ภาคผนวก 1 · Web viewภาคผนวก เวคเตอร และ เมทร กซ (Vectors and Matrices) คำนำ เวคเตอร และเมทร

ภาคผนวก เวคเตอร์ และ เมทรกิซ์

(Vectors and Matrices)1.คำานำา

เวคเตอรแ์ละเมทรกิซเ์ป็นความรูพ้ื้นฐานเพื่อใหน้ักศึกษาสามารถเขา้ใจเรื่องการโปรแกรมเชงิเสน้ตรงโดย เฉพาะการคำานวณคำาเฉลยที่ดีที่สดุด้วยวธิซีมิเพล็กซแ์ละการวเิคราะหม์ารค์อฟ ผู้ที่เคยศึกษามาแล้วก็สามารถที่จะอ่าน

ทบทวน นอกจากน้ีการศึกษาเรื่องเวคเตอรแ์ละเมทรกิซส์ามารถนำามาใชใ้นการนำาเสนอขอ้มูลเพื่อใหก้ารเสนอขอ้มูลอยูใ่นรูปแบบที่กะทัดรดัเขา้ใจง่ายอันจะเป็นประโยชน์ต่อการนำาไปใชใ้นการวางแผนและการตัดสนิใจอีกทัง้ยงัเป็นการสะดวกและง่ายต่อการนำาไปใชใ้นการคำานวณ

ความรูเ้กี่ยวกับเวคเตอรแ์ละเมทรกิซ์ จะเป็นเครื่องมอืที่ชว่ยในการแก้ปัญหาระบบสมการเสน้ตรงโดยในบทน้ี จะเริม่จากการอธบิายคำาจำากัดความของเวคเตอร์ เมทรกิซ์ พชีคณิตของเวคเตอรแ์ละเมทรกิซ์ เมทรกิซผ์กผัน และ

ระบบสมการเสน้ตรง

2.เวคเตอร์

เวคเตอร ์คือ การจดัลำาดับตัวเลขชุดหน่ึงในแนวนอนหรอืแนวตัง้โดยเขยีนไวภ้ายในวงเล็บ เชน่ ถ้า a1, a2,…an คือตัวเลขชุดหน่ึง และ A = a1, a2,…an) A คือ เวคเตอรท์ี่เขยีนตามแนวนอน หรอื

ที่เรยีกวา่ เวคเตอรแ์ถวนอน (Row Vector) เวคเตอร์ A ประกอบด้วยตัวเลข n ตัว และตัวเลขแต่ละ

ตัวเรยีกวา่สมาชกิหรอืตัวประกอบ (element)

a1a2

และถ้า A =an

A คือ เวคเตอรท์ี่เขยีนตามแนวตัง้ หรอืที่เรยีกวา่เวคเตอรแ์ถวตัง้ (Column Vector) เวคเตอร์ A ประกอบด้วยสมาชกิจำานวน n ตัว ถ้าเวคเตอรม์สีมาชกิจำานวน n ตัว หมายถึงเวคเตอรนั์น้เป็นเวคเตอรท์ี่มมีติิ

(Dimension) จำานวน n มติิ ตัวอยา่งเชน่เวคเตอร์ A มสีมาชกิคือ 4 และ I หรอื A = (4, 1) แสดงวา่เวคเตอร์ A เป็นเวคเตอรท่ี์มี 2 มติิ สามารถเขยีนกราฟได้ที่จุด (4, 1) ดังแสดงตามกราฟ

Y

(4, 1)

0 X

2.1 พชีคณิตเวคเตอร์

2.1.1 การสบัที่ของเวคเตอร์ (Transpose of a Vector) การสบัที่ของเวคเตอร์ คือการเปล่ียนเวคเตอรแ์ถวนอนใหเ้ป็นเวคเตอรแ์ถวตัง้ หรอืเปล่ียนจากเวคเตอรแ์ถว

ตัง้ใหเ้ป็นแถวนอน สญัลักษณ์ที่ใชแ้ทนการสบัที่คือ AT หรอื At เชน่ ถ้าเรามเีวคเตอรแ์ถวนอน A = (1 3 –2) เมื่อสบัที่เวคเตอรเ์ราจะได้เวคเตอรแ์ถวตัง้

AT = 1 หรอืถ้าเรามเีวคเตอรแ์ถวตัง้ B = -2 เมื่อสำบที่แล้วเราจะได้

3 4 -2 3

เวคเตอรแ์ถวนอน BT = (-2 4 3) แต่ถ้ามกีารสบัที่เวคเตอรส์องครัง้เราจะได้เวคเตอรเ์ดิม เชน่

(BT)T = -2 = B 4 3

2.1.2 การบวก ลบ เวคเตอร์ เวคเตอรใ์ด ๆ จะบวกหรอืลบกันได้จะต้องเป็นเวคเตอรแ์ถวนอนเหมอืนกันหรอืแถวตัง้เหมอืนกัน และจะต้อง

มจีำานวนสมาชกิเท่ากันอีกด้วย เชน่

A = (a1,…, an)B = (b1,…,bm)

เวคเตอร์ A และ B จะบวกหรอืลบกันได้ก็ต่อเมื่อ A และ B เป็นเวคเตอรแ์ถวนอนหรอืแถวตัง้เหมอืน กัน และมจีำานวนสมาชกิเท่ากัน สว่นวธิกีารบวกหรอืลบทำาได้โดยการเอาสมาชกิที่อยูใ่นตำาแหน่งเดียวกันบวกหรอืลบ

เขา้ด้วยกัน

ตัวอยา่ง ถ้า A = (2 0 -5) B = (3 4 9) A + B = (2 + 3 0 + 4 -5+9) = (5 4

4) A- B = (2 – 3 0 – 4 -5-9) = (-1 -4 -14)

C: (vimonath7/7Com)Vector.doc

2

2.1.3 การคณูเวคเตอร์

การคณูเวคเตอรแ์บง่ออกเป็น 2 อยา่งคือ

1. การคณูเวคเตอรด์้วยเลขจำานวนจรงิ

2. การคณูเวคเตอรด์้วยเวคเตอร์

(1) การคณูเวคเตอรด์้วยเลขจำานวนจรงิ คณูโดยเอาเลขจำานวนจรงิ (Scalar) คณูเขา้ไปที่ สมาชกิของเวคเตอรท์ีละตัวจนครบทกุตัว ซึ่งจะได้เวคเตอรใ์หมท่ี่มจีำานวนสมาชกิเท่าเดิม

ตัวอยา่ง ถ้า a = -5A = (0 7 -4)a . A = (-5 x 0 -5 x 7 -5 x –4)

= (0 – 35 20)หรอื A . a = (0 x –5 7 x –5 -4 x –5)

= (0 -35 20)จากตัวอยา่งจะเหน็วา่ไมว่า่เราจะเอาเลขจำานวนจรงิคณูเวคเตอรท์ี่ด้านหน้าหรอืด้านหลังก็จะได้ผลลัพธเ์ท่ากัน

(2) การคณูเวคเตอรด์้วยเวคเตอร์ เวคเตอรจ์ะนำามาคณูกันได้เมื่อเวคเตอรท์ัง้สองมจีำานวนสมาชกิเท่า กัน และจะต้องใหเ้วคเตอรแ์ถวนอนอยูด้่านซา้ยมอื เวคเตอรแ์ถวตัง้อยูข่วามอืแล้วจงึ

นำาเอาสมาชกิแต่ละตัวของเวคเตอรแ์ถวนอนคณูกับสมาชกิแต่ละตัวของเวคเตอรแ์ถวตัง้ตามตำาแหน่งของเวคเตอร์ และเอาผลคณูของเวคเตอรแ์ต่ละตำาแหน่งบวกเขา้ด้วยกัน ผลลัพธท์ี่ได้จากการคณูจะเป็นเลขจำานวนจรงิค่าหน่ึง

(Scalar) แต่ถ้าเอาเวคเตอรแ์ถวตัง้คณูกับเวคเตอรแ์ถวนอนผลลัพธท์ี่ได้จะไมใ่ชเ่ลขจำานวนจรงิ แต่จะเป็นเมทรกิซซ์ึ่งจะได้กล่าวถึงในเรื่องน้ีต่อไป

ตัวอยา่ง ถ้า A = (2 1 5) B = 0-4 9

A.B = (2 1 5). 0 = (2 x 0) + (1 x –4) + (5 x 9) = 41

-4 9

2.1.4 เวคเตอรท์ี่สำาคัญบางประเภท

(1) เวคเตอร์ ( Unit vector) คือเวคเตอรท์ี่มสีมาชกิมค่ีาเท่ากับ 1 เพยีงตัวเดียว สว่น สมาชกิที่เหลือมค่ีาเท่ากับศูนย์ เชน่


3

A1 = 1 , A2 = 0 , B1 = (1 0 0), B2 = (0 1 0)

0 10 0

(2) เวคเตอรศู์นย์ (Zero vector) คือเวคเตอรท์ี่สมาชกิทกุตัวมคี่าเท่ากับศูนย์ เชน่

O = (0 0 0) , O = 0 0 0

3. เมทรกิซ ์คือการแสดงขอ้มูลหรอืตัวเลขชุดหน่ึงหรอืกลุ่มหน่ึงด้วยการจดัลำาดับของตัวเลขใหอ้ยูใ่นรูปสีเ่หล่ียมมุมฉากที่ประกอบด้วยแถวนอนและแถวตัง้

รูปแบบโดยทัว่ไปของเมทรกิซส์ามารถเขยีนดังน้ีคือ

a11 a12… a1na21 a22 a2n

A =am1 am2…amn

เมทรกิซ์ A ประกอบด้วยแถวนอน m แถว แถวตัง้ n แถว จำานวนแถวนอนและแถวตัง้บอกใหท้ราบถึง

ขนาดของเมทรกิซ์ และเขยีนวา่ A(mxn) ตัวเลขตัวแรก (m) หมายถึงจำานวนแถวนอน และตัวเลขตัว

หลัง(n)หมายถึงจำานวนแถวตัง้

ตัวเลขแต่ละตัวที่ประกอบเป็นเมทรกิซเ์รยีกวา่สมาชกิ และจะมตีำาแหน่งของมนัภายในเมทรกิซ์ เชน่ a21 หมายถึงสมาชกิที่อยูใ่นตำาแหน่งของแถวนอนท่ี 2 แถวตัง้ที่ 1 amn หมายถึงสมาชกิที่อยูใ่นแถวนอนที่ m

แถวตัง้ที่ n หรอือาจเขยีนง่าย ๆ วา่ A = (aij) โดยที่ i = 1, 2,…, m และ j = 1, 2,…, n

ตัวอยา่ง สมมติซูเปอรม์ารเ์ก็ตแหง่หน่ึงมสีาขาอยู่ 4 แหง่ คือ A B C และ D และสาขาแต่ละแหง่

สามารถขายสนิค้าในเดือนมกราคม 2542 ได้ดังแสดงตามตาราง

( หน่วย : ล้านบาท)A B C D

ของใช้ 10 15 20 30ผัก 9 10 15 20ผลไม้ 20 25 30 40

จากขอ้มูลตามตาราง สามารถนำามาเขยีนในรูปของเมทรกิซไ์ด้คือ


4

10 15 20 30A = 9 10 15 20

20 25 30 40

จะเหน็วา่เมทรกิซ์ A ประกอบด้วย 3 แถวนอน 4 แถวตัง้ เขยีนวา่ A3x4 ซึ่งบอกใหท้ราบถึงขนาดของ

เมทรกิซ์ A แถวนอนของเมทรกิซ์ A แต่ละแถวหมายถึงสนิค้าประเภทต่าง ๆ แถวตัง้แต่ละแถวหมายถึงสาขาของซู

