13
Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina 2. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA TOČKA U PROSTORU Neka je kartezijev pravokutni koordinatni sustav. Položaj točke T jednoznačno je određen njenim koordinatama ( O;i , j,k r rr ) ) ( x ,y,z koje su kao što smo u prethodnom poglavlju pokazali ujedno i komponente uuu radijvektora OT , tj. r ( ) { } T T x,y,z OT xi yj zk x,y,z = = + + = uuur r r r . ) Sl. 1 Radijvektor točke T Udaljenost dviju točaka Neka su i dvije dane točke. Njihova je udaljenost jednaka duljini vektora . ( ) 1 1 1 A x ,y ,z AB uuur ( 2 2 2 z , y , x B ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 AB x x i y y j z z k = + + uuur r r r , uuur uuur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 d A,B d AB AB x x y y z z = = = + + . 2 Zadatak Podijeliti dužinu AB u zadanom omjeru :1 λ . Rješenje Podijeliti dužinu AB u zadanom omjeru :1 λ znači odrediti točku T, unutar te dužine, takvu da vrijedi: : : AT TB 1 λ = uuur uur uuur uur ) , tj. . (*) = AT TB λ Ako su koordinate zadanih točaka u prostoru i označimo li s koordinate tražene točke, jednakost (*) možemo zapisati u obliku ( ) ( a a a b b b A x ,y ,z , B x ,y ,z ( ) ,y,z T x { } { } a a a b b b x x ,y y ,z z x x,y y,z z λ = . Iz jednakosti dvaju vektora slijedi: a b a b a b x x x y y y y z z z z x λ λ λ λ λ λ = = = , odnosno ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a b a b a b x x x y y z z λ λ y z λ λ λ λ + = + + = + + = + . 14

Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

  • Upload
    others

  • View
    12

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

2. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

TOČKA U PROSTORU

Neka je kartezijev pravokutni koordinatni sustav. Položaj točke T jednoznačno je

određen njenim koordinatama

(O;i , j ,krr r )

)( x, y,z koje su kao što smo u prethodnom poglavlju pokazali ujedno i komponente uuuradijvektora OT , tj.

r

( ) { }T T x, y,z OT xi yj zk x, y,z= ⇔ = + + =

uuur rr r.

)

Sl. 1 Radijvektor točke T

Udaljenost dviju točaka Neka su i dvije dane točke. Njihova je udaljenost jednaka duljini

vektora .

( )1 1 1A x , y ,z

ABuuur

( 222 z,y,xB

( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1AB x x i y y j z z k= − + − + −uuur rr r

, uuur uuur

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1 2 1d A,B d AB AB x x y y z z= = = − + − + − . 2

Zadatak

Podijeliti dužinu AB u zadanom omjeru :1λ .

Rješenje

Podijeliti dužinu AB u zadanom omjeru :1λ znači odrediti točku T, unutar te dužine, takvu da vrijedi:

: :AT TB 1λ=uuur uur

uuur uur

)

, tj.

. (*) =AT TBλ ⋅

Ako su koordinate zadanih točaka u prostoru i označimo li s

koordinate tražene točke, jednakost (*) možemo zapisati u obliku

( ) (a a a b b bA x , y ,z , B x , y ,z

( ), y,zT x

{ } { }a a a b b bx x , y y ,z z x x, y y,z zλ− − − = − − − .

Iz jednakosti dvaju vektora slijedi:

a b

a b

a b

x x xy y y yz z z z

xλ λλ λλ λ

− = − − = − − = −

, odnosno

( )( )( )

1

1

1

a b

a b

a b

x x x

y y

z z

λ λ

y

z

λ λ

λ λ

+ = +

+ = + + = +

.

14

Page 2: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

Koordinate tražene točke su:

1 1

a b a b a

1bx x y y z

x , y , zzλ λ λ

λ λ λ+ +

= = =+ +

++

uuur uuur uuur uuur

.

Do koordinata točke T može se doći i raspisivanjem jednakosti (*) pomoću radijvektora

. ( )OT OA OB OTλ− = −

Sređivanjem dobivamo izraz za radijvektor točke T:

1

1 1OT OA OBλ

λ λ= +

+ +

uuur uuur u ruu,

odakle čitamo tražene koordinate.

