36
AGeneralTreatmentofHenriMichaelisMenten EnzymeKinetics:ExactSeriesSolutionand ApproximateAnalyticalSolutions ABSTRACT MATCH Communications in Mathematical and in Computer Chemistry MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 63 (2010) 283-318 ISSN 0340 - 6253

A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

  • Upload
    others

  • View
    2

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

A�General�Treatment�of�Henri�Michaelis�Menten�

Enzyme�Kinetics:�Exact�Series�Solution�and�

Approximate�Analytical�Solutions�

������������� ��� �����

������� ��� ������ ������ � ������� �� ��� ��� �� ���������� ��� � ���������� ���

� ����������� !� ������������"������#$�����!�%��&����� ���#$���� ����'���� !�()*+�))(�

'���� !�,����� ��

������ �-������"��

./����&���0����12!�1))+3�

ABSTRACT�

4�����������&��5����6��������� ������������.6��3���7 ���8�����������"������������

���� ������ " ��� ��� ���� " "��!� � ���"������� ���� ������� ������"����� �� �� ��������� ���� � �����

� ����� ��� ���� � � � ���� "������� ��� ����������� #��� �������"�������� ��� ���� ������ ���

�������� ����� �������������� ���� �������"� ����������&������ ����"���5 ��� �����"������

5���� ���� � ���� ��� �� ������9��� 8��5�� �� 9� ������ � ��� ��� ""��:�� ����� ��� ����

������� " ��� ��� ���� " "��� �� �: ��� ������������� �� ������ ����� ��� 6��� 8�������� ���

�����������#���5�����"����������������������� ������������& �� �����&���������9� �����

�� �� ��� � ������������� �������� �� ���������� ���������� �� �9� ����!� ��� ���� ��������

" � ������� ����������������������������������9� �������;���7 ������������ !������� ���

�������� ����� �� �������� ����!� ��� ��7 ��� �������� ����� �� �������� ����� #��� �: ���

��������� ��� 6��� 8�������� ��� ��� ����� �� � ���� ��� � �� ����� ������� ����� ���� � ���

�9� ����!� ����������� ""��:�� ������������!������8��5�!��������5!� �������&������ �

� ���� ����5 ��� �� ���5�� �"��������& �� ���������������"����&����&������ ""��:�� �����

��� ����������� ��� & ����� � #��� �&�������� �9� ����� ��� ����� ��� ���� ���5�� ��� ��� 5����

������ ����"������ �� ����������������������������������� �����"�� �������������������� ���

��������� � ���&��������� ��������" � �������

� �

MATCH

Communications in Mathematical

and in Computer Chemistry

MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 63 (2010) 283-318

ISSN 0340 - 6253

Page 2: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

1.�INTRODUCTION�

t

<�7 ���E� ��������� ���S�.��� �� ����� �����:����3� ����� ���� � �� ������������ ��

�� ������ .ka� �� ()=� ��� ()()� ��(� ��(3� ��� ����� ���� ��7 ��������� ��� ���"��:� ES� #���

������ ��� ��� ����� �� ��������� ����� "������� P� ��� ���� ���"��:� ��� �� � ������� ����

���� ���������"������� ���������� �����������7 ���6�5�&��!������� ����������������� ��

��&�������!� ��� ���� ���"��:� � �� ���� ������� ��� � �8� ��� ��&�� ����� ������ ��� ��� �����

��7 ���4��� ������������� � ����"�� ������������� ��� ����5����8��5��6��������� �����

�������.6��3�8��������������>(!�1?�5���������������"�����������"����������7 ��� �����;�

a cat

d

k k

kE S ES E P���� ������ �

Scheme�1�

��� ����� ������!� ��&��������� � ��� ���� ������� ���"� ��� ���������!� ��� ���� ���� ������ � �

�:����������� �����������"��:�EP�������� ��������������:"������ �@�������"����������������

����� ��6 �� ����������>A?!�

1

1

a ca

d b

k kk

k k kE S ES EP E P

��� ��� ���� ���� ��� ��� �

Scheme�2�

����6���������"����� ������5����&��� ���� <�B<,� ��������&������� ��� ��� ��&�� � � ��� ���

�����& �� ��������� ��������� ������"�� ���������������#����5������� ����������� ������

� 4����"��� ���9� ���� ������������7 ��� ���&�� �������������&���� ���r��>(!�1?!�

� � � � �

� 0E dt

5�����>E?)�C�>E?D>ES?�#��������&���� ��������������������"���������������������� ����

"������������� ���"�����7 ������������"�������#����9� ���� � �����"��� �� ��� ��������

1 [ ]t

d Pr � � � � � .(3�

-284-

Page 3: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

5����������7 ����������� ���������������5����� ���� ����������� ��!�5�����������������

���������� ������

2.�THE�BASIC�EQUATIONS�

� #������������� ���9� �������������6������� �������� ����������������� ���������

����������"������"���������� �� ������ ����� ��;�

� � � �� � � � a d

d Sk E S k ES

dt � � �!� � � � .13�

� � � �� � � � ��a cat d

d ESk E S k k ES

dt � � �!� � � .A3�

� � � �� � � � ��a cat d

d Ek E S k k ES

dt � � � !� � � .*3�

� � � �� � d P

k ES catdt

��5��� ��������

� � � � � � .E3�

#������9� ����������� ���� �& ������9� ������

� � � 0E E ES � !� � .23�� � � �

[ ] � � � � � .=3�

� � � �

� � � � 0 [ ] [ ] [ ]S S ES P

#����� ����������� ���������������������� ������������� ��������� � ��5���"������ ��� ����

��

� �

� ���������& ������9� ������ �������!���� ��5������������ ���9� ���� �����������

� ���� ���� ������� �� ����"���������� �� ������ ����� ���>ES?)�C�)� ���>P?)�C�)�#���

8���������������������������� ���&��" � ������;�#5������� ���������� �����!�>S?)!�>E?)!� ���

������

� �������� ���!�k !�k�!� ���k� ��

� <:"��������� ������� �������� ��������5���������������� ������%�����<9��.E3�.=3�

������������ ���������S!�E� ���ES�� �� ������5������������������������������� ��������P;��

-285-

Page 4: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

� � � � � 01 [ ][ ] [ ] [ ]

cat

� � � �

d PS S Pk dt

� � !� � � � � .F3�

1 [ ][ ]cat

d PESk dt

!� � � � � � .+3�

� � � � 01 [[ ] [ ]c

]d PE E �atk dt

#������ ����� ����� ���:"���������������>P?.t3� ������ ����!� ����������������������� ������

��� ���

� � � � � .()3�

�� ��� ����"�����

� <9�� .F3�.()3� � �� ���� ��� ��&������ ��� ������ ��� ��� ��� ���� �������� ����� ���P� ���

���S!�E����ES����" ������ �!���������������������� ������

� � � � � �0[ ] [ ] 1 [ ]cat catk t k tcatP S e k S e� � � �

�!� � � .((3�

5����� ��� ���������������&�����������5�����5�����������!�0

( ) ( )t

f g f u g t u d �� u �<9�

.((3������� ����������<9�.F3�� �� 8����' "� ����� �������!����&���������9� �������������

' "� ����� ����������>P?!� ������ �� ���&������������� ����������������5 !����"�� ��������

>P?������>S?���9����������" ��������� ����>S?�������8��5�!�5��������"�� ��������>S?������

>P?� ��9������ ��� � ���� "������� ��� &���� ��� >P?� #���� � ����� � ������ ����� ���� ����� ���

�������"�����!� ��S���� �"������������P!� �������������������� �8����S������P�

� ��� ����� �� ��������� 5 �� �"� ��� ��5� 8��5�� ���� ���� 6��� 8�������!� �� �� ��!� ����

� ���������5������������������������ ���9� ������� ��������������&������ ������:"���������

���� ���� �������� ������ ��� ��� �"������ �������� ��� ������� ����� .��!� ��� ������ ��� 8��5��

���������3�����������������"�5�����������:" ��������

-286-

Page 5: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

3 SI�STEADY�STATE�APPROXIMATION�

� #��� �� ������ �� ""�� ��� ���6���8�������!�"���������� ������� ���6 �� ��� >(!�

1?!� � �� ����� ��� ������� ���� � ����� ��� �5�� ������������ ���������� �� �9� ������ ��� � �������

���������������������� ���9� ������ ������� ����9� ������ � ��� ��� ""��:�� ����� .���43!�

������������5�������������������������� ���9� �����!�<9�.A3����<9�.*3!�������&�����������

�� ����� ����9� ����!�� ��9� ������������������& ��&�����7���� ����������� �����!�� ����

��� �����& ������ ������"������� ��� �� �:"������� �� ��� �������� ���� �������� ������� ���

" � ������ �" ��!� ��� ��� ������� �� �� ����� � ������ "������ .�� ������� 8�������3� ����

�������� ����������7 ��������� ������"��:�ES� ��� ""��:�� ��� ������ ��!� ����� �������

��"����� � ����� ����& ��&�� ��� >ES?� �� �� ��� "������� � 7���� #���� ����5� �� �� �����

� ���� ��� �� "��������� ���&�����<9�� .A3� ��� .*3� ��� � ���"��� ����� ��� �9� ����!� ���

���������&���� �����������>(!�1?�

.�QUA

� � � �[ ] [ ]

[ ] [ ]a cat cat

t

dk � �

5�����K ������������ ���������� ��!�

cat a m

k k S k Srk k S K S

!� � � � .(13�

� � � � � d cam

tk kK � � � � � .(A3��

ak

@�������������4� ""��:�� ����!����������� ����������������� �����������������7 ������� �

��&��������� ����������� �����

� � � �[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]m

ES SE ES K S

� �

� � � � � .(*3�

If [S] >> Km, then practically all enzyme exists in bound form, saturation is reached, and the

turnover rate attains its maximum value, kcat, also called the turnover number. For [S] = Km the

turnover rate is half of the maximal value. Typical turnover numbers are 100 to 1000 s-1, with

-287-

Page 6: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

maximum values of about 106 s-1.�������� �� cat

m

cat

1a

ad

k k kkKk

��

������������������� ������&���

���������& ��������� �������k �

� #��� �������� ����� ��� ��7 ��������� ��� ���"��:� ��� ��� � ��� ��&��� ����� ��!�

�������� ���� ��� ����&�� ����5� �#������4�� ���� ��� �� ""��:�� �������� �������

�: ��� � �� �"�����������!�5��������ES��������� ����� �� ��������� :�����& ���!� �������

����� �� ��������� ��&�8������� ��������5����9� ��� ��&��G�� ���� ��&�� �������� �5��������

��������� ""��� ����� �����������4����6���8����������������� ���&����� ����>*�((?��

4.�A�DIFFERENT�VIEW�OF�ENZYME�KINETICS�

4.1�Catalytic�cycles�

<�7 ��� ���&�� �� ����� �& �� ������ ���"������ �� ����"���� � � ����� ���!�

������������������������� �

Scheme�3�

/�&��������� � ��� �����"�� ���� ��� ���� �� �� �� � � ��������� �� �������&�� ���������������

���������������������"�������#���������������!�5������ 8���& ��������5����)� ���(!��������

��7 ������������ ��������"������� �����"���� ���!���&���� �>(1?��

� � � � cat cat

d cat a m

k kk k k K

� �

�� � � � � .(E3�

-288-

Page 7: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

��"���������������7 ����>(A?!�����5�����k��HH�k� �!�� &�� ���������������� !� �������>S?�HH�

K�������� ������������������7 ����� ������� �� ���������������������!� ��r��C�k �>S?�@����

�� HH� (� ���� 8������� ���� ����� ������"����� ��� � "����9���������� ���5���� �� �� ���� ���

��7 ��������� ��� ���"��:!� ��� K�� �������� ��� ���� �9���������� ����� ��� ���� ����

������� ������� ������#������������ ��������� �� ������������� ����� ����� ����������>(!�

1?�

#��� ��&����� ����, Pn ,� ��� ���� &�� ��� ������� ��� � ����� ��9������ ���� ���&������� ��� ����

������ ���������������������"���������������!��

1 1 dP

catk�

#���"������� �����"���� ������� ����"��� ���" � ������������ � �����7������7 ���

���&�� !���������������������� ��5��������9���� �� � � ����� �����"�������@� ��������������

��� ����� .��� "�����3� ��� � � � � ���� � ���I� #���� ��� ����� ��� ���� ������� � ���� � ��� ���� ���

� ����!������ �� �� &�� ���& ���������&���� �>(1?�

. .(23�kn �

� �

1 1 1 1 1[ ] [ ]c

a d cat a mk S k k k S K� � �

#���� ������� ������ ���5�������!�������"���������������5��� �&����������� � � ����� ���;�

#�������������!�(B.k >S?3!� ������� &�� ������ �����.��� ��������3����������7 ���������������

�� ��� #���� ��� ����� ��� ��&����� � "��"������ �� ��� ���� ����� ������ ��� �������� ����� #���

������� ����!�(B.k�Dk� �3!� ��� ���� &�� ������ ����� .��� ��������3���� ���� ��7 ��������� ���

�� �

� �� � � � � � .(=3�

���"��:!� ����������"���������������������� �������������� ����

� %�����<9��.(E3� ���.(=3����������&���� ���� �������5���������� ����"���5 �>(1?!

� � � � �t

c

r��

� � � � � � .(F3�

-289-

Page 8: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

#����� ��������<9�.(F3������� �;�#��������&���� �������������������������������E���ES���

E�� �����"������������� ���"�����7 ����������� ����� ���������������� ����������� �����

����� ���� �� ���� ���� ����� ��� "������� ���� ����� "��� � �����!� ���� �������� ���� &�� ���

� ������� �������!� �������������7 ���� ������������������������������������"��:�5��������

������ ���6�5�&��!� ��&�� ����� ��������� ����������� �����.� ��� ���������������3!�����

� ������� ����� �� ���� ������ ��!���������& ���!�(B.k�Dk� �3!������������� ��������"��:�

�������� !� ����������������������&���� ����� ���������� :�� ��& ����k� ��� �

� ���� � �� ������ ��� � �������&������ .� ���� �� ����3� ���� ���� �8��;� �����5�� � �

� � � ����� ��������� �����7 ���.������� &�� ��3���� ������������������������������������

�� �����I�#�� ��5��� ����� 9�������!�5�� ����������� �� �� >�?)B><?)� ������ ������������� ���

���&������ �����"������������������ �� �����7 ��� ��� �����5 !� ���������<9� .(23!� ����

��� �� &�� �������������� �����"�����7 ��������������"��������������������� ���������

� � � � �

� �

0Pcn

0E

���� 5�� ��5� ��������� ���� ���� ����� �� ����� t!� ����� ���� &�� ��� ������� ��� � ����� "���

��7 ����"���������"��������

� � � � � � .(+3�n S

� � � � �� � �� 0E

� F���������������7 ������ �� ������� �����:����!������ ����������������������� ���������

�� ��� ���"������� ��� � ��!� ��� ���"��:��� ����� ������ ������ ������ !� ���� � ����� ���

���"������ �� ""��:�� ��� ������ �������!� ��������� ��������������� �����������"������

���������7 ���� �����������������!���&�� ��"������� �����9�����!����� ��������� �������������

� &�� ���������� ��� ����� ������ �" � ����!�������"�����&��� ������#������� �����>E?)�

JJ�>S?)�� �������������������"� ���� �� ����������������� ��� ��� !� �������� ������5��������

P( ) P

cn t

n t � � � � � .1)3�

-290-

Page 9: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

&�� �� ��!� ����&���� "�����:����������9���������������������!��:��"�������:������ ���5�

��7 ����������� ������

� @�������������������� ����� ���������:����!���5�&��!������������ ������������������

5 ������� ��� ������������ ����"��:�5���� �� & �� ������7 ���#����� ������� 8��������

������ ��������� �����������������"������

4.2�Substrate�in e cess��

#��� � ���5����� >S?)� JJ� >E?)� ��� ��������� ������� ���� ����!� �� �� ��� in� vitro� # "�� �� !�

��7 ����������� ���������()�F����()�()��� �������!�5���� �������� ����������� ������ ���

��� �� � ��� ���� �� �� ()�2� �� %����� ������ ����������� ���� ��7 ���!� �&��� 5���� ��"���

���������!������"�������� � �� � � ����� �����<9��.(3!�.(=3!� ���.(F3���&��

� x

� � 0 0[ ]1 1 1

[ ] [ ]mS K S

<9�.1(3����& �������� � �� � � ����� ������ 8��"� �������� �����7 �������������"����������

���� �� ������ �� �� ��!� ��� ������ ��� �������� ����� �� ����� ���5� � ���" ���� ��� ���� � ����

��� �����%�����<9�.(+3!��������"������� �

a cat

m

k EKdt

� �.

.1(3�k Ed P

� � 0 0S E�� � !� ������������� ����� �� ����������

������� ����7 ����������� �����>E?)���������������� ������������ ����������� �����>S?)����

���������"������!��������������� ��>S?)�JJ�>E?)���"������� �� 0[ ] [ ] [ ]S S P�� !� ��������������

��� ����� <9� .1(3� � �� ��� ������ ���� ��� ������ ��� ��� ��� >P?.t3� #��� �������� ����� ���

������ ��� ��� ��:�� ��� ����� ����� ���� � ��� �9� ����� 0[ ] [ ] [ ]S S P�� � #��� ��� �� ������� ���

5����8��5������������"������>(*?� ����:"������>=?�������#����:"��������������>=?�

� 0 0 0[ ] [ ][ ]( ) exp exp catm

m m m

k ES SS t K W tK K K

� �� �� � � � � ��� � � �

� � � � � �� �� � , .113�

-291-

Page 10: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

5�����W.x3��������' ��������������!�����4""����:�4��4����������� ����������������&������

����2� �

� 4� ������� ������ �� ��� ����& ����� ���� �� ����� ��� <9� .113� �� ���� ����� <9� .=3�

K��������� ��������5�������"�����������!� ���� 8��������� ��������� ����������������� �����

9� ������ � ��� ��!������������� ��������ES��� ���������������� "��� ��� ���� �����S!�

� � � �[ ] [ ]d P d S . .1A3�dt dt

�������������<9�.1A3������<9�.1(3���&���

��

� 0[ ]

1

[ ]S

� #���� �9� ����� ��� ������� �� ��� �� �� ��� ����� ����� ���� ���4� >(!� 1?� #��� "�������

����& ���������������5�&���������� ��� ��������������4� ��� �������������� ���� ���� �

#����� ������ ���� ��� ��"��������������5���5���� ""� �����������4�.����9� ���������

����& ��&�����>ES?�5�������"���������������7���3�������������� � ����� ���&���� ��<9�.1*3����

��� ���� ������ ���� ��������� .����4""����:�43� 4��������� ��� ���� ������ ����& ����!� ������ ���

�&������������������������������������& ��&�����>ES?!��������������������� 8������� �������

� ��5� ���

cat

m

d SKdt

� �

k E.

.1*3�

� ���>S?)�JJ�>E?)���������������>ES?�HH�>S?D>P?������� ������� ������

���������� � �������� �������"�����������������5��������������� �����;��

.�3����>S?)�JJ�K�!����������� ����������� �������� ��7����������8��������.��5�����>S?�� ;��K�3

� 0 0[ ] [ ] catS S k E t � . .1E3�

6������� �� !� ���������& �������� �������� &����"��&���������8����8��������&������� ���� ����

�:�������� ��� ��������� ��� � ��� ��&�� � �� ���� ��7 ��������� ��� ���"��:!� ����� � 5�����

�:��������� �� ��� � ������"����� ����� �<������������ �����������

-292-

Page 11: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

.��3����>S?)�HH�K��.����������5����>S?)�JJ�>E?)3!����������� ����������� �������� ��������������

8��������

� � � � � � 00 00[ ] [ ] exp [ ] exp cat

amK� �

k ES S k E t S t

� � � � �� � , .123�

� #���������"��������9� ��������������"������� ������ ��������� 0[ ] [ ] [ ].P S S � ��

� <9��.113!�.1E3� ���.123����5��� ��� ��� ���������������� �������� ���������� ����!�

���� ������5����������������������������� �����!�������"�������������������������& ��������

� �� ���K��#������� ����"�������� � ������������ � � � � ������������>1!�+!�(E?�k

4 �equilibrium�

� %����� "����9���������� ����������� >(2?��� HH� (!� � � ��� �9���������� ���5���� S!�E�

���ES� ��� � "��� � ��� �������!� ��� ���� ���&������� ���ES� �����P� � 8��� "� �������������

���5� �@����>S?)�JJ�>E?)��������������������"��&������������� ""� ���&���������!�<9�.1(3�

���������& ����5�������������� ��������������:����!�"��&������� ��

.3�Pre

� � 0 0S E�� � ��������� �

� ��� ���� ES� �������� ����� ��� �������� ��� ��� 0[ ] [ ] [ ]S S P�� � ��� ���� & ���� ��� ��� �����

"����� ���� ��� 5����� 0[ '] [ ] [ ] �S S P !� 5����� >S’?� ��� ���� ��� �� ������ ��� �������� ����!�

[ '] [ ] ]S S ES � !� ��� ��� �� ���� ���� & �� ���� ��� <9� .1(3� ��� >S’?� %����� ���� �9����������

����� ��!�>S?�� ������������� �������>S’?� ��������9� �������� �� ������� ����#������ �����

���������5�������"�����������������2�

[

"

5 SE�

.�THE�INITIAL�TRANSIENT�PHA

�#��� ����� ���� ��� ������ � ��� ����� ���� .k !� k�!� ��� k� �3� � �� ��� � ��� ��� ����� ����� ��

������� ������ ������������� ���������"����������������������� �������������������� �����

-293-

Page 12: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

E

�� �������"� ���>(=?!���������� ��"�������� ��� ����������� ������ &�� ���� ������������. ���5�

ms� ������3�K������ �� �� ��� ����� �� �" ������ �����"� ��!� ���������� ����������� ��������

""��:�� ��� ��9� �������������� ��& ���!� ��������������������� ��������5������"���������� �

�������*!�

0[ ]a cat

d

k S k

kE ES P���� ��� �����

Scheme�4�

� #����������� ����������������7 ��� �����7 ��������� ������"��:� ���

� � � � � �

� � � � �0 00 0

0

exp( ) 1 ...m a m

am

K S k K S tE t E E k S t

K S

� �� � �� � � 0

� � , .1=3�

� � � � � �

� � � 00 0 0 0

0mK S�

�����&�� ������������������������7 ��� ���������7 ��������� ������"��:��������� ������

&��&�� ���& ������

1 exp( ) ....a m

a

k K S tES t E S k E S t

� �� � �� � � .1F3

� ���� �� �5��������!� ����������������������� ��� ����7�� ��������� � ���

� #����������� ��������"������������5�������<9�.E3� ���.1F3�>(=!�(F?!��

� � � �

� � �� � � � � 0 20 0

0 00 0m a m� �

� ���� &�� � ������ ������ ����"������� �&��&��� ��� � 9� �� ����5 �5���� ����!� ��� ����

��������������������� �������� �� �5������������������������������������� ����7��� ��� �� ����

������ ���& �����

1 exp 1( ) ...2

a mcata cat

k K S tk E SP t t k k E S t

K S k K S

� �� �� � �� �� � � �� � ��

.1+3�

0S �����5����������� ����"������� ����������� ��"� ����������"���������

�<9�.� 1+3�

� #��� �&�� ��� � ��� ����� ��� ��� �� ���� �����<9�� .1=3�.1+3� ��� � 0d cat ak k S� � ���

����� � ���� � ��� ���� ��"�������� 5����

k

� 0S ���� ��������� �� � ��� ����� ��� k � � �� ���

��� ����!� �����5���� ��d ck k� at

-294-

Page 13: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

6.�A�UNIFIED�APPROACH�

6 ingle�evolution�equation�and�its�exact�series�solution�

� 4��� & �� ������� ����������6���8���������� �������������: ���� ���������5��������

������ �������� �� ���������� �� �9� ������ < ��� ""��:�� ��� ��� ������ �������� �����

�"����������"����� ������� ������������ �����4�����������!��������4� ���"����9����������

""��:�� ������ �� �� ��� � ������� ������������ �������� �� ���������� �� �9� ����!� 5����� ����

� �������:�������7 ����� �������5�����"���������������� ������� ������������ ���9� ������

#���������������������8�������������������� � � ��� �� ���������� �������� �������������

.��� "������ ����� ����� 3� ��� ���� ������� � � ������ ���� ��� � �5����������� �� "� ���

1

.1�A�s

�" ���>*�2!�()!�((!�(+!� )?�

� 4�� ����� ��&�� ""�� ��� ��� 6��� 8�������� 5���� ��5� ��� "��������� 4�� ��� 5����

8��5�!� ������������������������������� ���9� ������ ������"��������� ���9��& ������ �����

����5������������������������ ���9� ������#�����&�����"��������!� �������������������!�

��� ����"�����������5����������5��������� ������ ����� �& �� ������ ����������������� ����

6���8��������

� K��������� ��������<9� .E3�5���� ���"���� ��� ����!� �����5���� � �����:"����������� ���

�������� ������������������>P?!�<9��.F3�.()3!���&���

� � � � � �2

0 02 0 0

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]aa d cat a cat

d P � �

catdt k dt dt� �

5������������� �������������>P?.)3�C�>P?L.)3�C�)�#�����9� ����� ""� �����5���� !�����5����

��5������� �������������������������������������� ������>1(?�e�C� >E?BK�!�s�C� >S?BK�!���C�

k d P d Pk E S P k k k k E S P � � � � � � � �� � !� .A)3�

-295-

Page 14: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

>ES?BK�� !� p� C� >P?BK�!� �������������� ����� �� C� k� �� t!� ��� �������������� ��� �� ������ ���

�������� ����� �� C� s+c� C� s)�p!� ��� 5���� e)� C� >E?)BK�� ��� s)� C� >S?)BK�!� ��� ��������

�������� �� ����"���;�

� � �2

0

02d d d� � �1 0d d de e� � �� �� �� � � � � � � �� �

5����������������7 ������������ !�<9�.(E3�#�������� ������������� ����.)3�C�s)� ����L.)3�C�

)�#���& �� ��������� �"�����&�� ������������ �� ������ ����������������������������������

�!� �����. 3�C�)�4�����������!������������������������ ����������� ����!�"������������ ��

����� ������ ��� ��� �� " ��� ��� ���� ��7 ��������� ��� ���"��:� #��� ��������������

" � ������� �������� �����5� � � ��� �� ������� ���� ���� ���"����� ����� ��� ���� ��������� ��

�9� ����!� � &�� � ��� �� "� ��� �� �� ����!� ��� ��� ������������ ��� ���� ������ �� �� ���

�������������� �������� ������ ��� �������� ��� ���� � ��� 5 � #��� 5����� "������� ���

���������� ��� � ������� ����& �� ���� �&�������� �9� ����!� 5����� ��� � ������������� ����

���� �� �������������������� ���9� ����!� ���������������" � ������� ��������������M����

������ �������������� 9� �������;� ���� ��7 ��� ��������� ��!� ���� ������ ��� �������� ����� ��

�������� ����!� s)!� ��� ���� ��7 ��� �������� ����� �� �������� ����!� e)� #��� ��������

�� ��

!� � � � .A(3�

& ��� �����������������5��" � �������

� <9� .A(3� ��� ���: ���������������� �� ������ ��������6���8������������� ��!�����

� ������&����� �� ���� ����5 � ����������� ""��:�� ������������!� ��5����������5��������

����9�����������������������"�� �������������������� ��������� ����"������ �� �������������

��������� � ���&��������� ��������" � �������.�!�e)!�s)3����� ��!��������� ������.�3!��

� � � �dsd���

� !� � � � � � � .A13�

� � � � 0de ed��

� !� � � � � � � .AA3�

-296-

Page 15: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

� � � �dcd��

� !� � � � � � � .A*3�

� � � � 0p s � � � � � � � � � .AE3�

� ������� �������� ��������<9�.A(3������������ �� ����������5����������� ������5 ���

!����� ��Mathematica � ��� &����������������� ���������"��� ��������� ����������

� �����������!� ���� �: ��� ��������� ��� 6��� 8�������� � �� ��� ��� ����� �� � ���� ���

� �� ������������� ���5�������<9�.A(3� ��

� � �

2

02

1 1d de 0d e� � �

d d d� �� �� � � � � � �� �� �� � �� � �� �

������"��������������&������& ��&��� ���������������������5 !� ��������� �����.)3�C�s)�

����L.)3�C�)!�

!� � � � .A23�

2 320 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

4

03(1 ) 2 (1 ) ...4!

e s e ss e s e s e s e �� � � � � � � � � � � � �� ��!� � .A=3�

e s � �22! 3!� �

��������<9��.A13!�.A*3� ���.AE3!�

� � �� �

20 0 0 0

0 02 1 ...2!

e s e ss s e s �� � � �� � � �� � 0 !� � � .AF3�

� � �� �

20 0 0 0

0 02 1 ...2!

e s e sc e s �� � � � �� �

!� � � � � .A+3�

� � �

20 0 0 0

0 0

3

(1 ) ....e s e sp e s� � � � � �22 3!� �

� ��� ����"������ ��������� ������������ ������������������������������������!�����

��������������������������� �� ��� �������� �����5���� �����5 ��� ��8��Mathematica� ��� ���

"�����"���&���� �� ����������!���"��� �� �������� �� ��

� � � � .*)3�

-297-

Page 16: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

� ��� � � ��� ��� �8��� �� �� ��� ������ ��� ������� ��� �)� J� )� ��� ���� ��&��

���"�� ���� ���������������� ���9������������� ������������ 8������� ��������� ���L.)3�C�

c)��

� G���& �� ���� ������������� ���������� �� �9� ����� ����6���8�������� �9��& ����� ���

<9� .A)3�5������"������������� ����[P]� >11?� ��� ����p� >1A?� ��� � ���� � ��������5��8������

���� ���!� ��� � ������� ������ ��� >(�A!� 1*?�4� ���"������� ����� >(=!� (F?�5 �� ���� ����� ���

""�����5������� �"��� �� �& �� ��� ��� ���� �� ������� "� ��!�5����� ���������� �9� ����� ���

���� �� .���� ���� ����5� ����� 21A3� ������������ ""�� ����� ��� 6���8�������� �� ����� ���

����� "���9� ������ ���"������������>1E!�12?

4

6.2�Approximate�solutions��

6.2.1�Quasi�steady�state�and�pre�equilibrium�approximations��

� 4��5������!�<9�.A(3�� ��������������#��������!�2

2

dd��

� !�� �������� ��� ��

� � �

2

2d d� �d d c c e s�

�� � � � � � � � .*(3��

����� ��������� ���� ��&��& ���!��e)s)!������ ���� �����������7���!���������"�����&�!�" �����

�������� �� :����� ������������� ������5 ����7���!���������� ��&�� ��� ��� ���"�����&��

���������� :����!���������(��

-298-

Page 17: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

Fig.1�,��

��C�)(�.

������

������

2

2d

#������

� �����

���& ��

� 4

������ �5

������

d �

��

.�3�@������

������ 0e � ��

HH�(�."����9

������������

9���������3���

�������������

����� ��������

���������!

��5�������

�&������ ����

4�� ���� ����

5�� ��� �����

��������""

01 e �� � ���

��(De)Ds�

�������� �

��� �������

�� ������ ���

"�����

d dd d� �� ��

.���<9� .A

�� �

1

�� !����������

����� ����"

����� ��� �

!���� �5 ��

133!� ��� �5

�������������e)

����

2

2

d

d

��

)�C�s)�C���C�(�.

��������������

. 3!� ���e)�C�s

���:��"������&

s)�C�(!� ���

&�� �������

������!�e)�

"����7���!� �

��������.��

��� ��&�!�

��"�����&�

�!���� �5 ��

���� ��������

���5�����"

�������� �8

�!� ����� �

"�����&���

��� ���������

"����������

8�����9� �

�� ���� ��

������ ��� � �

��3!������� �

��� ��� ��

�&�� �����

������ ����

���� ������

-299-

Page 18: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

� � � �2

02d ed� ��

� �� !� � � � � � .*13�

���

� � � �0(d c e s c

d�� �� � ) !� � � � � � .*A3�

��������������� ��9� �������!�

� � �

� � � � �0ad ES

k E S ES ��� �dt

/�� �����.*13� ��� ��������� �������������� ������������������� �����& ��5����� ����"�������

�9� ����� 5������� ���� ������ .N�� ������O3� ����� ������ #���� �����& �!� 5����� ���� ���� ����

� � � � � .**3�

2

2

dd�� �

7�����������������!�� ������� ������ ���5!���"��������������" � ������!���������

��1

� <9�.*13������" �����������������4� �������"����9���������� ""��:�� �����#���

� ���� ��� �������� ������������9� ������ � ��� ��� ""��:�� �����.���43!�

� 0d ES

dt !����

������ ������#�������������2

2���������� ����!� ���� ����������� ��� �������# 8��� ��

� ��� & ���!� ��� ��"����� �� ���� ���p� �&��&�� ���� �� �5���� ����!� �� �� ��!� ��������� ��� 7����

������8��������#�������������������� ����� &�����

0dd�

� #�������������2

2d������������ ����� ��"�����������!� ��� � ���� ��& �� ��������p�

�����5���������� ���������������!������&��� ""��:�� ��� !���������� �� � ���� ���" �������

������ �����������&��!����������� ��������������5�����<9�.*13������������!�

d � 0

2

2 0dd��� �� �

����������������� �� ������ � ������& ����������������5�����

-300-

Page 19: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

Fig.�2�,�������2

2

0e d

d

� � �� ������������������������������������e)�C�s)�C���C�(�. 3!�e)�C�s)�C�(!� �����C�)(�.�3!�

e)�C���C�(!� ���s)�C�E�.�3!� ���e)�C�E!� ���s)�C���C�(�.�3�#�������7��� �� ����� ��� ����� ��� ����� ��)(!� ���

�������� ���� ����� �����& ��5������5�����

2

2

0

d

e d

� �

�H�)(�#��� ���"����&�� �� � ���������� �������P� ><9� .*23?�

��;�)AA�. 3!�))AA�.�3!� ���)(*�.�!��3�

-301-

Page 20: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

� Q�&�������7���������& ����������������������& ��&������!�<9�.*13�� ��������������

&�� �������������#���� �� ������:" ���������2

2

dd��

��;�

� � � � �2

0 0 0 00 0 0 0 0 0

2 2d1 11 ... 1 1d e s e se s e s e s� � �

�� � � � � � � � � � �� �� � � �� �

�����������������������.*13������������������������������������������������ ��

!� � .*E3��

� � � � 0 01 e s*� ��� �

� � � � � �

#���� ����� �������� . ""��:�� ��� 3� ���� ���� ��� ���� ���� ����� �� ������� "� ��!� ���� ���� 1�

�������5�&��� �� �� ���� �����& �����& ����� ����<9� .*13�� ���� ������!� ��� ����� � �������

�� ���

.*23�

N ���O��������� ������������� ��������!���������1��

� #��� &�� ��� � ���� ����!� <9� .(=3!� � �� ��� �������� & �� ����� ���� �����5���� ����!�

11c s� � � ��

��

� �� ��� ���������� �� ���� ��

0

1(0) 1c s�

� � ��

���� ��� ����� ���� "��������&�� � ���

������ � � (0)c� ��� �5 �������� ������� ���P�

� ������������������������������P!� ����������������� ������� ������������<9�.AF3!�

� � � �

� � 0

0 0 01s e s*� �1s s

� �

��������5 !�����s�������������������� �� �����"������ ������������������� �������"�����!�����

������ &��e)�HH�(D�s)!�5������� ����� ������s)�JJ�(������������������e)�HH�s)!� ����� ������

s)� HH� (� ���� ���������� ��� e)� HH� (� �����"����&�� ��� ���� & ���� ��� s)� #���� ��� "������� � ����

� � � � � � .*=3��

������������� ������ ���������������N���"��:�.� ��3�������� ��O�>*?�

� �������� ������"����9����������.��HH�(3!���������� �� ���������� �� ���������"����

s!� ��� �������"���������������c��5�������"����9������ ����!� �����5�����s� ���c���� �&�� �

���5� �.k� ��HH�k�3��5�������"����������� ����!���������A��

-302-

Page 21: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

Fig.�3�,��������!�s� ���c� �� ����������������������������������� ����� ��������"����9���������;���C�))(!�e)�C�()!� ���s)�C�(�

#����� �� ����� ������5������ ���� �� ������� "������ ��� ��� ���� �����&��� ������ �� s�D� c�

��� ��������� �����������5 !������HH�(������� �������"���������&�� ������� ����.�P3�C�s)�

����"�� ���&���������& ��������s)� ���e)�

� @��������������.*13� ""����!�<9�.A(3������������

� � �01 d de

d d� ��� �

� �� � � � � �� �

0 0e � � � � � � .*F3�

#������� �9� �� �����9� ��������dd����� ����&���.��� ���������������������������� ��

dd����)�

������ 3�

-303-

Page 22: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

� �

� �0

2

0 0 01 1 4e e e

2d ed� �� � � �� � � � � �

4�� �9��& ����� �9� ����� 5 �� ��� ����� ������� ��� ��������� �� ����!� ���� >F!� +?� ���

����������� �������!� ���� ����� ���� ����� ��� � &�� ����� ���� � �:"������ <9� .*+3� ��� ��

�:"�������� ���� ���� �������� �������� ����� ��� ���� ������ �����7 ��� ���"��:!� c!� ��� <9�

.A*3�Q�&����� ����C�c�D�s!�<9�.*+3� ���5�������� ��� ���� ��������5����c� ���s!�

� � � � � .*+3��

� � �

� �0

2

2

01 1 8s s e s� � � �

#�����9� ����� ��� ""��:�� ���.�:��"�� ���� ���� ���� ���5����c� �� ���� ����� :�� ��& ���3�

������������ � ����������� �������"����������s�C�s ������&���

e sc � � � � � � .E)3�

)

� � �

� �0 0

0 2

2

0 0 0 01 1 8s s e s� � � �

#���������������������c)�C�)���������5 !���"�������� ��c)�HH�s)!���������������<9�.E(3��� ��

e)�HH�(�D�As)!�5����� ������������������������������&���������!�e)�HH�(�D�s)�#������������

�� �������� �������"������������������" ������������� ����������!���!��� �������5��"� ���

"� ���c�C�c.s)3����&��!������: ��� ������������� ""��:�� ��!�� &�� ��� �� ������������ ��

)�

e sc � � � � � .E(3�

� <9� .*+3� ��� ����� ����� ""��:�� ������ ������ �� �� �� �� ��� ������ ��� � ����� ����

�� �������"���������� ���������������� ����5����������� �������& ����� �@��������.�P3�C��P!�

5������P������&���� �<9�.*23!���������� ������� ��

� �2*

0 00 0

* 1 1(1 ) ln ( * ) 2 1 2 *e ee du u

� u e� � ��

� �� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � �� ��

� .E13�

-304-

Page 23: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

#��������� �����<9�.E13���� � � ��� �����������:"����������������������������!� ������������

�� �������� ��&����"������ ��������"����� ����#������ �"�����5�����������9� �����������

: ��� � ����5�����������7 ��������� ������"��:��������� ����� �� ���� �� :������

� <9�.E13����& ����������J��P���������������&���������� �� �����5������������� ��!�s�

������� ��� ������ ��� s)!� ������� s� ��� �� &�� � � ��� ������� � ������ �� ������� "� ��� ."���

�9���������3�#���������������������������� 0( *)s s� � 5 ����� ����������<9�.*=3!� ������e)�

HH�(D�s)��������� �� ����P�������������7����#�������������e)�HH�(D��H�(Ds)���"������� ��<9�

.*+3����"����������

� � � � �

0

1d ed� �� � �

�!�� � � � � .EA3�

������ � �

� � � �

00ln ( )s s 0e� �

�� � � � � �� �

� � � � � .E*3�

#����� �������5������� ��

� � � �� �0 0

0W s e es e �� � !� � � � � � .EE3�

5�����W��������' �����������������������5 !������������������������� ����������� �����

��������

� � � � � � �� �

0 0

0 0

0 0

00 0 !� � � � .E23�

01

s es e

s e

W s e es W s e e e

W s e e

��

��

� �

�������������� 0� 0 0s eW s e e ��

���� �5����e)�HH�(D��@������>>�(�<9�.E23������������s�C�

0 00� s eW s e e �� �e)�<9�.E23���� ������������� ""��:�� ������� ��<9�.EE3�5����&����� �����

������� �������� ��� !� ��� � ��� � 5���� e)� ��� ��5��� �� �� (Ds0� � � M���� ���� ������ ���

� �������!������������*�

-305-

Page 24: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

� <9� .E*3� � �� ��� ����� ��� ������� � �� � ���������� �� ������ ����� 4��������� ���

��������� ��!�t(B1������������������� � ����������� �� ����������� �������� �� ���� ������

��������� ��& ����Q�&��������� ���������!� �������� ������������6������� ����!�5�����

� �� �� ��������� ��� �"�����!� ��� ��� "����� ���� ��� ������� ����� � " � ������ �� ���� �����

������ � ����������������� ��������"������������ ���� ������������� ��& ������������5 !�����

��C�s)B1������� � ������������������

� � � � � .E=3�

� � � � �

01/2

02e2ln 2 s� �

#���� & ���� ��� ������ ��� ���� N������ ��� .���53� ����� �� ��O���������� � ������ >*?!� ����� �� �

"��������� ������

Fig.�4�,��������!�s� ���c� �� ������������������������������������e)�C�()!�s)�C�())!� �����C�(�4�������5�� ���

�������&������"�����5����<9��.EE3� ���.E23�

-306-

Page 25: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

� ����s)�HH�(�.��"� ����e)�HH�(3������� � ������������ ������������������"������������

s)!� 5���� �� ���� s)� JJ� (� .��"� ���� e)� HH� s)3� ��� ��� � ��������� ��� ���� � ���� s)Be)!� 5����� ���

�5 �� ������� �� �� (� ��� ����� � ��� ���� ����!� ���� �� � ���������� �� ������ ����� ���

��"�� �"" ���� �����s)� �����&����� �"� ������ �����e)��

� %����� <9� .1)3� 5���� >P?� C� >S?)B1� ��� � � ���� ��� ����� ��� (B.k�Dk� �3!� ���� � ���

������������� ���������t(B1�������������������������� ��" � �������<9�.E=3��� ��!�

� � �

0 01/2

0 0 02 [ ] 2 [ ] [ ]t cat aE k E k E�

#��� �������� ����� ��� t(B1� �� � ��������� ��� ���� ����� �� �������� ������ ��� � ���"���

"��������� ������ ���k� �� ���K������ ��:��� ����� �� ��7 ����������� ����!� ���� ���� ���!� �

"������� t(B1�&�� >S?)� ��� ���� �!� ���k� �� ���K�� ������ ����� ������������"�� ��� �������"��

������� ������ ��&�� � � ���� ������� �����������t(B1�4��� � ���������������t(B��� �� �������

����!� 5���� n� C� A!� *!� ���!� ���5���� ���� ���� ���� ��� ���� �� ���������� � ��� �� � ������

� ����

[ ] 2 ln 2 [ ] ln 2m

ca

S K Sk�

�t � � � .EF3�

� �������!�5������ �������������������"�������������������:������

� 4� � ������� ��������>P?�&��t����&��.<9��.113� ���.EE33� ���������"�����"���k� �� ���

K��� ��� ������������� �����&���������!����������� ��������"�����������"� ������.���������

13�*

� �������� ������"����9����������.��HH�(3��P���)� ���<9�.E13�5�����P�C��)� ""�����

������������������!������"����&�����e)� ���s)!��

0 20 0 0

0 01 1(1 ) ln ( ) 2 1 2

ss e ee s du�

0e� u u

� �� �� � � � � �� � � � � � � � � � � ���� � � � � � �

4��� � ������������ ������������(B1������ �����<9�.E=3�� �������� ����������������9� ����!�

� � .E+3�

2120 0 0 0

1/2 0 00 0 0 1/2

1 1 1 1ln 2 22 4 2

e s e e s s dxe e e x x

� � � �� � � � � � � �� � � �� � � ��

� �

� .2)3�

-307-

Page 26: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

#������ � ���������������������"� ����������E� �� �������������s)� ���������&�� ��& ��������

e)�

����s)�HH�(De)!�<9�.2)3������������

� � �

01/2

0 04e e� �

��������E!�5���������s)�JJ�(De)!�<9�.2)3���������

!� � � � � � .2(3�11 ln 2 s� � �� �

� �

� � � �

01/2

02se

� !� � � � � � � .213�

��������E�

Fig �5�,��������(B1�><9�.2)3?� �� �������������s)�#������������:������ ������&������������"����&��e)�.

� �

� ���� e)� HH� (� <9� .E=3� ��� ����&����� ����� <9� .2)3!� 5���� �� ���� e)� JJ� (� <9� .2)3�

��������

� � � �

01/2

02e

� @����e)�HH�(Ds)����������� ������������<9�.E+3������������<9�.E23�@����e)��JJ�(�

<9�.E+3���������

� � � � � � .2A3�ln 2 s� �

-308-

Page 27: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

0

0 00 0(1 ) ln ( ) 1 2

ss ee s duu�

� �0e� �

�� �

����

� �� � � � � � � � � � � � .2*3�

����)�H�e)!����������� ��������

� � � � � � � � � � � .2E3�0s e ���

����)�J�e)!������ ��.4""����:�3�

� � � �0

0

00 0

0

10

00

1,

1.se

ss e ife

se e e ife

� �

��

��

! � � �"" #" � �"$

� � � � .223�

������������� �������������� �� ����� �������� ����� ���"�� ���� ���:"������ ��5������C�e)!�

��!� �5������� ���� �� ������ � �����7���������� ��� ������������ 8�������� #��� ������"�������

�&�������������s!�c� ���p�� �������� ����������<9��.A13!�.A*3� ���.*)3�4�������������������

��� ���������s;������� �5 ��7������������ ����)�H�e)!� ����������� ����)�J�e)���� ������ �� ����

7���!� ��������� 7���� ���� 0

0e� #��� ������"������� �������� ���� c� ��� �� �:"������ ��

��� � ��� ���� ������ � ��� .c� C��3!� ��� � ���������"������� "������� .c� C� e)3!� �����5��� � � ��

�:"������ ����� �.c�C��!� �����

1s� �

0

0e3� ��������������#������������� ��������: ��!� ���

����5� �� ��������� �� ��������� ���5���� ���� �������� ��� ��� � ��� �����&��!� ���� ���� 2�

����� ���������� ""� ����<9�.E13�

1s� �

-309-

Page 28: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

ig.� 6� ,���� ����!� s� ��� c� �� � ��������� ��� ���� �������� ����� �� ���� e)� C� ()))!� s)� C� 1)))!� ����� C� ))(� #����� &����������C�(����&�� ������ ��

F�

6.2.2�Excess�enzyme�and�related�cases��

� @����(De)�JJ�s)�.5������� ����� ������e)�JJ�(������ ��e)�JJ�s)����� � �s)!� ����� ��

����e)�HH�(������ ��s)�HH�(!�e)��������� ��������� ������� ��s)3!�<9�.A(3������������� ��

� � � � �2

0 02d d� �1 0de e� � �d

� � � !� � � � � .2=3��

��� � �� �� �: ��� ��������!� �� �� ��&���� ����� ���� ����� �!� �� ������� "� ��� �� 5���� �� ����

�����9�����"� ��;�

� � � � 102 1

2 1

( ) s e e �2% � %� � % %% %

� � ��

� !� � � � � .2F3�

5����

� � �� �2

0 0 01 1 42

e e e%

� & � � �

�� � � � � .2+3�1,2

#������������"������� �� �����������

� � �

� �21 0 0

1 2

1 1 4e e e%0

�� � � � �

!� � � � � .=)3�

-310-

Page 29: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

5�����������������"���������

� � �� �2

0 0 041 e e e� � � � �

2 02e%

���� ���&���e)!� ������������������5���������5�������������������� ����������� ����������!�

��!� ���� ��� ����� ��� ���� �� �������"� ��� ��� � ��� ��������� � ���� ��7 ��� ��������� !� ����

�����A� ���=��

� � � � � .=(3�1 1

ig.�7�,��������!�s� ���c� �� ������������������������������������e)�C�()!�s)�C�(!�5������C)�(�. 3� �����C�(�.�3���F

������HH�(�<9�.=)3������������1

11 e% 0

��

!� ���<9�.=(3���� 0

2 0

1 1 ee%�

�����e)�JJ�(!�2

1 1% �

-311-

Page 30: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

6.2.3�The�initial�transient�phase�

� K������ ���� ����� �� "� ��� ��� ���� �� �����!� ��� ���� ������ ��� s� ��� ������ ������� �� �

����"�����!�<9�.A(3�� ��������"����������

� � �� �

2

0 0 0 02 1d de s e sd d� � 0� �� � � � !� � � � � .=13��

� � ���������� �� #������� � ��� ����� ������������ ���9� �����5���� ���: �����������!��0.s s�

� �0 0 0 0

0 20(1 ) 1 (1 )1 exp

1e e s e ss � �� � � � � � �� �� � � � �� �� �� �

� �

0 00 01 e se s � � �� �� � � �� �� �

#���� ��������� �����" ����� ���� ��� �� ���!� <9� .1+3!� 5����� �� ��� ��� ��������������

" � �������

. .=A3

� � �01

0 00

0 01 1s s1

se ss e�

� ��

��

� �� �� � � �� �� �� � � �� �

���� ��!�����������������"�������� �������&�����������������7 ��������� ������"��:���&���

� �

� � � � .=*3�

� � � �0 01

0 0

0 0

11

e se sc ee s

�� ��

��

��� � �

���!�� � � � .=E3�

5���� ����������������

� � � �01

0 0

01 s1

se sc e��

��

� � �� �� � �

�� � � � � .=23�

������������������� ����� ������������� �����e)�HH�(Ds)�

� 4����������� ""��:�� ��������������� �������"� ��������� �������� ��������������� ��

������ ��� �� �� �� ��� ������� �� � ����"�����!� �� C� s)!� �� � ""���� ��� "����9����������

����������!� ���<9�.A(3���������

� � �

2

0 0 0 02 1d d de s e sd d d� � �� � �

� � 0� � � � � � � �� �

� � � � .==3�

-312-

Page 31: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

#��� ""��:�� �����������"���������������"�������������dk

�#������ ������ �

��������"��� �������� ��������� ��������� ���� �����������!� �� ���� ���&��� �������� �

� ���������������& ��.�����s� ��� ���5�������� ���������c!��������������p3�#���������������

��� ������ ��� ������<9�.==3������

akE S ES���� ���

� � �� �0 0 0 01dc e s c c e s

d�0� � � � � � � � � � � .=F3�

��������� ������� ��

� � �

� �

� �

2

2

exp12 exp

c

'( ' ) �( '

'( ' ) �

� �� � ��� �� ���� � � ��� ���

��� �� �� �� �� �

5���� 0 01 e s

!� � � � .=+3�

( � � ! 0 04e s) !

��� 2' ( ) �

#��� �������� ����� �� ���� ����� 7���!�

���"� �� � ���������!� ��� ����� �� ����7��� �� ���� ����� �� �9���������� & ���� ����� �����

9� ����!� ����������������� ������� ��������"��������������� �������"� ���

7.�CONCLUSIONS�

4����������� ������������� ��&��5����6��������� ��������������7 ���8��������5 ��

"����������

��� ���� ������ " ��� ��� ���� " "��!� � ���"������� ���� ������� ������"����� �� �� ��������� ����

� ������ ������������� � � ����"�������5 �������������#���� ""�� ���"��&�����" � �������

�� �����������7 ������������ �>"������� �����"���� ���!�<9�.(E3?� ����"����> &�� ���� ����

��� ����!�<9�.(=3?�#��������&���� ���� ����������������������������������5��" � �������

� � ���9� �����><9�.(F3?��� ��� �� ���� ��� � ��� ���� �����#������ ������������� �����

"��� ��7 ��� 5 �� ���� ��� ����� ><9� .(+3?� #��� �������"�������� ��� ���� ������ ���

-313-

Page 32: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

�������� ����� �������������� ���� �������"� ���><9�.113?��������&������ ����"���5 ��� ��

���"������5��������� ���� ��� ��������9���8��5�� ��9� ������ � ��� ��� ""��:�� ������

� ��������������" ����������" "���.�����23!� ���: ���������������� �������� ��������

6���8��������5 ����� �����#���5�����"������� ��� ���������� ��� � �����������& �� ����

�&���������9� ����!�<9�.A(3!�5�������� ���������������������� �� �������������������� ��

�9� ����!� ���������������" � ������� ��������������M������������������������9� �������;�

������7 ������������ ��!����������� ���������������� ���������� ����!�s)!� ���������7 ���

������������� ���������� ����!�e)�#����: ���������������6���8��������5 ����� ����������

<9�.A(3� �� ��������� �� ���������������������� ����9� ����!� ����������� ""��:�� ���

���������!� ����� 8��5�!� ����� ��5!� 5���� ����&��� ��� � � ���� ���� 5 � �� �� ���5��� �

"��������& �� ���������������"����&����&������ ""��:�� ����� �����������������& ����� �#���

��������"����9���������� ���9� ������ � ��� ��� ""��:�� ������5 �����" ������ ����������

��� ������� ���� ���� �5 �<9��.E23!�.E=3!�.E+3!� ���.2)3� ����������� �����5���������<9�

.A(3�5 �� �������5�������� ��9� ������������������ �����"�� �������������������� ������

��� ����"������ �� ���������������������� � ���&��������� ��������" � �������

� �

-314-

Page 33: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

APPENDIX�A�

<9�.1(3�� ����������� ����� ���" � ��������& �� ����������&��

� 0 0

0

[ ] [ ] [ ]ln[ ]

cat

m m

k ES P P tS K K�

� �

.4(3�

G�!�������>S?C>S?)�>P?!�

� 0 0

0[ ] m mS K K

#���������� ���������� �������8��5������ ����������;�4�������9��& ��������<9�.413�

5 �� ��� � ���� ������ �6����� ���(+)A�>1=?�.���� ����>(*!�(E?� ���������������������3�

����� ������� !� ��� 5���� ���� ���"� ��� ������� �� ����5 ��!� �������� ��� �����7 � >=?�

�������7����� ������������ ����������� ������ ������:"������ ���&��� �� ������������������

����������������' ������W����������#������������������������ ��������&�����������������x�

�x!��� ����!�W.x)��W.x3�C�x�������!�<9�.413�� �������5�������������������

[ ] [ ] [ ]ln catk ES S S t�� � .413�

� 0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ]exp exp exp cat

m m m m m

k ES S S S tK K K K K

� �� � � � � � � � ��� � � � � � � � �

� � � � � � � �! .4A3�

� �

6�����>=?�

� 0 0 0[ ] [ ][ ]( ) exp exp catm

m m mK K K� � � �

k ES SS t K W t� �� �� � � �

�� �� �� � � �� �� �

#���"� ��� �� �������� ��� <9� .4*3� ��� ��� ������� ������� �� ��� �� �� ��� <9� .413!� ���� ����

�:"������ ����������������� ��� ��� ������������&��������������"�� ���� ��"��"����!� ��

���� ��������� ��� ��"��������� ��� ������� �� ���"������ ����5 ��� .��� ��ProductLog>x?� ���

Math

.4*3�

ematica3�

Q�&����� �������� ���x�����' �����������������������W.x3�C�x!� ����� ������� ����x�����

������������@.x3������x!�<9��.123� ���.1E3������5������<9�.4*3�

-315-

Page 34: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

APPENDIX�B

�����)�J�e)� �����J�e)!�<9�.2)3���������

� � �

0

0 00 0(1 ) ln ( ) 1 2

ss ee s duu�

0e� ��� � � �� � � � � � � � �� � � �� !� � � .(3�

���

� � � � �0 0s e� � � !� � � � � � .13�

5����������)�J�e)� �����H�e)�<9�.2)3���������

0 0

0

0 0 00 0(1 ) ln ( ) 1 1 2

e s

e

s e ee s du duu u�

0e� ��� � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � !� � � .A3�

���

� � � �

0

01

0

se ee e e 0���

� � � � � � � .*3�

ACKNOWLEDGMENTS�

#����5��8�5 ����""������� ����� RS��" � � ���T��� ��� �#�������� �.��#!�,����� �3� ���

,G���1)()�.�<K</3�5������"��M����,#K�B<�/B2*+)+B1))2�

� �

-316-

Page 35: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

REFERENCES

emical�Kinetics!�

>(?�U�0�' �����!�Ch 6 �"���V�/�5!�� �������!�(+F=!�""�A++�*)1�

>1?�4�/�������7!�Enzyme�Kinetics!�� ��������%��&����� �,����!�� �������!�(++*!�""�=�

(1�

>A?�6�Q��������!�Kinetics� for� the�Life�Sciences!�� ��������%��&����� �,����!�� �������!�

(++E!�"�F)�

>*?�'�4� �����!�G�� ����& ����� ���� ���� ��� � ��� ��� ����"�������� ��7 ���8�������!�Bull.�

.Math �Biol.�50�.(+FF3�E=+�E+A�

>E?� '� 4� ������ ��� �� �������!� #��� 9� ������ � ��� ��� ����"����;� 4� � ��� ���� � ���

"������ ����!�SIAM�Rev.�31�.(+F+3�**2�*==�

>2?� 0� 4� �� ���� ��!� /� 0� ���!� ��� '� 4� �����!� <:�������� ���� 9� ������ � � �� ���

""��:�� ������ ��� ������& �� ����!�Bull.�Math.�Biol.�58�.(++23�*A�2A�

>=?����������� ����������7 !���������������������������������"���������7 ���8�������!�

J.�Theor.�Biol.�187�.(++=3�1)=�1(1�

>F?� 4� /� #7 �����!����� ������������ 8�������� �� ����� ��7 ��� �������� ����!�Bull.�Math.�

Biol.�65�.1))A3�((((�((1+�

>+?����������� ���,�U�� ���!�4������� ������7 ���8�������;�/��� ����� ��������KM� ���vmax�

����� ���!�Comm.�Theor.�Biol.�8�.1))A3�(2+�(F=�

>()?�0�@�K������ ���4��4����!�4���5�"������ ������������������������� ������������

"������!�AIChE�J.�54�.1))F3�(A**�

>((?��'�!�W�����!� ����'�,��� ������ � ��� ���� 5�������7 ���8�������!�J.�Phys.�Chem.�A�

112�.1))F3�1A((�1A1(�

>(1?��� ���7S�� ������������ ��� ����!�6�5�� ������ �� ����9���������I�4���5�&��5����

��&���������� ������!�ChemPhysChem�10�.1))+3�(++�1)E�

>(A? ��<�����""���!���� �����!�4���� �����!� ���4�K�������! ��"��������������7 ���!�

Cell.�Mol.�Life�Sci.�58�.1))(3�(*E(�(*2) �

>(*?� 6�� ������ !� �� ������ �� ����� ������ ��� ��7 ��� 8�������� #��� ������ �� ���� �����

�9� ����!�Eur.�J.�Biochem.�43�.(+=*3�A==�A=F�

>(E?� . 3�/� 0� 0�������!������� ��!�#����& �� �������� ����8������� ����� ������� ��7 ���

� � ��7����� �������� �"����������� �����"��������� ����� ����9� �����!�J.�Am.�Chem.�

-317-

Page 36: A General Treatment of Henri Michaelis Menten Enzyme Kinetics

Soc.�77�.(+EA3�E*A1�E*AA�.�3�6�Q��������!�Kinetics�for�the�Life�Sciences!�� ��������

%��&����� �,����!�� �������!�(++E!�""�F*�F=��

>(2?���/ �� ����������� ��� ����!��,����9���������� ""��:�� �������������� �� ���

�������!Chem.�Phys.�280��.1)"����"� ��� ��8 )13�1FA�1+A�

>(=?�6�Q��������!�Kinetics�for�the�Life�Sciences!�� ��������%��&����� �,����!�� �������!�

(++E!�""�(AF�(EE�

>(F?��6�Q��������!����"������������� ����� ��������"������������������7 ��������� ���

���"��:��!�Disc.�Faraday�Soc.�20�.(+EE3�(2=�(=A�

>(+?������ ����� ���K�������!�,��"������������������ ���������������� ��������"� ���

�" ��!�J.�Math.�Anal.�Appl.�339�.1))F3�()**�()2*�

>1)?�4�6���� ��!���0��� ���!�Q�������� ��"������������ �����������7 ���8�������!�J.�Chem.�

Phys.�91�.(+F+3�(F2�(+A�

>1(?�G�6���� ��!�4�Q��������!�X������� &���������7 ���!�J.�Gen.�Physiol.�26�.(+*A3�EE+�

EFE�

�>11?�������� ���!�K�<�Q���� �!�4����������������������� ���9� �����������"�����7 ���

8�������!�J.�Am.�Chem.�Soc.�77�.(+EE3�2)2+�2)=)�

>1A?�,�4�#��5���� !�#���8�������������7 ��� �����!�Biochim.�Biophys.�Acta�23� .(+E=3�

=)�F)�

�>1*?� 4� ���������5���!� Fundamentals� of� Enzyme� Kinetics!� A��� ��!� ,���� ��� ,����!�

'�����!�1))*�

>1E?� ��Q�K �&� !�4�6�U���7!���/�����!�G������8�������������7 ����� ������!�Bull.�Math.�

Biol.�40�.(+=F3�=1=�=A*�

>12?��� ���� � �!�,���@ �8 �!�K � �������� ���� ����&������������ ������������8�������

�!�J.�Phys.�Chem.�A�102�.(++F3�=(=�=1���� ��� (�

1=?�Y�6����!�Lois�Générales�de�l’Action�des�Diastases!�6��� ��!�, ���!�(+)A�>

-318-