Aljabar Boolean.ppt

7/21/2019 Aljabar Boolean.ppt

http://slidepdf.com/reader/full/aljabar-booleanppt 1/83

Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1

Aljabar Boolean

Bahan Kuliah

IF2151 Matematika Diskrit




Definisi Aljabar Boolean



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit

1. Closure! "i# a $ b ∈ B

"ii# a ⋅ b ∈ B

2. Identitas! "i# a $ % & a

"ii# a ⋅ 1 & a

. Komutatif! "i# a $ b & b $ a

"ii# a ⋅ b & b . a

'. Distributif!"i# a ⋅ "b $ c# & "a ⋅ b# $ "a ⋅ c#

"ii# a $ "b ⋅ c# & "a $ b# ⋅ "a $ c#

5. Kom(lemen1! "i# a $ a) & 1

"ii# a ⋅ a) & %



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '

*ntuk mem(un+ai sebuah aljabar Boolean,

harus di(erlihatkan!

1. -lemenelemen him(unan B,2. Kaidah o(erasi untuk o(erator biner dan

o(erator uner,

. Memenuhi (ostulat untin0ton.




Aljabar Boolean Dua-Nilai

Aljabar Boolean duanilai!

B & %, 1

o(erator biner, $ dan ⋅ o(erator uner, )

Kaidah untuk o(erator biner dan o(erator uner!

a b a ⋅ b a b a $ b a a)

% % % % % % % 1

% 1 % % 1 1 1 %1 % % 1 % 1

1 1 1 1 1 1




4ek a(akah memenuhi (ostulat untin0ton!

1. Closure ! jelas berlaku

2. Identitas! jelas berlaku karena dari tabel da(at kita lihat baha!

"i# % $ 1 & 1 $ % & 1"ii# 1 ⋅ % & % ⋅ 1 & %

. Komutatif! jelas berlaku den0an melihat simetri tabel o(erator

biner.




'. Distributif! "i# a ⋅ "b $ c# & "a ⋅ b# $ "a ⋅ c# da(at ditunjukkan

benar dari tabel o(erator biner di atas den0an membentuk tabelkebenaran!

a

b c b $ c a ⋅ "b $ c# a ⋅ b a ⋅ c "a ⋅ b# $ "a ⋅ c#

% % % % % % % %

% % 1 1 % % % %

% 1 % 1 % % % %

% 1 1 1 % % % %

1 % % % % % % %1 % 1 1 1 % 1 1

1 1 % 1 1 1 % 1

1 1 1 1 1 1 1 1




"ii# ukum distributif a $ "b ⋅ c# & "a $ b# ⋅ "a $ c# da(at

ditunjukkan benar den0an membuat tabel kebenaran den0an8ara +an0 sama se(erti "i#.

5. Kom(lemen! jelas berlaku karena 9abel 6. mem(erlihatkan

baha!

"i# a $ a: & 1, karena % $ %)& % $ 1 & 1 dan 1 $ 1)& 1 $ % & 1"ii# a ⋅ a & %, karena % ⋅ %)& % ⋅ 1 & % dan 1 ⋅ 1) & 1 ⋅ % & %

Karena kelima (ostulat untin0ton di(enuhi, maka terbukti baha

& %, 1 bersamasama den0an o(erator biner $ dan ⋅ o(erator

kom(lemen : meru(akan aljabar Boolean.



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit ;

Ekspresi Boolean

• Misalkan " B, $, ⋅, )# adalah sebuah aljabar Boolean. <uatu

eks(resi Boolean dalam " B, $, ⋅, )# adalah!

"i# setia( elemen di dalam B,"ii# setia( (eubah,

"iii# jika e1 dan e2 adalah eks(resi Boolean, maka e1 $ e2, e1 ⋅ e2, e1) adalah eks(resi Boolean

4ontoh! %

1

a

b

a $ b

a ⋅ b

a)⋅ "b $ c#

a ⋅ b) $ a ⋅ b ⋅ c) $ b), dan seba0ain+a



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1%

Mengevaluasi Ekspresi Boolean

• 4ontoh! a)⋅ "b $ c#

jika a & %, b & 1, dan c & %, maka hasil e=aluasi eks(resi!

%)⋅ "1 $ %# & 1 ⋅ 1 & 1

• Dua eks(resi Boolean dikatakan ekivalen "dilamban0kan

den0an :&)# jika keduan+a mem(un+ai nilai +an0 sama untuksetia( (emberian nilainilai ke(ada n (eubah.

4ontoh!a ⋅ "b $ c# & "a . b# $ "a ⋅ c#




Contoh. >erlihatkan baha a $ a)b & a $ b .

>en+elesaian!

a b a) a)b a $ a)b a $ b

% % 1 % % %

% 1 1 1 1 1

1 % % % 1 1

1 1 % % 1 1

• >erjanjian! tanda titik "⋅# da(at dihilan0kan dari (enulisan

eks(resi Boolean, ke8uali jika ada (enekanan!

