Upload
hoangtruc
View
231
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
i
ANALISIS TITIK EKUILIBRIUM DAN SOLUSI MODEL
INTERAKSI MUTUALISME DUA SPESIES MENGGUNAKAN
METODE ITERASI VARIASIONAL
TESIS
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Magister Pendidikan Program Studi Magister Pendidikan Matematika
Oleh :
Benedictus Dwi Yuliyanto
NIM: 15 1442 005
HALAMAN JUDUL PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2017
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
HALAMAN MOTTO
Ibarat makan,
belajar bukan lagi suatu keinginan, melainkan kebutuhan.
Rasa lapar akan pengetahuan, datang disetiap hari.
(B.Dwi Yuliyanto)
Jika kau punya mimpi, tetap fokus dan nikmatilah. Lalu bangun dan wujudkanlah! (B.Dwi Yuliyanto)
Hanya mereka yang berani gagal dapat meraih keberhasilan. (Robert F. Kennedy)
Percayalah pada keajaiban, tapi jangan tergantung padanya.
(H. Jackson Brown, Jr)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
ABSTRAK
Benedictus Dwi Yuliyanto, 2017. Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model
Interaksi Mutualisme Dua Spesies Menggunakan Metode Iterasi Variasional.
Tesis. Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu
Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Tesis ini mengkaji tentang analisis titik ekuilibrium dan solusi model interaksi
dua spesies. Pada bidang biologi, seringkali dilakukan penelitian atau percobaan
mengenai laju pertumbuhan populasi suatu spesies. Penelitian-penelitian tersebut
dilakukan untuk mengetahui berbagai macam perkembangan makhluk hidup di
lingkungannya. Pemodelan matematika sangat berperan dalam membantu
penelitian tersebut. Salah satu model matematika yang pernah diteliti adalah model
interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik.
Pada penelitian ini, peneliti akan memodifikasi model matematika tersebut
dengan tujuan menambah variasi dari model dasar yang sudah ada. Modifikasi
model yang akan diteliti adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies
yang bertumbuh secara logistik yaitu: pertama, terdapat unsur pemanenan pada
salah satu jenis spesies, dan yang kedua, terdapat unsur pemanenan pada kedua
jenis spesies.
Setelah melakukan modifikasi pada model, peneliti melakukan analisis
kestabilan dari titik ekuilibrium yang didapat. Selanjutnya akan dicari solusi dari
perumuman model interaksi dua spesies menggunakan metode iterasi variasional.
Kata kunci : dinamika populasi, analisis kestabilan, metode iterasi variasional.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRACT
Benedictus Dwi Yuliyanto, 2017. Analysis of Equilibrium Points and Solutions
of Models of Two Species Mutualism Interaction Using Variational Iteration
Method. Thesis. Study Program of Master of Mathematics Education,
Department of Mathematics and Science Education, Faculty of Teacher
Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This tesis discusses about analysis of equilibrium points and solutions of
models of two species interaction. In biology, research or experiment about
population growth rate is done frequently. The research has been succeesful for
knowing many kinds of organism in their environment. Mathematical modelling is
important for helping that research. One of the mathematical models that has been
studied before is the mutualism interaction model of two species in logistic growth.
In this research, the researcher will modify the mathematical model to add the
variations of the basic model before. The modifications studied in this thesis are:
first, there is a harvesting parameter on one of species, and second, on both of them.
After doing the modifications on the model, the researcher analyses the
stability of equilibrium points. Furthermore, the modified model is solved using the
variational iteration method.
Keywords : population dynamics, stability analysis, variational iteration method.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS
Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi
internasioanl dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:
[1]. B.D. Yuliyanto dan S. Mungkasi, “Variational iteration method for solving
the population dynamics model of two species”, Journal of Physics:
Conference Series, Vol. 795, No.1, Artikel 012044, Tahun 2017 (terindeks
Scopus), Link Artikel: https://doi.org/10.1088/1742-6596/795/1/012044
Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan
menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh pembimbing (Sudi Mungkasi) dan penulis
(Benedictus Dwi Yuliyanto).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena
hanya dengan berkat dan karunia-Nya, serta campur tangan-Nya, penulis dapat
menyelesaikan tesis yang berjudul “Analisis Titik Ekuilibrium dan Solusi Model
Interaksi Mutualisme Dua Spesies Menggunakan Metode Iterasi Variasional”
dengan baik dan tepat waktu.
Pada kesempatan ini penulis juga ingin mengucapkan rasa terima kasih
kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
yang sudah meluangkan waktu dan dengan sabar membimbing penulis,
sehingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.
2. Bapak Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi
Magister Pendidikan Matematika.
3. Bapak Dr. rer. nat. Herry Pribawanto Suryawan yang telah membimbing
pada awal penulisan tesis ini.
4. Segenap dosen JPMIPA yang telah membantu dan memberikan dukungan
selama penulis menempuh kuliah, sehingga akhirnya penulis dapat
menyelesaikan studi dengan tepat waktu.
5. Segenap staf Sekretariat JPMIPA yang telah membantu dalam hal
administrasi kampus selama penulis melakukan studi di sini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
6. Kedua orang tua yaitu Bapak Mario Subiyanto dan Ibu Christina Sarasni,
yang selalu memberikan dukungan serta doa yang melimpah kepada penulis
sehingga tesis ini dapat diselesaikan tepat waktu.
7. Segenap keluarga, terutama Simbah Yohanes Sadji Ciptotanyono dan Mas
Albertus Magnus Bayu Pratomo yang selalu memberi semangat, motivasi,
serta inspirasi kepada penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan studi
dengan baik.
8. Elisabeth Evi Alviah, yang selalu memberikan semangat, dukungan, serta
motivasi yang sangat berguna bagi penulis selama menjalankan studi.
9. Semua teman seperjuangan dari Program Studi Magister Pendidikan
Matematika angkatan 2015-2016 yang memberikan dukungan kepada
penulis selama studi.
10. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah
membantu sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.
Akhirnya penulis berharap semoga tesis ini dapat berguna bagi para pembaca.
Penulis,
Benedictus Dwi Yuliyanto
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ..................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iii
HALAMAN MOTTO ............................................................................................ iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................................. v
ABSTRAK ............................................................................................................. vi
ABSTRACT ............................................................................................................ vii
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................. viii
DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS ......................................... ix
KATA PENGANTAR ............................................................................................. x
DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1
A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B. Tinjauan Pustaka .......................................................................................... 2
C. Perumusan Masalah ...................................................................................... 5
D. Batasan Masalah ........................................................................................... 5
E. Metode Penelitian ......................................................................................... 6
F. Tujuan Penelitian .......................................................................................... 7
G. Manfaat Penelitian ........................................................................................ 8
H. Sistematika Penulisan ................................................................................... 8
BAB II LANDASAN TEORI ................................................................................ 10
A. Pemodelan Matematika .............................................................................. 10
B. Persamaan Diferensial ................................................................................ 12
C. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear ................................................... 15
D. Model Pertumbuhan Logistik ..................................................................... 33
E. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara
Logistik ....................................................................................................... 40
F. Metode Iterasi Variasional ......................................................................... 50
G. Kerangka Berpikir ...................................................................................... 51
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL ... 52
A. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara
Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Salah Satu Jenis Spesies ........... 54
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
B. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh secara
Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Kedua Jenis Spesies .................. 61
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL DENGAN METODE
ITERASI VARIASIONAL .................................................................................... 71
BAB V ASPEK PENDIDIKAN ............................................................................ 83
A. Pembelajaran di SMA ................................................................................ 84
B. Pembelajaran di S1 ..................................................................................... 85
C. Refleksi Penelitian di Bidang Matematika ................................................. 86
BAB VI PENUTUP ............................................................................................... 90
A. Kesimpulan ................................................................................................. 90
B. Saran ........................................................................................................... 91
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 93
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada bidang biologi, salah satu masalah yang sering dihadapi adalah masalah
mengenai pertumbuhan populasi. Seringkali dilakukan penelitian atau percobaan
mengenai laju pertumbuhan populasi suatu spesies untuk mengetahui berbagai
macam perkembangan makhluk hidup di lingkungannya.
Pertumbuhan populasi suatu spesies ditandai dengan adanya perubahan
populasi setiap satuan waktu yang dipengaruhi oleh jumlah kematian, kelahiran,
serta perpindahan (migrasi). Jumlah populasi suatu spesies dapat diamati secara
langsung dalam jangka waktu tertentu. Selain itu, dapat juga dilakukan perhitungan
untuk mengetahui laju pertumbuhan dari suatu spesies tersebut dengan data yang
sudah ada. Salah satu cabang ilmu matematika yang dapat membantu
menyelesaikan permasalahan tersebut adalah pemodelan matematika.
Salah satu model matematika yang pernah diteliti adalah model interaksi
simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik. Pada penelitian
ini, peneliti akan memodifikasi model matematika tersebut dengan tujuan
menambah variasi dari model dasar yang sudah ada. Selanjutnya peneliti akan
melakukan analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh, serta akan
dicari solusi dari model yang diteliti.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
B. Tinjauan Pustaka
Berbagai penelitian mengenai dinamika populasi suatu spesies dan
penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan diferensial
sudah banyak dilakukan. Diagram 1.1 memberikan gambaran letak dari penelitian
yang dilakukan dengan penelitian-penelitian yang sudah ada.
Diagram 1.1 Bagan dari letak penelitian yang dilakukan
Stability analysis of
mutualism population
model with time delay
(Ahmad dan Budin,
2012)
Variational iteration
method-Some recent
results and new
intrepretations
(He, 2007)
Stability analysis of two
mutually interacting
species with unlimited
resources for both the
species
(Reddy, 2012)
Variational iteration
method for solving
multispecies Lotka–
Volterra equations
(Batiha, Noorani, dan
Hashim, 2007)
Variational iteration method for solving the
population dynamics model of two species
(Yuliyanto dan Mungkasi, 2017)
Analisis titik ekuilibrium model interaksi
mutualisme dua spesies
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
Beberapa penelitian sejenis yang membahas tentang dinamika populasi suatu
spesies dan metode iterasi variasional antara lain:
Pertama, penelitian B. Ravindra Reddy (2012) dengan judul “Stability
analysis of two mutually interacting species with unlimited resources for both the
species”. Makalah ini membahas mengenai analisis dari model dua spesies yang
saling berinteraksi dengan sumber daya atau daya dukung untuk kedua spesies yang
tak terbatas. Karakteristik dari model merupakan dua sistem persamaan diferensial
biasa nonlinear order satu. Sebelum mendiskripsikan model, dibuat asumsi sebagai
berikut: 𝑁1 merupakan banyaknya individu dalam populasi dari spesies pertama,
𝑁2 merupakan banyaknya individu dalam populasi dari spesies kedua, 𝑎1 dan 𝑎2
berturut-turut adalah laju pertumbuhan alami dari spesies pertama dan kedua, 𝛼12
merupakan laju peningkatan pertumbuhan dari spesies pertama akibat interaksi
dengan spesies kedua, dan 𝛼21 merupakan laju peningkatan pertumbuhan dari
spesies kedua akibat interaksi dengan spesies pertama. Catatan lebih lanjut bahwa
variabel 𝑁1, 𝑁2 dan parameter 𝑎1, 𝑎2, 𝛼12, 𝛼21 bernilai tak negatif. Jika laju
kematian lebih besar dari laju kelahiran, maka digunakan notasi yang sama dengan
tanda negatif pada tingkat pertumbuhan alami untuk membedakannya. Persamaan
dasar untuk laju pertumbuhan spesies pertama (𝑁1) adalah sebagai berikut:
𝑑𝑁1𝑑𝑡
= 𝑎1𝑁1 + 𝛼12𝑁1𝑁2. (1.1)
Persamaan dasar untuk laju pertumbuhan spesies kedua (𝑁2) adalah sebagai
berikut:
𝑑𝑁2𝑑𝑡
= 𝑎2𝑁2 + 𝛼21𝑁1𝑁2. (1.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Syarat ekuilibrium 𝑑𝑁1
𝑑𝑡= 0 dan
𝑑𝑁2
𝑑𝑡= 0, sehingga diperoleh
𝑁1(𝑎1 + 𝛼12𝑁2) = 0 dan 𝑁2(𝑎2 + 𝛼21𝑁1) = 0. (1.3)
Solusi (�̅�1, �̅�2) dari (1.3) merupakan ekuilibrium dari sistem (1.1)-(1.2). Sistem
tersebut memiliki satu keadaan setimbang yaitu �̅�1 = 0, �̅�2 = 0, dalam keadaan ini,
kedua spesies bertumbuh tanpa batas.
Kedua, penelitian Batiha, Noorani, dan Hashim (2007) dengan judul
“Variational iteration method for solving multispecies Lotka-Volterra equations”.
Makalah tersebut membahas mengenai penggunaan metode iterasi variasional
untuk menyelesaikan atau mencari solusi dari model pertumbuhan populasi suatu
spesies yang bertumbuh secara logistik, atau model pertumbuhan dengan
menggunakan persamaan Lotka-Volterra. Pada makalah tersebut dibahas juga
mengenai beberapa metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang
sama. Hasil dari penggunaan metode iterasi variasional untuk mencari pendekatan
solusi model, dibandingkan dengan metode dekomposisi Adomian dan Runge-
Kutta order empat.
Dari tinjauan pustaka mengenai dinamika populasi suatu spesies tersebut,
didapat bahwa pemodelan dari dinamika populasi merupakan suatu hal yang
penting dalam proses mengontrol laju dari pertumbuhan populasi suatu spesies.
Pertumbuhan populasi suatu spesies dapat diprediksi dengan menggunakan model
yang diteliti.
Berdasarkan beberapa penelitian yang sudah ada tersebut, perbedaan
penelitian ini terletak pada model yang digunakan. Model yang akan diteliti pada
penelitian ini adalah modifikasi dari model interaksi simbiosis mutualisme dua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
spesies yang bertumbuh secara logistik, yaitu dengan adanya pemanenan pada salah
satu jenis spesies dan adanya pemanenan pada kedua jenis spesies. Selain itu,
penelitian ini juga membahas mengenai solusi dari hasil perumuman model yang
diselesaikan menggunakan metode iterasi variasional, serta diberikan beberapa
kasus khusus dari model yang terbentuk.
C. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, dapat dirumuskan beberapa masalah yang
akan dibahas dalam penelitian ini, yaitu:
1. Bagaimana modifikasi serta analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model
interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik
dengan adanya unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya
unsur pemanenan pada kedua jenis spesies?
2. Bagaimana solusi model yang diperoleh dengan menggunakan metode iterasi
variasional?
D. Batasan Masalah
Pada penelitian ini, dibatasi masalah-masalah sebagai berikut:
1. Model pertumbuhan populasi yang dibahas adalah model interaksi simbiosis
mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur
pemanenan.
2. Populasi pada model yang dibahas berada pada suatu ekosistem tertutup atau
tidak ada faktor migrasi yang dilakukan oleh kedua spesies dan tidak ada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
interaksi dengan spesies lain, sehingga laju pertumbuhan populasi hanya
dipengaruhi oleh interaksi kedua spesies tersebut.
3. Model yang dibahas adalah model kontinu, yaitu menggunakan sistem
persamaan diferensial biasa nonlinear order satu.
4. Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium menggunakan nilai eigen pada
matriks Jacobi hasil dari pelinearan model.
5. Metode yang akan dibahas untuk menyelesaikan model adalah metode iterasi
variasional.
E. Metode Penelitian
Penelitian ini adalah penelitian studi pustaka dengan pendekatan kuantitatif
dan kualitatif. Tercapainya tujuan dari penelitian ini dilakukan dengan beberapa
langkah kerja. Langkah pertama adalah menentukan topik penelitian yaitu
permasalahan dalam kehidupan nyata yang terkait dengan bidang biologi,
khususnya mengenai pertumbuhan populasi dua spesies yang berinteraksi secara
mutualisme. Langkah kedua adalah mencari model matematika yang sudah ada
sesuai dengan permasalahan yang akan diteliti, pada penelitian ini model
matematika yang dimaksud adalah model interaksi simbiosis mutualisme dua
spesies yang bertumbuh secara logistik. Langkah ketiga adalah melakukan
modifikasi model yang sudah ada, pada penelitian ini modifikasi yang dilakukan
adalah dengan menambahkan unsur pemanenan pada model dasar. Langkah
keempat adalah menganalisis model hasil modifikasi, analisis yang dilakukan
adalah analisis kestabilan dari setiap titik ekuilibrium yang diperoleh pada model
hasil modifikasi. Langkah kelima adalah membuat perumuman dari model hasil
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
modifikasi kemudian hasil perumuman model diselesaikan atau dicari solusinya
menggunakan metode iterasi variasional. Langkah terakhir adalah menyimpulkan
hasil modifikasi model yang diperoleh beserta hasil analisis kestabilan titik
ekuilibriumnya dan solusi dari perumuman model menggunakan metode iterasi
variasional.
