Upload
others
View
17
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1ANALITIČKA GEOMETRIJA
RASTOJANJE IZMEĐU DVE TAČKE, PODELA DUŽI U DATOJ RAZMERI I POVRŠINA TROUGLA
Neka su date tačke , tada je rastojanje d(A;B) između tih tačaka :
Neka su date tačke i znamo da tačka deli datu duž u razmeri , tada možemo odrediti koordinate tačke M na sledeći način:
Ako su tačke koordinate trougla ABC, tada je površina trougla
ZADACI1.Odredi rastojanje između tačaka A i B , ako je .2. Odredi dužine stranica trougla ABC ako je . 3. Odredi koordinate težišta trougla ako su data temena .
ZADACI: ( rastojanje , podela duži i površina trougla)
1. Data su temena trougla: A(-2,3),B(8,-2),C(3,8). Izračunati dužinu stranica i površinu trougla .2. Data su temena trougla: A(-2,3),B(8,-2),C(3,8). Odrediti koordinate sredina stranica trougla.3. Odrediti koordinate tačke C ako je poznato da datu duž AB (A(2,4) i B(-2,3)) deli u razmeri 3:2.4.Odredi na x osi tačku koja je podjednako udaljena od tačaka M(7,-4) i N(1,-2).5. Odredi na y osi tačku koja je podjednako udaljena od tačaka A(2,-4) i B(6,-2).6. Odredi apscisu tačke A(x,3) , tako da njeno rastojanje od tačke B(-4, 8) bude 13.7. Izračunati površinu trougla čija su temena A(-3,-3),B(3,5),C(-2,5) i izračunati visinu .8. Odrediti dužine težišnih linija trougla čija su temena a) A(1,1), B(5,3), C(3,-3); b)A(3,4),B(-5,2) i C(-1,-6).9. Tačke A(2,-1), B(-1, 4), C(-2,2) su sredine stranica trougla. Odrediti koordinate temena tog trougla. 10. Data su temena trougla A(-3,-2), B(0,-8) i C(5,y). Odredi y tako da trougao bude pravougli sa pravim uglom kod temena A.11. Koordinate temena trougla su A(7,10), B(-1,-4), C(-8, 4). Odrediti središte stranice AB, podeliti stranicu BC u razmeri 1:2 a stranicu CA u razmeri 2:3, povezati deone tačke a zatim izračunati površinu dobijenog trougla.
2JEDNAČINA PRAVE
(RAZLIČITI OBLICI)
PODSETIMO SE: Linearna funkcija je funkcija oblika . Grafik ove funkcije je PRAVA linija. Dakle bilo koja tačka koja pripada grafiku(pravoj) ima koordinate koje zadovoljavaju jednačinu
Primer: Posmatraćemo funkcije
(0,4) i (-2,0) pripada grafiku(pravoj) (0,2) i (-1,0) pripada grafiku (pravoj)kao što vidimo je uticalo na pravac grafika a na odsečak na y osi.
***Dakle, jedan od načina da predstavimo pravu jednačinom je EKSPLICITNI OBLIK
Pri tom je - koeficijent pravca a -odsečak na y osi(iz primera vidimo:- koeficijenti pravaca kod obe prave su jednaki ( ), tako da obe prave imaju isti pravac-paralelne su; -kod prve je =4 a kod druge =2 što odgovara odsečcima na y osi )Koeficijent pravca je inače jednak tangensu ugla koji prava zaklapa sa pozitivnim smerom x ose
*** Pravu mozemo opisati i sledećom jednačinom IMPLICITNI OBLIK
Iz ovako zadate jednačine može se zaključiti sledeće:-ako je A=0 onda je prava paralelna osi;-ako je B=0 onda je prava paralelna osi;-ako je C=0 onda prava prolazi kroz koordinatni početak.
*** Prava se može još zadati i sledećom jednačinom
SEGMENTNI OBLIK
Pri tom je m- odsečak na x osi a n- odsečak na y osi
Važno je da se sa bilo kog oblika može preći (odgovarajućom transformacijom) na bilo koji drugi.
3PRIMERI: 1. Kako sa jednog oblika prelazimo na drugi? Neka je prava zadata u eksplicitnom obliku
Ako sve veličine „stavimo“ sa iste strane jednakosti dobijamo ,
što predstavlja implicitni oblik A=2, B=-1, C=4. Odavde proizilazi
,Podelom leve i desne strane jednakosti sa -4 dobija se
Ovo je segmentni oblik , pri čemu je m=-2 a n=4
2. Kako proveravamo da li neka tačka pripada zadatoj pravoj?Neka je prava zadata na sledeći način .
*Da li tačka A(2,3) pripada ovoj pravoj? U datoj jednačini umesto x-a stavićemo broj 2 a umesto y-a broj 3:
Ovo je netačna jednakost pa zaključujemo . *Da li tačka B(3,5) pripada ovoj pravoj?Slično predhodnom primeru :
Ovo je tačna jednakost pa zaključujemo .
