Investeşte în oameni !

FONDUL SOCIAL EUROPEAN

Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 –2013

Axa prioritară nr. 1 „Educaţia şi formarea profesională în sprijinul creşterii economice şi dezvoltării societăţii bazate pe cunoaştere”

Domeniul major de intervenţie 1.2 „Calitate în învăţământul superior”

Numărul de identificare al contractului:POSDRU/156/1.2/G/138821

Beneficiar:Universitatea POLITEHNICA din Bucureşti

Titlul proiectului: Calitate, inovare, comunicare -instrumente eficiente utilizate pentru creşterea accesului şi promovabilităţii în învăţământul superior tehnic

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de

pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

MODUL DE INSTRUIRE: MATEMATICA

Curs: 5. Elemente de analiza matematica. Functii. Funcţii injective, surjective, bijective.

Grupele: M1, M4, M5, M8, M9, M11, M12

Formatori: BERCIA Romeo, IANCU Petrica, ENE Vladimir

1

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

2

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: tipuri de corespondenţe

Fie multimile A si B

Tipuri de corespondenta

1-1: un proprietar poate avea doar o masina1-2: un proprietar poate avea doua masini2-1: doi proprietari pot avea o singura masina0-0: un proprietar nu are nici o masina sau o masina nu are nici un proprietar

Multimea A: Multimea proprietarilorMultimea B: multimea masinilor

3

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Definire functie f(x)

Elementele functiei f(x):

Domeniu de variatie a lui x = multimea valorilor lui x

Codomeniu = multimea valorilor lui f(x)

Procedura = relatie de corespondenta intre valorile lui x si valorile lui f(x): caz special de corespondenta: pentru o singura valoare a lui x corespunde o singura valoarea a functiei f(x)

Exemplu definire functie

f :

f (x) sin x

→=

R R

DomeniuCodomeniu

Procedura

4

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exemple/Contraexemple

Pentru orice valoarea a lui x1 exista o valoare f(x1)Pentru orice valoare a lui x2 exista mai multe imagini ale functiei f , deci f nu este functie

Pentru orice valoarea a lui x1 exista doar o valoare f(x1)Pentru orice valoarea a lui x2 exista doar o valoare f(x2), deci f este functie

a b

c

d

x1

f(x1)

x1 x2

f(x2)

x 1 x 2

x

f(x)

b

c

d

5

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exemple/Contraexemple

f : f (x) sin x→ =R R

2f : f (x) x→ =R R

Exercitiul nr.1 Sa se reprezinte grafic si sa se demonstreze ca este functie

Exercitiul nr.2 Sa se demonstreze ca f este functie

3 2

2 2

x y daca(x, y) (0,0)

f(x)= x y

0 daca(x, y) (0,0)

+ ≠ + ≠

Exercitiul nr.3 Sa se arate ca functia f este continua pe R2.

Sa se arate ca f nu este continua in punctul (0,0).

6

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Functie injectiva

Definitie functie injectiva: daca oricarei imagini din codomeniu ii corespunde cel mult un original din domeniul de definitie

1 2 1 2 1 2f : D CoD este injectiva x , x D, f (x ) f (x ) x x→ ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =

7

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exemplu Functie injectiva

Fie functia

cu procedura din figura (linia rosie)

• Imaginii functiei f(x1) ii corespunde originalul x1

• Imaginii functiei f(x2) ii corespunde originalul x2

• Imaginii functiei f(x3) ii corespunde originalul x3

Rezulta ca functia f(x) este injectiva

a b

c

d

x1

f(x1)

x2

f(x2)

x3

f(x3)

f :[a, b] [c,d]→

8

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exemplu Functie non injectiva

Fie functia

cu procedura din figura (linia rosie)

• Imaginii functiei f(x1) ii corespunde originalul x1

• Imaginii functiei f(x2) ii corespunde

originalul x2a si x2b

Rezulta ca functia f(x) nu este injectiva

f :[a, b] [c,d]→

9

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Sa se studieze injectivitatea functiei f(x)=sin(x), unde

Imaginii functiei f(x1) ii corespunde si originalul x1a si x1b deci nu esteinjectiva pe domeniul de definitie

f : →� �

10

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Sa se studieze injectivitatea functiei f(x)=sin(x), unde

Imaginii functiei f(x1) ii corespunde doar originalul x1, deci este injectivape domeniul de definitie

3f : , [ 1,1]

2 2

π π → −

11

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Functie surjectiva

Definitie functie injectiva: daca oricarei imagini din codomeniu ii corespunde macar un original din domeniul de definitie

1 1f : D CoD este surjectiva y CoD, x D a.i. f (x ) y→ ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =

12

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exemplu Functie surjectiva

Fie functia

cu procedura din figura (linia rosie)

• Imaginii functiei f(x2) ii corespunde originalul doua originale x2a si x2b

Rezulta ca functia f(x) este surjectiva

f :[a, b] [c1,d]→

a b

c

d

f(x1)

x2b

f(x2)

x2a

c1

13

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exemplu Functie non surjectiva

Fie functia

cu procedura din figura (linia rosie)

• Imaginii functiei f(x1) nu ii corespunde nici un original

• Imaginii functiei f(x2) ii corespunde

originalul x2a si x2b

Rezulta ca functia f(x) nu este surjectiva

f :[a, b] [c,d]→

14

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Sa se studieze surjectivitatea functiei f(x)=sin(x), unde

Imaginii functiei f(x1) ii corespunde originalul x1a si x1b Imaginii functiei f(x2) plasat in afara intervalului [-1,1] nu ii corespunde

nici un original Rezulta ca functia f(x) nu este surjectiva

f : →� �

15

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Sa se studieze surjectivitatea functiei f(x)=sin(x), unde

Imaginii functiei f(x1) ii corespunde originalul x1,Oricarei imagini din domeniul [-1,1] ii corespunde cel putin un original,

deci este injesurjectiva ctiva pe domeniul de definitie

3f : , [ 1,1]

2 2

π π → −

16

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exercitii

Exercitiul nr.1 Sa se demonstreze ca functia f este injectiva

f :[0, ) [3, ), f(x)=2x+3∞ → ∞

Exercitiul nr.2 Sa se demonstreze daca functia f este injectiva si surjectiva

2f : , f(x)=x→R R

Exercitiul nr.3 Sa se demonstreze daca functia f este injectiva si surjectiva

2f : , f(x)=x 3→ −R R

17

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exercitii

Exercitiul nr.4 Se da graficul functiei f. Sa se determine procedura, si sa se demonstreze daca aceasta functie este injectiva si surjectiva.

f : →R R

2 3 40 x

f(x)

x1-1

1

x2

1-1

18

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exercitii

Exercitiul nr.5 Se da graficul functiei f. Sa se determine procedura, si sa se demonstreze daca aceasta functie este injectiva si surjectiva.

f : →R R

2 3 40 x

f(x)

1

1-1

-1

-2

2

-2-3

19

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exercitii

Exercitiul nr.6 Se da graficul functiei f. Sa se determine procedura, si sa se demonstreze daca aceasta functie este injectiva, surjectiva si bijectiva

f : →R R

20

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Exercitii

Exercitiul nr.7 Se da graficul functiei f. Sa se determine procedura, si sa se demonstreze daca aceasta functie este injectiva, surjectiva si bijectiva

f : →R R

21

PO

SD

RU

/15

6/1

.2/G

/13

88

21

Funcţii: Aplicatie din ingineria chimica (Curba de echilibru Fenske)

Exercitiul nr.8 Determinati domeniul maxim de definitie al functiei f, reprezentati grafic aceasta functie si determinati daca acesta functie este surjectiva pe domeniul de definitie

xf : f (x) , >1

1 ( 1)x

α→ = α+ α −

R R

Exercitiul nr.9 Reprezentati grafic aceasta functie pe domeniul [0,1] si determinati daca acesta functie este surjectiva pe acest domeniu

xf :[0,1] f (x) , >1

1 ( 1)x

α→ = α+ α −

R