Embed Size (px)
Citation preview
Izpitne naloge iz Matematike 1
RI-VS
FERI
dr. Iztok Peterin
Maribor 2009
V tej datoteki so zbrane izpitne naloge za predmet Matematika 1 na smeriRI-VS na Fakulteti za elektrotehniko, racunalnistvo in informatiko iz solskih let1998/99-2004/05. Od 2001/02 so dodane tudi resitve. Prosim, da morebitnenapake med resitvami posredujete na [email protected].
1
1. izpit 1998/99
1. Resi neenacbo:|2x− 1| ≤ |−x+ 2|+ 2.
2. Cimbolj natancno narisi funkcijo f (x) = x2−1x4+3 , ce je srednji ekstrem min-
imum, ostala pa maksimuma (ni potrebno racunanje drugega odvoda).(Poisci definicijsko obmocje, nicle, navpicne, vodoravne in posevne asimp-tote, ce obstajajo, ekstreme, intervale narascanja in padanja ter funkcijonarisite.)
3. Izracunaj limiti:
(a) limn→∞
√n2 + n−
√n2 − n =
(b) limx→2
x3−2x2−4x+8x3−3x2+4 = .
4. Izracunaj dolzine stranic, kote in ploscino trikotnika, ki ima ogljisca vtockah A (3, 0, 2) , B (−1, 3, 0) in C (−1,−1, 0) .
2
2. izpit 1998/99
1. (a) Izracunaj vsoto vrste:∑∞n=1
5n(n+1) !
(b) Ali konvergira vrsta∑∞n=1
2nn!nn ?
2. Poisci resitev sistema:
3x+ 2y + z = 5−x+ 4y − 3z = 23x− 5y − 5z = −1.
3. Za funkcijo f (x) = x2+ax2+1 doloci a tako, da bo graf funkcije potekal skozi
tocko T (1, 0) in graf tudi narisi! (Poisci definicijsko obmocje, nicle, asimp-tote, ekstreme, prevoje.)
4. Podan je splosni clen zaporedja an = (−1)n 1n . Izracunaj koliko clenov
zaporedja se nahaja na intervalu(− 1
100 ,1
100
)! Preveri tudi ali je zaporedje
monotono in omejeno?
3
3. izpit 1998/99
1. Izracunaj integrala:
(a)∫
cos4 x3dx =
(b)∫ √
1−2x+x2
1−x dx = .
2. Dokazi z matematicno indukcijo, da 9 deli vsa naravna stevila oblike(4n + 15n− 1) .
3. Resi matricno enacbo AX − 2X = B, ce sta
A =
1 1 −11 0 10 3 3
, B =
−112
.
4. Izracunaj limiti:
(a) limx→∞
2x
x2 =
(b) limh→0
sin(x+h)−sin xh = .
4
4. izpit 1998/99
1. Poisci resitev sistema:
−2x+ 3y − z = 03x− y − z = 1−x+ 2y + z = 2.
2. Cimbolj natancno narisi funkcijo f (x) = (x−1)3
(x+1)2. (Poisci definicijsko obmocje,
nicle, asimptote, ekstreme, prevoje.)
3. Resi nedolocena integrala:
(a)∫
2x2+41x−91(x−1)(x+3)(x−4)dx = ,
(b)∫
dx√x2+2x+4
= .
4. Izracunaj vsoto vrst:
(a)∑∞n=1
1(2n−1)(2n+5) ,
(b)∑∞n=1
(− 5
6
)n.
5
5. izpit 1998/99
1. Zapisi enacbo premice skozi tocko A (3, 1, 2) , ki je vzporedna premici
x− 13
=y + 2
2=z − 6
4.
2. Cimbolj natancno narisi funkcijo f (x) = e1
1+x2 . (Poisci definicijsko obmocje,nicle, asimptote, ekstreme, prevoje.)
3. Podan je splosni clen zaporedja an = (−1)n(2− 1
n
). Izracunaj koliko
clenov zaporedja se nahaja na intervalu (1′9, 1′98)! Poisci tudi stekaliscazaporedja. Ali ima zaporedje tudi limito?
4. Preveri ali sta vrsti konvergentni:
(a)∑∞n=1
(−1)3n+n ,
(b)∑∞n=1
2nn!nn .
6
6. izpit 1998/99
1. Poisci resitev sistema:
3x1 + 2x2 − x3 + x4 = 4x1 + 2x3 = 9x2 − x4 = 2.
2. Za funkcijo f (x) = x2+ax2+1 doloci a tako, da bo graf funkcije potekal skozi
tocko T(2, 3
5
)in graf tudi narisi! (Poisci definicijsko obmocje, nicle, asimp-
tote, ekstreme, prevoje.)
3. Zapisi splosni clen an aritmeticnega zaporedja, ce velja
2a3 + 3a4 = −13,a2 + a5 = 11.
4. Izracunaj integrala:
(a)∫
2x+1x2+2x+3dx = ,
(b)∫x2 sin x
2dx = .
7
1. izpit 1999/00
1. Podani so vektorji −→a = (2, 4,−1) ,−→b = (−1, 0, 3) in −→c = (5,−3, 3) .
Izracunaj2−→a ·
−→b .− 3−→a
(−→b ×−→c
)+(−→a ,−→b ,−→c ) = .
2. Izracunaj ekstreme funkcije f (x) = x3
3 −7x2
2 + 12x− 1 in doloci intervalenarascanja in padanja funkcije.
3. Podan je splosni clen zaporedja an = 3n−22n+5 . Izracunaj koliko clenov za-
poredja se nahaja na intervalu[54 ,
1410
]in preveri ali je zaporedje monotono.
4. Izracunaj n-ti odvod funkcije f (x) = 1x2−7x+12 in rezultat dokazi z matematicno
indukcijo.
8
2. izpit 1999/00
1. Resi neenacbo|x− 2| − |3x+ 1| > 2.
2. Resi matricno enacbo 2X −AX = 2AT , ce je
A =
1 1 −30 0 −10 −5 −2
.
3. Narisi funkcijo f (x) = chx = ex+e−x
2 s pomocjo drugega odvoda.
4. Izracunaj vsoto vrst:
(a)∑∞n=1
5n(n+2) ,
(b)∑∞n=1
(− 2
5
)n.
