RazonamientoMatemtico1Laasignaturaderazonamientomatemticoesdenaturalezaterico-prcticoelcualpretendedesarrollarenelalumnolascapacidadesdeanlisis,interpretacindedatos,habilidadesoperativas,comprensindelainformacin;entreotras,delosdiversosfenmenosconcretosyabstractosenelprocesodepreparacinparaelingresoalasuniversidades.Debidoaelloenelreadematemtica,lascapacidadesquesebuscadesarrollaryporlotantoevaluarson:ElRazonamientoyDemostracin:Implicadesarrollarideas,explorarfenmenos,justificarresultados,expresarconclusioneseinterrelacionesentrevariables. El razonamiento y la demostracin proporcionan formas de argumentacinbasados en la lgica. Razonar y pensar analticamente, implica identificar patrones,estructurasoregularidades,tantoensituacionesdelmundorealcomoensituacionesabstractas.LaComunicacinMatemtica:Elmundoactualdondelainformacinfluye y avanza rpidamente, losestudiantes deben comprender dicha informacinprovenientedediferentesfuentes:textos,mapas,grficos,etc.Estvinculadoconlacomunicacinmatemtica,tantocuandoseexpresacomocuandoselee.Elloesposiblecuandodiscriminagrficosyexpresionessimblicas,infierelasrepresentacionesgrficas,evalalasrepresentacionesgrficasysimblicas,representalosresultados.LaResolucindeProblemas:Debeapreciarsecomolarazndeserdelamatemticapueslosestudiantessiempreseencuentranconsituacionesquerequiernsolucinymuchasvecesnoseobservaunarutaparaencontrarrespuestas.Estareabuscaf ortalecerestacapacidadparalocualesindispensableconsiderarlaimportanciadeaprenderavalorarelprocesoderesolucindeproblemasenlamismamedidaenquevaloranlosresultados;asaprendern en la prctica, a formular problemas a partir del mundo real, organizardatos y elaborar estrategias variadas para resolver problemas. Identifica, formula,algoritmizayresuelve.RAZONAMIENTOMATEMTICORazonamientoMatemtico2CAPACIDADES DEREAMATRIZ DE CAPACIDADES DE REA Y ESPECFICAS DE LAASIGNATURA DE RAZONAMIENTO MATEMTICO Y SUS ENLACES PENSAMIENTO CREATIVO PENSAMIENTO CRTICO SOLUCIN DE PROBLEMAS TOMA DE DECISIONES Identifica -Datos, conceptos -Conjeturas -Proposiciones -Resultados Anticipa -Argumentos -Resultados Reflexiona -Sus ideas sobre conceptos y relaciones Interpreta -Postulados matemticos -Teoremas, problemas propuestos Formula -Ejemplos -Contraejemplos -Conjeturas Representa -Resultados -Conclusiones lgicas Imagina/Elabora -Conjeturas -Argumentos sencillos y vlidos -Demostraciones para enunciados matemticos Utiliza -Razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas Discrimina -Ideas principales, secundarias y complementarias -Datos, hechos, opiniones Clasifica -Objetos matemticos de acuerdo a diferentes criterios Analiza -Situaciones para hallar propiedades y estructuras comunes, as como singulares y particulares Establece-Relaciones entre conceptos Evala -Conjeturas usando contraejemplos y cadenas deductivas Traduce -Situaciones presentadas en forma verbal al lenguaje matemtico Observa/Identifica -Informacin estadstica -Notaciones simblicas Compara -Grficos -Conclusiones -Datos Analiza/Interpreta -Grficos -Expresiones simblicas Organiza -Datos relevantes -Informacin complementaria Infiere -Conclusiones -Informacin relevante Utiliza-Grficos para representar situaciones matematizables y conceptos -Smbolos matemticos para representar conceptos y relaciones -Notaciones y objetos matemticos para modelar situaciones Comunica -Conceptos, juicios y razonamientos matemticos Formula-Ejemplos de un contenido conceptual Resuelve -Situaciones problemticas Analiza -Datos disponibles -Condiciones dadas -Posibles soluciones Elabora/Aplica -Estrategias -Algoritmos Formula/Plantea -Observaciones y crticas -Alternativas de solucin -Opinin a favor y en contra Comprueba/Interpreta -Resultados Generaliza/Elabora -Generaliza patrones y elabora conjeturas Busca/Reconoce/Usa -Patrones Juzga -La validez de un argumento y construye argumentos vlidos Halla/Calcula -Estrategias para la solucin de problemas. -Mtodos prcticos para el calculo de incgnitas. -Problemas relacionados a la vida cotidiana. RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIN COMUNICACINMATEMTICA RESOLUCIN DEPROBLEMAS CAPACIDADES FUNDAMENTALES LOGROS DE APRENDIZAJE (CAPACIDADES) - MATEMTICA RazonamientoMatemtico31.1. TEORA DE NUMERACINNumeracinPartedelaaritmticaqueestudialacorrectaformacin,representacin,lecturayescriturade los nmeros, as tambin como las diversaspropiedadesquederivandeellos.NmeroEsunaideaoabstraccindeunacantidadobservadaenlarealidadconcreta.NumeralEslarepresentacinsimblicaofigurativadeunnmeromediantedeterminadossmbolosconvencionales.Cifra(Digito)Smboloempleadopararepresentaralosnumerales.SistemaPosicionaldeNumeracinEsunconj untodeprincipi os,normas,convenios y leyes que nos permiten la correctaformacin,lecturayescrituradelosnmeros.PrincipiosFundamentalesDelordenTodacifraqueformapartedeunnumeral,ocupaunordendeterminadoelcualseconsidera de derecha a izquierda. El lugar queocupaunacif raseindicadeizquierdaaderecha.1 2 3 45LugarNumeral: 2 0 1 0 3 54 3 21OrdenDelabaseTodosistemadenumeracintieneunabase,queesunnmeroenteroymayorquelaunidad,elcualnosindicalacantidaddeunidadesnecesariasysuficientesdeunordencualquieraparaformarunaunidaddelordeninmediatosuperior.PrincipalesSistemasdeNumeracinObservaciones: Enbasense puedenutilizarncifrasdiferentes,lascualesson:0; 1; 2; 3; 4; 5; . . . ; (n 1)Porconvencin,cuandolacifraesmayorque9seutiliza una letra para su representacin.(10) < > o < > A(11) < > | < > B(12) < > < > C(13) < > o < > D .

. . Si: ) x (cepreval ;donde: x e Z+ ; x > 2entonces:x = {2;3; 4; 5; . } Cifras Significativas Cifra noSignificativa CIFRA MXIMA BASENOMBRE DEL SISTEMA 2 Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 .CIFRAS QUE SE EMPLEAN 0; 1 0; 1; 2 0; 1; 2; 3 0; 1; 2; 3; 4 0; 1; 2; 3; 4; 5 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 0; 1; 2; 3; . . . ; 6; 7 0; 1; 2; 3; . . . ; 7; 8 0; 1; 2; 3; . . . ; 8; 9 0; 1; 2; 3; . . . ; 9; 10 0; 1; 2; 3; . . . ;10;11 ..CAPTULO ITEORA DE NUMERACINRazonamientoMatemtico4Toda cifraqueconforma unnumeralesmenor que la base;adems el nmero decifrasposiblesautilizarenciertabaseesigual ala base.) 3 (c b a) 5 (c b a 1 0 01 0 0 2 1 12 1 12 23 2 2 4 3 34 4ValordelascifrasToda cifra que forma parte de un numeral tiene2valores.Valor Absoluto (V.A.). Es el valor que tiene unacifraporsuaparienciaofigura.Valor Relativo(V.R.). Es el valor quetiene unacifra de acuerdo al ordenque ocupa dentrodeunnumeral.VA(3)=3VA(1)=1VA(6)=6

) 8 (6 1 3VR(6) = 08 6VR(1) = 18 1VR(3) = 28 3RepresentacinliteraldeunnumeralCuando no se conocen las cifras de un numeral,stasserepresentanmedianteletrasteniendoencuentaque: Todaexpresinentreparntesisrepresentaunacifra. Laprimeracifradeunnumeraldebeserdiferentedecero. Letrasdif erentesnonecesariamenteindicancif rasdiferentes,salvoquelosealen. Paradiferenciardeserunamultiplicacinde factores, se colocaunaraya horizontalarribadelasletras. cepreval cepreval =EjemplosabNumeralde2cifrasdiferentesabcNumeralde3cifrasdiferentesaaaaNumeralde4cifrasigualesNumeralCapicaSonaquel losnumeral escuyascif rasequidistantessoniguales,esdecirtienenrepresentacinsimtrica.*aaNumeral capica de 2 cifras*abaNumeral capica de 3 cifras*abbaNumeral capica de 4 cifras*abcdcbaNumeral capica de 7 cifrasPalabraspolndromasquerepresentanunnumeralcapica.*OSO*ANA*SALAS*SOMOSDESCOMPOSICINPOLINMICADescomposicinSimpleEn Base k (k =10)kmydoom =m ok ok dk yk mk2 3 4 5+ + + + +En Base 10ab= 10a + babc= 100a + 10b + cabcd= 1000a + 100b + 10c + dDescomposicinPorBloquesEn Base k (k = 10)kmydoom =k2k4kom k do k my + + Numeralde 8 cifras Multiplicacin de 8 factores RazonamientoMatemtico5CAMBIOS DE BASE1er CASO: De base diferente de diez a basediezEjemploN01*Expresa (5)1 22 3 1 enbase 10.Pordescomposicinpolinmica:(5)1 22 3 1=1 ) 5 ( 2 ) 5 ( 2 ) 5 ( 3 ) 5 ( 12 3 4+ + + += 625 + 375 + 50 + 10 + 1 = 1 061PorMtododeRuffini: 13 2 2 1 554021010601 842212 1061 (5)3221 1= 1 0612doCASO:DebasediezabasediferentedediezEjemploN02*Expresa 1061enbase7.PordivisionessucesivasParasudesarrolloserealizandivisionessucesivashastaqueelcocienteseamenorqueeldivisor. 1 061 74151 7 4 21 7 031 061 =(7)3044Propiedades1. Si:) n ( ) m (UNHEVAL CEPREVAL = entonces: n > m2. Si: nabcdentonces:{a, b,c, d, n} e+Z; a=0; n>1Adems: a, b, c, d < n3. Numeral de Cifras Mximas1 n ) 1 n )...( 1 n )( 1 n (k) n (cifras k = _ 4.BasesSucesivas a n a 1) n (+ =a b n a 1) n ( b 1+ + =a b c n a 1) n ( c 1b 1+ + + =Por lo tanto:

a b c ... x n a 1) n (x 1c 1b 1+ + + + + =

EjemploN03Silasiguienteoperacin:44p 33m 33n 136(n) (p) (m)= + +est correctamenteescrito, hallam+ n+pA)20 B) 21 C) 22D) 23 E) 24ResolucinDe cada numeral44p 33m 33n 136(n) (p)(m)= + + 6 < mn < p m < n p < 10entonces:6 < m < n < p < 10 m + n + p = 7 + 8 + 9 = 24 Descomposicin polinmicaoMtodo de RUFFINI DeBase (n) aBase (10) x DeBase (10) aBase (m) Divisiones sucesivas RazonamientoMatemtico6PRCTICA N01Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1.Det erminaelvalordeverdaddelossiguientesenunciados.I.NmeronosproporcionalaideadecantidadII. La cifra esdiferenteal digitoIII. El numeral es la representacin simblicadenmerosIV.ElnumeronospermitecualificarlosnmerosA) VVVVB) VFVF C) FVFVD) FFFF E) FFVV2.Identif icacualdel osenunciadosesincorrecto.A)Sisucifradeorden4coincideconsucifra de tercer lugar, el numeral tiene 7 cifras.B)AmenorbasemayorrepresentacinaparenteC)AmayorbasemenorrepresentacinaparenteD)LabaseesunnmeroenteropositivomayoraceroE)Labaseesunnmeronaturalmayoroigual ados.3. Analiza cualdelas siguientesproposicionesesverdadera.A)Decualquiernumerallaprimeracifrapuedeserigualacero.B)Lamayorcifraquesepuedeutilizarenciertosistemadenumeracinesigualalabase.C)Lacantidaddecifrasdeunnmerodependedelabase.D)Labaseesconsecutivoalmayordigitoqueperteneceadichabase.E)Paraleerunnmeroencualquierbasesenombracifraporcifradederechaaizquierda.4.Analizalaverdadof al sedadsegncorresponda.I. Existen 8 nmeros de 3 cifras impares enbase5.II.Enbase10existen100nmerosde2cifras.III.Todaexpresinentreparntesisdeunnumeralrepresentaunacifra.A)VFVB) VFF C) VVVD)FFV E) FVV5.Interpreta cual delas siguientes afirmacionesesincorrecta.I. Capicade una cifraes :1;2;3;;9II. Capica de dos cifrasson : 11;22;33;;99III. Capicadecuatroci f rasson:1001;1111;1221;;9999A) FFVB) FVF C) FVVD) FFF E) VVV6. Analizaculdelassiguientesproposicionesesverdadera.A)Si ) x (4 abc N= ,entonces lasolucindela ecuacin 2x + 2 = 10, puede ser base delnmerodado.B)Porconvencinseconsideraalcerocomocifrapar.C) El numeral ) 12 (2009 unheval , representaun nmeropar.D)Enelsi guient enumeral) a 5 )( a 4 )( a 3 )( a 2 ( a,elvalordeapuedeser2.E)Elnumeral ) x (abc ) abc ( abc ,posee9cifras.RazonamientoMatemtico7Capacidad02:ComunicacinMatemtica8. El numeral: ( ) ( ) ( )( ) 8 245 |.|