Diagram 1.2 merupakan bagan metode penelitian dari penelitian ini:
Diagram 1.2 Bagan metode penelitian
F. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menghasilkan modifikasi model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies
yang bertumbuh secara logistik dengan adanya unsur pemanenan pada salah
Memodifikasi model dasar mengenai pertumbuhan
populasi dua spesies
Mencari solusi dari perumuman model menggunakan
metode iterasi variasional
Menyimpulkan hasil modifikasi model beserta analisisnya
dan solusi yang diperoleh menggunakan metode iterasi
variasional
Masalah di dunia nyata yang terkait dengan bidang biologi
yaitu pertumbuhan populasi dua spesies
Memperoleh model dasar mengenai pertumbuhan populasi
dua spesies
Menganalisis kestabilan titik ekuilibrium dari model yang
sudah dimodifikasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
satu jenis spesies dan adanya unsur pemanenan pada kedua jenis spesies, serta
mengetahui hasil analisis kestabilan dari titik ekuilibrium yang diperoleh.
2. Memperoleh solusi dari perumuman model dengan menggunakan metode
iterasi variasional.
G. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk menambah pengetahuan mengenai
pemodelan matematika beserta penerapannya dalam kehidupan nyata dan
menambah referensi bahan ajar bagi guru/dosen dalam menjelaskan materi
mengenai sistem persamaan diferensial biasa nonlinear order satu. Selain itu,
penelitian ini juga dapat untuk menambah wawasan mengenai penggunaan metode
iterasi variasional untuk mencari pendekatan solusi sistem persamaan diferensial
biasa nonlinear order satu.
H. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan akan dibagi menjadi enam bagian, yaitu:
BAB I: PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, tinjauan pustaka, perumusan
masalah, batasan masalah, metode penelitian, tujuan penelitian, manfaat penelitian,
dan sistematika penulisan.
BAB II: LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan mengenai teori-teori yang terkait dengan penelitian
antara lain: pemodelan matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan
diferensial nonlinear (titik ekuilibrium, pelinearan, analisis kestabilan titik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
ekuilibrium), model pertumbuhan logistik, model interaksi simbiosis mutualisme
dua spesies yang bertumbuh secara logistik, serta metode Iterasi Variasional.
BAB III: HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL
Pada bab ini akan dipaparkan hasil serta pembahasan mengenai analisis dari
model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik
dengan unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan pemanenan pada kedua
jenis spesies, mulai dari menentukan titik ekuilibrium hingga menganalisis
kestabilan dari masing-masing titik ekuilibrium yang diperoleh.
BAB IV: HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL
Pada bab ini akan dipaparkan mengenai proses memperoleh solusi dari model
yang sudah diperumum beserta hasilnya dengan menggunakan metode Iterasi
Variasional.
BAB V: ASPEK PENDIDIKAN
Pada bab ini dibahas mengenai keterkaitan penelitian yang dilakukan
dengan proses pembelajaran di sekolah ataupun di kampus. Ada tiga hal yang
dibahas pada bab ini, pertama mengenai keterkaitan hasil atau proses penelitian
dengan pembelajaran di SMA, kedua keterkaitan hasil atau proses penelitian
dengan pembelajaran di S1, dan yang ketiga adalah refleksi penelitian di bidang
matematika.
BAB VI: PENUTUP
Pada bab ini dijelaskan mengenai kesimpulan dari pembahasan yang telah
diuraikan pada bab sebelumnya, serta beberapa saran yang terkait dengan penelitian
yang telah dilakukan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
BAB II
LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI
A. Pemodelan Matematika
Pemodelan Matematika merupakan suatu proses merepresentasikan dan
menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam persamaan matematika.
Dengan kata lain, pemodelan matematika adalah proses membangun suatu model
dengan menggunakan teori matematika untuk menggambarkan dinamika suatu
sistem. Oleh karena itu, pemodelan matematika hampir selalu terkait dengan
bidang-bidang ilmu yang lain.
Sebagai suatu proses, pemodelan matematika mencakup beberapa tahap yang
saling berhubungan. Tahapan-tahapan tersebut dapat digambarkan pada bagan
berikut:
Diagram 2.1 Bagan proses pemodelan matematika
Dunia Nyata Model
Matematika
Prediksi /
Penafsiran
Perumusan
Pengujian
Kesimpulan
Matematika
Analisis
Penafsiran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Berikut penjelasan dari bagan proses pemodelan matematika seperti tampak pada
Diagram 2.1.
a. Merumuskan permasalahan dari dunia nyata ke dalam bentuk
matematika
Pada langkah ini dibutukan pemahaman dari permasalahan yang akan
dimodelkan, karena akan dibentuk hubungan antar variabel yang dihasilkan
dari permasalahan tersebut. Pada langkah ini, juga disertakan beberapa
asumsi untuk membatasi model dari masalah yang akan diteliti. Adanya
perbedaan asumsi-asumsi yang diterapkan oleh setiap peneliti menyebabkan
perbedaan model meskipun penelitian dilakukan pada masalah yang sama.
Setelah asumsi-asumsi ditentukan, dilakukan formulasi model yang akan
dianalisis.
b. Menganalisis model matematika
Analisis dari model matematika dilakukan untuk memperoleh solusi
dari model matemaika yang diteliti. Solusi dari model matematika yang
diperoleh dapat berupa persamaan matematika atau uraian mengenai masalah
matematika secara teoristis.
c. Menafsirkan atau menginterpretasi solusi dari model matematika
Langkah ini sebagai penghubung antara solusi yang diperoleh dalam
bentuk persamaan matematika dengan permasalahan dalam dunia nyata.
Interpretasi ini dapat diwujudkan dalam bentuk grafik gambar berdasarkan
perilaku dari solusi yang diperoleh.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
d. Menguji solusi dari model matematika ke dalam dunia nyata
Menguji solusi yang telah diperoleh dilakukan untuk melihat
kesesuaian solusi dari model dengan data di dunia nyata. Kesesuaian solusi
model dipengaruhi oleh asumsi-asumsi yang digunakan. Apabila solusi dari
model kurang realistis, maka akan dilakukan kembali proses pembentukan
model dari langkah pertama sehingga nantinya diperoleh model matematika
yang lebih baik.
Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa proses membangun model
matematika bersifat dinamis untuk menghasilkan model yang lebih baik.
B. Persamaan Diferensial
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan satu atau lebih
variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Berdasarkan banyaknya
variabel bebas yang terdapat dalam persamaan, persamaan diferensial
diklasifikasikan menjadi persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial
parsial.
Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang
melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu variabel bebas,
sebagai contoh: jika 𝑦(𝑥) merupakan fungsi satu variabel dengan 𝑥 sebagai variabel
bebas dan 𝑦 sebagai variabel terikat, maka suatu persamaan diferensial biasa dapat
dinyatakan dalam bentuk:
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′, … , 𝑦(𝑛)) = 𝑓(𝑥), (2.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
dan jika 𝑓(𝑥) = 0 maka persamaan diferensial (2.1) disebut persamaan diferensial
homogen, sedangkan jika 𝑓(𝑥) ≠ 0 maka persamaan diferensial (2.1) disebut
persamaan diferensial nonhomogen. Persamaan diferensial parsial adalah suatu
persamaan diferensial yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel terikat
terhadap dua atau lebih variabel bebas.
Pada persamaan diferensial, order didefinisikan sebagai tingkat turunan
tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa
contoh persamaan diferensial beserta jenisnya berdasarkan banyak variabel dan
ordernya:
Contoh 2.1
a. 𝑑𝑦
𝑑𝑥− 2𝑥 = 0 merupakan persamaan diferensial biasa order satu.
b. 𝑦′′ + 3𝑦′ − 2𝑦 = 0 merupakan persamaan diferensial biasa order dua.
c. 𝜕𝑓
𝜕𝑥+
𝜕𝑓
𝜕𝑦= 0 merupakan persamaan diferensial parsial order satu.
d. 𝜕2𝑓
𝜕𝑥2+
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2− 2
𝜕2𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦= 0 merupakan persamaan diferensial parsial order dua.
Pada persamaan diferensial order satu, terdapat bentuk persamaan diferensial
variabel terpisah. Bentuk umum persamaan diferensial variabel terpisah adalah
sebagai berikut:
𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑄(𝑦)𝑑𝑦 = 0, (2.2)
dengan 𝑃 merupakan fungsi yang bergantung pada 𝑥 dan 𝑄 fungsi yang bergantung
pada 𝑦. Berdasarkan bentuk umum tersebut, suku-suku dalam variabel 𝑥
dikelompokkan dengan turunannya yaitu 𝑑𝑥 dan suku-suku dalam variabel 𝑦
dikelompokkan dengan turunannya yaitu 𝑑𝑦. Metode yang digunakan untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
menyelesaikan persamaan diferensial variabel terpisah adalah metode pemisahan
variabel. Persamaan (2.2) selanjutnya diintegralkan masing-masing sukunya untuk
memperoleh penyelesaiannya, sehingga didapat persamaan berikut:
∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑄(𝑦)𝑑𝑦 = 𝐶,
dengan 𝐶 ∈ ℝ.
Contoh 2.2
Tentukan solusi persamaan diferensial berikut:
𝑦(1 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = 0. (2.3)
Jawab:
Persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan diferensial variabel terpisah.
Bentuk (2.3) dapat diubah menjadi
(1 − 𝑥)
𝑥2𝑑𝑥 +
1
𝑦𝑑𝑦 = 0
dengan cara membagi masing-masing sukunya dengan 𝑥2𝑦 ≠ 0. Selanjutnya
masing-masing suku diintegralkan
∫(1 − 𝑥)
𝑥2𝑑𝑥 + ∫
1
𝑦𝑑𝑦 = 𝐶1
kemudian dengan manipulasi aljabar, bentuk fungsi diubah menjadi
∫(𝑥−2 −1
𝑥) 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑦𝑑𝑦 = 𝐶1
sehingga diperoleh
−1
𝑥− ln 𝑥 + 𝐶2 + ln 𝑦 + 𝐶3 = 𝐶1
ln |𝑦
𝑥| = 𝐶 +
1
𝑥
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
dengan 𝐶 = 𝐶1 − 𝐶2 − 𝐶3
𝑦
𝑥= 𝑒𝐶+
1𝑥
𝑦 = 𝐾𝑥𝑒1𝑥,
dengan 𝐾 = 𝑒𝐶.
C. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear
Sistem persamaan diferensial tidak hanya berperan penting dalam bidang
matematika, namun berperan penting juga dalam bidang lain seperti ekonomi,
fisika, biologi, dan lain sebagainya. Sistem persamaan diferensial disebut sebagai
sistem persamaan diferensial nonlinear apabila memenuhi paling sedikit satu dari
kriteria berikut:
a. Memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu.
b. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/ atau turunan-turunannya.
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut:
�̇�1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),
�̇�2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),⋮
�̇�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛),
(2.4)
dengan 𝑓𝑖: ⊆ ℝ𝑛 → ℝ𝑛, �̇�𝑖 =
𝑑�̇�𝑖
𝑑𝑡, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dan (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐸.
Diberikan pula kondisi awal 𝑥𝑖(𝑡0) = 𝑥𝑖0, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
Sistem (2.4) dapat ditulis menjadi
�̇� = 𝑓(𝑥), (2.5)
dengan 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐸 ⊆ ℝ𝑛, 𝑓 = (𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛)
𝑇, �̇� = (�̇�1, �̇�2, … , �̇�𝑛)𝑇
dengan syarat awal 𝑥(𝑡0) = (𝑥10, 𝑥20, … , 𝑥𝑛0) = 𝑥0.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
Sistem (2.5) disebut sistem persamaan diferensial autonomous karena
variabel waktu 𝑡 tidak muncul secara eksplisit. Selanjutnya, jika 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛
masing-masing linear dalam 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, maka sistem (2.4) disebut sistem
persamaan diferensial linear. Sistem (2.4) juga dapat ditulis dalam bentuk:
�̇�1 = 𝑎11𝑥1 + 𝑎12𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥𝑛�̇�2 = 𝑎21𝑥1 + 𝑎22𝑥2 +⋯+ 𝑎2𝑛𝑥𝑛
⋮�̇�𝑛 = 𝑎𝑛1𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛.
(2.6)
Sistem (2.6) dinyatakan dalam bentuk
�̇� = 𝐴𝑥, (2.7)
dengan 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛
) dan 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)𝑇 ∈ 𝐸.
Jadi, sistem (2.7) disebut sistem persamaan diferensial linear dari sistem (2.4).
Namun, jika sistem (2.4) tidak dapat dinyatakan dalam bentuk sistem (2.7) maka
sistem (2.4) disebut sistem persamaan diferensial nonlinear.
Pada sistem persamaan diferensial juga dibahas mengenai beberapa hal berikut:
a. Titik Ekuilibrium
Titik ekuilibrium merupakan solusi dari sistem (2.5) yang tidak
mengalami perubahan terhadap waktu.
Definisi 2.1 (Perko, 2001)
Titik �̂� ∈ ℝ𝑛 disebut titik ekuilibrium dari (2.5) jika 𝑓(�̂�) = 0.
Berikut diberikan contoh mengenai Definisi 2.1
Contoh 2.3
Tentukan titik ekuilibrium dari sistem persamaan diferensial berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
𝑓(𝑥) = (2𝑥1𝑥2 − 4𝑥13𝑥1
2 − 6𝑥2)
Jawab:
Titik ekuilibrium diperoleh jika 𝑓(�̂�) = 0, sehingga sistem tersebut menjadi
2𝑥1𝑥2 − 4𝑥1 = 0
atau dapat ditulis menjadi
2𝑥1(𝑥2 − 2) = 0.
Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh �̂�1 = 0 dan �̂�2 = 2.
Jika �̂�1 = 0 dan menurut persamaan
3𝑥12 − 6𝑥2 = 0,
maka diperoleh 𝑥2 = 0 sehingga didapat titik ekuilibrium 𝑃1(0,0)𝑇.
Jika �̂�2 = 2 dan menurut persamaan
3𝑥12 − 6𝑥2 = 0,
maka diperoleh 𝑥1 = ±2 sehingga didapat titik ekuilibrium 𝑃2(2,2)𝑇 atau
𝑃3(−2,2)𝑇.
b. Pelinearan
Pelinearan merupakan proses membawa suatu sistem nonlinear menjadi
sistem linear. Pelinearan dilakukan pada sistem nonlinear untuk mengetahui
perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Pelinearan pada
sistem nonlinear dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi dengan bentuk
sederhana. Proses pelinearan dapat dilakukan dengan menggunakan deret
Taylor untuk mencari suatu hampiran solusi di sekitar titik ekuilibrium. Deret
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Taylor untuk sistem 𝑓 = (𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛)𝑇 di sekitar titik ekuilibrium �̂� =
(�̂�1, �̂�2, … , �̂�𝑛)𝑇 dengan 𝑓(�̂�) = 0 sebagai berikut
�̇�1 = 𝑓1(𝑥) =𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯
+𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛) + Ο(‖𝑥 − �̂�‖)
2,
�̇�2 = 𝑓2(𝑥) =𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +
𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯
+𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛) + Ο(‖𝑥 − �̂�‖)
2,
⋮
�̇�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥) =𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯
+𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛) + Ο(‖𝑥 − �̂�‖)
2.
Apabila suku-suku nonlinearnya diabaikan maka diperoleh
�̇�1 = 𝑓1(𝑥) =𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯
+𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛),
�̇�2 = 𝑓2(𝑥) =𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +
𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯
+𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛),
⋮
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
�̇�𝑛 = 𝑓𝑛(𝑥) =𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥1(𝑥1 − �̂�1) +
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥2(𝑥2 − �̂�2) + ⋯
+𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥𝑛(𝑥𝑛 − �̂�𝑛).
Selanjutnya didefinisikan
𝑦1 = 𝑥1 − �̂�1,
𝑦2 = 𝑥2 − �̂�2,
⋮
𝑦𝑛 = 𝑥𝑛 − �̂�𝑛.
Didapat turunannya yaitu
�̇�1 = �̇�1, �̇�2 = �̇�2, … , �̇�𝑛 = �̇�𝑛,
sehingga �̇� = �̇� dan diperoleh
�̇�1 =𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥1𝑦1 +
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥2𝑦2 +⋯+
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥𝑛𝑦𝑛,
�̇�2 =𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥1𝑦1 +
𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥2𝑦2 +⋯+
𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥𝑛𝑦𝑛,
⋮
�̇�𝑛 =𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥1𝑦1 +
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥2𝑦2 +⋯+
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥𝑛𝑦𝑛.
(2.8)
Jika bentuk (2.8) dinyatakan dalam bentuk matriks, maka diperoleh
(
�̇�1�̇�2⋮�̇�𝑛
) =
(
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥2…
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥𝑛𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥2…
𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥2…
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥𝑛 )
(
𝑦1𝑦2⋮𝑦𝑛
),
atau dapat ditulis menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
�̇� = 𝐽(𝑓(�̂�))𝑦,
dengan 𝐽(𝑓(�̂�)) merupakan matriks Jacobi dan fungsi 𝑓 di titik ekuilibrium
�̂�. Berikut definisi dari matriks Jacobi:
Definisi 2.2 (Perko, 2001)
Diberikan fungsi 𝑓 = 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛 dengan 𝑓𝑖 ∈ 𝐶1(𝐸), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, 𝐸 ⊆ ℝ𝑛
dan 𝐸 himpunan terbuka.
Matriks
𝐽(𝑓(�̂�)) =
(
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥2…
𝜕𝑓1(�̂�)
𝜕𝑥𝑛𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥2…
𝜕𝑓2(�̂�)
𝜕𝑥𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥1
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥2…
𝜕𝑓𝑛(�̂�)
𝜕𝑥𝑛 )
,
dinamakan matriks Jacobi dari 𝑓 dari �̂�.
