140

Geometrik Cisimler4.2

Bal›klar› sever misiniz?Evinizde akvaryumunuz varm›? Akvaryumlar›n flekillerinas›ld›r?

Neler Ö¤renece¤iz?

• Resim yaparken,

• Paket yapmada,

• Nakliyede kullanabiliriz.

• Piramit • Küp

• Kare prizma • Hacim

• Dikdörtgenler

prizmas›

• Üçgen prizma

• Prizma çeflitlerini,

• Piramidi,

• Hacim konusunu

ö¤renece¤iz.

Ö¤rendiklerimizi NerelerdeKullanabiliriz?

Söz Varl›¤›

Etkinlik

Küp Üçgenprizma

Dikdörtgenlerprizmas›

Kareprizma

Aile Çal›flmas›

Ailenizle birlikte patates, havuç gibi sebzeleri keserek ya

da oyun hamuruyla prizmalar elde etmeye çal›fl›n›z.

Çevremizdeki Prizma ModelleriAraç ve Gereç: prizma modelleri

• Prizmalar›n kaç köflesi ve yüzü oldu¤unu belirleyelim.

• Prizmalar›n bütün yüzlerini k⤛da çizip karfl›laflt›ral›m.

• Tüm prizmalar›n yüzlerinin ortak özelli¤i nedir?

• Küp ile kare prizman›n fark› nedir?

• Kare prizma ile dikdörtgenler prizmas›n›n fark› nedir?

• Üçgen prizman›n di¤er prizmalardan fark› nedir?

141

Örnek

Baz› prizma örnekleri afla¤›da verilmifltir. Bunlar›n hangi prizmalara örnek oldu¤unu

söyleyiniz. Siz de de¤iflik örnekler bulmaya çal›fl›n›z.

1. Tablo: Prizmalar›n Özellikleri

Köfle Say›s›

Yüz Say›s›

Ayr›t Say›s›

PrizmaÖzellikleri

8

6

12

Küp

8

6

12

Kare Prizma

8

6

12

DikdörtgenlerPrizmas›

6

5

9

ÜçgenPrizma

Bir marketin raflar›nda yer alan ürün ambalajlar›n› inceleyi-niz. Bunlar›n hangi geometrik cisimlere benzedi¤ini belirleyiniz.En çok hangi prizma ile karfl›laflt›n›z? Bu prizman›n daha çoktercih edilmesinin sebebi ne olabilir?

Görev

Etkinlik

Çevremizdeki Prizma ModelleriAraç ve Gereç: 2 de¤iflik prizma fleklinde kutu, noktal› k⤛t• Kutular› birleflim yerlerinden açal›m.• Noktal› k⤛da, kutular›n aç›n›mlar›n› çizelim.• Hangi prizmalara benzeyen kutular› açt›n›z?• Sizinle ayn› prizmay› açan fakat farkl› aç›n›m bulan

arkadafl›n›z var m›?• Küp için kaç de¤iflik aç›n›m yapabilirsiniz? Noktal› k⤛da

çizmeye çal›fl›n›z.

Yüz

Köfle

Ayr›t

Küpün Yüzleri

• Çizimlerinizi çevresinden kesip katlayarak küp oluflturmaya çal›fl›n›z.

142

Piramitler hakk›nda neler biliyorsunuz? M›s›r

piramitleri ile ilgili izledi¤iniz film ya da okudu¤unuz

kitap var m›? Bildiklerinizi arkadafllar›n›zla paylafl›n›z.

EtkinlikPiramit Yapal›mAraç ve Gereç: havuç, turp ya da oyun hamuru, meyve b›ça¤›• Havuç, turp ya da oyun hamuru kullanarak piramit yapal›m.• Oluflturdu¤unuz piramidin kaç yüzü vard›r? Yüzlerinin flekli nas›ld›r?• Ö¤rendi¤iniz prizmalardan piramidin fark› nedir?

