Amortizacija Zajma Primarno Datim Anuitetima-final[2]

AMORTIZACIJA ZAJMA PRIMARNO DATIM ANUITETIMAPRISTUPNI RAD Predmet: Modeli ulaganja i amortizacije

Studenti: Halilovi Amer, 913-67462 Omerovi Denana, 829-64630 Podi Irma, 912-66216

Mentor: prof.dr. eljko ain

Modeli ulaganja i amortizacije

Amortizacija zajma primarno datim anuitetima

Sarajevo, decembar 2010. godine SADRAJ

Uvod ...................................................................................................................................3 1. Amortizacija zajma osnove..........................................................................................4 2. Amortizacija zajma primarno datim anuitetima...........................................................72.1. Konstantno jednaki anuiteti..............................................................................................7 2.1.1. Kvantitativni odnosi elemenata ..................................................................................12 2.2. Anuiteti konstantno rastu (opadaju) po aritmetikoj progresiji..................................14 2.3. Anuiteti konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji................................17 2.4. Anuiteti konstantno jednaki anuitetski period krai od perioda efektivnog plaanja kamate.....................................................................................................................................18 2.5. Anuiteti konstantno jednaki obraunski period krai od otplatnog, kamata se efektivno plaa s otplatom......................................................................................................20 2.6. Kombinovani model otplate zajma.................................................................................22

Zakljuak ........................................................................................................................24 Literatura .........................................................................................................................25

2



UvodFinansijska matematika je grana primjenjene matematike koja se bavi prouavanjem matematikih problema i principa u kojima se primjenjuje sloena kamata (sloeni interes, kamata na kamatu, interes na interes) odnosno na kojima se zasnivaju operacije sa sloenom kamatom u svakodnevnoj drutvenoj i ekonomskoj aktivnosti. S obzirom, da tretira problematiku iz svakodnevnog ivota, neminovna je povezanost finansijske matematike sa ostalim ekonomskim naukama. Osnovna razlika je u tome to se problematici pristupa sa razliitih aspekata i stajalita, te se u traenju uzrono posljedine veze koriste razliite metode i instrumenti. Tema na koju je naslovljen na seminarski rad je Amortizacija primarno datim anuitetima. Da bi mogli stei potpuniju sliku o onom o emu govorimo, definirat emo osnovne odrednice u naem naslovu. Pojam amortizacija ima svoje porijeklo u latinskom jeziku, a doslovan prevod na na jezik bi glasio umrtvljenje. Meutim, amortizaciju zajma moemo najjednostavnije definirati kao: postepeni otpis (likvidacija) nae obaveze ili duga prema povjeriocu, tj. postepeno isplaivanje duga. Da bi, uope, izmirivali neku obavezu, ona mora prethodno nastati. Postojanje finansijkih trita kao organiziranog mjesta na kojem se nude i kupuju finansijska novana sredstva, a cijena odreuje djelovanjem ponude i potranje, omoguava da se vri transfer od finansijski suficitarnih ka finansijski deficitarnim jedinicama. Povjerilac privremeno raspolae sa slobodnim sredstvima koja usmjerava ka duniku s ciljem ostvarivanja zarade kroz zaraunavanje kamatne stope. Dunik ima obavezu da pozajmljena sredstva vrati u dogovorenom roku i plati pripadajui, ugovoreni iznos kamate. Anuitet predstavlja zbir otplate i kamate na neplaeni (preostali) dio duga i kroz anuitet se likvidira ukupna obaveza dunika. Ovako postavljen problem moe biti predmet diskusije mnogih naunih disciplina kao to su poslovne finansije, finansijska trita i sl. a kako ovu problematiku rjeava finansijska matematika imate priliku da saznate u nastavku naeg seminarskog rada.