Selanjutnya diberikan definisi mengenai pelinearan pada sistem persamaan
nonlinear.
Definisi 2.3 (Perko, 2001)
Diberikan matriks Jacobi 𝐽(𝑓(𝑥)) pada (2.8). Sistem linear
�̇� = 𝐽(𝑓(�̂�))𝑥
disebut pelinearan dari sistem �̇� = 𝑓(𝑥) disekitar titik �̂�.
c. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium
Pada proses pelinearan diperoleh matriks Jacobi yang akan digunakan
dalam proses mencari nilai eigen. Nilai eigen diperoleh dengan cara
det(𝐽𝑖 − 𝜆𝐼) = 0, dimana 𝐽𝑖 merupakan matriks Jacobi, 𝐼 merupakan matriks
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
identitas, dan 𝜆 merupakan nilai eigen dari matriks Jacobi. Nilai eigen yang
diperoleh dapat digunakan untuk memeriksa kestabilan dari titik ekuilibrium.
Kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium berdasarkan nilai eigen menurut
Boyce dan DiPrima (2012 : 504) adalah seperti pada Tabel 2.1.
Tabel 2.1 Kriteria kestabilan dari titik ekuilibrium
Nilai Eigen Jenis Titik Kritis Kestabilan
𝜆1 > 𝜆2 > 0 Simpul Tak stabil
𝜆1 < 𝜆2 < 0 Simpul Stabil asimtotik
𝜆1 < 0 < 𝜆2 Titik sadel Tak stabil
𝜆1 = 𝜆2 > 0 Simpul sejati atau
simpul tak sejati Tak stabil
𝜆1 = 𝜆2 < 0 Simpul sejati atau
simpul tak sejati Stabil asimtotik
𝜆1, 𝜆2 = 𝑟 ± 𝑖𝜇 Titik spiral
𝑟 > 0 Tak stabil
𝑟 < 0 Stabil asimtotik
𝜆1 = 𝑖𝜇, 𝜆2 = −𝑖𝜇 Pusat Stabil
Berdasarkan Tabel 2.1, dapat disimpulkan bahwa titik ekuilibrium akan
mencapai keadaan stabil asimtotik apabila nilai 𝜆1, 𝜆2 = 𝑟 ± 𝑖𝜇 dan 𝑟 < 0,
dengan 𝑟 merupakan bagian dari bilangan realnya dan 𝜇 merupakan bagian
dari bilangan kompleksnya.
Berikut beberapa contoh sistem persamaan diferensial beserta
penyelesaiannya sebagai ilustrasi gambar mengenai kriteria kestabilan dari
titik ekuilibrium yang digambar menggunakan software Matlab.
Contoh 2.5
Diberikan sistem persamaan diferensial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 4𝑥 + 2𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 4𝑥 + 6𝑦.
}
Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0,
4𝑥 + 2𝑦 = 0,4𝑥 + 6𝑦 = 0.
}
Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).
Misalkan 𝐴 = (4 24 6
).
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((4 24 6
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (4 − 𝜆 24 6 − 𝜆
) = 0
(4 − 𝜆)(6 − 𝜆) − 8 = 0
𝜆2 − 10𝜆 + 16 = 0
(𝜆 − 8)(𝜆 − 2) = 0
𝜆1 = 8 ∨ 𝜆2 = 2.
Karena 𝜆1 > 𝜆2 > 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik simpul yang
bersifat tak stabil. Gambar 2.1 adalah diagram fase dari sistem persamaan
diferensial Contoh 2.5 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Gambar 2.1 Diagram fase Contoh 2.5
(titik simpul yang bersifat tak stabil)
Contoh 2.6
Diberikan sistem persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −10𝑥 − 7𝑦.
}
Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0,
𝑦 = 0,−10𝑥 − 7𝑦 = 0.
}
Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).
Misalkan 𝐴 = (0 1−10 −7
).
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((0 1−10 −7
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (−𝜆 1−10 −7 − 𝜆
) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
(−𝜆)(−7 − 𝜆) + 10 = 0
𝜆2 + 7𝜆 + 10 = 0
(𝜆 + 5)(𝜆 + 2) = 0
𝜆1 = −5 ∨ 𝜆2 = −2.
Karena 𝜆1 < 𝜆2 < 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik simpul yang
bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.2 adalah diagram fase dari sistem
persamaan diferensial Contoh 2.6 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 2.2 Diagram fase Contoh 2.6
(titik simpul yang bersifat stabil asimtotik)
Contoh 2.7
Diberikan sistem persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 2𝑥 + 4𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 4𝑥 − 4𝑦.
}
Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0,
2𝑥 + 4𝑦 = 0,4𝑥 − 4𝑦 = 0.
}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).
Misalkan 𝐴 = (2 44 −4
).
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((2 44 −4
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (2 − 𝜆 44 −4 − 𝜆
) = 0
(2 − 𝜆)(−4 − 𝜆) − 16 = 0
𝜆2 + 2𝜆 − 24 = 0
(𝜆 + 6)(𝜆 − 4) = 0
𝜆1 = −6 ∨ 𝜆2 = 4.
Karena 𝜆1 < 0 < 𝜆2 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik sadel yang
bersifat tak stabil. Gambar 2.3 memuat diagram fase dari sistem persamaan
diferensial Contoh 2.7 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 2.3 Diagram fase Contoh 2.7
(titik sadel yang bersifat tak stabil)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Contoh 2.8
Diberikan sistem persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 5𝑥,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 5𝑦.
}
Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0,
5𝑥 = 0,5𝑦 = 0.
}
Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).
Misalkan 𝐴 = (5 00 5
).
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((5 00 5
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (5 − 𝜆 00 5 − 𝜆
) = 0
(5 − 𝜆)(5 − 𝜆) = 0
𝜆1 = 𝜆2 = 5.
Karena 𝜆1 = 𝜆2 > 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik simpul sejati
atau titik simpul tak sejati yang bersifat tak stabil. Gambar 2.4 memuat
diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.8 untuk beberapa
nilai awal yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Gambar 2.4 Diagram fase Contoh 2.8
(titik simpul sejati atau tak sejati yang bersifat tak stabil)
Contoh 2.9
Diberikan sistem persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 2𝑥 + 5𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −5𝑥 − 8𝑦.
}
Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0,
2𝑥 + 5𝑦 = 0,−5𝑥 − 8𝑦 = 0.
}
Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).
Misalkan 𝐴 = (2 5−5 −8
).
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((2 5−5 −8
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
𝑑𝑒𝑡 (2 − 𝜆 5−5 −8 − 𝜆
) = 0
(2 − 𝜆)(−8 − 𝜆) + 25 = 0
𝜆2 + 6𝜆 + 9 = 0
(𝜆 + 3)2 = 0
𝜆1 = 𝜆2 = −3.
Karena 𝜆1 = 𝜆2 < 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik simpul sejati
atau titik simpul tak sejati yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.5
menunjukkan diagram fase dari sistem persamaan diferensial Contoh 2.9
untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 2.5 Diagram fase Contoh 2.9
(titik simpul sejati atau tak sejati yang bersifat stabil asimtotik)
Contoh 2.10
Diberikan sistem persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 8𝑥 + 10𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −10𝑥 − 4𝑦.
}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0,
8𝑥 + 10𝑦 = 0,−10𝑥 − 4𝑦 = 0.
}
Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).
Misalkan 𝐴 = (8 10−10 −4
).
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0.
𝑑𝑒𝑡 ((8 10−10 −4
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (8 − 𝜆 10−10 −4 − 𝜆
) = 0
(8 − 𝜆)(−4 − 𝜆) + 100 = 0
𝜆2 − 4𝜆 + 68 = 0
𝜆1,2 =4 ± √16 − 4(1)(68)
2
𝜆1,2 = 2 ± 8𝑖.
Karena 𝜆1, 𝜆2 = 𝑟 ± 𝑖𝜇 dan 𝑟 > 0 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik
spiral yang bersifat tak stabil. Gambar 2.6 adalah diagram fase dari sistem
persamaan diferensial Contoh 2.10 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
Gambar 2.6 Diagram fase Contoh 2.10
(titik spiral yang bersifat tak stabil)
Contoh 2.11
Diberikan sistem persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡= −8𝑥 + 10𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −10𝑥 + 4𝑦.
}
Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0,
−8𝑥 + 10𝑦 = 0,−10𝑥 + 4𝑦 = 0.
}
Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).
Misalkan 𝐴 = (−8 10−10 4
).
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((−8 10−10 4
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
𝑑𝑒𝑡 (−8 − 𝜆 10−10 4 − 𝜆
) = 0
(−8 − 𝜆)(4 − 𝜆) + 100 = 0
𝜆2 + 4𝜆 + 68 = 0
𝜆1,2 =−4 ± √16 − 4(1)(68)
2
𝜆1,2 = −2 ± 8𝑖.
Karena 𝜆1, 𝜆2 = 𝑟 ± 𝑖𝜇 dan 𝑟 < 0, titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik
spiral yang bersifat stabil asimtotik. Gambar 2.7 adalah diagram fase dari
sistem persamaan diferensial Contoh 2.11 untuk beberapa nilai awal yang
berbeda.
Gambar 2.7 Diagram fase Contoh 2.11
(titik spiral yang bersifat stabil asimtotik)
Contoh 2.12
Diberikan sistem persamaan diferensial
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 2𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= −2𝑥.
}
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Syarat titik ekuilibrium: 𝑑𝑥
𝑑𝑡=𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0,
2𝑦 = 0,−2𝑥 = 0.
}
Diperoleh titik ekuilibrium 𝑃(0,0).
Misakan 𝐴 = (0 2−2 0
).
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((0 2−2 0
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (−𝜆 2−2 −𝜆
) = 0
𝜆2 + 4 = 0
𝜆2 = −4
𝜆1,2 = 𝑖√4
𝜆1 = 2𝑖 ∨ 𝜆2 = −2𝑖.
Karena 𝜆1 = 𝑖𝜇, 𝜆2 = −𝑖𝜇 , titik ekuilibrium 𝑃(0,0) merupakan titik pusat
yang bersifat stabil. Gambar 2.8 adalah diagram fase dari sistem persamaan
diferensial Contoh 2.12 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Gambar 2.8 Diagram fase Contoh 2.12
(titik pusat yang bersifat stabil)
D. Model Pertumbuhan Logistik
Model pertumbuhan populasi untuk satu spesies dikemukakan pertama kali
oleh Malthus. Model diberikan oleh masalah nilai awal sebagai berikut:
{
𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑟𝑁(𝑡),
𝑁(0) = 𝑁0,
dengan 𝑁(𝑡) banyaknya individu di dalam populasi pada waktu 𝑡, dengan 𝑡 adalah
variabel waktu, dan 𝑟 konstanta laju pertumbuhan. Model tersebut dapat
diselesaikan menggunakan metode pemisahan variabel sebagai berikut:
𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑟𝑁(𝑡)
𝑑𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)= 𝑟𝑑𝑡
∫𝑑𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)= ∫𝑟𝑑𝑡
ln 𝑁(𝑡) = 𝑟𝑡 + 𝐶
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡+𝐶
𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶
dengan 𝐴 = 𝑒𝑐 dan diperoleh penyelesaian umum
𝑁(𝑡) = 𝐴𝑒𝑟𝑡.
Substitusi nilai awal 𝑁(0) = 𝑁0
𝑁(0) = 𝐴𝑒𝑟(0)
𝑁0 = 𝐴,
untuk memperoleh penyelesaian khusus dari model
𝑁(𝑡) = 𝑁0𝑒𝑟𝑡.
Penyelesaian tersebut menandakan pertumbuhan populasi bertumbuh secara
eksponensial dan bergantung pada nilai awal 𝑁0, konstanta laju pertumbuhan 𝑟, dan
waktu 𝑡. Karena penyelesaian dari model Malthus berupa persamaan eksponensial,
maka model Malthus ini juga disebut model eksponensial. Model eksponensial ini
tidak realistis, sebab untuk nilai 𝑟 > 0, dan jika diambil 𝑡 menuju tak hingga, maka
diperoleh 𝑁(𝑡) menuju tak hingga, yakni lim𝑡→∞
𝑁(𝑡) = ∞. Tidak mungkin suatu
populasi bertumbuh tanpa batas.
Titik ekuilibrium dari model pertumbuhan populasi satu spesies yang
dikemukakan oleh Malthus adalah sebagai berikut:
Syarat titik ekuilibrium 𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= 0, sehingga diperoleh
𝑟𝑁(𝑡) = 0
𝑁(𝑡) = 0.
Analisis kestabilan dari titik ekuilibrium 𝑁(𝑡) = 0, jika 𝑓(𝑁) = 𝑟𝑁, maka 𝑓′(𝑁) =
𝑁 sehingga diperoleh 𝑓′(0) = 0. Karena 𝑓′(0) = 0, titik ekuilibrium 𝑁(𝑡) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
bersifat tak stabil. Sebagai ilustrasi, untuk nilai awal 𝑁0 > 0 populasi akan bergerak
menjauhi nol, hal ini berarti titik ekuilibrium 𝑁(𝑡) = 0 merupakan solusi yang
bersifat tak stabil. Gambar 2.9 menunjukkan grafik penyelesaian yang digambar
menggunakan software Matlab dari model Malthus atau model eksponensial untuk
beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 2.9 Grafik penyelesaian model Malthus dengan 𝑟 = 0,3
Model Verhulst merupakan salah satu modifikasi dari model Malthus.
Adanya daya dukung yang berupa konstanta 𝐾 ditambahkan pada model bermaksud
untuk membuat model lebih realistik. Daya dukung yang dimaksud meliputi
keterbatasan ruang / kapasitas tempat tinggal, keterbatasan makanan, dan
sebagainya. Model Verhulst atau model logistik diberikan oleh persamaan:
{
𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑟𝑁(𝑡) (1 −
𝑁(𝑡)
𝐾) ,
𝑁(0) = 𝑁0,
dengan 𝑁(𝑡) adalah jumlah individu dalam populasi pada waktu 𝑡, 𝑡 adalah variabel
waktu, 𝑟 laju pertumbuhan, dan 𝐾 adalah konstanta daya dukung lingkungan atau
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
kemampuan lingkungan untuk menghidupi populasi. Penyelesaian dari model
Verhulst adalah sebagai berikut:
𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑟𝑁(𝑡) (1 −
𝑁(𝑡)
𝐾)
𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡=𝑟(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡)2)
𝐾
𝑑𝑁(𝑡)
(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡)2)=𝑟
𝐾𝑑𝑡
𝑑𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡))=𝑟
𝐾𝑑𝑡
∫𝑑𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡))=𝑟
𝐾∫𝑑𝑡.
Dengan menggunakan pecahan parsial
1
𝑁(𝑡)(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡))=
𝐴
𝑁(𝑡)+
𝐵
(𝐾 − 𝑁(𝑡)),
diperoleh nilai 𝐴 =1
𝐾 dan 𝐵 =
1
𝐾 . Selanjutnya pada ruas kiri dapat ditulis
1
𝑁(𝑡)(𝐾𝑁(𝑡) − 𝑁(𝑡))=
1
𝐾𝑁(𝑡)+
1
𝐾(𝐾 − 𝑁(𝑡)),
sehingga
∫(1
𝐾𝑁(𝑡)+
1
𝐾(𝐾 − 𝑁(𝑡))) 𝑑𝑁(𝑡) =
𝑟
𝐾∫𝑑𝑡
∫𝑑𝑁(𝑡)
𝐾𝑁(𝑡)+ ∫
𝑑𝑁(𝑡)
𝐾(𝐾 − 𝑁(𝑡))=𝑟
𝐾∫𝑑𝑡
1
𝐾∫𝑑𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)+1
𝐾∫
𝑑𝑁(𝑡)
(𝐾 − 𝑁(𝑡))=𝑟
𝐾∫𝑑𝑡
∫𝑑𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)+ ∫
𝑑𝑁(𝑡)
(𝐾 − 𝑁(𝑡))= 𝑟∫𝑑𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
ln 𝑁(𝑡) − ln|𝐾 − 𝑁(𝑡)| = 𝑟𝑡 + 𝐶
ln |𝑁(𝑡)
𝐾 − 𝑁(𝑡)| = 𝑟𝑡 + 𝐶
𝑁(𝑡)
𝐾 − 𝑁(𝑡)= 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶
𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝐾 − 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡) + 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝐾
(1 + 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶)𝑁(𝑡) = 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝐾
𝑁(𝑡) =𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶𝐾
1 + 𝑒𝑟𝑡𝑒𝐶
dengan 𝐵 = 𝑒𝐶 , diperoleh penyelesaian umum
𝑁(𝑡) =𝐵𝐾𝑒𝑟𝑡
1 + 𝐵𝑒𝑟𝑡.
Substitusi nilai awal 𝑁(0) = 𝑁0 sehingga diperoleh penyelesaian khusus dari
model sebagai berikut
𝑁(0) =𝐵𝐾𝑒𝑟(0)
1 + 𝐵𝑒𝑟(0)
𝑁0 =𝐵𝐾
1 + 𝐵
𝑁0 + 𝐵𝑁0 = 𝐵𝐾
𝐵(𝐾 − 𝑁0) = 𝑁0
𝐵 =𝑁0
𝐾 − 𝑁0.