3. Kako formiramo jednačinu prave ako znamo odsečke na koordinatnim osama?Formiraćemo jednaćinu prave ako znamo da prava odseca na x i y osi redom odsečke 4 i 3 .Opredelićemo se za segmentni oblik jer se u tom obliku jasno ističu odsečci. Kako je odsečak na x osi 4, a na y osi 3 m=4 a n=3 pa jednačina postaje
Odavde možemo preći na bilo koji od preostala dva oblika.
4. Kako formiramo jednačinu prave ako znamo ugao koji zaklapa sa x osom i odsečak na y osi?Neka je ugao koji prava zaklapa sa x osom (pozitivnim smerom x ose) 60°, a odsečak na y osi 4.Opredelićemo se za eksplicitni oblik jer se u tom obliku pojavljuje k ( ) i n ( odsečak na y osi)
Dakle , jednačina postaje Odavde možemo preći na bilo koji od preostala dva oblika.
4ZADACI: ( razni oblici jednačine prave)1. Transformiši jednačinu prave p u segmentni oblik i nacrtaj u koordinatnom sistemu datu pravu. 2. Odrediti jednačinu prave koja na apscisnoj osi odseca odsečak 3, a na ordinatnoj -5.3. Odredi jednačinu prave koja sa x-osom gradi ugao , a na y osi odseca odsečak n :
4. Da li tačka P pripada pravoj p:
?5. Odrediti tačke u kojima prava seče koordinatne ose.6. Dokazati da središte duši AB gde su A(3,4) i B(5,1), pripada pravoj 7. Prave obrazuju trougao. Odrediti temena i površinu trougla.8. U jednačini odredi parametar p, tako da grafik prave sa x-osom gradi ugao od .9. U jednačini odredi parametar p, tako da:
prava sadrži koordinatni početak; prava odseca na ordinatnoj osi odsečak 510. Izračunati površinu trougla koga obrazuje sa koordinatnim osama prava .11. U jednačini ,odredi parametar p tako da prava gradi dva puta veći odsečak na apscisnoj nego na ordinatnoj osi.12. U jednačini odredi parametre p i k tako da prava sadrži tačku M(2,1) , a sa koordinatnim osama gradi trougao površine 4.13. U jednačini odredi parametar p tako da odsečak prave između koordinatnih osa iznosi 5.
MEĐUSOBNI ODNOS (položaj) DVE PRAVEDve pravep: i q: mogu da :1. Nemaju zajedničkih tačaka (PARALELNE SU) : tada važi 2. Seku se . Tada imaju jednu zajedničku tačku čije su koordinate (x,y) –rešenja sistema
a ugao pod kojim se seku ove prave(tačnije tangens tog ugla) izračunava se po sledećoj formuli:
odakle se lako nalazi ugao.
Specijalno : Prave mogu da se seku pod pravim uglom
(NORMALNE SU JEDNA NA DRUGU): tada važi
PRIMERI: I Određivanje jednačine prave za koju znamo jednu tačku koja joj pripada i položaj u odnosu na neku drugu zadatu pravu.
1.Odrediti jednačinu prave p koja sadrži datu tačku P(2,3) i paralelna je sa pravom q: .Rešenje: Treba odrediti jednačinu prave p: , dakle treba naći i .Šta znamo? * .....(1)* to znači da su im koeficijenti pravaca jednaki . Pošto je prava q u implicitnom obliku mi je prevodimo na eksplicitni i dobijamo .
. Vidimo da je odakle zaključujemo da je i .
5Zamenom u jednakosti (1) dobijamo , odavde je . Dakle jednačina prave p je
2. Odrediti jednačinu prave p koja sadrži datu tačku P(1,2) i normalna je sa pravom q: .Rešenje: * ....(1)
* što znači da je .
Pošto je prava q u implicitnom obliku mi je prevodimo na eksplicitni i dobijamo
, Vidimo da je pa je onda .
Zamenom u jednakosti (1) dobijamo: , odakle je
Dakle jednačina prave p je
II Određivanje ugla pod kojim se seku prave p i q1. Odrediti ugao pod kojim se seku prave i
Rešenje: obe prave prevodimo na eksplicitni oblik , odakle se vidi da je .