3



1. Amortizacija zajma osnoveFinansijska sredstva se mogu pribavljati na razne naine. Jedan od njih je uzimanje zajma. Da bi dolo do imovinsko-pravnog odnosa na kojem se zajam zasniva, potrebno je da na strani zajmodavca postoje privremeno slobodna sredstva i da su, na strani zajmoprimca, ta sredstva potrebna. Davalac zajma daje sredstva, a korisnik zajma ih prima, koristi i vraa u nekom buduem roku. Zadatak matematike, kao naune discipline, jeste da korektno kvantitativno utvrdi obaveze i naine njihovog izvravanja, te da pronae najpogodnija i za obje strane prihvatljiva rjeenja. Finansijska matematika se bavi prouavanjem zajmova na koje se rauna kamata na kamatu. Ako se njeno podruje interesovanja povezuje s podjelom zajmova po ronosti, onda su to srednjoroni i dugoroni zajmovi. Takvi su u prvom redu investicioni zajmovi, i drugi zajmovi dueg roka vraanja. Zajam se odobrava na osnovu ugovora koji zakljuuju davalac i korisnik zajma. Ugovorne strane odluuju o tome koje e se odredbe unijeti u ugovor, ali je neophodno da se utvrde: a) Iznos zajma b) Kada e i na koji nain davalac zajma izvriti svoje obaveze c) Kamatna stopa za redovnu i zateznu kamatu, i eventualno mjere obezbjeejna od dejstva inflacije d) Grace period, to podrazumijeva period poslije kojeg poinje redovno vraanje zajma e) Nain vraanja i f) Rok vraanja zajma Davalac moe doznaiti zajam u jednom iznosu ili u obrocima (tranama). Za vrijeme korienja zajma, od dana doznake prve trane pa do dana kada poinje redovno vraanje zajma, korisnik plaa interkalarnu kamatu. To je odgoena interkalarna kamata, tj. ona kamata koja se obraunava tokom grace perioda. Ona se moe: a) Obraunati i efektivno plaati za svaki obraunski period b) Obraunavati za svaki obraunski period i efektivno isplatiti odjednom po isteku vremena u toku koje se plaa i c) Obraunavati za svaki obraunski period i pribrojiti osnovnom dugu (postaje dio glavnice) da bi s njim bila isplaena.

4



Kada se kamata efektivno plaa za svaki obraunski period, njen se iznos izraunava na nain na koji se rauna prosta kamata. Iznos interkalarne kamate koja se plaa odjednom ili se pribraja osnovnom dugu, rauna se na nain treba raunati kamatu na kamatu. Smisao ukljuivanja grace perioda u ugovor o zajmu je u tome da se pomogne korisniku zajma. To je vrijeme za koje se odlae poetak vraanja zajma, po pravilu uz uslov da se u tom periodu plaa kamata. Zatezna kamata je kamata koju plaa korisnik kredita ako ne uplati dospjeli iznos u ugovorenom roku. Za vrijeme prekoraenja roka plaa se i redovno kamata. Kada se govori o amortizaciji zajma, misli se na nain na koji se zajam vraa. Neki od nain da se vrati zajam su: a) Jedinim iznosom uz plaanje kamate za svaki obraunski period koja se rauna prostim kamatnim raunom b) Jednim iznosom u kojem su sadrani zajam i kamata c) S vie jednakih ili razliitih iznosa u razliitim vremenskim razmacima kada se obraun vri tako da se svaki iznos uzima kao posebna glavnica d) S vie jednakih ili razliitih iznosa koji se mijenjaju po nekom matematikom zakonu u jednakim vremenskim razmacima, o emu e vie rijei biti u ovom seminarskom radu. Dio zajma kojim se zajam postepeno likvidira naziva se otplatom. Upravo iz tog razloga moemo rei da je zajam zbir otplata. Ako se zajam oznai sa K, otplata sa b i broj otplata sa n, onda se moe postaviti jednaina opteg karaktera:

K = b1 + b2 + b3 + ... + bn2 + bn1 + bn

(1)

Korisnik zajma plaa otplatu i kamatu. Kamta je uvijek na iznos neotplaenog duga. Zbir otplate i kamate naziva se anuitetom. Prema tome, otplatom se postepeno likvidira osnovni dug, ukljuujui i interkalarnu kamata ako nije ranije plaena, a

5



anuitetom ukupna obaveza korisnika zajma. Po principu ekvivalenscije, vrijednost zajma odreenog, bilo kojeg, dana mora biti jednaka vrijednosti anuitat tog istog dana. To znai da je zajam diskontovana vrijednost anuiteta i na osnovu te konstatacije se moe postaviti opta jednaina za dekurzivne anuitete:

K = a1v + a2v + a3v + ... + an2v n 2 + 1 an1v n + anv n

(2)

u kojoj je a oznaka za anuitet. Anuiteti se mogu plaati godinje, polugodinje ili u nekom drugom vremenskom razmaku. Kamata se moe obraunavati i plaati na kraju (dekurzivno) ili na poetku obraunskog perioda (anticipativno). I anuiteti se mogu polagati dekurzivno ili anticipativno. Periodi obrauna kamate i periodi plaanja anuiteta mogu biti jednaki ili razliiti. Kada u jednom periodu za plaanje anuiteta (anuitetski period) ima vie obraunskih perioda, tada treba raunati kamata koja se takoer naziva interkalarnom. Ovdje je sluaj umetnute interkalarne kamate. Ova se kamata moe obraunavati i efektivno plaati za svaki obraunski period tako da e samo jedna biti direktno ukljuena u anuitet, ili obraunavati i efektivno isplatiti u anuitete. U prvom se sluaju kamata rauna prostim kamatanim raunom od iznosa neotplaenog duga. U drugom sluaju treba raunati kamatu na kamatu. Teorija je dala dosta veliki broj modela amortizacija zajmova, ali se oni mogu svrstati u dvije osnovne grupe: modeli s primarno datim otplatama i modeli s primarno datim anuitetima. Razlika se zasniva na tome ta se utvruje kao prvi element u raunskim operacijama na osnovu kojih se radi amortizacioni (optlatni) plan. Amortizacioni plan je pregled koji pokazuje kako se kreu ostatak duga, otplata, kamta i anuitet u toku otplaivanja zajma. On je za korisnika zajma pregled iznosa i rokova njegovih obaveza, a za davaoca plan priliva sredstava od datih zajmova i kamate na ta sredstva. Fokus ovog seminarskog rada je model s primarno datim anuitetima.

6



2. Amortizacija zajma primarno datim anuitetimaZajednika karakteristika ovih modela amortizacije je u tome to se izrada amortizacionog plana poinje izraunavanjem anuiteta. Anuiteti se mogu plaati dekurzivno ili anticipativno. Budui da je anticipativno plaanje anuiteta vrlo rijetko, u ovom seminarskom radu emo obraditi samo anuitete koji se plaaju dekurzivno.

2.1. Konstantno jednaki anuiteti Ako su svi anuiteti u amortizacionom periodu jednaki, moemo govoriti o konstantno jednakim anuitetima. To znai da je

a1 =a2 = a3 = ... = an1 = an = aNa osnovu toga, jednaina (2)

(3)

1 K = a1v + a2v + a3v + ... + an2v n 2 + an1v n + anv n

(4)

prima novi oblik:

1 K = av + av + av + ... + av n 2 + av n + av n

Poto je:

v=itd.

1 1 2 , v = 2 r r

jednaina (4) se moe izraziti na sljedei nain:

7



K=

a a a a a a + 2 + 3 + ... + n 2 + n 1 + n r r r r r r

Kada se ova jednaina pomnoi sa

r n dobija se:

K r n = ar n 1 + ar n 2 + ar n 3 + ... + ar 2 + ar + a

Poslije izvlaenja zajednikog faktora a:

K r n = a(r n 1 + r n 2 + r n 3 + ... + r 2 + r +1)iz koje se konano dobija' algebarski obrazac za izraunavanje iznosa zajma:

K=a

r n 1 r n ( r 1)

(5)

Kada se na desnoj strani jednaine (4) izvue zajedniki faktor a, dobija se:

K = a (v + v 2 +v 3 + ... + v n 2 + v n 1 + v n )ili u drugom obliku:

1 2 3 n 2 n 1 n K= a ( II p + II p + II p + ... + II p + II p + II p )

to znai da je

n K= a IV p

(6)

Rjeavanjem jednaine (5) po a, dobija se algebarski obrazac za izraunavanje anuiteta:

8



K=a

r n 1 r n ( r 1)

K r n (r-1) = a ( r n -1) r n ( r 1) a=K r n 1

(7)

Obrazac zasnovan na tablicama sloenih kamata se moe izvesti na osnovu jednaine (6):n K= a IV p

a = IV n p a = KV pn

K

(8)

Kada se jednaine (5), (6), (7) i (8) uporede s odgovarajim jednainama iz oblasti renti, ustanovie se da su kvantitativno iste. Razlika je samo u tome to se umjesto znaka R (renta, isplata) pojavljuje zank a (anuitet). Na osnovu ove injenice, moe se izvui zakljuak ope vrijednosti: obrasci za izraunavanje veliina dekurzivne rente (K, R, n i p) vrijede i za izraunavanje veliina rauna s primarno datim dekurzivnim anuitetima (K, a, n i p). Prilagoavanje jednaina svodi se na zamjenu oznaka R znakom a. Ovaj odnos se svodi na izmjenu pravnog statusa ugovornih strana. Ako banka, na primjer, primi uplatu za rentu, ona je kao dunik obavezna da isplati primljeni iznos, zajedno sk amataom, u obliku renti, a ako odobri zajam, ona ce kao povjerilac primiti zajam, zajedno s kamatom, u obliku anutieta. U ovom su sluaju rente i anutieti iste veliine suprotnog pravca kretanja. Na osnovu izvedenih rjeenja i datih objanjenja amortizacionog plana. moe se pristupiti izradi

9



Primjer 1: Primili smo zajam u iznosu od 1 000 000 KM i trebamo ga amortizovati u toku 4 godine tako to emo svake godine plaati jednake anuitete. Prvi anuitet trebamo uplatiti jednu godinu nakon prijema zajam. Kamata se obraunava i plaa godinnje po stopi od 6%. Izraditi amortizacioni plan. Ovo je model sa primarno datim anutietima, te emo prvo izraunati iznos anuiteta na osnovu formule (8). Dakle:4 a = 100.000 V6% = 28.859,149

Kamata se rauna svake godine na ostatak duga na poetku tog perioda, tj. na kraju prethodnog perioda tako da ce u prvoj godini biti I1 = Ki = 100.000 0,06 = 6.000 KM jer je ostatak duga na poetku prve/kraju nulte godine bio jednak iznosu zajma. Ostatak duga na kraju svake sljedee godine je umanjen za iznos otplate u toj godini, tj. R1 = K b1 R2 = R1 b2 itd. Otplata u ovom modelu je jednaka razlici izmeu izraunatog jednakog anitueta i iznosa kamate za tu godine. Za prvu godinu, otplata je:

b1 = a I1 = 28.859,149 6.000 = 22.859,149 Sada moemo popuniti i prvi redak amortizacionog plana, te na osnovu njega i svaki sljedei.

Na kraju godine 0 1 2

Dug i ostatak duga 100.000 77.140,851 52.910,153

Kamata 6% (d) 6.000 4.628,451

Otplata 22.859,149 24.2 30,698

10



3 4 K.K.

27.225,613 0 257.276,617

3.174,609 1.633,537 15.436,597

25.6 84,540 27.2 25,613 100 000,00

Po zavretku izrade amortizacionog plana, potrebno je izvriti konanu kontrolu. Konana kontrola se zasniva na zbirovim pojedinih kolona plana koje su iskljuivo za ovu svrhu utvreni i dati su u retuku sa oznakom K.K: Postoje etiri zahtjeva konane kontrole koja e nam pokazati da li je plan dobro izraen: 1. zbir otplata mora biti jednak iznsu zajma

2. posljednji ostatak duga mora biti jednak otplati, jer se posljednjom otplatomlikvirdira posljednji ostatak duga 3. kamata na sumu ostataka duga mora biti jednaka sumi kamata, to proizilazi iz injenice da se svaka kamata rauna od odgovarajueg ostatka duga 4. suma svih anuiteta mora biti jednaka sumi kamata i otplata, to se zasniva na injenici da je svaki anuitet zbir kamate i otplate za isti period. U naem primjeru 1, vrimo konanu kontrolu:

1. suma iznosa je jednaka iznosu zajma, tj. 100.000 KM. 2. ostatak duga na kraju tree godine je jednak otplati na kraju etvrte godine,tj. 27.225,613 = 27.225,613 3. kamata na sumu ostataka duga je jednaka sumi kamata tj. 257.276,617 0,06 = 15.436,597 4. suma aniteta je jednaka sumi kamata i otplata tj. 28.859,149 4 = 15.436,597 + 100.000 = 115.436,597

11



2.1.1. Kvantitativni odnosi elemenata Ukoliko elimo direktno utvrditi stanje odreenog roka za tekuu kontrolu bez koritenja amortizacionog plana, potrebno je da utvrdimo kvantitativne odnose elemenata plana. a) Budui da je zajam diskontovana vrijednost svih anutieta na dan doznaki zajma (period 0), ostatak duga Rm je diskontovana vrijednost na rok m. Kada se utvruje ostatak duga na dan uplate m-tog anuiteta, onda je to diskontovana vrijednost anuiteta m+1, m+2, m+3, ... , n-2, n-1, n s tim da je m < n. Diskontovana vrijednost ostatka duga i zbir diskontovanih vrijednosti ovih anuiteta na dan doznake zajma (period 0), po prinicipu ekvivalencije, moraju biti jednaki. Na osovu toga, moemo postaviti jednainu:

Rm v m = av m +1 + av m +2 + av m +3 + ... + av n 2 + av n 1 + av nto je dalje jednako:

n m Rm = a IV p

(9)

b) Suma poloenih otplata, odnosno iznos otplaenog duga u trenutku m-te uplate (Om) se moe predstaviti jednainom: Om = K i Rm Iz koje se na osnovu jednaina (6) i (9) dobija:

Om = a IV p - a IV podnosno:

n

n m

12



n n m Om = a ( IV p IV p )

(10)

c) Pojedinana otplata je, kako smo ranije utvrdili, razlika anuiteta i kamate za period na koji se otplata odnosi. Na osnovu toga moemo tvrditi: b1 = a I1 b2 = a I2 b3 = a I3 itd. Odnosno: b1 = a Ki b2 = a R1i = a (K-b1)i = a Ki + b1i b3 = a R2i = a (K-b1-b2)i =a Ki + b1i + b2i itd. Ako oduzmemo dvije poziciono susjedne jednaine, dobijamo: b2 - b1 = a Ki + b1i a + Ki = b1i A iz toga: b2 = b1i b1 = b1(1+i) b2 = b1r Zatim: b3 b2 = a Ki + b1i +b2i a + Ki b1i = b2i A iz toga: b3 = b2i b2 = b2(1+i) b3 = b2r Na osnovu prethodnog moemo izvui generalnu jednainu:

bm = bm1r

(11)

d) Takoer, posmatranjem prethodnih jednaina moemo zakljuiti da se svaka otplata moe izraziti preko prve: b1 = b1 b2 = b1r b3 = b2r = b1rr = b1r itd. Prema tome, ukoliko nam je poznata prva otplata, m-ta otplata se moe izraunati pomou jednaine:1 bm = b1 r m odnosno:

13



bm = b1 I p

m 1

(12)

e) Ukoliko nam je poznata prva otplata, moemo odmah izraunati i anuitet. Anuitet se izraava kao zbir otplate i kamate, dakle: a = bn + In Poto je posljednja otplata bn jednaka posljednjem ostatku duga, kamata za posljednji period je: In = Rn-1i = bni Tako da anutiet moemo izraziti kao: a = bn + bni = bn(1+i) = bnr odnosno:1 a = b1 r n r = b1r n

a = b1 I p

n

(13)

f) Konano, ukoliko imamo samo informaciju o iznosu zajma, b1 moemo nai po sljedeoj jednaini koju neemo dokazivati:

b1 = K( V p i)

n

(14)

2.2. Anuiteti konstantno rastu (opadaju) po aritmetikoj progresiji Ako se zajam amortizuje anuitetima koji konstatnto rastu (opadaju) po aritmetikoj progresiji, onda je razlika izmeu dva vremenski sukcesivna anuiteta neprekidno ista. Ako se prvi anuitet obiljei sa a1, a razlika sa d, onda je iznos: Prvog anuiteta Drugog anuiteta Treeg anuiteta ... m-1-og anuiteta a1 a1 d a1 2d ... a1 (m-2)d

14



m-tog anuiteta m+1-tog anuiteta .... n-2-og anuiteta n-1-og anuiteta n-tog anuiteta

a1 (m-1)d a1 md ... a1 (n-3)d a1 (n-2)d a1 (n-1)d

Kada ove iznose uvrstimo u jednainu (2), dobivamo: K = a1v + (a1 d) v + (a1 2d) v + ... + [a1 (n-3)d] vn 1 n 2

+ [a1 (n-2)d] v

+ [a1 (n-2)d] v

n

Na osnovu principa ekvivalencije, ova jednaina se transformie u konanu jednainu za iznos zajma koji se amortizuje dekurzivnim anuitetima koji konstanto rastu (opadaju) po aritmetikoj progresiji:

K

=

a1

n IV p

100 d n ( IV pn nII p ) p

(15)

Iz ove jednaine moemo izraziti i ostale elemente, pa se prvi anuitet izraava kao:

n a1 = K V p

100 d p

p n 1 n(V p 100 )

(16)

Kada se izrauna a1, ostali elementi amortizacionog plana se raunaju na nain koji je prethodno prikazan. Primjer 2: Zajam iznosi 200.000 n.j. sa 4 godinja dekurzivna anuiteta koji konstanto a) rastu b) opadaju

15



za 5.000 n.j. ako se kamata obraunava godinje po stopi 10 % dekurzivno. Izraditi otplatni plan. Elementi: K = 200 000; n = 4; d = 5 000 p = 10% (d)

a) anuiteti konstantno rastu

n a1 = K V p

100 d p

a1 = 200 000 0,315470803706 50 000 [1 4(0,315470803706 0,1)] a1 = 63 094, 16074 6 905, 83926 a1 = 56 188, 32 Na kraju godine 0 1 2 3 4 K.K. Dug i ostatak duga 200 000 163 811, 68 119 004, 528 64 716, 6608 0 547 532, 8619 Kamata 10% (d) 20 000 16 381, 168 11 900, 4528 6 471, 66608 54 753, 28 Otplata 36 188, 32 44 807, 152 54 287, 867 64 716, 65 200 000 Anuitet 56 61 66 71 188, 188, 188, 188, 32 32 32 32

p n 1 n(V p 100 )

254 753, 28

b) anuiteti konstantno opadajun a1 = K V p +

100 d p

p n 1 n(V p 100 )

a2 = 63 094, 16074 + 6 905, 83926 a2= 70 000 Na kraju godine 0 1 2 3 4 K. K. Dug i ostatak duga 200 000 150 000 100 000 50 000 0 500 000 Kamata 10% (d) 20 000 15 000 10 000 5 000 50 000 Otplata 50 50 50 50 000 000 000 000 Anuitet 70 65 60 55 000 000 000 000

200 000

250 000

16



2.3. Anuiteti konstantno rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji Ako se zajam amortizuje anuitetima koji konstatnto rastu (opadaju) po geometrijskoj progresiji, onda je kolinik (q) dva vremenski sukcesivna anuiteta neprekidno isti. To znai da: a2 : a1 = q, a3 : a2 = q, ... , am : am-1 = q itd. Rast odnosno pad anuiteta se izraava jo procentnom stopom (s). To znai da je:

q=1

s 100

Dalje, svaki anuitet se moe izraziti pomou prethodnog i faktora q po obrascu: am = am-1q ili se moe izraziti preko prvog anuiteta i faktora q:1 am = a1q m Ovi obrasci se izvode iz sljedeeg pregleda

Prvi anuitet Drugi anuitet Trei anuitet ... m-1-vi anuitet m-ti anuitet m+1-vi anuitet .... n-2-gi anuitet n-1-vi anuitet n-ti anuitet

a1 a1 q a2 q ... am-2 am-1

= a1 = a1 q = a1 q q= a1 q m 2 1 q= a1 q m

am q = a1 q m ... 3 an-2 q = a1 q n n 2 an-1 q = a1 q an q1 = a1 q n

Zamjenom odgovarajuih veliina iz prethodnog pregleda u jednainu (2), dobijamo jednainu za ovaj model amortizacije zajma:3 1 1 K = a1v + a1qv + a3qv + ... + an-2 q n v n 2 + an-1 q n 2 v n + an q n v n

Kamatna stopa i stopa rasta mogu biti razliite i jednake, pa prema tome, dekurzivni kamatni faktor (r) i kolinik (q) mogu biti razliiti ili jednaki. Ova dva sluaja emo odvojeno promatrati.

17



a) Kada dekurzivni kamatni faktor i kolinik nisu jednaki, obrazac za izraunavanje zajma je sljedei:

K = a1 (17a) K = a1

r n qn za r>q i r n (r q) qn r n za q>r r n (q r )

(17b)

Na osnovu ovog obrasca moemo izraziti i prvi anuitet:

r n (r q) a1 = K n za r>q i r qn

(18a) a1 = K (18b)Izrada amortizacionog plana poinje izraunavanjem prvog anuiteta. Ostali elementi raunaju se na ve prikazani nain. b) Kada je dekurzivni kamatni faktor jednak koliniku, iznos zajma se izraunava po obrascu:

r n (q r ) za q>r qn r n

K = na1 II (19)

1 p

Iz istog obrasca ozraavamo prvi anuitet:

a1 =

K 1 Ip n

(20)

I u ovom sluaju iz prvog anuiteta moemo izraunati ostale elemente potrebne za izradu amortizacionog plana.

2.4. Anuiteti konstantno jednaki anuitetski period krai od perioda efektivnog plaanja kamate U ovom modelu amortizacije zajma, anuitetski period i period efektivnog plaanja kamate nisu jednaki. U toku perioda efektivnog plaanja kamate polau se dva ili vie anuiteta, pa se zbog toga u literaturi ovi anuiteti nazivaju ispodgodinjim ili parcijalnim anuitetima.

