Upload
others
View
12
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
2. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
TOČKA U PROSTORU
Neka je kartezijev pravokutni koordinatni sustav. Položaj točke T jednoznačno je
određen njenim koordinatama
(O;i , j ,krr r )
)( x, y,z koje su kao što smo u prethodnom poglavlju pokazali ujedno i komponente uuuradijvektora OT , tj.
r
( ) { }T T x, y,z OT xi yj zk x, y,z= ⇔ = + + =
uuur rr r.
)
Sl. 1 Radijvektor točke T
Udaljenost dviju točaka Neka su i dvije dane točke. Njihova je udaljenost jednaka duljini
vektora .
( )1 1 1A x , y ,z
ABuuur
( 222 z,y,xB
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1AB x x i y y j z z k= − + − + −uuur rr r
, uuur uuur
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1d A,B d AB AB x x y y z z= = = − + − + − . 2
Zadatak
Podijeliti dužinu AB u zadanom omjeru :1λ .
Rješenje
Podijeliti dužinu AB u zadanom omjeru :1λ znači odrediti točku T, unutar te dužine, takvu da vrijedi:
: :AT TB 1λ=uuur uur
uuur uur
)
, tj.
. (*) =AT TBλ ⋅
Ako su koordinate zadanih točaka u prostoru i označimo li s
koordinate tražene točke, jednakost (*) možemo zapisati u obliku
( ) (a a a b b bA x , y ,z , B x , y ,z
( ), y,zT x
{ } { }a a a b b bx x , y y ,z z x x, y y,z zλ− − − = − − − .
Iz jednakosti dvaju vektora slijedi:
a b
a b
a b
x x xy y y yz z z z
xλ λλ λλ λ
− = − − = − − = −
, odnosno
( )( )( )
1
1
1
a b
a b
a b
x x x
y y
z z
λ λ
y
z
λ λ
λ λ
+ = +
+ = + + = +
.
14
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
Koordinate tražene točke su:
1 1
a b a b a
1bx x y y z
x , y , zzλ λ λ
λ λ λ+ +
= = =+ +
++
uuur uuur uuur uuur
.
Do koordinata točke T može se doći i raspisivanjem jednakosti (*) pomoću radijvektora
. ( )OT OA OB OTλ− = −
Sređivanjem dobivamo izraz za radijvektor točke T:
1
1 1OT OA OBλ
λ λ= +
+ +
uuur uuur u ruu,
odakle čitamo tražene koordinate.
PRAVAC
Jednadžbe pravca Pravac p u prostoru određen je jednom svojom
rtočkom To i vektorom smjera p .
Zadano: - točka , tj. ( )0 0 0 0T x , y ,z { }0 0 0 0, ,r x y z=
r r- vektor smjera p = {l, m, n}.
Sl. 2 Pravac u prostoru Neka je , T ∈ p, bilo koja točka. (T x, y,z
uuur)
T ∈ p ⇔ T T = λ0 pr , λ ∈ R, r = 0T T
uuur0rrr − , pa je
r r r 0r r pλ= + , (1)
vektorska jednadžba pravca.
Jednadžba (1) zapisana koordinatno:
( ) ( )knjmilkzjyixkzjyixrrrrrrrrr
+++++=++ λ000 rrrrr
( ) ( ) ( )knzjmyilxkzjyixr
λλλ +++++=++ 000 , odakle slijedi
+=+=+=
nzzmyylxx
λλλ
0
0
0
(2)
parametarska jednadžba pravca.
Svakoj vrijednosti parametra λ odgovara jedna točka pravca p i obratno. Eliminiramo li parametar λ iz jednadžbi (2) slijedi
( λ= )−=
−=
−n
zzm
yylxx 000 (3)
kanonska jednadžba pravca.
15
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
Primjeri:
1. Naći vektorsku i parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi točkom ( )5, 2,3 i paralelan
je vektoru i j3 2+ − kr r r
.
