ALGEBRASKE OSNOVE KOMPJUTERSKIH NAUKA

PMF U SarajevuOdsjek za matematikuALGEBARSKE OSNOVE KOMPJUTERSKE NAUKE

-SKRIPTA-ALGEBRASKE OSNOVE KOMPJUTERSKIH NAUKAPojam grupoida, polugrupe i grupe

Definicija: Neka je S neprazan skup, preslikavanje koje svakom paru (x,y) iz S pridruuje element iz S se naziva unutranja binarna kompozicija (ili binarna kompozicija ) na skupu S. Za skup S kaemo da je zatvoren u odnosu na .

Definicija: Algebarska struktura je neprazan skup S sa jednom ili vie binarnih operacija nad tim skupom.

Definicija: Grupoid je ureen par (S,), gdje je skup S zatvoren u odnosu na operaciju .

Definicija: Neka je (S,) grupoid. Za operaciju kaemo da je asocijativna ako i samo ako za svako a,b,cvrijedi jednakost(ab)c=a(bc).

Definicija: Ako je operacija asocijativna tada se grupoid (S,) naziva polugrupa.Definicija: Za operaciju kaemo da je komutativna ako za svako vrijedi jednakostab=ba.

U tom sluaju se (S,) naziva komutativni grupoid.Za elemente definiramo .

Definicija: Element se naziva lijevi neutralni element grupoida (S,) ako i samo ako za svako vrijedi

.

Element se naziva desni neutralni element grupoida (S,) ako i samo ako za svako vrijedi

.

Ako je e i lijevi i desni neutralni element grupoida tada se naziva neutralni element.

Tvrdnja: Ako u grupoidu postoje i lijevi idesni neutralni element tada su oni jednaki.Dokaz: Kako je e lijevi neutralni element uzimajui u definiciji x=e dobivamo da je . Slino kako je e desni neutralni element uzimajui u definiciji x=e dobivamo . Sada je to je i trebalo dokazati.Definicija: Neka je (S,) polugrupa sa neutralnim elementom e. Za element kaemo da ima lijevi inverzni element, ako i samo ako postoji element takav da . Za element kaemo da ima desni inverzni element, ako i samo ako postoji element takav da vrijedi . Tvrdnja: Ako u polugrupi sa neutralnim elementom e, elemenat a ima i lijevi i desni inverzni elemenat, tada su oni jednaki.

Dokaz: .Definicija: Za elemenat kaemo da je invertibilan ako postoji elemenat takav da je . Tada se element b naziva inverzni element elementa a.

Definicija *: Polugrupu sa neutralnim elementom e nazivamo grupa ako i samo ako je svaki elemenat iz S invertibilan.

Definicija : Grupa (S,) se naziva Abelova ili komutativna grupa ako je operacija komutativna na S.Invertibilni element u grupi (S,) elementa a se oznaava sa . Za elemente imamo da je , a ukoliko je (S,) Abelova grupa tada je i . Zaista,

,

.

Generalnije .Ako je S=Q, tada su i (Q,) i (Q,+) grupe. Iz tog razloga se za grupu koriste oznake (S,) i (S,+). U prvom sluaju kaemo da je grupa multiplikativna i tada se inverz elementa a oznaava sa a neutralni element se oznaava sa e ili sa 1 i naziva jedinini element ili jednostavno jedinica. U drugom sluaju kaemo da je grupa aditivna. U aditivnoj grupi se neutralni element se naziva nula i oznaava sa 0 a inverz elementa a se oznaava sa a. Napomenimo da je tada (a+b)=-b-a.

Neka je n prirodan broj. U multiplikativnoj grupi moemo posmatrati n ti stepen broja a definisan sa , to u aditivnoj grupi odgovara sumi .

Sada emo koristiti muliplikaciju da oznaimo binarnu operaciju u grupi (G,), a grupu emo jednostavno oznaavati sa G. Sada emo dati neto drugaiju definiciju grupe.

Definicija **: Neprazan skup G sa binarnom operacijom na G se naziva grupa ako vrijedi sljedee:

(i) a(bc)=(ab)c za sve .

(ii) Postoji element takav da ea=a za sve

.(iii) Za svako postoji element takav da aa=e.Moramo pokazati da su ove dvije definicije ekvivalentne.Ako skup G zadovoljava uslove Definicije* tada on zadovoljava uslove i Definicije **. Neka sada G zadovoljava uslove definicije **. Tada je zbog (i), G polugrupa.

Neka su a lijevi inverz od elementa a , a a lijevi inverz od elementa a. Tada je aa=e=aa. Odavde je

aa=eaa=aaaa=a(aa)a=aea=aa=e.

Dakle aje takoer i desni inverz od elementa a.

Moramo pokazati da je i e takoer desni neutrani element. Imamo ae=aaa=ea=a, za svako a iz G. Dakle definicije su ekvivalentne.Vrijedi sljedee:

Teorema: Polugrupa G je grupa ako i samo ako za sve a,b u G, svaka od jednaina ax=b i ya=b ima rjeenje.

Dokaz: Neka je G grupa. Mnoenjem

dobivamo rjeenje i

dobivamo rjeenje .

Predpostavimo sada da je G polugrupa i da jednaine imaju rjeenja za sve a, b u G. Specijalno za fiksno a jednaina ya=a ima rjeenje koje emo oznaiti sa y=e. Za proizvoljno b iz G jednaina ax=b ima rjeenje koje oznaavamo sa x0. Sada je eb=e(ax0)=(ea)x0=ax0=b. Dakle, e je lijevi neutralni elemenat za svako b iz G. Poto jednaina yb=e ima rjeenje za svako b, to svaki elementat iz G ima i lijevi inverz. Iz Definicije** slijedi da je G grupa.Za grupu ( ili polugrupu) kaemo da je konana ako je skup G konaan. Kardinalnost skupa G se naziva red grupe (polugrupe) G i oznaava se sa |G| ili Ako je skup G beskonaan tada kaemo da je grupa (polugrupa ) G beskonana.

Teorema: Konana polugrupa G je grupa ako i samo ako vrijede zakoni skraivanja za sve elemente iz G, tj.

i za sve

Dokaz: Ako je G grupa, tada zakoni skraivanja trivijalno vrijede ( mnoenje sa sa lijeva i desna). Predpostavimo sada da je G konana polugrupa i da vrijede zakoni skraivanja. Neka su a,b proizvoljni elementi iz G. Dokazaemo da jednaine ya=b i ax=b imaju rjeenja te po prethodnom teoremu slijedi da je G grupa. Neka je } , gdje su elementi meusobno razliiti. Posmatrajmo skup }. Tada . Ali zbog zakona skraivanja to znai da su elementi skupa H meusobno razliiti. Dakle, H ima n elemenata te je G=H. Sada i te postoji elemenat takav da je to znai da jednaina ax=b ima rjeenje. Dokaz za jednainu ya=b je slian, te je G grupa.Direktni proizvod grupaNeka je familija grupa. Tada je kartezijev proizvod grupa sa binarnom operacijom po koordinatama tj

gdje za . Ova grupa se naziva priozvod grupa i ponekad se oznaava sa . Jedinini element produkta je gdje su jedinini elementi grupa , a inverzni elemenat je dat sa

.

Homomorfizmi

Definicija: Neka su G,H grupe. Preslikavanje se naziva homomorfizam ako za sve

.

Ako je bijektivan tada se naziva izomorfizam sa G na H, i tada piemo GH. Ako je injektivno tada ga nazivamo monomorfizam ( ili izomorfizam sa G u H). Ako je sirjektivno, tada se naziva epimorfizam. Homomorfizam grupe G u samu sebe se naziva endomorfizam od G. Ako je bijektivni endomorzizam tada se naziva automorfizam od G.Teorema: Neka su G i H grupe sa jedinicama e i erespektivno, i neka je homomorfizam. Tada

(i)

(ii) za svako .

Dokaz: (i) Poto je homomorfizam imamo da je Skraivanjem slijedi .

(ii) . Dakle, .

Dakle homomorfizam ne samo da sauva operaciju grupe nego i jednini element preslika u jedinini elemenat, a inverz u inverz.

Definicija: Neka su G i H grupe, i homomorfizam. Jezgro (kernel) od se definie sa

Ker .Poto je , jezgro Ker nije prazan skup.

Teorema: Homomorfizam je injektivan ako i samo ako je

Ker ={e}.Dokaz: Neka je injektivan, i neka . Tada je , odakle injektivnost daje x=e. Dakle, Ker ={e}.Suprotno, neka je Ker ={e}. Tada

Ker . Dakle je injektivno.

Ako su i homomorfizmi ( izomorfizmi) grupa, tada je i njihova kompozicija takoe homomorfizam (izomorfizam). Dalje, ako je izomorfizam sa G na H tada je inverzno preslikavanje takoer izomorfizam. Svaka grupa je izomorfna samoj sebi ( identitet je izomorfizam) , te je izomorfizam relacija ekvivalencije.Podgrupe

Definicija: Neka je (G,) grupa, i H podskup od G. H se naziva podgrupa grupe G, to se oznaava sa H1 takav da su razliiti elementi u G i za neko i, , vrijedi . Sada je . Po predpostavci svi elementi su razliiti pa ako je i>0 imamo kontradikciju. Dakle i=0 i . Dakle, k je najmanji broj takav da je . Dalje oigledno vrijedi da je. Sa druge strane, za proizvoljni cio broj l postoje brojevi q i r takvi da je l=qk+r, gdje . Sada je . Dakle , tj . k=m. Ako je napisana kao priozvod disjunktnih ciklusa, npr. , gdje je ciklus od elemenata za svako i, tada je red elementa najmanji zajedniki djeljenik brojeva .Posljedica : Ako je G konana grupa, tada je neprazan podskup S od G podgrupa ako i samo ako implicira da je .Dokaz. Oigledno je da je uslov potreban. Da bi dokazali i da je dovoljan treba da pokaemo da . Indukcijom slijedi da S sadri sve stepene od s. Poto je G konana grupa to i s ima konaan red m. Dakle i .

Ako su G grupe, tada su G i {1} podgrupe od G. Grupa {1} se obino oznaava sa 1 i naziva se trivijalna podgrupa od G. Ako je H razliito od 1 i G podgupa od G tada se H naziva prava podgrupa od G i to se oznaava sa H