Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
�
�
�
�
A�General�Treatment�of�Henri�Michaelis�Menten�
Enzyme�Kinetics:�Exact�Series�Solution�and�
Approximate�Analytical�Solutions�
�
������������� ��� �����
������� ��� ������ ������ � ������� �� ��� ��� �� ���������� ��� � ���������� ���
� ����������� !� ������������"������#$�����!�%��&����� ���#$���� ����'���� !�()*+�))(�
'���� !�,����� ��
������ �-������"��
./����&���0����12!�1))+3�
ABSTRACT�
4�����������&��5����6��������� ������������.6��3���7 ���8�����������"������������
���� ������ " ��� ��� ���� " "��!� � ���"������� ���� ������� ������"����� �� �� ��������� ���� � �����
� ����� ��� ���� � � � ���� "������� ��� ����������� #��� �������"�������� ��� ���� ������ ���
�������� ����� �������������� ���� �������"� ����������&������ ����"���5 ��� �����"������
5���� ���� � ���� ��� �� ������9��� 8��5�� �� 9� ������ � ��� ��� ""��:�� ����� ��� ����
������� " ��� ��� ���� " "��� �� �: ��� ������������� �� ������ ����� ��� 6��� 8�������� ���
�����������#���5�����"����������������������� ������������& �� �����&���������9� �����
�� �� ��� � ������������� �������� �� ���������� ���������� �� �9� ����!� ��� ���� ��������
" � ������� ����������������������������������9� �������;���7 ������������ !������� ���
�������� ����� �� �������� ����!� ��� ��7 ��� �������� ����� �� �������� ����� #��� �: ���
��������� ��� 6��� 8�������� ��� ��� ����� �� � ���� ��� � �� ����� ������� ����� ���� � ���
�9� ����!� ����������� ""��:�� ������������!������8��5�!��������5!� �������&������ �
� ���� ����5 ��� �� ���5�� �"��������& �� ���������������"����&����&������ ""��:�� �����
��� ����������� ��� & ����� � #��� �&�������� �9� ����� ��� ����� ��� ���� ���5�� ��� ��� 5����
������ ����"������ �� ����������������������������������� �����"�� �������������������� ���
��������� � ���&��������� ��������" � �������
� �
MATCH
Communications in Mathematical
and in Computer Chemistry
MATCH Commun. Math. Comput. Chem. 63 (2010) 283-318
ISSN 0340 - 6253
1.�INTRODUCTION�
�
�
�
t
<�7 ���E� ��������� ���S�.��� �� ����� �����:����3� ����� ���� � �� ������������ ��
�� ������ .ka� �� ()=� ��� ()()� ��(� ��(3� ��� ����� ���� ��7 ��������� ��� ���"��:� ES� #���
������ ��� ��� ����� �� ��������� ����� "������� P� ��� ���� ���"��:� ��� �� � ������� ����
���� ���������"������� ���������� �����������7 ���6�5�&��!������� ����������������� ��
��&�������!� ��� ���� ���"��:� � �� ���� ������� ��� � �8� ��� ��&�� ����� ������ ��� ��� �����
��7 ���4��� ������������� � ����"�� ������������� ��� ����5����8��5��6��������� �����
�������.6��3�8��������������>(!�1?�5���������������"�����������"����������7 ��� �����;�
a cat
d
k k
kE S ES E P���� ������ �
Scheme�1�
��� ����� ������!� ��&��������� � ��� ���� ������� ���"� ��� ���������!� ��� ���� ���� ������ � �
�:����������� �����������"��:�EP�������� ��������������:"������ �@�������"����������������
����� ��6 �� ����������>A?!�
1
1
a ca
d b
k kk
k k kE S ES EP E P
�
��� ��� ���� ���� ��� ��� �
Scheme�2�
����6���������"����� ������5����&��� ���� <�B<,� ��������&������� ��� ��� ��&�� � � ��� ���
�����& �� ��������� ��������� ������"�� ���������������#����5������� ����������� ������
� 4����"��� ���9� ���� ������������7 ��� ���&�� �������������&���� ���r��>(!�1?!�
� � � � �
� 0E dt
5�����>E?)�C�>E?D>ES?�#��������&���� ��������������������"���������������������� ����
"������������� ���"�����7 ������������"�������#����9� ���� � �����"��� �� ��� ��������
1 [ ]t
d Pr � � � � � .(3�
-284-
5����������7 ����������� ���������������5����� ���� ����������� ��!�5�����������������
���������� ������
�
2.�THE�BASIC�EQUATIONS�
� #������������� ���9� �������������6������� �������� ����������������� ���������
����������"������"���������� �� ������ ����� ��;�
� � � �� � � � a d
d Sk E S k ES
dt � � �!� � � � .13�
� � � �� � � � ��a cat d
d ESk E S k k ES
dt � � �!� � � .A3�
� � � �� � � � ��a cat d
d Ek E S k k ES
dt � � � !� � � .*3�
� � � �� � d P
k ES catdt
��5��� ��������
� � � � � � .E3�
#������9� ����������� ���� �& ������9� ������
� � � 0E E ES � !� � .23�� � � �
[ ] � � � � � .=3�
� � � �
� � � � 0 [ ] [ ] [ ]S S ES P
#����� ����������� ���������������������� ������������� ��������� � ��5���"������ ��� ����
��
� �
� ���������& ������9� ������ �������!���� ��5������������ ���9� ���� �����������
� ���� ���� ������� �� ����"���������� �� ������ ����� ���>ES?)�C�)� ���>P?)�C�)�#���
8���������������������������� ���&��" � ������;�#5������� ���������� �����!�>S?)!�>E?)!� ���
������
�
�
� �������� ���!�k !�k�!� ���k� ��
� <:"��������� ������� �������� ��������5���������������� ������%�����<9��.E3�.=3�
������������ ���������S!�E� ���ES�� �� ������5������������������������������� ��������P;��
-285-
� � � � � 01 [ ][ ] [ ] [ ]
�
�
cat
� � � �
d PS S Pk dt
� � !� � � � � .F3�
1 [ ][ ]cat
d PESk dt
!� � � � � � .+3�
� � � � 01 [[ ] [ ]c
]d PE E �atk dt
#������ ����� ����� ���:"���������������>P?.t3� ������ ����!� ����������������������� ������
��� ���
� � � � � .()3�
�� ��� ����"�����
� <9�� .F3�.()3� � �� ���� ��� ��&������ ��� ������ ��� ��� ��� ���� �������� ����� ���P� ���
���S!�E����ES����" ������ �!���������������������� ������
� � � � � �0[ ] [ ] 1 [ ]cat catk t k tcatP S e k S e� � � �
�!� � � .((3�
5����� ��� ���������������&�����������5�����5�����������!�0
( ) ( )t
f g f u g t u d �� u �<9�
.((3������� ����������<9�.F3�� �� 8����' "� ����� �������!����&���������9� �������������
' "� ����� ����������>P?!� ������ �� ���&������������� ����������������5 !����"�� ��������
>P?������>S?���9����������" ��������� ����>S?�������8��5�!�5��������"�� ��������>S?������
>P?� ��9������ ��� � ���� "������� ��� &���� ��� >P?� #���� � ����� � ������ ����� ���� ����� ���
�������"�����!� ��S���� �"������������P!� �������������������� �8����S������P�
� ��� ����� �� ��������� 5 �� �"� ��� ��5� 8��5�� ���� ���� 6��� 8�������!� �� �� ��!� ����
� ���������5������������������������ ���9� ������� ��������������&������ ������:"���������
���� ���� �������� ������ ��� ��� �"������ �������� ��� ������� ����� .��!� ��� ������ ��� 8��5��
���������3�����������������"�5�����������:" ��������
�
�
-286-
3 SI�STEADY�STATE�APPROXIMATION�
� #��� �� ������ �� ""�� ��� ���6���8�������!�"���������� ������� ���6 �� ��� >(!�
1?!� � �� ����� ��� ������� ���� � ����� ��� �5�� ������������ ���������� �� �9� ������ ��� � �������
���������������������� ���9� ������ ������� ����9� ������ � ��� ��� ""��:�� ����� .���43!�
������������5�������������������������� ���9� �����!�<9�.A3����<9�.*3!�������&�����������
�� ����� ����9� ����!�� ��9� ������������������& ��&�����7���� ����������� �����!�� ����
��� �����& ������ ������"������� ��� �� �:"������� �� ��� �������� ���� �������� ������� ���
" � ������ �" ��!� ��� ��� ������� �� �� ����� � ������ "������ .�� ������� 8�������3� ����
�������� ����������7 ��������� ������"��:�ES� ��� ""��:�� ��� ������ ��!� ����� �������
��"����� � ����� ����& ��&�� ��� >ES?� �� �� ��� "������� � 7���� #���� ����5� �� �� �����
� ���� ��� �� "��������� ���&�����<9�� .A3� ��� .*3� ��� � ���"��� ����� ��� �9� ����!� ���
���������&���� �����������>(!�1?�
.�QUA
� � � �[ ] [ ]
[ ] [ ]a cat cat
t
�
�
dk � �
5�����K ������������ ���������� ��!�
cat a m
k k S k Srk k S K S
�
!� � � � .(13�
�
� � � � � d cam
tk kK � � � � � .(A3��
ak
@�������������4� ""��:�� ����!����������� ����������������� �����������������7 ������� �
��&��������� ����������� �����
� � � �[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]m
ES SE ES K S
� �
� � � � � .(*3�
If [S] >> Km, then practically all enzyme exists in bound form, saturation is reached, and the
turnover rate attains its maximum value, kcat, also called the turnover number. For [S] = Km the
turnover rate is half of the maximal value. Typical turnover numbers are 100 to 1000 s-1, with
-287-
maximum values of about 106 s-1.�������� �� cat
m
cat
1a
ad
k k kkKk
��
������������������� ������&���
���������& ��������� �������k �
� #��� �������� ����� ��� ��7 ��������� ��� ���"��:� ��� ��� � ��� ��&��� ����� ��!�
�������� ���� ��� ����&�� ����5� �#������4�� ���� ��� �� ""��:�� �������� �������
�: ��� � �� �"�����������!�5��������ES��������� ����� �� ��������� :�����& ���!� �������
����� �� ��������� ��&�8������� ��������5����9� ��� ��&��G�� ���� ��&�� �������� �5��������
��������� ""��� ����� �����������4����6���8����������������� ���&����� ����>*�((?��
�
4.�A�DIFFERENT�VIEW�OF�ENZYME�KINETICS�
4.1�Catalytic�cycles�
<�7 ��� ���&�� �� ����� �& �� ������ ���"������ �� ����"���� � � ����� ���!�
������������������������� �
Scheme�3�
/�&��������� � ��� �����"�� ���� ��� ���� �� �� �� � � ��������� �� �������&�� ���������������
���������������������"�������#���������������!�5������ 8���& ��������5����)� ���(!��������
��7 ������������ ��������"������� �����"���� ���!���&���� �>(1?��
� � � � cat cat
d cat a m
k kk k k K
� �
�� � � � � .(E3�
�
�
-288-
��"���������������7 ����>(A?!�����5�����k��HH�k� �!�� &�� ���������������� !� �������>S?�HH�
K�������� ������������������7 ����� ������� �� ���������������������!� ��r��C�k �>S?�@����
�� HH� (� ���� 8������� ���� ����� ������"����� ��� � "����9���������� ���5���� �� �� ���� ���
��7 ��������� ��� ���"��:!� ��� K�� �������� ��� ���� �9���������� ����� ��� ���� ����
������� ������� ������#������������ ��������� �� ������������� ����� ����� ����������>(!�
1?�
#��� ��&����� ����, Pn ,� ��� ���� &�� ��� ������� ��� � ����� ��9������ ���� ���&������� ��� ����
������ ���������������������"���������������!��
�
�
1 1 dP
catk�
#���"������� �����"���� ������� ����"��� ���" � ������������ � �����7������7 ���
���&�� !���������������������� ��5��������9���� �� � � ����� �����"�������@� ��������������
��� ����� .��� "�����3� ��� � � � � ���� � ���I� #���� ��� ����� ��� ���� ������� � ���� � ��� ���� ���
� ����!������ �� �� &�� ���& ���������&���� �>(1?�
. .(23�kn �
� �
1 1 1 1 1[ ] [ ]c
a d cat a mk S k k k S K� � �
#���� ������� ������ ���5�������!�������"���������������5��� �&����������� � � ����� ���;�
#�������������!�(B.k >S?3!� ������� &�� ������ �����.��� ��������3����������7 ���������������
�� ��� #���� ��� ����� ��� ��&����� � "��"������ �� ��� ���� ����� ������ ��� �������� ����� #���
������� ����!�(B.k�Dk� �3!� ��� ���� &�� ������ ����� .��� ��������3���� ���� ��7 ��������� ���
�� �
� �� � � � � � .(=3�
���"��:!� ����������"���������������������� �������������� ����
� %�����<9��.(E3� ���.(=3����������&���� ���� �������5���������� ����"���5 �>(1?!
� � � � �t
c
r��
� � � � � � .(F3�
-289-
#����� ��������<9�.(F3������� �;�#��������&���� �������������������������������E���ES���
E�� �����"������������� ���"�����7 ����������� ����� ���������������� ����������� �����
����� ���� �� ���� ���� ����� ��� "������� ���� ����� "��� � �����!� ���� �������� ���� &�� ���
� ������� �������!� �������������7 ���� ������������������������������������"��:�5��������
������ ���6�5�&��!� ��&�� ����� ��������� ����������� �����.� ��� ���������������3!�����
� ������� ����� �� ���� ������ ��!���������& ���!�(B.k�Dk� �3!������������� ��������"��:�
�������� !� ����������������������&���� ����� ���������� :�� ��& ����k� ��� �
� ���� � �� ������ ��� � �������&������ .� ���� �� ����3� ���� ���� �8��;� �����5�� � �
� � � ����� ��������� �����7 ���.������� &�� ��3���� ������������������������������������
�� �����I�#�� ��5��� ����� 9�������!�5�� ����������� �� �� >�?)B><?)� ������ ������������� ���
���&������ �����"������������������ �� �����7 ��� ��� �����5 !� ���������<9� .(23!� ����
��� �� &�� �������������� �����"�����7 ��������������"��������������������� ���������
�
�
� � � � �
� �
0Pcn
0E
���� 5�� ��5� ��������� ���� ���� ����� �� ����� t!� ����� ���� &�� ��� ������� ��� � ����� "���
��7 ����"���������"��������
� � � � � � .(+3�n S
� � � � �� � �� 0E
� F���������������7 ������ �� ������� �����:����!������ ����������������������� ���������
�� ��� ���"������� ��� � ��!� ��� ���"��:��� ����� ������ ������ ������ !� ���� � ����� ���
���"������ �� ""��:�� ��� ������ �������!� ��������� ��������������� �����������"������
���������7 ���� �����������������!���&�� ��"������� �����9�����!����� ��������� �������������
� &�� ���������� ��� ����� ������ �" � ����!�������"�����&��� ������#������� �����>E?)�
JJ�>S?)�� �������������������"� ���� �� ����������������� ��� ��� !� �������� ������5��������
P( ) P
cn t
n t � � � � � .1)3�
-290-
&�� �� ��!� ����&���� "�����:����������9���������������������!��:��"�������:������ ���5�
��7 ����������� ������
� @�������������������� ����� ���������:����!���5�&��!������������ ������������������
5 ������� ��� ������������ ����"��:�5���� �� & �� ������7 ���#����� ������� 8��������
������ ��������� �����������������"������
�
4.2�Substrate�in e cess��
#��� � ���5����� >S?)� JJ� >E?)� ��� ��������� ������� ���� ����!� �� �� ��� in� vitro� # "�� �� !�
��7 ����������� ���������()�F����()�()��� �������!�5���� �������� ����������� ������ ���
��� �� � ��� ���� �� �� ()�2� �� %����� ������ ����������� ���� ��7 ���!� �&��� 5���� ��"���
���������!������"�������� � �� � � ����� �����<9��.(3!�.(=3!� ���.(F3���&��
� x
� � 0 0[ ]1 1 1
�
�
[ ] [ ]mS K S
<9�.1(3����& �������� � �� � � ����� ������ 8��"� �������� �����7 �������������"����������
���� �� ������ �� �� ��!� ��� ������ ��� �������� ����� �� ����� ���5� � ���" ���� ��� ���� � ����
��� �����%�����<9�.(+3!��������"������� �
a cat
m
k EKdt
�
� �.
.1(3�k Ed P
� � 0 0S E�� � !� ������������� ����� �� ����������
������� ����7 ����������� �����>E?)���������������� ������������ ����������� �����>S?)����
���������"������!��������������� ��>S?)�JJ�>E?)���"������� �� 0[ ] [ ] [ ]S S P�� !� ��������������
��� ����� <9� .1(3� � �� ��� ������ ���� ��� ������ ��� ��� ��� >P?.t3� #��� �������� ����� ���
������ ��� ��� ��:�� ��� ����� ����� ���� � ��� �9� ����� 0[ ] [ ] [ ]S S P�� � #��� ��� �� ������� ���
5����8��5������������"������>(*?� ����:"������>=?�������#����:"��������������>=?�
� 0 0 0[ ] [ ][ ]( ) exp exp catm
m m m
k ES SS t K W tK K K
� �� �� � � � � ��� � � �
� � � � � �� �� � , .113�
-291-
5�����W.x3��������' ��������������!�����4""����:�4��4����������� ����������������&������
����2� �
� 4� ������� ������ �� ��� ����& ����� ���� �� ����� ��� <9� .113� �� ���� ����� <9� .=3�
K��������� ��������5�������"�����������!� ���� 8��������� ��������� ����������������� �����
9� ������ � ��� ��!������������� ��������ES��� ���������������� "��� ��� ���� �����S!�
� � � �[ ] [ ]d P d S . .1A3�dt dt
�������������<9�.1A3������<9�.1(3���&���
��
� 0[ ]
1
�
�
[ ]S
� #���� �9� ����� ��� ������� �� ��� �� �� ��� ����� ����� ���� ���4� >(!� 1?� #��� "�������
����& ���������������5�&���������� ��� ��������������4� ��� �������������� ���� ���� �
#����� ������ ���� ��� ��"��������������5���5���� ""� �����������4�.����9� ���������
����& ��&�����>ES?�5�������"���������������7���3�������������� � ����� ���&���� ��<9�.1*3����
��� ���� ������ ���� ��������� .����4""����:�43� 4��������� ��� ���� ������ ����& ����!� ������ ���
�&������������������������������������& ��&�����>ES?!��������������������� 8������� �������
� ��5� ���
cat
m
d SKdt
� �
k E.
.1*3�
� ���>S?)�JJ�>E?)���������������>ES?�HH�>S?D>P?������� ������� ������
���������� � �������� �������"�����������������5��������������� �����;��
.�3����>S?)�JJ�K�!����������� ����������� �������� ��7����������8��������.��5�����>S?�� ;��K�3
� 0 0[ ] [ ] catS S k E t � . .1E3�
6������� �� !� ���������& �������� �������� &����"��&���������8����8��������&������� ���� ����
�:�������� ��� ��������� ��� � ��� ��&�� � �� ���� ��7 ��������� ��� ���"��:!� ����� � 5�����
�:��������� �� ��� � ������"����� ����� �<������������ �����������
-292-
.��3����>S?)�HH�K��.����������5����>S?)�JJ�>E?)3!����������� ����������� �������� ��������������
8��������
� � � � � � 00 00[ ] [ ] exp [ ] exp cat
amK� �
k ES S k E t S t
� � � � �� � , .123�
� #���������"��������9� ��������������"������� ������ ��������� 0[ ] [ ] [ ].P S S � ��
� <9��.113!�.1E3� ���.123����5��� ��� ��� ���������������� �������� ���������� ����!�
���� ������5����������������������������� �����!�������"�������������������������& ��������
� �� ���K��#������� ����"�������� � ������������ � � � � ������������>1!�+!�(E?�k
�
4 �equilibrium�
� %����� "����9���������� ����������� >(2?��� HH� (!� � � ��� �9���������� ���5���� S!�E�
���ES� ��� � "��� � ��� �������!� ��� ���� ���&������� ���ES� �����P� � 8��� "� �������������
���5� �@����>S?)�JJ�>E?)��������������������"��&������������� ""� ���&���������!�<9�.1(3�
���������& ����5�������������� ��������������:����!�"��&������� ��
.3�Pre
� � 0 0S E�� � ��������� �
� ��� ���� ES� �������� ����� ��� �������� ��� ��� 0[ ] [ ] [ ]S S P�� � ��� ���� & ���� ��� ��� �����
"����� ���� ��� 5����� 0[ '] [ ] [ ] �S S P !� 5����� >S’?� ��� ���� ��� �� ������ ��� �������� ����!�
[ '] [ ] ]S S ES � !� ��� ��� �� ���� ���� & �� ���� ��� <9� .1(3� ��� >S’?� %����� ���� �9����������
����� ��!�>S?�� ������������� �������>S’?� ��������9� �������� �� ������� ����#������ �����
���������5�������"�����������������2�
[
"
�
5 SE�
�
�
.�THE�INITIAL�TRANSIENT�PHA
�#��� ����� ���� ��� ������ � ��� ����� ���� .k !� k�!� ��� k� �3� � �� ��� � ��� ��� ����� ����� ��
������� ������ ������������� ���������"����������������������� �������������������� �����
-293-
�
�
E
�� �������"� ���>(=?!���������� ��"�������� ��� ����������� ������ &�� ���� ������������. ���5�
ms� ������3�K������ �� �� ��� ����� �� �" ������ �����"� ��!� ���������� ����������� ��������
""��:�� ��� ��9� �������������� ��& ���!� ��������������������� ��������5������"���������� �
�������*!�
0[ ]a cat
d
k S k
kE ES P���� ��� �����
Scheme�4�
� #����������� ����������������7 ��� �����7 ��������� ������"��:� ���
� � � � � �
� � � � �0 00 0
0
exp( ) 1 ...m a m
am
K S k K S tE t E E k S t
K S
� �� � �� � � 0
� � , .1=3�
� � � � � �
� � � 00 0 0 0
0mK S�
�����&�� ������������������������7 ��� ���������7 ��������� ������"��:��������� ������
&��&�� ���& ������
1 exp( ) ....a m
a
k K S tES t E S k E S t
� �� � �� � � .1F3
� ���� �� �5��������!� ����������������������� ��� ����7�� ��������� � ���
� #����������� ��������"������������5�������<9�.E3� ���.1F3�>(=!�(F?!��
� � � �
� � �� � � � � 0 20 0
0 00 0m a m� �
� ���� &�� � ������ ������ ����"������� �&��&��� ��� � 9� �� ����5 �5���� ����!� ��� ����
��������������������� �������� �� �5������������������������������������� ����7��� ��� �� ����
������ ���& �����
1 exp 1( ) ...2
a mcata cat
k K S tk E SP t t k k E S t
K S k K S
� �� �� � �� �� � � �� � ��
.1+3�
0S �����5����������� ����"������� ����������� ��"� ����������"���������
�<9�.� 1+3�
� #��� �&�� ��� � ��� ����� ��� ��� �� ���� �����<9�� .1=3�.1+3� ��� � 0d cat ak k S� � ���
����� � ���� � ��� ���� ��"�������� 5����
k
� 0S ���� ��������� �� � ��� ����� ��� k � � �� ���
��� ����!� �����5���� ��d ck k� at
-294-
6.�A�UNIFIED�APPROACH�
6 ingle�evolution�equation�and�its�exact�series�solution�
� 4��� & �� ������� ����������6���8���������� �������������: ���� ���������5��������
������ �������� �� ���������� �� �9� ������ < ��� ""��:�� ��� ��� ������ �������� �����
�"����������"����� ������� ������������ �����4�����������!��������4� ���"����9����������
""��:�� ������ �� �� ��� � ������� ������������ �������� �� ���������� �� �9� ����!� 5����� ����
� �������:�������7 ����� �������5�����"���������������� ������� ������������ ���9� ������
#���������������������8�������������������� � � ��� �� ���������� �������� �������������
.��� "������ ����� ����� 3� ��� ���� ������� � � ������ ���� ��� � �5����������� �� "� ���
1
.1�A�s
�" ���>*�2!�()!�((!�(+!� )?�
� 4�� ����� ��&�� ""�� ��� ��� 6��� 8�������� 5���� ��5� ��� "��������� 4�� ��� 5����
8��5�!� ������������������������������� ���9� ������ ������"��������� ���9��& ������ �����
����5������������������������ ���9� ������#�����&�����"��������!� �������������������!�
��� ����"�����������5����������5��������� ������ ����� �& �� ������ ����������������� ����
6���8��������
� K��������� ��������<9� .E3�5���� ���"���� ��� ����!� �����5���� � �����:"����������� ���
�������� ������������������>P?!�<9��.F3�.()3!���&���
� � � � � �2
0 02 0 0
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]aa d cat a cat
d P � �
�
�
catdt k dt dt� �
5������������� �������������>P?.)3�C�>P?L.)3�C�)�#�����9� ����� ""� �����5���� !�����5����
��5������� �������������������������������������� ������>1(?�e�C� >E?BK�!�s�C� >S?BK�!���C�
k d P d Pk E S P k k k k E S P � � � � � � � �� � !� .A)3�
-295-
>ES?BK�� !� p� C� >P?BK�!� �������������� ����� �� C� k� �� t!� ��� �������������� ��� �� ������ ���
�������� ����� �� C� s+c� C� s)�p!� ��� 5���� e)� C� >E?)BK�� ��� s)� C� >S?)BK�!� ��� ��������
�������� �� ����"���;�
� � �2
0
�
�
02d d d� � �1 0d d de e� � �� �� �� � � � � � � �� �
5����������������7 ������������ !�<9�.(E3�#�������� ������������� ����.)3�C�s)� ����L.)3�C�
)�#���& �� ��������� �"�����&�� ������������ �� ������ ����������������������������������
�!� �����. 3�C�)�4�����������!������������������������ ����������� ����!�"������������ ��
����� ������ ��� ��� �� " ��� ��� ���� ��7 ��������� ��� ���"��:� #��� ��������������
" � ������� �������� �����5� � � ��� �� ������� ���� ���� ���"����� ����� ��� ���� ��������� ��
�9� ����!� � &�� � ��� �� "� ��� �� �� ����!� ��� ��� ������������ ��� ���� ������ �� �� ���
�������������� �������� ������ ��� �������� ��� ���� � ��� 5 � #��� 5����� "������� ���
���������� ��� � ������� ����& �� ���� �&�������� �9� ����!� 5����� ��� � ������������� ����
���� �� �������������������� ���9� ����!� ���������������" � ������� ��������������M����
������ �������������� 9� �������;� ���� ��7 ��� ��������� ��!� ���� ������ ��� �������� ����� ��
�������� ����!� s)!� ��� ���� ��7 ��� �������� ����� �� �������� ����!� e)� #��� ��������
�� ��
!� � � � .A(3�
& ��� �����������������5��" � �������
� <9� .A(3� ��� ���: ���������������� �� ������ ��������6���8������������� ��!�����
� ������&����� �� ���� ����5 � ����������� ""��:�� ������������!� ��5����������5��������
����9�����������������������"�� �������������������� ��������� ����"������ �� �������������
��������� � ���&��������� ��������" � �������.�!�e)!�s)3����� ��!��������� ������.�3!��
� � � �dsd���
� !� � � � � � � .A13�
� � � � 0de ed��
� !� � � � � � � .AA3�
-296-
� � � �dcd��
� !� � � � � � � .A*3�
� � � � 0p s � � � � � � � � � .AE3�
� ������� �������� ��������<9�.A(3������������ �� ����������5����������� ������5 ���
!����� ��Mathematica � ��� &����������������� ���������"��� ��������� ����������
� �����������!� ���� �: ��� ��������� ��� 6��� 8�������� � �� ��� ��� ����� �� � ���� ���
� �� ������������� ���5�������<9�.A(3� ��
�
�
� � �
2
02
1 1d de 0d e� � �
d d d� �� �� � � � � � �� �� �� � �� � �� �
������"��������������&������& ��&��� ���������������������5 !� ��������� �����.)3�C�s)�
����L.)3�C�)!�
!� � � � .A23�
2 320 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
4
03(1 ) 2 (1 ) ...4!
e s e ss e s e s e s e �� � � � � � � � � � � � �� ��!� � .A=3�
e s � �22! 3!� �
��������<9��.A13!�.A*3� ���.AE3!�
� � �� �
20 0 0 0
0 02 1 ...2!
e s e ss s e s �� � � �� � � �� � 0 !� � � .AF3�
� � �� �
20 0 0 0
0 02 1 ...2!
e s e sc e s �� � � � �� �
!� � � � � .A+3�
� � �
20 0 0 0
0 0
3
(1 ) ....e s e sp e s� � � � � �22 3!� �
� ��� ����"������ ��������� ������������ ������������������������������������!�����
��������������������������� �� ��� �������� �����5���� �����5 ��� ��8��Mathematica� ��� ���
"�����"���&���� �� ����������!���"��� �� �������� �� ��
� � � � .*)3�
-297-
� ��� � � ��� ��� �8��� �� �� ��� ������ ��� ������� ��� �)� J� )� ��� ���� ��&��
���"�� ���� ���������������� ���9������������� ������������ 8������� ��������� ���L.)3�C�
c)��
�
� G���& �� ���� ������������� ���������� �� �9� ����� ����6���8�������� �9��& ����� ���
<9� .A)3�5������"������������� ����[P]� >11?� ��� ����p� >1A?� ��� � ���� � ��������5��8������
���� ���!� ��� � ������� ������ ��� >(�A!� 1*?�4� ���"������� ����� >(=!� (F?�5 �� ���� ����� ���
""�����5������� �"��� �� �& �� ��� ��� ���� �� ������� "� ��!�5����� ���������� �9� ����� ���
���� �� .���� ���� ����5� ����� 21A3� ������������ ""�� ����� ��� 6���8�������� �� ����� ���
����� "���9� ������ ���"������������>1E!�12?
�
4
�
6.2�Approximate�solutions��
6.2.1�Quasi�steady�state�and�pre�equilibrium�approximations��
� 4��5������!�<9�.A(3�� ��������������#��������!�2
2
dd��
� !�� �������� ��� ��
�
�
� � �
2
2d d� �d d c c e s�
�� � � � � � � � .*(3��
����� ��������� ���� ��&��& ���!��e)s)!������ ���� �����������7���!���������"�����&�!�" �����
�������� �� :����� ������������� ������5 ����7���!���������� ��&�� ��� ��� ���"�����&��
���������� :����!���������(��
-298-
�
Fig.1�,��
��C�)(�.
������
������
2
2d
#������
� �����
���& ��
� 4
������ �5
������
d �
��
.�3�@������
������ 0e � ��
HH�(�."����9
������������
9���������3���
�������������
����� ��������
���������!
�
��5�������
�&������ ����
4�� ���� ����
5�� ��� �����
��������""
01 e �� � ���
��(De)Ds�
�������� �
��� �������
�� ������ ���
"�����
�
d dd d� �� ��
.���<9� .A
�� �
1
�� !����������
����� ����"
����� ��� �
�
!���� �5 ��
133!� ��� �5
�������������e)
����
�
2
2
d
d
�
��
)�C�s)�C���C�(�.
��������������
. 3!� ���e)�C�s
���:��"������&
s)�C�(!� ���
&�� �������
������!�e)�
"����7���!� �
��������.��
��� ��&�!�
��"�����&�
�!���� �5 ��
���� ��������
���5�����"
�������� �8
�!� ����� �
"�����&���
��� ���������
"����������
8�����9� �
�� ���� ��
������ ��� � �
��3!������� �
��� ��� ��
�&�� �����
�
������ ����
���� ������
�
-299-
� � � �2
02d ed� ��
� �� !� � � � � � .*13�
���
�
�
� � � �0(d c e s c
d�� �� � ) !� � � � � � .*A3�
��������������� ��9� �������!�
� � �
� � � � �0ad ES
k E S ES ��� �dt
/�� �����.*13� ��� ��������� �������������� ������������������� �����& ��5����� ����"�������
�9� ����� 5������� ���� ������ .N�� ������O3� ����� ������ #���� �����& �!� 5����� ���� ���� ����
� � � � � .**3�
2
2
dd�� �
7�����������������!�� ������� ������ ���5!���"��������������" � ������!���������
��1
� <9�.*13������" �����������������4� �������"����9���������� ""��:�� �����#���
� ���� ��� �������� ������������9� ������ � ��� ��� ""��:�� �����.���43!�
� 0d ES
dt !����
������ ������#�������������2
2���������� ����!� ���� ����������� ��� �������# 8��� ��
� ��� & ���!� ��� ��"����� �� ���� ���p� �&��&�� ���� �� �5���� ����!� �� �� ��!� ��������� ��� 7����
������8��������#�������������������� ����� &�����
0dd�
� #�������������2
2d������������ ����� ��"�����������!� ��� � ���� ��& �� ��������p�
�����5���������� ���������������!������&��� ""��:�� ��� !���������� �� � ���� ���" �������
������ �����������&��!����������� ��������������5�����<9�.*13������������!�
d � 0
2
2 0dd��� �� �
����������������� �� ������ � ������& ����������������5�����
-300-
�
Fig.�2�,�������2
2
0e d
d
�
�
�
� � �� ������������������������������������e)�C�s)�C���C�(�. 3!�e)�C�s)�C�(!� �����C�)(�.�3!�
e)�C���C�(!� ���s)�C�E�.�3!� ���e)�C�E!� ���s)�C���C�(�.�3�#�������7��� �� ����� ��� ����� ��� ����� ��)(!� ���
�������� ���� ����� �����& ��5������5�����
�
2
2
0
d
e d
�
� �
�H�)(�#��� ���"����&�� �� � ���������� �������P� ><9� .*23?�
��;�)AA�. 3!�))AA�.�3!� ���)(*�.�!��3�
-301-
� Q�&�������7���������& ����������������������& ��&������!�<9�.*13�� ��������������
&�� �������������#���� �� ������:" ���������2
2
dd��
��;�
� � � � �2
0 0 0 00 0 0 0 0 0
�
�
2 2d1 11 ... 1 1d e s e se s e s e s� � �
�� � � � � � � � � � �� �� � � �� �
�����������������������.*13������������������������������������������������ ��
!� � .*E3��
� � � � 0 01 e s*� ��� �
� � � � � �
#���� ����� �������� . ""��:�� ��� 3� ���� ���� ��� ���� ���� ����� �� ������� "� ��!� ���� ���� 1�
�������5�&��� �� �� ���� �����& �����& ����� ����<9� .*13�� ���� ������!� ��� ����� � �������
�� ���
.*23�
N ���O��������� ������������� ��������!���������1��
� #��� &�� ��� � ���� ����!� <9� .(=3!� � �� ��� �������� & �� ����� ���� �����5���� ����!�
11c s� � � ��
��
� �� ��� ���������� �� ���� ��
0
1(0) 1c s�
� � ��
�
���� ��� ����� ���� "��������&�� � ���
������ � � (0)c� ��� �5 �������� ������� ���P�
� ������������������������������P!� ����������������� ������� ������������<9�.AF3!�
� � � �
� � 0
0 0 01s e s*� �1s s
� �
��������5 !�����s�������������������� �� �����"������ ������������������� �������"�����!�����
������ &��e)�HH�(D�s)!�5������� ����� ������s)�JJ�(������������������e)�HH�s)!� ����� ������
s)� HH� (� ���� ���������� ��� e)� HH� (� �����"����&�� ��� ���� & ���� ��� s)� #���� ��� "������� � ����
� � � � � � .*=3��
������������� ������ ���������������N���"��:�.� ��3�������� ��O�>*?�
� �������� ������"����9����������.��HH�(3!���������� �� ���������� �� ���������"����
s!� ��� �������"���������������c��5�������"����9������ ����!� �����5�����s� ���c���� �&�� �
���5� �.k� ��HH�k�3��5�������"����������� ����!���������A��
-302-
�
Fig.�3�,��������!�s� ���c� �� ����������������������������������� ����� ��������"����9���������;���C�))(!�e)�C�()!� ���s)�C�(�
�
#����� �� ����� ������5������ ���� �� ������� "������ ��� ��� ���� �����&��� ������ �� s�D� c�
��� ��������� �����������5 !������HH�(������� �������"���������&�� ������� ����.�P3�C�s)�
����"�� ���&���������& ��������s)� ���e)�
� @��������������.*13� ""����!�<9�.A(3������������
�
�
� � �01 d de
d d� ��� �
� �� � � � � �� �
0 0e � � � � � � .*F3�
#������� �9� �� �����9� ��������dd����� ����&���.��� ���������������������������� ��
dd����)�
������ 3�
-303-
� �
� �0
2
�
�
0 0 01 1 4e e e
2d ed� �� � � �� � � � � �
4�� �9��& ����� �9� ����� 5 �� ��� ����� ������� ��� ��������� �� ����!� ���� >F!� +?� ���
����������� �������!� ���� ����� ���� ����� ��� � &�� ����� ���� � �:"������ <9� .*+3� ��� ��
�:"�������� ���� ���� �������� �������� ����� ��� ���� ������ �����7 ��� ���"��:!� c!� ��� <9�
.A*3�Q�&����� ����C�c�D�s!�<9�.*+3� ���5�������� ��� ���� ��������5����c� ���s!�
� � � � � .*+3��
� � �
� �0
2
2
01 1 8s s e s� � � �
#�����9� ����� ��� ""��:�� ���.�:��"�� ���� ���� ���� ���5����c� �� ���� ����� :�� ��& ���3�
������������ � ����������� �������"����������s�C�s ������&���
e sc � � � � � � .E)3�
)
� � �
� �0 0
0 2
2
0 0 0 01 1 8s s e s� � � �
#���������������������c)�C�)���������5 !���"�������� ��c)�HH�s)!���������������<9�.E(3��� ��
e)�HH�(�D�As)!�5����� ������������������������������&���������!�e)�HH�(�D�s)�#������������
�� �������� �������"������������������" ������������� ����������!���!��� �������5��"� ���
"� ���c�C�c.s)3����&��!������: ��� ������������� ""��:�� ��!�� &�� ��� �� ������������ ��
)�
e sc � � � � � .E(3�
�
� <9� .*+3� ��� ����� ����� ""��:�� ������ ������ �� �� �� �� ��� ������ ��� � ����� ����
�� �������"���������� ���������������� ����5����������� �������& ����� �@��������.�P3�C��P!�
5������P������&���� �<9�.*23!���������� ������� ��
� �2*
0 00 0
* 1 1(1 ) ln ( * ) 2 1 2 *e ee du u
�
�
� u e� � ��
� �� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � � �� ��
�
� .E13�
-304-
#��������� �����<9�.E13���� � � ��� �����������:"����������������������������!� ������������
�� �������� ��&����"������ ��������"����� ����#������ �"�����5�����������9� �����������
: ��� � ����5�����������7 ��������� ������"��:��������� ����� �� ���� �� :������
� <9�.E13����& ����������J��P���������������&���������� �� �����5������������� ��!�s�
������� ��� ������ ��� s)!� ������� s� ��� �� &�� � � ��� ������� � ������ �� ������� "� ��� ."���
�9���������3�#���������������������������� 0( *)s s� � 5 ����� ����������<9�.*=3!� ������e)�
HH�(D�s)��������� �� ����P�������������7����#�������������e)�HH�(D��H�(Ds)���"������� ��<9�
.*+3����"����������
� � � � �
0
1d ed� �� � �
�!�� � � � � .EA3�
������ � �
�
�
� � � �
00ln ( )s s 0e� �
�� � � � � �� �
� � � � � .E*3�
#����� �������5������� ��
� � � �� �0 0
0W s e es e �� � !� � � � � � .EE3�
5�����W��������' �����������������������5 !������������������������� ����������� �����
��������
� � � � � � �� �
0 0
0 0
0 0
00 0 !� � � � .E23�
01
s es e
s e
W s e es W s e e e
W s e e
��
��
� �
�
�
�
�������������� 0� 0 0s eW s e e ��
�
���� �5����e)�HH�(D��@������>>�(�<9�.E23������������s�C�
0 00� s eW s e e �� �e)�<9�.E23���� ������������� ""��:�� ������� ��<9�.EE3�5����&����� �����
������� �������� ��� !� ��� � ��� � 5���� e)� ��� ��5��� �� �� (Ds0� � � M���� ���� ������ ���
� �������!������������*�
-305-
� <9� .E*3� � �� ��� ����� ��� ������� � �� � ���������� �� ������ ����� 4��������� ���
��������� ��!�t(B1������������������� � ����������� �� ����������� �������� �� ���� ������
��������� ��& ����Q�&��������� ���������!� �������� ������������6������� ����!�5�����
� �� �� ��������� ��� �"�����!� ��� ��� "����� ���� ��� ������� ����� � " � ������ �� ���� �����
������ � ����������������� ��������"������������ ���� ������������� ��& ������������5 !�����
��C�s)B1������� � ������������������
� � � � � .E=3�
� � � � �
01/2
�
�
02e2ln 2 s� �
#���� & ���� ��� ������ ��� ���� N������ ��� .���53� ����� �� ��O���������� � ������ >*?!� ����� �� �
"��������� ������
�
Fig.�4�,��������!�s� ���c� �� ������������������������������������e)�C�()!�s)�C�())!� �����C�(�4�������5�� ���
�������&������"�����5����<9��.EE3� ���.E23�
-306-
� ����s)�HH�(�.��"� ����e)�HH�(3������� � ������������ ������������������"������������
s)!� 5���� �� ���� s)� JJ� (� .��"� ���� e)� HH� s)3� ��� ��� � ��������� ��� ���� � ���� s)Be)!� 5����� ���
�5 �� ������� �� �� (� ��� ����� � ��� ���� ����!� ���� �� � ���������� �� ������ ����� ���
��"�� �"" ���� �����s)� �����&����� �"� ������ �����e)��
� %����� <9� .1)3� 5���� >P?� C� >S?)B1� ��� � � ���� ��� ����� ��� (B.k�Dk� �3!� ���� � ���
������������� ���������t(B1�������������������������� ��" � �������<9�.E=3��� ��!�
�
�
� � �
0 01/2
0 0 02 [ ] 2 [ ] [ ]t cat aE k E k E�
�
#��� �������� ����� ��� t(B1� �� � ��������� ��� ���� ����� �� �������� ������ ��� � ���"���
"��������� ������ ���k� �� ���K������ ��:��� ����� �� ��7 ����������� ����!� ���� ���� ���!� �
"������� t(B1�&�� >S?)� ��� ���� �!� ���k� �� ���K�� ������ ����� ������������"�� ��� �������"��
������� ������ ��&�� � � ���� ������� �����������t(B1�4��� � ���������������t(B��� �� �������
����!� 5���� n� C� A!� *!� ���!� ���5���� ���� ���� ���� ��� ���� �� ���������� � ��� �� � ������
� ����
[ ] 2 ln 2 [ ] ln 2m
ca
S K Sk�
�t � � � .EF3�
� �������!�5������ �������������������"�������������������:������
� 4� � ������� ��������>P?�&��t����&��.<9��.113� ���.EE33� ���������"�����"���k� �� ���
K��� ��� ������������� �����&���������!����������� ��������"�����������"� ������.���������
13�*
� �������� ������"����9����������.��HH�(3��P���)� ���<9�.E13�5�����P�C��)� ""�����
������������������!������"����&�����e)� ���s)!��
0 20 0 0
0 01 1(1 ) ln ( ) 2 1 2
ss e ee s du�
0e� u u
� �� �� � � � � �� � � � � � � � � � � ���� � � � � � �
4��� � ������������ ������������(B1������ �����<9�.E=3�� �������� ����������������9� ����!�
� � .E+3�
�
2120 0 0 0
1/2 0 00 0 0 1/2
1 1 1 1ln 2 22 4 2
e s e e s s dxe e e x x
� � � �� � � � � � � �� � � �� � � ��
� �
� .2)3�
-307-
#������ � ���������������������"� ����������E� �� �������������s)� ���������&�� ��& ��������
e)�
����s)�HH�(De)!�<9�.2)3������������
�
�
� � �
01/2
0 04e e� �
��������E!�5���������s)�JJ�(De)!�<9�.2)3���������
!� � � � � � .2(3�11 ln 2 s� � �� �
� �
� � � �
01/2
02se
� !� � � � � � � .213�
��������E�
�
Fig �5�,��������(B1�><9�.2)3?� �� �������������s)�#������������:������ ������&������������"����&��e)�.
� �
� ���� e)� HH� (� <9� .E=3� ��� ����&����� ����� <9� .2)3!� 5���� �� ���� e)� JJ� (� <9� .2)3�
��������
� � � �
01/2
02e
� @����e)�HH�(Ds)����������� ������������<9�.E+3������������<9�.E23�@����e)��JJ�(�
<9�.E+3���������
� � � � � � .2A3�ln 2 s� �
-308-
0
0 00 0(1 ) ln ( ) 1 2
ss ee s duu�
�
�
� �0e� �
�� �
����
� �� � � � � � � � � � � � .2*3�
����)�H�e)!����������� ��������
� � � � � � � � � � � .2E3�0s e ���
����)�J�e)!������ ��.4""����:�3�
� � � �0
0
00 0
0
10
00
1,
1.se
ss e ife
se e e ife
�
� �
��
��
! � � �"" #" � �"$
� � � � .223�
������������� �������������� �� ����� �������� ����� ���"�� ���� ���:"������ ��5������C�e)!�
��!� �5������� ���� �� ������ � �����7���������� ��� ������������ 8�������� #��� ������"�������
�&�������������s!�c� ���p�� �������� ����������<9��.A13!�.A*3� ���.*)3�4�������������������
��� ���������s;������� �5 ��7������������ ����)�H�e)!� ����������� ����)�J�e)���� ������ �� ����
7���!� ��������� 7���� ���� 0
0e� #��� ������"������� �������� ���� c� ��� �� �:"������ ��
��� � ��� ���� ������ � ��� .c� C��3!� ��� � ���������"������� "������� .c� C� e)3!� �����5��� � � ��
�:"������ ����� �.c�C��!� �����
1s� �
0
0e3� ��������������#������������� ��������: ��!� ���
����5� �� ��������� �� ��������� ���5���� ���� �������� ��� ��� � ��� �����&��!� ���� ���� 2�
����� ���������� ""� ����<9�.E13�
1s� �
-309-
�
ig.� 6� ,���� ����!� s� ��� c� �� � ��������� ��� ���� �������� ����� �� ���� e)� C� ()))!� s)� C� 1)))!� ����� C� ))(� #����� &����������C�(����&�� ������ ��
F�
�
�
�
6.2.2�Excess�enzyme�and�related�cases��
� @����(De)�JJ�s)�.5������� ����� ������e)�JJ�(������ ��e)�JJ�s)����� � �s)!� ����� ��
����e)�HH�(������ ��s)�HH�(!�e)��������� ��������� ������� ��s)3!�<9�.A(3������������� ��
� � � � �2
�
�
0 02d d� �1 0de e� � �d
� � � !� � � � � .2=3��
��� � �� �� �: ��� ��������!� �� �� ��&���� ����� ���� ����� �!� �� ������� "� ��� �� 5���� �� ����
�����9�����"� ��;�
� � � � 102 1
2 1
( ) s e e �2% � %� � % %% %
� � ��
� !� � � � � .2F3�
5����
� � �� �2
0 0 01 1 42
e e e%
� & � � �
�� � � � � .2+3�1,2
#������������"������� �� �����������
� � �
� �21 0 0
1 2
1 1 4e e e%0
�� � � � �
!� � � � � .=)3�
-310-
5�����������������"���������
� � �� �2
0 0 041 e e e� � � � �
�
�
2 02e%
���� ���&���e)!� ������������������5���������5�������������������� ����������� ����������!�
��!� ���� ��� ����� ��� ���� �� �������"� ��� ��� � ��� ��������� � ���� ��7 ��� ��������� !� ����
�����A� ���=��
� � � � � .=(3�1 1
�
ig.�7�,��������!�s� ���c� �� ������������������������������������e)�C�()!�s)�C�(!�5������C)�(�. 3� �����C�(�.�3���F
�
������HH�(�<9�.=)3������������1
11 e% 0
��
!� ���<9�.=(3���� 0
2 0
1 1 ee%�
�����e)�JJ�(!�2
1 1% �
�
�
-311-
6.2.3�The�initial�transient�phase�
� K������ ���� ����� �� "� ��� ��� ���� �� �����!� ��� ���� ������ ��� s� ��� ������ ������� �� �
����"�����!�<9�.A(3�� ��������"����������
�
�
� � �� �
2
0 0 0 02 1d de s e sd d� � 0� �� � � � !� � � � � .=13��
� � ���������� �� #������� � ��� ����� ������������ ���9� �����5���� ���: �����������!��0.s s�
� �0 0 0 0
0 20(1 ) 1 (1 )1 exp
1e e s e ss � �� � � � � � �� �� � � � �� �� �� �
� �
0 00 01 e se s � � �� �� � � �� �� �
#���� ��������� �����" ����� ���� ��� �� ���!� <9� .1+3!� 5����� �� ��� ��� ��������������
" � �������
. .=A3
� � �01
0 00
0 01 1s s1
se ss e�
� ��
��
� �� �� � � �� �� �� � � �� �
���� ��!�����������������"�������� �������&�����������������7 ��������� ������"��:���&���
� �
� � � � .=*3�
� � � �0 01
0 0
0 0
11
e se sc ee s
�� ��
��
��� � �
���!�� � � � .=E3�
5���� ����������������
� � � �01
0 0
01 s1
se sc e��
��
� � �� �� � �
�� � � � � .=23�
������������������� ����� ������������� �����e)�HH�(Ds)�
� 4����������� ""��:�� ��������������� �������"� ��������� �������� ��������������� ��
������ ��� �� �� �� ��� ������� �� � ����"�����!� �� C� s)!� �� � ""���� ��� "����9����������
����������!� ���<9�.A(3���������
� � �
2
0 0 0 02 1d d de s e sd d d� � �� � �
� � 0� � � � � � � �� �
� � � � .==3�
-312-
#��� ""��:�� �����������"���������������"�������������dk
�#������ ������ �
��������"��� �������� ��������� ��������� ���� �����������!� �� ���� ���&��� �������� �
� ���������������& ��.�����s� ��� ���5�������� ���������c!��������������p3�#���������������
��� ������ ��� ������<9�.==3������
akE S ES���� ���
�
�
� � �� �0 0 0 01dc e s c c e s
d�0� � � � � � � � � � � .=F3�
��������� ������� ��
� � �
� �
� �
2
2
exp12 exp
c
'( ' ) �( '
'( ' ) �
� �� � ��� �� ���� � � ��� ���
��� �� �� �� �� �
5���� 0 01 e s
!� � � � .=+3�
( � � ! 0 04e s) !
�
��� 2' ( ) �
�
#��� �������� ����� �� ���� ����� 7���!�
���"� �� � ���������!� ��� ����� �� ����7��� �� ���� ����� �� �9���������� & ���� ����� �����
9� ����!� ����������������� ������� ��������"��������������� �������"� ���
�
�
7.�CONCLUSIONS�
4����������� ������������� ��&��5����6��������� ��������������7 ���8��������5 ��
"����������
��� ���� ������ " ��� ��� ���� " "��!� � ���"������� ���� ������� ������"����� �� �� ��������� ����
� ������ ������������� � � ����"�������5 �������������#���� ""�� ���"��&�����" � �������
�� �����������7 ������������ �>"������� �����"���� ���!�<9�.(E3?� ����"����> &�� ���� ����
��� ����!�<9�.(=3?�#��������&���� ���� ����������������������������������5��" � �������
� � ���9� �����><9�.(F3?��� ��� �� ���� ��� � ��� ���� �����#������ ������������� �����
"��� ��7 ��� 5 �� ���� ��� ����� ><9� .(+3?� #��� �������"�������� ��� ���� ������ ���
-313-
�
�
�������� ����� �������������� ���� �������"� ���><9�.113?��������&������ ����"���5 ��� ��
���"������5��������� ���� ��� ��������9���8��5�� ��9� ������ � ��� ��� ""��:�� ������
� ��������������" ����������" "���.�����23!� ���: ���������������� �������� ��������
6���8��������5 ����� �����#���5�����"������� ��� ���������� ��� � �����������& �� ����
�&���������9� ����!�<9�.A(3!�5�������� ���������������������� �� �������������������� ��
�9� ����!� ���������������" � ������� ��������������M������������������������9� �������;�
������7 ������������ ��!����������� ���������������� ���������� ����!�s)!� ���������7 ���
������������� ���������� ����!�e)�#����: ���������������6���8��������5 ����� ����������
<9�.A(3� �� ��������� �� ���������������������� ����9� ����!� ����������� ""��:�� ���
���������!� ����� 8��5�!� ����� ��5!� 5���� ����&��� ��� � � ���� ���� 5 � �� �� ���5��� �
"��������& �� ���������������"����&����&������ ""��:�� ����� �����������������& ����� �#���
��������"����9���������� ���9� ������ � ��� ��� ""��:�� ������5 �����" ������ ����������
��� ������� ���� ���� �5 �<9��.E23!�.E=3!�.E+3!� ���.2)3� ����������� �����5���������<9�
.A(3�5 �� �������5�������� ��9� ������������������ �����"�� �������������������� ������
��� ����"������ �� ���������������������� � ���&��������� ��������" � �������
�
� �
-314-
APPENDIX�A�
<9�.1(3�� ����������� ����� ���" � ��������& �� ����������&��
� 0 0
0
[ ] [ ] [ ]ln[ ]
cat
m m
k ES P P tS K K�
� �
.4(3�
G�!�������>S?C>S?)�>P?!�
� 0 0
�
�
0[ ] m mS K K
#���������� ���������� �������8��5������ ����������;�4�������9��& ��������<9�.413�
5 �� ��� � ���� ������ �6����� ���(+)A�>1=?�.���� ����>(*!�(E?� ���������������������3�
����� ������� !� ��� 5���� ���� ���"� ��� ������� �� ����5 ��!� �������� ��� �����7 � >=?�
�������7����� ������������ ����������� ������ ������:"������ ���&��� �� ������������������
����������������' ������W����������#������������������������ ��������&�����������������x�
�x!��� ����!�W.x)��W.x3�C�x�������!�<9�.413�� �������5�������������������
[ ] [ ] [ ]ln catk ES S S t�� � .413�
� 0 0 0[ ] [ ] [ ] [ ]exp exp exp cat
m m m m m
k ES S S S tK K K K K
� �� � � � � � � � ��� � � � � � � � �
� � � � � � � �! .4A3�
� �
6�����>=?�
� 0 0 0[ ] [ ][ ]( ) exp exp catm
m m mK K K� � � �
k ES SS t K W t� �� �� � � �
�� �� �� � � �� �� �
#���"� ��� �� �������� ��� <9� .4*3� ��� ��� ������� ������� �� ��� �� �� ��� <9� .413!� ���� ����
�:"������ ����������������� ��� ��� ������������&��������������"�� ���� ��"��"����!� ��
���� ��������� ��� ��"��������� ��� ������� �� ���"������ ����5 ��� .��� ��ProductLog>x?� ���
Math
.4*3�
ematica3�
Q�&����� �������� ���x�����' �����������������������W.x3�C�x!� ����� ������� ����x�����
������������@.x3������x!�<9��.123� ���.1E3������5������<9�.4*3�
-315-
APPENDIX�B
�����)�J�e)� �����J�e)!�<9�.2)3���������
�
�
�
� � �
0
0 00 0(1 ) ln ( ) 1 2
ss ee s duu�
0e� ��� � � �� � � � � � � � �� � � �� !� � � .(3�
���
� � � � �0 0s e� � � !� � � � � � .13�
5����������)�J�e)� �����H�e)�<9�.2)3���������
0 0
0
0 0 00 0(1 ) ln ( ) 1 1 2
e s
e
s e ee s du duu u�
0e� ��� � � � � �� � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � !� � � .A3�
�
���
� � � �
0
01
0
se ee e e 0���
� � � � � � � .*3�
�
ACKNOWLEDGMENTS�
#����5��8�5 ����""������� ����� RS��" � � ���T��� ��� �#�������� �.��#!�,����� �3� ���
,G���1)()�.�<K</3�5������"��M����,#K�B<�/B2*+)+B1))2�
� �
-316-
�
�
REFERENCES
emical�Kinetics!�
�
>(?�U�0�' �����!�Ch 6 �"���V�/�5!�� �������!�(+F=!�""�A++�*)1�
>1?�4�/�������7!�Enzyme�Kinetics!�� ��������%��&����� �,����!�� �������!�(++*!�""�=�
(1�
>A?�6�Q��������!�Kinetics� for� the�Life�Sciences!�� ��������%��&����� �,����!�� �������!�
(++E!�"�F)�
>*?�'�4� �����!�G�� ����& ����� ���� ���� ��� � ��� ��� ����"�������� ��7 ���8�������!�Bull.�
.Math �Biol.�50�.(+FF3�E=+�E+A�
>E?� '� 4� ������ ��� �� �������!� #��� 9� ������ � ��� ��� ����"����;� 4� � ��� ���� � ���
"������ ����!�SIAM�Rev.�31�.(+F+3�**2�*==�
>2?� 0� 4� �� ���� ��!� /� 0� ���!� ��� '� 4� �����!� <:�������� ���� 9� ������ � � �� ���
""��:�� ������ ��� ������& �� ����!�Bull.�Math.�Biol.�58�.(++23�*A�2A�
>=?����������� ����������7 !���������������������������������"���������7 ���8�������!�
J.�Theor.�Biol.�187�.(++=3�1)=�1(1�
>F?� 4� /� #7 �����!����� ������������ 8�������� �� ����� ��7 ��� �������� ����!�Bull.�Math.�
Biol.�65�.1))A3�((((�((1+�
>+?����������� ���,�U�� ���!�4������� ������7 ���8�������;�/��� ����� ��������KM� ���vmax�
����� ���!�Comm.�Theor.�Biol.�8�.1))A3�(2+�(F=�
>()?�0�@�K������ ���4��4����!�4���5�"������ ������������������������� ������������
"������!�AIChE�J.�54�.1))F3�(A**�
>((?��'�!�W�����!� ����'�,��� ������ � ��� ���� 5�������7 ���8�������!�J.�Phys.�Chem.�A�
112�.1))F3�1A((�1A1(�
>(1?��� ���7S�� ������������ ��� ����!�6�5�� ������ �� ����9���������I�4���5�&��5����
��&���������� ������!�ChemPhysChem�10�.1))+3�(++�1)E�
>(A? ��<�����""���!���� �����!�4���� �����!� ���4�K�������! ��"��������������7 ���!�
Cell.�Mol.�Life�Sci.�58�.1))(3�(*E(�(*2) �
>(*?� 6�� ������ !� �� ������ �� ����� ������ ��� ��7 ��� 8�������� #��� ������ �� ���� �����
�9� ����!�Eur.�J.�Biochem.�43�.(+=*3�A==�A=F�
>(E?� . 3�/� 0� 0�������!������� ��!�#����& �� �������� ����8������� ����� ������� ��7 ���
� � ��7����� �������� �"����������� �����"��������� ����� ����9� �����!�J.�Am.�Chem.�
-317-
�
�
Soc.�77�.(+EA3�E*A1�E*AA�.�3�6�Q��������!�Kinetics�for�the�Life�Sciences!�� ��������
%��&����� �,����!�� �������!�(++E!�""�F*�F=��
>(2?���/ �� ����������� ��� ����!��,����9���������� ""��:�� �������������� �� ���
�������!Chem.�Phys.�280��.1)"����"� ��� ��8 )13�1FA�1+A�
>(=?�6�Q��������!�Kinetics�for�the�Life�Sciences!�� ��������%��&����� �,����!�� �������!�
(++E!�""�(AF�(EE�
>(F?��6�Q��������!����"������������� ����� ��������"������������������7 ��������� ���
���"��:��!�Disc.�Faraday�Soc.�20�.(+EE3�(2=�(=A�
>(+?������ ����� ���K�������!�,��"������������������ ���������������� ��������"� ���
�" ��!�J.�Math.�Anal.�Appl.�339�.1))F3�()**�()2*�
>1)?�4�6���� ��!���0��� ���!�Q�������� ��"������������ �����������7 ���8�������!�J.�Chem.�
Phys.�91�.(+F+3�(F2�(+A�
>1(?�G�6���� ��!�4�Q��������!�X������� &���������7 ���!�J.�Gen.�Physiol.�26�.(+*A3�EE+�
EFE�
�>11?�������� ���!�K�<�Q���� �!�4����������������������� ���9� �����������"�����7 ���
8�������!�J.�Am.�Chem.�Soc.�77�.(+EE3�2)2+�2)=)�
>1A?�,�4�#��5���� !�#���8�������������7 ��� �����!�Biochim.�Biophys.�Acta�23� .(+E=3�
=)�F)�
�>1*?� 4� ���������5���!� Fundamentals� of� Enzyme� Kinetics!� A��� ��!� ,���� ��� ,����!�
'�����!�1))*�
>1E?� ��Q�K �&� !�4�6�U���7!���/�����!�G������8�������������7 ����� ������!�Bull.�Math.�
Biol.�40�.(+=F3�=1=�=A*�
>12?��� ���� � �!�,���@ �8 �!�K � �������� ���� ����&������������ ������������8�������
�!�J.�Phys.�Chem.�A�102�.(++F3�=(=�=1���� ��� (�
1=?�Y�6����!�Lois�Générales�de�l’Action�des�Diastases!�6��� ��!�, ���!�(+)A�>
�
-318-