เปอรม์ารเ์ก็ต เชน่ สมาชกิในตำาแหน่ง a23 ซึ่งมคี่าเท่ากับ 15 หมายถึงปรมิาณการขายผักของสาขา C

3.1 เมทรกิซท์ี่สำาคัญบางประเภท เมทรกิซม์หีลายประเภท แต่ท่ีจะกล่าวต่อไปเป็นเมทรกิซท์ี่นำามาใชใ้นวชิาการวเิคราะหเ์ชงิปรมิาณอยูเ่สมอ คือ

3.1.1 เมทรกิซจ์ตัรุสั (Square Matrix) คือ เมทรกิซท์ี่มจีำานวนแถวนอนเท่ากับจำานวน

แถวตัง้ หรอื m = n นัน่เอง เชน่

0 4 5 2 5A = B = 9 1 -4

-2 3 -1 0 1

A เป็นเมทรกิซท์ี่มขีนาด 2x2 สว่น B เป็นเมทรกิซท์ี่มขีนาด 3x3 เมทรกิซจ์ตัรุสัโดยทัว่ไปจะมี

ขนาด nxn1. เมทรกิซแ์นวทะแยง (Diagonal Matrix) คือ เมทรกิซจ์ตัรุสัที่สมาชกิทกุตัวมี

ค่าเป็นศูนย์ ยกเวน้สมาชกิที่อยูใ่นแนวทะแยงมุมจากซา้ยบนมาขวาล่าง (Main Diagonal) เท่านัน้ ที่ อาจจะเท่ากับศูนยห์รอืไมเ่ท่ากับศูนยก์็ได้ เชน่

0 0 0 0 0A = 0 -1 B = 0 -1 0

0 0 02 0 0 -1 0 0

C = 0 3 0 D = 0 0 00 0 -1 0 0 5

2. เมทรกิซไ์อเดนติต้ี (Identity Matrix) คือ เมทรกิซจ์ตัรุสัที่สมาชกิบนเสน้ทะแยงมุมจาก

ซา้ยบนมาขวาล่าง มคี่าเท่ากับ 1 สว่นสมาชกิที่เหลือทัง้หมดมค่ีาเป็น 0 และใชส้ญัลักษณ์ I เชน่

I = 1 0 I = 1 0 0


5

0 1 0 1 00 0 1

จะเหน็วา่สมาชกิในตำาเหน่งของ aij ที่ i = j จะมคี่าเท่ากับ 1 เชน่ a11, a22, a33 มคี่าเท่ากับ 1

สว่นค่าสมาชกิที่เหลือ aij ที่ i j จะมคี่าเท่ากับ 0 เชน่ a12, a13 , a21 มคี่าเท่ากับ 0

3.1.4 เมทรกิซศู์นย์ (Zero หรอื Null Matrix) คือ เมทรกิซท์ี่สมาชกิทกุตัวมค่ีาเป็น

ศูนยห์มด ใชส้ญัลักษณ์ O แทนเมทรกิซศู์นย์ เชน่

O = 0 0 O = 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0

3.2 พชีคณิตเมทรกิซ์

3.2.1 การสบัที่ของเมทรกิซ์ การสบัที่ของเมทรกิซ์ คือ การเขยีนเมทรกิซอ์ใหมจ่ากเมทรกิซเ์ดิม ด้วยการเปล่ียนแถวนอนของเมทรกิซ์ เดิมใหเ้ป็นแถวตัง้ของเมทรกิซใ์หม่ หรอืเปล่ียนจากแถวตัง้ของเมทรกิซเ์ดิมใหเ้ป็นแถวนอนของเมทรกิซใ์หม่ นัน่คือ

ถ้าเรามเีมทรกิซเ์ดิมที่มขีนาด m x n เราจะได้เมทรกิซใ์หมท่ี่มขีนาด n x m และสญัลักษณ์ที่ใชแ้ทนการ

สบัที่ของเมทรกิซ์ คือ AT หรอื At อยา่งใดอยา่งหน่ึง เชน่

ถ้าเมทรกิซเ์ดิม คือ

A = a11 a12 a13a21 a22 a23

เมื่อสบัที่เมทรกิซ ์A จะได้

a11 a21AT = a12 a22

a13 a23และ a11 a12 a13

(AT)T = = Aa21 a22 a23

ตัวอยา่ง ถ้าเรามเีมทรกิซเ์ดิมคือ

3 1A = 2 3

6 4


6

เมื่อสบัที่เมทรกิซ์ A จะได้

3 2 6 3 1(AT) = (AT)T = 2 3

1 3 4 6 4ดังนัน้เราอาจสรุปได้วา่

(1) ถ้า A = (aij), AT = (aji)(2) ขนาดของเมทรกิซ์ A = m x n AT จะมขีนาด n x m หรอื AT =

n x m(3) ถ้ามกีารสบัเปล่ียนเมทรกิซส์องครัง้จะได้เมทรกิซเ์ดิม (AT)T = A

3.1.2 การบวกและลบเมทรกิซ์ เมทรกิซต์ัง้แต่สองเมทรกิซข์ึ้นไปสามารถนำามาบวกหรอืลบกันได้ ถ้าเมทรกิซท์ัง้สองมขีนาดเท่ากัน วธิี การบวกหรอืลบก็เชน่เดียวกับการบวกลบทางพชีคณิตธรรมดา กล่าวคือนำาสมาชกิที่อยูใ่นตำาแหน่งเดียวกันบวกหรอื

ลบกันตามปกติและจะได้เมทรกิซผ์ลลัพธท์ี่มขีนาดเท่าเดิม

ถ้า A = a11 a12 , B = b11 b12a21 a22 b21 b22

A + B = a11 + b11 a12 + b12 , B + A b11 + a11 b12 + a12

a21 + b21 a22 + b22 b21 + a21 b22 + a22

A - B =a11 - b11 a12 - b12 , B + A b11 - a11 b12 - a12a21 - b21 a22 - b22 b21 - a21 b22 - a22

ตัวอยา่ง

1 5 5 3 5 6 ถ้า A = B = C =

-7 4 2 9 8 0

3 2 -5D =

4 6 -4ดังนัน้


7

1 + 5 5 + 3 6 8A + B = =

-7 + 2 4 + 9 -5 13

1 - 5 5 - 3 -4 2A - B = =

-7 - 2 4 - 9 -9 -5

5 + 1 3 + 5 6 8B + A = =

2 + (-7) 9 + 4 -5 13

5 - 1 3 - 5 4 -2B - A = =

2 - (-7)9 - 4 9 5 จากการคำานวณขา้งต้น เราทราบวา่

6 8A + B =

-5 13


8

ดังนัน้

(A + B) + C = 6 8 + 5 6 = 11 14-5 13 8 0 3 13

B + C = 5 3 + 5 6 = 10 92 9 8 0 10 9

A + (B + C) = 1 5 + 10 9 = 11 14-7 4 10 9 3 13

C D = ไมส่ามารถบวกหรอืลบกันได้

A D = ไมส่ามารถบวกหรอืลบกันได้

ดังนัน้ จากตัวอยา่งขา้งต้นจะเหน็ได้วา่เมทรกิซ์ A, B และ C สามารถนำามาบวกหรอืลบกันได้ เพราะมี

ขนาดเท่ากัน (2x2) และเมทรกิซผ์ลลัพธก์็มขีนาดเท่าเดิมด้วย (2x2) สว่นเมทรกิซ์ D ไมส่ามารถนำาไป

บวกหรอืลบกับเมทรกิซอ่ื์นได้เพราะวา่มขีนาดไมเ่ท่ากัน (2x3) และอาจสรุปผลเรื่องการบวกและลบเมทรกิซไ์ด้

ดังน้ี :

1. A + B = B + A สว่น A – B B – A2. (A + B) + C= A + (B + C)3. เมทรกิซจ์ะบวกหรอืลบกันได้จะต้องมขีนาดเท่ากัน

3.1.3 การคณูเมทรกิซ์

1) เมทรกิซด์้วยเลขจำานวนจรงิ ใชห้ลักเกณฑ์ เชน่เดียวกับการคณูเวคเตอรด์้วยเลขจำานวนจรงิ คือนำาเอา เลขจำานวนจรงิคณูเมทรกิซท์ี่สมาชกิของเมทรกิซท์ีละตัวจนครบทกุตัว จะได้เมทรกิซใ์หมท่ี่มขีนาดเท่าเดิม และไมว่า่จะ

เอาเลขจำานวนจรงิคณูเมทรกิซท์ี่ด้านหน้าหรอืด้านหลังก็จะได้ผลลัพธเ์ท่ากัน เชน่

a11 a12 a13 ถ้า A = a21 a22 a23

a31 a32 a33

และ k = เลขจำานวนจรงิใด ๆ

ka 11 ka12 ka 13 a11k a12ka13k

นัน่คือ kA = ka 21 ka22 ka 23 Ak = a21ka22k a23k


9

ka 31 ka32 ka 33 a31k a32ka33k

ตัวอยา่ง

ถ้า A = -1 2 7 3 4 -4

และ k = 2

A x 2 = -1 x 2 2 x 2 7 x 2 = -2 4 14

3 x 2 4 x 2 –4 x 2 6 8-8

2 x A = 2 x –1 2 x 2 2 x 7 = -2 414

2 x 3 2 x 4 2 x -4 6 8 -8

จากตัวอยา่งจะเหน็วา่ A x 2 = 2 x Aหรอื A x k = k x Aตัวอยา่ง

สมมติวา่หา้งสรรพสนิค้าเอเชยี มรีา้นค้าอยู่ 3 แหง่คือ ที่ชดิลม สลีม และราชประสงค์ สนิค้าท่ีหา้งเซน็ทรลั

จำาหน่ายมี 4 แผนก คือ

1. แผนกซูเปอรม์ารเ์ก็ต

2. แผนกเสื้อผ้าสำาเรจ็รูป

3. แผนกของใชเ้ด็ก

4. แผนกกีฬา

การสัง่ซื้อสนิค้าเขา้มาจำาหน่ายจะมศูีนยส์ัง่ซื้อที่สว่นกลาง แต่ปรมิาณสนิค้าคงเหลือแต่ละสาขาจะเป็นผู้กำาหนด ขึ้นเองโดยอาศัยขอ้มูลในอดีตและประสบการณ์ของผู้จดัการแต่ละแหง่ สนิค้าคงคลังเมื่อสิน้เดือนของหา้งสรรพ

สนิค้าเอเชยี ทัง้หมดสามารถแสดงแทนด้วยเมทรกิซ์ ซึ่งแถวนอนแสดงถึงสาขาแต่ละแหง่แถวตัง้แสดงถึงปรมิาณ สนิค้าของแต่ละแผนก และสนิค้าคงคลังเมื่อสิน้เดือนตลุาคมปรากฎดังน้ี


10

100 210 318 121M = 200 510 400 242

150 250 210 160 คำาสัง่ซื้อจากศูนยส์ัง่ซื้อสำาหรบัเดือนพฤศจกิายน ปรากฏดังน้ี

45 50 55 20N = 65 150 45 35

25 70 35 30

จากขอ้มูลตามเมทรกิซ์ M และ N เราสามารถหาจำานวนสนิค้าที่มไีวส้ำาหรบัขายในระหวา่งเดือน

พฤศจกิายน ได้คือ :145 260 373 141

M + N = 265 660 445 277175 320 245 190

ยอดขายสนิค้าของเดือนพฤศจกิายน ถกูบนัทึกไวด้ังปรากฏตามเมทรกิซ์ S

35 48 45 21S = 30 120 39 27

25 65 20 31

ดังนัน้ สนิค้าคงคลังเมื่อสิน้เดือนพฤศจกิายน จะเป็นดังน้ี M + N – S และถ้าหา้งสรรพสนิค้า

เอเชยีซื้อสนิค้าในเดือนธนัวาคมเป็นสองเท่าของเดือนพฤศจกิายน (เนื่องจากการซื้อสนิค้าของลกูค้าเพื่อเป็นของ

