A(0, 0, -5) je jedno teme pravougaonika, dok se preostala temena nalaze na pravama p : x-3 2 = y+1 1 = z-2 1 i q : x 1 = y+5 3 = z-6 -5 . Odrediti temena B,C i D traˇ zenog pravougaonika. 12. Date su taˇ cka A(1, 2, 3), prave p : x 2 = y+1 3 = z-2 -1 i q : x+3 -5 = y -2 = z-4 3 , i ravan α :2x - y - 3z =5. Ako je taˇ cka B presek pravih p i q, a taˇ cka C projekcija taˇ cke A na ravan α, odrediti taˇ cku D tako da ABCD bude paralelogram i izraˇ cunati ugao izmedju dijagonala tog paralelograma. 13. Napisati parametrizaciju vektora od A do B, ako je A(2, -1, 5) i B(4, 2, 1). 14. Skicirati geometrijsko mesto taˇ caka r(t)=(-1+3t, 2+ t, -2t),t ∈ [-1, 2]. 15. Date su taˇ cke A, B i prava r = r A + t --→ AB. Skicirati datu pravu i podebljati taˇ cke za koje je - 1 2 ≤ t ≤ 4 3 . 16. Date su taˇ cke A(1, 2, 5),B(-1, 0, 3) i C(1, 1, 2). (a) Odrediti parametarske jednaˇ cine ravni odredjene taˇ ckama A, B i C. (b) Napisati parametrizaciju paralelograma odredjenog taˇ ckama A, B i C. 17. Ako je ravan data parametarskim jednaˇ cinama: x =1+ u - v, y =2 - 2u + v, z =2, skicirati geometrijsko mesto taˇ caka za koje je u ∈ [1, 3] i v ∈ [-2, 1].

Analitička geometrija (Zadaci)

Download PDF Report

Upload
tatjana-nikolic
View
1.671
Download
8

Embed Size (px)

DESCRIPTION

rešeni zadaci iz analitičke geometrije

Citation preview

ANALITICKA GEOMETRIJA

1. Ispitati medjusobni polozaj pravih p i q. Ako se seku, naci tacku preseka.

(a) p : r = (2t, 1 + t, 6t), t ∈ R, q : r = (2 + 4s, 2 + 2s, 6 + 12s), s ∈ R(b) p : x

2 = y−11 = z

6 , q : x−2−4 = y−3

−2 = z+15−12

3 = z−31 , q : x−2

1 = y−34 = z−4

(d) p : r = (3 + 4t, 3 + t,−1− t), t ∈ R, q : r = (2s, 0,−2 + s), s ∈ R

2. Ispitati medjusobni polozaj ravni α : 2x− y + z − 6 = 0 i prave p, ako je

(a) p : x−1−1 = y+1

−1 = z−41

(b) p : r = (0, 0, 6) + (1, 1,−1)t, t ∈ R(c) p : r = (2t, 1 + 3t,−1 + t), t ∈ R(d) p : x+2

−2 = y−11 = z+1

−1

3. Date su tacke A(0, 6,−2), B(3,−3, 4) i P (1,−1, 1).

(a) Napisati jednacinu prave p koja sadrzi tacke A i B.

(b) Napisati jednacinu ravni α koja sadrzi tacku P i normalna je na pravu p.

(d) Izracunati duzinu duzi PP1.

4. Naci jednacinu presecne prave p ravni α : 4x− y + 3z − 1 = 0 i β : 2x+ y + 6z + 1 = 0.

5. Za koju vrednost parametra a ∈ R ce prava p : x−1−2 = y

a = z+11 biti paralelna ravni α odredjenoj tackama

A(1, 0, 1), B(1,−1, 0), C(3,−2, 1)?

6. Date su prave p : x1 = y−2

−1 = z+10 , q : x+2

3 = y−2−1 = z

−1 i r : x+1−4 = y−1

0 = z−35 .

(a) Naci jednacinu ravni α odredjene pravama p i q.

(b) Odrediti projekciju prave r na ravan α.

7. Date su ravni α : x+ y − 2z − 1 = 0, β : 2x− y + 3z + 4 = 0 i γ : −x+ 2y + z − 5 = 0.

(a) Naci zajednicku tacku P ravni α, β i γ.

(b) Odrediti tacku R simetricnu tacki Q(2,−1, 3) u odnosu na ravan α.

8. Date su prave p : r = (0, 1,−2) + (2, a, 1)t, t ∈ R i q : r = (−1, 3,−2) + (b, 2,−2)s, s ∈ R.

(a) Odrediti vrednosti realnih parametara a i b tako da prave p i q budu paralelne.

(b) Naci rastojanje pravih p i q.

9. Kroz tacku Q(2,−3, 0) postaviti pravu q koja je paralelna ravni α : 2x+ y − z + 5 = 0 i koja sece pravup : r = (t,−4 + 2t, 5− t), t ∈ R.

10. Date su tacka A(1, 2, 3) i prava a : r = (t, 2− t,−1), t ∈ R.

(a) Odrediti jednacinu ravni α koja sadrzi tacku A i pravu a.

(b) Odrediti jednacinu ravni β koja sadrzi pravu a i normalna je na ravan α.

11. Tacka A(0, 0,−5) je jedno teme pravougaonika, dok se preostala temena nalaze na pravama p : x−32 = y+1

1 = z−21

i q : x1 = y+5

3 = z−6−5 . Odrediti temena B,C i D trazenog pravougaonika.

12. Date su tacka A(1, 2, 3), prave p : x2 = y+1

3 = z−2−1 i q : x+3

−5 = y−2 = z−4

3 , i ravan α : 2x − y − 3z = 5. Akoje tacka B presek pravih p i q, a tacka C projekcija tacke A na ravan α, odrediti tacku D tako da ABCD budeparalelogram i izracunati ugao izmedju dijagonala tog paralelograma.

13. Napisati parametrizaciju vektora od A do B, ako je A(2,−1, 5) i B(4, 2, 1).

14. Skicirati geometrijsko mesto tacaka r(t) = (−1 + 3t, 2 + t,−2t), t ∈ [−1, 2].

15. Date su tacke A,B i prava r = rA + t−−→AB. Skicirati datu pravu i podebljati tacke za koje je −1

2 ≤ t ≤ 43 .

16. Date su tacke A(1, 2, 5), B(−1, 0, 3) i C(1, 1, 2).

(a) Odrediti parametarske jednacine ravni odredjene tackama A,B i C.

(b) Napisati parametrizaciju paralelograma odredjenog tackama A,B i C.

17. Ako je ravan data parametarskim jednacinama: x = 1+ u− v, y = 2− 2u+ v, z = 2, skicirati geometrijsko mestotacaka za koje je u ∈ [1, 3] i v ∈ [−2, 1].