คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

บทน า

เรอง การนบและความนาจะเปน

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง การนบและความนาจะเปน

สอการสอน เรอง การนบและความนาจะเปน มจ านวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

2. เนอหาตอนท 1 การนบเบองตน

- กฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ

- วธเรยงสบเปลยนเชงเสน(สงของแตกตางกนทงหมด) 3. เนอหาตอนท 2 การเรยงสบเปลยน

- วธเรยงสบเปลยนเชงเสน (สงของไมแตกตางกนทงหมด) - วธเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

4. เนอหาตอนท 3 การจดหม - วธจดหม

5. เนอหาตอนท 4 ทฤษฎบททวนาม

- ทฤษฎบททวนาม

- ทฤษฎบทอเนกนาม

6. เนอหาตอนท 5 การทดลองสม

- การทดลองสม

- ปรภมตวอยาง

- เหตการณและความนาจะเปน

7. เนอหาตอนท 6 ความนาจะเปน 1

- สมบตพนฐานของความนาจะเปน

- การหาความนาจะเปนแบบงาย

8. เนอหาตอนท 7 ความนาจะเปน 2

- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนบ

- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1)

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2

10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง)

12. สอปฏสมพนธ เรอง หลกการบวกและหลกการคณส าหรบการนบ

13. สอปฏสมพนธ เรอง การเรยงสบเปลยน

14. สอปฏสมพนธ เรอง ทฤษฎบททวนาม

15. สอปฏสมพนธ เรอง ความนาจะเปน

16. สอปฏสมพนธ เรอง การใสบอลลงกลอง

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง การนบและความนาจะเปน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

3

เรอง การนบและความนาจะเปน หมวด บทน า จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนเขาใจทมา เกดความซาบซง เหนคณคาของคณตศาสตรเรอง การนบและความนาจะเปน ตระหนกถงความส าคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของการนบและความนาจะเปน

วตถประสงคหลกของการจดท าสอบทน า: เพอใหผเรยนเกดแรงบนดาลใจในการเรยน

ไดเหนถงทมาและประโยชนของเนอหาทจะไดเรยนตอไป โดยมไดมงเนนทการทองจ าเนอหาหรอเรองราวตามทปรากฏในสอบทน า การใชสอบทน าจงควรใชเพยงประกอบในขนการน าเขาสบทเรยน หรอน าเสนอผเรยนกอนการจดการเรยนรในเนอหานนๆ และไมควรน าเนอหาในสอบทน าไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจท าใหการใชสอไมบรรลวตถประสงคทแทจรงตามทมาดหมายไว

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

4

บทสารคดและขอมลเพมเตม เมอราวสามรอยปทเพงผานมา ทามกลางบรรยากาศอนคกคกในบอนการพนนทระคนดวยความสมหวง

และผดหวงจากนกเสยงโชคทงหลาย เชอวาลเยร เดอ เมเร (Chevalier de Mere) หนมเจาส าราญจากตระกลขนนางชนสงของฝรงเศส กลบก าลงครนคดถงปญหาเกยวกบการเดมพนในเกมทอดเตา ทงทเขาขนชอวาเปนผช าชองในเกมน แตท าไมผลลพธทไดนอกจากจะไมเหมอนกบทเขาคดแลว ยงกลบขดแยงกบประสบการณตรงของเขาอกดวย

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

5

ความสงสยของ เมเร มไดเกดขนเพยงแคชววบ เขามไดทอดทงปญหานไวในบอนแหงนน หากแตกลบพก

มนตดออกมาดวย และความกระหายใครรในค าตอบ กเปนปจจยส าคญทผลกดนให เมเร พยายามคนหาค าอธบายในหลากหลายทาง รวมถงการน าปญหานไปถามกบ เบลส ปาสกาล (Blaise Pascal ค.ศ.1623 - 1662) ปราชญทรงภมแหงยค

