Alja Barring

SAL Bagian 1

Antonius CP

Outline STRUKTUR ALJABAR LANJUT (Bagian 1)(Pengantar Teori Ring)

Antonius Cahya Prihandoko

Universitas JemberIndonesia

Prodi Pendidikan Matematika FKIPUniversity of Jember

Indonesia

Jember, 2009

SAL Bagian 1

Antonius CP

Outline

Disajikan oleh

SAL Bagian 1

Antonius CP

Outline

1 Ring

2 Integral Domain

3 Teorema Fermat dan Euler

4 Field Quotien dari Integral Domain

SAL Bagian 1

Antonius CP

Outline

1 Ring

2 Integral Domain

SAL Bagian 1

Antonius CP

Outline

1 Ring

2 Integral Domain

SAL Bagian 1

Antonius CP

Outline

1 Ring

2 Integral Domain

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Field Quotiendari IntegralDomain

Pengertian Ring

Pengertian

Sebuah ring [R,+, ] adalah sebuah himpunan R dengandua operasi biner, penjumlahan, +, dan perkalian, , yangdidefinisikan pada R, yang a,b, c R memenuhiaksioma-aksioma berikut :

1 a + b R2 a + (b + c) = (a + b) + c3 0 R, 3 a R, 0 + a = a + 0 = a4 a R, a R, 3 a + (a) = (a) + a = 05 a + b = b + a6 a b R7 a (b c) = (a b) c8 a (b + c) = (a b) + (a c), dan

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pengertian Ring

Pengertian

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pengertian Ring

Pengertian

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pengertian Ring

Pengertian

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pengertian Ring

Pengertian

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pengertian Ring

Pengertian

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pengertian Ring

Pengertian

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pengertian Ring

Pengertian

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pengertian Ring

Pengertian

(a + b) c = (a c) + (b c)

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Sifat-sifat Dasar Ring

Sifat Dasar

Jika R adalah ring yang memiliki identitas jumlahan 0, makaa,b R,

1 0a = a0 = 0,2 a(b) = (a)b = (ab),3 (a)(b) = ab.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Sifat Dasar

1 0a = a0 = 0,2 a(b) = (a)b = (ab),3 (a)(b) = ab.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Sifat Dasar

1 0a = a0 = 0,2 a(b) = (a)b = (ab),3 (a)(b) = ab.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Sifat Dasar

1 0a = a0 = 0,2 a(b) = (a)b = (ab),3 (a)(b) = ab.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Subring

Definisi

Sebuah subset S pada suatu ring R, disebut subring padaR jika S juga memenuhi semua aksioma ring.

Teorema Subring

Sebuah subset S pada suatu ring R disebut subring pada Rjika memenuhi :

1 a,b S, (a b) S;2 a,b S, ab S.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Subring

Definisi

Teorema Subring

1 a,b S, (a b) S;2 a,b S, ab S.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Subring

Definisi

Teorema Subring

1 a,b S, (a b) S;2 a,b S, ab S.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Subring

Definisi

Teorema Subring

1 a,b S, (a b) S;2 a,b S, ab S.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Unity dan Field

Unity

Sebuah ring yang operasi perkaliannya bersifat komutatifdisebut ring komutatif . Sebuah ring R yang memuatidentitas perkalian 1, sedemikian hingga 1a = a1 = a,a R, disebut ring dengan unity . Identitas perkaliandalam suatu ring disebut unity .

Field

Misalkan R adalah ring dengan unity. Sebuah elemen a Rdisebut unit jika a memiliki invers perkalian dalam R. Jikasetiap elemen tak nol dalam R merupakan unit, maka Rdisebut division ring . Division ring yang komutatif disebutfield . Division ring yang tidak komutatif disebut skew field .

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Unity dan Field

Unity

Sebuah ring yang operasi perkaliannya bersifat komutatifdisebut ring komutatif . Sebuah ring R yang memuatidentitas perkalian 1, sedemikian hingga 1a = a1 = a,a R, disebut ring dengan unity . Identitas perkaliandalam suatu ring disebut unity .

Field

Misalkan R adalah ring dengan unity. Sebuah elemen a Rdisebut unit jika a memiliki invers perkalian dalam R. Jikasetiap elemen tak nol dalam R merupakan unit, maka Rdisebut division ring . Division ring yang komutatif disebutfield . Division ring yang tidak komutatif disebut skew field .

