ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces. Investeإںte أ®n oameni ! FONDUL SOCIAL

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of ActivitateaA5. Introducerea unor module specifice de ...acces. Investeإںte أ®n oameni ! FONDUL...

  • Investeşte în oameni !

    FONDUL SOCIAL EUROPEAN

    Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 –2013

    Axa prioritară nr. 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

    Domeniul major de intervenţie 1.2 „Calitate în învăţământul superior”

    Numărul de identificare al contractului:POSDRU/156/1.2/G/138821

    Beneficiar:Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti

    Titlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare -instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic

    Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de

    pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

    MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA

    Curs: 7. Elemente de analiza matematica. Tipuri de functii: liniare, de gradul al doilea, exponentiale, logaritm, etc.

    Grupele: M1, M4, M5, M8, M9, M11, M12

    Formatori: BERCIA Romeo, IANCU Petrica, ENE Vladimir

    1

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Maria Stamp

  • 2

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul unei functii

    Se prezinta cele mai cunoscute tipuri de grafice si proprietatile lor,

    1. Functia liniara 2. Functia de gradul al II lea 3. Functia putere 4. Functia exponentiala 5. Functia logaritm 6. Functii trigonometrice: sinus, cosinus, tangenta,

    cotangenta, arcsinus, arccosinus,arctangenta, arccotangenta

    Exercitii: Se reprezinta grafic functiile si se demonstreaza proprietatile lor.

  • 3

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei liniare

    f : , f(x)=ax+b, a, b→ ∈R R R Proprietati : 1. Monotonia: dacă a>0, atunci f este strict crescătoare; dacă 00 atunci f(x)>1;

    x

  • 4

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei putere

    2nf : , f(x)=x , n *→ ∈R R N Proprietati:

    1. f este descrescatoare pe R- si descrescatoare pe R+

    2. f nu este injectiva pe R dar restrictiile lui f la R- sau R+ sunt functii injective

    3. f definita pe R cu valori in R+ este surjectiva

    4. f definita pe R cu valori in R+ nu este bijectiva

    5. f definita pe R cu valori in R+ para

  • 5

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei putere

    2n+1f : , f(x)=x , n *→ ∈R R N Proprietati:

    1. f este descrescatoare pe R

    2. f este injectiva pe R

    3. f definita pe R cu valori in R este surjectiva

    4. f definita pe R cu valori in R este bijectiva

    5. f definita pe R cu valori in R+ este inversabila

    6. f definita pe R cu valori in R+ este impara

  • 6

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei radical de ordin par

    2nf : (0, ) (0, ), f(x)= x, n *∞ → ∞ ∈N Proprietati:

    1. f este crescatoare

    2. f este injectiva

    3. f este surjectiva

    4. f este bijectiva

    5. f este inversabila 1 1 nf : , f (x) x− + + −→ =R R

  • 7

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei radical de ordin impar

    2n+1f : , f(x)= x, n *→ ∈R R N Proprietati:

    1. f este crescatoare

    2. f este injectiva

    3. f este surjectiva

    4. f este bijectiva

    5. f este inversabila

    6. f este impara

    1 1 nf : , f (x) x− + + −→ =R R

  • 8

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei putere de ordin par

    2n

    1 f : , f(x)= , n *

    x → ∈R R N

  • 9

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei putere de ordin impar

    2n+1

    1 f : , f(x)= , n *

    x → ∈R R N

  • 10

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei exponentiala

    xf : R (0, ), f(x)=a , a (1, )→ ∞ ∈ ∞ Proprietati : 1.Funcţia exponenţială este convexă. 2. Monotonia: dacă a>1, atunci f este strict crescătoare; dacă 00 atunci f(x)>1;

    x

  • 11

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei logaritm

    af : (0, ) , f(x)=log (x), x,a (1, )∞ → ∈ ∞R

    Proprietăţile funcţiei logaritmice 1. f(1)=0 orice x din domeniu 2. Dacă a>0 funcţia logaritmică este

    strict crescătoare; 3. Dacă a>0, x1, atunci f(x) >0 4. Funcţia logaritmică este bijectivă 5. Funcţia logaritmică este inversabilă şi inversa ei este funcţia exponenţială.

    1 -1 xf : (0, ), f (x)=a− → +∞R

  • 12

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei logaritm

    af : (0, ) , f(x)=log (x), x,a (0,1)∞ → ∈R

    Proprietăţile funcţiei logaritmice 1. Daca 0

  • 13

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei sinus

    f : [ 1,1], f(x)=sin x→ −R Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica de perioada 2kπ 4. f este impara 5. f este marginita

    6. f este bijectiva 7. f este inversabila

    f : , [ 1,1], f(x)=sin x 2 2

    π π − → −  

    1 -1f :[ 1,1] [ , ], f (x)= arcsin x 2 2

    − π π− → −

  • 14

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei cosinus

    f : [ 1,1], f(x)= cos x→ −R Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica de perioada 2kπ 4. f este para 5. f este marginita

    6. f este bijectiva 7. f este inversabila

    [ ]f : 0, [ 1,1], f(x)= cos xπ → −

    1 -1f :[ 1,1] [0, ], f (x)= arccos x− − → π

  • 15

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei tangenta

    f : \ k , f(x)=tgx, k 2

    π + π → ∈   

    R R N

    Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica de perioada kπ 4. f este impara

    5. f este bijectiva 6. f este inversabila

    f : , , f(x)=tgx 2 2

    π π − →   

    R

    1 -1f : , , f (x)=arctgx 2 2

    − π π → −   

    R

  • 16

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei cotangenta

    { }f : \ k , f(x)=ctgx, kπ → ∈R R N Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva 2. f nu este injectiva 3. f este periodica de perioada kπ 4. f este impara

    5. f este bijectiva 6. f este inversabila

    ( )f : 0, , f(x)=ctgxπ →R

    1 -1f : (0, ), f (x)=arcctgx− → πR

  • 17

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei arcsinus

    f :[ 1,1] , , f(x)= arcsin x 2 2

    π π − → −  

    Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este impara 5. f este marginita 6. f este inversabila

    1 -1f : , [ 1,1], f (x)=sin x 2 2

    − π π − → −  

  • 18

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei arccosinus

    [ ]f :[ 1,1] 0, , f(x)= arccos x− → π

    Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este marginita 5. f este inversabila

    1 -1f :[0, ] [ 1,1], f (x)= cos x− π → −

  • 19

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1

    .2 /G

    /1 3

    8 8

    2 1

    Funcţii: Graficul functiei arctangenta

    f : , , f(x)= arc tgx 2 2

    π π → −   R

    Proprietăţile funcţiei 1. f este surjectiva 2. f este injectiva 3. f este bijectiva 4. f este impara 5. f este marginita 6. f este inversabila

    1 -1f : , , f (x)=tgx 2 2

    − π π − →   R

  • 20

    P O

    S D

    R U

    /1 5

    6 /1