82

เร่ืองที่ 3 การหาพ้ืนที่ของรูปเรขาคณิต

1. รูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม คือ รูปปดที่มีดานสามดาน มุมสามมุม เมื่อกําหนดใหดานใดดานหนึ่งเปน

ฐานของรูปสามเหลี่ยม แลวมุมที่อยูตรงขามกับฐานจะเปนมุมยอด และถาลากเสนตรงจากมุมยอด

มาต้ังฉากกับฐาน หรือสวนตอของฐานจะเรียกเสนต้ังฉากวาสวนสูง

จากรูปสามเหลี่ยม ABC ใหกาํหนด BC เปนฐาน

เรียก A วา มุมยอด

เรียก AD วา สวนสูง

จากรูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา ABCD แตละรูปเทากับ 12 ตารางหนวย

และพื้นที่สามเหลี่ยมแตละรูปเทากับคร่ึงหน่ึงของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา

จากสูตร พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผา = ฐาน x สูง

ดังน้ัน พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = ×21

ฐาน × สูง

83

ตัวอยาง รูปสามเหลี่ยมรูปหน่ึงพื้นที่ 40 ตารางเซนติเมตร และมีฐานยาว 8 เซนติเมตร จะมีความสูง

กี่เซนติเมตร

วิธีทํา

ดังน้ัน ความสูงของสามเหลี่ยมเทากับ 10 เซนติเมตร

แบบฝกหัดท่ี 3

1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงาของรูปตอไปน้ี ตัวเลขที่เขียนกํากับดานไวถือเปนความยาวของดาน และมี

หนวยเปนหนวยความยาว

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

....................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

.......................................................................

ใหความสูงของสามเหลี่ยม h เซนติเมตร

สูตร พื้นที่ = ×21

ฐาน × สูง

40 = h×× 821

h=×8

240

10 = h

84

2. รูปสามเหลี่ยมหน่ึงรูปมีพื้นที่ 90 ตารางเซนติเมตร มีฐานยาว 12 เซนติเมตร จะมีความสูง

กี่เซนติเมตร

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

3. สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม BAC เปนมุมฉาก และกําหนดความยาวของดานดังรูป จงหาความ

ยาวของดาน A

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

85

4. จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงาของไมฉากรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีขนาดตามรูป (ความยาวที่กําหนดมี

หนวยเปนเซนติเมตร)

30

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................

2. รูปสี่เหลี่ยม

2.1 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมแตละมุมเปนมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากมี 2 ชนิด คอื

ก) รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานทุกดานยาวเทากัน

ข) รูปสี่เหลี่ยมผืนผา

เปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีดานตรงขามยาวเทากัน

86

ถาแบงรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากออกเปนตาราง ๆ โดยแบงดานกวางและดานยาวออกเปนสวนๆ

เทาๆ กัน แลวลากเสนเชื่อมจุดแบงดังรูป

จากรูปตารางเล็กๆ ที่เกิดจากแบงแตละรูป จะมีความกวาง 1 หนวย และยาว 1 หนวย คิด

เปน พื้นที่ 1 ตารางหนวย

การหาพื้นของสี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1

สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 1 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 3 หนวย เมือ่แบงแลวไดจํานวนตาราง

9 ตาราง หรือมีพื้นที่ 9 ตารางหนวย

สี่เหลี่ยมมุมฉากรูปที่ 2 มีดานกวาง 3 หนวย ดานยาว 4 หนวย เมือ่แบงแลวไดจํานวนตาราง

12 ตาราง หรือมีพื้นที่ 12 ตารางหนวย

การหาพื้นที่ดังกลาว สามารถคํานวณไดจากผลคูณของดานกวางและดานยาว

น่ันคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดานกวาง x ดานยาว

ในกรณีที่เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะมีดานกวางเทากับดานยาว

น่ันคือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ดาน x ดาน

หรือ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก = (ดาน)2

ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมตอไปน้ี

87

วิธีทํา

(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = กวาง x ยาว

= 5 x 8

= 40 ตารางหนวย

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 40 ตารางหนวย ตอบ

(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = ดาน x ดาน

= 4 x 4

= 16 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 16 ตารางเซนติเมตร ตอบ

(ก) พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผา = (2x3) + (4x7)

= 6 + 28

= 34 ตารางน้ิว

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา เทากับ 34 ตารางน้ิว ตอบ

2.2 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานตรงขามขนานกันสองคู

88

การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน

ถารูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD กาํหนด a แทนความยาวของดาน AB และ b แทนความ

สูง DE

จากรูปที่ 1 ลากเสนทแยงมุม BD และลาก DE ใหต้ังฉากกับ AB ดังรูปที่ 2 เราสามารถ

ใชพื้นที่ของรูปสามเหลีย่มหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD ไดดังน้ี

พื้นที่ของ � ABCD เทากับผลบวกของพื้นที่ ABD และพื้นที่ CDB

เน่ืองจาก พื้นที่ ABD เทากับ พื้นที่ CDB

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCD = 2 เทาของพื้นที่ ABD

=

××× ba

212

สูตรพื้นที่ รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ความยาวของฐาน x ความสูง

รูปสี่เหลี่ยมดานขนานที่มีดานทุกดานยาวเทากันและมุมไมเปนมุมฉาก เรียกวา รูปสี่เหลี่ยม

ขนมเปยกปูน

ในกรณีเปนรูปสี่เหลี่ยมขนมเปยกปูน ถาลากเสนทแยงมุม แบงรูปสี่เหลี่ยมออกเปนรูป

สามเหลี่ยมสองรูป และไดสูตรดังน้ี

สูตรพื้นที่ � ขนมเปยกปูน = ×21

ผลคูณของเสนทแยงมุม

ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD

วิธีทํา

89

รูปสี่เหลี่ยมดานขนาน = ฐาน × สูง

= AB × AB

= 10 × 7 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมดานขนาน ABCD = 70 ตารางเซนติเมตร ตอบ

2.3 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู

บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมคางหมู คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีดานขนานกันหน่ึงคูเทาน้ัน

รูปสี่เหลี่ยมทั้งสามรูป แตละรูปมีดานขนานกันเพียง 1 คูเทาน้ัน รูปสามเหลี่ยมทั้งสามรูปจึง

เปนสี่เหลี่ยมคางหมู

รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 2 มีดานที่ไมขนานกัน 1 ดาน ต้ังฉากกับดานคูขนาน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคาง

หมูน้ีวา สี่เหลี่ยมคางหมูมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมรูปที่ 3 มีดานที่ไมขนานกันยาวเทากัน เรียกรูปสี่เหลี่ยมคางหมูน้ีวา สี่เหลี่ยม

คางหมูหนาจ่ัว

รูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD มดีาน AB ขนานกบัดาน CD ลาก CE ใหต้ังฉากกับ AB

และลากเสนทแยงมุม AC ดังรูปที่ 2

กาํหนด a แทนความยาวของดาน AB

b แทนความยาวของดาน CD

c แทนความสูง

เราสามารถใชพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ABCD ไดดังน้ี

90

พื้นที่ � ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ABC และพื้นที่ ACD

จากพื้นที่ ABC = ca ××21

พื้นที่ ACD = cb ××21

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCE =

××+

×× ebea

21

21

= )(21 bac +××

สูตร พื้นที่ � คางหมู = ×21

สูง × ผลบวกดานคูขนาน

ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ABCD

วิธีทํา

พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = ×21

สูง × ผลบวกดานคูขนาน

= ( )DCABDE +××21

= ( )812621

+××

= 3 × 20 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร

2.4 พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปวาว

บทนิยาม รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีดานประชิดกันยาวเทากันสองคู

เมื่อลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมรูปวาว จะพบวา เสนทแยงมุมตัดกันเปนมุมฉาก และ

แบงคร่ึงซึ่งกันและกัน

91

การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว

เราสามารถใชพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหาสูตรพื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ไดดังน้ี

พื้นที่ � ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ACD และพื้นที่ ABC

จาก ABC =

××× ba

21

21

ADC =

××× ba

21

21

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCD =

×××+

××× baba

21

21

21

21

พื้นที่ � ABCD =

×+

××× bba

21

21

21

=

+××

2221 bba

= ba ××21

สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมรูปวาว = ×21

ผลคูณของเสนทแยงมุม

รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD มี ADAB = และ CDBC =

กาํหนด a แทนความยาวของเสนทแยงมุม AC

b แทนความยาวของเสนทแยงมุม BD

เสนทแยงมุม AC และ BD ตัดกันที่จุด E

ทําให DE ต้ังฉากกับ AC

BE ต้ังฉากกับ AC

92

ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD ที่มี 10=BD เซนติเมตร และ 12=AC เซนติเมตร

วิธีทํา

พื้นที่รูปวาว = ×21

ผลคูณของเสนทแยงมุม

= BDAC ××21

= 101221

×× ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมรูปวาว ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร

2.5 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมใดๆ

รูปสี่เหลี่ยมใดๆ เปนรูปสี่เหลี่ยมที่ไมเขาลักษณะของรูปสี่เหลี่ยมขางตน การหาพื้นที่อาจทํา

ไดโดยลากเสนทแยงมุม แลวหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้น

พื้นที่ � ABCD เทากับ ผลบวกของ พื้นที่ ABC และพื้นที่ ADC

จากพื้นที่ ABC = BEAC ××21

พื้นที่ ABD = DFAC ××21

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCE =

××+

×× DFACBEAC

21

21

= ( )DFBEAC +××21

จากรูปสี่เหลี่ยม ABCD เปนรูปสี่เหลี่ยมใดๆ จากเสนทแยงมุม AC

จากจุด B ลากเสน BE ใหต้ังฉากกับ AC

D ลากเสน DF ใหต้ังฉากกับ AC

ซึ่งเสน BE และ DF เรียกวา เสนกิ่ง

93

สูตร พื้นที่สี่เหลี่ยมใดๆ = 21

× ความยาวของเสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง

ตัวอยาง จงหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม ABCD มี AC = 10 เซนติเมตร เสนกิ่ง DF = 7 เซนติเมตร และ

EB = 5 เซนติเมตร

วิธีทํา

พื้นที่ � ABCD = ×21

เสนทแยงมุม × ผลบวกของความยาวของเสนกิ่ง

= ( )DFBEAC +××21

= ( )571021

+×× ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่ � ABCD = 60 ตารางเซนติเมตร

แบบฝกหัดท่ี 4

94

95

2. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาว

เปนเมตร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

96

2.6 พื้นท่ีรูปหลายเหลี่ยม

การหาพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ใชวิธีแบงรูปหลายเหลี่ยม เปนรูปสี่เหลี่ยมยอยๆ แลว หาพื้นที่

ของรูปแตละรูปนําผลลัพธมารวมกัน แตบางคร้ังอาจใชวิธีตอเติมรูปเพื่อใหเกิดรูปเหลี่ยมใหมแลว

นํามาหักลบกัน ดังตัวอยาง

ตัวอยาง จงหาพื้นที่รูปเหลี่ยมที่แรเงา

วิธีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากยอย 3 รูป คือ � DEJC,

� FGKJ, � ABKH

พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = พ.ท.� DEJC + พ.ท.� FGKJ + พ.ท.� ABKH

= ( 2×6) + (1×4) + (3×10)

= 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตร

ดังน้ัน พื้นที่รูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร

2.7 พื้นท่ีรูปวงกลม

การหาพื้นที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบงออกเปนสวนเล็กๆ แลวนําแตละสวนมาสลับกัน ดัง

รูป

จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร

FJ = 4 เซนติเมตร

97

จะเห็นไดวา ถายิ่งแบงสวนยอยใหมีจํานวนมากขึ้น รูปสี่เหลี่ยมที่ไดจะมีรูปใกลเคียงกับรูป

สี่เหลี่ยมผืนผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม

ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับคร่ึงหนึ่งของเสนรอบวง หรือ ( ) rr ππ =221

จากสูตร พื้นที่ � ผืนผา = ฐาน × สูง

= ( ) rr ×π

= 2rπ

สูตร พื้นที่วงกลม = 2rπ

เมื่อ 722

=π หรือ 3.14 โดยประมาณ

r แทนความยาวรัศมี

ตัวอยาง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตร

วิธีทํา

พื้นที่วงกลม = 2rπ

= 77722

×× ตารางเซนติเมตร

พื้นที่วงกลม = 154 ตารางเซนติเมตร

98

แบบฝกหัดท่ี 5

1. จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับดานมีหนวยเปนเซนติเมตร และจุด O แทน

จุดศูนยกลางของวงกลม

1

99

สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

100