\|+ + |.|

\| aac b aaa bb b,escapica,Interpretacualdelassiguientesproposicionesesverdadera.I. a + b + c = 16II. c = 4III. Si: b = 8 entonces a = 5A) I, IIB) II, IIIC) I, IIID)IIE) III9.Un nmero en base 5 identifica la proposicinfalsa.I. 5 unidades del orden cero conforman unaunidaddelordenunoII.5 unidadesdel ordenuno conforman unaunidaddeordendos.III.5 unidadesdel ordendosconforman unaunidaddelorden5yassucesivamente.A)IB) IIC) IIID)II, IIIE) I, III10.Sielnumeral) (231xa esimpar,entoncesanalizalasumadelosposiblesvaloresdeaes:A)16B) 25 C) 23D) 18 E) 1911.Si:) 7 () 5 () 4 ( 460 + = e abcde y a.b + c.d+ e = 12Identif ica,cualdelassiguientesproposicionesesfalsa:I.) ( ) 5 (23140 xabcde = .II.1570 4604) 7 (= .III. a = 2; b = 3; c = 1; d = 4; e = 2IV. a + b + c + d + e = 12A) I B) II C) IIID) IV E)I y II12.TraduceeleununciadSisedescomponepoli nmicamenteelnumeral) () 1 ).....( 1 )( 1 )( 1 (nn n n n queposeekcifrasseobtiene:A) nn - 1B)nk - 1 C)kn - 1D)nn + 1 E) kk - 113.Det erminaelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:I) Desde el ) 5 ( 344 al ) 13 (10 , hay 82 nmerosnaturales.()II)Si ( ) n m1420 281) (= yademsm+n=14;entonces m.n = 45.()III)Si ( ) 6 ) (214 10001 =n;entonces elvalorden es 3. ()IV)Labasedelsistemaenelcualestalasucesin es heptal23; 27; 32; ... ()A)VVVFB) VVFFC) VVFVD)FFVVE) VFFFCapacidad03:ResolucindeProblemas15. Silossigui entesnmerales) ( ) ( ) (2 , ,a c ac bb aestbienrepresentados.Calcula a+b+c.A)5 B)4 C)6D)7 E)816.Si. 1 1 1 ) 1 ( 1) 4 (a a a = +.Halla a2.A)9 B)4 C)8D)16 E)117.Halla: (a + b)si se cumple:( )naba 1106 8 =A)5 B)6 C)4D) 7 E)8RazonamientoMatemtico818.Si los nmeros :7 5 34a; a b 211 y b cc2estncorrectamenteescri tos.BuscacuntosvalorespuedetomaraA)2 B) 3 C) 4D) 5 E) 619.Siaunnmerodetrescifrasqueempiezapor9selesuprimeestacif ra,elnmeroresultantees1/21delnmerooriginal.Hallasumadelastrescifrasdedichonmero.A)12 B) 18 C) 15D) 24 E) 2120.Determinaculeslabasedelsistemadenumeracin usado para escribir el nmero 3157,si su equivalente en el sistema decimal es 6832.A)11 B) 12 C) 13D) 14 E) 1521.Calcula: 55 6120240 . 122yexpresarlocomounnmeroenbase3.A)12002(3)B) 21002(3)C) 10201(3)D) 10210(3)E) 20012(3)22.Hall a(a+b+c)sil osnumeralesestncorrectamenteescritos: ) (256 a; ) (4 2ba ; ) (43cb ;c 75.A)24 B) 22 C) 32D) 20 E) 3623.Efectua la suma de m y n ) ( ) () ( ) (288 460284 458n mn m==A)26 B) 27 C) 28D) 29 E) 3024.Reconozca el valorde N ) ( ) 2 ( 322 134 N N = +A)4 B) 5 C) 6D) 7 E) 125.Dado el nmero: ) 2 (2) 1 ( ) 1 ( ) 1 (++ + + =aa a a a a NCalculaP (a); si P (x) = x2 + x + 2A)1 B) 2 C) 3D) 5 E) 726.Sielnmero12100102010211(n)seleconvierteabasen2lasumadesuscifrasaumentaen15.Determinaculeselvalorden.A)4 B) 5 C) 6D) 3 E) 727. Si:6560 2 ...... 222) 3 (= n cifrasHall elasumadecif rasde) () 2 )( 1 (nn n escritoenelsistemasenario.A)5 B) 6 C) 7D) 8 E) 928.Sabiendoque: 4095 ...... ) 2 ( = x xxxn cifrasadems: 13 nnn P =Halla Pexpresado enbase 10.A)2193 B) 2 196 C) 2 396D) 2 186 E) 2 17629. Calcula el minimo valor de M, si:M = a+b+c+k.Ademskabc es la suma decifrasdeFrepresentadoenelsistemaheptanariodonde60 7 15 7 35 7 52 3 5+ + = FA)5 B)6 C)7D)10 E)12RazonamientoMatemtico92.1. TEORA DE DIVISIBILIDADDivisibilidadUnnmeroenteroAesdivisibleentreotronmeroenteropositivoB,sialdividirAentreBladivisinesenterayexacta.En general:Sean AeZ; BeZ+;keZA B A es divisible entre B0k BesdivisordeAMultiplicidadUn nmero entero A esmltiplodeun nmeroentero positivo, si A es el resultado de multiplicaraBporunacantidadentera. A = kB A es mltiplo de BBesfactorde AA=B= kBA es mltiplo del mdulo BConclusiones:Todo nmero entero positivo ser mltiplo de smismo.B =B ; Be+ZElceroesmltiplodetodonmeroenteropositivo.0 =k ; ke+ZPrincipiosBsicosdeDivisibilidadLasoperacionesarit mticaselementalesrespectoalosmltiplosdeunmismomduloson:Adicin: n n ... n n = + + +Sustraccin: n n n = Multiplicacin: n ) k ( n = ;k e+ZPotenciacin: n ) n (k= ;ke+Z Si: N = a.b.c Entonces:Na

b

c

a.b

a.c

b.c

a.b.c a Si: N =b , entonces: N = c) b; MCM(a; cEjemploN01Enunavotacinelnmerodevotos,oscilaentre215y186,detalmaneraquesisecuentan de 5 en 5 o de 7 en 7, siempre sobran3.Cuntossonlosvotos?A)208 B)213 C) 193D) 178 E) 198ResolucinSeaN elnmerodevotosbuscado:Por dato: N =3 5+N =3 7+Luego: N =3 ) 7 ; 5 ( mcm +N =3 35+ = 35k + 3 . . . . . . . (o)Adems:186 < 35k + 3 < 215 CAPTULO IITEORA DE DIVISIBILIDADRazonamientoMatemtico10Desarrollando:k = 6reemplazandoen(o):N = 35(6) + 3 = 213Losvotosson213.PRINCIPIODEARQUMEDESSi: A x B =nDonde A y n no tienen divisores en comn,apartedelaunidad,entonces:B=nSi:z .... c . b . a n ) z n )...( c n )( b n )( a n ( = Divi sibilidadApli cadaal Binomi odeNewtonEn general, sean los enteros positivos; n, a y k.- k ka n ) a n ( + = + - 1 2 k ; a n2 k ; a n) a n (kkk+ = = += EjemploN02Halla el restode dividir 2002entre7.A)1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5Resolucin12 =7 + 222 =7 + 4g = 332=7 + 1Entonces:1 32+ =7+ 22 32+=7 + 4g = 332=7 + 1donde: 200 = 2 3+Finalmente: 2002=2 32+=7 + 4 El residuoes 4RestosPotencialesEn general, si: {b, m} c+Z{ n, r } c+0ZAdems: nnr m b + =Luego:Al conjunto formado por los restos: r0; r1; r2;...,sel edenominarestospotencialesdebrespectoalmdulom,siendostaperidicadesde un lugar en adelante (con perodo menorquem).EjemploN03Determina los restos potenciales de 4 respectoalmdulo7.Darcomorespuestalasumadedichosrestos.Resolucin1,4;2;1;4;2;...sedenominarestospotencialesde4respectoalmdulo7,lacualseobservaquese repiteenformaperidicayqueelprimer residuoes1.Piden: Suma de restos potenciales = 1 + 2 + 4 = 7. 04 =7 + 1 14=7 + 4g = 3 24 =7 + 2 7 +1 E=334 =7 + 1 E4 = 7 +4 E=3 +144 =7 + 4g = 37 +2 E=3 +254 =7 + 2n4 =7 + r RazonamientoMatemtico11 PrincipalescriteriosdeDivisibilidadUncriteriodedivisibilidadesunarelacinquedebencumplirlascifrasdeundeterminadonumeral para que ste seadivisible por otro, sinoloes,nospermitircalcularelresiduoapartirdeellas.Divisibilidadpor2Si: 2 abcde = ,entonces: 2 e =Divisibilidadpor3Si: 3 abcde = ,entonces: 3 e d c b a = + + + +Divisibilidadpor4Si: 4 abcde = ,entonces: 4 de =Divisibilidadpor5Si: 5 abcde = ,entonces:}) 5 ; 0 { e ( 5 e e = Divisibilidadpor6Si: 6 abcde = ,entonces: 3 2 abcde . =Divisibilidadpor7Si: 7 abcde = ,entonces:e+3d+2cb3a=7Divisibilidadpor8Si: 8 abcde = ,entonces: 8 cde =Divisibilidadpor9Si: 9 abcde = ,entonces: 9 e d c b a = + + + +Divisibilidadpor11Si: 11 abcde =,entonces: 11 a b c d e = + + 31231 -+ + - + - + Divisibilidadpor13Si: 13 abcde = ,entonces:e3d4cb+3a=13EjemploN04Calcula la suma de todos los valores de x, siel numeral 8 xx 4 esdivisibleentre7.A)11 B) 12 C) 13D) 10 E) 14ResolucinAplicandoelcriteriodedivisibilidadpor7:7 8 x x 4 =entonces:- 4 + 2x + 3x + 8 = 75x + 4 =7donde: x = { 2 ; 9 } Suma de valores dex es: 9 + 2= 11 1EjemploN05Determina el valorde x,en:17 35 x 4 =A)12 B) 3 C) 6D) 9 E) 8ResolucinDescomponiendoelnumeral35 x 417 00 x 4035 = +(17+ 6) +(17 + 15x)=176 + 15x =1715x = 17 65x = 17 25x = 17 +15 x = 17+ 3dondexes3. El valor de 3x ser iguala 9. 31431 + - + 31231 -+ RazonamientoMatemtico12PRCTICA N02Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1. Analizaelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones.I. El cero es mltiplo de todo nmero positivoII.LaunidadesdivisordetodonmeroenteroIII. 18 no es mltiplo de 3.IV.Tresesdivisorde18.V. Un nmero es divisible por dos si terminaencifraparocero.A)FVFVV B) FFFVV C) VVFVVD)VVVVF E) FVVVV2.Discriminael valordeverdaddelassiguientesproposiciones:I. La ecuacin 4x + 16y = 79 no tiene solucinenlosenteros.II.Laecuacin6x+21y=102notienesolucinenlosenterospositivos.III. La ecuacin 3x + 7y = 141 tiene solucinenlosenterospositivos.A)VFV B) FFF C)VVFD)VVV E) VFF3.AnalizalossiguientesenunciadosyponV(verdadero)yF(Falso).I. Un numerales divisiblepor 13, cuandolasumaalgebraicadesuscifrasdederechaaizquierdapor1;-3;-4;-1;3;4;1.II. Elresiduo de dividir 3445 entre 3 es 2.III.Todonmerodivisibleporcincodebeterminarencero.A)VFV B) FFF C)VVFD)VVV E) VFF4.Analizacualesvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:I.Lasumadetresnmerosconsecutivosessiempredivisiblepor3.II. cba abc siempre es mltiplo de 33III. Unnmero capicade cuatrocifrassiempre es mltiplo de 11.A)FVV B) FFV C)VVFD)VVV E)VFV5.Establecelarelacioncorrecta.I. Un nmero es divisible por 3.II. Unnmero es divisible por 7.III. Un nmero es divisible por 11.a.Cuandosemulti plicadederechaaizquierdaporlosdgitos1;3;2y-1;-3;-2b. Cuando la suma de sus cifras es mltiplode 3.c.Cuandosesumanalgebraicamentesuscifras;previamenteafectadasdederechaaizquierdaporlossignos+;-;+;-.yassucesivamente.A) I-a; II-b; III-c. B) I-b; II-c; III-a.C) I-b; II-a; III-c. D) I-c; II-b; III-a.E) I-a; II-c; III-b.6. En el ao 2006, el 1de Enero es da domingo,luego interpreta el da dela semana que fue el1 deenero de1983ser:A)Jueves B)ViernesC) Sbado D) DomingoE)Lunes7. Si= b a bcd a 1 ) 2 (adems= 10 ) 4 (b mnpqr,entonces;I. Evalua el valor de 2a + 3bII. Evalua el valor de a! + b!III. Evalua el valor de a + bA) 34;744;10 B) 24; 444; 10C) 14; 144; 100 D) 24; 744; 10E) 14; 644; 10Capacidad02:ComunicacinMatemtica8.Analizalacondicinnecesariaparaque( ) 12abcde E= seadivisibleentre8A) 2c + 4d + e = 8B) 4d + e = 8C) b + 4c + 2d + e = 8D) d+4e+2c= 8E) c + d + e + a + b =8RazonamientoMatemtico139. Si se cumple que = 11 abc;6 9+ =abcy1 8+ =abc .IdentificaquevalortomaabcA)845 B)835 C) 825D) 815 E) 85510.Enlaexpresin2 7 3 + =Q ,traduceelvalor deQ.A) 2 7+ =Q B) 4 7+ =QC)3 7 + =Q D)5 7+ =QE) 2 7 3 + =Q11.Serepartea a a ) 2 )( 1 ( + + soles.Cadapersona recibi 19 solesyal final nada quedo.Infieracuantaspersonasrecibieronlos19soles.A)9 B) 12 C) 16D) 21 E) 2712.Determinala condicin necesaria para quela suma de valores de x e y en ( ) 74 2 xy N=seadivisibleentre2.Dato I: y es parDato II: y es imparDato III: x es parDato IV: x es imparA) Es necesario Iy IIB) Es necesario IyIVC) Es necesario III y IID) Esnecesario IE) Es necesario (I y III) o (II y IV)13. Traduce la siguiente expresin en su formasimblica mas simple si: 17 A 21 34 22 43 ++++=nxnAA)1 17 +B)2 17 +C)3 17+D)2 17E)3 17 14. Si: = 17 17 1xy= 21 3 4a, se cumpleque:I. Elvalorde xessiete.II. El valordeaes ocho.III. El productodex por a es 56.A) Solo I B) Solo II C) I y IID)Todas E) Solo IIICapacidadN03:ResolucindeProblemas15.Reconocequevalorespuedetomarxpara que el nmero341 2 x sea mltiplo de 3.A)2 B) 3 C) 4D) 5 E) 616.Resuelvaelproductodelos70primerosnmerosimparesaldividirloentre4dacomoresiduo.A)2 B) 3 C) 4D) 5 E) 717.Determinael residuo de ladivisin.7c 0 120...... 56123456 1234561234 _ ifrasA)1 B) 2 C) 3D) 4 E) 518.Laexpresin:.......... 30 25 23 18 16 11 9 4 x x x x x x x x E =,tiene2nfactores,luegoelresiduoqueseobtienealdividirentre7es:A)0 B) 1 C) 2D) 3 E) 419.Si3 7 2 8 3 2 += c b a .Compruebacualserelrestoaldividirc b a 5 4 entre7.A)2 B) 3 C) 4D) 5 E) 620.Aldividir131313131345762(g)entre11(g),Analizaelresiduo:A)1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5RazonamientoMatemtico1421. Juzgala cantidad de nmeros de la forman n n 1 0 4 quesondivisiblespor13es:A)3 B) 5 C) 7D) 10 E) 1322. CEPRITO agrupaba sus canicas de 6 en 6,de 8 en 8 y de 10 en 10 y siempre le faltaba unaparaformarmsgrupos.Calculacuntascanicas tiene si es una cantidad mxima menorque1000A)954 B)941 C) 959D) 1079 E) 82323. Halla a + b sabiendo que el nmero ababaesdivisiblepor126A)6 B) 8 C) 9D) 10 E) 1124.Analizaelvalordeaxbxc,si: = 9 abc = 5 cba