Subsitusi nilai 𝐵 =𝑁0
𝐾 − 𝑁0 ke dalam 𝑁(𝑡) =
𝐵𝐾𝑒𝑟𝑡
1 + 𝐵𝑒𝑟𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
𝑁(𝑡) =
𝐾𝑒𝑟𝑡𝑁0𝐾−𝑁0
𝐾−𝑁0 + 𝑒𝑟𝑡𝑁0𝐾−𝑁0
𝑁(𝑡) =𝐾𝑒𝑟𝑡𝑁0
𝐾 + (𝑒𝑟𝑡 − 1)𝑁0.
Penyelesaian tersebut lebih realistis dibandingkan dengan penyelesaian model
Malthus, sebab jika diambil nilai 𝑡 menuju tak hingga maka diperoleh:
lim𝑡→∞
𝐾𝑒𝑟𝑡𝑁0𝐾 + (𝑒𝑟𝑡 − 1)𝑁0
= lim𝑡→∞
𝐾
𝐾𝑒𝑟𝑡𝑁0
+ 1 −1𝑒𝑟𝑡
=𝐾
0 + 1 − 0
= 𝐾.
Hal ini berarti populasi akan bertumbuh secara terbatas dan asimtotik ke nilai 𝐾
saat 𝑡 menuju tak hingga.
Titik ekuilibrium dari model pertumbuhan populasi satu spesies yang
dikemukakan oleh Verhulst adalah sebagai berikut: 𝑑𝑁(𝑡)
𝑑𝑡= 0, sehingga diperoleh
𝑟𝑁(𝑡) (1 −𝑁(𝑡)
𝐾) = 0
𝑟𝑁(𝑡) = 0 ∨ 1 −𝑁(𝑡)
𝐾= 0
𝑁(𝑡)1 = 0 ∨ 𝑁(𝑡)2 = 𝐾.
Jadi, terdapat dua titik ekuilibrium yaitu 𝑁(𝑡)1 = 0 atau 𝑁(𝑡)2 = 𝐾. Jika 𝑓(𝑁) =
𝑟𝑁(𝑡) (1 −𝑁(𝑡)
𝐾), maka 𝑓′(𝑁) = 𝑟 −
2𝑟𝑁(𝑡)
𝐾, sehingga analisis kestabilan untuk titik
ekuilibrium 𝑁(𝑡)1 = 0 adalah 𝑓′(0) = 𝑟. Karena 𝑟 > 0 maka 𝑓′(0) > 0, sehingga
titik ekuilibrium 𝑁(𝑡)1 = 0 bersifat tak stabil. Sedangkan analisis kestabilan untuk
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
titik ekuilibrium 𝑁(𝑡)2 = 𝐾 adalah 𝑓′(0) = −𝑟, karena 𝑟 > 0 maka 𝑓′(𝐾) < 0,
sehingga titik ekuilibrium 𝑁(𝑡)2 = 𝐾 bersifat stabil asimtotik. Dengan kata lain,
untuk setiap nilai awal 𝑁0 > 0 populasi akan bergerak menjauhi nol, jadi titik
ekuilibrium 𝑁(𝑡)1 = 0 merupakan solusi yang bersifat tak stabil. Berbeda dengan
𝑁(𝑡)2 = 𝐾, untuk setiap 𝑁0 > 0 berlaku:
lim𝑡→∞
𝐾
(𝐾𝑁0− 1) 𝑒−𝑟𝑡 + 1
= 𝐾,
sehingga 𝑁(𝑡)2 = 𝐾 adalah solusi yang stabil asimtotik.
Berikut grafik penyelesaian dari model Verhulst atau model logistik yang digambar
menggunakan software Matlab untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 2.10 Grafik penyelesaian model Verhulst dengan 𝑟 = 0,3 dan 𝐾 = 500
Gambar 2.10 menunjukkan bahwa dalam jangka waktu yang panjang atau 𝑡 menuju
tak hingga, jumlah populasi konvergen menuju ke koefisien daya dukung atau 𝐾 =
500.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
E. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh
secara Logistik
Simbiosis mutualisme adalah interaksi yang erat dan khusus antara dua
makhluk hidup yang berbeda jenis namun saling menguntungkan bagi kedua pihak.
Beberapa contoh makhluk hidup yang berinteraksi secara simbiosis mutualisme
adalah interaksi antara kerbau dan burung jalak, zebra dan burung oxpecker, buaya
dan burung plover, anemon laut dan ikan badut, bunga dan kupu-kupu, bunga dan
lebah, dan lain sebagainya.
Interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara
eksponensial dapat dimodelkan sebagai berikut:
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 + 𝑎𝑥𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 + 𝑏𝑥𝑦,
dengan 𝑥 dan 𝑦 adalah jumlah populasi pada waktu 𝑡. Parameter 𝑟 dan 𝑠 berturut-
turut merupakan laju pertumbuhan intrinsik dari populasi 𝑥 dan 𝑦, konstanta
𝑎 dan b menunjukkan koefisien dari interaksi antara dua populasi yang dapat
meningkatkan jumlah masing-masing populasi 𝑥 dan 𝑦.
Analisis kestabilan titik ekuilibrium model interaksi simbiosis mutualisme
populasi dua spesies yang bertumbuh secara eksponensial adalah sebagai berikut:
Dicari titik ekuilibrium dengan syarat titik ekuilibrium 𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0, sehingga
diperoleh:
𝑟𝑥 + 𝑎𝑥𝑦 = 0,𝑠𝑦 + 𝑏𝑥𝑦 = 0,
} atau 𝑥(𝑟 + 𝑎𝑦) = 0,
𝑦(𝑠 + 𝑏𝑥) = 0. }
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Terdapat dua titik ekuilibrium, yakni 𝑃1(0,0) dan 𝑃2 (−𝑠
𝑏, −
𝑟
𝑎). Setelah itu
dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi
𝐽𝑖 =
(
𝜕𝑓1𝜕𝑥
𝜕𝑓1𝜕𝑦
𝜕𝑓2𝜕𝑥
𝜕𝑓2𝜕𝑦)
= (
𝑟 + 𝑎𝑦 𝑎𝑥𝑏𝑦 𝑠 + 𝑏𝑥
).
Dengan mensubstitusi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) dan 𝑃2 (−𝑠
𝑏, −
𝑟
𝑎) pada matriks
Jacobi, maka diperoleh:
𝐽1 = (𝑟 00 𝑠
),
𝐽2 = (0 −
𝑎𝑠
𝑏
−𝑏𝑟
𝑎0).
Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) dengan matriks Jacobi
𝐽1 = (𝑟 00 𝑠
),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽1 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 00 𝑠
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝜆 00 𝑠 − 𝜆
) = 0
(𝑟 − 𝜆)(𝑠 − 𝜆) = 0
𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 sehingga 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real berbeda lebih dari
nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik simpul yang bersifat tak
stabil.
Analisis kestabilan titik ekuilibrium
𝑃2 (−𝑠
𝑏,−𝑟
𝑎),
dengan matriks Jacobi
𝐽2 = (0 −
𝑎𝑠
𝑏
−𝑏𝑟
𝑎0),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽2 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡
(
(
0 −𝑎𝑠
𝑏
−𝑏𝑟
𝑎0) − (
𝜆 00 𝜆
)
)
= 0
𝑑𝑒𝑡 (−𝜆 −
𝑎𝑠
𝑏
−𝑏𝑟
𝑎−𝜆
) = 0
𝜆2 − 𝑟𝑠 = 0
𝜆1,2 = ± √𝑟𝑠
𝜆1 = √𝑟𝑠 ∨ 𝜆2 = −√𝑟𝑠.
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 sehingga 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real berbeda dan
berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (−𝑠
𝑏, −
𝑟
𝑎) merupakan titik sadel yang
bersifat tak stabil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Gambar 2.11 adalah grafik model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua
spesies yang bertumbuh secara eksponensial yang digambar menggunakan software
Matlab untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 2.11 Grafik model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang
bertumbuh secara eksponensial 𝑟 = 0,3 , 𝑠 = 0,2 , 𝑎 = 0.025 dan 𝑏 = 0.03
Model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh
secara logistik adalah sebagai berikut:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −
𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −
𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦.
Variabel 𝑥 dan 𝑦 adalah jumlah populasi pada waktu 𝑡, konstanta 𝐾𝑥 dan 𝐾𝑦 adalah
kapasitas ambang dari populasi 𝑥 dan 𝑦. Parameter 𝑟 dan 𝑠 adalah laju
pertumbuhan intrinsik dari populasi 𝑥 dan 𝑦, konstanta 𝑎 dan b menunjukkan
koefisien dari interaksi antara dua populasi yang dapat meningkatkan jumlah
masing-masing populasi 𝑥 dan 𝑦.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Analisis kestabilan titik ekuilibrium interaksi simbiosis mutualisme populasi dua
spesies yang bertumbuh secara logistik adalah sebagai berikut:
Dicari titik ekuilibrium dengan syarat titik ekuilibrium 𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0, sehingga
diperoleh:
𝑟𝑥 (1 −𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 = 0,
𝑠𝑦 (1 −𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 = 0,
}
atau 𝑥(𝑟𝐾𝑥 − 𝑟𝑥 + 𝑎𝐾𝑥𝑦) = 0,
𝑦(𝑠𝐾𝑦 − 𝑠𝑦 + 𝑏𝐾𝑦𝑥) = 0,}
terdapat empat titik ekuilibrium, yakni
𝑃1(0,0),
𝑃2(0, 𝐾𝑦),
𝑃3(𝐾𝑥, 0), dan
𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠– 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + 𝑏𝑟𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠– 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦).
Setelah memperoleh keempat titik ekuilibrium, dilakukan pelinearan sehingga
diperoleh matriks Jacobi
𝐽𝑖 =
(
𝜕𝑓1𝜕𝑥
𝜕𝑓1𝜕𝑦
𝜕𝑓2𝜕𝑥
𝜕𝑓2𝜕𝑦)
=
(
𝑟 −
2𝑟𝑥
𝐾𝑥+ 𝑎𝑦 𝑎𝑥
𝑏𝑦 𝑠 −2𝑠𝑦
𝐾𝑦+ 𝑏𝑥
)
, 𝑖 = 1, 2, 3, 4.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai 𝑃𝑖 pada 𝐽𝑖 diperoleh
𝐽1 = (𝑟 00 𝑠
),
𝐽2 = (𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 0
𝑏𝐾𝑦 −𝑠),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
𝐽3 = (−𝑟 𝑎𝐾𝑥0 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥
),
𝐽4 =
(
−𝑟𝑠(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦)
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥)𝑏𝑟𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
−𝑟𝑠(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥)
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 )
.
Setelah matriks Jacobi 𝐽1, 𝐽2, 𝐽3, 𝐽4 diperoleh, dilakukan analisis kestabilan dari
masing-masing titik ekuilibrium.
a. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) dengan matriks Jacobi
𝐽1 = (𝑟 00 𝑠
),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽1 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 00 𝑠
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝜆 00 𝑠 − 𝜆
) = 0
(𝑟 − 𝜆)(𝑠 − 𝜆) = 0
𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠.
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 sehingga 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real berbeda
lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik simpul yang
bersifat tak stabil.
b. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦) dengan matriks Jacobi
𝐽2 = (𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 0
𝑏𝐾𝑦 −𝑠),
diperoleh nilai eigen
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
𝑑𝑒𝑡(𝐽2 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 0
𝑏𝐾𝑦 −𝑠) − (
𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆 0
𝑏𝐾𝑦 −𝑠 − 𝜆) = 0
(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆)(−𝑠 − 𝜆) = 0
𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆 = 0 ∨ −𝑠 − 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 ∨ 𝜆2 = −𝑠.
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 , 𝑎 > 0, dan 𝐾𝑦 > 0 sehingga 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua
bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦)
merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil.
c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃3(𝐾𝑥, 0) dengan matriks Jacobi
𝐽3 = (−𝑟 𝑎𝐾𝑥0 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥
),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽3 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((−𝑟 𝑎𝐾𝑥0 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (−𝑟 − 𝜆 𝑎𝐾𝑥0 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥 − 𝜆
) = 0
(−𝑟 − 𝜆)(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥 − 𝜆) = 0
−𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥 − 𝜆 = 0
𝜆1 = −𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 , 𝑏 > 0, dan 𝐾𝑥 > 0 sehingga 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua
bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3(𝐾𝑥, 0)
merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil.
d. Analisis kestabilan titik ekuilibrium
𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + 𝑏𝑟𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦)
dengan matriks Jacobi
𝐽4 =
(
−𝑟𝑠(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦)
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
(𝑟 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥)𝑏𝑟𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
−𝑟𝑠(𝑠 + 𝑏𝐾𝑥)
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 )
.
Jika dimisalkan:
𝛼 = 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦,
𝛽 = 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥,
𝛾 = 𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,
maka diperoleh
𝐽4 =
(
−𝛼𝑟𝑠
𝛾
𝛼𝑎𝑠𝐾𝑥𝛾
𝛽𝑏𝑟𝐾𝑦
𝛾
−𝛽𝑟𝑠
𝛾 )
.
Sehingga diperoleh nilai eigen sebagai berikut
𝑑𝑒𝑡(𝐽4 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡
(
(
−𝛼𝑟𝑠
𝛾
𝛼𝑎𝑠𝐾𝑥𝛾
𝛽𝑏𝑟𝐾𝑦
𝛾
−𝛽𝑟𝑠
𝛾 )
− (
𝜆 00 𝜆
)
)
= 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
𝑑𝑒𝑡
(
−𝛼𝑟𝑠
𝛾− 𝜆
𝛼𝑎𝑠𝐾𝑥𝛾
𝛽𝑏𝑟𝐾𝑦
𝛾
−𝛽𝑟𝑠
𝛾− 𝜆
)
= 0
(−𝛼𝑟𝑠
𝛾− 𝜆) (
−𝛽𝑟𝑠
𝛾− 𝜆) − (
𝛽𝑏𝑟𝐾𝑦
𝛾) (𝛼𝑎𝑠𝐾𝑥𝛾
) = 0
untuk memperoleh nilai 𝜆 kalikan kedua ruas dengan 𝛾2, sehingga diperoleh
(−𝛼𝑟𝑠 − 𝛾𝜆)(−𝛽𝑟𝑠 − 𝛾𝜆) − (𝛽𝑏𝑟𝐾𝑦)(𝛼𝑎𝑠𝐾𝑥) = 0
(𝛾2)𝜆2 + ((𝛼 + 𝛽)𝛾𝑟𝑠)𝜆 + ((𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦)𝛼𝛽𝑟𝑠) = 0
𝜆1,2 =−(𝛼 + 𝛽)𝛾𝑟𝑠 ± √((𝛼 + 𝛽)𝛾𝑟𝑠)
2− 4(𝛾2) ((𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦)𝛼𝛽𝑟𝑠)
2(𝛾2)
dengan perhitungan aljabar, diperoleh
𝜆1,2 =−𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) ± √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)
2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
2𝛾.
Diketahui 𝛼 = 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 , 𝛽 = 𝑠 + 𝑏𝐾𝑥 , dan 𝛾 = 𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦, dengan 0 <
𝑟, 𝑠 < 1 , 𝑎, 𝑏 > 0, dan 𝐾𝑥, 𝐾𝑦 > 0 sehingga dapat disimpulkan empat
analisis kestabilan yaitu:
Jika 𝛾 > 0 dan 𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) > √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 , maka
diperoleh 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua bilangan real berbeda kurang dari nol). Jadi titik
ekuilibrium 𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + 𝑏𝑟𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦) merupakan titik simpul yang
bersifat stabil asimtotik.
Jika 𝛾 > 0 dan 𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) < √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 , maka
diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real berbeda dan berbeda tanda).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Jadi titik ekuilibrium 𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + 𝑏𝑟𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦) merupakan titik sadel
yang bersifat tak stabil.
Jika 𝛾 < 0 dan 𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) > √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 , maka
diperoleh 𝜆2 > 𝜆1 > 0 (dua bilangan real berbeda lebih dari nol). Jadi titik
ekuilibrium 𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + 𝑏𝑟𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦) merupakan titik simpul yang
bersifat tak stabil.
Jika 𝛾 > 0 dan 𝑟𝑠(𝛼 + 𝛽) < √((𝛼 − 𝛽)𝑟𝑠)2+ 4𝛼𝛽𝑟𝑠𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 , maka
diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real berbeda dan berbeda tanda).
Jadi titik ekuilibrium 𝑃4 (𝑟𝑠𝐾𝑥 + 𝑎𝑠𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + 𝑏𝑟𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦) merupakan titik sadel
yang bersifat tak stabil.
Gambar 2.12 merupakan grafik model interaksi simbiosis mutualisme
populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik yang digambar menggunakan
software Matlab dengan nilai parameter 𝑟 = 0,405; 𝑠 = 0,34; 𝑎 = 0,015; 𝑏 =
0,02; 𝑟
𝐾𝑥= 0,03375; dan
𝑠
𝐾𝑦= 0,02833 (Ahmad dan Budin, 2012) untuk beberapa
nilai awal yang berbeda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Gambar 2.12 Grafik model interaksi simbiosis mutualisme populasi dua spesies
yang bertumbuh secara logistik
Gambar 2.12 menunjukkan bahwa untuk beberapa nilai awal yang berbeda,
grafik menuju ke suatu titik yaitu titik (25,2594 , 29,8337), dimana titik tersebut
merupakan titik ekuilibrium yang bersifat stabil asimtotik.
