Analise desbalanceamento

7/27/2019 Analise desbalanceamento

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ANLISE ROTODINMICA DE EQUIPAMENTOS SUJEITOS A

DESBALANCEAMENTO ESTTICO, DINMICO E MODAL

Joilson de Souza Rangel Junior

DISSERTAO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAO DOS

PROGRAMAS DE PS-GRADUAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSRIOS

PARA A OBTENO DO GRAU DE MESTRE EM CINCIAS EM ENGENHARIA

MECNICA.

Aprovada por:

Prof. Max Suell Dutra, Dr.-Ing.

Prof. Felipe Maia Galvo Frana, Ph.D.

Prof. Jules Ghislain Slama, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 2008


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RANGEL JUNIOR, JOILSON DE SOUZA

Anlise rotodinmica de equipamentos

sujeitos a desbalanceamento esttico,

dinmico e modal [Rio de Janeiro] 2008

V, 82 p. 29,7 cm (DEM/UFRJ, M.Sc.,

Engenharia Mecnica, 2008)

Dissertao de Mestrado Universidade

Federal do Rio de Janeiro, COPPE

1. Rotodinmica2. Desbalanceamento

I. COPPE/UFRJ II. Ttulo ( srie )


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iii

Ao meu av Hernandes dos Santos.

Meu referencial de fora, serenidade e perseverana.


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iv

AGRADECIMENTOS

Acima de tudo a Deus, por me proporcionar sade fsica e mental para

desenvolvimento deste trabalho.

A minha esposa Patrcia Correa Rodrigues pelo seu grandioso amor, apoio

incondicional e pacincia durante toda esta trajetria. Te amo muito.

A minha querida famlia: minha me Ana Maria dos Santos, meus irmos Renato e

Ana Paula, meus avs Hernandes e Odilla, meu querido sobrinho Yago, como

reconhecimento a todo amor despendido por vocs durante toda minha vida. Somente

sou a pessoa que sou hoje graas a vocs e, por isso, sou completamente apaixonado

por vocs.

Ao meu orientador, professor Dr.-Ing Max Suell Dutra, pelas suas preciosas

orientaes, pelo seu apoio e amizade, por acreditar neste trabalho e confiar em mim.

Aos professores, D. Sc. Moyss Zindeluk (COPPE/UFRJ) e Dr. Ing Hans Ingo

Weber (PUC/RJ), pelos valiosos ensinamentos proporcionados, sem os quais no

seria possvel a realizao deste trabalho.A todos os meus amigos e familiares que souberam compreender a necessidade

de minha ausncia durante o desenvolvimento deste trabalho.

Aos engenheiros Luis Csar de Almeida, Emilson Manoel Ribeiro e todos os meus

companheiros de trabalho, do Setor de Assessoramento Tcnico aos

Empreendimentos da Engenharia (SEQUI) - Petrobras, pelo incentivo de que este

projeto poderia se tornar realidade e suporte durante todo o processo.

Aos colegas de mestrado, especialmente Fabrcio, Alox, Omar, Magda,

Melquesedeque e Fausto por sua ateno, apoio e principalmente pelo incentivo.Ao pessoal da secretaria da mecnica, em especial a Vera, por ter sempre me

ajudado com muita dedicao e pacincia durante todo este perodo.


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v

Resumo da Dissertao apresentada COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessrios para a obteno do grau de Mestre em Cincias (M.Sc.)

ANLISE ROTODINMICA DE EQUIPAMENTOS SUJEITOS A

DESBALANCEAMENTO ESTTICO, DINMICO E MODAL


Junho / 2008

Orientador: Max Suell Dutra

Programa: Engenharia Mecnica

A proposta deste trabalho avaliar o comportamento rotodinmico de equipamentos

operando acima de suas primeiras freqncias naturais, dotados de rotores apoiados

em mancais anisotrpicos, excitados por foras de desbalanceamento esttico,

dinmico ou modal e sob a ao de efeitos giroscpicos. Uma anlise crtica

apresentada a respeito das margens de separao seguras do ponto de operao

destes equipamentos em relao as suas freqncias ressonantes, sugeridas pelas

principais normas internacionais sobre o assunto.


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Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ROTORDYNAMIC ANALYSIS OF EQUIPMENTS SUBJECTED TO STATIC,

DYNAMIC AND MODAL UNBALANCE


June / 2008

Advisor: Max Suell Dutra

Department: Mechanical Engineering

The purpose of this work is evaluate the equipments rotordynamic behaviors operating

beyond the fist critical speeds, with rotors supported by anisotropic bearings, excited by

static, dynamic and modal unbalance forces and with the presence of gyroscopic

effects. A critical analysis is presented about the security separation margins between

the equipments operating points and their resonant frequencies, suggested by the main

international standards about this subject.


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NDICE DO TEXTO

Captulo 1 Introduo ..................................................................................... 01

1.1 Objetivo ........................................................................................................... 01

1.2 Reviso de Literatura ..................................................................................... 02

1.3 Desenvolvimento ........................................................................................... 04

Captulo 2 - Desbalanceamento de Rotores ..................................................... 05

2.1 Caractersticas do Desbalanceamento de Rotores ......................................... 05

2.2 Causas do Desbalanceamento ........................................................................... 06

2.3 Limites de Desbalanceamento ........................................................................... 06

2.4 Tipos de Rotores ............................................................................................ 09

2.4.1 Rotores Rgidos ............................................................................................ 092.4.2 Rotores Flexveis ............................................................................................ 10

2.5 Tipos de Desbalanceamento de Rotores ........................................................... 11

2.5.1 Desbalanceamento Esttico ............................................................................ 11

2.5.2 Desbalanceamento Acoplado ....................................................................... 12

2.5.3 Desbalanceamento Semi-esttico ................................................................. 13

2.5.4 Desbalanceamento Dinmico ....................................................................... 14

2.6 Mtodos de Balanceamento ............................................................................ 15

2.6.1 Balanceamento de Rotores Rgidos ................................................................. 152.6.2 Balanceamento de Rotores Flexveis ........................................................... 16

2.6.3 Balanceamento em 01 Plano ............................................................................ 17

2.6.4 Balanceamento em 02 Planos ....................................................................... 18

2.6.5 Balanceamento de Baixa Velocidade ........................................................... 21

2.6.6 Balanceamento de Alta Velocidade ................................................................. 22

Captulo 3 Vibraes de Rotores ....................................................................... 25

3.1 Vibraes Livres em Sistemas Discretos ........................................................... 263.1.1 Vibrao Livre No Amortecida ....................................................................... 26

3.1.2 Amortecimento de Rotores ............................................................................ 31

3.1.3 Vibrao Livre Amortecida ............................................................................ 33

3.1.3.1 Sistema Superamortecido ............................................................................ 36

3.1.3.2 Sistema Criticamente Amortecido ................................................................. 37

3.1.3.3 Sistema Sub-amortecido ............................................................................ 37

3.2 Vibraes Foradas em Sistemas Discretos ...................................................... 39


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viii

Captulo 4 - Anlise Rotodinmica ....................................................................... 44

4.1 Sistema no amortecido com um disco desbalanceado posicionado no centro do

vo de um eixo isotrpico apoiado em mancais isotrpicos ..................................... 45

4.2 Sistema no amortecido com disco desbalanceado posicionado no centro do vo

de um eixo isotrpico apoiado em mancais anisotrpicos ..................................... 52

4.3 Sistema no amortecido com rotor desbalanceado composto por discos fixados

em um eixo flexvel isotrpico apoiado em mancais isotrpicos ................................ 57

4.4 Sistema no amortecido com rotor desbalanceado composto por discos fixados

em um eixo flexvel isotrpico apoiado em mancais anisotrpicos ........................... 67

4.5 Influncia do amortecimento no comportamento rotodinmico do sistema .... 71

4.6 Recomendaes das normas do Instituto Americano de Petrleo ..................... 75

Captulo 5 Consideraes Finais ....................................................................... 79

Referncias Bibl iogrficas .................................................................................. 80


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1

1 INTRODUO

1.1 Objetivo

Os equipamentos rotativos empregados atualmente nos diversos segmentos da

indstria, principalmente em setores ligados as atividades de Explorao e Produo

de Petrleo e Gs Natural, apresentam uma tendncia a trabalhar em condies

operacionais cada vez mais severas. Adicionalmente, o mercado exige que estas

mquinas de alto valor agregado, tenham uma grande confiabilidade e baixo risco

operacional, elevado tempo mdio entre intervenes de manuteno e que sejam

mais leves e compactas.

Encontramos nestes processos industriais, diversos equipamentos de altssima

rotao que operam acima de suas primeiras velocidades crticas, em regies

limitadas lateralmente pelas freqncias naturais de seus rotores. A coincidncia da

frequncia de operao com a frequncia natural do rotor determina o aparecimento

de um fenmeno denominado ressonncia, que se caracteriza pelo crescente

aumento das amplitudes de vibrao da mquina. Este fenmeno altamente

destrutvel aos equipamentos rotativos, como pode ser evidenciado atravs da Figura

1.1. Assim, seus rotores so projetados para operar com margens seguras de

afastamento de suas freqncias naturais, sugeridas pelas principais normas

existentes sobre o assunto.

A proposta deste trabalho avaliar o comportamento dinmico de um rotor

apoiado em mancais anisotrpicos, operando acima de sua primeira frequncia

natural, excitado por uma fora de desbalanceamento residual e sob a ao de efeitos

giroscpicos. Uma anlise crtica apresentada a respeito das margens de separao

seguras do ponto de operao dos rotores em relao as suas freqncias

ressonantes, sugeridas pelas normas de equipamentos rotativos do Instituto

Americano de Petrleo (API) [18-22].


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2

Figura 1.1: Falha catastrfica de um compressor centrfugo de mltiplos estgios pelo

fenmeno de ressonncia [16]

1.2 Reviso de Literatura

O projeto de rotores de mquinas de alta velocidade vem sendo um desafio

para seus fabricantes, requerendo solues tecnologicamente sofisticadas para

problemas relacionados com a estrutura mecnica do equipamento, o balanceamento

do conjunto rotativo, o projeto de mancais e a estabilidade do conjunto completo.

