ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Lic. Adolfo Hinojosa Mamani

PERMUTACIONES

Y

COMBINACIONES

ANALISIS

COMBINATORIO

Estudia los arreglos que se pueden formar con los

elementos de un conjunto.

PRINCIPIOS DE

ANALISIS

COMBINATORIO

I. PRINCIPIO DE ADICIN

Si un evento A ocurre de m maneras diferentes y un evento B de n maneras diferentes, entonces el evento A B (no

simultneamente) se podr realizar de m+n diferentes maneras.

EJEMPLO 1

Una persona desea viajar de Tacna a Lima y tiene a

su disposicin 3 lneas areas y 4 terrestres. De

cuntas maneras podr viajar?

SOLUCIN

TACNA LIMA

Ntese que al

utilizar una, deja

de utilizarse la

otra.

Puede viajar por va:

Total = #area + #terrestre

Total = 3 + 4

Total= 7 maneras.

EJEMPLO 2

Nancy desea comprar un libro de Estadstica Descriptiva que es vendido en 3 lugares: en Av. 2 de Mayo(frente a mercado) 5 tiendas, en avenida

Bolognesi 6 tiendas y en mercadillo Bolognesi 2.

De cuntas maneras puede adquirir dicho libro?

SOLUCIN

Puede comprar:

Total = av. 2 de mayo Bolognesi mercadillo Bolognesi

Total = 5 + 6 + 2

Total= 13 maneras.

II. PRINCIPIO DE MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta

de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo

de N1 maneras o formas, el segundo paso de

N2 maneras o formas y el r-simo paso de Nr

maneras o formas, entonces esta actividad

puede ser llevada a efecto de:.

N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro.

EJEMPLO 3

De Tacna a Ica hay 6 caminos diferentes; de Ica a

Lima hay 5 caminos diferentes. De cuntas

maneras se podr viajar de Tacna a Lima pasando

por Ica?

SOLUCIN

Puede viajar:

Total = Tacna a Ica y Ica a Lima

Total = 6*5

Total= 30 maneras.

EJEMPLO 4

Una persona desea construir su casa, para lo cul

considera que puede construir los cimientos de su

casa de cualquiera de dos maneras (concreto o

block de cemento), mientras que las paredes las

puede hacer de adobe, adobn o ladrillo, el techo

puede ser de concreto o lmina galvanizada y por

ltimo los acabados los puede realizar de una sola

manera cuntas maneras tiene esta persona de

construir su casa?

SOLUCIN

Considerando que r es de 4 pasos: N1= maneras de hacer cimientos = 2 N2= maneras de construir paredes = 3 N3= maneras de hacer techos = 2 N4= maneras de hacer acabados = 1 N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

De cuntas maneras diferentes podr

vestirse un joven que tiene 3 camisas

diferentes, 4 pantalones y 2 pares de

calzado?

EJEMPLO 5

FACTORIAL DE UN

NMERO

FACTORIAL DE UN NMERO

El factorial de un nmero entero positivo n denotado por n! n, se define como el producto de

todos los enteros consecutivos desde 1 hasta n. As:

n!= 1x2x3x...x(n-1)n ; si n pertenece a Z+

EJEMPLOS:

0!= 1 1!= 1 2!= 1*2 = 2 8!= 1*2*3*4*5*6*7*8= 40 320

NOTA:

(-5)!= No definido -4!= -(1*2*3*4)= -24 (2/3)!= No definido. 3!/5!=

PROPIEDAD:

n!= n(n-1)!= n(n-1)(n-2)! 9!= 9*8! 9!= 9*8*7*6!

COFACTORIAL:

Notacin: n!!

n!! 1*3*5*..*n; si n es impar.

2*4*6*..*n; si n es par.

FACTORIAL DE

FACTORIAL:

(n!)!

(3!)!=(1*2*3)!=720

MTODOS DE

CONTEO

I. PERMUTACIONES

Son los diferentes arreglos o ordenamientos (importa

el orden) que se puede formar con parte o con todos

los elementos de un conjunto; interesando, el orden

de su ubicacin, y debido a esto una permutacin es

diferente de otra, cuando el orden de sus elementos

es distinto.

TIPOS:

1. PERMUTACION LINEAL

Se da cuando los elementos considerados son

todos distintos y se ordenan en lnea recta.

Pn = n!

A. De todos los elementos:

De cuntas maneras puede ubicarse

5 alumnos en una fila?

EJEMPLO 1

SOLUCIN

P5 = 5x4x3x2x1= 120

El nmero de permutaciones es de n elementos formados de k en k , est dado por:

B. De algunos elementos:

nkkn

nPnk

0;

)!(

!

Cuntos nmeros diferentes de 5

cifras se puede formar con los dgitos

de 1 a 9?

EJEMPLO 2

SOLUCIN

15120!5

!56789

)!59(

!995

xxxxP

De 15 120 maneras.

2. PERMUTACION CIRCULAR Es un arreglo u ordenamiento de elementos diferentes

alrededor de un objeto.

En estos ordenamientos no hay primero ni ltimo elemento,

por hallarse en un crculo cerrado. La idea es mantener un

elemento fijo y permutar los restantes, es decir de n elementos solo se mueve n-1 elementos; para diferenciar un arreglo circular de otro, a partir del elemento fijo

(referencia); leemos en sentido horario o antihorario, si

encontramos 2 lecturas iguales, entonces los arreglos sern

iguales.

Luego:

Pc (n) = (n-1)!

De cuntas maneras diferentes podrn

sentarse 5 nios alrededor de una mesa?

EJEMPLO 3

SOLUCIN

Pc (5) = (5-1)! = 4! =24

RESPUESTA: Los 5 nios podrn sentarse alrededor de una

mesa de 24 maneras.

3. PERMUTACION CON REPETICION Es un arreglo de elementos donde algunos de ellos se

repiten.

Luego:

!*...!*!*

!,...),,(

cba

nPn cba

Se tiene 3 camisas blancas, 2 azules, 1 roja y 1

verde. De cuntas formas diferentes se podrn

ordenar en un ropero segn color?

EJEMPLO 4

SOLUCIN

RESPUESTA:

Las camisas se pueden ordenar de 420 maneras.

n=7 camisas

BBB AA R V

4202!*3

!3*4*5*6*7

!2!*3

!77)2;3( P

II. COMBINACIONES

Es una coleccin o agrupacin que se puede tomar

con parte o todos los elementos de un conjunto, no

interesando el orden de sus elementos, y debido a

esto una combinacin es diferente de otra, si al

menos tiene un elemento distinto.

Est dado por:

nkknk

nC nk

0;

)!(!

!

PROPIEDADES:

12...

2...

1

1

321

210

1

0

nn

n

nnn

nn

n

nnn

n

kn

n

k

n

n

n

n

CCCC

CCCC

CC

C

nC

C

Cuntas comisiones de 4 personas se

puede formar de un total de 8

personas?

EJEMPLO 1

SOLUCIN

701*2*3*4!*4

!4*5*6*7*8

)!48(!4

!884

C

RESPUESTA:

Se puede formar comisiones de 70 maneras.

Un alumno tiene que responder 10 de

12 preguntas en un examen. De

cuntas maneras puede hacerlo?

EJEMPLO 2

SOLUCIN

662!*10

!10*11*12

)!1012(!10

!121210

C

RESPUESTA:

Puede responder de 66 maneras.

En una reunin se observ 36

apretones de manos. Cuntas

personas hay en dicha reunin?

EJEMPLO 3

SOLUCIN