100

Piramitlerin tabanlar› çokgensel bölge,

yan yüzleri üçgensel bölgedir. Yan yüzlerin

tümünün kesiflti¤i nokta tepe noktas› olarak

adland›r›l›r.

Tepe Noktas›

Afla¤›daki resimleri inceleyiniz. Piramide benzeyen neler görüyorsunuz? Siz de

de¤iflik örnekler bulmaya çal›fl›n›z.

Görev

M›s›r piramitleri hakk›nda bilgi toplay›n›z.

Piramit

143

Boyut

Etkinlik

Nesnelerin BoyutuAraç ve Gereç: tel, ip, k⤛t, masa örtüsü, perde, kutu, dolap, prizma modelleri• S›n›fa getirilen nesneleri inceleyip farkl› ve benzer yönlerini dikkate alarak üç

gruba ay›ral›m.• Gruplamay› hangi özelliklere göre yapt›¤›m›z› aç›klayal›m.• Tel ve k⤛d›, k⤛t ve kutuyu, ip ve prizma modellerini karfl›laflt›ral›m. Karfl›laflt›rma

sonuçlar›m›z› aç›klayal›m.

ÖrneklerGeometri konusu ile ilgili ö¤rendiklerimizi boyutlar›na göre s›n›fland›ral›m:1 boyutlular: Do¤rular, ›fl›nlar, aç›lar, do¤ru parçalar›, çokgenler, kenarlar, priz-

malar›n ayr›tlar›, çemberler bir boyutlu nesnelerdir. Uzunluk, boy, en, yükseklik,derinlik vb. büyüklüklerden sadece birine sahiptir.

2 boyutlular: Düzlemler, düzlemsel flekiller, yüzeyler, geometrik cisimlerin yüzleri,çokgensel bölgeler, daire iki boyutludur. Uzunluk ve en, boy ve en, en ve yükseklik,derinlik vb. büyüklüklerden yaln›z ikisine sahiptir.

Al›flt›rmalar

1. Küp ve aç›n›m›n›n boyutlar› aras›ndaki fark›

aç›klay›n›z.

2. 1, 2 ve 3 boyutlu nesnelere ikifler örnek veriniz.

3 boyutlular: Prizmalar, silindirler, koniler, pira-

mitler, küreler üç boyutludur. “Uzunluk, en, yüksek-

lik”, “en, boy, kal›nl›k” gibi büyüklüklerden üçüne

sahiptirler.

‹p, gölge oyunundaki Hacivat ve

Karagöz’ün görüntüsü ve kitaplarla

ilgili foto¤raflar› inceleyiniz. Arala-

r›ndaki farkl›l›klar hakk›nda tart›fl›n›z.

144

Düzlemler

Etkinlik

Paralel ve Kesiflen DüzlemlerAraç ve Gereç: ilaç kutusu (dikdörtgenler prizmas› fleklinde bir kutu), renkli ka-

lemler

• Kutunun yüzlerini renkli kalemimizle numaralan-d›ral›m.

• Prizma fleklindeki kutunun hangi yüzleri birbirineparaleldir?

• Kutunun hangi yüzleri kesiflmektedir?

Foto¤raflarda-

ki merdiven basa-

maklar›n›n birbir-

lerine göre durum-

lar› nas›ld›r? Tart›fl›-

n›z.

Yandaki çocuk odas›nda neler görüyor-

sunuz? Odada bulunan tüm nesneler için

oda bir uzayd›r. Apartman, ev için; sokak,

apartman için birer uzayd›r.

S›n›f›n›z, okulunuz ve yerleflim

yerinizden siz de buna benzer de-

¤iflik örnekler vermeye çal›fl›n›z.

Uzay

104

Kesiflen DüzlemlerParalel Düzlemler

M

N

ED

c.

145

Al›flt›rmalar

1. Yandaki flekil kapat›larak küp elde edildi¤inde hangi renklerlegösterilen yüzler birbirine paralel olur?

2. Her karesel bölgenin en az bir kenar› baflka bir karesel bölgeile ortak olacak flekilde, alt› karesel bölgeyi kaç de¤iflik flekilde düzen-leyebilirsiniz?

