1

Нумеричке карактеристике случајних променљивих

Теорија вероватноћа

Нумеричке карактеристике случајних променљивих

Расподела сп. Нумеричке карактеристике сп.

параметри

центар груписања сп.|мере растурања сп. од центра гр.математичко очекивање дисперзијамод стандардна девијација медијана средње апсолутно одступање

момент реда к; квантил реда р централни момент реда кНУмеричке

карактеристикеслучајних променљивих

2

Математичко очекивање

Деф: Математичко очекивање дискретне сп.

Математичко очекивање

Деф: Математичко очекивање сп. апсолутно

⎛ x1 , x2 ,..., xn ,... ⎞ +∞ непрекидног типа:+∞ +∞

X = ⎜ ⎟, ∑ pi

= 1 E ( X ) = ∫ xf ( x)dx, ∫ | x | f ( x)dx < ∞.⎜ p , p ,..., p ,... ⎟ i =1⎝ 1 2 n ⎠+∞ +∞

−∞ −∞

је број

E ( X ) = ∑i =1 xi pi ако и само ако

је∑ i =1

| xi | p

i < ∞ . � Униформна р. E ( X ) = (a + b) / 2

� Биномна расподела:

E ( X ) = np

� Нормална р.

E( X ) = m

� Поасонова расподела:

E ( X ) = λ

� Логнормална р.

E( X ) = exp{m + 0.5σ }2

� Геометријска расподела:

E( X ) = 1/ p

� Χ2 са λ степени слободе: E (χν ) = ν

2

P{X = k} = p(1 − p )k −1 , k =

1,2,...

� Г р. E( X ) = αβ

� Експоненцијална р. E ( X ) = 1/ λ

НУмеричке карактеристике

� Студентова E ( X ) = 0НУмеричке карактеристике

...

случајних променљивих 3

случајних променљивих 4

3

Математичко очекивање-Особине математичког очекивања-

� Основне особине математичког очекивања сп.

1. E (c) = c, c = const. ,

Математичко очекивање-Момент реда к случајне

променљиве-

Деф: Момент реда k сп. X је математичко очекивање сп. Xk уколико ово постоји, тј. ако

постоји E|X|k.

2. E (aX + b) = aE ( X ) + b, a = const., b = const.,

� Дискретна сп. E ( X k ) = ∑ x k p ,

p= P{ X = x }

3. E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y

) ,

j j j j j

4. E ( XY ) = E ( X )E (Y )

, X и Y су независне сп.

� Сп. Апсолутно непрекидног типа +∞

E ( X k ) = ∫ x k f ( x)dx,−∞

Математичко очекивање је момент првог реда.

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 5

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 6

Мод

Деф: Мод (Мо) дискретне сп. је она вредност сп. која има највећу вероватноћу јављања. Код сп. апсолутно непрекидног типа, то је она вредност x за коју густина расподеле f(x) има максимум (локални).

Медијана

Деф: Ако је F(X) ф-ја расподеле сп. X, онда је медијана(Ме(X)) сп. X, решење ј-не

F(X)=1/2.Медијана је она вредност сп. X за коју је:

P{ X ≤ Me( X )} = 1 / 2Код сп. апсолутно непрекидног типа, Ме је

f(x) σ=0.5 N(m, σ2), Мо= m

јединствена и одговара ординати која дели криву густине расподеле на два дела површине тачно ½.

Код сп. дискретног типа, могуће је да не постојиσ>1

σ=5

1

σ ⋅ 2π E(X)≠ Мо

P{ X ≤ Me( X )} ≤ 1 / 2 < P{ X < Me( X )}.

4

0 µ x НУмеричке карактеристике

НУмеричке карактеристике

ν

5

Медијана

Mo f(x)

Квантил реда р случајне променљиве

Деф: Ако је F(X) ф-ја расподеле сп. X, тада се решење ј-неF(x)=p, 0 ≤ p ≤ 1 по x зове квантил реда р сп. X.

(Мр(X))У дискретном случају:

P{ X ≤ Mp( X )} ≤ p < P{ X < Mp( X )}.За

р=1/2→МеПри запису: F (x)=100 p %, решење ј-не зове се

перцентил реда 100 p %. За

р=50%→МеMe x децили: p ∈{0.1,0.2,...,0.9}

µ квинтили p ∈{0.2,0.4,0.6,0.8} р 1-р

квартили p ∈{0.25,0.50,0.75}

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 9

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 10

Дисперзија случајне променљиве

Деф: Дисперзија или средње квадратно одступање

Дисперзија случајне промeнљиве

� Униформна р. D( X ) = (b − a)2 / 12

сп. X је број D( X ) = E ( X − E ( X

))2

� Нормална р.

D( X ) = σ 2

Деф: Стандардно одступање или стандардна

� Логнормална р. D( X ) = exp{2m + σ 2 }(exp{σ 2

} −1)

� Χ2 са λ степени слободе: D(χ 2 ) = 2ν

девијација сп. X је позитиван број

σ X = D( X ) � Г р. D( X ) = αβ 2

Дисперзија може да се изрази и као:

D( X ) = E ( X )2 − (E ( X

))2

� Експоненцијална р. D( X ) = 1 / λ2

� Студентова D( X ) =ν /(ν − 2),ν > 2 ...

� X: B(n, p)

6

� X: P(λ) D( X ) = np(1 − p)D( X ) = λ

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 11

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 12

µ σ

7

Дисперзија случајне променљиве-Особине дисперзије-

� Основне особине дисперзије сп.1. D(c) = 0, c = const. ,2. D(aX + b) = a

2 D( X ), a = const., b = const. ,

3. D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) , X и Y су независне сп.

Чебишевљева неједнакост: E ( X 2 )P{| X |≥ ε } ≤ , ∀ε > 0ε 2

P{| X − E ( X ) |≥ ε } ≤ D ( X )

Средње апсолутно одступање

Деф: Средње апсолутно одступање сп. X (Md(X)) је очекивање сп. |X-E(X)|, тј.

Md ( X ) = E (| X − E ( X )

|). � X – апсолутно непрекидног типа:

+∞

Md ( X ) = ∫ | x − µ | f ( x)dx, µ = E ( X )−∞

� X – дискретна сп.:X: X-E(X)→

примена:

ε 2

X − E ( X ) = X

*

D( X )

Md ( X ) = ∑ j | x

j − µ | p( x

j ),

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 13

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 14

Важније ф-је од момената случајних променљивих-Коефицијент варијације-

� Ради упоредивости растурања различитих расподеле око математичког очекивања.

Важније ф-је од момената случајних променљивих-Коефицијент асиметрије-

� Ради процене облика расподеле у погледу симетричности у односу на праву x=E(X).

C = σ

,σ =v µ

D( X ) , µ = E ( X ) ≠ 0

� Трећи централни момент � Други централни момент

µ3 = E ( X − E ( X

))3

µ 2 = D( X

)

� Коефицијент асиметрије: µ µC = 3 = 3 .

Cs=0

s 3 / 2 3

2

Cs>0 Cs<0

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 15

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 16

X

8

Важније ф-је од момената случајних променљивих-Коефицијент спљоштености-

� Ради грубе процене облика расподеле у погледу удаљеносту у односу на осу у=f(x).

� Четврти централни момент µ 4 = E ( X − E ( X ))4

Коваријанса

Деф: За дводимензионалну сп. (X,Y) дефинише се коваријанса на следећи начин:

cov( X , Y ) = E[( X − E ( X ))(Y − E (Y − E (Y ))}.

µ 4 µ 4 � Коефицијент спљоштености: � Нормална расподела: Ск=3 � Коефицијент екцеса (екцес):

CЕ=0

Ck

= 2

= 4

.µ2

σ

CE

= Ck

− 3.

� погодније за прорачун:cov( X , Y ) = E ( XY ) − E ( X )E (Y ).

CЕ>0

CЕ<0

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 17

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 18

Коефицијент корелације

Деф: Коефицијент корелације сп. X и Y дефинише се:

Коефицијент корелације

Теорема: Основне особине коефицијента корелације су:

X − E ( X ) Y − E (Y )

ρ = cov( , ).

1. ρ XY ≤ 1 ,

D( X ) D(Y ) 2. ρ XY = 1

, ако и само ако су X и Y везани линеарном

Коефицијент корелације се рачуна:

везом скоро извесно

P{Y = aX + b} = 1

ρXY = cov( X , Y )

= E ( X , Y ) − E ( X ) E (Y

) .

3. ρ

XY

= 0 , ако су X и Y независне сп.

D( X ) D(Y ) D( X ) D(Y )

9

Коефицијент корелације мери степен линеарнезависности сп. X и Y .

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 19

НУмеричке карактеристикеслучајних променљивих 20