4 Diferensiasi Vektor

7/21/2019 4 Diferensiasi Vektor

1/12

TKS 4007Matematika III

Diferensial Vektor(Pertemuan IV)

Dr. AZJurusan Teknik SipilFakultas TeknikUniversitas Brawijaya

Fungsi Vektor

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A,maka A bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t ),yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakanfungsi dari nilai skalar t . Dalam R 2, fungsi vektor biasa ditulisdengan :

Sedangkan dalam R 3, fungsi vektor ditulis dengan :


2/12

Fungsi Vektor (l n ut n )Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik( x , y , z ) di R 3 dikaitkan dengan suatu vektor A , maka A bisadinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:

Turunan Biasa

Definisi :A(t ) adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuahvariabel t . Jika liminya ada, didefinisikan turunan dari A(t ),sebagai berikut :

Jika fungsi vektor = A 1 + A + A dengan fungsiskalar A1 , A , dan A dapat diferensialkan terhadapvariabel t , maka A(t ) mempunyai turunan variabel terhadap t yang dirumuskan sebagai berikut :


3/12

Turunan Biasa (l n ut n )

Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor : Jika A , B , dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuahskalar t yang diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka sifat-sifat turunan biasa fungsi vektoradalah sebagai berikut :



4/12


Bukti :

(i)


(ii)

Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), dan (vi) dijadikan untuklatihan!


5/12

Turunan Biasa (l n ut n )Contoh :Jika = + 2 + 2 + dan = + 2 + 2 +

. Tentukan . di t = 0.Penyelesaian :Cara 1


pada saat t = 0, maka :


6/12

Turunan Biasa (l n ut n )Cara 2 (menggunakan sifat turunan)

pada saat t = 0, maka :

Turunan Parsial

Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satuvariabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecualisatu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan.

Misalkan A adalah sebuah fungsi vektor yang tergantungkepada variabel skalar x , y , dan z , maka dapat ditulis sebagaiA = A( x , y , z ). Ketiga turunan parsialnya didefinisikan sebagai

berikut:


7/12

Turunan Parsial (l n ut n )

adalah masing-masing turunan parsial dari A terhadap x , y ,dan z , jika limitnya ada.


Jika fungsi vektor , , = A 1 , , + A , , +A , , dengan fungsi skalar A1 , , , A , , , danA , , mempunyai turunan parsial terhadap variabel x , y ,dan z , maka juga mempunyai turunan variabel terhadap x , y ,dan z yang dirumuskan sebagai berikut :


8/12

Turunan Parsial (l n ut n )Sifat-sifat turunan parsial fungsi vektor : Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsiskalar x , y , dan z yang diferensiabel terhadap ketiga variabeltersebut, maka berlaku :


Bukti :

(i)


9/12


Pembuktian sifat (iii), (iv), dan (v) dijadikan untuk latihan!

(ii)


Aturan RantaiJika fungsi vektor = , , terdiferensial terhadapvariabel x , y , dan z , dimana = , , , = , , ,dan = , , adalah fungsi skalar yang terdiferensialterhadap variabel s , t , dan u , maka bentuk fungsi tersusun F dapat ditulis seperti berikut :


10/12

Turunan Parsial (l n ut n )Turunan parsial F terhadap variabel s , t , dan u dapat diberikansebagai berikut :


Contoh :

1. Jika = + + 2 , tentukan , , dan .

Penyelesaian


11/12

Turunan Parsial (l n ut n )2. Jika = 3 dengan = 2 + 7 dan = 5 ,

tentukan dan nyatakan dalam bentuk s dan t .Penyelesaian :

Latihan

1. Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva = 2 sin 3 , = 2 cos 3 ,

= 8 pada saat t > 0.2. Jika = 5 + dan = sin cos , carilah

. .

3. Jika = sin + 2 + , tentukanlah .4. Jika = 2 + dan = 2 + + ,

carilah di titik (1,0, 2).


12/12

Terima kasihdan

Semoga Lancar Studinya

Documents

4 Diferensiasi Vektor