"i# a"b $ c# & ab $ ac "ii# a $ bc & "a $ b# "a $ c#

"iii# a ⋅ % , bukan a%




Prinsip Dualitas

• Misalkan S adalah kesamaan "identity# di dalam aljabar

Boolean +an0 melibatkan o(erator $, ⋅, dan kom(lemen,

maka jika (ern+ataan S ? di(eroleh den0an 8ara men00anti

⋅ den0an $

$ den0an ⋅ % den0an 1

1 den0an %

dan membiarkan o(erator kom(lemen teta( a(a adan+a,

maka kesamaan S ? ju0a benar. S ? disebut seba0ai dual dariS .

Contoh.

"i# "a ⋅ 1#"% $ a)# & % dualn+a "a $ %# $ "1 ⋅ a)# & 1

"ii# a"a: $ b# & ab dualn+a a $ a:b & a $ b




Hukum-hukum Aljabar Boolean1. ukum identitas!

"i# a $ % & a

"ii# a ⋅ 1 & a

2. ukum idem(oten!

"i# a $ a & a

"ii# a ⋅ a & a

. ukum kom(lemen!

"i# a $ a) & 1"ii# aa) & %

'. ukum dominansi!

"i# a ⋅ % & %

"ii# a $ 1 & 1

5. ukum in=olusi!

"i# "a)#) & a

3. ukum (en+era(an!

"i# a $ ab & a

"ii# a"a $ b# & a

6. ukum komutatif!

"i# a $ b & b $ a

"ii# ab & ba

7. ukum asosiatif!

"i# a $ "b $ c# & "a $ b# $ c

"ii# a "b c# & "a b# c

;. ukum distributif!"i# a $ "b c# & "a $ b# "a $ c#

"ii# a "b $ c# & a b $ a c

1%. ukum De Mor0an!"i# "a $ b#) & a)b)

"ii# "ab#) & a) $ b)

11. ukum %/1

"i# %) & 1

"ii# 1) & %



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1'

Contoh 7.3. Buktikan "i# a $ a)b & a $ b dan "ii# a"a) $ b# & ab

>en+elesaian!

"i# a $ a)b & "a $ ab# $ a)b ">en+era(an#

& a $ "ab $ a)b# "Asosiatif#& a $ "a $ a)#b "Distributif#

& a $ 1 • b "Kom(lemen#

& a $ b "Identitas#

"ii# adalah dual dari "i#




Funsi Boolean

• Funsi Boolean "disebut ju0a fun0si biner# adalah (emetaan

dari Bn ke B melalui eks(resi Boolean, kita menuliskann+a

seba0ai

f ! Bn → B

+an0 dalam hal ini Bn adalah him(unan +an0 beran00otakan

(asan0an terurut 0andan "ordered n-tuple# di dalam daerah

asal B.




• <etia( eks(resi Boolean tidak lain meru(akan fun0si

Boolean.

• Misalkan sebuah fun0si Boolean adalah

f " x, y, z # & xyz $ x) y $ y) z

Fun0si f memetakan nilainilai (asan0an terurut 0anda

" x, y, z # ke him(unan %, 1.

4ontohn+a, "1, %, 1# +an0 berarti x & 1, y & %, dan z & 1

sehin00a f"1, %, 1# & 1 ⋅ % ⋅ 1 $ 1) ⋅ % $ %)⋅ 1 & % $ % $ 1 & 1 .




Contoh. 4ontoh8ontoh fun0si Boolean +an0 lain!

1. f " x# & x

2. f " x, y# & x) y $ xy)$ y)

. f " x, y# & x) y)

'. f " x, y# & " x $ y#)

5. f " x, y, z # & xyz )

• <etia( (eubah di dalam fun0si Boolean, termasuk dalam

bentuk kom(lemenn+a, disebut literal.

4ontoh! Fun0si h" x, y, z # & xyz ) (ada 8ontoh di atas terdiridari buah literal, +aitu x, +, dan z ).




Contoh. Diketahui fun0si Booelan f " x, y, z # & xy z ), n+atakan h

dalam tabel kebenaran.

>en+elesaian!

x y z f " x, y, z # & xy z )

%

%%

%

1

1

1

1

%

%1

1

%

%

1

1

%

1%

1

%

1

%

1

%

%%

%

%

%

1

%



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit 1;

!omplemen Funsi

1. 4ara (ertama! men00unakan hukum De Mor0an

/ukum De Mor0an untuk dua buah (eubah, x1 dan x2, adalah

Contoh. Misalkan f " x, y, z # & x" y) z ) $ yz #, maka f )" x, y, z # & " x" y) z ) $ yz ##)

& x) $ " y) z ) $ yz #)

& x) $ " y) z )#) " yz #)

& x) $ " y $ z # " y) $ z )#




2. 4ara kedua! men00unakan (rinsi( dualitas.

9entukan dual dari eks(resi Boolean +an0 mere(resentasikan f ,lalu kom(lemenkan setia( literal di dalam dual tersebut.

