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DEFINICIÓN: Se llama porcentaje a una clase especial de fracción de denominador constante e igual a 100. El porcentaje expresa cuántas partes con respecto a un total de 100 partes se han tomado de un todo. Simbólicamente el porcentaje se representa de la siguiente manera:

Se observa que el símbolo “%” se transforma en el denominador 100, mientras que la palabra “de” significa multiplicación.

PROPIEDADES: 1.- Si en un determinado porcentaje se cambia el orden de los números entonces el resultado no varía

a % de N = N % de a

2.- Dados varios porcentajes de un mismo número, éstos porcentajes al ser sumados dan como resultado un único porcentaje que es la suma de los porcentajes parciales aplicada al mismo número.

a % de N + b % de N + c % de N +...+ z % de N == (a+b+c+......+z) % de N

3.-Operar el llamado “porcentaje de porcentaje” es decir aplicación ininterrumpida de varios porcentajes es lo mismo que aplicar sucesivamente la definición

a % del b % del c % del....del z % de N=

=

4.- Dos descuentos sucesivos del a% y del b% equivalen a un descuento único:

Du = a% + b% - a% del b%5.- Dos aumentos sucesivos del a% y del b% equivalen a un aumento único:

Au = a% + b% +a% del b%

ACTIVIDAD NO. 1 1. Hallar el 20% de 990.

2. Hallar el 25% de 840.

3. Hallar el 60% de 1200.

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En matemáticas, el promedio es un término que define el valor característico de un conjunto de números, existen varios métodos para calcularlos como la media aritmética, media geométrica, media ponderada o la media armónica. El porcentaje es un número que corresponde proporcionalmente una parte de 100 (o una fracción de 100).

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4. Hallar el porcentaje único del 20% del 30% del 40%.

5. Hallar el porcentaje único del 50% del 30% del 10% de 700.

6. Hallar el incremento sucesivo del 10% del 20% del 30%.

7. Hallar el incremento sucesivo del 20% del 40% del 60% del 4000.

8. Hallar el descuento sucesivo del 20% del 40% del 50%.

9. Hallar el descuento sucesivo del 30% del 40% del 10% de 9000.

10. Si comprara un libro con 2 descuentos sucesivos del 20% y 10% pagaría 1440. ¿Cuánto costaba el libro?

11. Rosa pensó vender una videograbadora con dos aumentos sucesivos del 20% y 25% de tal manera que lo vendió en S/. 6000. ¿Cuál fue el precio de venta inicial?

12. Una persona tenía 2000 soles gastó el 20% y luego ganó el 30% de lo que le quedaba. ¿Cuánto tiene ahora?

Tarea de casa. No.1. En el cuaderno resuelve los siguientes ejercicios y de tu imaginación crea 2 problemas parecidos.1. Hallar el porcentaje único del 30% del 50% del

10%.A 15 B 1,5 C 1,5% D 15% E N. A.

2. Hallar el incremento sucesivo del 40% del 60% de 900.

A 1116 B 1180 C 1120 D 1123 E N. A.

3. Hallar el descuento sucesivo del 60% del 80% del 20% de 6000.

A 5030 B 5540 C 5616 D 5120 E N. A.

4. Ramón compró a 15 soles un objeto, pero para venderlo le aumenta el precio en 20% y luego cuando lo vende hace una rebaja del 10%. ¿Cuánto ganó Ramón?

A 1,4 B 1,8 C 1,2 D 1,7 E N. A.

ACTIVIDAD NO. 2 1. El incremento sucesivo del 30% del 50% del 20%

de una cantidad es 938. ¿Cuál es la cantidad?

2. Al vender un artículo se ha hecho un descuento sucesivo del 35% del 40% del 50% de precio inicial y al venderlo se recibido 78 soles. ¿Cuál era el precio original?

3. ¿A qué aumento o descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 75% y 95%, seguidos de un aumento del 80%?

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4. Rosario tenía 240 soles y perdió sucesivamente el 10%, el 20% y luego ganó sucesivamente el 50% y el 60%. ¿Con cuánto de dinero se quedo la persona?

5. María tenía cierta cantidad de dinero y gasto sucesivamente el 25% y el 40%, pero luego se encontró con su esposo el que le aumento su dinero que le quedaba en el 60% quedándose con 576 soles. ¿Cuánto tenía María al inicio?

6. Un comerciante para vender una mercancía que le costó 1600 soles, ha aumentado su precio en el 40% pero luego al realizar la venta ha hecho una rebaja del 45% sobre el nuevo precio. ¿Cuánto ganó o perdió el comerciante?

7. Al vender una bicicleta Roberto ha hecho una rebaja del 20%, pero antes el ofreció la bicicleta en un precio elevado en 25% del precio que él la compró. ¿Cuánto ganó o perdió Roberto en dicha operación?

8. María a su edad le disminuye el 30% pero se da cuenta que se ha quitado muchos años por lo que decide aumentar en 20% a su nueva edad. Teniendo ahora 21 años. ¿Cuál era su verdadera edad?

Tarea de casa. No.2. En el cuaderno resuelve los siguientes ejercicios y de tu imaginación crea 2 problemas parecidos.

1. Carlos ingresa a un casino y pierde sucesivamente el 10% y el 15% de su dinero y luego gana el 60% del dinero que le quedaba, retirándose con 612 soles. ¿Cuánto de dinero ganó Lucía?

A 100 B 112 C 115 D 110 E N. A

2. Un tren parte con cierta velocidad pero por fallas disminuye su velocidad en 20% y luego en 25%. Logrando arreglar su motor aumenta su velocidad sucesivamente en 30% y 40%. Llegando a su destino con una velocidad de 873,6 metros por hora. ¿Con que velocidad partió?

A 800 B 700 C 600 D 850 E N. A

3. Si se aumenta en 40% y se disminuye en 50% una cantidad. ¿En que porcentaje aumenta o disminuye?

A 20% B 30% C 15% D 25% E N. A

4. Se aumenta en 20% y luego se disminuye en 40% a 900. ¿Cuánto se obtiene al final?

A 710 B 612 C 648 D 925 E N. A

PROBLEMAS DE PRECIOS Los problemas de precios se aplican a compra y venta, ganancia o pérdida. Para ello se utilizan las siguientes fórmulas:

Donde PV: Precio de venta.PC: Precio de costo o de compra.PF: Precio fijado o precio de lista.

G: ganancia. P: pérdida. R: Rebaja o descuento.

ACTIVIDAD NO. 3 1. Un comerciante ha comprado un artículo por 500

soles y luego lo vende ganando el 20% del costo. ¿Cuánto ganó?

2. Daniel vende una bicicleta que le costó 300 soles con 30% de pérdida, ¿cuánto perdió?

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3. Para fijar el precio de un artículo que costó 600 soles se piensa ganar 20% del costo y luego hacer una rebaja del 25%. ¿Cuál será el precio que se fijará?

4. Al precio de un artículo se le hace un descuento del 10% y al momento de venderlo se gana el 30% del costo el cual fue S/. 180. Dar el precio fijado

5. Fernando vendió dos carros en S/. 9 100 cada uno. En el primero ganó el 30% y en el segundo perdió el 30%. ¿En este negocio ganó o perdió y cuánto?

6. ¿Cuál debe ser el precio que se debe fijar a un objeto que costó 300 soles si se quiere ganar el 40% y luego hacer una rebaja del 30%?

7. Se ha fijado el precio a una mercancía de 650 soles, si al venderlo se ha ganado 30% del costo y se ha hecho una rebaja del 20%. ¿Cuál es el costo de la mercancía?

8. Se fija el precio de un artículo en 260 soles, para ello el costo de 180 soles se aumentó en el “x%” y luego se hace una rebaja de 10%. ¿Cuál es el valor de “x”?

Tarea de casa. No. 3. En el cuaderno resuelve los siguientes ejercicios y de tu imaginación crea 2 problemas parecidos.1. Hallar el precio de costo de un artículo si se ha

vendido en 240 soles ganando el 20% del precio de costo.

A 180 B 190 C 200 D 160 E N. A

2. Al vender un artículo con pérdida se ha vendido ha 180 soles, perdiendo el 10%. ¿Cuál fue el precio de costo?

A 100 B 200 C 140 D 190 E N. A

3. ¿Cuál debe ser el precio fijado de un artículo que ha costado 360 soles ganando el 20% y haciendo una rebaja del 10%?

A 480 B 380 C 420 D 540 E N. A

4. Una mercancía de 800 soles se vende ganando el 20% del precio de venta. ¿En cuánto se vendió?A 960 B 1000 C 1024 D 1200 E N. A

PROBLEMAS DE MEZCLAS

En toda mezcla se puede hallar la concentración de una de las partes que intervienen en la mezcla.Ejemplo: Se tiene una mezcla de 40 litros de 35 de leche y 15 de agua.

ACTIVIDAD NO. 4 1. Se tiene una mezcla de 60 litros de alcohol y 20

litros de agua. Hallar el porcentaje de alcohol puro.

2. En 180 litros de una mezcla de agua con leche, el 90% es leche. ¿Cuántos litros son de agua?

3. Se tiene una mezcla de 240 litros al 30% de alcohol. ¿Qué cantidad de alcohol hay en la mezcla?

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4. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar a 100 litros de ácido sulfúrico 80% puro para obtener una solución de ácido sulfúrico al 50% de pureza?

5. Se tiene 30 litros de agua de mar que tiene 20% de sal. ¿Cuántos litros de agua se deben evaporar para que la nueva mezcla contenga 40% de sal?

6. A un recipiente de 40 litros al 40% de alcohol. ¿Cuántos litros de alcohol puro se debe agregar para obtener una mezcla al 60% de alcohol?

7. Se tienen 120 litros de una solución que contiene alcohol y agua, al 60 % de alcohol. ¿Qué cantidad de agua se debe agregar para tener una nueva solución al 20 % de alcohol?

8. Si 150 litros de una mezcla contienen 45 litros de vino. ¿Cuántos litros de vino debemos agregar a esta mezcla para tener una solución al 80 % de vino?

9. Si 20 litros de agua azucarada contienen 30% de azúcar. ¿Cuánto de agua se debe evaporar para que la nueva solución contenga 60% de azúcar?

10. En una solución de alcohol con 30% de yodo. ¿Cuántos litros de alcohol puro deben añadirse a 60 litros de esta solución para obtener una nueva solución al 10% de yodo?

11. ¿Cuántos litros de una mezcla al 90% de alcohol tendremos que añadir a 60 litros de una mezcla de 80% de alcohol para que se convierta en una mezcla al 80% de alcohol?

12. Se tienen 30 litros de una solución que contiene 12 litros de alcohol. ¿Cuántos litros de una mezcla al 50% de alcohol se deben agregar para obtener una solución al 50%?

Tarea de casa. No.4. En el cuaderno resuelve los siguientes ejercicios y de tu imaginación crea 2 problemas parecidos.

1. En una mezcla de agua con aceite, el aceite ocupa el 40 % del volumen total. Si se retira la mitad del aceite. ¿Cuál es el nuevo porcentaje del volumen del aceite respecto al volumen que queda?

A 20 % B 30 % C 22,5 % D 25 % E N. A.

2. Se tienen 40 litros de una solución que contiene alcohol y agua, al 40 % de alcohol. ¿Cuántos litros de agua se agrega para tener una nueva solución al 10 %?

A 80 B 100 C 96 D 120 E N. A.

3. Si 80 litros de una mezcla contienen 20 litros de vino. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar a esta mezcla para tener una solución al 20 % de vino?

A 30 B 20 C 25 D 24 E N. A.

4. El 10 % del agua de mar es sal. ¿Cuántos litros de agua dulce se debe añadir a 80 litros de agua de mar para que la concentración de sal sea del 4 %?

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A 80 B 90 C 70 D 98 E N. A.

PROBLEMAS VARIADOS ACTIVIDAD NO. 5

1. El lado de un cuadrado aumenta en 30%. ¿En qué porcentaje aumenta su área?

2. El lado de un cuadrado disminuye en 20%. ¿En qué porcentaje disminuye su área?

3. EL ancho de un rectángulo aumenta en 40% y el largo disminuye en 30%. ¿En qué porcentaje aumenta o disminuye el área del rectángulo?

4. El radio de un círculo disminuye en 60%, ¿en qué porcentaje disminuye el área del círculo?

5. ¿En qué porcentaje se incrementa el área de un triángulo si la base se incrementa en un 30 % y la altura se incrementa en un 50 %?

6. Un comerciante compró un artículo en 2000 soles. ¿Qué precio tiene que fijar para su venta, teniendo en cuenta que aún haciendo al una rebaja del 20%, todavía gana un 25% sobre el precio que le costó el artículo?

7. En una compañía trabajan 160 personas y el 25% son mujeres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 40% del personal sean mujeres?

8. Se vende una pelota en S/. 39, ganando un porcentaje sobre el costo igual al número de do los que costó el lapicero. Hallar el costo de la pelota.

Tarea de casa. No. 5. En el cuaderno resuelve los siguientes ejercicios y de tu imaginación crea 2 problemas parecidos.

1. Para fijar el precio de venta de un artículo se aumenta su costo en 30%, al venderlo se hizo una rebaja del 10%. Si al final se observa que se ha ganado 51 soles. ¿Cuánto costo el artículo?

A 200 B 300 C 250 D 350 E 400

2. En una compañía trabajan 160 personas y el 25% son mujeres. ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 40% del personal sean mujeres?

A 40 B 60 C 25 D 80 E N. A.

3. Se vende un lapicero en S/. 56, ganando un porcentaje sobre el costo igual al número de do los que costó el lapicero. Hallar el costo del lapicero.

A 16 B 32 C 24 D 40 E N. A.

4. Un vendedor posee 750 jarras. El 4% de estas se rompen y el 5% de las restantes las regala. ¿Cuántas jarras puede vender en el mercado?

A 720 B 675 C 684 D 300 E N. A.

ACTIVIDAD NO. 6 1. En un avión viajan 114 personas, él número de

mujeres es el 40% del número de hombres y el número de niños es el 30% del número de mujeres. ¿Cuántos niños viajan en el avión?

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2. En una reunión el 25% son hombres y el resto mujeres. Si se retiran el 40% de los hombres y el 50% de las mujeres. ¿Qué % de las mujeres que quedan son los hombres que quedan?

3. “a” es el 25% de “c” y “b” es el 40% de “c”. Qué parte de “b” es “a”.

4. Al 40% del 50% de M es el 30% N ¿Qué porcentaje de (2M + 2N) es (M + N)?

5. El 10% del 50% del precio de un artículo es 55 dólares. En consecuencia el precio del artículo es:

6. Un número es tal que su 5% es igual a la suma del 10% de 30 y el 15% de 40. Entonces el número es:

7. Si el 40% de mujeres puede elegir y el 55% de la población es femenina. ¿Qué porcentaje de la población constituye las mujeres electoras?

8. El excedente de dinero de A sobre el dinero de B equivale al 20% del dinero de C y el exceso de B sobre el de C equivale al 10% del dinero de A. Si A tiene 2000 dólares: ¿Cuántos dólares tiene B?

9. En una ciudad donde el 55% de las personas son mujeres, el 40% de las mujeres y el 60% de los hombres estudian inglés. ¿Entonces que porcentaje del total no estudian inglés?

10. Una materia calurosa iba Trazan saltando de liana en liana, cuando observa en un árbol, a una manada de monos a los cuales les arroja 60 pedradas. Si acierta 20 de los tiros. ¿Qué % de los tiros acertó y que % de los tiros que acierta no acierta?


1. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería 156 dólares. ¿Cuántos dólares tengo?

A 1500 B 2000 C 6500 D 1680 E N. A.

2. Por la compra de un radio, una persona obtuvo un descuento del 20% sobre el precio del artefacto. Si hubiera comprado en la tienda vecina, habría obtenido un descuento del 30% y habría ahorrado 10 dólares. ¿Cuál era el precio del radio?

A 200 B 300 C 400 D 50 E 100

3. Al precio de una tela se le hace un descuento el 20%, luego se le hace otro descuento del 30%, pagando por la tela 336 soles. ¿Cuál era el precio original de la tela?

A 840 B 650 C 600 D 859 E N. A.

4. En una granja el 30% de gallinas es el 20% del número de conejos. Si solo hay gallinas y conejos.

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¿Qué % del 80% del total es el número de gallinas?

A 30% B 50% C 40% D 60% E 25%AUTOEVALUACIÓN

1. Un panadero tiene 1200 panes, y se sabe que el 15% de los panes es pan de trigo. ¿Cuántos panes no son de trigo?

A 1010 B 1020 C 1230 D 825 E N. A.

2. Hallar el descuento del 10% del 20% del 30% de 2500.A 1630 B 1240 C 1650 D 1636 E N. A.

3. Hallar el incremento del 25% del 40% del 50% de 1800.

A 2925 B 1446 C 1300 D 3200 E N. A.

4. Una persona tenía 400 soles y perdió sucesivamente el 25%, el 20% pero luego ganó sucesivamente el 40% y el 25%. ¿Con cuánto de dinero se quedo la persona?

A 296 B 400 C 350 D 420 E N. A

5. EL ancho de un rectángulo aumenta en 10% y el largo disminuye en 10%. ¿En qué porcentaje aumenta o disminuye el área del rectángulo?

A aumenta 10 % B disminuye 1% C aumenta 4 % D disminuye 5 %

E No aumenta ni disminuye

6. Pedro compró un artefacto en 400 soles y luego lo vendió ganando el 20 % del costo. ¿En cuánto lo vendió dicho artefacto?

A 500 B 600 C 480 D 350 E N. A.

7. Se compró un objeto en 600 soles. ¿Qué precio se debe fijar para su venta para que haciendo una rebaja del 20% aún se gane el 20% del costo?

A 700 B 800 C 900 D 950 soles E N. A.

8. Si 80 litros de agua de mar contienen 30% de sal. ¿Cuántos litros de agua pura se deben agregar para que la nueva mezcla contenga solamente 20% de sal?

A 16 B 20 C 14 D 40 E N. A.

9. Se tiene un recipiente de 80 litros al 40% de alcohol. Se desea obtener una mezcla al 60%. ¿Cuánto de alcohol puro se debe agregar?

A 30 B 40 C 10 D 50 E N. A.

10. En una fiesta el 60% son hombres y el resto mujeres. Si se sale el 20% de los hombres, ¿Cuál es el nuevo porcentaje de las mujeres?

A 45,45% B 60% C 40% D 52% E N. A.

FECHA _____/______/ 2009

EL HOMBRE Y LA CULEBRA Caminando por un hermoso campo iba a un hombre y s encontró con una culebra. Rápidamente la metió en un saco y se dispuso a matarla. Pero a culebra comenzó a darle buenas razones para que le perdonara la vida.- ¿Qué he hecho para que me mates? - le decía – no te hice daño alguno. Solo estás imponiendo la ley de la fuerza. Ya debería ser el hombre el símbolo de la traición y no la serpiente.- Bueno – contestó el hombre – te daré una oportunidad de defenderte.Y llamó a diferentes animales a un juicio. Vino una vaca que le dio toda la razón a la culebra.- Yo también soy víctima del hombre – dijo la vaca – ledoy mi leche y mis hijos y con nosotros llena su bolsa. Y al volver al campo me encierra en un rincón sin dejarme agua, comida. Jalamos su arado y con palo nos paga. Si mi amo fuera la serpiente no sería tan ingrata como el hombre. Creo que merece que la dejes en libertad.Asombrado quedó el hombre con la respuesta de la vaca y llamó entonces al árbol a declarar.- Creo que la culebra merece la libertad – dijo el árbol – nosotros también formamos parte de la ingratitud del hombre, le damos sombra en el verano, protección con nuestras ramas cuando el temporal los azota, le damos frutos en el verano y flores para alegrarle en la primavera. ¿Y como nos paga? Haciendo leña de nosotros al fin de la vida. Viene con su hacha y nos cortan en leños para calentarse. Creo yo que la culebra merece la libertad.- Pues bastante idiota soy yo escuchando consejos – se dijo el hombre, cogió el saco dio de palos hasta matar a la serpiente.

PROBLEMAS DE EXTENSIÓN1. En una reunión se encuentran 20 hombres

adultos, 30 mujeres adultas y 75 niños. ¿Qué porcentaje de los reunidos no es niño?

A 40% B 50% C 10% D 20% E 30%

2. Hace un mes el kilo de arroz costaba S/. 5 actualmente cuesta S/. 7. En qué % ha aumentado el precio del arroz.

A 10% B 20% C 30% D 40% E 50%

3. ¿Cuántos litros de alcohol al 80% deben mezclarse a 12 litros de alcohol de 90% para obtener una solución al 82%.

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A 24 B 63 C 48 D 60 E 72

4. Dos descuentos sucesivos de 40% y 10%, equivalen a uno único de:

A 42% B 43% C 50% D 46% E 48%

5. Si el 20% de un número es el 30% de otro. ¿Qué % de la suma es la diferencia?

A 50% B 10% C 20% D 60% E N. A.

6. Si el área de un cuadrado disminuye en 36%. ¿En qué % disminuya el lado?

A 36% B 20% C 10% D 5% E 4%

7. El área de un cuadrado de 100 m2. Si el lado del cuadrado se reduce a 6m, la reducción del área ha sido de:

A 40% B 60% C 64% D 35% E 48%

8. Se vende un lapicero en 680 soles perdiendo el 15% del costo. ¿A como se debe vender para ganar el 9%?

A 927 B 782 C 872 D 724 E 836

9. A un trabajador le descontaron el 20% de su salario. ¿En qué % deben elevarle el nuevo sueldo para que vuelva a ganar como antes?A 20% B 25% C 35% D 35, 5% E N. A.

10. 2 descuentos sucesivos del 90% y del 10% equivalen a un único descuento de:

A 81% B 91% C 92% D 83% E 10%

11. 2 aumentos sucesivos del 20% y 50% equivalente a uno del:A 60% B 90% C 70% D 65, 5% E 80%

12. Si: . ¿Qué porcentaje de a es 1/5 de (a + b)?

A 45% B 40% C 35% D 36% E 50%

FECHA _____/______/ 2009

En este tema se estudian problemas del tiempo relacionados con relojes. Y se tiene cuatro tipos principales:

1. Problemas sobre campanadas . Se sabe que algunos relojes marcan las horas con campanadas. Así el sonido de cada campanada se da entre intervalos de tiempo iguales y antes de la primera campanada no hay ningún intervalo de tiempo. Entonces tenemos:

# Campanadas = # intervalos + 1 Tiempo intervalo = Tiempo total : # intervalo

2. Problemas de tiempos transcurridos y tiempos por transcurrir. Vamos a ver problemas que

involucran, el transcurrir del tiempo ya sea en un día, un mes, o un año.

Tiempo total=T.transcurrido+T.falta por transACTIVIDAD NO. 7

1. Un reloj señala la hora con igual número de campanadas, para indicar las 8 de la tarde demora 12 segundos. ¿Cuánto tiempo empleará para dar las 8 de la noche?

2. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las 10 de la mañana demora 24 segundos. ¿Cuánto tiempo demorará para indicar las 12?

3. Son más de las cuatro pero aún no son las 5 y los minutos transcurridos desde las cuatro es dos veces más que los minutos que faltan transcurrir para que sea las 5. ¿Qué hora es?

4. Lucho dice: “si son más de las 8 sin ser las 10 y hace 10 minutos, los minutos que habían transcurrido desde la 8 era igual 1/9 del tiempo que faltaría por transcurrir para las 10 dentro de 20 minutos. ¿Qué hora es?

5. En un castillo antiguo, aparece un fantasma en cuanto empieza a dar las 12 de la noche en el reloj de pared y desaparece al sonar la última campanada. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma, si el reloj tarda 10 segundos en dar las 3?

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6. A Carlos le preguntan la hora y el responde: “si quieres saber la hora, suma la mitad del tiempo transcurrido, desde el inicio del día, con los tres medios del tiempo que falta transcurrir del día”. ¿Qué hora era?

7. Un campanario toca 5 campanadas en 16 segundos. ¿Cuántas campanadas tocará en 32 segundos?

8. Una persona dice a su amigo, te espero cuando, para que sean las 5 falten tantos minutos como los que transcurrieron hace 10 minutos desde las 4?


1. Calcular el número de campanadas que da un reloj en 33 segundos, si se sabe que 6 campanadas da en 15 segundos.

A 6 B 10 C 12 D 8 E N. A.

2. ¿Cuántas campanadas da un reloj en 40 segundos, si 5 campanadas da en 20 segundos?

A 2 B 3 C 4 D 9 E N. A.

3. Después de la 8 han transcurrido tantos minutos como la mitad de minutos que faltan para que sea las 10. ¿Qué hora será?

A 8:46 B 8:40 9 2:50 D 9:10 E N. A.

4. El domingo a la hora que me encontré con Tania, faltaba por transcurrir la cuarta parte de las horas transcurridas. ¿Qué hora era?

A 9:24 B 8:12 C 6:24 D 7:12 E N. A.ACTIVIDAD NO. 8

1. Un campanario toca tres campanadas en 2s. ¿Cuánto tiempo demora en tocar 9 campanadas?

2. Si las horas transcurridas cierto día equivalen a la mitad del tiempo que faltaba por transcurrir, ¿Qué hora era ese día?

3. El tiempo que faltara para las 11 a.m. dentro de 10 minutos es excedido en 6 minutos por los 3/5 del tiempo transcurrido del día. ¿Qué hora es?

4. Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada, pero dentro 40 minutos faltarán para las 4 a.m. el mismo tiempo que transcurrió desde la 1 hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es?

5. Un alumno dice a su amiga cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por transcurrir te espero donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?

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6. Un reloj demora 12 segundos en dar 7 campanadas ¿Cuántas campanadas dará en 36 segundos?

7. Un reloj demora (m+1) segundos en tocar m2

campanadas ¿Cuántas campanadas tocará en 1 segundo?

8. El campanario de un reloj tarda 2 segundos en dar 2 campanadas ¿Cuántos segundos tardará en dar 3 campanadas?


1. Un reloj da “n” campanadas en “n” segundos ¿Cuántas campanadas dará en “5n”?

A 6 B 5 C 3 D 4 E N. A.

2. Un campanario da 8 campanadas en 56 segundos. ¿Cuántas campanadas dará en 16 segundos?

A 1 B 2 C 3 D4 E N. A.

3. Si las horas transcurridas son 5 horas menos las horas que faltan por transcurrir ¿qué hora será?

A 4:56 B 2:50 C 9:30 D 10:45 E N. A.

4. No son las 9 pero hace 5 minutos faltaba para las 9, 45 minutos. ¿Qué hora será?

A 8:30 B 8:40 C 8:10 D 8:20 E N. A.

3. Problemas sobre adelantos y atrasos. En este tipo de problema veremos aquellos relojes que por alguna falla, se adelantan o atrasan.

Si un reloj está atrasado:Hora indicada = Hora real - atraso

Si un reloj está adelantado:

Hora indicada = Hora real + adelanto

4. Problemas sobre ángulos formados por las manecillas del reloj. En este tipo de problema veremos los ángulos que forman las agujas del reloj utilizando la siguiente fórmula:

El signo “+” llevará la aguja que se encuentre delante de la otra aguja, considerando a partir de las 12.

ACTIVIDAD NO. 91. Si a las 7 de la noche un reloj empieza a

adelantarse 2 minutos cada 15 minutos. ¿Qué hora marcará este reloj cuando sea las 6 p.m. del día siguiente?

2. Siendo la 1 de la tarde del día jueves un reloj empieza a atrasarse 3 minutos cada 3 horas. ¿Qué hora marcará el reloj a las 9 de la noche el domingo?

3. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las agujas del reloj a las 8:10?

4. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 5:38?

5. Si a las 4 de la mañana un reloj empieza a adelantarse 6 minutos cada hora. ¿Qué hora será cuando marque las 7:57 p.m. del mismo día?

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6. Un reloj que está atrasado 2 minutos, empieza a adelantarse por minuto 10 segundos. ¿Cuánto tiempo pasará para que tenga un adelanto de 3 minutos respecto a la hora normal?

7. No son las 4 pero ya pasó de las 3 y las agujas del reloj forma un ángulos de 56º. ¿Qué hora es?

8. Entre la 1 y las 2 las agujas del reloj forman un ángulo recto. ¿Qué hora será?


1. ¿Qué ángulo forma las agujas de un reloj a las 3 y 40?

A 120º B 130º C 100º D 90º E N. A.

2. Entre las 6 y las 7 las agujas del reloj forman un ángulo de 125º. ¿Qué hora será?

A 6:06 B 6:08 C 6:10 D 6:50 E N. A.

3. Un reloj se adelanta 20 segundos cada hora, ¿en cuántas horas se adelantará 1 hora?

A 150 B 160 C 180 D 200 E N. A.

4. A las 11 de la mañana un reloj empieza a atrasarse 2 minutos cada hora. ¿Qué horas será cuando en ese día el reloj marqué las 7:47 de la noche?

A 7:20 B 7:28 C 7:30 D 7:40 E N. A.

ACTIVIDAD NO. 101. A partir de las 10 a.m. De hoy lunes un reloj

empieza a atrasarse por cada hora 3 minutos. ¿Qué hora estará marcando el día martes a las 6pm?

2. Un reloj se adelanta 1 minuto por hora si empieza correctamente a las 12 del mediodía del día jueves 16 de octubre. ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta?

3. Un reloj adelanta 7 minutos cada hora y otro se atrasa 13 minutos cada hora ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día ¿Después de cuánto tiempo el primero estará alejado 30 minutos respecto al otro?

4. Un reloj se atrasa 3 minutos, cada 2 horas y otro se adelanta 2 minutos cada hora, si se malograron en el mismo instante. A partir de éste ultimo momento ¿Después de cuántos días volverán a marcar simultáneamente, la hora correcta?

5. Hace ya treinta horas que un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. ¿Qué hora señalará el reloj si en realidad son las 10 horas 15 minutos?

6. Un reloj se adelanta 2 minutos cada 8 minutos. Si ahora marca las 2h 15’ y hace 3 horas que se adelanta, la hora correcta es.

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7. Hallar una hora exacta (por la mañana) en la cual las agujas del reloj forman un ángulo recto, sabiendo además que si transcurren 3 horas las agujas formarán un ángulo de 0°.

8. Un reloj se atrasa 5 minutos cada 45 minutos. Si ahora marca las 4h 10’ y hace 6 horas que se atrasa, la hora correcta es:


1. Siendo las 6:00 p.m. empieza a atrasarse a razón de 6 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará cuando sea las 6:00 a.m. del día siguiente?A 4: 48 B 4 C 3 D 2 E N. A.

2. Calcular el ángulo que forman las manecillas en un reloj a las 4:40.

A 100 B 10 C 5 D 200 E N. A.

3. ¿A qué hora, entre la 1:00 y las 2:00 las manecillas del reloj forman un ángulo de 60°?

A 1: 16 4/11 B 1: 00C 2:00D 1: 30 E N. A.

4. Un reloj se adelanta 3 1/2 minutos cada 1 1/2 hora. Al cabo de 18 horas se habrá adelantado.A 42’ B 42 1/3’ C 21 3’/4 D 42’ E N. A.

FECHA _____/______/ 2009

Son operadores que involucran a dos cantidades y que se pueden expresar por medio de una tabla de doble entrada.

1 2 31 3 4 52 4 5 63 5 6 7

Propiedades.1. Conmutativa. Si los valores que están a ambos

lados de la diagonal son simétricamente iguales.1 2 3

3 5 6 74 6 7 85 7 8 9

2. Elemento neutro (e). Se dice que (e) es el elemento neutro o elemento de identidad con respecto al operador, si cualquier operación en el operador de un número (b) con el neutro nos da el mismo número (b).

a b c d

abcD

bcda

cdab

dabc

abcd

Ejemplo; en la tabla anterior para hallar el elemento neutro se busca una fila igual y una columna igual a las de entrada (¨a;b;c;d) y en la intersección será el elemento neutro, en este caso es d.

3. Elemento inverso (i). Se dice que (i) es el elemento inverso con respecto a un operador, cuando cualquier número con su (I) nos da el elemento neutro.

Ejemplo: en la tabla anterior el elemento b-1 será b. El de c-1 será a. El de a-1 será c.

ACTIVIDAD NO. 111. Se define en R la operación () :

m n = m + n + mn

I. La operación es cerrada II. La operación tiene elemento neutro (e=0) III. Es falso que la operación no sea conmutativa.

¿Cuántas proposiciones son falsas?

2. ea la operación Δ definida en el conjunto: A = {a; b; c}, mediante la tabla adjunta

Son correctas :

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I. La operación Δ es conmutativa II. La operación Δ es asociativa III. La operación Δ definida tiene elemento

neutro.

3. En la tabla, hallar P= (2-1%3-1) % 1 2 31 1 2 32 2 3 13 3 1 2

4. Según la tabla, hallar: Q=(2-1&3-1)& (1-1&4-1) & 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1

5. Según la tabla hallar: R=[(2-1$5-1)$(4-1$3-1)]-1 $ 2 3 4 52 2 3 4 53 3 2 5 64 4 5 2 75 5 6 7 2

6. Hallar E=(1-12-1)(3-14-1) :

7. Sabiendo que: Calcular:

8. Se define la operación: El inverso de 2 para dicha operación es de la forma a/b. Entonces hallar a.b:


1. Se tiene la operación: a%b=a+b+ab. Si 2%x=5. Hallar x%x.

A 2 B 3 C 9 D 5 E 0

2. En la operación anterior hallar el inverso de 3.A -5/6 B -3/4 C -5/4 D -1/5 E N. A.

3. Se tiene la operación a&b=a+b+2. Hallar el elemento neutro.A 6 B 2 C -2 D -4 E N. A.

4. En la operación m$n=m+n. Hallar el inverso de 5.A -3 B -4 C -5 D -2 E N. A.

ACTIVIDAD NO. 121. Si : m $ n = m + n - 2. Hallar 2-1+3-1.

2. Si a & b=(a+b)1/2 Hallar x, si:(2 & x) & (10 &15) = 9

3. Según la tabla, hallar

% 1 2 3 41 4 6 8 102 6 8 10 123 8 10 12 144 10 12 14 16

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4. De acuerdo a la tabla, hallar:

5. Dada la tabla, hallar (2# 7)#(3# 5):

6. Una operación está definida mediante la tabla adjunta. ¿Cuál es el resultado de efectuar (A θ B) θ C

7. Según la tabla, hallar x: (2?x)?(3?1)=(4?4)

8. En la tabla hallar x: (0-1#3)#(3-1#x)=(1#0)


1. Definimos:

Calcular:

A 4 B 8 C 16 D 32 E N. A

2. Si: Calcular:

A 10 B 9 C 12 D16 E N. A

3. Si: Hallar: A 10 B 9 C 8 D 12 E N. A

4. Se define la operación: El inverso de 2 para dicha operación es de la forma a/b. Entonces hallar a.b:

A 18 B 42 C 15 D 24 E N. A

AUTOEVALUACIÓN1. Un campanario toca 3 campanadas en 2 s.

¿Cuánto tiempo demora en tocar 9 campanadas?

A 8 B 9 C 10 D 12 E N. A

2. Un campanario toca tantas campanadas como horas indica. ¿Cuántas campanadas tocará durante un cuarto del día de hoy?

A 18 B 42 C 15 D 21 E N. A

3. Si el doble de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruplo de las que faltan para terminar el día. ¿Qué hora será dentro de 4 horas?

A 8 B 4 C 5 D 6 E N. A

4. Son más de las 6 sin ser las siete y hace 10 minutos, los minutos que habían transcurrido

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desde las 6 eran iguales a 1/9 del tiempo que faltaban transcurrir hasta las ocho dentro de 10 minutos. ¿Qué hora es?A 6.18 B 6:14 C 6:15 D 6:21 E N. A

5. Se le pregunto la hora a un profesor y el responde: Queda del día en horas, el doble de la suma de las dos cifras que forman el número de las horas transcurridas. ¿Qué hora es?

A 8 B 4 C 5 D 6 E N. A

6. ¿Qué hora será entre las 7 y las 8 cuándo el ángulo formado por las agujas del reloj es de 34º?A 7:28 B 7:42 C 7:32 D 7:46 E N. A

7. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 11 y 42?

A 64º B 56º C 128º D 99º E N. A.

8. Hallar el valor de : Si: A 10 B 20 C 25 D 26 E 27

9. Si se sabe que: Hallar el valor neutro.

A 7 B 9 C 10 D -4 E N. A.

10. Del ejercicio anterior hallar el inverso de 3.A 4 B -6 C -11 D -9 E N. A.

FECHA _____/______/ 2009

EL MERCADER, EL GENTIL HOMBRE, EL HIJO DEL REY Y EL PASTOR

Naufragaron cierta vez en la playa desierta un gentil hombre, un mercader, un pastor y el hijo de un rey.No se sabe como fueron a dar los cuatro ahí ni la historia lo dice. Pero el caso es que cuando se dieron cuenta del lugar en que estaban hicieron un cónclave para decidir el futuro del grupo.Pues trabajemos para ganar algo que comer – propuso el pastor.- Yo – dijo dignamente el gentil hombre – conozco de blasones y pondré una escuela para enseñar a los jóvenes a ser nobles.- Y yo – dijo prestamente el mercader – sé mucho de matemáticas y haré clases a tanto por mes y ganaré dinero para vivir.- Y yo enseñaré la política que es el arte de gobernar – concluyó el hijo del rey.- Pues resulta que el mes tiene treinta días – dijo el pastor con muy buen criterio - ¿piensan ayunar hasta esa fecha que cobren su primer pago?.

Y sin más se metió al bosque y recogió leña, luego la fue a vender y con eso compró comida para todos.

FECHA _____/______/ 2009

1. Hallar una hora exacta (por la mañana) en la cual las agujas del reloj forman un ángulo recto, sabiendo además que si transcurren 3 horas las agujas formarán un ángulo de 0°.

A 1: 00 B 2:00 C 4:00 D 9:00 E N. A.

2. ¿Qué hora es, si dentro de 35 minutos faltarán para las 8 horas, 5 minutos más que los minutos transcurridos desde las 16 horas?

A 16:40 B 16 C 15 D 14 E N. A.

3. Siendo las 17:20 horas un reloj marca 17:28. Si dicho reloj se adelanta a razón de 30s cada hora. ¿A qué hora empezó a adelantarse?

A 1:20 B 1 C 2 D 3 E N. A.

4. ¿Qué hora marcara un reloj si entre las 4 y las 5 las agujas forman un ángulo de 100º?

A 4:20 B 4:40 C 4:25 D 4:15 E N. A.

5. Un reloj se adelanta 3 1/2 minutos cada 1 1/2 hora. Al cabo de 18 horas se habrá adelantado.

A 42’ B 42 1/3 ‘ C 21 3/4 ‘ D 42 hrs, E N. A.

6. Un reloj se atrasa 5 minutos cada hora, si se sincroniza exactamente a las 00 horas ¿Qué hora marcará, cuando realmente sean 2 y 20 p.m.?.

A 1:10 p.m. B 1:8:20 p.m. C 1 D 2 E N. A.

7. Entre las 8 y las 9. ¿a qué hora están superpuestas las agujas de un reloj?.

A 8:43 7/11 B 8:31 7/11 C 8:51D 8:32 E 8:37 4/11

8. Pasan de las 3 sin ser las 4 de esta oscura noche. Si hubieran pasado 25 minutos más, faltarían para las 5 horas los mismo minutos que pasaron desde las 3 horas hace 15 minutos ¿Qué hora es?

A 3:45 p.m. B 4:20 a.m. C 3:55 a.m.D 3:55 p.m. E N. A.

9. Juan parte de su casa cuando el minutero está entre las 11 y 12, y el horario entre las 12 y la 1 y llega ala casa de su abuelita en el momento en que ambas agujas han intercambiado posiciones. ¿A qué hora partió?

A 12:23:55 B 12:13:42 7/11 C 12:55:23, 07 D 12:52:25 2/11 E N. A.

10. Armando va al cine y sale de su casa cuando entre las 6 y las 7 de la noche se superponen las agujas del reloj y regresa cuando entre las 10 y las

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11 de esa noche las agujas forman un ángulo recto. ¿Qué tiempo anduvo fuera?

A 3:21:25 B 4:32:35 7/11 C 4:32 D 4:35:32 7/11 E 4:5:27 3/11

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4 - Raz Matematico 2do___IIB