Lako se dobija da je , odakle je jasno da je
*JEDNAČINA PRAVE KOJOJ PRIPADAJU DVE TAČKENeka su date tačke
Ovim tačkama određena je jedna prava na sledeći način
Koeficijent pravca date prave određen je relacijom
Primer: Date su tačke . Napisati jednačinu prave koja je određena ovim tačkama Rešenje:
*RASTOJANJE TAČKE OD PRAVENeka je data tačka i prava .
Tada je rastojanje tačke A od prave p dato relacijom
Primer: Data je tačka i prava . Izračunaj rastojanje tačke od prave
Rešenje:
6Zadaci :
1. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku i paralelna je sa pravom .2. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku i normalna je na pravu .3. Odrediti jednačinu prave koja sadrži koordinatni početak i normalna je sa pravom .4. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku i paralelna je pravoj koja je određena tačkama
.5. Odrediti jednačinu normale konstruisane u središtu duži čiji su krajevi tačke 6. Odrediti projekciju tačke na pravu 7. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih i paralelna je
pravoj 8. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih i normalna je
na pravu 9. Odrediti jednačinu prave koja sadrži presek y-ose i prave i paralelna je pravoj
10. Odrediti jednačinu prave koja sadrži tačku preseka pravih i tačku .
11. Napisati jednačine dijagonala četvorougla čija su temena .12. Napisati jednačine težišnih duži trougla čija su temena .13. Izračunati rastojanje preseka pravih od prave 14. U jednačini , odrediti p tako da prava bude paralelna sa :
KRIVE DRUGOG REDA : KRUŽNICA
Kružnica je skup tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje ma koje tačke M(x,y) od centra C(a,b) stalan broj r (poluprečnik kružnice).
Jednačina kružnice je
x
8 y
0
-2
-4
2 4 6 8 10-2-4-6-
-6
-8
6
4
2
O(p,q)
r
M(x,y)
Sa ovog oblika može se preći na drugi oblik jednačine kružnice
Sa jednog na drugi oblik može se preći preko sledećih jednakosti
Kako određujemo koordinate centra i poluprečnik, ako je kružnica zadata opštim oblikom?Primer 1.Odrediti centar i poluprečnik kružnice i kružnicu predstaviti u koordinatnom s-mu, ako je ona zadata na sledeći način: .
7Rešenje: Najpre uočimo da je , a zatim primenom formula: ,
dobijamo da je
Kako određujemo jednačinu kružnice, ako znamo jednu njenu tačku i koordinate centra?Primer 2. Odrediti jednačinu kružnice , ako tačka i koordinate centra Rešenje: Da bismo odredili j-nu kružnice, neophodno je da nađemo . Pošto znamo koordinate centra
, možemo zapisati kanonski oblik j-ne : Treba odrediti samo poluprečnik ( 1 nepoznati element), a imamo jedan podatak .
To zamenimo i dobijamo , odakle se dobija Kako određujemo jednačinu kružnice, ako znamo dve njene tačke i još jedan podatak(poluprečnik ili jednu koordinatu centra)?Primer 3. Odrediti jednačinu kružnice , ako tačka i Rešenje: Da bismo odredili j-nu kružnice , neophodno je da nađemo još .
, dakle dve jednačine i dve nepoznate. Rešavanjem s-ma , dobija se
i Na sličan način rešavaju se problemi određivanja jednačine kružnice, ako znamo tri njene tačke.
ODNOS KRUŽNICE SA TAČKOM, PRAVOM I DRUGOM KRUŽNICOM
Međusobni položaj kružnice i tačke (prave, kružnice)
TAČKA PRAVA KRUŽNICA
KR
UŽ
NIC
APripada oblasti kružnice Seče kružnicu Seku se
Na kružnici Dodiruje kružnicu Dodiruju se Spolja
2121 ),( rrOOd Unutra
Van kružnice Nemaju zajedničkih tačaka Nemaju zajedničkih tačaka
Zadaci Međusobni položaj kružnice i tačke (prave i kružnice)
1.Odrediti položaj tačke prema kružnici:
2. Odrediti položaj prave i kružnice:
3.Odrediti uzajamni položaj kružnica:
8ODNOS KRUŽNICE PRAVOM Uslov dodira kružnice i prave
Tangenta je prava koja dodiruje kružnicu u jednoj tački.
t
Neka je data kružnica k i prava t (eksplicitni oblik).
Uslov dodira prave i kružnice je:
ako je centar kružnice koordinatni početak , onda uslov dodira glasi :
ZADACI Uslov dodira - kružnica i prava
O.
1.U jednačini prave odrediti parametar k, tako da ona bude tangenta kružnice .2.U jednačini prave odrediti parametar m, tako da ona bude tangenta kružnice .3. Odrediti jednačine tangenti kružnice
Koje su paralelne sa pravom Koje su normalne sa pravom
4. Naći jednačinu prave koja sadrži tačku A(2,-6) i dodiruje kružnicu .5. Naći jednačinu prave koja na apcisnoj osi odseca odsečak i dodiruje kružnicu .6. Naći jednačinu prave koja na ordinatnoj osi odseca odsečak i dodiruje kružnicu .7. Odrediti jednačinu prave koja odseca na y-osi dva puta veći odsečak nego na x-osi I dodiruje kružnicu
8. Odrediti jednačinu kružnice koja dodiruje prave , a centar joj pripada pravoj
9. Odrediti jednačinu kružnice koja sadrži tačku A(1,6) i dodiruje prave i .\
9
KRIVE DRUGOG REDA : ELIPSA
Elipsa je skup tačaka u ravni sa osobinom da je zbir rastojanja ma koje tačke (M) od dveju stalnih tačaka (F1,F2) stalan broj ( ).
x
y
-
-
----
-
-
B1(b, 0)
B2 (b, 0)
A1( a ,0) )
A2 ( - a ,0)
2b
2aF2 (e,0)F1 (-e,0)
r1r2
M(x,y)
Dakle za bilo koju tačku važiće , gde su potezi elipse ( rastojanja tačke M od F1 i F2 redom) Stalne tačke F1(-e, 0) i F2(e, 0) su ŽIŽE elipse i važi Tačke A1(a,0), A2(-a,0), B1(0,b) i B2(0,-b) su temena elipse i važi
velika osa mala osa
Za date elemente elipse važi relacija linearna ekscentričnost elipse Ovde važi
Linearna jednačina elipse je
A uslov dodira tj.uslov da prava dodiruje elipsu je
10KRIVE DRUGOG REDA : HIPERBOLA
Hiperbola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je razlika rastojanja ma koje tačke (M) od dveju stalnih tačaka (F1,F2) stalan broj ( ).
x
y
-
-
----
-
-
A1( a ,0) A2 ( - a ,0)
2aF2 (e,0)F1 (-e,0)
M(x,y)r1
r 2
Dakle za bilo koju tačku važiće , gde su potezi hiperbole( rastojanja tačke M od F1 i F2 redom) Stalne tačke F1(-e, 0) i F2(e, 0) su ŽIŽE hiperbole i važi Tačke A1(a,0), A2(-a,0), B1(0,b) i B2(0,-b) su temena hiperbole i važi
velika (realna) osa mala (imaginarna) osa
Za date elemente elipse važi relacija linearna ekscentričnost hiperbole
Ovde važi Linearna jednačina hiperbole je
Jednačine asimptota hiperbole su
A uslov dodira tj.uslov da prava dodiruje hiperbolu je
11Zadaci – kružnica, elipsa, hiperbola (uslov dodira)
1. Odrediti jednačinu prave čiji je odsečak između koordinatnih osa u prvom kvadrantu dva puta veći od njenog rastojanja od koordinatnog početka, a površina trougla koji obrazuje tražena prava sa koordinatnim osama je 4,5.2. Data su susedna temena paralelograma A(-3,-1), B(2,2), a tačka S(3,0) je presek dijagonala tog paralelograma. Odrediti jednačine stranica tog paralelograma.3. Odrediti jednačinu tangente na kružnicu u tački M(1,-2).4. Odrediti jednačinu tangente: a)kružnice u tački M(5,5),b) kružnice u tački M(0,3),c) kružnice iz koordinatnog početka.5. Odrediti jednačine onih tangenti na kružnicu , koje su paralelne sa pravom 6. Odrediti jednačinu kružnice čiji je centar na pravoj i koja dodiruje prave i
7. Odrediti za koje vrednosti i elipsa prolazi kroz tačke A(2,3) i B(-1,-4).
8. Odrediti jednačinu prave koja dodiruje elipsu u tački A(2,-3).
9. U presečnim tačkama prave i elipse povučene su tangente na elipsu. Odrediti jednačine tih tangenti.
10. Odrediti jednačinu onih tangenti elipse , koje su paralelne pravoj
11. Odrediti jednačinu hiperbole , čija tangenta u tački A(4,2) ima jednačinu .
12.Odrediti jednačinu hyperbole, ako su njene asimptote i jednačina jedne od njenih tangenata