A Bevezetés a matematikába cím tárgy 3. félévével kapcsolatos …and.web.elte.hu/elte/bm3_vbegyak.pdf · 2004. 9. 27. · A Bevezetés a matematikába cím tárgy 3. félévével

A Bevezetés a matematikába című tárgy 3. félévével kapcsolatos tudnivalók

A tárgy vizsgái két részből állnak, egy tesztjellegű írásbeliből, valamint egy szóbeli-ből. Az írásbelin nincs osztályzat, a szóbeli vizsga előfeltétele az írásbeli sikeres letétele. Az írásbeli vizsgán egy hibátlan kérdés 3 pont, apró hibával 1 pont, egyébként 0 pont. Három kérdés van az első két félév anyagából, ebből minimum 7 pont kell, de a vastagon szedett fo-galmak mindegyikét hibátlanul kell tudni, vagyis ezek maradéktalan ismerete szükséges az elégségeshez (ez a szóbelire is vonatkozik). A tárgy harmadik féléve öt témakörének mind-egyikéből 3-3 kérdés van, amelyek közül (témakörönként) legalább egyet hibátlanul kell megoldani, és összességében a 15 kérdésből 27 pont kell a sikeres írásbelihez, vagyis hármas feltétel van:

• az első két félév anyagának három kérdéséből minimum 7 pont, illetve a vastagon szedett fogalmak hibátlan ismerete

• a harmadik félév anyagának valamennyi témaköréből az adott három kérdés legalább egyikének hibátlan megoldása

• a harmadik félévi anyag összesen 15 kérdéséből minimum 27 pont. A szóbeli vizsga – sikeres írásbeli esetén – az írásbelit követően kerül lebonyolításra, kb. az írásbeli befejezése után fél – másfél órával (vagyis rögtön a javítás után). Ha valaki a kihúzott tételt nem tudja, egyszer ugyanazon, vagy hasonló témakörből egy másik kérdést kaphat, ám ekkor az osztályozás hármasból indul lefelé. A sikertelen vizsga utáni első utóvizsga hasonló a vizsgához, a másodszori utóvizsgán viszont csak szóbeli van, két kérdéssel, és csak az egyik kérdés helyett húzható másik kérdés. A Bev.mat. harmadik félévi anyagának a vizsgája meg kell, hogy előzze az Automaták és nyelvek vizsgát. Az írásbeli vizsgához nyújt segítséget az alábbi kérdéssor. A vizsgán a kérdések az itt felsoroltakhoz hasonlóak, de nem feltétlenül egyeznek meg az itt megadottakkal, továbbá kér-désként szerepelhet bármely tanult definíció vagy tétel. A tárgy anyaga szinte teljes egészében – néhány apró kivételtől eltekintve – megtalál-ható a Bevezető fejezetek a matematikába III. című jegyzetben (maga a jegyzet ennél lénye-gesen bővebb, a vizsgára kb. a jegyzet fele kell).

Szükséges tudnivalók a Bevezetés a matematikába című tárgy első két félévének anyagából (valamint a Lineáris algebrából)

Az alábbi felsorolás azon anyagot adja meg, amelyet feltétlenül tudni kell, és amelyek az írásbeli vizsgán kérdés formájában előfordulhatnak. A tételeknél csak magát a tételt kell tudni, a bizonyítást nem (az persze nem büntetendő, ha valaki azt is tudja; mindenesetre a bizonyítás ismerete rávilágít, hogy a tételben mi miért szerepel). A vastagon szedett fogalmak ismerete külön-külön szükséges az elégségeshez (mind az írásbelin, mind a szóbelin). 1. Reláció. Reflexív, irreflexív, szimmetrikus, antiszimmetrikus, szigorúan antiszimmetrikus,

tranzitív, trichotóm reláció. 2. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Az ekvivalenciareláció és az osztályozás kapcsolata. 3. Részbenrendezés, szigorú részbenrendezés, teljes rendezés; jólrendezés, a természetes

számok halmaza és a jólrendezettség. 4. Függvény definíciója; szürjektív, injektív, bijektív függvény. Függvény leszűkítése,

kiterjesztése. 5. Művelet, struktúra. Asszociativitás, kommutativitás. Művelettartó leképezés: homo-,

mono-, izomorfizmus. Beágyazás. 6. Binomiális tétel és binomiális együttható. 7. n-edik (komplex) egységgyök, primitív n-edik (komplex) egységgyök. 8. Algebrai szám, transzcendens szám. 9. Félcsoport, monoid, csoport, gyűrű, kommutatív gyűrű, egységelemes gyűrű, ferdetest,

test. Abel-csoport. 10. Egységelem (semleges elem, neutrális elem). Nullosztó, regularitás; nullosztómentes gyű-

rű, integritási tartomány. 11. Oszthatóság, osztó. Egység, asszociált, felbontható elem, felbonthatatlan elem, prímelem.

Legnagyobb közös osztó, a legnagyobb közös osztó mint lineáris kombináció; relatív prí-mek, páronként relatív prímek (általában gyűrűben, és az egész számok gyűrűjében, illet-ve a természetes számok körében). Euler-féle ϕ-függvény.

12. Kongruencia, maradékosztály, reprezentáns. Kongruenciák összeadása, szorzása és osz-tása. mZ ; mZ és test kapcsolata.

13. Euler-féle kongruenciatétel, Fermat-tétel. 14. Egyismeretlenes lineáris kongruencia, a kongruencia megoldásainak száma, a megoldha-

tóság feltétele. 15. Szimultán kongruenciarendszerek, a kínai maradéktétel. 16. Szám felírása q-alapú számrendszerben. 17. Komplexus, komplexusszorzás. Részcsoport, részcsoport és komplexus kapcsolata; rész-

csoportok metszete. 18. Ciklikus csoport; csoport és elem rendje. 19. Normális részcsoport, faktorcsoport. Lagrange tétele. 20. Csoport homomorf képe csoport; homomorfizmus-tétel, a leképezés magja. 21. Nullosztómentes gyűrű karakterisztikája: a karakterisztika definíciója és értéke. 22. Euklideszi gyűrű. 23. Részgyűrű, bal oldali ideál, jobb oldali ideál, ideál; maradékosztály-gyűrű. Gyűrű homo-

morfizmusa. 24. Polinom, polinomfüggvény; polinomműveletek. 25. Polinomok maradékos osztása; test fölötti polinomgyűrű euklideszi. 26. Polinom helyettesítési értéke és gyöke, többszörös gyök; a gyök és az oszthatóság kapcso-

lata. 27. Integritási tartomány feletti polinom gyökeinek száma.

28. Derivált polinom; többszörös gyök és a derivált polinom kapcsolata. 29. Lineáris tér. Lineáris függetlenség és összefüggőség, bázis, dimenzió. 30. Vektorok skalárszorzata; ortogonális altér. Mátrix rangja, mátrixok illetve mátrix és vek-

tor szorzása.

A szóbeli vizsga tételei a Bevezetés a matematikába című tárgy 3. félévének anyagából a 2003-2004-es tanév tavaszi félévében

Az alábbi tételsor tájékoztató jellegű, mutatja, hogy mik voltak a kérdések a legutóbbi vizsgán. Ehhez képest lényeges eltérés nem várható (de esetleg olyan anyag is előadásra ke-rül, ami az itt megadott kérdések között nem szerepel, és akkor ahhoz kapcsolódó tételek le-hetnek a vizsgán, vagy a másik irány is előfordulhat, ha valamire nem marad idő). 1. Bővített test és prímtest (2.2. és 2.3. a 2.3.7.-ig; kimarad 2.2.3., 2.2.4., 2.3.2. bizonyítása,

2.3.5. bizonyítása és 2.3.7. bizonyítása) 2. A bővítés foka. Algebrai bővítés (2.3. a 2.3.8.-tól és 2.4. a 2.4.13.-ig; kimarad 2.4.6.) 3. Polinom gyökével való bővítés. Felbontási test (2.4. a 2.4.14.-től; kimarad 2.4.16., 2.4.17.,

2.4.18. bizonyítása, 2.4.22. bizonyítása, 2.4.23. bizonyítása) 4. Véges testek (2.5.) 5. Véges test multiplikatív csoportja (2.6. a 2.6.11.-ig) 6. Kongruenciák (3.1., 3.2. és 3.3. a 3.3.3.-ig; kimarad 3.1.5. és 3.1.8.) 7. Szabad félcsoportok (4.1. a 4.1.9.-ig) 8. Szabad félcsoport tulajdonságai. Szabad monoid (4.1. a 4.1.10.-től; kimarad 4.1.11.,

4.1.12. bizonyítása, 4.1.13. bizonyítása) 9. Betűnkénti kódolás (4.2.) 10. Hibakorlátozó kódok (4.5. a 4.5.10.-ig) 11. Lineáris és ciklikus kódok (4.6. és 4.7.; kimarad 4.6.6., 4.6.7., 4.7.3. bizonyítása, 4.7.5.

bizonyítása, 4.7.6. bizonyítása, 4.7.7. bizonyítása, 4.7.8. bizonyítása) 12. Algebrai struktúrák (6.1. a 6.1.20.-ig; kimarad 6.1.2., 6.1.3., 6.1.4., 6.1.5., 6.1.6.) 13. Homomorfizmus (6.1. a 6.1.22.-től 6.1.31.-ig; kimarad 6.1.26. bizonyítása, 6.1.28. bizo-

nyítása, 6.1.29. bizonyítása) 14. Kifejezésalgebra. Szabad algebrák (6.2.; kimarad 6.2.5. bizonyítása, 6.2.8., 6.2.9., 6.2.10.