=13 caA)140 B)150 C) 120D) 105 E) 21025.Edobservaquesusabcompaerosdelaulaseagrupanparaestudiarde6en6ysobran 2; pero si se agrupan de 5 en 5, faltaran3paraformarotrogrupo.Interpretacuntosalumnos hayen el aula deEd,si es lo mayorposible.Decmorespuestalasumadesuscifras.A)16 B) 11 C) 14D) 15 E) 1026.Calculacuntosnumeralesde4cifrasalser divididosentre 4 y 5 de como residuo3 enamboscasos.A)58 B) 45 C) 43D) 36 E) 4027. Si : = 3 1 4b aaay = 9 7 4n nCalculaelresiduodedividir)2( ) 1 ( ) 3 2 (nbb n b b + entre 8A)58 B) 45 C) 43D) 36 E) 4028.Sisecumpleque 6 7 673 42 += a a.Indicael valordea.A) Slo2 B) 9 C) 2 y 9D) 2 9 E) Slo 929.Analizaelresiduodedivi dir:9421424 A)2 B) 5 C) 4E) 3 E) 130.Sielnumeralq pqp 4 6 esdivisibleentre 88, Calcula elvalor de p+qA)2 B) 5 C) 9E) 5 E) 031.EnelcolegioLeoncioPradoenlareuninde aniversario se observa que la sptima partede losasistentes tienenestudios de postgrado,la tercera parte de los asistentes hablan ingls,lacatorceavapartesoningenierosyladieciochoavasonliteratos.Sielcurtinternotiene un lmite de 1000 personas. Halla cuantosasistieroncomomximoalareunindeaniversario.A)1005 B)350 C) 844D) 955 E) 88232.Juzcael valordeasi:4 11 5 2 3 += a aaaA)2 B) 1 C) 0D) 3 E) 433. Un almacenero cuenta los clavos que tienede 5 en 5, de 7 en 7, de 9 en 9 y de 11 en 11 ysiempresobraunacantidadqueesmenorenunaqueeldivisorempleado,sicadaclavolecosto2solesygastoentre12000y16000soles.Hallalasumadelascifrasdedichonmerodeclavos.A)24 B) 25 C) 26D) 27 E) 23RazonamientoMatemtico153.1. TEORA DE NMEROSCLASIFICACINDELOSNMEROSENTEROS POSITIVOSElconjuntodelosnmerosenterospositivossepuedenclasif icardeacuerdoaunadeterminadacaractersticaenparticular;enestecasosevahaclasificardeacuerdoalacantidad dedivisores que posee cadanmero.11 121 2 231 3 241 2 4 351 5 261 2 3 6 471 7 281 2 4 8 491 3 9 3 101 2 5 10 4 .a)NmerossimplesSon aquellos nmeros que tienen a lo ms dosdivisores.a.1. Unidad: Es un nmero especial porqueeselnicoqueposeeunsolodivisor.{1}a.2.Nmerosprimos:Sonaquellosnmerosqueposeennicamentedosdivisoresquesonlaunidadyelmismonmero.{2; 3; 5; 7; 11; 13; }b)NmeroscompuestosSonaquellosnmerosquetienenmsdedosdivisores.{4; 6; 8; 9; 10; 12; }CLASIFICACIN POR GRUPOS DE NMEROSa)Nmerosprimosentres(PESI)Sonaquellosnmerosquetienencomonicodivisorcomnlaunidad.EjemploN018; 10 y 15 son PESI?ResolucinNmeroDivisores8 1 2 4 810 1 2 51015 1 3 515 8, 10 y 15 son PESIb)Nmerosprimosentresi2a2Sonaquellosgruposdenmerosquealsertomadosde2en2;estosparesdenmerosson PESI.EjemploN024; 9 y 25 son PESI 2 a 2?ResolucinTomando losnmeros de 2 en 2, tenemos: 4 1 24PESI 9 1 39 4 1 24PESI 25 1 5 25 9 1 39PESI 25 1 5 25 Cantidad de divisores Nmeros enteros positivosDivisores comn primo nicoCAPTULO IIITEORA DE NMEROSRazonamientoMatemtico16 4, 9 y 25 son PESI 2 a 2.TEOREMAFUNDAMENTALDELAARITMTICATodonmerocompuestosedescomponeenunamultiplicacinde potencias de exponentesenterospositivosdesusdivisoresprimos.Aestadescomposicinseleconoceconelnombre de DESCOMPOSICIN CANNICA.En general:EjemploN03Descomponercannicamenteelnmero600.Resolucin600230021502753255551ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NMEROa)TabladedivisoresdeNSea el nmero 18,donde:23 2 18 =Entoncessepuedeelaborarlasiguientetabladedivisoresde18.18 9 96 3 32 1 12 1b)CantidaddedivisoresdeNCD(N)Si: | o = z ...... c b a NEntonces:c)SumadedivisoresdeNSD(N)Si: | o = z ...... c b a NEntonces:d)Sumadelasinversasdelosdivisoresde N SID(N) SeaNunnmeroenteropositivo.Entonces:e)ProductodelosdivisoresdeNPD(N)SeaNunnmeroenteropositivo.Entonces:EjemploN04Si: m18 15 N = , tiene 144 divisores. Determinael valorde m.A)4 B) 5 C) 6D) 3 E) 7ResolucinDescomponiendo cannicamente elnmero N,tenemos:m 2) 3 2 ( ) 5 3 ( N =m 2 m3 2 5 3 N =5 3 2 N1 m 2 m =+Adems CD(N) = 144porpropiedad(m+1)(2m+1+1)(1+1) = 144(m+1)2(m+1)(2) = 144

36 ) 1 m (2= +m +1 = 6m = 5 _ cannicacin Descomposi2 25 3 2 600 = 18 dedivisores2 de divisores23 dedivisores | o = z ...... c b a N ||.|

\| ||.|

\| ||.|

\| ||.|

\| =+ + + | + o1 z1 z.....1 c1 c1 b1 b1 a1 a) N ( SD1 1 1 1 N) N ( SD) N ( SID =) N ( CDN ) N ( PD =) 1 )....( 1 )( 1 )( 1 ( ) N ( CD + + + | + o =RazonamientoMatemtico17PRCTICA N03Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1. Interpreta el valor de verdad de los siguientesenunciadosI. El nmero 5 posee 2 divisores primosII.El 4 y 9 no son primos entre sIII. La unidad no es ni primo ni compuestoA) FFF B)VVF C) FVFD) VFF E) FFV2.Anticipalaalternativacorrecta:A)Losnmerosprimosposeenslo2divisoresprimos.B)Losnmeroscompuestosposeenmsde2divisoresprimos.C)Los divisores simplesestn conformadosporlosdivisoresprimosyloscompuestos.D)Elnicodivisorsimplenoprimoeslaunidad.E)Losnmerossonproporcionalesalacantidaddedivisoresquetienen.3.Identif icalaverdadof alsedaddelassiguientesproposiciones.I.AlosdivisoresprimosylaunidadselesdenominadivisoressimplesII.Losdivisoresprimosyloscompuestosconf ormaneltotaldedivi soresdeunnmero.III. LosdivisoressimplesylaunidadconformanlosdivisorescompuestosA) FFF B)VFV C) VFFD) FVF E)VVV4. Evalua el enunciado incorrecto con respectoa: Todo nmeroprimo esA) De la forma ) 1 4 ( ) 1 4 (0 0 + B) De la forma ) 1 6 ( ) 1 6 (0 0 + C) Impar a excepcin del 2D)No compuestoE) El que tiene nicamente 2 divisores5.Identif icalaalternativaincorrectaconrespectoalatabladedivisores b0 b1 b2 b3a0 1 2 Y8a1 5 X20 40a2 2550100 ZA)X = 10 B) Y = 4C) Z = a2.b3D) a + b = 2E)Z = a2 - b3 = 176. Si a 74 se le multiplica por 100.Establece silassilasproposicionessonverdaderasofalsas:I. El productotiene 4 divisores primosII.Susdivisoresseincrementanen20III.Uno desusdivisores es185A)FVV B)VVV C) FVFD) VFF E) FFV7. SiAy B son nmeros primos diferentesde2.Identificaculessonverdaderas.I. (A + B) es un nmero primoII. AxBtiene4divisoresIII.(A.B)(A+B) tiene divisores mltiplos de 2.A) I y II B) II y III C) I y IIID) I; II y III E) Slo IICapacidadN02:ComunicacinMatemtica8.Traduce los enunciados eindica la alternativaquenocorrespondealacantidad dedivisoresde un nmero (CD)A) CDpropios +1 = CDB) CD = CDprimos + CDcompuestos + 1C) CDprimos = CDsimples -1D) CDpropios = CDcompuestos +1E) CDcompuestos = CD (CDprimos +1)9. Analiza el nmero N = 2002 y su descomponercannicamente:A) N = 2.7.13 B) N = 2.3.7.13C) N = 2.7.11.13 D) N = 7.11.13.19E) N = 3.7.13.31RazonamientoMatemtico1810.Identi f ical aalternativaquenolecorrespondealnmero2009A)Posee2divisoresprimosB)Posee6divisoresentotalC)Posee3divisoressimplesD)Posee3divisorescompuestosE) Es un nmero primo11.SiN=5(10m)tiene20divisores.Identificacuntasdelasproposicionessonverdaderas.I. m= 3II.N = 500III.Susdivisores 05 son16IV.Susdivisores 02 son15A)0 B) 1 C) 2D) 3 E)412. La expresin:3) 3)(5b (4a si a y bsoncif ras; Interpretaculesdelasproposicionessonverdaderas.I.El numeral puederepresentar hasta 2nmerosprimos.II.Como mximo puede tener hasta 6divisores.III. Si a=3 y b= 2 resulta un numeral primoA) I y II B) II y IIIC) I y III D) I; II y IIIE) Slo II13.SiN=30ntiene1000divisores.Identificacuntasdel asproposicionessonverdaderas.I. Ntiene 3 divisores primosII.N =tiene 9 divisores simplesIII. n = 9A) I y II B) II y III C) I y IIID) Slo III E) Slo I14.Traduceconvenientemente. (8) aa siposee9divisores.I. El valor de a esII.El nmero de divisores primos esIII. El nmero de divisores simples esa,2 b,3 c,4A) Ic; IIa; IIIbB) Ib; IIc; IIIaC) Ic; IIb; IIIaD) Ia; IIb; IIIcE) Ia; IIc; IIIbCapacidadN03:ResolucindeProblemas15.Unnmerotiene23divisorespropios,4divisores mltiplos de 12 y 12 divisores mltiplosde3.Hallacuntosdesusdivisoressonmltiplos de 4.A)0 B) 1 C) 2D) 3 E) 416. Si, ( )1bc22.3.pp.pn.nmm=: Interpreta :b + c;donde a; byc son primosabsolutos.A)10 B) 1 C) 2D) 8 E) 417. La cantidad de divisores del menor nmeroN=45.12n+4 es 07,Analizacuntosdelosdivisores de N son mltiplos de 4 pero no de8.A)8 B) 12 C) 18D) 20 E) 1418.Siabcde tiene4divisoresprimosy91divisorescompuestostalquesisedivideentre:16;49y27dejanresiduo8;35y9respectivamente.Buscadesusdivisoresnoson 028 .A)60 B) 56 C) 72D) 42 E) 84RazonamientoMatemtico1919.Hallalasumadelascifrasdemnpq ;sabiendoquem+p=n+q,ademsdichonumeralposee27divisores.A)14 B) 15 C) 16D) 17 E) 1820. El numeralabc es mltiplo de 3 y tiene 12divisores,siseledisminuyeen(a+b+c)seobtieneunnumeralqueterminaen75ytiene12 divisores.Calcula elnmeroabc .A)729 B)693 C) 684D) 816 E) 92421. El nmeronn075tiene 4 divisores simplesy32divisorescompuestos.Reconocecuntosdivisoresdel nmero sonPESIcon 21.A)3 B) 4 C) 5D) 2 E) 622. Sea N= 54.5n+4,Reconocecuntosde losdivisores de N son mltiplos de 9 pero no de27, si la cantidad de divisores de N es mltiplode 7 yeslo menor posible.A)8 B) 14 C) 5D) 7 E) 923.Halla(m+n),enelnumeralP=2m.7n,sabiendoqueelcuadradodePtiene44divisoresms,mientrasquesurazcuadradatiene 13divisoresmenos de loquetieneP.A)4 B) 5 C) 6D) 7 E) 824. Halla el residuo de dividir abcdentre 7, talqueesmltiplode2;b+d=15;a+c=4ademssesabequetiene15divisores.A)3 B) 4 C) 5D) 2 E) 125.Sielnumeral432aposee1268divisoresenterosnoprimos.Calculalasumadelosdivisoresnocompuestosdeaa.A)7 B) 8 C) 15D) 10 E) 1426.Determi naelmenornmeronat uraldiferentede1,queseacoprimocon5460ycoprimo con 5610. Da cmo respuesta la sumadesuscifras.A)3 B) 9 C) 5D) 10 E) 1127. Sea N =n2mp3 ; Halla el valor de a paraqueelnmeroseamltiplode72,sabiendoque N -2 es mltiplo de 9.A)1 B) 4 C) 7D) 12 E) 1128. Si3m4n5p67al ser dividido entre 13 dejaresiduo7,determinaelresiduodedividirm1n3p2entre7.A)3 B) 4 C) 5D) 0 E) 629. Si: abc= 5 70cba= 3 110bca= 6 90Calcula: c + 3b + 5aA)12 B) 44 C) 55D) 22 E) 31RazonamientoMatemtico204.1. OPERADORES MATEMTICOSOperadorMatemticoEsaquels mboloquerepresentaaunadeterminadaoperacinmatemtica.x#y=y xx 2 y 2 +OperadoresUniversalesAdicin + SustraccinMultiplicacin xDivisinRadicacinnPotenciacinn) (Valorabsoluto Sumatoria. .OperadoresArbitrariosAsterisco* Grilla#Tringulo Nabla Yin-Yang Arroba @Porcentaje %.OperacinMatemticaEsunprocesoqueconsisteenlatransformacindeunaomscantidadesenotracantidadllamadaresultado,medianteciertascondicionesenlacualsedefinelaoperacin.OperacionesmatemticasconregladedefinicinExplcitaSon aquellas operaciones en los cuales la reglade definicinseda directamente,slohay quereconocerlascomponentesqueintervienen,reemplazaryoperar. regla de definicin operador matemtico EjemploN01Se define: a bb a b # a =Calcula2 2y x + ,si:55 y # x =A)5 B) 10 C) 20D) 15 E) 14ResolucinPor la definicin:55 y # x = 5 x y) 5 5 ( y x = 5 5x y5 5 y x = Comparandotrminos: x =5 .y =5Piden:2 2 2 2) 5 ( ) 5 ( y x + = +

2 2y x += 10OperacionesmatemticasconregladedefinicinImplcita.Son aquellas operaciones en los cuales la regladedefinicinnohasidodefinidademaneraexplicita,porloquehayquedarleunaformadedef inici naloquenospide;paraposteriormentereemplazaryoperarlosdatos.EjemploN02Si: 6x + 2 = 12x + 9 ; x +1= x + 4Halla el valor de: 8 + 3A)2 B) 4 C) 6D) 8 E) 10 CAPTULO IVOPERADORES MATEMTICOSRazonamientoMatemtico21 Fila de entrada Columna de entrada c b a u c a b a c b a b b c a c Operador Diagonal ResolucinComo: 6x + 2= 12x + 9Entonces: x +1= x + 42x + 1+ 5 = x + 4x + 1= 21 x Luego: 8 = (8 2) 2 = 33 = 3 2 + 5 = 11 1Reemplazandovalores 8 +3 =3+11=14 = (14 2) 2 = 68 +3=6OperacionesmatemticasquenotienenregladedefinicinExplcitaniImplcita. En este caso se tiene que hacer uso de muchacreatividadeingenio,pueselresultadosepuede obtener de muchas maneras (realizandociertasoperaciones).EjemploN03Sisesabeque:48 - 24 = 7232 - 31 = 2026 - 41 = 40Halla el valor de: K = 76 - 13A)31 B) 72 C) 46D) 27 E) 52ResolucinObservamos que la regla de definicinnoestdado de manera explcita ni de manera implcita.Sebuscarunareglaquecumplaparatodosloscasossegnlainformacindada.48 - 24 = 72 = (4 + 8)(2 + 4)32 - 31 = 20 = (3 + 2)(3 + 1)26 - 41 = 40 = (2 + 6)(4 + 1)Luego se tiene: ab - bc = (a + b)(c+ d)Entonces:K = 76 - 13K = (7 + 6)(1 + 3) K = 52OperacionesenTablasdeDobleEntradaSea el siguiente conjunto no vaco A= {a, b, c},enel cualsedefinelaoperacinrepresentadaporu, mediantela siguiente tabla.Para operar se recomienda realizar la siguienteoperacin:tabla la encin sec er intfila lade Elemento*columna lade Elemento=||.|