PRAVAC

Jednadžbe pravca Pravac p u prostoru određen je jednom svojom

rtočkom To i vektorom smjera p .

Zadano: - točka , tj. ( )0 0 0 0T x , y ,z { }0 0 0 0, ,r x y z=

r r- vektor smjera p = {l, m, n}.

Sl. 2 Pravac u prostoru Neka je , T ∈ p, bilo koja točka. (T x, y,z

uuur)

T ∈ p ⇔ T T = λ0 pr , λ ∈ R, r = 0T T

uuur0rrr − , pa je

r r r 0r r pλ= + , (1)

vektorska jednadžba pravca.

Jednadžba (1) zapisana koordinatno:

( ) ( )knjmilkzjyixkzjyixrrrrrrrrr

+++++=++ λ000 rrrrr

( ) ( ) ( )knzjmyilxkzjyixr

λλλ +++++=++ 000 , odakle slijedi

+=+=+=

nzzmyylxx

λλλ

0

0

0

(2)

parametarska jednadžba pravca.

Svakoj vrijednosti parametra λ odgovara jedna točka pravca p i obratno. Eliminiramo li parametar λ iz jednadžbi (2) slijedi

( λ= )−=

−=

−n

zzm

yylxx 000 (3)

kanonska jednadžba pravca.

15

Page 3: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

Primjeri:

1. Naći vektorsku i parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi točkom ( )5, 2,3 i paralelan

je vektoru i j3 2+ − kr r r

.

2. Naći još dvije točke pravca iz zadatka 1.

3. Odrediti kanonsku i parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi točkama T x i ( )1 1 1 1, y ,z

. ( )2 2 2 2T x , y ,z

4. Odrediti kanonsku i parametarsku jednadžbu pravca koji prolazi točkama T , i ( )1 4 0 5,

. ( )2 2 1 5T , ,−

Rješenja:

1. Kako je { }0 5, 2,3 5 2 3i= = + +rr i vektor j kr r r

3 2p i j k= + − , vektorska jednadžba (1) je r r r r r r

ur r r r

)kr

2

, što možemo zapisati i u obliku ( ) (5 2 3 3 2r i j k t i j k= + + + + −r

r rr , odakle slijede parametarske jednadžbe ( ) ( ) ( )5 2 3 3 2r t i t j t= + + + + −

5 2 3 3x t y t z= + = + = − t .

2. Za vrijednost parametra dobivamo 1t = 6, 5, 1x y z= = = tj. točku ( )6,5,1 koja leži na

pravcu. Slično, t 1= − daje točku ( ),54, 1− .

r uuur3. Vektor smjera p traženog pravca paralelan je vektoru TT1 2 pa su njegove komponente

pr = { }1 2 1 2 1 2 1, ,x x y y z z− −2= −TT . Odaberemo li točku uuur

( )1 1 1 1, y ,zT x kao točku T iz jednakosti (3) dobivamo kanonski oblik jednadžbe pravca:

0

( )λ=−−

=−−

=−−

12

1

12

1

12

1

zzzz

yyyy

xxxx

.

Parametarske jednadžbe pravca slijede neposredno iz prethodnog:

( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 1 1 2 1x x x x y y y y z z z zλ λ= + − = + − = + −λ .

4. Sami!

Udaljenost točke od pravca Zadano:

- pravac p točkom T x i ( )1 1 1 1, y ,zrvektorom smjera { }, ,p l m n= ,

- točka T x . ( )2 2 2 2, y ,z

Sl. 3 d - udaljenost točke od pravca

16

Page 4: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

Udaljenost točke T2 do pravca p jednaka je udaljenosti točke T2 do njezine projekcije T ' na pravac p. Dakle, ( ) ( )2 2, ,d d T p d T T ′= = ?= Promotrimo paralelogram razapet vektorima pr i 1 2TT

uuur. Njegovu površinu P izračunavamo

prema poznatoj formuli

1 2P p d p TT= = ×uuurr r , odakle slijedi:

p

TTpd r

r21×

= .

Međusobni položaj dvaju pravaca Međusobni položaj dvaju pravaca p1, p2 u prostoru određen je međusobnim položajem njihovih vektora smjera r . 21 p,p r

Mogućnosti su sljedeće: - Vektori smjera kolinearni ⇒ 21 pp rr α= , (komponente su im proporcionalne) α ∈R . To znači da su pravci paralelni ili da se podudaraju. - Vektori smjera okomiti ⇒ 021 =⋅ pp rr . To znači da su pravci međusobni okomiti, (pri čemu se mogu sjeći ili biti mimosmjerni* ).