2. Naći još dvije točke pravca iz zadatka 1.
3. Odrediti kanonsku i parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi točkama T x i ( )1 1 1 1, y ,z
. ( )2 2 2 2T x , y ,z
4. Odrediti kanonsku i parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi točkama T , i ( )1 4 0 5,
. ( )2 2 1 5T , ,−
Rješenja:
1. Kako je { }0 5, 2,3 5 2 3i= = + +rr i vektor j kr r r
3 2p i j k= + − , vektorska jednadžba (1) je r r r r r r
ur r r r
)kr
2
, što možemo zapisati i u obliku ( ) (5 2 3 3 2r i j k t i j k= + + + + −r
r rr , odakle slijede parametarske jednadžbe ( ) ( ) ( )5 2 3 3 2r t i t j t= + + + + −
5 2 3 3x t y t z= + = + = − t .
2. Za vrijednost parametra dobivamo 1t = 6, 5, 1x y z= = = tj. točku ( )6,5,1 koja leži na
pravcu. Slično, t 1= − daje točku ( ),54, 1− .
r uuur3. Vektor smjera p traženog pravca paralelan je vektoru TT1 2 pa su njegove komponente
pr = { }1 2 1 2 1 2 1, ,x x y y z z− −2= −TT . Odaberemo li točku uuur
( )1 1 1 1, y ,zT x kao točku T iz jednakosti (3) dobivamo kanonski oblik jednadžbe pravca:
0
( )λ=−−
=−−
=−−
12
1
12
1
12
1
zzzz
yyyy
xxxx
.
Parametarske jednadžbe pravca slijede neposredno iz prethodnog:
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2 1x x x x y y y y z z z zλ λ= + − = + − = + −λ .
4. Sami!
Udaljenost točke od pravca Zadano:
- pravac p točkom T x i ( )1 1 1 1, y ,zrvektorom smjera { }, ,p l m n= ,
- točka T x . ( )2 2 2 2, y ,z
Sl. 3 d - udaljenost točke od pravca
16
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
Udaljenost točke T2 do pravca p jednaka je udaljenosti točke T2 do njezine projekcije T ' na pravac p. Dakle, ( ) ( )2 2, ,d d T p d T T ′= = ?= Promotrimo paralelogram razapet vektorima pr i 1 2TT
uuur. Njegovu površinu P izračunavamo
prema poznatoj formuli
1 2P p d p TT= = ×uuurr r , odakle slijedi:
p
TTpd r
r21×
= .
Međusobni položaj dvaju pravaca Međusobni položaj dvaju pravaca p1, p2 u prostoru određen je međusobnim položajem njihovih vektora smjera r . 21 p,p r
Mogućnosti su sljedeće: - Vektori smjera kolinearni ⇒ 21 pp rr α= , (komponente su im proporcionalne) α ∈R . To znači da su pravci paralelni ili da se podudaraju. - Vektori smjera okomiti ⇒ 021 =⋅ pp rr . To znači da su pravci međusobni okomiti, (pri čemu se mogu sjeći ili biti mimosmjerni* ).
- Vektori smjera zatvaraju neki kut ϕ ≠ 0, 2π , π ⇒
21
21
pppprrcosrr
⋅=ϕ ,
pri čemu se pravci sijeku ili su mimosmjerni. *Za pravce koji nemaju zajedničkih točaka kažemo da su mimosmjerni. To je najčešći položaj dvaju pravaca u prostoru.
Primjeri
1. Odrediti najmanju udaljenost dvaju pravaca.
2. Pokazati do su pravci l1 i l2 s parametarskim jednadžbama
l y 1 2
1 22 3 , 3
4 3
x t x st l y s
z t z
= + = = − + = + = − = − + 4s
mimosmjerni.
Rješenja
1. Neka je pravac p1 zadan točkom ( )1 1 1 1, y ,zT x i vektorom smjera 1pr { }1 1 1, ,l m n= , a pravac p2
točkom T x i vektorom smjera (2 2 2 2, y ,z ) 2pr { }2 2 2, ,l m n= .