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

6

ปญหาท เมเร ถาม ปาสกาล ผเปนมตรรก มสองขอ หนงคอปญหาเกยวกบเกมลกเตา ทวา

“จากประสบการณของเรา หากทอดลกเตาหนงลก 4 ครง เตามกจะออกแตม 6 อยางนอยกสกครง แตครนพอทอดลกเตาสองลกพรอมกนจ านวน 24 ครง ซงมากครงกวาการทอดแบบลกเดยวถง 6 เทา ผลทไดกนาจะมเตาใหแตม 6 พรอมกนทงสองลกออกมาบาง แตทไหนได กลบแทบไมพบเหตการณอยางนนเลย เราทดลองอยางนกหลายตอหลายครงผลกยงออกมาเหมอนอยางเดมๆ ปาสกาล ท าไมถงเปนเชนน”

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

7

สวนปญหาอกขอ เปนปญหาทมโครงสรางคลายกบปญหาท พาซโอล (Luca Pacioli ค.ศ.1447 - 1517) นกคณตศาสตรและบดาแหงงบดลดานการบญช ไดเสนอเมอราวรอยกวาปกอนหนา เกยวกบการแบงเงนเดมพนในเกมพนนทจ าเปนตองหยดกอนทจะสนสด ปญหามวา

“ถาชายสองคนทมฝไมลายมอในการเลนพนนขนตอ ทดเทยมกน ไดก าหนดกตกาการพนนวา หากผใดท าแตมไดถง 5 กอน ผนนจะเปนผชนะและไดเงนเดมพนไปทงหมด ตอเมอการแขงขนด าเนนมาถง 7 เกม กเกดมเหตทท าใหการแขงขนตองยตลง ขณะนนชายคนแรกท าแตมไดแลว 4 แตม สวนอก 3 แตม เปนของชายอกคนหนง แลวเขาทงคควรจะแบงเงนเดมพนกนอยางไร ถงจะยตธรรมทสด”

ปาสกาล ไดอธบายไววา จากประสบการณตรง จงท าให เชอวาลเยร เดอ เมเร ทราบวา เมอทอดลกเตาหนงลก 4 ครง การเลอกทายวาเตาออกแตม 6 อยางนอยหนงครง จะท าใหเขามโอกาสชนะมากกวา ซง

นนเปนเพราะ ความนาจะเปนทเตาจะไมออกแตม 6 ในแตละครง คอ 1 51 - =6 6 ซงท าใหความนาจะ

เปนทเตาจะไมออกแตม 6 ตดตอกนถง 4 ครง คอ 4

5

6 ดงนนความนาจะเปนของการทอดเตา 4 ครง

แลวจะออกแตม 6 อยางนอยหนงครงเปน 4

5

61 0.518 ซงท าใหมโอกาสชนะมากกวาแพ

สวนค าอธบายกรณการทอดลกเตาสองลกพรอมกนจ านวน 24 ครง แลวไมคอยพบเตาใหแตม 6 เหมอนกนทงสองลก นนเปนเพราะความนาจะเปนทเตาจะไมออกแตม 6 ทงสองลก ในแตละครง คอ

1 351 - =36 36 ซงท าใหความนาจะเปนทเตาจะไมออกแตม 6 ทงสองลก ตดตอกนถง 24 ครง คอ

24

35

36

ดงนนความนาจะเปนของการทอดเตาสองลก 24 ครง แลวจะออกแตม 6 ทงสองลก อยางนอยหนงครง

เปน 24

35

361 0.491 ซงมโอกาสแพมากกวาชนะ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

8

ปาสกาลและแฟรมาต ไดอธบาย โดยสมมตใหไมมผลการแขงขนแบบเสมอและใหมการเลมเกมตออก 2 เกม เพอใหแนใจวาตองมผชนะเกดขนแนนอน ซงผลลพธอาจเปนไปไดทงหมด 4 แบบ คอ