9
3. izpit 1999/00
1. Izracunaj f (A) , ce je f (x) = x2 − 3x+ x−1 in
A =
1 2 50 −3 40 0 1
.
2. Izracunaj limiti:
(a) limx↓0
(sinx)x = ,
(b) limx→2
x3+x2−6xx4−4 = .
3. Za zaporedje an = (−1)n 3n+2n poisci stekalisca in preveri ali je zaporedje
monotono in omejeno.
4. Brez uporabe odvodov skiciraj funkcijo f (x) = 2x3+5x2−3xx2−x−2 .
10
4. izpit 1999/00
1. Poisci a tako, da bo imel homogen sitem enacb netrivialno resitev in sistemtudi resi:
x+ 2y + 3z = 02x− y + 5z = 0
5x+ ay + 3z = 0.
2. Z matematicno indukcijo preveri resnicnost trditve, da stevilo 6 deli vsastevila oblike 3n + 2 · 5n+1 + 1.
3. Na kocki ABCDEFGH ( E je nad A ) so bazni vektorji−−→AB = −→a ,
−−→AD =
−→b ,−→AE = −→c . Tocka M lezi na tretini daljice EH, tocka L deli daljico
AG v razmerju |AL| : |LG| = 1 : 4. Tocka K je sredisce kvadrata AEHD.Izrazi vektorje
−−→KL,
−−→LM in
−−→ML, ter narisi skico.
4. Z upostevanjem drugega odvoda narisi funkcijo f (x) = ex−2 − 1.
11
5. izpit 1999/00
1. Izracunaj ekstreme in prevoje funkcije f (x) = 3x2+2x−2x in doloci intervale
narascanja in padanja ter konveksnosti in konkavnosti.
2. Skozi tocke A (1, 2, 3) , B (0, 2,−2) in C (0,−3, 1) zapisi enacbo ravnine inzapisi premico skozi tocko O (0, 0, 0) , ki je pravokotna na ravnino.
3. Za zaporedje an = −3n+22n+5 preveri ali je zaporedje monotono in omejeno
ter izracunaj limito.
4. Brez uporabe odvodov skiciraj funkcijo f (x) = ex sinx. Preveri se sodost,lihost in periodicnost funkcije.
12
6. izpit 1999/00
1. Resi neenakost |2x+ 1| < |x− 3| .
2. Izracunaj limitolimx↓0
(ex)ln x = .
3. Poisci ekstreme in prevoje funkcije f (x) = x2e−x.
4. Izracunaj n-ti odvod funkcije f (x) = 15−x .
5. Resi sistem:
−2x+ 3y − z = 03x− y − z = 1−x+ 2y + z = 2.
13
1. izpit 2000/01
1. Racunsko in graficno resi neenakost |2x− 3| ≥ |x+ 4| − 2.
2. Izracunaj limiti
(a) limx↓0
(ex)ln x = ,
(b) limx→∞
√x2 + x−
√x2 − x = .
3. Med vsemi valji s povrsino 96π poisci tistega, ki bo imel najvecji volumen.Namig: P = 2πr (r + h) , V = πr2h.
4. Glede na stevilo a ∈ R obravnavaj naslednji sistem:
3x+ 2y − z = 2a2x− 2y + 6z = 45x+ y − az = 3.
14
2. izpit 2000/01
1. Za funkcijo f (x) = 23x
2 3√
6x− 7 izracunaj definicijsko obmocje, ekstreme,prevoje, intervale narascanja in padanja in jo priblizno skiciraj.
2. Izracunaj n-ti odvod funkcije f (x) = 12x2+3x−2 . Izracunaj se tangento na
to funkcijo v tocki x = 0.
3. Za zaporedje an = n2−7n+102n+3 preveri ali je monotono in ugotovi, kateri
cleni so manjsi od 0.
4. Resi matricno enacbo XA = B za matriki
A =
1 0 −22 1 −43 −1 −6
in B =
−1 1 30 2 7−5 3 8
.
15
3. izpit 2000/01
1. Izracunaj vsoto vrst:
(a)∑∞n=0
3n+2n−1
5n ,
(b)∑∞n=0
3(2n−1)(2n+1) .
2. Za funkcijo f (x) = xe1x izracunaj ekstreme, prevoje, doloci intervale
narascanja, padanja, konveksnosti in konkavnosti in izracunaj limx↓0 f (x) .
3. Za funkciji f (x) = ex in g (x) = sinx izracunaj oba kompozituma in jupriblizno skiciraj.
4. Resi sistem
3x− y + z − w = 4x+ 2y − z − w = −1
4x+ 2z = 42x− 3y + 2z = 5.
16
4. izpit 2000/01
1. Vsota katet v pravokotnem trikotniku je 15.Doloci stranice, da bo hipotenuzanajmanjsa.
2. Brez uporabe odvoda cimbolj natancno skiciraj funkcijo f (x) = x4−8x2−92x3+5x2−12x .
3. Za zaporedje an = (−1)n 1−nn2 preveri ali je monotono in izracunaj ko-
liko celnov se nahaja na intervalu[0, 1
2
]. Zapisi se najmanjsi interval, na
katerem se nahajajo vsi cleni zaporedja.
4. Dani sta matriki
A =
3 2 −12 −2 65 1 −1
in B =
3 21 −2−1 5
.(a) Izracunaj A−1.
(b) Izracunaj matriko C, ki je produkt matrik B in A.
(c) Kam preslika matrika C vektor (3, 1) .
17
5. izpit 2000/01
1. Graficno in racunsko resi neenakost∣∣x2 − x− 6
∣∣ ≤ |x+ 3| .
2. Izracunaj vse kar je mogoce in cimbolj natancno narisi funkcijo f (x) =x− ln
(1 + x2
).
3. Za zaporedje an = 6−5n2n+3 preveri ali je monotono in omejeno. Izracunaj se
limito, ce obstaja.
4. Doloci a ∈ R tako, da bo imel sistem
x− y − z = 02x− 3y + az = 0
(a− 2)x+ y + 4z = 0
netrivialne resitve in sistem tudi resi.
18
6. izpit 2000/01
1. Racunsko resi neenakost |3x+1||x−2| > 1.
2. Izracunaj limiti
(a) limx↓0
(cosx)1x = ,
(b) limx→∞
(2x+12x
)x = .
3. Za funkciji f (x) = 1x in g (x) = x2 + 3x + 2 izracunaj oba kompozituma
in ju priblizno skiciraj. Preveri se ali sta dobljeni funkciji sodi ali lihi!
4. Izracunaj n-ti odvod funkcije f (x) = 12−x in dobljeno formulo dokazi z
matematicno indukcijo.
19
1. izpit 2001/02
1. Racunsko in graficno resi neenakost |x− 3| ≤ |3x+ 1|+ 2.
[Resitev: (−∞,−1] ∪ [0,∞)]
2. Izracunaj vse kar je mogoce in narisi funkcijo f(x) =√x lnx.
[Resitev: Df : (0,∞), nicla: 1, nima asimptot, limx↓0 f(x) = 0, E(e−2,−2e−1),P (1, 0), narasca: (e−2,∞), pada: (0, e−2), konveksna: (0, 1) in konkavna:(1,∞).]
3. Podane so matrike:
A =
2 1−3 21 −4
, B =
1 −1 32 0 15 1 2
in C =[
32
].
(a) Izracunaj B−1.
(b) Ce je mogoce, pomnozi matrike A, B in C (v ustreznem vrstnemredu).
[Resitev: (a)B−1 = 14
−1 5 −11 −13 52 −6 2
, (b)BAC =
−21125
]
4. Izracunaj n-ti odvod funkcije f (x) = 52x2−x−3 in dobljeno formulo dokazi
z matematicno indukcijo.
[Resitev: f (n)(x) = (−1)nn!((x− 32 )−n−1 − (x+ 1)−n−1)]
20
2. izpit 2001/02
1. Podani sta funkciji
f(x) ={
x | x ≥ 0−1 | x < 0 in g(x) =
{sinx | −π2 < x < π
20 | sicer .
Izracunaj oba kompozituma f ◦ g in g ◦ f ter ju tudi skiciraj.
[Resitev:
(f ◦ g)(x) =
sinx | 0 ≤ x < π2
−1 | −π2 < x < 00 | sicer
(g ◦ f)(x) =
sinx | 0 ≤ x < π2
0 | x ≥ π2
− sin 1 | x < 0
2. Za funkcijo f(x) = arctan x2
1−x izracunaj ekstreme ter doloci intervalenarascanja in padanja. Izracunaj se drugi odvod.
[Resitev: f ′(x) = 2x−x2
x4+x2−2x+1 , E1(0, 0)-MIN, E2(2, arctan(−4))-MAX, fnarasca: (1, 1) ∪ (1, 2), f pada: (−∞, 0) ∪ (2,∞) inf ′′(x) = (2−2x)(x4+x2−2x+1)−(2x−x2)(4x3+2x−2)
(x4+x2−2x+1)2 .]
3. Preveri ali je zaporedje an = −n+2n2−3n+1 monotono in omejeno. Izracunaj se
limito, ce obstaja.
[Resitev: zaporedje ni monotono (a1 < a2 in a2 > a3), je omejeno (m =−1, M = 0) in limita je 0.]
4. Poisci resitve naslednjega sistema
2x+ 3y − z = 0x+ y + z = 2
−3x+ y − z = −8.
[Resitev: x = 2, y = −1 in z = 1.]
21
3. izpit 2001/02
1. Podani je funkcija f(x) = x2 − 2x+ 3 + 9x . Izracunaj f(A), ce je
A =
2 2 1−1 2 13 1 2
.
[Resitev: f(A) =
7 2 46 3 −2−2 12 13
.]
2. Izracunaj limiti:
(a) limx→0( 1x −
1ex−1 );
[Resitev: 12 .]
(b) limx↓0 x1
ln(ex−1) .[Resitev: e.]
3. Izracunaj vsoto vrst:
(a)∑∞n=3
1(n−2)(n+1) ;
[Resitev: 1118 .]
(b)∑∞n=0
(−1)n+46n .
[Resitev: 19835 .]
4. Iz pravokotne lepenke dimenzije a = 3 in b = 8 lahko dobimo skatlo brezpokrova (glej sliko), ce od vsakega vogala odrezemo kvadrat dolzine x inodrezane vogale zlepimo. Kaksen naj bo x, da bo volumen skatle najvecji?Izracunaj se volumen!
[Resitev: x = 23 ; V = 200
27 .]
22
4. izpit 2001/02
1. Racunsko in graficno resi neenacbo∣∣∣ xx2−1
∣∣∣ > x.
[Resitev: Realno os razdelimo na stiri obmocja: x > 1, 1 > x ≥ 0,0 > x > −1 in x < −1. Na prvem obmocju je resitev x <
√2, medtem ko
so drugod resitev celotna obmocja brez nicle. Skupna resitev je: {x | x <√2, x 6= {1, 0,−1}}.]
2. Izracunaj vse kar je mogoce s pomocjo prvega in drugega odvoda zafunkcijo f(x) = arctan x
1−x in jo skiciraj.
[Resitev: Df : x 6= 1; nicla: x = 0; vodoravna asimplota: y = arctan(−1);posebna tocka: limx↓1 f(x) = −π2 in limx↑1 f(x) = π
2 ; odvod: f ′(x) =1
2x2−2x+1 ⇒ ni ekstremov, f ′′(x) = −4x+2(2x2−2x+1)2
⇒ prevoj P ( 12 , arctan 1);
funkcija povsod (kjer je definirana) narasca in je konveksna na intervalu(−∞, 1
2 ) ter konkavna na obmocju ( 12 , 1) ∪ (1,∞).]
3. Razisci zaporedje an = (−1)n 3n−22n+1 . (Poisci stekalisca, preveri monotonost
in omejenost ter izracunaj se limito, ce obstaja.)
[Resitev: stekalisci: s1 = 32 in s2 = − 3
2 , zaporedje z dvema stekaliscemanima limite in ni monotono, je pa omejeno z obema stekaliscema.]
4. Poisci resitve naslednjega sistema
2x+ y + z − u = 1x+ y + 2z + u = 2
2x+ y + z − 2u = 03x+ y − z − u = −1.
[Resitev: x = 4, y = −9, z = 3 in u = 1.]
23
5. izpit 2001/02
1. Racunsko in graficno resi neenacbo x2 + 2 |x− 1| − 2 ≤ 0.
[Resitev: x ∈ [0,−1 +√
5].]
2. Izracunaj vse kar je mogoce s pomocjo prvega in drugega odvoda zafunkcijo f(x) = xe−x
2in jo skiciraj.
[Resitev: Df : R, liha, nicla: x = 0; vodoravna asimptota y = 0; ek-stremi: E1( 1√
2, 1√
2e−
12 )-mak., E2(− 1√
2,− 1√
2e−
12 )-min.; prevoji: P1(0, 0),
P2(√
32 ,√
32e− 3
2 ) in P3(−√
32 ,−
√32e− 3
2 ); narasca na (− 1√2, 1√
2) in pada
drugje; konveksna na (−√
32 , 0) ∪ (
√32 ,∞) in konkavna drugje.]
3. Podana je funkcija f(x) = x2−3x+2− 2x . Izracunaj f(A), ce je A spodnja
matrika
A =
1 0 −10 1 11 1 2
.[Resitev: f(A) =
−2 0 −10 −2 11 1 1
.]
4. Podani sta funkciji f(x) = 1x in g(x) = x4 − 2x2 + 1. Izracunaj oba
kompozituma, ju skiciraj in preveri njuno sodost in lihost.
[Resitev: f ◦ g = 1(x−1)2(x+1)2 ; g ◦ f = (x−1)2(x+1)2
x4 ; obe sodi.]
24
6. izpit 2001/02
1. Brez uporabe odvodov skiciraj funkcijo f(x) = x4−2x2+1x3−8 . (Izracunaj Df ,
nicle, asimptote in preveri sodost in lihost funkcije.)
[Resitev: Df : R\{2}, ni liha, ni soda, nicli: x = ±1 (sodi); pol: x = 2 inposevna asimptota y = x.]
2. Izracunaj limiti:
(a) limx→π2
(π − 2x) tanx;[Resitev: 2.]
(b) limx→1sin x−1
21−x .
[Resitev: − 12 .]
3. Poisci resitve naslednjega sistema
−x+ y + 2z + v = 12x+ z + 2v = 2
x+ y + z + v = 1.
[Resitev: x = 12 (1− v), y = 1
2 (v − 1), z = 1− v, v ∈ R.]
4. Preveri ali je zaporedje an = 2n+3n2+3n+2 monotono in omejeno. Izracunaj se
limito, ce obstaja.
[Resitev: Zaporedje je monotono padajoce z limito 0. Torej je tudi ome-jeno z M = a1 = 5
6 in m = 0.]
25
1. izpit 2002/03
1. Za funkcijo f(x) = sinx + cos2 x izracunaj vse kar je mogoce s pomocjoprvega odvoda ter funkcijo tudi skiciraj.
[Namig: Pri racunanju se omeji na eno periodo.]
[Resitev: Df : R; periodicna s periodo 2π; ni soda; ni liha; ni asimptot (jeperiodicna);nicli: x1 ≈ 3′78, x2 ≈ 5′63 ekstremi: E1(π2 , 1) in E2( 3π
2 ,−1)sta minimuma in E2(π6 ,
54 ) in E4( 5π
6 ,54 ) sta maksimuma; narasca: (0, π6 ),
(π2 ,5π6 ) in (3π
2 , 2π), pada: (π6 ,π2 ) in (5π
6 ,3π2 ).]
2. Izracunaj vsoto podanih vrst:
(a)∑∞n=0
5n−3n
12n ;[Resitev: 8
21 .]
(b)∑∞n=1
1(3n−1)(3n+5) .
[Resitev: 760 .]
3. Resi homogen sistem enacb
2x+ 3y − z + 2t = 0−2x− 5y + 2z + t = 04x+ 10y − 4z + 2t = 0−6x− 5y + z − 11t = 0.
[Resitev: t = 0, z = −4x, y = −2x, x ∈ R.]
4. Poisci resitve enacbe
|x+ 1| − |x|+ 3|x− 1| − 2|x− 2| = x+ 2.
[Resitev: x ≥ 2 ali x = −2.]
26
2. izpit 2002/03
1. Za funkcijo f(x) = x2−1x4+3 doloci nicle, asimptote, ekstreme ter intervale
narascanja in padanja. Funkcijo tudi skiciraj.
[Resitev: nicle: 1 in -1; brez polov; vodoravna asimptota y = 0; ekstremi:E1(−
√3, 1
6 ) max, E2(0,− 13 ) min in E3(
√3, 1
6 ) max; funkcija narasca na(−∞,−
√3) in (0,
√3) in pada na
(−√
3, 0)
in(√
3,∞).]
2. Z matematicno indukcijo preveri resnicnost naslednje trditve:
13
+232
+333
+ · · ·+ n
3n=
34− 2n+ 3
4 · 3n.
[Resitev: trditev je resnicna.]
3. Na kocki ABCDEFGH (E je nad A) so bazni vektorji−−→AB = −→a ,
−−→AD =
−→b ,−→AE = −→c . Tocka P lezi na cetrtini daljice AC, tocka R deli daljico BH
v razmerju |BR| : |RH| = 1 : 2. Tocka Q je sredisce kvadrata AEHD.
Izrazi vektorje−→PR,
−−→PQ in
−−→QR ter narisi skico.
[Resitev:−→PR = 5
12−→a + 1
12
−→b + 1
3−→c ,−−→PQ = − 1
4−→a + 1
4
−→b + 1
2−→c in
−−→QR =
23−→a − 1
6
−→b + 1
6−→c .]
4. Podano je zaporedje an = (−1)n 2n+3n+1 . Doloci stekalisca, preveri ali je
zaporedje monotono in izracunaj koliko clenov zaporedja se nahaja naintervalu (2′01, 2′1)! Ali ima zaporedje limito?
[Resitev: stekalisci sta 2 in -2; torej zaporedje ni monotono in nima limite;na intervalu so le sodi cleni zaporedja in sicer vsi od a9 do vkljucno a90—torej 45 clenov.]
27
3. izpit 2002/03
1. Izracunaj limiti
(a) limx→0(1 + x)1x ; [Resitev: e]
(b) limx→∞xe
1x
x+3 . [Resitev: 1]
2. Resi matricno enacbo AX + 2A = BTX + 2B, ce sta matriki
A =
3 6 10 −1 20 0 4
in B =
2 0 04 3 05 2 2
.
[Resitev: X =
22 0 −12−2 −2 15 2 −2
.]
3. Podani sta funkciji
f(x) =
−1 | x < 00 | x = 01 | x > 0
in g(x) = sinx.
Izracunaj oba kompozituma in ju tudi skiciraj.
[Resitev: (f ◦ g)(x) =
0 | x = kπ1 | 2kπ < x < (2k + 1)π−1 | (2k + 1)π < x < (2k + 2)π
in
(g ◦ f)(x) =
sin(−1) | x < 00 | x = 0
sin 1 | x > 0.]
4. Podane so tocke A(1, 1, 1), B(2,−1, 3) in C(0, 2,−2). Za 4ABC dolocidolzine stranic, velikost kotov in njegovo ploscino. Izracunaj se enacboravnine, v kateri lezi 4ABC.
[Resitev: a =√
38, b =√
11, c = 3; α = arccos 3√11
, β = arccos 6√38
,
γ = π − α− β; pl =√
182 ; 4x+ y − z = 4.]
28
4. izpit 2002/03
1. Izracunaj n-ti odvod funkcije f(x) = 1x2+8x+7 . Formulo tudi dokazi z
matematicno indukcijo.
[Resitev: f (n)(x) = (−1)n n!6 ((x+ 1)−n−1 − (x+ 7)−n−1).]
2. Podana je funkcija f(x) = x3 − 2x+ 3 + 10x . Izracunaj f(A), ce je
A =
1 2 5−2 −3 12 5 11
.
[Resitev: f(A) =
128 254 711−38 −20 27198 567 1590
.]
3. Racunsko in graficno resi neenacbo
|2x− 1| ≥ | − x− 2|+ 2.
[Resitev: (−∞,−1) ∪ (5,∞).]
4. Skiciraj funkcijo f(x) = x4−8x2+7x3+5x2+6x brez uporabe odvodov. (Doloci defini-
cijsko obmocje,preveri sodost-lihost, nicle in asimptote ter skiciraj funkcijo.)
[Resitev: Df : R\{0,−2,−3}; nicle:√
7,−√
7, 1,−1; poli: 0,−2,−3;posevna asimptota: y = x− 5; funkcija ni soda in ni liha.]
29
5. izpit 2002/03
1. Splosni clen zaporedja je an =√n√n+1
. Ali je zaporedje monotono, omejenoin ima limito? Koliko clenov zaporedja se nahaja na intervalu (0, 0.9)?
[Resitev: zaporedja je narascajoce, je omejeno, limita je 1 in na intervalu(0, 0.9)se nahajajo prvi stirje cleni zaporedja.]
2. S pomocjo prvega in drugega odvoda skiciraj funkcijo f(x) = ln x+1x−1 .
(Doloci definicijsko obmocje, sodost-lihost, nicle, asimptote, posebne tocke,ekstreme, prevoje, intervale narascanja in padanja ter intervale konvek-snosti in konkavnosti in skiciraj funkcijo.)
[Resitev: Df : (−∞,−1)∪ (1,∞), je liha, ni nicel, pola: x1 = 1, x2 = −1,vodoravna asimptota y = 0, ni ekstremov, ni prevojev, funkcija padapovsod na Df , je konveksna na (1,∞) in konkavna na (−∞,−1).]
3. Racunsko in graficno resi neenacbo
|x2 − 4| ≥ |x|.
[Resitev:(−∞, −1−
√17
2
)∪(
1−√
172 , −1+
√17
2
)∪(
1+√
172 ,∞
).]
4. Resi sistem
3x− y + 2z − 2t = 23x− 2y − 6z + 3t = 1−12x+ 4y + 3z − t = 3
6x+ y − z − t = −1.
[Resitev: x = − 89 , y = − 4
3 , z = −2 in t = − 113 .]
30
6. izpit 2002/03
1. Splosni clen zaporedja je an = (−1)n 2n+1n2+1 . Ali je zaporedje monotono
in omejeno? Doloci limito in izracunaj koliko clenov zaporedja se nahajaizven ε = 1
100 okolice limite!
[Resitev: zaporedje ni monotono, je pa omejeno z m = − 32 in M = 1.
Limita je 0, izven ε okolie pa se nahaja 100 clenov.]
2. Skiciraj funkcijo f(x) = 2x4−5x3−3x2
x4−1 brez uporabe odvodov. (Dolocidefinicijsko obmocje, sodost-lihost, nicle in asimptote ter skiciraj funkcijo.)
[Resitev: Df : R\{−1, 1}, ni soda, ni liha, nicle: x1,2 = 0, x3 = − 12 in
x4 = 3, poli: x1 = 1 in x2 = −1, vodoravna asimptota: y = 2.]
3. Podane so tocke A(5, 2,−1), B(3,−1, 0) in C(1, 1,−2). Zapisi enacbopremice p skozi tocki A in B ter enacbo ravnine π skozi tocke A, B in C.Zapisi se enacbo premice q, ki je pravokotna na π in gre skozi C.
[Resitev: p : x−52 = y−2
3 = z+1−1 , π : 2x − 3y − 5z = 9 in q : x−1
2 = y−1−3 =
z+2−5 .]
4. Za funkcijo f(x) = x2e−1x izracunaj ekstreme, prevoje in doloci intervale
narascanja in padanja ter konveksnosti in konkavnosti.
[Resitev: E(− 12 ,
14e
2) je minimum, ni prevojev, na (−∞,− 12 ) funkcija
pada, na (− 12 , 0) in (0,∞) pa narasca, je konveksna povsod na definici-
jskem obmocju.]
31
1. izpit 2003/04
1. Izracunaj n-ti odvod funkcije f(x) = 1x2−2x−8 in formulo dokazi z matematicno
indukcijo.
[Resitev: f (n)(x) = 16 (−1)nn!((x− 4)−n−1 − (x+ 2)−n−1).]
2. Podano je zaporedje an = 2−3n6n−2 . Preveri ali je monotono in omejeno ter
izracunaj koliko clenov zaporedja se nahaja izven ε = 15 okolice limite.
[Resitev: Je monotono padajoce, omejeno z Z = a1 in S = lim an = − 12 ;
izven okolice se nahaja le clen a1.]
3. Brez uporabe odvodov skiciraj funkcijo
f(x) =x3 − 2x2 − 5x+ 10
x2 − 8x+ 16.
[Resitev: Df : R\{4}, ni soda, ni liha, ni periodicna, nicle: −√
5, 2 in√
5,pol: 4 (sode stopnje) in posevna asimptota: y = x+ 6.]
4. Doloci konstanto a, tako da bo imel sistem
ax+ y + z = 0x+ ay + z = 0x+ y + az = 0
netrivialno resitev in le to tudi poisci.
[Resitev: a1 = 1, x = −y − z, y, z ∈ R, a2 = −2, x = y = z, z ∈ R.]
32
2. izpit 2003/04
1. Podane so tocke A(2, 1,−1), B(0, 3, 4) in C(−2,−1, 5).
(a) Zapisi enacbo ravnine π skozi tocke A, B in C.[Resitev: 11x− 4y + 6z = 12.]
(b) Zapisi enacbo premice p, ki je pravokotna na π in vsebuje tockoD(−1, 1,−1).[Resitev: x+1
11 = y−1−4 = z+1
6 .]
(c) Izracunaj ploscino 4ABC.[Resitev:
√173.]
2. Za funkcijo f(x) = e1x−x izracunajDf , asimptote, posebne tocke, prevoje,
intervale konveksnosti in konkavnosti in jo skiciraj.
[Resitev: Df = R\{0}, asimptota: y = −x + 1, posebna tock x = 0 :limx↑0 f(x) = 0 in limx↓0 f(x) = ∞; P (− 1
2 ,12 + e−2); f je konveksna na
(− 12 , 0) ∪ (0,∞) in konkavna na (−∞,− 1
2 ).]
3. Racunsko in graficno resi neenacbo
|x− 3| ≤ 5− |2x+ 2|.
[Resitev: x ∈[− 4
3 , 0].]
4. Podani sta funkciji f(x) = x3 − x in g(x) = 1x .Izracunaj f ◦ g in g ◦ f , ju
skiciraj in preveri njuno sodost oziroma lihost.
[Resitev: (f ◦ g)(x) = 1x3 − 1
x , liha; (g ◦ f)(x) = 1x3−x ; liha.]
33
3. izpit 2003/04
1. S pomocjo matematicne indukcije dokazi ali ovrzi naslednji trditvi:
(a) 1.2 + 2.3 + 3.4 + . . .+ n(n+ 1) = 13n(n+ 1)(n+ 2);
[Resitev: Drzi.]
(b) 9 | (5n + 2n+1).[Resitev: Ne drzi; izracunaj za n = 2.]
2. Podano je zaporedje an = 1(2n−1)(2n+3) . Preveri ali je monotono in ome-
jeno in izracunaj vsoto vrste∑∞n=1 an.
[Resitev: Je monotono padajoce, omejeno je z M = a1 = 15 in z m =
limn→∞ an = 0,∑∞n=1 an = 1
3 .]
3. Z uporabo prvih dveh odvodov izracunaj vse kar lahko in skiciraj funkcijof(x) = x lnx.
[Resitev: Df : x > 0, ni liha, ni soda, ni periodicna, nicla: x = 1,limx↑0 f(x) = 0, ni asimptot, E1(e−1,−e−1) je minimum,
(0, e−1
)pada,(
e−1,∞)
raste, nima prevojev in je povsod konveksna.]
4. Resi sistem
2x+ 3y − 4z + 5t = 1−4x− 5y + z − 3t = 2−2x− 3y + 2z − t = 4
6x+ y + z − 6t = 3.
[Resitev: x = 16568 , y = − 160
51 , z = 47102 in t = 151
102 .]
34
4. izpit 2003/04
1. Izracunaj limiti:
(a) limx→π
2
(x− π2 ) tanx;
[Resitev: −1.]
(b) limx→0
(cosx)1x .
[Resitev: 1.]
2. Resi matricno enacbo A2X −B2 = BX −A za matriki
A =
1 2 30 −1 50 2 3
in B =
3 6 −30 −2 10 4 4
.
[Resitev: X =
−4 9 1396
0 2765 − 66
650 2
51715
.]
3. Iz 1 metra vrvice moramo ograditi krog in enakostranicen trikotnik. Dolocipolmer kroga in stranico trikotnika, da bo skupna ploscina obeh likovnajmanjsa.
[Resitev: r =√
32(1+
√3π)
in a = 13(1+
√3π)
.]
4. Racunsko in graficno resi neenacbo∣∣∣∣x2 − 1x
∣∣∣∣ ≤ x.[Resitev: x ≥ 1√
2.]
35
5. izpit 2003/04
1. Podana sta vektorja −→a = (1,−1, 5) in−→b = (x,−x, x2). Doloci x tako, da
bosta vektorja
(a) vzporedna;[Resitev: x = 5.]
(b) pravokotna;[Resitev: x = − 2
5 .]
(c) enako dolga.
[Resitev: x1 =√−1 +
√28 in x2 = −
√−1 +
√28.]
2. Podano je zaporedje an =(
53
)1−n. Pokazi, da je (an) geometrijsko za-poredje in izracunaj koliko clenov zaporedja se nahaja na intervalu I =(
11000 ,
110
). Izracunaj se vsoto vrste s =
∑∞n=1 an.
[Resitev: je geometrijsko z q = 35 , na intervalu I se nahaja 9 clenov
zaporedja (5.5 < n < 14, 5), s = (∑∞n=0 an)− a0 = 15
6 .]
3. Z uporabo prvega odvoda cimbolj natancno skiciraj funkcijo f(x) = arctan xx2+1 .
[Resitev: Df = R, f je liha, ni periodicna, nicla: x = 0, asimptota y = 0,ni polov in posebnih tock, ekstremi: E1(1, arctan 1
2 ) in E2(−1,− arctan 12 ),
f narasca na (−1, 1) in pada na (−∞,−1) in na (1,∞).]
4. Resi sistem
x− 2y + 3z − 2t = 03x+ 2y − z − t = 1
6x+ 6y − 2z + 3t = 6−2x− 4y + z − t = 2.
[Resitev: x = 2, y = − 136 , z = −1 in t = 5
3 .]
36
6. izpit 2003/04
1. Preveri ali so vektorji−→a = (1,−1, 3),−→b = (−1,−1,−1) in−→c = (−3,−1, 1)
linearno neodvisni.
[Resitev: vektorji so linearno neodvisni.]
2. Za funkcijo f(x) = ex
x2+1 izracunaj ekstreme in doloci intervale narascanjain padanja. Preveri se ali ima funkcija asimptoto.
[Resitev: f ′(x) = 1−x2
(x2+1)2 ex
x2+1 , E1(1, e12 ) je maksimum, E2(−1, e−
12 ) je
minimum, na (−∞,−1) in (1,∞) pada in na (−1, 1) narasca; vodoravnaasimptota y = 1.]
3. Racunsko in graficno resi neenacbo∣∣x2 + 3x+ 1∣∣ ≤ x.
[Resitev: neenacba nima resitev.]
4. Podani sta funkciji
f(x) = x3 − x in g(x) = sgnx =
−1 | x < 00 | x = 01 | x > 0
.
Izracunaj f ◦ g in g ◦ f , ju skiciraj in preveri njuno sodost oziroma lihost.
[Resitev: f◦g = 0 je liha in soda, g◦f =
1 | x > 1 ali − 1 < x < 00 | x ∈ {−1, 0, 1}−1 | x < −1 ali 0 < x < 1
je liha.]
37
1. izpit 2004/05
1. Poisci vse matrike, ki komutirajo z matriko
A =[−2 31 5
].
[Resitev: B =[t− 7z 3zz t
], t, z ∈ R.]
2. Za funkcijo f(x) = arctan(x2) doloci Df , sodost-lihost, nicle, asimptote,ekstreme, prevoje, intervale narascanja-padanja in konveksnosti-konkavnostiter jo skiciraj.
[Resitev: Df = R, soda, nicla x = 0, ni polov, vodoravna asimptota
y = π2 , E(0, 0) je minimum, P1
(14√3, π6
)in P2
(− 1
4√3, π6
)sta prevoja,
pada na (−∞, 0) in narasca na (0,∞), konkavna je na(−∞,− 1
4√3
)in(
14√3,∞)
in konveksna na(− 1
4√3, 1
4√3
).]
3. Racunsko in graficno resi neenacbo
|2x+ 3| ≤ 2− |x+ 1|.
[Resitev: x ∈[−2,− 2
3
].]
4. Podana je kocka ABCDEFGH (E je nad A) in njeni vektorji −→a =−−→AB,
−→b =
−−→AD in −→c =
−→AE. Tocka M je sredisce kvadrata CGHD, tocka N
deli rob BF v razmerju |BN | : |NF | = 4 : 1 in tocka O deli rob EH vrazmerju |EO| : |OH| = 3 : 1. Izrazi vektorje
−−→MN ,
−−→MO in
−−→ON z vektorji
−→a ,−→b in −→c in izracunaj skalarni in vektorski produkt vektorjev
−−→MN in−−→
MO.
[Resitev:−−→MN = 1
2−→a −
−→b + 3
10−→c ,−−→MO = − 1
2−→a − 1
4
−→b + 1
2−→c in
−−→ON =
−→a − 34
−→b − 1
5−→c ;−−→MN ·
−−→MO = 3
20 |−→c |,−−→MN ×
−−→MO = − 17
40−→a − 11
20
−→b − 3
8−→c .]
38
2. izpit 2004/05
1. Izracunaj f(A), ce sta f(x) = x3 − x2 + 2x in
A =
1 0 12 1 4−3 2 3
.
[Resitev: f(A) =
−13 10 13−54 42 6419 26 53
.]
2. Izracunaj limiti
(a) limx→0sin2 x cos2 x
x2 ;[Resitev: 1.]
(b) limx→0(1 + 3x)1/x.[Resitev: e3.]
3. Podani sta funkciji f(x) = 1x in g(x) = x2+3
x−1 . Skiciraj oba kompozitumaf ◦ g in g ◦ f brez uporabe odvoda (izracunaj nicle, pole in asimptoto).
[Resitev: f ◦ g = x−1x2+3 , nicla x = 1, nima polov, asimptota y = 0; g ◦ f =
1+3x2
x(1−x) , nima nicel, pola x1 = 0 in x2 = 1, asimptota y = −3.]
4. Za funkcijo f(x) = 1x2−6x+5 doloci n-ti odvod in formulo dokazi z matematicno
indukcijo.
[Resitev: f (n)(x) = (−1)n n!4
((x− 5)−n−1 − (x− 1)−n−1
).]
39
3. izpit 2004/05
1. Podane so tocke A(2, 0,−1), B(3, 1, 1) in C(1,−1, 0). Trikotniku 4ABCdoloci dolzine stranic, velikosti kotov in ploscino.
[Resitev: |AB| =√
6, |AC| =√
3, |BC| = 3; α = π2 , β = arccos
√6
3 inγ = π
2 − arccos√
63 , pl =
√182 .]
2. Podano je zaporedje an =(− 5
3
)3−2n.
(a) Ali je zaporedje (an) geometrijsko?
(b) Ali je zaporedje (an) monotono?
(c) Izracunaj vsoto vrste∑∞n=0 an.
[Resitev: zaporedje (an) je geometrijsko (q = 925 ); monotono narascajoce;∑∞
n=0 an = − 3125432 .]
3. Racunsko in graficno resi neenacbo∣∣∣∣ x
x− 2
∣∣∣∣ ≥ 1.
[Resitev: (1, 2) ∪ (2,∞).]
4. Za funkcijo f(x) = ex2
x2 doloci Df , sodost-lihost, nicle, asimptote, ek-streme, prevoje, intervale narascanja-padanja in konveksnosti-konkavnostiter jo skiciraj.
[Resitev: Df : R\{0}, soda, ni nicel, pol: x = 0, ni drugih asimptot,E1(1, e) in E2(−1, e) minimuma, ni prevojev, f narasca na (−1, 0) ∪(1,∞) in pada na (−∞,−1)∪ (0, 1), konveksna je povsod na definicijskemobmocju.]
40
4. izpit 2004/05
1. Resi sistem:
x+ 3y − 4z + 2t = 13x− y + 2z + t = 0−2x− 5y + z − t = 25x+ 3y − z + 3t = 4.
[Resitev: x = 134, y = −29, z = −102 in t = −227.]
2. Podan je vektor −→a = (x, 3x2, 1− x). Doloci x tako, da bo −→a
(a) pravokoten na vektorju−→b = (2,−1, 2);
[Resitev: x = ±√
23 .]
(b) vzporeden z vektorjem −→c = (1, 3, 0).[Resitev: x = 1.]
3. Doloci nicle pole in asimptoto (ce obstaja) ter narisi funkcijo
f(x) =2x3 + 5x2 − 3x4x2 − 6x− 4
.
[Resitev: n1 = 0, n2 = −3 in n3 = 12 ; p1 = 2 in p2 = − 1
2 ; posevnaasimptota: y = x
2 + 2.]
4. Za robove okna na sliki imamo na voljo 7m izolacijskega traku (za robove).Kaksna naj bosta r in h, da bo povrsina oknaj najvecja?
[Resitev: r = h = 74+π .]
41
5. izpit 2004/05
1. Podani sta funkciji f(x) =√
4− x2 in g(x) = ex2 − 1.
(a) Doloci njuni definicijski obmocji.
(b) Preveri njuno sodost-lihost.
(c) Ali sta f : [0, 2]→ [0, 2] in g : [−1, 1]→ [−1, e− 1] bijektivni funkciji?
(d) Izracunaj oba kompozituma!
[Resitev: Df = [−2, 2], Dg : R; obe sta sodi; f je bijektivna, g pa ne(soda); (f ◦ g)(x) =
√3− e2x2 + 2ex2 in (g ◦ f)(x) = e4−x
2 − 1.]
2. Za zaporedje an = 5n−3n+2 preveri ali je monotono in omejeno in izracunaj
koliko clenov se nahaja izven ε = 11000 okolice limite.
[Resitev: monotono narascajoce; omejeno z m = 23 (= a1) in M = 5(=
lim an); izven ε okolice limite se nahaja 12997 clenov.]
3. Podana je ravnina π : 3x − 2y + z = 6 in tocke A(1, 1,−2), B(3, 1, 0)in C(1,−1, 4). Poisci ravnino σ, ki jo dolocajo tocke A,B in C. Ali staravnini π in σ pravokotni? Poisci se premico p, ki je vzporedna z obemaπ in σ in gre skozi tocko D(2, 1, 0).
[Resitev: σ : x − 3y − z = 0; ravnini nista pravokotni, zato ne obstajapremica p.]
4. Za eno periodo funkcije f(x) = sin2 x + cosx doloci nicle, ekstreme, pre-voje, intervale narascanja-padanja in konveksnosti-konkavnosti ter funkcijoskiciraj.
[Resitev: na periodi [0, 2π) sta nicli x1 = 2.2370 in x2 = 5.3786; mini-muma sta E1(0, 1) in E2(π,−1), maksimuma sta E3(π3 ,
54 ) in E4
(5π3 ,
54
);
prevoji so P1(0.5678, 1.1323), P2(3.7094,−0.5539), P3(2.2057, 0.5513) inP4(5.3473, 1.2413); funkcija narasca na (0, π3 ) in (π, 5π
3 ) in pada na (π3 , π)in ( 5π
3 , 2π); je konveksna na (0, 0.5678), (2.2057, 3.7094) in (5.3473, 2π) terkonkavna na (0.5678, 2.2057) in (3.7094, 5.3473).]
42
6. izpit 2004/05
1. Resi matricno enacbo 2X +B = AX − 3A, ce sta
A =
5 4 10 1 20 3 3
in B =
4 2 1−1 3 05 2 1
.
[Resitev: X = (A− 2I)−1(3A+B) = 17
39 53 − 56
311 16 142 29 28
.]
2. Ali je zaporedje an = (−1)n nn2+1 monotono in omejeno? Izracunaj se
koliko clenov zaporedja se nahaja na intervalu(
11000 ,
1100
).
[Resitev: ni monotono, ker alternira; je omejeno z m = a1 = − 12 in
M = a2 = 25 ; na intervalu
(1
1000 ,1
100
)se nahaja 450 clenov.]
3. Racunsko in graficno resi neenacbo
|x− 3| < x+ |2x|.
[Resitev:(
34 ,∞
).]
4. Za funkcijo f(x) = arctan√x doloci Df , sodost-lihost, nicle, asimptote,
ekstreme, prevoje, intervale narascanja-padanja in konveksnosti-konkavnostiter funkcijo skiciraj.
[Resitev: Df : [0,∞); ni soda, ni liha; nicla: x = 0; ni polov, y = π2 je
vodoravna asimptota; nima ekstremov; nima prevojev, na vsem definici-jskem obmocju narasca in je konkavna.]
Dodatna literatura• M. Dobovisek, M. Hladnik, M. Omladic, Resene naloge iz Analize I, DMFA
1987, Ljubljana.
• B. Hvala, Zbirka izpitnih nalog iz analize : z namigi, nasveti in rezultati,DMFA 2000, Ljubljana.
• P. Mizori-Oblak, Matematika za tudente tehnike in naravoslovja I. del,Fakulteta za strojnitvo univerze v Ljubljani 2001, Ljubljana.
43
• I. Peterin, Izpitne naloge iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/izpiti.pdf
• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletnaizdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/kolokviji.pdf
• I. Peterin, Naloge za vaje iz Analize 1, FERI, Maribor 2000, spletna izdaja:http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/analiza1/analiza1.pdf
• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike 1, FERI, Maribor 2009,spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat1rvs/kolokviji.pdf
• I. Peterin, Naloge za vaje iz Matematike 1, FERI, Maribor 2005, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat1rvs/mat1rvs.pdf
• I. Peterin, Izpitne naloge iz Matematike 2, FERI, Maribor 2008, spletna iz-daja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/izpiti.pdf
• I. Peterin, Naloge iz kolokvijev iz Matematike 2, FERI, Maribor 2008,spletna izdaja: http://www.mp.feri.uni-mb.si/osebne/peterin/naloge/mat2izr/kolokviji.pdf
44
