Embed Size (px)
Citation preview
Univerza v LjubljaniPedago²ka fakulteta
Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo
Tadej Star£i£
NALOGE IZ MATEMATIKE ZA FIZIKE INTEHNIKE Z RE�ITVAMI
U£no gradivo
Ljubljana, 2017
Predgovor
Matemati£ni koncepti in metode so nujno potrebni pri ²tudiju vsehnaravoslovnih ved, ²e posebej �zike, kemije in tehnike. Njihovo razumevanjepa se lahko poglobi le z re²evanjem nalog.
Pred vami je zbirka, ki zajema naloge o realnih funkcijah ene spremen-ljivke s poudarkom na odvodu in integralu, osnove o vektorjih v trorazseºnemprostoru in o matrikah, ter diferencialni in integralni ra£un funkcij ve£ real-nih spremenljivk. Veliko nalog je povezanih prav z naravoslovnimi vedami,s £imer se ºeli posebej opozoriti na njihovo tesno povezanost z matematiko.Prav na koncu so dodane ²e re²itve, ve£inoma v obliki rezultatov in uporabnihnasvetov.
Zbirka bo zelo prav pri²la ²tudentom Pedago²ke fakultete, ²tudijskegaprograma dvopredmetnega u£itelja �zike, tehnike, ali ra£unalni²tva, ki v pr-vem letniku ²tudija poslu²ajo predmet Tehni²ka matematika. Ve£ina nalog seje re²evala prav na vajah, seminarjih, izpitih in kolokvijih pri tem predmetuv ²tudijskih letih od 2008/09 do 2015/16. Koristna pa bo tudi za ²tudentedrugih fakultet, kjer obravnavajo podobne vsebine.
Pa obilo uspeha pri re²evanju!
Ljubljana, marec 2017 dr. Tadej Star£i£
Kazalo
1 Realne funkcije ene spremenljivke 4
1.1 Elementarne funkcije, limite in zveznost, ter primeri iz �zike . 41.2 Odvod in osnovne lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Uporaba odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Nedolo£eni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Dolo£eni integral in uporaba integrala v �ziki in geometriji . . 141.6 Uporaba integrala pri re²evanju diferencialnih ena£b 1. reda . 17
2 Vektorji in matrike 20
2.1 Vektorji v trorazseºnem prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Osnovne matri£ne operacije in lastnosti matrik . . . . . . . . . 222.3 Uporaba matrik pri re²evanju sistemov linearnih ena£b . . . . 27
3 Realne funkcije ve£ spremenljivk 30
3.1 Osnovne lastnosti in zveznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Parcialni odvodi ekstremi funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Mnogoterni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.4 Uporaba mnogoternega integrala v �ziki in geometriji . . . . . 34
4 Re²itve 36
4.1 Realne funkcije ene spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.1 Elementarne funkcije, limite in zveznost, ter primeri iz
�zike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1.2 Odvod in osnovne lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.3 Uporaba odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.4 Nedolo£eni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1.5 Dolo£eni integral in uporaba integrala v �ziki in geo-
metriji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.6 Uporaba integrala pri re²evanju diferencialnih ena£b 1.
reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Vektorji in matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.1 Vektorji v trorazseºnem prostoru . . . . . . . . . . . . 484.2.2 Osnovne matri£ne operacije in lastnosti matrik . . . . . 504.2.3 Uporaba matrik pri re²evanju sistemov linearnih ena£b 53
4.3 Realne funkcije ve£ spremenljivk . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.1 Osnovne lastnosti in zveznost . . . . . . . . . . . . . . 544.3.2 Parcialni odvodi in ekstremi funkcij . . . . . . . . . . . 554.3.3 Mnogoterni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.4 Uporaba mnogoternega integrala v �ziki in geometriji . 59
3
1 Realne funkcije ene spremenljivke
1.1 Elementarne funkcije, limite in zveznost, ter primeri
iz �zike
1. Dan naj bo graf neke funkcije, ki jo ozna£imo z f . Ugotovi, kako izgledagraf funkcije g in ga skiciraj, £e je:
(a) g(x) = f(x− 1) + 2,
(b) g(x) = 3f(12x),
(c) g(x) = f(−x),
(d) g(x) = −f(x)
(e) g(x) = −f(−x),
(f) g(x) = f−1(x), £e obstaja.
2. Dane so poten£ne funkcije:
(a) f(x) = 2x5,
(b) f(x) = x−4 − 1,
(c) f(x) =√x+ 1,
(d) f(x) = 5 3√x,
(e) f(x) = x32 + 1,
(f) f(x) = 25√x .
Za vsako od na²tetih funkcij dolo£i de�nicijsko obmo£je in ugotovi,ali je soda, ali liha, ali ni£ od tega. �imbolj natan£no nari²i ²e grafefunkcij.
3. Dane so funkcije, ki predstavljajo
(a) kako temperaturo TC , izmerjeno v stopinjah Celzija, pretvorimov temperaturo TF v stopinjah Fahrenheita. (Temperaturo v sto-pinjah Fahrenheita dobimo, £e temperaturo v stopinjah Celzijapomnoºimo z 9
5in pri²tejemo 32.)
(b) gostoto zvo£nega toka j(r) = P4πr2
v odvisnosti od oddaljenosti rod zvo£nika, ki oddaja z mo£jo P = 100W.
(c) povr²ino valja z vi²ino 3 v odvisnosti od radija.
(d) maso v teoriji relativnosti m(v) = m0√1− v2
c2
, kjer je m0 masa v mi-
rovanja in c = 3 · 108m/s hitrost svetlobe v vakuumu.
(e) prostornino ²katle v odvisnosti od x, kjer iz papirja pravokotneoblike dolºine 8dm in ²irine 6dm naredimo ²katlo tako, da privogalih izreºemo kvadratke s stranico x ter preostanke zavihamonavzgor in zlepimo.
4
(f) £as padanja jabolka v odvisnosti od vi²ine, s katere pade jabolko,£e predpostavimo, da jabolka z drevesa prosto padajo proti tlemin zra£ni upor zanemarimo.
Zapi²i eksplicitne predpise danih funkcij, kjer manjkajo, ter skicirajnjihove grafe. Katere funkcije pa nam opi²ejo obratno odvisnost danihkoli£in? Inverzne? Kdaj obstajajo? Zapi²i jih, £e je to mogo£e.
4. Dolo£i de�nicijsko obmo£je, izra£unaj ni£le, pole in asimptote nasle-dnjih funkcij ter skiciraj njihove grafe:
(a) f(x) = −2x2 + 5x+ 3,
(b) f(x) = x3 − 3x+ 2,
(c) f(x) = (x+3)3(x−1)2(x−3),
(d) f(x) = 2x−3x2−2x−3 ,
(e) f(x) = x2+2x+1x2−16 ,
(f) f(x) = 3(x−1)2(x2−4)x3+2x2+x
.
5. Dolo£i de�nicijsko obmo£je in nari²i grafe naslednjih funkcij (pole alivodoravne asimptote ustrezno ozna£i):
(a) f(x) = 2x,
(b) f(x) = 3x−2 − 1,
(c) f(x) = (12)x + 1,
(d) f(x) = ex+e−x
2(veriºnica),
(e) f(x) = 2 ln(x),
(f) f(x) = log 12(x+ 1).
6. V letu 2000 so v nekem naravnem okolju na²teli 900 sokolov. V vsakemnaslednjem letu je nato ²tevilo sokolov naraslo za 6%. Kolik²na bo popri£akovanju populacija sokolov v letih 2020 in 2030, £e upo²teva², danara²£a eksponentno (linearno)?
7. Jakost potresnih sunkov lahko merimo po Richterjevi lestvici. Potres,ki je 105-krat mo£nej²i od majhnega, komaj ²e zaznavnega potresa, imapo Richterjevi lestvici stopnjo 5. V splo²nem ima potres, ki je n-kratmo£nej²i od komaj zaznavnega potresa, stopnjo log10(n). Kolikokratmo£nej²i so potresi stopnje 8 od potresov stopnje 4.
8. Poi²£i de�nicijska obmo£ja, ni£le, periode, pole, asimptote, periode,to£ke lokalnih minimumov oziroma maksimumov, ter nari²i grafe na-slednjih funkcij:
(a) f(x) = cos(x),
(b) f(x) = 2 sin(x− π6),
(c) f(x) = − cos(x2) + 1
2,
(d) f(x) = tan(x) + 1,
(e) f(x) = arcsin(x),
(f) f(x) = π4
+ arctan(x),
5
9. Majhna kroglica na dolgi vrvici niha okrog ravnovesne lege z nihajnim£asom t0 = 1s (frekvenco ν = 1s−1) in amplitudo s0 = 20cm. Odmiks od ravnovesne lege predstavlja funkcija s(t) = s0 sin(ω0t), kjer jeω0 = 2πν. Zapi²i ²e funkcijo, ki predstavlja nihanje z dvakrat manj²oamplitudo in dvakrat ve£jo frekvenco. Nari²i oba grafa funkcij.
10. Gladina vode v nekem kraju ob morski obali je zaradi plimovanja obrazli£nih £asih dneva razli£na. Med oseko je gladina vode najmanj 2m,med plimo pa najve£ 6m. Oseka nastopi vsakih 12 ur. S sinusno funk-cijo modeliraj gladino morja v odvisnosti od £asa, t.j. dolo£i parametrefunkcije y(t) = A sin(at+ b) +B. Skiciraj ²e graf funkcije.
11. Re²i naslednje ena£be:
(a) 4x − 2x+1 − 8 = 0,
(b) log2(x+ 1) + log2(x) = 1.
(c) sin(x) = 12,
(d) arctan( xx+1
) = −1.
12. Dano je zaporedje an = 1 + 2n.
(a) Ugotovi, od kod naprej se £leni zaporedja od 1 razlikujejo za manjkot 1
100.
(b) Za poljuben ε > 0 poi²£i tak N (odvisen od ε), da bo |an− 1| < εza n > N . Odtod sklepaj na limn→∞ an = 1. Utemelji.
13. Izra£unaj naslednje limite:
(a) limn→∞−3n+22n+1
,
(b) limn→∞2n2−n−2n2+n+2
,
(c) limn→∞1+n+
√2n2+1
1+2n,
(d) limn→∞(−12)n,
(e) limn→∞n2
2n,
(f) limn→∞3n+n2
3n+n,
(g) limn→∞(1 + 2n)n,
(h) limn→∞(1− 34n
)5n+1,
14. Dana naj bo funkcija f(x) = 41+x
.
(a) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(0, 9), f(0.99), f(0.999), . . .? Kajpa vrednosti f(1.001), g(1.01), g(1.1), . . .?
(b) Za koliko najve£ se vrednost f(x) razlikuje od vrednosti f(1) = 2,£e je x ∈ [0.8, 1.1]. (Nasvet: Upo²tevaj, da je funkcija na temintervalu padajo£a.)
(c) Za najve£ koliko se lahko x razlikuje od 1, da se bo vrednost f(x)zagotovo razlikovala od f(1) = 2 za manj kot 1
100.
6
(d) Za najve£ koliko se lahko x razlikuje od 1, da se bo vrednostf(x) zagotovo razlikovala od f(1) = 2 za manj kot ε. Spomni sena de�niciji zveznosti in limite funkcije f(x) v to£ki x = a, terugotovi, ali je f zvezna v x = 1 oziroma ali obstaja limx→1 f(x).
(e) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(10), f(100), f(1000), . . .? Kajpa vrednosti f(−10), f(−100), f(−1000), . . .?
(f) Najmanj kako velik mora biti x, da se bo vrednost f(x) razlikovalaod 0 za manj kot 1
100.
(g) Kako velik mora biti x, da se bo vrednost f(x) razlikovala od 0 zamanj kot ε. Dolo£i limx→∞ f(x), £e obstaja.
(h) Dolo£i limx→−∞ f(x), £e obstaja.
(i) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(−0, 9), f(−0.99), f(−0.999), . . ..Kateri vrednosti pa se pribliºujejo vrednosti f(−1.1), f(−1.01),f(−1.001), . . .? Koliko je limx→−1− f(x)? Kaj pa limx→1+ f(x)?Odgovora utemelji.
15. Kamnosek izdeluje kvadratne kamnite plo²£e s plo²£ino 1dm2. Za naj-ve£ koliko se lahko zmoti pri dolºini plo²£e, da bo plo²£ina plo²£e odsto-pala za najve£ 1%. Za najve£ koliko pa se lahko zmoti, da bo napakanajve£ 0, 1%. Ali je lahko napaka poljubno majhna, £e znamo izdelovatipoljubno natan£no? Kaj pa, £e izdeluje kockaste tlakovce z volumnom1dm3?
16. (a) Dana je funkcija g(x) = sin(2x)x
. Kateri vrednosti se pribliºujejovrednosti g(0.1), g(0.01), g(0.001), . . .? Ali je ta vrednost limitafunkcije g, ko gre x→ 0? Odgovor utemelji.
(b) Ali je graf funkcije
h(x) =
{sin(2x)x
, x 6= 05, x = 0
sklenjen? Kako bi popravil predpis funkcije, da bi bil graf skle-njen?
17. Zapi²i primer funkcije, ki je de�nirana na intervalu [−1, 1], limita tefunkcije v to£ki x = 0 pa ne obstaja.
18. Dolo£i de�nicijska obmo£ja in razi²£i obna²anje funkcij na robu njihovihde�nicijskih obmo£ij, poi²£i asimptote, £e obstajajo:
7
(a) f(x) =√x2 − 1,
(b) f(x) = ln(x3 + 1),
(c) k(x) = xe−x,
(d) f(x) = 2x+1x−1 ,
(e) f(x) = x3−x2−x+1x2+x+1
,
(f) f(x) = arctan(2x+ 3),
(g) f(x) = arctan( 1x),
(h) f(x) = sin(x)x
.
(Opomba: Funkcija A(x) je asimptota funkcije f(x) v ±neskon£nosti(t.j. x→ ±∞), £e je limx→±∞(f(x)− A(x)) = 0.
19. Izra£unaj naslednje limite:
(a) limx→−1x2−1x+1
,
(b) limx→−1x2−x−2x2−2x−3 ,
(c) limx→1x3−1x2−1 ,
(d) limx→1(1
x−1 −2
x2−1),
(e) limx→0sin(x)2x
,
(f) limx→0−3x
sin(4x),
(g) limx→0sin(3x)sin(2x)
,
(h) limx→02x2
sin2(5x),
(i) limx→01−cos2(x)
x2,
(j) limx→0tan(2x)
x,
(k) limx→0(1 + x)2x ,
(l) limx→0(1 + 3x)2x ,
(m) limx→0ln(1+x)
x,
(n) limx→∞2x−2x+2
,
(o) limx→∞3x2+x−14x2−x+2
,
(p) limx→∞−2x2+3x−13x2+x−2 ,
(q) limx→∞
√x2
1+2x2,
(r) limx→−∞x+4√1+x2
,
(s) limx→∞2x
3x,
(t) limx→∞3x
2x,
(u) limx→∞x3+12x
,
(v) limx→∞3x+x3
3x+2x,
(w) limx→∞(1 + 12x
)3x,
(x) limx→−∞(1− 2x)2x.
20. Dani sta funkciji:
f(x) =
{x+ 2, x < −1x2, −1 ≤ x
, g(x) =
x+ 3, x < −2x2, −2 ≤ x < 12− x, x ≥ 1
.
Poi²£i limx→−1− f(x), limx→−1+ f(x), limx→−1 f(x), ter limx→−2+ g(x),limx→−2− g(x), limx→−2 g(x), limx→1+ g(x) in limx→1− g(x). Ali je ka-tera funkcija zvezna (t.j njen graf je sklenjen) povsod? Nari²ite ²e grafafunkcij.
8
21. Za katera realna ²tevila a, b ∈ R je funkcija
f(x) =
x− b, x > 1ax2, 1 ≥ x ≥ −14 + 1
x, x < −1
zvezna na vsej realni osi?
22. Zapi²i primer funkcije, ki je de�nirana na intervalu [0,∞), ter imaneskon£no to£k nezveznosti.
23. (a) Gostota zraka v atmosferi se z vi²ino spreminja. Ali zvezno?
(b) Sredstvo A ima lomni koli£nik n1, sredstvo B pa lomni koli£nikon2. Ali se lomni koli£nik pri prehodu iz sredstva A v sredstvo Bspremeni zvezno?
24. Z besedami opi²i metodo bisekcije in nato utemelji, zakaj imajo funkcijani£le na danih intervalih, ter jih opisano metodo poi²£i (napravi vsaj²tiri korake):
(a) f(x) = x4 − 2, x ∈ [1, 2],
(b) f(x) = x3 + 2x2 − 1, x ∈ [0, 1],
(c) g(x) = x3 + 2x− 1, x ∈ [0, 1],
(d) f(x) = x− cosx, x ∈ [0, π2].
1.2 Odvod in osnovne lastnosti
1. Zapi²i natan£no de�nicijo odvoda funkcije f(x) v poljubni to£ki x = ain po de�niciji izra£unaj odvode:
(a) f(x) = 2x3 + 2x+ 1 v to£ki x = 1,
(b) f(x) =√x v to£ki x = 2,
(c) f(x) = 12x+1
v to£ki x = 0.
2. Pot, ki jo v £asu t opravi avto A, opi²emo s funkcijo s1(t) = t2
2, pot
avtomobila B pa opi²emo z s2(t) = 20√t+ 1.
(a) Izra£unaj prva dva odvoda funkcij s1 in s2, ter ugotovi, kaj nampovesta? Kolik²en je pospe²ek v £asu t = 9? Kdaj bo hitrostenaka 10.
9
(b) Kdaj hitrosti oziroma pospe²ki nara²£ajo?
3. Zapi²i pravila za odvajanje produkta f(x) · g(x), kvocienta f(x)g(x)
terkompozituma (f ◦ g)(x) = f(g(x)) dveh odvedljivih funkcij f in g, terodvajaj naslednje funkcije:
(a) y = 2x4 − x−1 + 2x−3 + x12 ,
(b) y = x4 + 2x−3 + x12 + 2,
(c) y = 1x− 3
x2+ 3√x− 3√
x,
(d) y = 3 sin x+ 4 cosx,
(e) y = 3ex − 2x + 3 lnx,
(f) y = ch(x),
(g) y = xex,
(h) y = (x+ 2) log x,
(i) y = (x2+cosx)(arcsinx+x3),
(j) y = ex
lnx,
(k) y = 2x2+1sinx
,
(l) y = arctanxx2
,
(m) y = tanx,
(n) y = sin(6x),
(o) y = arctan(2x) + e2x,
(p) y = (1 + x2)20,
(q) y = 3√
2x+ 1,
(r) y = log(3x2 − 1),
(s) y = ln(x2 + 3) arctan(3x),
(t) y =sin(3x+π
2)
x2+e2x,
(u) y = 3√
ln(4ex + x5).
(v) y = xx.
4. Ali je funkcija
g(x) =
2x− 1, x > 1x2, −1 ≤ x < 12 + x, x ≤ −1.
odvedljiva (zvezno) v to£kah x = 1 oziroma x = −1?
5. Zra£ni tlak blizu povr²ja pada priliºno za 120Pa na 10m, pod morskogladino pa pada tlak za 100kPa na 10m. Ali se zra£ni tlak od vi²ine1km nad povr²jem do 100m pod morsko gladino spreminja gladko?
6. Zapi²i primer povsod zvezne funkcije na intervalu, ki ni odvedljiva vneskon£no mnogo to£kah.
7. Dani sta funkciji
(a) f(x) = x2 − x− 2, (b) f(x) = x3.
• Dolo£i tangento na graf funkcije v to£kah (0, y0) ali (1, y1). Podkak²nim kotom ta tangenta seka x-os? Ali katera izmed tangentna graf funkcije seka x-os pod kotom π
4?
10
• Poi²£i tudi vse tangente na graf funkcije g, ki so vzporedne pre-mici y = 9x − 2, t.j. poi²£i vsaj eno tangento na graf funkcije skoe�cientom 9, £e le-ta obstaja.
• Poi²£i tangento na graf funkcije, ki gre skozi to£ko (0, 0), t. j.oblike y = kx.
8. Natan£no napi²i izjavi Rolleovega in Lagrangeovega izreka, ter poi²£iprimer njune uporabe.
9. Razloºi, kako s pomo£jo odvoda poi²£emo stacionarne to£ke odvedljivefunkcije f(x). Kako lahko ugotovimo, ali je v stacionarni to£ki doseºenlokalni minimum, lokalni maksimum ali prevoj? (Ali to deluje vedno?)Svojo razlago nato utemelji ²e na primerih:
(a) f(x) = x3 − 3x+ 1,
(b) f(x) = 32x4 − 8x3 + 12x2 − 2,
(c) f(x) = x3e−x,
(d) f(x) = x− sin(2x).
10. Natan£no opi²i strategijo iskanja globalnih ekstremov za odvedljivofunkcijo f(x), de�nirano na intervalu, ter dolo£i globalni maksimumin minimum funkcije:
(a) f(x) = x3 − 3x+ 2, x ∈ [−32, 3],
(b) f(x) =√x(2− x), x ∈ [0, 2),
(c) f(x) = (x2 + 3x+ 1)ex, x ∈ [−5, 0],
(d) f(x) = x+ cos(2x), x ∈ [0, 2π].
1.3 Uporaba odvoda
1. Zapi²i ²tevilo 2017 kot vsoto dveh pozitivnih realnih ²tevil, da bo njunprodukt najve£ji.
2. �tevilo 4 zapi²i kot vsoto dveh nenegativnih realnih ²tevil, da bo vsotakuba prvega ²tevila in kvadrata drugega ²tevila minimalna.
3. V polkrog z radijem 1 v£rtaj pravokotnik z maksimalno plo²£ino.
4. Iz 10 metrov ºice naredimo model pokon£ne pravilne tristrane prizme.Dolo£i dolºino roba osnovne ploskve in dolºino vi²ine, da bo prostorninaprizme maksimalna. Odgovor utemelji!
11
5. V neki tovarni izdelujejo zaboje (brez pokrova) iz hrastovega lesa, kiso oblike kvadra z volumnom 2m3. (Debelino sten in dna zaboja zane-marimo.)
(a) Zapi²i funkcijo, ki predstavlja povr²ino (brez pokrova) zaboja skvadratno osnovno ploskvijo v odvisnosti od ene stranice. Izra£u-naj tudi, kak²ne naj bodo dimenzije zaboja, da bo njegova izde-lava najcenej²a. Kaj pa,£e morata biti dimenziji osnovne ploskvev razmerju 1 : 2?
(b) V tovarni izdelujejo tudi tanke pokrove za zaboje iz bukovega lesa.Poi²£i funkcijo, ki predstavlja ceno zaboja s pokrovom v odvisnostiod stranice zaboja, £e je cena tanke hrastovine 8 EUR/m2, cenatanke bukovine pa 4 EUR/m2. Izra£unaj, pri kak²nih dimenzijahzaboja s kvadratnim dnom bodo stro²ki materiala minimalni.
6. Kaj je L'Hospitalovo pravilo? Kdaj ga lahko uporabi²? S pomo£joL'Hopitalovega pravila izra£unaj naslednje limite, £e se da:
(a) limx→0arctanx
x,
(b) limx→0ln(1+x)arctan(x)
,
(c) limx→0arcsin(2x)ln(1+x)
,
(d) limx→0arctan(3x)sin(2x)
,
(e) limx→0x2
ex,
(f) limx→0x
cosx.
7. Dane so funkcije:
(a) f(x) = x4 − 6x2 + 8x+ 4,
(b) f(x) = x√
1− x2,(c) h(x) =
√x−1x−1 ,
(d) f(x) = 5e3x
2x+5,
(e) f(x) = (x2 − 2x− 1)e12x,
(f) f(x) = ln(2x− 1)− 3x,
(g) f(x) = ln(x)x
,
(h) f(x) = 2 arctan(x)− x.
• Danim funkcijam dolo£i de�nicijsko obmo£jeDf , pole, ni£le, asimp-toto, lokalne ekstreme, intervale nara²£anja ter padanja, zalogovrednosti, ter nari²i njihove grafe.
• Dolo£i tudi intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje danihfunkcij.
8. Z Newtonowo tangentno metodo (napravi vsaj ²tiri korake):
(a) poi²£i pribliºek za√
560.
(b) pribliºno re²i ena£bo cosx = x.
12
(c) poi²£i pribliºek za ni£lo g(x) = x3 + 2x+ 2 na intervalu [−2, 0].
(Nasvet: Pribliºke izra£unamo po rekurzivni formuli xn+1 = xn− f(xn)f ′(xn)
.)
1.4 Nedolo£eni integral
1. Natan£no opi²i, kaj pomeni, da je funkcija F nedolo£eni integral funk-cije f . Ali ima funkcija lahko ve£ nedolo£enih integralov? Odgovor ute-melji. Nedolo£ena integrala katerih funkcij sta funkciji F (x) = x sin(x)in G(x) = x2ex?
2. Izra£unaj naslednje nedolo£ene integrale:
(a)∫
(2x3 + x32 + 3x−
12 + 4)dx,
(b)∫
( 3√x− 3√
x+ 1
x− 3
x2)dx,
(c)∫
(2x−2 − e2x)dx,
(d)∫
(3 sin(2x) + 4 cosx)dx,
(e)∫
31+x2
dx,
(f)∫
1√1−4x2dx.
3. Natan£no opi²i pravilo zamenjave spremenljivke v nedolo£enem inte-gralu in izra£unaj naslednje nedolo£ene integrale:
(a)∫
(2x+ 1)15dx,
(b)∫
3x cos(x2 + 3π4
)dx,
(c)∫
cos√x√
x,
(d)∫x 3√x2 + 1dx,
(e)∫
x2√1+x3
dx,
(f)∫xe−x
2dx,
(g)∫ √ln(x)+1
xdx,
(h)∫ (lnx)3+1
x(lnx)dx,
(i)∫
(sin(x) + 2)5 cos(x)dx,
(j)∫ sinx( 3√cosx+(cosx)2)
cosxdx,
(k)∫
sinx1+cos2(x)
dx,
(l)∫
sinx cosx3√1+cosx
dx.
4. Natan£no opi²i pravilo integracije 'per-partes' in izra£unaj naslednjeintegrale:
(a)∫x sin(2x)dx,
(b)∫
(2x− 3) cos(5x)dx,
(c)∫
3x cos(5x+ 2π3
)dx,
(d)∫
(2x2 + 1) sin(x)dx,
(e)∫
(x+ 1)e−3xdx,
(f)∫
(3x2 + x− 2)exdx,
(g)∫
(x2 − 3x+ 1) ln(x)dx,
(h)∫
(x4 + 2x) lnxdx.
5. Izra£unaj nedolo£ene integrale naslednjih racionalnih funkcij:
13
(a)∫
2x3+2x+1x−1 dx,
(b)∫
x4+2x2+2x+1x−2 dx,
(c)∫
x2+2x−1x2+1
dx,
(d)∫
2x−3x2−2x−3dx,
(e)∫
x2+x+1x2−x−2dx,
(f)∫
x2+9x+2(x−1)2(x+3)
dx,
(g)∫
dx2+8x2
,
(h)∫
4xx2+1
dx,
(i)∫
4x+3x2+2x+2
dx,
(j)∫ −x2+2x−2
x(x2+1)dx.
1.5 Dolo£eni integral in uporaba integrala v �ziki in
geometriji
1. Dana je funkcija
(a) f(x) = −3x+ 1,
(b) f(x) = x3.
• Naj bo D: 0 < 13< 1
2< 3
4< 2 delitev intervala [0, 1]. Zapi²i
zgornjo in spodnjo Darbouxjevo vsoto funkcije f za dano delitevD, ter ju izra£unaj. Kaj geometrijsko predstavljata vsoti?
• Naj bo ²e D′: 0 < 14< 1
3< 1
2< 2
3< 3
4< 1 delitev intervala [0, 1].
Zapi²i zgornjo in spodnjo Darbouxjevo vsoto funkcije f pri danidelitvi, ter ju primerjaj z Darbouxjevima vsotama delitve D.• Za poljuben n ∈ N naj bo Dn: 0 < 1
n< 2
n< . . . < n−1
n< 1 delitev
intervala [0, 1]. Zapi²i zgornjo Darbouxjevo vsoto S(Dn, f) in spo-dnjo Darbouxjevo vsoto s(Dn, f) funkcije f pri dani delitvi Dn, juizra£unaj, ter odtod dolo£i limn→∞ S(Dn, f) in limn→∞ S(Dn, f),£e obstajata?
• Direktno po de�niciji (t.j. s pomo£jo Darbouxjevih vsot) pokaºi,da je funkcija f integrabilna oziroma dolo£i
∫ 1
0f(x)dx. Kaj ge-
ometrijsko predstavlja? (Nasvet: Upo²tevaj, da veljata formuli∑nj=1 j = n(n+1)
2,∑n
j=1 j3 = n2(n+1)2
4.)
14
2. Zapi²i de�nicijo nedolo£enega in (na kratko) de�nicijo dolo£enega in-tegrala. Kako sta oba integrala povezana (osnovni izrek integralskegara£una)? Izra£unaj naslednja dolo£ena integrala:∫ 3
2
2xdx,
∫ √30
xdx√1 + x2
.
3. Natan£no napi²i izjavo osnovnega izreka integralskega ra£una in povej,koliko je odvod danih funkcij v to£ki x = 3π/2:
F (x) =
∫ x
1
sin t
t, G(x) =
∫ x
0
e−t2
dt.
4. Avtomobila A in B v £asu t = 0 mirujeta, nato pa hitrost avta A vodvisnosti od £asa t ∈ [1, 20] (v s) opi²emo s funkcijo vA(t) = 6
√t+ 1
(v m/s), pospe²ek avta B pa z aB(t) = cos(πx). Kako se v odvisnostiod £asa spreminjata poti avtomobilov? Na prevoºeni poti avtomobilovpredstavi osnovni izrek integralskega ra£una. Kolik²no pot prevozitaavtomobila med tretjo in osmo sekundo? Kolik²na je njuna povpre£nahitrost v tem £asu?
5. Koliko dela moramo opraviti, £e ºelimo iz£rpati vodo iz bazena v oblikistoºca z globino 5 metrov in radijem 7 metrov.
6. Povej, kako de�niramo izlimitirani integral∫∞af(x)dx funkcije f na
intervalu [a,∞) in izra£unaj integral∫∞axe−x
2dx.
7. Natan£no razloºi, kaj geometrijsko predstavlja dolo£eni integral funk-cije f na intervalu [a, b], oznaka
∫ baf(x)dx, ter izra£unaj plo²£ino lika,
ki ga omejujejo krivulje z ena£bami:
15
(a) y = 4√x, x = 2, y = 0.
(b) y = x2 + x− 2, x-os,
(c) y = e−x, x = −1, y = 1,
(d) f(x) = x3 − 3x+ 1, y = −1,
(e) y = x2 − 1, y = −x+ 1,
(f) y = x3x2+2
, x = 1, x = 2, x-os,
(g) y =√x, y = 1
x2, y = 1,
(h) y =√x, y = x− 2, y-os.
(i) f(x) = xe−x, y=0, x = 1,
(j) f(x) = ln(x)x
, y = 0, x = e2.
8. Izra£unaj plo²£ino in teºi²£e lika, ki ga omejujejo krivulje z ena£bami:
(a) y = 4− x2 in y = 0,
(b) y =√
2x, y = 0 in x = 1.
(Nasvet: Koordinate teºi²£a lika (xT , yT ), ki ga omejujejo graf funkcijef(x), x = a, x = b in x-os izra£unamo po formulah xT = 1
P
∫ baxf(x)dx
in yT = 12P
∫ ba(f(x))2dx, kjer je P plo²£ina tega lika.)
9. Izra£unaj obseg lika, podanega s krivuljami z ena£bami:
(a) y = x√
2x, x = 2, y = 0,
(b) y = x32 , y = 2x,
(c) y = x√x, y = −x+ 2, y = 0,
(d) y = ch(x), y = 12(e2 + e−2).
(Nasvet: Dolºino grafa funkcije g nad intervalom [a, b] izra£unamo poformuli L =
∫ ba
√1 + (g′(x))2dx.)
10. Izra£unaj volumen vrtenine, ki jo dobimo, £e okrog x-osi zavrtimo lik,ki ga omejujejo krivulje z ena£bami:
16
(a) y = 1x
+ 1, x = 2, x = 3,
(b) y = e−x, y = ex, x = 1,
(c) y = x2√
2x, x = 2, y = 0.
(d) x2 + y2 = 5,
(e) f(x) =√x, g(x) = x3
(f) y = sin(x) za x ∈ [0, π], x-os,
(g) y = xex, x = 1, y = 0,
(h) y =√x, y = 6− x, y = 0 .
(Nasvet: Volumen vrtenine grafa funkcije g nad intervalom [a, b] izra-£unamo po formuli L = π
∫ ba(g(x))2dx.)
11. Izra£unaj povr²ino vrtenine, ki jo dobimo, £e okrog x-osi zavrtimo lik,ki ga omejujejo krivulje z ena£bami:
(a) y = 4√x, x = 2 in y = 0.
(b) x2 + y2 = 5,
(c) y = 2x in y =√x.
(d) y =√x, x = −x+2 in y = 0,
(Nasvet: Povr²ino vrtenine grafa funkcije g nad intervalom [a, b] izra-£unamo po formuli L = 2π
∫ bag(x)
√1 + (g′(x))2dx.)
12. Izpelji formulo za prostornino in povr²ino prisekanega stoºca.
1.6 Uporaba integrala pri re²evanju diferencialnih ena£b
1. reda
1. Preveri, ali so zapisane funkcije re²itve pripadajo£ih diferencialnih ena£bna levi:
(a) y′ = 3x2, y = x3,
(b) y′ = y + 1, y = 4ex − 1,
(c) y′′ + y = 0, y = 3 sin(x),
(d) y′′−2y′+y = 0, y = xex.
2. Gra�£no, t.j. s pomo£jo slike polja naklonov, poi²£i obliko re²itve innato re²i naslednje diferencialne ena£be:
(a) y′ = 12y + 1,
(b) y′ = 1 + y2,
(c) y′ = yx,
(d) y′ = x.
3. Re²i naslednje diferencialne ena£be z lo£ljivima spremenljivkama:
17
(a) y′ = 2y + 3, y(0) = 1.
(b) y′ = y4, y(1) = 2,
(c) y′ = 1 + y2, y(0) = 1,
(d) y′ = − xy2, y(0) = 1.
(e) x2y′ = y, y(1) = 1,
(f) (x2−1)y′ = 2y, y(0) = 1,
(g) y′ = x(1 + y2), y(0) = 0,
(h) y′ = (1 +x2)y2, y(1) = 2,
(i) xy2y′ = 1 + x4, y(1) = 1,
(j) y′ = −2y2e2x, y(0) = 2.
4. (a) y′ + y = x2 + 1,
(b) y′ − y = e3x,
(c) xy′ − y = 2x−1
(d) y′ − yx
= x3,
(e) xy′ − y = x, y(2) = 0,
(f) y′+2xy = 4x, y(0) = −1,
(g) xy′ − y = x4, y(1) = −2,
(h) y′+3x2y = 6x2, y(0) = −1.
5. V hladilniku vzdrºujemo konstantno temperaturo 5 stopinj Celzija.Vanj postavimo mleko, ki ima temperaturo 25 stopinj Celzija. Koli-k²na je po eni uri temperatura mleka, £e se po pol ure ohladi na 15stopinj Celzija. Upo²tevaj, da je ohlajanje telesa premosorazmernorazliki med temperaturo telesa in temperaturo okolice.
6. Poi²£i krivuljo skozi to£ko (1, 1), za katero velja, da katerakoli tangentana krivuljo odreºe na x-osi odsek, ki je enak dvakratniku abscise doti-kali²£a tangente.(Nasvet: Utemelji, da je iskana krivulja re²itev diferencialne ena£bey′ = y−0
x−2x , nato pa re²i dobljeno diferencialno ena£bo.)
7. Majhno kroglico z masom vrºemo z vrha neboti£nika navpi£no navzdolz za£etno hitrostjo v0. Sila upora zraka na kroglico je premosorazmernahitrosti kroglice. Upo²tevaj tudi, da se sila teºe kroglice med letom nespreminja. Kako se spreminja hitrost kroglice?
8. Blizu ºabje mlake, ki vsebuje 500 l vode, se razlije cisterna s kemikali-jami. V mlako za£ne s hitrostjo 10 l/min pritekati onesnaºena vodnaraztopina, ki vsebuje 1 g kemikalij na 1 l raztopine. Iz mlake pa izto£a-sno preko majhnega poto£ka z enako hitrostjo izteka dobro preme²anazmes. Kako se s £asom spreminja koli£ina kemikalij v mlaki?
9. V rezervoarju je na za£etku 200kg vodne raztopine s 100g raztopljenesoli, nato pa za£ne vanj s hitrostjo 3kg/min pritekati raztopina z 1gsoli v kg raztopine, ven pa s hitrostjo 2kg/min izteka dobro preme²aname²anica. Kako se v odvisnosti od £asa t spreminja masa soli y(t) vrezervoarju?
18
(Nasvet: Opazi, da je hitrost spreminjanja soli v rezervoarju y′(t) v£asu t enaka razliki hitrosti 'pritekanja' oziroma 'odtekanja' soli.)
19
2 Vektorji in matrike
2.1 Vektorji v trorazseºnem prostoru
1. Dani so vektorji
(a) ~a = (1,−1, 0), ~b = (−2, 1, 2) in ~c = (−3, 2, 1).
(b) ~a = (2,−1, 2), ~b = (−1, 2, 0) in ~c = (1, 0,−1),
(i) Izra£unaj dolºini in skalarni produkt vektorjev ~b in ~c, ter kot mednjima. Zapi²i ²e vektorja ~a1 in ~a4 dolºin 1 in 4, ki sta vzporednavektorju ~a, ter dolºino vektorja |2~a− 3~b+ ~c|.
(ii) Izra£unaj vektorski produkt ~a×~b in dolo£i plo²£ino paralelograma,ki ga napenjata vektorja ~a in ~b.
(iii) Izra£unaj me²ani produkt (~a,~b,~c) in ugotovi, ali so vektorji ~a, ~b, ~ckomplanarni, t.j. leºijo na isti ravnini? �e je odgovor negativen,dolo£i prostornino piramide, ki jo napenjajo vektorji ~a, ~b in ~c.
(iv) Ugotovi, ali so vektorji ~a, ~b in ~c linearno neodvisni? �e je odgovorpritrdilen, izrazi vektor ~d = (−2, 3,−1) kot linearno kombinacijovektorjev ~a, ~b in ~c.
2. Dolo£i ²tevilo α ∈ R, da
(a) bosta ~a = (2, α, 1) in ~b = (−4,−6,−2) vzporedna.
(b) bosta ~a = (−2, α, 2− α) in ~b = (6, 3α− 8, 6 + α) pravokotna.
(c) bodo ~a = (4, 5, 1), ~b = (α,−2, 1) in ~c = (α, 1, 0) komplanarni, t.j.leºali na isti ravnini.
3. Dane so to£ke
(a) A(−1, 2, 3), B(−2, 1, 7) in C(1, 4, 4),
(b) A(1, 0,−1), B(−3, 3,−6) in C(−2,−4,−11).
(i) Zapi²i vektorja ~AB in ~AC in ugotovi, ali sta vektorja kolinearna,t.j. leºita na isti premici. Ugotovi, ali to£ke A, B, C leºijo naisti premici? �e je odgovor negativen, potem preveri ²e, ali jetrikotnik 4ABC pravokoten oziroma enakokrak. Izra£unaj tudidolºine stranic, kote trikotnika in teºi²£nic trikotnika.
20
(ii) Izra£unaj vektorska produkta ~AB× ~AC in ~CB× ~AC. Kaj opazi²?Kaj nam ta vektorska produkta povesta o kolinearnosti to£k A, Bin C oziroma o plo²£ini trikotnika 4ABC? Dolo£i ²e dolºine vi²intrikotnika.
(iii) Dolo£i to£ko D, da bo ²tirikotnik �ABCD paralelogram. Izra£u-naj ²e kot med diagonalama paralelograma �ABCD.
(iv) Zapi²i vektorsko ena£bo premice p skozi to£ki B in C. Dolo£i ²epremico, ki gre skozi to£ko A in je vzporedna premici p.
(v) Poi²£i ena£bo ravnine, na kateri leºijo to£ke A, B in C.
4. V prostoru sta dana vektorja ~F1 = (−2, 1, 1) in ~F2 = (0,−2, 2), terto£ki s koordinatami A(3, 1,−1) in B(−2, 1, 0).
(a) Iz to£ke A ºelimo majhen natovorjen vozi£ek naravnost spravitido to£ke B. Izra£unaj delo A, ki ga skupaj opravita delavca,£e vle£eta z vektorjema sil ~F1 = (1,−1, 1) in ~F2 = (2, 1, 3), t.jA = (~F1 + ~F2) · ~AB.
(b) Peter vrti kolo, ki je vpeto v to£ki A. S silo ~F1 = deluje na kolo vto£ki B. Kak²en je navor, t.j. M = ~F1 × ~AB?
(c) Zapi²i vektorsko ena£bo premice skozi to£ko A in s smernim vek-torjem ~F1, ter ugotovi, ali to£ka B leºi na tej premici.
(d) Dolo£i ena£bo ravnine Σ z normalo ~F2 skozi to£ko A.
(e) Zapi²i ena£bo ravnine, dolo£ene z vektorjema ~F1 in ~F2 in to£ko B.
5. Dane so ravnina∑
, premica p in to£ka T :
(a) Σ: x− 3y + 2z = 2, p : x+2−1 = y−1
2= z+3
1in T (1, 4,−2),
(b) Σ: x+ y − z = 1, p : x = 2y = z , T (−1, 0, 1).
(i) Ugotovi, ali to£ka T leºi na ravnini p. Dolo£i dve to£ki, ki leºitana premici p.
(ii) Zapi²i ena£bo premice, vzporedne premici p, ki vsebuje to£ko T .
(iii) Zapi²i ena£bo ravnine, ki je pravokotna na premico p in (ne) vse-buje to£ko T .
(iv) Zapi²i ena£bo ravnine, ki vsebuje premico p in to£ko T .
(v) Ugotovi, ali to£ka T leºi na ravnini Σ. Dolo£i dve to£ki, ki leºitana ravnini
∑.
21
(vi) Zapi²i ena£bo ravnine, vzporedne ravnini Σ, ki vsebuje to£ko T .
(vii) Zapi²i ena£bo premice, ki je pravokotna na ravnino Σ in (ne) vse-buje to£ko T .
(viii) Dolo£i dve premici, ki sta vzporedni z ravnino Σ in gresta skozito£ko T .
(ix) Dolo£i presek ravnine Σ in premice p.
(x) Dolo£i pravokotni projekciji to£ke T na premico p in ravnino Σ,ter prezrcali T £ez p oziroma Σ.
(xi) Izra£unaj pravokotno projekcijo premice p na ravnino Σ.(Nasvet: Dolo£i pravototni projekciji dveh to£k na premici.)
(xii) Dolo£i projekcijo premice p na ravnino Σ v smeri (1, 1, 1).(Nasvet: Dolo£i projekciji dveh to£k na premici.)
6. Ugotovi, ali se dana objekta sekata oziroma pod kak²nim kotom:
(a) premici x+12
= y−1−2 = z
1in x = t+ 1, y = t+ 2, z = −t− 1,
(b) ravnini 3x− y + 2z = 4 in −x+ y + 2z = 1,
(c) ravnina 3x−y−z = 1 in premica x = t−2, y = −2t+1, z = 3t−1.
2.2 Osnovne matri£ne operacije in lastnosti matrik
1. Dane so matrike
• A =
[1 −12 0
],
• B =
2 1 −10 2 13 −1 2
,• C =
2 1 21 2 0−1 −3 1
,• D =
2 11 −1−3 0
,
• E =
[−2 1 3 00 2 −1 1
],
• F =
[2 0 41 −1 −2
],
• G =
1 −2 3 −1−2 3 5 10 −1 −2 0
,
• H =
2 −1 3−1 2 22 −3 00 3 −1
.(a) Ugotovi, katere matrike lahko pomnoºi² s stolpci (t.j. vektorji)
a = [3, 1]T , b = [1,−1, 3]T , c = [1, 1, 0,−1]T in katere z vrsticamiaT = [3, 1], bT = [1,−1, 3], cT = [1, 1, 0,−1].
22
(b) Izra£unaj tiste izmed produktov danih matrik, ki so dobro de�ni-rani. Ali kateri matriki komutirata? (Matriki X, Y komutirata,£e velja XY = Y X.)
(c) Izberi tiste izmed izrazov A2 − 3A, CB + 2A, (2I2 +A)(2B − I3)in BCD, ki so dobro de�nirani, ter jih izra£unaj.
2. Dane so matrike
(a) A =
[2 11 2
],
(b) A =
3 −2 −42 3 2−1 5 6
,
(c) A =
1 2 32 3 43 4 6
,
(d) A =
1 2 30 1 45 6 0
,(e) A =
1 0 2−1 1 −32 2 1
,(f) A =
2 1 −30 2 11 2 −1
.• Izra£unaj determinante danih matrik, £e je to mogo£e.
• Obrnljivim matrikam poi²£i njihove inverzne matrike.
3. V trgovini A stane kilogram jabolk 1.5 EUR na kilogram, kilogrambanan pa 1 EUR, v trgovini B pa stanejo jabolka 1.25 EUR/kg, bananepa 1.2 EUR/kg.
(a) Babica Francka ºeli kupiti 3 kilograme jabolk in 2 kilograma ba-nan, babica Zvonka pa ºeli kupiti 2 kilograma jabolk in 3 kilogramebanan. S pomo£jo matrik enostavno izra£unaj, koliko denarja po-trebujeta za nakup v trgovini A oziroma B.
(b) Babica Francka ºeli v tem mesecu v trgovini za jabolka in bananeskupaj porabiti 10 EUR, v naslednem mesecu pa 11 EUR. Ba-bica Zvonka pa namerava v obeh mesecih v trgovini A za jabolkain banane skupaj zapraviti 12 EUR, v naslednem mesecu pa 11EUR. Koliko sadja dobita za ta denar v posameznem mesecu vposamezni trgovini?
4. Dani so pari matrik:
(a) A =
1 2 32 3 43 4 4
, B =
1 2 −2−1 1 31 −2 0
,23
(b) A =
1 1 1−1 0 00 −1 0
, B =
1 −1 10 1 −12 −1 1
,(c) A =
2 1 −30 2 11 2 −1
, B =
31−1
,(d) A =
2 1 21 2 0−1 −3 1
, B =
[2 0 41 −1 −2
].
Poi²£i matriki X in Y , ki re²ita matri£ni ena£bi AX = B oziromaY A = B, £e sta smiselno de�nirani.(Nasvet: Izra£unaj inverz A−1 matrike A.)
5. Dane so matrike:
(a) A =
−1 3 20 1 12 0 1
, B = I3, C =
1−20
,(b) A =
1 −1 00 2 −11 1 −2
, B =
−1 0 11 1 −21 0 0
, C =
2 3 −11 1 01 2 −1
.Re²i matri£no ena£no AX = BX + C, £e je le-to mogo£e.
6. Dani sta mnoºici realnih matrik
(a) M =
{[a+ 2b 4a2a− b 3a+ b
]| a, b ∈ R
},
(b) M = {X | AX = XA}, kjer A =
[1 −12 4
].
• Pokaºi, da za poljubna X, Y ∈M in α, β ∈ R velja αX+βY ∈M(t.j. M je vektorski podprostor vse realnih matrik R2×2).
• Poi²£i {Ai}1≤i≤4, da boM = {∑
i αiAi | αi ∈ R}, t.j. bazoM.
7. Kak²ne preslikave v R2 oziroma R3 predstavljajo matrike
(a) A =
[1 00 0
], (b) A =
[0 −11 0
],
24
(c) A =
2 0 00 2 00 0 2
,(d) A =
1 0 00 0 10 1 0
,(e) A =
1 0 00 1 00 0 0
,(f) A =
1 0 00 1 00 0 −1
.(Nasvet: Najprej transformiraj nekaj vektorjev.)
8. Poi²£i matrike, ki pripadajo naslednjim linearnim preslikavam:
(a) zrcaljene prek izhodi²£a v R3,
(b) A(x, y) = (−x+ y,−y),
(c) A(x, y) = x+ y,
(d) A(x, y, z) = (x− z, y, z + x),
(e) A~x = ~a× ~x, ~x = (x, y, z), ~a = (−1, 2, 1),
(f) A~x = (~a · ~x)~a, ~x = (x, y, z), ~a = 13(−1, 2, 2).
9. Dane so matrike
A =
1 1 35 2 6−2 −1 −3
, B =
2 −2 4−1 3 41 −2 −3
, C =
5 2 −31 3 −12 2 −1
.(a) Pokaºi, da je matrika A nilpotentna reda 3 (t.j. A3 = 0), matrika
B idempotentna (t.j. B2 = B), ter C3 − 7C2 + 13C − 5 = 0. Kajlahko na podlagi tega sklepa² o lastnih vrednostih danih matrik?
(b) Dolo£i tudi karakteristi£ne polinome danih matrik, njihove sledi,determinante, ter lastne vrednosti. Kaj opazi²?
10. Poi²£i vse 2 × 2 matrike A, za katere velja A2 = 0. Kak²ne so njihovelastne vrednosti?
11. Izra£unaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrik:
(a) A =
[0 −2−2 0
],
(b) A =
[1 30 −2
],
(c) A =
[1 −12 4
],
(d) A =
[2 14 −1
],
25
12. Pokaºi, da sta dana vektorja v1 in v2 lastna vektorja matrike A, terjima poi²£i pripadajo£i lastni vrednosti:
(a) A =
4 −4 22 −2 2−2 2 −2
, v1 =
31−1
, v2 =
110
,(b) A =
3 2 02 5 −1−1 −1 3
, v1 =
2−11
, v2 =
1√17+34
1−√17
4
.13. Pokaºi, da sta ²tevili λ1 oziroma λ2 lastni vrednosti matrike A, ter
poi²£i pripadajo£e lastne vektorje:
(a) A =
1 3 −3−3 7 −3−6 6 −2
, λ1 = 4, λ2 = −2,
(b) A =
−2 2 −12 1 −2−3 −6 0
, λ1 = 5, λ2 = −3,
(c) A =
3 1 11 0 21 2 0
, λ1 = 4, λ2 = −2,
(d) A =
1 −1 0−1 2 −10 −1 1
, λ1 = 0, λ2 = 3.
14. Izra£unaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrik:
(a) A =
−2 0 00 0 −10 −1 0
,(b) A =
2 2 65 −1 −60 0 2
,(c) A =
1 2 16 −1 0−1 −2 −1
,(d) A =
−2 2 −33 −1 34 −2 5
.15. Utemelji naslednjo trditev: �e je λ lastna vrednost matrike A, potem
je λ2 + 3 lastna vrednost matrike A2 + 3I.
26
16. Poi²£i dve razli£ni matriki oblike[a 1b c
], a, b, c ∈ R, ki imata lastni
vrednosti 1 in 2.
17. Z uporabo lastnih vrednosti in lastnih vektorjev skuciraj elipso z ena£bo13x2 − 10xy − 13y2 = 72.(Nasvet: Krivuljo lahko z ustrezno rotacijo spravi² v normalno obliko.)
2.3 Uporaba matrik pri re²evanju sistemov linearnih
ena£b
1. Dani so sistemi ena£b:
(a)x −y +2z = 23x −y −2z = 45x −y −6z = 6.
,
(b)x +y +z = 6x +2y +2z = 112x +3y −4z = 3
,
(c)x −y +2z = 23x −y −2z = 45x −y −6z = 8
,
(d)x +y −z = 2−x +y −z = 52x +2y +2z = 1
.
• Izra£unaj determinanto matrike koe�cientov danega sistema ena£b.Kaj nam determinanta pove o re²ljivosti sistema? S pomo£jo Cra-merjevega obrazca zapi²i re²itev sistema ena£b. Dani sistem ena£bre²i ²e z Gaussovo eliminacijo.
• Vzemi prvi dve ena£bi danega sistema in dolo£i vse njune skupnere²itve.
• Danemu sistemu dodaj ena£bo x + y + z = 1 in premisli, ali jenovonastali sistem re²ljiv?
2. Trije otroci se pogovarjajo o bombonih. Prvi ugotovi, da bi imel skupajkar 32 bonbonov, £e bi mu preostala dva dala vsak po polovico svojih.Drugi bi imel 28 bonbonov, £e bi mu preostala dva dala vsak po tretjinosvojih bonbonov. Tretji pa bi imel 31 bonbonov, £e bi mu preostala dvadala po £etrtino svojih sladkarij. Koliko bonbonov ima vsak od njih?
3. Zapi²i in re²i sistema treh (oziroma ²tirih) ena£b in treh (oziroma ²tirih)neznank, ki
(a) ima natanko eno re²itev.
27
(b) ima neskon£no re²itev.
(c) nima re²itev.
Zna² poiskati tako nehomogen kot homogen sistem?
4. Dani so sistemi ena£b:
(a)
x + y − z + w = −22x + y − 2z + 3w = −5−3x − y + z + 2w = −3x + y + z − w = 4.
,
(b)
x + y + z − w = 43x − y + 3z − w = 2−2x − 2y + z − w = −5−x − y + z + 2w = −5
,
(c)
x − 2y + 3z − 4w = 4−x + 3y − 4z + 5w = −7x + 3y − 3w = 1− 7y + 3z + w = −3
,
(d)
−x +2y +2w = −1y +4z +3w = −5.
−2x −y +2z +5w = −92x +2y +3z = 0
,
(e)
x − 2y + 3z − 4w = 4y − z + w = −3
x + 3y −3w = 1− 7y + 3z + w = −3
.
• Izra£unaj determinanto matrike koe�cientov danega sistema ena£b.Kaj nam determinanta pove o re²ljivosti sistema? S pomo£jo Cra-merjevega obrazca zapi²i re²itev sistema ena£b. Dani sistem ena£bre²i ²e z Gaussovo eliminacijo.
• Vzemi prve tri ena£be danega sistema in dolo£i vse njihove skupnere²itve.
• Zapi²i re²itev sistema petih ena£b, ki ga dobimo, £e danemu sis-temu dodamo ²e eno ena£bo x+ y + z + w = 1.
5. V prostoru R3 so dani ²tirje vektorji ~a = [1, 3, 5]T , ~b = [−1,−1, 1]T ,~c = [2,−2,−6]T in ~d = [2,−4, 6]T . Izrazi vektor ~d kot linearno kombi-nacijo vektorjev ~a, ~b in ~c, £e je to mogo£e.(Nasvet: Re²uj ustrezni sistem ena£b.)
28
6. Tulipan stane 6 EUR, gerbera stane 2 EUR, rde£a vrtnica 3 EUR,nageljni pa stanejo 1 EUR. Miha ima 195 EUR in ºeli kupiti 90 roº, pri£emer mora biti gerber in nageljnov skupaj dvakrat toliko kot vrtnicin tulipanov skupaj. Z re²evanjem ustreznega sistema ena£b ugotovi,kak²no izbiro ima? Poi²£i vse moºnosti.
7. �tirje mu²ketirji se pogovarjajo o svojem premoºenju. Prva dva za-poredoma ugotovita, da bi imela po 21 oziroma po 18 zlatnikov, £ebi preostali trije vsakemu od njiju razdali po polovico svojega premo-ºenja. Tretji bi imel 20 zlatnikov, £e bi mu preostali trije dali vsakpo tretjino svojih zlatnikov. �etrti pa je ugotovil, da imajo skupaj36 zlatnikov. Zapi²i ustrezni sistem linearnih ena£b in ga nato re²i zmetodo Gaussove eliminacije. Koliko zlatnikov ima vsak od mu²ketir-jev? (Opozorilo: Premoºenje katerega od mu²ketirjev lahko ²teje tudi0 zlatnikov.)
8. Dana sta sistema ena£b
(a)−x +2y +z = 24x −7y +az = −32x −3y = 1.
,
(b)
ax −y +2z +5w = −4−x +2y +2w = 12x +2y +3z = 0
y +4z +3w = −2,
,
kjer je a neka realna konstanta.
• Izra£unaj determinanto matrike koe�cientov danega sistema v od-visnosti od parametra a. Kaj lahko na podlagi determinante skle-pa² o re²ljivosti tega sistema ena£b?
• Ugotovi, za katere vrednosti parametra a je dani sistem re²ljivin koliko re²itev ima. Poi²£i tudi vse re²itve danega sistema vodvisnosti od parametra a.
29
3 Realne funkcije ve£ spremenljivk
3.1 Osnovne lastnosti in zveznost
1. Dolo£i de�nicijska obmo£ja naslednjnih funkcij:
(a) f(x, y) = 11−x +
√y,
(b) g(x, y) = 2x−1 + x
2−y ,
(c) f(x, y) = log(x)y
,
(d) f(x, y) =√
1− x2 − y2,
(e) f(x, y) = log(x2 − y),
(f) f(x, y) =√
1− log(x+ 1).
2. Poi²£i nivojske krivulje, ter opredelite in skicirajte grafe danih funkcijve£ spremenljivk:
(a) g(x, y) = x,
(b) g(x, y) = x+ 2y,
(c) g(x, y) =√xy,
(d) g(x, y) = x2 + y2,
(e) g(x, y) = 4x2 + y2,
(f) g(x, y) =√x2 + y2.
3. Zapi²i funkcije ve£ spremenjivk, ki predstavljajo
(a) povr²ino valja v odvisnosti od vi²ine in radija.
(b) volumen pravilne ²tiristrane piramide v odvisnosti od njegovihstranic in vi²ine.
(c) prevoºeno pot avtomobila, ki vozi enakomerno pospe²eno, v odvi-snosti od £asa in pospe²ka.
(d) skupni upor Rs treh zaporedno vezanih upornikov z upori R1,R2 in R3 v sklenjenem enosmernem elektri£nem krogu, £e velja1Rs
= 1R1
+ 1R2
+ 1R3.
4. Poi²£i obmo£ja zveznosti danih funkcij:
(a) f(x, y) = ln(x2 + y2),
(b) f(x, y) = cos( 1xy
),
(c) f(x, y) =
{xy√x2+y2
, x, y 6= 0
0, sicer,
(d) f(x, y) =
{x2−y2x2+y2
, x, y 6= 0
0, sicer,
(e) f(x, y) =
{1
x2+y2, x, y 6= 0
0, sicer,
(f) f(x, y) =
{sin(xy)x
, x 6= 00, sicer
.
30
3.2 Parcialni odvodi ekstremi funkcij
1. Napi²i de�nicijo parcialnih odvodov ∂f(x,y)∂x
in ∂f(x,y)∂y
funkcije f(x, y)
v to£ki (a, b) in po de�niciji izra£unaj parcialni odvod ∂x2 sin y∂x
v to£ki(1, π
2).
2. Izra£unaj vse parcialne odvode naslednjih funkcij, ter dolo£i gradientev to£ki (1, 0), £e obstajajo:
(a) f(x, y) = 5xy + 3,
(b) f(x, y) = yx3 + xy2 − 3,
(c) f(x, y) = x4 + 2y2 − 4xy + 1,
(d) f(x, y) = 2y2 − x 3√y + x,
(e) f(x, y) = x4 + 2 sin(x− y),
(f) f(x, y) = sin(3x) cos(2y) + 4,
(g) f(x, y) = ey sin(3x+ 2y),
(h) g(x, y) = (x2 +y2) arcsin(2x),
(i) f(x, y) = (x2 − 3y2)ex,
(j) f(x, y) = yex
ln(x)+2y,
(k) f(x, y) = sin(xy)x2+y2
,
(l) f(x) = (x− y2)e−x,
(m) f(x, y) = (1+xey) cos(x+y),
(n) f(x, y) = 2xy cos(2x+ 3y),
(o) f(x, y) = (x+ y)exy,
(p) f(x, y) = (x+ y) log(x+ y),
(q) f(x, y) = cos(x+y)x2y
,
(r) f(x, y) = cos(2x+3y)2xy
,
(s) f(x, y) = sin(xy)1+x2+y2
,
(t) f(x, y) = 3√
2x+ y2,
(u) f(x, y) = sin(2x+ 3y)e−2xy.
(v) f(x, y) = log(3x2 − e2y),(w) f(x, y) = xy,
(x) f(x, y, z) = − ey
x+z+ xyz.
3. Dani sta funkcija f in parcialna diferencialna ena£ba:
(a) f(x, y) = ln(x2 + y2), x∂f∂x
+ y ∂f∂y
= 2.
(b) f(x, y) = xy + x sin( yx), x∂f
∂x(x, y) + y ∂f
∂y(x, y) = xy + f(x, y).
• Dolo£i de�nicijsko obmo£je funkcije f in ga skiciraj.
• Dokaºi, da je funkcija f re²itev dane diferencialne ena£be.
4. Dana je funkcija u(x) = arctan( yx). Izra£unaj ∂2u
∂x2+ ∂2u
∂y2.
5. Zapi²i ena£bo tangentne ravnine na elipsoid z ena£bo x2
4+ y2
9+ z2
1= 1 v
to£ki (−1, 0, 12). Poi²£i tudi tangetne ravnine, ki so vzporedne ravnini
x+ y + z = 3.
31
6. Razvij funkcijo v Taylorjevo vrsto okrog to£ke (0, 0) do vklju£no £lenovtretjega reda:
(a) f(x, y) = ex log(1 + y),
(b) f(x, y) = ex sin y + xy + x2 + 2.
7. Natan£no opi²i strategijo iskanja lokalnih ekstremov za odvedljivo funk-cijo dveh spremenljivk, ter dolo£i lokalne maksimume in lokalne mini-mume naslednjih funkcij:
(a) f(x, y) = 3x2−2xy+2y2−5y,
(b) f(x, y) = 2x2 + y4 − 4xy + 2,
(c) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy,
(d) f(x, y) = x3 − x2 + 2xy − y2,(e) f(x, y) = 3x2y + 6xy2 − 3y,
(f) f(x, y) = x2y(4− x− y),
(g) f(x, y) = 3 sin(x) + y2 + 1.
(h) f(x, y) = (x2 − 3y2)ex,
(i) f(x, y) = (x− y2)e−x,(j) f(x, y) = ln(x2 +y)−3y.
8. Opi²i, kako lahko poi²£emo maksimalno ali minimalno vrednost funkcijedveh spremenljivk f(x, y) pri pogoju g(x, y) = c, kjer je c konstanta,ter dolo£i najve£jo in najmanj²o vrednost funkcije:
(a) f(x, y) = 3x2 − 2xy + 3y2 pri pogoju g(x, y) = x2 + y2 = 4,
(b) f(x, y) = 5xy + 3 pri pogoju x2 + y2 ≤ 1,
(c) f(x, y) = 2x3 + y4 pri pogoju x2 + y2 ≤ 1,
(d) f(x, y) = 2x2 + y4 − 4xy + 2 pri pogoju 0 ≤ x, y ≤ 8,
(e) f(x, y) = x2 + (y + 1)2 − xy na krogu z neena£bo x2 + y2 ≤ 4,
(f) g(x, y) = x2 + (y + 1)2 − xy na kvadratu A = [−1, 1]× [−1, 1]},(g) f(x, y) = x2y(4−x−y) na T = {(x, y) ∈ R2 | x, y ≥ 0, x+y ≤ 6},(h) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy na kvadratu [−1, 1]× [−1, 1],
(i) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy na krogu z neena£bo x2 + y2 ≤ 4.
(Nasvet: Posebej dolo£i ekstremne vrednosti, ki jih doseºe funkcija narobu oziroma v notranjosti obmo£ja.)
9. Zapi²i ²tevilo 5 kot vsoto treh pozitivnih realnih ²tevil, da bo vsotaprvega ²tevila in kubov drugih dveh ²tevil minimalna.
10. �tevilo 12 zapi²i kot vsoto treh pozitivnih ²tevil, da bo produkt prvegain kvadratov drugih dveh maksimalen.
32
11. V polkrog z radijem 1 ali elipso z ena£bo x2
4+ y2
9= 1 v£rtaj pravokotnik
z maksimalno plo²£ino.
12. Na elipsi x2
5+ y2
4= 1 poi²£i to£ke, ki so najbolj oddaljene od premice z
ena£bo 3x− y = 0.(Nasvet: Upo²tevaj, da je razdalja to£ke (x0, y0) od premice z ena£boax+ by + c = 0 enaka |ax0+by0+c|√
a2+b2.)
13. Na elipsoidu z ena£bo x2 + y2
2+ z2
3= 1 poi²£i to£ke, ki so najbolj ali
najmanj oddaljene od
(a) ravnine x+ y + z = 1,
(b) to£ke (0, 0,−12).
Nasvet: Upo²tevaj, da je razdalja to£ke (x0, y0, z0) od ravnine z ena£boax+by+cz+d = 0 enaka |ax0+by0+cz0|√
a2+b2, kvadrat razdalje do to£ke (x, y, z)
pa (x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.
14. Dolo£i dimenzije kartonaste ²katle brez pokrova z volumnom 2, da po-rabimo £im manj kartona.
15. Z metodo najmanj²ih kvadratov
(a) poi²£ite linearno funkcijo f(x) = αx+β, α, β ∈ R, ki se kar najboljprilega to£kam (−1, 0), (0,−1), (1, 0) in (2, 2).
(b) poi²£ite algoritem za iskanje kvadratne funkcije f(x) = ax2+bx+c,a, b, c ∈ R, ki bi se najbolj prilegala danim podatkom.
(Opomba: Metoda najmanj²ih kvadratov: najti minimum funkcije kva-drata 'napake' R2 =
∑mi=1(yi − f(xi))
2, pri podatkih (xi, yi) za i =1, 2, . . . , 4.)
3.3 Mnogoterni integral
1. Dani so integrali:
(a)∫ 2
0dy∫ 1
0(x2 + y)dx,
(b)∫ 1
0dx∫ 6x
2x(x+ y)dy,
(c)∫ 2
1dx∫ x
1xx2ydy,
(d)∫ 2
0dx∫ x0
(x2 − xy)dy,
(e)∫ 2
0dy∫ −√ y
2√y2
x2dx,
(f)∫ 1
0dx∫ 1−x−√1−x2 x
2dy,
33
(g)∫ 1
0dz∫ 2
0dy∫ y0
(x+ y + z)dx, (h)∫ 1
0dz∫ z0dy∫ y0
(x+ y + z)dx.
• Dolo£i obmo£je integracije integrala in zamenjaj vrstni red inte-gracije, pri £emer ustrezno spremeni meje integracije.
• Izra£unaj dane integrale.
2. Obmo£je D je enako
(a) [−1, 1]× [0, 2],
(b) {(x, y) ∈ [0, 2]× [0, 1] | x ≤ y},(c) polkrogu v zgornji polravnini s sredi²£em v (0, 0) in radijem 1,
(d) {(x, y) ∈ R2 | x2 ≤ y ≤ x},(e) obmo£ju med krivuljama y =
√x in y = x
2.
• Zapi²i meje integracije v integralu∫ ∫
Dxydxdy, ter nato zame-
njaj tudi vrstni red integracije, pri £emer ustrezno spremeni mejeintegracije.
• Izra£unaj integral∫ ∫
Dxydxdy.
3. S pomo£jo polarnih koordinat (t.j. x = r cosϕ, y = r sinϕ, |J | = r)izra£unaj integrale
(a)∫ 1
0dx∫ √1−x20
√x2 + y2dy.
(b)∫D
√x2 + y2dxdy, kjer je D krog s sredi²£em (0, 0) in radijem 1,
(c)∫Dxy dxdy, kjer je D obmo£je med krivuljami y =
√1− x2, y = x
in x-osjo.
3.4 Uporaba mnogoternega integrala v �ziki in geome-
triji
1. Izra£unaj plo²£ino in teºi²£e lika L, ki ga omejujejo krivulje z ena£bamix2 + y2 = 1, y = 0 in y = x+ 1.
2. S pomo£jo sferi£nih (t.j. x = r cosϕ sinψ, y = r sinϕ sinψ, z = r cosψ,|J | = r2 sinψ) oziroma cilindri£nih koordinat (t.j. x = r cosx, y =r sinx in z = z, |J | = r) izra£unaj integrala
∫Dz2dxdydz, £e je obmo£je
D podano kot
34
(a) krogla s sredi²£em v izhodi²£u in z radijem 1,(b) polkrogla v zgornjem polprostoru s sredi²£em v izhodi²£u in z
radijem 2,(c) valj z osnovno ploskvijo na ravnini z = 0 s sredi²£em v izhodi²£u
in z radijem 1, ter z vi²ino 2.(d) stoºec z osnovno ploskvijo na ravnini z = 0 s sredi²£em v izhodi²£u
in z radijem 1, ter z vi²ino 2.(e) ki ga omejujeta sfera z ena£bo x2 + y2 + z2 = 4 in stoºec podan z
x2 + y2 = 3z2, z ≥ 0.
(Opomba: Sferi£ne koordinate lahko vpeljemo tudi preko x = r cosϕ cosψ,y = r sinϕ cosψ, z = r sinψ, |J | = r2 cosψ.)
3. Izra£unaj volumen telesa, ki ga omejujejo ploskve:
(a) z = x2 + y2, z = 0, x = 0, x = 1, y = −1, y = 1,(b) z = x2 + y2, x = 0, x = 2, y = 0, z = 0, x = y,(c) z = x2y2, z = 0, y = x2, y = x,(d) x2 + y2 = z2, x2 + y2 = 4z,(e) z2
3= x2 + y2, (z− 1)2 +x2 + y2 = 1, ter je vsebovano v notranjosti
stoºca.
4. V prostoru je podano telo K in njegova gostota ρ:
(a) K = {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ 1, z ≥ 0} (polkrogla) z gostotoρ(x, y, z) = y2,
(b) K = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 1, y ≥ 0, z ∈ [−1, 1]} (polvalj) zgostoto ρ(x, y, z) = 1 + yz2,
(c) K = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 ≤ 1, z ∈ [0, 1]} (valj) z gostotoρ(x, y, z) = (x+ 1)2 + z2.
Izra£unaj maso in koordinate teºi²£a danega telesa:
M =
∫K
ρ(x, y, z)dxdydz,
xT =1
M
∫K
xρ(x, y, z)dxdydz,
yT =1
M
∫K
yρ(x, y, z)dxdydz,
zT =1
M
∫K
zρ(x, y, z)dxdydz.
35
4 Re²itve
4.1 Realne funkcije ene spremenljivke
4.1.1 Elementarne funkcije, limite in zveznost, ter primeri iz �zike
1. (a) premik navzgor v smeri osi y in desno v smeri x-osi,
(b) razteg vzdolº osi y za faktor 2 in vzdolº x-osi za faktor 2,
(c) zrcaljenje £ez y-os,
(d) zrcaljenje £ez x-os,
(e) zrcaljenje £ez izhodi²£e,
(f) zrcaljenje £ez premico y = x, £e je f injektivna.
2. lihe funkcije: (a), (d), (f),soda funkcija: (b),ne lihi ne sodi funkciji: (c), (e).
3. (a) TF = 95TC + 32, inverzna funkcija TC = 5
9(TF − 32).
(b) inverzna funkcija r(j) =√
P4πj
.
(c) V (r) = 3πr2, inverzna funkcija r(V ) =√
V3π.
(d) inverzna funkcija v(m) =
√(1− m2
0
m2 )c2.
(e) P (x) = (6− 2x)(8− 2x)x, x ∈ (0, 3), ni njektivna.
(f) t(h) =√
2gh, inverzna funkcija h(t) = gt2
2.
4. (a) Df = R, ni£li x1 = 3, x2 = −12,
(b) Df = R, ni£le x1,2 = 1, x3 = −2,
(c) Df = R, ni£le x1,2,3 = −3, x4 = 1, x5 = 3,
(d) Df = R \ {−1, 3}, ni£la x1 = 32, pola x2 = 3, x3 = −1, asim.
y = 0,
(e) Df = R \ {−4, 4}, ni£la x1,2 = −1, pola x3 = 4, x4 = −4, asimp.y = 1,
(f) Df = R \ {−1, 0}, ni£le x1,2 = 1, x3 = 2, x4 = −2, poli x5 = 0,x6,7 = −1, asim. y = x− 4.
5.
36
(a) Df = R, asimptota y = 0,
(b) Df = R, asimptota y = −1,
(c) Df = R, asimptota y = 1,
(d) Df = R,(e) Df = R+, pol x = 0,
(f) Df = (−1,∞), pol x = −1.
6. (a) eksponentni model: sE(t) = 900(1 + 6100
)t, t v desetletjih,
(b) linearni model: sL(t) = 900(1 + t 6100
), t v desetletjih.
7. 104-krat.
8. (a) Df = R, ni£le Nk = π2
+ kπ, k ∈ Z, osnovna perioda 2π,lok. maksimum xk = 2kπ, f(xk) = 1, k ∈ Z,lok. minimum v x′k = π + 2kπ, f(x′k) = −1, k ∈ Z,
(b) Df = R, ni£le Nk = π6
+ kπ, k ∈ Z, osnovna perioda 2π,lok. maksimum xk = 2π
3+ 2kπ, f(xk) = 1, k ∈ Z,
lok. minumum v x′k = 5π3
+ 2kπ, f(x′k) = 1, k ∈ Z,(c) Df = R, ni£le Nk1,2 = ±2π
3+ 4kπ, k ∈ Z, osnovna perioda 4π,
lok. maksimum xk = 2π + 4kπ, f(xk) = 32, k ∈ Z,
lok. minimum x′k = 4kπ, f(x′k) = −12, k ∈ Z,
(d) Df = R \ {−π4| k ∈ Z}, ni£le Nk = −π
4, poli Pk = π
2+ kπ, k ∈ Z,
osnovna perioda π, k ∈ Z.(e) Df = [−1, 1], ni£la x1 = 0,
(f) Df = R, ni£la x1 = −1, asimptoti y1,2 = π4± π
2.
9. s2(t) = 12s0 sin(2ω0t).
10. y(t) = 2 sin(π6t+ b) + 4.
11. (a) x = 2,
(b) x = 1,
(c) xk1,2 = (±13+2k+ 1
2)π, k ∈ Z,
(d) x =π4
1−π4.
12. (a) n > 200, (b) n > 2ε.
13. (a) −32,
(b) 2,
(c) 1+√2
2,
(d) 0,
(e) 0,
(f) 1,
(g) e2,
(h) e−154 .
9. (a) a±n = 1± 10−n: limn→∞ f(a±n ) = limn→∞4
1+(1± 110n
)= 4
2= 2,
37
(b) 29,
(c) 2201
,
(d) δ(ε) = 2ε2+ε
, limx→1 f(x) = 2 = f(1), f zvezna v x = 1,
(e) a±n = ±10n: limn→∞ f(a±n ) = limn→∞4
1±10n = 0,
(f) x > 399,
(g) x > 4ε− 1, limx→∞ f(x) = 0,
(h) limx→−∞ f(x) = 0,
(i) a±n = −1± 10−n: limn→∞ f(a±n ) = limn→∞4
±10−n = ±∞,limx→−1± f(x) = ±∞.
11. |x| <√
1.01− 1 ≈ 0.005
12. (a) limx→0sin(2x)x
= 2, (b) Ne.
13. f(x) = [x+ 1], kjer [·] ozna£uje funkcijo celi del ²tevila.
18. (a) Df = R \ (−1, 1), limx→±1 f(x) = 0, limx→±∞ f(x) =∞,
(b) Df = (−1,∞), limx→−1+ f(x) = −∞ (pol), limx→∞ f(x) = ∞(asim. y = 3 ln x),
(c) Df = R, limx→∞ f(x) = 0 (asim. y = 0),
(d) Df = R\{1}, limx→1± f(x) = ±∞ (pol), limx→±∞ f(x) = 2 (asim.y = 2),
(e) Df = R, limx→±∞ f(x) = ±∞ (asim. y = x− 2),
(f) Df = R, limx→±∞ f(x) = ±π2(asim. y = ±π
2),
(g) Df = R \ {0}, limx→0± f(x) = ±π2, limx→±∞ f(x) = 0 (asim.
y = 0),
(h) Df = R \ {0}, limx→0 f(x) = 1, limx→±∞ f(x) = 0 (asim. y = 0).
14. (a) −2,
(b) 34,
(c) 32,
(d) 12,
(e) 12,
(f) −34,
(g) 32,
(h) 25,
(i) 1,
(j) 2,
(k) e2,
(l) e6,
(m) 1,
(n) 2,
(o) 34,
(p) −23,
(q) 1√2,
(r) −1,
(s) 0,
(t) ∞,
(u) 0,
(v) 1,
(w) e32 ,
(x) e4.
38
16. limx→−1− f(x) = 1 = limx→−1+ f(x) = f(−1), f zvezna v x = −1,limx→−2− g(x) = 1, limx→−2+ g(x) = 4, g ni zvezna v x = −2,limx→1− g(x) = 1 = limx→1+ g(x) = f(1), g zvezna v x = 1,
21. a = 3, b = −2.
22. f(x) = arcsin(sin(x)).
23. (a) Da. (b) Ne.
24. Bisekcija na vseh primerih poteka na podoben na£in. Intervale razpo-lavljamo, ter i²£emo take podintervale, da funkcija v kraji²£ih zavzamevrednosti razli£nega predznaka.
Oglejmo si primer (a). Interval [1, 2] je ºe tak, zato ga razdelina manj²a podintervala [1, 3
2] in [3
2, 2], ter izberi tistega, ki zagotovo
vsebuje ni£lo. To je [32, 2], saj f(3
2) < 0 in f(2) > 0. Tega nato
razdeli na podintervala [32, 74] in [7
4, 2], ter spet izberi tistega, ki zagotovo
vsebuje ni£lo. Ker je f(74) > 0, je to [3
2, 74], naslednji pribliºek za ni£lo
pa je 138, njegova natan£nost pa je na 1
8. Postopek lahko nadaljujemo,
£e ºelimo dobiti ²e bolj²i pribliºek.
4.1.2 Odvod in osnovne lastnosti
1. (a) f ′(1) = limx→12x3+2x+1−5
x−1 = limx→12(x−1)3+2(x−1)
x−1 = 8,
(b) f ′(2) = limx→2
√x−√2
x−2 = limx→2(√x−√2)(√x+√2)
(x−2)(√x+√2)
= 12√2,
(c) f ′(0) = limx→0
12x+1
−1x
= limx→0−2x
x(2x+1)= −2.
2. s′1(t) = 2t, s′′(t) = 2, s′2(t) = 10√t, s′′2(t) = −5t−
32 .
3. S pomo£jo pravil za odvajanje enostavno odvajamo dane funkcije.
4. Funkcija g je odvedljiva v x = 1, ni pa odvedljiva v x = −1.
5. Ne, na gladini funkcija zra£nega tlaka ni gladka.
6. f(x) = | sinx|.
7. (a) tangenta v (0, 2): y = −x− 2; x-os seka pod kotom 3π4,
tangenta v (1,−2): y = x− 3; x-os seka pod kotom π4,
tangenta vzporedna y = 9x− 2: y = 9x− 27,tangenta skozi (0, 0): ne obstaja.
39
(b) tangenta v (0, 0): y = 0; x-os seka pod kotom 0,tangenta v (1, 1): y = 3x− 2; x-os seka pod kotom arctan(3),tangenta vzporedna y = 9x− 2: y = 9x− 6
√3,
tangenta skozi (0, 0): y = 0.
8. Vzemimo f(x) = x3 + x2 − 2x + 3, ki je odvedljiva na intervalu [0, 1].Zaradi lastnosti f(0) = f(1) = 3 ima po Rolleovem izreku stacionarnoto£ko ξ ∈ (0, 1), t.j. f ′(ξ) = 0. Po Lagrangeovem izreku pa obstajaη ∈ (0, 2), da je f ′(η) = f(2)−f(0)
2−0 = 4.
9. (a) lok. min: x1 = 1,lok. maks: x2 = −1,
(b) lok. min: x1 = 0,prevoj: x2,3 = 2,
(c) lok. min: x1 = 3,prevoj: x2 = 0,
(d) lok.min: xk = 2kπ+ π3,k ∈ Z,
lok.maks: x′k = 2kπ − π3,
10. (a) min: m = 0,maks: M = 20,
(b) min: m = −16,maks: M = 4
√2
3√3,
(c) min: m = −e−1,maks: M = 1,
(d) min: m = −√32
+ 5π12,
maks: M = 2π + 1.
4.1.3 Uporaba odvoda
1. x = y = 20172.
2. x = 43, y = 8
3.
3. x =√
2R, y =√2R2.
4. a = v = 109.
5. (a) kvadratna osnovna ploskev: a = 3√
4, v = 3
√12,
pravokotna osnovna ploskev: a = 3√
4, v = 3
√12,
(b) a = 3
√83, v =
3√92.
6. (a) 1,
(b) 1,
(c) 2,
(d) 32,
(e) 0,
(f) 0 (brez).
7. (7a) Df = R, ekstrem: x1 = −2, prevoja: x2 = −1, x3 = 1
40
(7b) Df = [−1, 1], ekstrema x1,2 = ± 1√2, prevoj x3 = 0
(7c) Df = [0,∞) \ {1}, limx→1 f(x) = 12
(7d) Df = R \ {−52}, ekstrem x1 = −13
6, limx→−∞ f(x) = 0
41
(7e) Df = R, ekstrema x1,2 = −1 ±√
6, prevoja x1,2 = −3 ±√
10,limx→−∞ f(x) = 0
(7f) Df = (12,∞), ekstrem x1 = 5
6,
(7g) Df = (0,∞), ekstrem x1 = e, prevoj x2 = e32 , limx→∞ f(x) = 0,
limx→0+ f(x) = −∞
42
(7h) Df = R, ekstrema x1,2 = ±1, prevoj x3 = 0
8. (a) x1 = 20, x2 = 24, x3 = 2323, x4 = 23.6643,
(b) x1 = 1, x2 = 0.750, x3 = 0.739, x4 = 0.739,
(c) x1 = −1, x2 = −0.8, x3 = −0.771, x4 = −0.771.
4.1.4 Nedolo£eni integral
1. f(x) = sin x+ x cosx, g(x) = 2xex + x2ex.
2. (a) 12x4 + 2
5x
52 + 6x
12 + 4x+ C,
(b) 34x
43 − 6x
12 + ln |x|+ 3
x+ C,
(c) (ln 2)2x − 12e2x + C,
(d) −32
cos(2x) + 4 sinx+ C,
(e) 3 arctanx+ C,
(f) 12
arcsin(2x) + C.
3. (a) 12(2x+ 1)16 + C,
(b) 32
sin(x2 + 3π4
) + C,
(c) 2 sin(√x) + C,
(d) 12(x2 + 1)
43 + C,
(e) 13(x2 + 1)
32 + (x2 + 1)
12 + C,
(f) −12e−x
2) + C,
(g) 23(ln |x|) 3
2 + ln |x|+ C,
(h) 12(ln |x|)2 + ln | ln |x||+ C,
43
(i) 16(sin(x) + 2)6 + C,
(j) −3(cosx)13 − 1
2(cosx)2 + C,
(k) − arctan(cosx) + C,
(l) −53(cosx)
53 + 3
2(cosx)
23 + C,
4. (a) −12
cos(2x) + 14
sin(2x) + C,
(b) 15(2x− 3) sin(5x) + 2
25cos(5x) + C,
(c) 35x sin(5x+ 2π
3) + 3
25cos(5x+ 2π
3) + C,
(d) 4x sinx+ (5− 2x2) cosx+ C,
(e) −13(x+ 1)e−3x − 1
9e−3x + C,
(f) (3x2 − 5x+ 3)ex + C,
(g) (x3
3− 3x2
2+ x) ln |x| − x6
6+ 3x2
4− x+ C,
(h) (x5
5+ x)(ln |x|)− x4
20− x+ C.
5. (a) 2x3+3x2+12x3
+ 5 log (x− 1) + C,
(b) 3x4+8x3+36x2+168x12
+ 29 log (x− 2) + C,
(c) log (x2 + 1)− 2 arctanx+ x+ C,
(d) 5 log(x+1)4
+ 3 log(x−3)4
+ C,
(e) − log(x+1)3
+ x+ 7 log(x−2)3
+ C,
(f) − log (x+ 3)− 3x−1 + 2 log (x− 1) + C,
(g) arctan(2x)4
+ C,
(h) 2 log (x2 + 1) + C,
(i) 2 log (x2 + 2x+ 2)− arctan(2x+2
2
)+ C,
(j)log(x2+1)
2− 2 log x+ 2 arctan x+ C,
4.1.5 Dolo£eni integral in uporaba integrala v �ziki in geometriji
1. (a) Zgornja in spodnja Darbouxjeva vsota za delitev D:s(D, f) = 0 · 1
3+ (−1
2) · 1
6+ (−5
4) · 1
4+ (−2) · 1
4,
S(D, f) = 1 · 13
+ 0 · 16
+ (−12) · 1
4+ (−5
4) · 1
4.
Na enak na£in izra£unamo tudi vsote za delitev D′ in opazimo, davelja S(D, f) ≥ S(D′, f) ≥ s(D′, f) ≥ s(D, f).Zgornja in spodnja Darbouxjeva vsota za delitev Dn:s(Dn, f) =
∑nj=1(−3 j
n+ 1) 1
n= −3(n+1)
2n+ 1
n→∞−→ −12,
S(Dn, f) =∑n−1
j=0 (−3 jn
+ 1) 1n
= −3(n−1)2n
+ 1n→∞−→ −1
2.
Sledi∫ 1
0f(x)dx = −1
2.
44
(b) Zgornja in spodnja Darbouxjeva vsota za delitev D:s(D, f) = 0 · 1
3+ (1
3)3 · 1
6+ (1
2)3 · 1
4+ (3
4)3 · 1
4,
S(D, f) = (13)3 · 1
3+ (1
2)3 · 1
6+ (3
4)3 · 1
4+ 1 · 1
4.
Na enak na£in izra£unamo tudi vsote za delitev D′ in spet opa-zimo, da veljajo enake neenakosti kot zgoraj.
Zgornja in spodnja Darbouxjeva vsota za delitev Dn:s(Dn, f) =
∑nj=1(
jn)3 1n
= − (n−1)24n2 + 1
n→∞−→ 14,
S(Dn, f) =∑n−1
j=0 ( jn)3 1n
= − (n+1)2
4n2 + 1n→∞−→ 1
4.
Sledi∫ 1
0f(x)dx = 1
4.
2.∫ 3
22xdx = 5,
∫ √30
xdx√1+x2
= 1.
3. F ′(3π2
) = − 23π, G′(3π
2) = e−(
3π2)2 .
4. Ker je s′ = v, je s(t) =∫v(t′)dt′, premik avta v £asu med t0 in t
pa enak s[t0,t] = s(t) − s(t0). Po drugi strani v £asovnem intervalu[tj−1, tj] avto naredi med Mj(tj − tj−1) in Mj(tj − tj−1) poti, kjer jemj = mint∈[tj−1,tj ] v(t) in Mj = maxt∈[tj−1,tj ] v(t), skupaj na [t0, t] papotem
n∑j=1
mj(tj − tj−1) < ∆s <n∑j=1
Mk(tj − tj−1).
Ker je v zvezna, potem sledi s[t0,t] =∫ tt0v(t′)dt′.
Za avto A imamo sA(t) =∫v(t)dt = 4
√(t+ 1)3 + s0. Med tretjo
in osmo sekundo avto prevozi pot sA,3,8 = (4√
(t+ 1)3 + C)∣∣∣83
= 76,
povpre£na hitrost v tem £asu pa je vA,3,8 = 765.
Podobne zveze dobimo med pospe²kom in hitrostjo, v′ = a inv(t) =
∫a(t′)dt′. Sledi torej vB(t) = vB(0) + 1
πsin(πt), ter potem ²e
sB(t) = s(0) + v(0)t− 1π2 cos(πt). Pri prevoºeni poti oziroma povpre£ni
hitrosti moramo upo²tevati, da se je smer voºnje avtomobila spremi-njala, zato je povpre£no hitrostjo med tretjo in osmo sekundo enakavB,3,8 = 1
5(|sB,3,4|+ . . .+ |sB,7,8|) = 1
π2 .
5. Podajmo skico re²itve, natan£nej²o analizo pa naj napravi bralec sam.Ker je radij bazena na globini h enak 7
5(5 − h), je zato za dvig vode
med globinama hj in hj + ∆hj potrebno opraviti delo Aj, ki je blizu10π 49
25(5−hj)2hj∆hj. Za dvig vode iz celotnega bazena potem opravimo
delo A ≈∑
j98π5
(5 − hj)2hj∆hj, ki je za dovolj �no delitev poljubno
45
blizu ustrezni Riemannovi vsoti funkcije f(h) = 10π(5 − h)2h. Sledi,da A =
∫ 5
0f(x)dx.
6. 12e−a
2.
7. (a)∫ 2
04√xdx = 16
√2
3,
(b)∫ 1
−2(−x2 − x+ 2)dx = 9
2,
(c)∫ 0
−1(e−x − 1)dx = e− 2,
(d)∫ 1
−2((x3−3x+1)+1)dx = 27
4,
(e)∫ 1
−2(−x+1− (x2−1))dx = 92,
(f)∫ 2
1( 13x2+2
)dx = 16(ln(14
5)),
(g)∫ 1
0
√xdx+
∫∞1
1x2dx = 5
3,
(h)∫ 4
0(√x− (x− 2))dx = 16
3,
(i)∫ 1
0(e−x)dx = 1− 2
e,
(j)∫ e21
( lnxx
)dx = 2.
8. (a) P = 1023, xT = 1
P
∫ 2
−2 x(4−x2)dx = 0, yT = 12P
∫ 2
−2(4−x2)2dx = 8
5.
(b) P = 23, xT = 1
P
∫ 1
0x√xdx = 6
20, yT = 1
2P
∫ 1
0(√x)2dx = 3
4.
9. (a)√
2∫ 2
0
√1 + 9
axdx+ 2 + 4 = 8
√2
27((11
2)32 − 1) + 6,
(b)∫ 4
0
√1 + 9
axdx+ 4
√5 = 8
27(10
32 − 1) + 4
√5,
(c)∫ 1
0
√1 + 9
axdx+ 2 +
√2 = 8
27((13
4)32 − 1) + 2 +
√2,
(d)∫ 2
−2 ch(x)dx+ 4 = 2sh(2) + 4.
10. (a) π∫ 3
2(1+ 1
x)2dx = π(5
6+2 ln 2
3),
(b) π∫ 1
02sh(x)dx = π(ch(2)−1),
(c) π∫ 2
02x5dx = π 27
6,
(d) 1003π,
(e) π∫ 1
0(x− x5)dx = π 5
14,
(f) π∫ π0
(sin(x))2dx = π2,
(g) π∫ 1
0x2e2xdx = π
4(e2 − 1),
(h) π(∫ 4
0xdx+
∫ 6
4(6− x)2dx) = 16π.
11. (a) 8π∫ 2
0
√14
+ xdx+ 32π = 3043π,
(b) 100π,
(c) 2π∫ 1
4
0
√14
+ xdx+ 14π = 1
6π(2√
2− 1) + 14π,
(d) 2π∫ 1
0
√14
+ xdx+ 2π∫ 2
1(−x+ 2)
√2dx = 1
6π(5√
5− 1) +√
2π.
12. Stoºec z radijema osnovnih ploskev r1, r2 in vi²ino v dobi², £e nadintervalom [0, v] zavrti² premico y = r2−r1
vx+ r1 okrog x-osi.
46
4.1.6 Uporaba integrala pri re²evanju diferencialnih ena£b 1. reda
1. Enostavno enkrat oziroma dvakrat odvajamo funkcije in dobljeno vsta-vimo v ena£bo.
2. (a) y = aebx + c; b = 12in c = −2.
(b) y = a arctan(bx) + c; a = b = 1,
(c) y = ax,
(d) y = ax2 + bx+ c; a = 12, b = 0.
3. (a) y = 52e2x − 3
2,
(b) y = − 2
(24x−25)13,
(c) y = tan(x+ π4),
(d) y = (3x2+2)13
213
,
(e) y = e1−1x ,
(f) y = −x−1x+1
,
(g) y = tan(x2
2),
(h) y = − 62x3+6x−11 ,
(i) y = (12 log x+3x4+1)13
413
,
(j) y = e−2x.
4. (a) y = e−x ((x2−2x+3) ex+c),
(b) y = 12ex(e2x + 2c),
(c) y = (c − 1x2
)x
(d) y = x(x3
3+ c)
(e) y = x log x− log 2x
(f) y = e−x2(2 ex
2 − 3),
(g) y = x4−7x3
,
(h) y = e−x3(2 ex
3 − 3),
5. ena£ba: dTdt
= k(T − 5), za£etna pogoja: T (0) = 25, T (12) = 15,
re²itev: T (t) = 100 · 4−t + 5.
6. ena£ba: y′ − yx
= −1, za£etni pogoj: y(1) = 1,re²itev: y = 1
x.
47
7. ena£ba: mdvdt
+kv = mg (2. Newtonov zakon), za£etni pogoj: v(0) = v0,re²itev: v(t) = mg
k+ e−
ktm (v0 − mg
k).
8. ena£ba: dmdt
= 1− 2100m, za£etni pogoj m(0) = 0,
re²itev: m(t) = 50− 50e−2
100t.
9. ena£ba: y′(t) = 3− 2 y200+t
, za£etni pogoj y(0) = 100,
re²itev: y(t) =3(t3
3+200 t2+40000 t
)+4000000
(x+200)2.
4.2 Vektorji in matrike
4.2.1 Vektorji v trorazseºnem prostoru
1. (a) (i) ~b · ~c = 10, |~b| =√
5, |~b| =√
14, cosϕ~b,~c = 10√70,
~a1 = 1√2(1,−1, 0), ~a4 = 4√
2(1,−1, 0), |2~a− 3~b+ ~c| =
√66,
(ii) ~a×~b = (−2,−2,−1), p~a,~b = |(−2,−2,−1)| = 3,
(iii) (~a,~b,~c) = 1, vektorji ~a, ~b, ~c niso komplanarni, V (~a,~b,~c) = 16,
(iv) Vektorji ~a, ~b, ~c so linearno neodvisni, ~d = 5~a− ~c.
(b) (i) ~b · ~c = −1, |~b| =√
5, |~b| =√
2, cosϕ~b,~c = − 1√10,
~a1 = 13(2,−1, 2), ~a4 = 4
3(2,−1, 2), |2~a− 3~b+ ~c| = 8,
(ii) ~a×~b = (−4,−2, 3), p~a,~b = |(−4,−2, 3)| =√
29,
(iii) (~a,~b,~c) = −7, vektorji ~a, ~b, ~c niso komplanarni, V (~a,~b,~c) = 76,
(iv) Vektorji ~a, ~b, ~c so linearno neodvisni, ~d = − 211~a+ 6
11~b− 7
11~c.
2. (a) α = 3, (b) α1 = 0, α2 = 12, (c) α = −12.
3. (a) (i) ~AB = (−1,−1,−2) in ~AC = (2, 2, 1) nista kolinearna,
(ii) ~AB × ~AC = (−9, 9, 0) = ~CB × ~AC, p(4ABC) = 92
√2,
(iii) ~0D = ~0C + ~BA = (2, 5, 8),(iv) ~r = (−2, 1, 7) + t(−3,−3, 3),(v) −9x+ 9y = 27.
(b) (i) ~AB = (−4, 3,−5) in ~AC = (−3,−4,−10) nista kolinearna,
(ii) ~AB× ~AC = (−50,−25, 25) = ~CB× ~AC, p(4ABC) = 25√
6,
(iii) ~0D = ~0C + ~BA = (2,−7,−6),
48
(iv) ~r = (−3, 3,−6) + t(−1, 7, 5),(v) −50x− 25y + 25z = −75.
4. (a) A = (−2,−1, 3) · (−5, 0, 1) = 13,
(b) ~M = (1,−3, 5),
(c) ~r = (3, 1,−1) + t(−2, 1, 1),
(d) −y + 2z = −3,
(e) x+ y + z = −1.
5. (a) (i) T 63 p, (−2, 1,−3), (−3, 3,−2) ∈ p,(ii) p : x−1
−1 = y−42
= z+21,
(iii) −x+ 2y + z = 5 (2x+ y + 2z = 0),(iv) 2x− 4y + 10z = −34,(v) T 6∈ Σ, (0, 0, 1), (2, 0, 0) ∈ Σ,(vi) x− 3y + 2z = −15,(vii) x−1
1= y−4−3 = z+2
2(x1
= y−4−3 = z+2
2),
(viii) x−11
= y−41
= z+21, x−1
1= y−4−1 = z+2
−2 ,
(ix) (35,−21
5,−28
5),
(x) Projekcija T na p: (−83, 73,−7
3); zrcalna slika: (−19
3, 23,−1
3).
Projekcija T na∑
je (3117, 2617,− 6
17), zrcalna slika: (45
17,−16
17, 2217
).
(xi) x− 35
− 9965
=y+ 21
512865
=z+ 28
530965
,
(xii) Ne obstaja.
(b) (i) T 6∈ p, (0, 0, 0), (2, 1, 2) ∈ p,(ii) p : x+1
2= y
1= z−1
2,
(iii) 2x+ y + 2z = 0 (2x+ y + 2z = 1),(iv) x− 4y + z = 0,(v) T 6∈ Σ, (1, 1, 1), (1, 0, 0) ∈ Σ,(vi) x+ y − z = −2,(vii) x+1
1= y
1= z−1−1 (x
1= y
1= z−1−1 ),
(viii) x+11
= y1
= z−12
(x+12
= y−1 = z−1
1),
(ix) (2, 1, 2),(x) Projekcija T na p: (0, 0, 0); zrcalna slika: (1, 0,−1).
Projekcija T na Σ: (0, 1, 2); zrcalna slika: (1, 2, 3).(xi) x−2
63
= y−123
= z−273
,
(xii) x−11
= y−10
= z−11.
49
6. (a) Premici se ne sekata.
(b) V preseku je premica x = 52− t, y = 7
2− 3t, z = t. Objekta se
sekata pravokotno.
(c) V preseku je to£ka (32,−6, 19
2). Objekta pa se sekata pod kotom
π2− arccos( 2√
17).
4.2.2 Osnovne matri£ne operacije in lastnosti matrik
1. (a) Aa, aTA, aTE, aTF , Bb, bTB, bTD, Da, Cb, bTC, Ec, Fb, bTG,Gc, cTH, Hb.
(b) AE, AF , DA, BC, CB, BD, CD, BG, CG, FB, FC, HC, DE,DF , FD, HD, EH, FG, GH.
(c) A2 − 3A, BCD.
2. (a) detA = 3, A−1 =
[23−1
3
−13
23
],
(b) detA = 0, A ni obrnljiva,
(c) detA = −1, A−1 =
−2 0 10 3 −21 −2 1
,(d) detA = 1, A−1 =
−24 18 520 −15 −4−5 4 1
,(e) detA = −1, A−1 =
−7 −4 25 3 −14 2 −1
,(f) detA = −1, A−1 =
4 5 −7−1 −1 22 3 −4
,3. (a)
[32
154
65
] [3 22 3
]=
[152
514720
4910
], (b)
[32
154
65
]−1[10 1211 12
]=
[2011
4811
8011
6011
].
4. (a) X =
−8 −7 89 6 −8−3 −1 2
, Y =
6 −10 55 −3 0−12 14 −5
,
50
(b) X =
0 −1 1−2 1 −13 −1 1
, Y =
1 0 2−1 −1 −21 −1 2
,(c) X =
5−11
585
, ena£ba Y A = B ni dobro de�nirana,
(d) ena£ba AX = B ni dobro de�nirana, Y =
[0 6 45 −21 −12
].
5. (a) X =
053
−2
. (b) X =
3 4 −13 4 −11 1 0
.6. (a) α
[a+ 2b 4a2a− b 3a+ b
]+ β
[c+ 2d 4c2c− d 3c+ d
]=
=
[(αa+ βc) + 2(αb+ βd) 4(αa+ βc)2(αa+ βc)− (αb+ βd) 3(αa+ βc) + αb+ βd
],
bazaM:{[
1 42 3
],
[2 0−1 1
]},
(b) X, Y ∈M: A(αX + βY ) = αXA+ βY A = (αX + βY )A,
bazaM:{[
1 00 1
],
[0 1−2 −3
]},
7. (a) Projekcija na x-os.
(b) Vrteº okrog (0, 0) za −π2.
(c) Razteg za 2 glede na (0, 0, 0).
(d) Zamenjava koordinat x, y.
(e) Projekcija na xy-ravnino.
(f) Zrcaljenje £ez xy-ravnino.
8. (a) A =
−1 0 00 −1 00 0 −1
,(b) A =
[1 1
],
(c) A =
1 0 −10 1 01 0 1
,
(d) A =
0 −1 21 0 1−2 −1 0
,(e) A =
1 0 00 1 00 0 0
,(f) A = 1
9
1 −2 −1−2 4 2−2 4 2
.9. (a) Z ustreznim potenciranjem in se²tevanjem matrik opazi, da so
dane matrike ni£le ustreznih polinomov. Sledi, da so med ni£lamiteh polinnomov tudi nekatere lastne vrednosti matrik.
51
(b) ∆A(λ) = −λ3, detA = 0, SledA = 0, λ1,2,3 = 3,∆B(λ) = −(λ − 1)(λ2 − λ − 8), detB = −8, SledB = 2, λ3 = 1,λ1,2 = 1+±
√33
2,
∆C(λ) = −λ3 + 7λ2 − 13λ+ 5, detC = 5, SledC = 7.
10.[0 b0 0
]in[0 0b 0
]za b ∈ R2,
[a b
−a2
b−a
]za a, b 6= 0.
11. (a) λ1 = −2, v1
[11
], λ2 = 2, v2 =
[1−1
],
(b) λ1 = −2, v1
[1−1
], λ2 = 1, v2 =
[10
],
(c) λ1 = 3, v1
[1−2
], λ2 = 2, v2 =
[1−1
],
(d) λ1 = 3, v1
[11
], λ2 = −2, v2 =
[1−4
].
12. Pri danih A in v re²i enostavno ena£bo Av = λv.
(a) λ1 = 2, λ2 = 0, (b) λ1 = 2, λ2 =√17+92
.
13. Preveri, da za dano matriko A in pripadajo£e ²tevilo λ velja enakostdet(A−λI3) = 0, nato pa re²i ena£bo (A−λI3)vλ = 0, t.j. poi²£i lastnivektor vλ.
(a) v−2 = [1, 1, 2]T , v41 = [1, 0,−1]T , v42 = [0, 1, 1]T ,
(b) v51 = [1, 2,−3]T , v−31 = [1, 0, 1]T , v−32 = [0, 1, 2]T ,
(c) v4 = [2, 1, 1]T , v2 = [0, 1,−1]T ,
(d) v3 = [1,−2, 1]T , v0 = [1, 1, 1]T ,
14. Ozna£imo z vλ lastni vektor za lastno vrednost λ:
(a) v−1 = [0, 1, 1]T , v1 = [0, 1,−1], v−2 = [1, 0, 0],
(b) v−3 = [2,−5, 0]T , v4 = [1, 1, 0], v2 = [3, 15,−5],
(c) v3 = [2, 3,−2]T , v−4 = [1,−2,−1], v0 = [1, 6,−13],
(d) v2 = [1,−1,−2]T , v−1 = [1,−1,−1], v1 = [1, 0,−1],
15. Av = λv: (A2 + 3I)v = (A(Av) + 3v) = (A(λv) + 3v) = (λ2 + 3)v.
52
16. Veljati mora∣∣∣∣ a− λ 1
b c− λ
∣∣∣∣ = (1−λ)(2−λ), od koder sledi ac−b = 2
in a+ c = 3. Dve izmed re²itev sta denimo[
2 10 1
]in[
4 16 −1
].
17. Ozna£i[
13 −5−5 13
], v =
[xy
]in v′ =
[x′
y′
], da dobi² zvezo 13x2 −
10xy + 13y2 = vTAv = v′TP TAPv′, kjer je P ustrezna matrika in v =Pv′. Nadalje opazi, da ima A lastni vrednosti 8 in 18, ter pripadajo£a
enotska lastna vektorja v8 = 1√2
[11
]in v18 = 1√
2
[1−1
]. Matrika
P = 1√2
[1 11 −1
]predstavlja rotacijo za kot π
4, zato dobi², da je dana
krivulja dobljena z rotacijo krivulje 0 = 13x2 − 10xy + 13y2 − 72 =8(x′)2 + 18(y′)2 − 72 = za kot π
4.
4.2.3 Uporaba matrik pri re²evanju sistemov linearnih ena£b
1. (a) Dani sistem: x = t, y = 2t− 3, z = 12t− 1
2, t ∈ R,
Prvi ena£bi: x = t, y = 2t− 3, z = 12t− 1
2, t ∈ R,
�tiri ena£be: x = 97, y = −3
7, z = 1
7.
(b) Dani sistem: x = 1, y = 2, z = 3,Prvi ena£bi: x = 1, y = t, z = 5− t, t ∈ R,�tiri ena£be: ni re²itve.
(c) Dani sistem: ni re²itve,Prvi ena£bi: x = t, y = 2t− 3, z = 1
2t− 1
2, t ∈ R,
�tiri ena£be: ni re²itve.
(d) Dani sistem: x = −32, y = 11
4, z = −3
4,
Prvi ena£bi: x = −32, y = 7
2+ t, z = t, t ∈ R,
�tiri ena£be: ni re²itve.
2. 12, 16, 24.
3. (a) Glej nalogo 1.(1b).
(b) Glej nalogo 1.(1a).
(c) Glej nalogo 1.(1c).
4. (a) Dani sistem: x = 1, y = 0, z = 2, w = −1.Prve tri ena£be: x = 3
2t+ 5
2, y = t+ 1, z = 7
2t+ 11
2, w = t, t ∈ R,
Pet ena£b: ni re²itve.
53
(b) Dani sistem: x = 1, y = 2, z = 0, w = −1.Prve tri ena£be: x = −1
2t+ 1
2, y = 1
2t+ 5
2, z = t+ 1, w = t, t ∈ R,
Pet ena£b: ni re²itve.
(c) Dani sistem: x = −8, y = t+ 3, z = 2t+ 6, w = t, t ∈ R,Prve tri ena£be: x = −8, y = t+ 3, z = 2t+ 6, w = t, t ∈ R,Pet ena£b: x = −8, y = 3, z = 6, w = 0.
(d) Dani sistem: x = −1, y = 1, z = 0, w = −2.Prve tri ena£be: x = 20t+29
11, y = −10t+9
11, z = −8t+16
11, w = t, t ∈ R,
Pet ena£b: ni re²itve.
(e) Dani sistem: x = −8, y = 2, z = 4, w = −1.Prve tri ena£be: x = −8, y = 11t+ 3, z = 2t+ 6, w = t, t ∈ R,Pet ena£b: ni re²itve.
5. ~d = 72~a+ 8~b+ 13
4~c.
6. t = 13t+ 35, g = 180− t, t = −1
3t− 125, n = t.
7. 18, 12, 0, 6.
8. (a) x = 8a+4a+2
, y = 5a+2a+2
, z = 4a+2
, a 6= 2,
(b) x = − 1a+3
, y = 3a+104a+12
, z = − a+22a+6
, w = − a+64a+12
, a 6= −3.
4.3 Realne funkcije ve£ spremenljivk
4.3.1 Osnovne lastnosti in zveznost
1. (a) Df = (R \ {1})× [0,∞), Zf = R,(b) Df = (R \ {1})× (R \ {2}), Zf = R,(c) Df = (0,∞)× (R \ {0}), Zf = R,(d) Df = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1}, Zf = [0,∞),
(e) Df = {(x, y) ∈ R2 | y < x2}, Zf = R,(f) Df = (−1, e− 1]× R, Zf = [0,∞).
2. (a) ravnina; nivojske krivulje: premice x = C, C ∈ R;(b) ravnina; nivojske krivulje: premice y = −1
2x+ C, C ∈ R,
(c) stoºec; nivojske krivulje: hiperbole xy = C > 0, to£ka (0, 0),
(d) elipti£ni paraboloid; elipse 4x2 + y2 = C > 0, to£ka (0, 0),
54
(e) hiperbolni paraboloid; hiperbole x2−y2 = C 6= 0, premici y = ±x,(f) stoºec; kroºnice x2 + y2 = C (C > 0), to£ka (0, 0).
3. (a) P (r, v) = πr2 + 2πrv,
(b) V (a, v) = 13a2v,
(c) s(a, t) = 12at2,
(d) R(R1, R2, R3) = 11R1
+ 1R2
+ 1R3
.
4. (a) R2 \ {(0, 0)},(b) R2 \ ∪k∈Z{(x, y) ∈ R2 | xy = π
2+ kπ ∨ xy = 0},
(c) R2 \ {(0, 0)},(d) R2 \ {(0, 0)},(e) R2,
(f) R2 \ ({0} × (R \ {0})).
4.3.2 Parcialni odvodi in ekstremi funkcij
1. ∂x2 sin y∂x
(1, π2) = limx→1
(x2 sin π2)−1
x−1 = 2.
2. Vse funkcije lahko enostavno odvajamo z neposredno uporabo pravilza odvajanje vsote, produkta, kvocienta in kompozituma funkcij ve£ihspremenljivk.
3. (a) Df = R2 \ {(0, 0)}, ∂f∂x
= 2xx2+y2
, ∂f∂y
= 2yx2+y2
,
(b) Df = (R\{0})×R, ∂f∂x
= y+sin yx− y
xcos y
x, ∂f
∂y= x+cos y
x.
55
4. 0.
5. Tangentna ravnina v to£ki (−1, 0, 12): −1
2x + z = 1; tangentni ravnini
(vzporedni z x+ y + z = 3) sta: x+ y + z = ±11√
23.
6. (a) y − y2
2+ y3
3+ (y − y2
2)x+ (y
2)x2 + . . .,
(b) 2 + y − y3
6+ (2 y − y3
6)x+ (1 + y
2)x2 + . . .
7. Lokalni ekstremi lahko nastopijo le v kriti£nih to£kah funkcije f . �eje Hessejeva determinanta funkcije f v neki kriti£ni to£ki (a, b) pozi-tivna (oziroma negativna), potem f tam ima (oziroma nima) lokalniekstrem, £e je ∂2f
∂x2(a, b) > 0 je minimum, sicer pa maksimum. (Vrednost
Hessejeve determinante 0 pa nam ne pove ni£esar.)
(a) Lokalni minimum: (12, 32), f(1
2, 32) = −15
4.
(b) Lokalna minimuma: ±(12, 32), f(±(1
2, 32)) = 3
2.
(c) Lokalni minimum: (1, 1), f(1, 1) = −1.
(d) Nima lokalnih ekstremov. (Edina kriti£na to£ka je (0, 0), v katerije Hessejeva determinanta enaka 0. Opazi pa se, da je f(0, y) < 0za y 6= 0, ter f(x, x) = x3 > 0 za x > 0.)
(e) Ni lokalnih ekstremov.
(f) Lokalni maksimum: (2, 1), f(2, 1) = 4.
(g) Lokalni minimumi: (−π2
+ 2kπ, 0), f(−π2
+ 2kπ, 0) = −2, k ∈ Z.(h) Lokalni maksimum: (−2, 1), f(−2, 1) = 4
e2.
(i) Lokalni maksimum: (1, 0), f(1, 0) = 1e.
(j) Nima lokalnih ekstremov.
8. Kandidate za maksimalno oziroma minimalno vrednost dane funkcijef(x, y) pri pogoju g(x, y) = c poi²£emo med kriti£nimi to£kami funkcijeL(x, y, λ) = f(x, y)− λ(g(x, y)− c).
(a) Kandidate za ekstremne to£ke i²£emo 'med' kriti£nimi to£kamifunkcije L(x, y, λ) = f(x, y)− λ(x2 + y2 − 4); dobimo ±(
√2,√
2),±(√
2,−√
2). Najve£ja vrednost funkcije je 16, najmanj²a pa 0.
(b) Kandidati za ekstrene to£ke:-notranjost obmo£ja: (0, 0),-rob (x2 + y2 = 1): ±(
√22,√22
), ±(√22,−√22
) ('med' kriti£nimi to£-kami L(x, y, λ) = f(x, y)− λ(x2 + y2 − 1)),Najve£ja vrednost funkcije je 3 + 5
2, najmanj²a pa 3− 5
2.
56
(c) Kandidati za ekstrene to£ke:-notranjost obmo£ja: (0, 0),-rob (x2+y2 = 1): (±1, 0), (0,±1), (1
2,±√3
2g[])±(
√22,√22
), ±(√22,−√22
)
('med' kriti£nimi to£kami L(x, y, λ) = f(x, y)− λ(x2 + y2 − 1)),Najve£ja vrednost funkcije je 2, najmanj²a pa −2.
(d) Kandidati za ekstrene to£ke:-notranjost obmo£ja: (0, 0), ±(1, 1),-rob (x = 0, y = 0, x = 8, y = 8): (8, 2),-ogli²£a: ±(0, 0), (0, 8), (8, 0), (8, 8). Najve£ja vrednost funkcijeje 3970, najmanj²a pa 2.
(e) Kandidati za ekstrene to£ke:-notranjost obmo£ja: (−2
3,−4
3),
-rob (x2+y2 = 4): (−1,√
3), (−1,−√
3) in (2, 0) ('med' kriti£nimito£kami g(x, y, λ) = f(x, y)− λ(x2 + y2 − 4)),Najve£ja vrednost funkcije je 5 + 3
√3, najmanj²a pa −1
3.
(f) Kandidati za ekstremne to£ke: -notranjost obmo£ja: (−23,−4
3),
f(−23,−4
3) = −1
3,
-notranjost roba (x = ±1, y = ±1): (−12,−1), (1,−1
2),
-ogli²£a: ±(1, 1), ±(1,−1). Najve£ja vrednost funkcije je torej 6,najmanj²a pa −1
3.
(g) Kandidati za ekstrem:-notranjost obmo£ja: (2, 1), f(2, 1) = 4,-notranjost roba x+y = 6 ali x = 0 ali y = 0: (4, 2), f(4, 2) = −64,-ogli²£a: f(0, 0) = f(6, 0) = f(0, 6) = 0.
(h) Kandidati za ekstremne to£ke:-notranjost obmo£ja: (0, 0),-notranjost roba x+ y = 6 ali x = 0 ali y = 0: brez,-ogli²£a: ±(1, 1), ±(1,−1). Najve£ja vrednost funkcije je 3, naj-manj²a pa −5.
(i) Kandidati za ekstremne to£ke:-notranjost obmo£ja: (0, 0),-rob (x = ±1, y = ±1): brez-ogli²£a: ±(1, 1), ±(1,−1). Najve£ja vrednost funkcije je 3, naj-manj²a pa −5.
(j) Kandidati za ekstremne to£ke:-notranjost obmo£ja: (0, 0), (1, 1),-rob (x2 + y2 = 4): ±(
√2,√
2), 12(−1 +
√5±
√2 + 2
√5),
57
12(−1 +
√5∓
√2 + 2
√5),
Najve£ja vrednost funkcije je −1 + 5√
5, najmanj²a pa 6− 4√
2.
9. Kandidati za ekstremne to£ke funkcije f(x, y) = x3 + y3 + (5− x− y):- notranjost obmo£ja (x, y > 0 in x+ y < 5): ( 1√
3, 1√
3) (kriti£na to£ka),
- notranjost roba (y = 0 ali x = 0 ali x+y = 5): ( 1√3, 0), (0, 1√
3), (5
2, 52),
- ogli²£a: (0, 0), (0, 5), (5, 0).Minimalno vrednost dobimo v to£ki ( 1√
3, 1√
3).
10. Kandidati za ekstremne to£ke funkcije f(x, y) = x2y2(12− x− y):- notranjost obmo£ja (x, y > 0 in x+ y < 12): (24
5, 24
5) (kriti£na to£ka),
- roba (y = 0 ali x = 0 ali x+ y = 12): f(x, y) = 0,Maksimalno vrednost dobimo v to£ki (24
5, 24
5).
11. Pravokotnik z najve£jo plo²£ino v krogu je kvadrat, v elipsi pa pravo-kotnik z ogli²£i (±
√2,±3
2
√2).
12. (x1,2, y1,2) = (±157,±4
7); poiskati je potrebno to£ke na elipsi, kjer je
doseºen maksimum funkcije z = 3x−y, le-te so 'med' kriti£nimi to£kamifunkcije F (x, y, λ) = 3x− y − λ(x
2
5+ y2
4− 1).
13. (a) Glej podobno nalogo (12).
(b) (±√
1316,−3
4), (0, 0,
√3); to£ki najdemo 'med' kriti£nimi to£kami
funkcije L(x, y, z, λ) = x2 + y2 + (z + 12)2 − λ(x2 + y2
2+ z3
3− 1).
14. a = b = 3√
4, v = 3
√12.
1. (a) y = 710
(re²itev sistema ena£b mβ + (∑m
i=1 xi)α =∑m
i=1 yi in(∑m
i=1 xi)β + (∑m
i=1 x2i )α =
∑mi=1 xiyi.)
(b)
m∑xi
∑x2i∑
xi∑x2i
∑x3i∑
x2i∑x3i
∑x4i
cba
=
∑ yi∑xiyi∑x2i yi
.
4.3.3 Mnogoterni integral
1. (a)∫ 1
0dx∫ 2
0(x2 + y)dy = 3,
(b)∫ 2
0dy∫ y
2y6
(x+ y)dx+∫ 6
2dy∫ 1y6(x+ y)dx = 20
3,
(c)∫ 1
0dy∫ 1
1yx2ydx+
∫ 2
1dy∫ 1
yx2ydx = 13
5,
58
(d)∫ 2
0dy∫ 1
y(x2 − xy)dx = 2,
(e) −∫ 1
−1 dx∫ 2
2x2x2dy = −8
5,
(f)∫ 0
−1 dy∫√1−y20
f(x, y)dx+∫ 1
0dy∫ 1−y0
f(x, y)dx = π16
+ 112,
(g) pokon£na tristrana prizma z vi²ino 1 in z osnovno ploskvijo vogli²£ih (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0); integral: 5,
(h) tristrana piramida z osnovno ploskvijo v ogli²£ih (0, 0, 1), (0, 1, 1),(1, 1, 1) in vrhom (0, 0, 0); integral: 1
4.
2. (a)∫ 1
−1 dx∫ 2
0xydy =
∫ 2
0dy∫ 1
−1 xydx = 0,
(b)∫ 1
0dy∫ 2
yxydx =
∫ 1
0dx∫ x0xydy +
∫ 2
1dx∫ 1
0xydy = 7
8,
(c)∫ 1
−1 dx∫ √1−x20
xydy =∫ 1
0dy∫√1−y2
−√
1−y2xydx = 0,
(d)∫ 1
0dx∫ √xx
xydy =∫ 1
0dy∫ yy2xydx = 1
24,
(e)∫ 4
0dx∫ √xx/2
xydy =∫ 2
0dy∫ 2y
y2xydx = 8
3.
3. (a)∫ 1
0dr∫ π
2
0r2dϕ = π
6,
(b)∫ 1
0dr∫ 2π
0r2dϕ = 2π
3,
(c)∫ 1
0dr∫ ππ4r3 sinϕ cosϕdϕ = − 1
16.
4.3.4 Uporaba mnogoternega integrala v �ziki in geometriji
1. Lik L je sestavljen iz trikotnika z ogli²£i (0, 0), (0, 1) in (−1, 0) ter£etrtine kroga v prvem kvadrantu z radijem 1.
Plo²£ina lika je zato P = 12
+ π4. Koordinate teºi²£a:
XT = 1P
(∫ 1
0
∫ π2
0r cosϕdrdϕ+
∫ 0
−1
∫ x+1
0xdxdy
)= 4
6+3π,
yT = 1P
(∫ 1
0
∫ π2
0r sinϕdrdϕ+
∫ 0
−1
∫ x+1
0ydxdy
)= 2
2+π.
2. (a)∫ π
2
−π2dψ∫ 2π
0dϕ∫ 1
0((r sinψ)2r2 cosψ)dr = 4π
15,
(b)∫ π
2
0dψ∫ 2π
0dϕ∫ 2
0((r sinψ)2r2 cosψ)dr = 56π
15,
(c)∫ 2
0dz∫ 2π
0dϕ∫ 1
0z2rdr = 8π
3,
(d)∫ 2
0dz∫ 2π
0dϕ∫ 1− z
2
0z2rdr = 4π
15,
59
(e)∫ π
2π6dψ∫ 2π
0dϕ∫ 2
0((r sinψ)2r2 cosψ)dr = 128π
15.
3. (a) V =∫ 2
0dx∫ 1
−1(x2 + y2)dy = 4
3.
(b) V =∫ 2
0dx∫ x0
(x2 + y2)dy = 163.
(c) V =∫ 1
0dx∫ √xx
x2y2dy = 154.
(d) Telo je obmo£je med stoºcem in rotacijskim paraboloidom, ki sesekata v izhodi²£u in v kroºnici x2 + y2 = 16 na ravnini z = 4. Povpeljavi cilindri£nih koordinat dobimo
V =
∫ 2π
0
dϕ
∫ 4
0
dz
∫ √4zz
rdr =
∫ 2π
0
dϕ
∫ 4
0
(4z
2− z2
2)dz = 2π
43
12.
(e) Sfera in stoºec se sekata v kroºnici x2 + y2 = 34na ravnini z = 3
2.
V sferi£nih koordinatah je potem
V =
∫ 2π
0
dϕ
∫ π6
0
dψ
∫ 2 cosψ
0
r2 sinψdr =7π
12.
4. (a) M =∫ π
2
0dψ∫ 2π
0dϕ∫ 1
0((r sinϕ sinψ)2r2 sinψ)dr = 2π
15,
zT = 152π
∫ π2
0dψ∫ 2π
0dϕ∫ 1
0(r cosψ(r sinϕ sinψ)2r2 sinψ)dr = 5
16,
teºi²£e: (0, 0, 516
).
(b) M =∫ 1
0dz∫ 2π
0dϕ∫ 1
0((r cosϕ)2 + z2)rdr = 7
12π,
xT = 127π
∫ 1
0dz∫ 2π
0dϕ∫ 1
0(r cosϕ)((r cosϕ)2 + z2)rdr = 0,
yT = 127π
∫ 1
0dz∫ 2π
0dϕ∫ 1
0(r sinϕ)((r cosϕ)2 + z2)rdr = 0,
zT = 127π
∫ 1
0dz∫ 2π
0dϕ∫ 1
0z((r cosϕ)2 + z2)rdr = 9
14,
teºi²£e: (0, 0, 914
).
(c) M =∫ 1
−1 dz∫ π0dϕ∫ 1
0((r cosϕ)2 + z2)rdr = π(6+π)
6,
xT = 6π(6+π)
∫ 1
−1 dz∫ π0dϕ∫ 1
0(r cosϕ)((r cosϕ)2+z2)rdr = − 8
3π(6+π),
yT = 6π(6+π)
∫ 1
−1 dz∫ π0dϕ∫ 1
0(r sinϕ)((r cosϕ)2 + z2)rdr = 4
3π,
zT = 6π(6+π)
∫ 1
−1 dz∫ π0dϕ∫ 1
0z((r cosϕ)2 + z2)rdr = 0,
teºi²£e: (− 83π(6+π)
, 43π, 0).
60
Literatura
[1] Demidovi£ B. P.,...in drugi, Zadaci i rije²eni primjeri iz vi²e matematike:s primjenom na tehni£ke nauke, Tehni£ka knjiga, Zagreb 1989.
[2] Dobovi²ek, M. Hladnik, M. Omladi£, M., Re²ene naloge iz analize I,DMFA, Ljubljana 1996.
[3] Mizori-Oblak, P., Matematika za ²tudente tehnike in naravoslovja 1. del,FS UL, Ljubljana 1994.
[4] Star£i£, T., Naloge iz matemati£ne analize z re²itvami: u£no gradivo,PeF UL, Ljublana, 2015.
[5] Vidav, I., Vi²ja matematika 1, DZS, Ljubljana 1976.
61