Contoh. Misalkan f " x, y, z # & x" y) z ) $ yz #, maka

dual dari f ! x $ " y) $ z )# " y $ z #

kom(lemenkan tia( literaln+a! x) $ " y $ z # " y) $ z )# & f )

@adi, f :" x, y, z # & x) $ " y $ z #" y) $ z )#




Bentuk !anonik

• Ada dua ma8am bentuk kanonik!

1. >enjumlahan dari hasil kali " sum-of-product atau <>#2. >erkalian dari hasil jumlah " product-of-sum atau ><#

4ontoh! 1. f " x, y, z # & x) y) z $ xy) z ) $ xyz <>

<etia( suku "term# disebut minterm

2. g " x, y, z # & " x $ y $ z #" x $ y) $ z #" x $ y) $ z )#

" x) $ y $ z )#" x) $ y) $ z #

><

<etia( suku "term# disebut maxterm

• <etia( minterm/maxterm men0andun0 literal len0ka(




Minterm Maxterm

x y <uku amban0 <uku amban0

%%

1

1

%1

%

1

x) y) x) y

xy)

x y

m% m1

m2

m

x $ y x $ y)

x) $ y

x) $ y)

M % M 1

M 2 M




Minterm Maxterm

x y z <uku amban0 <uku amban0

%

%

%

%1

1

11

%

%

1

1%

%

11

%

1

%

1%

1

%1

x) y) z )

x) y) z

x: y z )

x) y z x y) z )

x y) z

x y z ) x y z

m%

m1

m2

m

m'

m5

m3 m6

x $ y $ z

x $ y $ z )

x $ y)$ z

x $ y)$ z ) x)$ y $ z

x)$ y $ z )

x)$ y)$ z x)$ y)$ z )

M %

M 1

M 2 M M '

M 5

M 3 M 6




Contoh 7."#. C+atakan tabel kebenaran di baah ini dalam bentuk

kanonik <> dan ><.

$abel 7."#

x y z f " x, y, z #

%

%%

%

1

1

11

%

%1

1

%

%

11

%

1%

1

%

1

%1

%

1%

%

1

%

%1




>en+elesaian!

"a# <>Kombinasi nilainilai (eubah +an0 men0hasilkan nilai fun0si

sama den0an 1 adalah %%1, 1%%, dan 111, maka fun0si

Booleann+a dalam bentuk kanonik <> adalah

f " x, y, z # & x) y) z $ xy) z ) $ xyz

atau "den0an men00unakan lamban0 minterm#,

" x, y, z # & m1 $ m' $ m6 & ∑ "1, ', 6#




"b# ><Kombinasi nilainilai (eubah +an0 men0hasilkan nilai fun0si

sama den0an % adalah %%%, %1%, %11, 1%1, dan 11%, maka

fun0si Booleann+a dalam bentuk kanonik >< adalah

f " x, y, z # & " x $ y $ z #" x $ y)$ z #" x $ y)$ z )#" x)$ y $ z )#" x)$ y)$ z #

atau dalam bentuk lain,

" x, y, z # & M % M

2 M

M

5 M

3 & ∏"%, 2, , 5, 3#




Contoh 7."". C+atakan fun0si Boolean f " x, y, z # & x $ y) z dalam

bentuk kanonik <> dan ><.

>en+elesaian!

"a# <>

x & x" y $ y)#

& xy $ xy)

& xy " z $ z )# $ xy)" z $ z )#

& xyz $ xyz ) $ xy) z $ xy) z )

y) z & y) z " x $ x)#

& +)E $ )+)E

@adi f " x, y, z # & x $ y) z & xyz $ xyz ) $ xy) z $ xy) z ) $ xy) z $ x) y) z

& x) y) z $ xy) z ) $ xy) z $ xyz ) $ xyz

atau f " x, y, z # & m1 $ m' $ m5 $ m3 $ m6 & Σ "1,',5,3,6#




"b# ><

f " x, y, z # & x $ y) z

& " x $ y)#" x $ z #

x $ y) & x $ y) $ zz )

& " x $ y) $ z #" x $ y) $ z )#

x $ z & x $ z $ yy)& " x $ y $ z #" x $ y) $ z #

@adi, f " x, y, z # & " x $ y) $ z #" x $ y) $ z )#" x $ y $ z #" x $ y) $ z #

& " x $ y $ z #" x $ y) $ z #" x $ y) $ z )#

atau f " x, y, z # & M % M 2 M & ∏"%, 2, #




!onversi Antar Bentuk !anonik

Misalkan f " x, y, E# & Σ "1, ', 5, 3, 6#

dan f )adalah fun0si kom(lemen dari f ,

f )" x, y, z # & Σ "%, 2, # & m%$ m2 $ m

Den0an men00unakan hukum De Mor0an, kita da(at mem(eroleh

fun0si f dalam bentuk ><!

f )" x, y, z # & " f )" x, y, z ##) & "m% $ m2 $ m#)

& m%) . m2) . m)

& " x) y) z )#) " x) y z’ #) " x) y z #)

& " x $ y $ z # " x $ y) $ z # " x $ y) $ E)#& M % M 2 M

& ∏ "%,2,#

@adi, f " x, y, E# & Σ "1, ', 5, 3, 6# & ∏ "%,2,#.

