Embed Size (px)
Citation preview
Univerza v LjubljaniPedago²ka fakulteta
Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvoKatedra za matematiko in didaktiko matematike
Tadej Star£i£
NALOGE IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGEIN KEMIKE Z RE�ITVAMI
U£no gradivo
Ljubljana, 2019
Predgovor
Izkaºe se, da je matematika zelo pomembna pri ²tudiju naravoslovnih ved,tudi biologije in kemije. Z matemati£nimi koncepti in modeli lahko namre£zelo enostavno opi²emo veliko naravnih pojavov, ter jih tako laºje posku²amorazumeti.
Pri£ujo£a zbirka nalog zajema matemati£ne vsebine s podro£ij realnihfunkcij s poudarkom na odvodu in integralu, osnove o matrikah in vektorjih,navadnih diferencialnih ena£b prvega in drugega reda, ter osnove verjetno-stnega ra£una. Veliko nalog je povezanih prav z biologijo in kemijo oziromaz vsakdanjim ºivljenjem, s £imer se ºeli opozoriti na veliko povezavo mate-matike z naravo. Na koncu so zbrane ²e re²itve, ve£inoma v obliki rezultatovin uporabnih nasvetov.
Zbirka je posebej namenjena ²tudentom Pedago²ke fakultete, ²tudijskegaprograma dvopredmetnega u£itelja biologije ali kemije, ki v prvem letniku²tudija poslu²ajo predmet Matematika v naravoslovju. Prav pa bo pri²la tudi²tudentom drugih fakultet z naravoslovno usmerjenimi ²tudijskimi programi.Njen namen pa je v prvi vrsti matematiko ²e bolj pribliºati ²tudentom, terpoglobiti znanje le-te.
Pa sre£no pri re²evanju!
Ljubljana, januar 2019 dr. Tadej Star£i£
Kazalo
1 Osnove analize realnih funkcij 4
1.1 Elementarne funkcije, limite, zveznost in primeri . . . . . . . . 41.2 Odvod in uporaba odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Nedolo£eni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Dolo£eni integral in uporaba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Diferencialne ena£be ter njihova uporaba v biologiji in kemiji 15
2.1 Diferencialne ena£be 1. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Diferencialne ena£be 2. reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Sistemi linearnih diferencialnih ena£b 1. reda . . . . . . . . . . 19
3 Vektorji in matrike 21
3.1 Algebrai£ne operacije z matrikami . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Lastne vrednosti in lastni vektorji ter primeri iz biologije . . . 233.3 Gaussova eliminacija in sistemi linearnih ena£b . . . . . . . . . 25
4 Osnove verjetnostnega ra£una 29
4.1 Pre²tevanje in kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Osnove verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Diskretne slu£ajne spremenljivke . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Re²itve 35
5.1 Osnove analize realnih funkcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.1 Elementarne funkcije, limite, zveznost in primeri . . . . 355.1.2 Odvod in uporaba odvoda . . . . . . . . . . . . . . . . 385.1.3 Nedolo£eni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.1.4 Dolo£eni integral in uporaba . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Diferencialne ena£be ter njihova uporaba v biologiji in kemiji . 455.2.1 Diferencialne ena£be 1. reda . . . . . . . . . . . . . . . 455.2.2 Diferencialne ena£be 2. reda . . . . . . . . . . . . . . . 485.2.3 Sistemi linearnih diferencialnih ena£b 1. reda . . . . . 49
5.3 Vektorji in matrike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3.1 Algebrai£ne operacije z matrikami . . . . . . . . . . . . 505.3.2 Lastne vrednosti in lastni vektorji ter primeri iz biologije 515.3.3 Gaussova eliminacija in sistemi linearnih ena£b . . . . 53
5.4 Osnove verjetnostnega ra£una . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.1 Pre²tevanje in kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . 555.4.2 Osnove verjetnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4.3 Diskretne slu£ajne spremenljivke . . . . . . . . . . . . 58
3
1 Osnove analize realnih funkcij
1.1 Elementarne funkcije, limite, zveznost in primeri
1. Kako geometrijsko izgleda graf nara²£ajo£e oziroma padajo£e funkcije?Zapi²i in nari²i kak²en primer. Pribliºno skiciraj graf funkcije, ki po-nazarja nara²£anje populacije ljudi na Zemlji?
2. Dane so poten£ne funkcije:
(a) f(x) = 2x5,
(b) f(x) = x−4 − 1,
(c) f(x) =√x+ 1,
(d) f(x) = 5 3√x,
(e) f(x) = x32 + 1,
(f) f(x) = 25√x .
Za vsako od na²tetih funkcij dolo£i de�nicijsko obmo£je in ugotovi,ali je soda, ali liha, ali ni£ od tega. �imbolj natan£no nari²i ²e grafefunkcij.
3. Dane so funkcije, ki predstavljajo
(a) stro²ke izdelave £evljev, £e za izdelavo 100 £evljev porabimo 4000EUR, za izdelavo 200 £evljev pa 7000 EUR, ter predpostavimo,da je odvisnost linearna.
(b) volumen stoºca z vi²ino 4 v odvisnosti od radija.
(c) prostornino ²katle v odvisnosti od x, kjer iz papirja pravokotneoblike dolºine 8dm in ²irine 6dm naredimo ²katlo tako, da privogalih izreºemo kvadratke s stranico x ter preostanke zavihamonavzgor in zlepimo.
(d) ²tevilo tulipanov, ki jih ima Maja v svoji gredici, v odvisnosti od²tevila vrst, £e so le-ti enakomerno razporejeni v vrste z enakim²tevilom tulipanom in je ²tevilo tulipanov v vrsti za pet ve£je od²tevila vseh vrst.
(e) produkt dveh pozitivnih ²tevil z vsoto 2017 v odvisnosti od enegaizmed ²tevil.
(f) vi²ino stoºca z volumnom 1 l v odvisnosti od radija.
(g) stranico kocke v odvisnosti od povr²ine.
(h) maso v teoriji relativnosti m(v) = m0√1− v2
c2
, kjer je m0 masa v mi-
rovanja in c = 3 · 108m/s hitrost svetlobe v vakuumu.
4
Zapi²i eksplicitne predpise danih funkcij, kjer manjkajo, ter skicirajnjihove grafe. Katere funkcije pa nam opi²ejo obratno odvisnost danihkoli£in? Inverzne? Kdaj obstajajo? Zapi²i jih, £e je to mogo£e.
4. Dolo£i de�nicijsko obmo£je, izra£unaj ni£le, pole in asimptote nasle-dnjih funkcij ter skiciraj njihove grafe:
(a) f(x) = −3x+ 5,
(b) f(x) = −2x2 + 5x+ 3,
(c) f(x) = 2x−3x2−2x−3 ,
(d) f(x) = x2+2x+1x2−16 ,
5. Dolo£i de�nicijsko obmo£je in nari²i grafe naslednjih funkcij (pole alivodoravne asimptote ustrezno ozna£i):
(a) f(x) = 2x,
(b) f(x) = 3x−2 − 1,
(c) f(x) = (12)x + 1,
(d) f(x) = 2 ln(x),
(e) f(x) = log 12(x+ 1).
(f) j(x) = − log10(x).
6. Naj funkcija P (t) = 10001+9e−t
predstavlja spreminjanje populacije volkovna nekem obmo£ju v zadnjem desetletju. Kaj nam pove P (0)? Poi²£iinverzno funkcijo funkcije P in razloºi, kaj nam pove P−1(500).
7. Populacija nekih bakterij na goji²£u se vsako uro podvoji. Na za£etku jebilo ²tevilo bakterij 10000. S funkcijo predstavi, kako se v odvisnosti od£asa spreminja populacija bakterij, ter dolo£i njeno inverzno funkcijo.Oceni, kolik²na bo populacijo bakterij po 15 urah. Kdaj pa bo bakterij107 oziroma 1010?
8. V letu 2000 so v nekem naravnem okolju na²teli 900 sokolov. V vsakemnaslednjem letu je nato ²tevilo sokolov naraslo za 6%. Kolik²na bo popri£akovanju populacija sokolov v letih 2020 in 2030, £e upo²teva², danara²£a eksponentno (linearno)?
9. V kemiji je za merilo kislosti oziroma bazi£nosti vpeljan pH kot 'nega-tivni' logaritem koncentracije oksonijevih ionov (pH = − log10[H3O]).Kako se pove£a pH raztopine, £e se koncentracija desetkrat pove£a?Izra£unaj pH raztopine z 10−7mol/l oksonijevih ionov.
10. Poi²£i de�nicijska obmo£ja, ni£le, periode, pole, asimptote, periode,to£ke lokalnih minimumov oziroma maksimumov, ter nari²i grafe na-slednjih funkcij:
5
(a) f(x) = cos(x),
(b) f(x) = 2 sin(x− π6),
(c) f(x) = tan(x) + 1,
(d) f(x) = arcsin(x),
11. Gladina vode v nekem kraju ob morski obali je zaradi plimovanja obrazli£nih £asih dneva razli£na. Med oseko je gladina vode najmanj 2m,med plimo pa najve£ 6m. Oseka nastopi vsakih 12 ur. S sinusno funk-cijo modeliraj gladino morja v odvisnosti od £asa, t.j. dolo£i parametrefunkcije y(t) = A sin(at+ b) +B. Skiciraj ²e graf funkcije.
12. Re²i naslednje ena£be:
(a) 4x − 2x+1 − 8 = 0,
(b) log2(x+ 1) + log2(x) = 1.
(c) sin(x) = 12,
(d) arctan( xx+1
) = −1.
13. Dano je zaporedje an = 1 + 2n.
(a) Ugotovi, od kod naprej se £leni zaporedja od 1 razlikujejo za manjkot 1
100.
(b) Za poljuben ε > 0 poi²£i tak N (odvisen od ε), da bo |an− 1| < εza n > N . Odtod sklepaj na limn→∞ an = 1. Utemelji.
14. Izra£unaj naslednje limite:
(a) limn→∞−3n+22n+1
,
(b) limn→∞2n2−n−2n2+n+2
,
(c) limn→∞n2
2n,
(d) limn→∞(1 + 2n)n,
15. Dana naj bo funkcija f(x) = 41+x
.
(a) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(0, 9), f(0.99), f(0.999), . . .? Kajpa vrednosti f(1.001), g(1.01), g(1.1), . . .?
(b) Za koliko najve£ se vrednost f(x) razlikuje od vrednosti f(1) = 2,£e je x ∈ [0.8, 1.1]. (Nasvet: Upo²tevaj, da je funkcija na temintervalu padajo£a.)
(c) Za najve£ koliko se lahko x razlikuje od 1, da se bo vrednost f(x)zagotovo razlikovala od f(1) = 2 za manj kot 1
100.
(d) Za najve£ koliko se lahko x razlikuje od 1, da se bo vrednostf(x) zagotovo razlikovala od f(1) = 2 za manj kot ε. Spomni sena de�niciji zveznosti in limite funkcije f(x) v to£ki x = a, terugotovi, ali je f zvezna v x = 1 oziroma ali obstaja limx→1 f(x).
6
(e) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(10), f(100), f(1000), . . .? Kajpa vrednosti f(−10), f(−100), f(−1000), . . .?
(f) Najmanj kako velik mora biti x, da se bo vrednost f(x) razlikovalaod 0 za manj kot 1
100.
(g) Kako velik mora biti x, da se bo vrednost f(x) razlikovala od 0 zamanj kot ε. Dolo£i limx→∞ f(x), £e obstaja.
(h) Dolo£i limx→−∞ f(x), £e obstaja.
(i) Kateri vrednosti se pribliºujejo f(−0, 9), f(−0.99), f(−0.999), . . ..Kateri vrednosti pa se pribliºujejo vrednosti f(−1.1), f(−1.01),f(−1.001), . . .? Koliko je limx→−1− f(x)? Kaj pa limx→1+ f(x)?Odgovora utemelji.
16. (a) Dana je funkcija g(x) = sin(2x)x
. Kateri vrednosti se pribliºujejovrednosti g(0.1), g(0.01), g(0.001), . . .? Ali je ta vrednost limitafunkcije g, ko gre x→ 0? Odgovor utemelji.
(b) Ali je graf funkcije
h(x) =
{sin(2x)x
, x 6= 05, x = 0
sklenjen? Kako bi popravil predpis funkcije, da bi bil graf skle-njen?
17. Dolo£i de�nicijska obmo£ja in razi²£i obna²anje funkcij na robu njihovihde�nicijskih obmo£ij, poi²£i asimptote, £e obstajajo:
(a) f(x) =√x2 − 1,
(b) f(x) = ln(x3 + 1),
(c) k(x) = xe−x,
(d) f(x) = 2x+1x−1 ,
(e) f(x) = x3−x2−x+1x2+x+1
,
(f) f(x) = arctan(2x+ 3),
(Opomba: Funkcija A(x) je asimptota funkcije f(x) v ±neskon£nosti(t.j. x→ ±∞), £e je limx→±∞(f(x)− A(x)) = 0.
18. Izra£unaj naslednje limite:
(a) limx→−1x2−1x+1
,
(b) limx→1x2+x−2x2+2x−3 ,
(c) limx→1x3−1x2−1 ,
(d) limx→0sin(x)2x
,
(e) limx→0sin( 3x
2)
5x,
(f) limx→0sin(3x)sin(2x)
,
7
(g) limx→0(1 + x)2x ,
(h) limx→0(1 + 3x)2x ,
(i) limx→∞2x−2x+2
,
(j) limx→∞3x2+x−14x2−x+2
,
(k) limx→∞−2x2+x−23x2+2x−3 ,
(l) limx→∞2x
3x,
(m) limx→∞3x
2x,
(n) limx→∞(1 + 12x
)3x,
19. Dani sta funkciji:
f(x) =
{x+ 2, x < −1x2, −1 ≤ x
, g(x) =
x+ 3, x < −2x2, −2 ≤ x < 12− x, x ≥ 1
.
Poi²£i limx→−1− f(x), limx→−1+ f(x), limx→−1 f(x), ter limx→−2+ g(x),limx→−2− g(x), limx→−2 g(x), limx→1+ g(x) in limx→1− g(x). Ali je ka-tera funkcija zvezna (t.j njen graf je sklenjen) povsod? Nari²ite ²e grafafunkcij.
20. Za katera realna ²tevila a, b ∈ R je funkcija
f(x) =
x− b, x > 1ax2, 1 ≥ x ≥ −14 + 1
x, x < −1
zvezna na vsej realni osi?
21. (a) Gostota zraka v atmosferi se z vi²ino spreminja. Ali zvezno?
(b) Sredstvo A ima lomni koli£nik n1, sredstvo B pa lomni koli£nikon2. Ali se lomni koli£nik pri prehodu iz sredstva A v sredstvo Bspremeni zvezno?
22. Z besedami opi²i metodo bisekcije in nato utemelji, zakaj imajo funkcijani£le na danih intervalih, ter jih opisano metodo poi²£i (napravi vsaj²tiri korake):
(a) f(x) = x4 − 2, x ∈ [1, 2],
(b) f(x) = x3 + 2x2 − 1, x ∈ [0, 1],
(c) g(x) = x3 + 2x− 1, x ∈ [0, 1],
(d) f(x) = x− cosx, x ∈ [0, π2].
8
1.2 Odvod in uporaba odvoda
1. Zapi²i natan£no de�nicijo odvoda funkcije f(x) v poljubni to£ki x = ain po de�niciji izra£unaj odvode:
(a) f(x) = 2x3 + 2x+ 1 v to£ki x = 1,
(b) f(x) =√x v to£ki x = 2,
(c) f(x) = 12x+1
v to£ki x = 0.
2. Zapi²i pravila za odvajanje produkta f(x) · g(x), kvocienta f(x)g(x)
terkompozituma (f ◦ g)(x) = f(g(x)) dveh odvedljivih funkcij f in g, terodvajaj naslednje funkcije:
(a) y = 2x4 − x−1 + 2x−3 + x12 ,
(b) y = x4 + 2x−3 + x12 + 2,
(c) y = 1x− 3
x2+ 3√x− 3√
x,
(d) y = 3 sin x+ 4 cosx,
(e) y = 3ex − 2x + 3 lnx,
(f) y = ch(x),
(g) y = xex,
(h) y = (x+ 2) log x,
(i) y = (x2+cosx)(arcsinx+x3),
(j) y = ex
lnx,
(k) y = 2x2+1sinx
,
(l) y = arctanxx2
,
(m) y = tanx,
(n) y = sin(6x),
(o) y = arctan(2x) + e2x,
(p) y = (1 + x2)20,
(q) y = 3√
2x+ 1,
(r) y = log(3x2 − 1),
(s) y = ln(x2 + 3) arctan(3x),
(t) y =sin(3x+π
2)
x2+e2x,
(u) y = 3√
ln(4ex + x5).
(v) y = xx.
3. Ali je funkcija
g(x) =
2x− 1, x > 1x2, −1 ≤ x < 12 + x, x ≤ −1.
odvedljiva (zvezno) v to£kah x = 1 oziroma x = −1?
4. Potek neke kemijske reakcije dveh snovi v nekem momentu pospe²imos katalizatorjem, ki v trenutku pospe²i reakcijo. Ali je hitrost takekemijske reakcije gladka funkcija?
5. Dani sta funkciji
9
(a) f(x) = x3 − 3x+ 1, (b) f(x) = x3
3− 2x2 + 5x+ 1,
• Dolo£i tangento na graf funkcije v to£kah (0, y0) ali (1, y1). Alikatera izmed tangent na graf funkcije seka x-os pod kotom π
4? �e
ne, potem poskusi ugotoviti, pod kak²nim kotom ta tangenta sekax-os?
• Poi²£i tudi vse tangente na graf funkcije g, ki so vzporedne pre-mici y = 9x − 2, t.j. poi²£i vsaj eno tangento na graf funkcije skoe�cientom 9, £e le-ta obstaja.
• Poi²£i kak²no tangento oziroma njen pribliºek na graf funkcije, kigre skozi to£ko (0, 0), t. j. oblike y = kx.
6. Razloºi, kako s pomo£jo odvoda poi²£emo stacionarne to£ke odvedljivefunkcije f(x). Kako lahko ugotovimo, ali je v stacionarni to£ki doseºenlokalni minimum, lokalni maksimum ali prevoj? (Ali to deluje vedno?)Svojo razlago nato utemelji ²e na primerih:
(a) f(x) = x3 − 3x+ 1,
(b) f(x) = 32x4 − 8x3 + 12x2 − 2,
(c) f(x) = xe−x,
(d) f(x) = x2ex,
7. Natan£no opi²i strategijo iskanja globalnih ekstremov za odvedljivofunkcijo f(x), de�nirano na intervalu, ter dolo£i globalni maksimumin minimum funkcije:
(a) f(x) = (x− 1)2(x+ 2), x ∈ [−3, 32],
(b) f(x) =√x(2− x), x ∈ [0, 2),
(c) f(x) = (x2 + 3x+ 1)ex, x ∈ [−5, 0],
(d) f(x) = x3ex, x ∈ [−4, 1].
8. Zapi²i ²tevilo 2017 kot vsoto dveh pozitivnih realnih ²tevil, da bo njunprodukt najve£ji.
9. Zapi²i ²tevilo 11 kot vsoto dveh pozitivnih realnih ²tevil x in y, da bovsota prvega ²tevila in kuba drugega ²tevila minimalna.
10. V polkrog z radijem 1 v£rtaj pravokotnik z maksimalno plo²£ino.
11. Babica Francka ºeli imeti zelenjavni vrt pravokotne oblike, ki bo tik obeni izmed sten njene hi²e. (Ograditi je treba le tri stranice.) Kak²nihdimenzij naj bo vrt, da bo
10
(a) njegova povr²ina najve£ja, ter bo zanj zadostovalo 10 metrov ograje?
(b) njegova povr²ina enaka 10m2, ter bo zanj potrebno najmanj ograje?
12. Kak²ne morajo biti dimenzije plo£evinke z volumnom 0.33l v oblikivalja, da bo njihova izdelava najcenej²a.
13. V neki tovarni pakirajo kavo v kartonaste posodice, ki so oblike kvadras kvadratnim dnom, pri £emer je pokrov£ek posodice iz plastike. Cena1 dm2 kartona je 2 centa, cena 1 dm2 plastike pa 1 cent.
(a) Zapi²i funkcijo, ki predstavlja volumen steklenega dela posodice,narejenega iz 12 dm2 kartona, v odvisnosti od ene stranice poso-dice. Kak²ne naj bodo dimenzije take ²katle, da bo njen volumennajve£ji.
(b) Zapi²i funkcijo, ki predstavlja ceno posodice z volumnom 1 dm3 vodvisnosti od stranice posodice. Izra£unaj tudi, kak²ne naj bododimenzije posodic, da bodo stro²ki materiala minimalni.
14. Dane so funkcije:
(a) f(x) = x3 − 3x+ 1,(b) f(x) = x4 − 6x2 + 8x+ 4,(c) f(x) = x
√1− x2,
(d) f(x) = x−1√x3,
(e) g(x) = ex
x2,
(f) f(x) = (x2 − 2x− 1)e12x,
(g) f(x) = x3e−2x,
(h) f(x) = 5xe−x2,
(i) f(x) = ln(2x− 1)− 3x,
(j) f(x) = ln(x)x
,
(k) f(x) = −x2 + 2 log(x),
• Danim funkcijam dolo£i de�nicijsko obmo£jeDf , pole, ni£le, asimp-toto, lokalne ekstreme, intervale nara²£anja ter padanja, zalogovrednosti, ter nari²i njihove grafe.
11
• Dolo£i tudi intervale konveksnosti in konkavnosti ter prevoje danihfunkcij.
1.3 Nedolo£eni integral
1. Natan£no opi²i, kaj pomeni, da je funkcija F nedolo£eni integral funk-cije f . Ali ima funkcija lahko ve£ nedolo£enih integralov? Odgovor ute-melji. Nedolo£ena integrala katerih funkcij sta funkciji F (x) = x sin(x)in G(x) = x2ex?
2. Izra£unaj naslednje nedolo£ene integrale:
(a)∫
(2x3 + x32 + 3x−
12 + 4)dx,
(b)∫
( 3√x− 3√
x+ 1
x− 3
x2)dx,
(c)∫
(2x−2 − e2x)dx,
(d)∫
(3 sin(2x) + 4 cosx)dx,
(e)∫
31+x2
dx,
(f)∫
1√1−4x2dx.
3. Natan£no opi²i pravilo zamenjave spremenljivke v nedolo£enem inte-gralu in izra£unaj naslednje nedolo£ene integrale:
(a)∫
(2x+ 1)15dx,
(b)∫
3x cos(x2 + 3π4
)dx,
(c)∫
cos√x√
x,
(d)∫x 3√x2 + 1dx,
(e)∫
x2√1+x3
dx,
(f)∫xe−x
2dx,
(g)∫ √ln(x)+1
xdx,
(h)∫ (lnx)3+1
x(lnx)dx,
(i)∫
(sin(x) + 2)5 cos(x)dx,
(j)∫ sinx( 3√cosx+(cosx)2)
cosxdx,
(k)∫
sinx1+cos2(x)
dx,
(l)∫
sinx cosx3√1+cosx
dx.
4. Natan£no opi²i pravilo integracije 'per-partes' in izra£unaj naslednjeintegrale:
(a)∫x sin(2x)dx,
(b)∫
(2x− 3) cos(5x)dx,
(c)∫
3x cos(5x+ 2π3
)dx,
(d)∫
(2x2 + 1) sin(x)dx,
(e)∫
(x+ 1)e−3xdx,
(f)∫
(3x2 + x− 2)exdx,
(g)∫
(x2 − 3x+ 1) ln(x)dx,
(h)∫
(x4 + 2x) lnxdx.
5. Izra£unaj nedolo£ene integrale naslednjih racionalnih funkcij:
12
(a)∫
2x3+2x+1x−1 dx,
(b)∫
x4+2x2+2x+1x−2 dx,
(c)∫
x2+2x−1x2+1
dx,
(d)∫
2x−3x2−2x−3dx,
(e)∫
x2+x+1x2−x−2dx,
(f)∫
x2+9x+2(x−1)2(x+3)
dx,
(g)∫
dx2+8x2
,
(h)∫
4xx2+1
dx,
(i)∫
4x+3x2+2x+2
dx,
(j)∫ −x2+2x−2
x(x2+1)dx.
6. Izra£unaj naslednje nedolo£ene integrale:
(a)∫ 2 ln(x)
((ln(x))2+1)xdx,
(b)∫ (ex−3)ex
(ex+1)(ex+2)dx,
1.4 Dolo£eni integral in uporaba
1. Zapi²i de�nicijo nedolo£enega in (na kratko) de�nicijo dolo£enega in-tegrala. Kako sta oba integrala povezana (osnovni izrek integralskegara£una)? Izra£unaj naslednja dolo£ena integrala:∫ 3
2
2xdx,
∫ √30
xdx√1 + x2
.
2. Natan£no napi²i izjavo osnovnega izreka integralskega ra£una in povej,koliko je odvod danih funkcij v to£ki x = 3π/2:
F (x) =
∫ x
1
sin t
t, G(x) =
∫ x
0
e−t2
dt.
3. Avtomobila A in B v £asu t = 0 mirujeta, nato pa hitrost avta A vodvisnosti od £asa t ∈ [1, 20] (v s) opi²emo s funkcijo vA(t) = 6
√t+ 1
(v m/s), pospe²ek avta B pa z aB(t) = cos(πx). Kako se v odvisnostiod £asa spreminjata poti avtomobilov? Na prevoºeni poti avtomobilovpredstavi osnovni izrek integralskega ra£una. Kolik²no pot prevozitaavtomobila med tretjo in osmo sekundo? Kolik²na je njuna povpre£nahitrost v tem £asu?
4. Natan£no razloºi, kaj geometrijsko predstavlja dolo£eni integral funk-cije f na intervalu [a, b], oznaka
∫ baf(x)dx, ter izra£unaj plo²£ino lika,
ki ga omejujejo krivulje z ena£bami:
13
(a) y = 4√x, x = 2, y = 0.
(b) y = x2 + x− 2, x-os,
(c) y = e−x, x = −1, y = 1,
(d) f(x) = x3 − 3x+ 1, y = −1,
(e) y = x2 − 1, y = −x+ 1,
(f) y = x3x2+2
, x = 1, x = 2, x-os,
(g) y =√x, y = 1
x2, y = 1,
(h) y =√x, y = x− 2, y-os.
(i) f(x) = xe−x, y=0, x = 1,
(j) f(x) = ln(x)x
, y = 0, x = e2.
5. Izra£unaj obseg lika, podanega s krivuljami z ena£bami:
(a) y = x√
2x, x = 2, y = 0,
(b) y = 2√x3, y = 0, x = 1,
(c) y = −2x, y =√x3 in x = 1,
(d) y = log(sin(x)), x ∈ [π3, 2π
3].
(Nasvet: Dolºino grafa funkcije g nad intervalom [a, b] izra£unamo poformuli L =
∫ ba
√1 + (g′(x))2dx.)
6. Izra£unaj volumen vrtenine, ki jo dobimo, £e okrog x-osi zavrtimo lik,ki ga omejujejo krivulje z ena£bami:
(a) y = 1x
+ 1, x = 2, x = 3,
(b) y = e−x, y = ex, x = 1,
(c) y = x2√
2x, x = 2, y = 0.
(d) x2 + y2 = 5,
(e) f(x) =√x, g(x) = x3
(f) y = sin(x) za x ∈ [0, π], x-os,
(g) y = xex, x = 1, y = 0,
(h) y =√x, y = 6− x, y = 0 .
(Nasvet: Volumen vrtenine grafa funkcije g nad intervalom [a, b] izra-£unamo po formuli L = π
∫ ba(g(x))2dx.)
14
2 Diferencialne ena£be ter njihova uporaba vbiologiji in kemiji
2.1 Diferencialne ena£be 1. reda
1. Preveri, ali so zapisane funkcije re²itve pripadajo£ih diferencialnih ena£bna levi:
(a) y′ = 3x2, y = x3,
(b) y′ = y + 1, y = 4ex − 1,
(c) y′′ + y = 0, y = 3 sin(x),
(d) y′′−2y′+y = 0, y = xex.
2. Gra�£no, t.j. s pomo£jo slike polja naklonov, poi²£i obliko re²itve innato re²i naslednje diferencialne ena£be:
(a) y′ = 12y + 1,
(b) y′ = 1 + y2,
(c) y′ = yx,
(d) y′ = x.
3. Pri danih za£etnih pogojih re²i naslednje diferencialne ena£be z lo£lji-vima spremenljivkama:
(a) y′ = y + 1, y(0) = 1,
(b) y′ = 2y + 3, y(0) = 1.
(c) y′ = y4, y(1) = 2,
(d) y′ = 1 + y2, y(0) = 1,
(e) y′ = (2−y)(1−y), y(0) = −1,
(f) y′ = − xy2, y(0) = 1.
(g) x2y′ = y, y(1) = 1,
(h) y′ = −xy2, y(0) = 2,
(i) xy2y′ = 1− x2, y(1) = 1,
(j) (x2−1)y′ = 2y, y(0) = 1,
(k) y′ = x(1 + y2), y(0) = 0,
(l) y′ = (1 +x2)y2, y(1) = 2,
(m) xy2y′ = 1 + x4, y(1) = 1,
(n) y′ = −2y2e2x, y(0) = 2.
4. Poi²£i splo²ne re²itve naslednjih diferencialnih ena£b z lo£ljivima spre-menljivkama:
(a) xy′ = (1 + x2)y,
(b) y′ = 2y(1 + x2),
(c) y′ = y(1− y),
(d) y′ = −y(1 + y).
(e) y′ = −2yx,
(f) y′ = − yx,
(g) y′ = −xy,
(h) (1 + x2)y′ = y.
(i) xy = (1 + x2)y′,
(j) 2yy′ = (1 + x2),
(k) (1 + ex)yy′ = ex,
(l) xy2 = e−xy′,
15
5. Re²i naslednje linearne diferencialne ena£be:
(a) y′ + 2y = 1,
(b) y′ − y = 2x.
(c) y′ + y = x2 + 1,
(d) y′ − y = e3x,
(e) xy′ − y = 2x−1
(f) y′ + 2xy = x, y(1) = 1,
(g) xy′+y = x2+1, y(1) = e,
(h) y′ − 2xy = x,
(i) 2xy′ + y = 2x3.
(j) x2y′ + xy = −1.
(k) y′ − yx
= x3,
(l) xy′ + y = e2x,
(m) xy′ − y = x, y(2) = 0,
(n) y′+2xy = 4x, y(0) = −1,
(o) xy′ − y = x4, y(1) = −2,
(p) y′+3x2y = 6x2, y(0) = −1.
(q) y′− (2− 1x)y = x, y(−1) = e,
(r) xy′ + y = ex, y(−1) = e.
(s) y′ + y = 11+ex
,
(t) xy′ + 2(1− x2)y = 1.
6. Re²i naslednje homogene, Bernoullijeve oziroma Riccatijeve diferenci-alne ena£be:
(a) y′ = (x+y)2
2x2,
(b) xy′ − y = x tan( yx),
(c) xy′ − y = xeyx .
(d) xy′ − y = y3,
(e) y′ − y = −x2y−1,
(f) y′ − yx
+ y2
x= 0,
(g) y′ = xy2 + (1− 2x)y + x− 1,
(h) (1− x2)y′ = 1− y2,
(Nasvet: Pri homogeni ena£bi uvedi novo spremenljivko u = yx, ter
upo²tevaj, da je y′ = xu′ + u. Pri Bernoullijevi ena£bi uvedi novospremenljivko z = y1−α, ter z upo²tevanjem z′ = (1− α)y−αy′ prevediena£bo do linearne. Pri Riccatijevi ena£bi pa ugani partikularno re²itevyp, ter jo z nastavkom y(x) = yp(x)+z(x) prevedemo na Bernoullijevo.)
7. Nek znanstvenik prou£uje telesno teºo ljudi, ki dnevno zauºijejo 2000kalorij in ohranjajo enako stopnjo telesne aktivnosti. Predpostavi, daje hitrost spreminjanja teºe sorazmerna razliki med koli£ino zauºitihkalorij in porabo kalorij, ki je enaka 20 kalorij na kilogram trenutneteºe. Utemelji ena£bo y′(t) = k(2000 − 20y(t)), kjer je y(t) teºa (vkilogramih) v £asu t, k pa neka konstanta. Kako se v odvisnosti od£asa spreminja teºa 90 kilogramov teºkega £loveka, £e je k = 0.002?
8. Neka agencija ogla²uje nek izdelek. Predpostavimo, da je hitrost infor-miranosti populacije o izdelku sorazmerna deleºu populacije, ki o njem
16
²e ni ni£esar sli²ala. Kolik²en deleº populacije pozna izdelek po dvehletih, £e po enem letu izdelek pozna ºe polovica.
9. Na nekem otoku razsaja neozdravljiva bolezen. Hitrost ²irjenja boleznije sorazmerna produktu deleºa okuºenih in deleºa zdravih v populaciji.Kolik²en deleº populacije bo okuºen po enem letu, £e je na za£etku oku-ºenih 10%, po enem mesecu pa je okuºenih ºe 20% populacije. Ugotovitudi, kaj se dogaja, ko gre t→∞.
10. Na nekem obmo£ju v £asu t ºivi populacija volkov y(t). Obmo£je lahkoprenese maksimalno populacijo 100 volkov, zato je hitrost nara²£anjapopulacije premosorazmerna produktu velikosti trenutne populacije,y(t) in razliki do maksimalne populacije, 100 − y(t). Kako se s £a-som spreminja populacija volkov, £e je y(0) = 50, y(1) = 60?
11. Pri neki kemijski reakciji iz ene molekule snovi A in ene molekule snoviB nastane ena molekula snovi C, hitrost nastajanja snovi C v £asu tpa je sorazmerna produktu mnoºin snovi A in B v tem £asu t. Naj boy(t) koncentracija snovi C v £asu t, a0 in b0 pa za£etni koncentracijisnovi A oziroma B. Utemelji ena£bo y′(t) = k(a0− y(t))(b0− y(t)), terpoi²£i splo²no re²itev. Dolo£i mnoºino snovi C, £e sta za£etni mnoºinisnovi A oziroma B pa 2mola, po eni minuti pa imamo 1 mol snovi C.
12. Med neko kemijsko reakcijo iz snovi A nastaja snov B.
(a) Naj bo hitrost spreminjanja mase snovi A v £asu t sorazmernakvadratu mase snovi A, prisotne v £asu t. Utemelji ena£bo y′ =ky2, kjer je y(t) masa snovi A v £asu t, k pa neka konstanta.Kolik²na je masa snovi A po dveh urah, £e je na za£etku masasnovi A enaka 60 g, po eni uri pa 10 g.
(b) Naj bo reakcija avtokatalizatorska, t.j. naj se njena hitrost po-ve£uje tudi s koli£ino novonastale snovi in je sorazmerna masamaprisotnih snovi A oziroma C. Opi²i spreminjanje mase snovi C.
13. V neki sobi je 100m3 zraka. V sobo pri£ne s hitrostjo 0.1m3/minpritekati cigaretni dim, ki vsebuje 4 procente ogljikovega monoksida,z enako hitrostjo pa iz sobe izteka dobro preme²ana me²anica dima inzraka. Kako se v sobi spreminja koncentracija ogljikovega monoksida?
14. Blizu ºabje mlake, ki vsebuje 500 l vode, se razlije cisterna s kemikali-jami. V mlako za£ne s hitrostjo 10 l/min pritekati onesnaºena vodna
17
raztopina, ki vsebuje 1 g kemikalij na 1 l raztopine. Iz mlake pa izto£a-sno preko majhnega poto£ka z enako hitrostjo izteka dobro preme²anazmes. Kako se s £asom spreminja koli£ina kemikalij v mlaki?
15. V rezervoarju je na za£etku 200kg vodne raztopine s 100g raztopljenesoli, nato pa za£ne vanj s hitrostjo 3kg/min pritekati raztopina z 1gsoli v kg raztopine, ven pa s hitrostjo 2kg/min izteka dobro preme²aname²anica. Kako se v odvisnosti od £asa t spreminja masa soli y(t) vrezervoarju?(Nasvet: Opazi, da je hitrost spreminjanja soli v rezervoarju y′(t) v£asu t enaka razliki hitrosti 'pritekanja' oziroma 'odtekanja' soli.)
2.2 Diferencialne ena£be 2. reda
1. Re²i naslednje diferencialne ena£be tako, da zniºa² njihov red:
(a) x2y′′ + xy′ = 1,
(b) y′′′ − y′′ = x2,
(c) (y′′)2 = (y′)2 + 1,
(d) yy′′ = (y′)2,
2. Re²i naslednje diferencialne ena£be:
(a) y′′ + 4y = 0, y′(0) = 6, y(0) = 2, (nevsiljeno nihanje)
(b) y′′ − 4y = 0,
(c) y′′ + 2y′ + 5y = 0, y′(0) = −4, y(0) = 2, (du²eno nihanje)
(d) y′′ + 2y′ + y = 0, y′(0) = −4, y(0) = 2,
(e) y′′ − y′ − 2y = 0, y′(0) = 2, y(0) = α,
(f) y′′ + y′ − 6y = 4e2x, y(0) = 1 in y′(0) = −2.
(g) y′′ − y′ − 6y = (2x− 3)ex, y′(0) = −1 in y(0) = 2
(h) y′′ − 4y′ + 4y = (3x− 2)e−x,
(i) y′′ − 5y′ + 4y = (3x− 2)e2x.
(j) y′′ − 5y′ + 6y = (2x− 1)ex, y(0) = −1 in y′(0) = 2
(k) y′′ − 2y′ = e3x + x+ 1,
(l) y′′ + y′ + y = 3 cos(2x), y′(0) = 0, y(0) = 2, (resonanca)
(m) y′′ − 2y′ + 5y = e−x cos(2x),
(n) y′′ − 2y′ + 5y = ex cos(2x).
(o) y′′ + y = 3 cos(ωx), y(0) = 1, y′(0) = 1, ω ∈ {0.8, 1}.
18
(p) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0,
(q) x2y′′ − 2xy′ + 4y = x2 + 2 ln(x).
Poi²£i ²e maksimum re²itve na intervalu [0,∞). Dolo£i α, da bolimx→∞ y(x) = 0.
3. Z metodo variacije konstant re²i naslednje diferencialne ena£be:
(a) y′′ + 2y′ + y = x−2e−x,
(b) y′′ + 4y = 3sin(2x)
,
(c) y′′ − 3y′ + 2y = 11+e−x
,
(d) y′′ + 3y′ + 2y = sin ex
(Nasvet: Uporabi nastavek y = Ay1+by2, kjer sta y1, y2 re²itvi hoogeneena£be, odvoda funkcij A in B pa re²itvi sistema A′y1 + B′Y2 = 0,A′y′1 +B′Y ′2 = f , f desna stran diferencialne ena£be.)
4. Na vzmet obesimo uteº, ki zaniha okrog razmnovesne lege. Pospe²eky′′ je sorazmeren odmiku y od ravnovesne lege v £asu t, t.j. y′′+ky = 0,kjer je k koe�cient vzmeti. Kako niha uteº, ce je y(0) = 4, y′(0) = 400,y′′(0) = −40?
5. Ko na uteº obesimo na vzmet s teºo 20 gramov, se ta raztegne za 3centimetre. Nato uteº izmaknemo ²e za 3 centimetre in spustimo, dazaniha z y′(0) je 1 centimeter/sekundo. Opi²i gibanje vzmeti. Dolo£iaplitudo in frekvenco (A = R cos(δ), B = R sin(δ)).
2.3 Sistemi linearnih diferencialnih ena£b 1. reda
1. Dani so sistemi linearnih ena£b:
(a)y′ = 3yz′ = y + z
,
(b)y′ = −y −zz′ = 2y −z ,
(c)y′ = y −4zz′ = 4y −7z
,
(d)y′ = 2y − z + xz′ = −y + 2z + 1
.
(e)y′ = −2y −4z +1 + 4xz′ = −y +z +3
2x2
,
(f)y′ = 2y −z +ex
z′ = 3y −2z +x,
(g)y′ = 4y −2z +x−3
z′ = 8y −4z −x−2 ,
(h)x′ = x +2y +zy′ = 6x −yz′ = −x −2y −z
.
• Zapi²i re²itev homogenega dela sistema. Nato poi²£i partikularnore²itev sistema in zapi²i splo²no re²itev sistema.
19
• Re²i sistem pri za£etnih pogojih y(0) = 3 in z(0) = −2, £e je tomogo£e.
Nasvet: Sistem linearnih diferencialnih ena£b lahko prevede² do dife-rencialne ena£be drugega reda, lahko pa s pomo£jo lastnih vrednostiin lastnih vektorjev matrike ustreznega homogenega sistema dolo£i²re²itve sistema.
2. Dan je nelinearen sistem ena£b
u′ = u(200− v)v′ = v(u− 100)
,
ki predstavlja sobivanje dveh populacij, zajcev (u) in lisic (v).
(a) Kaj lahko pove² o trenutnem nara²£anju oziroma padanju popu-lacij, ko je u = 50 in v = 10, ter kaj velja, ko je u = 10 in v = 50.
(b) Ugotovi, kdaj je katera izmed populacij stabilna, t.j u̇ = 0 aliv̇. Kaj se takrat dogaja? Opi²i dinamiko populacije za£etnih 200zajcev in 200 lisic.
20
3 Vektorji in matrike
3.1 Algebrai£ne operacije z matrikami
1. Dane so matrike
• A =
[1 −12 0
],
• B =
2 1 −10 2 13 −1 2
,• C =
2 1 21 2 0−1 −3 1
,• D =
2 11 −1−3 0
,
• E =
[−2 1 3 00 2 −1 1
],
• F =
[2 0 41 −1 −2
],
• G =
1 −2 3 −1−2 3 5 10 −1 −2 0
,
• H =
2 −1 3−1 2 22 −3 00 3 −1
.(a) Ugotovi, katere matrike lahko se²teje² oziroma pomnoºi² z 2. Ma-
trike pomnoºi tudi z ni£elno matriko oziroma z identiteto.
(b) Ugotovi, katere matrike lahko pomnoºi² s stolpci (t.j. vektorji)a = [3, 1]T , b = [1,−1, 3]T , c = [1, 1, 0,−1]T in katere z vrsticamiaT = [3, 1], bT = [1,−1, 3], cT = [1, 1, 0,−1].
(c) Izra£unaj tiste izmed produktov danih matrik, ki so dobro de�ni-rani. Ali kateri matriki komutirata? (Matriki X, Y komutirata,£e velja XY = Y X.)
(d) Izberi tiste izmed izrazov A2 − 3A, CB + 2A, (2I2 +A)(2B − I3)in BCD, ki so dobro de�nirani, ter jih izra£unaj.
2. Dane so matrike
(a) A =
[2 11 2
],
(b) A =
3 −2 −42 3 2−1 5 6
,
(c) A =
1 2 32 3 43 4 6
,
(d) A =
1 2 30 1 45 6 0
,21
(e) A =
1 0 2−1 1 −32 2 1
, (f) A =
2 1 −30 2 11 2 −1
.• Izra£unaj determinante danih matrik, £e je to mogo£e. (Deter-minante izra£unaj na ve£ razli£nih na£inov, npr. z razvoji povrsticah oziroma stoplcih ali po diagonalnem pravilu.) Preveritudi, kaj se zgodi z determinanto, £e matrikam zamenja² stolpceoziroma vrstice ali pa jih pomnoºi² s 3.
• Obrnljivim matrikam poi²£i njihove inverzne matrike.
3. V trgovini A stane kilogram jabolk 1.5 EUR na kilogram, kilogrambanan pa 1 EUR, v trgovini B pa stanejo jabolka 1.25 EUR/kg, bananepa 1.2 EUR/kg.
(a) Babica Francka ºeli kupiti 3 kilograme jabolk in 2 kilograma ba-nan, babica Zvonka pa ºeli kupiti 2 kilograma jabolk in 3 kilogramebanan. S pomo£jo matrik enostavno izra£unaj, koliko denarja po-trebujeta za nakup v trgovini A oziroma B.
(b) Babica Francka ºeli v tem mesecu v trgovini za jabolka in bananeskupaj porabiti v prvi trgovini porabiti 10 EUR, v drugi pa 11EUR. Babica Zvonka pa namerava v obeh trgovinah za jabolka inbanane zapraviti po 12 EUR. Koliko sadja dobita za ta denar vposamezni trgovini?
4. Dani so pari matrik:
(a) A =
1 2 32 3 43 4 4
, B =
1 2 −2−1 1 31 −2 0
,(b) A =
1 1 1−1 0 00 −1 0
, B =
1 −1 10 1 −12 −1 1
,(c) A =
2 1 −30 2 11 2 −1
, B =
31−1
,(d) A =
2 1 21 2 0−1 −3 1
, B =
[2 0 41 −1 −2
].
22
Poi²£i matriki X in Y , ki re²ita matri£ni ena£bi AX = B oziromaY A = B, £e sta smiselno de�nirani.(Nasvet: Izra£unaj inverz A−1 matrike A.)
5. Dane so matrike:
(a) A =
−1 3 20 1 12 0 1
, B = I3, C =
1−20
,(b) A =
1 −1 00 2 −11 1 −2
, B =
−1 0 11 1 −21 0 0
, C =
2 3 −11 1 01 2 −1
.Re²i matri£no ena£no AX = BX + C, £e je le-to mogo£e.
3.2 Lastne vrednosti in lastni vektorji ter primeri iz bi-
ologije
1. Dane so matrike
A =
1 1 35 2 6−2 −1 −3
, B =
2 −2 4−1 3 41 −2 −3
, C =
5 2 −31 3 −12 2 −1
.(a) Pokaºi, da je matrika A nilpotentna reda 3 (t.j. A3 = 0), matrika
B idempotentna (t.j. B2 = B), ter C3 − 7C2 + 13C − 5 = 0. Kajlahko na podlagi tega sklepa² o lastnih vrednostih danih matrik?
(b) Dolo£i tudi karakteristi£ne polinome danih matrik, njihove sledi,determinante, ter lastne vrednosti. Kaj opazi²?
2. Poi²£i vse 2 × 2 matrike A, za katere velja A2 = 0. Kak²ne so njihovelastne vrednosti?
3. Izra£unaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrik:
(a) A =
[0 −2−2 0
],
(b) A =
[1 30 −2
],
(c) A =
[1 −12 4
],
(d) A =
[2 14 −1
],
(e) A =
[0 12 −1
],
(f) A =
[0 11 0
].
23
4. Pokaºi, da sta dana vektorja v1 in v2 lastna vektorja matrike A, terjima poi²£i pripadajo£i lastni vrednosti:
(a) A =
4 −4 22 −2 2−2 2 −2
, v1 =
31−1
, v2 =
110
,(b) A =
3 2 02 5 −1−1 −1 3
, v1 =
2−11
, v2 =
1√17+34
1−√17
4
.5. Pokaºi, da sta ²tevili λ1 oziroma λ2 lastni vrednosti matrike A, ter
poi²£i pripadajo£e lastne vektorje:
(a) A =
1 3 −3−3 7 −3−6 6 −2
, λ1 = 4, λ2 = −2,
(b) A =
−2 2 −12 1 −2−3 −6 0
, λ1 = 5, λ2 = −3,
(c) A =
3 1 11 0 21 2 0
, λ1 = 4, λ2 = −2,
(d) A =
1 −1 0−1 2 −10 −1 1
, λ1 = 0, λ2 = 3.
6. Izra£unaj lastne vrednosti in lastne vektorje matrik:
(a) A =
−2 0 00 0 −10 −1 0
,(b) A =
2 2 65 −1 −60 0 2
,(c) A =
1 2 16 −1 0−1 −2 −1
,(d) A =
−2 2 −33 −1 34 −2 5
.7. Utemelji naslednjo trditev: �e je λ lastna vrednost matrike A, potem
je λ2 + 3 lastna vrednost matrike A2 + 3I.
24
8. Poi²£i dve razli£ni matriki oblike[a 1b c
], a, b, c ∈ R, ki imata lastni
vrednosti 1 in 2.
9. Z uporabo lastnih vrednosti in lastnih vektorjev skiciraj elipso z ena£bo13x2 − 10xy − 13y2 = 72.(Nasvet: Krivuljo lahko z ustrezno rotacijo spravi² v normalno obliko.)
10. V kostnem mozgu dnevno nastajajo nove rde£e krvni£ke (Rn), soraz-merno toliko, kolikor jih vranica iz krvi izlo£i (Mn). Predpostavimo,da velja Rn+1 = (1− f)Rn +Mn, Mn+1 = fγRn.
(a) Dani ena£bi zapi²i v matri£ni obliki vn+1 = Avn = Anv0, kjervn = [Rn Mn]T .
(b) Matriki A poi²£i lastne vrednosti in lastne vektorje matrike, ter jihzloºi v diagonalno matriko D in prehodno matriko P , AP = PD.
(c) Opazi, da je A = PDP−1 in An = PDnP−1. Utemelji: �e bibili lastni vrednosti manj²i od 1, bi imeli limn→∞ vn = 0, karne mogo£e. Podobno bi pri²li v protislovje tudi pri vsaj eni lastnivrednost ve£ji od 1. Odtod sklepaj, da sta lastni vrednosti matrikeA enaki 1 in −f .
(d) Izra£unaj Rn in Mn, ter limn→∞Rn in limn→∞Mn. Ali ta modelizraºa realno stanje?
11. V nekem gozdu rastejo borovci in smreke. Ko nek bor odmre je ver-jetnost, da na njegovem mestu zraste bor:smreka enako 1 : 3, namestosmreke pa z enako verjetnotjo zraste drevo ene izmed teh vrst. Kakose s £asom spreminja gozd, £e imamo na za£etku 100 smrek in 20 bo-rovcev?
12. Par zaj£kov v enem mesecu odraste. Po dveh mesecih in nato vsak na-slednji mesec ima par odraslih zajcev po dva potomca razli£nega spola.Pari potomcev spet po enem mesecu odrastejo in imajo vsak naslednjimesec prav tako dva potomca razli£nega spola itd. Z zaporedji Om,Mn
oziroma Fn predstavi ²tevil£nost odraslih, mladih oziroma vseh zajcev vn-ti generaciji, ter poi²£i rekurzivne zveze zaporedij. Z uporabo matrikizra£unaj koliko zajcev bo po 100 mesecih.
3.3 Gaussova eliminacija in sistemi linearnih ena£b
1. Dolo£i range naslednjih matrik:
25
(a) A =
1 1 −1−1 1 −12 −2 21 0 −1
(b) A =
−1 −2 −4 21 2 4 −22 −3 −2 4−1 5 6 −6
,
(c) A =
1 −1 2 23 −1 −2 45 −1 −6 6
,
(d) A =
1 1 −1 1 2−1 1 −1 2 53 1 2 −1 −22 2 2 −1 1.
.2. Dani so sistemi ena£b:
(a)x −y +2z = 23x −y −2z = 45x −y −6z = 6.
,
(b)x +y +z = 6x +2y +2z = 112x +3y −4z = 3
,
(c)x −y +2z = 23x −y −2z = 45x −y −6z = 8
,
(d)x +y −z = 2−x +y −z = 52x +2y +2z = 1
.
• Izra£unaj determinanto matrike koe�cientov danega sistema ena£b.Kaj nam determinanta pove o re²ljivosti sistema? S pomo£jo Cra-merjevega obrazca zapi²i re²itev sistema ena£b. Dani sistem ena£bre²i ²e z Gaussovo eliminacijo.
• Vzemi prvi dve ena£bi danega sistema in dolo£i vse njune skupnere²itve.
• Danemu sistemu dodaj ena£bo x + y + z = 1 in premisli, ali jenovonastali sistem re²ljiv?
3. Trije otroci se pogovarjajo o bombonih. Prvi ugotovi, da bi imel skupajkar 32 bonbonov, £e bi mu preostala dva dala vsak po polovico svojih.Drugi bi imel 28 bonbonov, £e bi mu preostala dva dala vsak po tretjinosvojih bonbonov. Tretji pa bi imel 31 bonbonov, £e bi mu preostala dvadala po £etrtino svojih sladkarij. Koliko bonbonov ima vsak od njih?
4. Zapi²i in re²i sistema treh (oziroma ²tirih) ena£b in treh (oziroma ²tirih)neznank, ki
(a) ima natanko eno re²itev.
(b) ima neskon£no re²itev.
(c) nima re²itev.
Zna² poiskati tako nehomogen kot homogen sistem?
26
5. Dani so sistemi ena£b:
(a)
x + y − z + w = −22x + y − 2z + 3w = −5−3x − y + z + 2w = −3x + y + z − w = 4.
,
(b)
x + y + z − w = 43x − y + 3z − w = 2−2x − 2y + z − w = −5−x − y + z + 2w = −5
,
(c)
x − 2y + 3z − 4w = 4−x + 3y − 4z + 5w = −7x + 3y − 3w = 1− 7y + 3z + w = −3
,
(d)
−x +2y +2w = −1y +4z +3w = −5.
−2x −y +2z +5w = −92x +2y +3z = 0
,
(e)
x − 2y + 3z − 4w = 4y − z + w = −3
x + 3y −3w = 1− 7y + 3z + w = −3
.
(f)
−2x −y +2z +5w = −4−x −2y +2w = 12x +2y +3z = 0
y +4z +3w = −2.
,
• Izra£unaj determinanto matrike koe�cientov danega sistema ena£b.Kaj nam determinanta pove o re²ljivosti sistema? S pomo£jo Cra-merjevega obrazca zapi²i re²itev sistema ena£b. Dani sistem ena£bre²i ²e z Gaussovo eliminacijo.
• Vzemi prve tri ena£be danega sistema in dolo£i vse njihove skupnere²itve.
• Zapi²i re²itev sistema petih ena£b, ki ga dobimo, £e danemu sis-temu dodamo ²e eno ena£bo x+ y + z + w = 1.
6. Tulipan stane 6 EUR, gerbera stane 2 EUR, rde£a vrtnica 3 EUR,nageljni pa stanejo 1 EUR. Miha ima 195 EUR in ºeli kupiti 90 roº, pri£emer mora biti gerber in nageljnov skupaj dvakrat toliko kot vrtnic
27
in tulipanov skupaj. Z re²evanjem ustreznega sistema ena£b ugotovi,kak²no izbiro ima? Poi²£i vse moºnosti.
7. �tirje mu²ketirji se pogovarjajo o svojem premoºenju. Prva dva za-poredoma ugotovita, da bi imela po 21 oziroma po 18 zlatnikov, £ebi preostali trije vsakemu od njiju razdali po polovico svojega premo-ºenja. Tretji bi imel 20 zlatnikov, £e bi mu preostali trije dali vsakpo tretjino svojih zlatnikov. �etrti pa je ugotovil, da imajo skupaj36 zlatnikov. Zapi²i ustrezni sistem linearnih ena£b in ga nato re²i zmetodo Gaussove eliminacije. Koliko zlatnikov ima vsak od mu²ketir-jev? (Opozorilo: Premoºenje katerega od mu²ketirjev lahko ²teje tudi0 zlatnikov.)
8. Dana sta sistema ena£b
(a)−x +2y +z = 24x −7y +az = −32x −3y = 1.
,
(b)
ax −y +2z +5w = −4−x +2y +2w = 12x +2y +3z = 0
y +4z +3w = −2,
,
kjer je a neka realna konstanta.
• Izra£unaj determinanto matrike koe�cientov danega sistema v od-visnosti od parametra a. Kaj lahko na podlagi determinante skle-pa² o re²ljivosti tega sistema ena£b?
• Ugotovi, za katere vrednosti parametra a je dani sistem re²ljivin koliko re²itev ima. Poi²£i tudi vse re²itve danega sistema vodvisnosti od parametra a.
28
4 Osnove verjetnostnega ra£una
4.1 Pre²tevanje in kombinatorika
1. V neki restavraciji nudijo 2 juhi (zelenjavno in govejo), 3 glavne jedi(testenine, riºota, pica), 3 solate (me²ana, zelena, �ºol) in 2 sladici (sla-doled in torta). Na koliko na£inov lahko sestavimo kosilo, £e izberemo
(a) vse?
(b) natanko juho in glavno jed?
(c) govejo juho in vse ostalo?
(d) vsaj juho in glavno jed?
2. Na koliko na£inov lahko naredimo petkov urnik za 4 ure, £e izbiramomed 11 predmeti in
(a) ni omejitev,
(b) ni blok ur,
(c) imamo natanko eno blok uro,
(d) imamo vsak predmet le 1 uro.
3. V pritli£ju sedemnadstropne trgovine vstopijo v dvigalo ²tiri gospe.Vsaka nato v nekem nadstropju izstopi. Na koliko na£inov lahko izsto-pijo, £e
(a) ni nobenega posebnega pogoja?
(b) v prvem nadstropju ne izstopi nobena gospa?
(c) vedno izstopi najve£ ena gospa?
4. Koliko razli£nih ²tirimestnih ²tevil lahko napi²emo le s ciframi 1, 2, 3,4, 8 in 9, ter smemo posamezno cifro uporabiti
(a) ve£krat (b) najve£ enkrat
in
• morajo biti soda? • morajo biti ve£ja od 5000?
5. O£e in mati peljeta v kino svoje ²tiri sinove in tri h£ere. Usedejo se vvrsto z devetimi sedeºi. Na koliko na£inov lahko to storijo, £e
(a) se posedejo poljubno?
(b) o£e in mati vedno sedita skupaj?
(c) o£e in mati nikoli ne sedita skupaj?
29
(d) ºelijo dekleta in fantje sedeti skupaj?
6. V zaboju s 30 jabolki je 5 gnilih jabolk. (Posamezne primerke gnilihoziroma dobrih jabolk med seboj razlikujemo.) Iz zaboja vzamemo 4jabolka. Na koliko na£inov lahko to storimo, £e
(a) izbiramo poljubno.
(b) jemljemo iz zaboja le dobra jabolka.
(c) vzamemo iz zaboja vsaj dve dobri jabolki.
7. V nekem razredu je 15 deklet in 13 fantov. Na koliko na£inov lahkou£itelj izbere skupino ²tirih u£encev, £e
(a) izbira poljubno.
(b) mora biti Janezek zagotovo izbran.
(c) morata biti v skupini vsaj dva fanta.
(d) upo²teva, da sta dve dekleti med seboj skregani in ju ne ºeli skupajv skupini.
8. Na koliko na£inov lahko 10 oseb preno£i v hotelu s po eno enoposteljno,dvoposteljno, troposteljno in ²tiriposteljno sobo.
9. Iz kupa z 52 kartami izvle£emo eno karto. Koliko je moºnosti, daizvle£emo ali pikovo karto ali asa?
4.2 Osnove verjetnosti
1. V ²katlici so bonboni treh razli£nih okusov, zaviti v enak ovojni papir.Od skupno 20 bonbonov je 6 jagodnih in 9 borovni£evih, preostali pa sopomaran£ni. Kolik²na je verjetnost, da izberemo pomaran£ni bonbon?
2. Pri ruleti lahko kroglica pristane na kateremkoli od 37 mest, ozna£e-nih s ²tevilkami od 0 do 36. Predpostavimo, da je verjetnost zadetkakaterekoli ²tevilke enaka. Kolik²na je verjetnost, da zadanemo, £e smostavili na:
(a) ²tevilo 1?
(b) ²tevilo med 1 in 12?
(c) liho ²tevilo?
(d) liha ²tevila in manj²a od 12?
3. Na loteriji izºrebajo dve ²tevili med 1 in 16. Kolik²na je verjetnost, dazadanemo
30
(a) obe ²tevilki?
(b) le eno ²tevilko?
(c) vsaj eno ²tevilko.
(d) ni£esar?
4. Iz kupa z 52 kartami izvle£emo 5 kart. Kolik²na je verjetnost, da bodomed izvle£enimi kartami karte vseh barv.
5. V letniku je 24 deklet in 10 izmed njih ima modre o£i, 3 zelene in 11rjave o£i. Na kolokviju so tri dekleta dosegla vsaj 90%. Kolik²na jeverjetnost, da
(a) imajo vse tri modre o£i?
(b) nobena nima modrih o£i?
(c) ima vsaj ena modre o£i?
(d) imata dve modre o£i?
(e) imajo vse enake o£i?
(f) imajo vse razli£ne o£i?
6. �tudent zna odgovoriti na 20 izmed 25 vpra²anj. Na izpitu odgovarjana 3 vpra²anja. Kolik²na je verjetnost, da bo znal odgovoriti na
(a) vsa tri vpra²anja? (b) vsaj dve vpra²anji?
7. Kolik²na je verjetnost, da imata med 30 ljudmi dva rojstni dan na istidan?
8. Dogodka A in B sta neodvisna, njuni verjetnosti pa sta P (A) = 2xin P (B) = 3x, kjer je x nenegativno realno ²tevilo. Izra£unaj x, £e jeP (A ∪B) = 2
3.
9. Naklju£no izberemo ²tevilo med 1 in 100 (vklju£no z 1 in 100). Naj boA dogodek, da je ²tevilo deljivo 5, B pa naj bo dogodek, da je ²tevilodeljivo z 9. Opi²i dogodka A ∩ B in A ∪ B ter izra£unaj njuni verje-tnosti. Ugotovi, ali sta dogodka A in B odvisna, ter ali sta zdruºljiva?Izra£unaj verjetnosti, da je slu£ajno izbrano ²tevilo deljivo
(a) tudi s 5, £e je deljivo z 9. (b) z vsaj enim od ²tevil 2, 5, 9.
10. Hkrati me£emo dve igralni kocki. Naj bo A dogodek, da je vsota pik, kijih pokaºeta kocki, enaka 6 in naj bo B dogodek, da padeta dve trojki.
(a) S tabelo ponazorite elementarne dogodke, ki opi²ejo izide metanjakock.
(b) Izra£unajte verjetnosti dogodkov A in B. Opi²ite tudi dogodkaA ∩B in A ∪B.
31
(c) Kolik²na je verjetnost, da sta padli dve trojki, £e je bila vsota pikenaka 6.
11. V razredu je 10 dijakov iz mesta, 6 iz okolice mesta in 8 s podeºelja.Vemo ²e, da imajo pri matematiki oceno pet 3 dijaki iz mesta, 2 dijakaz okolice in 6 dijakov s podeºelja. Kolik²na je verjetnost, da
(a) ima su£ajno izbrani dijak tega razreda oceno pet?
(b) je slu£ajno izbrani dijak s podeºelja, £e ugotovimo, da ima primatematiki oceno pet.
12. Na neki ²oli ima 8% u£encev pri matematiki oceno pet, 9% u£encevima oceno pet pri sloven²£ini in 5% u£encev ima oceno pet pri obehomenjenih predmetih. Naklju£no izberemo nekega u£enca. Kolik²na jeverjetnost, da ima oceno pet
(a) pri matematiki ali pri sloven²£ini (lahko tudi pri obeh predmetih).
(b) tudi pri matematiki, £e ima oceno pet pri sloven²£ini.
(c) tudi pri sloven²£ini, £e ima oceno pet pri matematiki.
13. V posodi je 10 £rnih in 2 beli kroglici. Kroglice zaporedoma vle£emoiz posode, dokler ne izvle£emo £rne kroglice, pri £emer
(a) kroglic ne vra£amo, (b) kroglice vra£amo.
Izra£unaj verjetnost, da je ²tevilo izvle£enih kroglic enako
• 1,
• 2,
• 3,
• 4.
14. V tovarni kontrolirajo serije 100 proizvodov, med katerimi je 5% po-kvarjenih. �e med 5 pregledanimi proizvodi najdejo vsaj enega po-kvarjenega, serijo zavrºejo. Kolik²na je verjetnost, da serijo zavrºejo,£e(a) ºe pregledane proizvode vra£ajo?
(b) ºe pregledanih proizvodov ne vra£ajo?
15. Dva ko²arkarja prideta na igri²£e. Prvi zna zadeti ko² z verjetnostjo0.8, drugi pa z verjetnostjo 0.9. Vsak po enkrat vrºe na ko². Kolik²naje verjetnost, da(a) ko²a ne bo zadel nih£e?
(b) bo vsaj eden izmed njiju zadel ko²?
32
(c) bo ko² zadel natanko en ko²arkar?
(d) bo ko² zadet dvakrat?
(e) je ko² zadel prvi ko²arkar, £e je ko² zadel natanko en ko²arkar?
(f) je ko² zadel prvi ko²arkar, £e je ko² zadel vsaj en ko²arkar?
16. Dva nogometa²a streljata enajstmetrovke. Prvi zna zadeti gol z ver-jetnostjo 0.7, drugi pa z verjetnostjo 0.8. Vsak poskusi po dvakrat inskupaj doseºeta dva gola. Kolik²na je verjetnost, da
(a) je dosegel prvi vsaj en gol?
(b) je prvi zadel natanko enkrat?
(c) prvi ni dal nobenega gola?
(d) sta zadela oba?
17. V prvi ko²ari je 20 jabolk in 5 hru²k, v drugi pa 18 jabolk in 3 hru²ke. Izprve ko²are na slepo izberemo en sadeº in ga poloºimo v drugo ko²aro,ter nato iz nje izberemo en sadeº. Kolik²na je verjetnost, da
(a) smo iz prve ko²are v drugo poloºili jabolko?
(b) je izbrani sadeº iz druge ko²are jabolko?
(c) smo iz prve ko²are v drugo poloºili jabolko, £e smo iz druge ko²arevzeli jabolko?
18. V prvi ko²ari je 20 jabol£nih in 5 pomaran£nih bonbonov, v drugi pa18 jabolk£nih in 3 pomaran£ni. Iz prve ko²are nato na slepo izberemo2 bonbona in ga poloºimo v drugo ko²aro, ter nato iz nje izberemo 2bonbona. Kolik²na je verjetnost, da
(a) smo iz prve ko²are v drugo poloºili 2 jabol£na bonbona?
(b) sta smo iz druge ko²are vzeli po en jabol£ni in po en pomaran£nibonbon?
(c) smo iz prve ko²are v drugo poloºili 2 pomaran£na bonbona, £esmo iz druge ko²are vzeli 2 jabol£na?
4.3 Diskretne slu£ajne spremenljivke
1. Naj bo X diskretna slu£ajna spremenljivka, ki ²teje ²tevilo
(a) metov kocke, da prvi£ pade ²estica.
(b) metov kovanca, da dokler ne pade 5 grbov.
(c) grbov v 7 metih kovanca.
33
(d) metov kocke, da tretji£ pade ²estica.
• Opi²i porazdelitev slu£ajne spremenljivke X.
• Kolik²na sta matemati£no upanje in varianca slu£ajne spremen-ljivke X?
Kaj pa, £e kovanec oziroma kocka nista po²tena, t.j. verjetnost, dapade grb (²estica) je razli£na od verjetnosti ostalih izdov?
2. V tovarni kontrolirajo serije po 100 proizvodov, med katerimi je 5 po-kvarjenih. Prekontrolirajo vzorec treh izdelkov. Slu£ajna spremenljivkaX naj dolo£a ²tevilo slabih izdelkov. Opi²i njeno porazdelitev. Serijozavrºejo, £e sta v vzorcu vsaj dva slaba izdelka. Kolik²na je verjetnost,da serijo zavrºejo, £e ºe pregledane proizvode vra£ajo?
3. Na voljo imamo 5 klju£ev in 2 izmed njih odkleneta klju£avnico. Slu-£ajna spremenljivka X naj opisuje, koliko poskusov potrebujemo, daodklenemo vrata. Obravnavaj oba primera, £e
(a) si ne zapomnemo, kateri klju£ smo ºe uporabili?
(b) uporabljeni klju£ vsakokrat odstranimo?
Kolik²na pa je verjetnost, da nam uspe odkleniti prej kot v ²tirih po-skusih?
4. Naj bo X taka diskretna slu£ajna spremenljivka, da je P (X = k) =2ke−2
k!(Poissonova). Dolo£i P (X ≤ 3).
34
5 Re²itve
5.1 Osnove analize realnih funkcij
5.1.1 Elementarne funkcije, limite, zveznost in primeri
1. y = 2x nara²£ajo£a, y = −2x padajo£a.
2. soda funkcija: (b),ne lihi ne sodi funkciji: (c), (e).
3. (a) C(s) = 30s+ 1000, inverzna funkcija s(C) = 130
(C − 1000).
(b) V (r) = 43πr2, inverzna funkcija r(V ) =
√3V4π.
(c) P (x) = (6− 2x)(8− 2x)x, x ∈ (0, 3), ni njektivna.
(d) T (v) = v(v − 5) za v > 0, inverzna funkcija v(T ) = −5+√25+4T2
zaT > 0.
(e) p(x) = x(2017− x) za x > 0, ni injektivna,
(f) h(r) = 3πr2
, inverzna funkcija r(h) =√
3πh.
(g) a(P ) =√
P6za P > 0, inverzna funkcija P (a) = 6a2 za a > 0.
(h) inverzna funkcija v(m) =
√(1− m2
0
m2 )c2.
4. (a) Df = R, ni£la x = 53,
(b) Df = R, ni£li x1 = 3, x2 = −12,
(c) Df = R \ {−1, 3}, ni£la x1 = 32, pola x2 = 3, x3 = −1, asim.
y = 0,
(d) Df = R \ {−4, 4}, ni£la x1,2 = −1, pola x3 = 4, x4 = −4, asimp.y = 1,
5. (a) Df = R, asimptota y = 0.
(b) Df = R, asimptota y = −1,
(c) Df = R, asimptota y = 1.
(d) Df = R+, pol x = 0.
(e) Df = (−1,∞), pol x = −1.
(f) Df = (0,∞), pol x = 0.
6. t(p) = − ln(19(1000
p− 1).
7. B(x) = 1000 · 2x, B−1(x) = log2b
1000.
35
8. (a) eksponentni model: sE(t) = 900(1 + 6100
)t, t v desetletjih,
(b) linearni model: sL(t) = 900(1 + t 6100
), t v desetletjih.
9. pH = − log10(10c) = − log10(c)− 1
10. (a) Df = R, ni£le Nk = π2
+ kπ, k ∈ Z, osnovna perioda 2π,lok. maksimum xk = 2kπ, f(xk) = 1, k ∈ Z,lok. minimum v x′k = π + 2kπ, f(x′k) = −1, k ∈ Z,
(b) Df = R, ni£le Nk = π6
+ kπ, k ∈ Z, osnovna perioda 2π,lok. maksimum xk = 2π
3+ 2kπ, f(xk) = 1, k ∈ Z,
lok. minumum v x′k = 5π3
+ 2kπ, f(x′k) = 1, k ∈ Z,(c) Df = R \ {−π
4| k ∈ Z}, ni£le Nk = −π
4, poli Pk = π
2+ kπ, k ∈ Z,
osnovna perioda π, k ∈ Z.(d) Df = [−1, 1], ni£la x1 = 0,
11. y(t) = 2 sin(π6t+ b) + 4.
12. (a) x = 2,
(b) x = 1,
(c) xk1,2 = (±13+2k+ 1
2)π, k ∈ Z,
(d) x =π4
1−π4.
13. (a) n > 200, (b) n > 2ε.
14. (a) −32,
(b) 2,
(c) 0,
(d) e2,
15. (a) a±n = 1± 10−n: limn→∞ f(a±n ) = limn→∞4
1+(1± 110n
)= 4
2= 2,
(b) 29,
(c) 2201
,
(d) δ(ε) = 2ε2+ε
, limx→1 f(x) = 2 = f(1), f zvezna v x = 1,
(e) a±n = ±10n: limn→∞ f(a±n ) = limn→∞4
1±10n = 0,
(f) x > 399,
(g) x > 4ε− 1, limx→∞ f(x) = 0,
(h) limx→−∞ f(x) = 0,
(i) a±n = −1± 10−n: limn→∞ f(a±n ) = limn→∞4
±10−n = ±∞,limx→−1± f(x) = ±∞.
16.
36
(a) limx→0sin(2x)x
= 2, (b) Ne.
17. (a) Df = R \ (−1, 1), limx→±1 f(x) = 0, limx→±∞ f(x) =∞,
(b) Df = (−1,∞), limx→−1+ f(x) = −∞ (pol), limx→∞ f(x) = ∞(asim. y = 3 ln x),
(c) Df = R, limx→∞ f(x) = 0 (asim. y = 0),
(d) Df = R\{1}, limx→1± f(x) = ±∞ (pol), limx→±∞ f(x) = 2 (asim.y = 2),
(e) Df = R, limx→±∞ f(x) = ±∞ (asim. y = x− 2),
(f) Df = R, limx→±∞ f(x) = ±π2(asim. y = ±π
2),
18. (a) −2,(b) 3
4,
(c) 32,
(d) 12,
(e) 310,
(f) 32,
(g) e2,(h) e6,
(i) 2,(j) 3
4,
(k) −23,
(l) 0,
(m) ∞,
(n) e32 ,
19. limx→−1− f(x) = 1 = limx→−1+ f(x) = f(−1), f zvezna v x = −1,limx→−2− g(x) = 1, limx→−2+ g(x) = 4, g ni zvezna v x = −2,limx→1− g(x) = 1 = limx→1+ g(x) = f(1), g zvezna v x = 1,
20. a = 3, b = −2.
f(x) = arcsin(sin(x)).
21. (a) Da. (b) Ne.
22. Bisekcija na vseh primerih poteka na podoben na£in. Intervale razpo-lavljamo, ter i²£emo take podintervale, da funkcija v kraji²£ih zavzamevrednosti razli£nega predznaka.
Oglejmo si primer (a). Interval [1, 2] je ºe tak, zato ga razdelina manj²a podintervala [1, 3
2] in [3
2, 2], ter izberi tistega, ki zagotovo
vsebuje ni£lo. To je [32, 2], saj f(3
2) < 0 in f(2) > 0. Tega nato
razdeli na podintervala [32, 74] in [7
4, 2], ter spet izberi tistega, ki zagotovo
vsebuje ni£lo. Ker je f(74) > 0, je to [3
2, 74], naslednji pribliºek za ni£lo
pa je 138, njegova natan£nost pa je na 1
8. Postopek lahko nadaljujemo,
£e ºelimo dobiti ²e bolj²i pribliºek.
37
5.1.2 Odvod in uporaba odvoda
1. (a) f ′(1) = limx→12x3+2x+1−5
x−1 = limx→12(x−1)3+2(x−1)
x−1 = 8,
(b) f ′(2) = limx→2
√x−√2
x−2 = limx→2(√x−√2)(√x+√2)
(x−2)(√x+√2)
= 12√2,
(c) f ′(0) = limx→0
12x+1
−1x
= limx→0−2x
x(2x+1)= −2.
2. S pomo£jo pravil za odvajanje enostavno odvajamo dane funkcije.
4. Ne, v trenutku vklju£itve katalizatorja funkcija hitrosti reakcije ni gladka.
5. (a) tangenta v (0, 1): y = −3x+ 4; x-os seka pod kotom arctan(−3),tangenta v (1,−1): y = −1; ne seka x-osi,tangenti vzporedni y = 9x− 2: y = 9x− 15, y = 9x+ 19tangenta skozi (0, 0): y = ( 3
3√4 − 3)x.
(b) tangenta v (0, 1): y = 5x+ 1; x-os seka pod kotom arctan(5),tangenta v (1, 13
3): y = 2x+ 7
3; x-os seka pod kotom arctan(2),
tangenti vzporedni y = 9x− 2: y = 9x+ n1,2, n1,2 = f(2±√
2)−9(2±
√2),
tangenta skozi (0, 0): y = (f ′(x0))x, kjer je x0 re²itev ena£be2x3 − 6x2 − 3 = 0, pribliºek pa lahko poi²£emo z bisekcijo.
6. (a) lok. min: x1 = 1,lok. maks: x2 = −1,
(b) lok. min: x1 = 0,prevoj: x2,3 = 2,
(c) lok. min: x1 = 1,
(d) lok. min: x1 = 0,lok. maks: x2 = −2,
7. (a) min: m = −16,maks: M = 80
27,
(b) min: m = −16,maks: M = 4
√2
3√3,
(c) min: m = −e−1,maks: M = 1,
(d) min: m = 0,maks: M = e,
8. x = y = 20172.
9. x = 11− 1√3, y = 11− 1√
3+ 1
3.
10. x =√
2R, y =√2R2.
11. (b) Naj bo vrt dimenzij a in b. Koli£ino ograje, ki jo potrebujemo zavrt s povr²ino ab = 10 opi²emo s funkcijo l = 2a + b = 2a + 10
a,
kjer je a ∈ (0,∞). Opazimo, da ima odvod l′ = 2 − 10a2
eno
38
samo ni£lo (t.j. stacionarna to£ka za l) v a =√
5, ter da gre lpriti neskon£no, ko gre a proti robu intervala a ∈ (0,∞). Odtodsklepamo, da potrebujemo najmanj ograje pri a =
√5 oziroma
b = 2√
5.
(a) Naj bo vrt dimenzij a in b. Povr²ino vrta, ki je ograjen z 2a+ b =10 metri ograje, opi²emo s funkcijo P = a(10 − 2a), a ∈ (0, 10).Odtod pa hitro sledi, da bo povr²ina vrta maksimalna pri a = 5
2
oziroma b = 5.
12. Pri danem radiju osnovne ploskve 0 < r < ∞ je poraba materiala
enaka P (r) = 2πr2 + 0.66r
z minimumom pri x = 3
√0.664π
.
13. (a) V (a) = a(12− a2), a = 2,
(b) brez pokrova: P (a) = a2 + 4/a, a = 3√
2,
s pokrovom: C(a) = 2(a2 + 4/a) + a2, a = 3
√43.
14. (a) Df = R, ekstrema: x1,2 = ±1,
(b) Df = R, ekstrem: x1 = −2, prevoja: x2 = −1, x3 = 1
39
(c) Df = [−1, 1], ekstrema x1,2 = ± 1√2, prevoj x3 = 0
(d) Df = R+, limx→∞ f(x) = 0, limx→0 f(x) = −∞, ekstrem: x1 = 3,prevoj x2 = 5
(e) Df = R \ {0}, ekstrem x1 = 2, limx→−∞ f(x) = 0, limx→∞ f(x) =∞, limx→0 f(x) =∞
40
(f) Df = R, ekstrema x1,2 = −1 ±√
6, prevoja x1,2 = −3 ±√
10,limx→−∞ f(x) = 0
(g) Df = R, ekstrem x1,2 = 3, prevoji x3,4 = 0, x5,6 = 3 ±√
3,limx→∞ f(x) = 0
(h) Df = R, ekstrema x1,2 = ± 1√2, prevoji x3,4 = ±
√32, x5 = 0,
limx→∞ f(x) = 0
41
(i) Df = (12,∞), ekstrem x1 = 5
6,
(j) Df = (0,∞), ekstrem x1 = e, prevoj x2 = e32 , limx→∞ f(x) = 0,
limx→0+ f(x) = −∞
(k) Df = (0,∞), ekstrem x1 = 1, limx→∞ f(x) = −∞, limx→0+ f(x) =−∞
42
5.1.3 Nedolo£eni integral
1. f(x) = sinx+ x cosx, g(x) = 2xex + x2ex.
2. (a) 12x4 + 2
5x
52 + 6x
12 + 4x+ C,
(b) 34x
43 − 6x
12 + ln |x|+ 3
x+ C,
(c) (ln 2)2x − 12e2x + C,
(d) −32
cos(2x) + 4 sinx+ C,
(e) 3 arctanx+ C,
(f) 12
arcsin(2x) + C.
3. (a) 12(2x+ 1)16 + C,
(b) 32
sin(x2 + 3π4
) + C,
(c) 2 sin(√x) + C,
(d) 12(x2 + 1)
43 + C,
(e) 13(x2 + 1)
32 + (x2 + 1)
12 + C,
(f) −12e−x
2) + C,
(g) 23(ln |x|) 3
2 + ln |x|+ C,
(h) 12(ln |x|)2 + ln | ln |x||+ C,
(i) 16(sin(x) + 2)6 + C,
(j) −3(cosx)13 − 1
2(cosx)2 + C,
(k) − arctan(cosx) + C,
(l) −53(cosx)
53 + 3
2(cosx)
23 + C,
4. (a) −12
cos(2x) + 14
sin(2x) + C,
(b) 15(2x− 3) sin(5x) + 2
25cos(5x) + C,
(c) 35x sin(5x+ 2π
3) + 3
25cos(5x+ 2π
3) + C,
(d) 4x sinx+ (5− 2x2) cosx+ C,
(e) −13(x+ 1)e−3x − 1
9e−3x + C,
(f) (3x2 − 5x+ 3)ex + C,
(g) (x3
3− 3x2
2+ x) ln |x| − x6
6+ 3x2
4− x+ C,
(h) (x5
5+ x)(ln |x|)− x4
20− x+ C.
5. (a) 2x3+3x2+12x3
+ 5 log (x− 1) + C,
43
(b) 3x4+8x3+36x2+168x12
+ 29 log (x− 2) + C,
(c) log (x2 + 1)− 2 arctanx+ x+ C,
(d) 5 log(x+1)4
+ 3 log(x−3)4
+ C,
(e) − log(x+1)3
+ x+ 7 log(x−2)3
+ C,
(f) − log (x+ 3)− 3x−1 + 2 log (x− 1) + C,
(g) arctan(2x)4
+ C,
(h) 2 log (x2 + 1) + C,
(i) 2 log (x2 + 2x+ 2)− arctan(2x+2
2
)+ C,
(j)log(x2+1)
2− 2 log x+ 2 arctan x+ C,
6. (a) log((log x)1 + 1) + c
(b) 5 ln (ex + 2)− 4 ln (ex + 1) + c
5.1.4 Dolo£eni integral in uporaba
1.∫ 3
22xdx = 5,
∫ √30
xdx√1+x2
= 1.
2. F ′(3π2
) = − 23π, G′(3π
2) = e−(
3π2)2 .
3. Ker je s′ = v, je s(t) =∫v(t′)dt′, premik avta v £asu med t0 in t
pa enak s[t0,t] = s(t) − s(t0). Po drugi strani v £asovnem intervalu[tj−1, tj] avto naredi med Mj(tj − tj−1) in Mj(tj − tj−1) poti, kjer jemj = mint∈[tj−1,tj ] v(t) in Mj = maxt∈[tj−1,tj ] v(t), skupaj na [t0, t] papotem
n∑j=1
mj(tj − tj−1) < ∆s <n∑j=1
Mk(tj − tj−1).
Ker je v zvezna, potem sledi s[t0,t] =∫ tt0v(t′)dt′.
Za avto A imamo sA(t) =∫v(t)dt = 4
√(t+ 1)3 + s0. Med tretjo
in osmo sekundo avto prevozi pot sA,3,8 = (4√
(t+ 1)3 + C)∣∣∣83
= 76,
povpre£na hitrost v tem £asu pa je vA,3,8 = 765.
Podobne zveze dobimo med pospe²kom in hitrostjo, v′ = a inv(t) =
∫a(t′)dt′. Sledi torej vB(t) = vB(0) + 1
πsin(πt), ter potem ²e
sB(t) = s(0) + v(0)t− 1π2 cos(πt). Pri prevoºeni poti oziroma povpre£ni
44
hitrosti moramo upo²tevati, da se je smer voºnje avtomobila spremi-njala, zato je povpre£no hitrostjo med tretjo in osmo sekundo enakavB,3,8 = 1
5(|sB,3,4|+ . . .+ |sB,7,8|) = 1
π2 .
4. (a)∫ 2
04√xdx = 16
√2
3,
(b)∫ 1
−2(−x2 − x+ 2)dx = 9
2,
(c)∫ 0
−1(e−x − 1)dx = e− 2,
(d)∫ 1
−2((x3−3x+1)+1)dx = 27
4,
(e)∫ 1
−2(−x+1− (x2−1))dx = 92,
(f)∫ 2
1( 13x2+2
)dx = 16(ln(14
5)),
(g)∫ 1
0
√xdx+
∫∞1
1x2dx = 5
3,
(h)∫ 4
0(√x− (x− 2))dx = 16
3,
(i)∫ 1
0(e−x)dx = 1− 2
e,
(j)∫ e21
( lnxx
)dx = 2.
5. (a)√
2∫ 2
0
√1 + 9
4xdx+ 2 + 4 = 8
√2
27((11
2)32 − 1) + 6,
(b)∫ 1
0
√1 + 9
4xdx+ 1 + 1 = 8
27((13
4)32 − 1) + 2,
(c)∫ 1
02√
1 + 94xdx+ 2
√2 + 3 = 16
27((13
4)32 − 1) + 2
√2 + 3,
(d) Pomagamo si s polovi£nimi koti in s substitucijo t = tan(x2):∫ 2π
3π3
√1 + (tanx)−2 = ln tan(x
2)|
2π3π3
= log 3
6. (a) π∫ 3
2(1+ 1
x)2dx = π(5
6+2 ln 2
3),
(b) π∫ 1
02sh(x)dx = π(ch(2)−1),
(c) π∫ 2
02x5dx = π 27
6,
(d) 1003π,
(e) π∫ 1
0(x− x5)dx = π 5
14,
(f) π∫ π0
(sin(x))2dx = π2,
(g) π∫ 1
0x2e2xdx = π
4(e2 − 1),
(h) π(∫ 4
0xdx+
∫ 6
4(6− x)2dx) = 16π.
5.2 Diferencialne ena£be ter njihova uporaba v biologiji
in kemiji
5.2.1 Diferencialne ena£be 1. reda
1. Enostavno enkrat oziroma dvakrat odvajamo funkcije in dobljeno vsta-vimo v ena£bo.
2. (a) y = aebx + c; b = 12in c = −2.
45
(b) y = a arctan(bx) + c; a = b = 1,
(c) y = ax,
(d) y = ax2 + bx+ c; a = 12, b = 0.
3. (a) y = 2ex − 1,
(b) y = 52e2x − 3
2,
(c) y = − 2
(24x−25)13,
(d) y = tan(x+ π4),
(e) y = −4+3ex
−2+3ex,
(f) y = (3x2+2)13
213
,
(g) y = e1−1x ,
(h) y = 2e−x2
4 ,
(i) y = 3
√12(5− 3x2 + 6 lnx),
(j) y = −x−1x+1
,
(k) y = tan(x2
2),
(l) y = − 62x3+6x−11 ,
(m) y = (12 log x+3x4+1)13
413
,
(n) y = e−2x.
4. (a) y = Cxe12x2 ,
(b) y = Ce2x+23x3 ,
(c) y = Cex−C ,
(d) y = Ce−x2,
(e) y = Cx,
(f) y = ±√−x2 + C,
(g) y = Cearctanx,
(h) y = C√
1 + x2,
(i) y = ±√x+ x3
3+ C,
(j) y = ±√C + 2 log(1 + ex),
(k) y = 1ex−xex+C .
5. (a) y = 12
+ Ce−2x,
(b) y = cex − 2(x+ 1),
(c) y = e−x ((x2−2x+3) ex+c),
(d) y = 12ex(e2x + 2c),
(e) y = (c − 1x2
)x
(f) y = 12(1 + e1−x
2),
(g) y = −4+3e+3x+x2
3x,
(h) y = −12
+ Cex2,
46
(i) y = 27x3 + Cx−
12 ,
(j) y = cx− lnx
x,
(k) y = x(x3
3+ c)
(l) y = 12x
(e2x + c),
(m) y = x log x− log 2x
(n) y = e−x2(2 ex
2 − 3),
(o) y = x4−7x3
,
(p) y = e−x3(2 ex
3 − 3),
(q) y = e2+2x−4e3+2x−2x−2x2−14x
,
(r) y = ex+1−e2−1ex
,
(s) y = ce−x + e−x ln(1 + ex),
(t) y = − 12x2
+ C ex2
x2.
6. (a) y = x tan(12(c+ log x)),
(b) y = x arcsin(cx),
(c) y = −x ln( 1x− c),
(d) y = ± 1√2 lnx+c
,
(e) y = ±√
12
+ x+ x2 + cex,
(f) y = xx+c
,
(g) Opazi, da je y = 1 partikularna re²itev, ter nato izra£unaj splo²nore²itev y = 1 + ex
−ex(x−1)+c .
(h) Opazi, da je y = x partikularna re²itev, ter nato izra£unaj splo²nore²itev y = x+c
x2−1 .
7. ena£ba: y′ = 0.002(2000− 20y), za£etni pogoj: y(0) = 90,re²itev: y(t) = 100− 10e−0.04t.
8. ena£ba: y′(t) = k(1− y(t)), za£etna pogoja: y(0) = 0, y(1) = 12,
re²itev: y(t) = 1− 2−t.
9. ena£ba: y′(t) = ky(t)(1−y(t)), za£etna pogoja: y(0) = 0.1, y(1) = 0.2,
re²itev: y(t) =( 94)t
( 94)t+9
,
limita: limt→∞ y(t) = 1.
10. ena£ba: y′(t) = ky(t)(100−y(t)), za£etna pogoja: y(0) = 50, y(1) = 60,
re²itev: y(t) =100( 3
2)t
1+( 32)t,
limita: limt→∞ y(t) = 100.
11. ena£ba: y′ = k(a− y)(b− y),
re²itev: y =
{aekbx+ac−beakx+bcebkx+ac−eakx+bc , a 6= b
a− 1kx+c
, a = b
pri za£etnih pogojih a = b = 2 in y(0) = 0, y(1) = 1 dobimo y = 2x1+x
.
47
12. (a) ena£ba: y′ = ky2, za£etna pogoja: y(0) = 60, y(1) = 10,re²itev: y = 1
x.
(b) ena£ba: y′ = k(a− y)(y + c),re²itev: y = c+aeakx+ckx+ad+cd
−1+eakx+ckx+ad+cd .
13. ena£ba: dmdt
= 110· 4%− 1
10·100m, za£etni pogoj m(0) = 0,re²itev: m(t) = 40− 40e−
11000
t.
14. ena£ba: dmdt
= 1− 2100m, za£etni pogoj m(0) = 0,
re²itev: m(t) = 50− 50e−2
100t.
15. ena£ba: y′(t) = 3− 2 y200+t
, za£etni pogoj y(0) = 100,
re²itev: y(t) =3(t3
3+200 t2+40000 t
)+4000000
(x+200)2.
5.2.2 Diferencialne ena£be 2. reda
1. (a) y = c+ d lnx+ (lnx)2
2,
(b) y = a+ xb+ cex − x2 − x3
3− x4
12,
(c) y = ±12(ex±c + ex±c),
(d) y = cedx.
2. (a) y = 2 cos(2x) + 3 sin(2x),
(b) y = ce2x − de−2x,(c) y = (2 cos(2x)− sin(2x))e−x,
(d) y = (2− 2x)e−x,
(e) y = (13(−2 + 2α))e−x + 1
3(2 + α)e2x,
(f) y = 2425e−3x + 1
25(20x+ 1)e2x,
(g) y = 5245e−2x + 1
45(−15x+ 20)ex + 18
45e3x,
(h) y = (cx+ d)e2x + 13xe−x,
(i) y = cex + de4x − 14(6x− 7)e2x,
(j) y = (x+ 1)ex − 6e2x + 4e3x,
(k) y = ce2x + d+ e3x
3− 3x
4− x2
4,
(l) y = 139
(−27 cos(2x)+18 sin(2x)+e−x2 (105 cos(
√32x)+11
√3 sin(
√32x))),
(m) y = 120
(cos(2x)− 2 sin(2x))e−x + ex(c cos(2x) + d sin(2x))),
(n) y = 116ex(c cos(2x) + (4x+ d) sin(2x)),
48
(o) y = 1ω2−1((2 + ω2) cosx− 3 cos(ωx) + (ω2 − 1) sinx),
(p) y = cx
+ dx2,
(q) y = cx+ dx4 + 18(5− x2 + 4 lnx).
3. (a) y = (cx+ d− 1− lnx)e−x,
(b) y = (−3x2
+ c) cos(2x) + (34
ln(sin(2x)) + d) sin(2x),
(c) y = ex(−3− 3x+ 3 ln(1 + ex) + c) + e2x(3 ln(1 + e−x) + d),
(d) y = ce−2x + de−x − e−2x sin(ex),
4. y = cos(2√
40x) + 20√
10 sin(2√
10x).
5. ena£ba: y′′ + 203y = 0, za£etna pogoja y(0) = 3, y′(0) = 1,
re²itev: y = 3 cos(2√
53x) + 1
10
√15 sin(2
√53x).
5.2.3 Sistemi linearnih diferencialnih ena£b 1. reda
1. (a) y = ce3x, z = (−12c+ d)ex + 1
2ce2x,
pri za£etnih pogojih y(0) = 3, z(0) = −2: c = 3, d = −7
(b) y = ce−x cos(√
2x)− 1√2de−x sin(
√2x), z = de−x cos(
√2x)−c
√2e−x sin(
√2x),
pri za£etnih pogojih y(0) = 3, z(0) = −2: c = 3, d = 2
(c) y = (c(1 + 4x)− 4xd)e−3x, z = (4xc− (−1 + 4x)d)e−3x,pri za£etnih pogojih y(0) = 3, z(0) = −2: c = 3, d = −2
(d) y = 118
(−16−12x+27ex+43e3x), z = 118
(−20−6x+27ex−43e3x)
(e) z = 19(−5− 6x+ 45e2x − 13e3x), z = 1
9(1 + 3x− 45e2x + 26e3x),
(f) y = 1336
(21−84x+48ex+(939 cos(2√
3x)+487√
3 sin(2√
3x))e−2x),z = 1
224(7+28x+32ex+(487 cos(2
√3x)+313
√3 sin(2
√3x))e−2x),
(g) y = −2− 12x2
+ 2x
+ c(4x+ 1)− 2xd− 2 lnx, z = −4− 5x
+ 8cx+(1− 4x)d− 4 lnx,
(h) x = 128
(9a− 8b− 3c)e−4x − 112
(a+ c) + 221
(8a+ 3b+ 2c)e3x,y = 1
14(−9a+ 8b+ 3c)e−4x − 1
2(a+ c) + 1
7(8a+ 3b+ 2c)e3x,
(i) z = 184
(−27a+ 24b+ 9c)e−4x + 9184
(a+ c)− 221
(8a+ 3b+ 2c)e3x.
2. (a) u = 50 in v = 10: u̇ = 500, v̇ = −400: populacija zajcev se ve£a,populacija lisic upadav = 50 in u = 10: u̇ = −300, v̇ = 0: populacija zajcev se manj²a,populacija lisic je stabilna
49
(b) stabilnost populacije zajcev je pri u = 200 in lisic pri v = 100,�e imamo populacijo 200 zajcev in 200 lisic (u̇ = 0, v̇ = 20000,je populacija zajcev stabilna, populacija lisic pa je v nara²²cu, kise ustavi pri 100 zajcih, saj je takrat v̇ = 0 in populacija lisicstabilna, ter za£ne padati. Podobno ugotovimo, da je se potempadanje populacije zajcev ustavi pri 200 lisicah, populacija lisicpa ²e pada. To padanje se seveda ustavi pri 100 zajcih...
5.3 Vektorji in matrike
5.3.1 Algebrai£ne operacije z matrikami
1. (a) Se²tejemo lahko B in C, s skalarjem pa lahko noºimo vse matrike.
(b) Aa, aTA, aTE, aTF , Bb, bTB, bTD, Da, Cb, bTC, Ec, Fb, bTG,Gc, cTH, Hb.
(c) AE, AF , DA, BC, CB, BD, CD, BG, CG, FB, FC, HC, DE,DF , FD, HD, EH, FG, GH.
(d) A2 − 3A, BCD.
2. (a) detA = 3, A−1 =
[23−1
3
−13
23
],
(b) detA = 0, A ni obrnljiva,
(c) detA = −1, A−1 =
−2 0 10 3 −21 −2 1
,(d) detA = 1, A−1 =
−24 18 520 −15 −4−5 4 1
,(e) detA = −1, A−1 =
−7 −4 25 3 −14 2 −1
,(f) detA = −1, A−1 =
4 5 −7−1 −1 22 3 −4
,3.
50
(a)[32
154
65
] [3 22 3
]=
[152
514720
4910
], (b)
[32
154
65
]−1[10 1211 12
]=
[2011
4811
8011
6011
].
4. (a) X =
−8 −7 89 6 −8−3 −1 2
, Y =
6 −10 55 −3 0−12 14 −5
,(b) X =
0 −1 1−2 1 −13 −1 1
, Y =
1 0 2−1 −1 −21 −1 2
,(c) X =
5−11
585
, ena£ba Y A = B ni dobro de�nirana,
(d) ena£ba AX = B ni dobro de�nirana, Y =
[0 6 45 −21 −12
].
5. (a) X =
053
−2
. (b) X =
3 4 −13 4 −11 1 0
.5.3.2 Lastne vrednosti in lastni vektorji ter primeri iz biologije
1. (a) Z ustreznim potenciranjem in se²tevanjem matrik opazi, da sodane matrike ni£le ustreznih polinomov. Sledi, da so med ni£lamiteh polinnomov tudi nekatere lastne vrednosti matrik.
(b) ∆A(λ) = −λ3, detA = 0, SledA = 0, λ1,2,3 = 3,∆B(λ) = −(λ − 1)(λ2 − λ − 8), detB = −8, SledB = 2, λ3 = 1,λ1,2 = 1+±
√33
2,
∆C(λ) = −λ3 + 7λ2 − 13λ+ 5, detC = 5, SledC = 7.
2.[0 b0 0
]in[0 0b 0
]za b ∈ R2,
[a b
−a2
b−a
]za a, b 6= 0.
3. (a) λ1 = −2, v1
[11
], λ2 = 2, v2 =
[1−1
],
(b) λ1 = −2, v1
[1−1
], λ2 = 1, v2 =
[10
],
(c) λ1 = 3, v1
[1−2
], λ2 = 2, v2 =
[1−1
],
(d) λ1 = 3, v1
[11
], λ2 = −2, v2 =
[1−4
].
51
(e) λ1 = −2, v1
[−12
], λ2 = 1, v2 =
[11
].
(f) λ1 = −1, v1
[−11
], λ2 = 1, v2 =
[11
].
4. Pri danih A in v re²i enostavno ena£bo Av = λv.
(a) λ1 = 2, λ2 = 0, (b) λ1 = 2, λ2 =√17+92
.
5. Preveri, da za dano matriko A in pripadajo£e ²tevilo λ velja enakostdet(A−λI3) = 0, nato pa re²i ena£bo (A−λI3)vλ = 0, t.j. poi²£i lastnivektor vλ.
(a) v−2 = [1, 1, 2]T , v41 = [1, 0,−1]T , v42 = [0, 1, 1]T ,
(b) v51 = [1, 2,−3]T , v−31 = [1, 0, 1]T , v−32 = [0, 1, 2]T ,
(c) v4 = [2, 1, 1]T , v2 = [0, 1,−1]T ,
(d) v3 = [1,−2, 1]T , v0 = [1, 1, 1]T ,
6. Ozna£imo z vλ lastni vektor za lastno vrednost λ:
(a) v−1 = [0, 1, 1]T , v1 = [0, 1,−1], v−2 = [1, 0, 0],
(b) v−3 = [2,−5, 0]T , v4 = [1, 1, 0], v2 = [3, 15,−5],
(c) v3 = [2, 3,−2]T , v−4 = [1,−2,−1], v0 = [1, 6,−13],
(d) v2 = [1,−1,−2]T , v−1 = [1,−1,−1], v1 = [1, 0,−1],
7. Av = λv: (A2 + 3I)v = (A(Av) + 3v) = (A(λv) + 3v) = (λ2 + 3)v.
8. Veljati mora∣∣∣∣ a− λ 1
b c− λ
∣∣∣∣ = (1−λ)(2−λ), od koder sledi ac−b = 2
in a+ c = 3. Dve izmed re²itev sta denimo[
2 10 1
]in[
4 16 −1
].
9. Ozna£i[
13 −5−5 13
], v =
[xy
]in v′ =
[x′
y′
], da dobi² zvezo 13x2 −
10xy + 13y2 = vTAv = v′TP TAPv′, kjer je P ustrezna matrika in v =Pv′. Nadalje opazi, da ima A lastni vrednosti 8 in 18, ter pripadajo£a
enotska lastna vektorja v8 = 1√2
[11
]in v18 = 1√
2
[1−1
]. Matrika
P = 1√2
[1 11 −1
]predstavlja rotacijo za kot π
4, zato dobi², da je dana
krivulja dobljena z rotacijo krivulje 0 = 13x2 − 10xy + 13y2 − 72 =8(x′)2 + 18(y′)2 − 72 = za kot π
4.
52
10.[Rn+1
Mn+1
]=
[1− f 1fγ 0
] [Rn
Mn
],
Ena izmed lastnih vrednosti λ1,2 = 12(1 − f ±
√(f − 1)2 + 4fγ) bo
enaka 1, £e bo γ = 1. (Druga lastna vrednost bo potem −f .)
P =
[1 1fγ −1
], P−1 = 1
1+fγ
[1 1fγ −1
],
Rn = 1+f(−f)n1+f
R0 + 1−f(−f)n1+f
M0, limn→∞Rn = R0+M0
1+f.
11. vn+1 =
[Bn+1
Sn+1
]=
[14
12
34
12
] [Bn
Sn
]= Avn,
lastni vrednosti: λ1 = 1, λ2 = −14, Dn = diag(1, (−1
4)n),
matrika lastnih vektorjev: P =
[34
112−1
], P−1 = 1
5
[4 42 −3
],
Ni ve£ teºko izra£unati vn = Anv0 = PDnPv0.
12. rekurzivna zveza: Fn+2 = Fn+1 + Fn, F1 = 2, F2 = 2
(v matri£ni obliki) Avn = vn, kjer A =
[0 11 1
], vn =
[FnFn+1
].
Velja v100 = A99v1, kjer sta τ1,2 = 1±√5
2lastni vrednosti A, ter podobno
kot pri 11. nalogi poi²£emo pripadajo£o matriko lastnih vektorjev P innjen inverz, ter A99 = PD99P−1.
5.3.3 Gaussova eliminacija in sistemi linearnih ena£b
1. Dolo£i range naslednjih matrik:
(a) rang(A) = 3,
(b) rang(A) = 2,
(c) rang(A) = 2,
(d) rang(A) = 4.
2. (a) Dani sistem: x = t, y = 2t− 3, z = 12t− 1
2, t ∈ R,
Prvi ena£bi: x = t, y = 2t− 3, z = 12t− 1
2, t ∈ R,
�tiri ena£be: x = 97, y = −3
7, z = 1
7.
(b) Dani sistem: x = 1, y = 2, z = 3,Prvi ena£bi: x = 1, y = t, z = 5− t, t ∈ R,�tiri ena£be: ni re²itve.
(c) Dani sistem: ni re²itve,Prvi ena£bi: x = t, y = 2t− 3, z = 1
2t− 1
2, t ∈ R,
�tiri ena£be: ni re²itve.
53
(d) Dani sistem: x = −32, y = 11
4, z = −3
4,
Prvi ena£bi: x = −32, y = 7
2+ t, z = t, t ∈ R,
�tiri ena£be: ni re²itve.
3. 12, 16, 24.
4. (a) Glej nalogo 2.(b).
(b) Glej nalogo 2.(a).
(c) Glej nalogo 2.(c).
5. (a) Dani sistem: x = 1, y = 0, z = 2, w = −1.Prve tri ena£be: x = 3
2t+ 5
2, y = t+ 1, z = 7
2t+ 11
2, w = t, t ∈ R,
Pet ena£b: ni re²itve.
(b) Dani sistem: x = 1, y = 2, z = 0, w = −1.Prve tri ena£be: x = −1
2t+ 1
2, y = 1
2t+ 5
2, z = t+ 1, w = t, t ∈ R,
Pet ena£b: ni re²itve.
(c) Dani sistem: x = −8, y = t+ 3, z = 2t+ 6, w = t, t ∈ R,Prve tri ena£be: x = −8, y = t+ 3, z = 2t+ 6, w = t, t ∈ R,Pet ena£b: x = −8, y = 3, z = 6, w = 0.
(d) Dani sistem: x = −1, y = 1, z = 0, w = −2.Prve tri ena£be: x = 20t+29
11, y = −10t+9
11, z = −8t+16
11, w = t, t ∈ R,
Pet ena£b: ni re²itve.
(e) Dani sistem: x = −8, y = 2, z = 4, w = −1.Prve tri ena£be: x = −8, y = 11t+ 3, z = 2t+ 6, w = t, t ∈ R,Pet ena£b: ni re²itve.
(f) Dani sistem: x = 13, y = −7
3, z = 4
3, w = −5
3.
Prve tri ena£be: x = 1613t+ 31
13, y = 5
13t− 22
13, z = −14
13t− 6
13, w = t,
t ∈ R,Pet ena£b: ni re²itve.
6. t = 13t+ 35, g = 180− t, t = −1
3t− 125, n = t.
7. 18, 12, 0, 6.
8. (a) x = 8a+4a+2
, y = 5a+2a+2
, z = 4a+2
, a 6= 2,
(b) x = − 1a+3
, y = 3a+104a+12
, z = − a+22a+6
, w = − a+64a+12
, a 6= −3.
54
5.4 Osnove verjetnostnega ra£una
5.4.1 Pre²tevanje in kombinatorika
1. (a) 2 · 3 · 3 · 2,(b) 2 · 3,(c) 1 · 3 · 3 · 2,(d) 2 · 3 · (3 + 1) · (2 + 1).
2. (a) 114,
(b) 11 · 10 · 10 · 10,
(c) 3 · 11 · 10 · 10,
(d) 11 · 10 · 9 · 8.
3. (a) 74, (b) 64, (c) 6 · 5 · 4.
4. (a) 2 · 63, (b) 2 · 6 · 5 · 4.
5. (a) 9!,
(b) 2 · 8!,
(c) 9!− 2 · 8!,
(d) 4!3!4!.
6. (a)(304
), (b)
(254
), (c)
(52
)(252
)+ 5(253
)+(
254
).
7. (a)(284
),
(b)(273
),
(c)(132
)(152
)+(133
)15 +
(134
),
(d)(264
)+ 2(273
).
8.(104
)(63
)(32
).
9. 13 + 4− 1.
5.4.2 Osnove verjetnosti
1. 520.
2. (a) 137,
(b) 1237,
(c) 1837,
(d) 18+12−637
.
3. (a) 1
(162 ),
(b) 14+14
(162 )
,
(c) 28+1
(162 )
,
(d) 1− 29
(162 )
=(14
2 )(16
2 ).
4. (43)133(
132 )
(525 )
5.
55
(a) (103 )
(243 ),
(b) (143 )
(243 ),
(c) 1− (143 )
(243 ),
(d) (102 )14(24
3 ),
(e) (103 )+1+(11
3 )(24
3 ),
(f) 10·3·11(24
3 ).
6. (a) (203 )
(253 ), (b) (20
2 )5+1+(203 )
(253 )
.
7. 1− 365·364···337·33636530
.
8. P (A ∩B) = P (A)P (B) = 6x2, 23
= 2x+ 3x− 6x2.
9. A∩B je dogodek, da je ²tevilo deljivo s 45; P (A∩B) = 2100
, A∪B paje dogodek, da je ²tevilo deljivo s 5 ali z 9 (ali z obema); P (A ∪ B) =20+11−2
100.
(a) P (A|B) = 211.
(b) C naj bo dogodek, da je ²tevilo deljivo z 2; P (A ∪ B ∪ C) =1
100(20 + 11 + 50− 2− 10− 6 + 1).
10. P (A) = 536, P (B) = 1
36, A ∩B = A ∪B = A, P (B|A) = 1
5.
11. (a) 1124, (b) 6
11.
12. (a) 8+9−5100
, (b) 59, (c) 5
8.
13. (a) Uporabimo P (A ∩B ∩ C) = P (A)P (B|A)P (C|A ∩B).
• 1012,
• 212· 1011,
• 212· 111· 1011,
• 0.
(b) Uporabimo P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C), saj so A,B,C ne-odvisni.
(c) • 1012,
• 212· 1012,
• 212· ( 2
12)2,
• 212· ( 2
12)2.
14. (a) 1− ( 95100
)5,
(b) 1− 95·94·93·92·91100·99·98·97·96 ,
56
15. A, B, C naj bodo zaporedoma dogodki, da je bila tar£a zadeta natankoenkrat, dvakrat ali nikoli, H1, H2 pa dogodka, da je zadel prvi oziromadrugi
(a) 1− P (A) = (1− 0.8) · (1− 0.9),
(b) P (A ∪B) = 0.8 · 0.9 + 0.8 · (1− 0.9) + (1− 0.8) · 0.9,(c) P (A) = P (H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2), kjer P (A|H1) = 1−0.9,
P (A|H2) = 1− 0.8 ali P (A) = P ((H1 ∪H2) ∩ · · · ∩ (Hc1 ∪Hc
2)).
(d) P (B) = 0.8 · 0.9,
(e) P (H1|A) = P (A∩H1)P (A)
, kjer P (A ∩H1) = 0.8 · (1− 0.9).
(f) P (H1|A ∪ B) = P (A∪B|H1)P (H1)P (A)
, kjer P (A ∪ B|H1) = 1, P (H1) =0.8.
16. A naj bo dogodek, da sta bila skupaj doseºena dva gola, H1, H2 do-godka, da je prvi zadel v prvem oziroma drugem poskusu, K1, K2
dogodka, da je drugi zadel v prvem oziroma drugem poskusu. Potemje A = (H1 ∩H2 ∩Kc
1 ∩Kc2)∪ · · · ∪ (K1 ∩K2 ∩Hc
1 ∩Hc2) in ni teºko iz-
ra£unati verjetnosti dogodka A in tudi pogojnih verjetnosti naslednjihdogodkov:
(a) P (H1 ∪H2|A) = (H1∪H2)∩AP (A)
= 1− P (Hc1 ∩Hc
2|A),
(b) P ((H1 ∩Hc2) ∪ (H2 ∩Hc
1)|A),
(c) 1− P (H1 ∪H2|A) = P (Hc1 ∩Hc
2|A),
(d) P (B) = 0.8 · 0.9,(e) P (H1 ∪H2 ∪K1 ∪K2|A).
17. J1 oziroma H1 naj bosta dogodka, da smo iz prve ko²are vzeli jabolkooziroma hru²ko, J2 oziroma H2 naj bosta dogodka, da smo iz drugeko²are vzeli jabolko oziroma hru²ko.
(a) P (J1) = 2025
(b) P (J2) = P (J2|J1)P (J1) + P (J2|H1)P (H1), kjerP (H1) = 5
25, P (J2|J1) = 19
22), P (J2|H1) = 18
22.
(c) P (J1|J2) = P (J2|J1)P (J1)P (J2)
.
18. Re²evanja naloge se lotimo podobno kot prej²nje naloge, le da moramosedaj obravnavati ve£ moºnosti.
57
5.4.3 Diskretne slu£ajne spremenljivke
1. (a) P (X = k) = 16(56)k−1, E(X) = 2, V (X) = 2 (geometrijska).
(b) P (X = k) =(k−15−1
)(12)5(1
2)k−5, E(X) = 10, V (X) = 10 (Pasca-
lova).
(c) P (X = k) =(7k
)(12)k(1
2)7−k, k ∈ {1, . . . , 7}, E(X) = 7
2, V (X) = 7
4
(binomska).
(d) P (X = k) =(k−13−1
)(16)3(5
6)k−3, E(X) = 6, V (X) = 90 (Pasca-
lova).
2. P (X = 0) = ( 95100
)3,P (X = 1) = 5( 95
100)2 5
100,
P (X = 2) = 5( 5100
)2 95100
,P (X = 3) = ( 95
100)3.
3. (a) • P (X = 1) = 27,
• P (X = 2) = 57· 27,
• P (X = 3) = (57)2 2
7, . . .,
• P (X = k) = (57)k−1 2
7
(b) • P (X = 1) = 27,
• P (X = 2) = 57· 26,
• P (X = 3) = 57· 4625,
• . . . P (X = 7) = 5!7!.
4. P (X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3).
58
Literatura
[1] Demidovi£ B. P.,...in drugi, Zadaci i rije²eni primjeri iz vi²e matematike:s primjenom na tehni£ke nauke, Tehni£ka knjiga, Zagreb 1989.
[2] Dobovi²ek, M. Hladnik, M. Omladi£, M., Re²ene naloge iz analize I,DMFA, Ljubljana 1996.
[3] Mizori-Oblak, P., Matematika za ²tudente tehnike in naravoslovja 1. del,FS UL, Ljubljana 1994.
[4] Star£i£, T., Naloge iz matematike za �zike in tehnike z re²itvami: u£nogradivo, PeF UL, Ljublana, 2017.
[5] Star£i£, T., Naloge iz osnov matemati£ne analize z re²itvami: u£no gra-divo, PeF UL, Ljublana, 2015.
[6] Vidav, I., Vi²ja matematika 1, DZS, Ljubljana 1976.
59