F. Metode Iterasi Variasional
Metode iterasi variasional terdiri dari tiga konsep dasar, yaitu: fungsi koreksi,
variasi terbatas, dan pengali Lagrange. Sebagai gambaran dari konsep dasar metode
iterasi variasional, diberikan persamaan diferensial non linear berikut
𝐿𝑢 + 𝑁𝑢 = 𝑔(𝑡), (2.9)
dengan 𝐿 adalah operator linear, 𝑁 adalah operator non linear, dan 𝑔(𝑡) adalah
fungsi kontinu. Metode iterasi variasional dapat dibentuk dan dianalisis dengan
menggunakan sebuah fungsi koreksi sebagai berikut
𝑢𝑛+1(𝑡) = 𝑢𝑛(𝑡) + ∫ 𝜆(𝜉)𝑥
0
[𝐿𝑢𝑛(𝜉) + 𝑁�̃�𝑛(𝜉) − 𝑔(𝜉)]𝑑𝜉, (2.10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
dengan 𝜆 adalah pengali Lagrange, indeks 𝑢𝑛 adalah solusi hampiran ke-𝑛, �̃�𝑛
adalah variasi terbatas dengan 𝛿�̃�𝑛 = 0, dan 𝛿 adalah turunan variasional (Wazwaz:
2009, 47).
G. Kerangka Berpikir
Sejauh ini telah dipelajari beberapa teori dan definisi mengenai pemodelan
matematika, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial nonlinear (titik
ekuilibrium, pelinearan, analisis kestabilan titik ekuilibrium), model pertumbuhan
logistik, model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara
logistik, dan metode iterasi variasional. Berdasarkan apa yang telah dipelajari,
peneliti menyusun modifikasi model yang nantinya akan dianalisis kestabilannya
serta akan dicari penyelesaian / solusi dari perumuman model menggunakan
metode iterasi variasional.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
ANALISIS KESTABILAN MODEL
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN ANALISIS KESTABILAN MODEL
Simbiosis adalah pola interaksi yang erat dan khusus antara dua makhluk
hidup yang berlainan jenis. Salah satu jenis simbiosis adalah simbiosis mutualisme,
dan makhluk hidup yang bersimbiosis disebut dengan simbion. Mutualisme adalah
hubungan sesama makhluk hidup yang saling menguntungkan kedua pihak. Jadi
simbiosis mutualisme adalah interaksi yang erat dan khusus antara dua makhluk
hidup yang berbeda jenis dan saling menguntungkan bagi kedua pihak.
Beberapa contoh makhluk hidup yang berinteraksi secara simbiosis
mutualisme adalah kerbau dan burung jalak, dalam interaksi ini kerbau diuntungkan
karena bersih dari kutu yang telah dimakan oleh burung jalak, sedangkan burung
jalak diuntungkan karena mendapat makanan berupa kutu yang berada pada tubuh
kerbau. Zebra dan burung oxpecker, sama halnya dengan kerbau dan burung jalak,
pada interaksi ini burung oxpecker memperoleh makanan yang berupa kutu dari
tubuh zebra, sedangkan zebra diuntungkan karena tubuhnya menjadi bersih dan
juga burung oxpecker berperan sebagai alarm apabila ada bahaya yang mendatangi
zebra. Buaya dan burung plover, dalam interaksi ini burung plover mendapat
makanan yang terdapat pada sela-sela gigi buaya, sedangkan buaya diuntungkan
karena sisa-sisa makanan yang terdapat pada giginya dapat bersih sehingga
mencegah terjadinya infeksi. Anemon laut dan ikan badut, pada interaksi ini
anemon laut menjadi tempat tinggal sekaligus tempat berlindung bagi ikan badut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
dan ikan badut menangkal ikan kupu-kupu yang suka memakan anemon, ikan badut
juga akan memakan parasit yang terdapat pada tentakel anemon yang berupa
invertebrata kecil, serta di sisi lain kotoran dari ikan badut memberi nutrisi bagi
anemon. Bunga matahari dan lebah, dalam hubungan bunga matahari dan lebah,
bunga diuntungkan karena dibantu proses penyerbukannya oleh lebah, sedangkan
lebah diuntungkan karena memperoleh makanan dari bunga berupa sari bunga.
Pada suatu ekosistem tertutup, terdapat dua spesies yang saling berinteraksi
secara mutualisme (saling menguntungkan). Di dalam ekosistem tertutup tersebut
diasumsikan tidak ada gangguan atau faktor lain yang mempengaruhi pertumbuhan
dua populasi selain interaksi antara kedua spesies. Laju pertumbuhan dari masing-
masing spesies pada saat 𝑡 merupakan turunan dari jumlah populasi spesies
terhadap waktu 𝑡 (turunan dari 𝑥 atau 𝑦 terhadap 𝑡) yaitu 𝑑𝑥
𝑑𝑡 dan
𝑑𝑦
𝑑𝑡 , dengan
𝑥 dan 𝑦 merupakan jumlah masing-masing populasi dari kedua spesies pada saat 𝑡,
dan 𝑡 merupakan variabel dari waktu. Terdapat parameter-parameter yang
mempengaruhi pertumbuhan populasi kedua spesies. Parameter yang menunjukkan
laju pertumbuhan intrinsik dari masing-masing spesies dimisalkan dengan 𝑟 dan 𝑠,
dengan 𝑟 merupakan laju pertumbuhan intrinsik dari spesies 𝑥 dan 𝑠 merupakan
laju pertumbuhan intrinsik dari spesies 𝑦. Karena kedua spesies bertumbuh secara
logistik, maka terdapat kapasitas ambang atau daya dukung dari masing-masing
spesies. Daya dukung untuk spesies 𝑥 adalah 𝐾𝑥 dan daya dukung untuk spesies 𝑦
adalah 𝐾𝑦. Jadi, pemodelan pertumbuhan dari masing-masing spesies yang
bertumbuh secara logistik adalah 𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −
𝑥
𝐾𝑥) dan
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −
𝑦
𝐾𝑦). Pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
model tersebut, belum terdapat interaksi antara kedua spesies. Jika kedua spesies
berinteraksi secara mutualisme maka mengakibatkan bertambahnya populasi dari
masing-masing spesies. Misalkan 𝑎 merupakan laju pertumbuhan spesies 𝑥 akibat
interaksi dengan spesies 𝑦 dan 𝑏 merupakan laju pertumbuhan spesies 𝑦 akibat
interaksi dengan spesies 𝑥, model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang
bertumbuh secara logistik dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −
𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −
𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦.
Bab ini membahas mengenai modifikasi model interaksi simbiosis
mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik yaitu dengan adanya unsur
pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya unsur pemanenan pada kedua
jenis spesies serta analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model hasil modifikasi.
A. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh
secara Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Salah Satu Jenis Spesies
Jika dilakukan pemanenan pada salah satu dari spesies, misal pemanenan
dilakukan pada spesies 𝑥, dengan 𝐸 merupakan laju pemanenan spesies 𝑥 (𝐸 ≥ 0),
maka model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara
logistik dengan unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dapat dituliskan
sebagai berikut:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −
𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,
(3.1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −
𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦.
(3.2)
Analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model interaksi simbiosis mutualisme
populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada
salah satu jenis spesies adalah sebagai berikut:
Dicari titik ekuilibrium dengan syarat titik ekuilibrium 𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0, sehingga
diperoleh:
𝑟𝑥 (1 −𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥 = 0,
𝑠𝑦 (1 −𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 = 0,
}
atau 𝑥(𝑟𝐾𝑥 − 𝑟𝑥 + 𝑎𝐾𝑥𝑦 − 𝐸𝐾𝑥) = 0,
𝑦(𝑠𝐾𝑦 − 𝑠𝑦 + 𝑏𝐾𝑦𝑥) = 0. }
Terdapat empat titik ekuilibrium, yakni
𝑃1(0,0),
𝑃2(0, 𝐾𝑦),
𝑃3 ((𝑟 − 𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) , dan
𝑃4 ((𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑠𝐾𝑥
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦).
Dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi
𝐽𝑖 =
(
𝜕𝑓1𝜕𝑥
𝜕𝑓1𝜕𝑦
𝜕𝑓2𝜕𝑥
𝜕𝑓2𝜕𝑦)
=
(
𝑟 −
2𝑟𝑥
𝐾𝑥+ 𝑎𝑦 − 𝐸 𝑎𝑥
𝑏𝑦 𝑠 −2𝑠𝑦
𝐾𝑦+ 𝑏𝑥
)
, 𝑖 = 1, 2, 3, 4.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai 𝑃𝑖 pada 𝐽𝑖 diperoleh:
𝐽1 = (𝑟 − 𝐸 00 𝑠
),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
𝐽2 = (𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 0
𝑏𝐾𝑦 −𝑠),
𝐽3 = (𝐸 − 𝑟
(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟
0 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟
),
𝐽4 =
(
(𝐸 − 𝑟 − 𝑎𝐾𝑦)𝑟𝑠
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
(𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑏𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
(𝐸 − 𝑟)𝑏𝑠𝐾𝑥 − 𝑟𝑠2
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 )
.
Setelah matriks Jacobi 𝐽1, 𝐽2, 𝐽3, 𝐽4 diperoleh, dilakukan analisis kestabilan dari
masing-masing titik ekuilibrium.
a. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) dengan matriks Jacobi
𝐽1 = (𝑟 − 𝐸 00 𝑠
),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽1 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 − 𝐸 00 𝑠
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝐸 − 𝜆 0
0 𝑠 − 𝜆) = 0
(𝑟 − 𝐸 − 𝜆)(𝑠 − 𝜆) = 0
𝑟 − 𝐸 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝑟 − 𝐸 ∨ 𝜆2 = 𝑠
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 dan 𝐸 > 0, dapat disimpulkan dua analisis kestabilan
yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Jika 𝑟 > 𝐸 , maka diperoleh 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real berbeda lebih
dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik simpul yang bersifat
tak stabil.
Jika 𝑟 < 𝐸 , maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real berbeda dan
berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik sadel yang
bersifat tak stabil.
b. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦) dengan matriks Jacobi
𝐽2 = (𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 0
𝑏𝐾𝑦 −𝑠),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽2 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 0
𝑏𝐾𝑦 −𝑠) − (
𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆 0
𝑏𝐾𝑦 −𝑠 − 𝜆) = 0
(𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆)(−𝑠 − 𝜆) = 0
𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 − 𝜆 = 0 ∨ −𝑠 − 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦 ∨ 𝜆2 = −𝑠
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1, 𝑎 > 0, 𝐾𝑦 > 0 dan 𝐸 > 0, dapat disimpulkan dua
analisis kestabilan yaitu:
Jika 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 > 𝐸 , maka diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real berbeda
dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦) merupakan titik sadel
yang bersifat tak stabil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Jika 𝑟 + 𝑎𝐾𝑦 < 𝐸 , maka diperoleh 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua bilangan real berbeda
kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2(0, 𝐾𝑦) merupakan titik simpul
yang bersifat stabil asimtotik.
c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium
𝑃3 ((𝑟 − 𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0),
dengan matriks Jacobi
𝐽3 = (𝐸 − 𝑟
(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟
0 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟
),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽3 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡
(
(𝐸 − 𝑟
(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟
0 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟
) − (𝜆 00 𝜆
)
)
= 0
𝑑𝑒𝑡 (𝐸 − 𝑟 − 𝜆
(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟
0 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟− 𝜆
) = 0
(𝐸 − 𝑟 − 𝜆)(𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟− 𝜆) = 0
𝐸 − 𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟− 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝐸 − 𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟.
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1, 𝑏 > 0, 𝐾𝑥 > 0 dan 𝐸 > 0, dapat disimpulkan tiga
analisis kestabilan yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Jika 𝐸 > 𝑟 , maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆2 yang berbeda. Jika 𝑟𝑠 >
(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥 , maka dapat disimpulkan 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real
berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) merupakan titik
simpul yang bersifat tak stabil. Sedangkan jika 𝑟𝑠 < (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥 , maka
dapat disimpulkan 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real berbeda dan berbeda
tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) merupakan titik sadel yang
bersifat tak stabil.
Jika 𝐸 < 𝑟 , maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real berbeda dan
berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) merupakan titik sadel
yang bersifat tak stabil.
d. Analisis kestabilan titik ekuilibrium
𝑃4 ((𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑠𝐾𝑥
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦),
dengan matriks Jacobi
𝐽4 =
(
(𝐸 − 𝑟 − 𝑎𝐾𝑦)𝑟𝑠
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
(𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑏𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
(𝐸 − 𝑟)𝑏𝑠𝐾𝑥 − 𝑟𝑠2
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 )
,
atau dapat ditulis
𝐽4 = (𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22
),
dengan
𝐴11 =(𝐸 − 𝑟 − 𝑎𝐾𝑦)𝑟𝑠
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
𝐴12 =(𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑎𝑠𝐾𝑥
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,
𝐴21 =𝑏𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏
2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,
𝐴22 =(𝐸 − 𝑟)𝑏𝑠𝐾𝑥 − 𝑟𝑠
2
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽4 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (𝐴11 − 𝜆 𝐴12𝐴21 𝐴22 − 𝜆
) = 0
(𝐴11 − 𝜆)(𝐴22 − 𝜆) − (𝐴12)(𝐴21) = 0
𝜆2 − (𝐴11𝐴22)𝜆 + (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) = 0.
Digunakan rumus 𝑎𝑏𝑐 untuk memperoleh nilai 𝜆1 dan 𝜆2 dengan nilai 𝑎 = 1,
𝑏 = −(𝐴11𝐴22), dan 𝑐 = (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) sebagai berikut
𝜆1,2 =(𝐴11𝐴22) ± √(𝐴11𝐴22)2 − 4.1. (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21)
2.1
𝜆1,2 =(𝐴11𝐴22) ± √(𝐴11𝐴22)2 − 4(𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21)
2
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1; 𝑎, 𝑏, 𝐾𝑥, 𝐾𝑦 > 0 ; dan 𝐸 > 0, sehingga dapat
disimpulkan beberapa analisis kestabilan sesuai dengan nilai eigen yang
diperoleh.
Kriteria kestabilan dari
𝑃4 ((𝑟 − 𝐸 + 𝑎𝐾𝑦)𝑠𝐾𝑥
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦,𝑟𝑠𝐾𝑦 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑟𝑠 − 𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
dapat dilihat pada Tabel 2.1 disesuaikan dengan nilai 𝜆1 dan 𝜆2.
Gambar 3.1 merupakan grafik model interaksi simbiosis mutualisme dua
spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada salah satu
jenis spesies yang digambar menggunakan software Matlab dengan nilai 𝑟 =
0,405; 𝑠 = 0,34; 𝑎 = 0,015; 𝑏 = 0,02; 𝑟
𝐾𝑥= 0,03375;
𝑠
𝐾𝑦= 0,02833; dan 𝐸 =
0,27 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 3.1 Grafik interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara
logistik dengan unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies
Gambar 3.1 menunjukkan bahwa untuk beberapa nilai awal yang berbeda,
grafik menuju ke suatu titik dimana titik tersebut merupakan salah satu titik
ekuilibrium yang bersifat stabil asimtotik.
B. Model Interaksi Simbiosis Mutualisme Dua Spesies yang Bertumbuh
secara Logistik dengan Unsur Pemanenan pada Kedua Jenis Spesies
Jika dilakukan pemanenan pada kedua jenis spesies, misal 𝐸 merupakan laju
pemanenan spesies 𝑥 (𝐸 ≥ 0) dan 𝐹 merupakan laju pemanenan spesies 𝑦 (𝐹 ≥ 0),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
maka model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara
logistik dengan unsur pemanenan pada kedua jenis dapat dituliskan sebagai berikut:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −
𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,
(3.3)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −
𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 − 𝐹𝑦.
(3.4)
Analisis kestabilan titik ekuilibrium pada model interaksi simbiosis mutualisme
populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada
kedua jenis spesies adalah sebagai berikut:
Dicari titik ekuilibrium dengan syarat titik ekuilibrium 𝑑𝑥
𝑑𝑡=
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 0, sehingga
diperoleh:
𝑟𝑥 (1 −𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥 = 0,
𝑠𝑦 (1 −𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 − 𝐹𝑦 = 0,
}
atau 𝑥(𝑟𝐾𝑥 − 𝑟𝑥 + 𝑎𝐾𝑥𝑦 − 𝐸𝐾𝑥) = 0,
𝑦(𝑠𝐾𝑦 − 𝑠𝑦 + 𝑏𝐾𝑦𝑥 − 𝐹𝐾𝑦) = 0. }
Terdapat empat titik ekuilibrium, yakni
𝑃1(0,0),
𝑃2 (0,(𝑠 − 𝐹)𝐾𝑦
𝑠),
𝑃3 ((𝑟 − 𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) , dan
𝑃4 ((𝐸 − 𝑟)𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,(𝐹 − 𝑠)𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠).