és 6.2.12.) 15. Algoritmus és nyelv (7.1.; az ábécé megszámlálható számosságú!) 16. Rekurzív függvények. RAM-gép (7.2. és 7.4.) 17. Turing-gépek (7.3.; kimarad a 269. oldal utolsó bekezdésétől a 276. oldal aljáig, kivéve az

utolsó két sort, valamint a 280. oldal utolsó bekezdésétől a k-szalagos Turin-gépnek az 1-szalagossal, illetve a nemdeterminisztikus Turing-gépnek a determinisztikus Turing-géppel való ekvivalenciájára vonatkozó “bizonygatások”).

A tételeknél feltüntetett számok a Bevezető fejezetek a matematikába III. című jegyzet fejezet-, tétel-, definíció- illetve oldalszámai. Ahol -ig illetve -tól szerepel, az így megjelölt rész még hozzátartozik a megadott tételhez. A szóbeli vizsgán a tételek és definíciók puszta ismerete – még akkor is, ha ez kifogás-talan – általában nem elegendő az elégségeshez, azaz több-kevesebb segítséggel legalábbis a tételek egy részének bizonyítását is tudni kell.

Tesztkérdések a Bevezetés a matematikába című tárgy 3. félévének anyagá-ból

A kérdések között vannak olyanok, amelyek ellentmondanak az elméletnek, ez szán-dékos. Minden eldöntendő (vagyis igen – nemmel megválaszolható) kérdésre adott választ indokolni kell, és akkor is szükséges az indoklás, ha egy kérdés lehetetlen dologra vonatkozik.

1. Ismertesse Wedderburn tételét. 2. Igaz-e hogy minden ferdetest test? 3. Igaz-e, hogy minden test ferdetest? 4. Igaz-e, hogy minden véges test ferdetest? 5. Igaz-e, hogy minden véges ferdetest test? 6. Van-e végtelen sok, lényegében véve különböző véges test? 7. Legyen L és K test. Mit jelent az, hogy L a K bővítése? 8. Legyen L és K test. Mit jelent az, hogy L a K valódi bővítése? 9. Legyen L és K test, és K≤L. Mi a kapcsolat a két test karakterisztikája között? 10. Mit jelent KL ?

11. Mit jelent KLM ?

12. Igaz-e, hogy ha egy test elemszáma m, akkor a karakterisztikája is m? 13. Igaz-e, hogy ha egy test karakterisztikája m, akkor az elemeinek száma is m? 14. Igaz-e, hogy ha egy test elemszáma p, ahol p prímszám, akkor a karakterisztikája is p? 15. Igaz-e, hogy ha egy test karakterisztikája p, ahol p prímszám, akkor az elemeinek száma is p? 16. Bizonyítsa be, hogy ha KL , akkor char(L)=char(K).

17. Adja meg azokat az L testeket, amelyeknek van char(L)≠char(K) tulajdonságú K résztes-te. 18. Sorolja fel a 0-karakterisztikájú véges testeket. 19. Mi lehet egy véges test karakterisztikája? 20. Bizonyítsa be, hogy véges test karakterisztikája prímszám. 21. Mutassa meg, hogy ha p prímszám, akkor van olyan véges test, amelynek a karakterisz-tikája p. 22. Adja meg azokat az n egész számokat, amelyekhez van n-karakterisztikájú véges test. 23. Van-e olyan legbővebb test, amelynek a karakterisztikája egy adott p prímszám? 24. Van-e olyan legbővebb véges test, amelynek a karakterisztikája egy adott p prímszám? 25. Adja meg azokat a véges testeket, amelyeknek a karakterisztikája 0. 26. Mi a prímtest? 27. Mi egy test prímteste? 28. Mi a kapcsolat prímtest és egy test prímteste között? 29. Mi a prímteste Zp-nek, ahol p prímszám? 30. Mi a prímteste Zn-nek, ahol n∈Z? 31. Mi a prímteste Zn-nek, ahol 1<n∈Z? 32. Mi a prímteste 2p

Z -nek, ahol p prímszám?

33. Mi a prímteste Fq-nak? 34. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy test prímteste önmaga legyen? 35. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy test prímteste p-elemű legyen, ahol p prímszám? 36. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy test prímteste n-elemű legyen, ahol n egész szám?

37. Melyek azok a testek, amelyek prímteste 12 elemből áll? 38. Mi a prímteste egy 81-elemű testnek? 39. Mi a prímteste Z23-nak? 40. Melyik a legszűkebb olyan test, amelynek a prímteste 7-elemű? 41. Melyik a legszűkebb olyan test, amelynek a prímteste 12-elemű? 42. Adja meg a legszűkebb olyan testet, amely nem prímtest, és amelynek a prímteste 19-elemű. 43. Legyen K és L test, és KL . Mi a kapcsolat L és K prímteste között?

44. Igaz-e, hogy ha L1 és L2 test, és az L1 és L2 testek prímteste azonos, akkor a két test lényegében véve azonos? 45. Igaz-e, hogy ha L1 és L2 test, és char(L1)=char(L2), akkor a két test prímteste azonos? 46. Igaz-e, hogy ha L1 és L2 test, és char(L1)=char(L2), akkor a két test prímteste lényegé-ben véve azonos? 47. Mi egy prímtest prímteste? 48. Hány eleme van egy véges prímtestnek? 49. Mi a karakterisztikája egy 12-elemű testnek? 50. Adja meg egy 18-elemű test prímtestét. 51. Ha az L1 test prímteste K1, az L2 test prímteste K2, és L1∩L2≠∅, akkor mi lesz L1∩L2 prímteste? 52. Ha M, L1 és L2 test, 1LM , 2LM , és L az L1 és L2 által generált test, akkor mi lesz L

prímteste? 53. Legyen K, L és M test, KLM , és L az M prímteste. Mi lesz K prímteste?

54. Legyen a K test prímteste Zp. Mi lesz K karakterisztikája? 55. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test Zm bővítése? 56. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test Zp bővítése? 57. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test lényegében véve Zm bővítése? 58. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test lényegében véve Zp bővíté-se? 59. Legyen 0≠u∈Z59. Adja meg Z59 valamennyi olyan v elemét, amelyre uv=0. 60. Adja meg 7 ∈Z11 inverzét. 61. Adja meg 11∈Z11 inverzét. 62. Adja meg 18∈Z11 inverzét.

63. Adja meg 242 ∈Z11 inverzét. 64. Testet alkot-e Z11∩Z13? 65. Testet alkot-e Z125∩Z25? 66. Testet alkot-e Z125∩Z5? 67. Igaz-e, hogy 5125 ZZ ?

68. Igaz-e, hogy 1255 ZZ ?

69. Igaz-e, hogy 5125 ZZ test?

70. Igaz-e, hogy 25125 ZZ test?

71. Igaz-e, hogy Z24∩Z45 test? 72. Igazolja, hogy ha K és L test, és KL , akkor L egy K feletti lineáris tér.

73. Definiálja a (test)bővítés fokát. 74. Mit jelent az, hogy az KL bővítés véges, ahol K és L test?

75. Mit jelent az, hogy az KL bővítés végtelen, ahol K és L test?

76. Igazolja, hogy ha K és L test, KL , és L <∞, akkor [L:K]∈N.

77. Adja meg az összes olyan L testet, amely a K test bővítése, és amelyre [L:K]=0. 78. Melyik az az L test, amelyre [L:K]=1? 79. Mennyi az 327 FF bővítés foka?

80. Mennyi az 33 ZF bővítés foka?

81. Legyen K és L test, KL . Adjon szükséges feltételt arra, hogy [L:K] végtelen legyen.

82. Legyen K és L test, KL . Adjon szükséges feltételt arra, hogy a bővítés végtelen legyen.

83. Legyen K és L test, KL , és K <∞. Adjon szükséges feltételt arra, hogy [L:K] végtelen

legyen. 84. Legyen K és L test, KL , és K <∞. Adjon szükséges feltételt arra, hogy a bővítés végte-

len legyen. 85. Legyen K és L test, KL . Adjon elégséges feltételt arra, hogy [L:K] véges legyen.

86. Legyen K és L test, KL . Adjon elégséges feltételt arra, hogy a bővítés véges legyen.

87. Mennyi [K:K], ahol K test? 88. Legyen K az Fq test prímteste. Mennyi lesz [Fq:K]? 89. Adott az alábbi test, adja meg a prímtestét:

+ a b c d e f g h i a a b c d e f g h i b b c a e f d h i g c c a b f d e i g h d d e f g h i a b c e e f d h i g b c a f f d e i g h c a b g g h i a b c d e f h h i g b c a e f d i i g h c a b f d e

× a b c d e f g h i a a a a a a a a a a b a b c d e f g h i c a c b g i h d f e d a d g c f i b e h e a e i f g b h c d f a f h i b d e g c g a g d b h e c i f h a h f e c g i d b i a i e h d c f b g

90. Az alábbi test hányadfokú bővítése a prímtestének:



91. Ha K és L test, KL , és K49L = , akkor mi lesz L prímteste?

92. Ha K és L test, KL , és K49L = , akkor mi lesz K prímteste?

93. Ha K és L test, KL , és K49L = , akkor mi lesz [L:K]?

94. Legyen K és L test, KL , K =49, és L <2401. Adja meg L összes lehetséges értékét.

95. Adja meg az összes olyan L testet, amelyre 5ZL , és L ≤658.

96. Legyen K és L test, KL , L <∞, és K =q. Mi lehet L értéke?

97. Bizonyítsa be, hogy ha K és L test, KL , L <∞, és K =q, akkor L =qn alkalmas n∈N-

nel. 98. Adja meg az összes olyan L testet, amelyre 79ZL , és L <125.

99. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test elemszáma m-nek egy hatványa? 100. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test elemszáma m-nek egy egész kitevős hatványa? 101. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú test elemszáma m-nek egy pozitív egész kitevős hatvá-nya? 102. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test elemszáma p-nek egy hatvá-nya? 103. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test elemszáma p-nek egy egész kitevős hatványa? 104. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú test elemszáma p-nek egy pozitív egész kitevős hatványa? 105. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges test elemszáma m-nek egy hatványa? 106. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges test elemszáma m-nek egy egész kitevős hatvá-nya? 107. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges test elemszáma m-nek egy pozitív egész kitevős hatványa? 108. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú véges test elemszáma p-nek egy hatványa? 109. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú véges test elemszáma p-nek egy egész kitevős hatványa? 110. Igaz-e, hogy ha p prímszám, akkor p-karakterisztikájú véges test elemszáma p-nek egy pozitív egész kitevős hatványa? 111. Konstruáljon 6-elemű testet (vagyis adja meg egy 6-elemű test művelettábláit). 112. Konstruáljon 4-elemű testet (vagyis adja meg egy 4-elemű test művelettábláit). 113. Konstruáljon 5-elemű testet (vagyis adja meg egy 5-elemű test művelettábláit). 114. Adja meg az összes olyan testet, amelynek az elemszáma azonos az alábbi test elemei-nek számával, és nem izomorf ezzel a testtel:



115. Legyen f=xq–x∈Fq[x]. Írja fel f-et a lehető legtöbb tényezőből álló szorzatként. 116. Legyen L q-elemű test. Adja meg az f= ( )∏ ∈

−Lu

ux polinomot a lehető legtömörebb

alakban.

117. Legyen L véges test. Adja meg az f= ( )∏ ∈−

Luux polinomot a lehető legtömörebb alak-

ban. 118. Legyen f=xq–x∈Fq[x]. Adja meg a polinom Fq fölötti felbontási testét.

119. Legyen f= xxnq − ∈Fq[x]. Adja meg a polinom Fq fölötti felbontási testét.

120. Igazolja, hogy ha f=xq–x∈Fq[x], akkor f= ( )∏ ∈−

quux

F.

121. Legyen K és L test, KL , K =q, és α∈L. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy

αα =q teljesüljön? 122. Legyen K és L test, KL , és K =q. Hány olyan α eleme van L-nek, amelynek a q-adik

hatványa α? 123. Bizonyítsa be, hogy ha L véges test, f=xq–1–e∈L[x], ahol e a test egységeleme, akkor f= ( )∏ ∈

−*Luux .

124. Mi az egyszerű bővítés? 125. Legyen K és L test, KL , és A⊆L. Definiálja K(A)-t.

126. Igazolja, hogy ha K és L test, KL , és A⊆L, akkor létezik és egyértelmű a K(A) test.

127. Mutassa meg, hogy ha K és L test, és KL , akkor van olyan A⊆L, hogy L=K(A).

128. Legyen K és L test, KL , és A⊆L. Milyen kapcsolat van K, L és K(A) között?

129. Legyen K és L test, KL , és A⊆L. Milyen kapcsolat van K∪A és K(A) között?

130. Igazolja, hogy ha az L test mind a K1, mind a K2 test bővítése, A1 és A2 az L részhalma-zai, és K1∪A1⊆K2∪A2, akkor ( ) ( )1122 AA KK .

131. Legyen az L test mind a K1, mind a K2 test bővítése, és A1 és A2 az L részhalmazai. Ad-jon elégséges feltételt arra, hogy ( ) ( )1122 AA KK legyen.

132. Legyen K és L test. Mit jelent az, hogy L a K A-val való bővítése? 133. Igaz-e, hogy ha K1 és K2 egy L test résztestei, és A1, A2 ennek az L testnek részhalmazai, továbbá ( ) ( )1122 AA KK , akkor K1∪A1⊆K2∪A2?

134. Mit jelent az, hogy K(A)(B)? 135. Mit jelent az, hogy K(A,B)? 136. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)=K(B)(A)? 137. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)⊆K(B)(A)? 138. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)⊇K(A,B)? 139. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)⊆K(A,B)? 140. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igaz-e, hogy K(A)(B)=K(A,B)? 141. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)⊇K(A,B): 142. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)⊆K(A,B) 143. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)=K(A,B) 144. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)=K(B)(A) 145. Legyen K az L test részteste, A és B az L részhalmaza. Igazolja, hogy K(A)(B)⊆K(B)(A) 146. Igazolja, hogy ha K test, A={ }NN ∈≥∧∈ innai , π az { }NN ∈≥∧∈ inni halmaz

permutációja, K0=K, és n≥i∈N-re Ki=Ki–1(aπ(i)), akkor K(A)=Kn. 147. Legyen K és L test. Mit jelent az, hogy u∈L algebrai K fölött? 148. Legyen K és L test. Mit jelent az, hogy u∈L transzcendens K fölött? 149. Mi az algebrai bővítés? 150. Mi a transzcendens bővítés?

151. Helyes-e a következő kijelentés: az L test u eleme algebrai a K test fölött, ha van olyan K[x]-beli f polinom, amelynek u gyöke? 152. Lehet-e egy testnek olyan eleme, amely egyszerre algebrai és transzcendens? 153. Lehet-e egy testnek olyan eleme, amely egyszerre algebrai és transzcendens ugyanazon testre vonatkozóan? 154. Helyes-e a következő kijelentés: az L test u eleme transzcendens a K test fölött, ha nincs olyan K[x]-beli f polinom, amelynek u gyöke? 155. Legyen az L test a K test algebrai bővítése. Adja meg L valamennyi, a K fölött transz-cendens elemét. 156. Legyen az L test a K test algebrai bővítése. Adja meg L valamennyi, a K fölött algebrai elemét. 157. Legyen az L1 és L2 test a K test transzcendens bővítése. Igaz-e, hogy L1∩L2 is a K transzcendens bővítése? 158. Legyen az L1 és L2 test a K test transzcendens bővítése. Igaz-e, hogy L1∩L2 a K algebrai bővítése? 159. Legyen az L1 és L2 test a K test algebrai bővítése. Lehet-e L1∩L2 a K transzcendens bő-vítése? 160. Legyen az L1 és L2 test a K test algebrai bővítése. Igaz-e, hogy L1∩L2 a K algebrai bőví-tése? 161. Legyen az L1 test a K test algebrai, az L2 test a K transzcendens bővítése, akkor milyen bővítése L1∩L2 K-nak? 162. Legyen az L1 és L2 test a K test transzcendens bővítése, és L az L1∪L2 által generált test. Igaz-e, hogy L is a K transzcendens bővítése? 163. Legyen az L1 és L2 test a K test transzcendens bővítése, és L az L1∪L2 által generált test. Igaz-e, hogy L a K algebrai bővítése? 164. Legyen az L1 és L2 test a K test algebrai bővítése, és L az L1∪L2 által generált test. Le-het-e, hogy L a K transzcendens bővítése? 165. Legyen az L1 és L2 test a K test algebrai bővítése, és L az L1∪L2 által generált test. Igaz-e, hogy L a K algebrai bővítése? 166. Legyen az L1 test a K test algebrai, az L2 test a K transzcendens bővítése, és L az L1∪L2 által generált test. Milyen bővítése L K-nak? 167. Legyen M test. Adja meg M összes, az M fölött algebrai elemét. 168. Legyen M test. Adja meg M összes, az M fölött transzcendens elemét. 169. Mutassa meg, hogy ha M test, és u∈M, akkor u algebrai M fölött. 170. π algebrai vagy transzcendens elem R fölött? 171. π algebrai vagy transzcendens elem C fölött? 172. π algebrai vagy transzcendens elem Q(π) fölött? 173. Legyen K, L és M test, és KLM . Igazolja, hogy ha u∈M algebrai K fölött, akkor algeb-

rai L fölött is. 174. Van-e olyan test, és felette transzcendens elem, amely a test minden bővítése felett transzcendens? 175. Van-e olyan test, amelyre vonatkoztatva bármely bővítésének tetszőleges eleme algeb-rai? 176. Van-e olyan test, amelynek bármely eleme a test tetszőleges részteste felett algebrai? 177. Igaz-e, hogy ha egy test valamely eleme transzcendens a test valamely részteste felett, akkor transzcendens ezen résztest minden részteste felett? 178. Adja meg F49 valamennyi, a Z7-be eső, és F49 felett transzcendens elemét. 179. Adja meg F49 valamennyi, a Z7 fölött transzcendens elemét. 180. Adja meg F49 valamennyi, a prímteste fölött transzcendens elemét.

181. Igazolja, hogy véges bővítés algebrai. 182. Adja meg egy K test valamennyi véges transzcendens bővítését. 183. Definiálja egy test valamely elemének minimálpolinomját.