5. Afla¤›daki aç›n›mlardan hangileri kapan›nca prizma olmaz? Bu aç›n›mlar›noktal› k⤛da çizip kesiniz. Deneyerek prizma aç›n›m› olup olmad›klar›n› kontrolediniz.

4. Yandaki aç›n›m,

seçeneklerdeki küp-

lerden hangisine

aittir?

a. b.

a. b. c. ç.

e.d. f.

Not: Döndürüldü¤ünde, elde etti¤iniz flekillerden birisininayn›s› olan flekiller farkl› say›lmaz. Afla¤›daki k›rm›z› renkli 2 flekilde birbirinin ayn›s›d›r.

Oluflturdu¤unuz flekillerin kaç tanesi katlan›nca küp oluflur?3. Afla¤›daki aç›n›mlar› noktal› ka¤›da çiziniz. Kesip küp hâline getirmeye çal›fl›n›z.

Hangileri küpün bir aç›n›m›d›r? Farkl› küp aç›n›mlar› bulmaya çal›fl›n›z.

Örnek

146

Ürünler, fabrikalardan al›flverifl merkezlerine tafl›n›rken genellikle karton kutularayerlefltirilir. Kutular›n flekilleri, ürünlerin büyüklüklerine göre de¤iflen boyutlardakiprizmalard›r. Sizce nakliye ifllerinde prizma flekillerinde kutular›n tercih edilme sebebine olabilir?

Etkinlik

ÖrnekOyuncak ma¤azas›n›n bir raf› foto¤rafta

görülmektedir. Bu rafta kaç araba kutusu

oldu¤unu bulal›m: Kutular üst üste 6 s›rad›r, her

s›rada 7 x 7 = 49 kutu vard›r. Buna göre 6 s›rada

6 x 49 = 294 kutu vard›r. Bu raf›n hacmi 294 kutudur.

Etkinlik

Birim KüplerAraç ve Gereç: birim küpler• 3, 4, 5 ve 6 birim küp ile de¤iflik yap›lar olufltural›m.• Ayn› say›da küp ile farkl› flekiller oluflturuldu¤unda

hacimde ne gibi de¤ifliklikler olur?

Hacmi Ölçme

Kaç Tane?Araç ve Gereç: bir kutu kesme fleker

• Bir kutuda kaç fleker oldu¤unu tahmin edelim.

• Kaç fleker oldu¤unu tek tek saymadan bulmak için

bir yöntem bulal›m. Buldu¤umuz yöntemi aç›klayal›m.

147

Gemilerle yap›lan yük tafl›ma-

c›l›¤›nda ürünlerin nas›l yüklen-

di¤ini araflt›r›n›z. Bir seferde daha

fazla yük tafl›mak için neler yap›l-

d›¤›n› belirleyiniz.

Görev

Kargo flirketlerinin gönderilen paketleri neye göre

ücretlendirdiklerini araflt›r›n›z. Farkl› ücretlendirme yöntem-

lerinin nedenlerini ö¤reniniz.

Görev

Etkinlik

Hacimlerini Hesaplayal›mAraç ve Gereç: birim küpler,

izometrik k⤛t, boya kalemleri

• Yandaki yap›lar› birim

küpler ile olufltural›m.• Oluflturdu¤umuz yap›lar›n hacimlerinin kaçar birim küp

oldu¤unu bulal›m.• 6 birim küp ile 3 de¤iflik yap› olufltural›m.• Birim küpler ile oluflturdu¤umuz yap›lar›, izometrik k⤛da

çizelim.• Birim küpler ile oluflturup çizdi¤imiz cisimlerin hacimlerini

karfl›laflt›ral›m.

6 kürdan› birbirine yap›flt›rarak 4 eflkenar üçgen

elde edebilir misiniz?