Dilakukan pelinearan sehingga diperoleh matriks Jacobi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
𝐽𝑖 =
(
𝜕𝑓1𝜕𝑥
𝜕𝑓1𝜕𝑦
𝜕𝑓2𝜕𝑥
𝜕𝑓2𝜕𝑦)
=
(
𝑟 −
2𝑟𝑥
𝐾𝑥+ 𝑎𝑦 − 𝐸 𝑎𝑥
𝑏𝑦 𝑠 −2𝑠𝑦
𝐾𝑦+ 𝑏𝑥 − 𝐹
)
, 𝑖 = 1, 2, 3, 4.
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai 𝑃𝑖 pada 𝐽𝑖 diperoleh:
𝐽1 = (𝑟 − 𝐸 00 𝑠 − 𝐹
),
𝐽2 = (𝑟 − 𝐸 +
(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦
𝑠0
(𝑠 − 𝐹)𝑏𝐾𝑦
𝑠𝐹 − 𝑠
),
𝐽3 = (𝐸 − 𝑟
(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟
0 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟
),
𝐽4 =
(
(𝑟 − 𝐸)𝑟𝑠 + (𝑠 − 𝐹)𝑎𝑟𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠
(𝐸 − 𝑟)𝑎𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠
(𝐹 − 𝑠)𝑏𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠
(𝑠 − 𝐹)𝑟𝑠 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝑠𝐾𝑥𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠 )
.
Setelah matriks Jacobi 𝐽1, 𝐽2, 𝐽3, 𝐽4 diperoleh, dilakukan analisis kestabilan dari
masing-masing titik ekuilibrium.
a. Analisis kestabilan titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) dengan matriks Jacobi
𝐽1 = (𝑟 − 𝐸 0
0 𝑠 − 𝐹),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽1 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((𝑟 − 𝐸 0
0 𝑠 − 𝐹) − (
𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝐸 − 𝜆 0
0 𝑠 − 𝐹 − 𝜆) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
(𝑟 − 𝐸 − 𝜆)(𝑠 − 𝐹 − 𝜆) = 0
𝑟 − 𝐸 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝐹 − 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝑟 − 𝐸 ∨ 𝜆2 = 𝑠 − 𝐹
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1 dan 𝐸, 𝐹 ≥ 0, dapat disimpulkan empat analisis
kestabilan yaitu:
Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan real
berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik simpul
yang bersifat tak stabil.
Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real
berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik
sadel yang bersifat tak stabil.
Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real
berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik
sadel yang bersifat tak stabil.
Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua bilangan real
berbeda kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃1(0,0) merupakan titik
simpul yang bersifat stabil asimtotik.
b. Analisis kestabilan titik ekuilibrium
𝑃2 (0,(𝑠 − 𝐹)𝐾𝑦
𝑠),
dengan matriks Jacobi
𝐽2 = (𝑟 − 𝐸 +
(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦
𝑠0
(𝑠 − 𝐹)𝑏𝐾𝑦
𝑠𝐹 − 𝑠
),
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽2 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡
(
(𝑟 − 𝐸 +
(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦
𝑠0
(𝑠 − 𝐹)𝑏𝐾𝑦
𝑠𝐹 − 𝑠
)− (𝜆 00 𝜆
)
)
= 0
𝑑𝑒𝑡 (𝑟 − 𝐸 +
(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦
𝑠− 𝜆 0
(𝑠 − 𝐹)𝑏𝐾𝑦
𝑠𝐹 − 𝑠 − 𝜆
) = 0
(𝑟 − 𝐸 +(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦
𝑠− 𝜆) (𝐹 − 𝑠 − 𝜆) = 0
𝑟 − 𝐸 +(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦
𝑠− 𝜆 = 0 ∨ 𝐹 − 𝑠 − 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝑟 − 𝐸 +(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦
𝑠 ∨ 𝜆2 = 𝐹 − 𝑠.
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1; 𝑎, 𝐾𝑦 > 0; dan 𝐸, 𝐹 ≥ 0, dapat disimpulkan
beberapa analisis kestabilan yaitu:
Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real
berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦
𝑠) merupakan
titik sadel yang bersifat tak stabil.
Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆1 yang berbeda. Jika
(𝑟 − 𝐸)𝑠 > (𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦, maka dapat disimpulkan 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua
bilangan real berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦
𝑠)
merupakan titik simpul yang bersifat tak stabil. Sedangkan jika (𝑟 − 𝐸)𝑠 <
(𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦
𝑠) merupakan
titik sadel yang bersifat tak stabil.
Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆1 yang berbeda. Jika
(𝑟 − 𝐸)𝑠 > (𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua
bilangan real berbeda kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦
𝑠)
merupakan titik simpul yang bersifat stabil asimtotik. Sedangkan jika
(𝑟 − 𝐸)𝑠 < (𝑠 − 𝐹)𝑎𝐾𝑦, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua
bilangan real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium
𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦
𝑠) merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil.
Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real
berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃2 (0,(𝑠−𝐹)𝐾𝑦
𝑠) merupakan
titik sadel yang bersifat tak stabil.
c. Analisis kestabilan titik ekuilibrium
𝑃3 ((𝑟 − 𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0),
dengan matriks Jacobi
𝐽3 = (𝐸 − 𝑟
(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟
0 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟
),
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽3 − 𝜆𝐼) = 0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
𝑑𝑒𝑡
(
(𝐸 − 𝑟
(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟
0 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟
)− (𝜆 00 𝜆
)
)
= 0
𝑑𝑒𝑡 (𝐸 − 𝑟 − 𝜆
(𝑟 − 𝐸)𝑎𝐾𝑥𝑟
0 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟− 𝜆
) = 0
(𝐸 − 𝑟 − 𝜆) (𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟− 𝜆) = 0
𝐸 − 𝑟 − 𝜆 = 0 ∨ 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟− 𝜆 = 0
𝜆1 = 𝐸 − 𝑟 ∨ 𝜆2 = 𝑠 − 𝐹 +(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥
𝑟
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1; 𝑏, 𝐾𝑥 > 0 ; dan 𝐸, 𝐹 > 0, dapat disimpulkan
beberapa analisis kestabilan yaitu:
Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka diperoleh 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan real
berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) merupakan
titik sadel yang bersifat tak stabil.
Jika 𝑟 > 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆2 yang berbeda. Jika
(𝑠 − 𝐹)𝑟 > (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 𝜆2 < 0 (dua bilangan
real berbeda kurang dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0)
merupakan titik simpul yang bersifat stabil asimtotik. Sedangkan jika
(𝑠 − 𝐹)𝑟 < (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥, maka dapat disimpulkan 𝜆1 < 0 < 𝜆2 (dua bilangan
real berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0)
merupakan titik sadel yang bersifat tak stabil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 > 𝐹, maka dapat diperoleh dua nilai 𝜆2 yang berbeda. Jika
(𝑠 − 𝐹)𝑟 > (𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥, maka dapat disimpulkan 𝜆1 > 𝜆2 > 0 (dua bilangan
real berbeda lebih dari nol). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) merupakan
titik simpul yang bersifat tak stabil. Sedangkan jika (𝑠 − 𝐹)𝑟 <
(𝑟 − 𝐸)𝑏𝐾𝑥, maka dapat disimpulkan 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real
berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) merupakan
titik sadel yang bersifat tak stabil.
Jika 𝑟 < 𝐸 dan 𝑠 < 𝐹, maka diperoleh 𝜆2 < 0 < 𝜆1 (dua bilangan real
berbeda dan berbeda tanda). Jadi titik ekuilibrium 𝑃3 ((𝑟−𝐸)𝐾𝑥
𝑟, 0) merupakan
titik sadel yang bersifat tak stabil.
d. Analisis kestabilan titik ekuilibrium
𝑃4 ((𝐸 − 𝑟)𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,(𝐹 − 𝑠)𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠),
dengan matriks Jacobi
𝐽4 =
(
(𝑟 − 𝐸)𝑟𝑠 + (𝑠 − 𝐹)𝑎𝑟𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠
(𝐸 − 𝑟)𝑎𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠
(𝐹 − 𝑠)𝑏𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠
(𝑠 − 𝐹)𝑟𝑠 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝑠𝐾𝑥𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠 )
,
atau dapat ditulis
𝐽4 = (𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22
),
dengan
𝐴11 =(𝑟 − 𝐸)𝑟𝑠 + (𝑠 − 𝐹)𝑎𝑟𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
𝐴12 =(𝐸 − 𝑟)𝑎𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎
2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,
𝐴21 =(𝐹 − 𝑠)𝑏𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏
2𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,
𝐴22 =(𝑠 − 𝐹)𝑟𝑠 + (𝑟 − 𝐸)𝑏𝑠𝐾𝑥
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,
diperoleh nilai eigen
𝑑𝑒𝑡(𝐽4 − 𝜆𝐼) = 0
𝑑𝑒𝑡 ((𝐴11 𝐴12𝐴21 𝐴22
) − (𝜆 00 𝜆
)) = 0
𝑑𝑒𝑡 (𝐴11 − 𝜆 𝐴12𝐴21 𝐴22 − 𝜆
) = 0
(𝐴11 − 𝜆)(𝐴22 − 𝜆) − (𝐴12)(𝐴21) = 0
𝜆2 − (𝐴11𝐴22)𝜆 + (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) = 0.
Digunakan rumus 𝑎𝑏𝑐 untuk memperoleh nilai 𝜆1 dan 𝜆2 dengan nilai 𝑎 = 1,
𝑏 = −(𝐴11𝐴22), dan 𝑐 = (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21) sebagai berikut
𝜆1,2 =(𝐴11𝐴22) ± √(𝐴11𝐴22)2 − 4.1. (𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21)
2.1
𝜆1,2 =(𝐴11𝐴22) ± √(𝐴11𝐴22)2 − 4(𝐴11𝐴22 − 𝐴12𝐴21)
2
Diketahui 0 < 𝑟, 𝑠 < 1; 𝑎, 𝑏, 𝐾𝑥, 𝐾𝑦 > 0 ; dan 𝐸, 𝐹 > 0, sehingga dapat
disimpulkan beberapa analisis kestabilan sesuai dengan nilai eigen yang
diperoleh.
Kriteria kestabilan dari
𝑃4 ((𝐸 − 𝑟)𝑠𝐾𝑥 + (𝐹 − 𝑠)𝑎𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠,(𝐹 − 𝑠)𝑟𝐾𝑦 + (𝐸 − 𝑟)𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦
𝑎𝑏𝐾𝑥𝐾𝑦 − 𝑟𝑠)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
dapat dilihat pada Tabel 2.1 dengan menyesuaikan nilai 𝜆1 dan 𝜆2.
Gambar 3.2 merupakan grafik model interaksi simbiosis mutualisme dua
spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur pemanenan pada kedua jenis
spesies yang digambar menggunakan software Matlab dengan nilai 𝑟 = 0,405; 𝑠 =
0,34; 𝑎 = 0,015; 𝑏 = 0,02; 𝑟
𝐾𝑥= 0,03375;
𝑠
𝐾𝑦= 0,02833; 𝐸 = 0,27; dan 𝐹 =
0,227 untuk beberapa nilai awal yang berbeda.
Gambar 3.2 Grafik interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara logistik
dengan unsur pemanenan pada kedua jenis spesies
Gambar 3.2 menunjukkan bahwa untuk beberapa nilai awal yang berbeda,
grafik menuju ke suatu titik dimana titik tersebut merupakan salah satu titik
ekuilibrium yang bersifat stabil asimtotik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL
DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN SOLUSI MODEL DENGAN METODE ITERASI VARIASIONAL
Pada bab sebelumnya, telah dibahas mengenai analisis dari model
pertumbuhan populasi dua spesies yang sudah dimodifikasi. Selanjutnya akan
dibahas pendekatan dari solusi model tersebut menggunakan metode iterasi
variasional. Sebelum menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan
model, akan dibentuk perumuman dari model hasil modifikasi.
Model pertama dari hasil modifikasi adalah model interaksi simbiosis
mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur
pemanenan pada salah satu jenis spesies dan dimodelkan pada sistem persamaan
(3.1)-(3.2).
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −
𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,
(3.1)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −
𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦.
(3.2)
Dengan menggunakan sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif, sistem
persamaan (3.1)-(3.2) dapat ditulis menjadi
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 −
𝑟𝑥2
𝐾𝑥+ 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 −
𝑠𝑦2
𝐾𝑦+ 𝑏𝑥𝑦.
⇔
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= (𝑟 − 𝐸)𝑥 −
𝑟
𝐾𝑥𝑥2 + 𝑎𝑥𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 −
𝑠
𝐾𝑦𝑦2 + 𝑏𝑥𝑦.
Model kedua dari hasil modifikasi adalah model interaksi simbiosis
mutualisme populasi dua spesies yang bertumbuh secara logistik dengan unsur
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
pemanenan pada kedua jenis spesies dan dimodelkan pada sistem persamaan (3.3)-
(3.4).
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 (1 −
𝑥
𝐾𝑥) + 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,
(3.3)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 (1 −
𝑦
𝐾𝑦) + 𝑏𝑥𝑦 − 𝐹𝑦.
(3.4)
Dengan menggunakan sifat distributif perkalian dan sifat asosiatif, sistem
persamaan (3.3)-(3.4) dapat ditulis menjadi
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑟𝑥 −
𝑟𝑥2
𝐾𝑥+ 𝑎𝑥𝑦 − 𝐸𝑥,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑠𝑦 −
𝑠𝑦2
𝐾𝑦+ 𝑏𝑥𝑦 − 𝐹𝑦,
⇔
{
𝑑𝑥
𝑑𝑡= (𝑟 − 𝐸)𝑥 −
𝑟𝑥2
𝐾𝑥+ 𝑎𝑥𝑦,
𝑑𝑦
𝑑𝑡= (𝑠 − 𝐹)𝑦 −
𝑠𝑦2
𝐾𝑦+ 𝑏𝑥𝑦.
Perumuman model dilakukan dengan memisalkan koefisien 𝑥, 𝑥2, 𝑥𝑦 pada
persamaan pertama secara berturut-turut dengan 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 dan koefisien 𝑦, 𝑦2, 𝑥𝑦
pada persamaan kedua secara berturut-turut dengan 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2. Sehingga diperoleh
persamaan umum model
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑥
2 + 𝑐1𝑥𝑦, (4.1)
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑎2𝑦 + 𝑏2𝑦
2 + 𝑐2𝑥𝑦, (4.2)
dengan,
𝑥 ∶ menyatakan jumlah populasi spesies pertama,
𝑦 ∶ menyatakan jumlah populasi spesies kedua,
𝑎1 ∶ laju pertumbuhan intrinsik spesies 𝑥,
𝑎2 ∶ laju pertumbuhan intrinsik spesies 𝑦,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
𝑏1 ∶ laju penurunan pertumbuhan spesies 𝑥 akibat bertambahnya spesies 𝑥 dalam
populasi,
𝑏2 ∶ laju penurunan pertumbuhan spesies 𝑦 akibat bertambahnya spesies 𝑦 dalam
populasi,
𝑐1 ∶ laju pertumbuhan spesies 𝑥 akibat interaksi dengan spesies 𝑦, dan
𝑐2 ∶ laju pertumbuhan spesies 𝑦 akibat interaksi dengan spesies 𝑥.
Sistem (4.1) dan (4.2) akan diselesaikan menggunakan metode iterasi
variasional. Langkah pertama dari metode iterasi variasional adalah membentuk
fungsi koreksi dari sistem persamaan diferensial. Fungsi koreksi dari sistem (4.1)-
(4.2) adalah
𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝑥𝑛(𝑡)
+ ∫ 𝜆1(𝑠)𝑡
0
[𝑑𝑥𝑛(𝑠)
𝑑𝑠− 𝑎1𝑥𝑛(𝑠) − 𝑏1�̃�𝑛
2(𝑠)
− 𝑐1�̃�𝑛(𝑠)�̃�𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠,
(4.3)
𝑦𝑛+1(𝑡) = 𝑦𝑛(𝑡)
+ ∫ 𝜆2(𝑠)𝑡
0
[𝑑𝑦𝑛(𝑠)
𝑑𝑠− 𝑎2𝑦𝑛(𝑠) − 𝑏2�̃�𝑛
2(𝑠)
− 𝑐2�̃�𝑛(𝑠)�̃�𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠,
(4.4)
dimana �̃�𝑛 dan �̃�𝑛 adalah variasi terbatas dengan 𝛿�̃�𝑛 = 0 dan 𝛿�̃�𝑛 = 0. Dari
persamaan (4.3) dan (4.4) diperoleh
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
𝛿𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝛿𝑥𝑛(𝑡)
+ 𝛿∫ 𝜆1(𝑠)𝑡
0
[𝑑𝑥𝑛(𝑠)
𝑑𝑠− 𝑎1𝑥𝑛(𝑠) − 𝑏1(0) − 𝑐1(0)(0)] 𝑑𝑠
= 𝛿𝑥𝑛(𝑡) + 𝛿∫ 𝜆1(𝑠)𝑡
0
[𝑑𝑥𝑛(𝑠)
𝑑𝑠− 𝑎1𝑥𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠,
(4.5)
𝛿𝑦𝑛+1(𝑡) = 𝛿𝑦𝑛(𝑡)
+ 𝛿∫ 𝜆2(𝑠)𝑡
0
[𝑑𝑦𝑛(𝑠)
𝑑𝑠− 𝑎2𝑦𝑛(𝑠) − 𝑏2(0) − 𝑐2(0)(0)] 𝑑𝑠
= 𝛿𝑦𝑛(𝑡) + 𝛿 ∫ 𝜆2(𝑠)𝑡
0
[𝑑𝑦𝑛(𝑠)
𝑑𝑠− 𝑎2𝑦𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠.
(4.6)
Menggunakan integral parsial, persamaan (4.5) menjadi
𝛿𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝛿𝑥𝑛(𝑡)
+ 𝛿 (𝜆1(𝑠)𝑥𝑛(𝑠) − ∫ 𝜆1′ (𝑠)𝑥𝑛(𝑠)
𝑡
0
𝑑𝑠
− ∫ 𝜆1(𝑠)𝑎1𝑥𝑛(𝑠)𝑡
0
𝑑𝑠)
= (1 + 𝜆1(𝑡))𝛿𝑥𝑛(𝑡)
− 𝛿∫ [𝜆1′ (𝑠)𝑥𝑛(𝑠) + 𝑎1𝜆1(𝑠)𝑥𝑛(𝑠)]
𝑡
0
𝑑𝑠 ,
= (1 + 𝜆1(𝑡))𝛿𝑥𝑛(𝑡) − 𝛿∫ [(𝜆1′ (𝑠) + 𝑎1𝜆1(𝑠))𝑥𝑛(𝑠)]
𝑡
0
𝑑𝑠. (4.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Menggunakan integral parsial, persamaan (4.6) menjadi
𝛿𝑦𝑛+1(𝑡) = 𝛿𝑦𝑛(𝑡)
+ 𝛿 (𝜆2(𝑠)𝑦𝑛(𝑠) − ∫ 𝜆2′ (𝑠)𝑦𝑛(𝑠)
𝑡
0
𝑑𝑠
− ∫ 𝜆2(𝑠)𝑎2𝑦𝑛(𝑠)𝑡
0
𝑑𝑠)
= (1 + 𝜆2(𝑡))𝛿𝑦𝑛(𝑡) − 𝛿∫ [𝜆2′ (𝑠)𝑦𝑛(𝑠) + 𝑎2𝜆2(𝑠)𝑦𝑛(𝑠)]
𝑡
0
𝑑𝑠
= (1 + 𝜆2(𝑡))𝛿𝑦𝑛(𝑡) − 𝛿 ∫ [(𝜆2′ (𝑠) + 𝑎2𝜆2(𝑠))𝑦𝑛(𝑠)]
𝑡
0
𝑑𝑠. (4.8)
Pengali Lagrange 𝜆1(𝑡) dan 𝜆2(𝑡) dapat diperoleh dengan menyelesaikan sistem
berikut:
1 + 𝜆1(𝑡) = 0 , 𝜆1′ (𝑠) + 𝑎1𝜆1(𝑠)|𝑠=𝑡 = 0, (4.9)
1 + 𝜆2(𝑡) = 0 , 𝜆2′ (𝑠) + 𝑎2𝜆2(𝑠)|𝑠=𝑡 = 0. (4.10)
Sehingga, diperoleh pengali Lagrange 𝜆1(𝑡) = −𝑒−𝑎1(𝑠−𝑡) dan 𝜆2(𝑡) =
−𝑒−𝑎2(𝑠−𝑡). Solusi untuk sistem (4.1)-(4.2) dalam bentuk linearisasi (misalkan 𝑏1 =
𝑏2 = 𝑐1 = 𝑐2 = 0) adalah sebagai berikut:
Penyelesaian persamaan (4.1)
(𝑏1 = 𝑐1 = 0)
Penyelesaian persamaan (4.2)
(𝑏2 = 𝑐2 = 0)
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎1𝑥 + (0)𝑥
2 + (0)𝑥𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑎2𝑦 + (0)𝑦
2 + (0)𝑥𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑎1𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑡= 𝑎2𝑦
𝑑𝑥
𝑥= 𝑎1𝑑𝑡
𝑑𝑦
𝑦= 𝑎2𝑑𝑡
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
ln 𝑥 = 𝑎1𝑡 + 𝐾1 ln 𝑦 = 𝑎2𝑡 + 𝐾2
𝑥 = 𝑒𝑎1𝑡+𝐾1 𝑦 = 𝑒𝑎2𝑡+𝐾2
𝑥 = 𝑒𝐾1𝑒𝑎1𝑡 𝑦 = 𝑒𝐾2𝑒𝑎2𝑡
dengan memisalkan 𝑒𝐾1 = 𝐶1 dan 𝑒𝐾2 = 𝐶2 diperoleh:
𝑥(𝑡) = 𝐶1𝑒𝑎1𝑡 , (4.11)
𝑦(𝑡) = 𝐶2𝑒𝑎2𝑡 . (4.12)
Iterasi variasional untuk sistem 4.1-4.2 dengan 𝜆1(𝑡) = −𝑒−𝑎1(𝑠−𝑡) dan 𝜆2(𝑡) =
−𝑒−𝑎2(𝑠−𝑡) adalah:
𝑥𝑛+1(𝑡) = 𝑥𝑛(𝑡)
+ ∫ −𝑒−𝑎1(𝑠−𝑡)𝑡
0
[𝑑𝑥𝑛(𝑠)
𝑑𝑠− 𝑎1𝑥𝑛(𝑠) − 𝑏1𝑥𝑛
2(𝑠)
− 𝑐1𝑥𝑛(𝑠)𝑦𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠 ,
(4.13)
𝑦𝑛+1(𝑡) = 𝑦𝑛(𝑡)
+ ∫ −𝑒−𝑎2(𝑠−𝑡)𝑡
0
[𝑑𝑦𝑛(𝑠)
𝑑𝑠− 𝑎2𝑦𝑛(𝑠) − 𝑏2𝑦𝑛
2(𝑠)
− 𝑐2𝑥𝑛(𝑠)𝑦𝑛(𝑠)] 𝑑𝑠 .
(4.14)
Persamaan (4.13) dan (4.14) merupakan rumus iterasi untuk menghitung
pendekatan solusi model dinamika populasi dua spesies. Rumus iterasi tersebut
kemudian diselesaikan menggunakan software Maple untuk memperoleh hasil
perhitungan. Hasil perhitungan menggunakan metode iterasi variasional akan valid
untuk nilai 𝒕 yang kecil. Apabila peneliti menginginkan nilai 𝒕 yang besar, maka
jumlah iterasi harus diperbanyak agar perhitungan tetap valid.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Dari pembahasan sebelumnya, nilai 𝐶1 dan 𝐶2 dapat diperoleh dari nilai awal.
Sebagai contoh, diasumsikan bahwa 𝑥(0) = 4 dan 𝑦(0) = 10. Sehingga diperoleh
𝐶1 = 4 dan 𝐶2 = 10, oleh sebab itu, 𝑥0(𝑡) = 4𝑒𝑎1𝑡 dan 𝑦0(𝑡) = 10𝑒𝑎2𝑡.
Pada bab ini dibahas solusi model menggunakan metode iterasi variasional
untuk contoh model pertumbuhan populasi dua spesies yang berinteraksi secara
simbiosis mutualisme, simbiosis parasitisme, dan kompetisi.
4.1. Model Mutualisme
Pada subbab ini diberikan solusi dari sistem (4.1)-(4.2) untuk model pertumbuhan
populasi dua spesies yang berinteraksi secara simbiosis mutualisme menggunakan
metode iterasi variasional. Diasumsikan bahwa 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,08; 𝑏1 =
−0,0014; 𝑏2 = −0,001; 𝑐1 = 0,0012; dan 𝑐2 = 0,0009 , sehingga solusi iterasi
variasional sampai pada 𝑥2(𝑡) dan 𝑦2(𝑡) dengan menggunakan software Maple
adalah sebagai berikut:
𝑥1(𝑡) = 3.624𝑒0.1𝑡 − 0.224𝑒0.2𝑡 + 0.6𝑒0.18𝑡, (4.15)
𝑦1(𝑡) = 10.89𝑒0.08𝑡 + 0.36𝑒0.18𝑡 − 1.25𝑒0.16𝑡, (4.16)
𝑥2(𝑡) = 3.609515785𝑒0.1𝑡 − 0.183867264𝑒0.2𝑡
+ 0.5919804𝑒0.18𝑡 − 0.04138879997𝑒0.28𝑡
+ 0.0009983999997𝑒0.38𝑡 + 0.01503𝑒0.26𝑡
− 0.00375𝑒0.34𝑡 + 0.0003507692307𝑒0.36𝑡
− 0.0002341546667𝑒0.4𝑡 + 0.011364864𝑒0.3𝑡,
(4.17)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
𝑦2(𝑡) = 11.00045852𝑒0.08𝑡 + 0.35518824𝑒0.18𝑡
− 1.48240125𝑒0.16𝑡 + 0.17015625𝑒0.24𝑡
− 0.006510416667𝑒0.32𝑡 − 0.00510624𝑒0.28𝑡
− 0.00024192𝑒0.38𝑡 − 0.03354000001𝑒0.26𝑡
+ 0.0008653846153𝑒0.34𝑡
+ 0.001131428571𝑒0.36𝑡.
(4.18)
(a) (b)
Gambar 4.1 Grafik solusi untuk model Mutualisme: (a). 𝑥3(𝑡), (b). 𝑦3(𝑡) with 0 ≤ 𝑡 ≤ 34.
Representasi dari solusi model pertumbuhan populasi dua spesies yang
berinteraksi secara simbiosis mutualisme diplot pada Gambar 4.1 untuk 𝑥3(𝑡) dan
𝑦3(𝑡). Pada Gambar 4.1 dapat diamati bahwa karena simbiosis mutualisme,
populasi dari kedua spesies meningkat terhadap waktu.
4.2. Model Parasitisme
Pada subbab ini diberikan solusi dari sistem (4.1)-(4.2) untuk model pertumbuhan
populasi dua spesies yang berinteraksi secara simbiosis parasitisme menggunakan
metode iterasi variasional. Diasumsikan bahwa 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,08; 𝑏1 =
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
−0,0014; 𝑏2 = −0,001; 𝑐1 = 0,0012; dan 𝑐2 = −0,0009. Representasi dari deret
solusi iterasi variasional yang diselesaikan menggunakan software Maple adalah
sebagai berikut:
𝑥1(𝑡) = 3.624𝑒0.1𝑡 − 0.224𝑒0.2𝑡 + 0.6𝑒0.18𝑡, (4.19)
𝑦1(𝑡) = 11.61𝑒0.08𝑡 − 0.36𝑒0.18𝑡 − 1.25𝑒0.16𝑡, (4.20)
𝑥2(𝑡) = 3.586909632𝑒0.1𝑡 − 0.183867264𝑒0.2𝑡 + 0.6311196𝑒0.18𝑡
− 0.001643076923𝑒0.36𝑡 − 0.0598592𝑒0.28𝑡
+ 0.0016896𝑒0.38𝑡 + 0.01827𝑒0.26𝑡 − 0.00375𝑒0.34𝑡
− 0.0002341546667𝑒0.4𝑡 + 0.01136486399𝑒0.3𝑡,
(4.21)
𝑦2(𝑡) = 11.83861929𝑒0.08𝑡 − 0.37867176𝑒0.18𝑡
− 1.68490125𝑒0.16𝑡 + 0.18140625𝑒0.24𝑡
− 0.006510416667𝑒0.32𝑡 + 0.0006685714285𝑒0.36𝑡
+ 0.01757376𝑒0.28𝑡 − 0.00024192𝑒0.38𝑡
+ 0.03425999999𝑒0.26𝑡 + 0.0008653846153𝑒0.34𝑡.
(4.22)
(a) (b)
Gambar 4.2 Grafik dari solusi untuk model Parasitisme: (a). 𝑥3(𝑡), (b). 𝑦3(𝑡) with 0 ≤ 𝑡 ≤ 32.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Representasi dari solusi model pertumbuhan populasi dua spesies yang
berinteraksi secara simbiosis parasitisme diplot pada Gambar 4.2. untuk 𝑥3(𝑡) dan
𝑦3(𝑡). Pada Gambar 4.2 dapat diamati bahwa karena simbiosis parasitisme, salah
satu populasi menurun terhadap waktu, hal ini kemudian diikuti oleh populasi lain.
4.3. Model Kompetisi
Pada subbab ini diberikan solusi dari sistem (4.1)-(4.2) untuk model pertumbuhan
populasi dua spesies yang saling berkompetisi menggunakan metode iterasi
variasional. Diasumsikan bahwa 𝑎1 = 0,1; 𝑎2 = 0,08; 𝑏1 = −0,0014; 𝑏2 =
−0,001; 𝑐1 = −0,0012; dan 𝑐2 = −0,0009. Representasi dari deret solusi iterasi
variasional yang diselesaikan menggunakan software Maple adalah sebagai berikut:
𝑥1(𝑡) = 4.824𝑒0.1𝑡 − 0.224𝑒0.2𝑡 − 0.6𝑒0.18𝑡, (4.23)
𝑦1(𝑡) = 11.61𝑒0.08𝑡 − 0.36𝑒0.18𝑡 − 1.25𝑒0.16𝑡, (4.24)
𝑥2(𝑡) = 4.989257447𝑒0.1𝑡 − 0.325793664𝑒0.2𝑡 − 0.8400995999𝑒0.18𝑡
− 0.00375𝑒0.34𝑡 − 0.004227692307𝑒0.36𝑡
+ 0.07393919997𝑒0.28𝑡 − 0.0016896𝑒0.38𝑡
+ 0.015128064𝑒0.3𝑡 − 0.0002341546667𝑒0.4𝑡
+ 0.09747𝑒0.26𝑡,
(4.25)
𝑦2(𝑡) = 11.89148417𝑒0.08𝑡 − 0.50405976𝑒0.18𝑡 − 1.68490125𝑒0.16𝑡
+ 0.18140625𝑒0.24𝑡 − 0.006510416667𝑒0.32𝑡
− 0.006057692307𝑒0.34𝑡 − 0.002057142857𝑒0.36𝑡
+ 0.01951776𝑒0.28𝑡 − 0.00024192𝑒0.38𝑡 + 0.11142𝑒0.26𝑡.
(4.26)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
(a) (b)
Gambar 4.3 Grafik solusi untuk model Kompetisi: (a). 𝑥3(𝑡), (b). 𝑦3(𝑡) with 0 ≤ 𝑡 ≤ 30.
Representasi dari solusi model pertumbuhan populasi dua spesies yang saling
berkompetisi diplot pada Gambar 4.3 untuk 𝑥3(𝑡) dan 𝑦3(𝑡). Untuk waktu yang
kecil, kedua populasi meningkat terhadap waktu.
Perhitungan numerik untuk ketiga kasus (mutualisme, parasitisme, dan
kompetisi) diberikan pada Tabel 4.1.
Table 4.1 Hasil numerik dari metode iterasi variasional berdasarkan contoh yang
diberikan.
𝑡 Model Mutualisme Model Parasitisme Model Kompetisi
𝑥2(𝑡) 𝑦2(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑦2(𝑡) 𝑥2(𝑡) 𝑦2(𝑡)
0.0 4.00000 10.00000 4.00000 10.00000 4.00000 10.00000
0.1 4.04279 10.07385 4.04279 10.06657 4.03307 10.06657
0.2 4.08606 10.14822 4.08605 10.13347 4.06636 10.13349
0.3 4.12979 10.22309 4.12978 10.20071 4.09988 10.20075
0.4 4.17401 10.29848 4.17398 10.26829 4.13362 10.26836
0.5 4.21871 10.37440 4.21867 10.33621 4.16758 10.33632
0.6 4.26391 10.45083 4.26384 10.40446 4.20177 10.40463
0.7 4.30960 10.52779 4.30950 10.47304 4.23618 10.47328
0.8 4.35579 10.60528 4.35566 10.54197 4.27083 10.54228
0.9 4.40249 10.68330 4.40232 10.61123 4.30569 10.61163
1.0 4.44970 10.76185 4.44949 10.68083 4.34079 10.68133
Hasil perhitungan yang diperoleh pada Tabel 4.1 sangat mirip dengan hasil
perhitungan menggunakan metode dekomposisi Adomian. Tabel 4.2 menunjukkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
hasil perhitungan yang dilakukan menggunakan metode dekomposisi Adomian
(Putranto dan Mungkasi, 2017).
Table 4.2 Hasil numerik dari metode dekomposisi Adomian berdasarkan contoh yang
diberikan.