184. Igaz-e, hogy 3x2–6 a 2 Q feletti minimálpolinomja? 185. Igaz-e, hogy ha az L test a K test bővítése, és u∈L, akkor van u-nak K feletti minimálpo-linomja? 186. Igaz-e, hogy ha az L test a K test bővítése, és u∈L algebrai K fölött, akkor van u-nak K feletti minimálpolinomja? 187. Igaz-e, hogy algebrai elem minimálpolinomja egyértelmű? 188. Igaz-e, hogy adott test felett algebrai elem ezen test feletti minimálpolinomja egyértel-mű? 189. Igaz-e, hogy ha u az L test eleme, és K az L részteste, akkor u-nak van egyértelműen meghatározott minimálpolinomja K-ra vonatkoztatva? 190. Legyen L test, és u∈L. Algebrai-e u L fölött? 191. Legyen L test, és u∈L. Mi az u L feletti minimálpolinomja? 192. Van-e egy test felett transzcendens elemnek minimálpolinomja? 193. Van-e egy test felett transzcendens elemnek erre a testre vonatkozó minimálpolinomja? 194. Ha u transzcendens egy L test felett, akkor van-e olyan f L feletti polinom, amelynek u gyöke? 195. Igaz-e, hogy ha az L test a K test bővítése, akkor az L bármely u eleméhez lehet találni olyan K feletti polinomot, amelynek u gyöke? 196. Igaz-e, hogy ha az L test a K test bővítése, akkor az L bármely u eleméhez lehet találni olyan K feletti nem nulla polinomot, amelynek u gyöke? 197. Ha u transzcendens egy L test felett, akkor van-e olyan f≠0 L feletti polinom, amelynek u gyöke? 198. Igazolja, hogy ha L test, és u∈L, akkor u algebrai L fölött. 199. Legyen a K test az L test részteste. Mutassa meg, hogy ha u∈L transzcendens K fölött, akkor u∉K. 200. Mutassa meg, hogy ha L test, és u∈L, akkor u L fölötti minimálpolinomja x–u. 201. Sorolja fel a minimálpolinom tulajdonságait. 202. Igazolja, hogy algebrai elem adott testre vonatkozó minimálpolinomja egyértelmű. 203. Igazolja, hogy egy elem valamely testre vonatkozó minimálpolinomja felbonthatatlan ezen test fölött. 204. Mutassa meg, hogy ha u a K test valamely bővítésének algebrai eleme, és m az u K fe-letti minimálpolinomja, továbbá f∈K[x]-nek gyöke u, akkor m osztója f-nek. 205. Igaz-e, hogy ha u a K test valamely bővítésének algebrai eleme, és m az u K feletti minimálpolinomja, továbbá f∈K[x]-nek gyöke u, akkor f osztója m-nek? 206. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy ha u a K test valamely bővítésének algebrai eleme, és m az u K feletti minimálpolinomja, továbbá f∈K[x]-nek gyöke u, akkor f osztója legyen m-nek? 207. Igazolja, hogy ha u a K test valamely bővítésének algebrai eleme, és m az u K feletti minimálpolinomja, továbbá f∈K[x]-nek osztója m, akkor u gyöke f-nek. 208. Legyen u és v algebrai a K test felett, és mu illetve mv rendre az u és v K feletti minimálpolinomja. Adja meg a két polinom legnagyobb közös osztóját. 209. Legyen u és v algebrai a K test felett, és mu illetve mv rendre az u és v K feletti minimálpolinomja. Adja meg a két polinom legkisebb közös többszörösét. 210. Legyen u és v algebrai a K test felett, és mu illetve mv rendre az u és v K feletti minimálpolinomja. Adja meg a két polinom közös gyökeit. 211. Definiálja algebrai elem fokát.

212. Igaz-e, hogy ha u és v algebrai a K test felett, mu illetve mv rendre az u és v K feletti minimálpolinomja, és a két polinom nem relatív prím, akkor u=v? 213. Igaz-e, hogy ha u és v algebrai a K test felett, mu illetve mv rendre az u és v K feletti minimálpolinomja, és a két polinom nem relatív prím, akkor mu=mv? 214. Igaz-e, hogy ha u és v algebrai a K test felett, mu illetve mv rendre az u és v K feletti minimálpolinomja, és mu osztója mv-nek, akkor mu=mv? 215. Igaz-e, hogy ha u és v algebrai a K test felett, mu illetve mv rendre az u és v K feletti minimálpolinomja, és mu osztója mv-nek, akkor u=v? 216. Igaz-e, hogy ha u algebrai a K test felett, és mu az u K feletti minimálpolinomja, akkor u osztója mu konstans tagjának? 217. Legyen f a K test felett felbonthatatlan polinom, és L a K legszűkebb olyan bővítése, amelyben van f-nek gyöke. Mi lesz a bővítés foka? 218. Legyen L a K test bővítése, u∈L, és u a K felett n-edfokú algebrai elem. Adja meg K(u) egy K fölötti bázisát. 219. Mi a felbontási test? 220. Igaz-e, hogy ha f a K test felett felbonthatatlan polinom, és u a K valamely L bővítésé-nek olyan eleme, amely gyöke f-nek, akkor f minden gyöke eleme L-nek? 221. Legyen f a K test felett felbonthatatlan polinom. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy f-nek legyen gyöke K-ban? 222. Legyen f a K test felett felbonthatatlan polinom. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy f felbontási teste K legyen? 223. Ha f≠0 a K test feletti polinom, és L=K(A) az f K feletti felbontási teste, akkor hány ele-me van A-nak? 224. Ha f≠0 a K test feletti polinom, és L=K(A) az f K feletti felbontási teste, akkor maximum hány eleme van A-nak? 225. Ha f a K test felett felbonthatatlan polinom, és L=K(A) az f K feletti felbontási teste, ak-kor legalább hány eleme van A-nak? 226. Ha f a K test felett felbonthatatlan nem elsőfokú polinom, és L=K(A) az f K feletti fel-bontási teste, akkor legalább hány eleme van A-nak? 227. Ha K test, és az f∈K[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz f L feletti fel-bontási teste? 228. Ha K test, és az f∈K[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz 2f K feletti felbontási teste? 229. Ha K test, és az f∈K[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz xf K feletti felbontási teste? 230. Ha K test az e egységelemmel, és az f∈K[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz (x–e)f K feletti felbontási teste? 231. Ha K test, u∈K, és az f∈K[x] polinom K feletti felbontási teste L, akkor mi lesz (x–u)f K feletti felbontási teste? 232. Igaz-e, hogy ha a K test feletti f és g polinomok K feletti felbontási teste egyaránt L, akkor fg K feletti felbontási teste is L? 233. Igaz-e, hogy ha a K test feletti f és g polinomok K feletti felbontási teste egyaránt L, akkor f+g K feletti felbontási teste is L? 234. Igaz-e, hogy ha a K test feletti f és g polinomok K feletti felbontási teste egyaránt L, akkor f–g K feletti felbontási teste is L? 235. Legyen f a K test feletti n-edfokú polinom, és L a K olyan bővítése, amelyben f-nek a gyökök multiplicitásával számolva n gyöke van. Igaz-e, hogy L az f K feletti felbontási teste? 236. Legyen f a K test feletti n-edfokú polinom, és L olyan test, amelyben f-nek a gyökök multiplicitásával számolva n gyöke van. Igaz-e, hogy L az f K feletti felbontási teste?

237. Legyen f a K test feletti n-edfokú polinom, és L a legszűkebb olyan test, amelyben f-nek a gyökök multiplicitásával számolva n gyöke van. Igaz-e, hogy L az f K feletti felbontási tes-te? 238. Mi az endomorfizmus? 239. Mi az automorfizmus? 240. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges testben minden elemnek van m-edik gyöke? 241. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú testben egy elemnek legfeljebb csak egy m-edik gyöke lehet? 242. Igaz-e, hogy m-karakterisztikájú véges testben minden elemnek pontosan egy m-edik gyöke van?

243. Igazolja, hogy ha p prímszám, és p>k∈N, akkor

k

pp .

244. Igaz-e, hogy ha m∈N, és m>k∈N, akkor

k

mm ?

245. Igazolja, hogy ha az R integritási tartomány karakterisztikája m>0, akkor a gyűrű bár-mely u és v elemére (u+v)m=um+vm. 246. Igaz-e, hogy ha R nullosztómentes gyűrű, és a karakterisztikája a p prímszám, akkor a gyűrű bármely u és v elemére (u+v)p=up+vp? 247. Igaz-e, hogy ha R nullosztómentes gyűrű, és a karakterisztikája a p prímszám, akkor az

u � up szabály endomorfizmusa R-nek?

248. Igaz-e, hogy ha R integritási tartomány, és p prímszám, akkor a gyűrű bármely u és v elemére (u+v)p=up+vp?

249. Legyen K test, char(K)=m>0, és u∈K-ra ϕ: u � um. Milyen leképezés ϕ?

250. Igaz-e, hogy ha K test, akkor a ϕ: u � up szabály, ahol p prímszám és u∈K,

homomorfizmus?

251. Legyen R m-karakterisztikájú integritási tartomány. Igaz-e, hogy a ϕ: f � mf szabály

injektív homomorfizmus az R[x] polinomgyűrűn?

252. Legyen K m-karakterisztikájú véges test, és T:={ }Kaa m ∈ . Igaz-e, hogy T részteste K-

nak?

253. Legyen K m-karakterisztikájú véges test, és T:={ }Kaa m ∈ . Igaz-e, hogy T valódi rész-

teste K-nak?

254. Igaz-e, hogy ha K q-elemű test, akkor a ϕ: u � uq szabály automorfizmus K-n?

255. Adja meg a q-elemű K test valamely automorfizmusát. 256. Adja meg a q-elemű K test valamely nem triviális automorfizmusát. 257. Adjon meg a q-elemű K testen két határozottan különböző automorfizmust.