ชายคนแรกชนะทงสองเกม ท าใหไดแตมรวม 6 และ 3 ตามล าดบ ชายคนแรกชนะในเกมแรกแตแพในเกมทสอง ท าใหไดแตมรวม 5 และ 4 ตามล าดบ ชายคนแรกแพในเกมแรกแตชนะในเกมทสอง ท าใหไดแตมรวม 5 และ 4 ตามล าดบ ชายคนแรกแพทงสองเกม ท าใหไดแตมรวม 4 และ 5 ตามล าดบ

จากผลลพธทเปนไปได 4 แบบ ม 3 แบบ ทท าใหผเลนคนแรกเปนฝายชนะ ดงนนจงควรแบงเงนรางวลเปนอตราสวน 3 : 1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

9

ปญหาของ เมเร ทงสองขอน ไดสรางความตนเตนและทาทายใหกบ ปาสกาล เปนอยางมาก จนเขาถงกบตองเลาให ปแยร เดอ แฟรมาต (Pierre de Fermat ค.ศ.1601 -1665) เพอนนกคณตศาสตรชอกองและปราชญรวมสมย ไดรบรถงปญหาน

นกคณตศาสตรแหงอสดงคตประเทศทงสอง ตางมงมนและรวมกนหาค าตอบของปญหา โดยไดสาน

เสวนาวชาการผานจดหมายโตตอบระหวางกน จนไดค าตอบทตองการ ซงในกาลตอมาลขตสาสนชดน เปนทรจกกนในนามของ “Pascal – Fermat correspondence” ค าตอบทพบน มไดมคาเพยงแคสนองความกระหายใครรของทงนกเสยงโชคและนกวชาการแตถายเดยว หากแตค าตอบน กลบเปนสมบตเลอคาของวงการคณตศาสตร ทสามารถน ามาประยกตไดในชวต ทในปจจบนรจกกนในชอวา “ความนาจะเปน”

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

10

ความนาจะเปน คอศาสตรแหงการแปลคาโอกาสทจะเกดขนของเหตการณทยงไมเกดขน ใหอยในรปจ านวนตงแต 0 ถง 1 ทฤษฎบททเกยวกบจ านวนทมคาไมเกน 1 เหลาน แมจะเรมบมเพาะมาจากเมลดพนธแหงอบายมข หากแตกลบเตบโตหยงรากระบดใบ เปนไมใหญทรงคณ โดยไดรบการพฒนาสานตอจากนกคณตศาสตรยคตอๆ มา และถกน าไปประยกตใชในวงกวาง เชน

ครสตเตยน ฮอยเกน (Christian Huygen ค.ศ. 1629 – 1695) ผวางรากฐานความนาจะเปนตอจากปาสกาล

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

11

คอนโดเซต (Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat, marquis de Condorcet ค.ศ. 1743 – 1794) ผน าความ นาจะเปนไปใชในระบบลกขนและการเลอกตง

โทมส เบส (Thomas Bayes ค.ศ. 1702 – 1761) ผรงสรรคทฤษฎบทความนาจะเปนมเงอนไขแบบเบส ลาปลาซ (Pierre Simon marquis de Laplace ค.ศ. 1749 - 1827) ผน าในศาสตรสาขาทฤษฎความนาจะเปน

เชงวเคราะห

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

12

เกรกเกอ เมนเดล (Gregor Mendel ค.ศ. 1822 - 1884) นกบวชผน าความรดานความนาจะเปนไปอรรถาธบายหลกการทางพนธศาสตร

เมยนารด เคนส (John Maynard Keynes ค.ศ. 1883 - 1946) ผจดประกายการใชความนาจะเปนใน

เศรษฐศาสตรและสถต คอลโมโกรอฟ (Andrey Nikolaevich Kolmogorov ค.ศ. 1903 - 1987) ผเปดประตสโลกความนาจะเปนเชง