Düflündürücü Sorular

148

Al›flt›rmalar

1. Afla¤›daki yap›lar›n hacimlerini birim küp cinsinden bulunuz.

3. Foto¤rafta kaç kutu ampul vard›r? Nas›l

buldu¤unuzu aç›klay›n›z.

4. Afla¤›daki yap›lar›n hacimlerini birim küp cinsinden bulunuz.

a. De¤iflik flekillerde dikdörtgenler prizmas› oluflturunuz.

b. . De¤iflik kare prizmalar oluflturunuz.

c. Küp oluflturabilir misiniz?

5. 12 birim küpün ya da kesme flekerin tamam›n› kullanarak;

2. Yandaki yap› tamamen k›rm›z›ya boyand›¤›nda,

kaç küpün 4 yüzü k›rm›z› olarak görülebilir?

a.b.

a. b. c. ç.

c. ç.

149

7. Afla¤›daki yap›lar›n hacimlerini birim küp cinsinden hesaplay›n›z. Evde küp

flekerler ile bu yap›lar› oluflturmaya çal›fl›n›z. Siz de de¤iflik yap›lar oluflturabilirsiniz.

6. Efl küpler ile oluflturulmufl afla¤›daki yap›lar› izometrik k⤛da çiziniz. Hacimlerini

hesaplay›n›z.

8. Afla¤›daki yap›, kaç birim küplük hacim kaplar?

9. Afla¤›da ayn› küpün de¤iflik durumlar› verilmifltir. Küpleri inceleyerek K, M ve

E harflerinin oldu¤u yüzlerin karfl› yüzlerinde hangi harflerin oldu¤unu bulunuz.

a. b.

a. b. c.

ç. d. e.

c. ç. d.

GEOMETR‹: BAfiLANGIÇ TAR‹FLER1. Canl› veya cans›z, tüm varl›klar “cisim” dir.

Misal: ‹nsan, hayvan, a¤aç, toprak, (su, ay), tafl,masa, s›ra, iskemle, kitap, kalem, k⤛t.

2. Cisimde üç “boyut” yahut “direget” vard›r:Uzunluk, genifllik ve yükseklik.Cisimlerde yükseklik oldu¤u gibi derinlik de vard›r.Misal: Minarede yükseklik vard›r. Kuyuda derinlik vard›r. Cisimlerde bazen geniflli¤e, kal›nl›k da derler:Duvar›n geniflli¤i dendi¤i gibi, duvar›n kal›nl›¤› da denir.

3. Bir cismin “uzay” içinde doldurdu¤u aç›kl›¤a o cismin “hacim”i denir.Misal: Bir rafta yanyana dizilmifl olan birkaç kitab›n ortas›ndan birini çekti¤imizzaman, o kitaplar aras›nda kalan aç›kl›¤a, çekti¤imiz kitab›n “hacim”i denir.

4. Üç boyutlu her uzam, bir “hacim”dir.5. ‹ki boyutlu “uzam”a, “yüzey” denir. Misal: Denizin yüzeyinde yürünmez.

6. “Çizgi”, yaln›z bir boyutlu uzamd›r.

kal›p küp fleklindeki mermeri tafl›mak için nakliyat flirketlerini araflt›rarak fiyat istemifltir.

hangi arac› tercih etmeli? Bu tafl›ma sonucunda en az ne kadarl›k bir ödemeyapmalar› gerekecektir?

Problemler

1 kal›p mermer

2. “Birim küp, 2, duvar, 30, 40,

arazi” kelimelerini ve say›lar›n›

kullanarak bir problem kurunuz.

Tarih Köflesi

150

105

1. Kavala’daki Kamar Mermercilik, Larisa’daki bayisinden siparifl alm›flt›r. 84

Bir kamyon 150 evro’ya, bir t›r ise 250 evro’ya Larisa’ya gitmektedir. (Kamyonunve t›r›n kasa hacmini flekildeki birim küplerden bulabilirsiniz.) Kamar Mermercilik

151

OrigamiKüp: Karesel bölge fleklindeki alt› tane k⤛t kullanarak küp yapacaks›n›z. Katla-

malar› yaparken hangi geometrik flekilleri kulland›¤›n›z› arkadafllar›n›zla tart›fl›n›z.