258. Mi a kapcsolat Fq, xxnq − és nq

F között?

259. Mi az xxnq − ∈Fq[x] polinom Fq fölötti felbontási teste?

260. Mit állíthatunk egy véges test elemeinek számáról? 261. Egészítse ki a következő tételt: véges test elemszáma pn. 262. Igaz-e, hogy adott p prímszámra és n pozitív egész számra egyetlen pn-elemű test van? 263. Igazolja, hogy ha G kommutatív csoport, u és v a G eleme, u rendje m, v rendje n, és m és n relatív prím, akkor uv rendje mn. 264. Mi lesz a G kommutatív csoport u és v elemei szorzatának rendje, ha a két elem rendje véges és relatív prím?

265. Igaz-e, hogy test multiplikatív csoportja ciklikus? 266. Milyen csoport egy véges test multiplikatív csoportja? 267. Fq-ban mekkora a nem nulla elemek multiplikatív rendjének maximuma? 268. Ha G kommutatív csoport, u és v a G eleme, u rendje m, és nincs G-ben m-nél nagyobb rendű elem, akkor milyen lehet v rendje? 269. Mi a diszkrét logaritmus? 270. Legyen u egy véges test primitív eleme. Mennyi induu? 271. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges nem nulla eleme. Mennyi lesz induab? 272. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, a a test tetszőleges nem nulla eleme, és n∈Z. Mennyi lesz induu

n? 273. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és e a test egységeleme. Mennyi lesz indue? 274. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a a test tetszőleges nem nulla eleme. Mennyi lesz induu

–1? 275. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme. Mennyi lesz indu0? 276. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a a test tetszőleges nem nulla eleme. Mennyi lesz indua

q–1? 277. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a a test tetszőleges nem nulla eleme. Mennyi lesz indua

q? 278. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két eleme.

Mennyi lesz b

auind ?

279. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két nem nulla

eleme. Mennyi lesz b

auind ?

280. Igaz-e, hogy ha u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két ele-me, akkor induab=indua+indub? 281. Igaz-e, hogy ha u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két nem nulla eleme, akkor induab=indua+indub? 282. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két nem nulla eleme. Mikor igaz, hogy induab=0? 283. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és a, b a test tetszőleges két nem nulla eleme. Mikor igaz, hogy induab=q–1? 284. Adja meg a q-elemű test összes olyan a elemét, amelyre indua=q–1 (u a test primitív eleme). 285. Adja meg a q-elemű test összes olyan a elemét, amelyre indua=q (u a test primitív ele-me). 286. Adja meg a q-elemű test összes olyan a elemét, amelyre indua=q–2 (u a test primitív eleme). 287. Legyen u a q-elemű test primitív eleme, ahol q páratlan szám. Adja meg a test azon

elemeit, amelyeknek erre a primitív elemre vonatkoztatva 2

1−q a diszkrét logaritmusa.

288. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és p a test karakterisztikája. Mennyi a

test a elemének rendje, ha a diszkrét logaritmusa 1

1

−−

p

q ?

289. Legyen u a q-elemű véges test primitív eleme, és p a test karakterisztikája. Mennyi a

test a elemének rendje, ha a diszkrét logaritmusa p

q 1− ?

290. Definiálja a primitív gyököt. 291. Definiálja a primitív elemet. 292. Igaz-e, hogy q-elemű testben van q–1-edik gyök? 293. Igaz-e, hogy q-elemű testben van primitív q–1-edik gyök? 294. Igaz-e, hogy q-elemű testben van q-adik gyök? 295. Igaz-e, hogy q-elemű test minden eleme q-adik gyök? 296. Igaz-e, hogy q-elemű testben minden elemnek van q-adik gyöke? 297. Igaz-e, hogy minden primitív elem egyben primitív gyök is? 298. Igaz-e, hogy egy primitív gyök egyben primitív elem is? 299. Legyen az L véges test a K test bővítése. Igaz-e, hogy L algebrai bővítése K-nak? 300. Legyen az L véges test a K test bővítése. Igaz-e, hogy L egyszerű bővítése K-nak? 301. Legyen f∈Z[x], u és v egész számok, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha

( ) ( )vfuf ˆˆ ≡ (m), akkor u≡v (m)?

302. Legyen f∈Z[x], u és v egész számok, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha

u≡v (m), akkor ( ) ( )vfuf ˆˆ ≡ (m)?

303. Legyen f∈Z[x], u és v egész számok, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igazolja, hogy ha

u≡v (m), akkor ( ) ( )vfuf ˆˆ ≡ (m).

304. Legyen f∈Z[x], u egész szám, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u gyöke f-nek, akkor u modulo m is gyöke a polinomnak? 305. Legyen f∈Z[x], u egész szám, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u modulo m gyöke f-nek, akkor u gyöke a polinomnak?

306. Legyen f∈Z[x], és m=∏ =

s

i

ri

ip1

, ahol s és s≥i∈N-re ri pozitív egész szám, és az előbbi

indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy f-nek legyen modulo m gyöke?


s

i

ri

ip1


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Hány modulo m gyöke van f-nek?


s

i

ri

ip1


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Igaz-e, hogy ha u modulo m gyöke a poli-nomnak, akkor a megadott indexek bármelyikére modulo ir

ip is gyöke f-nek?


s

i

ri

ip1


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Igaz-e, hogy ha u a megadott indexek bármelyikére modulo ir

ip gyöke a polinomnak, akkor modulo m is gyöke f-nek?


s

i

ri

ip1


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Ha minden s≥i∈N-hez van olyan ui egész szám, amely modulo ir

ip gyöke a polinomnak, akkor van-e a polinomnak modulo m gyöke?


s

i

ri

ip1


indexekre a pi-k páronként különböző prímszámok. Ha minden s≥i∈N-hez van olyan ui egész szám, amely modulo ir

ip gyöke a polinomnak, akkor hogyan kapható meg az f valamely

modulo m gyöke? 312. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r pozitív egész szám. Igaz-e, hogy ha az u egész szám modulo pr+1-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo pr-edik gyöke is a polinomnak? 313. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r pozitív egész szám. Igaz-e, hogy ha u egész szám modulo pr-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo pr+1-edik gyöke is a polinomnak?

314. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u egész szám modulo pr-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo p-edik gyöke is a polinomnak? 315. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u egész szám modulo p-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo pr-edik gyöke is a polinomnak? 316. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u egész szám modulo p-edik gyöke f-nek, akkor egyben modulo pr-edik gyöke is a polinomnak? 317. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u egész szám modulo p-edik gyöke f-nek, és v∈Z modulo pr-edik gyöke a polinomnak, akkor u és v kongruens modulo p? 318. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha u egész szám modulo p-edik gyöke f-nek, és v∈Z modulo pr-edik gyöke a polinomnak, akkor u és v kongruens modulo pr? 319. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha { }NNZ ∈≥∧∈∈ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és v a polinom modulo pr gyöke,

akkor van olyan n≥i∈N index, hogy v≡ui (p)? 320. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha { }NNZ ∈≥∧∈∈ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és v a polinom modulo pr gyöke,

akkor van olyan n≥i∈N index, hogy v≡ui (pr)?

321. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha { }NNZ ∈≥∧∈∈ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és { }NNZ ∈≥∧∈∈ itvi t a

polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor a két halmaz megegyezik? 322. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha { }NNZ ∈≥∧∈∈ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és { }NNZ ∈≥∧∈∈ itvi t a

polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor n=t? 323. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha { }NNZ ∈≥∧∈∈ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és { }NNZ ∈≥∧∈∈ itvi t a

polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor n≤t? 324. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha { }NNZ ∈≥∧∈∈ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és { }NNZ ∈≥∧∈∈ itvi t a

polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor n≥t? 325. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha { }NNZ ∈≥∧∈∈ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és { }NNZ ∈≥∧∈∈ itvi t a

polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor n<t? 326. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha { }NNZ ∈≥∧∈∈ inui n az f modulo p gyökeinek halmaza, és { }NNZ ∈≥∧∈∈ itvi t a

polinom modulo pr gyökeinek halmaza, akkor n>t? 327. Legyen f∈Z[x], p prímszám, r 1-nél nagyobb egész szám, n a polinom modulo p gyöke-inek száma, és t az f modulo pr gyökeinek száma. Melyik igaz az alábbiak közül:

a. n=t b. n≥t c. n≤t d. n>t e. n<t

328. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Mi a szükséges és elégsé-ges feltétele, hogy f-nek legyen modulo pr gyöke?

329. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha f-nek van modulo pr gyöke, akkor van modulo p gyöke is? 330. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy ha f-nek van modulo p gyöke, akkor van modulo pr gyöke is? 331. Legyen f∈Z[x], p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy f-nek akkor és csak akkor van modulo pr gyöke, ha van modulo p gyöke is? 332. Mi a szükséges feltétele, hogy az egész együtthatós f polinomnak több gyöke legyen mod pr, mint mod p, ahol p prímszám, és r egynél nagyobb egész szám? 333. Mi az elégséges feltétele, hogy az egész együtthatós f polinomnak ugyanannyi gyöke legyen mod pr, mint mod p, ahol p prímszám, és r egynél nagyobb egész szám?

334. Igaz-e, hogy ha az egész együtthatós f polinomra ( ) 0ˆ ≡′ af mod p az f valamennyi mod p gyökére, akkor f mod p és mod pr gyökeinek száma azonos (p prímszám, r 1-nél nagyobb egész szám, és a az f mod p gyöke)?

335. Igaz-e, hogy ha ( ) 0ˆ ≡′ af mod p, ahol a az f mod p gyöke, akkor f-nek több gyöke van mod pr, mint mod p (f egész együtthatós polinom, p prímszám, és r 1-nél nagyobb egész szám)? 336. Lehet-e egy egész együtthatós polinomnak mod p több gyöke, mint mod p2 (p prím-szám)? 337. lehet-e egy egész együtthatós polinomnak mod p2 több gyöke, mint mod p (p prím-szám)? 338. Egy mod pr gyökből legfeljebb hány mod pr+1 gyök keletkezik (p prímszám, és r egész szám)? 339. Egy mod pr gyökből hány mod pr+1 gyök keletkezik (p prímszám, és r egész szám)?

340. Legyen f∈Z[x], u∈Z, és g:=(x+u)�f. Adja meg g k-adfokú tagjának együtthatóját.

341. Legyen p prímszám, és f∈Zp[x]. Adja meg azt a legalacsonyabb fokszámú Zp fölötti polinomot, amely Zp-beli gyökeinek halmaza egybeesik f Zp-beli gyökeinek halmazával. 342. Legyen p prímszám, és f∈Zp[x]. Adja meg azt a legalacsonyabb fokszámú Zp fölötti polinomot, amely Zp-beli gyökeinek halmaza egybeesik f Zp-beli nem nulla gyökeinek halma-zával. 343. Legyen 0≠f∈Z[x], deg(f)=n, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy f modulo m gyökeinek száma legfeljebb n? 344. Legyen 0≠f∈Z[x], deg(f)=n, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy f modulo m gyökeinek száma még multiplicitással számolva is legfeljebb n? 345. Legyen 0≠f∈Z[x], deg(f)=n, és m 1-nél nagyobb egész szám. Igaz-e, hogy f modulo m gyökeinek száma multiplicitással számolva n? 346. Legyen 0≠f∈Z[x], deg(f)=n, és m 1-nél nagyobb prímszám. Igaz-e, hogy f modulo m gyökeinek száma legfeljebb n? 347. Legyen 0≠f∈Z[x], deg(f)=n, és m 1-nél nagyobb prímszám. Igaz-e, hogy f modulo m gyökeinek száma még multiplicitással számolva is legfeljebb n? 348. Legyen 0≠f∈Z[x], deg(f)=n, és m 1-nél nagyobb prímszám. Igaz-e, hogy f modulo m gyökeinek száma multiplicitással számolva n? 349. Definiálja a szabad félcsoportot. 350. Definiálja szabad félcsoport elemének hosszát. 351. Definiálja szabad félcsoport szabad generátorrendszerét. 352. Igaz-e, hogy szabad félcsoport generátorrendszere szabad generátorrendszer? 353. Igaz-e, hogy a pozitív egész számok az összeadással szabad félcsoportot alkotnak? 354. Adja meg a természetes számok additív félcsoportjának szabad generátorrendszerét. 355. Mi a szükséges feltétele, hogy egy szabad félcsoport kommutatív legyen?

356. Van-e kommutatív szabad félcsoport? 357. Mi az elégséges feltétele, hogy egy szabad félcsoport kommutatív legyen? 358. Van-e nem kommutatív szabad félcsoport? 359. Legyen α és β egy szabad félcsoport két eleme. Mi lesz a két elem szorzatának hossza? 360. Van-e szabad félcsoportban 0-hosszúságú elem? 361. Legyen egy szabad félcsoport α és β elemére αρβ akkor és csak akkor, ha α prefixe β-nak. Milyen reláció ρ a szabad félcsoporton? 362. Teljes szigorú rendezés-e a prefixség egy szabad félcsoporton? 363. Van-e szabad félcsoportban maximális hosszúságú elem? 364. Legyen α és β egy szabad félcsoport két eleme. Mit jelent az, hogy α prefixe β-nak? 365. Legyen α és β egy szabad félcsoport két eleme. Mit jelent az, hogy α szuffixe β-nak? 366. Legyen α és β egy szabad félcsoport két eleme. Mit jelent az, hogy α infixe β-nak? 367. Legyen α egy szabad félcsoport eleme. Lehet-e α prefixe α-nak? 368. Legyen α és β egy szabad félcsoport két eleme, és α prefixe β-nak. Lehet-e β prefixe α-nak? 369. Legyen α, β és γ egy szabad félcsoport három eleme, α prefixe β-nak és β prefixe γ-nak. Igaz-e, hogy ekkor α prefixe γ-nak? 370. Definiálja szabad félcsoport prefixmentes részhalmazát. 371. Mi a konkatenáció? 372. Milyen tulajdonsága van egy szabad félcsoport szabad generátorrendszerének a félcsoport generátorrendszerei halmazában? 373. Adjon meg egy olyan szabad félcsoportot, amelynek két különböző szabad generátor-rendszere van. 374. Adjon meg egy szabad félcsoportot, amelynek két különböző generátorrendszere van. 375. Legyen U az A által generált félcsoport, S szabad félcsoport az X szabad generátorrend-

szerrel, és ψ: U � S homomorfizmus, amelynek A-ra való ϕ megszorítása X-be képez. Igaz-

e, hogy ekkor U is szabad félcsoport? 376. Legyen U az A által generált félcsoport, S szabad félcsoport az X szabad generátorrend-

szerrel, és ψ: U � S homomorfizmus, amelynek A-ra való ϕ megszorítása injektív. Igaz-e,

hogy ekkor U is szabad félcsoport? 377. Legyen U az A által generált félcsoport, S szabad félcsoport az X szabad generátorrend-

szerrel, és ψ: U � S homomorfizmus. Adjon a leképezéshez kapcsolódó elégséges feltételt

arra, hogy U is szabad félcsoport legyen. 378. Fogalmazza meg a szabad félcsoportok homomorfizmusára vonatkozó tételt. 379. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy két szabad félcsoport izomorf legyen? 380. Adjon meg egy olyan c számosságot, amelyre nincs olyan szabad félcsoport, amelynek szabad generátorrendszere c számosságú. 381. Adjon meg egy olyan szabad félcsoportot, amelynek a szabad generátorrendszere 1-elemű. 382. Szabad félcsoport-e a pozitív egészek halmaza a szorzással? 383. Szabad félcsoport-e az egész számok halmaza az összeadással? 384. Igaz-e, hogy szabad félcsoport valamely részhalmaza által generált részfélcsoport sza-bad félcsoport? 385. Adjon elégséges feltételt arra, hogy egy szabad félcsoport valamely részhalmaza által generált részfélcsoportja szabad félcsoport legyen. 386. Mit jelent az, hogy egy félcsoport reguláris? 387. Igaz-e, hogy szabad félcsoport reguláris? 388. Adjon meg egy szabad félcsoportot, amely nem reguláris.

389. Adjon meg egy szabad félcsoportot, amely balról reguláris, de jobbról nem. 390. Adjon meg egy szabad félcsoportot, amely balról nem reguláris. 391. Mi a monoid? 392. Igaz-e, hogy egységelemes félcsoport részfélcsoportja egységelemes? 393. Igaz-e, hogy monoid részmonoidja egységelemes? 394. Igaz-e, hogy monoid részfélcsoportja egységelemes? 395. Igaz-e, hogy ha egy egységelemes félcsoport valamely részfélcsoportja egységelemes, akkor a két félcsoport egységeleme azonos? 396. Igaz-e, hogy egy monoid egységeleme megegyezik részmonoidjának egységelemével? 397. Igaz-e, hogy egy monoid egységelemes részfélcsoportjának egységeleme megegyezik a monoid egységelemével? 398. Definiálja a szabad monoidot. 399. Igaz-e szabad monoidban, hogy bármely elem önmaga prefixe? 400. Igaz-e szabad monoidban, hogy bármely elem önmaga szuffixe? 401. Mekkora egy szabad monoid egységelemének hossza? 402. Igaz-e szabad monoidban, hogy két elem szorzatának hossza nagyobb bármely tényező hosszánál? 403. Igaz-e, hogy a nem negatív egész számok az összeadással szabad monoidot alkotnak? 404. Igaz-e, hogy a nem negatív egész számok az összeadással, és a 0-val mint nulla-változós művelettel monoidot alkotnak? 405. Monoidban milyen reláció a prefixség? 406. Fogalmazza meg a betűnkénti kódolást. 407. Milyen speciális betűnkénti kódolásokat definiáltunk? 408. Mit jelent az, hogy egy kód felbontható? 409. Mit jelent betűnkénti kódolásnál a vessző? 410. Definiálja a vesszőmentes kódot. 411. Definiálja a vesszős kódot. 412. Definiálja az egyenletes kódot. 413. Mi a prefix kód? 414. Igaz-e, hogy minden felbontható kód prefix? 415. Igaz-e, hogy minden prefix kód felbontható? 416. igaz-e, hogy minden felbontható kód veszős? 417. Igaz-e, hogy minden veszős kód felbontható? 418. Igaz-e, hogy minden felbontható kód vesszőmentes? 419. Igaz-e, hogy minden vesszőmentes kód felbontható? 420. Igaz-e, hogy minden felbontható kód egyenletes? 421. Igaz-e, hogy minden egyenletes kód felbontható? 422. Igaz-e, hogy minden vesszős kód prefix? 423. Igaz-e, hogy minden prefix kód vesszős? 424. Igaz-e, hogy minden vesszőmentes kód prefix? 425. Igaz-e, hogy minden prefix kód vesszőmentes? 426. Igaz-e, hogy minden egyenletes kód prefix? 427. Igaz-e, hogy minden prefix kód egyenletes? 428. Igaz-e, hogy minden egyenletes kód vesszős? 429. Igaz-e, hogy minden vesszős kód egyenletes? 430. Igaz-e, hogy minden egyenletes kód vesszőmentes? 431. Igaz-e, hogy minden vesszőmentes kód egyenletes? 432. Igaz-e, hogy {egyenletes kód}⊆{vesszős kód}⊆{prefix kód}⊆{felbontható kód}? 433. Igaz-e, hogy {vesszős kód}⊆{prefix kód}⊆{felbontható kód}? 434. Igaz-e, hogy {egyenletes kód}⊆{prefix kód}⊆{felbontható kód}?

435. Igaz-e, hogy {vesszős kód}⊆{egyenletes kód}⊆{prefix kód}⊆{felbontható kód}? 436. Igaz-e, hogy {prefix kód}={felbontható kód}? 437. Milyen kapcsolat van a vesszős kódok és prefix kódok között? 438. Milyen kapcsolat van a vesszős és a felbontható kódok között? 439. Milyen kapcsolat van a felbontható és az egyenletes kódok között? 440. Milyen kapcsokat van az egyenletes és a prefix kódok között? 441. Milyen kapcsolat van a vesszős és az egyenletes kódók között? 442. Legyen A és B véges ábécé, és ψ: A+ → B+ betűnkénti kódolás. Mi a szükséges és elég-séges feltétele, hogy a kód felbontható legyen? 443. Igazolja, hogy egy vesszős kód prefix. 444. Igazolja, hogy egyenletes kód prefix. 445. Adjon szükséges feltételt arra, hogy egy kód felbontható legyen. 446. Ismertesse a McMillan egyenlőtlenséget. 447. Mi a tartalma a McMillan egyenlőtlenségnek? 448. Érvényes-e egy prefix kódra a McMillan egyenlőtlenség? 449. Igaz-e, hogy ha egy betűnkénti kódra teljesül a McMillan egyenlőtlenség, akkor a kód felbontható? 450. Ismertesse a McMillan egyenlőtlenség “megfordítását”. 451. Igaz-e, hogy bármely felbontható kódhoz meg lehet adni olyan prefix kódot, ahol azo-nos betű kódjának hossza a két kódban azonos? 452. Definiálja a Hamming-távolságot. 453. Definiálja egy kód Hamming-távolságát. 454. Definiálja a Hamming-súlyt. 455. Definiálja egy kód Hamming-súlyát. 456. Igazolja, hogy a Hamming-távolság metrika. 457. Mi a kapcsolat Hamming-távolság és Hamming-súly között? 458. Igaz-e, hogy egy kód Hamming-távolsága és Hamming-súlya azonos? 459. Adjon elégséges feltételt arra, hogy egy halmaz Hamming-távolsága és Hamming-súlya megegyezzen. 460. Igaz-e, hogy ha egy halmaznak van Hamming-távolsága, akkor van olyan elempár a halmazban, amelyek Hamming-távolsága megegyezik a halmaz Hamming-távolságával? 461. Igaz-e, hogy ha egy halmaznak van Hamming-súlya, akkor van olyan elem a halmaz-ban, amelynek Hamming-súlya megegyezik a halmaz Hamming-súlyával? 462. Mi az elégséges feltétele, hogy két kódszó körüli t-sugarú gömb diszjunkt legyen?

463. Igaz-e, hogy d-távolságú kód bármely két kódszava körüli, 2

d-nél kisebb sugarú gömb

diszjunkt?


d-nél nem nagyobb sugarú

gömb diszjunkt?


d-nél nagyobb sugarú

gömb nem diszjunkt?


d-nél nem kisebb sugarú

gömb nem diszjunkt?

467. Igaz-e, hogy d-távolságú kódban van két olyan kódszó, amelyek körüli 2

d-nél nem ki-

sebb sugarú gömb nem diszjunkt?

468. Igaz-e, hogy ha d-távolságú kódban valamely u kódszó 2

d-nél kevesebb helyen hibáso-

dik meg, akkor a kapott szó minden kódszótól távolabb lesz, mint amekkora az u-tól vett tá-volsága?

469. Igaz-e, hogy ha d-távolságú kódban valamely u kódszó 2

d-nél nem több helyen hibáso-

dik meg, akkor a kapott szó minden kódszótól távolabb lesz, mint amekkora az u-tól vett tá-volsága? 470. Ha egy u kódszó t helyen meghibásodik, akkor mekkora lesz a kapott v szónak u-tól vett távolsága? 471. Definiálja a t-hiba jelző kódot. 472. Definiálja a pontosan t-hiba jelző kódot. 473. Definiálja a t-hiba javító kódot. 474. Definiálja a pontosan t-hiba javító kódot. 475. Definiálja a minimális távolságú dekódolást. 476. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy kód t-hiba jelző legyen? 477. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy kód pontosan t-hiba jelző legyen? 478. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy kód a minimális távolságú dekódolással t-hiba javító legyen? 479. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy kód a minimális távolságú dekódolással pontosan t-hiba javító legyen? 480. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba jelző, akkor t-hiba javító? 481. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba jelző, akkor minimális távolságú dekódolással t-hiba javító? 482. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba javító, akkor t-hiba jelző?

483. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba jelző, akkor

2

t-hiba javító?

484. Igaz-e, hogy ha egy kód t-hiba jelző, akkor minimális távolságú dekódolással

2

t-hiba

javító?

485. Igaz-e, hogy ha egy kód minimális távolságú dekódolással

2

t-hiba javító, akkor t-hiba

jelző? 486. Maximum hány hibát tud jelezni egy 2-távolságú kód? 487. Maximum hány hibát tud javítani minimális távolságú dekódolással egy 2-távolságú kód? 488. Maximum hány hibát tud javítani minimális távolságú dekódolással egy 3-távolságú kód? 489. Igaz-e, hogy egy kód súlya a benne lévő kódszavak súlyának minimuma? 490. Igaz-e, hogy egy kód távolsága a benne lévő kódszavak távolságainak minimuma? 491. Definiálja a lineáris kódot. 492. Definiálja a ciklikus kódot. 493. Igaz-e, hogy ha u egy K test feletti vektor, és az önmagával vett skalár szorzata 0, akkor maga a vektor is 0? 494. Mutasson olyan nem nulla vektort, amelynek önmagával vett skalár szorzata 0. 495. Igaz-e, hogy egy lineáris tér valamely alterének és ezen altér ortogonális alterének csak a nullvektor a közös eleme? 496. Igaz-e, hogy egy véges dimenziós lineáris tér alterének és ezen altér ortogonális alteré-nek dimenzióját összeadva az eredeti tér dimenzióját kapjuk?

497. Mennyi egy n-dimenziós tér k-dimenziós altere ortogonális alterének dimenziója? 498. Lehet-e egy lineáris tér valamely altere és ennek ortogonális altere azonos? 499. Mi lesz egy lineáris tér valamely altere ortogonális alterének ortogonális altere? 500. Definiálja egy lineáris kód generátormátrixát. 501. Definiálja egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixát. 502. Mekkora egy lineáris kód generátormátrixának rangja? 503. Mekkora egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixának rangja? 504. Milyen kapcsolat van egy lineáris kód generátor- és paritásellenőrző mátrixa között? 505. Lehet-e egy lineáris kódnak több különböző generátormátrixa? 506. Lehet-e egy lineáris kódnak több különböző paritásellenőrző mátrixa? 507. Lehet-e egy lineáris kódnak egy adott generátormátrixhoz tartozó több különböző pari-tásellenőrző mátrixa? 508. Lehet-e egy lineáris kódnak egy adott paritásellenőrző mátrixhoz tartozó több különbö-ző generátormátrixa? 509. Adjon szükséges és elégséges feltételt arra, hogy egy n-dimenziós tér valamely eleme benne legyen az ezen tér elemeiből álló valamely lineáris kódban. 510. Mi a kapcsolat egy lineáris kód távolsága és paritásellenőrző mátrixának oszlopai kö-zött? 511. Igaz-e, hogy egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixának rangja és távolsága megegye-zik? 512. Igaz-e, hogy egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixának rangja legalább akkora, mint a kód távolsága? 513. Igaz-e, hogy egy lineáris kód paritásellenőrző mátrixának rangja legfeljebb akkora, mint a kód távolsága? 514. Hány eleme van egy [ ]qkn, paraméterű lineáris kódnak?

515. Ha u egy ciklikus kód valamely kódszavához tartozó kódszópolinom, akkor mivel egyenlő a ciklikus eltoltjához tartozó kódszópolinom? 516. Definiálja egy ciklikus kód generátorpolinomját. 517. Mi a kapcsolat egy [ ]qkn, paraméterű ciklikus kód és exn − között?

518. Mekkora egy [ ]qkn, paraméterű ciklikus kód generátorpolinomjának foka?

519. Hány eleme van egy ciklikus kódnak, ha generátorpolinomja exn − ? 520. Definiálja egy ciklikus kód paritásellenőrző polinomját. 521. Mi a kapcsolat egy ciklikus kód kódszópolinomjainak és a generátorpolinomnak a gyö-kei között? 522. Igaz-e, hogy egy ciklikus kód valamely kódszópolinomjának valamennyi gyöke egyben a kód generátorpolinomjának is gyöke? 523. Igaz-e, hogy egy ciklikus kód generátorpolinomjának valamennyi gyöke a kód vala-mennyi kódpolinomjának is gyöke? 524. Mi a kapcsolat egy [ ]qkn, paraméterű ciklikus kód generátorpolinomjának gyökei és a

kód távolsága között, ha ( ) 1, =qn ? 525. Igaz-e, hogy egy ciklikus kód távolsága legalább akkora, mint a generátorpolinom gyö-keinek száma? 526. Igaz-e, hogy egy ciklikus kód távolsága legfeljebb akkora, mint a generátorpolinom gyökeinek száma? 527. Definiálja a BCH-kódot. 528. Adjon alsó korlátot egy BCH-kód távolságára. 529. Definiálja a (w,s)-típusú műveletet 530. Definiálja az s-típusú konstans műveletet. 531. Mit jelent az, hogy egy részhalmaz-rendszer zárt egy műveletre?

532. Mi a hasonlósági típus? 533. Mit jelent az, hogy f egy (w,s)-típusú műveleti név? 534. Mit jelent az, hogy f s-típusú konstans név? 535. Definiálja a t-típusú algebrát. 536. Mi a heterogén algebra? 537. Mi az abszolút triviális algebra? 538. Definiálja egy algebra részalgebráját. 539. Struktúrák egy halmazában milyen reláció a részstruktúraság? 540. Igaz-e, hogy egy struktúra valamely részstruktúráinak metszete is részstruktúrája az eredeti algebrának? 541. Igaz-e, hogy egy struktúra valamely részstruktúrái tartóhalmazainak uniója maga is egy részstruktúra tartóhalmaza? 542. Bizonyítsa be, hogy egy struktúra tetszőleges részstruktúrái tartóhalmaz-rendszereinek metszete zárt a struktúra műveleteire. 543. Definiálja egy struktúra valamely részhalmaz-rendszere által generált struktúrát. 544. Definiálja egy struktúra generátorrendszerét. 545. Definiálja a minimális generátorrendszert. 546. Mit jelent az, hogy egy struktúra végesen generált? 547. Mi a triviális részstruktúra? 548. Mi a valódi részstruktúra? 549. Indukcióval adja meg egy struktúra valamely részhalmaz-rendszere által generált rész-struktúrát. 550. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy az üres halmaz által generált részstruktúra abszolút triviális legyen? 551. Definiálja a homomorfizmust. 552. Definiálja az epimorfizmust. 553. Definiálja az izomorfizmust. 554. Definiálja az endomorfizmust. 555. Definiálja az automorfizmust. 556. Algebrák egy halmazán milyen reláció az izomorfizmus? 557. Algebrák egy halmazán milyen reláció a homomorfizmus? 558. Definiálja a kifejezésalgebrát. 559. Definiálja a szabad algebrát. 560. Igaz-e, hogy kifejezésalgebra egyben szabad algebra? 561. Igaz-e, hogy a szabad algebra egyben kifejezésalgebra is? 562. Definiálja az azonosságot. 563. Definiálja a típusmorfizmust. 564. Definiálja a nyelvet. 565. Mi a teljes nyelv? 566. Mi az üres nyelv? 567. Mi a komplementer nyelv? 568. Mi a véges nyelv? 569. Milyen nyelvosztályokat definiáltunk? 570. Mi a rekurzív nyelv? 571. Mi a rekurzíve felsorolható nyelv? 572. Mi a parciálisan rekurzív nyelv? 573. Milyen kapcsolat van egy ábécé feletti rekurzív, rekurzíve felsorolható és parciálisan rekurzív nyelvei között? 574. Igaz-e, hogy a teljes nyelv rekurzív? 575. Igaz-e, hogy az üres nyelv rekurzív?

576. Igaz-e, hogy a teljes nyelv rekurzíve felsorolható? 577. Igaz-e, hogy az üres nyelv rekurzíve felsorolható? 578. Igaz-e, hogy a teljes nyelv parciálisan rekurzív? 579. Igaz-e, hogy az üres nyelv parciálisan rekurzív? 580. Igaz-e, hogy véges nyelv rekurzív? 581. Igaz-e, hogy véges nyelv rekurzíve felsorolható? 582. Igaz-e, hogy véges nyelv parciálisan rekurzív? 583. Adjon meg a teljes nyelvre egy elismerő algoritmust. 584. Adjon meg a teljes nyelvre egy felsoroló algoritmust. 585. Adjon meg az üres nyelvre egy felismerő algoritmust. 586. Adjon meg az üres nyelvre egy felsoroló algoritmust. 587. Adjon meg egy véges nyelvre egy felismerő algoritmust. 588. Adjon meg egy véges nyelvre egy felsoroló algoritmust. 589. Mekkora egy ábécé feletti nyelvek halmazának számossága? 590. Mekkora egy ábécé feletti rekurzív nyelvek halmazának számossága? 591. Mekkora egy ábécé feletti rekurzíve felsorolható nyelvek halmazának számossága? 592. Mutassa meg, hogy egy rekurzív nyelv egyben rekurzíve felsorolható. 593. Mutassa meg, hogy rekurzív nyelv komplementere is rekurzív. 594. Igaz-e, hogy rekurzíve felsorolható nyelv komplementere rekurzíve felsorolható? 595. Mi a szükséges és elégséges feltétele, hogy egy rekurzíve felsorolható nyelv rekurzív legyen? 596. Van-e rekurzíve felsorolható, nem rekurzív nyelv? 597. Adjon meg egy rekurzíve felsorolható, de nem rekurzív nyelvet. 598. Igaz-e, hogy egy adott ábécé feletti rekurzív nyelvek halmaza valódi részhalmaza az ugyanezen ábécé feletti rekurzíve felsorolható nyelvek halmazának? 599. Definiálja a rekurzív alapfüggvényeket. 600. Definiálja a helyettesítést. 601. Definiálja a primitív rekurziót. 602. Definiálja a µ-operációt. 603. Definiálja a primitív rekurzív függvényeket. 604. Definiálja a rekurzív függvényeket. 605. Definiálja a parciális függvényt. 606. Parciális függvények esetén definiálja a µ-operációt. 607. Mutassa meg, hogy az összeadás primitív rekurzív függvény. 608. Mutassa meg, hogy a szorzás primitív rekurzív függvény. 609. Mutassa meg, hogy a hatványozás primitív rekurzív függvény. 610. Rekurzív függvény-e sinx? 611. Rekurzív függvény-e 43 23 −+ xx ? 612. Parciális rekurzív függvény-e 43 23 −+ xx ? 613. Rekurzív függvény-e 43 23 −+

�

xx ? 614. Mi a fiktív változó? 615. Mutassa meg, hogy a faktoriális primitív rekurzív függvény. 616. Igaz-e, hogy a kivonás rekurzív függvény? 617. Hogyan lehet “kivonás”-t rekurzív függvényként definiálni? 618. Mi a kapcsolat a primitív rekurzió és az iteráció között? 619. Definiálja a rekurzív halmazt. 620. Definiálja a rekurzíve felsorolható halmazt. 621. Mi a Church-tézis? 622. Mit jelent az, hogy a T Turing-gép önmagára alkalmazható? 623. Mit jelent az, hogy a T1 Turing-gép a p programmal szimulálja a T2 Turing-gépet?

624. Definiálja az univerzális Turing-gépet. 625. Létezik-e univerzális Turing-gép? 626. Mit jelent az, hogy egy Turing-gép felismer egy nyelvet? 627. Mit jelent az, hogy egy Turing-gép eldönt egy nyelvet? 628. Van-e olyan Turing-gép, amely bármely Turing-gépről és tetszőleges szóról eldönti, hogy az adott gép elfogadja-e a szót. 629. Mi a Turing-gépek megállási problémája? 630. Mi a nemdeterminisztikus Turing-gép? 631. Mi a kapcsolat a determinisztikus és a nemdeterminisztikus Turing-gépek között? 632. Mi a kapcsolat a k-szalagos és az egyszalagos Turing-gépek között? 633. Adjon meg olyan feladatot, amely megvalósítható egy nemdeterminisztikus Turing-géppel, de nem valósítható meg determinisztikus Turing-géppel. 634. Adjon meg olyan feladatot, amely megvalósítható egy egynél több szalagos Turing-géppel, de nem valósítható meg egyszalagos Turing-géppel. 635. Mi a RAM-gép? 636. Igaz-e, hogy bármely problémára megadható algoritmus? 637. Igaz-e, hogy ha egy probléma Turing-géppel megoldható, akkor algoritmizálható? 638. Igaz-e, hogy a rekurzív függvényekkel megoldható problémák halmaza részhalmaza a Turing-géppel megoldható problémák halmazának? 639. Igaz-e, hogy a Turing-géppel megoldható problémák halmaza részhalmaza a rekurzív függvényekkel megoldható problémák halmazának? 640. Melyik igaz a két állítás közül: 1. a Turing-géppel megoldható problémák halmaza részhalmaza a rekurzív függvények-kel megoldható problémák halmazának 2. a rekurzív függvényekkel megoldható problémák halmaza részhalmaza a Turing-géppel megoldható problémák halmazának

Documents

A Bevezetés a matematikába cím tárgy 3. félévével kapcsolatos …and.web.elte.hu/elte/bm3_vbegyak.pdf · 2004. 9. 27. · A Bevezetés a matematikába cím tárgy 3. félévével