Kesim(ulan! m j) & M j



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit %

Contoh. C+atakan

f " x, y, z #& ∏ "%, 2, ', 5# dan g "w, x, +, E# & Σ"1, 2, 5, 3, 1%, 15#

dalam bentuk <>.

>en+elesaian! f " x, y, E# & Σ "1, , 3, 6#

g "w, x, y, z #& ∏ "%, , ', 6, 7, ;, 11, 12, 1, 1'#




Contoh. 4arilah bentuk kanonik <> dan >< dari f " x, y, z # & y) $

y $ x)+E)>en+elesaian!

"a# <>

f " x, y, E# & y) $ xy $ x) yz )& y) " x $ x)# " z $ z )# $ xy " z $ z )# $ x) yz )

& " xy) $ x) y)# " z $ z )# $ xyz $ xyz ) $ x) yz )& xy) z $ xy) z ) $ x) y) z $ x) y) z ) $ xyz $ xyz ) $ x) yz )

atau f " x, y, E# & m%$ m1 $ m2$ m'$ m5$ m3$ m6

"b# >< f " x, y, E# & M & x $ y) $ z )




Bentuk Baku

9idak harus men0andun0 literal +an0 len0ka(.

4ontohn+a,

f " x, y, z # & y) $ xy $ x) yz "bentuk baku <>

f " x, y, z # & x" y) $ z #" x) $ y $ z )# "bentuk baku

><#



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit

Aplikasi Aljabar Boolean

". %arinan Pensaklaran & Switching Network '

<aklar! objek +an0 mem(un+ai dua buah keadaan! buka dan tutu(.

9i0a bentuk 0erban0 (alin0 sederhana!

1. a x b

Output b han+a ada jika dan han+a jika x dibuka ⇒ x

2. a x y b

Output b han+a ada jika dan han+a jika x dan y dibuka ⇒ xy

. a x

c

b y

Output c han+a ada jika dan han+a jika x atau y dibuka ⇒ x $ y




4ontoh ran0kaian (ensaklaran (ada ran0kaian listrik!

1. <aklar dalam hubun0an <-RI! lo0ika ACD

am(u

B

∞ <umber te0an0an

2. <aklar dalam hubun0an >ARA-! lo0ika R

am(u

B

∞ <umber 9e0an0an




(. )ankaian *oika

Gerban0 ACD Gerban0 R Gerban0 C9 "in!erter #

y

x xy

y

x x" y x# x




Contoh. C+atakan fun0si f " x, y, z # & xy $ x) y ke dalam ran0kaianlo0ika.

@aab! "a# 4ara (ertama

x#

x

y xy

x

y x#y

xy"x#y




"b# 4ara kedua

"8# 4ara keti0a

x#

xy

x y

x#y

xy"x #y

x H

x y x

y

x H y

x y"x H y




Gerban0 turunan

Gerban0 CACD Gerban0 R

Gerban0 CR Gerban0 CR

x

y" xy #H

x

y" x"y #H

x

y$ x y

x

y$" x y #H



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit ;

x H

y H x H y H

eki=alen den0an x

y " x"y #H

x H

y H

x H $ y H eki=alen den0an

x

y" x y #H

x

y" x $ y #H eki=alen den0an

x

y" x $ y #H

x $ y



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '%

Pen+e,erhanaan Funsi Boolean

Contoh. f " x, y# & x) y $ xy) $ y)

disederhanakan menjadi

f " x, y# & x) $ y)

>en+ederhanaan fun0si Boolean da(at dilakukan den0an 8ara!

1. <e8ara aljabar

2. Men00unakan >eta Karnau0h

. Men00unakan metode Juine M8 4luske+ "metode 9abulasi#



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit '1

". Pen+e,erhanaan eara Aljabar

Contoh!

1. f " x, y# & x $ x) y

& " x $ x)#" x $ y#

& 1 ⋅ " x $ y #

& x $ y

2. f " x, y, z # & x) y) z $ x) yz $ xy)

& x) z " y) $ y# $ xy)

& x) z $ xz )

. f " x, y, z # & xy $ x) z $ yz & xy $ x) z $ yz " x $ x)#

& xy $ x) z $ xyz $ x) yz

& xy"1 $ z # $ x) z "1 $ y# & xy $ x) z




(. Peta !arnauh

a. $eta %arnaugh dengan dua peubah y

% 1

m% m1 x % x) y) x) y

m2 m 1 xy) xy

b. $eta dengan tiga peubah

yz%% %1 11 1%

m% m1 m m2 x % x) y) z ) x) y) z x) yz x) yz )

m' m5 m6 m3 1 xy) z ) xy) z xyz xyz )




Contoh. Diberikan tabel kebenaran, 0ambarkan >eta Karnau0h.

x y z f " x, y, z #

% % % %

% % 1 %

% 1 % 1

% 1 1 %

1 % % %

1 % 1 %

1 1 % 1

1 1 1 1

yz%% %1 11 1%

x % % % % 1

1 % % 1 1



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit ''

b. $eta dengan empat peubah

yz%% %1 11 1%

m% m1 m m2 wx %% w) x) y) z ) w) x) y) z w) x) yz w) x) yz )

m' m5 m6 m3 %1 w) xy) z ) w) xy) z w) xyz w) xyz )

m12 m1 m15 m1' 11 wxy) z ) wxy) z wxyz wxyz )

m7 m; m11 m1% 1% wx) y) z ) wx) y) z wx) yz wx) yz )

C h Dib ik b l k b b k > K h




Contoh. Diberikan tabel kebenaran, 0ambarkan >eta Karnau0h.

w x y z f "w, x, y, z #

% % % % %% % % 1 1

% % 1 % %

% % 1 1 %% 1 % % %% 1 % 1 %

% 1 1 % 1% 1 1 1 1

1 % % % %1 % % 1 %1 % 1 % %

1 % 1 1 %

1 1 % % %1 1 % 1 %

1 1 1 % 11 1 1 1 %

yz%% %1 11 1%

wx %% % 1 % 1

%1 % % 1 1

11 % % % 1

1% % % % %




$eknik /inimisasi Funsi Boolean ,enan Peta !arnauh

1. $asangan! dua buah 1 +an0 bertetan00a

yz%% %1 "1 "%

wx %% % % % %

%1 % % % %

"" % % 1 1

1% % % % %

Sebelum disederhana&an! f "w, x, y, z # & wxyz $ wxyz )

'asil $enyederhanaan! f "w, x, y, z # & wxy

Bukti se8ara aljabar!

f "w, x, y, z # & wxyz $ wxyz )

& wxy" z $ z )#

& wxy"1#

& wxy




2. %uad ! em(at buah 1 +an0 bertetan00a

yz%% %1 11 1%

wx %% % % % %

%1 % % % %

"" 1 1 1 1

1% % % % %

Sebelum disederhana&an! f "w, x, y, z # & wxy) z ) $ wxy) z $ wxyz $ wxyz )

'asil penyederhanaan! f "w, x, y, z # & wx





f "w, x, y, z # & wxy) $ wxy& wx" z ) $ z #

& wx"1#

& wx

yz

%% %1 11 1%

wx %% % % % %

%1 % % % %

11 1 1 1 1

1% % % % %



Rinaldi Munir/IF2151 Mat. Diskrit ';

4ontoh lain!

yz#% #1 11 1%

wx %% % % % %

%1 % % % %

"1 1 1 % %

"% 1 1 % %

<ebelum disederhanakan! f "w, x, y, z # & wxy) z ) $ wxy) z $ wx) y) z ) $ wx) y)E

'asil penyederhanaan! f "w, x, y, z # & wy)




. O&tet ! dela(an buah 1 +an0 bertetan00a

yz

%% %1 11 1%wx %%

% % % %

%1% % % %

"11 1 1 1

"% 1 1 1 1

Sebelum disederhana&an! f "a, b, c, d # & wxy) z ) $ wxy) z $ wxyz $ wxyz ) $

wx) y) z ) $ wx) y) z $ wx) yz $ wx) yz )

'asil penyederhanaan! f "w, x, y, z # & w





f "w, x, y, z # & wy) $ wy

& w" y) $ y#& w

yz%% %1 11 1%

wx %% % % % %

%1 % % % %

11 1 1 1 1

1% 1 1 1 1




Contoh 0."(. Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam

>eta Karnau0h. <ederhanakan fun0si Boolean +an0 bersesuaian sesederhana

mun0kin.

yz

%% %1 11 1%

wx %% % 1 1 1

%1 % % % 1

11 1 1 % 1

1% 1 1 % 1

@aab! "lihat >eta Karnau0h# f "w, x, y, z # & wy) $ yz ) $ w) x) z




Contoh 0."3. Minimisasi fun0si Boolean +an0 bersesuaian den0an >eta

Karnau0h di baah ini.

yz%% %1 11 1%

wx %% % % % %

%1 % 1 % %

11 1 1 1 1

1% 1 1 1 1

@aab! "lihat >eta Karnau0h# f "w, x, y, z # & w $ xy) z




@ika (en+elesaian 4ontoh 5.1 adalah se(erti di baah ini!

yz%% %1 11 1%

wx %% % % % %

%1 % 1 % %

11 1 1 1 1

1% 1 1 1 1

maka fun0si Boolean hasil (en+ederhanaan adalah

f "w, x, y, z # & w $ w) xy) z "jumlah literal & 5#

+an0 tern+ata masih belum sederhana dibandin0kan f "w, x, y, z # & w $ xy) z

"jumlah literal & '#.




Contoh 0."1. ">en00ulun0an/rolling # <ederhanakan fun0si Boolean +an0

bersesuaian den0an >eta Karnau0h di baah ini.

yz%% %1 11 1%

wx %% % % % %

%1 1 % % 1

11 1 % % 1

1% % % % %

@aab! f "w, x, y, z # & xy) z ) $ xyz ) && belum sederhana




>en+elesaian +an0 lebih minimal!

yz%# %1 11 1#

wx %% % % % %

%" 1 % % 1

1" 1 % % 1

1% % % % %

f "w, x, y, z # & xz ) &&&K lebih sederhana




Contoh 0."". <ederhanakan fun0si Boolean f " x, y, z # & x) yz $ xy) z ) $ xyz $

xyz ).

@aab!

>eta Karnau0h untuk fun0si tersebut adalah!

yz%% %1 11 1%

x % 1

1 1 1 1

asil (en+ederhanaan! f " x, y, z # & yz $ xz )




Contoh 0."0! "Kelom(ok berlebihan# <ederhanakan fun0si Boolean +an0

bersesuaian den0an >eta Karnau0h di baah ini.

yz

%% %1 11 1%

wx %% % % % %

%1 % 1 % %

11 % 1 1 %

1% % % 1 %

@aab! f "w, x, y, z # & xy) z $ wxz $ wyz → masih belum sederhana.




>en+elesaian +an0 lebih minimal!

yz%% %1 11 1%

wx %% % % % %

%1 % 1 % %

11 % 1 1 %

1% % % 1 %

f "w, x, y, z # & xy) z $ wyz &&& lebih sederhana




Contoh 0."2. <ederhanakan fun0si Boolean +an0 bersesuaian den0an >eta

Karnau0h di baah ini.

cd%% %1 11 1%

ab %% % % % %

%1 % % 1 %

11 1 1 1 1

1% % 1 1 1

@aab! "lihat >eta Karnau0h di atas# f "a, b, c, d # & ab $ ad $ ac $ bcd




Contoh 0."7. Minimisasi fun0si Boolean f " x, y, z # & x) z $ x) y $ xy) z $ yz

@aab!

x’z & x) z " y $ y)# & x) yz $ x) y) z

x) y & x) y" z $ z )# & x) yz $ x) yz ) yz & yz " x $ x)# & xyz $ x) yz

f " x, y, z # & x) z $ x) y $ xy) z $ yz

& x) yz $ x) y) z $ x) yz $ x) yz ) $ xy) z $ xyz $ x) yz

& x) yz $ x) y) z $ x) yz ) $ xyz $ xy) z

>eta Karnau0h untuk fun0si tersebut adalah!

yz%% %1 11 1%

x % % 1 1 1

1 % 1 1 %

asil (en+ederhanaan! f " x, y, z # & z $ x) yz )




>eta Karnau0h untuk lima (eubah

%%% %%1 %11 %1% 11% 111 1%1 1%%

%% m% m1 m m2 m3 m6 m5 m'

%1 m7 m; m11 m1% m1' m15 m1 m12

11 m2' m25 m26 m23 m% m1 m2; m27

1% m13 m16 m1; m17 m22 m2 m21 m2%

Garis (en8erminan




Contoh 0.(". "4ontoh (en00unaan >eta 5 (eubah# 4arilah fun0si sederhana

dari f "!, w, x, y, z # & Σ "%, 2, ', 3, ;, 11, 1, 15, 16, 21, 25, 26, 2;, 1#

@aab!

>eta Karnau0h dari fun0si tersebut adalah!

xyz

%%

%

%%

1

%1

1

%1

%

11

%

11

1

1%

1

1%

%

!w

%%

1 1 1 1

%1 1 1 1 1

11 1 1 1 1

1% 1 1

@adi f "!, w, x, y, z # & wz $ !)w) z ) $ !y) z




Kondisi (on’t care

$abel 0."2

w x y z desimal

%%

%%

%

%

%

%1

1

1

1

11

1

1

%%

%%

1

1

1

1%

%

%

%

11

1

1

%%

11

%

%

1

1%

%

1

1

%%

1

1

%1

%1

%

1

%

1%

1

%

1

%1

%

1

%1

2

'

5

3

67

;

don’t care

don’t care

don’t caredon’t care

don’t care

don’t care

C t h 0 (0 Dib ik 9 b l 5 16 Mi i i i f i f d h




Contoh 0.(0. Diberikan 9abel 5.16. Minimisasi fun0si f sesederhana

mun0kin.