ขวญัในโอกาสครสิต์มาสและปีใหม่ จะมผีลทำาใหย้อดขายมากในเดือนธนัวาคม จงึจำาเป็นต้องซื้อสนิค้ามากกวา่ปกติ) ดังนัน้สนิค้าที่มไีวเ้พื่อขายในเดือนธนัวาคมสามารถคำานวณได้คือ :

M + N – S + 2N = M + 3N – S

100 210 318 121 45 50 55 20 = 200 510 400 242 + 3 65150 45 35 -

150 250 210 160 25 70 35 30


11

35 48 45 21 200 312438 160

20 120 39 27 = 365 840496 320

25 65 20 31 200 395295 219

2. การคณูเมทรกิซด้์วยเมทรกิซ์ การบวก ลบ และคณูเมทรกิซด์้วยเลขจำานวนจรงิเป็นการปฏิบติัการ ภายในตัวเมทรกิซท์ัง้สองตัวต่อตัวทำาใหไ้ด้เมทรกิซใ์หมท่ี่มขีนาดเท่าเดิม แต่การคณูเมทรกิซส์องเมทรกิซนั์น้จะมี

ความแตกต่างไปจากการบวก ลบ และคณูด้วยเลขจำานวนจรงิอยู่ 2 ประการคือ

(א) เมทรกิซท์ัง้สองที่นำามาคณูกันไมจ่ำาเป็นต้องมขีนาดเท่ากัน และเมทรกิซท์ัง้สองไมจ่ำาเป็นต้องคณูกันได้เสมอไป

(ב) เมทรกิซผ์ลคณูที่ได้อาจมขีนาดเท่ากันหรอืไมเ่ท่ากันกับเมทรกิซท์ี่นำามาคณูกันอันใดอันหนึ่งหรอืทัง้สองอัน

การคณูเวคเตอรส์องเวคเตอร์ จะต้องนำาเวคเตอรแ์ถวนอนคณูกับเวคเตอรแ์ถวตัง้ หลักอันน้ีสามารถนำามาใช้ กับการคณูเมทรกิซเ์ชน่กัน กล่าวคือ การคณูเมทรกิซส์องเมทรกิซเ์ขา้ด้วยกันนัน้เราจะนำาแถวนอนแต่ละแถวของเม

ทรกิซท์างด้านซา้ยคณูกับแถวตัง้ทกุ ๆ แถวของเมทรกิซด์้านขวา นัน่คือ เรานำาแถวนอนที่ 1 ของเมทรกิซท์างด้าน

ซา้ยคณูกับแถวตัง้ท่ี 1, 2, 3…n ของเมทรกิซด้์านขวา ซึ่งจะได้สมาชกิ a1j ของเมทรกิซผ์ลลัพธ์ โดยท่ี

j = 1, 2, 3 …n ( หรอืแถวนอนที่ 1 ของเมทรกิซผ์ลลัพธ)์ ต่อมานำาแถวนอนที่ 2 ของเมทรกิซด้์านซา้ยคณูกับแถวตัง้ที่ 1, 2, 3,…,n ของเมทรกิซด้์านขวาจะได้

สมาชกิ a2j ของเมทรกิซผ์ลลัพธ์ โดยท่ี j = 1, 2, 3,…n ( หรอืแถวนอนที่ 2 ของเมทรกิซ์

ผลลัพธ)์ ทำาดังน้ีเรื่อย ๆ ไปจนถึงแถวนอนที่ m ของเมทรกิซด้์านซา้ยคณูกับแถวตัง้ทกุแถวของเมทรกิซด์้าน

ขวาจะได้สมาชกิ amj ของเมทรกิซผ์ลลัพธ์ ( หรอืแถวนอนที่ m ของเมทรกิซผ์ลลัพธ)์ตัวอยา่ง

A2 x 2 = 0 3 B2 x 3 = 2 -1 3 2 4 3 2 4

A x B = C0 3 2 -1 3 = C11 C12 C132 4 3 2 4 C21 C22 C23

= 9 6 1216 6 22

ซึ่งคำานวณได้ดังน้ี คือ


12

C11 = ( 0 3) 2 = 93

C12 = (0 3) -1 = 6 2

C13 = (0 3) 3 = 124

C21 = (2 4) 2 = 163

C22 = (2 4) -1 = 6 2

C23 = (2 4) 3 = 224

จากการคณูเวคเตอรนั์น้ จะเหน็วา่เวคเตอรส์องเวคเตอรจ์ะคณูกันได้เมื่อมจีำานวนสมาชกิเท่ากัน จากตัวอยา่ง

ของเราขา้งต้นเรานำาแต่ละแถวนอนของเมทรกิซ์ A คณูกับทกุ ๆ แถวตัง้ของเมทรกิซ์ B ดังนัน้เมทรกิซ์ A จะต้องมจีำานวนแถวตัง้เท่ากับจำานวนแถวนอนของเมทรกิซ์ B และจะได้เมทรกิซ์ C ซึ่งเป็นเม

ทรกิซผ์ลลัพธท์ี่มขีนาด 2 x 3 เท่ากับจำานวนแถวนอนของเมทรกิซ์ A และจำานวนแถวตัง้ของเมทรกิซ์ Bดังนัน้เมทรกิซส์องเมทรกิซจ์ะคณูกันได้เมื่อจำานวนแถวตัง้ของเมทรกิซด์้านซา้ยเท่ากับจำานวนแถวนอนของเม

ทรกิซด์้านขวา และจะได้เมทรกิซผ์ลลัพธท์ี่มขีนาดเท่ากับจำานวนแถวนอนของเมทรกิซด้์านซา้ย x จำานวนแถวตัง้ ของเมทรกิซด้์านขวา นัน่คือ

Am x n BP x q = Cm x q

=

จะเหน็วา่เมื่อเมทรกิซ์ A คณูกับเมทรกิซ์ B ผลลัพธท์ี่ได้คือเมทรกิซ์ C เมทรกิซ์ C จะมขีนาดเท่ากับ

จำานวนแถวนอนของ A และจำานวนแถวตัง้ของ B นัน่คือ C จะมขีนาดเท่ากับ m x q คณุสมบตัิต่าง ๆ ของการคณูเมทรกิซ์

(1) เมทรกิซ์ A คณูกับเมทรกิซ์ B ผลลัพธท์ี่ได้ไมจ่ำาเป็นต้องเท่ากับเมทรกิซ์ B คณูกับเมทรกิซ์ A


13

2 3 5 7 4 ถ้า A = -1 4 B =

5 -2 6 8 0

2 3 5 7 4 28 38 8A3x2 x B2x3 = -1 4 = 19 25 -4

5 -2 6 8 0 13 19 20

5 7 4 2 3 = 23 35A2x3 x B3x2 = -1 4

6 8 0 5 -2 4 50

นัน่คือ A x B B x A

(2) ไอเดนติต้ีเมทรกิซเ์มื่อจะนำาไปคณูกับเมทรกิซ์ A ผลที่ได้คือ เมทรกิซ์ A และไมว่า่จะคณูเมทรกิซ์

A ด้านหน้าหรอืด้านหลังก็ตาม ผลที่ได้คือเมทรกิซ์ A

ถ้าไอเดนติตี้เมทรกิซม์ขีนาด 3x3 1 0 0 2 5 0I = 0 1 0 A = 3 -1 1

0 0 1 4 0 4

2 5 0 1 0 0 2 5 0A3x3 x I3x3 3 -1 1 0 1 0 = 3 -

1 14 0 4 0 0 1 4 0 4


14

1 0 0 2 5 0 2 5 0I3x3 x A3x3 0 1 0 3 -1 1 = 3 -

1 10 0 1 4 0 4 4 0 4

จะเหน็วา่นัน่คือเอาเมทรกิซ์ I เมื่อนำาไปคณูเมทรกิซ์ A ด้านหน้าหรอืด้านหลังก็ตาม จะได้

ผลลัพธเ์ท่ากันคือ เมทรกิซ์ A

A . I = I . A = A

(3) เมทรกิซ์ ศูนย์ เมื่อนำาไปคณูกับเมทรกิซใ์ดผลที่ได้คือเมทรกิซศู์นย์

2 5 0 0 0 0 ถ้า A = 3 -1 1 และเรามเีมทรกิซศู์นย์ คือ O = 0 0 0

4 0 4 0 0 0

0 0 0 2 5 0 0 0 0O3x3 x A3x3 = 0 0 0 3 -1 1 = 0 0 0

0 0 0 4 0 4 0 0 0

2 5 0 0 0 0 = 0 0 0A3x3 x O3x3 = 3 -1 1 0 0 0 0 0 0

4 0 4 0 0 0 0 0 0 จะเหน็วา่เมทรกิซใ์ด ๆ ก็ตามที่คณูด้วยเมทรกิซศู์นยไ์มว่า่จะคณูด้านหน้าหรอืด้านหลังก็ตามจะได้ผลลัพธ์ คือ

เมทรกิซศู์นย์

นัน่คือ O . A = A . O = O

(4) เมทรกิซ์ A และ B สองเมทรกิซซ์ึ่งไมใ่ชเ่มทรกิซศู์นยท์ัง้คู่ แต่เมื่อนำามาคณูกันผลที่ได้อาจมค่ีาเท่ากับเมทรกิซศู์นย์

1 2 3 1 2 3 ถ้า A = 1 2 3 B = 1 2 3

-1 -2 -3 -1 -2 -3

1 2 3 1 2 3 = 0 0 0


15

A3x3 x B3x3 = 1 2 3 1 2 3 0 00

-1 -2 -3 -1 -2 -3 0 0 0

เมทรกิซ์ A และ B ไมใ่ชเ่มทรกิซศู์นย์ แต่ผลลัพธจ์ากการคณู เป็นเมทรกิซศู์นย์ จงึกล่าวได้วา่ผลคณูของ เมทรกิซส์ามารถเท่ากับศูนยไ์ด้ ถึงแมว้า่เมทรกิซท์ัง้สองที่นำามาคณูกันไมไ่ด้เป็นเมทรกิซศู์นยก์็ตาม

(5) ผลคณูของเมทรกิซ์ A และ B เมื่อสบัที่เมทรกิซผ์ลคณูจะมค่ีาเท่ากับผลคณูของการสบัที่ของเม

ทรกิซ์ B และการสบัท่ีของเมทรกิซ์ A

3 -1 B = -3 2 ถ้า A = 2 4 4 1

1 5

-13 5 -1310 17A3x2 x B2x2 10 8 และ(A.B)T = 17 7 5 8 7

BT x AT = -3 4 3 2 1 = -1310 17 2 1 -1 4 5 5 8 7

ผลลัพธข์องการคณูเมทรกิซใ์ดเมื่อสบัที่จะมคี่าเท่ากับการสบัที่ของแต่ละเมทรกิซเ์ดิมคณูกัน นัน่คือ ถ้า A

และ B สามารถคณูกันได้

(A . B)T = BT . AT

(6) (AB)C = A(BC) ถ้าต้องการคณูเมทรกิซม์ากกวา่สองเมทรกิซก์็ยงัคงยดึหลักการ

เชน่เดียวกับการคณูเมทรกิซส์องเมทรกิซ์ เชน่ ถ้าต้องการคณูเมทรกิซ์ ABC สามารถคณูได้ถ้าจำานวนแถวตัง้

ของเมทรกิซผ์ลคณู AB เท่ากับจำานวนแถวนอนของเมทรกิซ์ C และเราจะได้เมทรกิซใ์หมท่ี่มขีนาดเท่ากับจำานวน