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pembagi Nol

Definisi Pembagi Nol

Jika a dan b adalah dua elemen tak nol pada suatu ring Rsedemikian hingga ab = 0, maka a dan b disebut pembaginol

Pembagi Nol pada ZnPada ring Zn, pembagi nol adalah elemen-elemen yangtidak relatif prima terhadap n

Akibatnya

Jika p adalah prima, maka Zp tidak memiliki pembagi nol.

Hukum Kanselasi dan Pembagi Nol

Hukum kanselasi dapat diterapkan pada sebuah ring yangtidak memiliki pembagi nol.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pembagi Nol

Akibatnya

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pembagi Nol

Akibatnya

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Pembagi Nol

Akibatnya

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Integral Domain

Definisi

Sebuah ring komutatif dengan unity dan tidak memuatpembagi nol disebut integral domain

Field vs Integral Domain

Setiap field F merupakan integral domain. Dan setiapintegral domain berhingga merupakan field.

Akibatnya

Jika p prima, maka Zp merupakan suatu field.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Integral Domain

Definisi

Akibatnya

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Integral Domain

Definisi

Akibatnya

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Karakteristik Ring

Definisi

Karakteristik dari ring R adalah bilangan bulat positifterkecil sedemikian hingga a R, na = 0. Jika tidak adabilangan positif terkecil yang demikian maka dikatakanbahwa R berkarakteristik 0.

Teorema

Jika R adalah ring dengan unity 1, maka R berkarakteristikn > 0 jika hanya jika n merupakan bilangan positif terkecilsedemikian hingga n 1 = 0.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Karakteristik Ring

Definisi

Karakteristik dari ring R adalah bilangan bulat positifterkecil sedemikian hingga a R, na = 0. Jika tidak adabilangan positif terkecil yang demikian maka dikatakanbahwa R berkarakteristik 0.

Teorema

Jika R adalah ring dengan unity 1, maka R berkarakteristikn > 0 jika hanya jika n merupakan bilangan positif terkecilsedemikian hingga n 1 = 0.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Teorema Fermat

Jika a Z dan p adalah prima yang tidak membagi a, makap membagi ap1 1, yakni ap1 1 mod p untuk a 6= 0mod p.

Akibatnya

Jika a Z , maka ap a mod p untuk setiap p prima.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Teorema Fermat

Jika a Z dan p adalah prima yang tidak membagi a, makap membagi ap1 1, yakni ap1 1 mod p untuk a 6= 0mod p.

Akibatnya

Jika a Z , maka ap a mod p untuk setiap p prima.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Generalisasi Euler

Teorema Pengantar

Jika Gn adalah himpunan elemen-elemen tak nol dalam Znyang bukan pembagi nol, maka Gn membentuk grupterhadap operasi perkalian modulo n.

Teorema Euler

Jika a adalah sebuah bilangan bulat yang relatif primeterhadap n, maka a(n) 1 terbagi oleh n, yakni a(n) 1mod n.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Generalisasi Euler

Teorema Pengantar

Jika Gn adalah himpunan elemen-elemen tak nol dalam Znyang bukan pembagi nol, maka Gn membentuk grupterhadap operasi perkalian modulo n.

Teorema Euler

Jika a adalah sebuah bilangan bulat yang relatif primeterhadap n, maka a(n) 1 terbagi oleh n, yakni a(n) 1mod n.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Penerapan pada Masalah Kongruensi

Teorema 1

Misalkan m adalah bilangan bulat positif dan a Zm relatifprima terhadap m. Untuk setiap b Zm, maka persamaanax = b memiliki solusi tunggal dalam Zm.

Akibat 1

Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensiax b mod m memiliki solusi semua bilangan bulat dalamsatu kelas residu modulo m.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Penerapan pada Masalah Kongruensi

Teorema 1

Misalkan m adalah bilangan bulat positif dan a Zm relatifprima terhadap m. Untuk setiap b Zm, maka persamaanax = b memiliki solusi tunggal dalam Zm.

Akibat 1

Jika a dan m adalah bilangan bulat yang saling relatif prima,maka untuk setiap bilangan bulat b, kongruensiax b mod m memiliki solusi semua bilangan bulat dalamsatu kelas residu modulo m.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Penerapan Lanjutan

Teorema 2

Misalkan m adalah bilangan bulat positif dan a,b Zm.Misalkan fpb(a,m) = d . Persamaan ax = b akan memilikisolusi dalam Zm jika hanya jika d membagi b. Dan jika d |b,maka persamaan tesebut akan memiliki tepat d solusidalam Zm.

Akibat 2

Jika d = fpb(a,m) maka kongruenasi ax b mod m akanmemiliki solusi jika hanya jika d membagi b, dan solusinyaadalah semua bilangan bulat dalam d kelas residu modulom yang berbeda.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Penerapan Lanjutan

Teorema 2

Misalkan m adalah bilangan bulat positif dan a,b Zm.Misalkan fpb(a,m) = d . Persamaan ax = b akan memilikisolusi dalam Zm jika hanya jika d membagi b. Dan jika d |b,maka persamaan tesebut akan memiliki tepat d solusidalam Zm.

Akibat 2

Jika d = fpb(a,m) maka kongruenasi ax b mod m akanmemiliki solusi jika hanya jika d membagi b, dan solusinyaadalah semua bilangan bulat dalam d kelas residu modulom yang berbeda.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Konstruksi Field Quotien

Langkah 1

Misalkan D adalah integral domain. Bentuklah

S = {(a,b)|a,b D,b 6= 0}

Dua elemen (a,b) dan (c,d) dalam S dikatakan ekuivalen,dinotasikan (a,b) (c,d), jika hanya jika ad = bc.Sehingga sekarang S terbagi ke dalam kelas-kelasekuivalensi.

[(a,b)] = {(x , y)|(x , y) (a,b)}

Langkah pertama ini berakhir dengan pendefinisianhimpunan F :

F = {[(a,b)] |(a,b) S}

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Langkah 2

Operasi biner penjumlahan dan perkalian dalam Fdidefiisikan sebagai berikut :

[(a,b)] + [(c,d)] = [(ad + bc,bd)]

dan[(a,b)] [(c,d)] = [(ac,bd)]

Dapat ditunjukkan bahwa operasi-operasi tersebut adalahwell-defined dalam F .

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Langkah 3

Membuktikan bahwa F merupakan suatu field.

Langkah 4

Menunjukkan bahwa F dapat dipandang memuat D sebagaiintegral subdomain. Untuk mengerjakannya, harusditunjukkan adanya isomorphisma, i , dari D kepada sebuahsubdomain dari F .

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Langkah 3

Membuktikan bahwa F merupakan suatu field.

Langkah 4

Menunjukkan bahwa F dapat dipandang memuat D sebagaiintegral subdomain. Untuk mengerjakannya, harusditunjukkan adanya isomorphisma, i , dari D kepada sebuahsubdomain dari F .

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Field Quotien

Teorema

Pemetaan i : D F yang didefinisikan i(a) = [(a,1)],merupakan sebuah isomorphisma dari D dengan sebuahsubdomain dari F .

Resume

Setiap integral domain, D, dapat diperbesar untukmembentuk sebuah field F , sedemikian hingga setiapelemen F dapat diekspresikan sebagai sebuah quotiendari dua elemen D.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Field Quotien

Teorema

Pemetaan i : D F yang didefinisikan i(a) = [(a,1)],merupakan sebuah isomorphisma dari D dengan sebuahsubdomain dari F .

Resume

Setiap integral domain, D, dapat diperbesar untukmembentuk sebuah field F , sedemikian hingga setiapelemen F dapat diekspresikan sebagai sebuah quotiendari dua elemen D.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Ketunggalan

Field dan Field Quotien

Misalkan F adalah field quotien dari integral domain D, danL adalah sebarang field yang memuat D. Maka ada sebuahpemetaan : F L, dengan aturan (a) = a, untuk a D,yang merupakan isomorphisma dari F dengan sebuahsubfield L.

Akibat 1

Setiap field L yang memuat integral domain D, juga akanmemuat Field quotien dari D.

Akibat 2

Setiap dua field quotien dari sebuah integral domain Dadalah isomorphic.

SAL Bagian 1

Antonius CP

Ring

IntegralDomain

Teo Fermatdan Euler

Ketunggalan

Akibat 1

Akibat 2