Sendo o desbalanceamento de rotores uma das mais freqentes causas de vibraes

em mquinas, presente em diferentes graus em praticamente todos os equipamentos

rotativos [35], tem sido abundantemente publicado na literatura tcnica artigos sobreeste assunto.

Os primeiros estudos sobre o comportamento dinmico dos rotores foram

apresentados pelo engenheiro alemo August Otto Fppl [1] (1854-1924). Fppl

realizou extensos trabalhos experimentais em dinmica de rotores, utilizando um

dispositivo composto de um nico disco fixado no centro do vo de um eixo apoiado

entre mancais, denominado Rotor de Laval. Este modelo elementar de sistema

rotodinmico at hoje frequentemente utilizado por projetistas e analistas de

equipamentos rotativos para simular as caractersticas dinmicas de seus rotores.Este nome foi atribudo em homenagem ao engenheiro sueco Carl Gustav Patric de


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3

Laval (1845 1913), reconhecendo as suas grandes contribuies no

desenvolvimento de turbomquinas de altas velocidades, estudo de velocidades

criticas e passagem de rotores pela ressonncia [2]. Em seguida, diversas pesquisas

foram realizadas envolvendo dinmica, balanceamento e vibraes de rotores de

mquinas. As primeiras tcnicas aplicadas para balanceamento de rotores de

mquinas foram apresentadas em [3]. Os estudos pioneiros sobre as tcnicas de

balanceamento de rotores flexveis foram demonstrados em [4]. Em seguida, uma

proposta de balanceamento de rotores atravs da anlise de suas rbitas foi

apresentada em [5]. A partir da, comearam a haver estudos a respeito do nmero de

planos perpendiculares ao eixo de rotao, necessrios para o correto balanceamento

de rotores flexveis em [6]. Uma anlise mais aperfeioada de um dos mtodos mais

utilizados atualmente para balanceamento de rotores rgidos, o Mtodo dos

Coeficientes de Influncia, foi apresentada em [7] para aplicao em rotores flexveis

com larga faixa de velocidade de operao e velocidades crticas de mltiplas

curvaturas. Uma anlise experimental do comportamento dinmico de rotores de alta

velocidade e as aplicaes prticas do mtodo dos coeficientes de influencia para

balanceamentos multiplanos e multivelocidades foi demonstrada, respectivamente, em

[8] e [9].

Com o advento de tecnologias computacionais mais rpidas e robustas,

associado a necessidade de mercado por equipamentos rotativos com criticidade

operacional mais elevada, iniciaram-se estudos sofisticados sobre o comportamento

dinmico de rotores em alta velocidade. Uma anlise sobre a vibrao lateral de

rotores flexveis acelerados atravs de suas velocidades crticas, com utilizao do

modelo de Laval, foi apresentada em [10]. Uma anlise experimental de uma dos

mtodos mais utilizados atualmente para balanceamento de rotores flexveis, o

Balanceamento Modal, foi demonstrado em [11], sem a utilizao de massas de teste

e giros de tentativa para correo do desbalanceamento. Uma apresentao dosresultados tericos e experimentais dos principais mtodos de balanceamento

aplicados em rotores de alta velocidade operacional foi feita em [12]. Em seguida, foi

apresentado um estudo em [13] sobre o balanceamento de rotores flexveis operando

em regime transiente de velocidades, com a utilizao conjunta dos Mtodos de

Elementos Finitos e Coeficientes de Influncia. A influncia do amortecimento do

sistema na passagem do rotor por suas velocidades ressonantes foi demonstrada em

[14]. Uma reviso analtica do balanceamento de rotores afetados por momentos

giroscpicos foi apresentada em [15].


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4

1.3 Desenvolvimento

Para facilitar sua apresentao, a dissertao foi estruturada em cinco captulos.

Neste primeiro captulo, apresenta-se a motivao inicial do trabalho, bem como

uma breve descrio sobre o processo de desenvolvimento da anlise dinmica de

rotores.

O Captulo 2 trata do fenmeno de desbalanceamento de rotores, suas causas,

limites operacionais, seus diferentes tipos e uma descrio sucinta de uma das

metodologias de correo utilizada atualmente.

No Captulo 3 so descritos aspectos relacionados ao comportamento vibratrio de

sistemas no amortecidos e sob a influncia do amortecimento, submetidos ou no auma fora externa de excitao.

O Captulo 4 aborda o comportamento rotodinmico de rotores de mquinas,

descrevendo a influncia da rigidez dos mancais, do efeito giroscpico dos rotores e

do amortecimento no sistema. Discute-se tambm, as recomendaes normativas

quanto as margens seguras de separao entre as velocidades de operao e as

freqncias ressonantes do equipamento.

O Captulo 5 apresenta as consideraes finais e as concluses obtidas, assim

como sugestes para trabalhos futuros.


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2 DESBALANCEAMENTO DE ROTORES

2.1 Caractersticas do Desbalanceamento de Rotores

Havendo um desbalanceamento no conjunto rotativo de uma mquina seu centro

de gravidade geralmente se desloca em relao ao centro geomtrico do rotor,

favorecendo o surgimento de foras e momentos, que sero suportadas pelos

mancais, induzindo vibraes mecnicas nos mesmos, conforme visualizado na Figura

2.1. A distribuio de massa ao longo de um rotor essencialmente randmica, o que

faz com que, dois rotores nominalmente iguais tenham um desbalanceamento similar,

mas raramente idntico [35].

Figura 2.1: Excitao nos mancais devido a ao da fora de desbalanceamento

Em um rotor perfeitamente balanceado, no somente o centro de gravidade, mas

tambm o eixo principal de inrcia deve estar localizado exatamente sobre o eixo de

rotao do conjunto girante. Esta condio ideal quase impossvel de ser alcanada,

sendo, na maioria das aplicaes, economicamente invivel sua busca. Assim,

conforme [34], o balanceamento pode ser definido como um procedimento na qual a

distribuio de massa de um rotor verificada e, se necessrio, ajustada de modo a


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garantir que o desbalanceamento residual ou os esforos nos mancais estejam dentro

de limites especificados para uma determinada frequncia de operao. Este

procedimento de ajuste pode ser executado atravs da adio ou retirada de massa

do rotor.

2.2 Causas do Desbalanceamento

As principais causas do desbalanceamento em rotores de mquinas, segundo [38],

podem ser classificadas como o resultado de:

Configuraes assimtricas;

Falta de homogeneidade dos materiais; Deformao do material devido a velocidade de operao;

Excentricidade de mancais;

Desalinhamento dos mancais;

Desbalanceamento hidrulico ou aerodinmico;

Gradiente trmico;

Incrustaes de materiais durante a operao.

2.3 Limites de Desbalanceamento

O desbalanceamento residual mximo permissvel em um rotor rgido de uma

mquina rotativa sugerido pela norma DIN ISO 1940-1 (2003) Mechanical Vibration

Balance Quality Requirements for Rotor in a Constante State [17].

=

meU

per

per 1000 (2.1)

Onde:

perU desbalanceamento residual permissvel [g.mm];

pere grau de qualidade de balanceamento selecionado [mm/s];

m massa do rotor [kg];

velocidade angular de operao [rad/s]


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O desbalanceamento residual permissvel apresentado na equao (2.1) equivale

ao grau de desuniformidade remanescente na distribuio de massa ao longo do rotor

aps a concluso do processo de balanceamento. Isto determinar o grau de

qualidade final alcanado no processo de balanceamento do rotor, que varia de

acordo com tipo de equipamento, como demonstrado na Figura 2.2., e conforme sua

velocidade de operao, como ilustrado na Figura 2.3.

Figura 2.2: Tabela de referncia de graus de qualidade de balanceamento para

rotores rgidos [17]


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Figura 2.3: Desbalanceamento residual permissvel baseado no grau de qualidade de

balanceamento e na velocidade de operao [17]

Os principais requisitos referentes ao projeto, fabricao e testes de equipamentos

mecnicos rotativos destinados a indstria de petrleo e gs so descritos em

algumas normas do Instituto Americano de Petrleo [18-22]. Estas normas sugerem

que, para obtermos nveis de vibraes aceitveis durante a operao destes

equipamentos, os principais componentes de seu conjunto girante, como eixo e

impelidores, devem ser individualmente balanceados com uma qualidade mnima de

balanceamento G1, conforme descrito na norma ISO 1940-1 [17]. Assim, o resultado

final de um balanceamento adequado ser uma pequena excitao do sistema e,

consequentemente, ocorrncia de baixas amplitudes de vibrao no equipamento.

Durante os testes efetuados em fbrica nos equipamentos rotativos, antes de seu

embarque para planta de processo, o nvel satisfatrio de desbalanceamento residual

indiretamente evidenciado atravs amplitudes de vibrao apresentadas na


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9

frequncia de operao do equipamento. Portanto, no teste de funcionamento

mecnico deste equipamento em fbrica, com o mesmo operando em sua velocidade

mxima contnua, a amplitude de vibrao sem utilizao de filtros no pode exceder o

valor calculado atravs da equao (2.2) ou 25 m pico a pico, o que for menor:

=

000.12A (2.2)

Sendo, equivalente a velocidade mxima contnua do rotor em RPM.

Estes valores mximos de vibrao recomendados pelas normas visam evitar

amplitudes superiores a 75 % da folga diametral mnima entre as partes estacionrias

e rotativas da mquina, em qualquer velocidade dentro da faixa operacional do

equipamento, fazendo com que no haja roamentos internos e, consequentemente,

danos ao equipamento [18-22].

2.4 Tipos de Rotores

2.4.1 Rotores Rgidos

A flexo em um rotor pode ocorrer pela ao de seu prprio, pela atuao da fora

centrfuga desbalanceadora, pela passagem por suas velocidades crticas adquirindo

suas formas modais, ou pela conjugao de todas estas possibilidades. Os rotores

que operam abaixo de sua primeira frequncia natural de vibrao lateral, geralmente

so dimensionados para resistirem ao peso prprio sem flexo. Alm disto,

apresentam um deslocamento do seu centro geomtrico devido flexo menor que o

deslocamento do centro de massa devido ao desbalanceamento e, em geral, no

esto sujeitos s flexes modais. Portanto, so denominados Rotores Rgidos [30].

Estes rotores podem ser balanceados com sucesso em at dois planos

perpendiculares ao eixo de rotao. Sem dvida, o maior nmero de rotores

fabricados e instalados em equipamentos pode ser classificado como rgidos por

definio. Por isso, a grande maioria das mquinas balanceadoras projetada para

realizar balanceamentos de rotores rgidos, que pode ser executado em baixas

velocidades, menores que a velocidade de operao [24].


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2.4.2 Rotores Flexveis

Os rotores flexveis apresentam um deslocamento do centro geomtrico do eixo

em relao a linha de centro dos mancais maior que o deslocamento do centro de

massa em relao ao centro geomtrico do conjunto girante, conforme ilustrado na

Figura 2.4. Estes rotores operam em velocidades maiores que as suas velocidades

ressonantes ou crticas. Assim, requerem que as massas de correo para

estabilizao da operao, em nveis aceitveis de vibrao, sejam colocadas em trs

e as vezes mais planos perpendiculares ao eixo de rotao do rotor. Estas massas de

correo nos rotores flexveis devem minimizar tanto a flexo devido ao das foras

e momentos desbalanceadores, quanto deflexo do eixo associada aos seusdiferentes modos de vibrao. Portanto, seu balanceamento deve ser executado em

velocidades prximas a de operao [24].

Figura 2.4: Fora relativa ao desbalanceamento residual atuando em um rotor flexvel

Pela mecnica clssica, os modos de vibrao so definidos como uma descrio

do movimento de uma estrutura. Assim, conforme descrito [24], os rotores flexveis ao

se aproximarem de suas velocidades crticas, excitados por foras de

desbalanceamento, adquirem uma configurao fletida correspondente ao modo de

vibrao equivalente a frequncia natural excitada. Com isto, h uma amplificao da

distncia entre o centro geomtrico do eixo e a linha de centro dos mancais em

determinados pontos. Portanto, quanto maior for o desbalanceamento residual, maior

ser a deflexo do eixo de um rotor flexvel, o que aumenta os nveis de vibraes do


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11

conjunto girante e intensifica a possibilidade de contato entre as partes estacionrias e

rotativas da mquina, possibilitando a ocorrncia de srios danos ao equipamento e

acidentes catastrficos em caso de fludos perigosos.

2.5 Tipos de Desbalanceamento de Rotores

Existem alguns tipos caractersticos de desbalanceamento que se forem

reconhecidos tornam a sua correo enormemente simplificada. Definiremos cada tipo

de desbalanceamento pela relao entre o eixo principal de inrcia e a linha de centro

geomtrica de um rotor, conforme descrito em [30].

2.5.1 Desbalanceamento Esttico

O desbalanceamento esttico a forma mais simples de desbalanceamento,

sendo a condio na qual o eixo principal de inrcia est posicionado paralelamente

ao eixo geomtrico do rotor. Se considerarmos um rotor apoiado entre mancais, o

deslocamento paralelo de sua linha de distribuio de massa em relao sua linha de

centro, resultar em uma fora concentrada em um ponto do rotor causando ummovimento pendular. Assim, este ponto mais pesado ter apresentar a tendncia,

por ao da acelerao da gravidade, de deslocamento para parte inferior do conjunto

girante, como pode ser visualizado atravs da Figura 2.5. A compensao deste efeito

pode ser efetuada pela remoo de material deste ponto mais pesado ou adio de

massa no lado oposto. Como este desbalanceamento atua mesmo sem a rotao da

mquina denominado: Desbalanceamento Esttico.


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Figura 2.5: Rotor com desbalanceamento esttico

O desbalanceamento esttico interessante por ser o nico tipo de

desbalanceamento que pode ser totalmente resolvido pela utilizao de massas de

correo em um plano simples de referncia. Pode ser usualmente identificado pela

comparao das leituras de amplitude e fase de vibraes obtidas com sensores

instalados nos mancais. Para rotores suportados entre mancais, o balanceamento

esttico ir resultar em leituras de amplitude e fase praticamente idnticas. No sendo

verdadeiro, entretanto, para rotores montados em uma configurao em balano.

2.5.2 Desbalanceamento Acoplado

Desbalanceamento acoplado a condio na qual o eixo principal de inrcia

intercepta o eixo geomtrico do rotor no centro de gravidade. O desbalanceamento

acoplado , assim, uma condio criada por um ponto pesado em cada extremidadedo rotor, em lados opostos em relao a sua linha de centro, como pode ser

observado na Figura 2.6.


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Figura 2.6: Rotor com desbalanceamento acoplado

Diferentemente do desbalanceamento esttico, o desbalanceamento acoplado se

torna aparente somente quando o rotor est girando, podendo ser frequentemente

identificado pela comparao das leituras de amplitudes e fases de vibraes obtidas

pelos sensores instalados nos mancais. Rotores bi-apoiados iro tipicamente revelar

iguais amplitudes de vibrao, com uma diferena de fase de 180 graus. Entretanto,este mtodo de deteco do desbalanceamento acoplado no se aplica aos rotores

em balano.

Infelizmente, somente uns poucos problemas de balanceamento so puramente

estticos ou acoplados. A maioria apresenta uma combinao de ambos, o que torna

muito mais difcil a visualizao da distribuio do desbalanceamento somente

comparando as caractersticas de amplitudes e fases de vibraes. Sendo, tambm,

muito mais complexos de serem resolvidos. Estas combinaes so classificadas

como balanceamento semi-esttico e dinmico.

2.5.3 Desbalanceamento Semi-esttico

O desbalanceamento semi-esttico a condio na qual o eixo principal de inrcia

intercepta o eixo geomtrico do rotor em um ponto no coincidente com seu centro de

gravidade. Este tipo de desbalanceamento pode ser imaginado como a combinao

do desbalanceamento esttico e acoplado, onde o desbalanceamento esttico est


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diretamente alinhado com um dos componentes do acoplamento, conforme ilustrado

na Figura 2.7.

Figura 2.7: Rotor com desbalanceamento semi-esttico

O desbalanceamento semi-esttico pode tambm existir se o rotor estiver

desbalanceado em somente uma extremidade. No caso de um desbalanceamento

semi-esttico, a amplitude a vibrao ser notoriamente maior em uma das

extremidades do rotor. Leituras de fases comparativas podem ser iguais ou defasadas

180 graus, dependendo de onde o eixo principal de inrcia intercepta o eixo

geomtrico do rotor.

Condies de desbalanceamento semi-esttico no so incomuns. A instalao de

um acoplamento desbalanceado na mquina ou a troca de somente as primeiras

palhetas de uma turbina ou os primeiros impelidores de um compressor podem causar

o aparecimento deste fenmeno. Em todo caso, o desbalanceamento semi-estticopode ser frequentemente resolvido em nveis satisfatrios pela aplicao de um plano

nico de soluo na extremidade com maiores nveis de vibraes e pela colocao

ou remoo de massas de correo neste plano de referncia.

2.5.4 Desbalanceamento Dinmico

O desbalanceamento dinmico certamente o tipo de desbalanceamento mais

comum e simplesmente representa uma combinao randmica do desbalanceamento


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esttico e acoplado, onde a componente esttica no esta alinhada com nenhuma das

componentes acopladas, o que pode ser visualizado atravs da Figura 2.8. Como

resultado, o eixo principal de inrcia est tanto inclinado quanto deslocado em relao

ao eixo geomtrico do rotor.

Em geral um rotor no possui uma nica rea da seo transversal

desbalanceada, mas teoricamente vrios planos distribudos aleatoriamente ao longo

do eixo de rotao. Usualmente, estas vrias regies desbalanceadas distribudas

podem ser substitudas por duas foras resultantes, posicionadas em dois planos

arbitrrios, que possuem em geral diferentes valores e posies angulares. Assim,

para correo integral do desbalanceamento dinmico, so necessrios ao menos

dois planos de compensao. Como este estado de desbalanceamento somente pode

ser determinado completamente sob rotao, ele denominado: Desbalanceamento

Dinmico

Figura 2.8: Rotor com desbalanceamento dinmico

2.6 Mtodos de Balanceamento

2.6.1 Balanceamento de Rotores Rgidos

Quando um rotor balanceado estaticamente, sua linha de centro geomtrico e

seu eixo principal de inrcia podem no estar coincidentes. O balanceamento em um

plano simples assegura somente um ponto em comum, o centro de gravidade do rotor.


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Assim, a menos de casos muito especiais como os mencionados anteriormente, o

balanceamento satisfatrio da maioria dos rotores rgidos no atingido desta

maneira. Para obt-lo, o eixo principal de inrcia precisa girar sobre o centro de

gravidade em um plano formado pela linha de centro do rotor e o eixo principal de

inrcia. Poderamos obter esta situao pela modificao do posicionamento dos

mancais, mas isto seria na realidade impraticvel. Assim, torna-se necessrio efetuar

a adio ou subtrao de massa no plano longitudinal formado pela linha de centro do

rotor e seu eixo de distribuio de massa. Geralmente, o incremento ou reduo de

massa causa a rotao do eixo principal de inrcia em relao ao eixo geomtrico,

mas tambm perturba o balanceamento esttico eventualmente j alcanado. Assim, a

modificao de massas deve ocorrer em igual magnitude em cada uma das

extremidades do eixo principal e em cada um dos dois planos radiais. Isto reduzir

tanto as foras, quanto os momentos desbalanceadores. Segundo [35], a escolha dos

planos de balanceamento o mais distante possvel um do outro importante, para que

sempre que o acesso seja possvel, haja a minimizao das massas a serem

alteradas.

O processo de aproximar o eixo principal de inrcia do rotor o quanto possvel de

seu eixo geomtrico chamado: balanceamento dinmico em dois planos. Se o rotor

for balanceado em dois planos, ento, por definio, est balanceado estaticamente.

No entanto, o inverso no verdadeiro.

2.6.2 Balanceamento de Rotores Flexveis

Quando um rotor opera em velocidades superiores as correspondentes a sua

primeira frequncia natural de vibrao transversal, o seu desbalanceamento se torna

associado ao deslocamento do eixo geomtrico do rotor devido flexo do conjunto

girante, relacionada aos seus diferentes modos de vibraes. Conforme [35], devido a

este fenmeno, estes conjuntos girantes so denominados rotores flexveis e o sua

distribuio irregular de massa denominada: Desbalanceamento Modal.

Durante o aumento de velocidade destes rotores para atingir suas velocidades de

operao, ocorrem diversas mudanas na sua forma modal e nas relaes entre as

fase e amplitudes de vibraes. Assim, no podemos considerar que as foras e

momentos geradas pelo desbalanceamento de um rotor flexvel estejam sempre

alinhadas (em fase) com as amplitudes de vibraes desenvolvidas nos mancais.

Consequentemente, a tcnica de balanceamento dinmico em dois planos,


25/91

17

usualmente aplicados em rotores rgidos, torna-se inadequada para afirmar que o rotor

esta balanceado em seus modos flexveis. Os rotores flexveis que operam em alta

velocidade requerem tcnicas de balanceamento em diversas velocidades, inclusive

na velocidade nominal de operao, utilizando vrios planos de balanceamento para

efetuar a necessria correta distribuio de massa ao longo do eixo.

2.6.3 Balanceamento em 01 Plano

Correes de desbalanceamento esttico, acoplado e alguns semi-estticos

podem ser efetuadas com a escolha correta de um nico plano de balanceamento.

Existem na literatura diversos modelos de procedimentos para efetuar obalanceamento de rotores. Abordaremos neste trabalho o Mtodo dos Coeficientes de

Influncia. Segundo [34], a efetividade deste mtodo no influenciada pelo

amortecimento, pela movimentao dos locais onde as leituras so realizadas ou pela

curvatura inicial do eixo e, por isso, vem sendo largamente utilizado para o

balanceamento de rotores de mquinas.

O procedimento de balanceamento atravs do Mtodo dos Coeficientes de

Influncia se inicia com a medio de amplitude e fase de vibrao do rotor

desbalanceado. Posteriormente, massas de teste previamente conhecidas so

adicionadas ao rotor e uma anlise de sua nova resposta em vibrao efetuada para

determinao da massa de correo necessria e de seu posicionamento angular. Se

considerarmos um rotor desbalanceado apoiado entre mancais, monitorado por

sensores de vibrao e fase, poderemos efetuar a ilustrao do mtodo dos

coeficientes de influncia atravs do sistema de coordenadas ( )iyx, representado na

Figura 2.9. A amplitude de vibrao 0A , decorrente da resposta gerada pelo

desbalanceamento do rotor, sentida pelo sensor de vibrao instalado no mancal,com um atraso (fase) em relao passagem de um ponto de referncia no eixo

captada pelo sensor de fase. Se adicionarmos uma massa de teste em uma posio

aleatria do rotor obteremos uma nova amplitude de vibraotA e uma fase . A

massa de teste adicionada no deve ser superior a 5% da massa do rotor, sob o risco

de causar srios danos ao conjunto rotativo e seus mancais. Esta nova amplitude de

vibraotA o vetor soma da amplitude inicial 0A e da amplitude de influncia iA .


26/91

18

Figura 2.9: Representao vetorial do Mtodo dos Coeficientes de Influncia.

Para termos uma resposta nula de tA , o efeito do desbalanceamento adicionado

dever ser 0A . Atingimos esta condio rotacionando a massa de tentativa tm de um

ngulo e aumentando sua massa na razo de iAA /0 . Com isto determinamos a

localizao e dimenso requerida da massa de correo [2].

2.6.4 Balanceamento em 02 Planos

Para minimizarmos os efeitos do desbalanceamento dinmico e modal devemos

recorrer a utilizao de correes em dois ou mais planos perpendiculares ao eixo de

rotao, conforme descrito em [29]. Adotando o Mtodo dos Coeficientes de

Influncia, consideraremos novamente um rotor desbalanceado apoiado entre

mancais, monitorados por sensores de vibrao e fase. As respostas em vibrao

medida nos mancais da mquina referentes aos dois planos de balanceamento sero

aqui denominadas 1oA e2

oA , com os respectivos ngulos de fase 1 e 2 . Planos

acessveis de balanceamento so escolhidos para adio das massas de testes e de

correo. As massas de testes so adicionadas em cada um dos planos

separadamente. A adio de uma massa de teste conhecida no plano 1 resulta em

uma resposta em vibrao nos mancais de 11tA e

12

tA , com os ngulos de fase 11 e


27/91

19

12 . As amplitudes de influncia nos planos 1 e 2, referentes a adio de uma massa

de teste no plano 1 so, respectivamente:

11111

oti AAA =

21212

oti AAA =

Similarmente, com a adio de uma massa desbalanceadora no plano 2 obtm-se

os seguintes efeitos de resposta em vibrao nos mancais:

12121

oti AAA =

22222

oti AAA =

Se o balanceamento requerido for 1U e 2U , podemos expressar na forma

cartesiana as seguintes equaes:

1212111

oiiAAUAU =+

2222121oii AAUAU =+

Assim, efetuando uma substituio de variveis, teremos duas equaes com as

incgnitas complexas 1U e 2U :

)(

)(21122211

212

0

2211

iiii

iio

AAAA

AAAAU

+=

)(

)(21122211

1210

1122

iiii

iio

AAAA

AAAAU

+=

Se:

iyxA +=

Ento:


28/91

20

DibbiaaU /))(( 21211 ++=

DibbiccU /))(( 21212 ++=

Onde:

)( 2122122212211 yyxxyyxxa ++=

)( 2122122212212 yyyxxyyxa ++=

)( 21122112221122111 yyxxyyxxb +=

)( 21122112221122112 yyyxxyyxb ++=

)( 1211211121121 yyxxyyxxc ++=

)( 1211211121122 yyxxyyxxc +++=

2

2112211222112211

2

2112211222112211 )()( yyyxxyyxyyxxyyxxD +++=

Sendo:

1

1

1 cosoAx =

2

2

2 cosoAx =

1

1

1 senAy o=

2

2

2 senAy o=

11

11

11 costAx =

12

12

12 costAx =

21

21

21 costAx =

22

22

22 costAx =

11

11

11 senAy t=

12

12

12 senAy t=

21

21

21 senAy t=

22

22

22 senAy t=

E ainda:


29/91

21

D

babaibabaU

)()( 122122111 ++=

D

bcbcibcbcU

)()( 122122112 ++=

Assim, os valores das massas de correo sero os mdulos das quantidades

complexas, multiplicada pela massa tentativa:

D

babababam

2

1221

2

2211

1

)()( ++=

D

bcbcbcbcm

2

1221

2

2211

2

)()( ++=

Os pontos de adio ou retirada de massa para o balanceamento definitivo do rotor

so orientados pelos ngulos 1 e 2 :

+=

2211

12211 arctan baba

baba

+=

2211

12212 arctan

bcbc

bcbc

2.6.5 Balanceamento de Baixa Velocidade

Em rotores rgidos, onde no h influncia da deflexo do eixo em decorrncia daconfigurao de seus modos laterais de vibrao, podemos efetuar o balanceamento

em velocidades seguras, mais baixas que a de operao. Conforme [24], em um

balanceamento de baixa velocidade de rotores rgidos, cada componente do conjunto

girante (eixo, impelidores, acoplamento, etc) individualmente balanceado em at

dois planos. Quando se utiliza sensores de proximidade instalados nos mancais da

mquina, onde a vibrao do rotor detectada pela alterao de um campo magntico

formado entre o eixo e o mancal, so realizadas verificaes de imperfeies

superficiais e metalrgicas (runout) na regio do eixo onde este sensor atuar, antesdo balanceamento do rotor. Esta verificao se faz necessria para que possa haver


30/91

22

uma subtrao vetorial destes valores nas leituras de vibraes encontradas no

processo de balanceamento, garantindo a leitura real de resposta em vibrao do

rotor. Posteriormente, o rotor completamente montado e balanceado em dois planos

para diminuio das foras e momentos remanescentes, dentro de padres tolerveis.

2.6.6 Balanceamento de Alta Velocidade

Em rotores flexveis que por definio operam acima de suas velocidades criticas,

torna-se necessrio identificar a distribuio de massas ao longo do rotor, bem como,

definir as velocidades necessrias de correo dos desbalanceamentos. Conforme

descrito em [33], se considerarmos um rotor que opera acima de sua segundavelocidade critica, por exemplo, dever ser efetuado um registro de balanceamento

nico para cada uma das duas primeiras freqncias naturais do rotor, com o intuito

de permitir uma melhor visualizao da resposta modal. Em todos os sistemas

vibratrios, a distribuio do desbalanceamento ao longo do rotor pode ser expressa

em termos de suas componentes modais, sendo a vibrao do rotor um somatrio

destas componentes. A resposta modal de um rotor apresenta um mximo em

qualquer uma de suas velocidades crticas, o que caracteriza o fenmeno de

ressonncia. Assim, quando um rotor opera em uma velocidade prxima de sua

critica, levado a adotar uma forma de deflexo correspondente quele modo. A

amplitude de deflexo do rotor uma funo da componente modal excitada pelo

desbalanceamento e da quantidade de amortecimento presente no sistema rotativo.

A rigidez do um rotor, de seus mancais e da estrutura de suporte tambm afeta as

velocidades criticas e por conseqncia suas formas modais de uma maneira

complexa, o que pode ser visualizado atravs da Figura 2.10.


31/91

23

Figura 2.10: Influncia da rigidez dos mancais nas formas modais

Portanto, os rotores flexveis so direcionados para balanceadoras de alta rotao

com a finalidade medir as amplitudes de vibrao e identificar suas formas modais

excitadas pelo desbalanceamento, para que seja possvel efetuar as correes

necessrias com o intuito de minimizar estas respostas vibratrias e as deflexes do

eixo. Estas correes so efetuadas em algumas velocidades caractersticas, como:

giro lento, rotao inferior a primeira velocidade crtica, rotaes entre duasvelocidades crticas subseqentes e rotao de operao plena, conforme descrito em

[24].

A verificao em giro lento utilizada para identificar as imperfeies superficiais e

metalrgicas do eixo (runout), que devero ser descontadas vetorialmente de todas as

amplitudes de vibrao encontradas nas velocidades de balanceamento

subseqentes, com a finalidade de determinar o vetor resposta em vibrao real do

rotor. Em seguida, o rotor balanceamento em dois planos, abaixo da primeira

velocidade crtica, para correo da resposta em vibrao gerada pelas foras e

momentos atuantes devido a distribuio desuniforme de massas. Depois, realizada

a correo do desbalanceamento em dois ou mais planos, com a finalidade de

minimizar o efeito de excitao dos modos de vibrao do rotor pelas massas

desbalanceadoras residuais. Alguns estudos demonstram que o balanceamento de

rotores flexveis pode ser satisfatoriamente realizado com a escolha de um nmero de

planos igual ao nmero de velocidades crticas ultrapassadas pelo rotor para atingir o

ponto de operao, conforme apresentado em [31]. Porm, quanto maior for o nmero

de planos escolhidos melhor ser a qualidade do balanceamento obtido. Entretanto,


32/91

24

maior ser tambm o custo envolvido no processo de balanceamento. Adicionalmente,

um ou mais pontos previamente balanceados so violados para se atingir nveis de

vibraes tolerveis no ponto ou faixa de operao. Assim, o julgamento humano

precisa ser aplicado para dimensionar e posicionar o conjunto mais adequado de

pesos de correo de desbalanceamento, com a finalidade de atingir a menor

amplitude de vibrao possvel em toda faixa operacional do rotor, com o mais baixo

custo envolvido no processo.

O objetivo de qualquer procedimento de balanceamento reduzir os efeitos das

vibraes dos rotores quando em operao, causados pela incorreta distribuio de

massa ao longo do mesmo. A eficcia deste procedimento depende da geometria e

isotropia do rotor, estabilidade e linearidade do sistema, correta escolha dos planos de

balanceamento (fora dos pontos nodais e com possibilidade de adio ou retirada de

massa) e posicionamento dos mancais para um amortecimento efetivo. Entretanto,

mesmo quando os rotores saem de fabrica com um nvel de balanceamento

normativamente satisfatrio, eventualmente esto sujeitos ao desbalanceamento em

operao. Os rotores de mquinas que operam com fluidos sem tratamento, fato que

frequentemente ocorre na indstria de Petrleo, principalmente em sua extrao,

esto sujeitos aos efeitos de desbalanceamento em funcionamento devido a

deposio de partculas slidas em componentes do conjunto rotativo. Em

conseqncia disto, um compressor centrfugo, axial ou uma turbina a gs podem

apresentar um crescente aumento na excitao de seus conjuntos girantes por ao

do fenmeno de desbalanceamento. Ocasionando, assim, a elevao das amplitudes

de vibrao destas mquinas, o que pode ser extremamente danoso ao equipamento

e perigoso para os operadores, uma vez que estes muitas vezes operam com fluidos

de processo inflamveis, explosivos ou letais. Assim, qualquer que seja a causa do

desbalanceamento seus efeitos devem sempre que possvel ser evitados e

controlados.


33/91

25

3 VIBRAES DE ROTORES

Nas mquinas rotativas, a energia rotacional recebida no eixo no pode ser

totalmente convertida em trabalho devido ao seu alto potencial de transformao em

diversas outras formas de energia, como: trmica, acstica, vibracional, etc. A energia

na forma de vibrao do rotor tem algumas caractersticas de manifestao durante a

operao do equipamento, podendo haver uma conjugao de movimentao lateral,

torcional e axial do conjunto girante. Na grande maioria dos casos, os modos laterais

so os mais relevantes na anlise de vibrao dos rotores de mquinas, por

produzirem maiores esforos nos mancais e eixo. Por meio dos suportes dos mancais

e dos fluidos que circundam o conjunto girante, as vibraes laterais do rotor sotransmitidas para as partes estacionrias do equipamento. Eventualmente, as

vibraes espalham-se para a fundao da maquina, para equipamentos adjacentes e

para o meio que circunda o equipamento em forma de ondas acsticas. H uma longa

lista de fatores que contribuem para transferncia da energia de rotao nesta forma

de perturbao mecnica chamada vibrao. No entanto, segundo [23], a principal

fonte inquestionavelmente o desbalanceamento do rotor. O desbalanceamento age

como uma fora centrifuga excitada externamente. Como resultado, o rotor responde

com vibraes laterais relacionadas com a velocidade de rotao da mquina,denominadas vibraes sncronas [25].

Como o desbalanceamento de rotores praticamente inevitvel, torna-se

importante assegurar que, durante a operao da mquina, as amplitudes de

vibraes sncronas, excitadas pelo desbalanceamento do rotor, estejam dentro de

limites aceitveis. Em mquinas que operam em alta velocidade, deve ser

adicionalmente garantida sua suave e rpida passagem pelas diversas velocidades

ressonantes de vibrao lateral, durante a parada e partida do equipamento. Alm

disto, as margens de afastamento das velocidades de operao em relao asfreqncias ressonantes devem ser muito bem dimensionados, principalmente no

caso de mquinas que operam com rotao varivel.

As amplitudes de vibrao do rotor devem ser controladas, com a finalidade de

evitar fadiga nos mancais, sobrecarga nos selos mecnicos ou o contato entre o

conjunto girante e as partes fixas da mquina nos pontos de menores folgas,

geralmente as vedaes internas do equipamento. Adicionalmente, as formas modais

laterais de vibrao de um rotor devem ser estudadas, para um correto


34/91

26

posicionamento dos mancais, a fim de tornar mais efetivo o seu amortecimento,

conforme orientado por [27].

3.1 Vibraes Livres em Sistemas Discretos

Segundo [25], os modelos matemticos de sistemas dinmicos podem ser

divididos em duas classes: discretos e contnuos. Os sistemas discretos so

representados por um nmero finito de graus de liberdade, enquanto nos sistemas

contnuos h um nmero infinito de coordenadas independentes necessrias para

especificar a posio do sistema a cada instante. Efetuaremos neste trabalho uma

avaliao do comportamento vibracional de rotores atravs de uma modelagemdiscreta, conforme descrito em [36].

3.1.1 Vibrao Livre No Amortecida

Considerando inicialmente um movimento harmnico simples, que pode ser

representado por estruturas que tenham foras elsticas restauradoras, modelaremos

um sistema discreto de 01 grau de liberdade, atravs do mecanismo massa-molarepresentado na Figura 3.1.

Figura 3.1: Mecanismo massa-mola


35/91

27

Se considerarmos )(txx = como a representao do deslocamento de uma massa

M , ligada a uma mola de rigidez K, de sua posio de equilbrio em funo do

tempo t, teremos a seguinte equao de movimento:

)(estxxKMgxMF +== &&

Assim:

0)( =++ MgxxKxM est&&

Sendo estx a deflexo esttica da mola sob a acelerao da gravidade g , teremos

da anlise esttica que:

estKxMg =

Portanto, a equao de movimento de torna:

0)()( =+ tKxtxM&&

Esta expresso representa a equao de movimento de um sistema de 01 grau de

liberdade no amortecido, atravs de uma equao diferencial ordinria, linear, de

segunda ordem e a coeficientes constantes. Assim:

xM

K

dt

xd=

2

2

Definio 2.1 Uma funo ( )tx pode ser denominada como autovetor de um

operador diferencial linear L de segunda ordem ( )22 dtd , se [ ] AxxL = . Sendo A

um escalar, real ou complexo, que representa o autovalor da funo ( )tx , conforme

descrito em [26].


36/91

28

Uma vez que, a funo exponencial a nica cuja derivada prpria funo

multiplicada por uma constante, assumiremos ela como soluo inicial da equao.

Portanto:

tAetx

=)(

Assim:

02 =+ tt KeeM

Como 0te e 0A , ento:

02 =+M

K

Portanto:

niM

K

i ==

Onde a unidade imaginria da representao complexa equivale a 2/1)1(=i

Assim, a soluo geral ser:

titi nn eAeAtx += 21)(

Onde 1A e 2A so constantes de integrao arbitrrias, complexas conjugadas,

que podem ser determinadas pelas condies iniciais:

0)0( xx =

0)0( vx =&

Ento:


37/91

29

21)0( AAx +=

nn iAiAx 21)0( =&

Como 1A e 2A so nmeros complexos, tero a forma:

111 ibaA +=

222 ibaA +=

Assim:

2

021

xaa ==

n

vbb

2

021 ==

Ento:

n

vixA22

001 =

n

vi

xA

22

002 +=

Portanto, 1A complexo conjugado de 2A , representado da forma abaixo:

*

21 AAA ==

Com isto, teremos como soluo complexa da equao diferencial:

ti

n

ti

n

titi nnnn ev

ix

ev

ix

eAAetx

++

=+=

2222)( 0000*

Podemos utilizar uma transformao de coordenadas complexas em coordenadas

lineares, onde inicialmente teremos que:


38/91

30

titi nn eAAetx += *)(

Utilizaremos ento o recurso matemtico desenvolvido pelo matemtico e fsico

Leonhard Paul Euler (1707-1783), cuja frmula especfica da anlise complexa,

demonstra uma relao entre as funes trigonomtricas e a funo exponencial,

como sendo:

isene i += cos

Assim, passaremos a equao:

tsenBtBtx nn 21 cos)( +=

Para satisfazer as condies iniciais:

0)0( xx =

0)0( vx=&

Teremos como soluo da equao diferencial:

tsenv

txtx nn

n

00 cos)( +=

Utilizando identidades trigonomtricas, podemos escrever a equao da seguinte

forma:

+

+=

0

01

2

02

0 tan)(v

xtsen

vxtx n

n

n

Que representa a forma:

)()( += tAsentx n


39/91

31

Onde a amplitude de vibrao :

2

02

0

+=

n

vxA

E o ngulo de fase ser:

=

0

0arctanv

xn

3.1.2 Amortecimento de Rotores

Durante a deformao de elementos elsticos, uma parte da energia mecnica

irreversivelmente transformada em energia trmica e dissipada. Nas estruturas

mecnicas, este processo modelado pelo amortecimento. Durante a vibrao destas

estruturas, o amortecimento pode ocorrer tanto devido a dissipao interna de energia

dos componentes micro-cristalinos dos materiais, quanto devido ao movimento relativo

de frico entre as superfcies dos elementos mecnicos em contato, conforme

descrito em [28].

Em rotores elsticos, os efeitos dos amortecimentos associados as suas vibraes

laterais so usualmente divididos em duas categorias: amortecimentos externos e

internos.

O amortecimento externo est associado a resistncia dinmica imposta pela

frico com o ambiente fluido entre as partes rotativas e estticas da mquina. A

dissipao de energia promovida pela pelcula de leo em mancais hidrodinmicos e a

circulao de fluido de processo ao redor do rotor, so exemplos de formas de

amortecimento externo. As foras de amortecimento externas que atuam em um rotor

vibrando em seus modos laterais dependem da velocidade absoluta do conjunto

girante, sendo seus efeitos geralmente favorveis a estabilizao do sistema,

conforme descrito em [31].

As foras de amortecimento internas so devidas a dissipao de energia

mecnica no interior da estrutura micro cristalina dos materiais ou devido ao

movimento relativo de frico em superfcies de componentes do rotor que


40/91

32

permanecem em contato (como juntas de acoplamento, pontos de fixao dos discos

no eixo, etc). Como o amortecimento interno ocorre em elementos envolvidos com o

movimento de vibrao lateral e de rotao, as foras de amortecimento interno iro

depender da velocidade relativa do sistema, isto , da diferena entre a velocidade

absoluta de vibrao lateral do rotor e a velocidade rotacional. Esta velocidade relativa

pode ser positiva, ou seja, com a mesma direo da velocidade de movimentao

lateral absoluta, quando a velocidade de rotao for menor que a frequncia de

vibrao lateral. A velocidade relativa pode ser negativa, se opondo a velocidade

lateral absoluta, quando a velocidade de rotao for maior que frequncia de vibrao

lateral. Quando a velocidade relativa for positiva, as foras correspondentes ao

amortecimento interno atuam como um estabilizador, somando-se ao amortecimento

externo para aumentar o amortecimento total efetivo no sistema. Quando a velocidade

relativa for negativa, ocorre uma desestabilizao do sistema, pois as foras de

amortecimento interno diminuem o amortecimento externo, reduzindo ou anulando o

amortecimento total efetivo do sistema. Como, neste ltimo caso, o papel clssico do

amortecimento como estabilizador do movimento violado, usualmente utiliza-se para

estas foras desestabilizadoras o nome frico interna e no amortecimento. Assim, a

frico interna influencia no comportamento de vibrao lateral do rotor causando,

eventualmente, uma instabilidade em operao e um bloqueio no processo de

acelerao do rotor em sua partida. Este bloqueio significa uma interrupo na

acelerao do rotor mesmo com a continuidade do fornecimento de torque de

acionamento, pois toda energia disponibilizada utilizada para manter o sistema em

regime de vibrao lateral, no restando nenhuma energia para aumentar a

velocidade de rotao, conforme mencionado em [37].

Existem muitos outros fatores de desestabilizao de um rotor em operao, como

o roamento entre as partes mveis e rotativas da mquina, os efeitos dinmicos dos

fluidos nos mancais e selos ou os fenmenos de relativos ao escoamento dos fluidosde processo. Estes ltimos efeitos so usualmente mais fortes que os efeitos de

frico interna. As disfunes relacionadas com os fluidos so muito frequentemente

observadas no desempenho de mquinas rotativas. Elas resultam em vibraes

subsncronas auto excitadas. Entretanto, a frico interna deve ser sempre analisada

e observada por projetistas de mquinas, pois representa um papel negativo na

estabilidade do sistema pela reduo de eficcia do amortecimento externo do

sistema, especialmente quando o rotor opera em altas velocidades, de acordo com

[31].


41/91

33

3.1.3 Vibrao Livre Amortecida

Como uma estrutura dinmica no oscila indefinidamente quando perturbada,

modelaremos um sistema discreto de 01 grau de liberdade, atravs do mecanismo

massa-mola-amortecedor, representado na Figura 3.2.

Figura 3.2: Mecanismo massa-mola-amortecedor

Consideraremos )(txx = como a representao do deslocamento de uma massa

M , ligada a uma mola de rigidez K e a um amortecedor com coeficiente de

amortecimento viscoso C. Sabendo que na posio de equilbrio esttico referente a

Figura 3.2 (b) o sistema est em repouso, no havendo nenhuma fora desenvolvida

pelo amortecedor, podemos escrever a seguinte equao de equilbrio esttico:

estKxMg =

Considerando uma posio qualquer da massa equivalente a representao da

Figura 3.2 (c), teremos um deslocamento x em relao a posio de equilbrio, uma

velocidade x& e uma acelerao x&& . Sabendo que o amortecimento surge de foras

dissipativas proporcionais a velocidade, podemos escrever a equao de movimento

nesta posio, como sendo:

KxxCKxxCKxMgxxKxCMgxMF estest ==+==&&&&&

)(


42/91

34

Assim:

0=++ KxxCxM &&& (3.1)

Esta expresso representa uma equao diferencial ordinria, linear, de segunda

ordem e a coeficientes constantes, relativa ao movimento de um sistema de 01 grau

de liberdade amortecido, podendo ser alternativamente apresentada como:

02 =++ xxM

Cx n&&&

Se considerarmos que o coeficiente de amortecimento viscoso, multiplicado pela

velocidade, representa uma fora dissipadora de energia, podemos afirmar atravs da

anlise dimensional abaixo que:

x

x

M

C

xM

xM

M

C

Mx

F

M

C

x

FC

&

&&

&

&&

&&====

''

Como, em termos de unidades teremos que:

Tx

x 1

&

&&

Ento, podemos afirmar que:

n

M

C=

Onde equivale ao chamado Fator de Perda do sistema amortecido:

MK

C=

Considerando, o Coeficiente de Amortecimento Reduzido , como sendo:


43/91

35

2

=

Teremos:

nM

C

MK

C

22==

Se considerarmos:

tAetx

=)(

Teremos que:

teAtx=)(&

teAtx2)( =&&

Se substituirmos na equao (3.1), teremos:

02 =++ ttt KAeeCAeMA

Podendo ainda ser representada como:

022 =

++ n

t

M

CAe

Sendo a soluo trivial 0A no interessante e uma vez que te nunca igual a

zero, teremos que:

022 =++ nM

C

Ou


44/91

36

02 22 =++ nn (3.2)

Assim:

n 12 =

Com isto, passam a existir 03 casos de interesse: o Sistema Superamortecido, o

Sistema Criticamente Amortecido e o Sistema Subamortecido.

3.1.3.1 Sistema Superamortecido

Um sistema classificado como Superamortecido quando 1> . Da teoria de

equaes diferenciais, sabemos que a soluo para equao (3.1) tem a seguinte

forma caracterstica:

ttt nnn eeAeAtx

+= 12

1

1

22

)(

Considerando as condies iniciais:

0)0( xx =

0)0( vx =&

Teremos a seguintes amplitudes de vibrao para o sistema:

12

1

2

0

2

0

1

++=

n

nxvA

12

1

2

0

2

0

2

+=

n

nxvA


45/91

37

3.1.3.2 Sistema Criticamente Amortecido

Um sistema denominado Criticamente Amortecido quando 1= . Neste caso,

teremos como soluo para equao diferencial (3.1) a seguinte expresso:

( ) tnetAAtx += 21)(


0)0( xx =

0)0( vx =&

Teremos a seguintes amplitudes de vibrao:

01 xA =

nxvA 002 +=

3.1.3.3 Sistema Sub-amortecido

Um sistema dito como Sub-amortecido quando 1


46/91

38

Utilizando a Representao Exponencial de Euler, podemos escrever:

t

ddnetbsentatx

+= )cos()(


0)0( xx =

0)0( vx =&

Teremos:

0xa =

d

nxv

b

00 +=

Assim:

t

d

d

n

dnetsen

xvtxtx

++= 000 cos)( (3.3)

Escrevendo como uma funo seno defasada:

( ) td

netXsentx

+=)( (3.4)

Onde a amplitude de vibrao e a fase sero respectivamente iguais a:

2

002

0

22

++=+=

d

nxvxbaX

+=

=

n

d

xv

x

b

a

00

0arctanarctan


47/91

39

3.2 Vibraes Foradas em Sistemas Discretos

Se considerarmos uma fora de excitao harmnica causada pelo

desbalanceamento de massa em um disco esbelto, posicionado no centro do vo de

um eixo flexvel, que gira a uma frequncia de operao constante , teremos como

amplitude desta fora:

)(2 += mF

Assim, um sistema de 01 grau de liberdade, de massa total M , rigidez K e com

um amortecimento C, sujeito a ao de uma fora desbalanceadora, pode serrepresentado pela seguinte equao de movimento diferencial ordinria, linear, de

segunda ordem e a coeficientes constantes:

( )tFKxxCxM =++ &&& (3.5)

Adotaremos como uma soluo para esta equao a seguinte igualdade:

( ) )()( txtxtx ph +=

Que atende as condies iniciais:

0)0( xx =

0)0( vx =&

Sabendo que a soluo homognea )(txh da equao diferencial (3.5)

representada, por exemplo, pela equao (3.3), em um sistema sub-amortecido,

podemos determinar a sua soluo particular )(txp . Dividindo a equao (3.5) pela

massa do sistema, obteremos:

( )M

tFxxx nn =++

22 &&&


48/91

40

Sabendo que:

( ) ( )tKutF =

Ento:

( )( )tu

M

tFn

2=

Considerando que o desbalanceamento uma excitao harmnica, classificada

como um caso particular de uma excitao peridica, a equao normalizada torna-se:

[ ] ( )tuxxxxL nnn222 =++= &&& (3.6)

Onde L representa um operador diferencial linear, de segunda ordem, a

coeficientes constantes. Utilizando a Definio 2.1 e o operador diferencial mais

elementar existente, teremos que:

xdt

dx=

Cuja soluo :

tetx=)(

Assim, se fizermos:

( ) tnn

tn

edt

ed

=

Onde:

n=

Ento:


49/91

41

[ ] tt eeL =

Onde:

( ) KCM ++= 2

Considerando a equao (3.6), podemos representar ( )tu como uma combinao

linear de exponenciais, utilizando a Representao de Euler, na frequncia de

excitao:

( ) ( ) ( ) titi eAAetbsentatu +=+= cos (3.7)

Onde:

22

bi

aA =

Buscando uma soluo para equao (3.7) acima, faremos inicialmente:

titieeL

=

Onde:

( ) 22 )(2)(nn

iii ++=

Se considerarmos:

( )ti

ti

ei

eL

=

Ento:


50/91

42

( )ti

n

ti

n Aei

eAL

=

2

2

Fazendo:

( )ti

ti

ei

eL

=

Teremos que:

( )ti

n

tin eAi

eAL

=

22

Considerando que ( )R , representa a Funo Resposta em Frequncia (FRF),

descrita por:

( )

( ) ( ) nnnn

ii

R

+

=

=

222

22

Assim:

( )rir

i

R

nn

21

1

21

122 +

=

+

=

Onde r representa a Sintonia do Sistema.

Assim, a soluo particular da equao (3.7), que atende as condies iniciais do

sistema, ser:

titi

p eiRAeiARtx += )()()(

Retornando a representao trigonomtrica, podemos escrever:


51/91

43

( )+= tXtxp cos)( (3.8)

Sendo a amplitude de vibrao do sistema e sua fase, respectivamente iguais a:

( )( ) ( )222

2

21

1

+==

M

mRtuX

=

21

2

arctag


52/91

44

4 ANLISE ROTODINMICA

Sistemas rotodinmicos so normalmente modelados com a interligao do eixo,

mancais, amortecedores e mecanismos fludos de trabalho, garantindo uma conexo

entre as partes fixas e mveis do equipamento. Um modelo elementar de sistema

rotodinmico, frequentemente utilizado por projetistas e analistas para simular as

caractersticas dinmicas dos rotores das mquinas, o denominado Rotor de Laval.

Este modelo foi apresentado pela primeira vez por A. Fppl [1] na Alemanha em 1895.

Fppl o chamou de Rotor de Laval em reconhecimento as contribuies realizadas na

rea de turbomquinas pelo engenheiro sueco Carl Gustaf Patrik de Laval (1845-

1913). Neste modelo as tcnicas lineares clssicas podem ser aplicadas, refletindocom tima aproximao muitas aplicaes prticas, por apresentar fracos mecanismos

no lineares [39].

Como pode ser visto na Figura 4.1, trata-se originalmente de um nico disco rgido,

circular e de pequena espessura quando comparada ao seu dimetro. Este disco

fixado no centro do vo de um eixo flexvel uniforme de massa desprezvel e

suportado por mancais de rigidez considerada infinita. Estes suportes rgidos evitam

os movimentos laterais do rotor, permitindo sua livre movimentao angular.

Figura 4.1: Rotor de Laval


53/91

45

4.1 Sistema no amortecido com disco desbalanceado

posicionado no centro do vo de um eixo isotrpico apoiado

em mancais isotrpicos.

Utilizando o modelo desenvolvido por Laval, consideraremos que um disco rgido

possui uma massa m distribuda de maneira no uniforme, ocasionando um

deslocamento do centro de gravidade G em relao ao centro geomtrico do rotor

C. Consideraremos que o centro geomtrico do rotor coincida com a origem do

sistema quando o eixo encontra-se em repouso, ou seja, no h deflexo do eixo em

decorrncia do seu peso prprio. Com a rotao do conjunto girante a uma velocidade

, este desbalanceamento do disco promove o surgimento de uma fora centrfuga

F excitadora do sistema. Em funo da flexibilidade do eixo, a ao desta fora

centrfuga causar um deslocamento do centro geomtrico do eixo em relao

linha de centro dos mancais. Com isto, o disco passar a descrever uma rbita de raio

em torno da linha de centro dos mancais. Considerando que o eixo tenha uma

rigidez a flexo k, que depende de suas propriedades geomtricas e de seu material,

surgir uma fora restauradora equivalente a:

kFr =

Para um eixo de comprimento L , com mdulo de elasticidade E e momento de

inrcia diametral deI , a sua rigidez a translao, considerando um disco colocado no

centro do vo, ser:

348LEIk de=

Sendo a fora centrfuga gerada pelo desbalanceamento do disco igual a:

)(2 += mF

Podemos considerar que:


54/91

46

rFF =

Ento:

km =+ )(2

Fk =

Estas foras podem ser esquematicamente representadas atravs da Figura 4.2

abaixo:

Figura 4.2: Representao dos esforos no Rotor de Laval

Consequentemente:

2

2

=

mk

m

Se considerarmos nesta anlise preliminar que no h influncia do amortecimento

viscoso interno e externo no movimento de translao do rotor, podemos afirmar que

sua frequncia natural ser:


55/91

47

m

kn =

Assim:

( )

( )2

2

1 n

n

=

Esta equao demonstra que:

(1) Se 0>>> n

Conforme descrito em [37], isto fisicamente significa que, quando o sistema

subcrtico (1), ou seja, o rotor opera em uma rotao abaixo de sua frequncia natural,

o centro de massa do disco projetado para fora da rbita descrita pelo centro

geomtrico do disco em relao linha de centro dos mancais, por ao da foracentrfuga atuante. Se o sistema for supercrtico (2), com o rotor operando acima de

sua frequncia natural, teremos um deslocamento negativo do centro do disco em

relao linha de centro dos mancais. Isto significa que, a passagem do rotor pela

sua frequncia ressonante causa uma perturbao no sistema e o surgimento de

foras centrpetas que projetam o centro de massa para dentro da rbita do disco, com

um posicionamento estvel deste ponto pela ao das aceleraes de Coriolis. Este

nome foi atribudo em homenagem ao descobridor deste fenmeno, o engenheiro e

fsico francs Gustave Gaspard Coriolis (1792-1843). No caso de velocidades deoperao muito superiores a frequncia natural do rotor (3), o deslocamento do centro

geomtrico do rotor em relao linha de centro dos mancais praticamente se iguala

ao deslocamento do centro de gravidade do disco em relao ao seu centro

geomtrico. Isto significa uma auto-centragem do rotor, posicionando o centro de

massa do disco sobre a linha de centro dos mancais, que passa a ser o centro da

rbita descrita pelo disco.

A rbita do centro geomtrico do rotor tambm denominada precesso. A

configurao desta rbita pode ser influenciada pela rigidez dos mancais. A


56/91

48

considerao de que os mancais tm rigidez infinita, faz com que no haja

movimentao lateral do eixo nos pontos de apoio. Assim, o centro geomtrico do

disco descreve uma rbita perfeitamente circular, de raio , ao redor da linha de

centro dos mancais. Para determinarmos o posicionamento do centro geomtrico e do

centro de massa do disco em suas rbitas, consideraremos a representao da Figura

4.3.

Figura 4.3: Representao do deslocamento do centro geomtrico e gravitacional do

Rotor de Laval

Observamos que o disco se movimenta em um plano perpendicular ao eixo de

rotao, com 3 graus de liberdade ( ),,zy . Onde representa o deslocamento

angular prprio do disco. Aplicando a Segunda Lei de Newton para um sistema em

equilbrio, temos que:

= 0F

Assim:

CG kyym =&& (4.1)

CG kzzm =&&


57/91

49

Sabendo que:

cos+= CG zz

senyy CG +=

Teremos:

senzz CG &&& =

cos&&& += CG yy

Ento:

cos2&&&&&&& = senzz CG (4.2)

senyy CG2cos &&&&&&& +=

Substituindo as equaes (4.2) em (4.1), temos que:

( )CC kysenym =+

2cos &&&&&

CC kzsenzm = cos2

&&&&&

Assim:

cos2 &&&&& =+ senkyym CC

senkzzm CC&&&&& =+

cos

2

Considerando, que a velocidade de rotao do conjunto girante seja constante,

teremos:

( ) += tt

( ) =t&

( ) 0=t&&


58/91

50

Com isto:

senkyym CC2

&&& =+

cos2&&& =+ CC kzzm

Podendo ser tambm representado por:

( ) +=+ tsenyy CnC22

&&

( ) +=+ tzz CnC cos22

&&

A soluo da equao diferencial ser:

( ) ( ) ( )tytytyph CCC

+=

A soluo homognea ser equivalente a equao (3.3), desprezando o

amortecimento do sistema:

t

n

n

nCn

hetsen

vtyty

+= 00 cos)(

E sua soluo particular ser equivalente a equao (3.8):

( )

+

= tsentypC 2

2

1

)(

Analogamente:

( )

+

= ttz

pCcos

1)(

2

2


59/91

51

Verificamos novamente a rbita circular descrita pelo centro geomtrico do disco,

cujo raioCr igual a deflexo do eixo flexvel , causada pelo desbalanceamento do

rotor:

2

2

1

==Cr

Como podemos representar a distncia do centro de massa do disco em relao a

origem do sistema, em funo do centro geomtrico do disco, teremos que:

( ) ++= tsenyy CG

( ) ++= tzz CG cos

Assim:

( ) ( )

+++

= tsentseny

pG 2

2

1

( ) ( )

+++

= ttz

pGcoscos

1 22

Com isto:

( )

+

= tsenypG 21

1

( ) += tz pG cos11

2

Portanto, com estas consideraes, a rbita descrita pelo centro de massa do rotor

em relao a origem do sistema, tambm circular com raio igual a:

21

1

=Gr


60/91

52

4.2 Sistema no amortecido com disco desbalanceado

posicionado no centro do vo de um eixo isotrpico apoiado

em mancais anisotrpicos.

Nos casos reais os mancais so geralmente anisotrpicos, ou seja, no

apresentam uma distribuio de rigidez uniforme em diferentes direes, conforme

mencionado em [16]. Considerando um sistema composto de mancais ortotrpicos,

onde a rigidez em dois planos ortogonais so diferentes, poderemos representar o

sistema atravs da Figura 4.4.

Figura 4.4: Rotor apoiado em mancais ortotrpicos.

Onde a rigidez horizontal do sistema, segundo [2], pode ser descrita como:

kk

kkk

h

h

y+

=2

2

Sendo hk a rigidez dos mancais no plano horizontal e k a rigidez do rotor.

Analogamente, a rigidez vertical do sistema pode ser representada por:

kk

kk

kv

v

z+= 2

2


61/91

53

Ondevk representa a rigidez dos mancais no plano vertical e k a rigidez do rotor.

Assim, desconsiderando o amortecimento do sistema, teremos:

( ) +=+ tsenmykym CyC2

&&

( ) +=+ tmzkzm CzC cos2

&&

Que tambm pode ser representado como:

( )( )

+

+

=

+

t

tsenmz

y

k

k

z

y

m

m

C

C

z

y

C

C

cos0

0

0

02

&&

&&

Cuja soluo particular ser:

( )

+

= tsenty

y

p

n

C 22

2

)(

( ) +

= ttzz

p

n

C cos)( 22

2

Denominando:

22

2

=

yn

y

22

2

=zn

z

Assim, teremos a representao de uma rbita elptica do centro geomtrico do

disco em relao a linha de centro dos mancais, onde o deslocamento do centro do

disco pode ser apresentado de maneira complexa atravs da Figura 4.5.


62/91

54

Figura 4.5: Representao complexa da rbita do centro do disco em relao a linha

de centro dos mancais

Portanto, as componentes de deslocamento de translao do centro geomtrico do

disco C, denotadas por( )vu, relativo as direes ( )zy, respectivamente, so:

= cosyu

= senv z

Considerando:

ivu +=

Teremos:

+= seni zy cos

Considerando o rotor operando em velocidade constante, teremos:

cte== &

Integrando, obteremos:


63/91

55

+= t

Assim:

)()cos( +++= tsenit zy

Esta equao equivale a:

( ) ( ) ( ) ( ) ++ ++= tizytizy ee2

1

2

1

Denominando:

)(2

1zyR +=+

)(2

1zyR =

Teremos:

( ) ( ) ++

+ +=titi

eReR

Onde, conforme descrito em [37] o primeiro termo da equao complexa

representa uma trajetria circular do centro do disco em relao linha de centro dos

mancais, de raio +R , no mesmo sentido da rotao do eixo do rotor. Analogamente,

o segundo termo representa uma trajetria circular do centro do disco em relao

linha de centro dos mancais, de raio R , em sentido oposto a rotao do eixo do

rotor. Assim, considerando a equao complexa completa, se tivermos:

+ > RR


64/91

56

O centro geomtrico do rotor descrever uma trajetria elptica em relao linha

de centro dos mancais, no mesmo sentido da rotao do eixo, o que denominado

Precesso Direta.

Por outro lado, se tivermos:

+ < RR

O centro geomtrico do rotor descrever uma trajetria elptica em sentido

contrrio a rotao do eixo, denominada Precesso Retrgrada.

Assim, desconsiderando o efeito do amortecimento no sistema, a rigidezanisotrpica dos mancais favorecer o desenvolvimento de duas diferentes

freqncias naturais do rotor, aumentando a faixa a ser evitada durante a operao da

mquina para que no haja ressonncia do sistema.

m

kyny

=

m

kz

nz =

Isto pode ser graficamente visualizado atravs da Figura 4.6.


65/91

57

Figura 4.6: Espectro de freqncias de rotor suportado por mancais ortotrpicos.

4.3 Sistema no amortecido com rotor desbalanceado

composto por discos fixados em um eixo flexvel isotrpico

apoiado em mancais isotrpicos.

Os equipamentos rotativos de mltiplos estgios apresentam vrios discos

(impelidores, rodas de palhetas, etc) fixados ao eixo e, portanto, girando

solidariamente com o mesmo. Se este rotor for flexvel por concepo, ou seja, operar

acima de sua primeira velocidade crtica ressonante, o desbalanceamento residual

causar uma flexo no eixo pela excitao do conjunto girante em seus modos laterais

de vibrao. A configurao modal do rotor por sua vez ocasionar uma

movimentao lateral angular dos discos. Sempre que ocorre esta rotao do eixo na

qual o corpo est girando, em relao a outro eixo de referncia, surge um fenmeno

denominado: Efeito Giroscpico. Assim, o movimento giroscpico ocorre sempre


66/91

58

quando o eixo de um rotor girando a uma velocidade constante roda (precessa) em

relao a outro eixo numa razo constante, conforme descrito em [2].

Considerando um eixo flexvel circular homogneo, apoiado entre mancais de

rolamentos que apresenta mesma rigidez em todas as direes, havendo o

posicionamento deslocado de um disco em relao ao centro do vo entre apoios,

teremos a ocorrncia do efeito giroscpico, representado atravs da Figura 4.7.

Figura 4.7: Rotor sujeito ao efeito giroscpico.

Com o rotor em movimento a uma rotao na direo x , ocorre o

deslocamento do centro geomtrico do disco nas duas direes ortogonais ( )zy, ,

descrevendo uma rotao em torno da linha de centro dos mancais, alm de um

deslocamento lateral angular do disco em relao aos eixos coordenados. Se o eixo

gira a uma velocidade =x& , ento haver momentos atuantes no disco devido a

inrcia de rotao e a influncia do efeito giroscpico, nas direes ( )zy, ,

respectivamente, iguais a:

zpydy IIM &&& =

ypzdz IIM &&& +=


67/91

59

Considerando a atuao da fora devido ao desbalanceamento residual do rotor

em um sistema sem amortecimento, podemos representar sua equao de movimento

pelo sistema de equaes diferenciais (4.3) abaixo:

( )

( )

+

+

=

+

+

0

0

cos

00

00

00

00

000

0000

000

0000

000

000

000

000

2

2221

1211

2221

1211

tsen

t

my

z

kk

kk

kk

kk

y

z

I

I

y

z

I

m

I

m

z

y

z

y

p

p

z

y

d

d

&

&

&

&

&&

&&

&&

&&

Onde:

=dI Momento de inrcia diametral do disco;

=pI Momento de inrcia polar do disco;

=ijk Coeficiente de influncia de rigidez do eixo (i, j = 1, 2, ..., n) .

Conforme descrito em [2], pela configurao de montagem do disco no rotor

apresentado acima como exemplo, teremos:

33

22

11)(3

ba

babaLEIk d +=

ab

LEIk d

322 =

( )222112

3

ba

baLEIkk d

==

Em um caso hipottico, no havendo inclinao do disco:

02112 == kk

Com a finalidade de representarmos o sistema de equaes (4.3) em sua forma

complexa, adotaremos as seguintes igualdades, conforme descrito em [16]:

jyzs +=

yz j +=


68/91

60

Assim, podemos escrever (4.3) como:

( )

+

=

+

+

tj

pdem

s

kjk

jkks

jI

s

I

m2

2212

1211

0

00

0

0

&

&

&&

&&

Onde ( ) + tjem 2 equivale a excitao no sistema em decorrncia do

desbalanceamento residual do rotor. Esta fora excitadora promover o

desenvolvimento de uma trajetria circular do centro geomtrico do disco em relao a

linha de centro dos mancais a uma velocidade d , no mesmo sentido da rotao do

conjunto girante. Em funo disto, este movimento denominado direto ou para

frente.

Se propusermos como soluo:

( )

+

=

tj

ess

Teremos:

( )

=

+

+

0

2

22

2

12

1211

2

ms

kIIjk

jkkm

dp

Cuja soluo ser:

( )

( )

+

+

+

=

12

22

2

22

2

12

1211

2

2

jk

kII

kIIjk

jkkm

ms dp

dp

Fazendo:

( )0

22

2

12

1211

2

=+

+

kIIjk

jkkm

dp


69/91

61

Obteremos a seguinte equao:

( ) ( )[ ] ( ) 02122211211224 =+ kkkkIImkIIm dpdp

Cujas razes sero:

( ) ( )( )

( )

+

=

dpdpdp

dIIm

kkk

II

k

m

k

II

k

m

k2

122211

2

22112211 4

2

1(4.4)

Assim, o efeito giroscpico torna as freqncias naturais dependentes davelocidade de rotao . O sinal negativo a frente da equao significa simplesmente

que se o eixo girar no sentido oposto as frequncia naturais no alteraro, segundo

[16]. Fazendo uma anlise da equao (4.4) verificamos que quando um rotor for

composto de discos finos fixados ao eixo seu momento de inrcia polar ser maior que

o momento de inrcia diametral dp II > e, consequentemente, a expresso na

segunda raiz ser maior que a primeira expresso. Como uma rotao complexa

no tem significado fsico, este valor desconsiderado. Com isto, teremos para este

caso, somente um valor de rotao referente a rbita de descrita pelo centro

geomtrico do disco em um movimento para frente, ou seja, no mesmo sentido da

rotao do rotor.

Uma forma de representao grfica a cerca do comportamento das freqncias

naturais, quando o efeito giroscpico incide sobre um sistema rotodinmico, foi

desenvolvida pelo fsico W. Campbell em 1910 e, em sua homenagem, denominado

Diagrama de Campbell, que neste

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Analise desbalanceamento