สจพจน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

13

นอกจากน ความนาจะเปน ยงเปนศาสตรทไดรบความสนใจและพฒนาตอยอดจากนกคณตศาสตรของไทยหลายตอหลายคน เชน รองศาสตราจารย ดร.วรฬห บญสมบต ศาสตราจารย ดร.กฤษณะ เนยมมณ

ในชวตประจ าวนของเรานน หลากหลายเรองราวทผานเขามาลวนบงคบใหเราตองตดสนใจทจะกระท า

หรอไมกระท า เลอกหรอไมเลอก แทบทงสน เราอาจจะตดสนใจ เพราะเราแนใจในผลทจะเกดขนวา ตองเกดขนแนๆ หรอตองไมเกดขนแนๆ หรอเราจ าตองตดสนใจ เพยงเพราะเราคาดเดาวานาจะเกดผลแบบนนๆ ขน และเพราะความไมแนนอนของการเกดขนในประการหลงน ความสามารถของการประเมนไดวาเหตการณใดมโอกาสทจะเกดขนไดมาก และเหตการณใดมโอกาสทจะเกดขนไดนอย จงเปนสงทส าคญมากส าหรบการตดสนใจ

แมวามนษยจะมและใชส านกและประสบการณตรงเกยวกบการประเมนโอกาสทจะเกดขนอยแทบจะ

ตลอดเวลา แตกมหลายเหตการณทแสดงใหเหนถง ความสามารถในการประเมนโอกาสการเกดขนทคลาดเคลอน เชน เราอาจเคยไดยนค าพดทวา

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

14

“ไมซอ 44 หรอก เพราะเลขเบล ออกยาก” ทงทโอกาสทผลการออกสลากรางวลเลขทายสองตว จะเปนเลขสองตวใดนน เทากนทงหมด

“ซอเลขอนเถอะ อยาซอ 01 เลย เพราะเพงจะออกไปเมองวดทแลวนเอง” ทงทเมอพจาณาเฉพาะครงนนๆ แลว โอกาสทผลจะออกเปน 01 นนเทากบโอกาสทผลจะออกเปนเลขอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

15

“เวลาจบใบด า-ใบแดง ยงไดจบเปนคนทายๆ กยงด เพราะมโอกาสทจะจบไดใบแดงมากกวาคนแรกๆ” ทงทโอกาสทจะจบไดใบใด ยอมขนอยกบผลการจบของคนกอนหนา บอยครงทความนาจะเปน ถกน ามาใชในการเปรยบเปรยเพอสะทอนภาพของ “โอกาสทนอยมากๆ” ใหเปน

รปธรรมมากขนเชน ในการเปรยบเทยบโอกาสในการไดเกดเปนมนษยของเหลาเวไนยสตว และอเวไนยสตว วาเปนเรองยาก อปมาเสมอนประหนง เตาตาบอดทด าดงอยในหวงลกแหงมหรรณพอนกวางใหญไพศาลซงมหวงทองขนาดใหญกวาหวเตาสกเลกนอยหวงหนงลอยอยบนผวนท ครนเมอครบทกๆ 100 ป เตาบอดตวนนจงจะลอยคอโผลหวขนมาจากมหาสมทรเสยสกครงหนง โอกาสทเตาตวนนจะโผลแลวสวมหวเขากบหวงไดพอดนนเกดขนไดยากฉนใด โอกาสทเหลาสรรพสตวจะไดมาเกดเปนมนษยกเกดขนไดยากฉนนน

เมอพจารณาในมมมองของความนาจะเปน โอกาสทพอจะเกดขนได แมวาจะนอยสกเพยงใด กยงเทยบ

ไมไดกบโอกาสของเหตการณทไมมทางเกดขนไดเหมอนกบเตาทะเลตวนน แมจะดมดมนและมโอกาสนอยสดประมาณเพยงใด แตโอกาสทเกดขนไดน กยงมากกวาโอกาสทจะโยนเตาแลวใหขนแตม 7 ซงไมมทางเกดขนไดเลยไมวาจะทดลองโยนไปยาวนานกกปกกลป