$abel 0."7

a b c d f "a, b, c, d #%%

%%

%%

%%1

111

1

11

1

%%

%%

11

11%

%%%

1

11

1

%%

11

%%

11%

%11

%

%1

1

%1

%1

%1

%1%

1%1

%

1%

1

1%

%1

11

%1

)

) )

) )

) ) )




@aab! >eta Karnau0h dari fun0si tersebut adalah!

cd%% %1 11 1%

ab

%%

1 % 1 %

%1 1 1 1 %

11 ) ) ) )

1% ) % ) )

asil (en+ederhanaan! f "a, b, c, d # & bd $ c)d ) $ cd




Contoh 0.(2. Minimisasi fun0si Boolean f " x, y, z # & x) yz $ x) yz ) $ xy) z ) $

y) z . Gambarkan ran0kaian lo0ikan+a.

@aab! Ran0kaian lo0ika fun0si f " x, y, z # sebelum diminimisasikan adalahse(erti di baah ini!

x y z

x H yz

x H yz H

xy H z H

xy H z




Minimisasi den0an >eta Karnau0h adalah seba0ai berikut!

yz%% %1 11 1%

x % % % 1 1

1 1 1 % %

asil minimisasi adalah f " x, y, z # & x) y $ xy).




Contoh 0.(. Berba0ai sistem di0ital men00unakan kode binary coded

decimal "B4D#. Diberikan 9abel 5.1; untuk kon=ersi B4D ke kode *xcess

seba0ai berikut!

$abel 0."4

Masukan B4D Keluaran kode *xcess

w x y z f 1"w, x, y, z # f 2"w, x, y, z # f "w, x, y, z # f '"w, x, y, z #

%

12

'

5

3

6

7;

%

%%

%

%

%

%

%

11

%

%%

%

1

1

1

1

%%

%

%1

1

%

%

1

1

%%

%

1%

1

%

1

%

1

%1

%

%%

%

%

1

1

1

11

%

11

1

1

%

%

%

%1

1

%%

1

1

%

%

1

1%

1

%1

%

1

%

1

%

1%

" # f " #




"a# f 1"w, x, y, z # yz%% %1 11 1%

wx %%

%1 1 1 1

11 ) ) ) )

1% 1 1 ) )

f 1"w, x, y, z # & w $ xz $ xy & w $ x" y $ z #

"b# f 2"w, x, y, z # yz%% %1 11 1%

wx %% 1 1 1

%1 1

11 ) ) ) )

1% 1 ) )

f 2"w, x, y, z # & xy) z ) $ x) z $ x) y & xy) z ) $ x)" y $ z #

"8# f"w x y z#




"8# f "w, x, y, z # yz%% %1 11 1%

wx %% 1 1

%1 1 1

11 ) ) ) )

1% 1 ) )

f "w, x, y, z # & y) z ) $ yz

"d# f '"w, x, y, z #

yz%% %1 11 1%

wx %% 1 1

%1 1 1

11 ) ) )

1% 1 ) )

f '"w, x, y, z # & z )

x y zw




x y zw

f

f '

f 2

f 1




Contoh 7.13

Minimisasi fun0si Boolean berikut "hasil (en+ederhanaan

dalam bentuk baku <> dan bentuk baku ><#!

f "w, x, y, z # & Σ "1, , 6, 11, 15#

den0an kondisi don’t care adalah d "w, x, y, z # & Σ "%, 2, 5#

> l i




>en+elesaian!

>eta Karnau0h dari fun0si tersebut adalah!

% % % 1 1 1 1 %

% %

% 1

1 1

1 %

) 1 1 )

% ) 1 %

% % 1

% % 1 %

%

y z

w x

asil (en+ederhanaan dalam bentuk <>

f "w, x, y, z # & yz $ w) z "<># "0aris (enuh#

dan bentuk baku >< adalah

f "w, x, y, z # & z "w) $ y# "><# "0aris (utus2#

M t d Q i




Metode Quine-

McCluskey Metode >eat Karnau0h tidak man0kus untuk

jumlah (eubah 3 "ukuran (eta semakin besar#.

Metode (eta Karnau0h lebih sulit di(ro0ram

den0an kom(uter karena di(erlukan (en0amatan=isual untuk men0identifikasi minterm-minterm

+an0 akan dikelom(okkan.

Metode alternatif adalah metode JuineM84luske+ . Metode ini mudah di(ro0ram.

Contoh 7 12




Contoh 7.12

<ederhanakan fun0si Boolean f "w, x, y, z # & Σ "%, 1, 2, 7, 1%, 11, 1', 15#.

>en+elesaian!"i# an0kah 1 sam(ai 5!

"a# "b# "8#

term w x y z term w x y z term w x y z

% % % % % √ %,1 % % % %,2,7,1% % %

%,2 % % % √ %,7,2,1% % %

1 % % % 1 √ %,7 % % % √

2 % % 1 % √ 1%,11,1',15 1 1

7 1 % % % √ 2,1% % 1 % √ 1%,1',11,15 1 1

7,1% 1 % % √

1% 1 % 1 % √

1%,11 1 % 1 √

11 1 % 1 1 √ 1%,1' 1 1 % √

1' 1 1 1 % √

11,15 1 1 1 √ 15 1 1 1 1 √ 1',15 1 1 1 √




"i# an0kah 3 dan 6!

minterm

Bentuk (rima % 1 2 7 1% 11 1' 15

√ %,1 × ×

√ %,2,7,1% × × × ×

√ 1%,11,1',15 × × × ×

? ? ? ? ? ?

√ √ √ √ √ √ √ √

Bentuk (rima +an0 ter(ilih adalah!

%,1 +an0 bersesuaian den0an term w) x) y

%, 2, 7, 1% +an0 bersesuaian den0an term x) z )

1%, 11, 1', 15 +an0 bersesuaian den0an term wy

<emua bentuk (rima di atas sudah men8aku( semua minterm dari fun0si Boolean semula. Den0an

demikian, fun0si Boolean hasil (en+ederhanaan adalah f "w, x, y, z # & w) x) y) $ x) z ) $ wy.

Contoh 7 17




Contoh 7.17

<ederhanakan fun0si Boolean f "w, x, y, z # & Σ "1,',3,6,7,;,1%,11,15#

>en+elesaian!

"i# an0kah 1 sam(ai 5!

"a# "b# "8#

term w x y z term w x y z term w x y z

1 % % % 1 √ 1,; % % 1 7,;,1%,11 1 %

' % 1 % % √ ',3 % 1 % 7,1%,;,11 1 %

7 1 % % % √ 7,; 1 % % √ 7,1% 1 % % √

3 % 1 1 % √

; 1 % % 1 √ 3,6 % 1 1

1% 1 % 1 % √ ;,11 1 % 1 √

1%,1 1 1 % 1 √

6 % 1 1 1 √

11 1 % 1 1 √ 6,15 1 1 1

11,15 1 1 115 1 1 1 1 √




"i# an0kah 3 dan 6

minterm

Bentuk (rima 1 ' 3 6 7 ; 1% 11 15

√ 1,; × ×

√ ',3 × ×

3,6 × ×

6,15 × ×

11,15 × ×

√ 7,;,1%,11 × × × ×

? ? ? ?

√ √ √ √ √ √ √

<am(ai taha( ini, masih ada dua minterm +an0 belum ter8aku( dalam bentuk (rima ter(ilih, +aitu 6 dan 15.

Bentuk (rima +an0 tersisa "tidak ter(ilih# adalah "3,6#, "6,15#, dan "11, 15#. Dari keti0a kandidat ini, kita (ilih bentuk (rima "6,15# karena bentuk (rima ini men8aku(minterm 6 dan 15 sekali0us.




minterm

Bentuk (rima 1 ' 3 6 7 ; 1% 11 15

√ 1,; × ×

√ ',3 × ×

3,6 × ×

√ 6,15 × ×

11,15 × ×

√ 7,;,1%,11 × × × ×

? ? ? ?

√ √ √ √ √ √ √ √ √

<ekaran0, semua minterm sudah ter8aku( dalam bentuk (rima ter(ilih. Bentuk (rima +an0 ter(ilih adalah!

1,; +an0 bersesuaian den0an term x) y) z

',3 +an0 bersesuaian den0an term w) xz )6,15 +an0 bersesuaian den0an term xyz

7,;,1%,11 +an0 bersesuaian den0an term wx)

Den0an demikian, fun0si Boolean hasil (en+ederhanaan adalah f "w, x, y, z # & x) y) z $ w) xz ) $ xyz $ wx).




atihan soal

1. Im(lementasikan fun0si f " x, y, z # & Σ "%, 3# dan

han+a den0an 0erban0 CACD saja.

2. Gunakan >eta Karnau0h untuk meran8an0

ran0kaian lo0ika +an0 da(at menentukana(akah sebuah an0ka desimal +an0

dire(resentasikan dalam bit biner meru(akan

bilan0an 0ena( atau bukan "+aitu, memberikan

nilai 1 jika 0ena( dan % jika tidak#.

<ebuah instruksi dalam sebuah (ro0ram adalah




. <ebuah instruksi dalam sebuah (ro0ram adalah

if A > B then writeln(A) else

writeln(B);

Cilai dan B +an0 dibandin0kan masin0masin0

(anjan0n+a dua bit "misalkan a1a2 dan b1b2#."a# Buatlah ran0kaian lo0ika "+an0 sudah disederhanakan

tentun+a# +an0 men0hasilkan keluaran 1 jika B atau

% jika tidak.

"b# Gambarkan kembali ran0kaian lo0ikan+a jika han+amen00unakan 0erban0 ++( saja "(etunjuk! 0unakan

hukum de Mor0an#



5. Buatlah ran0kaian lo0ika +an0 menerima

masukan duabit dan men0hasilkan

keluaran beru(a kudrat dari masukan.

<eba0ai 8ontoh, jika masukann+a 11 "

dalam sistem desimal#, maka keluarann+a

adalah 1%%1 "; dalam sistem desimal#.

Documents

Aljabar Boolean.ppt