\|||.|

\|EjemploN04Se define el operador @mediante lasiguientetabla:Calcula:M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5A)2 B) 1 C) 3D) 4 E) 5ResolucinSegnlatabla:M = [ (1 @ 2) @ (3 @ 4) ] @ 5M = ( 5 @ 4 ) @ 5M = 1 @ 5 M = 3 2 + 5- 22 @1 2 3 4 5 1 4 5 1 2 3 2 5 1 2 3 4 3 1 2 3 4 5 4 2 3 4 5 1 5 3 4 5 1 2 RazonamientoMatemtico22PropiedadesEnelconjuntoA=|,definimoslaoperacinsimbolizadapor*,entoncesestudiaremoslassiguientespropiedades.PropiedaddeClausuraoCerraduraa,beAa * beAPropiedadConmutativaa,beAa * b = b * aCriterio dela Diagonal, para determinar si unatablaesconmutativa.PropiedadAsociativaa,b,ceAa * ( b * c ) = ( a * b ) * cPropiedaddelElementoNeutro(e)- eeA / aeA a * e = e * a = aCriteriodeInterseccin,paradeterminarelelementoneutroenunatabla.PropiedaddelElementoInverso(1a)- eeA, a eA, -1aeA a *1a=1a* a = edonde:e : Elemento neutro Mantienen el mismo orden Elementos ubicados simtricamente c b a u c a b a c b a b b c a c Diagonal principal Filasiguales Columnas iguales c b a u c a b a c b a b b c a c Elemento neutro PRCTICA N04Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1.Identif i cacul delassiguientesinformacionesesfalsa.A)Elelementoneutroenlaadicineselcero.B) El elemento neutroes nico.C) En la multiplicacin el elemento simtricoeseluno.D) En el conjunto de los nmeros reales, lasustraccinnoesconmutativa.E)Laadicinesunacomposicininternaenlosnmerosnaturales.2.Dadounconjuntonovaco,enelcualsedefine una operacin matemtica, mediante unadeterminadatabl a.Analizaculdelassiguientesafirmacionesesincorrecta.A)Cuandoloselementosdelcuerpodelatablapertenecenalconjuntodepartida,sedicequeesclausurativa.B)Latablaesconmutativasilamatrizessimtricaconrespectoasudiagonalprincipal.C)Lainterseccindelacolumnayfiladeentradanosdeterminaelelementoneutro.D) Si la matriz en una tabla tiene diagonalessecundariassemej antessedicequeesasociativa.E)Sienelcuerpodelatablasenotaalmenosunelementoquenopertenecealconjunto de partida se dice que la operacinesabierta.3.Enlasiguientetabladiscriminaculdelassiguientesproposicionessonfalsas:I.No es conmutativaII. El elemento neutro es cIII. a * (b * d) = (d * c) * dIV.Laoperacin*escerradaA) I y II B) Slo IIC) II y III D)NingunaesfalsaE) II; III y IV abc d aa b a a bc bb d c d a c b d b c d a RazonamientoMatemtico23E) II; III y IV4. Se define en A = { 1; 2; 3; 4; 5 } la operacin*, mediantelasiguiente tabla:Analiza el valorde verdaddelas siguientesproposiciones:I. Si x = 1, entonces (1 * x) * 3 = 3II.Secumple lapropiedadconmutativa.III. Secumplelapropiedaddeclausura.IV. El elemento neutro es 3.A)VFVF B)FVVF C)FVFVD)VVFF E)VFVVCapacidadN02:ComunicacinMatemtica5. Para cualquier nmero entero x se definelaoperacinx,como:1 x x2 = .Identificaculdelassiguientesexpresioneses equivalente al producto de 3y4 .A)12 B)11 C)10D) 9 E) 76. Sedefinelasiguienteoperacin:44 x 32 1 x 2 + = ; x RAnaliza,culdelassiguientesexpresionesnocorrespondealadefiniciondada.A) 2 x 4 1 x 2 + = B) 8 x 8 1 x 2 + = C) x = 16x + 60D)x = 2x + 4 E) x= 16x + 16-1 2 3 4 5 1 3 4 1 2 5 2 5 1 2 5 1 3 1 2 3 4 5 4 2 5 4 3 2 5 5 1 5 1 3 7. Sedefinelasiguienterelacin: Entonces,podemosinferirque:es igual a :A) B) C)D) E)8.Enelconjunto A={1;x; 2x }sedefinelaoperacin*,dado porlatabla:Enlasiguientetablainterpretalaexpresinequivalentea: 1 2 1) x ( x +A) ) 1 x ( x2+B) 2) 1 x ( + C)1 x 2 +D)) 1 x ( x + E)1 x2+CapacidadN03:ResolucindeProblemas9. Sedefine:(2b)b2abadems:a+ba b .a + bCalcula:1036A) 5B) 6C) 7D) 8E) 9- = - -1 x x2 1 1 x x2 x x x2 1 x2 x2 1 x RazonamientoMatemtico2410. Si:h(x) =ax2+ bx+ch(1) = 7h(1) = 3h(0) = 4Halla:h(h(2))A)124 B)120 C) 134D) 144 E) 15011. Si:a * b = (b * a)2; a * b > 0Resuelva:E = (1 * 2)2 + (2 * 3)3 + (3 * 4)4 + ... + (10 *11)11A)10 B)8 C) 2D) 7 E) 612. Sedefine:a b = [a][b]adems:[x] = n si n < x < n +1 ;n ZInterpreta:4 , 0 3 1 , 0 2 1 , 0 3 , 2 2 , 0 5 , 3 t+ + +A)4 B) 3 C) 2D) 1 E) 013. Sedefine:b 9 b * a0 1 x ; 9 x 1 x2=> = Calcula: 225 * 15A)11 B) 12 C) 13D) 14 E) 1514. Sedefine:b a ;b ab ab aa b =++= AHalla el valor de:E = (...((((1 D 1) D 2) D 3) D 4 ... D 100)A)40 B)160 C) 50D) 1 E) 10115. Si: xx + 1x 1; x 1 =Elabora:B........2........149 operadoresA)1 B) 2 C)3D) 4 E) 516. De acuerdoa:22 * 30 = 612 * 53 = 1345 * 14 = 21Halla en:32 * 73 59 * ) 18 * 5 a ( =A)2 B) 3 C) 4D) 5 E) 617. Si: a b = a2 b2a b = Log2(a b);a b > 0Calcula:)2a 22a 3 () 3 5 ( E =A) a7B) a3C) a8D) 3 E) 118.Sedefineeloperadorsiguiente:x + 1x + 22(x + 1)Hallayen:y4yA)1 B) 5 C) 7D) 9 E) 319. Si:m D n = p + 2p x n = m 1Buscaelvalordex:x D 7 + (x + 1) D 7 = (6 D 5) + 8A)10 B) 35 C) 20D) 30 E) 25RazonamientoMatemtico2520. Sedefine:nx ... x xfn 2 1) n (+ + += donde n es nme-roenteropositivo.Si: xk = (1)k;k Nreconoceelconjuntodevaloresposiblesde f(n) es:A){0} B) )`n1C) )`n1, 0D) )`n1, 0E) )`n1, 121.Enelconjuntodelosnmerosnaturalesdefinimoslassiguientesoperaciones:a * b = a2 ba ? b = 3a b2a D b = 2a + 3bSi: x * x = 6 ; y ?y = 4Halla: x D yA)7 B) 17 C) 18D) 16 E) 822. Si:21 F 2F) n () 1 n (+=+Calcula: F(61);si F(1) = 2A)30 B) 28 C) 32D) 26 E) 4023. Sedefine:x 8x + 35Efectua:A)20 B) 24 C) 27D) 25 E) 2124 Dadalasiguientetabla dedobleentradayde mdulo 4, definamos la operacin (-) enelconjunto:A = {1; 2; 3; 4}:- 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1Calcula"x",si:[ (21 - 3)1 - x ] - [ (41- 2) - 3 ]1 = 1A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 425.Dadalaoperacin binaria:a # b = a + b + abHalla el elemento neutro.A) 1 B) 1/2 C) 0D) 1 E) 226. Si: A = {1; 2; 3; 4}- 1 2 3 41 1 2 3 42 2 4 1 33 3 1 4 24 4 3 2 1Efectael valor de "x" en:( (21 - 3)1- x1 ) * ( (41 -2) * 4)1= 2A)1 B) 2 C) 3D) 4 E) No existe27. Enelconj untodelosnmerosrealesdefinimoslaoperacin(-):a - b = a + b + 2ab a, b e RInterpretasisecumplenlassiguientesafirmaciones:( ) a - b = b - a. Es conmutativa( ) (a - b) - c = a - (b - c). Es asociativa( )ElcerosecomportacomoelelementoidentidadA)VVF B) VFF C)VVVD) FFF E)FVVRazonamientoMatemtico265.1. HABILIDADOPERATIVAConsisteenanalizarformasdesolucinparaproblemasaparentementecomplicados,conunpocodehabilidadmatemticaeintuicinprctica.Observaciones (Npar) + (Npar) = (Npar) (Nimpar) + (Nimpar) = (Npar) (Npar) + (Nimpar) = (Nimpar) (5) x (Nimpar) = .5 (5) x(Npar) = .0 (Npar)x (Npar) = (Npar) (Npar) x (Nimpar) = (Npar) (Nimpar) x (Nimpar) = (Nimpar)2 2 2) b a ( b ab 2 a = + ) b a )( b a ( b a2 2 + = ) b ab a )( b a ( b a2 2 3 3+ + = RazonamientoInductivoConsisteenanalizarcasosparticulares,esdecirrealizarexperienciassencillasperoconlas mismas caractersticas del problema original,quenospermitallegaraunaconclusin. C A S O I C A S O II C A S O III C A S O G E N E R A L Casos Particulares Razonamiento Inductivo EjemploN01Hallaeltotaldeformasquesepuedeleerlapalabraceprevalsinointeresaelordendelectura.cceccepecceprpecceprerpeccepreverpecceprevaverpecceprevalaverpecA)512 B) 1 024 C) 2 048D) 255 E) 8 192ResolucinAnalizandocasosparticulares Nde formasDe 1 letra c 1 = 12 1De 2 letras c 3 = 22 1 cecDe 3 letrasc 7 = 32 1ceccepecDe 4 letrasc15 = 42 1 c e c ce p ecc ep r pec

N de formas =82 1 = 255CAPTULO VHABILIDAD OPERATIVA Y SUCESIONESRazonamientoMatemtico27CifrasterminalesConsiste en calcular la ltima cifra del resultadodeunnmeroqueserexpuestoasucesivasoperaciones.a)Cifrasterminalesparanmerosqueterminanen:0;1;56Enestecasolacifraterminalserlaltimacifradelnmerobase.0 . . . ) 0 . . . (n=1 . . . ) 1 . . . (n=5 . . . ) 5 . . . (n=6 . . . ) 6 . . . (n=b)Cifrasterminalesparanmerosqueterminanen:49Enestecasolaltimacifradeldesarrollodependersielexponenteesparoimpar.

4 . . . ) 4 . . . (IMPAR N=

6 . . . ) 4 . . . (PAR N=

9 . . . ) 9 . . . (IMPAR N=

1 . . . ) 9 . . . (PAR N=c)Cifrasterminalesparanmerosqueterminanen:2;3;78Enestecasolascuatroprimerasci f rasterminalessondiferentesycadagrupodecuatrose repitenlasmismas cifrasterminales.6 . . . ) 2 . . . (4=2 . . . ) 2 . . . (1 4=+4 . . . ) 2 . . . (2 4=+8 . . . ) 2 . . . (3 4=+1 . . . ) 3 . . . (4=3 . . . ) 3 . . . (1 4=+9 . . . ) 3 . . . (2 4=+7 . . . ) 3 . . . (3 4=+1 . . . ) 7 . . . (4=7 . . . ) 7 . . . (1 4=+9 . . . ) 7 . . . (2 4=+3 . . . ) 7 . . . (3 4=+6 . . . ) 8 . . . (4=8 . . . ) 8 . . . (1 4=+4 . . . ) 8 . . . (2 4=+2 . . . ) 8 . . . (3 4=+Observacin:) positivo entero nmero () par N ( ) positivo entero nmero () impar N ( EjemploN02En que cifra termina:2 VAL UNHE2829 MAT 5 RAZ ) 4 DEF 8 ABC ( + + +A) 0B) 1 C) 3D) 9 E) 4ResolucinAnalizandolosexponentesdecadasumando282 = 4 +2UNHE:esunnmerode4cifras2 VAL:esun nmeroparEntonces:= 2 VAL UNHE 282) 9 (..... ) 5 (..... ) 4 ..... 8 (..... + + += par nmero nmero 2 4) 9 (..... ) 5 (..... ) 2 (..... + ++= par # # 2) 9 (..... ) 5 (..... ) 2 (..... + += 4 + 5 + 1= 0

Terminaen cifra0. nmero) 2 . . . ( nmero) 7 . . . ( nmero) 3 . . . ( nmero) 8 . . . (nmero) 4 . . . ( nmero) 9 . . . ( n +e ZRazonamientoMatemtico28RazonamientoDeductivoConsisteenanalizaryaplicarunaverdadgeneral(yademostrado),enciertoscasosparticulares.EjemploN03Si: d abcdd=Calcula: cd b aE+ =A)8 B) 4 C) 1/4D) 5/3 E) 6ResolucinComo d abcdd=;entonces: dd abcd =Se observa que el numeral de 4 cifras dependedel valor que toma d.Si: d = 1 abcd 1 1 11= =Si: d = 2 abcd 4 4 22= =Si: d = 3 abcd 27 27 33= =Si: d = 4 abcd 256 256 44= =Si: d = 5 abcd 3125 3125 55= = (cumple)Si: d = 6 abcd 46656 46656 66= =

.Por lotanto cumple cuando d es iguala 5;comparandotrminos:a = 3,b = 1,c = 2,d = 5Reemplazando cd b aE+ = 425 1 3=+ =

Larespuestaes4. .Razonamiento Deductivo Casos Particulares CASO I C A S O G E N E R A L CASO II CASO III CASO IV 5.2. SUCESIONESSucesinEs un conjunto de nmeros, letrasy/o grficosordenados de acuerdo a una determinada LEYDEFORMACIN.Unasucesinesfinitacuandotieneunltimotrminoyesinfinita,cuandonotieneltimotrmino.SucesionesNumricasEsunconjuntoformadoexclusivamentepornmerosqueestnligadosentresimedianteunadeterminadaleydeformacin.SucesionesLiteralesSonconj untosformadosexclusivamenteporletrasdelabecedarioqueestnordenadosdeacuerdoaundeterminadocriterio;estoscriteriosson: Lugarqueocupaenelalfabeto. Inicialesdepalabrasconocidas. Formacindepalabras.SucesionesGrficasSonconj untosformadosexclusivamenteporgrficosordenadosdeacuerdoaciertoscriterios: Criteriodegiro(horariooantihorario). Criteriodeapariciny/odesaparicindeelementosde lafigura. Uniny/ointerseccindefiguras.EjemploN04Hallaelvalordexenlasiguientesucesin.2 ; 50 ; 74 ; 86 ; 92 ; xA)91 B) 93 C) 95D) 97 E) 99Resolucin2;50;74;86;92;x +48+24 +12 +6+3 2 2 2 2 Seobservaque: x=95 Cada elemento de una sucesin se denomina trmino... RazonamientoMatemtico29SUCESIN ARITMTICASucesinLinealoProgresinAritmticaSealasucesinaritmtica:

1t;2t;3t;4t; ; nt+r+r+rEn general:SucesinCuadrticaSealasucesincuadrtica: ot1t;2t;3t;4t;

ok1k;2k;3k; 4k r rrrEn general:SUCESIN GEOMTRICASealasucesingeomtrica:

1t;2t;3t;4t; ; ntq q qEn general:SUCESIONES ESPECIALESSucesindelosnmerosprimos2; 3; 5; 7; 11; 13; SucesindeFibonacci1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; Sucesindelosnmerostriangulares1; 3; 6; 10; 15; 21; . . . . . .Sucesionesdenmerosdelaforma:1 2n1; 3; 7; 15; 31; 63; . . . . . . c bn an t2n+ + =2ra k0 0tr t1 r b an tn+ =1 n1 nq t t = 1erorden 2doorden EjemploN05En la siguiente sucesin, halla el primer trminonegativodetrescifras:120; 113; 106; 99; A)101 B) 102 C) 103D) 104 E) 105ResolucinCalculo deltrmino ensimo 120; 113; 106; 99;.-7-7-7-7Reemplazando los valores en el trmino generaldeunasucesinlineal.127 n 6 tn+ =Por dato:100 127 n 6 > + .... 8 , 37 n >Donde el primer trmino negativo, ser cuandon=38,entonces:127 ) 38 ( 6 t38+ = =-101 El primer trmino negativo detres cifrases-101.EjemploN06Enlasiguientesucesin:1; 3; 7;15; 31;eltercertrminodespusde31es:A)127 B)245 C) 265D) 295 E) 255Resolucin 1 ; 3 ; 7 ; 15 ;31 ; 1 21 1 22 1 23 1 24 1 25Seobservaquesutrminoensimoesdelaforma:1 2 tnn =Entonces para n = 8 1 2 t88 = = 255 Eltercertrminodespus de 31es255. RazonamientoMatemtico30PRCTICA N05Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1.Analizalassiguientesproposicionesydeterminasisonverdaderas(V)ofalsas(F)segncorresponda:I.Elprimertrmi nodeunasucesingeomtricaesdiferentedecero.II.Lasucesindef ormaan2+bn+cesbicuadrtica.III.Siserepartecaramelosde3en3aungrupodealumnos,estamoshablandodeunasucesin.IV.Enlasucesinalfanumrica,lasletrasrepresentannmerosnaturalesconsecutivos.A) FFFFB) FFVV C) FVFFD)VFVF E) FFFV2.Identificaelenunciadoincorrecto:A)Enunaanaloganumricalaincgnitaesten lacolumnadelcentro.B) La sucesin: U;N; O;.. Corresponde aunasucesinliteral.C)Unasucesingeomtricanoesunasecuenciadegrficos.D) En una distribucin grfica no intervienennmeros.E)Unasucesinaritmticaposeeunaleydeformacin deformaan+b.3.Anal icecualesdelosenunciadossonincorrectos.1;1;2;3;5;8;13;..I.EsunasucesinlinealII.EsunasucesincuadrticaIII. Es una serieIV.EsunasucesingeomtricaA) Slo IB) Slo II C) I , IVD) II , III E) II,III y IV4.Reflexionaenculdelasalternativasnoserepresentaunasucesin:A) 7;3;-1; -5;-9; -13;B)2x;5x;7x;9x;C) C; E; P; R; E; V; D) 2 + 4 + 6 + 8 +.E) 2X +1; 3X + 2; 4X +3; 5. Discirmina la alternativa que cumple con laanalogamostradaA) B) C)D) E)CapacidadN02:ComunicacinMatemtica6.Indentificalassucesionesconsustrminosensimoscorrespondientes:I 1; 3; 6; 10; 15.II9; 13; 17; 21; 30.III 0; 7; 26; 63; 124;a)4n + 5b)n3 1c)2) 1 ( + n nA) Ia; IIb; IIIc B) Ic; IIa; IIIbC) Ia; IIc; IIIb D) Ib; IIa; IIIcE) Ic; IIb; IIIa es a comoes a ..?RazonamientoMatemtico317.Infieresutrminoensimo:3; 12; 27; 48; 75; A)1 2 + nB) 33nC) 2213|.|

\|+ nD) ( )31 2 nE) 23n8.Enlasucesin:3x;4x;7x;11x;Analizaculesdelassiguientesproposicionessonverdaderas:I. t5 =18xII. tn = tn-1+ tn-2; paran e 3III. t6 = 38xIV. tn = 2n2 3n + 4A)3 B) 1 C) 4D) 2 E) 09.Interprtalarelacincorrecta:9 11 a 2 20 82 210xRy 42 bA) 2(x+y)= RB) y = R+x3C) (a.b)= R + (x.y)D) (y x)+( a - b) =R +1E) (a.x) =R + (b.y)10. Enlasiguientesucesingrfica: ;; ; Identificacualesdelasproposicionessonverdaderas:I. El criterio de giro es antihorarioII. Elcriterio de giro eshorarioIII. El criterio esde aparicin y desaparicinA) Slo I B) Slo II C) Slo IIID) II y III E) I y II CapacidadN03:ResolucinyProblemas11. Analiza quletrasigue.D; D; R; M; S; ...........A) DB) MC) FD) LE) R12.Buscaquletrasigueen.A; A; B; D; G; M; .....A) AB) XC) YD) ZE) W13. Halla el trmino de lugar 10 en:5; 17; 43; 89; 161; ......A)1121 B)1221 C) 1321D) 1421 E) 172114.Calculaelvalordenenlasiguientesucesin:(a + 3)1; (a + 7)3; (a + 11)5; ... ; (a + 118 n)nA) 210B) 20C) 39D) 28 E) 7215.Enlasiguienteprogresinaritmticacreciente:Interpreta el trmino de lugar (a + b + c)A)210 B)213 C) 216D) 219 E) 22216.Juzgacuntostrminosdelasiguientesucesinterminanencifra5.13; 22; 31; 40; ....... ; 904A) 12B) 10C) 11 D) 15 E)2017. Enlasiguientesucesin:;......2925;54;139;21;51Calcula el trmino ensimo.A)1 n 2n2+B)n4 n2+C)n 4 nn22+D)4 nn22E)4 nn22+RazonamientoMatemtico3218.Buscaqufigurasigueenlasiguientesecuencia.; ; ; ; ......A) B)C) D)E)19. De un libro de 226 pginas se han marcadociertonmerodepaginasdelprinci pio;observndosequeenlaspginasquequedanse utilizaran451 cifras.Halla cuntashojassearrancaron.A) 64B) 16C) 44D) 32E) 8820.Elnmerodetiposdeimprentautilizadosen la numeracin de un libro excede al nmerode pginas en 160. Calculael nmero de hojasdedicholibro.A) 134B) 120C) 67 D) 60 E) 9421. En la siguiente sucesin, Interpreta el tercertrminonegativode3cifras.120 ; 113 ; 106 ; 99; .....A)-120 B) - 104 C)-118D)-115 E) - 11122.Dadaslassiguientessucesiones:S1 ; 7; 12; 17; 22; ......; 297S2 : 5 ; 12; 21; 29; .....Formulacuntostrminossoncomunesaambassucesiones.A)10 B) 7 C) 12D) 5 E) 823. Plantea en la siguiente figura cuntas bolitassombreadashay.A) 625B) 360C) 475D) 725E) 8201 2 3 4 5 464748495024.Halla el mximo nmero de tringulos, en:1 2 3 19 20A)180 B)158 C) 160D) 156 E) 17825.Determinacuntostringulossecuentanentotalenlasiguientefigura.A) 50501 2 3 48 49 50B) 5030C) 5020D) 5000E) 512026.Calculaelresiduodelasiguientedivisin:1221 2003+=UNHVHUNHVHEA)1 B) 0 C)2D) 3 E) 427.Interpretacuntostringulossecontarnenlaposicin100?A) 103B) 300C) 301D) 275E) 725(1) (2) (3)RazonamientoMatemtico33 6.1. SERIESSerieEslasumadetodoslostrminosdeunadeterminadasucesin.Sealasucesin:2 ; 7 ; 12 ; 17 ; 22Entonceslaserieser:2 + 7 + 12 + 17 + 22SeriesNotablesSumadelosnprimerosnmerosnaturalesconsecutivos.21) n(nn 4 3 2 1+= + + + + + Sumadelosnprimerosnmerosnaturalesparesconsecutivos.1) n(n 2n 8 6 4 2 + = + + + + + Sumadelosnprimerosnmerosnaturalesimparesconsecutivos.2n 1) - (2n 7 5 3 1 = + + + + + Sumadeloscuadradosdelosnprimerosnmerosnaturalesconsecutivos.61) 1)(2n n(nn 3 2 12 2 2 2+ += + + + + Suma de los cubos de los n primeros nmerosnaturalesconsecutivos.23 3 3 321) n(nn 3 2 1 |.|

\| += + + + + Sumadelosnprimerosproductosconsecutivos. Tomados de 2 en 2) 1 n ( n ... 4 3 3 2 2 1 + + + + + 32) 1)(n n(n + += Tomados de 3 en 3) 2 n )( 1 n ( n ... 5 4 3 4 3 2 3 2 1 + + + + + + 43) 2)(n 1)(n n(n + + +=Suma delosinversosde losproductos dedosnmerosconsecutivos:) n (n) n ( n 1 11...4 x 313 x 212 x 11+ ++ + + =EjemploN01Calcula elvalor de:2 2 2 210 11 .... 3 4 2 3 1 2 S + + + + =A)3410 B) 3 452 C) 4 134D) 3 420 E) 5 423ResolucinOrdenando ytransformando laserie, tenemos:11 10 .... 4 3 3 2 2 1 S2 2 2 2 + + + + =) 1 10 ( 10 .... ) 1 3 ( 3 ) 1 2 ( 2 ) 1 1 ( 1 S2 2 2 2+ + + + + + + + =) 10 10 ( .... ) 3 3 ( ) 2 2 ( ) 1 1 ( S2 3 2 3 2 3 2 3+ + + + + + + + =Separandoendosseries:) 10 .... 3 2 1 ( ) 10 .... 3 2 1 ( S3 3 3 3 2 2 2 2+ + + + + + + + + =22) 11 ( 106) 21 ( ) 11 ( 10S||.|

\|+||.|

\|== 385 + 3 025 S = 3 410 CAPTULO VISERIES, SUMATORIAS Y CONTEO DE FIGURASRazonamientoMatemtico34SumadetrminosdeunaProgresinAritmticaSea:S = 1t+ 2t+ 3t+ 4t+ + nt +r+r+rEn general:donde:1t: primer trminor: razn aritmtican : nmero de trminosnt : ltimo trminoSumadetrminosdeunaProgresinGeomtricaSea:S = 1t + 2t + 3t + 4t ++ ntxq xqxqEn general:donde:1t: primer trmino q: razn geomtrica n: nmero de trminosnt : ltimo trminoSumadetrminosdeunaserieasociadaaunasucesinpolinomialdeordennutilizandonmeroscombinatoriosSealaserie:S = 1t + 2t+ 3t+ 4t+ .. +nt

1k 2k3k4k

1q 2q 3q r rSe debe cumplirlo siguiente: n2t tSn 1n||.|

\| += 1 q) 1 q ( tSn1n= q 1tS1= PropiedadesEjemploN02Calcula el valor de la suma de los 20 primerosnmerosdelasiguienteserie:S = 2 + 3 + 6 + 11 + 18 +A)2510 B) 4 502 C) 3 120D) 3 150 E) 2 345ResolucinAplicandonmeroscombinatorios:S =2 +3+6+11+ 18 + ..C C C2032022012 1 2 S + + =||.|

\| +||.|

\|+ =1 2 318 19 2021 219 201 ) 20 ( 2 S2280 190 40 S + + = S = 2 510SumaLmiteSealaserie:S = 1t+ 2t+ 3t+ 4t+ xq xq xqEn general:donde:1t : primer trmino q : razn geomtrica ( 0 < q < 1) S = C C C Cn4n3 1n2 1n1 1r q k t + + + +1+5+3+7 +2+2+2 n nnn2n1n0103107nk nnknnn1n02 C ... C C CC C C C1 Cn C1 C= + + + + -= = -= -= -= -RazonamientoMatemtico35 6.2.SUMATORIASSumatoriaEslasntesisdeunaserie.Sea la serie: 2 + 7 + 12 + 17 + 22Entonceslasumatoriaser: =51 k3) (5kNotacin _

sumatoria la de desarrollon 1 n 2 p 1 p pnp kka a a a a a + + + + + = + +=donde: n : lmite superior o ndice superiorp : lmite inferior o ndice inferiorka :trminogeneral :operadorsumatoria(Sigma)Sumatoriasnotables1. Sumatoriadelosnprimerosnmerosnaturalesconsecutivos.21) n(nkn1 k+==2. Sumatoriadelosnprimerosnmerosnaturalesparesconsecutivos.1) n(n 2kn1 k+ ==3. Sumatoriadelosnprimerosnmerosnaturalesimparesconsecutivos.2n1 kn 1) (2k = =4. Sumatoriadeloscuadradosdelosnprimerosnmeros naturalesconsecutivos.61) 1)(2n n(nkn1 k2+ +==5. Sumatoriadeloscubosdelosnprimerosnmeros naturalesconsecutivos.2n1 k321) n(nk||.|

\| +== 6. Sumatoriadelosnprimerosproductosconsecutivos.6.1. Tomados de 2 en 23) 2 n )( 1 n ( n) 1 k ( kn1 k+ += +=6.2. Tomados de 3 en 34) 3 n )( 2 n )( 1 n ( n) 2 k )( 1 k ( kn1 k+ + += + +=7. Sumatoriadelosinversosdelosproductosdedosnmerosconsecutivos) n (n) x ( x 1 11n1 X+ +==Propiedades1. Nmerode trminos deuna sumatoria.1 m n trminos de N aknm k+ = =Casoparticular:n trminos de N akn1 k= =2. Sumatoriacontrminogeneralconstanteonumrico.1).c m (n c trminos). de (N cnm k+ = ==Casoparticular:n.c cn1 k==3. Sumatoriadeuntrminogeneralconcoeficiente = ==n1 kn1 kk a ak4. Sumatoria deun trminocompuesto = = = = = n1 kn1 kn1 kn1 kck bk ak ck) bk (ak5. Descomposicinen2omssumatorias = = = =1 - m1 kn1 knm kak ak akRazonamientoMatemtico366.3. CONTEO DE FIGURASConsisteendeterminarelmximonmerodef iguraspudiendoserestsngul os,segmentos,tringul os,cuadrilteros,semi circunf erencias,cubos,etc;queseencuentranpresentesenunadeterminadafiguradada.FiguraSimple FiguraCompuestaCuandoensu Cuando en suinteriornoaparece interioraparecenotrafigura. otrasfigurassimples.MTODOS PRCTICOS DE CONTEOMtodoCombinatorioConsiste en asignar nmeros y/o letras a todaslasfigurassimples, posteriormenteseprocedeal conteo creciente yordenado defiguras de 1nmero,alunir2nmeros,alunir3nmeros,etc.MtododeInduccinConsisteenanalizarcasosparticularessegnlafiguradada(figurasanlogas),tratandodeencontrar una ley de formacin coherente, paraluegopodergeneralizar (encontrarlafrmula).PRINCIPALES FRMULAS PARA EL CONTEODE FIGURASConteodeSegmentosConteodeTringulosCasoI = 13n24 13n24 m 3 2 4 1 1 3 n 2 13H24 3 V 2 #=2) 1 n ( n + # =2) 1 n ( n + # A =2) 1 n ( n + # A =2) 1 n ( n + m # Z =2) 1 n ( n + 13n24 1 3

n 2 13n24 1 3 n 2 #=2) 1 n ( n + #=2) 1 V ( V2) 1 H ( H ++ CasoIIConteodengulosConteodeSectoresCircularesConteodeCuadrilterosCasoICuandotieneunasoladimensin(horizontalovertical).CasoIICuandotienen2dimensiones(horizontalesyverticales).ConteodeDiagonales#de Diagonales= 2(#deCuadrilteros)RazonamientoMatemtico37ConteodeCuadradosCasoICuandosus2dimensionessoniguales.CasoIICuandosus2dimensionessondiferentes.OBS: Multiplicar las dos dimensiones hasta queunodelosfactoressea1paraposteriormentesumarlosresultados.ConteodeCubosCasoICuandosus3dimensionessoniguales.CasoIICuandosus3dimensionessondiferentes.OBS:Multiplicarsustresdimensioneshastaqueunodelosf actoressea1paraposteriormentesumarlosresultados.13n2 3 n 2 ConteodeParaleleppedosConteodeSemicircunferenciasdonde:n : Nde DimetrosEjemploN03Calculaelnmerototaldecuadrilteros,enlasiguientefigura..A)3B) 4C) 8D) 12E) 22ResolucinEnumerandolafiguradada:Efectuandoelconteotenemos:De 1 nmero: 1; 3; 4; 6 4De 2 nmeros: 12; 23; 35; 56 4De 3 nmeros: 123; 356; 245 3De 4 nmeros: 2345 1Totaldecuadrilteros:123 n 1 p 2 132m 1 3 2 1 3 n 2 n - 1 # =6) 1 n 2 )( 1 n ( n + + #= m.n + (m1)(n1) + (m2)(n2) + 3 n 1 n 2 132n 1 3 2 13m2 3 n 2 #=22) 1 n ( n((

+ #= 2 n 6 1 2 4 5 3 #= mnp + (m - 1)(n - 1)(p - 1)+ . . . #=2) 1 p ( p2) 1 n ( n2) 1 m ( m +++ RazonamientoMatemtico38PRCTICA N06Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1.Interpretaelvalordeverdadlassiguientesproposiciones:a)Unaserienumricaeslasumaindicadadelostrminosdeunasucesinnumrica.b) En la serie geomtrica el valor del trminoensimo esta dado por la siguiente relacin:11=nq tnt .c)q:significalacantidaddetrminosdeunaseriegeomtrica.A)FVFB) FFF C)VVFD)VVV E)FVV2.Identificalossiguientesconceptosconsucorrespondiente:a)Secuenciadetrminosregidosporunaleydeformacin.b)Sumaindicadadelostrminosdeunasucesin.c)Sntesisdelaserie.I. SumatoriaII. SerieIII. SucesinA) a-I; b-II; c-III B) b-I; c-II; a-IIIC) c-I ; b-II ; a-III D) a-I ; c-II ; b-IIIE) c-I ; a-II ; b-III3.Sobre una carretera hay colocados 8 troncosdistantesunadeotra6metros.Discriminaladistanciaquetendrquerecorrerunapersonaque los tenga que llevar uno a uno a un camincolocadoa 10metrosdelprimertronco.A)494 B)500 C) 504D) 496 E) 4984.Identif icacualdel osenunciadossoncorrectos con respecto a la siguiente sumatoria. |.|

\|1512 3k4.Identif icacualdel osenunciadossoncorrectos con respecto a la siguiente sumatoria. |.|

\|1512 3kI.Sudescomposicines: + + 15121511513 k .II.Sudescomposicines: + 15121511513 kl.III. Su descomposicin es: 15121513k.A) I B) II C) IIID) I y II E) Solo II y III5.Analiza la siguiente figura si es verdad o falsolossiguientesenunciados.I. El nmero de tringulos con asteriscos es14.II.El nmerode tringulos sin asteriscoses10.III. El nmero total de tringulos es 24.A)VFVB)FFFC)VVVD)VFFE)FVF6.Enunafiestaasistieron115personas.Aliciabailocon6muchachos,Celitalohizocon9,Sabinacon 14, y as sucesivamentehasta queSonia (la ltima) bailo con todos ellos.Anticipacualesvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:a)Lacant idaddemuchachosquenoasistieronalafiestason100b)Lacantidaddemuchachasquehayenlafiestason15c)La cantidad de muchachos y muchachasqueasistieronalafiestafueron105d) La cantidad de muchachos que asistieronalafiestafueron105e) El nmero de muchachas es divisible portres.A)FVFVVB) FFFVV C) VVFVVD)VVVVF E) FFVFFRazonamientoMatemtico397.De lasiguienteserie: 7 ......... 15 .......... 47 38 29 20 ba a E + + + =Anticipacualeselvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:a) El trmino ensimo es.......... 11 9 + = nntb) El valor de a b = 5.c)Laserietiene96trminos.d)Laseriepresentadacomounasumatoriaes:( )..........94111 9+ = n EA)FVV B) FFV C)VVFD)VFFV E)VFVCapacidadN02ComunicacinMatemtica8.interpretalafiguraymensionarsu valordeverdaddelosenunciados.I.Elnmerototal detri nguloses:2) ( m n nm II. Si m y n son iguales el nmero de tringuloses n3.III. Si m = 6 y n = 7 la cantidad de tringulosquehabraes:280A)VFV B) FFF C) FVFD) VFF E) FVF9. En lasiguienteserie aritmtica. 67 ......... 132 12 n n E + + =,tiene129trminos.Infieresiesverdad(v)ofalso(f),losiguiente:a. El valor de n es 7.b. Larazndela seriees 6..c.Lasumadelos20primerostrminoses:3490.d. El termino de lugar 20 es: 222.e. El termino 237 ocupa el lugar 22.A)FVFVV B) FFFVV C)VVFVVD)VFVVF E) FFVFF10.Infierelosiguiente:I.Silabaseescuadrangularcuntaspirmidesexistieran.II. Si la base es cuadrada cuantas pirmidesexistieran.III.Lasumadelacantidaddepirmidesdebasecuadradaycuadrangulares.A)288;112;5000B) 288; 116; 500C) 288; 112; 500D) 298; 112; 500E) 208; 120; 51011.Analizalaverdadofalsedaddeacuerdoalsiguientearreglolosiguiente. .......... 6 9 3 4 6 2 2 3 1 + + + + + + + + + = SI. Si la serie tiene 40 sumandos la suma ser560.II.Laserieesconvergente.III. La cantidad de sumandos que debe tener,paraquelasumadelaseriesea3400es100.A)VFV B) FFF C)VVFD)VVV E) FFV12.Delasiguienteserie: + + + +44120......... ..........1639241.Identifica cual o cuales son representadas comosumatorias.I. ( )+20121 nnII. ( ) ( )+++712120821 nnnnIII. ( ) ( ) ( )+++++712114821201521 nnnnnnA) I B) IIC) IIID) Solo II y IIIE) TodasRazonamientoMatemtico4013. Un atleta recorre el da de hoy 15 kilmetrosycadadaquepasaunkilmetromsqueeldaanterior.Interpretalosenunciados:I.Ladistanciaquerecorri,sielpenltimodarecorri33kilmetros.II. El trmino ensimo.III. El valor de la suma de serie hasta el ltimodasera:A) 490; tn= 4n+1; 410B) 490; tn= 3n+1; 490C) 490; tn= 2n+1; 490D) 490; tn= n+1; 490E) 490; tn= n+1; 69014.Un camionerolleva ladrillos de un depositoasufabrica yllevalaprimeravez 28,peroselecaen7,entoncesdecideaumentara16ladrillosporviaj econrespectoacadaviajeanterior, perolascadasaumentan deviajeenviajeen4ladrillos.Sideseaacumular2700ladrillos.Interpretacuantosviajesdebehacer.A)26 B) 15 C) 24D) 35 E) 20CapacidadN03ResolucindeProblemas15.Delasiguienteserie: 100 ......... .......... 23 22 21 + + + = S.A)2025 B)2205 C)5048D) 4840 E) 505016. Determinael valordex+ysi:1+3+5+7+..+x=1962+4+6+8+..+y=420A)27 B) 40 C) 67D) 40 E) 6917. Infiera la cantidad de tringulos que hay enlasiguientefigura.A)92B) 93C) 94D) 95E) 9718. Lacantidad de segmentoscomo mximoquehayenlasiguientefiguraser 1 23 10 A)502 B)4620 C) 492D) 522 E) 16519.Halla la cantidaddengulos agudos delasiguientefiguraA)26B) 28C) 20D) 23E) 2120.Delasiguientefigura.Indicacuantoscuadrilteroshay.A)32B) 33C) 30D) 35E) 3621. Ed piensa pagar por una bicicleta BMX delasiguienteformacadafindemes,elprimermesS/.0,25,elsegundomesS/.1,eltercermesS/.2, 25,el cuartomesS/.4yassucesivamente durante 20 meses. Analizacualser el precio final dela BMX.A)S/.400,50B)S/.717,50C) S/.350,50D) S/.700,50E) S/.750,5022. Determina la suma de todos los trminos delasucesinfinita.4; 7; 12;19;28;.; 292A)1752 B)1896 C) 1863D) 1785 E) 1836RazonamientoMatemtico41 Enunciado Lenguaje Matemtico Traduccin Forma Verbal Forma Simblica Oracionestraduci dasdellenguajecastellanoallenguajesimblicoLasumadetresnmerosconsecutivos x+(x+ 1)+(x+2) Elcubo de la suma de dos nmeros3) b a ( +Lasumadeloscubosdedosnmeros3 3b a + A excede a B en 11 A es mayor que B en 11 El exceso de A sobre B es 11 B es excedido por A en 11A B = 11 A = x + 11 1 B = x A es a B como 3 es a 8 La relacin entre A y B es 3/883BA= A = 3k B = 8k A es el doble de B A es dos veces B B es la mitad de A A = 2B A = 2kB = k Aestres vecesmsqueB Aes tresveces mayor que B A = 4B A = 4kB = k La mitad de un nmero aumentado en 5x + 52 7.1. PLANTEO DE ECUACIONESPlantearunaecuacinconsistebsicamenteenlatraduccindeunenunciadoliteralaunenunciadosimblico(ecuacin).Esquema:EjemploN01Matematiza el siguiente enunciado: Una maanasoleadaGustavo,lediceaCarlos:YotengoS/. 22 ms que t.Yo:22 +xT: xEcuacinEs una relacinde igualdad que se establecenentre2expresionesalgebraicasquetienencomo mnimo una variable.Conjuntosolucindeunaecuacin(CS)Esl arelacindetodaslassoluci onesparticularesquepresentalaecuacin.EcuacinLinealEs de la forma: ax + b = 0; a=0donde C.S. =)`abEcuacinCuadrticaEs de la forma:0 c bx ax2= + +; a=0donde C.S. = } x ; x {2 1adems:a 2ac 4 b bx2) 2 , 1 ( =CAPTULO VIIPLANTEO DE ECUACIONES, EDADES Y MVILESRazonamientoMatemtico42EjemploN02En un examen de 30 preguntas, cada respuestacorrectavale 4 puntos,la incorrecta -1punto yen blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82puntosynotoqueporcadarespuestaenblancotena3correctas.Cuntascontestcorrectamente?A)20 B) 7 C) 13D) 21 E) 14ResolucinN depreguntasenblanco:xN depreguntascorrectas:3xN depreguntasincorrectas:(304x)Delenunciadotenemos:x(0)+3x(4)+(304x)(-1)=82 12x 30 + 4x = 82 16x = 112 x = 7Piden:N depreguntascorrectas=3x = 3(7) = 21Contestcorrectamente21preguntas.7.2. EDADESEn el tema de edades intervienen sujetos cuyasedadesse relacionanatravsdeltiempobajouna serie de condiciones que deben cumplirse,dichasrelacionessetraducenenunaomsecuacionessegnindicaelproblema.CasosFrecuentesa)CuandointervienelaedaddeunsolosujetoSealaedadactualdelsuj eto:naos,entoncesdentrodeaaostendrn+aaos yhace baostenan b aos.Esquemab)CuandointervienenlasedadesdedosomssujetosPararesolverestostiposdeproblemassesugiereelusodeuncuadrodedobleentradaconelpropsitodeordenaryrelaci onarconvenientementelosdatos.EsquemaObservacin*Ladiferenciadeedadesde2personasesconstanteencualquiertiempo.*Lasumaenaspadevaloresextremossimtricosesconstante.EjemploN03ManueltienecuatroveceslaedaddesuhijoDavid; dentro de 20 aos Manuel tendr el doblede la edad del hijo. Cuntos aos tiene el hijoactualmente?A)10aos B) 11aos C) 12aosD) 13aos E) 14 aosResolucinDelenunciadotenemos:4x + 20 = 2 (x + 20)desarrollandox = 10Piden determinar la edad del hijo: x = 10 aos El hijo de Manuel tiene 10 aos. Edad actual - b+a n b nn + aPresenteFuturoPasado Pasado PresenteFuturo Sujeto 1 Sujeto 2 EDADES TIEMPOS SUJETOS Pasado PresenteFuturo Manuel David 4x x 4x + 20 x + 20 Edad de Manuel = 2 (Edad de su hijo) RazonamientoMatemtico43 PresenteFuturoPasado T Yo l tenas, tuvistetienestendrs, tengas tena, tuvetengotendr, tengatena, tuvotienetendr, tenga Ubicacindeexpresionesfrecuentes,queencontramosenlosenunciadosenunatabladedobleentrada.c)RelacionesentreelAodeNacimientoylaEdaddeunseujetoPara todo sujeto,se cumple quelarelacindesuedadactual,suaodenacimientoyelaoactualeselsiguiente:Cuandoelsujetocumpliaosenelpresente,se cumpleque:Cuando el sujeto todava no cumpli aos en elpresente,secumpleque:EjemploN04Gustavonacienelaoxy 19 yen1980tuvo(x+y)aos. Cuntos aostendr el2 006?A)35 B) 36 C) 37D) 38 E) 39ResolucinComo:Ao de nacimiento + Edad = Ao actualEntonces:xy 19+ (x + y) = 1 980 1 900 + 10x + y + (x + y) = 1 98011x + 2y = 80dando valores: 11(6) + 2(7) = 80 En el 2 006, tendr: 2 006 1 967: 39 aos 1ACTUALAOACTUALEDADNACIMIENTOAO = + ACTUALAOACTUALEDADNACIMIENTOAO= + V A t B d 7.3.MVILESLosproblemassobremvilesestnrelacionadosalestudiodelmovimientodeloscuerposydesuscaracterst icasfundamentales(distancia,velocidadytiempo).MovimientoRectilneoUniforme(M.R.U)Esaqueltipodemovimientoquetienecomotrayectori aunalnearecta, ademssecaracterizapormantenersuvelocidadconstante (mdulo, direccin y sentido) durantetodo el movimiento.Engeneral:DadounmvilquesemuevedesdeelpuntoAhastaB,segnseindicalafigura:Se cumple:empleado tiemporecorrida cia tan disvelocidad=LeyesdelMovimientoRectilineoUniformetdv =d = vtvdt =TIEMPODEALCANCE 2 1AV VdT=TIEMPODEENCUENTRO2 1EV VdT+= V1V2 tt d d V1V2 t t RazonamientoMatemtico44 TRENPUENTE TRENcVL LT+= TRENTRENcVLT =2 Tren 1 TREN2 Tren 1 TRENcV VL LT++= V2 t d V1 t TIEMPODESEPARACIN2 1EV VdT+=TIEMPODECRUCE*Entre un puente*Entreunapersona*EntredostrenesDonde L:longitud deltreny/o delpuented:distanciaqueseparacininicial2 1V y V :velocidadesEquivalenciasnotables 1 km < > 1 000 m18 km/h < > 5 m/s1h < > 3 600 s1 min < > 60 sObservacin:velocidad delsonido340 m/sEjemploN5ParairdeunpuntoAaotroB,unapersonacamina a razn de 8 km/h y para volver al puntode partida lo hace a razn de 5 km/h. Se deseasaberelespaciototalrecorridaporlapersonasabiendoqueenelviaj edeidayvueltahaempleado entotal 13horas.A) 80 km B) 90 km C) 70 kmD) 60 km E) 50 km 8 km/h A t1 B x 5 km/h t2 ResolucinGraficandosegnelenunciado:Por dato: 13 t t2 1= + 135x8x= +x = 40 El recorrido total es: 2x = 2(40) = 80 km.PRCTICA N07Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1.Establecelaverdad(V)ofalsedad(F)delassiguientesproposiciones:I. La trayectoria es el movimiento a la curvaquedescribeelcuerpo.II.Lacinemticaeselestudiodelosmovi mientosenf unci nalti empoindependientedelasinteraccionesquelosproduceIII. Siendolavel ocidadinstant aneaconstante,necesariamente,lavelocidadmedia estambinconstantee igualav.A)FVVB) VFV C) VVFD) VFF E) VVV2.Con respecto al movimiento de los cuerpos,identificaelvalordeverdaddelassiguientesproposiciones:I. Movimiento: es el cambio de posicin queexperimentauncuerpoconrespectoaltiempo.II.Desplazamiento:cambiodeposicindeuncuerpoIII. Trayectoria: camino que sigue un cuerpoen movimiento.IV. Velocidad: es la distancia recorrida en launidad de tiempoV. Movimiento rectilneo uniforme:es el querealizaunmvilquesigueunatrayectoriarectaA)VVFFVB) VFFVVC) FVVVFD)FVVVV E) VVVVVRazonamientoMatemtico455.Esquemat izaaseguirpararesolverproblemasdeecuaciones:I. Plantearla ecuacinII.Designar laincgnitaIII.Leer ycomprender elenunciadoIV.ResolverlaecuacinV.Discusineint erpretacindelosresultadosA) I. II, III, IV, V B) II, III, IV, V, IC) III, IV, V, I II D) III, II, V, I, IVE) III, II, I IV, V6. Analiza el siguiente enunciado y diga cuantasdeestosenunciadossonverdaderos:I.ElmvilrecorredistanciasigualesentiemposigualesII.LavelocidadesconstanteIII.LavelocidadyeldesplazamientotienenlamismadireccinysentidoIV. La magnitud de la velocidad es igual a larapidezV.LamagnituddeldesplazamientoesigualalarpidezA)2 B) 5 C) 3D) 3 E) 4Capacidad02:ComunicacinMatemtica7.Elprofesor deuncolegiole dicealDirectorsiseformanfilasde7niossobran5,perofaltaran4niosparaformar3filasmsde6nios.Hallacuntosniosson:A)72 B) 61 C) 68D) 116 E) 928. Un comandante dispone sus tropas formandouncuadradoyvequelequedanfuera36hombres.Entoncesponeunhombremsencadaladodelcuadradoyvequelefaltan75hombresparacompletarlcuadrado.Buscacuntoshombreshabiaenelladodelprimercuadradoycuntoshombreshayenlatropa.A) 50 y 3 051 B) 55 y 3061C) 56 y 3060 D) 60 y 3000E) 55 y 30609.Enunexamende30preguntas,cadarespuestacorrectavale4puntos,laincorrrecta-1puntoyenblanco0puntos.Siun estudiante obtuvo82puntosy notque porcadarespuestaenblancotenia3corrrectas.Calculacuntascontestoincorrectamente.A)4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 610.Un ganadero compr30 cabaloos ms quevacasytantoscerdoscomocaballosyvacasjuntos, pagando por las vacas el doble que porlos caballos, adems por dos vacas pag tantocomo por 7 cerdos y gast lo mismo.Resuelvacuntosanimalescompr.A)240 B)180 C) 140 D) 120 E) 20011.Varioslorosseposanenpostescontravesaos. Cuando hay un loro en cada poste,3lorosestanvolandoperocuandoencadapostehay3lorosquedan3posteslibres.Determina el nmero depostes.A)9 B)10 C) 8 D) 6 E) 1212.Enunnegociodeavessevendenpavos,gallinas y codornices. Son todos gallinas menos5,sontodospavosmenos7,ysontodoscodornices menos 4, si un cliente compr todaslasgallinasycodornices,interpretacuantos:A)Compr8aves B) Slo qued1pavoC) Dej 3 pavos D) Habian 7pavosE)Llev16aves13.5librosy3cuadernoscuestan350solesmscaroque3librosy5cuadernos.Analizacuntossolesmsbaratoqueunadocenadelibroscuestaunadocenadecuadernos.A)15 B) 20 C) 21 D) 22 E) 20,514.Unniofuecon36solesparacomprarpelotas, pero al llegar a su destino se enterquecadapelotacostaba1solmenosdeloquecrea,dondededujoqueconelmismodineroque llevabapodacomprar3 msdeloquepens.Resuelvacuntaspelotascompr.A)9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13Capacidad03:ResolucindeProblemasRazonamientoMatemtico4615. En una reunin el nmero de caballeros esdosvecesmsqueelnmerodemujeres;despus de que se retiran 8 parejas el nmerodehombresqueanquedaesigualacuatroveceseldedamas.Interpretecuntoscaballeroshabainicialmente.A)16 B) 32 C) 48 D) 64 E) 7216.Untrenquepasapordelantedeunobservadorinmovil,demora7segundosyalpasarporunaestacinde360m.demora22segundos.Deduzcasuvelocidad.A)20m/s B) 21m/s C) 22m/sD) 23m/s E) 24 m/s17.Larapidezdeunbotedeidaes20km/h;cuandovaderegreso(contralacorriente),logra una rapidez de 15 km/h. Halla elespaciorecorridosivadeHunucoahuancayo,sabiendoademsquedeidademora5horasmenosquederegreso.A) 500km B) 150km C) 225kmD) 300km E) 180km18. Una persona sale todos los das de su casaa la misma hora y llega a su trabajo a las 10:00h; un da se traslada a triple velocidad y llega asu trabajoa las8:00h. Juzgaa quehorasalesiempredesucasa.A)7:00h B) 6:00 h C) 5:00 hD) 4:00 h E) 9:00 h19.Enunacarreratomanparte3cabalolos,A, B y C que han de recorrer1800m. ElCaballo A llega a la meta con una ventaja de60 m sobre B y 8segundos antesque CyB,luegode2segundosantesqueC.Hala cunto tiempo tardo en la carrera el caballoB.A)1min. B) 1min. 20s C) 2 min. 30 sD) 3 min E) 3 min. 10s20.Unmicrobusdebacubrirunaci ertadistancia en un determinado tiempo, pero comoelconductoreranovato,recorrotodoeltrayecto con 1/5 menos de la velocidad normalyllegoconunretrasode4horas.Reconoceencuntas debollegarnormalmente.A)12horas B) 18 horas C) 15 horasD)19horas E) 16 horas21.Dostrenescuyaslongitudesson147my103m marchan sobre vias paralelas en el mismosentido. Si la velocidad del primero es de 48m/sy el segundo demor 50 segundos en pasarlo.Calcula en m/sla velocidad del ltimo tren.A)25m/s B) 15 m/s C) 12 m/sD) 35 m/s E) 53 m/s22.DosmotociclistasJavieryCarlosdisputanunacarrera,cuyorecorridoesde30km.SiJavier le da a Carlos 6 km de ventaja, llegan almismo tiempo a la meta; en cambio si le da 3 kmdeventaj asolamente,leganapor10minutos.CalculacuntomsrpidoesJavierdeCarlos.A) 3,5 km/hB)22,5 km/hC) 18 km/hD) 4,5 km/h E) 14,5 km/h23. Dos ciclistas corren sobre una pista circularde 360metrosde longitud,si vanen el mismosentidoelprimeropasaalsegundoentodoslosminutos;cuandoellosmarchanensentidocontrarioellos secruzana intervalosregularesde12segundos.Hallaculessonlasvelocidadesdelosciclistasenmetrosporsegundorespectivamente?A) 15 m/s y 18 m/s B) 18 m/s y 14 m/sC) 15 m/s y 12 m/s D) 18 m/s y 12 m/sE) 15 m/s y 14 m/s24. En una pista circular de 3 000 m, dos atletaspartenj untosensentidoscontrariosysecruzan al cabo de 20 min.Despus de 5 minutosllegaelmsvelozalpuntodepartida.Buscacul es la velocidad del otro en m/min?A) 30 m/min B) 36 m/min C) 24 m/minD) 18 m/min E)20 m/min25.Dentrode8aoslasumadenuestrasedadesserde46aos;perohacenaosla diferencia de nuestras edades era de 4 aos.Analiza hace cuntos aos la edad deuno erael triple de la edad del otro.A) 10 B) 13 C) 12D) 11 E) 926.Selepreguntoporsuedadaugustoylresponde:Multipliquenpor3losaosquetendrdentrode3aosyrstenleeltripledelosquetenahace3aosyobtendrnprecisamente los aos que tengo. Resuelvaquedadteniaahora.A)11aos B)18aos C) 20aosD) 22aos E) 25 aosRazonamientoMatemtico4727. Cuando yo tenga el doble de la edad que tutenas, cuando yo tenia la mitad de la edad quetuve,cuandotutuvistelaedadqueyotengo,tu tendras el doble de lo que tengo, si nuestrasedadessuman60aos.Interpretecuntosaostendrscuandoyotengaloqueyatedije.A)24 B) 48 C) 36D) 42 E) 5028.Dentrode10aostutendraslaedadqueyo tena cuando tu tenas la edadque yo tenahace34aos.Hallacuntosaostengosidentro de 20 aos la suma de nuestras edadessera98.A)10 B) 20 C) 30D) 40 E) 5029. Cuando tengas lo queyo tengo, tendrs loqueltena, cuando tenasla tercera partedeloquetienesyyotenialatercerapartedeloqueltiene,quees,5aosmsdelosquetendr,cuandotengasloqueyatedijeyltenga loquety yotenemos.Juzgeyo tena:A)5 B) 7 C) 8D) 10 E) 1130.Dentrode8aoslasumadenuestrasedadesser42aos;perohaceaaosladiferenciadenuestrasedadeserade8aos.Calcule hace cuntos aos la edad de uno erael triple de la del otro.A)2 B) 3 C) 4D)5 E)631.Sele preguntapor suedada Augustoylresponde:Multipliquenpor3losaosquetendrdentrode3aosyrestenleeltripledelosquetenahace3aosyobtendrnprecisamente los aos que tengo. Analiza quedadteniaahora.A)11aos B) 18 aosC) 20 aosD) 22aosE) 25 aos32.Hace12aoslaedadde2hermanosestaban enrelacin de 4a 3,actualmente susedadessuman59aos.Calculadentrodecuntosaossusedadesestarnenrelacinde 8 es a 7.A)9 B) 8 C) 7D) 20 E) 21RazonamientoMatemtico488.1. CRONOMETRATiempotranscurrido(TT)ytiempoquefaltatranscurrir(TFT)Paralaresolucindeestetipodeproblemas,esrecomendabletenerpresentelarealizacinde un esquema;por ejemplo:ParaundaEjemploN01Dentro de 10 minutos el tiempo que faltar paralas5:00pmserl amitaddelti empotranscurridodesdelas4:00pmhastahace20minutos.Quhoraes?A)4:20 p.m. B)4:30 p.m. C) 4:40 p.m.D) 4:10 p.m. E) 4:35 p.m.ResolucinSeaxlosminutosqueindicarlahoracorrecta:Del grfico: 2k +k + 20+10 = 60k = 10 minClculodex:x = 2k + 20 = 2(10) + 20 = 40 min Son las 4:40 pm HORA EXACTA Tiempo transcurrido 0 h Tiempo que falta transcurrir 1 Da 24h x24 h (24 x) x 5:00 TFTTT 1hora 60min x4:00 2kk 10min 20min ngulosformadosporelMinuteroyelHorarioCuandoelhorarioseadelantaalminuteroCuandoelminuteroseadelantaalhorar ioEjemploN02Aquhoraentrelascuatroylascincolasagujasdeunrelojestnsuperpuestas?A)4h B) 4 h 11921minC) 4 h 30 minD) 4 h 12935min E) 3 h 21minResolucinComolasagujasseencuentransuperpuestas,entoncesformaranunngulode0,luegoreemplazandolosdatostenemos:

30(4) m2110 + = Desarrollando: m = 11921minLa hora ser 4 h 11921min 8 7 4 12 5 6 39 102 111 o H M 30H M211+ = o 30H M211 = oCAPTULO VIII CRONOMETRA Y CALENDARIOSRazonamientoMatemtico49AdelantosyAtrasosEnestegrupodeproblemasveremossituacionesdondeseencuentranrelojesqueporunmalfuncionamientoseatrasanoseadelantan. Consideremoslossiguientes casos:CuandounrelojseadelantaCuandounrelojseatrasaEjemploN03Si un reloj se adelanta 6 minutos cada3 horasyestoocurri hace 14horas. Quhora seracuandomarca las19h 40min?A) 20 h 08 min B) 19 h 12 minC) 19 h 10 minD) 18 h 44 min E) 19 h 16 minResolucinSegnelenunciado:Seadelanta en6 min3 horas x 14horasPorregla detres simpledirecta:36(14)x =x = 28 minEntonces:Hora real = 19 h 40 min - 28 minHora real = 19 h 12 minLa hora real sera las 19 h 12 minTiemporelacionadoconCampanadas.En general:Nmero de campanadas:Tambin:Hora Real = Hora Adelantada Adelanto Total Hora Real = Hora Atrasada + Atraso Total |.|

\| |.|

\|=intervalo cadade Tiempointervalosde NTotalTiempoNde campanadas = Nde intervalos + 1 EjemploN04Unrelojindicalashorasconigualnmerodecampanadas. Si para indicar que son las 10:00am tarda 18 segundos. Qu hora ser cuandohayatardado12segundosenindicarla?A) 5:00 pm B) 7:00 am C) 8:00 pmD) 5:00 am E) 8:00 amResolucinSegnelenunciado: # campanadas# intervalostiempo 10 918 sx x 112 sPorregla detres simpledirecta:9(12)= 18(x1)x = 7Por dato:Hora marcada = Nde campanadas Ser las 7:00 amRelacionesentreeldesplazamientodelHORARIOy el MINUTERO DesplazamientoDesplazamientodel minutero del horario60 min 5 min 3030 min 2,5 min 1524 min 2 min 1212 min 1 min 61 min 1/12 min 1/2En general:EjemploN05Qu hora indicaelreloj de lafigura?A) 7 h 24 2/3 minB) 7 h 23 1/13 minC) 7 h 24 1/13 minD) 7 h 23 2/13 minE) 7 h 24 3/13 min8 7 4 12 5 6 39 oo m h x minx/12 min 6x x/2 RazonamientoMatemtico50ResolucinDelgrfico:30+ m/2 = o . (1)o +180= 2o + 6m.(2)Reemplazando(1)en(2):m = 23 1/13Ser las 7 h 23 1/13 min.8.2. CALENDARIOSConsiderarlossiguientesdasdecadames:Enero = 31 Febrero = 28 29 (Bis)Marzo = 31 Abril=30Mayo = 31 Junio = 30Julio = 31 Agosto=31Setiembre = 30 Octubre =31Noviembre = 30 Diciembre = 31Adems;los dasse repitencada7das.PRCTICA N08Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1. Identifiquecuantos de estosenunciados sonincorrectos.I.Unaoesbisiestosiesdivisiblepor4,exceptoelltimodecadasiglo(aqueldivisible por 100), salvo que ste ltimo seadivisiblepor400.II. Una Lunaequivale a 28 diasIII.Elaovigesimalysolarson360y365diasIV.Sihoyessabado,entoncesdentro160diasseraviernesV. Si tu naciste el lunes 23 de noviembre de1981,entoncestucumpleaosenelao2025 caera el da domingoA)0 B) 1 C) 2D) 5 E) 3 8 7 4 12 5 6 39 oo m h m 2 6m 302. De las siguientes afirmaciones sobre relojes,reflexionaculesfalso:A)Lasagujasdeunrelojseencuentrana180cuandoestanenlinearecta.B)Paraqueunrelojdefectuoso,quesufreadelantosoatrasos,vuelvaamarcarlahora correcta por primera vez, es necesarioqueacumuleunadelantooatrasototalde12horas.C)Lasaguj asdeunreloj estansuperpuestasmarcanunngulode0.D) El angulo de arrastre de horarioes6m.E) El tiempo de cada intervalo es igual en uncampanario es igual al tiempototal entre elcocientedenmerosdeintervalos.3. Estaleceel valordeverdaddecada unodelossiguientesenunciados:I.Elhorarioyelminuterodeunrelojsesuperponen23vecesalda.II. Las agujas de un reloj (horario y minutero)formanunngulode90, 48vecesalda.III. Las agujas de un reloj (horario y minutero)forman24veces alda unngulo llano.A)FVV B)VVF C)VFVD)VVV E) VFFCapacidad02:ComunicacinMatemtica4. Relaciona lossiguientes datos sobre lahoray el tipo de desplazamiento de las manecillasdelreloj entrelosdatosdederechaaizquierda.DesplazamientoDesplazamientodel minutero delhorario a. 48 minI. 22,5 b. 90 minII.15 c. 30 minIII. 4 min d. 45 min IV. 7.5 minA) aIV, bI, cII, dIII B) aIV, bIII, cII, dIC) aIV, bII, cIII, dI D) aIII, bII, cIV, dIE) aIII, bIV, cII, dIRazonamientoMatemtico515. Sean las frmulas A y B que relacionanalhorario,minuteroyelnguloquestasf orman;identif icalasf rmulasconlasrespectivashoras. a. 4:36 () b. 7:18 () c. 17:36 () d. 3:20 ()A)BBBA B)AABA C) BABAD) BABB E) BBAACapacidad03:ResolucindeProblemas6.ElrelojdeNeyerdancampanadas12segundos.Hallacuntascampanadassedaran(12n+12)segundos.A) n2+1 B) n2+2 C) n2-1D) n2E) 2n27. Un boxeador da 6 golpes por minuto, Calculacuantosgolpesdaraen10minutos.A)61 B) 51 C) 50D) 60 E) 718.Un reloj de campanario demora 1 min 27 segendarciertacantidaddecampanadas,silascampanadassoncomo10veceseltiempoquehayentrecampanadaycampanada. Resuelva cunto demora en dar6campnadas.A)39s B)17s C)120sD)24s E)15s9. Sonms delas 3 pero anno sonlas 4.Silosminutostranscurridosdesdelas3eseltripledelosminutosquefaltantranscurrirparaqueseanlas4.Juzgaquhoraes:A) 3:50 p.m. B) 3:45 p.m. C) 3:40 p.m.D) 3:30 p.m.E) 3:15 p.m. 30H M211+ = o30H M211 = oA B 10.Eltiempomximoquedebetardarseenresolveresteproblemasedescomponedelmodo siguiente: 1/25 del totalenleerlo, 1/4enplanteralo, 41/100 en operarlo y minuto y medioencomprobarlo. Analizaqutiempotardara.A) 4 min B) 7 min C) 1 minD) 5 min E) 2 min11. Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse unreloj 5 min cada hora. Plantea qu hora marcarcuando la hora corrrecta sea 9 p.m. del mismoda.A) 10:10 p.m. B) 10:12 p.m.C) 10:05 p.m. D) 10:18 p.m.E)10:20 p.m.12.Unrelojmarcalahoraexactaalas 6p.m.Suponiendo que se adelanta 3 min cada 12 h apartirdedichahora.Aplicacuntotiempopasarparaquemarquelahoraexactanuevamente.A)120das B) 150 das C) 180 dasD) 75 das E) 60 dis13. Dos relojes se sincronizan a las 8 a.m. unode ellosseadelanta3 minutoscadacuartodehora y el otro se adelanta 4 minutos cada hora.Plantea cada cunto tiempo marcaran la mismahora.A)108h B) 60 h C) 90 hD) 75 h E)30 h14. Un reloj seala las 4:00 p.m. del da. Analizaaquehoralasdosagujasdelrelojformarunngulorectoinmediatamentedespusdelahoraindicada.A)4horas20minutosB) 4horas63/11 minutosC) 4 horas125/11minutosD) 4 horas8 3/11 minutosE) 4 horas 55/11 minutos15.Formulacadacuntosminutoslasmanecillasdelrelojestanperpendiculares.A)3600/11 B) 240/11 C) 210/11D) 480/11 E) 320/11RazonamientoMatemtico5216. Analizaquehorasealasegungrfica:A)6:28:48B)6:27:48C) 6:26:48D) 6:28:40E) 6:27:4517. Mara sale de su casa cuando su reloj estamarcandolas09:00hyllegaalaacademiacuando el reloj de stamuestra la hora que seindicaenlafigura.Buscaqutiempodursuviaje, si su reloj est adelantado 5 minutos y elde la CEPREVAL esta atrasado 5 minutos.A) 3 min 20 sB) 23 min 20 sC) 13 min 20 sD) 33 min 20 sE) 24 min 20 s18.Calculaque hora sealael reloj:A)4:40B)4:42C) 4:37D) 4:35E) 4:3619.Seconstruyeunrelojquetieneelhorariomsgrandequeelminutero,cuandoMaryvelahoradice:sonlas9:29,sielnguloueforman las manecillas es 114. Juzga qu horaesenrealidad.A)5:47 B) 5:45 1/7 C) 5:48 3/13D) 5:48 E) 5:47 5/720.Naldysedespierta,velahorayconfundeel minutero con el horario y viceversa y dice:sonlas04:42hestempranoseguirdurmiendo.Compruebaquhoraerarealmente.A)08:23h B) 08:22 h C) 08:25 hD) 08:24 h E) 08:21 h12 1012o 2o)34567891112345612o3o789101112345oo+20)678910121121.Unrelojindicalashorasconigualnmerodecampanadas.Siparaindicarquesonlas10:00 a.m. tarda 18 segundos. Plantea qu horasercuandohayatardado12segundosenindicarla.A) 5:00 pm.B) 7:00 am.C) 8:00 pm.D) 5: 00 am.E) 8:00 am.22.Elaboraquehoraserdentrode5horas.Sieltripledelashorastranscurridasdelda,esigualalquintuplodelasquefaltanparatrminar el da.A) 10: 00 am.B) 8:00 am.C) 8:00 pm.D) 7:00 pm.E) 9:00 pm.23.Margaritasaledelaoficinayalmarcarsutarjeta de salida ve que son las 6 h 17 min de lanoche. Alllegarasucasavequesurelojsonlas7h10min. Luego seentera deque el relojdesuoficinaestabaatrasado13minutosysureloj estabaadelantadoen10minutos.Resuelva cunto tiempo demor de la oficina asucasa.A) 43 min B) 3/4 min C) 3/5 minD) 1/2 h E) 23 min24.Manuelalserinterrogadoporlafechadesumatrimonio,contesto:Laceremoniaserealiz transcurrido deaquel aoera igualalacuartapartedeloquefaltabaportranscurrir.Analizaenquef echayhorasecasManuel(febrero28dias)A) 02 demayo,18h.B) 30 de abril, 15 hC) 31 de abril, 10 hD) 03 de mayo, 19 hE) 01 de mayo, 16 h25.Tania nacienel aode1988alas8:00hde un da tal que los das transcurridos del aoeranigualalaquintapartedelosdasquefaltabsntranscurrir.Dar lafecha de nacimientode Tania, sabiendo que elprimero de enero de1988fuelunesyelaofuebisiestoA) Sbado 4 de marzo de1988B) Sbado 5 de marzo de 1988C) Viernes 4 de marzode1988D) Viernes 5 de marzode1988E) Sbado 2 de marzo de 1988RazonamientoMatemtico539.1. PERMETROSPermetroSe denomina permetro (2p) de una figura, a lasuma de las longitudes de todos sus lados o lalongitud de curva que rodea a una detreminadafigura.Notacin: 2p = Permetrop = SemipermetroPrincipalesfrmulasbsicas1. Permetrodeuncuadrado2. Permetrodeunrectngulo3. Permetrodeuntringulo4. Permetrodeuntringuloequiltero5. LongituddeunaCircunferencia6. LongituddearcoABLO = 2 t R

R o B A R BA L 2LLABt= LAB = o t180R 7.Sumadel ongitudesdesemicircunferenciastrazadasenunalnearectaABEjemploN01Calcula el permetro de la figura sombreada, siel lado del cuadrado mide 6 m. (Obs: Las curvassonsemicircunferencias)A) 4t m B) 8 m C) 12t mD) 15t m E) 24t mResolucinEl permetro de la regin sombreada es igual alasumadelaslongitudesdelaslneascurvasquepasanporlosvrticesdelcuadrado.Delgrfico:Longitud de la curva AB = 2ABt = 3t mLongitud de la curva BC = 2BCt = 3t mLongitud de la curva CD = 2CDt = 3t mLongitud de la curva DA = 2DAt = 3t mLuego, el permetro total es: 4 (3t m) = 12t m El permetro es 12t m L2p = 4L B h2p = 2(B+h) b a c 2p = a + b + c L 2p = 3L B A C D CAPTULO IXPERMETROS Y REAS DE REGIONES SOMBREADASRazonamientoMatemtico549.2. REASreadeunasuperficieEl rea de una superficie limitada, es la medidadesuextensin,indicadaporunnmeropositivonico,acompaadodeunaunidadadecuada.Parasimbolizarelreadeunaregin cualquiera se usa comnmente las letrasmaysculas A o S.REAS DE REGIONES CUADRANGULARES1. readeuncuadrado2. readeunrectngulo3. readeunrombo4. readeuntrapecio5. readeunparalelogramoREASDEREGIONESTRIANGULARES6. readeuntringulo/FrmulaGeneral7. readeuntringuloequilteroS = h )2b B(+

b B h 33 hS2=L h 43 LS2= S = o sen2ab a b o R S = t R2

8. readeuntringulo/formatrigonomtrica9. readeuntringuloenfuncindesustreslados/FrmuladeHernDonde: 2c b ap+ +=10. readeuntringuloinscrito11. readeuntringulocircunscrito P = SemipermetroREASDEREGIONESCIRCULARES12. readeuncrculo13. readeunsectorcircular14. readeunacoronacircularb a c ) c p )( b p )( a p ( p S =S = P x r c a r b r R S = ) r R (2 2 t S =2h B B h S = Bh B h S = L2 L S =2d D d D S = (ab) sen o a b h o S =4c b a R c a b S = 360) ( R2o t R o RazonamientoMatemtico55S S B AC M 2SSABC=PropiedaddelBaricentroEntodotringulo,altrazarlastresmedianassedetermi nanseistringulosparci alesequivalentes.donde:GesBaricentroPROPIEDADES DE FIGURAS QUE SE OBTIENEAL UNIR LOS PUNTOS MEDIOSEnuncuadrilteroEnuntringuloCasosparticularesIcaso:IIcaso: B A C D 4S 3S S 3S S 3S S 3S S B A C D S S SS S B AC 20SSABCD= 4SSABC= 2SSABCD= B A C D S S B A C D 12SSABCD= S S S S SS B AC G 6SSABC= T r A E B AE = EB c a r b c a b PRINCIPALES TEOREMASTeoremadePitgorasEn todo tringulo rectngulo, el cuadrado de lalongitud de la hipotenusa es igual a la suma delos cuadrados de las longitudes de sus catetos.

2 2 2a c b + =TeoremadePonceletEntodotringulorectngulosecumplequelasuma de laslongitudes de sus catetos es igualalasuma delalongituddesu hipotenusayeldobledelinradiodedichotringulo.c + b = a + 2rPRINCIPALES PROPIEDADESPropiedadesenlacircunferenciaI. Todo radiohacia elpuntodetangenciaesperpendicularalatangente.donde:TespuntodetangenciaII.Lastangentestrazadasaunamismacircunf erencia,desdeunpuntocomnsoncongruentes(iguales).PropiedaddelamedianaEntodotringulo,altrazarunamediana(AM)sedetermi nandostringulosparci alesequivalentes.RazonamientoMatemtico56Relacindereasentringulossemej antesSi2tringulossonsemejantes,larelacindesusreasesigualalarelacindeloscuadradosdeloselementoshomlogos.LUNULA DE HIPCRATESEjemploN02Hallaelreadelareginsombreada,silamedidade AB es iguala aunidades.A) a2 (t 2)B) a2 (t 3)C) a2 (t 2)/2D) a2 (t 2)/4E) a2 (t 3)/2ResolucinTrazandoelsegmentoABytrasladandolasregionessombreadascomosemuestraenlafiguraDelgrfico: = Luego:sombS = 2axa4) a (2tsombS = 2a4a x2 2tsombS = 4) 2 ( a2 t

El rea sombreada mide: 4) 2 ( a2 tEjemploN03Si ABCD es un cuadrado, calcula el rea de lareginsombreada.A) 6 cm2B) 9 cm2C) 12 cm2D) 16 cm2E) 18 cm2ResolucinTrazandolaotradiagonalytrasladandolasregionessombreadascomosemuestraenlafiguraLuego elrea delareginsombreadaeslacuartapartedelreatotal.sombS = 4L2 = 462= 9 m2

El rea de la regin sombreada es 9 m2. B AD B A C D B A C D B A C D 6cm B AD B AD A B C X M Z Y M = X + Y + Z 22222222MNPAMByh.....rRnbmaSS= = = = =R ca b h C A B r pm n y P M N RazonamientoMatemtico57PRCTICA N09Capacidad01:RazonamientoyDemostracin1.Identificaelenunciadoincorrecto:A) El rea de un crculoes porelcuadradodesuradioB) Si elrea de uncrculo ysupermetrosonnumricamenteigualesentonceselradioes2unidadesC) El rea de unareginhexagonalregulardeladoxes33x2/2D) El rea de un tringulo equiltero delado a es a2/4E)Lacircunferencianotienerea.2. Infiere el valor de verdad de cada una de lassiguientesproposicionesI. Toda regin poligonal tiene permetroII.Un tringulo no tiene permetro ni reaIII.ElreadeunaregincuadradaeslalongituddesuladoalcuadradoA) FFF B)VVF C)VFVD)VVV E) FFV3.Analizaelgrficoydeterminalaverdadofalsedaddelasproposiciones,sabiendoquecadarecuadrocontiene4cm2derea.I. El permetro es 36cmII.El rea de la regin sombreada es: (21 /4 + 80) cm2III.Elreadelareginsombreadaes:(64 - 21 /4 +