18



Poto se kamata efektivno plaa rjee, samo se posljedni anuitet iz jednog perioda plaanja kamate koristi za otplatu i kamatu, dok se svi ostali koriste samo za otplatu. Ovaj model se u praksi jako esto koristi kod amortizacije zajmova, gdje se anuiteti plaaju mjeseno iz linog dohotka dunika. Poto se lini dohodak prima na kraju mjeseca, za dunika je povoljniji dekurzivni anuitet. Obrazac za izraunavanje iznosa zajma koji se amortizuje dekurzivnim anuitetima po ovom modelu neemo izvoditi ve emo samo dati u konanom obliku. Dakle:

gdje se sa m se obiljeava broj anuiteta u jednom periodu efektinog plaanja kamate, a sa n broj period u toku kojih se plaa kamata. Iz iste jednaine dobijamo obrazac za izraunavanje anuiteta:

K = a m +

p (m 1) n IV p 200

(21)

KV pn a= p (m 1) m+ 200Primjer 3:

(22)

Zajam od 400 000 n.j. treba amortizovati u toku 4 godine jednakim polugodinjim anuitetima. Kamatna stopa iznosi 10% (d), a obraun je godinji, (kamata se olaa na kraju godine). Izraditi otplatni plan! Elementi: K = 200 000; n = 4; p = 10%; m=2

KV pn a= p ( m 1) m+ 200

200.000 0,31547080 10(2 1) a= 2+ 200a = 30. 777,64

19



Na kraju godine 0 1 2 3 4 5 6 7 8 K.K.

1 2 3 4

Dug i ostatak duga 200 000 169.222.36 156.905,84 126.128,2 109.502,26 78.729,62 57.358,32 26.580,68 0 924.422,28

Kamata Obraunata Plaena 10 000 8.461,12 7.845,292 6.306,41 5.475,11 3.936,23 2.867,92 1.329,03

Otplata

Anuitet

18.461,12 19.151,702 9.411,39 4.196,95 46.221,11

30.777,64 12.316,52 30.777,64 16.625,97 30.777,64 21.366,3 30.777,64 26.580,68 200 000

30.777,64 30.777,64 30.777,64 30.777,64 30.777,64 30.777,64 30.777,64 30.777,64 246.221,12

2.5. Anuiteti konstantno jednaki obraunski period krai od otplatnog, kamata se efektivno plaa s otplatom U ovom modelu se zajam amortizuje sa n otplata koje s kamatom formiraju n jednakih dekurzivnih anuiteta. U toku jednog otplatnog perioda kamata se obraunava i dospijeva za plaanje m puta, to znai da je broj obraunskih perioda u amortizacionom cikljusu mn. Budui da se kamata obraunava ee nego to se vri otplata, svaka se kamata ne plaa u svom roku. Ona se efektivno plaaju na dan roka otplate, tako da se jedino m-ta kamata plaa na dan svog dospijea. To znai da e se na dan plaanja u anuitetu pojaviti, pored otplate i redovne kamate, jo i interkalarna kamata. Obrazac za izraunavanje iznosa zajma kod ovog modela je:

K=a

r mn 1 r mn ( r m 1)

Odnosno, izraeno preko tablica interesa na interes, to je:mn m K = IV p / m (V p / m

i ) m

(23)

Iz prethodne jednaine, anuitet se izraava kao:

K

a = IV mn (V n i ) p/m p/mm

20



Odnosno:mn a = KV p / m (1 + III m 1 p/m

)

(24)

gdje je p stopa za anuitetski period, m broj obraunskih perioda u jednom anuitetskom periodu, te je na osnovu toga p/m relativna kamatna stopa za jedan obraunski period. Ukupna kamata koja se ukljuuje u anuitet se moe izraunati pomou efektivne stope ps za anuitetski period, i to je:

ps =obrascu:

Ukoliko se eli izraunati posebno samo interkalarna kamata pi, ona se izraunava po

p (1 + III m

m 1 p/m

)

(25)

pi =

p (1 + III m

m 1 p/m

m)

(26)

Primjer 4: Zajam od 80 000 n.j. treba amortizovati u toku 5 godina, jednakim godinjim dekurzivnim anuitetima. Kamatna stopa je 12 % (d) a obraun kamate polugodinji. Kamata se plaa na kraju godine. Izraditi otplatni plan! Elementi: K = 80 000; n = 5; p = 12%; m=2

mn a = KV p / m (1 + III

m 1 p/m

)

a = 80 000 x 0,13586795 (1 + 1,06000000) a = 22 391, 05 Na kraju godine 0 1 2 3 4 5 K.K. Dug i ostatak duga 40.000 33.748,48 26.724,27 18.831,87 9.963,96 0 Kamata interkalarna 144 121,49 96,21 67,79 35,87 465,36 Otplata ukupno 4.944 4.171,31 3.303,12 2.327,61 1.231,55 15.977,59 6.251,52 7.024,21 7.892,40 8.867,91 9.963,96 40 000 11.195,52 11.195,52 11.195,52 11.195,52 11.195,52 55.977,6 Anuitet