แถวนอนของ A และจำานวนแถวตัง้ของ C เชน่

2 1 2 3 4 1 ถ้า A= B = C = 1

3 4 -1 -2 1 1 3 4 9

A2x2 x B2x32 1 16


16

จากนัน้เอาผลลัพธข์องเมทรกิซ์ A . B คณูกับเมทรกิซ์ C

(A . B) x C = 3 4 9 1 = 162 x 3 3 x 1 2 1 16 1 19

1 B x C = 2 3 4 1 = 92 x 3 3 x 1 -1 -2 1 1 -2

1 A x (B.C) = 2 1 9 = 162 x 2 2 x 1 3 4 -2 19

จากผลของการคณูเมทรกิซม์ากกวา่สองเมทรกิซข์า้งต้น เราจะได้วา่

(AB)C = A(BC)

ตัวอยา่ง รา้นผลิตขนมปังแหง่หนึ่งผลิตขนมปัง 3 ชนิด และขนมปังแต่ละชนิดใชส้ว่นผสมของ

วตัถดิุบที่แตกต่างกันไป ดังแสดงตามตารางขา้งล่าง :-

สว่นผสมตามที่กำาหนดสำาหรบัขนมปัง 1 แถวชนิดของขนมปัง A B C D E

I 3 2 1 1 0II 1 1 1 1 1III 2 1 2 1 1

ถ้าทางรา้นได้รบัคำาสัง่ซื้อจากผู้ค้าปลีกดังน้ีคือ ขนมปังชนิดที่ 1 จำานวน 60 แถว ชนิดที่ 2 จำานวน

75 แถว และชนิดที่ 3 จำานวน 50 แถว

จากขอ้มูลดังกล่าวขา้งต้นใหค้ำานวณหาวตัถดุิบที่ผู้ผลิตจะต้องใชใ้นการผลิตขนมปังตามที่ลกูค้าสัง่ซื้อ

คำาสัง่จากลกูค้าสามารถเขยีนเป็นเวคเตอรคื์อ (60 75 50) และสว่นผสมของวตัถดุิบสำาหรบัใชใ้น

การผลิตขนมปัง 1 แถว เขยีนเป็นเมทรกิซไ์ด้ดังน้ี

3 2 1 1 01 1 1 1 12 1 2 1 1


17

วตัถดิุบที่จำาเป็นต้องใชใ้นการผลิตสนิค้าตามท่ีลกูค้าสัง่ซื้อ :

(60 75 50) 3 2 1 1 0 = (355 245 235185 125)

1 1 1 1 12 1 2 1 1

และถ้าต้นทนุต่อหน่วยของวตัถดิุบ A B C D และ E :A 1B 2C 1D 2E 1

ต้นทนุต่อหน่วยของขนมปังแต่ละชนิด สำาหรบั 1 แถว :

13 2 1 1 0 2 101 1 1 1 1 1 = 72 1 2 1 1 2 9

1

3.1.5 เมทรกิซผ์กผัน (The Inverse of a Matrix) เมทรกิซจ์ตัรุสัใด ๆ ที่สามารถหาค่าผกผันได้ คือ เมทรกิซจ์ตัรุสัท่ีเมื่อนำาไปคณูกับค่าผกผันของมนัจะได้

ผลลัพธคื์อ ไอเดนติตี้เมทรกิซ์ ดังนัน้ถ้า A เป็นเมทรกิซจ์ตัรุสั ค่าผกผันของ A ( สญัลักษณ์คือ A-1 และเป็นเม

ทรกิซจ์ตัรุสั) ก็คือค่าทางตัวเลขชุดหน่ึงที่เมื่อนำามาคณูกับเมทรกิซ์ A โดยไมว่า่จะคณูด้านหน้าหรอืด้านหลังก็จะได้

ไอเดนติต้ีเมทรกิซ์ หรอื A . A-1 = A-1 . A = I เมทรกิซจ์ตรุสัเท่านัน้ที่สามารถหาค่าผกผันได้ แต่มไิด้หมายความวา่เมทรกิซจ์ตรุสัทกุเมทรกิซม์คี่าผกผัน เม

ทรกิซจ์ตรุสัใดที่มค่ีาเทอรม์นัินท์เท่ากับศูนยจ์ะไมส่ามารถหาค่าผกผันได้

วธิกีารหาค่าผกผัน

วธิทีี่ 1 วธิทีี่ง่ายที่สดุที่นำามาใชใ้นการหาค่าผกผันคือ การใชค้วามหมายของเมทรกิซผ์กผันตามที่กล่าวมา ขา้งต้น คือการสรา้งสมการเสน้ตรงจากการคณูเมทรกิซเ์ดิมเขา้กับเมทรกิซผ์กผันแล้วใหเ้ท่ากับไอเดนติต้ีเมทรกิซ์

แล้วจงึแก้สมการเสน้ตรงเพื่อหาค่าตัวแปรต่าง ๆ เชน่

A . A-1= I ถ้าให้ A เป็นเมทรกิซท์ี่มขีนาด 2 x 2 ค่าผกผันและไอเดนติตี้เมทรกิซก์็

จะมขีนาด 2 x 2 ด้วย

a11 a12 x1 x3A = A-1 =


18

A21 a22 x2 x4

นัน่คือ a11 a12 x1 x3 1 0=

a21 a22 x2 x4 0 1

ดังนัน้ a11x1+a12x2 a11x3+a12x4 1 0=

a21x1+a22x2 a21x3+a22x4 0 1เขยีนเป็นสมการจะได้

a11x1+a12x2 = 1a11x3+a12x4 = 0a21x1+a22x2 = 0a21x3+a22x4 = 1

จากสมการมตีัวแปร 4 ตัว สมการ 4 สมการ จงึสามารถแก้สมการขา้งต้นได้ และค่าตัวแปรเหล่านัน้ก็คือ

ค่าผกผันของเมทรกิซ์ Aตัวอยา่ง

ถ้า A = 2 3 สามารถหาค่าผกผันของ A ได้คือ

5 4


19

จาก A . A-1 = I

2 3 x1 x3 = 1 0ดังนัน้

5 4 x2 x4 0 1

2x1+3x2 = 15x1+4x2 = 02x3+3x4 = 05x3+4x4 = 1

เมื่อแก้สมการจะได้ X1 = X2 = X3 = X4 =

ดังนัน้ A-1 =

ถ้าต้องการพสิจูน์วา่ค่าผกผันท่ีคำานวณได้เป็นค่าผกผันของ A จรงิหรอืไม่ ใหน้ำาเอา A . A-1 หรอื A-1 . A จะตัองเท่ากับ I นัน่คือ

A . A-1 = 2 3 = 1 0

5 4 0 1

ปรากฏวา่ผลคณูของ A . A-1 เท่ากับ I แสดงวา่ค่าผกผันที่คำานวณได้เป็นค่าที่ถกูต้อง

การใชว้ธิน้ีีหาค่าผกผันสำาหรบัเมทรกิซท์ี่มขีนาด 2 x 2 เราต้องใชส้ีส่มการ สีตั่วแปร ถ้าเมทรกิซม์ขีนาดใหญ่การคำานวณจะยุง่ยากเน่ืองจากจำานวนสมการและจำานวนตัวแปรจะมจีำานวนมากจะทำาใหม้ขีอ้ผิดพลาดในการหา

ผลลัพธไ์ด้ง่าย จงึมกีารพฒันาวธิอ่ืีนมาใช้

วธิทีี่ 2 หาค่าเมทรกิซผ์กผันโดยวธิกีารปฏิบตัิแถวนอน

ก่อนท่ีจะศึกษาถึงการหาค่าผกผันโดยวธิกีารปฏิบตัิแถวนอน (Row Operation) เราจะต้อง เขา้ใจหลักการของการปฏิบตัิแถวนอนเสยีก่อน และวธินีี้ยงัสามารถนำาไปใชป้ระโยชน์ในการแก้สมการเพื่อหาค่าตัว

แปรได้อีกด้วย ซึ่งจะได้ศึกษาต่อไป

หลักการปฏิบตัิแถวนอน หมายถึงการปฏิบติัของเมทรกิซ์ 3 ขัน้ตอนด้วยกัน ซึ่งกระบวนการปฏิบตัิการน้ี สามารถเปล่ียนเมทรกิซไ์ด้ หลักการปฏิบตัิจะมดีังนี้คือ


20

1. แถวนอนแถวหน่ึงสามารถสบัเปล่ียนกับแถวนอนอีกแถวหน่ึงได้

2. สามารถคณูแถวนอนใด ๆ ด้วยค่าคงที่ค่าหน่ึง แต่ค่าคงที่นี้จะต้องไมเ่ท่ากับศูนย์

3. ผลคณูของแถวนอนแถวหน่ึงสามารถนำาไปบวกหรอืลบจากแถวนอนอ่ืนได้

ตัวอยา่งเชน่ถ้าเรามเีมทรกิซ์ A คือ

3 0 -1A = 1 -2 4

4 5 3

1. ใชห้ลักการปฏิบตัิแถวนอนขอ้ที่ 1 สบัเปล่ียนระหวา่งแถวนอนที่ 1 กับที่ 3 จะได้

4 5 3A1 = 1 -2 4

3 0 -1

2. ใชห้ลักการปฏิบตัิแถวนอนขอ้ที่ 2 คณูแถวนอนที่ 2 –ด้วย 5 จะได้

3 0 - 1A2 = -5 10 -20

4 5 3

3. ใชห้ลักการปฏิบตัิแถวนอนขอ้ที่ 3 คณูแถวนอนที่สองของ A ด้วย 3 แล้วบวก

ผลลัพธท์ี่ได้เขา้กับแถวนอนที่ 1 ของเมทรกิซ์ A จะได้

6 -6 11A3 = 1 -2 4

4 5 3

ขอ้สงัเกต จะเหน็วา่แถวนอนที่ 2 ของ A ไมไ่ด้เปล่ียนแปลง แถวนอนที่ 1 เท่านัน้ที่เปล่ียนแปลง

หลักการปฏิบตัิแถวนอนเพื่อคำานวณค่าผกผันของเมทรกิซนั์น้ทำาได้โดยการจดัตัง้เมทรกิซ์ ใหเ้มทรกิซท์ี่ ต้องการทราบค่าผกผันอยูด่้านซา้ย และใหไ้อเดนติต้ีเมทรกิซอ์ยูด่้านขวา แล้วจงึนำาหลักของการปฏิบตัิแถวนอนมาใช้

เพื่อเปล่ียนแปลงใหเ้มทรกิซเ์ดิม (A) เป็นไอเดนติตี้เมทรกิซ์ เมื่อใดที่เมทรกิซ์ A เป็นไอเดนติตี้เมทรกิซแ์ล้ว เม รกิซผ์ลลัพธท์ี่อยูด้่านขวาซึ่งแทนที่ไอเดนติต้ีเมทรกิซเ์ดิม คือ ค่าผกผันนัน่เอง

นัน่คือ เมื่อเริม่หาค่าผกผันจะตัง้เมทรกิซ์ A ใหอ้ยูใ่นรูปแบบ : (A / I) ใชห้ลักการปฏิบตัิแถวนอนจนกระทัง่ได้ผลลัพธคื์อ : (I / A-1)


21

วธิคีำานวณดังกล่าวขา้งต้นเพื่อใหไ้ด้ค่าผกผันน้ีเรยีกวา่ Gauss-Jordan Elimination Method หรอื Gauss-Jordan Method ซึ่งก็คือเปล่ียนเมทรกิซจ์าก (A/I) ใหเ้ป็น

(I/A-1) โดยใชห้ลักการปฏิบตัิของ

แถวนอน 1

ตัวยา่งที่ 1

ถ้า A = 1 3 หาค่าผกผันของ A ด้วยวธิกีารปฏิบตัิแถวนอน ซึ่งจะมหีลักและ 42 ขัน้ตอนดังต่อไปนี้

1. นำาเอาไอเดนติตี้เมทรกิซไ์วท้างด้านขวามอืของเมทรกิซ์ A

1 3 1 04 2 0 1

2. คณูแถวนอนที่ 2 ด้วย ( ตามหลักการปฏิบติัแถวนอนขอ้ 2)

1 3 1 02 1 0

3. คณูแถวนอนที่ 1 ด้วย 2 และหกัจากแถวนอนที่ 2 ( ตามหลักการปฏิบติัการแถวนอนขอ้ 3)

1 3 1 00 -5 -2

1 Robert E.Markland, “Topics in Management Science”, 1983, John Wiley & Sons, Inc., P43-44.


22

4. คณูแถวนอนที่ 2 ด้วย

1 3 1 00 -3

5. บวกแถวนอนที่ 2 เขา้กับแถวนอนที่ 1 1 00 –3

6. คณูแถวนอนที่ 2 ด้วย

1 0 0 1

ดังนัน้ค่าผกผันคือ

ตัวอยา่งที่ 2 จงหาค่าผกผันของเมทรกิซ์ A ถ้า

3 2 -1 3 2 -1 1 0 0A = 4 3 -1 A/I คือ 4 3 -1 0 1 0

-1 2 4 -1 2 4 0 0 1

ใชห้ลักการปฏิบตัิแถวนอนเพื่อใหไ้ด้ค่าผกผัน ปฏิบตัิดังน้ี :


23

1. คณูแถวนอนที่หน่ึงด้วย

1 0 0 4 3 -1 0 1 0-1 2 4 0 0 1

2. –นำาเอา 4 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 2

1 0 0 0 1 0-1 2 4 0 0 1

3. นำาเอา 1 คณูแถวนอนที่หน่ึงแล้วบวกกับแถวนอนที่สาม

1 0 00 1 00 0 1

4. คณูแถวนอนที่สองด้วย 3

1 0 00 1 1 -4 3 00 0 1


24

5. นำาเอา คณูแถวนอนที่สองแล้วบวกกับแถวนอนที่หนึ่ง

1 0 -1 3 -2 00 1 1 -4 3 00 0 1

6. นำาเอา คณูแถวแถวนอนท่ีสองแล้วบวกกับแถวนอนที่สาม

1 0 -1 3 -2 00 1 1 -4 3 00 0 1 11 -8 0

7. นำาเอา 1 คณูแถวนอนที่สามแล้วบวกกับแถวนอนที่หนึ่ง

1 0 0 14 -1010 1 1 -4 3 00 0 1 11 -8 1

8. –นำาเอา 1 คณูแถวนอนที่สามแล้วบวกกับแถวนอนที่สอง

1 0 0 14 -10 10 1 0 -15 11 -10 0 1 11 -8 1

เมทรกิซด์้านซา้ยมอือยูใ่นรูปของไอเดนติตี้ สว่นเมทรกิซท์ี่อยูด่้านขวามอืคือค่าผกผัน (A-1) เพราะวา่

3 2 -1 14 -10 1 1 0 0 4 3 -1 -15 11 -1 = 0 1 0-1 2 4 11 -8 1 0 0 1


25

ตัวอยา่งที่ 3 จงหาค่าผกผันของเมทรกิซ์ A ถ้า

1 -4 -3A = 2 1 3

3 5 8

1 -4 -3 1 0 0(A/I) คือ 2 1 3 0 1 0

3 5 8 0 0 1 ใชว้ธิกีารปฏิบตัิแถวนอนเพื่อใหไ้ด้ค่าผกผัน ปฏิบตัิดังน้ีคือ

1. แถวนอนที่ 1 –คณูด้วย 2 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 2

1 -4 -3 1 0 00 9 9 -2 1 03 5 8 0 0 1

2. แถวนอนที่ 1 –คณูด้วย 3 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 3

1 -4 -3 1 0 00 9 9 -2 1 0

0 17 17 -3 0 1

3. แถวนอนที่ 2 คณูด้วย

1 -4 -3 1 0 00 1 1 00 17 17 -3 0 1

4. แถวนอนที่ 2 คณูด้วย 4 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 1

1 0 1 00 1 1 00 17 17 -3 0 1

5. แถวนอนที่ 2 คณูด้วย -17 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 3


26

1 0 1 00 1 1 00 0 0 1

จากเมทรกิซส์ดุท้ายจะเหน็วา่ไมส่ามารถทำาสมาชกิในตำาแหน่ง a33 ใหเ้ป็นหนึ่งได้เลย แสดงวา่เมทรกิซ์ A ไมม่ค่ีาผกผัน

จากท่ีกล่าวมาในเรื่องการนำาเอาวธิปีฏิบติัแถวนอนมาหาค่าผกผันของเมทรกิซ์ และได้ยกตัวอยา่งเพื่อประกอบ ความเขา้ใจ เราพอจะสรุปเป็นวธิกีารปฏิบตัิโดยทัว่ไปเพื่อใหไ้ด้ค่าผกผันดังน้ีคือ

1. คณูแถวนอนแรกด้วย ถ้า a11 ไมไ่ด้มค่ีาเป็นศูนย์ แต่ถ้า a11 เป็นศูนยส์บัเปล่ียนกับแถวนอน

อ่ืน หรอืสบัเปล่ียนแถวตัง้กับแถวตัง้เพื่อให้ a11 ไมม่ค่ีาเป็นศูนย์ แล้วจงึคณูแถวนอนใหมด่้วย

2. พยายามทำาใหส้มาชกิตัวอ่ืน ๆ ที่เหลือของแถวตัง้แรกมค่ีาเป็นศูนยใ์หห้มด สามารถทำาได้โดยคณูค่าคงที่ ใด ๆ เขา้กับแถวนอนแรกแล้วบวกกับแถวนอนอ่ืน

3. คณูแถวนอนที่สองด้วย โดย a22 จะต้องไมเ่ท่ากับศูนย์ ถ้า a22 เท่ากับศูนยใ์หย้า้ยค่าอ่ืนท่ี

ไมเ่ท่ากับศูนยม์าแทนที่ a22 โดยสบัเปล่ียนระหวา่งแถวนอนกับแถวนอน หรอืแถวตัง้กับแถวตัง้เชน่เดียวกับขัน้

ที่ 1 หา้มไมใ่หม้กีารสบัเปล่ียนระหวา่งแถวนอนกับแถวตัง้

4. พยายามทำาใหส้มาชกิที่อยูใ่ต้และบน a22 ใหม้ค่ีาเป็นศูนยใ์หห้มด ดังขัน้ที่ 25. ทำาดังน้ีเรื่อยไป ดังเชน่ ขัน้ที่ 1-4 จนกระทัง่สมาชกิที่อยูบ่นเสน้ทะแยงจากซา้ยบนมาขวาล่างของเม

ทรกิซ์ A ( aij ที่ i = j) มคี่าเท่ากับหนึ่งทกุตัวและสมาชกิอ่ืนเป็นศูนย์

วธิทีี่ 3 หาค่าเมทรกิซผ์กผันจาการพวิติ

พวิติ (Pivot) เป็นเครื่องมอืทางคณิตศาสตรท์ี่มวีธิคีล้ายกับการปฏิบตัิแถวนอนสว่นผลลัพธท์ี่ได้ด้วย วธิพีวิติหรอืการปฏิบตัิแถวนอนจะมคี่าเท่ากันทกุประการ วธิพีวิติจะใชต้ารางแทนการเขยีนเป็นเมทรกิซ์ และตัวเลขที่

เปล่ียนแปลงจากตารางหนึ่งไปสูอี่กตารางหน่ึงจะใชส้ตูรสำาเรจ็ วธิกีารพวิติสามารถนำาไปใชป้ระโยชน์ได้เชน่เดียวกับการปฏิบติัแถวนอน คือใชห้าค่าผกผัน แก้สมการเสน้ตรง

ชุดหน่ึง และหาคำาเฉลยในเรื่องของการโปรแกรมเชงิเสน้ตรง

วธิกีารพวิติสามารถเขยีนเป็นขัน้ตอนได้ดังน้ีคือ

1. นำาเอาเมทรกิซท์ี่ต้องการเปล่ียนค่าเพื่อใหไ้ด้ผลลัพธบ์างประการ เชน่ ต้องการทราบค่าของตัวในระบบ สมการเสน้ตรงหรอืคำาเฉลยของระบบสมการ ใหน้ำาเอาเมทรกิซนั์น้ไปเขยีนลงในตารางและตารางของการพวิติจะ

ประกอบด้วย

1.1 เมทรกิซ์ A หรอืเมทรกิซส์มัประสทิธิข์องตัวแปร

1.2 ไอเดนติต้ีเมทรกิซ์ (Identity Matrix) 1.3 เบสสิ (Basis) หมายถึงตัวแปรที่มสีมาชกิอยูใ่นรูปของไอเดนติตี้เมทรกิซ์ ไอเดนติต้ี

เมทรกิซ์ จงึเป็นเมทรกิซท์ี่อยูใ่นเบสสิในตารางแรกของการพวิติเสมอ และในกรณีท่ี


27

การพวิติจดัทำาขึ้นเพื่อแก้สมการเราสามารถอ่านค่าคำาเฉลยของตัวแปรได้โดยดวูา่ตัวแปรใดที่อยูใ่น เบสสิ ตัวแปรนัน้จะมค่ีาตามที่ปรากฏในแถวตัง้ของตัวเลขที่อยูด่้านขวามอืของสมการและตัวแปรใด

ที่ไมไ่ด้อยูใ่นเบสสิจะมคี่าเป็นศูนย์

2. แปลงค่าเมทรกิซจ์ากตารางแรกไปตาราง 2 และจากตาราง 2 ไปตาราง 3 ไป เรื่อย ๆ ซึ่งการแปลงค่าเมทรกิซจ์ะทำาได้โดยการเปล่ียนเอาตัวแปรที่ไมไ่ด้อยูใ่นเบสสิใหเ้ขา้ไปแทนที่ในเบสสิแทนไอเดน

ติตี้เมทรกิซชุ์ดเดิม และตัวแปรใดที่เราเลือกใหเ้ขา้ไปอยูใ่นเบสสิเรยีก Entering Variable หรอืเป็น

แถวตัง้ที่เขา้ไปในเบสสิ (Come in Column) และเมื่อมตีัวแปรใหมท่ี่จะเขา้ไปใน

เบสสิจงึต้องมตีัวแปรที่จะต้องออกไปจากเบสสิ เรยีกตัวแปรที่ต้องออกไปจากเบสสิวา่ Departing Variable หรอื Pivot Row และสมาชกิที่อยูต่รงกันระหวา่ง Entering Variable

และ Departing Variable เรยีกวา่ Pivot element หรอืเรยีกวา่ จุดหมุน

3. หาค่าทางตัวเลขใหมห่รอืค่าที่เปล่ียนแปลงไป คำานวณได้ดังน้ี

3.1 ค่าของแถวนอนที่มกีารแทนที่ หาได้โดยการนำาเอาพวิติอีลีเมนต์หารแถวนอนนัน้ตลอดทัง้แถว แล้วใส่

เครื่องหมายดอกจนัทร์ (*) ไว้ เพื่อนำาไปคำานวณค่าทางตัวเลขของแถวนอนอ่ืนที่เหลือ

3.2 ค่าทางตัวเลขอ่ืนของตารางใหมค่ำานวณได้จากการเอาค่าที่ได้จาก 3.1 คณูด้วยตัวเลข

ของ Entering Variable แล้วไปหกัจากตัวเลขของตารางเดิมที่อยูใ่นตำาแหน่งเดียวกัน

4. ทำาดังน้ีไปเรื่อย ๆ จนกระทัง่เมทรกิซ์ A กลายเป็นไอเดนติตี้เมทรกิซ์ หรอืเมทรกิซ์ A ได้เขา้ไปอยูใ๋น เบสสิแทนไอเดนติตี้เมทรกิซห์มดแล้ว เราก็จะได้ค่าผกผันตามต้องการ

ตัวอยา่งที่ 1 ถ้า A = 2 3 ใหห้าค่าผกผันของ A โดยวธิพีวิติ

5 41. จดัตัง้ตารางเริม่แรกซึ่งประกอบด้วยเมทรกิซ์ A และไอเดนติตี้เมทรกิซ์ โดยที่ในตารางแรกไอเดนติตี้เม

ทรกิซจ์ะอยูใ่นเบสสิ

ตารางแรก

Pivot Element(Departing Variable

หรอื Pivot Row

Basis X1 X2 S1 S2S1 2 3 1 0S2 5 4 0 1

Entering Variable หรอื Come in column

ให้ X1 แสดงถึงสมาชกิของแถวตัง้แรก

X2 แสดงถึงสมาชกิของแถวตัง้ที่ 2S1 แสดงถึงสมาชกิของแถวตัง้แรกของไอเดนติตี้เมทรกิซ์ และ

S2 แสดงถึงสมาชกิของแถวตัง้ที่ 2 ของไอเดนติตี้เมทรกิซ์


28

2. พวิติเอา X1 เขา้ไปในเบสสิแทนที่ S1 เพราะวา่จุดมุง่หมายของเราต้องการเปล่ียนให้

เมทรกิซ์ A อยูใ่นรูปของไอเดนติต้ีเมทรกิซ์ จงึต้องพยายามทำาใหแ้ถวตัง้แรกเป็น 1 ซึ่งค่าทาง

ตัวเลขของตาราง 2 จะเปล่ียนแปลงเป็น : 0

ตารางที่ 2

(Departing Variable หรอื Pivot Row)

Basis X1 X2 S1 S2X1 1* * * 0* Pivot

Element

S2 0 1

Entering Variable หรอื Come in column

วธิกีารคำานวณปฏิบตัิ ดังนี้

(1) แถวนอนที่ 1 เป็นแถวของ Departing Variable หรอื Pivot Row

การคำานวณทำาได้โดยนำาเอาพวิติอีลีเมนท์ คือ 2 หารแถวนอนที่ 1 ตลอดทัง้แถว จะได้ 1, , , และ 0 ใหใ้สเ่ครื่องหมายดอกจนัที่ตัวเลขเหล่าน้ี แล้วนำาไปใสใ่นแถวนอแรกของตารางที่ 2


29

(2) แถวนอนที่ 2 คำานวณได้ ดังนี้คือ :5 – 1* (5) = 04 - * (5) =0 - * (5) =1 – 0* (5) = 1

นำาผลลัพธท์ี่คำานวณได้ไปใสใ่นแถวนอนที่ 2 ของตารางที่ 2 จะเหน็วา่เมื่อ X1 เขา้ไปในเบสสิ ค่า

สมาชกิของ X1 จะเปล่ียนเป็น 1 0

3. เนื่องจากเราต้องการใหส้มาชกิในแถวตัง้ X2 อยูใ่นรูปของ 0 เราจงึต้องเอา X2 1

พวิติเขา้ไปในเบสสิแทนที่ S2 ( ดังแสดงตามลกูศรในตารางที่ 2) ค่าทางตัวเลขของตารางที่ 3 จะ

เปล่ียนแปลง ดังปรากฏผลลัพธใ์นตารางที่ 3

ตารางที่ 3Basis X1 X2 S1 S2

X1 1 0X2 0 1

จะเหน็วา่สมาชกิของเมทรกิซ์ A ได้เปล่ียนเป็นไอเดนติต้ีเมทรกิซ์ และสมาชกิของไอเดนติตี้

เมทรกิซท์ี่เปล่ียนแปลงไปก็คือค่าผกผันของเมทรกิซ์ A

จะได้วา่A-1 =

ตัวอยา่งที่ 23 1 2

ถ้า A = 0 5 7 ใหห้าค่าเมทรกิซผ์กผันของ A0 4 2


30

Basis X1 X2 X3 S1 S2 S3S1 3 1 2 1 0 0S2 0 5 7 0 1 0S3 0 4 2 0 0 1

Basis X1 X2 X3 S1 S2 S3X1 1* * * * 0* 0*S2 0 5 7 0 1 0S3 0 4 2 0 0 1

Basis X1 X2 X3 S1 S2 S3X1 1 0 0X2 0* 1* 0* * 0*

S3 0 0 * 0 1

Basis X1 X2 X3 S1 S2 S3X1 1 0 0X2 0 1 0 0X3 0* 0* 1* 0* * *

A-1 = 0

0


31

1 -4 -3 ตัวอยา่งที่ 3 ใหห้าค่าเมทรกิซผ์กผันของ A = 2 1 3

3 5 8 ตารางแรก คือ

Basis X1 X2 X3 S1 S2 S3S1 1 -4 -3 1 0 0S2 2 1 3 0 1 0S3 3 5 8 0 0 1

จากนัน้พวิติ X1 เขา้ไปในเบสสิแทนที่ S1 จะได้

ตารางที่ 2Basis X1 X2 X3 S1 S2 S3

X1 1 -4 -3 -1 0 0S2 0 9 9 -2 1 0S3 0 17 17 -3 0 1

พวิติ X2 เขา้ไปในเบสสิแทนที่ S2 จะได้

ตารางที่ 3Basis X1 X2 X3 S1 S2 S3

X1 1 0 1 * 0X2 0* 1* 1* * * 0*S3 0 0 0 1

สว่น X3 ไมส่ามารถพวิติเขา้ไปในเบสสิแทนที่ S3 ได้ ( สมาชกิที่มคี่าเป็น 0 จะพวิติเขา้ไปใน

เบสสิไมไ่ด้เพราะจะทำาใหแ้ถวนอนที่ 3 มคี่าเป็นอินฟนิิต้ี) ดังนัน้เมทรกิซ์ A ไมม่ค่ีาผกผัน


32

4. ระบบสมการเสน้ตรง (System of Linear Equations) ระบบสมการเสน้ตรงโดยทัว่ไปเขยีนในรูปเมทรกิซไ์ด้คือ AX =B

a11 a12 . . . a1n x1 b1 ถ้า A = a21 a22 . . . a2n , X = x2 , B =b2

. . . . . . . .

. . . . . . . .am1 am2 . .. amn xn bm

เมทรกิซ์ A คณูกับ X จะได้

a11 x1 + a12 x2 +. . .+ a1n xna21 x1 + a22 x2 +. . .+ a2n xn...am1 x1 + am2 x2 +. . .+ amn xn

b1ซึ่งผลคณูดังกล่าวจะมค่ีาเท่ากับ b2

.

.

.bm

นำาผลคณูเขยีนเป็นสมการเสน้ตรงได้คือ

a11 x1 + a12 x2 +. . .+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +. . .+ a2n xn = b2...am1 x1 + am2 x2 +. . .+ amn xn = bm

นัน่คือสมการเสน้ตรงสามารถเขยีนในรูปของเมทรกิซ์ ใชส้ญัลักษณ์ คือ AX = B โดยที่ A คือ

สมัประสทิธิข์องเมทรกิซ์ X คือเวคเตอรข์องตัวแปรที่ไมท่ราบค่า และ B คือค่าคงที่ซึ่งเป็น

เวคเตอรท์ี่อยูด่้านขวามอืของสมการ (Right Hand Side Vector)


33

คำาเฉลยสำาหรบัสมการเสน้ตรงนัน้มอียูด้่วยกัน 3 กรณีท่ีอาจเป็นไปได้ คือ

(1) คำาเฉลยเพยีงค่าเดียว (Unique or One Solution)(2) ไมม่คีำาเฉลย (No Solution)(3) มคีำาเฉลยมากกวา่หน่ึงค่า (Infinite Number of Solutions)

ระบบสมการเสน้ตรง AX = B ถ้าเมทรกิซ์ A เป็นเมทรกิซจ์ตัรุสัและสามารถหาค่าผกผันได้ จะเป็น ประโยชน์ต่อการนำาไปใชใ้นการแก้สมการเสน้ตรงเพื่อหาคำาเฉลยหรอืหาค่าของตัวแปรที่ไมท่ราบค่า และคำาเฉลยจะมี

เพยีงค่าเดียว สว่นกรณีที่ระบบสมการเสน้ตรงที่เมทรกิซ์ A ไมไ่ด้เป็นเมทรกิซจ์ตัรุสัจะต้องใชว้ธิกีารคำานวณอ่ืนเพื่อ หาคำาเฉลย เชน่ หลักการปฏิบตัิแถวนอน วธิพีวิติ เป็นต้น

4.1 การหาคำาเฉลยโดยใชค่้าผกผัน ถ้าระบบสมการเสน้ตรง คือ

AX = B นำาเอา A-1 คณูสมการขา้งต้น จะได้

A-1 AX = A-1Bเราทราบวา่ A-1 . A = I แทนค่า I ลงในสมการขา้งต้น จะได้

IX = A-1 . Bเราทราบวา่ IX = X ดังนัน้

X = A-1 B

นัน่คือ เมทรกิซส์มัประสทิธิข์องตัวแปรเมื่อคำานวณค่าผกผันได้แล้ว เราสามารถที่จะทราบคำาเฉลยได้ โดยนำาเอาค่าผกผันคณูกับเวคเตอรท์ี่อยูด่้านขวามอืของสมการ เมื่อใดที่สมัประสทิธข์องตัวแปรไมไ่ด้เปล่ียนแต่

ตัวเลขที่อยูด้่านขวามอืของสมการเท่านัน้ที่เปล่ียน เราไมจ่ำาเป็นต้องเสยีเวลาหาค่าผกผันใหม่ เพยีงแต่เอาค่าผกผันที่มอียูค่ณูกับตัวเลขที่อยูด้่านขวามอืของสมการจะได้ผลลัพธใ์หมต่ามต้องการ

ตัวอยา่งที่ 1 ถ้าระบบสมการเสน้ตรง คือ

2X1 + 3X2 = 25X1 + 4X2 = 3


34

ดังนัน้เมทรกิซส์มัประสทิธิข์องตัวแปร คือ A = 2 3 จากตัวอยา่งในการหาค่า

5 4

ผกผันเราทราบวา่ A-1 = ดังนัน้ :

X = 2 = 3

X1 = และ X2 =

ตัวอยา่งที่ 2 ถ้าเรามรีะบบสมการเสน้ตรง คือ

2X1 + 1X2 + 3X3 = 51X1 + 0X2 + 2X3= -43X1 + 0X2 + 1X3 = 7

สามารถหาค่าตัวแปร X1 , X2 และ X3 ได้โดยการคำานวณค่าผกผันของเมทรกิซส์มัประสทิธิ์

2 1 3 0 A = 1 0 2 และ A-1 = 1

3 0 1 0

0 5 X = 1 -4 =

0 7

ดังนัน้ X1 = , X2 = , X3=

แต่ถ้าระบบสมการเสน้ตรงเปล่ียนเป็น


35

2X1 + 1X2 + 3X3 = 51X1 + 0X2 + 2X3= 03X1 + 0X2 + 1X3 = 9

สงัเกตดจูะเหน็วา่เมทรกิซส์มัประสทิธิไ์มไ่ด้เปล่ียน แต่เวคเตอรท่ี์อยูด่้านขวามอืของสมการเท่านัน้ที่เปล่ียน ดัง

นัน้ค่าของ X คำานวณได้จากการเอาค่าผกผันเดิมที่มอียูค่ณูด้วยเวคเตอรใ์หม่ นัน่คือ

0 5 X = 1 0 =

0 9

ดังนัน้ X1 = , X2 = , X3 =

4.2 การหาคำาเฉลยโดยใชว้ธิปีฏิบตัิแถวนอน

วธิปีฏิบติัแถวนอนจะชว่ยในการหาค่าของแรงค์ (Rank) และชว่ยในการพจิารณาวา่ระบบสมการเสน้ ตรงมลัีกษณะคำาเฉลยแบบใด และหาค่าคำาเฉลยตามต้องการได้ และถ้าเป็นกรณีที่ไมม่คีำาเฉลย วธิน้ีีก็จะบอกใหท้ราบ

ได้

แรงค์คือเมทรกิซใ์ด ๆ ที่เมื่อใชว้ธิปีฏิบติัแถวนอน (หรอืพวิติ) แล้วใหส้มาชกิตามแนวเสน้ทะแยงมุมจากซา้ย บนมาขวาล่างเท่ากับหนึ่ง และสมาชกิที่อยูใ่ต้เสน้ทะแยงมุมเท่ากับศูนย์ เมทรกิซใ์ด ๆ จะมแีรงค์เท่าใดขึ้นอยูก่ับจำานวน

เลขหน่ึงที่เสน้ทะแยงมุม และถ้าเมทรกิซใ์ดที่มแีรงค์เท่ากับจำานวนแถวตัง้ของเมทรกิซนั์น้เรยีกวา่เมทรกิซน์ัน้มแีรงค์เต็มจำานวนและจะเป็นเมทรกิซท์ี่ระบบสมการเสน้ตรงชุดนัน้มคีำาเฉลยเพยีงค่าเดียว

วธิปีฏิบติัแถวนอนเพื่อหาค่าแรงค์

1. จดัตัง้เมทรกิซใ์หอ้ยูใ่นรูปของ (A / B) จดัใหเ้มทรกิซส์มัประสทิธิข์องตัวแปรอยูด่้านซา้ยและเวคเตอรท์ี่อยูด่้านขวามอืของสมการไวต้ิดกับเมทรกิซส์มัประสทิธิ์


36

a11 a12 a13 b1a21 a22 a23 b2a31 a32 a33 b3

เรยีกเมทรกิซท์ี่อยูใ่นรูป (A / B) วา่ Augmented Matrix

2. ใชว้ธิปีฏิบติัแถวนอนเพื่อแปลงเมทรกิซต์ามขอ้ 1 โดยให้ a11 , a22 , a33…. ann เท่ากับ 1 สมาชกิที่อยูข่า้งล่าง a11, a22 ,a33…. ann ใหเ้ท่ากับศูนย์

3. พจิารณาค่าแรงค์ของ A และ (A / B) โดยนับตามจำานวนเลขหนึ่งที่อยูบ่นเสน้ทะแยงมุมตามที่

คำานวณได้ในขอ้ 2

ตัวอยา่งที่ 1 ระบบสมการเสน้ตรงที่มคีำาเฉลยเพยีงค่าเดียว

ถ้า 2X1 + 5X2 + 4X3 = 4 X1 + 4X2 + 3X3= 1 X1 + 3X2 - 2X3 = 5

1. จดัตัง้ Augmented Matrix (A/B)X1 X2 X32 5 4 41 4 3 11 3 -2 5

2. ใชว้ธิปีฏิบติัแถวนอนเพื่อแปลงเมทรกิซใ์หอ้ยูใ่นรูปแบบที่ต้องการ โดยปฏิบติัดังน้ี

สบัเปล่ียนแถวนอนที่ 1 กับแถวนอนที่ 2 เพื่อใหส้มาชกิที่อยูใ่นตำาแหน่ง a11 เท่ากับ 1

1 4 3 12 5 4 41 3 -2 5


37

–นำาเอา 2 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 2 –และเอา 1 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับ

แถวนอนที่ 3

1 4 3 10 -3 -2 20 -1 -5 4

นำาเอา คณูแถวนอนที่ 2

1 4 3 10 1 0 -1 -5 4

นำาเอา 1 คณูแถวนอนที่ 2 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 3

1 4 3 10 1 0 0

นำาเอา คณูแถวนอนที่ 31 4 3 10 1 0 0 1

3. หาค่าแรงค์ของ A และแรงค์ของ (A /B) จากเมทรกิซส์ดุท้าย จะเหน็วา่ a11, a22, a33 เท่ากับ 1 สว่นสมาชกิขา้งล่างเป็นศูนยห์มดทกุตัว บอกใหท้ราบวา่เมทรกิซ์ A มแีรงค์เท่ากับ 3 และเมทรกิซ์

(A / B) ก็มแีรงค์เท่ากับ 3 ด้วย โดยพจิารณาจากเลขหน่ึงที่ปรากฏตามเมทรกิซซ์ึ่งบอกใหท้ราบถึงจำานวนแรงค์

กรณีแรงค์ A = แรงค์ ( A / B) = 3 และเท่ากับจำานวนแถวตัง้เมทรกิซ์ A หรอืจำานวน ตัวแปร บอกใหท้ราบวา่ระบบสมการเสน้ตรงชุดน้ีมคีำาเฉลยค่าเดียว

คำาเฉลยที่ต้องการคำานวณได้จากเมทรกิซส์ดุท้ายนำามาเขยีนในรูปสมการได้คือ


38

1X1 + 4X2+ 3X3 = 11X2+ =

1X3 = ดังนัน้ X2 = - =

X1 = 1 – 4X2 – 3X3

= ดังนัน้ X1= , X2 = , X3 =

จากเมทรกิซส์ดุท้าย เมื่อคำาเฉลยเป็นคำาเฉลยเพยีงค่าเดียว นอกจากจะแปลงเมทรกิซใ์หส้มาชกิบนเสน้ทะแยง

มุมเท่ากับ 1 และตัวเลขใต้เสน้ทะแยงมุมเท่ากับศูนยแ์ล้ว เรายงัสามารถแปลงเมทรกิซ์ A ใหเ้ป็นไอเดนติต้ีเมทรกิซไ์ด้ดังปรากฏดังน้ีคือ

1 0 0 0 1 0 0 0 1

ซึ่งจะเหน็วา่คำาเฉลยที่ได้คือ X1= , X2 = , X3 = เชน่เดียวกับกรณีแรกทกุประการ

ตัวอยา่งที่ 2 กรณีไมม่คีำาเฉลย

ถ้าระบบสมการเสน้ตรง คือ

2X1 + 4X2 + 6X3 = 1 3X1 + 3X2 + 6X3 = 1 3X1 + 1X2 + 4X3 = 2

1. จดัตัง้ Augmented Matrix

2 4 6 13 3 6 13 1 4 2


39

2. ใชว้ธิปีฏิบติัแถวนอนเพื่อแปลงเมทรกิซ์ ดังนี้

นำาเอา คณูแถวนอนที่ 11 2 33 3 6 13 1 4 2

–นำาเอา 3 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 2 –และนำาเอา 3 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวก

กับแถวนอนที่ 3

1 2 3 0 -3 -3 0 -5 -5


1 2 3 0 1 1 0 -5 -5


40


1 2 3 0 1 1 0 0 0

3. จากเมทรกิซส์ดุท้ายหาค่าแรงค์ของ A และแรงค์ของ ( A / B) เมื่อพจิารณาแรงค์ของ A และ

( A / B ) จะเหน็วา่แรงค์ของ A เท่ากับ 2 เพราะสมาชกิในแนวทะแยงมค่ีาเท่ากับ 1 มเีพยีง 2 ตัว

เท่านัน้ สว่นแรงค์ของ ( A / B ) เท่ากับ 3 เพราะวา่สมาชกิที่เท่ากับ สามารถทำาใหม้ค่ีาเป็นหน่ึงได้ ดังนัน้

ในกรณีน้ีแรงค์ของ A ไมเ่ท่ากับแรงค์ของ ( A / B ) บอกได้วา่ระบบสมการเสน้ตรงชุดน้ีไมม่คีำาเฉลย

ตัวอยา่งที่3 กรณีคำาเฉลยมมีากกวา่ 1 ค่า ถ้าเรามรีะบบสมการเสน้ตรง คือ

2X1 + 4X2 + 6X3 = 10 3X1 + 3X2 + 6X3 = 9 3X1 + 1X2 + 4X3 = 5

1. จดัตัง้ Augmented Matrix (A/B)

2 4 6 10 3 3 6 9 3 1 4 5

2. ปฏิบตัิแถวนอนเพื่อแปลงเมทรกิซ์ ดังน้ี


1 2 3 53 3 6 93 1 4 5

–นำาเอา 3 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 2 –และนำาเอา 3 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวก

กับแถวนอนที่ 3


41

1 2 3 50 -3 -3 -60 -5 -5 -10


1 2 3 50 1 1 20 -5 -5 -10


1 2 3 50 1 1 20 0 0 0

3. หาค่าแรงค์ของ A และแรงค์ของ ( A / B) จากเมทรกิซส์ดุท้าย จะเหน็วา่แรงค์ของ A เท่ากับ 2 และแรงค์ของ (A / B ) ก็ เท่ากับ 2 ด้วย แสดงวา่ระบบสมการเสน้ตรงชุดน้ีมคีำาเฉลย

แต่เน่ืองจากจำานวนแรงค์นอ้ยกวา่จำานวนแถวตัง้หรอืจำานวนตัวแปร ดังนัน้จงึเป็นกรณีที่มคีำาเฉลยมากกวา่หน่ึงค่าคำาเฉลยคือ

1X1 + 2X2 + 3X3 = -5 X2 + X3 = 2 ดังนัน้ X2 = 2 - X3 แทนค่า X3 ลงในสมการขา้งต้น จะได้

X1 = 5 – 2(2 – X3) - 3X3= 1 + 2X3 - 3X3

= 1 - X3X3 = เลขจำานวนจรงิใด ๆ

ตัวอยา่งที่กล่าวขา้งต้นชว่ยเพิม่ความเขา้ใจการพจิารณาค่าแรงค์เพื่อบอกใหท้ราบวา่ระบบสมการเสน้ ตรงใด ๆ จะมลัีกษณะคำาเฉลยแบบใด และจะหาค่าคำาเฉลยเหล่านัน้ได้อยา่งไร ซึ่งวธิปีฏิบตัิแถวนอนเป็นเทคนิคที่

สำาคัญที่ชว่ยใหเ้ราบรรลเุป้าหมายตามต้องการได้

เราพอจะสรุปการพจิารณาค่าแรงค์เพื่อหาคำาเฉลยของระบบสมการเสน้ตรงได้ดังน้ีคือ

1. ถ้าแรงค์ของ A น้อยกวา่แรงค์ของ (A/B) แสดงวา่ระบบสมการเสน้ตรงที่มเีมทรกิซ์ A เป็นสมัประสทิธิ์

ของตัวแปรจะไมม่คีำาเฉลย (No Solution) และกระบวนการก็จบสิน้แต่เพยีงเท่าน้ี แต่ถ้าแรงค์ของ

A เท่ากับแรงค์ของ (A/B) ใหพ้จิารณาต่อไป


42

2. ถ้าแรงค์ A เท่ากับแรงค์ (A/B) และเท่ากับจำานวนแถวตัง้ของเมทรกิซ์ A หรอืจำานวนตัวแปรในระบบ

สมการ แสดงวา่สมการเสน้ตรงที่มเีมทรกิซ์ A เป็นสมัประสทิธิข์องตัวแปรจะมคีำาเฉลยเพยีงค่าเดียว

(Unique Solution) และสามารถหาคำาเฉลยได้จากเมทรกิซส์ดุท้าย แต่ถ้าเราแปลงเมทรกิซข์ัน้

ต่อไปจนกระทัง่เมทรกิซ์ A อยูใ่นรูปของไอเดนติต้ีเมทรกิซ์ ตัวเลขที่ปรากฏขวามอืคือคำาเฉลยตามต้องการ

3. ถ้าแรงค์ของ A เท่ากับแรงค์ของ (A/B) แต่น้อยกวา่แถวตัง้ของเมทรกิซ์ A หรอืน้อยกวา่จำานวน

ตัวแปร แสดงวา่มคีำาเฉลยมากกวา่ 1 ค่า (Infinitely Many Solutions) หรอือาจดู

จากการที่มแีถวนอนสดุท้ายอยา่งน้อย 1 แถวที่มคี่าเป็นศูนยท์ัง้แถว และในการหาคำาเฉลยที่ต้องการหาได้จาก

เมทรกิซส์ดุท้าย ( ดังแสดงตามตัวอยา่งที่ 3)

ตัวอยา่งที่ 4 สมมติวา่ในการรบัประทานอาหารแต่ละวนั ชายคนหนึ่งจะต้องทำาการตัดสนิใจวา่ควรรบัประทานอาหาร เนื้อ ผักสด วนัละจำานวนกี่หน่วยจงึจะเพยีงพอกับปรมิาณของโปรตีน คารโ์บไฮเดรทและไขมนั ตามที่รา่งกายต้องการ

เขาทราบวา่วนัหนึ่ง ๆ รา่งกายของเขาต้องการไขมนั 3 หน่วย คารโ์บไฮเดรท 10 หน่วย และโปรตีน 15 หน่วย

และจากการศึกษาขอ้มูลทางการแพทยพ์บวา่ในการรบัประทานเน้ือ 1 หน่วย จะใหไ้ขมนั 4 หน่วย คารโ์บไฮเดรท 3 หน่วย และโปรตีน 4 หน่วย ในการบัประทานผักสด 1 หน่วย จะใหค้ารโ์บไฮเดรทและโปรตีนอยา่งละ 2 และ 3 หน่วย ตามลำาดับ นอกจากน้ีการใชช้วีติประจำาวนัของชายผู้น้ีเขาจะต้องออกกำาลังกายทกุวนั ทำาใหต้้องสญูเสยี

พลังงานในรา่งกายด้วย พบวา่การออกกำาลังกาย 1 ชัว่โมง มผีลทำาใหไ้ขมนัลดไป 3 หน่วย สว่นคารโ์บไฮเดรทและโปรตีน

ถกูลดไปอยา่งละ 1 หน่วย

ดังนัน้ จากขอ้มูลที่ปรากฏใหนั้กศึกษาคำานวณวา่ชายผู้น้ีควรรบัประทานอาหารอยา่งละกี่หน่วยต่อวนั และออก กำาลังกายวนัละกี่ชัว่โมง จงึจะทำาใหร้า่งกายของเขามไีขมนั คารโ์บไฮเดรท และโปรตีนตามต้องการ

ให้ X1 = จำานวนหน่วยของการรบัประทานเน้ือ

X2 = จำานวนหน่วยของการรบัประทานผักสด

X3 = จำานวนชัว่โมงของการออกกำาลังกาย

เราทราบวา่ A x X = Bเนื้อ ผักสด ออกกำาลัง

ไขมนั 4 0 -3 X1 3คารโ์บไฮเดรท 3 2 -1 X2 =

10โปรตีน 4 3 -1 X3 15

1. จดัตัง้ Augmented Matrix (A/B)

X1 X2 X34 0 -3 33 2 -1 10


43

4 3 -1 15


นำาเอา คณูถวนอนท่ี 1

1 0 3 2 -1 104 3 -1 15

–นำาเอา 3 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 2 –และนำาเอา 4 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับ


1 0 0 2 0 3 2 12


44


1 0 0 1 0 3 2 12

นำาเอา -3 คณูแถวนอนที่ 2 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 3

1 0 0 1 0 0

นำาเอา 8 คณูแถวนอนที่ 3

1 00 1 0 0 1 1

2. พจิารณาค่าแรงค์ของ A และ (A/B) จากเมทรกิซส์ดุท้ายจะได้วา่ แรงค์ A = แรงค์ (A/B) = 3 = จำานวนตัวแปร

ดังนัน้ คำาเฉลยมเีพยีงค่าเดียว นัน่คือ

1X1 + 0X2 - =

X2+ = X3 = 3

X2 = - = 2X1 = + (3) = 3

ดังนัน้ชายผู้น้ีจะต้องรบัประทานเนื้อ = 3 หน่วย

ผักสด = 2 หน่วย

ออกกำาลังกาย = 3 ชัว่โมง


45

ตัวอยา่งที่ 5 – ในการแขง่ขนัตอบปัญหาชงิรางวลั ผู้ชนะเลิศจะได้รบัตัว๋เครื่องบนิไปกลับ กรุงเทพฯ ออสเตรเลีย ฟรี จำานวน 2 ที่นัง่ เพื่อรว่มรายการแสวงโชคสกายแล็ป ปรากฏวา่มผีู้ผ่านเขา้รอบชงิชนะเลิศ 3 คน คือ กุ๊ก ก่อง

และ แก้ว ในรอบนี้ทกุคนจะต้องตอบคำาถาม 4 ขอ้ คณะกรรมการจะใหค้ะแนนแต่ละขอ้ ต่อจากนัน้จงึหาคะแนนรวมด้วยวธิกีารถัวเฉล่ียถ่วงนำ้าหนัก

ผลการแขง่ขนัปรากฏดังน้ี กุ๊กได้คะแนน 3, 5, 6, –และ 1 สำาหรบัคำาถามของ 1, 2, 3 และ 4 ตามลำาดับ และคิดเป็นคะแนนรวมทัง้สิน้เท่ากับ 3 คะแนน สำาหรบัก่องได้คะแนนแต่ละคำาถามเรยีงตามลำาดับดังนี้

1, 2, -2, และ 0 –คะแนน คิดเป็นคะแนนรวมทัง้สิน้เท่ากับ 2 คะแนน สำาหรบัแก้วได้คะแนนแต่ละคำาถาม

เรยีงตามลำาดับดังน้ี 5, 8, 14 –และ 2 คะแนน คิดเทียบเป็นคะแนนรวมเท่ากับ 8 คะแนน จงึเป็นผู้ชนะเลิศได้รบัรางวลัดังกล่าว

อยากทราบวา่คณะกรรมการใหน้ำ้าหนักคะแนนแต่ละขอ้อยา่งไรในการคิดคะแนนรวม

ให้ X1 = นำ้าหนักคะแนนของขอ้ 1 และ 0 X1 1 X2= นำ้าหนักคะแนนของขอ้ 2 และ 0 X2 1 X3= นำ้าหนักคะแนนของขอ้ 3 และ 0 X3 1X4 = นำ้าหนักคะแนนของขอ้ 4 และ 0 X4 1

เราทราบวา่ A x X = B1 2 3 4

กุ๊ก 3 5 6 -1 X1 3ก่อง 1 2 -2 0 X2 = -2แก้ว 5 8 14 -2 X3 8

X4

1. จดัตัง้ Augmented Matrix (A/B)X1 X2 X3 X4 3 5 6 -1 3 1 2 -2 0 -2 5 8 14 -2 8


สบัเปล่ียนระหวา่งแถวนอนที่ 1 กับแถวนอนที่ 2

1 2 -2 0 -2


46

3 5 6 -1 3 5 8 14 -2 8

–นำาเอา 3 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 2 –และนำาเอา 5 คณูแถวนอนที่ 1 แล้วบวกกับ


1 2 -2 0 -2 0 1 12 -1 9 0 -2 24 -2 18

นำาเอา -1 คณูแถวนอนที่ 2

1 2 -2 0 -2 0 1 -12 1 -9 0 -2 24 -2 18

นำา เอา 2 คณูแถวนอนที่ 2 แล้วบวกกับแถวนอนที่ 3

1 2 -2 0 -20 1 -12 1 -90 0 0 0 0

3. พจิารณาแรงค์ของ A และ (A/B) จะเหน็วา่จากเมทรกิซส์ดุท้ายแรงค์ A = แรงค์ (A/B) = 2 แต่ไมเ่ท่ากับจำานวนตัวแปร ดังนัน้ระบบสมการเสน้ตรงชุดน้ีมคีำาเฉลยมากกวา่ 1 ค่า นัน่คือ


47

1X1 + 2X2 – 2X3 + 0X4 = -21X2 – 12X3 + X4 = -9 X2 = -9 + 12X2- X4

X1 = -2 - 2X3 + 2X3= -2 – 2(-9 + 12X3 - X4) + 2X3= 16 - 22X3 + 2X4

X3 , X4 = เลขจำานวนจรงิใด ๆ

5. นันซงิกลุาและซงิกลุาเมทรกิซ์ (Nonsingular and Singular Matrices)

นันซงิกลุาและซงิกลุาเมทรกิซ ์ หมายถึง เมทรกิซจ์ตัรุสัที่สามารถหาค่าผกผันได้ หรอืเมทรกิซจ์ตัรุสัท่ีค่าดีเท อรม์นิันท์ของมนัไมเ่ท่ากับศูนย์ และถ้านำาเอาเมทรกิซน้ี์ไปหาค่าแรงค์จะพบวา่ แรงค์ของมนัจะมขีนาดเท่ากับขนาด

ของเมทรกิซจ์ตัรุสันัน้ และระบบสมการที่มี นันซงิกลุาและซงิกลุาเมทรกิซ ์ เป็นสมัประสทิธิข์องตัวแปร จะพบวา่ระบบ

สมการนัน้จะใหค้ำาเฉลยเพยีงค่าเดียว (Unique Solution) เชน่ เมทรกิซ์

A = 1 2 เมทรกิซม์คี่าผกผัน ( A-1) = -3 2 มคี่า

2 3 2 -1

ดีเทอรม์นิันท์ A = (-1) และเมทรกิซส์มัประสทิธิม์คี่าแรงค์เท่ากับสองซึ่งเท่ากับขนาดของเมทรกิซจ์ตัรุสั และ

ถ้าเมทรกิซน้ี์มรีะบบสมการคือ :1X1 + 3X2 = 22X1 + 3X3 = 4

จะได้วา่ X1 = 2X2 = 0 ซึ่งเป็นค่า Unique Solutionซงิกลุาเมทรกิซ ์มลัีกษณะที่ตรงขา้มกับนันซงิกลุาเมทรกิซ ์ นัน่คือเป็นเมทรกิซจ์ตัรุสัที่ไมส่ามารถหาค่าผกผันได้ หรอื

เป็นเมทรกิซจ์ตัรุสัที่ค่าดีเทอรม์นัินท์ของมนัเท่ากับศูนย์ และถ้าเรานำาเอาเมทรกิซน้ี์ไปหาค่าแรงค์ จะพบวา่แรงค์ของ มนัจะมขีนาดน้อยกวา่ขนาดของเมทรกิซจ์ตัรุสันัน้ ๆ และระบบสมการที่มี ซงิกลุาเมทรกิซ ์เป็นสมัประสทิธิข์องตัวแปร

จะพบวา่ระบบสมการนัน้จะใหค้ำาเฉลยที่มค่ีาหลายค่า หรอืไมส่ามารถหาคำาเฉลยได้ เชน่ถ้าเรามรีะบบสมการดังน้ี

1X1 + 2X2 + 4X3 = 22X1 + 1X2 + 6X3 = 14X1 + 5X2 + 14X3 = 5

สมัประสทิธิข์องตัวแปรตามระบบสมการขา้งต้นน้ี จะไมส่ามารถหาค่าผกผันได้ ค่าดีเทอรม์นิันท์เท่ากับศูนย์ และพบวา่เมทรกิซส์มัประสทิธิม์คี่าแรงค์เท่ากับสองซึ่งน้อยกวา่ขนาดของเมทรกิซจ์ตัรุสั และระบบสมการน้ีใหค้ำาเฉลย

มากกวา่หนึ่งค่า (Infinitely Many Solutions)--------------------------------------


48


49

Documents

ภาคผนวก 1 · Web viewภาคผนวก เวคเตอร และ เมทร กซ (Vectors and Matrices) คำนำ เวคเตอร และเมทร