Kirigami

Daire fleklinde bir k⤛d› ikiye katlay›n›z.

Katlanm›fl k⤛d› üç defa daha merkezinden

ikiye katlay›n›z, afla¤›daki gibi kesiniz ve

aç›n›z.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

x6

10. 11.

12. 13.

Katlamalar›n›z sonunda küpü elde ettikten sonra k⤛d› aç›n›z. K⤛ttaki katizlerini kalemle çiziniz. Oluflan geometrik flekilleri ve örüntüleri aç›klay›n›z. Buldu¤unuzörüntüleri boyayabilirsiniz.

152

E¤lence Sayfas›

Örnek

Her karede sadece bir elmasolacak flekilde kareyi küçük karelerebölünüz (Kareler aras›nda bofllukolmamal›).

Oyuncular hamleleri s›rayla yaparlar. Tafllar bir kesiflme noktas›ndan bitiflikteki birkesiflme noktas›na do¤ru ilerletilir. Tafl k›rma hamleleri rakip tafl üzerinden, bitifliktekibofl haneye atlayarak yap›l›r. Oyuncular bir seferde birden çok tafl k›rabilirler.K›r›lan tafllar oyundan ç›kart›l›r. Birleflik hamlelerin yap›lmas› için ayn› turda yap›lanher hamlede bir tafl›n k›r›lmas› gerekir. Tablada tafl› kalmayan oyuncu oyunukaybeder. (Arda, I. ve Deniz, S., 2004)

Oyun: Bo¤uflan Y›lanlar

Bulmaca: Elmas Av›

K›z›lderililere özgü bu oyun iki kifliliktir.Bo¤uflan y›lanlar farkl› uzunlukta tablalarla vefarkl› say›da taflla oynanabilir. Oyundaki amaçrakibin bütün tafllar›n› k›rmakt›r. Önce resimdegörülen tablay› k⤛da ya da topra¤a çiziniz.Küçük flekildeki tablayla oynanacak bir oyuniçin her oyuncunun 8 piyonu ya da tafl›olmal›d›r.

Oyunun bafl›nda oyuncular tafllar›n›tablaya resimdeki gibi yerlefltirirler; böylecemerkezdeki kesiflme noktas› d›fl›nda tablaüzerindeki bütün noktalar doldurulmufl olur.

153

Ünite De¤erlendirmesi

1. Afla¤›daki geometrik flekillerin alanlar›n› tahmin ediniz. Cetvel yard›m›yla kenar

uzunluklar›n› ölçüp gerçek alanlar›n› bulunuz.

H

I

‹

J

D

E

F

G

A

B

C

Ç

3. Yandaki dikdörtgensel bölge efl karesel bölge-

lerden oluflmufltur. Dikdörtgensel bölgenin alan›

250 cm2 dir. Buna göre bir karesel bölgenin alan›

kaç cm2 dir? Efl karelerin bir kenar›n›n uzunlu¤u

kaç cm‘dir?

4. ‹ki nokta aras› 1 cm ise afla¤›daki renkli bölgelerin alanlar›n› hesaplay›n›z.

a. b.

ç.

c .

2. Memduh Bey evinin dikdörtgensel bölge

biçimindeki bahçesine havuz yapt›rm›flt›r. Havuz

bahçenin kenarlar›ndan onar metre içeridedir.

Havuzun d›fl›nda kalan alana çim ekildi¤ine göre

çim ekilen alan kaç m2 dir?

10 m 10 m

10 m

10 m

40 m

50 m

5. Afla¤›da 1 cm’lik noktal› k⤛da üçgensel bölgeler çizilmifltir. Her bir üçgensel

bölgenin alan›n›n kaç cm2 oldu¤unu bulunuz.

6. Afla¤›da baz› geometrik cisimlerin yüzleri verilmifltir. Farkl› renklerde verilenyüzlerin hangi geometrik cisimlere ait olduklar›n› bulunuz.

7. Afla¤›da farkl› renklerde verilen geometrik flekillerden hangisi bir prizman›nyüzleri olamaz? Nedenini aç›klay›n›z.

c. ç.

a. b.

c. ç.

a. b.

8. Afla¤›daki prizmalardan bir tanesi, yüzlerinin birbirine göre durumu aç›s›ndan

di¤erlerinden farkl›d›r. Farkl› olan prizmay› bulunuz. Neden farkl› oldu¤unu aç›klay›n›z.

a. b. c. ç.

9. Afla¤›daki yap›lar›n hacimlerini birim küp cinsinden bulunuz.

154

2. fiekil

1. fiekil

155

10. 1. flekilden 2. flekli elde etmek için kaç birim küpe ihtiyac›m›z vard›r?

11.

Yandaki yap›y› efl küplerle olufltu-

runuz. Oluflan yap›n›n hacminin kaç

birim küp oldu¤unu bulunuz.

12. Her yüzünde ayn› flekil bulunan 8 adet küp belli bir düzene

göre yerlefltirilmifltir. fiekilde görülmeyen sekizinci küp afla¤›daki

flekillerden hangisi ile oluflturulmufltur?

a. b. c. ç.

13. Yandaki flekil, farkl› büyüklükler-

deki karelere ayr›lm›flt›r. Mavi karenin

alan› 81 birim kare, pembe karenin

alan› 64 birim kare oldu¤una göre,

di¤er karelerin alanlar›n› bulunuz.

14. Filiz Han›m, bahçesindeki havuzun etraf›na ikifler

metre geniflli¤inde fayans döfletmek istiyor. Seçti¤i fayans-

lar›n 4 tanesi 1 m2 yer kaplamaktad›r. Kaç tane fayansa

ihtiyaç vard›r?

15. Afla¤›daki birim küplerle oluflturulmufl örüntünün kural›n› bularak afla¤›dakisorular› cevaplay›n›z.

a. 62. fleklin yüksekli¤i kaç küp olur?b. 121. fleklin kanatlar›n›n her biri kaç küp

uzunlu¤unda olur?c. 140. flekil kaç küpten oluflur?ç. Örüntüdeki 1. flekli izometrik k⤛da çiziniz.

10 m

8 m

Bir keresinde Arflimed gülünç bir biçimde neticelenen bir dedektiflik yapt›.

Kral Hieron (Heron) bir kuyumcuya taç yapmas› için belli miktar alt›n vermiflti. Taç

teslim edildi¤inde Hieron bu adam›n bir miktar alt›n› saklamas›ndan ve yerine

gümüfl kullanmas›ndan flüphelendi. Fakat tac›n miktar› alt›n›n miktar›na eflit

oldu¤undan flüphesini ispatlayamad›.

Her zamanki gibi yine kral, Arflimed’i yard›m›na ça¤›rd›. Birkaç gün sonra,

Arflimed hamama girdi¤inde su seviyesinin yükseldi¤ini, kendisi suya batt›¤›nda

vücudunun hafifledi¤ini fark etti. Nerede oldu¤unu unutarak hamamdan f›rlad›

ve “Eureka! Eureka!” (“Buldum! Buldum”) diye ba¤›rarak saraya kofltu.

Arflimed’in buldu¤u ve daha sonra deneysel olarak kan›tlad›¤› fley, eflit miktar-

lardaki alt›n ve gümüfl suda tart›ld›¤›nda onlar›n art›k eflit olmad›¤›yd›.

Daha büyük bir hacme sahip olan gümüfl daha çok suyun yerini

al›yordu. Böylece “sahtekâr kuyumcunun foyas›” ortaya ç›kt›!

(Stonaker, F. Benson,

1989)

Tarih Köflesi

156

112