𝑡 Model Mutualisme Model Parasitisme Model Kompetisi
𝑋1 𝑌1 𝑋2 𝑌2 𝑋3 𝑌3
0.0 4.00000 10.00000 4.00000 10.00000 4.00000 10.00000
0.1 4.04279 10.07385 4.04279 10.06657 4.03307 10.06657
0.2 4.08606 10.14822 4.08605 10.13347 4.06636 10.13349
0.3 4.12979 10.22309 4.12978 10.20071 4.09988 10.20075
0.4 4.17401 10.29848 4.17398 10.26829 4.13362 10.26836
0.5 4.21871 10.37440 4.21867 10.33620 4.16758 10.33632
0.6 4.26391 10.45083 4.26384 10.40445 4.20177 10.40462
0.7 4.30960 10.52779 4.30950 10.47304 4.23618 10.47327
0.8 4.35579 10.60527 4.35566 10.54196 4.27082 10.54227
0.9 4.40249 10.68329 4.40232 10.61122 4.30568 10.61162
1.0 4.44970 10.76185 4.44950 10.68081 4.34078 10.68131
Hasil perhitungan yang sangat mirip juga dilakukan oleh Batiha, dkk (2007)
menggunakan metode Runge-Kutta orde empat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
BAB V
ASPEK PENDIDIKAN
BAB V ASPEK PENDIDIKAN
Matematika merupakan merupakan ilmu yang berbeda dengan ilmu-ilmu
pengetahuan lainnya. Objek studi dari ilmu pengetahuan di luar matematika
sebagian besar mengenai hal-hal yang bersifat empiris atau hal-hal yang dapat
dirasakan oleh panca indera, sedangkan objek studi matematika merupakan konsep-
konsep yang ada di pikiran. Oleh karena itu, sering ada pertanyaan mengenai objek-
objek apa sajakah yang dapat diteliti dalam bidang matematika? Menurut MAA
(Mathematical Association of America) secara garis besar terdapat lima kategori
dalam penelitian matematika, biasa disingkat dengan PEACE, yaitu: Proof
(pembuktian), Extension (perluasan / pengembangan), Application (penerapan),
Characterization (karakterisasi), dan Existence (eksis / keberadaan). Pada
penelitian ini dapat dikategorikan dalam dua kategori, yaitu: Extension
(pengembangan) dan Application (penerapan), karena peneliti melakukan
modifikasi atau pengembangan model yang sudah ada dan model tersebut
merupakan pemodelan dari masalah di dunia nyata.
Penelitian pada bidang matematika, dapat juga dikaitkan dengan dunia
pendidikan guna menambah wawasan serta pengetahuan bagi peserta didik. Pada
bab ini, dibahas mengenai implementasi dari bidang kajian penelitian yang telah
dilakukan pada bidang pendidikan, khususnya pada pembelajaran di SMA dan S1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
A. Pembelajaran di SMA
Pada mata pelajaran matematika di SMA, terdapat materi yang terkait dengan
pembahasan penelitian ini. Peneliti meneliti model matematika yang berbentuk
sistem persamaan diferensial. Proses merepresentasikan dan menjelaskan
permasalahan dari dunia nyata ke dalam persamaan matematika atau biasa disebut
dengan pemodelan matematika sudah dipelajari oleh para siswa di SMA. Di kelas
X terdapat materi sistem persamaan linear dan di kelas XII terdapat materi program
linear, dimana kedua materi tersebut membutuhkan pemodelan matematika. Soal-
soal cerita yang nantinya akan diselesaikan harus terlebih dahulu dibawa ke dalam
persamaan matematika. Para siswa harus terlebih dahulu memahami bagaimana
cara membawa kalimat dalam kehidupan sehari-hari ke dalam bentuk kalimat
matematika. Sebagai contoh, berikut diberikan salah satu soal mengenai pemodelan
matematika sederhana yang harus dilakukan pada materi sistem persamaan linear
atau program linear:
SOAL UN 2007 PAKET A
Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena,
dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil
dengan harga Rp 11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan
harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga
Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berapa rupiah Dedi
harus membayar?
a. Rp 6.000,00
b. Rp 7.000,00
c. Rp 8.000,00
d. Rp 9.000,00
e. Rp 10.000,00
Dari contoh soal tersebut, pemodelan matematika yang dapat dibentuk adalah
3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 11.000,
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 14.000,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 11.000,
dengan 𝑥 merupakan harga sebuah buku tulis, 𝑦 merupakan harga sebuah pena, dan
𝑧 merupakan harga sebuah pensil.
Selain itu, di kelas XI terdapat materi turunan atau derivatif yang terkait
dengan model pada penelitian ini. Model yang dibahas pada penelitian ini berupa
sistem persamaan diferensial biasa orde satu. Soal-soal yang terkait dengan materi
di kelas XI merupakan soal-soal turunan yang lebih sederhana, misal,
KUMPULAN SOAL INDIKATOR 25 UN 2011
(http://www.soalmatematik.com)
Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm
akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang
sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume
maksimum berturut-turut adalah …
a. 10 dm, 7 dm, 1 dm
b. 8 dm, 5 dm, 1 dm
c. 7 dm, 4 dm, 2 dm
d. 7 dm, 4 dm, 1 dm
e. 6 dm, 3 dm, 1 dm
Para siswa membutuhkan pemahaman materi mengenai pemodelan matematika dan
konsep dari turunan untuk dapat menyelesaikan soal di atas. Oleh karena itu,
pembahasan pada penelitian ini dapat juga digunakan sebagai pengetahuan
tambahan agar para siswa dapat lebih memahami akan manfaat materi-materi
matematika yang dipelajari dalam kehidupan sehari-hari.
B. Pembelajaran di S1
Pemodelan matematika dan persamaan diferensial biasa merupakan salah
satu mata kuliah wajib yang harus dipelajari di bangku kuliah, khususnya bagi
mahasiswa S1 program studi matematika ataupun pendidikan matematika. Pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
penelitian ini, dibahas mengenai memodifikasi model yang sudah ada, dan cara
menganalisis kestabilan dari sistem persamaan diferensial biasa orde satu, serta
mencari pendekatan solusi sistem menggunakan metode iterasi variasional.
Pemodelan matematika yang sederhana sudah diperoleh mahasiswa S1 pada
saat bangku SMA. Selanjutnya pemodelan matematika yang dipelajari pada bangku
kuliah sedikit lebih kompleks. Pemodelan matematika yang dipelajari di bangku
kuliah lebih kepada pemodelan yang terjadi pada dunia nyata dan persamaan model
yang dipelajari merupakan suatu persamaan diferensial yang menggambarkan laju
pertumbuhan atau hal yang lain. Model matematika diperoleh dengan
memperhatikan faktor-faktor dominan yang berpengaruh pada model yang akan
diteliti. Setelah itu, dibutuhkan juga bidang-bidang ilmu lain untuk memperoleh
penyelesaian model. Pemahaman mengenai persamaan diferensial biasa juga
penting dimiliki untuk membantu dalam penyelesaian model yang sudah dibentuk.
Pada penelitian ini, dibahas juga mengenai metode iterasi variasional untuk mencari
pendekatan dari solusi model. Metode ini dapat digunakan untuk mencari
pendekatan dari solusi model yang penyelesaian eksaknya susah untuk dicari. Oleh
karena itu, metode iterasi variasional perlu juga dipelajari sebagai materi tambahan
guna menunjang pemahaman mengenai materi kuliah persamaan diferensial biasa.
C. Refleksi Penelitian di Bidang Matematika
Pengalaman pertama peneliti dalam melakukan penelitian di bidang
matematika adalah pada saat duduk di bangku kuliah S1. Peneliti melakukan
penelitian di bidang matematika guna memenuhi syarat untuk memperoleh gelar
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
sarjana. Penelitian matematika pertama yang dilakukan berjudul “Pelabelan Total
Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan Dua Anting”. Pada penelitian
tersebut, peneliti membahas mengenai pelabelan yang mungkin terjadi pada suatu
graf. Pembahasan pada penelitian yang pertama tersebut sangat berbeda dengan
penelitian yang peneliti lakukan pada tesis ini.
Pada awal pengerjaan tesis ini, peneliti sempat mengalami kebimbangan.
Pertama, peneliti mengawali pengerjaan tesis ini dengan pembahasan terkait dunia
pendidikan, yaitu membahas mengenai strategi pemecahan masalah dalam
menyelesaiakan soal-soal olimpiade matematika tingkat SMA. Peneliti memulai
penelitian tentang strategi pemecahan masalah dibimbing oleh dosen pembimbing
yang pertama sampai pada penulisan praproposal. Pada penulisan tesis ini, peneliti
mempunyai dua dosen pembimbing, hal ini terjadi karena suatu hal yang nanti akan
diceritakan di bawah.
Kebimbangan yang pertama terjadi ketika terdapat tawaran dari dosen
pembimbing yang pertama, untuk mengganti materi penelitian. Penelitian yang
ditawarkan merupakan penelitian dalam bidang matematika. Keputusan yang
diambil oleh peneliti yaitu menerima tawaran yang diberikan oleh dosen
pembimbing yang pertama. Materi yang diberikan terkait dengan dinamika
populasi. Peneliti bekerja keras dalam memahami materi tersebut dan harus dengan
cepat menyusun proposal karena pada saat itu, diberikan target untuk
mengumpulkan proposal mengenai apa yang telah diteliti. Mungkin waktu dan
tenaga yang digunakan peneliti dalam penulisan praproposal mengenai strategi
pemecahan masalah terasa sia-sia, namun tidak sepenuhnya seperti itu karena hal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
tersebut dimaknai oleh peneliti sebagai sebuah perjuangan untuk memperoleh gelar
Magister Pendidikan Matematika.
Diawal semester tiga, peneliti mendapat kabar yang mendadak yang
berhubungan dengan dosen pembimbing pertama. Kabar yang beredar adalah dosen
pembimbing yang pertama akan melakukan studi ke luar negeri pada waktu dekat.
Sempat merasa putus asa karena masa depan tesis yang peneliti lakukan masih
belum berwujud dan belum jelas. Sempat membayangkan untuk melakukan
penelitian ulang dengan materi yang berbeda “lagi”. Pada saat itu penulis merasa
semangat yang sebelumnya membara, dengan sekejap padam. Namun, angin segar
dan semangat baru datang tidak lama setelah itu. Setelah berdiskusi dengan dosen
pembimbing pertama dan ketua Program Studi, penelitian dapat dilanjutkan dengan
syarat harus bekerja cepat dan dengan target waktu yang ditentukan, yaitu sebelum
dosen pembimbing pertama berangkat ke negeri orang untuk melanjutkan studi.
Waktu berlalu, sampai pada akhirnya inti dari pembahasan tesis dapat
terbentuk. Namun, karena sesuatu hal, pembimbing yang pertama tidak dapat lagi
membimbing peneliti untuk menyelesaikan tesis. Kembali lagi peneliti mengalami
semangat yang padam. Namun, dengan kehadiran dosen yang kedua, dosen
pembimbing yang dapat memfasilitasi peneliti untuk melanjutkan tesisnya, peneliti
kembali lagi memperoleh semangatnya. Meskipun sempat diselimuti perasaan
khawatir karena takut apabila apa yang telah diteliti akan berakhir sia-sia lagi.
Ternyata tidak, dosen pembimbing yang kedua tidak meminta untuk mengubah
materi yang sudah diteliti, namun hanya menambah pembahasan lain guna
mempertajam hasil penelitian.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Pada akhirnya, penelitian ini dapat terselesaikan dan bahan tambahan yang
diberikan dosen pembimbing kedua dapat juga dipublikasikan di Jurnal
Internasional yang berindeks Scopus. Publikasi tersebut juga merupakan salah satu
syarat dalam memperoleh gelar Magister. Dengan demikian, peneliti merasa apa
yang selama ini dilakukan tidak ada yang sia-sia, karena hal-hal tersebut membuat
peneliti semakin dapat menghargai suatu perjuangan.
Peneliti juga akan menceritakan suka duka dalam melakukan penelitian di
bidang matematika. Tidak terlalu banyak duka yang dirasakan, karena duka atau
kesulitan yang peneliti rasakan dalam penelitian ini, secara umum dilakukan juga
pada saat meneliti di bidang lain. Kesulitan tersebut meliputi, harus mempunyai
banyak referensi terkait dengan materi penelitian, harus banyak membaca mengenai
materi yang terkait dengan penelitian, dan lebih banyak melakukan percobaan
mengenai perhitungan yang diperlukan. Sedangkan untuk sukanya, sangat banyak
yang dirasakan oleh peneliti, sehingga peneliti tidak ragu untuk kembali melakukan
penelitian di bidang matematika. Beberapa hal yang dirasa menyenangkan dalam
melakukan penelitian matematika antara lain, adanya pengetahuan baru yang
diperoleh di bidang matematika dan mengetahui juga pengaplikasian ilmu
matematika pada kehidupan sehari-hari. Selain itu, dalam melakukan penelitian
matematika, tidak tergantung terhadap subjek yang diteliti seperti halnya penelitian
di kelas pada bidang pendidikan, sehingga cepat atau tidaknya penelitian yang
dilakukan semata-mata hanya tergantung pada peneliti. Apabila peneliti ingin
penelitiannya berlangsung cepat, maka haruslah rajin dalam melakukan penelitian
atau melakukan perhitungan sesuai dengan materi yang diperlukan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
BAB VI
PENUTUP
BAB VI PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, maka dapat ditarik
kesimpulan sebagai berikut.
Dari model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh
secara logistik berhasil disusun modifikasi model dengan adanya unsur pemanenan,
yaitu model interaksi simbiosis mutualisme dua spesies yang bertumbuh secara
logistik dengan adanya unsur pemanenan pada salah satu jenis spesies dan adanya
unsur pemanenan pada kedua jenis spesies. Dari kedua model hasil modifikasi
diperoleh empat titik ekuilibrium pada masing-masing model. Berdasarkan hasil
analisis kestabilan yang sudah dilakukan, kestabilan dari setiap titik ekuilibrium
sangat dipengaruhi oleh parameter-parameter yang digunakan.
Pada pembahasan mengenai solusi dari perumuman model, diketahui bahwa
metode iterasi variasional dapat digunakan untuk mencari solusi dari model
dinamika populasi dua spesies. Model dinamika populasi dua spesies yang diteliti
adalah sistem persamaan diferensial biasa nonlinear orde satu dengan nilai awal.
Metode iterasi variasional memberikan solusi pendekatan pada setiap nilai waktu
tanpa membutuhkan diskretisasi domain waktu. Pembentukan formula iterasi yang
sederhana, membuat metode iterasi variasional mudah diimplementasikan dalam
menyelesaikan model dinamika populasi.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Penelitian pada tesis ini berlandaskan pada pemodelan matematika dan
persamaan diferensial. Keterkaitan pemodelan matematika dan persamaan
diferensial dengan materi yang dipelajari pada pembelajaran matematika di SMA
dan S1 sangatlah erat. Sebagai contoh, pada pembelajaran matematika di SMA
terdapat materi sistem persamaan linear di kelas X dan program linear di kelas XII,
dimana kedua materi tersebut membutuhkan pemodelan matematika di dalamnya.
Selain itu di kelas XI terdapat materi turunan atau derivatif yang terkait dengan
persamaan diferensial. Pada pembelajaran matematika di S1 khususnya pada
program studi matematika atau pendidikan matematika, mata kuliah pemodelan
matematika dan persamaan diferensial biasa merupakan mata kuliah wajib yang
harus dipelajari. Pada tesis ini dibahas mengenai modifikasi serta analisis model
yang dapat digunakan sebagai sarana belajar mahasiswa dalam mempelajari
pemodelan matematika. Dibahas juga mengenai cara mencari pendekatan solusi
dari sistem persamaan diferensial dengan menggunakan metode iterasi variasional,
metode ini dapat digunakan pada saat mahasiswa ingin mencari pendekatan solusi
dari persamaan diferensial biasa yang sulit untuk dicari solusi eksaknya.
B. Saran
Berdasarkan pembahasan dan kesimpulan pada tesis ini, diberikan beberapa
saran agar penelitian ini dapat terus dikembangkan. Saran yang pertama adalah
model dari hasil modifikasi ini dapat dikembangkan kembali agar lebih realistis,
misal terdapat faktor migrasi, adanya interaksi dengan spesies lain sehingga sistem
dari model dapat memuat tiga atau lebih persamaan diferensial. Saran yang kedua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
adalah penggunaan metode iterasi variasional dapat dikembangkan untuk
menyelesaikan masalah-masalah lain yang terkait dengan sistem persamaan
diferensial.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
DAFTAR PUSTAKA
Ahmad, R. and Budin, H., 2012, “Stability Analysis of Mutualism Population
Model with Time Delay”, World Academy of Science, Engineering and
Technology, 6(2): 151-155.
Batiha, B., Noorani, MSM, dan Hashim, I., 2007, “Variational iteration method for
solving multispecies Lotka–Volterra equations”, Computers and
Mathematics with Applications, 54: 903-909.
Boyce, W.E. dan DiPrima, R.C., 2012, Elementary Differential Equations and
Boundary Value Problems. New York: Tenth Edition, John Wiley & Sons.
Odum, E.P., 1973, Dasar-dasar Ekologi (3rd ed.). Translite by Samingan, T.
1993.Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
He, J.H., 2007, ”Variational iteration method-Some recent results and new
intrepretations“, Journal of Computational and Applied Mathematics, 207,
3-17.
Perko, L., 1991, Differential Equation and Dynamical System. New York:
Springer-Verlag.
Putranto, Y.W. dan Mungkasi, S., 2017, “Adomian decomposition method for
solving the population dynamics model of two species”, Journal of
Physics: Conference Series, 795(1): 012045.
Reddy, B.R., 2012, “Stability Analysis of Two Mutually Interacting Species with
Unlimited Resources for Both the Species”, Journal of Experimental
Sciences, 3(2): 24-28.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Tucker, A., 1989, A Unified Introduction to Linear Algebra. Models, Methods, and
Theory. New York: Macmillan Publising Company.
Wazwaz, A.M., 2009, Partial differential Equations and Solitary Waves Theory.
New York: Springer.
Yuliyanto, B. D. dan Mungkasi, S., 2017, “Variational iteration method for solving
the population dynamics model of two species”, Journal of Physics:
Conference Series, 795(1): 012044.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI