ฟิสิกส์ เล่ม บทที่ ก รเคลื่อนที่แนวตรง 2 · ฟิสิกส์ เล่ม 1 บทที่ 2 ก รเคลื่อนที่แนวตรง

ในชวตประจำ�วน เร�พบเหนก�รเคลอนทของวตถต�งๆ เชนคนเดนรถจกรย�นหรอรถยนต วงบนถนน เมอพจ�รณ�เสนท�งก�รเคลอนทของวตถดงกล�วจะพบว� เสนท�งก�รเคลอนทอ�จเปน แนวตรงแนวโคงหรอมรปแบบทซบซอนกว�นนก�รเคลอนทแนวตรงเปนก�รเคลอนททง�ยตอก�รศกษ�ทำ�คว�มเข�ใจในบทนเร�จงศกษ�ปรม�ณต�งๆทเกยวของกบก�รเคลอนทจ�กก�รเคลอนทแนวตรง เพอเปนพนฐ�นในก�รศกษ�ก�รเคลอนทลกษณะอนๆตอไป

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย

35ฟสกส เลม 1 บทท 2 | การเคลอนทแนวตรง

การเคลอนทแนวตรง2บทท

goo.gl/GQk7rb

สงวนส

ทธโดย

สสวท

. หามเผย

แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.1 ตำาแหนง 1. อธบ�ยก�รระบตำ�แหนงของวตถ

2.2 การกระจดและระยะทาง 2. อธบ�ยและคำ�นวณก�รกระจดและระยะท�งก�รเคลอนทของวตถ

2.3 อตราเรวและความเรว 3. อธบ�ยและคำ�นวณอตร�เรวเฉลยอตร�เรวขณะหนงคว�มเรวเฉลยและคว�มเรวขณะหนง ของวตถ 4. ทดลองห�ขน�ดคว�มเรวเฉลยและขน�ดคว�มเรวขณะหนงของวตถ

2.4 ความเรง 5. อธบ�ยและคำ�นวณคว�มเรงเฉลยคว�มเรงขณะหนงของวตถ

2.5 กราฟของการเคลอนทแนวตรง 6. อธบ�ยและคำ�นวณปรม�ณทเกยวของกบก�รเคลอนทแนวตรงของวตถจ�กกร�ฟตำ�แหนง กบเวล� 7. อธบ�ยและคำ�นวณปรม�ณทเกยวของกบก�รเคลอนทแนวตรงของวตถจ�กกร�ฟคว�มเรว กบเวล� 8. อธบ�ยและคำ�นวณปรม�ณทเกยวของกบก�รเคลอนทแนวตรงของวตถจ�กกร�ฟคว�มเรง กบเวล�

2.6 สมการสำาหรบการเคลอนทแนวตรง 9. อธบ�ยและคำ�นวณปรม�ณทเกยวของกบก�รเคลอนทแนวตรงดวยคว�มเรวคงตว 10.อธบ�ยและคำ�นวณปรม�ณทเกยวของกบก�รเคลอนทแนวตรงดวยคว�มเรงคงตว

●ปรม�ณทเกยวของกบก�รเคลอนทแนวตรงมอะไรบ�งและมคว�มสมพนธกนอย�งไร ●คว�มรเกยวกบก�รเคลอนทแนวตรงส�ม�รถนำ�ไปประยกตใชในชวตประจำ�วนไดอย�งไร

คำาถามสำาคญ

จดประสงคการเรยนร

36


ฟสกส เลม 1บทท 2 | การเคลอนทแนวตรง

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

แขนงหนงของวช�ฟสกสทเกยวของกบก�รเคลอนทและแรงทกระทำ�ตอวตถ คอกลศาสตร (mechanics)ซงยงแบงออกเปนจลนศาสตร (kinematics) เปนก�รศกษ�ลกษณะก�รเคลอนทของวตถโดยยงไมสนใจว�แรงหรอปจจยททำ�ใหวตถมก�รเคลอนทเชนนนและพลศาสตร (dynamics) เปนก�รศกษ�เกยวกบแรงและปจจยททำ�ใหวตถมลกษณะก�รเคลอนทเชนนน

ในบทนจะไดศกษ�เกยวกบจลนศ�สตรโดยจะเนนเฉพ�ะการเคลอนทแนวตรง (linear motion) หรอเรยกอกอย�งหนงว�การเคลอนทในหนงมต (one-dimensional motion) เชนรถไฟทแลนบน ร�งตรงซงเปนก�รเคลอนทในแนวระดบก�รตกของกอนหนซงเปนก�รเคลอนทในแนวดงหรอก�รกลงของลกบอลลงต�มพนเอยงซงเปนก�รเคลอนทต�มแนวล�ดเอยง เปนตนจะสงเกตไดว�ก�รเคลอนท ดงกล�วข�งตนมลกษณะเปนแนวตรง

2.1 ตำาแหนง

ในก�รอธบ�ยก�รเคลอนทของวตถใดๆ เร�จำ�เปนตองระบตำาแหนง (position) ของวตถ ณเวล�หนงๆในก�รระบตำ�แหนงของวตถจะเทยบกบตำ�แหนงอ�งองหนงเชนระบตำ�แหนงของรถโดยใชเส�ไฟฟ�ตนหนงเปนตำ�แหนงอ�งองและกำ�หนดแกนพกดเพอใชในก�รบอกตำ�แหนงและทศท�ง

ขอสงเกต

ในก�รระบตำ�แหนงของวตถในเบองตนเร�จะมองว�วตถนนเปนจดแมว�เร�จะไมไดว�ดรปวตถใหเปนจดกต�ม

2.7 การตกแบบเสร 11.อธบ�ยและคำ�นวณปรม�ณทเกยวของกบก�รตกแบบเสร 12.ทดลองห�ค�คว�มเรงโนมถวงของโลก

ความรกอนเรยน

ตำ�แหนงระยะท�งก�รกระจดอตร�เรวคว�มเรว



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

1.จ�กรป2.1ถ�ใชเส�ไฟฟ�ตนทสองเปนตำ�แหนงอ�งองจงระบตำ�แหนงของรถยนตและคน 2.จ�กรป2.1ถ�ใชคนเปนตำ�แหนงอ�งองจงระบตำ�แหนงของรถยนต

คำาถามตรวจสอบความเขาใจ 2.1

เส�ไฟฟ�ตนทหนง เส�ไฟฟ�ตนทสอง

รป 2.1 การระบตำาแหนงของรถยนตและคน

สำ�หรบก�รเคลอนทแนวตรง เร�นยมใชแกน x ในก�รอธบ�ยก�รเคลอนทในแนวระดบ และใชแกนyในก�รอธบ�ยก�รเคลอนทในแนวดง

จ�กรป2.1เร�จะพจ�รณ�ตำ�แหนงของวตถในแนวระดบ จงใชพกดบนแกนx เพอระบตำ�แหนงของวตถต�งๆและใชสญลกษณxแทนเวกเตอรตำ�แหนงของวตถเร�ใชเส�ไฟฟ�ตนทหนงเปนตำ�แหนงอ�งองและเลอกใหเปนตำ�แหนง 0x = จะไดว�รถยนตอยห�งจ�กเส�ไฟฟ�ตนทหนงเปนระยะท�ง

4 เมตรหรออยทตำ�แหนงx 4mx = +

เครองหม�ยบวกเปนก�รบอกทศท�งของรถยนตว�อยท�ง ด�นขว�เมอเทยบกบตำ�แหนงอ�งองคออยท�งด�นขว�ของเส�ไฟฟ�ตนทหนงหรออยท�งขว�ของตำ�แหนง 0x = สวนคนอยท�งด�นซ�ยของเส�ไฟฟ�ตนทหนงหรออยท�งซ�ยของตำ�แหนง 0x = จงตองระบตำ�แหนงเปน 2mx = − ในกรณนห�กเร�ไมใสเครองหม�ยลบกจะเกดคว�มผดพล�ดใน ก�รระบตำ�แหนงไดนนคอในก�รระบตำ�แหนงจะตองบอกทงระยะห�งจ�กตำ�แหนงอ�งองและทศท�งเทยบกบตำ�แหนงอ�งองดงนนก�รระบตำ�แหนงจงเปนก�รบอกดวยปรม�ณเวกเตอร

ในกรณทเปนก�รเคลอนทแนวตรง อ�จไมเขยนลกศรเวกเตอรเหนอตวแปร เชน 4mx = + อ�จเขยนเปน 4mx = + และ 2mx = − อ�จเขยนเปน 2mx = −

38



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.2 การกระจดและระยะทาง เมอวตถมก�รเคลอนท ตำ�แหนงของวตถกจะเปลยนไป ในก�รศกษ�ก�รเคลอนทของวตถ เร�จงตองระบตำ�แหนงของวตถณเวล�ต�งๆโดยทวไปเร�จะกำ�หนดใหเวล�เรมตนเปน 0=t และพจ�รณ�ก�รเคลอนทของวตถหลงจ�กนนนนคอจะพจ�รณ�เฉพ�ะเวล�ทมค�เปนบวกเท�นน

รป 2.2 การเคลอนทของรถยนตในแนวตรง

พจ�รณ�ก�รเคลอนทของรถในรป2.2 ณเวล�เรมตน( 0=t )รถอยทตำ�แหนง(0) 4mx = + ตอม�เคลอนทไปอยทตำ�แหนง (1) 8mx = + ณเวล� 1st = และถอยหลงทนทม�อยทตำ�แหนง (3) 8mx = −ณเวล� 3 s=t

ความรเพมเตม

เนองจ�กตำ�แหนงของรถเปลยนแปลงไปต�มเวล�หรอตำ�แหนงของรถ(x)เปนฟงกชนกบเวล�(t) เร�จงเขยนเปน ( )x t โดยอ�จละหนวยของเวล�ซงปกตคอวน�ทไดเชน ( 1s) 8mx t = = + หรอเขยนอย�งยอว� (1) 8mx = + หม�ยคว�มว�ณเวล� 1 s=t วตถอยทตำ�แหนง 8mx = +



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ก�รกระจดของวตถในแนวแกนxในชวงเวล�ดงกล�วเขยนแทนดวย

( ) ( )f ix x t x t∆ = − หรอ f ix x x∆ = − (2.1)

ปรม�ณท�งฟสกสอกปรม�ณหนงทมคว�มเกยวของกบก�รกระจดคอระยะทาง (distance) d ซงเปนปรม�ณสเกล�รทแสดงถงคว�มย�วตลอดเสนท�งก�รเคลอนทของวตถจ�กตำ�แหนงหนงไปยงอกตำ�แหนงหนงหนวยในระบบเอสไอของระยะท�งคอ เมตร (m) เชนเดยวกบก�รกระจดก�รกระจดและระยะท�งมคว�มเกยวของกนอย�งไรนกเรยนจะไดศกษ�จ�กตวอย�ง2.1

ตวอยาง 2.1 จงห�ก�รกระจดและระยะท�งทเคลอนทไดของรถยนตในรป2.2ในชวงเวล�ตอไปน

ก. เวล�t = 1.0 sถงt = 3.0 s

ข. เวล�t = 0.0 ถงt = 3.0 s

ก. แนวคดก�รกระจดเปนปรม�ณเวกเตอร ขน�ดของก�รกระจดคอระยะห�งระหว�งตำ�แหนงสดท�ยกบ ตำ�แหนงเรมตนทศของก�รกระจดคอทศของเวกเตอรทชจ�กตำ�แหนงเรมตนไปยงตำ�แหนง สดท�ยสวนระยะท�งเปนปรม�ณสเกล�รมค�เท�กบคว�มย�วตลอดเสนท�งก�รเคลอนท ของวตถ

รป 2.3 แผนภาพแสดงการกระจด

(m)x− (m)x+

0-4-8-12 4 8 12

ตำแหนง , i ix t ตำแหนง , f fx t

( )ix t

( )fx t

( ) ( )f ix x t x t∆ = −

ปรม�ณท�งฟสกสทบอกถงก�รเปลยนตำ�เเหนงของรถยนตนคอการกระจด (displacement)ในกรณก�รเคลอนทแนวตรงใชสญลกษณ x∆ แทนก�รกระจด ก�รพจ�รณ�ก�รกระจดของวตถจะตองระบตำ�แหนงเรมตนและตำ�แหนงสดท�ยในชวงเวล�ทพจ�รณ�หนวยในระบบเอสไอของก�รกระจด คอเมตร(m)เชนถ�ณเวล�เรมตน it วตถอยทตำ�แหนง ix ตอม�ณเวล�สดท�ย ft วตถอยทตำ�แหนง fx ดงรป2.3

40



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ระยะท�งในชวงเวล� t = 1.0 s ถงt = 3.0 sเท�กบ d =ระยะท�งในชวงเวล�t = 1.0 sถงt = 3.0 s = 16 m

นนคอระยะท�งทรถยนตเคลอนทไดในชวงเวล�t = 1.0 s ถงt = 3.0 s คอคว�มย�วของเสนท�ง ตงแตตำ�แหนง x(1.0) = +8 mถงตำ�แหนงx( . )3 0 8= − mซงมคว�มย�วทงสน16เมตรตอบ ก�รกระจดมค�เท�กบ เมตรระยะท�งมค�เท�กบ16เมตร

ข. แนวคด เชนเดยวกบแนวคดในขอกวธทำา ก�รกระจดในชวงเวล� t = 0 0. ถงt = 3.0 s f ix x x∆ = − (3.0) (0)

( 8 m) ( 4 m)12 m

x x= −= − − += −

รป ประกอบวธทำาสำาหรบตวอยาง 2.1 ก.

วธทำา ก�รกระจดในชวงเวล�t = 1.0 s ถงt = 3.0 s เท�กบ

f ix x x∆ = − (3.0) (1.0)

( 8 m) ( 8 m)16 m

x x= −= − − += −

นนคอเมอสนวน�ทท3รถยนตเคลอนทไปอยในตำ�แหนงทห�งจ�กตำ�แหนงณเวล�t = 1.0 s เท�กบ16เมตรโดยอยท�งซ�ยของตำ�แหนงณเวล�t = 1.0 s ส�ม�รถเขยนเปนแผนภ�พ เวกเตอรไดดงรป



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จ�กตวอย�ง2.1 ในก�รแทนค�ตวเลขลงในสมก�ร(2.1)เร�ไดใสเครองหม�ยบวกเพอแสดงถงทศท�งของเวกเตอรตำ�แหนงนนๆดวยทงนเพอยำ�เตอนว�ปรม�ณทเร�กำ�ลงพจ�รณ�อยนนเปนปรม�ณ เวกเตอร

นอกจ�กน จะสงเกตเหนว� ระยะท�งอ�จมค�เท�กบขน�ดของก�รกระจดหรอไมกได ในกรณทวตถเคลอนทเปนเสนตรงในทศท�งเดยวเชนในตวอย�ง2.1ก.ระยะท�งมค�เท�กบขน�ดของก�รกระจดแตในกรณทวตถมก�รเปลยนทศในระหว�งก�รเคลอนทแมจะเปนก�รเคลอนทแนวตรงเชนในตวอย�ง2.1 ข.ระยะท�งกไมเท�กบขน�ดของก�รกระจด

ระยะท�งในชวงเวล�t = 0.0 ถงt = 3.0 s เท�กบ d =(ระยะท�งในชวงt = 0.0 ถงt = 1.0 s)+(ระยะท�งในชวงt = 1.0 sถงt = 3 .0 s)

(4 m) (16 m)20 m

= +=

นนคอระยะท�งทรถยนตเคลอนทไดในชวงเวล�t = 0.0ถงt = 3.0 sคอคว�มย�วของเสนท�ง ตงแตตำ�แหนงx( . )0 0 4= + mถงx( . )1 0 = +8 mคดเปน4เมตรบวกกบคว�มย�วของเสนท�ง ตงแต x( . )1 0 = +8 mถง x(3.0) = −8 mคดเปน16 เมตรดงนนระยะท�งทรถยนตเคลอนท ไดทงหมดจงเท�กบ20เมตร

ตอบ ก�รกระจดมค�เท�กบ เมตรระยะท�งมค�เท�กบ20เมตร

ส�ม�รถเขยนเปนแผนภ�พไดดงรป

รป ประกอบวธทำาสำาหรบตวอยาง 2.1 ข.

ส�ม�รถเขยนเปนแผนภ�พเวกเตอรไดดงรป


t = 0 0.

42



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

1. เครองหม�ยบวกของก�รกระจดหม�ยถงอะไร 2.ก�รกระจดเกยวของกบตำ�แหนงอย�งไร 3.ก�รกระจดและระยะท�งแตกต�งกนอย�งไร 4. เพร�ะเหตใดในกรณทมก�รเคลอนทกลบทศท�งระยะท�งก�รเคลอนทและขน�ดก�รกระจด มค�ไมเท�กน 5. เพร�ะเหตใดในก�รห�ระยะท�งก�รเคลอนทของวตถส�ม�รถนำ�ค�ทไดม�บวกกนถงแมว� ในชวงหลงของก�รเคลอนทจะมก�รเคลอนทกลบทศท�ง


จงห�ก�รกระจดและระยะท�งทเคลอนทไดของรถยนตดงรปในชวงเวล�ตอไปน ก. เวล�t = 1 s ถงt = 3 s ข. เวล�t = 0 ถงt = 3 s

แบบฝกหด 2.2

รป การเคลอนทของรถยนตในแนวตรง



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.3 อตราเรวและความเรว ในก�รเปรยบเทยบก�รเคลอนทของวตถสองวตถจ�กตำ�แหนงหนงไปยงอกตำ�แหนงหนงวตถทงสองอ�จใชเวล�ในก�รเคลอนทไมเท�กนปรม�ณทใชบอกว�วตถใดเคลอนทเรวหรอช�กว�กน คออตราเรว (speed) แทนระยะท�งในหนงหนวยเวล�และความเรว (velocity) แทนก�รกระจดในหนงหนวยเวล�ซงจะไดศกษ�ตอไป 2.3.1 อตราเรวเฉลยและความเรวเฉลย อตราเรวเฉลย (average speed)คออตร�สวนระหว�งระยะท�งทวตถเคลอนทไดตอชวงเวล�ทใชในก�รเคลอนทหนวยในระบบเอสไอของอตร�เรวเฉลยคอ เมตรตอวน�ท (m/s) เร�นยมใชสญลกษณv แทนอตร�เรวและใชสญลกษณ avv แทนอตร�เรวเฉลย

อตร�เรวเฉลย= ระยะท�งทวตถเคลอนทได av

dvt

=∆

(2.2)

โดย f it t t∆ = −

เนองจ�กระยะท�ง (d) และชวงเวล� ( t∆ ) เปนปรม�ณสเกล�ร อตร�เรวเฉลยจงเปนปรม�ณสเกล�รเชนกน อตร�เรวเฉลยบอกใหเร�รว�วตถเคลอนทเรวแคไหน แตไมไดบอกใหเร�รว�วตถนนกำ�ลงเคลอนทไปในทศท�งใด ปรม�ณท�งฟสกสทบอกใหรว�วตถเคลอนทเรวหรอช�เท�ใดและบอกใหทร�บทศท�งก�รเคลอนทของวตถกคอความเรวเฉลย (average velocity)ซงเท�กบอตร�สวนระหว�งก�ร กระจดทวตถเคลอนทไดตอชวงเวล�ทใชในก�รเคลอนทคว�มเรวเฉลยมทศเดยวกบก�รกระจดและมหนวยในระบบเอสไอคอเมตรตอวน�ท(m/s)เชนเดยวกบอตร�เรวเฉลยเร�นยมใชสญลกษณ avv แทนเวกเตอรคว�มเรวเฉลยและใชสญลกษณ ,avxv เพอแสดงว�เปนคว�มเรวเฉลยในแนวแกนx(ในทำ�นองเดยวกนเร�ใช ,avyv เพอแทนคว�มเรวเฉลยในแนวแกนy)

คว�มเรวเฉลย=ก�รกระจดทวตถเคลอนทได ดงนนคว�มเรวเฉลยในแนวแกนxจะได

,avxxvt

∆=∆

ในกรณก�รเคลอนทแนวตรง อ�จไมเขยนลกศรเวกเตอรเหนอตวแปร เชนเดยวกบกรณของ ก�รกระจดนนคอสมก�รทไดนเขยนใหมไดเปน

,avxxvt

∆=∆

(2.3)

ชวงเวล�ทใช


44



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ตวอยาง 2.2 จงห�อตร�เรวเฉลยและคว�มเรวเฉลยของรถยนตจ�กตวอย�ง2.1ในชวงเวล�ตอไปน

ก. เวล�t = 1.0 s ถงt = 3.0 s ข. เวล�t = 0.0 ถงt = 3.0 s

ก. แนวคดอตร�เรวเฉลยห�จ�กอตร�สวนระหว�งระยะท�งทวตถเคลอนทไดตอชวงเวล�ทใชใน ก�รเคลอนทสวนคว�มเรวเฉลยห�จ�กอตร�สวนระหว�งก�รกระจดทวตถเคลอนทไดตอชวง เวล�ทใชในก�รเคลอนท

วธทำา จ�กตวอย�ง 2.1 ก. ระยะท�งและก�รกระจดในชวงเวล� t = 1.0 s ถง t = 3.0 s คอ d =16 mและ x ต�มลำ�ดบดงนนอตร�เรวเฉลยเท�กบ

vt

=

ดงนนอตร�เรวเฉลยในชวงเวล�t = 1.0 s ถงt = 3.0 sเท�กบ8เมตรตอวน�ทและคว�มเรว เฉลยในแนวแกนxเท�กบ

vxtav

m

s

=

=−−

= −

16

3 0 1 0

8 0

. .

.

s

m/s

ดงนน ในชวงเวล� t = 1.0 s ถง t = 3.0 s คว�มเรวเฉลยในแนวแกนx เท�กบ_8.0 เมตร ตอวน�ท

ตอบ อตร�เรวเฉลยมค�เท�กบ 8.0 เมตรตอวน�ท และคว�มเรวเฉลยในแนวแกน x มขน�ดเท�กบ 8.0เมตรตอวน�ทและมทศไปท�งซ�ย


ก�รห�ขน�ดของคว�มเรวเฉลยในกรณก�รเคลอนทแนวตรงใหพจ�รณ�จ�กค�คว�มเรวเฉลย แตไมตองนำ�เครองหม�ยม�พจ�รณ�ในกรณตวอย�ง2.2ก.นขน�ดของคว�มเรวเฉลย(8.0 เมตรตอวน�ท)เท�กบอตร�เรวเฉลย(8.0เมตรตอวน�ท)



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ข. แนวคดเชนเดยวกบขอก

วธทำา จ�กตวอย�ง2.1ข.ระยะท�งและก�รกระจดในชวงเวล�t = 0 ถงt = 3.0 sคอd = 20.0 m และ 12.0 mx∆ = − ต�มลำ�ดบดงนนอตร�เรวเฉลยเท�กบ

t.

จ�กตวอย�ง2.1และ2.2สรปไดว�เมอวตถเคลอนทกลบทศในชวงเวล�ทพจ�รณ�ขน�ดของก�ร กระจดจะมค�นอยกว�หรอเท�กบระยะท�งและขน�ดของคว�มเรวเฉลยมค�นอยกว�หรอเท�กบอตร�เรวเฉลย

ดงนน อตร�เรวเฉลยในชวงเวล�t = 0 s ถงt = 3.0 s เท�กบ6.7เมตรตอวน�ท และคว�มเรวเฉลยในแนวแกนxเท�กบ

ดงนนในชวงเวล�t = 0 s ถงt = 3.0 s คว�มเรวเฉลยในแนวแกนxเท�กบ เมตรตอวน�ท

ตอบ อตร�เรวเฉลยมค�เท�กบ 6.7 เมตรตอวน�ท และคว�มเรวเฉลย มขน�ดเท�กบ 4.0 เมตร ตอวน�ทและมทศไปท�งซ�ย


ในกรณนขน�ดของคว�มเรวเฉลย(4.0เมตรตอวน�ท)ไมเท�กบอตร�เรวเฉลย(6.7เมตรตอวน�ท)

46



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ตวอยาง 2.3 อนภ�คหนงเคลอนทในแนวตรงจ�กจด A ไปยงจด B ดวยอตร�เรวเฉลย 10.0 เมตร ตอวน�ทเปนเวล�10.0วน�ทและเคลอนทตอจ�กจดBไปยงจดCดวยอตร�เรวเฉลย15.0เมตรตอวน�ทเปนเวล�5.0วน�ทจงห� ก. ระยะท�งทอนภ�คเคลอนทไดจ�กจดAไปยงจดC ข. อตร�เรวเฉลยตลอดก�รเคลอนทจ�กจดAไปยงจดC

ก. แนวคดระยะท�งมค�เท�กบคว�มย�วตลอดเสนท�งก�รเคลอนทของวตถ ระยะท�งจ�กจด A ไปยง จดCจงห�จ�กผลรวมของระยะท�งจ�กจดAไปยงจดBกบระยะท�งจ�กจดBไปยงจดC วธทำา เมอโจทยกำ�หนดอตร�เรวเฉลยม�ใหเร�ส�ม�รถคำ�นวณระยะท�งไดจ�กนย�มของอตร�เรวเฉลย

avdvt

=∆

ดงนน avd v t= ∆

ระยะท�งจ�กAไปB =(ระยะท�งจ�กAไปB)+(ระยะท�งจ�กBไปC)

v t v tav AB av BC


ในกรณทวไป"อตร�เรว"และ"คว�มเรว"อ�จมคว�มหม�ยไมแตกต�งกนและใชแทนกนไดแตในวช�ฟสกส"อตร�เรว"และ"คว�มเรว"เปนสองปรม�ณทแตกต�งกนอย�งสนเชงอตราเรวเปนปรมาณสเกลารสวนความเรวเปนปรมาณเวกเตอรจงควรระมดระวงในก�รใชคำ�ทงสองนในก�รสอคว�มหม�ยท�งฟสกส

ตอบ ระยะท�งทอนภ�คเคลอนทไดจ�กจดAไปยงจดCเท�กบ175เมตร



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.3.2 อตราเรวขณะหนงและความเรวขณะหนง แมว�อตร�เรวเฉลยหรอคว�มเรวเฉลยจะมประโยชนในชวตประจำ�วนในก�รใชเปรยบเทยบว� สงใดเคลอนทไดเรวหรอช�กว�กนเชนในก�รแขงขนวง100เมตรถ�อตร�เรวเฉลยของวไลและสธเท�กบ8 เมตรตอวน�ทและ10 เมตรตอวน�ทต�มลำ�ดบ เร�บอกไมไดว�สธวงเรวกว�วไลในทกขณะตลอด เสนท�ง100เมตรในบ�งขณะวไลอ�จวงไดเรวกว�สธกไดเพยงแตเมอคดตลอดเสนท�งแลวสธใชเวล�นอยกว�จงมอตร�เรวเฉลยม�กกว�วไลปรม�ณท�งฟสกสทบอกถงคว�มเรวของวตถในแตละขณะกคอความเรวขณะหนง (instantaneous velocity)ซงเปนคว�มเรวของวตถณเวล�ขณะหนงๆระหว�ง ก�รเคลอนท

ข. แนวคดอตร�เรวเฉลยห�จ�กอตร�สวนระหว�งระยะท�งท วตถเคลอนทไดตอชวงเวล�ทใชใน ก�รเคลอนทจงใชระยะท�งจ�กจดAไปยงจดC วธทำา จ�ก อตร�เรวเฉลย=ระยะท�งทวตถเคลอนทได

ACav

175 m15.0 s11.67 m/s

dvt

=∆

=

=


ตอบ อตร�เรวเฉลยตลอดก�รเคลอนทจ�กจดAไปยงจดCเท�กบ11.7เมตรตอวน�ท

ขอควรระวง

เนองจ�กโจทยกำ�หนดอตร�เรวเฉลยม�ให2ค�บ�งคนอ�จนำ�ค�อตร�เรวเฉลยทงสองนม�บวกกนแลวห�รดวยสองเนองจ�กคนเคยกบก�รห�ค�เฉลยเมอกำ�หนดตวเลขม�ใหสองจำ�นวนเชน (10.0m/s +15.0m/s)

2ซงจะเท�กบ12.5 m/sทำ�ใหไดคำ�ตอบทผดก�รห�อตร�เรวเฉลยจงไม

ส�ม�รถห�ไดดวยวธก�รห�ค�เฉลยทวไปเนองจ�กอตร�เรวเฉลยในวช�ฟสกสมคว�มหม�ยเฉพ�ะ(ไมใชก�รนำ�เอ�ค�อตร�เรวม�ห�ค�เฉลย) ซงมนย�มคอ อตร�สวนระหว�งระยะท�งทวตถเคลอนทไดกบชวงเวล�ทใชในก�รเคลอนททำ�นองเดยวกนก�รห�ขน�ดคว�มเรวเฉลยจะตองไมใชวธก�รห�ค�เฉลยทวไปนอกจ�กนในเรองคว�มเรวตองคำ�นงถงทศดวย

48



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

คว�มเรวขณะหนงเปนปรม�ณเวกเตอรนย�มโดยก�รพจ�รณ�คว�มเรวเฉลยในชวงเวล� t∆ ทสนม�กๆจนเกอบจะเปนศนยถอไดว�เปนคว�มเรวณขณะนน ค�ทไดกจะเปนคว�มเรวขณะหนง สวนทศของคว�มเรวขณะหนงพจ�รณ�จ�กทศของก�รกระจดในชวงเวล�ทสนม�กๆนน

เมอตองก�รกล�วถงคว�มเรวขณะหนงส�ม�รถกล�วเพยงแคความเรวโดยไมมคำ�ว�ขณะหนง กเข�ใจไดว�เปน"คว�มเรวขณะหนง"แตเมอตองก�รกล�วถงความเรวเฉลยหรออตราเรวเฉลยกตองระบใหครบถวนเพอใหเกดคว�มชดเจนและส�ม�รถแยกคว�มแตกต�งระหว�งความเรวขณะหนงกบความเรวเฉลยได

อกปรม�ณหนงทสมพนธกบคว�มเรวขณะหนงกคออตราเรวขณะหนง(instantaneous speed) ซงเปนปรม�ณสเกล�รมค�เท�กบขน�ดของคว�มเรวขณะหนงก�รวดอตร�เรวขณะหนงทพบเหนไดในชวตประจำ�วน คอม�ตรวดอตร�เรวบนหน�ปดรถยนตดงรป2.4อตร�เรวเฉลยเท�กบ8กโลเมตร ตอชวโมงในขณะทอตร�เรวขณะหนงเท�กบ50กโลเมตรตอชวโมง

เร�ทร�บอตร�เรวของย�นพ�หนะต�งๆทเคลอนทโดยดจ�กเครองวดอตร�เรวทตดตงอยกบย�นพ�หนะนนซงเปนอตร�เรวขณะหนง ถ�เปนก�รเคลอนทของวตถอนๆซงไมมเครองวดอตร�เรว ตดตงอยเชนคนวงผลไมหลนจ�กตนลกบอลกลงไปในสน�มเร�ห�อตร�เรวเฉลยไดโดยวดระยะท�งและใชน�ฬก�จบเวล�ของก�รเคลอนท

อตราเรวขณะหนง

อตราเรวเฉลย

รป 2.4 มาตรอตราเรวบนหนาปดรถยนต

สำ�หรบก�รห�อตร�เรวในกจกรรมต�งๆของวช�ฟสกส มก�รใชเครองเคาะสญญาณเวลา (ticker timer)ซงมหลกก�รทำ�ง�นดงปร�กฏในกรอบคว�มรเพมเตมสวนก�รนำ�ไปใชในก�รห�อตร�เรวศกษ�ไดจ�กกจกรรมตอไปน



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จดประสงค ห�ขน�ดของคว�มเรวเฉลยและขน�ดของคว�มเรวขณะหนงของรถทดลอง วสดและอปกรณ 1. เครองเค�ะสญญ�ณเวล� 1ชด 2. รถทดลอง 1คน 3. แถบกระด�ษ 3แถบ 4. ลวดหนบกระด�ษ(หรอกระด�ษก�ว) 1อน 5. ไมบรรทด 1อน 6. หมอแปลงโวลตตำ� 1เครอง 7. ส�ยไฟ 2เสน

กจกรรม 2.1 การทดลองเรองการหาขนาดของความเรวเฉลยและขนาดของความเรวขณะหนง

ความรเพมเตม หลกการทำางานของเครองเคาะสญญาณเวลา

เครองเค�ะสญญ�ณเวล�เปนอปกรณทใชห�อตร�เรวของวตถเมอตอเครองเค�ะสญญ�ณเวล�เข�กบคว�มต�งศกย4 – 6โวลตของหมอแปลงโวลตตำ�จะทำ�ใหคนเค�ะสนดวยคว�มถเท�กบคว�มถของไฟฟ�กระแสสลบทใชคอ50ครงตอวน�ทเมอดงแถบกระด�ษทสอดใตกระด�ษค�รบอนจะทำ�ใหเกดจดต�งๆ เรยงกนบนแถบกระด�ษ จดเหล�น ชวยใหทร�บระยะท�งกบเวล�ทใชในก�รเคลอนทเพร�ะเวล�ระหว�งจด2จดทเรยงกนเท�กบ1/50

วน�ทขอมลเวล�และระยะท�งชวยใหวเคร�ะหห�อตร�เรวไดแถบกระด�ษทผ�นเครองเค�ะสญญ�ณเวล�จะมลกษณะดงรปด�นล�งโดยจดแตละจดมชวงเวล�ทห�งกน1/50 วน�ท

รป เครองเคาะสญญาณเวลา

50



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

วธทำากจกรรรม 1. ตอเครองเค�ะสญญ�ณเวล�กบหมอแปลงโวลตตำ�ทมคว�มต�งศกย4-6โวลต 2. ตดปล�ยหนงของแถบกระด�ษกบรถทดลองโดยใชลวดหนบกระด�ษยดไวสอดอกปล�ย ของแถบกระด�ษผ�นใตกระด�ษค�รบอนของเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ดงรป

3. เปดสวตชหมอแปลงโวลตตำ�ผลกรถทดลองใหเคลอนทซงจะดงแถบกระด�ษผ�น คนเค�ะของเครองเค�ะสญญ�ณเวล� 4. เลอกจดเรมตนและจดสดท�ยบนแถบกระด�ษทส�ม�รถวดระยะท�งไดสะดวก(ม�กกว� 7จด) 5. ห�ขน�ดของคว�มเรวเฉลยระหว�งจดทเลอกใชในขอ4 6. ห�ขน�ดของคว�มเรวขณะหนงทเวล� 5 s

50=t

รป แถบกระดาษผานเครองเคาะสญญาณเวลา

คำาถามทายกจกรรม

ระยะห�งระหว�งจดเรมตนและจดสดท�ยเปนเท�ใดและมกชวงจด ชวงเวล�ระหว�งจดเรมตนและจดสดท�ยเปนเท�ใด ขน�ดของคว�มเรวเฉลยของรถทดลองในชวงดงกล�วเปนเท�ใด ระยะห�งระหว�งจดท4และจดท6จ�กจดเรมตนเปนเท�ใดและมกชวงจด ชวงเวล�ระหว�งจดท4และจดท6จ�กจดเรมตนเปนเท�ใด ขน�ดของคว�มเรวขณะหนงของรถทดลองทเวล� 5 s

50=t เปนเท�ใด



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จ�กกจกรรม2.1หลงจ�กตดปล�ยแถบกระด�ษข�งหนงกบวตถแลวสอดปล�ยแถบกระด�ษอกข�งหนงเข�ไปใตแผนกระด�ษค�รบอนเมอวตถเคลอนทกจะดงแถบกระด�ษใหเคลอนทผ�นคนเค�ะเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ไปดวยอตร�เรวเท�กบวตถทำ�ใหปร�กฏจดเรยงกนเปนระยะบนแถบกระด�ษ ดงรป2.5 จ�กก�รนบจำ�นวนชวงจดจ�กจดเรมตนถงจดสดท�ยทนำ�ม�พจ�รณ�กจะส�ม�รถทร�บชวงเวล�ทงหมดของก�รเคลอนทไดโดยระยะท�งก�รเคลอนทนนวดจ�กจดเรมตนถงจดสดท�ยของชวงดงกล�ว

ก�รวเคร�ะหแถบกระด�ษเพอห�ขน�ดของคว�มเรวเฉลยของก�รเคลอนทของวตถทำ�ไดดงน เร�จะใชจดทเรมวดระยะท�งไดสะดวกเปนจดเรมตนจบเวล�โดยถอว�ณตำ�แหนงนนt = 0 จ�ก รป 2.5กำ�หนดใหAเปนจดเรมตนจบเวล�และBเปนจดสนสดก�รจบเวล�เนองจ�กเปนก�รเคลอนท แนวตรงโดยไมมก�รกลบทศขน�ดของก�รกระจดจ�กAถงBมค�เท�กบระยะท�งของก�รเคลอนทจ�กA ถงB ถ�ใชไมบรรทดวดระยะท�งชวงนได10.00 เซนตเมตรชวงเวล�ทงหมดในก�รเคลอนทจ�กA ไปBห�ไดจ�กจำ�นวนชวงจดระหว�งAถงBซงในทนมจำ�นวน8ชวงจดดงนนจะไดชวงเวล�ของก�รเคลอนทจ�กAถงBเปน8/50วน�ท

,av

0.1000m8 s50

0.6250m/s

xxvt

ABt

∆=∆

=∆

=

=

ขน�ดของคว�มเรวเฉลยระหว�งจดABมค�เท�กบ62.50เซนตเมตรตอวน�ทหรอ0.6250 เมตรตอวน�ท

รป 2.5 ตวอยางแถบกระดาษและการหาขนาดของความเรวขณะหนง

52



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ถ�ตองก�รห�ขน�ดของคว�มเรวณจดใดจดหนงจะทำ�ไดโดยใชวธก�รห�ขน�ดของคว�มเรวเฉลยในชวงเวล�สนๆขน�ดของคว�มเรวเฉลยนถอไดว�เปนขน�ดคว�มเรวขณะหนงณจดกงกล�งของชวงเวล�สนๆ นนเชนพจ�รณ�จดบนแถบกระด�ษเพอห�ขน�ดคว�มเรวขณะหนงของวตถทำ�ไดโดยวดระยะท�งทเคลอนทไดจ�กa ไปcใน2ชวงจดได2.00เซนตเมตรดงรป2.6ชวงเวล�ของก�รเคลอนทจ�กaถงcเปน2/50วน�ท

รป 2.6 ตวอยางแถบกระดาษและการหาขนาดของความเรวขณะหนง

ห�ขน�ดคว�มเรวทจดbไดจ�ก

vtb

m

s

m/s

=

=

0 0200

2

50

0 500

.

.

ขน�ดของคว�มเรวขณะหนงทจดbมค�เท�กบ50.0เซนตเมตรตอวน�ทหรอ0.500 เมตรตอวน�ท



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

แนวคด อตร�เรวขณะหนงมค�เท�กบขน�ดของคว�มเรวขณะหนงก�รห�อตร�เรวทจดAจงห�จ�ก ขน�ดของคว�มเรวทผ�นจดAโดยใชก�รกระจดจ�กจด O ถงจดB

วธทำา ห�ขน�ดคว�มเรวทจดAไดจ�ก

ตอบ อตร�เรวทจดAมค�เท�กบ2.500เมตรตอวน�ท

จงห�อตร�เรวทจดA

ตวอยาง2.4 จ�กก�รดงปล�ยด�นหนงของแถบกระด�ษผ�นเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ทเค�ะ 50 ครง ตอวน�ทไดจดบนแถบกระด�ษดงรป

รป ประกอบตวอยาง 2.4

54



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ความรเพมเตม

กลองตรวจวดคว�มเรวของรถต�ง ๆ ทเคลอนทบนถนนมหล�ยประเภท กลองบ�งประเภทจะมวงจรอเลกทรอนกสบนทกตำ�แหนงของรถสองตำ�แหนงและผลต�งของชวงเวล� t∆ ของทงสองตำ�แหนงทรถเคลอนท

กลองตรวจวดคว�มเรวจะถกเชอมตอกบคอมพวเตอรเพอคำ�นวณห�อตร�เรวของรถเชนรถเคลอนทผ�นเสนเครองหม�ยบนพนถนนทอยห�งกนเปนระยะ10เมตรกลองตรวจวดคว�มเรวในชวงเวล�ทรถยนตเคลอนทได0.2 sอตร�เรวเฉลยของรถยนตจะมค�เท�กบ

av10m 50m s0.2s

dvt

= = =∆

หรอเท�กบ 180 km/h ซงกรณบนท�งดวนพเศษ ต�มพระร�ชบญญตของกรมท�งหลวงอนญ�ตใหรถรถยนตนงสวนบคคลเคลอนทดวยอตร�เรวไมเกน120 km/h และจะทำ�ก�รออกใบสงปรบรถยนตทใชคว�มเรวตงแต121 km/h แตห�กอยในเขตเทศบ�ลหรอแหลงชมชน อตร�เรวของรถยนตนงสวนบคคลจะอนญ�ตไวไมเกน 90 km/h ทงนเพอปองกนอบตเหตจ�กก�รเบรกในระยะกระชนชดหรอก�รขบรถเบยงออกไปอกชองท�งหนงไดอย�งปลอดภยอย�งไรกต�มตวเลขอ�จแตกต�งไปบ�งในแตละทองท

รป กลองตรวจวดความเรว

1. อตร�เรวเฉลยกบคว�มเรวเฉลยเปนปรม�ณทแตกต�งกนอย�งไร 2. อตร�เรวเฉลยกบขน�ดของคว�มเรวเฉลยของวตถหนงมค�เท�กนหรอไมอย�งไร 3. อตร�เรวเฉลยกบอตร�เรวขณะหนงของวตถหนงมค�เท�กนหรอไมอย�งไร




สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.4 ความเรง วตถทมก�รเปลยนตำ�แหนงกล�วไดว�วตถนนมคว�มเรวและถ�วตถนนมก�รเปลยนคว�มเรวเรยกว�วตถนนมความเรง(acceleration)และใชสญลกษณaกล�วไดว�คว�มเรงคออตร�ก�รเปลยนแปลงคว�มเรว เนองจ�กคว�มเรวเปนปรม�ณเวกเตอร ก�รเปลยนแปลงของเวกเตอรคว�มเรวจงเกดขนได3กรณดงน ● ขน�ดของคว�มเรวเปลยนแตทศท�งคงเดมเชนนกวงแขง100เมตรทวงเรวขนเรอยๆ ● ทศของคว�มเรวเปลยน แตขน�ดคงเดม เชน ลกบอลชนกำ�แพงแลวสะทอนกลบออกม�ดวย ขน�ดคว�มเรวเท�เดมรถเลยวโคงดวยอตร�เรวคงตว ● ทงขน�ดและทศของคว�มเรวเปลยนไปพรอมๆกน เชนก�รแกวงชงช�รถลดคว�มเรวขณะ เลยวโคง โดยพจ�รณ�คว�มเรงไดในทำ�นองเดยวกบคว�มเรวเปนความเรงเฉลย(average acceleration) และความเรงขณะหนง(instantaneous acceleration)ซงจะไดศกษ�ตอไปน

2.4.1 ความเรงเฉลย คว�มเรงเฉลยคอคว�มเรวทเปลยนไปในชวงเวล�หนงและใชสญลกษณ ava แทนเวกเตอรคว�มเรงเฉลยและใชสญลกษณ ,avxa เพอแสดงว�เปนคว�มเรงเฉลยในแนวแกนxดงน

คว�มเรงเฉลย=คว�มเรวทเปลยนไป ชวงเวล�ทใช

ถ�ณเวล�เรมตนtiวตถมคว�มเรว iv ตอม�ณเวล�สดท�ยtf วตถมคว�มเรว fv คว�มเรวของวตถทเปลยนไปในแนวแกนxในชวงเวล�ดงกล�วเขยนแทนดวย

x f iv v v∆ = −

จะไดคว�มเรงเฉลยในแนวแกนxดงน

,avx

xvat

∆=

∆

โดยหนวยของคว�มเรงในระบบเอสไอคอเมตรตอวน�ท2(m/s2)

ในกรณเคลอนทแนวตรงอ�จไมใสเวกเตอรบนตวแปรไดนนคอสมก�รทไดนเขยนใหมไดเปน

,avx

xvat

∆=

∆ (2.4)

56



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย


ในวช�ฟสกสวตถทมคว�มเรงไมไดหม�ยถงวตถทเคลอนทเรวขนเท�นนวตถทเคลอนทช�ลงเร�กเรยกว�วตถนนมคว�มเรงเชนกนนนคอเมอวตถมก�รเปลยนแปลงคว�มเรวไมว�จะเรวขนช�ลงหรอเรวเท�เดมแตเปลยนทศท�งก�รเคลอนทลวนแตเปนวตถทมคว�มเรงทงสนซงต�งจ�กก�รใชคำ�นในชวตประจำ�วนทเร�ใช "คว�มเรง" เมอวตถนนเคลอนทเรวขนและใช "คว�มหนวง"เมอวตถนนเคลอนทช�ลงซงในวช�ฟสกสถอว�เปนก�รเคลอนทดวยคว�มเรง

ชวนคด

วตถทมคว�มเรงเปนลบคอวตถทกำ�ลงเคลอนทช�ลงใชหรอไมอย�งไรจงยกตวอย�ง

ตวอยาง 2.5 จงห�คว�มเรงเฉลยของวตถในกรณตอไปน ก. v v( . ) . , ( . ) .2 0 3 0 4 0 5 0= + = +m/s m/s ข. v v( . ) . , ( . ) .2 0 5 0 4 0 3 0= + = +m/s m/s ค. v v( . ) . , ( . ) .2 0 3 0 4 0 5 0= − = −m/s m/s ง. v v( . ) . , ( . ) .2 0 5 0 4 0 3 0= − = −m/s m/s

แนวคด คว�มเรงเฉลยห�ไดจ�ก

,av

( ) ( )( )

xx

f i

f i

vat

v t v tt t

∆=

∆−

=−

ก. วธทำา

ax,( . ) ( . )

( . . ).

av

2

m/s m/ss s

m/s

=+ − +

−

= +

5 0 3 04 0 2 0

1 0

ตอบ คว�มเรงเฉลยของวตถมค�เท�กบ+1 0 2. m/s



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ข. วธทำา ax,

( . ) ( . )( . . )

.

av =+ − +

−

= −

3 0 5 04 0 2 0

1 0 2

m/s m/ss s

m/s

ตอบ คว�มเรงเฉลยของวตถมค�เท�กบ−1 0 2. m/s

ค. วธทำา ,av

2

( 5.0 m/s) ( 3.0 m/s)(4.0s 2.0s)

1.0 m/s

xa − − −=

−

= −

ตอบ คว�มเรงเฉลยของวตถมค�เท�กบ−1 0 2. m/s

ง. วธทำา

ax,( . ) ( . )

( . . ).

av =− − −

−

= +

3 0 5 04 0 2 0

1 0 2

m/s m/ss s

m/s

ตอบ คว�มเรงเฉลยของวตถมค�เท�กบ+1 0 2. m/s

จ�กก�รคำ�นวณข�งตนเร�ส�ม�รถสรปเปนต�ร�งไดดงน

ขอ เครองหม�ยของคว�มเรวเรมตน เครองหม�ยของคว�มเรง ก�รเคลอนท

ก. + + ไปท�งขว�,เรวขนข. + ไปท�งขว�,ช�ลงค. ไปท�งซ�ย,เรวขนง. + ไปท�งซ�ย,ช�ลง

58



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย


● วตถทมคว�มเรงเปนบวกไมจำ�เปนว�วตถนนเคลอนทเรวขนและวตถมคว�มเรงเปนลบ กไมจำ�เปนว�วตถนนเคลอนทช�ลง ● เครองหม�ยบวกหรอลบของปรม�ณเวกเตอรเปนก�รบอกทศท�งของปรม�ณนน ห�กตองก�รเปรยบเทยบขน�ด จะไมพจ�รณ�เครองหม�ย เชน วตถทมคว�มเรว –5.0 เมตรตอวน�ทมขน�ดม�กกว�ทงวตถทมคว�มเรว เมตรตอวน�ท และ+3.0 เมตร ตอวน�ท ● ถ�คว�มเรวเรมตนและคว�มเรงมเครองหม�ยเหมอนกน(มทศเดยวกน)วตถจะเคลอนท เรวขนแตถ�คว�มเรวเรมตนและคว�มเรงมเครองหม�ยต�งกน(มทศตรงข�มกน)วตถ จะเคลอนทช�ลง

ตวอยาง 2.6 เมอเรมตนพบว�รถจกรย�นยนตมคว�มเรว20เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนออกจงห� คว�มเรงเฉลยของรถจกรย�นยนตเมอเวล�ผ�นไป5.0วน�ทในกรณตอไปน

ก. รถจกรย�นยนตมคว�มเรว40เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนออก ข. รถจกรย�นยนตมคว�มเรว10เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนออก ค. รถจกรย�นยนตมคว�มเรว10เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนตก ง. รถจกรย�นยนตมคว�มเรว40เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนตก

แนวคด คว�มเรงเฉลยห�ไดจ�ก

,av

( ) ( )( )

xx

x f x i

f i

vat

v t v tt t

∆=

∆−

=−

เมอกำ�หนดใหคว�มเรวทศไปในตะวนออกมค�เปนบวกและใหคว�มเรวไปในทศตะวนตก มค�เปนลบดงนน (0) = +20 m/sxv

ก.วธทำา เมอเวล�ผ�นไป 5.0 วน�ท รถจกรย�นยนตมคว�มเรว 40 เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนออก แสดงว� (5.0) = +40 m/sxv

ax,av =+ − +

−= +

( ) ( )( . . )

.40 205 0 0 0

4 0 2m/s m/ss

m/s

ตอบ คว�มเรงเฉลยมค�เท�กบ4.0เมตรตอวน�ท2ไปในทศตะวนออก



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ข. วธทำา เมอเวล�ผ�นไป5.0วน�ทรถจกรย�นยนตมคว�มเรว10เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนออก แสดงว� (5.0) = +10 m/sxv

ax,av =+ − +

−= −

( ) ( )( . . )

.10 205 0 0 0

2 0 2m/s m/ss

m/s

ตอบ คว�มเรงเฉลยมค�เท�กบ2.0เมตรตอวน�ท2ไปในทศตะวนตก

ค. วธทำา เมอเวล�ผ�นไป5.0วน�ทรถจกรย�นยนตมคว�มเรว10เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนตก แสดงว� (5.0) = -10 m/sxv

ax,av =− − +

−= −

( ) ( )( . . )

.10 205 0 0 0

6 0 2m/s m/ss

m/s

ตอบ คว�มเรงเฉลยมค�เท�กบ6.0เมตรตอวน�ท2ไปในทศตะวนตก

ง. วธทำา เมอเวล�ผ�นไป5.0วน�ทรถจกรย�นยนตมคว�มเรว40เมตรตอวน�ทไปในทศตะวนตก แสดงว� (5.0) 40 m/sxv = −

ax,av =− − +

−= −

( ) ( )( . . )

40 205 0 0 0

12 2m/s m/ss

m/s

ตอบ คว�มเรงเฉลยมค�เท�กบ12เมตรตอวน�ท2ไปในทศตะวนตก

2.4.2 ความเรงขณะหนง ในทำ�นองเดยวกบก�รนย�มคว�มเรวขณะหนงส�ม�รถนย�มความเรงขณะหนง(instan-taneous acceleration)โดยก�รพจ�รณ�จ�กคว�มเรงเฉลยในชวงเวล� t∆ ทสนม�กๆเกอบจะเปนศนยถอไดว�เปนคว�มเรงณขณะนนค�ทไดกจะเปนคว�มเรงขณะหนงสวนทศของคว�มเรงขณะหนงพจ�รณ�จ�กทศของ v∆ (คว�มเรวทเปลยนไป) ในชวงเวล�ทสนม�ก ๆ ทงน เมอใชคำ�ว� "คว�มเรง" จะหม�ยถงคว�มเรงขณะหนง

โดยนำ�แถบกระด�ษจ�กกจกรรม2.1ม�ห�คว�มเรงเฉลยและคว�มเรงขณะหนงของรถทดลอง

กจกรรมลองทำาด การทดลองหาความเรงเฉลยและความเรงขณะหนงบนแถบกระดาษ

60



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ตวอยาง 2.7จ�กก�รดงปล�ยด�นหนงของแถบกระด�ษผ�นเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ทเค�ะ50ครงตอวน�ทไดจดบนแถบกระด�ษดงรป

จงห�ขน�ดของคว�มเรงทจดA

แนวคด คว�มเรงทจดAห�จ�กคว�มเรวทจดOและคว�มเรวทจดBดงสมก�ร

B OA

v vat−

=∆

วธทำา กำ�หนดใหทศทรถทดลองเคลอนทไปเปนบวก

ห�คว�มเรวทจดOไดจ�ก

vO =+ − +( . ( . )12 00 4 00

250

cm) cm

s

=+

=+

= +

8 002

500 0800

250

2 00

.

.

. /

cm

s

m

s

m s



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

1. เมอเร�กล�วว�“คว�มเรง”นนหม�ยถงคว�มเรงเฉลยหรอคว�มเรงขณะหนง 2. ก�รทคว�มเรงมเครองหม�ยเปนบวกหม�ยถงวตถเคลอนทเรวขนเสมอใชหรอไมอย�งไร


คว�มเรงทจดAห�จ�ก

av vt

B OA

m/s) m/s

s

m/s

s

m/s

=−

=+ − +

=+

= +

∆( . ( . )

.

.

3 00 2 002

501 00

250

25 0 22

ตอบ ขน�ดของคว�มเรงทจดAมค�เท�กบ 25.0เมตรตอวน�ท2

ห�คว�มเรวทจดBไดจ�ก

vBcm) cm

s=

+ − +( . ( . )24 00 12 002

50

= +

=+

= +

12 002

500 1200

250

3 00

.

.

. /

cm

s

m

s

m s

62



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ทผ�นม�ส�ม�รถห�อตร�เรวขณะหนงไดจ�กแถบกระด�ษจ�กค�อตร�เรวขณะหนงทได จะนำ�ไปใช ห�ขน�ดของคว�มเรงเฉลยและคว�มเรงขณะหนงไดนอกจ�กนนยงส�ม�รถห�คว�มเรวและคว�มเรง ทงค�เฉลยและค�ขณะหนงโดยก�รนำ�ขอมลก�รกระจดและคว�มเรวไปเขยนกร�ฟซงจะไดศกษ�ในหวขอตอไป

2.5 กราฟของการเคลอนทแนวตรง ในหวขอทผ�นม�นกเรยนไดทร�บนย�มของตำ�แหนงก�รกระจดคว�มเรวเฉลยคว�มเรวขณะหนงคว�มเรงเฉลย และคว�มเรงขณะหนง ม�แลว ในหวขอนเร�จะทำ�คว�มเข�ใจเกยวกบปรม�ณเหล�นใหม�กขนโดยก�รวเคร�ะหกร�ฟของปรม�ณดงกล�วนทเปนฟงกชนของเวล�

2.5.1 กราฟระหวางตำาแหนงกบเวลา พจ�รณ�ก�รเคลอนทของรถยนตในรป2.2


1. รถยนตคนหนงเคลอนทในแนวตรงโดยมคว�มเรว20เมตรตอวน�ทตอม�คนขบได เรงเครองยนตทำ�ใหรถยนตมคว�มเรง3เมตรตอวน�ท2 เปนเวล�5วน�ทจงห�คว�มเรว ทสนสดเวล�5วน�ท 2. รถยนตคนหนงเคลอนทเปนเสนตรงในแนวระดบโดยมคว�มเรว30เมตรตอวน�ทคนขบ มองเหนทอนไมใหญขว�งถนนอย จงเหยยบเบรกเพอใหรถหยดภ�ยในเวล�6วน�ท จงห�คว�มเรงทเกดขน



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ตำแหนง (m)

เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

1 2 30.5 1.5 2.5

รป 2.7 พกดความสมพนธระหวางตำาแหนงของรถยนตกบเวลา

เวล�(วน�ท) ตำ�แหนงของรถยนต(เมตร)

01.03.0

+4.0+8.0-8.0

เมอลงพกดคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงของรถยนตกบเวล�จะไดดงรป2.7

เร�ส�ม�รถเขยนเปนต�ร�งแสดงตำ�แหนงของรถยนตในเวล�ต�งๆไดดงน

64



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จ�กรป2.7เมอพจ�รณ�จ�กขอมลข�งตนเพยง3พกดเร�ไมส�ม�รถระบตำ�แหนงของรถยนตไดอย�งแนนอนว�ณเวล�t = 2.0 sรถยนตอยทใดเนองจ�กเร�มขอมลนอยเกนไปอย�งไรกต�มห�กเร�ตองก�รทร�บตำ�แหนงอย�งหย�บๆกอ�จทำ�ไดโดยก�รล�กเสนตรงเชอมแตละจดดงรป2.8

จ�กรป2.8ณเวล�t = 2.0 s เร�อ�นค�ตำ�แหนงของรถยนตอยทx = 0 ซงอ�จจะเปนตำ�แหนงทแทจรงหรอไมกไดขนอยกบก�รเคลอนททแทจรงของรถยนตเพร�ะเร�ไมมขอมลตำ�แหนงของรถยนตณเวล�t = 2.0 sถ�เร�วดตำ�แหนงของรถยนตใหม�กขนและพบว�ตำ�แหนงของรถยนตเปนดงรป2.9


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

1 2 30.5 1.5 2.5

รป 2.8 กราฟความสมพนธระหวางตำาแหนงของรถยนตกบเวลา ทมการลากเสนตรงเชอมแตละจด

1 2 30.5 1.5 2.5


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

รป 2.9 พกดความสมพนธระหวางตำาแหนงของรถยนตกบเวลา ทมการวดมากขน



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

การหาความเรวเฉลยจากกราฟตำาแหนงกบเวลา

จ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงของรถยนตกบเวล�ในรป 2.10ห�กเร�ตองก�รทร�บคว�มเรวเฉลยของรถยนตในชวงเวล�t = 0.0ถงt = 1.0 sเร�ส�ม�รถห�ไดจ�กสมก�ร(2.3)

x xf i

) ( . )

( . . )

( . ) ( .

s

m

=

=−

−

=−−

=+

1 0 0 0

0 0

8 0 4 00

1 0

m

s

m/s

)

.= +

จ�กรป2.9นกเรยนจะเหนว�ตำ�แหนงของรถยนตณเวล� t = 2.0 s ทอ�นค�ไดจ�กรป2.8นนมคว�มคล�ดเคลอนจ�กตำ�แหนงทแทจรงต�มรป2.9 อยม�กดงนนห�กเร�ส�ม�รถระบตำ�แหนงของวตถณเวล�ต�งๆไดม�กเท�ใดกจะทำ�ใหเร�ทร�บเกยวกบก�รเคลอนทของวตถนนไดดยงขนซงจ�กขอมลทม�กพอนเร�ส�ม�รถเขยนกร�ฟไดดงรป2.10

1 2 30.5 1.5 2.5


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

รป 2.10 กราฟความสมพนธระหวางตำาแหนงของรถยนตกบเวลา

66



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จะเหนว�ค� xt

∆∆

กคอค�ของคว�มชนของเสนตรงทล�กผ�นจด(0,4)และจด(1,8)ในกร�ฟ ดงรป2.11

1 2 30.5 1.5 2.5


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

(0,4)

(1,8)

(3,-8)

x∆

t∆

รป 2.11 การหาความชนระหวางจดสองจดจากกราฟความสมพนธระหวาง ตำาแหนงของรถยนตกบเวลา

จะเหนว�ก�รห�ค�คว�มเรวเฉลยกคอก�รห�ค�คว�มชนของเสนตรงทล�กผ�นระหว�งจด สองจดในกร�ฟระหว�งตำ�แหนงกบเวล�นนเอง

ชวนคด

1 คว�มชนของเสนตรงทล�กผ�นจด(1,8)และ(3,-8)มค�เท�ใดค�ทไดนเท�กบคว�มเรวเฉลย ทคำ�นวณไดในตวอย�ง2.2 ก.หรอไมในกรณนขน�ดคว�มเรวเฉลยเท�กบอตร�เรวเฉลยหรอไม เพร�ะเหตใด2 คว�มชนของเสนตรงทล�กผ�นจด (0,4) และ (3,-8) มค�เท�ใด ค�ทไดนเท�กบคว�มเรวเฉลย ทคำ�นวณไดในตวอย�ง2.2 ข.หรอไมในกรณนขน�ดคว�มเรวเฉลยเท�กบอตร�เรวเฉลยหรอไม เพร�ะเหตใด



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

เนองจ�กคว�มชนของเสนตรงมทงค�ทเปนบวกและค�ทเปนลบโดยค�คว�มชนทเปนบวกหม�ยถงคว�มเรวเฉลยเปนบวกแสดงว�ในชวงเวล�ดงกล�ววตถเคลอนทไปในทศ+xสวนค�คว�มชนทเปนลบหม�ยถงคว�มเรวเฉลยเปนลบแสดงว�ในชวงเวล�ดงกล�ววตถเคลอนทไปในทศ–xโดยคว�มชนทไมคดเครองหม�ย แสดงถงขน�ดของคว�มเรวเฉลย ถ�คว�มชนทไมคดเครองหม�ยมค�ม�ก ขน�ดคว�มเรวเฉลยกจะม�กถ�คว�มชนทไมคดเครองหม�ยมค�นอยขน�ดคว�มเรวเฉลยกจะนอยและถ�คว�มชนเปนศนย(เสนกร�ฟขน�นกบแกนนอน)กแสดงว�ขน�ดคว�มเรวเฉลยเปนศนย

การหาความเรวขณะหนงจากกราฟตำาแหนงกบเวลา

จ�กนย�มของคว�มเรวขณะหนงถ�เร�พจ�รณ�ชวงเวล� t∆ ใหนอยลงเรอยๆคว�มชนของเสนตรงกจะเปลยนแปลงไปเชนกนและเมอ t∆ นอยลงจนเกอบเปนศนย เสนตรงทผ�นจด 2จดในชวงเวล� t∆ กจะสมผสกบกร�ฟเสนโคงทจดๆหนงในชวงเวล�นนคว�มชนของเสนสมผสกร�ฟณจดนนกคอคว�มเรวณเวล�นนหรอคว�มเรวขณะหนงนนเอง

ชวนคด

1 วตถทมคว�มเรวเฉลยในชวงเวล�หนงเปนศนยวตถไมมก�รเคลอนทใชหรอไมอย�งไร2 วตถทมอตร�เรวเฉลยในชวงเวล�หนงเปนศนยวตถไมมก�รเคลอนทใชหรอไมอย�งไร


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

B

AC

D

1 2 30.5 1.5 2.5

รป 2.12 การหาความชน ณ จดสมผสสวนโคงของกราฟความสมพนธ ระหวางตำาแหนงของรถยนตกบเวลา

68



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จ�กรป2.12เมอเร�พจ�รณ� t∆ ใหนอยลงเชนยดเวล�ทt = 0 เปนหลกในชวงเวล�0 - 0.5 วน�ท เมอล�กเสนตรงใหผ�น2จดนจะไดเสนตรงA (เสนประสแดง)ทมคว�มชนเปนค�ของคว�มเรวเฉลยในชวง0 - 0.5วน�ทและเมอเร�ลด t∆ ใหนอยลงเรอยๆจนเกอบเปนศนยเชน0 – 0.01วน�ทแลวล�กเสนตรงใหผ�นจด2จดทอยใกลกนม�กๆ นจะไดเสนตรงB(เสนทบสแดง)ซงสมผสกบเสนกร�ฟทt = 0 และมค�คว�มชนเปนค�ของคว�มเรวณเวล�t = 0หรอคว�มเรวขณะหนงณเวล�t = 0นนเอง

ห�กล�กเสนตรงใหสมผสกร�ฟณจดสมผสทเวล�ต�งๆในกร�ฟรป2.12จะพบว�เสนตรงเหล�นนมคว�มชนทแตกต�งกนหรอกล�วไดว�ทเวล�ต�งๆนนมคว�มเรวขณะหนงทแตกต�งกน แสดงว�ก�รเคลอนทของวตถในรป2.12เปนก�รเคลอนทดวยคว�มเรวทไมคงตวเชนเสนตรงBสมผสเสนกร�ฟทจด(0,4)มคว�มชนเท�กบ+8เมตรตอวน�ทเสนตรงCสมผสเสนกร�ฟทจด(1,8)มคว�มชน เปนศนยสวนเสนตรงDสมผสเสนกร�ฟทจด(2,4)มคว�มชนเท�กบ-8เมตรตอวน�ทโดยขน�ดคว�มชน(ไมคดเครองหม�ย)ของเสนตรงBและเสนตรงDมค�เท�กนแสดงว�ขน�ดของคว�มเรวขณะหนงณเวล�t = 0 เท�กบทเวล�t = 2.0 sแตมทศท�งตรงกนข�ม(เนองจ�กมเครองหม�ยตรงข�มกน)กล�วคอคว�มชนทมค�ลบในกรณนไมไดหม�ยคว�มว�มค�นอยกว�คว�มชนทมค�บวก

ชวนคด

1 คว�มชนของเสนตรงทสมผสเสนกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล�เปนศนย หม�ยคว�มว�อย�งไร2 วตถ A มคว�มเรว +10 เมตรตอวน�ท กบวตถ B มคว�มเรว -10 เมตรตอวน�ท วตถใด เคลอนทเรวกว�กนเพร�ะเหตใด

จ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล�คว�มชนของเสนตรงทสมผสกร�ฟกคอคว�มเรวขณะหนงณเวล�ทจดสมผส



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ชวนคด

จงวเคร�ะหก�รเคลอนทของวตถจ�กกร�ฟในรปแตละชวงเวล�ตอไปน ก. ในชวงt = 0ถงt = 1.0 s ข. ในชวงt = 1.0 s ถงประม�ณt = 2.4 s ค. ชวงหลงประม�ณt = 2.4 s

2.5.2 กราฟระหวางความเรวกบเวลาและกราฟระหวางความเรงกบเวลา

สมมตว�วตถหนงมกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล�เปนดงรป2.13

1 2 30.5 1.5 2.5


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

รป 2.13 กราฟความสมพนธระหวางตำาแหนงของวตถหนงกบเวลา


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

1 2 30.5 1.5 2.5

รป กราฟความสมพนธระหวางตำาแหนงของวตถหนงกบเวลา

70



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จ�กกร�ฟจะไดว� ในชวงเวล� t = 0ถง t = 1.0 s วตถเคลอนทดวยคว�มเรวคงตว เพร�ะ คว�มชนของเสนสมผสกร�ฟทกจดมค�เท�กนเท�กบ+4เมตรตอวน�ท(คว�มชนเปนบวก)และในชวงเวล�t = 1.0 s ถง t = 3.0 s วตถเคลอนทดวยคว�มเรวคงตวเชนกนแตมค�เท�กบ -8 เมตรตอวน�ท (คว�มชนเปนลบ)และมขน�ดคว�มเรวม�กกว�ชวงแรก(เสนกร�ฟชวงนมคว�มชนม�กกว�ชวงแรก)ดงนนนกเรยนจะเหนว�วตถทเคลอนทดวยคว�มเรวคงตวกร�ฟระหว�งตำ�แหนงกบเวล�ในชวงนนจะเปนกร�ฟเสนตรงนอกจ�กนคว�มชนของเสนตรงระหว�งจด2จดบนกร�ฟตำ�แหนงกบเวล�กคอคว�มเรวเฉลย และสำ�หรบก�รเคลอนทดวยคว�มเรวคงตวทกๆจดในชวงเวล�ดงกล�วมคว�มชนเท�กนทำ�ใหเร�สรปไดว�สำ�หรบการเคลอนทดวยความเรวคงตว ความเรวเฉลยเทากบความเรวขณะหนง

นอกจ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล�แลวเร�ยงส�ม�รถวเคร�ะหก�รเคลอนทของวตถจ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�ไดเชนกนเชนจ�กรป2.13เร�ส�ม�รถคำ�นวณคว�มเรวของวตถในแตละเวล�และนำ�ไปเขยนกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�ดงรป2.14

1 2 30.5 1.5 2.5

ความเรว (m/s)

เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

รป 2.14 กราฟความสมพนธระหวางความเรวของวตถหนงกบเวลา

เมอเปรยบเทยบกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล�(xกบt)ในรป2.13กบกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�( xv กบt)ในรป2.14จะเหนว�ในชวงเวล�t = 0ถง t = 1.0 sกร�ฟxกบt เปนเสนตรงทมคว�มชนเปนบวกสอดคลองกบกร�ฟvกบ tทเปนเสนตรงขน�นและอยเหนอแกน t (แกนนอน)ในชวงเวล�เดยวกนสวนในชวงเวล�t = 1.0 s ถงt = 3.0 sกร�ฟxกบtเปนเสนตรงทมคว�มชนเปนลบสอดคลองกบกร�ฟvกบtทเปนเสนตรงขน�นและอยใตแกนtในชวงเวล�เดยวกน



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

แนวคด จ�กรป2.14ส�ม�รถแบงชวงของกร�ฟไดดงรป


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

(ก)

(ข) (ค)

1 2 30.5 1.5 2.5

รป ประกอบแนวคดสำาหรบตวอยาง2.8

การหาการกระจดจากกราฟความเรวกบเวลา จ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล� เร�ส�ม�รถห�คว�มเรวของวตถไดจ�กคว�มชนของเสนสมผสกร�ฟในท�งกลบกนเร�จะส�ม�รถห�ตำ�แหนงและก�รกระจดของวตถจ�กพนทใตกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�ไดหรอไมอย�งไรศกษ�ไดจ�กตวอย�งตอไปน

ตวอยาง 2.8จ�กกร�ฟระหว�งคว�มเรวกบเวล�ของวตถในรป2.14 จงห�พนทใตกร�ฟและเปรยบเทยบกบก�รกระจดในชวงเวล�เดยวกนจ�กรป2.13ในชวงเวล�ตอไปน

ก.ชวงเวล�t = 0 ถงt = 1.0 s ข.ชวงเวล�t = 1.0 sถงt = 2.0 s ค.ชวงเวล�t = 2.0 sถงt = 3.0 s ง.ชวงเวล�t = 1.0 sถงt = 3.0 s จ.ชวงเวล�t = 0 ถงt = 3.0 s

72



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ก. วธทำา พจ�รณ�พนทใตกร�ฟในชวงเวล�t = 0 ถงt = 1.0 sซงคอบรเวณแรเง�(ก)ในรปประกอบ แนวคด

พนทใตกร�ฟบรเวณ(ก)=พนทสเหลยมผนผ�

( 4.0 m/s) (1.0 s)4.0 m

= + ×= +

และจ�กรป2.13ก�รกระจดในชวงเวล�t = 0 ถงt = 1.0 sห�ไดจ�ก

(1.0) (0)( 8.0 m) ( 4.0 m)

4.0 m

x x x∆ = −= + − += +

ตอบ พนทใตกร�ฟบรเวณ(ก)มค�เท�กบ+4.0 mก�รกระจดในชวงเวล�t = 0 ถงt = 1.0 sมค� เท�กบ+4.0 m

ข. วธทำา พจ�รณ�พนทใตกร�ฟในชวงเวล� t = 1.0 sถงt = 2.0 sซงคอบรเวณแรเง�(ข)ในรปประกอบ แนวคด

พนทใตกร�ฟบรเวณ(ข)=พนทสเหลยมผนผ� ( 8.0 m/s) (1.0 s)

8.0 m= − ×= −

และจ�กรป2.13ก�รกระจดในชวงเวล�t = 1.0 sถงt = 2.0 sห�ไดจ�ก (2.0) (1.0)

(0) ( 8.0 m)8.0 m

x x x∆ = −= − += −

ตอบ พนทใตกร�ฟบรเวณ(ข)มค�เท�กบ mก�รกระจดในชวงเวล� t = 1.0 s ถงt = 2.0 s มค�เท�กบ m

ค. วธทำา พจ�รณ�พนทใตกร�ฟในชวงเวล�t = 2.0 sถงt = 3.0 sซงคอบรเวณแรเง�(ค)ในรประกอบ แนวคด

พนทใตกร�ฟบรเวณ(ค)=พนทสเหลยมผนผ� ( 8.0 m/s) (1.0 s)

8.0 m= − ×= −



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

และจ�กรป2.13ก�รกระจดในชวงเวล�t = 2.0 sถงt = 3.0 sห�ไดจ�ก

(3.0) (2.0)( 8.0 m) (0)

8.0 m

x x x∆ = −= − −= −

ตอบ พนทใตกร�ฟบรเวณ(ค)มค�เท�กบ mก�รกระจดในชวงเวล�t = 2.0 sถงt = 3.0 s มค�เท�กบ mง. วธทำา พจ�รณ�พนทใตกร�ฟในชวงเวล�t = 1.0 sถงt = 3.0 sซงคอบรเวณแรเง�(ข)+(ค)ในรป ประกอบแนวคด

พนทใตกร�ฟบรเวณ(ข)+(ค) ( 8.0 m) ( 8.0 m)= − + − 16.0 m= −

และจ�กรป2.13ก�รกระจดในชวงเวล�t = 1.0 sถงt = 3.0 sห�ไดจ�ก (3.0) (1.0)

( 8.0 m) ( 8.0 m)16.0 m

x x x∆ = −= − − += −

ตอบ พนทใตกร�ฟบรเวณ(ข)+(ค)มค�เท�กบ mก�รกระจดในชวงเวล�t = 1.0 sถงt = 3.0 s มค�เท�กบ-16.0 m

จ. วธทำา พจ�รณ�พนทใตกร�ฟในชวงเวล� t = 0 ถง t = 3.0 s ซงคอบรเวณแรเง� (ก)+ (ข)+ (ค) ในรปประกอบแนวคด

พนทใตกร�ฟบรเวณ(ก)+(ข)+(ค) ( 4.0 m) ( 8.0 m) ( 8.0 m)= + + − + − 12.0 m= −

และจ�กรป2.13ก�รกระจดในชวงเวล�t = 0 sถงt = 3.0 sห�ไดจ�ก (3.0) (0)

( 8.0 m) ( 4.0 m)12.0 m

x x x∆ = −= − − += −

ตอบ พนทใตกร�ฟบรเวณ(ก)+(ข)+(ค)มค�เท�กบ mก�รกระจดในชวงเวล�t = 0 ถงt = 3.0 s มค�เท�กบ-12.0 m

74



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จ�ก(ก)ถง(จ)จะเหนว�พนทใตกร�ฟระหว�งคว�มเรวกบเวล�ในชวงเวล�หนงๆมค�เท�กบก�ร กระจดในชวงเวล�นนๆและเครองหม�ยของพนทใตกร�ฟบอกถงทศท�งของก�รกระจด จ�กก�รศกษ�กร�ฟตวอย�งสรปไดว�พนทใตกราฟความสมพนธระหวางความเรวกบเวลา คอ การกระจด

การหาความเรงจากกราฟความเรวกบเวลาและการหาความเรวจากกราฟความเรงกบเวลา จ�กนย�มของคว�มเรงเฉลยดงสมก�ร

,avx

xvat

∆=

∆

และนย�มคว�มเรงขณะหนงโดยพจ�รณ�จ�กคว�มเรงเฉลยในชวงเวล� t∆ ทสนม�กๆจนถอไดว�เปนคว�มเรง ณ ขณะนน เร�ส�ม�รถนำ�ม�ใชห�คว�มเรงขณะหนงจ�กคว�มชนของเสนสมผสกร�ฟ คว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�ในกรณทวตถมคว�มเรงคงตวคว�มเรงเฉลยจะมค�เท�กบคว�มเรงขณะหนงและคว�มชนของเสนกร�ฟคว�มเรวกบเวล�มค�คงตวโดยเสนกร�ฟเปนเสนตรง

ในทำ�นองเดยวกบทพนทใตกร�ฟระหว�งคว�มเรวกบเวล� คอ ก�รกระจด เมอพจ�รณ�พนทใตกร�ฟระหว�งคว�มเรงกบเวล�กคอก�รเปลยนแปลงคว�มเรวดงตวอย�ง2.9

ตวอยาง 2.9จ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�ของวตถหนงเปนดงรป


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

1 2 30.5 1.5 2.5


ก. จงเขยนกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงกบเวล�ของวตถ

ข. จ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงกบเวล�ของวตถทไดในขอ ก. จงห�คว�มเรวของวตถณเวล�t = 0.8 sและt = 2.3 sเมอกำ�หนดให (0) 8.6 m/sxv = − เปรยบเทยบกบคว�มเรวทไดจ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวของวตถกบเวล�ทกำ�หนดม�ให



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ก. แนวคดคว�มเรงพจ�รณ�ไดจ�กคว�มชนของกร�ฟคว�มเรวกบเวล�และคว�มเรวพจ�รณ�ไดจ�ก พนทใตกร�ฟคว�มเรงเวล�

จ�กก�รพจ�รณ�กร�ฟ xv กบ t พบว� วตถมคว�มเรวไมคงตว แสดงว�เปนก�รเคลอนท ทมคว�มเรง

วธทำา เนองจ�กกร�ฟคว�มเรวกบเวล�เปนกร�ฟเสนตรงจะไดว�คว�มเรงเฉลยมค�คงตวและ มค�เท�กบคว�มเรงขณะหนงห�ไดจ�กคว�มชนของกร�ฟดงน

จ�ก

−−

.

ส�ม�รถเขยนกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงของวตถกบเวล�ไดดงรป

ความเรง (m/s2)

เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

1 2 30.5 1.5 2.5 3.5

รป ประกอบวธทำาสำาหรบตวอยาง 2.9 ก.

76



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ข. แนวคดแนวคดเดยวกบขอก.

วธทำา เมอพจ�รณ�พนทใตกร�ฟระหว�งคว�มเรงกบเวล�ในชวงเวล�t = 0ถงt = 0.8 sพบว�เท�กบ พนทสเหลยมผนผ�ในชวงเวล�t = 0ถงt = 0.8 sซงมค�เท�กบ(+8.0 m/s2)(0.8 s) = +6.4 m/s เท�กบคว�มเรวทเปลยนแปลง

ห�คว�มเรวณเวล�t = 0.8 sจ�ก

x fx ixv v v∆ = − จะได (0.8 s) (0)x x xv v v∆ = − 6.4 m/s (0.8 s) ( 8.4 m/s)

(0.8 s) 2.0 m/sx

x

vv+ = − −

= −

ดงนนt = 0.8 s คว�มเรวของวตถณเท�กบ-2.0 m/s ในทำ�นองเดยวกน เมอพจ�รณ�พนทใตกร�ฟระหว�งคว�มเรงกบเวล� ในชวงเวล� t = 0 ถง t = 2.3 s เท�กบพนทสเหลยมผนผ�ในชวงเวล� t = 0 ถง t = 2.3 s ซงมค�เท�กบ 2( 8 m/s )(2.3 s) 18.4 m/s+ = + เท�กบคว�มเรวทเปลยนแปลง ห�คว�มเรวณเวล�t = 2.3 sจ�ก

x fx ixv v v∆ = − จะได (2.3 s) (0)x x xv v v∆ = − 18.4 m/s (2.3 s) ( 8.4 m/s)

(2.3 s) 10.0 m/sx

x

vv

+ = − −

= +

ดงนนคว�มเรวของวตถณt = 2.3sเท�กบ+10.0 m/sตอบ คว�มเรวของวตถณt = 0.8 sมค�เท�กบ m/sคว�มเรวของวตถณ t = 2.3 sมค� เท�กบ+10.0 m/s



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จ�กก�รศกษ�กร�ฟตวอย�งสรปไดว�ความชนของเสนตรงทสมผสเสนกราฟความสมพนธระหวางความเรวกบเวลา คอ ความเรงขณะหนง และ พนทใตกราฟความสมพนธระหวางความเรงกบเวลา คอ การเปลยนความเรว

ตวอยาง 2.10 จ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงของวตถหนงกบเวล�เปนดงรป

รป ประกอบวธทำาสำาหรบตวอยาง 2.10

เวลา

ความเรง (m/s )

(s)0

02 4 6 8 10 12 14 16 18 20

16

32

48

64

80

96

2

เมอเปรยบเทยบคว�มเรวทคำ�นวณไดจ�กพนทใตกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงกบเวล�กบคว�มเรวทอ�นไดจ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�ทกำ�หนดม�ใหพบว�ไดค�สอดคลองกนดงรปประกอบตวอย�ง2.9ข.

เมอเปรยบเทยบคว�มเรวทคำ�นวณไดจ�กพนทใตกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงกบเวล�กบคว�มเรวทอ�นไดจ�กกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�ทกำ�หนดม�ใหพบว�ไดค�สอดคลองกนดงรปประกอบตวอย�ง2.9ข.


เวลา (s)02468

1012

-2-4-6

-8-10-12

10.5 1.5 2.52 30.8

2.3


ถ�ใหทเวล�t = 0วตถมคว�มเรว+10.0 m/s จงห�คว�มเรวของวตถทเวล�t = 16.0 s

78



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

แนวคด พนทใตกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงกบเวล�คอก�รเปลยนคว�มเรว

วธทำา ทเวล�t = 0วตถมคว�มเรว+10.0 m/s นนคอ 10.0m/sixv = + ห�คว�มเรวทเวล�t = 16.0 s จ�กก�รเปลยนคว�มเรว=พนทใตกร�ฟคว�มเรงกบเวล�

= × ×

= +

12

16 0 64 0

512

2( . ) ( . )s m/s

m/s

ดงนน และจ�ก x fx ixv v v∆ = − จงห� fxv ได

fx

ตอบ ทเวล�t = 16.0 sคว�มเรวของวตถเท�กบ+522 m/s



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

1. คว�มเรวเฉลยและคว�มเรวขณะหนงส�ม�รถห�จ�กกร�ฟระหว�งตำ�แหนงกบเวล�ได อย�งไร 2. พนทใตกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงกบเวล�คอปรม�ณใด 3. คว�มชนของเสนตรงทสมผสเสนกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�คอปรม�ณใด


1. วเคร�ะหก�รเคลอนทของวตถจ�กกร�ฟในรปแตละชวงเวล�ตอไปน ก. ในชวงt = 0ถงt = 1.0 s ข. ในชวงt = 1.0 sถงt = 1.5 s ค. ในชวงt = 1.5 sถงt = 3.0 s

จงห�ก�รกระจดคว�มเรวเฉลยและคว�มเรงในแตละชวง


เวลา


(s)00

-4

-2

10

8

6

4

2

0.5 3.53.02.52.01.51.0

รป กราฟความสมพนธระหวางความเรวกบเวลา

80



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.6 สมการสำาหรบการเคลอนทแนวตรง จ�กก�รศกษ�ทผ�นม�จะพบว�ก�รวเคร�ะหกร�ฟทำ�ใหส�ม�รถห�ปรม�ณต�งๆทเกยวของไดสำ�หรบก�รเคลอนทแนวตรงจะพจ�รณ�กรณก�รเคลอนทดวยคว�มเรวคงตวและก�รเคลอนทดวยคว�มเรงคงตวไดเปนสมก�รสำ�หรบก�รเคลอนทแนวตรงดงตอไปน

2.6.1 การเคลอนทดวยความเรวคงตว วตถทเคลอนทดวยคว�มเรวคงตวเปนวตถทเคลอนทโดยไมมก�รเปลยนทศก�รเคลอนท (นนคอ เคลอนทในแนวตรงโดยไมมก�รกลบทศ) และไมมก�รเปลยนแปลงขน�ดของคว�มเรว กล�วคอ มคว�มเรงเปนศนยซงในกรณนคว�มเรวเฉลยมค�เท�กบคว�มเรวขณะหนงเขยนเปนสมก�รไดว� ,avx x

x

v vx vt

=

∆=

∆ ดงนน เร�ส�ม�รถห�ตำ�แหนงของวตถณ เวล�ต�ง ๆ ของก�รเคลอนทดวยคว�มเรวคงตวไดจ�กคว�มสมพนธ xx v t∆ = ∆ (2.5)

( )f i x f ix x v t t− = −

( )f i x f ix x v t t= + − (2.6)

โดย ix คอตำ�แหนง ณ เวล� ti และ xf คอตำ�แหนง ณ เวล� tf โดยทวไป ในก�รแกปญห�ท�งฟสกส เร�มกจะใหเวล�เรมตนti = 0 และtfเปนเวล�ใดๆtซงอ�งองจ�กเวล�เรมตนt = 0 ดงนนสมก�ร(2.6) เขยนใหมไดเปน

f i xx x v t= + (2.7)

นกเรยนจะสงเกตเหนวา สมการ (2.7) นมรปแบบเดยวกนกบสมการเสนตรง (หรอสมการ

เชงเสน) ทนกเรยนไดเรยนมาแลว

y mx c= +

โดยตวแปรตน x ในสมก�รเสนตรง เทยบไดกบตวแปรตน t ในสมก�ร (2.7) สวนตวแปรต�ม y ในสมก�รเสนตรงเทยบไดกบตวแปรต�มxfในสมก�ร(2.7)โดยสมก�รเสนตรงนมคว�มชนคอmสวนเสนตรงต�มสมก�ร(2.7)มคว�มชนคอvxและcในสมก�รเสนตรงเทยบไดกบxiในสมก�ร(2.7)นนเอง



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ตวอยาง 2.11จงห�ตำ�แหนงของวตถทกำ�ลงเคลอนทไปท�งซ�ยบนแกนxดวยขน�ดคว�มเรวคงตว5.0 เมตรตอวน�ทเมอเวล�ผ�นไป10.0 วน�ทถ�เรมตนวตถอยทตำ�แหนงx(0) = +10.0 m

แนวคด จ�กโจทยจะไดว� คว�มเรวของวตถคอ 5.0 m/sxv = − (เพร�ะเคลอนทไปท�งซ�ย) จ�กนน ส�ม�รถห�ก�รกระจดโดยใชสมก�ร(2.5)หรอ(2.7)

วธทำา ห�ก�รกระจดจ�กสมก�ร(2.5)

( 5.0 m/s)(10.0 s)

50 m

xx v t∆ = ∆

= −= −

นนคอตำ�แหนงของวตถณเวล�t = 10.0 sอยท�งซ�ยของตำ�แหนงของวตถณเวล�เรมตน โดยอยห�งกน50 เมตรตำ�แหนงของวตถณเวล�t = 10.0 sเทยบกบจดกำ�เนดห�ไดจ�ก

50 m50 m

( 50 m)(10 m) ( 50 m)

40 m

f i

f i

xx x

x x

∆ = −− = −

= + −

= + −= −

หรอจ�กสมก�ร(2.7)โดยตรง

(10.0) (0)( 10.0 m) ( 5.0 m/s)(10.0 s)

40 m

f i x

x

x x v tx x v t

= +

= += + + −= −

ตอบ ณ วน�ทท 10 วตถอยทตำ�แหนง x = m หรออยท�งซ�ยของจดกำ�เนดเปนระยะท�ง 40เมตร


ในก�รระบตำ�แหนงเร�จะบอกตำ�แหนงเทยบกบจดกำ�เนดแตก�รกระจดเปนก�รห�ผลต�งของตำ�แหนงหลงเทยบกบตำ�แหนงแรกโดยตำ�แหนงแรกไมจำ�เปนตองอยทจดกำ�เนด

82



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.6.2 การเคลอนทดวยความเรงคงตว จ�กก�รศกษ�กร�ฟของก�รเคลอนททผ�นม�พบว� คว�มชนของเสนตรงทเชอมระหว�งจด 2จดในกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�กคอคว�มเรงเฉลยในกรณของคว�มเรงคงตวเร�กจะไดว�คว�มเรงเฉลยมค�เท�กบคว�มเรงขณะหนงดงนน

คว�มเรงเฉลย=คว�มเรงขณะหนง ,avx x

xx

fx ixx

f i

a av at

v va

t t

=

∆=

∆−

=−

หรอส�ม�รถจดรปใหมไดเปน ( )fx ix x f iv v a t t= + − (2.8)

โดย vixคอคว�มเรวในแนวแกน xณเวล� tiและ vfxคอคว�มเรวในแนวแกนxณเวล�tf เชนเดยวกบ ทผ�นม� ถ�เร�ใหเวล�เรมตน ti = 0 และ tf เปนเวล�ใดๆ t ซงอ�งองจ�กเวล�เรมตน t = 0 ดงนน สมก�ร(2.8)จะเขยนใหมไดเปน

fx ix xv v a t= + (2.9)

ทงนสมก�ร(2.8) และ(2.9)ใชกบกรณทวตถเคลอนทดวยความเรงคงตวเท�นน

นอกจ�กคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�ในกรณของคว�มเรงคงตวแลวเร�ส�ม�รถห�คว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล�ไดเชนกนเรมจ�กนย�มของคว�มเรวเฉลยสมก�ร (2.3)

,avx

f i

f i

xvt

x xt t

∆=∆−

=−

หรอเขยนใหมไดว�

,avf i xx x v t= + (2.10)



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย


นกเรยนอ�จสงสยว� สมก�ร (2.10) เปนสมก�รเดยวกนกบสมก�ร (2.7) หรอไม คำ�ตอบกคอ ไมเสมอไปเนองจ�กสมก�ร(2.10)เปนจรงเสมอและใชไดทงในกรณทคว�มเรวคงตวและไมคงตวแตสมก�ร (2.7) ใชไดเฉพ�ะกบกรณทคว�มเรวคงตวเท�นน หรอกล�วไดว� สมก�ร (2.7) เปนกรณเฉพ�ะของสมก�ร(2.10)

ในกรณทวตถเคลอนทดวยคว�มเรงคงตวคว�มเรวมก�รเปลยนแปลงอย�งสมำ�เสมอเร�จงส�ม�รถห�คว�มเรวเฉลยไดจ�ก

,av 2ix fx

xv v

v+

= (2.11)

แทนสมก�ร(2.11)ในสมก�ร(2.10)และแทน fxv โดยใชสมก�ร(2.9)จะได

212f i ix xx x v t a t= + + (2.12)

หรอ

212ix xx v t a t∆ = + (2.13)

นอกจ�กนเร�ยงอ�จเขยนtจ�กสมก�ร(2.9)ในรป

f i

x

v vt

a−

= (2.14)

84



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

รวมกบก�รใชสมก�ร(2.11)แลวแทนในสมก�ร(2.10)

จดรปใหมจะได

2 2 2= + ∆fx ix xv v a x (2.15)

สมก�รทงหล�ยทกล�วถงข�งตนเปนก�รพจ�รณ�ก�รเคลอนทแนวตรงในแนวแกนxถ�นกเรยน ตองก�รพจ�รณ�ก�รเคลอนทของวตถในแนวดงหรอในแนวแกน y กส�ม�รถใชสมก�รดงกล�วได เพยงแตเปลยนตวแปรxใหเปนตวแปรy

เร�ส�ม�รถสรปสมก�รก�รเคลอนทแนวตรงดวยคว�มเรงคงตว เมอเวล�เรมตน ti = 0 และเวล�สดท�ย tf = tไดดงน = +fx ix xv v a t (2.16ก)

∆ =+

x

v vtix fx

2 (2.17ก)

212

∆ = +ix xx v t a t (2.18ก)

2 2 2fx ix xv v a x= + ∆ (2.19ก)

เพอใหง�ยตอก�รเขยนตอไปจะเขยนสมก�รข�งตนในรปสมก�รตอไปน x x xv u a t= + (2.16ข)

∆xu v tx x = +

2

(2.17ข)

21 2x xx u t a t∆ = + (2.18ข)

2 2 2x x xv u a x= + ∆ (2.19ข)



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

เมอ x∆ คอก�รกระจด

uxคอคว�มเรวณเวล�เรมตน(t = 0)เรยกว�คว�มเรวตน

vxคอคว�มเรวณเวล�สนสด(tf = t)หรอเวล�tใดๆเรยกว�คว�มเรวปล�ย

axคอคว�มเรงซงมค�คงตว

โดย x∆ ux vxและaxเปนปรม�ณเวกเตอรเมอแทนค�จะตองกำ�กบเครองหม�ยบวกหรอลบ เพอแสดงทศท�งของปรม�ณนนสวนtเปนปรม�ณสเกล�รมค�เปนบวกเท�นน

ตวอยาง 2.12วตถหนงเคลอนทในแนวตรงดวยคว�มเรงคงตว4.0เมตรตอวน�ท2โดยมคว�มเรวตน2.0 เมตรตอวน�ททศเดยวกบคว�มเรงจงห�คว�มเรวของวตถเมอเวล�ผ�นไป10.0 วน�ท

แนวคด เนองจ�กเปนก�รเคลอนทดวยคว�มเรงคงตวเร�จงส�ม�รถใชสมก�ร(2.16)ในก�รห� คว�มเรวปล�ยได

วธทำา แทนค�ux = +2.0 m/s, ax = +4.0 m/s2และt = 10.0 sจะได

2( 2.0 m/s) ( 4.0 m/s )(10.0 s)

42 m/s

x x xv u a t= +

= + + += +

ตอบ เมอเวล�ผ�นไป 10 วน�ท วตถมขน�ดคว�มเรวเท�กบ 42 เมตรตอวน�ท โดยมทศเดยวกบ คว�มเรง

ตวอยาง 2.13 วตถหนงเคลอนทในแนวตรงดวยคว�มเรงคงตวโดยมคว�มเรวตน4.0เมตรตอวน�ท ไปในทศท�งหนงเมอเวล�ผ�นไป5.0 วน�ทวตถมคว�มเรวเปน2.0เมตรตอวน�ทในทศท�งตรงข�มกบคว�มเรวตนจงห�ก�รกระจดของวตถ

แนวคด เนองจ�กเปนก�รเคลอนทดวยคว�มเรงคงตว ทเร�ทร�บ คว�มเรวตน คว�มเรวปล�ย และเวล� จงส�ม�รถใชสมก�ร(2.17)ในก�รห�ก�รกระจดได

วธทำา แทนค�ux = +4.0 m/s, vx = m/s และt = 5.0 s จะได

2

( 2.0 m/s) ( 4.0 m/s) (5.0 s)2

5.0 m

x xu vx t+ ∆ = − + + =

= +

ตอบ เมอเวล�ผ�นไป5วน�ทวตถมก�รกระจดเท�กบ5.0เมตรโดยมทศเดยวกบคว�มเรวเรมตน

86



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ตวอยาง 2.14รถยนตคนหนงเคลอนทในแนวตรงดวยคว�มเรว30เมตรตอวน�ทกอนจะใชห�มลอเพอใหรถหยดทำ�ใหทกๆ1.0วน�ทคว�มเรวของรถยนตลดลง5.0 เมตรตอวน�ทจงห� ก.คว�มเรวของรถยนตเมอสนวน�ทท2 ข.ก�รกระจดของรถยนตเมอสนวน�ทท2 ค.ก�รกระจดทรถยนตเคลอนทไดกอนหยด

แนวคด ใหทศท�งคว�มเรวเรมตนขนมเครองหม�ยบวกคว�มเรงซงในกรณนมทศสวนท�งกบคว�มเรว เรมตนจงมเครองหม�ยลบ ดงนนจะไดว�ux = + 30 m/s

คว�มเรง 25.0 m/sxa = −

ก. วธทำา ห�คว�มเรวของรถยนตเมอสนวน�ทท2จ�กสมก�ร(2.16)

v u a tx x x= +

= + + −= + −+

( ) ( . )( . )(

30 5 0 2 030 1020

m/s m/s sm/s) m/s

= m/s

2

ตอบ คว�มเรวของรถยนตเมอสนวน�ทท2เท�กบ20เมตรตอวน�ทในทศท�งเดยวกบคว�มเรวเรมตน

ข. วธทำาห�ก�รกระจดของรถยนตเมอสนวน�ทท2จ�กสมก�ร(2.18)

x x =

m/s s m/

+

= +

= + + −

30 2

==+

ตอบ ก�รกระจดเมอสนวน�ทท2เท�กบ50เมตรในทศท�งเดยวกบคว�มเรวเรมตน



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ค. วธทำา ห�ก�รกระจดทรถยนตเคลอนทไดกอนหยดจ�กสมก�ร(2.19)เมอรถยนตหยดขนจะม คว�มเรวเปนศนย(vx = 0)

จ�กสมก�ร 2 2 2x x xv u a x= + ∆ จะได

x v ua

x x

x

=−

=− +−

=−−

2 2

2 2

2

2 2

2

2

0 30

2 5

900

10

( ) ( )

( )

( )

( )

m/s

m/s

m /s

m/s

== + 90m

ตอบ ก�รกระจดทรถยนตเคลอนทไดกอนหยดเท�กบ90เมตรในทศท�งเดยวกบคว�มเรวเรมตน

กรณของคว�มเรงคงตวคว�มเรงเฉลยมค�เท�กบคว�มเรงขณะหนงใชหรอไมเพร�ะเหตใด

1. รถยนตคนหนงวงม�ดวยคว�มเรว40เมตรตอวน�ทเมอผขบสงเกตเหนสงกดขว�งทอยตรง ซงห�งออกไป100 เมตรจงใชห�มลอ(เบรก)ทนท เพอใหรถเคลอนทช�ลงจนหยดถ�สมมต ว�ก�รใชห�มลอดงกล�วทำ�ใหเกดคว�มเรง10เมตรตอวน�ท2จงคำ�นวณว�รถยนตคนน จะชนสงกดขว�งหรอไม 2. รถจกรย�นยนตวงเปนเสนตรงจ�กหยดนงดวยคว�มเรง3 เมตรตอวน�ท2 เมอเวล�ผ�นไป 10วน�ทรถจกรย�นยนตคนนจะอยห�งจ�กจดเดมเปนกเมตร



88



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.7 การตกแบบเสร นกเรยนคงเคยไดยนเรองเล�เกยวกบก�ลเลโอกบก�รปลอยวตถทมมวลต�งกนใหตกลงม�จ�ก หอเอนเมองปซ� ประเทศอต�ล ดงรป 2.15 ม�บ�งแลว เรองเล�ดงกล�วตองก�รชใหเหนว� ห�กไม คดแรงต�นอ�ก�ศแลว วตถทแมจะมมวลต�งกน เมอปลอยใหตกแบบเสรจ�กระดบคว�มสงเดยวกน วตถเหล�นนจะตกถงพนพรอมกนไมขนกบว�วตถนนมมวลม�กนอยเท�ใด

รป 2.15 หอเอนเมองปซา ประเทศอตาล

ก�รตกแบบเสร (free fall)เปนตวอย�งหนงของก�รเคลอนทดวยคว�มเรงคงตวในแนวดงวตถทตกแบบเสรไมไดจำ�กดเฉพ�ะก�รปลอยวตถในมอใหตกลงม�เท�นนห�กแตยงครอบคลมถงก�รโยนวตถขนไปและก�รป�วตถลงม�อกดวยเพร�ะทนททวตถหลดจ�กมอกจะไมมแรงกระทำ�ตอวตถอกแลวนอกจ�กแรงโนมถวงวตถทตกแบบเสรจงเปนวตถทกำ�ลงเคลอนทภ�ยใตแรงโนมถวงเพยงแรงเดยวเท�นน ในคว�มเปนจรง วตถทกำ�ลงเคลอนทอยในอ�ก�ศจะมแรงต�นอ�ก�ศกระทำ�ตอวตถ ก�รตกแบบเสรบนโลกจงเปนเพยงก�รประม�ณเท�นนสำ�หรบก�รเคลอนทในบรเวณทไมสงจ�กพนโลกม�กนกเร�อ�จถอว�คว�มเรงโนมถวงมค�คงตวขน�ดของคว�มเรงโนมถวงมค�เท�ใดศกษ�ไดจ�กกจกรรมน



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

จดประสงค ห�คว�มเรงของวตถทตกแบบเสร

วสดและอปกรณ 1. เครองเค�ะสญญ�ณเวล� 1ชด 2. ถงทร�ยมวล 500 กรม 1ถง 3. แถบกระด�ษ 1แถบ 4.ลวดหนบกระด�ษ(หรอกระด�ษก�ว) 1อน 5. ไมเมตร 1อน 6. หมอแปลงโวลตตำ� 1เครอง 7. ส�ยไฟ 2เสน

วธทำากจกรรม 1. ว�งเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ทตอกบหมอแปลงโวลตตำ�บนขอบโตะทอยสงจ�กพนประม�ณ 1เมตรใชมอชวยจบเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ไว 2. ยดถงทร�ยใหตดกบปล�ยด�นหนงของแถบกระด�ษ 3. สอดแถบกระด�ษเข�ไปในชองของเครองเค�ะสญญ�ณเวล�โดยใหถงทร�ยอยด�นล�ง และใหอยชดกบตวเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ม�กทสดดงรป

กจกรรม 2.2 การทดลองเรองการเคลอนทของวตถทตกแบบเสร

รป การจดอปกรณการเคลอนทของวตถแบบตกเสร

90



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

4. จดเครองเค�ะสญญ�ณเวล�จนแถบกระด�ษอยในแนวดงเปดสวตชใหเครองเค�ะ สญญ�ณเวล�ทำ�ง�นจ�กนนปลอยใหถงทร�ยตกลงสพน 5. นำ�แถบกระด�ษทไดม�วเคร�ะหเพอห�คว�มเรวขณะหนงณเวล�กงกล�งของแถบ กระด�ษในชวงนนตวอย�งของแถบกระด�ษดงรป 6. บนทกผลก�รคำ�นวณในต�ร�งเขยนกร�ฟระหว�งvกบtโดยใหvอยบนแกนตงและt อยบนแกนนอน

รป ตวอยางแถบกระดาษจากกจกรรม 2.2

สองชวงจดทระยะท�งใน

2ชวงจด (cm)

เวล�2ชวงจด

(s)

ขน�ดคว�มเรวเฉลยใน2ชวงจด

(cm/s)

เวล�ตรงกงกล�งแตละชวง

t (s)

12345

2/502/502/502/502/50

1/503/505/507/509/50

ตารางบนทกผลกจกรรม



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

คำาถามทายกจกรรม

กร�ฟทไดมลกษณะอย�งไร จ�กลกษณะของกร�ฟแสดงว�คว�มสมพนธระหว�งขน�ดคว�มเรวขณะหนงกบเวล� เปนอย�งไร คว�มชนของกร�ฟมค�เท�ใดและค�นแทนปรม�ณอะไร

จ�กกจกรรม 2.2 จะเหนว�วตถทถกปลอยใหตกแบบเสรนนจะมขน�ดของคว�มเรวเพมขนดวยอตราคงตว เพร�ะกร�ฟทเขยนระหว�งคว�มเรวกบเวล�เปนเสนตรง คว�มชนของเสนกร�ฟคอความเรงเฉลยก�รเคลอนท และคว�มเรงเฉลยนมค�คงตวตลอด ดงนนคว�มเรงเฉลยทไดกคอความเรงขณะหนง ต�มทเร�ไดศกษ�ม�แลวนนเอง

คว�มเรงในก�รเคลอนทของวตถทตกแบบเสรนเรยกว� ความเรงโนมถวง (gravitational acceleration)ซงแทนดวยสญลกษณ g โดยขน�ดคว�มเรงโนมถวงของโลกgทกรงเทพมค�9.783 เมตรตอวน�ท2ทลอนดอนมค�9.812 เมตรตอวน�ท2 ในก�รคำ�นวณนยมใชg เท�กบ9.8 เมตรตอวน�ท2

เนองจ�กก�รตกแบบเสรเปนกรณหนงของก�รเคลอนทแนวตรงดวยคว�มเรงคงตว เร�จงส�ม�รถใช คว�มสมพนธทไดในหวขอกอนหน�น โดยอ�จเปลยนจ�กตวแปร x ม�ใชตวแปร y เพอแทนทศท�ง ก�รเคลอนทในแนวดงดงสมก�รตอไปน = +y y yv u a t (2.20)

(2.21)

212y yy u t a t∆ = + (2.22)

2 2 2y y yv u a y= + ∆ (2.23)

วตถทตกแบบเสรเคลอนทดวยคว�มเรงคงตวมทศลงในแนวดงเมอใหทศขนมเครองหม�ยเปนบวกจะแทนค� 29.8 m/sya g= − = − ดงตวอย�ง2.15

92



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ตวอยาง 2.15 ปลอยกอนหนมวล0.1กโลกรมจ�กหน�ผ�สงเมอเวล�ผ�นไป5.0วน�ทจงห�

ก.ก�รกระจดของกอนหน ข.คว�มเรวของกอนหน

แนวคด เมอปลอยกอนหนใหตกอย�งเสรก�รตกของวตถไมขนกบมวลคว�มเรวตนของกอนหน uy = 0กอนหนจะตกดวยคว�มเรงเท�กบคว�มเรงโนมถวงโดยมขน�ดคว�มเรวเพมขน เรอยๆและใหทศขนมค�เปนบวก

รป ประกอบแนวคดสำาหรบตวอยาง 2.15

ก. วธทำา ก�รกระจดของกอนหนห�ไดจ�กสมก�ร(2.22)สำ�หรบก�รเคลอนทในแนวดง

212

∆ = +y yy u t a t

แทนค�uy = 0, t = 5.0 sและay = _g = _9.8 m/s2 จะได

∆y = + −

= −

( )( . ) ( . )( . )0 5 0 12

9 8 5 02 2s m/s s

122.5m

ซงเครองหม�ยลบบอกใหเร�รว�ณเวล�t = 5.0 s กอนหนอยตำ�กว�จดปลอย

ตอบ ก�รกระจดของกอนหนตำ�กว�จดปลอยเท�กบ122.5เมตร

212

∆ = +y yy u t a t



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

รป ประกอบแนวคดสำาหรบตวอยาง 2.16 ก.

ข. วธทำา ห�คว�มเรวของกอนหนจ�กสมก�ร(2.20)สำ�หรบก�รเคลอนทในแนวดง

= +y y yv u a t

แทนค�uy = 0, a gy = − = −9 8 2. m/s และt = 5.0 sจะได

2(0) ( 9.8 m/s )(5.0 s)

= 49 m/syv = + −

−

โดยเครองหม�ยลบ แสดงว� กอนหนกำ�ลงเคลอนทลงในแนวดงดวยขน�ดคว�มเรว 49 เมตร ตอวน�ท

ตอบ คว�มเรวกอนหนเท�กบ49เมตรตอวน�ททศเคลอนทลงในแนวดง

ตวอยาง 2.16 โยนกอนหนขนจ�กพนดนในแนวดงดวยขน�ดคว�มเรว12เมตรตอวน�ท

จงห�

ก.วเคร�ะหลกษณะก�รเคลอนทของวตถตงแตกอนหนหลดจ�กมอจนตกกระทบพนดน ข.กอนหนถงตำ�แหนงสงสดหลงโยนกวน�ท ค.ณตำ�แหนงสงสดของกอนหนกอนหนอยสงจ�กพนดนกเมตร ง.กอนหนกระทบพนดนดวยคว�มเรวกเมตรตอวน�ท

ก. แนวคดขณะกอนหนหลดออกจ�กมอ กอนหนมคว�มเรวตน ณ เวล� t = 0 คอ 12 m/syu = + มทศขนในแนวดงดงรปประกอบเเนวคดสำ�หรบตวอย�ง2.16 ก.หลงจ�กนนกอนหนจะ เคลอนทสงขนแตมขน�ดคว�มเรวลดลงเรอยๆเนองจ�กคว�มเรวของกอนหนมทศตรงข�ม กบคว�มเรงโนมถวงของโลกจนเมอเวล�ผ�นไปชวงหนงกอนหนเคลอนทถงตำ�แหนง สงสดในแนวดงณตำ�แหนงนกอนหนมขน�ดคว�มเรวในแนวดงเท�กบ0ดงรปประกอบ แนวคดสำ�หรบตวอย�ง2.16 ข.แสดงว�กอนหนไมเคลอนทขนในแนวดงตอไปอกเมอถง ตำ�แหนงสงสดแลวกอนหนกจะเรมตกลงม�โดยมขน�ดคว�มเรวคอยๆเพมขนเรอยๆ เนองจ�กกอนหนเคลอนทในทศท�งเดยวกบทศของคว�มเรงโนมถวงจนกระทบพนดนในทสด

รป ประกอบแนวคดสำาหรบตวอยาง 2.16 ข.

94



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ข. แนวคดคว�มเรวตนในแนวดงของกอนหน ณ เวล� t = 0 คอ 12 m/s= +yu ณ ตำ�แหนงสงสด ขน�ดคว�มเรวในแนวดงคอ 0=yv จ�กสมก�ร (2.20)สำ�หรบก�รเคลอนทในแนวดงจะได

= +y y yv u a t

จะได

−

= y y

y

v ut

aวธทำา แทนค� 12 m/syu = + , 0yv = และ 29.8 m/sya g= − = − จะได

2(0) ( 12 m/s)

( 9.8 m/s )1.22 s

t − +=

−=

ตอบ เวล�ทกอนหนอยทตำ�แหนงสงสดคอณเวล�t = 1.2 s

ค. แนวคดห�ตำ�แหนงสงสดของกอนหน (yf ) จ�กสมก�ร (2.22) สำ�หรบก�รเคลอนทในแนวดง โดยใช เวล�ทคำ�นวณไดจ�กขอ(ก)และกำ�หนดใหตำ�แหนงเรมตนอยทพน 0=iy

212

= + +f i y yy y u t a t

วธทำา แทนค� 0=iy , 12 m/s= +yu , 29.8 m/sya g= − = − และt = 1.22 sจะได

2 21(0) ( 12 m/s)(1.22 s) ( 9.8 m/s )(1.22 s)2

7.346 m

fy = + + + −

= +

อกวธหนงทส�ม�รถห�ตำ�แหนงสงสดคอใชสมก�ร(2.23)สำ�หรบก�รเคลอนทในแนวดง

แทนค� 0=yv , 12 m/s= +yu , 29.8 m/sya g= − = − และ 0=iy จะได

2 2 2(0) ( 12 m/s) 2( 9.8 m/s )( 0)

7.346 mf

f

y

y

= + + − −

= +

ตอบ ตำ�แหนงทกอนหนขนไปไดสงสดอยสงจ�กพนดน7.3เมตร



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

วธทำา แทนค� 0y∆ = 12 m/s= +yu และ 29.8 m/sya g= − = − จะได

2 2 2

2

( 12 m/s) 2( 9.8 m/s )(0)

144 (m/s)

12 m/s

= + + −

=

= ±

y

y

v

v

จะเหนว�เมอกอนหนตกลงถงพนดน( 0y∆ = )จะมขน�ดคว�มเรวเท�กบตอนทถกโยนขนไป แตมทศชลงพนดน(เครองหม�ย )โดยมคว�มเรว 12 m/s= −yv

นอกจ�กนเร�ยงส�ม�รถห�คว�มเรวขณะกอนหนกระทบพนไดจ�กสมก�ร(2.20)สำ�หรบ ก�รเคลอนทในแนวดงโดยเวล�ทกอนหนกระทบพนเปนสองเท�ของเวล�ทกอนหนขนถง ตำ�แหนงสงสด(เนองจ�กไมคดแรงต�นอ�ก�ศเวล�ทวตถเคลอนทขนจงเท�กบเวล�ทวตถ เคลอนทลง)

= +y y yv u a t

ตอบ เมอกอนหนตกลงถงพนดนมคว�มเรวเท�กบ12เมตรตอวน�ท

ทผ�นม�คว�มเรวของวตถทกล�วถงถกวดจ�กผสงเกตเมอผสงเกตอยนงเทยบกบกรอบอ�งองเชนโลกหรอพนดน แตในกรณทผสงเกตมก�รเคลอนทเทยบกบกรอบอ�งอง คว�มเรวของวตถทวดไดโดย ผสงเกตเมอผสงเกตและวตถมคว�มเรว vO และ vB เทยบกบกรอบอ�งองหนงต�มลำ�ดบมคว�มสมพนธต�มสมก�ร(2.24)

= −BO B Ov v v (2.24)


จะสงเกตเหนว�ก�รห�ตำ�แหนงสงสดโดยวธทสองนไมจำ�เปนตองทร�บเวล�ทกอนหนขนถงตำ�แหนงสงสด

ง. แนวคดห�คว�มเรวของกอนหนขณะกระทบพนดนvyไดจ�กสมก�ร(2.23)สำ�หรบก�รเคลอนท ในแนวดง

2 2 2( )( )y y yv u a y= + ∆

เนองจ�กกอนหนถกโยนขนจ�กพนดนและตกกลบม�ยงพนดนอกครงหนงก�รกระจดของ กอนหนจงมค�เท�กบ 0y∆ =

96



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

หรอคว�มเรวของวตถเทยบกบผสงเกตมค�เท�กบผลต�งของคว�มเรวของวตถกบคว�มเรวผสงเกตเทยบกบกรอบอ�งอง

ตวอยาง 2.17 บอลลนลกหนงลอยขนตรง ๆ ในแนวดงจ�กพนดนดวยขน�ดคว�มเรวคงตว 2.0 เมตร ตอวน�ทเมอเคลอนทไปได10วน�ทคนในบอลลนไดปลอยกอนหนลงม�ดงรป

จงห�

ก. เวล�ทกอนหนใชเคลอนทถงตำ�แหนงสงสดหลงจ�กทปลอย

ข. คว�มสงของกอนหนณตำ�แหนงสงสดจ�กพนดน

ค. เวล�ทกอนหนใชเคลอนทจนตกถงพนดนหลงจ�กทถกปลอย

ง. คว�มเรวของกอนหนขณะกระทบพนดน

จ. คว�มเรวของกอนหนเทยบกบผสงเกตทเวล�10วน�ท

แนวคด โจทยขอนมสงทน�สนใจทตองพจ�รณ�ดงน

●กอนปลอยกอนหนทงกอนหนและบอลลนเคลอนทม�ดวยกนจงมคว�มเรวเท�กนดงรป

● เมอปลอยกอนหนกอนหนมคว�มเรวตนไมเท�กบศนยซงต�งจ�กกรณทปลอยหนใหตก จ�กทสงโดยผปลอยไมเคลอนท

● เมอปลอยกอนหนกอนหนจะเคลอนทขนไปในแนวดงเนองจ�กมคว�มเรวตนเท�กบ คว�มเรวของบอลลนทกำ�ลงเคลอนทขน


2 m/s= +yu

2 m/s= +yu

g

+2.0 m/s

+2.0 m/s



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ก. วธทำา ห�เวล�ทกอนหนใชเคลอนทถงตำ�แหนงสงสดหลงจ�กทปลอยโดยทตำ�แหนงสงสดกอนหน มคว�มเรวในแนวดงเปนศนยสำ�หรบก�รเคลอนทในแนวดงวตถจะมคว�มเรวเปนไปต�ม สมก�ร

= +y y yv u a t

จะได

−

= y y

y

v ut

a แทนค� 2 m/s= +yu , 0=yv และ 29.8 m/sya g= − = − ดงน

ตอบ เวล�ทกอนหนใชเคลอนทถงตำ�แหนงสงสดหลงจ�กทปลอยเท�กบ0.2วน�ท

ข. วธทำา ห�คว�มสงจ�กพนดนของตำ�แหนงทปลอยกอนหนซงมค�เท�กบคว�มสงของบอลลน ทเคลอนทจ�กพนเปนเวล�10วน�ทคว�มสงทบอลลนเคลอนทดวยคว�มเรวคงตวเปนไป ต�มสมก�ร

∆ = yy v t

แทนค� 2 m/s= +yv และt = 10 sดงน

( 2 m/s)(10 s)20 m

y∆ = += +

นนคอกอนหนจงถกปลอยขณะบอลลนเคลอนทไปไดสงเปนระยะ20เมตรส�ม�รถห� ตำ�แหนงสงสดของกอนหนจ�กพนจ�กสมก�ร

2 2 2( )( )= + ∆y y yv u a y

ใหคว�มสงของกอนหนขณะถกปลอยเปนyi และคว�มสงของกอนหนณตำ�แหนงสงสดจ�กพน เปนyfจะได

2 2 2( )( )= + −y y y f iv u a y y

แทนค� 0=yv , , 29.8 m/sya g= − = − และ 20 m= +iy จะได

ตอบ คว�มสงของกอนหนณตำ�แหนงสงสดจ�กพนดนเท�กบ20.2เมตร

+2.0 m/s

(+2.0 m/s)(10 s)

+2.0 m/s

98



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ค. วธทำา ห�เวล�ทกอนหนตกถงพนดนไดจ�กสมก�รสำ�หรบก�รเคลอนทในแนวดง

212

∆ = +y yy u t a t

แทนค� 20 my∆ = − (พนดนอยตำ�กว�ตำ�แหนงปลอย),uy=+2.0 m/s และay = g = _9.8 m/s2จะได

เนองจ�ก กอนหนเรมตกทเวล� t = 0 และจะตกถงพนในเวล�หลงจ�กนน จงเลอกใชเฉพ�ะค�ทเปน+เท�นน

ตอบ เวล�ทกอนหนใชเคลอนทจนตกถงพนดนหลงจ�กทถกปลอยเท�กบ2.2วน�ท

ง. วธทำา ห�คว�มเรวของกอนหนขณะกระทบพนดนจ�กสมก�รสำ�หรบก�รเคลอนทในแนวดง

2 2 2( )( )= + ∆y y yv u a y

แทนค� , 20 my∆ = − และ 29.8 m/sya g= − = − จะได

เนองจ�กขณะกอนหนกระทบพนดนเปนก�รเคลอนทลงในแนวดงจงใชเครองหม�ยลบ เพอแสดงทศท�งของคว�มเรว

ตอบ คว�มเรวของกอนหนขณะกระทบพนดนเท�กบ20เมตรตอวน�ทในทศลง

จ. วธทำา คว�มเรวของกอนหนเทยบกบผสงเกตทเวล�10วน�ทห�ไดจ�กสมก�ร(2.24)

= −BO B Ov v v

โดยทณขณะนนกอนหนมคว�มเรว สวนผสงเกตมคว�มเรวคงตวคอ 2 m/s= +Ov +2.0 m/s เทยบกบพนดนดงนน

( 19.9) ( 2) 21.9m/s= − − + = −BOv (_20) _ (+2.0) = _22 m/s

ตอบ กอนหนมคว�มเรวเทยบกบผสงเกต_22 m/s



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

วตถเคลอนทขนต�มแนวดงภ�ยใตแรงโนมถวงของโลกระยะสงสดทวตถเคลอนทไดขนกบ ปรม�ณใดบ�ง


เดกหญงคนหนงนอนบนพนมองเหนลกบอลย�งลกหนงทอยสง9.8เมตรเรมหลนพอด จงพลกตวทนทถ�เดกหญงใชเวล�พลกตว1.5วน�ทลกบอลย�งจะตกลงม�กระทบเดกหญงคนน หรอไมเพร�ะเหตใด


รป ลกบอลยางหลนลงมาจากทสง 9.8 เมตร

100



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สรปเนอหาภายในบทเรยน

2.1 ตำาแหนง ●ก�รอธบ�ยก�รเคลอนทของวตถใดๆจำ�เปนตองระบตำ�แหนงของวตถณเวล�หนงๆ โดยเทยบกบตำ�แหนงอ�งองหนง

2.2 การกระจดและระยะทาง ●ก�รกระจดคว�มเรวคว�มเรงเปนปรม�ณเวกเตอร ● เวล�อตร�เรวขน�ดคว�มเรวขน�ดคว�มเรงเปนปรม�ณสเกล�ร ●ก�รกระจดคอปรม�ณเวกเตอรมทศพงจ�กตำ�แหนงเรมตนไปตำ�แหนงสดท�ยมขน�ดเท�กบ ระยะห�งระหว�งตำ�แหนงสดท�ยกบตำ�แหนงเรมตนหนวยในระบบเอสไอคอเมตร(m) ● ระยะท�งคอคว�มย�วของเสนท�งตลอดก�รเคลอนทตงแตตำ�แหนงเรมตนถงตำ�แหนง สดท�ยเปนปรม�ณสเกล�รระยะท�งไมจำ�เปนตองมค�เท�กบขน�ดของก�รกระจดเวนแต เคลอนทในแนวตรงไมยอนกลบหนวยในระบบเอสไอคอเมตร(m)

2.3 อตราเรวและความเรว ● อตร�เรวเฉลยคออตร�สวนระหว�งระยะท�งทวตถเคลอนทไดกบชวงเวล�ทใชในก�ร เคลอนทหนวยในระบบเอสไอคอเมตรตอวน�ท(m/s)เปนปรม�ณสเกล�ร ●คว�มเรวเฉลยคออตร�สวนระหว�งก�รกระจดทวตถเคลอนทไดกบชวงเวล�ทใชใน ก�รเคลอนท หนวยในระบบเอสไอคอ เมตรตอวน�ท (m/s) เปนปรม�ณเวกเตอร และขน�ด ของคว�มเรวเฉลยไมจำ�เปนตองมค�เท�กบอตร�เรวเฉลย ●อตร�เรวขณะหนง มค�เท�กบขน�ดของคว�มเรวขณะหนง หนวยในระบบเอสไอคอ เมตรตอ วน�ท(m/s)เปนปรม�ณสเกล�ร ●คว�มเรวขณะหนงพจ�รณ�จ�กคว�มเรวเฉลยโดยใชชวงเวล�ทสนม�กๆหนวยในระบบ เอสไอคอเมตรตอวน�ท(m/s)เปนปรม�ณเวกเตอร

2.4 ความเรง ●คว�มเรงเฉลยคออตร�สวนระหว�งก�รเปลยนแปลงคว�มเรวของวตถกบชวงเวล�ทใชใน ก�รเคลอนทหนวยในระบบเอสไอคอเมตรตอวน�ท2(m/s2)เปนปรม�ณเวกเตอร ●คว�มเรงขณะหนงพจ�รณ�จ�กคว�มเรงเฉลยโดยใชชวงเวล�ทสนม�กๆหนวยในระบบ เอสไอคอเมตรตอวน�ท2(m/s2)เปนปรม�ณเวกเตอร ● สำ�หรบก�รเคลอนทแนวตรงค�บวกลบของปรม�ณเวกเตอรแสดงถงทศท�งของเวกเตอรนนๆ รวมทงก�รกระจดคว�มเรวและคว�มเรงของวตถจะอยในแนวเดยวกน



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

= +fx ix xv v a t v u a tx x x = +

2+

∆ =

ix fxv vx t

2x xu vx t+ ∆ =

212

∆ = +ix xx v t a t 21 2x xx u t a t∆ = +

2 2 2fx ix xv v a x= + ∆ v u a xx x x2 2 2 = + ∆

2.5 กราฟของการเคลอนทแนวตรง ●คว�มชนของเสนตรงทล�กผ�นจดสองจดใดๆ ในกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล� คอคว�มเรวเฉลยระหว�งสองจดนน ●คว�มชนของเสนตรงทสมผสเสนกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งตำ�แหนงกบเวล�คอคว�มเรว ขณะหนงณเวล�นน ●พนทใตกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�คอก�รกระจด ●คว�มชนของเสนตรงทล�กผ�นจดสองจดใดๆในกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล� คอคว�มเรงเฉลยระหว�งสองจดนน ●คว�มชนของเสนตรงทสมผสเสนกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�คอคว�มเรง ขณะหนงณเวล�นน ●พนทใตกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรงกบเวล�คอก�รเปลยนแปลงคว�มเรว ● ในกรณก�รเคลอนทแนวตรงทมคว�มเรงคงตวคว�มเรงเฉลยจะมค�เท�กบคว�มเรงขณะหนง

2.6 สมการสำาหรบการเคลอนทแนวตรง ● สมก�รเคลอนทแนวตรงดวยคว�มเรงคงตว

แบบท 1 แบบท 2

21 2x xx u t a t∆ = +

102



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

2.7 การตกแบบเสร ●ก�รตกอย�งเสรเปนก�รเคลอนทของวตถภ�ยใตแรงโนมถวงของโลกโดยวตถมคว�มเรง ในแนวดงเท�กบคว�มเรงโนมถวงของโลกซงมค�ประม�ณ9.8เมตรตอวน�ท2 ● สมก�รก�รเคลอนทในแนวดง4สมก�รของก�รตกแบบเสร

แบบท 1 แบบท 2

= +fy iy yv v a t y y yv u a t= +

2+

∆ =

iy fyv vy t

2y yu v

y t+

∆ =

212

∆ = +iy yy v t a t 21 2y yy u t a t∆ = +

2 2 2y y yv u a y= + ∆

● ในกรณผสงเกตมคว�มเรวคว�มเรวของวตถทสงเกตไดเปนคว�มเรวทเทยบกบผสงเกต ดงสมก�ร BO B Ov v v= −



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

1. เดกคนหนงเดนไปท�งทศตะวนออก150เมตรแลวเดนกลบท�งเดม30เมตรไปท�ง ทศตะวนตก ก.ระยะท�งทงหมดทเดกคนนนเดนไดเปนเท�ใด ข.ก�รกระจดของก�รเคลอนทเปนเท�ใด

แบบฝกหดทายบทท 2

คำาถาม

2. รถยนตคนหนงเคลอนทได

30

กโลเมตร

ในครงชวโมงแรก

และเคลอนทไดระยะท�ง

50

กโลเมตร

ในครงชวโมงตอม�อตร�เรวเฉลยใน

1

ชวโมงมค�เท�ใด

3. ช�ยคนหนงดงแถบกระด�ษผ�นเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ซงเค�ะ

50

ครงตอวน�ทปร�กฏ

จดบนแถบกระด�ษดงรป

จงห�ขนาดของคว�มเรวทจด

A

และ

B

โดยใชไมบรรทดวด

ปรมาณทเกยวของกบก�รคำ�นวณ

4. ถ�เร�ปลอยกอนหนกอนหนงใหตกแบบเสรในขณะเดยวกบทเร�ขว�งกอนหนอกกอนหนง ลงต�มแนวดงกอนหนกอนไหนจะตกถงพนกอน 5. ปลอยลกบอล A ใหตกแบบเสร ขณะทลกบอล B ถกโยนขนในแนวดงดวยคว�มเรวตน ค�หนง หลงจ�กทลกบอลทงสองเคลอนทออกจ�กมอ จงเปรยบเทยบคว�มเรงของลกบอล ทงสองกรณโดยถอว�ไมมแรงต�นอ�ก�ศ 6. ขณะวตถเคลอนทขนหรอเคลอนทลงต�มแนวดงภ�ยใตแรงโนมถวงของโลกปรม�ณ ทเกยวของกบก�รเคลอนทและมค�คงตวไดแกปรม�ณใด

A

B

รป ประกอบคำาถาม 3

104



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

รป ประกอบปญหาขอ 2

1. วตถหนงเคลอนทจ�กจดกไปยงจดขต�มเสนท�งดงรป

ระยะท�งทวตถเคลอนทไดมค�เท�ใด

ปญหา

y (เมตร)

(เมตร)

5

5 10x


2. ถ�เรมตนเดนจ�กมมตกอำ�นวยก�รทจด1ไปยงตก15ปสสวทสนสดทปล�ยตกอ�ค�ร ปฏบตก�รโดยผ�นจดท2 3และ4ต�มลำ�ดบระยะท�งมค�เท�ใดและก�รกระจดม ค�ประม�ณเท�ใด

170 m

120 m 100 m

อำานวยการ

15 ป สสวท.

2 3

14

ปฏบตการ

-10



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ppatc

Line

ppatc

Line

ppatc

Line

ppatc

Line

6. จ�กก�รดงปล�ยด�นหนงของแถบกระด�ษผ�นเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ทเค�ะ50ครง ตอวน�ทไดจดบนแถบกระด�ษดงรป


1

2

3


3.จงห�ก�รกระจดจ�กจดเรมตนในกรณตอไปน ก.เดนไปท�งทศใต5เมตรเเลวยอนกลบม�ทศเหนอ2เมตร ข.เดนไปท�งทศตะวนตก4เมตรแลวเดนตอไปในทศเดมอก8เมตร ค.เดนไปท�งทศตะวนตก7เมตรแลวยอนกลบม�ท�งทศตะวนออก 9เมตร 4. แสดงจดบนแถบกระด�ษทง3แถบทระบหม�ยเลข1 2 3ซงเกดจ�กก�รเคลอนทของรถ ทดลองทตดแถบกระด�ษผ�นเครองเค�ะสญญ�ณเวล�ดงรป

จงตอบคำ�ถ�มตอไปน ก.จดบนแถบกระด�ษหม�ยเลขใดทแสดงถงอตร�เรวทเพมขนเรอยๆของรถทดลอง ข.จดบนแถบกระด�ษหม�ยเลขใดทแสดงถงอตร�เรวสดท�ยของรถทดลองเปนศนย ค.จดบนแถบกระด�ษหม�ยเลขใดทบอกถงอตร�เรวสมำ�เสมอของรถทดลอง

5. รถยนตคนหนงเคลอนทดวยอตร�เรวคงตวขน�นกบรถไฟขบวนหนงซงมคว�มย�ว60เมตร และจอดนงบนร�งตรงถ�เวล�ทรถยนตใชเคลอนทจ�กหวขบวนถงท�ยขบวนเท�กบ3วน�ท รถยนตมอตร�เรวเท�ใด

106



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ก.จงห�อตร�เรวเฉลยระหว�งจดเรมตนไปจดA ข.จงห�อตร�เรวเฉลยระหว�งจดเรมตนไปจดB ค.จงห�อตร�เรวเฉลยระหว�งจดAไปจดB ง.จงห�อตร�เรวทจดAและจดB จ.จงห�ขน�ดของคว�มเรงทจดAและจดB 7. จ�กรปแสดงก�รเคลอนทของอนภ�คหนงในแนวแกนxเปนดงรป


อนภ�คเรมเคลอนทจ�กจดAไปBใชเวล�3วน�ทแลวเคลอนทยอนกลบจ�กจดBไปจดC ใชเวล�2วน�ทอตร�เรวเฉลยและคว�มเรวเฉลยของก�รเคลอนททงหมดมค�เท�ใด 8. รถไฟฟ�เคลอนทออกจ�กช�นช�ล�เมอเวล�ผ�นไป10วน�ทรถไฟฟ�มขน�ดของ คว�มเรวเท�ใดถ�รถไฟฟ�มคว�มเรงคงตว1.50เมตรตอวน�ท2

9. ช�ยคนหนงขบรถยนตดวยขน�ดของคว�มเรว20เมตรตอวน�ทไปต�มถนนตรงถ�คนขบ เบรกใหรถยนตหยดดวยคว�มเรง เมตรตอวน�ท2น�นเท�ใดรถยนตจงหยด

10. กร�ฟระหว�งตำ�แหนงกบเวล�ของวตถหนงดงรป

จงห�อตร�เรวของวตถ

เวลา


(s)0

02 4 6 8 10 12 14 16 18 20

20

40

60

80

100

120




สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

12. กร�ฟระหว�งคว�มเรงของวตถกบเวล�มลกษณะดงรป

11. วตถหนงกำ�ลงเคลอนทเปนเสนตรงกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�แสดงได ดงรป

คว�มเรงของวตถชวงเวล�0 -5วน�ทและชวงเวล�5 -15วน�ทมค�เท�ใด

เวลา

ความเรง (m/s )

(s)0

1

5 1510

2

2


ก.เวล�ใดทคว�มเรวของวตถเปนศนย ข.ทเวล�5-10 วน�ทวตถมก�รเปลยนแปลงคว�มเรวจ�กเดมหรอไมอย�งไร

เวลา


(s)

-10

30

20

10

0

-20

5 10 15


108



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

13. ในก�รวงแขงขนไปต�มลวงแนวตรงของนกวง2คนในชวงเวล�หนงพบว�กร�ฟระหว�ง ตำ�แหนงกบเวล�ของนกวงเปนดงรป

นกวงคนใดมอตร�เรวเฉลยม�กกว�เพร�ะเหตใด 14. วตถเคลอนทไดกร�ฟระหว�งคว�มเรวกบเวล�ดงรปจงห�ว�เวล�ใดทวตถเคลอนทดวย คว�มเรวคงตว

เวลา


(s)t00

นกวงคนท 1

นกวงคนท 2


เวลา


(s)0

0t1 t2 t3




สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

เพร�ะเหตใด 20. โยนวตถกอนหนงขนไปในแนวดงโดยวตถขนไปถงจดสงสดทBถ�AและCเปนจดท อยในระดบเดยวกนดงรป

ถ�ไมคดแรงต�นอ�ก�ศทจดA B และ Cมคว�มเรงเท�กนหรอไมอย�งไร 21. วตถxและyเคลอนทขนต�มแนวดงภ�ยใตแรงโนมถวงของโลกระยะท�งสงสดของวตถ ทงสองเท�กบ100เมตรและ200เมตรต�มลำ�ดบอตร�สวนระหว�งคว�มเรวตนของx และyมค�เท�ใด 22. กอนหนตกแบบเสรจ�กทสงแหงหนง จะใชเวล�น�นเท�ใด คว�มเรวของกอนหน จงเปน 4เท�ของคว�มเรวเมอสนวน�ทท1ของก�รเคลอนท


15. เครองบนลำ�หนงเคลอนทบนท�งวงทมคว�มย�ว2.4กโลเมตรกอนขนจ�กท�งวง โดยนกบนเรงเครองจ�กหยดนงดวยคว�มเรงสมำ�เสมอเมอเครองบนเคลอนทสดท�งวง จะมขน�ดคว�มเรว 160 เมตรตอวน�ท จงเหนขนฟ� จงห�คว�มเรงของเครองบนกอน เหนขนฟ� 16. เดกคนหนงเรมวงจ�กหยดนงไปต�มถนนตรงดวยคว�มเรงคงตวจงห�อตร�สวนของ ขนาดของการกระจดในวน�ทท0ถง1กบวน�ทท1ถง2ของก�รเคลอนท 17. รถยนตคนหนงเคลอนทจ�กหยดนงไปต�มถนนตรงดวยคว�มเรงคงตวและไปไดไกล 75เมตรภ�ยในเวล�5วน�ทขน�ดของคว�มเรงของรถยนตเปนเท�ใด 18. รถยนตคนหนงเคลอนทบนถนนตรงดวยคว�มเรว15เมตรตอวน�ทหลงจ�กนน1น�ท รถยนตมคว�มเรว7เมตรตอวน�ทในทศท�งเดมจงห�คว�มเรงเฉลยของรถยนต 19. ถ�ขว�งวตถขนต�มแนวดงห�กไมคดแรงต�นอ�ก�ศวตถจะเคลอนทเรวขนหรอช�ลง

110



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

ปญหาทาทาย

23. จรวดพงออกจ�กฐ�นปลอยบนพนโลกต�มแนวดงดวยคว�มเรงคงตวเมอเวล�ผ�นไป 10วน�ทจรวดมคว�มเรวเพมขนเปน2กโลเมตรตอวน�ทจรวดนนมคว�มเรงเท�ใดและ ขณะนนจรวดอยสงจ�กพนดนเท�ใด 24. โยนกอนหนขนไปต�มแนวดงดวยคว�มเรวตน10เมตรตอวน�ท(ไมคดแรงต�นอ�ก�ศ) จงห� ก.เมอใดกอนหนมคว�มเรวเปนศนย ข.กอนหนขนไปไดสงสดเท�ใด ค.เปนเวล�น�นเท�ใดกอนหนจงจะตกลงม�ถงตำ�แหนงเรมตน 25. ขณะทบอลลนลกหนงลอยขนตรงๆ ดวยคว�มเรว4.9เมตรตอวน�ทขณะทลกบอลลนสง จ�กพนดน29.4เมตรผอยในบอลลนกปลอยถงทร�ยลงม� ก.จงห�ตำ�แหนงของถงทร�ยหลงจ�กทปลอยไปแลว1.0และ2.0วน�ท ข.ถงทร�ยจะตกถงพนดนในเวล�เท�ใด ค.ขณะทถงพนดนถงทร�ยมคว�มเรวเท�ใด ง.จดสงสดของถงทร�ยสงจ�กพนดนเท�ใด

26.ยงวตถขนฟ�ในแนวดงดวยคว�มเรวตน19.6เมตรตอวน�ทวตถจะตกกลบม�ถงตำ�แหนง เรมตนในเวล�เท�ใด

รป ประกอบปญหาทาทายขอ 27

27. ช�ยคนหนงวงสมำ�เสมอไปต�มขอบสน�มรปสเหลยมผนผ�โดยเรมจ�กจดAดงรป

ถ�เข�วงจ�กAไปBและCโดยใชเวล�35 วน�ทจงห�อตร�เรวเฉลยและขน�ดของคว�มเรว เฉลยของช�ยคนน

B C

A D

30 m

40 m



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

เวลา


(s)2 4 6 t0

10

-10

8


1 42 3

ความเรง (m/s2)

เวลา (s)0

2.0

4.0

6.0

-2.0

5 6


28. วตถหนงเคลอนทในแนวตรงไดกร�ฟคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล�เปนดงรป

29. วตถเคลอนทในแนวตรงจ�กหยดนงไดกร�ฟคว�มเรงกบเวล�ดงรป

ก.เขยนกร�ฟแสดงคว�มสมพนธระหว�งคว�มเรวกบเวล� ข.จงห�คว�มเรวทวน�ทท5 ค.จงห�ก�รกระจดทวตถเคลอนทไดใน 6วน�ท

ถ�ขน�ดของก�รกระจดทวตถเคลอนทไปท�งหนงเเละขน�ดของก�รกระจดทเคลอนทกลบ ทศมค�เท�กนเวล�toมค�เท�ใด

112



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

30. นกบนอวก�ศทำ�ก�รทดลองห�คว�มเรงโนมถวงบรเวณผวด�วเคร�ะหดวงหนง โดยก�ร ปลอยวตถทตำ�แหนงสงจ�กพน112เมตรวตถตกถงพนในเวล�8วน�ทคว�มเรงโนมถวง บรเวณผวด�วดวงนมค�เท�ใด

10 4020 30

ความเรว (km/hr)

เวลา (s)

10

20

30

40

050 60

50 รถยนต A

รถยนต B


31. รถยนตAหยดอยทไฟแดงเมอไฟสญญ�ณเปลยนเปนไฟเขยวรถยนตAจงเรงเครองออก เดนท�งตอไปจนมคว�มเรวคงตว50 กโลเมตรตอชวโมงในขณะทรถAเรมเคลอนทนน รถยนตB วงผ�นรถยนตA ดวยคว�มเรวคงตว30กโลเมตรตอชวโมงกร�ฟของคว�มเรว กบเวล�ของรถยนตทงสองคนปร�กฏดงรป

ก. รถยนตAแลนเปนเวล�น�นเท�ใดจงมคว�มเรวเท�กบรถยนตB ข. กอนทรถยนตAจะแลนทนรถยนตBรถทงสองอยห�งกนม�กทสดขณะมคว�มเรว เปนอย�งไรและห�งม�กทสดเท�ใด ค. ทวน�ทท40รถยนตคนใดอยหน�เปนระยะท�งเท�ใด ง. เมอใดรถยนตAจงจะแลนทนรถยนตB 32. อเลกตรอนตวหนงเคลอนทดวยคว�มเรว1.0 × 104 เมตรตอวน�ท เข�สบรเวณสน�ม ไฟฟ�และถกเรงโดยสน�มไฟฟ�เปนระยะท�ง 1.0 เซนตเมตร เมอออกจ�กสน�มไฟฟ� อเลกตรอนมคว�มเรว4.0 × 106เมตรตอวน�ทจงห�คว�มเรงของอเลกตรอน



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

33. รถสองคนวงต�มกนม�บนถนนส�ยตรงดวยคว�มเรวเท�กนคอ30เมตรตอวน�ทและ อยห�งกน40เมตรถ�ผขบรถคนหน�เรมจบเวล�เมอรถคนหลงเรมลดคว�มเรวดวย คว�มเรงคงตว3เมตรตอวน�ท2

ก.รถคนหลงอยห�งจ�กรถคนหน�เท�ใดทเวล�2 ,4, 6, 8และ10วน�ท ข.เขยนกร�ฟระหว�งตำ�แหนงกบเวล�ของรถทงสองโดยใหตำ�แหนงเปนแกนตง เวล�เปนแกนนอน ค.อตร�เรวของรถคนหลงเปนเท�ใดทเวล�2, 4, 6, 8และ10วน�ท ง.เขยนกร�ฟระหว�งคว�มเรวกบเวล�จ�กขอค.โดยใหคว�มเรวเปนแกนตงเวล� เปนแกนนอน 34. เดกคนหนงโยนเหรยญขนไปในแนวดงเหรยญตกถงพนทอยตำ�กว�ตำ�แหนงมอท โยนเหรยญเปนระยะท�ง80เซนตเมตรถ�เหรยญอยในอ�ก�ศเปนเวล�2วน�ทเดกคนนน โยนเหรยญขนไปดวยอตร�เรวเท�ใด

114



สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

สงวนส

ทธโดย

สสวท


แพร ท

าซา

ดดแป

ลง หร

อจาห

นาย

Documents

ฟิสิกส์ เล่ม บทที่ ก รเคลื่อนที่แนวตรง 2 · ฟิสิกส์ เล่ม 1 บทที่ 2 ก รเคลื่อนที่แนวตรง