Najmanja udaljenost dvaju pravaca jednaka je duljini zajedničke okomice na oba pravca. Treba odrediti formulu za njeno izračunavanje. U tu svrhu zamislimo paralelepiped razapet vektorima , 1pr 2pr , TT
uuu (vidi sliku 4). 1 2
r
17
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
Ako su vektori 1pr , , TT komplanarni 2pr 1 2
uuur
slijedi da su pravci , paralelni ili ukršteni. 1p 2p
Ukoliko su ukršteni udaljenost im je jednaka nuli,
a ukoliko su paralelni udaljenost se izračunava
po formuli za udaljenost točke od pravca.
Sl. 4 d – udaljenost dvaju pravaca
Pretpostavimo da vektori , , TT1pr 2pr 1 2 nisu komplanarni. Volumen V paralelepipeda kojeg
oni razapinju izračunavamo po formuli ( )1 2 1 2T p p= ×V T r r.
uuur
uuuur
Međutim,
V = , gdje je B – baza, a v – visina paralelepipeda. vB ⋅
Zbog
21 pp rr×B = i v = d, slijedi ( )212121 ppTTdpp rrrr
×=× , tj. ( )
21
2121
pp
ppTTd rr
rr
×
×= .
2. Pravci nisu paralelni jer pripadni vektori { }1,3, 1− i { }2,1, 4 nisu paralelni (komponente
nisu proporcionalne). Kad bi se l1 i l2 sjekli, to bi značilo da postoje vrijednosti za t i s takve da je
− +
1 22 3 34 3
t st st s
+ == +
− = − + 4
Međutim, riješimo li prve dvije jednadžbe, dobivamo da je 11 8i5 5
st = = koji ne
zadovoljavaju treću jednadžbu. Dakle, ne postoje vrijednosti od t i s koje bi zadovoljile sve tri jednadžbe. Zaključujemo da se pravci l1 i l2 ne sijeku, tj. da su mimosmjerni.
Mali rječnik pojmova:
Transverzala dvaju pravaca je bilo koji pravac prostora koji ih siječe. Najkraća transverzala dvaju pravaca je pravac koji ih siječe i okomit je na svakom od njih.
18
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
RAVNINA
Vektorski, algebarski i opći oblik jednadžbe ravnine Neka ravnina π u prostoru određena je sa (vidi slike 5):
Sl. 5a Sl. 5b Sl. 5c Sl. 5d 3 nekolinearne točke Pravcem i točkom izvan njega 2 ukrštena pravca 2 paralelna pravca Analitički je ravninu najjednostavnije opisati pomoću jedne točke i jednog vektora koji je okomit na tu ravninu i nazivamo ga normalom ravnine. Lako se vidi da zadanom točkom prolazi samo jedna ravnina koja je okomita na zadanu normalu (vidi sliku 6). Neka je − zadana točka prostora, (0 0 0 0T x , y ,z
r rr)
− { }n Ai Bj Ck A,B,C= + + =r
vektor normale,
− proizvoljna točka ravnine π. (T x, y,z ) Sl. 6 Tada je: uuu− { }0 0 0 0T T r r x x , y y ,z z= − = − − −
r r ur
uuurr vektor koji leži u ravnini π, 0
− tj. vektor normale je okomit na svaki drugi vektor koji leži u ravnini π. 0n T T⊥ Budući da je T proizvoljna točka ravnine, iz uvjeta okomitosti dobiva se
0 0n T T⋅ =uuurr , (1)
jednadžba ravnine u vektorskom obliku. Uvrstimo li u (1) komponente vektora 0in T T
uuurr slijedi
( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = , (2)
algebarski oblik jednadžbe ravnine. Izmnožimo li izraze u relaciji (2) dobiva se
0Ax By Cz D+ + + = , (3)
kanonska ili opća jednadžba ravnine, gdje je ( )0 0D Ax By Cz= − + + 0
).
D = 0 ⇒ ishodište pripada ravnini π, odnosno ravnina π prolazi ishodištem. (0 0 0O , ,
19
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
Primjeri
1. Odrediti jednadžbe koordinatnih ravnina i,xy yz zx .
2. Što predstavljaju jednadžbe
a) , b) , 5x = y x=
u prostoru 2R odnosno u prostoru 3R ?
3. Napisati jednadžbu ravnine koja:
a) prolazi točkom T , i okomita je na os Ox , (2 1 0, )
) b) prolazi točkom i paralelna je s ( 2 3 1P , ,− xy ravninom,
c) prolazi točkom i paralelna je s osima , (3 1 2Q , ,− ) iOy Oz
d) prolazi točkom ( )2 1 5R , ,− i osi . Ox
Rješenja
1. Jednadžbe koordinatnih ravnina odredit ćemo prema fomuli (2). U tom smislu potrebna nam je po jedna točka ravnine i njihovi vektori nomala.
Ravnina : Točka O , i vektor normale (0 0 0, ) { }0,0,1 0 0 1k i j k= = + + daju r r r r
xy
yz
zx
( ) ( ) ( )0 0 1 0x y z− + − + − =0 0 , tj. 0 0z = . r
Ravnina : Točka O , i vektor normale (0 0 0, ) { }1,0,0 1 0 0i i j k= = + + daju r r r
( ) ( ) ( )0 0 0 0x y z− + − + − =1 0 , tj. 0 0x = .
Ravnina : Analogno prethodnom dobiva se 0y = .
2. U prostoru 2R :
a) Jednadžba x = predstavlja skup 5 ( ){ },x y x 5= , tj. skup svih uređenih parova realnih
brojeva s x koordinatom jednakom 3. Vidi sliku 7.
b) Jednadžba y predstavlja skup x= ( ){ },x y y x= , tj. skup svih uređenih parova realnih
brojeva s jednakom x i y koordinatom. Vidi sliku 8.
Sl. 7 x = 5, pravac u R2 Sl. 8 y = x, pravac u R2
U prostoru 3R :
a) Jednadžba x = predstavlja skup 5 ( ){ }, , 5x y z x = , tj. skup svih uređenih trojki realnih
brojeva s x koordinatom jednakom 3. Vidi sliku 9.
20
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
b) Jednadžba y predstavlja skup x= ( ){ }, ,x y z y x= , tj. skup svih uređenih trojki realnih
brojeva s jednakom x i y koordinatom. Vidi sliku 10.
3. Dovoljno je odrediti jednu točku i normalu ravnine.
a) T , , n i( )2 1 0, = , pa je ( ) ( ) ( )0 1 0 0x y z1 2 0− + − + − = , tj. 2 0xπ − =K . r r r r
r r
b) P , , pa analogno prethodnom imamo ( )2 3 1,− n i j k= × = 1 0zπ − =K . r r r
c) Q , , n j , ( )3 1 2,− k= × = 3 0xπ − =K . r r
ir
d) O , , ( )0 0 0, 1 0 0 52 1 5
i j kOR j k= × = = − +
−n ir r uuur r r
5 0y z, π − + =K .
r
Sl. 9 x = 5, ravnina u R 3 Sl. 10 y = x, ravnina u R 3 Segmentni oblik jednadžbe ravnine Podsjetimo se, kao prvo, dobivanja segmentnog oblika jednadžbe pravca iz njegove jednadžbe u općem obliku. Neka je jednadžba pravca p. 0=++ cbyax
c = 0 ⇒ pravac prolazi ishodištem (točka ( )0,0 zadovoljava jednadžbu pravca);
c ≠ 0 ⇒ dijeljenjem s -c jednadžbu svodimo na oblik 1=+ny
mx , koji nazivamo
segmentni oblik pravca, pri čemu su m i n duljine segmenata (odsječaka) na koordinatnim osima.
Analogno, neka je 0=+++ DCzByAx jednadžba ravnine π. D = 0 ⇒ ravnina prolazi ishodištem ( ( )0,0,0 π∈ ); D ≠ 0 ⇒ dijeljenjem s -D slijedi
1=++rz
qy
px , (4)
gdje su D Dq , rA B
= − = − = −DC
p , .
Izraz (4) naziva se segmentni oblik ravnine, pri čemu su brojevi p, g, r duljine segmenata (odsječaka) Sl. 11 na koordinatnim osima (vidi sliku 11).
21
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
Primjeri:
1. Naći presjeke ravnine 0=+++ DCzByAx s koordinatnim ravninama.
2. Naći jednadžbu ravnine koja je određena s tri nekolinearne točke ( )1 1 1 1, y ,zT x ,
i T x . ( )2 2 2 2T x , y ,z ( )3 3 3 3, y ,z
3. Koristeći se rješenjem prethodnog primjera naći jednadžbu ravnine zadane sa:
a) pravcem i točkom izvan pravca,
b) dvama paralelnim pravcima.
Rješenja
1. Presjeci ravnine s koordinatnim ravninama:
1=++rz
qy
px
& z = 0 ⇒ 1=+qy
px
, tj. 1. trag ravnine π;
1=++rz
qy
px
& y = 0 ⇒ 1=+rz
px
, tj. 2. trag ravnine π;
1=++rz
qy
px
& x = 0 ⇒ 1=+rz
qy
, tj. 3. trag ravnine π.
2. Neka je T x proizvoljna točka ravnine. Vektori TT( , y,z ) 31 1 2 1, TT , TT su komplanarni, tj. leže u istoj ravnini, odakle slijedi da im je mješoviti produkt jednak nuli, tj.
. ( 3 0TT =)1 1 2 1TT TT× ⋅uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur
3 Uvrstimo li komponente vektora TT1 1 2 1, TT , TT , dobivamo jednadžbu tražene ravnine u obliku
uuur uuur uuur
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
0x x y y z zx x y y z zx x y y z z
− − −− − −− − −
= . (5)
Ovime smo riješili i općeniti slučaj koji glasi: Odrediti jednadžbu ravnine točkom T, paralelnu s
dva zadana smjera ar i b . (Uputa: Neka je npr. točka r
( )1111 z,y,xTT = , 1 2a TT=uuurr
i b T ). 1 3T=uuurr
3. a) Neka je zadan pravac 2 1
1 0 31x y zp − + −
= =K i točka ( )2 1 4Q , ,− .
{ }1,0,3p =ur
je vektor smjera a ( )2 1 1P , ,− jedna točka pravca p (dobije se za 0λ =
p,
). Neka
je T x proizvoljna točka ravnine. Iz činjenice da su vektori ( , y,z ) PT , PQ,r
komplanarni, upotrebom formule (5), dobivamo
uuur uuur u
2 1 1
2 2 1 1 4 1 01 0 3
x y z− + −− − + − =
22
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 3 1 0 0x y z− ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ = , tj. ravninu 1y = − .
b) Neka su zadani pravci 12 1
1 0 31x y zp − + −
= =K i 24 2
2 0 61x y zp − + −
= =K . Zadatak
riješite sami slično prethodnom primjeru.
Međusobni položaj dviju ravnina Identične ravnine
Pomnožimo li jednadžbu ravnine (3) realnim brojem λ ≠ 0, dobije se jednadžba
1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = , gdje je 1 1 1 1A A, B B, C C, D Dλ λ λ λ= = = = , koja predstavlja istu ravninu u prostoru. Dakle, dvije jednadžbe ravnina su jednadžbe jedne te iste ravnine ako vrijedi
1 1 1 1A B C DA B C D
λ= = = = , za 0A,B,C,D ≠ .
Ako je neka od vrijednosti ili 0A,B,C D = , to znači da je i brojnik odgovarajućeg kvocijenta jednak nuli.
Na primjer, i su jednadžbe jedne te iste ravnine. 2 3 5 0x y z− + + = 2 4 6 10 0x y z− + + = Paralelne ravnine
Ravnine π1 i π2 su paralelne ako su im vektori normala 1nr { }111 C,B,A= i kolinearni. Kolinearnost vektora normala zapisujemo
2nr { }222 C,B,A=
1nr = α n2r , α ∈ R, α ≠ 0, odnosno
{ } { 222111 C,B,AC,B,A }α= , tj. α===2
1
2
1
2
1
CC
BB
AA , za 0222 ≠C,B,A .
Ako je neka od vrijednosti jednaka nuli, to znači da je i brojnik odgovarajućeg kvocijenta jednak nuli.
2 2 2, iliA B C
Na primjer, i su jednadžbe dviju paralelnih ravnina. 2 3 5 0x y z− + + = 3 6 9 4 0x y z− + − =
Okomite ravnine
Ravnine π1 i π2 su okomite ako su im vektori normala 1nr { }111 C,B,A= i 2nr { }222 C,B,A= okomiti, tj.
⋅ = 0, odnosno 1nr 2nr 0212121 =++ CCBBAA .
Na primjer, ravnine s jednadžbama 5 2 3 0x y z− − + = i 2 5 4 0y z− − = su međusobno okomite jer je { } { }1 2 1, 5, 2 0n n⋅ = − − ⋅ , 2, 5 0 10 10− = − + 0=
r r
1 2
}
. Kut između dviju ravnina
Ako su dvije ravnine paralelne ili se podudaraju, kut ϕ među njima jednak je nuli. Ako se dvije ravnine π i π sijeku, kut ϕ među njima jednak je kutu između njihovih vektora normala i . Kut se izračunava pomoću skalarnog produkta: 1nr { }111 C,B,A= 2nr { 222 C,B,A=
23
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
⋅ =1nr 2nr 1 2 cosn n ϕr r ⇒ 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
n n A A B B C Cn n A B C A B C
ϕcos + += =
+ + + +
r r
r r , πϕ ≤≤0 .
Na primjer, za ravnine 1x y z+ + = i 2 3 1x y z− + = imamo: ( )1 2
1 2
1 1 1 2 1 3 2cos1 1 1 1 4 9 42
n nn n
ϕ⋅ + ⋅ − + ⋅
= = =+ + + +
r r
r r , tj. 1 2cos 7242
ϕ − = ≈ °
.
Udaljenost ishodišta od ravnine i normirani oblik jednadžbe ravnine Neka je π ravnina s jednadžbom 0=+++ DCzByAx . Jedinični vektor normale dan je sa
{ } {0 2 2 2
1nn A,B,C cos ,cos ,cosn A B C
}α β γ= = =+ +
rr
r .
Projiciramo li radijvektor bilo koje točke ( ), y,zT x π∈ na vektor normale 0nr dobivamo
udaljenost ishodišta koordinatnog sustava od ravnine π. Označimo tu udaljenost s p ( ) . Analitički:
0p >
=⋅ rn rr0 { } { }cos ,cos ,cos x, y,z pα β γ ⋅ = , odnosno raspisano,
( ) ( ) ( ) 0cos x cos y cos z pα β γ+ + − = . (i)
što predstavlja normirani ili Hesseov oblik jednadžbe ravnine. Podijelimo sada kanonsku jednadžbu ravnine modulom vektora normale. Dobivamo:
0222222222222
=++±
+++±
+++±
+++± CBA
DzCBA
CyCBA
BxCBA
A , tj.
( ) ( ) ( )2 2 2
0Dcos x cos y cos zA B C
α β γ+ + +± + +
= , (ii)
Usporedbom (i) i (ii) slijedi da je pCBA
D−=
++± 222, a budući da je udaljenost , za
predznak korijena se uvijek uzima .
0p >
sgn D− Primjer
Naći formulu za udaljenost d točke ( )0 0 0 0, y ,zT x , od ravnine 0Ax By Cz Dπ + + + =K .
Rješenje
Udaljenost točke To do ravnine π jednaka je udaljenosti točke To do njezine ortogonalne projekcije T ′ na ravninu π. Dakle, d = d(To, π) = d(To, T ′ ). Sl. 12 d - udaljenost točke od ravnine Traženu udaljenost ćemo odrediti na sljedeći način:
24
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
Neka je ( )M x, y,z proizvoljna točka ravnine π, M T ′≠ . Projekcija vektora oMTuuuur
na jedinični
vektor normale točkom Tonr
d MT n= ⋅uuuur r
o jednaka je traženoj udaljenosti (vidi sliku), tj.
. o o
{ } { }
( )0 0 0
2 2 2
, , , ,
sgn
x x y y z z A B Cd
D A B C
− − − ⋅=
− + +,
odnosno,
( )
0 0 02 2 2sgn
Ax By Cz DdD A B C+ + +
=− + +
.
Napomenimo da ovako dobivena udaljenost m biti i negativna veličina, što se dobiva u slučaju da je kut ϕ između vektora normale i vektora
ože
oMTuuuur
tupi kut. Dakle, ϕ je tupi kut ⇒ točka To i ishodište O leže s iste strane ravnine π ⇒ d < 0, ϕ je šiljasti kut ⇒ točka To i ishodište O leže s raznih strana ravnine π ⇒ d > 0. Pramen ravnina (nije obavezno) Pramen ravnina čine sve ravnine koje prolaze jednim pravcem prostora. Pramen je zadan (određen) ako su zadane dvije njegove ravnine π1 i π2. Neka su π1…… , 01111 =+++ DzCyBxA π2…… 02222 =+++ DzCyBxA jednadžbe ravnina koje određuju pramen. Sl. 13 Pramen ravnina Ako je T(x,y,z) bilo koja točka koja pripada presječnici ravnina π1 i π2, njene koordinate moraju zadovoljavati obje dane jednadžbe kao i njihovu linearnu kombinaciju
( )++++ 1111 DzCyBxAµ ( )2 2 2 2 0A x B y C z Dν + + + = , , Rµ ν ∈ .
Odabirom konstanti µ i ν dobivamo ravnine pramena oko zajedničkog presječnog pravca, i posebno:
- za µ = 0 ⇒ ravnina π2, - za ν = 0 ⇒ ravnina π1.
Budući da su parametri µ i ν općenito različiti od nule, dijeljenjem jednim od njih (na primjer µ i uz oznaku ν/µ = λ) dobivamo jednostavniju jednadžbu pramena ravnina u obliku
( )++++ 1111 DzCyBxA ( ) 02222 =+++ DzCyBxAλ .
25
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina
26
Simetralne ravnine (nije obavezno) Simetralne ravnine Σ1 i Σ2 dviju ravnina π1 i π2 koje se sijeku u nekom pravcu p su ravnine koje prolaze presječnicom p i raspolavljaju kutove koje π1 i π2 zatvaraju. Neka su
π1… , 01111 =+++ DzCyBxA 1nr { }111 C,B,A= , r
π2… , 02222 =+++ DzCyBxA 2n { }222 C,B,A= ,
jednadžbe i vektori normala početnih dviju ravnina. Sl. 14 Slika presjeka ⊥ p Vektori normala simetralnih ravnina Σ21 s,s rr
1, Σ2 međusobno su okomiti i vrijedi:
( ) ( )( ) ( )02012
02011
nnsnnsrrr
rrr
−=
+=.
Osim toga, budući da ravnine Σ1, Σ2 prolaze presječnicom p ravnina π1, π2 one pripadaju pramenu ravnina koji je s π1 i π2 određen. Njihove su jednadžbe dane sa
2
2
1
12
2
2
1
11 nn
Σ,nn
Σ rrrrππππ
−=+= ,
odnosno
( ) ( )
02
22
22
22
2222
21
21
211
111121 =
++−
+++±
++−
+++
CBADsgn
DzCyBxA
CBADsgn
DzCyBxAΣ , K .