redovna 4.800 4.049,82 3.206,91 2.259,82 1.195,68 15.512,23

21



2.6. Kombinovani model otplate zajma

Primjer 5: Zajam se amortizuje tokom 15 godina uz 16% (d) i uz polugodinje kapitalisanje (relativna stopa). U toku prve etiri godine zajam se amortizuje polugodinjim dekurzivnim otplatama koje se konstantno smanjuju za 5%. U toku narednih 10 godina, zajam se amortizuje godinjim dekurzivnim anuitetima po X n.j. U posljednjoj godini anuitet na kraju polugodita iznosi 60.000 n..j. a na kraju drugog polugodita 74.560 n.j. Izraditi otplatni plan ako je ostatak duga po naplati 16 tog anuiteta 245.680 n.j. i ako je anuitet druge serije manji od prve otplate prve serije za 5%

2 4 5 6 R16 = K = a II 8 + a II 8 + 60.000 II 8 + 74 560 II 8 2 4 5 6 245.680 = a II 8 + a II 8 + 60.000 II 8 + 74.560 II 8

245.680 = a ( II 8 + II 8 ) + 60.000 * 0,68058319 + 74.560 * 0,63016962 245.680 = a ( II 8 + II 8 ) + 40.834,9914 + 46.985,446 245.680 = a ( II 8 + II 8 ) + 87.820,43762 4 a ( II 8 + II 8 ) = 157.859, 56 2 4 2 4

2

4

a = 99.135, a = 99.135, 055 055 b1 = 104.352, 69

22



1,08 20 1 0,95 4 1 21 K = 104.352,69 + 99.135,055 + 60 000 II 8 + 71560 0,95 1 1,08 20 (1,08 2 - 1)22 II 8

K = 1.196.037, 18

23



ZakljuakNa osnovu prezentiranog, moemo zakljuiti da je zajam jedan od naina na koji moemo doi do neophodnih finansijskih sredstava. Prije donoenja konane odluke o upotrebi tuih izvora, dunik treba da paljivo analizira sve elemente ugovora (iznos, kamatnu stopu, period amortizacije, grace period, nain vraanja pozajmljenih sredstava itd.). Nakon detaljno provedene analize, dunik e odluiti da li e se zaduiti kod odreenog povjerioca. Imali ste priliku, itajui na seminarski rad, da zakljuite da postoje razliiti oblici ili varijante amortizacije zajma sa primarno datima anuitetima. U zavisnosti od pozicije dunika i njegove finansijske sposobnosti, on e odluiti koja je za njega najpovoljnija varijanta. Pri tome, e duniku uvijek odgovarati to rjei obraun kamatne stope, pa e zbog toga izbjegavati model amortizacije koji se temelji na konstantno jednakim anuitetima obraunski period krai od otplatnog, kamata se efektivno plaa s otplatom, a povjeriocu odgovara to ei obraun kamate jer je kamata za njega priliv. Takoer, ako smo deficitarna jedinica koja je primila sredstva (dunik), onda moramo prihvatiti i potovati sve elemente i uslove proistekle iz ugovora o duniko - povjerilakim odnosima. U suprotnom, rizikujemo da budemo izloeni razliitim vrstama sankcija i da plaamo dodatne trokove kao to je zatezna kamata. S druge strane, fer i korektan odnos ugovorenih strana ima tendenciju gradnje dobrih poslovnih odnosa koji e im u budunosti donositi obostranu korist. Dakle, izbor je na nama i ako provedemo analizu finansijskih pokazatelja na podoban nain zasigurno neemo pogrijeiti u pogledu donoenja odlike o koritenju raspoloivih finansijkih izvora, kao i razliitim varijacijama pojedinih modela.

24



Literatura 1. Dr. Branko Trklja, Finansijska matematika (dotampano drugoizmijenjeno i dopunjeno izdanje); Ekonomski fakultet Univerzitet Sarajevo izdavaka djelatnost; Sarajevo, 2002.godine.

2. Dr. Milvoj Krmar, Finansijska matematika i metode investicionogodluivanja; Kemigrafika-Sarajevo; Sarajevo 2002. godine 3. www.efsa.unsa.ba /nastava/finansijska i aktuarska matematika

25

Documents

Amortizacija Zajma Primarno Datim Anuitetima-final[2]