- Vektori smjera zatvaraju neki kut ϕ ≠ 0, 2π , π ⇒

21

21

pppprrcosrr

⋅=ϕ ,

pri čemu se pravci sijeku ili su mimosmjerni. *Za pravce koji nemaju zajedničkih točaka kažemo da su mimosmjerni. To je najčešći položaj dvaju pravaca u prostoru.

Primjeri

1. Odrediti najmanju udaljenost dvaju pravaca.

2. Pokazati do su pravci l1 i l2 s parametarskim jednadžbama

l y 1 2

1 22 3 , 3

4 3

x t x st l y s

z t z

= + = = − + = + = − = − + 4s

mimosmjerni.

Rješenja

1. Neka je pravac p1 zadan točkom ( )1 1 1 1, y ,zT x i vektorom smjera 1pr { }1 1 1, ,l m n= , a pravac p2

točkom T x i vektorom smjera (2 2 2 2, y ,z ) 2pr { }2 2 2, ,l m n= .

Najmanja udaljenost dvaju pravaca jednaka je duljini zajedničke okomice na oba pravca. Treba odrediti formulu za njeno izračunavanje. U tu svrhu zamislimo paralelepiped razapet vektorima , 1pr 2pr , TT

uuu (vidi sliku 4). 1 2

r

17

Page 5: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

Ako su vektori 1pr , , TT komplanarni 2pr 1 2

uuur

slijedi da su pravci , paralelni ili ukršteni. 1p 2p

Ukoliko su ukršteni udaljenost im je jednaka nuli,

a ukoliko su paralelni udaljenost se izračunava

po formuli za udaljenost točke od pravca.

Sl. 4 d – udaljenost dvaju pravaca

Pretpostavimo da vektori , , TT1pr 2pr 1 2 nisu komplanarni. Volumen V paralelepipeda kojeg

oni razapinju izračunavamo po formuli ( )1 2 1 2T p p= ×V T r r.

uuur

uuuur

Međutim,

V = , gdje je B – baza, a v – visina paralelepipeda. vB ⋅

Zbog

21 pp rr×B = i v = d, slijedi ( )212121 ppTTdpp rrrr

×=× , tj. ( )

21

2121

pp

ppTTd rr

rr

×

×= .

2. Pravci nisu paralelni jer pripadni vektori { }1,3, 1− i { }2,1, 4 nisu paralelni (komponente

nisu proporcionalne). Kad bi se l1 i l2 sjekli, to bi značilo da postoje vrijednosti za t i s takve da je

− +

1 22 3 34 3

t st st s

+ == +

− = − + 4

Međutim, riješimo li prve dvije jednadžbe, dobivamo da je 11 8i5 5

st = = koji ne

zadovoljavaju treću jednadžbu. Dakle, ne postoje vrijednosti od t i s koje bi zadovoljile sve tri jednadžbe. Zaključujemo da se pravci l1 i l2 ne sijeku, tj. da su mimosmjerni.

Mali rječnik pojmova:

Transverzala dvaju pravaca je bilo koji pravac prostora koji ih siječe. Najkraća transverzala dvaju pravaca je pravac koji ih siječe i okomit je na svakom od njih.

18

Page 6: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

RAVNINA

Vektorski, algebarski i opći oblik jednadžbe ravnine Neka ravnina π u prostoru određena je sa (vidi slike 5):

Sl. 5a Sl. 5b Sl. 5c Sl. 5d 3 nekolinearne točke Pravcem i točkom izvan njega 2 ukrštena pravca 2 paralelna pravca Analitički je ravninu najjednostavnije opisati pomoću jedne točke i jednog vektora koji je okomit na tu ravninu i nazivamo ga normalom ravnine. Lako se vidi da zadanom točkom prolazi samo jedna ravnina koja je okomita na zadanu normalu (vidi sliku 6). Neka je − zadana točka prostora, (0 0 0 0T x , y ,z

r rr)

− { }n Ai Bj Ck A,B,C= + + =r

vektor normale,

− proizvoljna točka ravnine π. (T x, y,z ) Sl. 6 Tada je: uuu− { }0 0 0 0T T r r x x , y y ,z z= − = − − −

r r ur

uuurr vektor koji leži u ravnini π, 0

− tj. vektor normale je okomit na svaki drugi vektor koji leži u ravnini π. 0n T T⊥ Budući da je T proizvoljna točka ravnine, iz uvjeta okomitosti dobiva se

0 0n T T⋅ =uuurr , (1)

jednadžba ravnine u vektorskom obliku. Uvrstimo li u (1) komponente vektora 0in T T

uuurr slijedi

( ) ( ) ( )0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = , (2)

algebarski oblik jednadžbe ravnine. Izmnožimo li izraze u relaciji (2) dobiva se

0Ax By Cz D+ + + = , (3)

kanonska ili opća jednadžba ravnine, gdje je ( )0 0D Ax By Cz= − + + 0

).

D = 0 ⇒ ishodište pripada ravnini π, odnosno ravnina π prolazi ishodištem. (0 0 0O , ,

19

Page 7: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

Primjeri

1. Odrediti jednadžbe koordinatnih ravnina i,xy yz zx .

2. Što predstavljaju jednadžbe

a) , b) , 5x = y x=

u prostoru 2R odnosno u prostoru 3R ?

3. Napisati jednadžbu ravnine koja:

a) prolazi točkom T , i okomita je na os Ox , (2 1 0, )

) b) prolazi točkom i paralelna je s ( 2 3 1P , ,− xy ravninom,

c) prolazi točkom i paralelna je s osima , (3 1 2Q , ,− ) iOy Oz

d) prolazi točkom ( )2 1 5R , ,− i osi . Ox

Rješenja

1. Jednadžbe koordinatnih ravnina odredit ćemo prema fomuli (2). U tom smislu potrebna nam je po jedna točka ravnine i njihovi vektori nomala.

Ravnina : Točka O , i vektor normale (0 0 0, ) { }0,0,1 0 0 1k i j k= = + + daju r r r r

xy

yz

zx

( ) ( ) ( )0 0 1 0x y z− + − + − =0 0 , tj. 0 0z = . r

Ravnina : Točka O , i vektor normale (0 0 0, ) { }1,0,0 1 0 0i i j k= = + + daju r r r

( ) ( ) ( )0 0 0 0x y z− + − + − =1 0 , tj. 0 0x = .

Ravnina : Analogno prethodnom dobiva se 0y = .

2. U prostoru 2R :

a) Jednadžba x = predstavlja skup 5 ( ){ },x y x 5= , tj. skup svih uređenih parova realnih

brojeva s x koordinatom jednakom 3. Vidi sliku 7.

b) Jednadžba y predstavlja skup x= ( ){ },x y y x= , tj. skup svih uređenih parova realnih

brojeva s jednakom x i y koordinatom. Vidi sliku 8.

Sl. 7 x = 5, pravac u R2 Sl. 8 y = x, pravac u R2

U prostoru 3R :

a) Jednadžba x = predstavlja skup 5 ( ){ }, , 5x y z x = , tj. skup svih uređenih trojki realnih

brojeva s x koordinatom jednakom 3. Vidi sliku 9.

20

Page 8: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

b) Jednadžba y predstavlja skup x= ( ){ }, ,x y z y x= , tj. skup svih uređenih trojki realnih

brojeva s jednakom x i y koordinatom. Vidi sliku 10.

3. Dovoljno je odrediti jednu točku i normalu ravnine.

a) T , , n i( )2 1 0, = , pa je ( ) ( ) ( )0 1 0 0x y z1 2 0− + − + − = , tj. 2 0xπ − =K . r r r r

r r

b) P , , pa analogno prethodnom imamo ( )2 3 1,− n i j k= × = 1 0zπ − =K . r r r

c) Q , , n j , ( )3 1 2,− k= × = 3 0xπ − =K . r r

ir

d) O , , ( )0 0 0, 1 0 0 52 1 5

i j kOR j k= × = = − +

−n ir r uuur r r

5 0y z, π − + =K .

r

Sl. 9 x = 5, ravnina u R 3 Sl. 10 y = x, ravnina u R 3 Segmentni oblik jednadžbe ravnine Podsjetimo se, kao prvo, dobivanja segmentnog oblika jednadžbe pravca iz njegove jednadžbe u općem obliku. Neka je jednadžba pravca p. 0=++ cbyax

c = 0 ⇒ pravac prolazi ishodištem (točka ( )0,0 zadovoljava jednadžbu pravca);

c ≠ 0 ⇒ dijeljenjem s -c jednadžbu svodimo na oblik 1=+ny

mx , koji nazivamo

segmentni oblik pravca, pri čemu su m i n duljine segmenata (odsječaka) na koordinatnim osima.

Analogno, neka je 0=+++ DCzByAx jednadžba ravnine π. D = 0 ⇒ ravnina prolazi ishodištem ( ( )0,0,0 π∈ ); D ≠ 0 ⇒ dijeljenjem s -D slijedi

1=++rz

qy

px , (4)

gdje su D Dq , rA B

= − = − = −DC

p , .

Izraz (4) naziva se segmentni oblik ravnine, pri čemu su brojevi p, g, r duljine segmenata (odsječaka) Sl. 11 na koordinatnim osima (vidi sliku 11).

21

Page 9: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

Primjeri:

1. Naći presjeke ravnine 0=+++ DCzByAx s koordinatnim ravninama.

2. Naći jednadžbu ravnine koja je određena s tri nekolinearne točke ( )1 1 1 1, y ,zT x ,

i T x . ( )2 2 2 2T x , y ,z ( )3 3 3 3, y ,z

3. Koristeći se rješenjem prethodnog primjera naći jednadžbu ravnine zadane sa:

a) pravcem i točkom izvan pravca,

b) dvama paralelnim pravcima.

Rješenja

1. Presjeci ravnine s koordinatnim ravninama:

1=++rz

qy

px

& z = 0 ⇒ 1=+qy

px

, tj. 1. trag ravnine π;

1=++rz

qy

px

& y = 0 ⇒ 1=+rz

px

, tj. 2. trag ravnine π;

1=++rz

qy

px

& x = 0 ⇒ 1=+rz

qy

, tj. 3. trag ravnine π.

2. Neka je T x proizvoljna točka ravnine. Vektori TT( , y,z ) 31 1 2 1, TT , TT su komplanarni, tj. leže u istoj ravnini, odakle slijedi da im je mješoviti produkt jednak nuli, tj.

. ( 3 0TT =)1 1 2 1TT TT× ⋅uuur uuur

uuur uuur uuur

uuur

3 Uvrstimo li komponente vektora TT1 1 2 1, TT , TT , dobivamo jednadžbu tražene ravnine u obliku

uuur uuur uuur

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

0x x y y z zx x y y z zx x y y z z

− − −− − −− − −

= . (5)

Ovime smo riješili i općeniti slučaj koji glasi: Odrediti jednadžbu ravnine točkom T, paralelnu s

dva zadana smjera ar i b . (Uputa: Neka je npr. točka r

( )1111 z,y,xTT = , 1 2a TT=uuurr

i b T ). 1 3T=uuurr

3. a) Neka je zadan pravac 2 1

1 0 31x y zp − + −

= =K i točka ( )2 1 4Q , ,− .

{ }1,0,3p =ur

je vektor smjera a ( )2 1 1P , ,− jedna točka pravca p (dobije se za 0λ =

p,

). Neka

je T x proizvoljna točka ravnine. Iz činjenice da su vektori ( , y,z ) PT , PQ,r

komplanarni, upotrebom formule (5), dobivamo

uuur uuur u

2 1 1

2 2 1 1 4 1 01 0 3

x y z− + −− − + − =

22

Page 10: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

( ) ( ) ( ) ( )2 0 1 3 1 0 0x y z− ⋅ − + ⋅ − + − ⋅ = , tj. ravninu 1y = − .

b) Neka su zadani pravci 12 1

1 0 31x y zp − + −

= =K i 24 2

2 0 61x y zp − + −

= =K . Zadatak

riješite sami slično prethodnom primjeru.

Međusobni položaj dviju ravnina Identične ravnine

Pomnožimo li jednadžbu ravnine (3) realnim brojem λ ≠ 0, dobije se jednadžba

1 1 1 1 0A x B y C z D+ + + = , gdje je 1 1 1 1A A, B B, C C, D Dλ λ λ λ= = = = , koja predstavlja istu ravninu u prostoru. Dakle, dvije jednadžbe ravnina su jednadžbe jedne te iste ravnine ako vrijedi

1 1 1 1A B C DA B C D

λ= = = = , za 0A,B,C,D ≠ .

Ako je neka od vrijednosti ili 0A,B,C D = , to znači da je i brojnik odgovarajućeg kvocijenta jednak nuli.

Na primjer, i su jednadžbe jedne te iste ravnine. 2 3 5 0x y z− + + = 2 4 6 10 0x y z− + + = Paralelne ravnine

Ravnine π1 i π2 su paralelne ako su im vektori normala 1nr { }111 C,B,A= i kolinearni. Kolinearnost vektora normala zapisujemo

2nr { }222 C,B,A=

1nr = α n2r , α ∈ R, α ≠ 0, odnosno

{ } { 222111 C,B,AC,B,A }α= , tj. α===2

1

2

1

2

1

CC

BB

AA , za 0222 ≠C,B,A .

Ako je neka od vrijednosti jednaka nuli, to znači da je i brojnik odgovarajućeg kvocijenta jednak nuli.

2 2 2, iliA B C

Na primjer, i su jednadžbe dviju paralelnih ravnina. 2 3 5 0x y z− + + = 3 6 9 4 0x y z− + − =

Okomite ravnine

Ravnine π1 i π2 su okomite ako su im vektori normala 1nr { }111 C,B,A= i 2nr { }222 C,B,A= okomiti, tj.

⋅ = 0, odnosno 1nr 2nr 0212121 =++ CCBBAA .

Na primjer, ravnine s jednadžbama 5 2 3 0x y z− − + = i 2 5 4 0y z− − = su međusobno okomite jer je { } { }1 2 1, 5, 2 0n n⋅ = − − ⋅ , 2, 5 0 10 10− = − + 0=

r r

1 2

}

. Kut između dviju ravnina

Ako su dvije ravnine paralelne ili se podudaraju, kut ϕ među njima jednak je nuli. Ako se dvije ravnine π i π sijeku, kut ϕ među njima jednak je kutu između njihovih vektora normala i . Kut se izračunava pomoću skalarnog produkta: 1nr { }111 C,B,A= 2nr { 222 C,B,A=

23

Page 11: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

⋅ =1nr 2nr 1 2 cosn n ϕr r ⇒ 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 2

n n A A B B C Cn n A B C A B C

ϕcos + += =

+ + + +

r r

r r , πϕ ≤≤0 .

Na primjer, za ravnine 1x y z+ + = i 2 3 1x y z− + = imamo: ( )1 2

1 2

1 1 1 2 1 3 2cos1 1 1 1 4 9 42

n nn n

ϕ⋅ + ⋅ − + ⋅

= = =+ + + +

r r

r r , tj. 1 2cos 7242

ϕ − = ≈ °

.

Udaljenost ishodišta od ravnine i normirani oblik jednadžbe ravnine Neka je π ravnina s jednadžbom 0=+++ DCzByAx . Jedinični vektor normale dan je sa

{ } {0 2 2 2

1nn A,B,C cos ,cos ,cosn A B C

}α β γ= = =+ +

rr

r .

Projiciramo li radijvektor bilo koje točke ( ), y,zT x π∈ na vektor normale 0nr dobivamo

udaljenost ishodišta koordinatnog sustava od ravnine π. Označimo tu udaljenost s p ( ) . Analitički:

0p >

=⋅ rn rr0 { } { }cos ,cos ,cos x, y,z pα β γ ⋅ = , odnosno raspisano,

( ) ( ) ( ) 0cos x cos y cos z pα β γ+ + − = . (i)

što predstavlja normirani ili Hesseov oblik jednadžbe ravnine. Podijelimo sada kanonsku jednadžbu ravnine modulom vektora normale. Dobivamo:

0222222222222

=++±

+++±

+++±

+++± CBA

DzCBA

CyCBA

BxCBA

A , tj.

( ) ( ) ( )2 2 2

0Dcos x cos y cos zA B C

α β γ+ + +± + +

= , (ii)

Usporedbom (i) i (ii) slijedi da je pCBA

D−=

++± 222, a budući da je udaljenost , za

predznak korijena se uvijek uzima .

0p >

sgn D− Primjer

Naći formulu za udaljenost d točke ( )0 0 0 0, y ,zT x , od ravnine 0Ax By Cz Dπ + + + =K .

Rješenje

Udaljenost točke To do ravnine π jednaka je udaljenosti točke To do njezine ortogonalne projekcije T ′ na ravninu π. Dakle, d = d(To, π) = d(To, T ′ ). Sl. 12 d - udaljenost točke od ravnine Traženu udaljenost ćemo odrediti na sljedeći način:

24

Page 12: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

Neka je ( )M x, y,z proizvoljna točka ravnine π, M T ′≠ . Projekcija vektora oMTuuuur

na jedinični

vektor normale točkom Tonr

d MT n= ⋅uuuur r

o jednaka je traženoj udaljenosti (vidi sliku), tj.

. o o

{ } { }

( )0 0 0

2 2 2

, , , ,

sgn

x x y y z z A B Cd

D A B C

− − − ⋅=

− + +,

odnosno,

( )

0 0 02 2 2sgn

Ax By Cz DdD A B C+ + +

=− + +

.

Napomenimo da ovako dobivena udaljenost m biti i negativna veličina, što se dobiva u slučaju da je kut ϕ između vektora normale i vektora

ože

oMTuuuur

tupi kut. Dakle, ϕ je tupi kut ⇒ točka To i ishodište O leže s iste strane ravnine π ⇒ d < 0, ϕ je šiljasti kut ⇒ točka To i ishodište O leže s raznih strana ravnine π ⇒ d > 0. Pramen ravnina (nije obavezno) Pramen ravnina čine sve ravnine koje prolaze jednim pravcem prostora. Pramen je zadan (određen) ako su zadane dvije njegove ravnine π1 i π2. Neka su π1…… , 01111 =+++ DzCyBxA π2…… 02222 =+++ DzCyBxA jednadžbe ravnina koje određuju pramen. Sl. 13 Pramen ravnina Ako je T(x,y,z) bilo koja točka koja pripada presječnici ravnina π1 i π2, njene koordinate moraju zadovoljavati obje dane jednadžbe kao i njihovu linearnu kombinaciju

( )++++ 1111 DzCyBxAµ ( )2 2 2 2 0A x B y C z Dν + + + = , , Rµ ν ∈ .

Odabirom konstanti µ i ν dobivamo ravnine pramena oko zajedničkog presječnog pravca, i posebno:

- za µ = 0 ⇒ ravnina π2, - za ν = 0 ⇒ ravnina π1.

Budući da su parametri µ i ν općenito različiti od nule, dijeljenjem jednim od njih (na primjer µ i uz oznaku ν/µ = λ) dobivamo jednostavniju jednadžbu pramena ravnina u obliku

( )++++ 1111 DzCyBxA ( ) 02222 =+++ DzCyBxAλ .

25

Page 13: Analitič ka, pravac i ravnina - unizg.hrzeljkat/3_predavanje.pdf · 2011-07-26 · Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina RAVNINA Vektorski, algebarski

Analitička geometrija i linearna algebra 2. Točka, pravac i ravnina

26

Simetralne ravnine (nije obavezno) Simetralne ravnine Σ1 i Σ2 dviju ravnina π1 i π2 koje se sijeku u nekom pravcu p su ravnine koje prolaze presječnicom p i raspolavljaju kutove koje π1 i π2 zatvaraju. Neka su

π1… , 01111 =+++ DzCyBxA 1nr { }111 C,B,A= , r

π2… , 02222 =+++ DzCyBxA 2n { }222 C,B,A= ,

jednadžbe i vektori normala početnih dviju ravnina. Sl. 14 Slika presjeka ⊥ p Vektori normala simetralnih ravnina Σ21 s,s rr

1, Σ2 međusobno su okomiti i vrijedi:

( ) ( )( ) ( )02012

02011

nnsnnsrrr

rrr

−=

+=.

Osim toga, budući da ravnine Σ1, Σ2 prolaze presječnicom p ravnina π1, π2 one pripadaju pramenu ravnina koji je s π1 i π2 određen. Njihove su jednadžbe dane sa

2

2

1

12

2

2

1

11 nn

Σ,nn

Σ rrrrππππ

−=+= ,

odnosno

( ) ( )

02

22

22

22

2222

21

21

211

111121 =

++−

+++±

++−

+++

CBADsgn

DzCyBxA

CBADsgn

DzCyBxAΣ , K .