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

16

หลายตอหลายเหตการณ การประเมนโดยความรสก กบผลทเกดขนจรง กกลบขดแยงกนโดยสนเชง ดงเชนใน ปฏทรรศนวนเกดทวา หากมใครสกคนพดขนมาวา

“ในหองนมคนอย 23 คน ตองมคนทเกดวนทเดยวกน และเดอนเดยวกนอยอยางนอยกหนงคแนๆ”

โอกาสทค ากลาวขางตนจะถกตองจะมมากนอยเพยงใดหนอ? แมจะรสกวาใครคนนนคงจะกลาวผดเสยแลว หากแตศาสตรแหงความนาจะเปนสามารถอธบายไดวา แมม

จ านวนคนแคเพยง 23 คน กเพยงพอแลวทจะท าใหโอกาสของการมคนเกดวนเดอนซ ากน มากกวาโอกาสของการไมมการเกดซ า ทงๆ ทมวนใหเกดแตกตางกนไดถง 365 แบบ

ส านกเกยวกบโอกาสทนาจะเกดขนน แมบางครงอาจจะสอดคลองเปนจรงกบเหตการณตางๆ บาง แต

หลายตอหลายเหตการณกท าใหเราตระหนกไดวา เราไมสามารถใชเพยงการดนเดา หรอประสบการณเกาแตถายเดยวในการตดสน หากแตสงทจะชวยเราอธบายถงโอกาสทนาจะเกดขนของปรากฏการณหรอเหตการณเหลานน กคอ ศาสตรแหงความนาจะเปน เหมอนดงเชนท เมเร ผจดประกายเคยไดรบค าอธบายมาแลวจาก ปาสกาล

สมมตใหหนงปม 365 วน (ปกตมาส) ความนาจะเปนทคนท 2 จะเกดแตกตางจากคนแรกคอ 365364

ความนาจะเปนทคนท 3 จะเกดแตกตางจาก 2 คนแรกคอ 365363 ในท านองเดยวกนความนาจะเปนทคน

ท 23 จะเกดแตกตางจาก 22 คนแรกคอ 343365 ท าใหความนาจะเปนททง 23 คน จะไมมใครมวนเกดซ า

กนเลยคอ 364 363 362 343 0.4927365 365 365 365

ดงนนความนาจะเปนทจะมอยางนอยสองคนเกดวนและเดอนเดยวกน คอ 1 – 0.4927 = 0.5073 นนคอจะมโอกาสเกน 50 ใน 100 (มากกวาครง) ทคนอยางนอย 2 คน จะเกดวนและเดอนเดยวกน และเพยงขยายใหกลมใหญขนเปน 45 คน โดยอาศยหลกความนาจะเปน ค าท านายทกลาววา “ในคนกลมนมคนทมวนเกดซ ากน” จะมโอกาสถกตองถง 95%

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

17

ภาคผนวกท 1 แผนภาพแสดงความสมพนธ

เรอง การนบและความนาจะเปน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

18

การนบและความนาจะเปน

การนบ

ทฤษฎบททวนาม

กฎการนบเบองตน

การจดหม

การทดลองสม

ปรภมตวอยางและเหตการณ

ความนาจะเปน

เชงเสน

เชงวงกลม

การแกปญหาความนาจะเปน

การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนบ

การหาความนาจะเปนโดยใช แผนภาพเวนน – ออยเลอร

การเรยงล าดบ

สงของแตกตาง กนทงหมด

สงของไมแตกตางกนทงหมด

ความนาจะเปน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

19

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

20

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

21

เรอง ตอน

ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1

ฟงกชนตรโกณมต 2

ฟงกชนตรโกณมต 3

กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

22

เรอง ตอน

การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1

แนวโนมเขาสสวนกลาง 2

แนวโนมเขาสสวนกลาง 3

การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1

การกระจายสมบรณ 2

การกระจายสมบรณ 3

การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได